616 CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA · Ejer. 49-50: Consulte los ejercicios 47 y 48. Un...

www.FreeLibros.com

En la sección 1.1 representamos números reales geométricamente mediantepuntos en una recta de coordenadas. Podemos obtener representaciones geo-métricas para números complejos usando puntos en un plano de coordenadas.Específicamente, cada número complejo a � bi determina un par ordenadoúnico (a, b). El punto correspondiente P(a, b) en un plano de coordenadas esla representación geométrica de a � bi. Para destacar que estamos asignandonúmeros complejos a puntos en un plano, podemos marcar el punto P(a, b)como a � bi. Un plano de coordenadas con un número complejo asignado acada punto se conoce como plano complejo (o Argand) en lugar de un planoxy. El eje x es el eje real y el eje y es el eje imaginario. En la figura 1 (en lapágina siguiente) hemos representado en forma geométrica varios númeroscomplejos. Observe que para obtener el punto correspondiente al conjugado a � bi de cualquier número complejo a � bi, simplemente lo reflejamos en eleje real.

616 C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A

Ejer. 47-48: Se usan vectores en gráficas computarizadaspara calcular las longitudes de sombras sobre superficiesplanas. La longitud de un objeto puede representarse aveces con un vector a. Si una fuente de luz única brilla sobreun objeto, entonces la longitud de su sombra en el suelo seráigual al valor absoluto del componente del vector a lo largode la dirección del suelo, como se ve en la figura. Calcule lalongitud de la sombra para el vector a especificado si elsuelo está nivelado.

47 Sombra al nivel del suelo 2.6

48 Sombra al nivel del suelo 3.1

Ejercicios 47-48

Ejer. 49-50: Consulte los ejercicios 47 y 48. Un objeto re-presentado por un vector a se sostiene sobre una superficieplana inclinada a un ángulo u, como se muestra en la figura.Si una luz está brillando directamente hacia abajo, calculela longitud de la sombra a dos lugares decimales para losvalores especificados del vector a y u.

49 Sombra en un plano inclinado24.33

50 Sombra en un plano inclinado� � �17�

a � ��13.8, 19.4�,

� � 12�a � �25.7, �3.9�,

a

a � ��3.1, 7.9�

a � �2.6, 4.5�

Ejercicio 49–50

51 Determinación de potencia La cantidad de potencia P pro-ducida por una máquina puede determinarse con la fórmula

donde F es la fuerza (en libras) ejercida porla máquina y v es la velocidad (en pies/s) de un objeto mo-vido por la misma. Una máquina tira con una fuerza de 2200libras sobre un cable que forma un ángulo u con la horizon-tal, moviendo una carreta horizontalmente, como se muestraen la figura. Encuentre la potencia de la máquina si la rapi-dez de la carreta es 8 pies/s cuando u � 30°.

Ejercicio 51

F

vu

Máquina

Carreta

P �1

550 �F � v�,

u

a

8.5Forma trigonométrica

para números complejos

www.FreeLibros.com

El valor absoluto de un número real a (denotado ) es la distancia entreel origen y el punto sobre el eje x que corresponde a a. Así, es natural inter-pretar el valor absoluto de un número complejo como la distancia entre el ori-gen de un plano complejo y el punto (a, b) que corresponde a a � bi.

E J E M P L O 1 Hallar el valor absoluto de un número complejo

Encuentre

(a) (b)

S O L U C I Ó N Usamos la definición previa:

(a)

(b) L

Los puntos correspondientes a todos los números complejos que tienen unvalor absoluto fijo k están en un círculo de radio k con centro en el origen delplano complejo. Por ejemplo, los puntos correspondientes a los números com-plejos z con están sobre una circunferencia unitaria.

Consideremos un número complejo z � a � bi diferente de cero y su re-presentación geométrica P(a, b), como se ilustra en la figura 2. Sea u un án-gulo cualquiera en posición estándar cuyo lado terminal se encuentra sobre elsegmento OP y sea . Como y ,vemos que a � r cos u y b � r sen u. Sustituyendo por a y b en z � a � bi,obtenemos

z � a � bi � �r cos �� r sen ��i � r�cos � � i sen ��.

sen � � b�rcos � � a�rr � z � 2a2 � b2

z � 1

3i � 0 � 3i � 202 � 32 � 29 � 3

2 � 6i � 222 � ��6�2 � 240 � 2210 � 6.3

3i 2 � 6i

a

8 . 5 F o r m a t r i g o n o m é t r i c a p a r a n ú m e r o s c o m p l e j o s 617

Definición del valor absoluto deun número complejo

Si es un número complejo, entonces su valor absoluto, deno-tado por , es

2a2 � b2.

a � bi z � a � bi

Figura 2z � a � bi � r�cos � � i sen ��

y

x

P (a, b)

z � a � bi

r � z

u

O

Ejeimaginario

Ejereal

2 � 3i

2 � 3i�2 � 3i

� 5i

5 � i�3

5 � i

�i

i

�e � �2 i

Figura 1

www.FreeLibros.com

Esta expresión se denomina forma trigonométrica (o polar) para el númerocomplejo a � bi. Una abreviatura común es

La forma trigonométrica para z � a � bi no es única, porque hay un nú-mero ilimitado de opciones diferentes para el ángulo u. Cuando se usa la formatrigonométrica, el valor absoluto r de z se conoce a menudo como el módulo dez y un ángulo u asociado con z como un argumento (o amplitud) de z.

Podemos resumir nuestra exposición como sigue.

La fórmula de Euler,

nos da otra forma para el número complejo z � a � bi, comúnmente llamadaforma exponencial; esto es,

Vea algunos problemas relacionados en el ejercicio 6 de los ejercicios de aná-lisis, al final del capítulo.

