AritméticaNúmeros fraccionarios

AritméticaLibro del Maestro

José Luis Moreno ArandaGrupo Mathematiké, SA de CV

Libros ElectrónicosTodos los Derechos Reservados

2006

141Libro del Maestro

Concepto de fracción

Llamamos concepto de fracción a la unidad dividida en un número de partes que son iguales en cantidad, tamaño y forma.

La condición necesaria y suficiente para que un número de partes de una unidad sea fracción de la unidad es que todas sean homogéneas, es decir idénticas en can-tidad, tamaño y forma.

Figura 1.29 Fracciones homogéneas

Concepto de unidad de una fracción

La unidad de una fracción es la totalidad que dividimos en un número de partes. La unidad de una fracción puede ser simple o compuesta.

Llamamos unidad simple al número 1, a cualquier figura geométrica sin impor-tar su tamaño o forma, a cualquier unidad de medición.

Llamamos unidad compuesta a cualquier número natural mayor a 1, a cualquier número fraccionario, a cualquier conjunto formado de una unidad de medición, a cualquier conjunto de figuras geométricas iguales, objetos o personas.

Números FraccionariosPrimer Nivel

Medios, tercios y cuartos

142 Números Fraccionarios

Figura 1.30 Unidad de una fracción

Unidad simple Unidad compuesta

Medios, tercios y cuartos

Las fracciones básicas que el niño, utilizando sus sentidos, debe entender, demos-trar y desarrollar la habilidad para identificarlas y crearlas son: medios, tercios y cuartos.

La representación simbólica, es decir, la notación matemática de una fracción, significa el número de partes que tomamos, del número total de partes en las cuales se ha dividido la unidad.

Figura 1.31 Fracciones básicas y su notación

1 1 112

13

13

13

1212

12

14

14

14

14

A cada mitad le llamamosun medio, una de dos partes,

que se representa como:

13

A cada tercera parte le llamamosun tercio, una de tres partes,

que se representa como:

14

A cada cuarta parte le llamamosun cuarto, una de cuatro partes,

que se representa como:unidadnúmero de partes

unidadnúmero de partes

unidadnúmero de partes

un medio un tercio un cuarto

No importa la forma en la cual dividamos la unidad para formar una fracción, ya que la única condición es que las partes sean iguales.

143Libro del Maestro

Figura 1.32 Diferentes formas de las fracciones básicas

12

12

12

12 1

212

12

12

12

12

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13 1

313

13

14

14

14

14

14

14

14

14 1

414

14

14

14

14

141

414

14

14

14

Rompecabezas de fracciones básicasMaterial didáctico complemento del libro de texto de primer año

El uso de los tres rompecabezas de fracciones básicas permite a los estudiantes entender y demostrar el concepto de fracción, así como desarrollar su ingenio e imaginación:

Figura 1.33 Rompecabezas de fracciones básicas

12

12

12

12

13

13

13

14

1 4

14

14

14

14 1

4

14

1 2

12

13

13

14

14

14

14

14 1

4

1 4

12

14

1 2

13

144 Números Fraccionarios

Juego de fracciones. Medios, tercios, cuartosMaterial didáctico. Juegos de primer nivel

Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante se fami-liarice con el concepto de fracción y entienda y demuestre las fracciones un medio, un tercio y un cuarto.

Las instrucciones para utilizar el material como juego de fracciones se encuen-tran al final de este libro.

Figura 1.34 Juego de fracciones básicas

141

4

14

14

14

1 4

14

1 2

1

13

13

1

11

2

13

13

13

13

14

14

14

14

12

13

145Libro del Maestro

Unidad de una fracción

Recordemos que la condición necesaria y suficiente para que al dividir lo que he-mos definido como unidad forme fracciones, es que todas las partes en la cual se divide sean iguales en cantidad, forma y tamaño.

La principal dificultad que los estudiantes tienen al estudiar el concepto de frac-ción, es no tener muy claro cuál es la unidad que genera las fracciones. Debemos estar seguros que antes de iniciar el estudio de una fracción, hayamos definido claramente a la unidad.

La unidad puede ser simple o compuesta y se define como:

• Un número que no necesariamente debe ser 1.• Un conjunto de objetos.• Cualquier figura geométrica o conjunto de figuras geométricas sin importar su

tamaño o forma.• Una unidad de medición que puede ser diferente de 1.

Quintos, sextos, séptimos y octavos

Para permitir a los estudiantes utilizar sus sentidos, y de esta manera entender y de-mostrar que lo entendido es cierto, utilizamos figuras geométricas conocidas como unidad de las fracciones.

Números FraccionariosSegundo Nivel

Quintos, sextos, séptimos y octavos

146 Números Fraccionarios

Figura 2.35 Quintos, sextos, séptimos y octavos

15

15 1

5

15

15

16

16

16

16

16

16

17

17

17

17

17

17

17 1

8

18

18 1

8181

818

18

15

16

17

unidadnúmero de partes

unidadnúmero de partes

unidadnúmero de partes

un quinto un sexto un séptimo

18

unidadnúmero de partesun octavo

Rompecabezas de fraccionesMaterial didáctico complemento del libro de texto de segundo año

Figura 2.36 Rompecabezas de fracciones

15

16

16

16

16

16

16

18

1 8

18

18

18

18

1 8

18

1 5

15

15

15

15

1 7

17

17

17

17

17

17

15

15

15

15

1 6

16

1 6

16

16

16

17

17

17

1 7

17

17

171

8

18

18

18

18 18

18

18

13

13

13

161 6

16

16

16

16

15

15

15

15

1 5

16

16

1 6

16

16

131

3

13

15

15

15

15

15

16

147Libro del Maestro

Juego de fracciones. Quintos, sextos, séptimos y octavosMaterial didáctico. Juegos de segundo nivel

Este juego tiene como objetivo, que los estudiantes, utilizando sus sentidos e ima-ginación, entiendan y demuestren el concepto de unidad de una fracción, así como también las fracciones: quintos, sextos, séptimos y octavos.

Las instrucciones para utilizar el material como juego de fracciones se encuen-tran al final de este libro.

