6.- MÉTODO DE LA INTEGRAL DE CONTORNO - unican.es
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CAPÍTULO 6. MÉTODO DE LA INTEGRAL DE CONTORNO PÁGINA - 253 -
6.- MÉTODO DE LA INTEGRAL DE CONTORNO
6.1.- Introducción
Este capítulo de la tesis constituye un tema sobre el que el Director de la tesis, D.
Julián Díaz del Valle, tiene abiertas varias líneas de investigación al respecto.
En base a dichas líneas de investigación, se hace uso de un programa, por él
desarrollado, donde se pretende demostrar las posibilidades de esta metodología, al
incluir en él elementos de contorno de alto grado.
El campo de aplicación del programa desarrollado se extiende a los medios continuos
elásticos y a la teoría del potencial en dos dimensiones.
El programa dispone de opciones que permiten la generación de geometrías, cargas y
condiciones de apoyo diversas, de manera muy sencilla.
Como método de cálculo, se utiliza el método de los elementos de contorno o
“Boundary Element Method” considerando elementos isoparamétricos de cualquier
grado.
La obtención de resultados es exhaustiva: para problemas elásticos obtiene los
desplazamientos y tensiones en los nudos de los contornos y en los puntos interiores
elegidos. Los resultados anteriores se representan numérica y gráficamente
(deformadas, isotensiones, cortes tensionales, etc). Para problemas de potencial
obtiene una salida numérica y gráfica análoga a la anterior.
6.2.- El método de los elementos de contorno
Como ya se ha indicado con anterioridad, los métodos de cálculo elástico más
utilizados en la práctica de la ingeniería son el Método de los Elementos Finitos (MEF)
en el cual se discretiza el dominio y el Método de los Elementos de Contorno más
conocido por su denominación inglesa “ Boundary Element Method” (BEM), en el cual
se discretiza el contorno.
El método de los elementos finitos, actualmente muy desarrollado, presenta
desventajas en lo que respecta a la generación de datos y reducción de resultados,
que sin embargo, han sido paliados en gran parte con los pre y procesadores. Su
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generalidad y rango de aplicación son incomparables, a costa de un importante
esfuerzo de cálculo de computador (memoria, velocidad, etc.) que cada vez representa
un menor costo dado el avance informático actual.
El método de los elementos de contorno requiere una entrada de datos muy sencilla y
permite obtener excelentes resultados con recursos informáticos muy modestos. Las
contrapartidas corresponden a la programación, a pesar de los evidentes progresos
alcanzados, es en cierta medida dependiente del problema específico, y a la dificultad
de tratamiento y resolución de un sistema de ecuaciones denso (con pocos elementos
nulos) y no simétrico.
El principal atractivo del Método de la Integral de Contorno es reducir la dimensión del
problema elástico (de 3D a 2D o bien de 2D a 1D), lo que representa un ahorro
computacional considerable. En efecto, en 2D, con este método se discretiza el
contorno con el elemento lineal en lugar de los elementos triangulares o cuadriláteros
que utiliza el método de los Elementos Finitos (MEF) para discretizar el dominio, lo cual
supone un número mucho menor de nudos (ver figura siguiente).
Ilustración 170.- Discretización MEF y BEM
Ambos métodos MEF y BEM tienen en común que se utilizan elementos y nudos en los
cuales se sitúan los grados de libertad que corresponden a los desplazamientos y
tensiones nodales.
Algunos de dichos desplazamientos o “tracciones” nodales son conocidos – por estar
prescritos – y otros son las incógnitas a determinar. La formulación se organiza
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matricialmente llegando a un sistema de ecuaciones lineales, cuya resolución permite
determinar tales incógnitas. Sin embargo, con el MEF la matriz del sistema será de
grandes dimensiones, simétrica y bandeada, justo lo contrario que ocurre al utilizar el
método de los elementos de contorno.
El método de los elementos de contorno (BEM) está basado en el concepto de la
“influencia” que una fuerza concentrada en un punto P del solido elástico tiene en los
desplazamientos y tensiones de cualquier otro punto Q. Estas influencias se pueden
calcular a partir de la solución fundamental obtenida por Lord Kelvin hace más de un
siglo.
6.3.- Ecuación integral de contorno
Existen diversas maneras de obtener la ecuación integral de contorno. Una de las
técnicas más utilizadas es la de la minimización de los residuos ponderados, la cual por
su planteamiento puramente matemático se puede utilizar para cualquier tipo de
problema que se resuelva: potencial, elástico, etc.