E J E M P L O 2 Expresar un número complejo en forma trigonométrica

Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0 � u 2p:

(a) (b) (c) (d)

S O L U C I Ó N Empezamos por representar geométricamente cada númerocomplejo y marcar su módulo r y argumento u, como en la figura 3.

�2 � 7i2 � 7i223 � 2i�4 � 4i

z � r�cos � � i sen �� rei�.

cos � � i sen � � ei�,

r�cos � � i sen �� r cis �.


Forma trigonométrica (o polar)para un número complejo

Sea . Si y si u es un argumento de z entonces

z � r�cos � � i sen �� r cis �.

r � z � 2a2 � b2z � a � bi

Figura 3(a)

(�4, 4)

4�2�

y

x

f

z

y

x

(2�3, �2)�

4

y

x

(2, 7)

�53��

arctan r arctan r

y

x

�53��

(�2, 7)

p � arctan r

(b) (c) (d)

www.FreeLibros.com

A continuación sustituimos por r y u en la forma trigonométrica:

(a)

(b)

(c)

(d)

L � 253 cis �� arctan 72�

�2 � 7i � 253�cos �� arctan 72� � i sen �� arctan 72��

2 � 7i � 253 �cos �arctan 72� � i sen �arctan 72�� 253 cis �arctan 72�

223 � 2i � 4�cos 11�

6� i sen

11�

6 � � 4 cis 11�

6

�4 � 4i � 422�cos 3�

4� i sen

3�

4 � � 422 cis 3�

4


Veamos cómo hallar, en calculadora graficadora, el valor absoluto y el argumento del nú-mero complejo del Ejemplo 2(b).

TI-83/4 Plus TI-86Operaciones con números complejos.

Asigne a A.

2 3 2

Encuentre el valor absoluto r.

Encuentre el argumento u (en modo de grados).

ENTER)AALPHA

4��MATH

ENTER)AALPHA

5��MATH

ENTERAALPHASTO �

i2nd�)2nd

223 � 2i

2 3 �2

ENTERAALPHAangle(F5)

ENTERAALPHA

abs(F4)CPLX2nd

ENTERASTO �

),2nd(2

Ahora cambiaremos la forma de usando la función polar. La TI-83/4 Plus nosda la forma exponencial reui y la TI-86 nos da la forma (magnitud�ángulo). Observemos que�30° es equivalente a (el ángulo del ejemplo 2(b) para 0 � u 2p).

ENTER

ENTER�Pol(F2)MOREAALPHA7��MATHAALPHA

11��6

223 � 2i

2

www.FreeLibros.com

Si permitimos valores arbitrarios para u, hay muchas otras formas trigo-nométricas para los números complejos del ejemplo 2. Entonces, para �4 �4i en la parte (a) podríamos usar

Si, por ejemplo, hacemos n � 1 y n � �1, obtenemos

respectivamente. En general, los argumentos para el mismo número complejosiempre difieren por un múltiplo de 2p.

Si los números complejos se expresan en forma trigonométrica, entoncesla multiplicación y división se pueden efectuar como se indica en el siguienteteorema.

D E M O S T R A C I Ó N Podemos demostrar (1) como sigue:

La aplicación de las fórmulas de la suma para cos (u1 � u2) y sen (u1 � u2)nos da (1). Dejamos la demostración de (2) como ejercicio. L

La parte (1) del teorema anterior expresa que el módulo del producto dedos números complejos es el producto de sus módulos y un argumento es lasuma de sus argumentos. Un enunciado análogo se puede hacer para (2).

E J E M P L O 3 Usar formas trigonométricas para hallar productos y cocientes

Si y , use formas trigonométricas para hallar(a) z1z2 y (b) . Compruebe por métodos algebraicos.z1�z2

z2 � �1 � 23 iz1 � 223 � 2i

� i�sen �1 cos �2 � cos �1 sen �2��

� r1r2��cos �1 cos �2 � sen �1 sen �2�

z1z2 � r1�cos �1 � i sen �1� � r2�cos �2 � i sen �2�

422 cis 11�

4 y 422 cis ��5�

4 �,

� �3�

4� 2�n para cualquier entero n.


Teorema sobre productos ycocientes de números

complejos

Si las formas trigonométricas para dos números complejos z1 y z2 son

entonces

(1)

(2)z1

z2

�r1

r2

�cos ��1 � �2� � i sen ��1 � �2��, z2 � 0

z1z2 � r1r2�cos ��1 � �2� � i sen ��1 � �2��

z1 � r1�cos �1 � i sen �1� y z2 � r2�cos �2 � i sen �2�,

www.FreeLibros.com

S O L U C I Ó N El número complejo está representado geométrica-mente en la figura 3(b). Si usamos en la forma trigonométrica, en-tonces

El número complejo está representado geométricamente enla figura 4. Una forma trigonométrica es

(a) Aplicamos la parte (1) del teorema sobre productos y cocientes de núme-ros complejos:

La figura 5 da una interpretación geométrica del producto z1z2.Usando métodos algebraicos para comprobar nuestro resultado, tenemos

(b) Aplicamos la parte (2) del teorema:

La figura 6 da una interpretación geométrica del cociente .Usando métodos algebraicos para comprobar nuestro resultado, multipli-

camos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador paraobtener

L �

�423 � 4i

4� �23 � i.

