Introducción al método de los Introducción al método de los elementos finitos aplicado al análisis elementos finitos aplicado al análisis estructural.estructural.Fundamentos del método y aplicación a barras traccionadas o comprimidas

Bibliografía recomendada:Bibliografía recomendada:El Método de los Elementos

Finitos aplicado al análisis estructural. Manuel Vázquez, Eloísa López. Ed. Noela 2001. ISBN: 9788488012067

Cálculo de Estructuras por el Método de los Elementos Finitos. Análisis elástico lineal. Eugenio Oñate. Ed. UPC 2004. ISBN: 9788487867002

Características básicas del M.E.F.Características básicas del M.E.F. Es una generalización del método matricial Discretiza la estructura en ELEMENTOS

(trozos) Los elementos contienen puntos llamados

NODOS (generalmente en los bordes) Los elementos que comparten nodos están

unidos. En cada nodo tendremos unos determinados

GRADOS DE LIBERTAD que definen el estado del mismo.

Los grados de libertad en un análisis estructural simple (nuestro caso) se corresponden con DESPLAZAMIENTOS y/o GIROS de los nodos.

OBJETIVO: conocer los resultados en los G.D.L. de los nodos para así saber cómo se deforma la estructura.

División en elementos finitosDivisión en elementos finitosModelización: dividimos la estructura en elementos.

◦ Se consideran las cargas en los nodos (si no lo están, deben trasladarse a los nodos mediante simplificaciones)

◦ El método calcula de forma exacta resultados en los nodos. Los resultados intermedios se obtienen a partir de estos por aproximaciones.

◦ A mayor número de elementos mayor número de nodos y, por tanto, mayor precisión en el cálculo.

◦ En las zonas con cargas concentradas o donde se prevea concentración de tensiones se discretiza en un mayor número de elementos.

Tipos de elementos finitosTipos de elementos finitos

Elementos unidimensionales◦ En estructuras son elementos tipo barra.

Elementos bidimensionales◦ En estructuras son elementos planos

cuadrilaterales o triangulares. Elementos tridimensionales

◦ En estructuras son elementos tetraédricos, hexaédricos o prismáticos.

Los nodos no tienen por qué estar solamente en los vértices. Puede haber en los lados y en el interior del elemento ◦ Esto implica más complejidad en el estudio del

elemento En cada nodo puede interesarnos considerar

uno o varios grados de libertad.◦ Recordemos: los grados de libertad en problemas

estructurales simples son desplazamientos y/o giros de los nodos.

◦ A menor número de G.D.L. más simple es el problema.

Nodo

Cuadrilateral

Hexaédrico

Vector desplazamientos del elemento: Vector desplazamientos del elemento: {{uuee}} Los desplazamientos de las zonas situadas entre nodos

se obtienen de forma aproximada. Para trabajar con dichos desplazamientos debemos:

1. Escribirlos en función de los parámetros nodales (desplazamientos) en los grados de libertad de los nodos.

2. Decidir cómo supondremos que varían esos desplazamientos en la zona entre nodos.

La forma que seleccionemos irá implícita en una matriz llamada matriz de aproximación o matriz de funciones de forma [Ne]

Así, conociendo el vector de los parámetros nodales o desplazamientos de los nodos del elemento {δe}:

e e eu N

Vector de desplazamientos del elemento

Matriz de funciones de forma del elemento

Desplazamientos nodales del elemento

Funciones de forma NFunciones de forma Nii unidimensionalesunidimensionales Tomamos como ejemplo un elemento de

longitud L que sólo puede estar sometido a tracciones o compresiones (barra biarticulada, p. ej.)

Consideramos que los únicos grados de libertad son los desplazamientos axiales u1 y u2 (la barra sólo puede alargarse o acortarse).

El desplazamiento axial u(x) de un punto cualquiera del elemento puede expresarse con una función de aproximación: u(x)=ax+b

La elegida es una función lineal (polinomio de primer grado), pero puede haber otros casos en los que interese utilizar funciones cuadráticas (2º grado), cúbicas (3er grado), etc.