Aquí, sin embargo, vamos a recurrir a una técnica más cercana al ingeniero estructural,
como es el teorema de reciprocidad de Betti.
Dicho teorema establece que si tenemos dos casos de carga A y B del mismo sólido
elástico, el trabajo realizado por las fuerzas del caso A multiplicado por los
desplazamientos del caso B es igual al realizado por las fuerzas del caso B multiplicado
por los desplazamientos del caso A.
Consideraremos como caso A el caso real de cargas sobre el contorno S (tracciones
t) y en el dominio V (fuerzas b) y cuyos desplazamientos denotaremos con u.
El caso B tendrá la misma notación, pero señalada con un asterisco * (t*,b*,u*).
Aplicando el teorema de reciprocidad, tendremos :
V VSS
dVbudstudVubdsut **** (6.1)
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Ahora bien, si se considera el caso de carga B igual al de una simple carga
concentrada en un punto P del dominio V, es decir, utilizando la definición de delta de
Dirac, se tendrá b* = (P) y por tanto la integral de dominio del primer miembro de
(6.1) será
V
PudVub )(* (6.2)
Además si suponemos que el caso real A es debido a presiones o tracciones actuantes
sólo en el contorno S, siendo nulas las fuerzas de propio peso (b=0), la ecuación (6.1)
queda reducida a
SS
dstudsutPu **)( (6.3)
o bien descomponiéndole en sus componentes
Sjij
Sjijji dstudsutPu **)( (6.4)
Esta ecuación es conocida como identidad de Somigliana y proporciona el valor de
la componente i-sima del desplazamiento en un punto interno P en función de los
desplazamientos uj y tracciones tj del contorno del sólido elástico. Los valores
señalados con asterisco (u*j , t*j) son conocidos a partir de la solución fundamental
dada de lord Kelvin u otras análogas.
La identidad de Somigliana (6.3) da el desplazamiento en un punto P interior una vez
que los desplazamientos u y tracciones t en los bordes han sido calculados y, por
tanto, conocidos.
Pero cuando el punto P está situado en el borde, es necesario introducir unos
coeficientes c(P) producidos por el paso al límite de aplicación de la carga puntual
desde el dominio al contorno.
Dichos coeficientes toman valor de 0.5 para bordes suaves y otros valores para puntos
angulosos, de manera que para los nudos de borde la Ecuación de la Integral de
Contorno toma la forma
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SS
dstudsutPuPc **)()( (6.5)
6.4.- Discretización de las ecuaciones de contorno
Para resolver la ecuación (5) se utiliza una técnica numérica cuyos pasos más
importantes se resumen a continuación:
1) El contorno S se divide en una serie de elementos finitos sobre los cuales se
interpolan, mediante las pertinentes funciones de forma, los movimientos y las
presiones o tracciones, cuyos valores en los nudos representan las incógnitas
básicas.
Dependiendo del grado de la interpolación polinómica que se adopte –
constante, lineal, cuadrática, cúbico, cuártico etc. –resultarán elementos de 1,2,
3, 4 ó 5 nudos.
Por ejemplo, si se adoptan elementos cuadráticos de 3 nudos, las funciones de
forma serán:
)1(211)1(
21
32
21 NNN (6.6)
de manera que el desplazamiento u en un punto cualquiera del elemento se
interpolará así:
uNuNuNuNu T332211 (6.7)
donde NT es el vector cuyas componentes son las 3 funciones de forma y u es
el vector que contiene los desplazamientos de los 3 nudos.
La misma interpolación se puede utilizar para la tracción t en cualquier punto:
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tNtNtNtNt T332211 (6.8)
Incluso la geometría del contorno puede ser interpolando con las mismas
funciones (elementos isoparamétricos):
rNrNrNrNr T332211 (6.9)
donde r es el vector con las coordenadas de los nudos.
2) Se aplica la ecuación (6.5) de forma discreta a cada nudo P del contorno y se
obtiene:
NET
NET dJtNudJuNtPuPc
1
1
1
1
**)()( (6.10)
donde J representa el Jacobiano del cambio de variable de integración y NE es
el número de elementos.
En la ecuación anterior los vectores u y t contienen valores de los
desplazamientos y tracciones en los nudos y, por tanto, no varían sobre la
longitud del elemento.