��223 � 223 � � �2 � 6�i

��1�2 � �23 �2

z1

z2

�223 � 2i

�1 � 23 i�

�1 � 23 i

�1 � 23 i

z1�z2

� 2��23

2� i�� 1

2 �� 23 � i

� 2�cos �� 5�

6 � � i sen �� 5�

6 �� z1

z2

�4

2 �cos ��

6�

2�

3 � � i sen ��

6�

2�

3 �� 223 � 223 � � �2 � 6�i � 0 � 8i � 8i.

z1z2 � �223 � 2i��1 � 23 i�

� 8�cos �

2� i sen

�

2 � � 8�0 � i� � 8i

z1z2 � 4 � 2�cos ��

6�

2�

3 � � i sen ��

6�

2�

3 ��

z2 � �1 � 23 i � 2�cos 2�

3� i sen

2�

3 �.

z2 � �1 � 23 i

z1 � 223 � 2i � 4�cos ��

6 � � i sen ��

6 ��.

� � ��6223 � 2i


Figura 4

y

x

(�1, �3)�

2i

Figura 5

y

x

r1r2 � 4�2 � 8

r1 � 4

r2 � 2

u1 � u2 � �k � i� q

u1 � �k

u 2 � i

Figura 6

y

x

r1 � 4

r2 � 2

u1 � �k

u 2 � i

r1

r2

42� � 2

u1 � u2 � �k � i � �l

www.FreeLibros.com

Ejer. 1-10: Encuentre el valor absoluto.

1 5 2

3 4

5 8 6 1

7 1 8 15

9 0 10 15

Ejer. 11-20: Represente geométricamente el número com-plejo.

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

Ejer. 21-46: Exprese el número complejo en forma trigono-métrica con 0 � u 2p.

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

31 12 12 cis 0 32 15 15 cis 0

33 �7 34 �5

35 6i 36 4i

37 38

39 40

41 42

43 44253 cis �tan�1 7

2 � ��234 cis �tan�1 35 � ��2 � 7i�5 � 3i

225 cis �tan�1 ��12� � ��210 cis �tan�1 ��

13 � � ��

�4 � 2i�3 � i

213 cis �tan�1 23�3 � 2i25 cis �tan�1 12�2 � i

2 cis 11�

623 � i10 cis 4�

3�5 � 523 i

4 cis �

26 cis

�

2

5 cis �7 cis �

6 cis 3�

2�6i20 cis 3�

2�20i

1022 cis 3�

4�10 � 10i422 cis 5�

4�4 � 4i

6 cis 5�

33 � 323 i4 cis �

6223 � 2i

222 cis 5�

4�2 � 2i8 cis 5�

6�423 � 4i

2 cis �

623 � i22 cis 7�

41 � i

�4 � 8i4��1 � 2i�2i�1 � i�2

�3 � 6i��3i��2 � i��6 � 4i2i�2 � 3i�

�3 � 4i�1 � 2i�2�3 � 6i��3 � 6i�

�2 � 6i3 � 5i

�5 � 3i4 � 2i

�15 0

�15i i500

i7 8i

22 1 � i 285 �6 � 7i

289 5 � 8i 3 � 4i

45 46

Ejer. 47-56: Exprese en la forma a � bi, donde a y b son nú-meros reales.

47 48

49 50

51 52

�5 �3i

53 54

55 56

Ejer. 57-66: Use formas trigonométricas para hallar z1z2 y

57 �2, i

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67 Demuestre (2) del teorema sobre productos y cocientes denúmeros complejos.

68 (a) Extienda (1) del teorema sobre productos y cocientesde números complejos a tres números complejos.

(b) Generalice (1) del teorema a n números complejos.�r1r2 �� rn� cis ��1 � �2 � � � � � �n�

�15 � 6i, �1529 �

629 iz2 � 5 � 2iz1 � �3,

�15 � 10i, �1513 �

1013 iz2 � 3 � 2iz1 � �5,

21 � 35i, 2134 �

3534 iz2 � 3 � 5iz1 � 7,

8 � 4i, 85 �

45 iz2 � 2 � iz1 � 4,

6, �23z2 � �3iz1 � 2i,

40, 52z2 � �4z1 � �10,

15 � 15i, �53 �

53 iz2 � �3iz1 � �5 � 5i,

1023 � 10i, �25 23 �

25 iz2 � 5iz1 � �2 � 223 i,

�4 � 0i, �1

2�23

2iz2 � �23 � iz1 � 23 � i,

z2 � 1 � iz1 � �1 � i,

z1�z2.

1 � 3i2 � i210 cis �tan�1 3�25 cis �tan�1 ��

12��

7 � 2i5 � 3i253 cis �tan�1 ��

27 ��234 cis �tan�1 35�

3�cos 3�

2� i sen

3�

2 �5�cos � � i sen ��

�6 � 623i�3 � 323i

12�cos 4�

3� i sen

4�

3 �6�cos 2�

3� i sen

2�

3 �422 � 422i222 � 222i

8�cos 7�

4� i sen

7�

4 �4�cos �

4� i sen

�

4�

210 cis �tan�1 ��3� � 2��5 cis �tan�1 ��34 � � 2��

1 � 3i4 � 3i


8.5 E j e r c i c i o s

www.FreeLibros.com

Ejer. 69-72: La forma trigonométrica de números complejoses utilizada con frecuencia por ingenieros electricistas paradescribir la corriente I, el voltaje V y la impedancia Z en cir-cuitos eléctricos con corriente alterna. La impedancia es laoposición al flujo de corriente en un circuito. Los aparatoseléctricos más comunes operan con 115 volts de corrientealterna. La relación entre estas tres cantidades es Calcule la cantidad desconocida y exprese la respuesta enforma rectangular a dos lugares decimales.