Los coeficientes a y b de esas funciones de aproximación pueden escribirse dependiendo de u1 y u2. Ya que:◦ u1=u(0) y u2=u(L)

Nodo1 Nodo2

Elemento 1-2

u1 u2

L

x

0u(x)

Lineal : u(x)=ax+bCuad. : u(x)=ax2+bx+c

Cúb.: u(x)=ax3+bx2+cx+d

11

2 12

(0) ·0

( ) ·

b uu u a b

u uu u L a L b a

L

Funciones de forma NFunciones de forma Nii unidimensionales (II)unidimensionales (II) Cuando tenemos los coeficientes a, b de las funciones de

aproximación escritos en función de los desplazamientos de los nudos u1, u2 puede escribirse la función de aproximación de desplazamientos u(x) como:

A las funciones que van multiplicadas por los parámetros nodales (desplazamientos u1 y u2) se les llama funciones de forma. En este caso, son:◦ N1=1-x/L◦ N2=x/L

Así, la función de aproximación de desplazamientos puede escribirse: u(x)=N1·u1+N2·u2

Lo que se puede escribir en forma matricial:

Que es la expresión buscada:

2 111 1 2

2 1

( )

( ) 1

u x ax b

u u x xb uu x x u u u

L L Lu ua

L

11 2

2

( )u

u x N Nu

e e eu N Vector de desplazamientos del elemento

Matriz de funciones de forma del elemento

Desplazamientos nodales del elemento

= x

1

2

( ) 1ux xu x L L u

Interpretación gráfica de las funciones Interpretación gráfica de las funciones de formade forma Las funciones de forma de un elemento son polinomios que tienen

un valor unidad en el nodo correspondiente y un valor 0 en el resto.

x

1N1

0 L

u1=1 u2=0

L

x

0u(x)

u(x)

x

x

1 N2

0 L

u1=0 u2=1

L

x

0u(x)

u(x)

x

Las función de forma Ni determina cómo son los desplazamientos en un punto cualquiera del elemento (x) cuando el desplazamiento del nodo i es 1 y 0 el del resto de los nodos.

En el ejemplo presentado usamos una función de aproximación lineal, es decir, se supone que el desplazamiento axial u de los puntos del elemento varía linealmente entre los nodos. Esto es exacto para elementos comprimidos o traccionados uniformemente.

FF

Funciones de forma de elemento Funciones de forma de elemento cuadráticocuadrático Cuando un elemento tiene nodos entre

los extremos decimos que se trata de un elemento de grado superior.

Si continuamos con el caso simple de barras que sólo pueden estar sometidas a tracciones o compresiones, podemos pensar en un elemento con 3 nodos.

Como se dijo, las funciones de forma de un elemento son polinomios que tienen un valor unidad en el nodo correspondiente y un valor 0 en el resto.

Nodo1 Nodo3

Elemento 1-2-3

Nodo2

x

1

N1

0 LL/2

u1 u3

x3=L

xx1=0

u(x) u2

x2=L/2

x

1N2

0 LL/2

x

1N3

0L

L/2

Las funciones de forma pueden obtenerse mediante la siguiente aplicación de los polinomios de Lagrange:

j

ii j i j

x xN

x x

Es un polinomio de valor 1 en el nodo i y 0 en el resto de nodos

Funciones de forma de elemento Funciones de forma de elemento cuadrático (II)cuadrático (II) N1: buscamos un polinomio que tenga valor 1 en el nodo 1 y

valor 0 en los nodos 2 y 3.

N2: buscamos un polinomio que tenga valor 1 en el nodo 2 y valor 0 en los nodos 1 y 3.

N3: buscamos un polinomio que tenga valor 1 en el nodo 3 y valor 0 en los nodos 1 y 2.

Un elemento cuadrático como este implica que las deformaciones axiales varían de forma parabólica entre los nodos. Esta suposición es exacta en barras con carga axial distribuida uniformemente.

1N1

0 L/2 L

2 3

1 21 2 1 3

12 20 02

Lx x Lx x x xN x L x L

Lx x x x LL

1 3

2 22 1 2 3

0 4

02 2

x x x x x x LN x x L

L Lx x x x LL

1N2

0 LL/2

1 2

3 23 1 3 2

0 12 20 2

Lx xx x x xN x x L

Lx x x x LL L

1N3

0 LL/2

Ejemplo: barra sometida a su peso propio. q=cte=A.

A

R

q

Funciones de forma de elementos de Funciones de forma de elementos de grado n-1grado n-1 Si trabajamos con cargas aún más complejas en barras

sometidas a tracciones y compresiones hay que utilizar elementos de grado superior.

