6 Ecuaciones de primero y segundo grado

Actividad Balanzas

En la balanza transponiendo pesos vamos a buscar la relación entre P y q

Al quitar o poner (Sumar o restar) una misma cantidad en ambos platillos (ambos miembros) de la balanza (ecuación) esta permanece equilibrada (equivalente). Si -q entonces

qqq = P ,, 3q = P ,, q = P/3

En la balanza buscamos la relación entre p y Q

Al Multiplicar o dividir por la misma cantidad permace equilibrada. Multiplicamos por ½

-p entonces

luego 2p = Q o p = Q/2

Por transposición averigua el precio de 1 litro

1l+1/4l = 1,5 € 4(1l+1/4l) = 4·1,5 € 4l+1l = 6 € 5 l = 6 € 1 l = 6/5 € = 1,2 €

Actividad Comparando miembros

En la expresión vamos a ir dando

valores numéricos a x para que el 1er miembro se aproxime al 2º. Si hacemos x = -10 con la calculadora tenemos que: 1er miembro = 4,6; el 2º = -5,2 y la diferencia es 9,8. Si hacemos x = 10 es: el 1er miembro = 4,3; el 2º = 6,8 y la diferencia es –2,4; Como una diferencia se pasa (positiva) y otra no llega (negativa) tomamos un valor entre –10 y 10.Si hacemos x = 0 es el 1er miembro = 5,3 y el 2º = 0,8 la diferencia es 4,5; tomamos un valor entre 0 y 10.Si damos a x = 3 es el 1er miembro = 3,6 y el 2º = 2,6 la diferencia es 1,06; tomamos un valor entre 0 y 3.Si damos a x = 2 y tenemos el 1er miembro = 2 y el 2º = 2 Hemos conseguido que ambos miembros sean iguales.EP1 En las balanzas transponiendo pesos busca la relación entre p, q y r

2 En la expresión comparando

miembros da valores a x para ir aproximando el 1º y el 2º miembro.

6 Ecuaciones de 1º y 2º 2

1 El Lenguaje AlgebraicoEl lenguaje algebraico está constituido por expresiones simbólicas de relaciones numéricas, algunas de ellas desconocidas. Sirve para expresar con precisión y claridad una información.En el lenguaje algebraico intervienen:

o Númeroso Signos de operacioneso Letras que representan númeroso Signos de igualdad o desigualdad

ER1 Empleando únicamente la letra x para representar el número indicado, traduce a lenguaje algebraico las expresiones siguientes:Leguaje ordinario Lenguaje AlgebraicoDos veces un número mas tres 2x + 3Triple de un número mas su mitad 3x + x/2Un número mas su mitad menos su tercera parte x + x/2 - x/3Un número con descuento del 20% x(1-0,2) = 0,8xUn número menos la cuarta parte de su cuadrado x-x2/4Un número menos 1 por el número mas 1 (x-1)(x+1) = x2-1Perímetro de un cuadrado conocido el lado 4x2 Empleando únicamente la letra x para representar el primer número, expresa en lenguaje algebraico los dos números siguientesLeguaje ordinario Lenguaje AlgebraicoUn número y su opuesto x, -xUn número y su cuadrado x, x2

El primero es el cuadrado del segundo x, xEl segundo es un 20% mayor que el primero x, (1+0,2)x ,, x, 1,2xEl segundo es el inverso de la mitad del primero x, 1 / x/2 x, 2/x Le faltan 3 al primero para ser el segundo x, x+3Entre los dos suman ¼ x, ¼ - xEP1 Empleando únicamente la letra x para representar el número, traduce a lenguaje algebraico las expresiones siguientes:Leguaje ordinario5 veces un númeroUn número menos su tercera parteEl 20% de un númeroUn número menos su inversoUn número menos la cuarta parte de su cuboUn número aumentado el 20%

2 Empleando únicamente la letra x para representar el primer número, expresa en lenguaje algebraico los dos números siguientesLeguaje ordinarioEl segundo es doble del primeroEl segundo es la raíz cuadrada del primeroEl primero es un 20% mayor que el segundoLa suma de los dos números es 10El primero dividido por 7 da el segundoEl primero es el opuesto del cuadrado del segundo