Por ello u y t se pueden extraer de las integrales, con lo que la ecuación
anterior queda así:
NET
NET dJNutdJNtuPuPc
1
1
1
1
**)()( (6.11)
Las integrales anteriores contienen valores conocidos (t*, u*, NT, J) y serán
integradas numéricamente mediante la técnica de Gauss. Además, para los
elementos que contienen al nudo P, la función subintegral es singular, por lo
que se recurrirá a técnicas de integración numérica especiales.
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6.5.- Resolución del sistema de ecuaciones
Si extendemos la ecuación (11) a todos los nudos P del contorno, se obtiene, después
de un proceso de ensamblaje, un sistema de N ecuaciones lineales, que incluyen los N
movimientos u y las N tracciones t en el contorno. De forma compacta este sistema se
puede expresar así
tGuH (6.12)
En el sistema anterior existen N valores conocidos prescritos que corresponden a los
desplazamientos y tracciones que son las condiciones de contorno. Los N valores
restantes de u y t serán las incógnitas a determinar.
Las incógnitas x se encuentran por tanto entre los desplazamientos u del primer
miembro y las tracciones t del segundo. Por tanto, es necesario reordenar el sistema
anterior, transformándose en:
bxA (6.13)
que resulta ser un sistema denso y no simétrico, del que se obtendrán en x las N
incógnitas correspondientes a los desplazamientos y tracciones desconocidas.
6.6.- Solución en los puntos internos del dominio V
Una vez resuelto el sistema anterior, serán conocidos los desplazamientos y tracciones
en todos los nudos del contorno.
Para determinar el movimiento en un punto interior P, basta con aplicar la identidad de
Somigliana (6.3). Las tensiones en dicho punto se hallarán derivando la ecuación
anterior.
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6.7.- Ejemplo : ANALISIS DE OREJETA DE REACTOR
Ilustración 171.- Disposición de tramos del contorno
El programa dispone de unas opciones de generación de nudos y elementos,
dividiendo los contornos en una serie de tramos.
Se consideran 6 tramos, de ellos son circulares los tramos 3, 5 y 6. El tramo 3
(exterior) se numera contra reloj (centro 7). Los tramos 5 y 6 (interior) se numeran a
favor del reloj (centro 7).
En la figura superior las leyendas de los tramos 5 y 6 se han dibujado superpuestas,
por lo que se muestran a continuación los parámetros de los 6 tramos:
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Tramo NET ITI ITJ ITC ITD ITB = BORDE
1 4 1 2 0 1 3 Emp.
2 2 2 3 0 1 0 Libre
3 4 3 4 7 1 0 Libre
4 2 4 1 0 1 0 Libre
5 6 5 6 -7 1 0 Libre
6 2 6 5 -7 1 4 Carga
Cargas: qnI=10.000 qnJ=10.000 qtI= 0.000 qtJ= 0.000
En las figuras siguientes se muestran los apoyos y las cargas actuantes.
Ilustración 172.- Disposición de apoyos y cargas
En este ejemplo se han generado 10 elementos de 5 nudos cada uno (interpolación
cuártica), coincidentes con los contornos rectos y circulares de la orejeta, pues se han
considerado elementos isoparamétricos.
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Ilustración 173.- Discretización del contorno
Ilustración 174.- Deformada
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Ilustración 175.- Tensiones x en el contorno
Ilustración 176.- Tensiones y en el contorno
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Ilustración 177.- Tensiones xy en el contorno
Los resultados obtenidos coinciden con los obtenidos con el programa SAP2000, pero
siendo necesario realizar una discretización de más de 300 elementos simples.
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CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS PÁGINA - 271 -
7.- CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS
7.1.- Conclusiones y aportaciones
A la vista del trabajo realizado, se pueden establecer las siguientes conclusiones:
En la resolución de un problema de continuo mediante el MEF, existen
fundamentalmente dos posibilidades de refinamiento: a) Una mayor discretización
de la malla, y b) Incremento del grado del polinomio de interpolación en cada
elemento. Se comprueba que esta segunda posibilidad, todavía no suficientemente
explotada en la literatura técnica y en la práctica, presenta ventajas
computacionales importantes.
Es posible, en el cálculo de un problema de continuo, conservando una
configuración inicial de la malla en elementos finitos, la sucesiva utilización de
polinomios de interpolación de grados crecientes, que contengan cada uno de ellos
las características de deformación de los anteriores. A este respecto, hay que
señalar que el grado de los elementos de la familia jerárquica que aquí se
desarrolla, se puede elegir de forma arbitraria e introducirle como dato al
programa.
La exigencia de la convergencia monotónica, mediante refinamiento de una malla
(jerarquía de malla), conservando el tipo de elemento, representa importantes
incrementos en el número de grados de libertad.