Ejemplo: Obtener las funciones de forma de un elemento lagrangiano de cuatro nodos.

u1 u3

u2

L/3

u3

L/3 L/3

1

23 3

20 0 03 3

L Lx x x LN

L L L

2

20 3203 3 3 3

Lx x x LN

L L L L L

3

0 32 2 203 3 3 3

Lx x x LN

L L L L L

4

20 3 320 3 3

L Lx x xN

L LL L L

N1

N2

N3

N4

Mediante los polinomios de Lagrange se obtienen funciones cúbicas.

Condición de polinomio completo de Condición de polinomio completo de u(x)u(x)Recordemos que:

Las funciones de desplazamientos que se obtengan deben ser un polinomio completo (debe contener todos los términos de grado inferior). P. ej.: ax2+c no es polinomio completo, falta el término en x. P. ej.: ax3+cx+d no es polinomio completo, falta el término en

x2. El grado de las funciones de desplazamientos es el grado de

las funciones de forma Ni.

Si se omite algún término puede que no se alcance la solución exacta aunque se utilice un polinomio de grado elevado.

e e eu N Vector de desplazamientos del elemento

Matriz de funciones de forma del elemento

Desplazamientos nodales del elemento

= x

Obtención de la matriz de rigidez Obtención de la matriz de rigidez elemental [kelemental [kee] ] La matriz de rigidez para un elemento se obtiene aplicando:

◦ El Principio de los Trabajos Virtuales. (Ppio. Despl. Virt.)◦ Las ecuaciones de Compatibilidad y Comportamiento.

El Principio de los trabajos virtuales (PDV). Aplicación general:◦ Tenemos un sistema real de fuerzas en equilibrio sobre el

elemento: {Pe} aplicadas en los nodos {qe} distribuidas en su volumen {pe} distribuidas en su superficie.

◦ En ese sistema real habrá unas tensiones reales {}◦ Consideramos un sistema virtual de desplazamientos

compatibles con las condiciones del contorno: {δe}* desplazamientos nodales {ue}* desplazamientos entre nodos

◦ En ese sistema virtual habrá unas deformaciones virtuales * relacionadas con los desplazamientos.

◦ PTV Trabajo virtual externo=Trabajo virtual interno

*

P p

q

Obtención de [kObtención de [kee] (II): planteamiento ] (II): planteamiento del PTVdel PTV PTV Trabajo virtual externo=Trabajo virtual

interno◦ Trabajo virtual externo: las fuerzas externas reales

realizan trabajo sobre desplazamientos virtuales.

Usando las funciones de forma: {ue}=[Ne]{δe} Aplicando la relación ([a][b])T=[b]T[a]T

{ue} T={δe}T[Ne]T , por tanto también: {ue*}

T={δe*}T[Ne]T

◦ Trabajo virtual interno: las tensiones reales realizan trabajo sobre las deformaciones virtuales.

* * *( )

e e

T T T

e ext e e e e e e e e

V S

W P u q dV u p dS

*(int)

e

T

e e

V

W dV

* * *( )

e e

T T TT T

e ext e e e e e e e e e e

V S

W P N q dV N p dS

*

P p

q

Obtención de [kObtención de [kee] (III): condiciones [] (III): condiciones [∂∂] y ] y [[DD]] Uso de las condiciones de compatibilidad y comportamiento.

◦ Las condiciones de compatibilidad relacionan las deformaciones y los desplazamientos. Las simbolizaremos como [∂]

◦ Las condiciones de comportamiento son las que relacionan tensiones y deformaciones (leyes de Hooke en elasticidad). Las simbolizaremos como [D]

Si aplicamos estas condiciones en el We(int)

A [∂][Ne] le llamaremos matriz de deformación del elemento [Be]◦ Y como: [Be]T=([∂][Ne])T= [Ne]T[∂]T

eu

D

* * **

(int)

*(int) · ·

e

e

T T TT T TT e e e

e e

V e e e

T T T

e e e e e e

V

u NW dV

D D u D N

W N D N dV

*(int)

e

T T

e e e e e e

V

W B D B dV

Obtención de [kObtención de [kee] (IV): ecuación final] (IV): ecuación final Igualando trabajos externos e internos:

Eliminando de los dos términos {δ*e}T:

que es la ecuación matricial de equilibrio del elemento.

* * * *

e e e

T T T TT T T

e e e e e e e e e e e e e e e

V S V

P N q dV N p dS B D B dV

·e e e

T T T

e e e e e e e e e e e

V S V

P N q dV N p dS B D B dV

Fuerzas en nodos Fuerzas de

volumen trasladadas a

nodos

Fuerzas de superficie

trasladadas a nodos

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO

Desplazamientos en los

nodos

ee eF k

Cálculo matricialCálculo matricialUna vez obtenidas las matrices de rigidez

elementales y trasladadas las fuerzas a los nodos se trabaja del mismo modo que en cálculo matricial de estructuras:◦ Se han de pasar las matrices de los elementos y los vectores

de fuerzas o desplazamientos a coordenadas globales. Se usa la matriz de rotación [R] para las submatrices de la matriz

de rigidez.

◦ Se debe ensamblar la matriz de rigidez global [K0] uniendo las diferentes matrices elementales.

◦ Se resuelve el sistema de ecuaciones resultante.

xy

x'

y’

1

2

u’1

u’2

cos

cos

senR

sen

e eG LF R F

e eG LR

También se usa la matriz [R] para cambiar el sistema de referencia

en vectores

00 0F K

Resumen del métodoResumen del método1. Discretizar la estructura en elementos2. Obtener la matriz de funciones de forma [Ne]

◦ Funciones que tienen valor 1 en el nudo correspondiente y 0 en el resto.

3. Identificar las condiciones de◦ Compatibilidad [∂]: que relacionan deformaciones y

desplazamientos de los elementos. ◦ Comportamiento [D]: que relacionan tensiones y

deformaciones. Ley de Hooke en casos elásticos.

4. Obtener la llamada matriz de deformación del elemento [Be]

5. Obtener la matriz de rigidez del elemento [ke]

6. Pasar las matrices de rigidez elementales a coordenadas globales si es necesario

7. Ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura.8. Obtener el vector de fuerzas {Fe} a través de las fuerzas

en los nodos equivalentes a las cargas distribuidas de volumen qe o de superficie pe. Considerando los diferentes vectores de fuerzas elementales se obtiene el global {F0}

9. Resolver la ecuación matricial para obtener los desplazamientos de los nodos y las reacciones.

eu

D

e eB N

e

T

e e

V

e B D B Vek d

e

e

e

T

e e e

V

T

e e e

S

e

P

N q dV

N p dS

F

00 0F K

Ej. de aplicación a barra comprimida Ej. de aplicación a barra comprimida (1)(1) Tenemos una barra con tres secciones

diferentes sometida a una compresión P y a su peso propio (densidad ). Obtener la reacción correspondiente y el desplazamiento de los puntos donde hay cambio de sección.

1. Discretizar en elementos. Tomaremos 3 elementos, uno para cada tramo (I, II y III).

2. Obtener las funciones de forma. En este punto hay que tomar una decisión sobre el tipo de funciones de aproximación a usar. Si utilizamos funciones de aproximación lineales:

P=2Ah

A

2A

4A

hh

h

x

1N1

0 L

u(x)

xx

1 N2

0 L

u(x)

x

Para un elemento, N1 es la función lineal de valor 1 en el 1er nodo y valor 0 en el 2º.

Para un elemento, N2 es la función lineal de valor 0 en el 1er nodo y valor 1 en el 2º.

j

ii j i j

x xN

x x

1 10

x L xN

L L

2

0

0

x xN

L L

Usando polinomios de Lagrange:

I

II

III

Ej. de aplicación a barra comprimida Ej. de aplicación a barra comprimida (II) (II) 3. Identificar las condiciones de

compatibilidad: [∂] como las barras sólo pueden sufrir deformaciones longitudinales, la única condición de compatibilidad que influye en nuestro problema es:

x

u

x

e x

uu

x x

3. Identificar las condiciones de comportamiento: [D] Como las barras sólo pueden tener tensiones y deformaciones en la dirección longitudinal las leyes de Hooke que definen el comportamiento se resumen en:

xx E

·x xD E D E

Ej. de aplicación a barra comprimida Ej. de aplicación a barra comprimida (III) (III) 4. Obtener la matriz de deformación del elemento[Be] a partir

de las condiciones de compatibilidad y las funciones de forma

1 2

1 1 11 1 1e e

x xB N N N

x x L L L L L

5. Obtener la matriz de rigidez del elemento[ke] a partir de la matriz anterior y la matriz de comportamiento

2

1 1 11 1· · 1 1 ·

1 1 1

1 11 1

e

T ee e e

V L L

e

ee

EAB D B dVe E A dx

Lk dx

L L

EAkL

Considerando una sección Ae y un material E constante para cada elemento, ambos salen de la integral.

dVe=Aedx, así ya podemos integrar para la longitud L del elemento.1 1

1 1IIIk EAh

1 121 1IIk EA

h

1 141 1I

EAh

k

I

II

IIIP=2Ah A

2A4A

hh

h

Particularizando para cada uno de los tres elementos del modelo tenemos tres matrices elementales:

Ej. de aplicación a barra comprimida Ej. de aplicación a barra comprimida (IV) (IV) 6. Pasar a coordenadas globales las matrices de rigidez

elementales: en este caso no es necesario este paso puesto que en el problema planteado sólo nos interesa una coordenada que es la dirección del eje de la barra.

I

II

III

x7. Ensamblar la matriz de rigidez total de la estructura:

4

3

2

1

1 21

2

1 1

1 1

4I

EAkh

2 32

3

1 1

1 1

2II

EAh

k

3 43

4

1 1

1 1III

EAh

k

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1

2 2

3 3

4 4

0

4 4 0 0 4 4 0 0

4 4 2 2 0 4 6 2 0

0 2 2 1 1 0 2 3 1

0 0 1 1 0 0 1 1

EA EAh

Kh

Ej. de aplicación a barra comprimida Ej. de aplicación a barra comprimida (V) (V) 8. Obtener el vector de fuerzas equivalentes en cada

elemento: se ensamblarán posteriormente obteniendo el vector de fuerzas nodales de toda la estructura.

2

111 11 1

22 2

2

4412 2

0 0 44 22

I

I

I IT

Le I

L

P hx AhA h RR R hLF A dxx Ahhd AL

FN A x

h

22

33

2 20 2 20 22

22

II

IIT

e II

I

L

I

P A h Ah

FAhA hN d

FA x

e

e

e

T

e e e

V

T

e e e

S

e

P

N q dV

N p dS

F

33

44

0 2 22

22 2

III

IIIT

e III

II

L

I

P Ah Ah

FAh Ah Ah

N A dx Ah

F

11

2

0 3

4

2

3

3

25

2

R Ah

Ah

Ah

A

F

h

Puede observarse que cuando tenemos carga uniformemente repartida el total de las carga en cada elemento (AeL) se reparte por igual entre los nodos.

Ae

AeL/2

AeL/2

L

Reacción en el nodo 1 (incógnita)

Fuerza puntual en el nodo 4

Ej. de aplicación a barra comprimida Ej. de aplicación a barra comprimida (VI) (VI) 9. Resolver la ecuación matricial para obtener los

desplazamientos de los nodos y las reacciones.

00 0F K Para resolver suele diferenciarse entre grados de libertad libres (en los que desconocemos el desplazamiento) y restringidos (donde desconocemos las reacciones).

LL LR

RL RR

L LL L LR R

R

L

RL L R

L

R RR R

K K F K K

K F K KK

F

F

I

II

III

4(L)

3(L)

2(L)

1(R)

De manera que si los desplazamientos de los grados de libertad restringidos son 0 (como en este caso). Se puede usar la matriz reducida de los grados de libertad libres [KLL] para obtener los desplazamientos nodales desconocidos {δL}.

2 3 4

2

3

4

12

3

4

2

3

4

26 2 0

2 3 1

0 1 1

3

3

25

2

1,753,756,25

L LL LLLL L K F

Ah

Ah EAK

u

u

u

Fh

Ah

hE

1

2

12 4 0 0

1,753,75 96,25

R RL L

EAF K R Ah

h

h R AhE

Una vez calculados los desplazamientos nodales incógnita se pueden calcular las reacciones.

Ej. de aplicación a barra comprimida Ej. de aplicación a barra comprimida (VII) (VII)

2

3

4

21,753,756,25

u

u

u

hE

Una vez calculados los desplazamientos nodales incógnita se pueden calcular las funciones de desplazamiento que nos darán los desplazamientos para los puntos que no son los nodos de acuerdo a las funciones de forma: {ue}=[Ne]{δe}.

2

11 2

2

0( ) 1 1,75

1,75I

u h hx xu x N N xh hu E E

2 2

21 2

3

1,75( ) 1 1,75 2

3,75II

u h h hx xu x N N xh hu E E E

2 2

31 2

4

3,75( ) 1 3,75 2,5

6,25III

u h h hx xu x N N xh hu E E E

Como en este caso calculamos las funciones de forma sólo para un elemento genérico cuyo primer nodo tenía una coordenada x=0 deberemos entender los resultados del mismo modo. Es decir, en x=0 estará el primer nodo y x=h estará el segundo nodo

xx=0

x=h

Ej. de aplicación a barra comprimida Ej. de aplicación a barra comprimida (VIII) (VIII) Después de obtener las funciones de desplazamiento pueden obtenerse las

tensiones aplicando las ecuaciones de compatibilidad y de comportamiento.

· ( )·

·

e xx

x x

du u x du

dx Edx

D E

xx=0

x=h

Como antes, se considera para cada elemento que en x=0 está el primer nodo y x=h está el segundo nodo

2

2

· · 1,75 1,75

· · 1,75 2 2

· · 3,75 2,5 2,5

Ix I

IIx II

IIIx III

du d hE E x h

dx dx E

du d h hE E x h

dx dx E E

du d h hE E x h

dx dx E E

I

II

III

-1,75h

-2h

-2,5h

P=2Ah

A

2A

4A

hh

h

Tensiones x

Como vemos, en este caso utilizar funciones de forma lineales supone una simplificación que no da la solución exacta, puesto que intuitivamente se ve que las tensiones debieran ser variables en cada tramo debido al peso propio.

Estructuras articuladas:[kEstructuras articuladas:[kee]]

xy

x'

y’

1

2

u’2v’

2

u’1

v’1

Si en lugar de considerar únicamente barras aisladas sometidas a tracción y compresión consideramos una estructura de barras con nudos articulados y cargas en los nudos:◦ Las barras sólo podrán tener esfuerzos normales

(tracción o compresión)◦ Cada barra puede discretizarse en un elemento de dos

nodos si no hay cargas distribuidas sobre ellas.◦ Como vimos en el ejemplo, la matriz de rigidez

elemental en coordenadas locales para el elemento con 2 grados de libertad longitudinales u será:

◦ Sin embargo, en la estructura articulada los nodos también pueden desplazarse en la dirección transversal (grados de libertad v), por tanto hay que añadir esos “huecos” en la matriz de rigidez en locales.

1 11 1

e

LekEAL

xy

x'

y’

1

2

u’1

u’2

1 1 2 2

1

1

2

2

' ' ' '

'

'

'

'

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

u v u v

u

ev

u

v

LeAk EL

La matriz de rigidez elemental debe ser de dimensión nxn siendo n el número de grados de libertad que se consideren en el elemento.

Estructuras articuladas: cambio de Estructuras articuladas: cambio de base. base. Dado que en general no tiene por qué

coincidir el sistema de referencia local de la barra con el global, habrá que cambiar de base la matriz de rigidez con ayuda de la matriz de rotación [R].

La matriz de rotación [R] es válida para cambios de referencia que impliquen 2 g.d.l. Por tanto, las submatrices correspondientes a nodos ij (de 2x2) se cambian de base usando [R] y [R]T

Para cambiar de sistema de referencia la matriz de una barra completa con 2 nodos (4 g.d.l. ) debe utilizarse una matriz mayor (4x4): la matriz de cambio de base [L].

xy

x'

y’

1

2

u’2v’

2

u’1

v’1

cos

cos

senR

sen

cos 0 0

0 cos 0 0

0 0 0 cos

0 0 cos

sen

R senL

R sen

sen

2 2

2 2

2 2

2 2

cos ·cos cos ·cos

·cos ·cos/

cos ·cos cos ·cos

·cos ·cos

T

e e eG L

sen sen

sen sen sen senk L k L A E L

sen sen

sen sen sen sen

Así, la matriz elemental en coordenadas globales para una estructura articulada es:

Tij ijG Lk R k R