69 Hallar voltaje

70 Hallar voltaje

71 Hallar impedancia

72 Hallar corriente1.50 � 1.45i

V � 163 cis 17�Z � 78 cis 61�,

11.01 � 9.24iV � 115 cis 45�I � 8 cis 5�,

�104.59 � 1195.43iZ � 100 cis 90�I � 12 cis 5�,

17.21 � 24.57iZ � 3 cis 20�I � 10 cis 35�,

I � V�Z.

73 Módulo de impedancia El módulo de la impedancia Z re-presenta la oposición total al flujo de corriente en un cir-cuito, y se mide en ohms Calcule si

74 Resistencia y reactancia El valor absoluto de la parte real deZ representa la resistencia en un circuito eléctrico; el valor ab-soluto de la parte compleja representa la reactancia. Am-bas cantidades se miden en ohms. Si e

calcule la resistencia y la reactancia.24.60 ohms; 36.48 ohms

75 Voltaje actual La parte real de V representa el voltaje real en-tregado a un aparato eléctrico en volts. Aproxime ese voltajecuando y 70.43 volts

76 Corriente actual La parte real de I representa la corriente realentregada a un aparato eléctrico, en amperes. Determine esacorriente cuando y Z � 100 cis 17�.V � 163 cis 43�

Z � 18 cis ��78��.I � 4 cis 90�

I � 5 cis 90�,V � 220 cis 34�

Z � 14 � 13i, Z

8 . 6 T e o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s 623

Si z es un número complejo y n es un entero positivo, entonces un númerocomplejo w es la raíz n-ésima de z si wn � z. Demostraremos que todo núme-ro complejo diferente de cero tiene raíces n-ésimas diferentes. Como � estácontenida en �, también se deduce que todo número real diferente de cerotiene n diferentes raíces n-ésimas (complejas). Si a es un número real positivoy n � 2, entonces ya sabemos que las raíces son y .

Si, en el teorema sobre productos y cocientes de números complejos, ha-cemos z1 y z2 iguales al número complejo z � r(cos u � i sen u), obtenemos

Aplicando el mismo teorema a z2 y z tendremos

o bien,

Aplicando el teorema a z3 y z, obtenemos

En general, tenemos el siguiente resultado, llamado así en honor del matemá-tico francés Abraham De Moivre (1667-1754).

z4 � r4�cos 4� � i sen 4��.

z3 � r3�cos 3� � i sen 3��.

z2 � z � �r2 � r��cos �2� � �� i sen �2� � ��,

� r 2�cos 2� � i sen 2��. z2 � r � r �cos �� i sen ��

�2a2a

Teorema de De Moivre Para todo entero n

�r�cos � � i sen ��n � r n�cos n� � i sen n��.

8.6Teorema de De Moivre y las raíces n-ésimas

de números complejos

www.FreeLibros.com

Usaremos sólo enteros positivos para n en ejemplos y ejercicios que com-prendan el teorema de De Moivre. No obstante, el teorema se cumple por com-pleto para n � 0 y n negativo si usamos las respectivas definiciones deexponente de número real, es decir, z0 � 1 y , donde z es un númerocomplejo diferente de cero y n es un entero positivo.

E J E M P L O 1 Usar el teorema de De Moivre

Use el teorema de De Moivre para cambiar (1 � i)20 a la forma a � bi, dondea y b son números reales.

S O L U C I Ó N Sería tedioso cambiar (1 � i)20 usando métodos algebraicos.Por tanto, introduzcamos una forma trigonométrica por 1 � i. Consultando lafigura 1, vemos que

Ahora aplicamos el teorema de De Moivre:

El número �1024 es de la forma a � bi con a � �1024 y b � 0. L

Si un número complejo z diferente de cero tiene una raíz n-ésima w, en-tonces wn � z. Si las formas trigonométricas para w y z son

(*)

entonces, aplicando el teorema de De Moivre a wn � z tendremos

Si dos números complejos son iguales, entonces también son iguales sus valoresabsolutos. En consecuencia, sn � r y como s y r son no negativos, . Sus-tituyendo sn por r en la última ecuación mostrada y dividiendo ambos ladosentre sn, obtenemos

Como los argumentos de números complejos iguales difieren por un múltiplode 2p, hay un entero k tal que na � u � 2pk. Dividiendo ambos lados de laúltima ecuación entre n, vemos que

Sustituyendo en la forma trigonométrica por w (vea (∗)) nos dará la fórmula

w � 2n r�cos �� 2�k

n � � i sen �� 2�k

n ��.

� �� 2�k

n para algún entero k.

cos n� � i sen n� � cos � � i sen �.

s � 2n r

sn�cos n� � i sen n�� r �cos � � i sen ��.

w � s�cos � � i sen �� y z � r�cos � � i sen ��,

� 210�cos 5� � i sen 5�� 210��1 � 0i� � �1024

�1 � i�20 � �21/2�20�cos �20 ��

4 � � i sen �20 ��

4 ��

1 � i � 22�cos �

4� i sen

�

4�.

z�n � 1�z n


Figura 1

y

x

�2�

d

(1, 1)

www.FreeLibros.com

Si sustituimos k � 0, 1, . . . , n � 1 sucesivamente, obtenemos n diferentes ra-íces n-ésimas de z. Ningún otro valor de k producirá una nueva raíz n-ésima.Por ejemplo, si k � n, obtenemos el ángulo , o , quenos da la misma raíz n-ésima que k � 0. Del mismo modo, k � n � 1 da lamisma raíz n-ésima que k � 1 y así sucesivamente. Lo mismo es cierto paravalores negativos de k. Hemos demostrado el siguiente teorema.

Las raíces n-ésimas de z en este teorema tienen todas ellas valor absoluto y por lo tanto sus representaciones geométricas se encuentran en una circun-ferencia de radio con centro en O. Además, están igualmente espacia-das en esta circunferencia dado que la diferencia en los argumentos de sucesi-vas raíces n-ésimas es (or .