También podemos representar las variables con objetos concretos como un segmento

EP3 Tomando x como un segmento y poniendo una D delante para restar representa las expresiones:

i. 2x2 – 3x + 2ii. 3x2/4 + 3x/2

iii. x3 + 3x2/2 – x/4

6 Ecuaciones de 1º y 2º 4

4 Partiendo de que x = 100 €, completa la tabla siguiente haciendo las comprobaciones numéricas en cada línea

Información Exp numérica

Resultado Exp Algebraica

Simplifica

Ana tiene 200 € 200 200 2x 2xBea tiene 30 € menos que Ana

200 – 30 170 2x – 30 2x - 30

Celia tiene el doble que BeaA Felipe le faltan 30 € para tener lo mismo que entre Ana y BeaSi a Celia le quitamos lo de Ana tiene como GerardoA Inés la faltan 30 € para tener el doble que Bea Luís tiene la tercera parte que GerardoMaría tiene el doble de la diferencia entre Gerardo y FelipeSi a Roberto le añadimos la mitad de lo que tiene María tiene el doble que Inés.

5 Traduce a lenguaje algebraico el siguiente juego: Piensa un número (x). Eleva al cuadrado y suma el doble del número pensado. Suma 1 al resultado y halla la raíz cuadrada. Resta 1 y te queda el número pensado.

2 Igualdades Algebraicas

Dos expresiones algebraicas separadas por el signo = forman una igualdad algebraica. Las expresiones que están a ambos lados del signo igual se llaman miembros, el de la izquierda es el primer miembro y el de la derecha el segundo.

Uno o varios números verifican una igualdad cuando al sustituir las variables por ellos los dos miembros tienen el mismo valor.

La expresión 3x+1 = x2+3 es una igualdad algebraica. El primer miembro es 3x+1 y el segundo x2+3. Para x = 0El primer miembro vale 1 y el segundo 2. Luego x = 0 no verifica la igualdad.Para x = 1El primer miembro vale 4 y el segundo 4. Luego x = 1 verifica la igualdad

Identidad

Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor dado a las variables

(x-1)2 +2x = x2+1 es una identidad, pues al sustituir x por cualquier número, el primero y el segundo miembro coinciden.xn·xm = xn+m es una identidad pues al sustituir x, n y m por números cualesquiera verifican la igualdad.2-x = 2x2-19 no es una identidad pues hay números como x = 0 que no verifican la igualdad, con encontrar un valor que no verifique la igualdad ya no es una identidad.

Ecuación

Cuando una igualdad algebraica no es una identidad se llama ecuación

Una igualdad algebraica que no se verifica para todos los valores numéricos de las variables es una ecuación. Solución de una ecuación es el valor o valores de las variables que hacen que se verifique la igualdad.Resolver una ecuación es hallar el conjunto de todas sus soluciones o comprobar que no tiene.

6 Ecuaciones de 1º y 2º 6

En la igualdad algebraica 2x-4 = x-2 Para x = 1 el primer miembro vale –2 y el segundo –1. Hemos encontrado un número que no verifica la igualdad, esto nos indica que es una ecuación y que el número 1 no es una solución.Para x = 2 el primer miembro vale 0 y el segundo vale 0 también luego 2 es una solución de la ecuación.Las ecuaciones x2+1= 2x y 4-x = 3x como tienen ambas la misma solución x = 1 se llaman equivalentes

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. Toda solución de una es también solución de la otra y recíprocamente.

Las ecuaciones x-1 = 3x-5 y x+3 = 5x-5 son equivalentes, las dos tienen x=2 como única solución.Las ecuaciones (x+1)(x-3) = 0 y x2 = 2x+3 son equivalentes, las dos soluciones x = -1, x =3 de la 1ª son también soluciones de la 2ªLas ecuaciones x-3 = -2x y (x-1)(x+2) = 0 no son equivalentes pues aunque tienen x = 1 común, x = -2 es solución de la 2ª pero no los es de la 1ª.

Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones

ER1 ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son identidades y cuales ecuaciones?a) +(x-1)3 =+ x3+3x - 3x2-1 b) x2-4 = x+2 c) x+y = 2Solucióna) Es una identidad, cualquier valor que demos a x verifica la igualdadb) No es una identidad ya que para x = 0 no se cumple la igualdad, el 1er miembro vale –4 y el 2º es 2. Es una ecuaciónc) No es una identidad pues para x = 2, y = 3, el primer miembro es 5 y el segundo 2.2 Completa la tabla para la ecuación x2-3x = 4-3xValor de x

Valor del 1er

miembroValor del 2º miembro

Compara ¿Es solución?

2 -2 -2 1º = 2º Si-2 10 10 1º = 2º Si1 -2 1 1º < 2º No

3 Resuelve la ecuación (x+2)(x+5)(x-1/2) = 0SoluciónComo está factorizada para que el producto sea cero basta y es necesario que sea cero uno de los factores.Para x = -2, se anula el 1er factor. Para x = -5 se anula el 2º y para x = 1/2 el 3º. Las soluciones son x = -2, x = -5 y x = 1/2.EP6 ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son identidades y cuales ecuaciones?a) (x+2)(x-2) = x2-4 b) x2-5 = 3x-3 c) 2x·3x = 6x

7 Completa la tabla para la ecuación x3-3 = 1-3x2

Valor de x

Valor del 1er miembro

Valor del 2º miembro

Compara ¿Es solución?

-101

8 Resolver las ecuaciones a) (x+2)(x-2)(x-3) = 0 b) x(x-10)(x-1/5) = 0

9 Escribe 3 identidades

10 Escribe una ecuación que tenga por soluciones 1, - 2 y 3

11 Las ecuaciones x2 – x y 2x = 1-x ¿son equivalentes?

6 Ecuaciones de 1º y 2º 8

3 Propiedades fundamentales de las Ecuaciones

Las dos propiedades siguientes son las más importantes para resolver ecuaciones pues permiten transformarlas en otras equivalentes mas sencillas. 1 Cuando a los dos miembros de una ecuación se les suma un mismo número o una misma expresión algebraica se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Aplicando esta propiedad podemos transformar la ecuación 2x2-2x = 2x2-x+1 en otra equivalente mas sencilla.Sumamos –2x2 a ambos miembros: –2x2 +2x2-2x= –2x2 +2x2-x+1, operamos -2x = -x+1Sumando x a ambos miembros: +x-2x = +x-x+1, operamos -x = 1 , x = -1Comprobamos el resultado sustituyendo x por –1 en ambos miembros y nos queda:2(-1)2-2(-1) = 4 y 2(-1)2-(-1)+1 = 4 como ambos resultados coinciden es una soluciónEsta propiedad se llama transposición de términos y en lenguaje coloquial: “Cuando un término está sumando en un miembro pasa al otro restando y viceversa”

2 Cuando a los dos miembros de una ecuación se les multiplica por un mismo número distinto de cero o por una misma expresión distinta de cero se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

La ecuación x+4/2 – 2x/4 = 3x+4 / 5 la podemos transformar aplicando las dos propiedades anteriores en otra equivalente mas sencillaPara quitar denominadores multiplicamos por 20 los dos miembros:20·x+4/2 –20·2x/4 = 20· 3x+4 / 5, operamos 10(x+4)-5(2x) = 4(3x+4),, 10x+40-10x = 12x+16 40 = 12x+16 Sumamos –16 a ambos miembros: -16+40 = -16+12x+16, operamos 24 = 12xMultiplicamos por 1/12 a ambos miembros: 1/12·24 = 1/12·12x, operamos 2 = xComprobamos sustituyendo x por 2 en los dos miembros de la ecuación dada

2+4 / 2 –2·2/4 = 2 y 3·2+4 / 5 = 2 como ambos resultados coinciden es una soluciónEsta propiedad se llama transposición de factores y en lenguaje coloquial: “Lo que está multiplicando a todo lo demás en un miembro, pasa dividiendo al otro y viceversa”EP1 Continua el procesoLa Ecuación 3x –8 = 5x+6 la podemos transformar en otra más sencilla aplicando las dos propiedades anterioresSumando –3x-6 a ambos miembros:Multiplicando por 1/2 ambos miembros:2 Aplicando las 2 propiedades enunciadas resuelve las ecuaciones:a) 2x+3 = 3x+2 b) 2-2x = x+6

6 Ecuaciones de 1º y 2º 10