Figura 2.37 Juego de fracciones

15

15

15

15

16

16

16

1 6

1 6

16

1616

16

17

17

17

1 7

17

17

17

171

7

17

17

17

1 81 8

18

18

18

18

18

18

1

1

1

1 181

6

17

Fracciones de metro

De igual manera que fraccionamos una figura geométrica, también podemos hacer-lo con el metro.

En el caso del metro, la unidad puede ser simple o compuesta.

Unidad simple1 metro = 1 m

Unidad compuesta10 decímetros = 10 dm100 centímetros = 100 cm

148 Números Fraccionarios

Figura 2.38 Fracciones de metro

1 0centímetros1 decímetro

cm2 dm

0 21 2 3 4

56 7 8 9

centímetros cm1 2 3 4

56 7 8 9

3 0centímetros3 decímetros

cm4 dm

0 41 2 3 4

56 7 8 9

centímetros cm1 2 3 4

56 7 8 9

5 0centímetros5 decímetros

cm6 dm

0 61 2 3 4

56 7 8 9

centímetros cm1 2 3 4

56 7 8 9

7 0centímetros7 decímetros

cm8 dm

0 81 2 3 4

56 7 8 9

centímetros cm1 2 3 4

56 7 8 9

9 0centímetros9 decímetros

cm10 dm

0 101 2 3 4

56 7 8 9

centímetros cm1 2 3 4

56 7 8 9

15 m = 2 dm = 20 cm

25 m = 4 dm = 40 cm

12 m = 5 dm = 50 cm

35 m = 6 dm = 60 cm

45 m = 8 dm = 80 cm

55 m = 1 m = 10 dm = 100 cm

Fracciones de hora

Para fraccionar una hora también podemos utilizar como unidad, una simple o una compuesta.

Unidad simple1 hora = 1 hr

Unidad compuesta60 minutos = 60 min

Figura 2.39 Fracciones de hora

060

Mathematiké

1

121

2

3

45

67

8

9

1011

2 3 4 56

78

910

11121314151617

1819

2021

2223

242526272829303132333435

3637

3839

4041

424344

454647484950

5152

535455 56 57 5958

34

hora = 45 minutos

060

Mathematiké

1

121

2

3

45

67

8

9

1011

2 3 4 56

78

910

11121314151617

1819

2021

2223

242526272829303132333435

3637

3839

4041

424344

454647484950

5152

535455 56 57 5958

12

hora = 30 minutos

14

hora = 15 minutos

060

Mathematiké

1

121

2

3

45

67

8

9

1011

2 3 4 56

78

910

11121314151617

1819

2021

2223

242526272829303132333435

3637

3839

4041

424344454647484950

5152

535455 56 57 5958

149Libro del Maestro

Fracciones de minuto

De hecho, fraccionar una hora o un minuto resulta igual, ya que en ambos la unidad compuesta es 60.

Unidad simple1 minuto = 1 min

Unidad compuesta60 segundos = 60 seg

Figura 2.40 Fracciones de minuto

060

Mathematiké

1 2 3 4 56

78

910

11121314151617

1819

2021

2223

242526272829303132333435

3637

3839

4041

424344

454647484950

5152

535455 56 57 5958

34

minuto = 45 segundos

060

Mathematiké

1 2 3 4 56

78

910

11121314151617

1819

2021

2223

242526272829303132333435

3637

3839

4041

424344

454647484950

5152

535455 56 57 5958

12

minuto = 30 segundos

14

minuto = 15 segundos

060

Mathematiké

1 2 3 4 56

78

910

11121314151617

1819

2021

2223

242526272829303132333435

3637

3839

4041

424344454647484950

5152

535455 56 57 5958

150 Números Fraccionarios

Concepto de suma y resta de fracciones

Solamente las fracciones que son del mismo tamaño, es decir, que tienen el mismo denominador, se pueden sumar y restar.

Utilizando el material didáctico, complemento del libro de texto de tercer año, los niños deben entender y demostrar este concepto.

Suma y resta de fraccionesMaterial didáctico complemento del libro de texto de tercer año

Figura 3.53 Demostración del concepto de la suma de fracciones

1 81 8

18

18

18

18

18

1 81 8

18

18

18

18

18+

112

1121

12

1 121 12

112

112

112 1

12

112

1121

12

1 121 12

112

112 1

12

112= + =

3 48 8+ 3 4 7

8 8 8+ =

5 412 12

+ 5 4 912 12 12

+ =

Números FraccionariosTercer Nivel

Concepto de suma y resta de fraccionesClasificación de las fracciones

151Libro del Maestro

Clasificación de las fracciones

Los números fraccionarios o racionales es el conjunto de los números que se expre-san como el cociente de dos números enteros.

Los números fraccionarios se clasifican como:

1. Fracción simple. El numerado y el denominador son números enteros.2. Fracción compleja. El numerador y el denominador a su vez también son

fracciones.3. Fracción propia. El numerador es menor que el denominador.4. Fracción impropia. El numerador es mayor que el denominador.5. Fracción mixta. Un entero con una fracción propia.

Figura 3.54 Clasificación de las fracciones

35

Fracción simple

Fracción simple

15

15 1

5

15

15

16

16

16

16

16

16 2

6

Fracción compleja

3526

Fracción propiaUn entero

18

18

18 1

8181

818

18

88

18

18

18 1

8181

818

18

58

58

58

Fracción impropia138

Fracción mixta

FracciónEntero

138

= 1

= 1 + = 1

Notación de fracción mixta

Si al sumar dos fracciones el resultado es una fracción impropia –el numerador es mayor que el denominador–, es decir, el número de partes que obtenemos es mayor que la unidad, entonces formamos una unidad y utilizamos la notación mixta para expresar el resultado.

Con el material didáctico, complemento del libro de texto, hacemos la demos-tración como se muestra en la figura 3.54.

152 Números Fraccionarios

Notación de fracción mixtaMaterial didáctico complemento del libro de texto de tercer año

Figura 3.55 Demostración de la notación de fracción mixta

116

1161

16116

1 161 16

1 16

116

116

116 1

16

116

116

116116

116

116

116

116 1

16

116

116

116116

116

116

1161

16116

1 161 16

1 16

116

116

116 1

16

116

116

1161

16116

1 161 16

1 16

+ = +

13 916 16

+ 13 9 22 16 6 6 61 116 16 16 16 16 16 16

+ = = + = + =

En matemáticas siempre utilizamos la notación más compacta posible, por eso al expresar una fracción en notación mixta no usamos el símbolo de más, sin embar-go, sabemos que es una suma.

Figura 3.56 En la notación de fracción mixta no usamos el símbolo de más

121 2

141

4

14 1

4

12+1

4

14 1

4+

2 1 1 11 12 2 2 2+ = + =

4 3 3 31 14 4 4 4+ = + =

Procedimiento para expresar fracciones impropias en notación de fracción mixta

El denominador indica el número de partes en las cuales la unidad ha sido dividida, por lo cual, cuando el numerador y el denominador son iguales, sabemos que la fracción representa la unidad.

Expresar una fracción impropia en notación mixta, consiste en representar la fracción como una suma de dos fracciones, una de las cuales representa una o varias unidades, y la otra es una fracción propia, es decir, el numerador es menor que el denominador.

153Libro del Maestro

Figura 3.57 Fracción impropia expresada en notación mixta

18

18

18 1

8181

818

18

18

18

18 1

8181

8

18181

8

18181

818

18

18

18

18 1

8181

818

18

18

18

18 1

8181

818

18

112

112

112

1121

12

1 121 12

112

112

112 1

12

112

112

112

112

1121

12

1 121 12

112

112

112 1

12112

112

112

112 1

12

112

112

112

112 1

12

112

Fracción impropia

Fracción propia

Fracción mixta

1 unidad

Entero1212

512

512

512

1712 = + = 1 + = 1

= +

= +

Fracción impropia

Fracción propia

Fracción mixta

2 unidades

Entero168

38

38

38

198 = + = 2 + = 2

Suma y resta de fracciones con diferente denominador. Común denominador

Cuando las fracciones son de diferente tamaño, es decir, tienen diferentes denomi-nadores, no se pueden sumar o restar.

Para sumar o restar fracciones que no tienen el mismo tamaño –el mismo deno-minador– primero debemos hacerlas del mismo tamaño –común denominador– y después efectuar la suma o resta.

Los alumnos deben entender y demostrar la suma y resta de fracciones con dife-rente denominador. El material didáctico, complemento del libro de texto de tercer año de primaria, nos permite hacer estas demostraciones, en forma sencilla.

154 Números Fraccionarios

Suma y resta de fracciones con diferente denominadorMaterial didáctico complemento del libro de texto de tercer año

Figura 3.58 Demostración de la suma de fracciones con diferente denominador

1 21

4

14

14

14

141

4+ =

14

+ =

1 12 4+ 1 1 2 1

2 4 4 4+ = +

2 1 34 4 4+ =

Fracciones del mismo tamañoComún denominador

Fracciones del mismo tamañoComún denominador

14

14 1

4

112

112

112

1121

12

1 121 12

112

112

112 1

12

112

1121

12

1 121 12

112

112

112 1

12

112

112

112

112

112

112

112

112

112

112

112

+ = +1

12

112

= +

3 54 12+ 3 5 9 5

4 12 12 12+ = +

9 5 14 12 2 2112 12 12 12 12 12

+ = = + =

Usando el material didáctico, complemento del libro de texto de tercer año, así como también, el juego de fracciones de tercer nivel, los estudiantes deben desarro-llar la habilidad para hacer sumas de fracciones sencillas mentalmente.

Al desarrollar la habilidad para efectuar sumas de fracciones mentalmente, el alumno va descubriendo, que hacer las fracciones del mismo tamaño –calcular el común denominador–, es equivalente a multiplicar el numerador y el denominador por la misma cantidad.

1 1 1 2 1 2 1 32 4 2 2 4 4 4 4

3 5 3 3 5 9 5 14 12 2 214 12 4 3 12 12 12 12 12 12 12

×+ = + = + =

××

+ = + = + = = + =×

155Libro del Maestro

Fracciones equivalentes

Cuando multiplicamos el numerador y el denominador por la misma cantidad, for-mamos fracciones equivalente, es decir, que representan la misma porción de la unidad.

Figura 3.59 Fracciones equivalentes1 2

18

1 81 8

18

= =

141

4

14

116116

116

116

1161

16

116

1 161 16

1 16

116

116

1 1 4 42 2 4 8

×= =

×3 3 4 124 4 4 16

×= =

×

Simplificación de fracciones

Simplificar fracciones significa generar fracciones equivalentes al aplicar la opera-ción inversa de la multiplicación, es decir, se divide el numerador y el denominador por el mismo número diferente de cero.

Figura 3.60 Simplificar fracciones genera fracciones equivalentes

816

=

Ocho de dieciséis

48

=

Cuatro de ocho

24

=

Dos de cuatro

12

Uno de dos

816

=

82162

= 48

816

= 48

4

8

48

= 12

2

42

1

→ →Mentalmente efectuamos la divisióndel numerador y el denominadorpor el mismo número

Dividimos el numerador y el denominador por el mismo número para simplificar las fracciones u obtener las fracciones equivalentes.

156 Números Fraccionarios

Algoritmo para sumar y restar fracciones

Es importante recordar que sólo las fracciones que tienen el mismo tamaño, se pue-den sumar y restar, es decir, son aquellas que tienen el mismo denominador.

El algoritmo para sumar y restar fracciones se desarrolla de dos formas:

1. Método rápido2. Método tradicional

Método rápido

El método que llamamos rápido para sumar o restar fracciones, consiste en multi-plicar el numerador y el denominador de una o varias fracciones por la misma can-tidad, con el objeto de hacer todas las fracciones del mismo tamaño, es decir, que todas tengan un común denominador, y después sumar o restar los numeradores.

El método tradicional lo explicaremos en el siguiente nivel de abstracción.

Números FraccionariosTercer Nivel

El algoritmo de la suma y resta de fracciones

157Libro del Maestro

Procedimiento para sumar y restar fracciones utilizando el método rápido

Efectuar sumas y restas usando el método rápido consiste de cuatro pasos:

1. Encontrar el mínimo común denominador.2. Multiplicar el numerador y el denominador por la cantidad adecuada para que

todas las fracciones tengan el mismo denominador.3. Sumar y restar los numeradores.4. Si es posible expresar el resultado en notación mixta y simplificar.

Figura 3.61 Método rápido para sumar o restar fracciones

3 9 5 3 2 9 5 4 6 9 20 35 32 3 3 32 28 16 4 8 2 16 4 4 16 16 16 16 16 16 16 16

× ×+ + = + + = + + = = + = + =

× ×

2 3 2 2 3 4 3 75 10 5 2 10 10 10 10

×+ = + = + =

×3 5 3 3 5 9 5 44 12 4 3 12 12 12 12

×− = − = − =

×

multiplicamos el numeradory el denominador

multiplicamos el numeradory el denominador

sumamos losnumeradores

multiplicamos el numeradory el denominador

sumamos losnumeradores

restamos losnumeradores

22

Pasos para crear el algoritmo de la suma y resta de fracciones

Tercer nivel de abstracción1. Utilizando imágenes visuales de las fracciones, calcular mentalmente el común

denominador, sumar o restar las fracciones usando el método rápido, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.

2. Utilizando notación de fracción, calcular mentalmente el común denominador, sumar o restar las fracciones usando el método rápido, y si es posible, el resul-tado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.

Cuarto nivel de abstracción3. Utilizando notación de fracción, calcular mentalmente el común denominador,

sumar o restar las fracciones usando el método tradicional, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.

Quinto nivel de abstracción4. Calcular el mínimo común denominador aplicando el teorema fundamental de

la aritmética.5. Sumar o restar fracciones utilizando tanto el método rápido como el tradicio-

nal. Se aplica el teorema fundamental de la aritmética para calcular el mínimo común denominador, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta y se simplifica.

158 Números Fraccionarios

El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Primer paso

Utilizando imágenes visuales de las fracciones, calcular mentalmente el común denominador, sumar o restar las fracciones usando el método rápido, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.El material didáctico, complemento del libro de texto de tercer año de primaria, y el juego de fracciones de tercer nivel, han sido diseñados para que los estudiantes, utilizando imágenes visuales, entiendan, demuestren y desarrollen la habilidad para sumar y restar fracciones sencillas.

Mediante el uso de esta estrategia pedagógica, permite que los conceptos estu-diados sean un conocimiento significativo.

Juego de suma de fraccionesMaterial didáctico. Juegos de tercer nivel

Este juego ha sido diseñado para que los alumnos, mediante el uso de sus sentidos, entiendan y demuestren los conceptos de: fracción, suma de fracciones, común denominador y fracciones equivalentes, así como también, desarrollen la habilidad para aplicarlos.

La estrategia pedagógica consiste en permitirles a los estudiantes que formen imágenes de las fracciones en su mente, para que el conocimiento sea significati-vo.

Las instrucciones para utilizar el material como juego de suma de fracciones y como cartas flash se encuentran al final de este libro.

159Libro del Maestro

Figura 3.62 Juego de suma de fracciones

23

3 12

+

56

112

+

214

37

+

533

4

37

32

76

713

816

82

1616

1616

×

+=

+=

+=

×

51

3

4

15

12

52

57

816

82

1616

1616

×+

=+

=+

=

×

52

3

4

17

17

21

1415

168

168

216

1616

×+

=+

=+

=×

41

34

5

232322684

14714721414147 ×+=+=+==

×

37

58

316

+

18

516

+

116

78

+

38

716

+

49

3

4

5352310313

8168216161616

×+

=+

=+

=

×

50

3 4 5

23

23

42

1214

7

164

164

416

1616

8

×

+=

+

=+

==

×

1

2 3

54

Respu

estasincorre

ct

as

516

14

+

216

34

+

314

47

+

42

3

4

3 4 3 4 2 3 8 1114 7 14 7 2 14 14 14

×+ = + = + =

×

112

34

+38

3

4

5

1 3 1 3 3 1 9 10 512 4 12 4 3 12 12 12 6

×+ = + = + = =

×

El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Segundo paso

Utilizando notación de fracción, calcular mentalmente el común denominador, sumar o restar las fracciones usando el método rápido, y si es posible, el resul-tado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.De manera mental calculamos el mínimo común denominador (mcd) y para hacer que todos los denominadores de las fracciones que queremos sumar o restar sean el mcd, multiplicamos y dividimos el numerador y denominador por el mismo nú-mero.

Figura 3. 63 Suma y resta de fracciones utilizando el método rápido

7 3 7 3 3 7 9 16 4 3 1 1 11 112 4 12 4 3 12 12 12 3 3 3 3 3

×+ = + = + = = = + = + =

×

2 5 2 2 5 3 4 15 19 18 1 1 13 33 2 3 2 2 3 6 6 6 6 6 6 6

× ×+ = + = + = = + = + =

× ×

9 9 9 2 9 18 9 97 14 7 2 14 14 14 14

×− = − = − =

×4 3 4 3 3 4 9 13

15 5 15 5 3 15 15 15×

+ = + = + =×

22

22

33

33

33

160 Números Fraccionarios

El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Tercer paso

Utilizando notación de fracción, calcular mentalmente el común denominador, sumar o restar las fracciones usando el método tradicional, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta. Por último, se simplificaEl método tradicional es una aplicación del método corto, que permite efectuar las sumas y restas utilizando únicamente una raya de quebrado.

Efectuar sumas y restas de números fraccionarios usando este método requiere de cuatro pasos:

1. Encontrar el mínimo común denominador.2. Dividir el mínimo común denominador entre cada uno de los denominado-

res y el resultado multiplicarlo por el numerador.3. Sumar o restar los numeradores.4. Si es posible expresar el resultado en notación mixta y simplificar.

