Colegio Técnico Profesional Profesores: Pamela Rogel C.– Erwin Coronado C. Santa Teresa de los Andes Sector: Matemática Osorno Curso: 1° Medio

Guía de Ejercicios

Tema: El conjunto de los números racionales. A. Expresión fraccionaria: Las operaciones en los racionales: En los números racionales se pueden aplicar las operaciones usuales, es decir, los números racionales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Una propiedad importante que cumplen los números racionales con estas operaciones es que sin importar la operación que se aplique, el resultado obtenido siempre será un número racional. A esta propiedad se le conoce como cerradura, y por lo tanto se dice que el conjunto de los números racionales es cerrado con respecto a estas operaciones.

¿A qué corresponde esta guía?

Esta guía corresponde a la segunda parte de los números racionales y contempla las operaciones en los racionales de acuerdo a su representación fraccionaria.

I. Suma

La relación fundamental en la suma de fracciones es que: a c a cb b b

++ = (* )

Es decir, cuando se tienen dos fracciones de igual denominador, se conserva el denominador y se suman los numeradores. Entonces cuando se tienen fracciones con distinto denominador, podemos utilizar lo anterior junto con la amplificación y obtener el siguiente resultado al sumar dos fracciones:

( ) Amplificando para igualar denominadoresa c ad bcb d bd bd+ = +

luego

( ) Aplicando la relación fundamental en la sumaad bc ad bdbd bd bd

++ = (*)

Es decir a c ad bcb d bd

++ =

Por ejemplo, obtener el resultado de 5 37 8+

( )5 3 5 8 3 7 40 21+ Amplificando cada fracción para igualar denominadores7 8 7 8 8 7 56 56

⋅ ⋅+ = + =

⋅ ⋅

luego

( )5 3 40 21 61 Aplicando la relación fundamental en la suma7 8 56 56

++ = =

Otro método es identificar el mínimo común múltiplo entre los denominadores y realizar la amplificación según este m.c.m. Para obtener este m.c.m. se utiliza la descomposición prima. Veamos un ejemplo

Sumar: 5 3 16 8 4+ +

Obtengamos el m.c.m.(4,6,8) 4 6 8 2 2 3 4 2 luego el . . .(4,6,8) 2 2 2 3 24m c m = ⋅ ⋅ ⋅ = 1 3 2 2 1 3 1 3 1 1 1 24

Luego, se tiene 5 3 1 20 9 6 20 9 6 35 1116 8 4 24 24 24 24 24 24

+ ++ + = + + = = =

1. Determinar el resultado de las siguientes sumas de fracciones utilizando la definición general. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según

corresponda. (Si el resultado es negativo, recuerda que a a a

b b b−

= = −−

)

a. 5 36 6+ = e. 3 2

5 6+ = i. 2 5 1

3 8 2+ + =

b. 4 2 15 6 3

−+ + = f.

132

+ = j. 2 13 25 2+ + + =

c. 257

+ = g. 4 1 2 15 2 5 10

+ + + =

k. 4 35 8

−+ =

d. 8 1 549 4 3

−+ + + = h.

485

+ = l. 5 8 3 74 5 2 6− −

+ + + =

Cuando sumas un entero con una fracción, como en los ejercicios c., f. y h. ¿Qué puedes concluir respecto del tipo de fracción que se obtiene?

2. Determina el resultado de las siguientes sumas de fracciones utilizando el mínimo común denominador. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

a. 4 3

14 7+ = e. 5 2

8 6−

+ = i. 1 6 16 12 18

−+ + =

b. 10 1 13 6 3

− −+ + = f.

8 5 821 7

−−+ + = j. 3 1 11

8 12 6−

+ +

c. 1 4 15 3 2+ + = g. 2 1 1 2

3 9 4 12 + + + =

k. 3 3 38 4 8

− −+ + =

d. 5 4 19 3 12

−+ + = h.

1 1 525 5 6− − − + + + =

l. 2 1 5 4

5 10 12 6− − + + + =

II. Resta

En la resta la relación fundamental solo varía en el signo: a c a cb b b

−− = (* )

De igual forma, respecto de fracciones con distinto denominador, solo varía el signo, quedando la definición para la resta de fracciones como:

( ) Amplificando para igualar denominadoresa c ad bcb d bd bd− = −

luego

( ) Aplicando la relación fundamental en la restaa c ad bdb d bd

−− = (*)

Por ejemplo, obtener el resultado de 2 15 6−

( )2 1 2 6 1 5 12 5 Amplificando cada fracción para igualar denominadores5 6 5 6 6 5 30 30

⋅ ⋅− = − = −

⋅ ⋅

luego

( )12 5 12 5 7 Aplicando la relación fundamental en la resta30 30 30 30

−− = =

1. Determinar el resultado de las siguientes restas de fracciones utilizando la definición

general. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según

corresponda. (Si el resultado es negativo, recuerda que a a a

b b b−

= = −−

)

a. 4 15 6− = e. 16 12

7 6− = i. 3 9 51

7 2 14− − =

b. 5 8 14 3 3− − = f.