E J E M P L O 2 Hallar las raíces cuartas de un número complejo

(a) Encuentre las cuatro raíces cuartas de

(b) Represente las raíces geométricamente.

S O L U C I Ó N

(a) La representación geométrica de se muestra en la figura 2.Introduciendo forma trigonométrica, tenemos

Usando el teorema sobre raíces n-ésimas con n � 4 y observando que � 2, encontramos que las raíces cuartas son

(continúa)

wk � 2�cos �240° � 360°k

4 � � i sen �240° � 360°k

4 ��

24 16

�8 � 823 i � 16�cos 240° � i sen 240°�.

�8 � 823 i

�8 � 823 i

360°�n2��n

2n r

2n r

��n� � 2�� 2�n��n

8 . 6 T e o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s 625

Teorema de las raíces n-ésimas Si z � r (cos u � i sen u) es cualquier número complejo diferente de cero ysi n es cualquier entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces n-ésimas diferentes w0, w1,…,wn�1. Estas raíces, para u en radianes, son

o bien, lo que es equivalente, para u en grados,

donde .k � 0, 1, . . . , n � 1

wk � 2n r�cos �� 360°k

n � � i sen �� 360°k

n ��,

wk � 2n r�cos �� 2�k

n � � i sen �� 2�k

n ��

Figura 2y

x

16

240�

(�8, �8�3)�

www.FreeLibros.com

para , Esta fórmula se puede escribir como

Sustituyendo 0, 1, 2 y 3 por k en (60° � 90°k) nos da las cuatro raíces cuar-tas:

(b) Por los comentarios que preceden este ejemplo, todas las raíces se en-cuentran en una circunferencia de radio con centro en O. La primeraraíz, w0, tiene un argumento de 60° y las raíces sucesivas están separadas

� 90° como se ve en la figura 3.

El caso especial en el que z � 1 es de particular interés. Las n raíces n-ésimas distintas de 1 se llaman las raíces n-ésimas de la unidad. En par-ticular, si n � 3, llamamos a estas raíces las raíces cúbicas de la unidad.

E J E M P L O 3 Hallar las raíces cúbicas de la unidad

Encuentre las tres raíces cúbicas de la unidad.

S O L U C I Ó N Escribiendo 1 � 1(cos 0 � i sen 0) y usando el teorema sobreraíces nésimas con n � 3, obtenemos

360°�4

24 16 � 2

w3 � 2�cos 330° � i sen 330°� � 23 � i

w2 � 2�cos 240° � i sen 240°� � �1 � 23 i

w1 � 2�cos 150° � i sen 150°� � �23 � i

w0 � 2�cos 60° � i sen 60°� � 1 � 23 i

wk � 2�cos �60° � 90°k� � i sen �60° � 90°k��.

k � 0, 1, 2, 3


Figura 3

x

y

60�

90�

90�

90�

90�

w1

w0

w2

w3

2

Las calculadoras TI-83/4 Plus y TI-86 tienen la capacidad de tomar una raíz de un nú-mero complejo. A continuación encontramos una raíz cuarta de como en elejemplo 2(a). La TI-86 también puede hallar las otras tres raíces (vea ejemplo 5).

TI-83/4 Plus TI-86

�8 8 3 �8 �8 3

4 1 4

ENTER

)�(CALPHAENTERCALPHA5MATH

ENTERCSTO �ENTERCALPHASTO �

)2nd,(i2nd)2nd�

�8 � 823 i,

Hallar una raíz de unnúmero complejo.

2 2

L

www.FreeLibros.com

para k � 0, 1, 2. Sustituyendo por k tendremos las tres raíces:

L

E J E M P L O 4 Hallar las raíces sextas de un número real

(a) Encuentre las seis raíces sextas de �1.

(b) Represente las raíces geométricamente.

S O L U C I Ó N

(a) Escribiendo �1 � 1(cos p � i sen p) y usando el teorema sobre raíces n-ésimas con n � 6, encontramos que las raíces sextas de �1 están dadas por

Para k � 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sustituyendo 0, 1, 2, 3, 4, 5 por k obtenemos las seisraíces sextas de �1:

(b) Como , los puntos que representan las raíces de �1 están todosen la circunferencia unitaria que se muestra en la figura 4. Además, estánigualmente espaciados en esta circunferencia en radianes o sea 60°. L

Observe que hallar las raíces n-ésimas de un número complejo c, como hi-cimos en los ejemplos 2-4, es equivalente a hallar todas las soluciones de laecuación

Usaremos este concepto en el siguiente ejemplo así como en los ejercicios 23–30.

xn � c, o bien xn � c � 0.

26 1 � 1

w5 � cos 11�

6� i sen

11�

6�23

2�

1

2i

w4 � cos 3�

2� i sen

3�

2� �i

w3 � cos 7�

6� i sen

7�

6� �

23

2�

1

2i

w2 � cos 5�

6� i sen

5�

6� �

23

2�

1

2i

w1 � cos �

2� i sen

�

2� i

w0 � cos �

6� i sen

�

6�23

2�

1

2i

wk � 1�cos �� 2�k

6 � � i sen �� 2�k

6 ��

w2 � cos 4�

3� i sen

4�

3� �

1

2�23

2i

w1 � cos 2�

3� i sen

2�

3� �

1

2�23

2i

w0 � cos 0 � i sen 0 � 1

wk � 1�cos 2�k

3� i sen

2�k

3 �8 . 6 T e o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s 627

Figura 4

w1

y

x

k

w0

w5

w4

w3

w2

1

��3

www.FreeLibros.com


E J E M P L O 5 Hallar raíces resolviendo una ecuación con polinomios

Encuentre las cuatro raíces cuartas de .

S O L U C I Ó N Sea . Si x es cualquier raíz cuarta de c, entonces x4 � c y en-tonces x4 � c � 0. El lado izquierdo de la última ecuación es un polinomio de cuarto gradocon coeficientes 1, 0, 0, 0, �c. Usaremos la función de resolución de polinomios para hallarlas raíces cuartas de c.

Usando la función Poly de la TI-86

Fije el número de lugares decimales a 3.

Guarde en C.

�8 �8 3

Declare el orden del polinomio.

4

Introduzca los coeficientes.

1 0 0 0

Encuentre las soluciones.

Comparando estas soluciones con las halladas en el Ejemplo 2(a), tenemos

x4 � w3 � 23 � i.

x3 � w0 � 1 � 23 i

x2 � w2 � �1 � 23 i

x1 � w1 � �23 � i

SOLVE(F5)

CALPHA(�)��

ENTERPOLY2nd

ENTERCSTO �)2nd,(

�8 � 823 i

QUIT2ndENTER� (4 veces)�MODE2nd

c � �8 � 823 i

�8 � 823 i

2

L

www.FreeLibros.com

Ejer. 1-12: Use el teorema de De Moivre para cambiar el nú-mero complejo dado a la forma a � bi, donde a y b son nú-meros reales.

1 2 �64

3 �32i 4 16

5 �8 6

7 8

9 10

11 12 32,768i

13 Encuentre las dos raíces cuadradas de

14 Encuentre las dos raíces cuadradas de �9i.

15 Encuentre las cuatro raíces cuartas de

16 Encuentre las cuatro raíces cuartas de��23 � i�, �1 � 23i

�8 � 823 i.

��24 2

2�24 18

2i�, ��24 18

2�24 2

2i�

�1 � 23 i.

�322

2�

322

2i

��12 26 �

12 22i�

1 � 23 i.

��2 � 2i�10�6423 � 64i�23 � i�7

1

2�23

2i�

12 �

1223i

��23

2�

1

2i�50��

23

2�

1

2i�20

22

2�22

2i�

1222 �

1222i

�22

2�22

2i�25��

22

2�22

2i�15

16 � 1623i�1 � 23 i�5�1 � 23 i�3

��1 � i�8�1 � i�10

�1 � i�12�972 � 972i�3 � 3i�5

17 Encuentre las tres raíces cúbicas de �27i.

18 Encuentre las tres raíces cúbicas de 64i.

Ejer. 19-22: Encuentre las raíces indicadas y represéntelasgeométricamente.

19 Las seis raíces sextas de la unidad.

20 Las ocho raíces octavas de la unidad.

21 Las cinco raíces quintas de 1 � i.

22 Las cinco raíces quintas de

Ejer. 23-30: Encuentre las soluciones de la ecuación.

23 24

25 26

27 28

29 30

31 Use la fórmula de Euler para demostrar el teorema de DeMoivre.

x4 � 81 � 0x 5 � 243 � 0

�223 � 2i, �4i2i, �23 � ix 3 � 64i � 0x3 � 8i � 0

�2i, 23 � i, �23 � ix 5 � 1 � 0x6 � 64 � 0

�2, �1 � 23i, �1 � 23i�2, �2ix6 � 64 � 0x4 � 16 � 0

�23 � i

C a p í t u l o 8 E j e r c i c i o s d e r e p a s o 629

Ejer. 1-4: Encuentre los valores exactos de las partes res-tantes del triángulo ABC.

1

2

3

4� � cos�1 �7

8�, � � cos�1 �1116�, � � cos�1 ��

14�

c � 4b � 3,a � 2,

� � 75�, a � 5026, c � 50�1 � 23 �b � 100� � 45�,� � 60�,

� � 60�, � � 90�, b � 4; � � 120�, � � 30�, b � 2c � 2a � 223,� � 30�,

a � 243, � � cos�1 � 443243 �, � � cos�1 � 5

86243 �c � 7b � 6,� � 60�,

Ejer. 5-8: Calcule las partes restantes del triángulo ABC.

5

6

7

8� � 42�, � � 87�, � � 51�

c � 43b � 55,a � 37,

� � 24�, � � 41�, b � 10.1c � 7.3a � 4.6,� � 115�,

� � 19�10�, � � 137�20�, b � 258a � 152c � 125,� � 23�30�,

� � 38�, a � 8.0, c � 13b � 12� � 75�,� � 67�,

C A P Í T U L O 8 E J E R C I C I O S D E R E P A S O

8.6 E j e r c i c i o s

www.FreeLibros.com

Ejer. 9–10: Aproxime el área del triángulo ABC al 0.1 deunidad cuadrada más cercana.

9 290

10 10.9

11 Si y trace los vectores corres-pondientes a

(a) (b) (c) 2a (d)

12 Si y encuentre el vector o númerocorrespondiente a

(a) (b)

(c) (d)

13 Rumbo de un barco Un barco navega con rapidez de 14mi/h en la dirección S50°E. Exprese su velocidad v comovector.

14 Las magnitudes y direcciones de dos fuerzas son 72 lb,S60°E y 46 lb, N74°E, respectivamente. Calcule la magni-tud y dirección de la fuerza resultante.