Figura 4.81 Método tradicional para sumar y restar fracciones

25

34

710

4×2 + 5×3 + 2×7+ + = = = = 1208 + 15 + 14

203720

1720

205

204

2010

45

2

Números FraccionariosCuarto Nivel

El algoritmo de la suma y resta de fracciones

161Libro del Maestro

Figura 4.82 Método tradicional para sumar y restar fracciones

615

910

1730

9×3 + 17×1 − 6×230

27 + 17 − 1230+ − = = = = = + = 1 + = 144 − 12

303230

230

115

115

3030

3010

3030

3015

31

2

57

928

5×4 − 9×128

20 − 928− = = = 11

28287

2828

41

Juego de suma de fraccionesMaterial didáctico. Juegos de cuarto nivel

Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante, utili-zando sus sentidos, entienda, demuestre y desarrolle la habilidad para aplicar los conceptos de: fracción, fracción equivalente, suma de fracciones con diferente de-nominador y fracciones mixtas. Consiste de dos estrategias pedagógicas que deben utilizarse de acuerdo a la siguiente secuencia:1. El juego de lotería usando las barajas y los tableros para que el estudiante se

familiarice con el concepto de fracción y la suma de fracciones con denomina-dores diferentes.

2. La suma de fracciones cuando los denominadores son diferentes utilizando so-lamente las barajas para que el alumno entienda y demuestre los conceptos de suma de fracciones con diferentes denominadores, fracciones equivalentes y fracciones mixtas.Las instrucciones para utilizar el material como juego de multiplicaciones y

como cartas flash se encuentran al final de este libro.

162 Números Fraccionarios

Figura 4.83 Juego de suma de fracciones

12

3

86

1618

3417

2416

4848

4824

+=

+=

=

59

12

34

129

2427

513

1

11

241648

4848

4816

+=

+=

==

63

1

2

53

109

1918

1236

3636

+=

+=

61

12

34

24

67

189

1818

3612

1

11

2412

2424

2424

2

189

33

62

1

11

2412

44

44

2+

=+

==

=

+=

+=

==

54

2356

+

49

23 +

312

23+

13715

+

101523

+

1456

+46

24+

3438

+2

6

34

+

361218

+

5916

18+

812824

+

1824

912+

3206

15+

824

616+

1424 1216+

912

1024

+

12

13+

1

2

1 1 3 2 52 3 6 6 6+ = + =

1

23

12+

1

2

3

2 1 4 3 7 113 2 6 6 6 6+ = + = =

5

13

24+

1

2

3

1 2 4 6 10 53 4 12 12 12 6+ = + = =

9

14

13+

1

2

1 1 3 4 74 3 12 12 12+ = + =

13

1

2

3

4

25

45

93

11

13

66

66

62

+=

+=

==

6

12

3

42461011

939999 +=+==

10

123

4

24

6

28

88

164

1

11

312

1212

1212

3

28

22

411

312

33

33

+=

+=

==

+=

+=

=

14

1234246

212

1212

246

11

1

318

1818

1818

3

212

22

41

1

318

33

33

+=

+=

=

=

+=

+=

=

15

1

2

3

15

310

131

14

612

1212

12+

=+

==

4

1234 42

86

142

1

1

1

64

1212

1212

6

+=

+=

=

=

8

12

3

33

63

911

48

88

88

+=

+=

=

12

1

2

3

23

49

131

16

412

1212

12

+=

+=

=

16

412

718+

1

2

3

4 7 12 14 26 1312 18 36 36 36 18

+ = + = =

57

1

2

3

2

4

6

88

168

241

1224

2424

24

88

21

31

1224

33

3

+=

+=

=

+=

+=

=

50

215

120+

1

2

2 1 8 3 1115 20 60 60 60

+ = + =

58

1

2

3

36

924

3311

2015

6060

6020

+=

+=

=

62

316

924+

1

2

3

3 9 9 18 27 916 24 48 48 48 16

+ = + = =

55

1

2

34

246

168

1616

328

11

1

2412

2424

2424

316

82

24

11

2412

33

33

+=

+=

==

+=

+=

=

64

Respu

estasincorre

ct

as

1

2 3

76

54

23

1218+

23

812 +

518312

+1624

812+

1224916

+

816

1224+

34

23+12

151620+

163Libro del Maestro

El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Cuarto paso

Calcular el mínimo común denominador aplicando el teorema fundamental de la aritméticaEl teorema fundamental de la aritmética establece que todos los números no primos se obtienen de la multiplicación de números primos. Por lo tanto, si descompone-mos un número en los factores –números primos– que lo forman, es posible cono-cer todos los números que lo dividen en forma exacta, los cuales son:

1. Cada uno de los números primos que lo forman.2. El producto de todas las posibles combinaciones de estos números primos.

Tomamos los números 6, 8, 12, 18, 36 y 72 para demostrar que se dividen en forma exacta entre sus factores primos y todas las posibles combinaciones de ellos. Esto se muestra en la tabla 5.5

Números FraccionariosQuinto Nivel

El algoritmo de la suma y resta de fracciones

164 Números Fraccionarios

Tabla 5.5 Los factores primos y sus posibles combinaciones

6 2 3 62

3 63

2 66

1

8 2 2 2 82

4 8

= × → = → = → =

= × × → = →

1 vez 1 vez

3 veces

442 8

81

12 2 2 3 122

6 123

4 124

3 126

2 12

= → =

= × × → = → = → = → = →2 veces 1 vez 112

1

18 2 3 3 182

9 183

6 186

3 189

2 1818

1

=

= × × → = → = → = → = → =1 vez 2 veces

336 2 2 3 3 362

18 363

12 364

9 366

6 369

= × × × → = → = → = → = → =2 veces 2 veces

44

3612

3 3618

2 3636

1

72 2 2 2 3 3 72

→ = → = → =

= × × × × →3 veces 2 veces

2236 72

324 72

418 72

612 72

89 72

98

7212

6 7218

4 7224

= → = → = → = → = → =

→ = → = → = 33 7236

2 7272

1→ = → =

Definición de mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo, mcm, de un conjunto de número enteros, es el número entero más pequeño que se divide en forma exacta entre todos los elementos del conjunto.

Al estudiar con detenimiento la tabla anterior, nos damos cuenta que el mínimo común múltiplo de 6, 8, 12, 18, 36 y 72 es 72 porque los primos que lo forman, 3 veces 2 y 2 veces 3, también componen a los demás números, lo que hace que todos ellos dividan en forma exacta a 72.

En la figura 5.27 se muestra el procedimiento para descomponer en sus factores primos los números 9, 12, 18 y 24.

Figura 5.32 Procedimiento para descomponer números en sus factores primos

931

33

2 veces12631

223

2 veces18931

233

2 veces

2412631

2223

3 veces

Los factores primos comunes a 9, 12, 18 y 24 son 2 y 3. Creamos un número que contenga 3 veces el 2 y 2 veces el 3. Este número es el mínimo común múltiple porque es divisible entre 9, 12, 18 y 24, ya que está formado de los factores primos de estos números. Este procedimiento se muestra en la figura 5.28.

165Libro del Maestro

Figura 5.33 Procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo

9 = 3 × 3 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3 24 = 2 × 2 × 2 × 3

2 veces2 veces

2 veces

2 veces

mcm = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72

3 veces

3 veces

Comprobamos que 72 es el mínimo común múltiplo porque se divide en forma exacta entre 9, 12, 18 y 24.

729

8 7212

6 7218

4 7224

3= = = =

Algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo

El algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo aplicando el teorema funda-mental de la aritmética, consiste en determinar los factores primos que son comu-nes a todos los números.

Este procedimiento consta de cinco pasos:1. Descomponer los números en sus factores primos.2. Si alguno de los factores primos se repite en el mismo número, se cuenta la

cantidad de veces que lo hace.3. De los factores primos que no se repiten en ninguno de los números, se elige un

representante de cada uno de ellos.4. De los factores primos que sí se repiten –paso 2– escogemos el grupo que apa-

rece más veces.5. El mínimo común múltiplo –mcm– es el producto de los factores primos selec-

cionados.

Figura 5.34 Algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo

421

22

2 veces12631

223

2 veces1 vez1 vez

1 vez

1 vez

1 vez

1 vez1 vez 1 vez

1 vez

1551

35

2 veces201051

225

4 = 2 × 2 12 = 2 × 2 × 3 15 = 3 × 5 20 = 2 × 2 × 5

2 veces 2 veces

2 veces

2 veces

mcm = 2 × 2 × 3 × 5 = 60

166 Números Fraccionarios

Comprobamos que 60 es el mínimo común múltiplo porque se divide en forma exacta entre 4, 12, 15 y 20.

604

15 6012

5 6015

4 6020

3= = = =

Definición de mínimo común denominador

El mínimo común denominador, mcd, es el mínimo común múltiplo –mcm– de los denominadores de una suma o resta de fracciones.

El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Quinto paso

Sumar o restar fracciones utilizando tanto el método rápido como el tradicio-nal. Se aplica el teorema fundamental de la aritmética para calcular el mínimo común denominador, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta y se simplifica.

Figura 5.35 Suma y resta de fracciones utilizando el método rápido

8421

222

3 veces931

33

2 veces168421

2222

3 veces4 veces

2412631

2223

4 veces 2 veces

mcm = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 144

7 19 5 3F16 24 9 8

= + + −

716

1924

59

38

+ + −F =7 × 916 × 9=

63144=

19 × 624 × 6+

5 × 169 × 16+ +

114144 +

80144 −

54144

3 × 188 × 18−

F =257144 −

54144 +

59144 = 1 +

59144

59144=

203144 =

144144

= 1

167Libro del Maestro

Figura 5.36 Suma y resta de fracciones utilizando el método tradicional

31

3 1 vez 1 vez 1 vez 1 vez1 vez1 vez1 vez

1051

25

1551

35

2171

37

1 vez

mcm = 2 × 3 × 5 × 7 = 210

11 5 10 8F10 3 21 15

= + + −

1110

53

1021

815

+ + −F =11 × 21 + 5 × 70 + 10 × 10 − 8 × 14

210=231 +350 +100 − 112

210=

F =681 − 112

210569210 +

149210 = 2 +

149210

149210=

420210

= 2=

168 Números Fraccionarios

Juego de suma y resta de fraccionesMaterial didáctico. Juegos de quinto nivel

Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante, median-te el uso de sus sentidos, entienda, demuestre y desarrolle la habilidad para utilizar dos conceptos: el de la suma y resta de fracciones y el del mínimo común denomi-nador. También ayuda al alumno a desarrollar la habilidad para realizar mentalmen-te sumas y restas de fracciones.

Los alumnos deben calcular el mínimo común denominador mentalmente y realizar las sumas y restas de fracciones utilizando el método rápido.

Las respuestas pueden ser simplificadas y/o expresadas en forma de notación mixta, por lo cual el participante también practica y desarrolla la habilidad para hacer multiplicaciones y divisiones mentalmente.

Figura 5.37 Juego de suma y resta de fracciones

1

2

2 110 5

=

1

2

10 514 7

=

1

3

4

5

28 4 2 11 1 124 24 12 6

= = =

1

2

3

4 2 124 12 6

= =

1

2

3 16 2=

1

3

4

22 4 21 118 18 9

= =

1

3

4

27 6 21 121 21 7

= =

1

2

3

6 3 118 9 3

= =

Respu

estasincorre

ct

as

1

2 3

54

34

524+

12

721+

12

314+

12

314+

79

318+

15

620+

814

12−

710

12− 2

446+ 22

2434−

59

1218+ 2

316− 3

71821+ 12

1826−

920 76 109

43188 154 135

169Libro del Maestro

Concepto de la multiplicación de fracciones

Cuando estudiamos el concepto de la multiplicación, demostramos que multiplicar dos números enteros es equivalente a sumar en forma rápida el área de un rectán-gulo. Así, creamos las tablas de multiplicar y posteriormente desarrollamos, paso a paso, el algoritmo que nos permite multiplicar dos números sin importar la cantidad de cifras que los componen.

Figura 5.38 Concepto de la multiplicación de números enteros

Área = 20 u2 = 20 cuadritos

5 × 4 = 204 × 5 = 20

5

1u2 1u2 1u2 1u2 1u2

1u2 1u2 1u2 1u2 1u2

1u2 1u2 1u2 1u2 1u2

1u2 1u2 1u2 1u2 1u2

1 1 1 1 11

1

1

1

4

Un rectángulo cuya base mide 5 unidades lineales y su altura 4 unidades lineales, tiene un área de 20 unidades cuadradas, es decir 20 cuadritos.

Números FraccionariosQuinto Nivel

Multiplicación y división de fracciones

170 Números Fraccionarios

Multiplicar números fraccionarios consiste en sumar en forma rápida las frac-ciones de área que forman un cuadrado o un rectángulo. La diferencia con la mul-tiplicación de números enteros consiste en que tomamos 1 u2.

Figura 5.39 Tomar 1 u2

5

1u2 1u2 1u2 1u2 1u2

1u2 1u2 1u2 1u2 1u2

1u2 1u2 1u2 1u2 1u2

1u2 1u2 1u2 1u2 1u2

1 1 1 1 11

1

1

1

4

1

11u2

Fraccionamos la base y la altura de 1 u2 para formar fracciones de área.

Figura 5.40 Fraccionar la base y la altura de 1 u2 en 5 partes

Área Total = 1 u2 = 1 cuadrito

1

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

1

Al igual que multiplicar números enteros, multiplicar geométricamente fracciones consiste en sumar el área formada por la base y la altura que se especifican.

171Libro del Maestro

Figura 5.41 Multiplicación de fracciones

1225

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

Área formada por es:

Por lo tanto:

De donde probamos que:

y15

15

15

45

35

× = 45

35

15

15

15

15

45

35

+125

+125

+125

+125

+125

+

125

+125

+125

+125

+125

+125

1225

1225

× = 45

35

=

4 × 3 = 12

5 × 5 = 25

×45

35

Multiplicar geométricamente

Figura 5.42 Multiplicación de fracciones

3556

Área formada por es:

Por lo tanto:

De donde probamos que:

y

17

17

17

17

17

57

18

18

18

18

18

18

18

78

57

78

× = 57

78

3556

3556

× = 57

78

5 × 7 = 35

7 × 8 = 56

1

1

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

156

×57

78

Multiplicar geométricamente

172 Números Fraccionarios

Algoritmo para la multiplicación de fracciones

El algoritmo para la multiplicación de fracciones es muy sencillo, ya que como se demostró geométricamente, simplemente multiplicamos los numeradores y los denominadores.

Figura 5.43 Algoritmo para la multiplicación

711

35× 21

55=Numerador

Denominador

7 × 3 = 21

11 × 5 = 55

Notación de la división de fracciones

La división de fracciones puede expresarse de dos formas diferentes:

1. Utilizando notación de fracción, es decir, haciendo una fracción de fracciones.2. Utilizando el símbolo de división.

Al utilizar la notación de fracción, los estudiantes deben poner claramente la raya de quebrado principal para evitar confusiones.

Figura 5.44 División de fracciones en notación de fracción

3479

1182315

Raya de quebrado principalNumerador Dividendo

Denominador Divisor

La división de fracciones también se indica utilizando el símbolo de división.

Figura 5.45 División de fracciones con símbolo de división

34 3

479

79

118 11

82315

2315

÷

Numerador

Denominador

Dividendo

Divisor

÷

173Libro del Maestro

Concepto de la división de números enteros

La interpretación geométrica de la división de números enteros se puede abordar desde dos maneras que son equivalentes.

1. La primera consiste en considerar el denominador como el número de áreas en las que dividimos el área total. Dividir 30 entre 5 y obtener como resultado 6, significa que tenemos un área de 30 cuadritos y la dividimos en 5 áreas de igual tamaño, de 6 cuadritos cada una, como se muestra en la figura 5.40.

Figura 5.46 Primera interpretación de la división geométrica de números enteros

305

Área = 30 cuadritos 5 áreas de 6 cuadritoscada una

= 6

Área total

Número deáreas formadas

Tamaño de cada una delas áreas formadas

2. La segunda manera consiste en considerar el denominador como el tamaño de las nuevas áreas que formamos al dividir el área total. Dividir 30 entre 5 y ob-tener como resultado 6, significa que tenemos un área de 30 cuadritos y forma-mos 6 áreas de 5 cuadritos cada una, como se muestra en la figura 5.41.

Figura 5.47 Segunda interpretación de la división geométrica de números enteros

305

= 6

Área = 30 cuadritos 6 áreas de 5 cuadritoscada una

Área totalNúmero de

áreas formadasTamaño de cada unade las áreas formadas

Para estudiar el concepto de la división de fracciones, y demostrar el algoritmo, utilizamos la segunda interpretación.

174 Números Fraccionarios

Concepto de la división de fracciones

La división es la operación inversa de la multiplicación. Multiplicar geométrica-mente consiste en sumar en forma rápida el área que forman las fracciones. Por lo tanto, utilizando la segunda interpretación de la división geométrica de números enteros, dividir geométricamente fracciones consiste en separar el área total que tenemos –dividendo– en conjuntos de fracciones de área de menor tamaño.

Figura 5.48 División geométrica de fracciones

225

Tamaño del área =

Número deáreas = 5

15

15

15

15

15

15

15

125

125

÷ = Dividir geométricamente

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

102510

25 225

225

1025

225

El área total es , la dividimos en áreas de tamaño

y formamos un total de 5 áreas

÷ = = 5

102510

25 225

= = = 5

10252

25

225

Área total

Tamaño de cada unade las áreas formadas

Número de áreas formadas

Extre

mos

Med

ios 10 × 25

25 × 225050

Efectuar la división de fracciones geométricamente, es equivalente a multiplicar los extremos de la fracción por lo medios.

175Libro del Maestro

Figura 5.49 División geométrica de fracciones

13

13

13

16

16

16

16

16

16

19

÷ = Dividir geométricamente

121812

18

218

218

19

19

1218

19

El área total es , la dividimos en áreas de tamaño =

y formamos un total de 6 áreas

÷ = = 6

121812

18 19

= = = 6

121819

19

Área total

Tamaño de cada unade las áreas formadas

Número de áreas formadas

Extre

mos

Med

ios 12 × 9

18 × 1122

Número deáreas = 6

Tamaño del área = =

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

Algoritmo para la división de fracciones

El algoritmo que utilizamos para dividir fracciones se aplica de dos formas:

1. Cuando la división está expresada como la división de dos fracciones.2. Cuando utilizamos el símbolo de la división.

176 Números Fraccionarios

Algoritmo para la división de fracciones utilizando notación de fracción

Al aplicar el concepto de la división, hemos demostrado geométricamente que di-vidir dos fracciones es equivalente a multiplicar los extremos –numerador del nu-merador y denominador del denominador– y dividirlos entre la multiplicación de los medios –denominador del numerador y numerador del denominador–, como se muestra en la figura 5.44.

Figura 5.50 División de fracciones utilizando notación de fracción

= = =

9124

10Extre

mos

Med

ios 9 × 10

12 × 49048

158= =

7538Ex

trem

osM

edio

s 7 × 85 × 3

5615

Demostración aritmética del algoritmo para la división de fracciones utilizando notación de fracción

La demostración aritmética se hace mediante la aplicación del concepto de las frac-ciones equivalentes, que también puede enunciarse como: al multiplicar el numera-dor y el denominador de una fracción por la misma cantidad diferente de cero crea-mos una fracción equivalente. Es decir, multiplicar el numerador y el denominador por la misma cantidad diferente de cero no altera la fracción.

Figura 5.51 Demostración aritmética de la división de fracciones usando notación de fracciones

= = = =

7538Ex

trem

osM

edio

s

7 × 5 × 85

3 × 5 × 88

7 × 81

3 × 51

7 × 83 × 5

5615

= = = =

2974Ex

trem

osM

edio

s

2 × 9 × 49

7 × 9 × 44

2 × 41

7 × 91

2 × 47 × 9

863

Algoritmo para la división de fracciones utilizando símbolo de divisiónLa ley de la tortilla

Al algoritmo que se utiliza para efectuar la división de fracciones cuando se emplea el símbolo de división, en México le llamamos la ley de la tortilla. Tiene este nom-bre porque para realizar la división es necesario voltear la fracción que está en el denominador, al igual que volteamos las tortillas al calentarlas.

Para hacer la demostración nos apoyamos en la división de fracciones utilizan-do notación de fracción.

177Libro del Maestro

Figura 5.52 Demostración de la división de fracciones usando el símbolo de división

= ÷ = × = =

7538Ex

trem

osM

edio

s 5615

Cambiamos el símbolode ÷ por el de ×

Volteamos el denominadoro divisor

38

75

75

7 × 85 × 3

863

2 × 49 × 7

83 = ÷ = × = =

2974Ex

trem

osM

edio

s

Cambiamos el símbolode ÷ por el de ×

Volteamos el denominadoro divisor

74

29

29

47

Hemos demostrado que cambiar el símbolo de división por el de multiplicación y voltear el denominador, es equivalente a multiplicar los extremos y dividirlos entre la multiplicación de los medios.

Multiplicación y división de fraccionesMaterial didáctico complemento del libro de texto de quinto año

Figura 5.53 Multiplicación y división de fracciones

112

1 18

19

19

1 9

1 9

19

141

4

1 4

1 4

136

136

1 36

1 361 36

1 36

1 36

16

16

1 61 6

1 6

16

112112

1 12

1 12

112

112

118

118

118

118

118

118

118

118

118

118

1 18

1 181

18

118

13

13

12

12

14

14

14

14

16

16

16

16

16

16

13

1 3 1 3

1 21 2

1 3

1 4 1 4 1 4 1 4

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

19

1 9

1 36

136

1 36 136

178 Números Fraccionarios

Juego de suma y resta de fraccionesMaterial didáctico. Juegos de sexto nivel

Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante entienda y demuestre el concepto de mínimo común denominador así como también desa-rrolle la habilidad para realizar mentalmente sumas y restas de fracciones.

Este juego es un instrumento que también ayuda a los alumnos a practicar las tablas de multiplicar, de dividir y la simplificación de fracciones, así como la con-versión de una fracción a notación mixta y viceversa.

En este juego pueden participar de uno a cinco estudiantes. Se puede jugar en dos niveles diferentes de dificultad.

Las instrucciones para utilizar el material como juego de multiplicaciones y como cartas flash se encuentran al final de este libro.

Figura 6.38 Juego de suma y resta de fracciones

1

2 3

2 43 56 69

177 134 12594

Respu

estasincorre

ct

as

1

79

1

3

19 4115 15

=

1

724

1

310

1

3

65 23142 42

=

1

940

1

172

1

2

10 524 12

=

45

12−1

349+ 2

338−2

335+

78

56+

89

78−

19

58−

35

14−

14

16+ 5

825−5

657+

179Libro del Maestro

La caja de pandoraMaterial didáctico. Juegos de sexto nivel

Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante entienda y demuestre el concepto de las operaciones básicas de números enteros y fraccio-narios y desarrolle la habilidad para realizarlas mentalmente.

Este juego es un instrumento que también ayuda a los alumnos a practicar las tablas de multiplicar, de dividir y la simplificación de fracciones, así como la con-versión de una fracción a notación mixta y viceversa.

En este juego pueden participar de uno a cuatro estudiantes. Las operaciones que aparecen en las cartas están clasificadas en cuatro grados de dificultad.

Las instrucciones para utilizar el material como juego de multiplicaciones y como cartas flash se encuentran al final de este libro.

Figura 6.39 La caja de pandora

0 1 2

3 4 5

6 7 8

9 10 11

3 Impar

2

1

14 − 9

321 = 74

46 × 8

355

1

44

1

7

1

25

25

+

40

1

2 2 45 5 5+ =

2

9 × 4

89

2

36

2824

616+

125

2

3

4

8 6 16 18 34 1724 16 48 48 48 24

+ = + = =

32224

34−

3

5× =30

157

3

6

31418

59−

177

3

4

4 218 9

=

4

8 34

209

4

6

2 14 48 4

+ =

434

48+ 5

4412

23−5

253

7

9

10

11

56 8 4 24 4 412 12 6 3

= = =