Por el contrario, los elementos jerárquicos en el grado, permiten obtener resultados
convergentes mediante un suave incremento de los grados de libertad del cálculo.
La ventaja anterior, se manifiesta sobre todo en el caso de geometrías sencillas y
en problemas que involucran fuertes gradientes de las funciones de campo.
Las funciones de interpolación adoptadas para aproximar las funciones de campo y
sus derivadas, son de tipo lagrangiano. Se han desarrollado una serie de algoritmos
que generan tanto las funciones de la base, como la posición y conexión de los
nudos del soporte de la interpolación. Dicha generación se apoya únicamente en la
posición de los 3 vértices del elemento y en el grado adoptado para la
aproximación, debido a lo cual, la entrada de datos es muy sencilla. Aunque los
nudos del soporte se sitúan de manera regular en el interior de cada elemento,
existe la posibilidad de disponerlos en otras posiciones, lo cual puede ser ventajoso
en el caso de concentración de tensiones, fronteras indeterminadas, etc.
El cálculo de las matrices de rigidez, masa y fuerzas del elemento, se realiza por
integración directa. A este respecto hay que indicar que se ha preparado un
algoritmo que permite generar desde el programa la tabla de integrales necesaria
en el cálculo.
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PÁGINA - 272 - CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS
Son precisamente estas características de autogeneración las que permiten utilizar
formas de interpolación de alto grado, que son prácticamente imposibles de
desarrollar por vía analítica dada su gran complejidad.
Se ha realizado una extensiva experimentación numérica, que confirma la bondad y
eficacia de los elementos de alto grado en el estudio de problemas de clase C0
bidimensionales. Dicha experimentación se ha extendido a distintos problemas de
continuo, cuya resolución es de interés en diversas ramas de la ingeniería.
Utilizando un número mínimo de elementos, se han obtenido resultados con gran
precisión tanto en las funciones de campo como en sus derivadas. Los recursos
informáticos utilizados se han limitado al entorno de los ordenadores personales.
Se han superado con éxito diversas pruebas de condicionamiento numérico, como
factores de forma, rigideces diferenciales acusadas, problemas de equilibrio crítico,
etc.
Bajo cargas puntuales y repartidas, el orden de aproximación obtenido con los
elementos de alto grado aquí desarrollados, ha sido análogo.
Sin embargo, los elementos analizados, son especialmente sensibles al reparto de
cargas en los nudos. En general, resulta imprescindible introducir de forma
consistente tanto las fuerzas de superficie como las de volumen. A este respecto
hay que señalar, que en este trabajo se ha desarrollado la formulación necesaria
para la distribución nodal equivalente a diversas distribuciones de carga. Asimismo,
el elevado grado de deformabilidad que pueden aproximar estos elementos, exige
un respeto especial a las condiciones de contorno.
Una característica a destacar de todos los ejemplos analizados, es el gran ancho de
banda de los sistemas en que se discretiza el continuo. Ello es debido al reducido
número de elementos utilizado, lo cual conduce a que prácticamente todos estén
interconectados entre así. El ancho de banda relativo, disminuye sensiblemente al
utilizar mallas más tupidas de elementos.
Si bien en teoría el grado del polinomio interpolante puede ser tan alto como se
desee, en la práctica está limitado por la capacidad del sistema informático
utilizado. En el caso de utilizar ordenadores personales se recomienda como
máximo llegar a un grado igual a siete. Además la doble precisión con que se
tratan las variables -en estos ordenadores- no puede soportar variaciones
polinómicas de grado superior a diez, sin que se produzcan importantes ruidos
numéricos. Dado que las posibilidades de los ordenadores personales mejoran y
evolucionan, no solamente en capacidad de memoria real y periférica, sino y sobre
todo, en longitud de palabra, esto permitirá el análisis de extensas mallas de muy
alto grado. Es por esto por lo que nos atrevemos a afirmar que los elementos
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CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS PÁGINA - 273 -
finitos de alto grado aquí desarrollados, son unos elementos con una perspectiva
interesante.
7.2.- Futuros desarrollos
De las conclusiones y aportaciones obtenidas de la realización de este trabajo, se
deducen las siguientes direcciones abiertas a la investigación, que confirman las
amplias posibilidades de los elementos finitos de grado arbitrario:
Extender la familia de elementos jerarquizados, al caso tridimensional. Dicha
extensión, supone un sencillo ajuste de dimensiones en la formulación y
programación desarrollada.