15 Encuentre un vector que tiene la dirección opuesta de a �8i – 6j y dos veces la magnitud.

16 Encuentre un vector de magnitud 4 que tenga la misma di-rección que a � ��3, 7�.

17 Si a � �a1, a2�, r � �x, y�, y c > 0, describa el conjunto detodos los puntos P(x, y) tales que

18 Si a y b son vectores con el mismo punto inicial y el án-gulo u entre ellos, demuestre que

19 Rapidez y dirección del viento Un avión vuela en la direc-ción 80° con una velocidad relativa de 400 mi/h. Su veloci-dad absoluta y rumbo verdadero son 390 mi/h y 90°,respectivamente. Calcule la dirección y rapidez del viento.

20 Si a � �2, �3� y b � ��1, �4�, encuentre:

(a) a � b (b) el ángulo entre a y b

(c) compa b

21 Si a � 6i – 2j y b � i � 3j, encuentre:

(a) (2a – 3b) � a

(b) el ángulo entre a y a � b

(c) compa (a � b)

� a � b �2 � � a �2 � � b �2 � 2� a � � b � cos �.

� r � a � � c.

229 � 217 � 1.26240 � 6.32� a � � � b �� a � b �

�8i � 13j12i � 19j2a � 3b4a � b

b � 4i � j,a � 2i � 5j

�12 ba � ba � b

b � �2, �8�,a � ��4, 5�

c � 10b � 7,a � 4,

c � 30b � 20,� � 75�,

22 Una fuerza constante tiene la magnitud y dirección del vec-tor a � 7i � 4j. Encuentre el trabajo realizado cuando elpunto de aplicación de a se mueve a lo largo del eje x deP(�5, 0) a Q(3, 0).

Ejer. 23-28: Exprese el número complejo en forma trigono-métrica con 0 � u 2p.

23 24

25 �17 26 �12i

27 28

Ejer. 29-30: Exprese en la forma a � bi, donde a y b son nú-meros reales.

29 30

Ejer. 31-32: Use formas trigonométricas para hallar z1z2 y

31

32

Ejer. 33-36: Use el teorema de De Moivre para cambiar elnúmero complejo dado a la forma a � bi, donde a y b sonnúmeros reales.

33 �512i 34 i

35 36

37 Encuentre las tres raíces cúbicas de �27.

38 Sea

(a) Hállese (b) Hállense las tres raíces cúbicas de z. with

39 Encuentre las soluciones de la ecuaciónwith

40 Pista para patinetas Una pista para una carrera de patine-tas consta de un tramo de 200 metros cuesta abajo y 150metros a nivel. El ángulo de elevación del punto de partidade la carrera desde la línea de meta es 27.4°. ¿Qué ánguloforma la colina con la horizontal?

� � 0�, 72�, 144�, 216�, 288�2 cis �x 5 � 32 � 0.

� � 100�, 220�, 340�23 2 cis �224z24.

z � 1 � 23 i.

�3, 32 �32 23i

�219 � 21923i�972 � 972i�2 � 223 i�10�3 � 3i�5

�22

2�22

2i�30

��23 � i�9

�422i, �222z2 � �1 � iz1 � 222 � 222 i,

�12 � 1223i, �32

z2 � 223 � 2iz1 � �323 � 3i,

z1�z2.

12 � 5i1023 � 10i

13 cis �tan�1 512�20�cos

11�

6� i sen

11�

6 �

241 cis �tan�1 54�10 cis 7�

6

4 � 5i�523 � 5i

12 cis 3�

217 cis �

4 cis 5�

31022 cis

3�

4

2 � 223 i�10 � 10i


www.FreeLibros.com

41 Distancias a planetas Las distancias entre la Tierra y losplanetas cercanos se puede calcular usando el ángulo defase a, como se ve en la figura. Suponga que la distanciaentre la Tierra y el Sol es de 93,000,000 de millas y la dis-tancia entre Venus y el Sol es de 67,000,000 de millas.Calcule la distancia entre la Tierra y Venus al millón de mi-llas más cercano cuando a � 34°.

Ejercicio 41

42 Altura de un rascacielos Si un rascacielos se ve desde loalto de un edificio de 50 pies, el ángulo de elevación es 59°.Si se ve desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es62° (vea la figura).

(a) Use la ley de los senos para calcular la distancia máscorta entre las cimas de los dos edificios.

(b) Calcule la altura del rascacielos.

Ejercicio 42

50� 62�

59�

Sol

Venus

Tierra

a

43 Distancias entre ciudades Las comunidades de playa deSan Clemente y Long Beach están a 41 millas entre sí, a lolargo de un tramo relativamente recto de costa. En la figurase muestra el triángulo formado por las dos ciudades y lapoblación de Avalon en la esquina sudeste de la isla deSanta Catalina. Se tiene que los ángulos ALS y ASL miden66.4° y 47.2°, respectivamente.

(a) Calcule la distancia de Avalon a cada una de las dosciudades.

(b) Calcule la distancia más corta de Avalon a la costa.

Ejercicio 43

44 Topografía Un topógrafo desea hallar la distancia entre dospuntos inaccesibles A y B. Como se muestra en la figura, seseleccionan dos puntos C y D desde los cuales es posiblever A y B. La distancia CD y los ángulos ACD, ACB, BDC y BDA se miden a continuación. Si pies, y

calcule la distancia AB.

Ejercicio 44

45 Contacto por radio Dos jóvenes con radios de comunica-ción están en el cruce de dos caminos que se encuentran aun ángulo de 105° (vea la figura en la página siguiente).Una de ellas empieza a caminar en dirección al norte por uncamino a razón de 5 millas/h; al mismo tiempo, la otra ca-mina al este por el otro camino al mismo paso. Si cada radiotiene un alcance de 10 millas, ¿cuánto tiempo mantendráncomunicación las jóvenes?

A B

DC

�BDA � 100�,�BDC � 125��ACB � 92�,115�,�ACD �

CD � 120

A

L

S

66.4�

47.2�

C a p í t u l o 8 E j e r c i c i o s d e r e p a s o 631

www.FreeLibros.com

Ejercicio 45

46 Diseño robótico En la figura se muestra un diseño para unbrazo robótico con dos piezas movibles. Las dimensiones seseleccionan para emular un brazo humano. El brazo supe-rior AC y el brazo inferior CP giran los ángulos u1 y u2, res-pectivamente, para sujetar un objeto en el punto P(x, y).

(a) Demuestre que

(b) Encuentre d(A, P), y luego use la parte (a) y la ley delos cosenos para demostrar que

(c) Si y calcule 158�

Ejercicio 46

�2.�1 � 135�,y � 4,x � 25,

1 � cos ��2 � �1� �x2 � � y � 26�2

578.

�ACP � 180� � ��2 � �1�.

105 �

10 mi

47 Esfuerzos de rescate Un niño está atrapado a 45 pies bajola superficie en el tiro de una mina abandonada que se in-clina con un ángulo de 78° respecto a la horizontal. Se ha decavar un túnel de rescate de 50 pies desde la abertura del tiro(vea la figura).

(a) ¿A qué ángulo u debe cavarse el túnel?

(b) Si el túnel se puede cavar a razón de 3 pies/h, ¿cuántashoras tardarán en llegar al niño?

Ejercicio 47

48 Diseño de un avión caza a reacción En la figura se muestrael plano para la parte superior del ala de un avión caza.

(a) Calcule el ángulo f.

(b) Calcule el área del cuadrilátero ABCD.

(c) Si el fuselaje es de 5.8 pies de ancho, calcule la enver-gadura de las alas

Ejercicio 48

CC�.

50�

45�

78� u


AB

C

C�

D

136�

5.8�17.2�

22.9�

5.7�

16�f

y

x

17�

u2

u1

26�

A

C

P(x, y)

17�

www.FreeLibros.com

1 Fórmula de Mollweide La siguiente ecuación, llamada fór-mula de Mollweide, se usa a veces para comprobar solucio-nes a triángulos porque contiene todos los ángulos y todoslos lados:

(a) Use la ley de los senos para demostrar que

(b) Use una fórmula de suma a producto y fórmula de án-gulo doble para verificar la fórmula de Mollweide.

2 Use la forma trigonométrica de un número complejo parademostrar que donde n es un entero positivo.

3 Analice las similitudes algebraicas y geométricas de las ra-íces cúbicas de cualquier número real positivo a.

4 Suponga que dos vectores v y w tienen el mismo punto ini-cial, que el ángulo entre ellos es u y que v � mw (m es unnúmero real).

(a) ¿Cuál es la interpretación geométrica de v � w?

(b) ¿Cómo se puede hallar

5 Una aproximación vectorial a las leyes de los senos y los co-senos

(a) De la figura vemos que c � b � a. Use componenteshorizontales y verticales para escribir c en términos dei y j.

Ejercicio 5

y

x

g?

ab

ab

cA B

C

�� b � cos � � � a � cos ��i � �� b � sin � � � a � sin ��j

� v � w �?

z�n � 1�zn,

a � b

c�

sen � � sen �

sen �.

a � b

c�

cos 12 ��

sen 12 �

(b) Ahora encuentre la magnitud de c, usando la respuestaa la parte (a) y simplifique hasta demostrar la ley de loscosenos.

(c) Si c se encuentra sobre el eje x, entonces su compo-nente j es cero. Use este dato para demostrar la ley delos senos.

6 Fórmula de Euler y otros resultados Los siguientes son al-gunos resultados interesantes e inesperados que contienennúmeros complejos y temas que ya hemos estudiado.

(a) Leonhard Euler (1707-1783) nos dio la siguientefórmula:

Si hacemos u � p, obtenemos o bien, lo quees equivalente,

una ecuación que relaciona cinco de los números másimportantes en matemáticas. Encuentre

(b) Definimos el logaritmo de un número complejo z � 0como sigue:

donde ln es la función de logaritmo natural, u es un ar-gumento de z y n es un entero. El valor principal deLN z es el valor que corresponde a n � 0 y �p u �p. Encuentre los valores principales de LN (�1) y LN i.

(c) Definimos la potencia compleja w de un número com-plejo z � 0 como sigue:

Usamos valores principales de LN z para hallar valoresprincipales de zw. Encuentre valores principales de e ii.22

2�22

2i; e�� /2 � 0.2079

2i

zw � ew LN z

LN z � ln z � i�� 2�n�,

e2� i.

ei� � 1 � 0,

ei� � �1

ei� � cos � � i sen �

C a p í t u l o 8 E j e r c i c i o s d e a n á l i s i s 633

C A P Í T U L O 8 E J E R C I C I O S D E A N Á L I S I S

www.FreeLibros.com

7 ¿Una identidad interesante? Suponga que a, b y g son án-gulos en un triángulo oblicuo. Demuestre o desapruebe elsiguiente enunciado: La suma de las tangentes de a, b y ges igual al producto de las tangentes de a, b y g.

8 Fuerzas de cables colgantes Un adorno de 5 lb cuelga dedos cables como se muestra en la figura. Demuestre que lasmagnitudes de las tensiones (fuerzas) de los cables estándadas por

� T1 � �5 cos b

sen (a � b) y � T2 � �

5 cos a

sen (a � b).

Ejercicio 8

a b

T1 T2


616 CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA · Ejer. 49-50: Consulte los ejercicios 47 y 48. Un...

Documents

Transcript of 616 CAPÍTULO 8 APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA · Ejer. 49-50: Consulte los ejercicios 47 y 48. Un...