3 154 2

− − = j. 1 7 76 12 4

− − − =

c. 4 8 35 50 2− − = g. 4 1 2

5 10 5 − − =

k. 8 6 10 83 9 15 6

− − − − − − =

d. 3 11 57 42 84

−− − = h.

9 5 44 36− − = l. 9 1 3 7

4 3 24 12− −

− − − =

2. Determina el resultado de las siguientes restas de fracciones utilizando el mínimo común denominador. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

a. 3 5

10 10− = e. 3 12

5 6−

− = i. 2 6 14 8 6

− −− − =

b. 9 1 512 8 3

−− − = f.

5 166 4

−

− − = j. 3 2414 7

−− − =

c. 1 3 536 4 8

−− − − − = g. 2 5 2 5

5 6 5 30− − − − − − =

k. 3 1 7 1

8 6 24 12− − − − =

d. 1 3 1 74 5 40 8

− − − = h.

1 6 1 462 4 2 5

− − − − − =

3. Determinar el valor de los siguientes ejercicios combinados de sumas y restas. Utiliza el método que más te acomode y expresa el resultado como fracción mixta en caso que corresponda.

a. 5 3 1 24 4 4 4

−− + + = e. 5 3 1

4 4 4 − +

b. 1 2 516 8 12

+ − − = f. 4 25 1025 50

− − − =

c. 25 5 624 12 5

+ − =

g. 25 5 9 124 12 6 12

+ − + =

d. 5 8 15 45

60 60 30 15− −

− + + − = h. 1 2 1 5 52

13 13 2 26 2 − − − − − + =

III. Multiplicación

Para multiplicar dos fracciones se opera como sigue:

a c a c acb d b d bd

⋅⋅ = =

⋅ (* )

Observa que siempre se tiene que a b ab⋅ = , lo que te servirá cuando estudiemos lenguaje algebraico. También debes tener en cuenta que 1 1a a a⋅ = ⋅ =

Por ejemplo, al obtener el resultado de 3 54 8

−⋅ se tiene

( )3 53 5 154 8 4 8 32

⋅ −− −⋅ = =

⋅

Una observación importante en la operación multiplicación es considerar la simplificación antes de operar. Por ejemplo, si se tiene

. =a c b e d a d acbedad a ab d c d a d e bdcdade⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

b c d d ea b c d d d e

( )= Ordenando y Simplificando ad

Conviene realizar ab

c⋅

db

⋅c

e⋅

dd

⋅a

a⋅ . d

d e( ) Simplificando antes de operar a

d=

Por ejemplo, multipliquemos las fracciones 5 3 5 7 4 3 2.6 4 3 8 5 7 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5 36⋅

47

⋅3

9 48⋅ ⋅

53

⋅7

5.3

9 5 3 36 8⋅ ⋅

= =⋅

52 3

⋅⋅

( )15 Descomponiendo en factores primos168

=⋅

1. Determinar el resultado de las siguientes multiplicaciones de fracciones. Exprese el resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

(Recuerda que 1aa = )

a. 1 85 6⋅ = d. 6 6

12 8−⋅ = g. 4 3 1

7 4 2−⋅ ⋅ =

b. 8 3 15 12 4−

⋅ ⋅ = e. 1 1284 13

−⋅ ⋅ = h. 5 7 1

4 12 5 ⋅ − ⋅ =

c. 20 8 33 10 5⋅ ⋅ = f. 3 1 5

4 6 8 − ⋅ ⋅ − =

i. 1 2 1 30 813 9 15 6 9

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2. Determina el resultado de los siguientes ejercicios combinados. Exprese el resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