Extender la aplicación de los elementos aquí analizados a otros problemas de clase
C0, como el de la flexión de placas según la teoría de Reissner-Mindlin. En este
último caso, será necesario -probablemente-, sustituir la integración directa que
aquí se presenta, por otra de tipo numérico. De esta manera, y utilizando la técnica
de integración reducida se podrá evitar el mal condicionamiento numérico que se
produciría en el caso de placas muy delgadas.
Formulación de una familia de elementos de transición, entre los correspondientes
a los distintos grados de interpolación. Dichos elementos se confeccionarán de
manera que aseguren la continuidad de la función de campo a lo largo de sus
fronteras con los elementos vecinos. Esta familia junto a la aquí desarrollada,
permitirá adoptar zonas con distinto grado de aproximación en función de los
gradientes tensionales que en ellas se esperen. Hay que indicar no obstante que
estos elementos de transición solo tendrán sentido en el caso de importantes
aplicaciones industriales que exijan un elevado número de elementos de alto grado.
Las cuestiones típicas del MEF, como son la condensación de los grados de libertad
interiores, elección de los puntos de salida, desarrollo de elementos
isoparamétricos y otras muchas, merecen ser reconsideradas para el caso de los
elementos de alto grado.
Finalmente, indicar que se ha comprobado con un ejemplo la eficacia de los
elementos de contorno lagrangianos de alto grado, por lo que se considera que
merece la pena su desarrollo exhaustivo, con un esquema similar al que se ha
desarrollado en esta tesis.
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PÁGINA - 274 - CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS
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CAPÍTULO 8. REFERENCIAS PÁGINA - 275 -
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WASHIZU, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity. Pergamon Press,
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PÁGINA - 278 - CAPÍTULO 8. REFERENCIAS
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WIDTEMAN, J. A Bibliography for Finite Elements. Academic Press, 1975.
ZIENKIEWICZ, O. El método de los elementos finitos. Ed. Reverté, Barcelona,
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 279 -
APENDICE 1.- LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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PÁGINA - 280 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 281 -
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PÁGINA - 282 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 283 -
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PÁGINA - 284 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 285 -
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PÁGINA - 286 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 287 -
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PÁGINA - 288 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 289 -
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PÁGINA - 290 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 291 -
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PÁGINA - 292 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 293 -
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PÁGINA - 294 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 295 -
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PÁGINA - 296 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 297 -
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PÁGINA - 298 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 299 -
APENDICE 2. LISTADO DEL PROGAMA H_CAMPOS
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PÁGINA - 300 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 301 -
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PÁGINA - 302 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 303 -
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PÁGINA - 304 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 305 -
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PÁGINA - 306 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 307 -
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PÁGINA - 308 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 309 -
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PÁGINA - 310 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 311 -
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PÁGINA - 312 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 313 -
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PÁGINA - 314 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 315 -
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PÁGINA - 316 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 317 -
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PÁGINA - 318 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS
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APÉNDICE 3. INTEGRACIÓN Y SOPORTE PÁGINA - 319 -
APENDICE 3. INTEGRACION Y SOPORTE
Cálculo de la integral extendida a un dominio triangular
Ilustración 178.- Dominio Triangular
El dominio A resulta de la suma de los tres dominios limitados por los lados del
triángulo y el eje OX. Utilizando las reglas de la permutación circular (i=1 a 3; j=i+ 1;
K=j+ 1 ), se tiene:
3
1
111
0
3
1)(
11yx
11
i
x
x
nxmy
i
k
x
dxnxmxdyydxxdydxk
j
x
j
Según la fórmula del binomio:
1
0
111
111 )()(
r
ri
rr nxmCnxm
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PÁGINA - 320 - APÉNDICE 3. INTEGRACIÓN Y SOPORTE
resulta
3
1
1
0
1111
1yxi r
x
x
rri
ri
r dxxnmCdydxk
j
y en definitiva:
1
0
3
11 )(
11yx
r ijk
rii
r xxnmCdydx
con
)!1(!)!1(
12
1 rrC
rr
r
Coordenadas de los nudos del elemento
Partiendo de las coordenadas (x1,y1), (x2,Y2), (x3,y3) de los vértices del triángulo, las
coordenadas de un nudo K del soporte, se obtienen mediante el siguiente algoritmo.
i = 1, nG+1
l1 = (nG+i-1)/nG, l3=0, K = S(i-1)
j = 1,i
l3 = (j-1)/ nG, l2 = 1- l1-l3
x(K) = x1l1+x2l2+x3l3
y(K) = y1l1+y2l2+y3l3
Los nudos resultan regularmente espaciados dentro del elemento.