a. 4 3 6

5 4 8−

⋅ − = d. 5 3 7 14 5 6 2

−⋅ − ⋅ = g. 7 1 2 3 2

3 4 4 5 3− ⋅ ⋅ − + =

b. 9 1 5 15 2 7 14

− ⋅ − =

e. 5 4 166 3 3

− ⋅ − =

h. 3 1 2 2 125 6 7 3 5 ⋅ + − ⋅ − =

c. 1 3 226 4 5

− −⋅ − ⋅ = f. 5 4 1 2 5

3 6 6 12 4− − − ⋅ − + − =

i. 8 3 1 2 7 19 8 6 3 24 12

− ⋅ − − ⋅ − =

IV. División

Para dividir dos fracciones se opera como sigue: a c a d adb d b c bc

⋅÷ = =

⋅

Debes saber que la división de fracciones, se escribe como sigue: a

a c adbcb d bcd

÷ = =

Por ejemplo, 5 6 5 7 35 1114 7 4 6 24 24

⋅÷ = = =

⋅

1. Determinar el resultado de las siguientes divisiones de fracciones. Exprese el resultado

como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

a. 2 17 6÷ = d. 7 2

13 26÷ = g. 4 3 1

7 4 2−⋅ ⋅ =

b. 6 3 18 8 3−

÷ ÷ = e. 6 8 30

15 12 9−

÷ ÷ = h. 8 5 219 18 3− −

÷ ÷ =

c. 3 1510 5

÷ ÷ = f. 5 2 64 12 12

÷ ÷ − = i. 7 1 4 3

14 2 8 9 ÷ ÷ ÷ =

Operaciones combinadas

Para realizar operaciones combinadas, recuerda que existe una prioridad en las operaciones: -Paréntesis – Potencias –Multiplicación -División - Adición y sustracción de izquierda a derecha También debes recordar que para eliminar paréntesis se opera de adentro hacia afuera y cuando hay un signo negativo delante de un paréntesis, el paréntesis se elimina cambiando los signos interiores

Por ejemplo, determinar el resultado de 5 6 3 7 4 1 14 7 4 3 5 2 4

÷ − + ⋅ ⋅ −

5 6 3 7 4 1 1 35 3 28 2 1 35 3 28 1 35 3 74 7 4 3 5 2 4 24 4 15 4 24 4 15 4 24 4 15

− ÷ − + ⋅ ⋅ − = − + = − + ⋅ = − +

35 3 7 35 45 28 35 73 350 292 58 2924 4 15 24 60 24 60 240 240 120

+ − − + = − = − = = =

1. Determinar el resultado de las siguientes operaciones combinadas. Exprese el resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

a. 2 1 1 3 47 5 2 5 3

− + ÷ − = d. 3 1 2 2 7 14 5 1

5 12 24 3 2 1 3 2− + − ⋅ ÷ − − =

b. 7 1 1232 2 10

− − = e. 5 3 1 2 1 1

8 4 2 3 4 4− − + ⋅ − − =

c. 6 3 1 4 1 58 8 3 6 2 6

− ÷ + − + = f.

20 4 8 2 3 5115 3 9 3 2 4

÷ + − + − =

Fracciones compuestas

El determinar el valor de una fracción compuesta, significa aplicar las operaciones necesarias para que esta fracción se convierta en una fracción simple.

Por ejemplo, determinar el valor a que equivale la fracción compuesta

11 5412 21

3

+

−−

21 5 21 26 26 261 11 5 265 5 5 5 54

1 1 1 1 2 3 1 52 2 22 3 2 1 121 13 3 33

+++

= = = = = = −− −− − −

− −−

1. Determinar el resultado de las siguientes fracciones compuestas. Exprese el resultado

como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

a.

54

4 1=

− c.

6 24 5

115

+=

− e.

243

35

−=

b.

112

5

+= d.

53 113

455

++

=−

f.

41 1241135 114

−+

=+

+−

Taller de evaluación

1.

52 36

+ + =

a. 556

b. 106

c. 256

d. 306

2. 1 1 1 4 12 3 4 3 2 − ÷ ⋅ − =

a. 1− b. 45

− c. 1 d. 45

3. 57 13

2

− =−

a. 6 b. 5 c. 4 d. 45

4. Si el precio de un artículo que es $ 800.000 se aumenta en su cuarta parte, y el nuevo precio se disminuye en su cuarta parte, el precio final es

a. $750.000 b. $450.000 c. $800.000 d. $600.000

5. Tres amigos compraron pescado; Alicia compró los 79

de un kilo, Carlos los 45

de un kilo y Mario los

911

de un kilo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) Alicia compró más pescado que Carlos. II) Mario compró más pescado que Carlos.

III) Alicia compró menos pescado que Mario.

a. Solo I b. Solo II c. Solo III d. Solo II y III

6. Un tambor contiene 40 litros que equivalen a 14

de su capacidad. Entonces, para llegar a los 3

10de

su capacidad hay que agregar

a. 6 litros b. 8 litros c. 48 litros d. 120 litros

7. Si los 70

100 de una cantidad corresponden a 35.000.¿Cuál es la cantidad?

a. 50.000 b. 50.500 c. 40.000 d. 40.500

1 2 3 4 5 6 7 a b c d