Existe, no obstante, la posibilidad de disponer los nudos del soporte según otras
configuraciones.
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 321 -
APENDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
Para verificar las grandes posibilidades de los elementos triangulares de alto grado que
se desarrollan en esta tesis, incluimos este apartado con elementos lineales (1D), con
interpolación lagrangiana y con grados de interpolación creciente.
La solución teórica exacta de una barra con las características indicadas en la figura
siguiente y sometida a una carga axial lineal se presenta a continuación.
Ilustración 179.- Ejemplo elasticidad monodimensional
Del equilibrio del elemento diferencial
0)( dxxqAdxd
(A4.1)
donde q(x) es la carga axial por unidad de longitud.
Por tanto, la ecuación diferencial en tensiones será
L
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PÁGINA - 322 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
Axq
dxd )(
(A4.2)
Teniendo en cuenta la relación cinemática y la condición constitutiva siguientes
)()(
)(
xExdxdux
(A4.3)
resulta la ecuación diferencial de equilibrio en término de desplazamientos
02
2
Axq
dxudE (A4.4)
cuya integración es inmediata teniendo en cuenta las condiciones de contorno
siguientes
naturalcondiciónLuELELesencialcondiciónu
0)(')()(0)0(
(A4.5)
resultando la solución en desplazamientos
)3(6
)( 32 xxLAE
qxu (A4.6)
y por derivación se obtiene el campo de tensiones
)(2
)( 22 xLA
qx (A4.7)
Los valores resultantes en el extremo libre y en el apoyo serán
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 323 -
33333.03
)(3
AELqLu
5.02
)0(2
ALq
Una vez obtenido el resultado exacto, se realiza un análisis, discretizando la barra en
diversas configuraciones de elementos sencillos de 2 nudos y utilizando elementos de
grados de interpolación crecientes, con objeto de establecer una comparativa entre los
mismos.
Los casos estudiados, tal y como se muestra en la siguiente figura, son:
Caso 1: 1 elemento de 2 nudos
Caso 2: 2 elementos de 2 nudos
Caso 3: 3 elementos de 2 nudos
Caso 4: 4 elementos de 2 nudos
Caso 5: 5 elementos de 2 nudos
Caso 6: 6 elementos de 2 nudos
Caso 7: 7 elementos de 2 nudos
Caso 8: 1 elemento de 3 nudos
Caso 9: 2 elementos de 3 nudos
Caso 10: 3 elementos de 3 nudos
Caso 11: 1 elemento de 4 nudos
Caso 12: 1 elemento de 5 nudos
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PÁGINA - 324 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
Ilustración 180.- Discretización de los distintos casos
Los casos 1 a 7 se resuelven con elementos finitos sencillos y los casos 8 a 11 con
elementos finitos de alto grado.
En base a los resultados recogidos en este apéndice, se elabora una tabla resumen de
los mismos.
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
Desplazamiento umax 0.250 0.312 0.324 0.328 0.33 0.331 0.332 0.333 0.333 0.33 0.33 0.33
Tensión máxima max 0.250 0.437 0.472 0.484 0.49 0.493 0.495 0.521 0.501 0.50 0.50 0.50
Tabla 7.- Desplazamientos y tensiones según distinta discretización
Como se puede verificar en la tabla anterior, para llegar al desplazamiento teórico
(umax=0.33), es necesario disponer de al menos 5 elementos simples de dos nudos, sin
embargo el estado tensional no llega con precisión suficiente (respecto al teórico de
max=0.50) hasta que se disponen 9 elementos de 2 nudos.
En el caso de los elementos de alto grado, tenemos que aproximamos el
desplazamiento en el caso 8 (1 elemento de tres nudos) y la tensión máxima la
aproximamos en el caso 9 (2 elementos de 3 nudos).
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 325 -
Con este sencillo planteamiento nos podemos hacer una idea de la ventaja de emplear
elementos de alto grado.
A continuación se incluyen los listados de resultados correspondientes a cada uno de
los casos contemplados.
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PÁGINA - 326 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 327 -
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PÁGINA - 328 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 329 -
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PÁGINA - 330 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 331 -
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PÁGINA - 332 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 333 -
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PÁGINA - 334 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 335 -
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PÁGINA - 336 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL
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APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 337 -
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PÁGINA - 338 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL