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Soluciones ejercicios
ota 6.1 (1), (2), y (3) representan el grado de dificultad del problema.(1) corresponde a problemas tipo prueba, el (2) corresponde a problemas
scriminatorios y el (3) a problemas de tareas.
ercicio 6.1 La posicin de una partcula que se mueve sobre el eje OXun sistema de coordenadas est dada
x(t) = 1 + 8t 2t2,
nde la posicin est en metros y el tiempo en segundos. Determine
a) La velocidad ent= 5 s.
b) La aceleracin ent= 2 s.
c) El instante en que la partcula cambia su sentido de movimiento.
d) El desplazamiento de la partcula entret= 0 yt= 4 s.
e) El espacio recorrido entret= 0 yt= 4 s.
f) El espacio recorrido entret= 0 yt= 5 s.
Solucin.Calculamos directamente
a) v(t) = dxdt = 8 4t que evaluada ent= 5 dav(5) = 1 2 ms1
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8 Soluciones ejercici
b) a(t) = dvdt
= 4constante por lo tanto a(2) = 4 m s2
c) Cuandov(t) = 8 4t= 0esto es cuandot= 2 s
d) x= x(4)
x(0) = (1 + 84
242)
1 = 0 m
e) Notemos que partcula cambia sentido del movimiento cuandov(t)8 4t= 0es decir en t= 2 s,por lo tanto
s= x(2) x(0) + x(2) x(4) = 16 m
f) Similarmente
s= x(2) x(0) + x(2) x(5) = 26 m
N
jercicio 6.2 Una partcula se mueve a lo largo del eje OX de un sistemcoordenadas con aceleracin constante. En el instante inicial pasa por
sicinx(0) =
10 m con una velocidadv(0) =
2 0 m s1 y ent = 3 s
sicin esx(3) = 52 m. Determine
a) La posicin de la partcula en funcin del tiempo x(t). (o ecuacitinerario)
b) El espacio recorrido por la partcula entret= 3 s yt= 6 s.
c) La velocidad media entret= 4 s yt= 7 s.
d) Los intervalos de tiempo en que la partcula se aleja del origen.
Solucin.Siaindica la aceleracin entonces
x(t) = x(0) + v(0)t +1
2at2
=
10
20t +1
2at2
b (3) 52 l t t
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a)
x(t) = 10 20t + 2t2
b) Para saber el espacio recorrido debemos saber cuando cambia el sentidel movimiento
v(t) = 20 + 4t= 0 t= 5 s
que est dentro del intervalo (3, 6). Como inicialmente va hacia la quierda
s= x(3) x(5) + x(6) x(5) = 10 m
c) Tenemos que calcular
vm(4, 7) =x(7) x(4)
7 4 ,
pero podemos evaluar x(7) =
52 my x(4) =
58 mluego
vm(4, 7) =52 + 58
7 4 = 2 m s1.
d) La partcula comienza a moverse hacia la izquierda hasta alcanzar mnimo que ocurre en t = 5 s. Posteriormente cruza el origen nuevmente cuando
10 20t + 2t2 = 0 t= 10. 477s
Por lo tanto la partcula se aleja del origen en los intervalos de tiem0< t 10,477s
N
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00 Soluciones ejercici
1 8765432t (s)
Vx(m/s)
30
15
-15
0
a) La aceleracin de la partcula ent= 1 s.
b) El desplazamiento de la partcula entret= 0 s yt= 3 s.
c) La velocidad media de la partcula entret= 4 s yt= 9 s.
d) La posicin de la partcula en funcin del tiempo x(t) (ecuacin itinrario) en el intervalo det= 0 s at= 2 s.
e) Los intervalos de tiempo en que la partcula se dirige hacia el orige
Solucin.Es conveniente primero evaluar las aceleraciones (pendienl grfico dado) en los tres tramos. As resulta
a1 = 45
2 m s2, a2= 0 m s
2,a3=15
2 m s2
ego al utilizar la ecuacin
x(t) =x(0) + v(0)t +12
at2,
sultax(t)para todo el recorrido
x(t) = x(0) + v(0)t +1
2a1t
2 = 30t 454
t2 parat 0 2
(2) = 15 m
x(t) = x(2) + v(2)(t 2) +12 a2(t 2)2 = 15 15(t 2)para2 0 t 0
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ego las respuestas sern:
N
a) a(1) = 452
m s2
b) x= x(3) x(0) = 15 15(3 2) = 0
c)
vm=x(9) x(4)
9 4 =30 15(9 5) + 15
4(9 5)2 (15 15(4 2))9 4 = 3 m
d) x(t) = 30t
45
4
t2
e) la partcula parte alejndose del origen hacia la derecha hasta quev(t) = 30 45
2t = 0 o sea t = 4
3s. Luego se mueve hacia la izquier-
da acercndose al origen hasta que x(t) = 15 15(t 2) = 0 o seahasta t= 3 s. Luego se alejar del origen nuevamente hasta que v = 0y esto ocurre si t = 7 s. De ah se acercar hasta cuando lo cruce denuevo esto es cuando 30 15(t 5) + 15
4(t 5)2 = 0, con solu-
cin t = 7 + 2
3 = 10. 4641s. En consecuencia se acerca al origen si43s < t
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02 Soluciones ejercici
a) La aceleracin deB.
b) Espacio recorrido porA desdet= 0 hasta cuandoB alcanza la velodadvB = 30 m s
1.
c) El desplazamiento deB en el intervalo det= 0 s at= 10 s.
d) La posicin de la partcula A en funcin del tiempo t, si su posiciinicial esx(0) = 8 m.
Solucin.La aceleracin de B es la pendiente de la curva vx vst.Daue la curva es una recta ella resulta constante
axB =vxt
= 408
= 8 m s2.(a)
a ecuacin de la recta es
vxB(t) = 40 8t.
e aqu se determina el instante en que el mvil B alcanza la velocidB = 3 0 m s
1 40 8t = 30 y de aqu t = 108
s = 1. 25 s. El espacorrido porAen ese tiempo ser
xA= 30t== 37. 5 m. (b)
desplazamiento deB es el rea bajo la curva (la integral de vx)
xB =Z 100
vxB(t)dt=Z 100
(40 8t)dt= 0. (c)
usted an no sabe integrar, el rea bajo la curva puede calcularla comoma de las reas de dos tringulos, una positiva y la otra negativa
xB =1
2405 1
2405 = 0 m.
a posicin de la partculaAes simplemente
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jercicio 6.5 Dos partculasAyB se mueven con velocidad constante e un mismo ejeOXen sentido contrario de manera que ent= 0 cuanpasa porQ su velocidad esvB(0) = 5 m s1, A pasa porP con velocid(0) = 6 m s1. La distancia entre los puntosA yB es142m. Determi
s desaceleraciones constantes que deben aplicar ambas partculas para qdetengan simultneamente justo antes de chocar.
P Q
142 (m)
Solucin.De acuerdo a los datos (colocando el origen en P)
xA(t) = 142 5t +12
aAt2,
vA(t) = 5 + aAt,
xB(t) = 6t1
2aBt
2,
vB(t) = 6 aBt
ote que los signos de las aceleraciones corresponden ambas a desaceleracs de magnituda. Ellas se detienen simultneamente si
5 + aAt = 0,6 aBt = 0,
ellas deben justo estar en la misma posicin
xA = xB,
142 5t +12
aAt2 = 6t 1
2aBt
2
demos reemplazaraAt= 5 yaBt= 6 obteniendo
142 5t +12
5t= 6t 12
6t
donde
t=284
11 = 25. 818s,
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04 Soluciones ejercici
N
jercicio 6.6 Una partcula se mueve en la direccin positiva del ejeOn una rapidez constante de50 m s1 durante10 s. A partir de este ltimstante acelera constantemente durante5 shasta que su rapidez es80 m setermine:
a) La aceleracin de la partcula en los primeros10 s.
b) La aceleracin de la partcula entret= 10 s yt= 15 s.
c) El desplazamiento de la partcula entret= 0 s yt= 15 s.
d) La velocidad media de la partcula entret= 10 s yt= 15 s.
Solucin.Para el primer tramo
a) a= 0 m s2.
b) Aquaes constante
a=v
t =
80 505
= 6 m s2.
c) El desplazamiento es el rea bajo la curva (hgala)v(t). El resulta
x= 5015 +1
2530 = 825 m.
d) Esta es (rea entret= 10 hastat= 15)
vm =x(15) x(10)
5
=505 + 1
2305
5
= 65 m s1.
N
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a) El espacio que recorre en los siguientes cuatro segundos.
b) La velocidad inicial.
c) La aceleracin del cuerpo.
jercicio 6.8 Dos partculas A y B salen al mismo tiempo desde el on de un sistema de coordenadas movindose en el sentido positivo del X. La partcula A tiene una velocidad inicial de vA(0) = 18ms
1 y ueleracin constanteaA= 4 m s
2, mientras que la partculaB tiene una cidad inicial devB(0) = 10 m s
1 y una aceleracin constanteaB = 8 m setermine el instante en que las partculas se encuentran nuevamente.
Solucin.Podemos escribir
xA(t) = 18t +1
24t2,
xB(t) = 10t +1
2
8t2.
as partculas se encuentran cuando xA=xB y de aqu
18t +1
24t2 = 10t +
1
28t2
n solucionest= 0, yt= 4 s, la segunda sirve.
N
jercicio 6.9 En una carrera de100 m dos jvenesA yB cruzan la mempatados, marcando ambos10,2 s. Si, acelerando uniformemente,Aalcan
rapidez mxima a los 2 s y B a los 3 s y ambos mantienen la rapidxima durante la carrera, determine:
a) Las aceleraciones de A y B
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06 Soluciones ejercic
Solucin.En general sit0 es el tiempo que dura la aceleracin yV eslocidad constante final, tenemos que
x(t) = 1
2
at2, sit < t0 y
V = at0,
ego siXindica la distancia total a recorrer, el tiempoTque se emplea
T = t0 +X 1
2at02
V
T = t0 +X 1
2at02
at0
ara nuestro caso, como llegan empatados tenemos
T = (2) +100 1
2aA(2)
2
aA(2) = 10,2,
T = (3) +100 1
2aB(3)2
aB(3) = 10,2
ue danaA= 5. 4348ms
2,
aB = 3. 8314ms2,
resulta adems
VA = aAt0
A= 5. 43482 = 10. 870ms1,
VB = aBt0B = 3. 83143 = 11. 494ms1,
ara la etapa de velocidad constante tenemos que
xA(t) = 1
2aA(t
0
A)2 + VA(t t0A),
xB(t) = 1
2aB(t
0
B)2 + VB(t t0B),
reemplazando valores numricos son
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y parat= 10 s resultan
xA =
10. 87 + 10. 87t= 97. 83 m,
xB = 17. 241 + 11. 494t= 97. 699m,
ego va adelanteAy la distancia que los separa es
x= 97. 83 97. 699 = 0,131 m.
N
jercicio 6.10 Una partcula que se mueve en movimiento unidimensionbre el eje OX parte del origen con una velocidad inicial v(0) = 5 m s1
sacelera constantemente con una aceleracin a =1 0 m s2. Determiposicin mxima que alcanza sobre el eje de movimiento y la velocidando pasa nuevamente por el origen.
Solucin.Tenemos que
x(t) = 5t 5t2,v(t) = 5 10t,
a cambia su sentido de movimiento (est en un mximo) cuando510t=de aqut= 0,5 s. Para ese instante calculamos
xmaximo= 5(0,5) 5(0,5)2 = 1. 25 m.
uando pasa nuevamente por el origen x = 0 y de aqu5t 5t2 = 0, clucin t= 1 s. Para ese instante v(1) = 5 10 = 5 m s1.
N
jercicio 6 11 Si una partcula en que se mueve en movimiento unidime
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08 Soluciones ejercici
Solucin.Basta considerar que
x(t) =1
2at2,
s la distancia recorrida entret= n yt= n + 1 ser
xn=1
2a(n + 1)2 1
2an2 =
1
2a(2n + 1)
sea estn en la proporcin 1 : 3 : 5 : 7 :
N
jercicio 6.12 Si una partcula que se mueve en movimiento unidimeonal sobre el eje OX parte del origen con velocidad V0 y desacelera celeracin constantea, demuestre que la partcula regresar al origen
n tiempo
t=2V0
a .
Solucin.Tenemos que
x= V0t1
2at2,
ego haciendox= 0 resultaV0t 12at2 = 0, y de aqu
t= 2V0a.
N
jercicio 6.13 Dos partculasAyB que se mueven en movimiento uniensional sobre el eje OX parten del origen. La partculaA parte ent =n velocidad VA(0) = 10ms
1. La partcula B parte en t = 1 s con ve
dad VB(1) =1 0 m s1
. Ambas desaceleran con aceleracin de magnit= 6 m s2. Determine la mxima distancia entre ellas antes que se cruce
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ote que desaceleraciones significan aceleraciones contrarias a la velocidicial. La distancia que las separa esxA xB es decir
x= 10t 3t2 (10(t 1) + 3(t 1)2) = 26t 6t2 13.
u mximo se logra derivando e igualando a cero
26 12t= 0,
dondet= 2. 1667s y para ese tiempo
x= 26t 6t2 13 = 15. 167m.
N
jercicio 6.14 (1) Desde el origen de un sistema de coordenadas se lanna partcula con rapidez v0 formando un ngulo de 37
o con la horizonchoca al cabo de 3 s con una pared en el punto (x, y). Si se cambia
ngulo de lanzamiento a53o con la horizontal, manteniendo la misma rapidlanzamiento v0, la partcula impacta la pared en el punto (x, y+ 7).
eterminar el tiempo que demora el proyectil lanzado a53o sobre la horizonn llegar a la pared. b)Determine la rapidez de lanzamiento de la partcul
Solucin.Recordando que
x = v0t cos
y = v0t sin 1
2gt2,
condicin del problema puede escribirse
x = 3v0cos 37
y = 3v0sin 371
210(3)2,
x = v0t cos53
y+ 7 = v0t sin53 12
10t2,
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10 Soluciones ejercici
e la primera
t=3cos37
cos53 = 3. 98 4 s,
de la otra
v0 = 38 5t2
3sin37 t sin53= 30. 0 m s1
N
jercicio 6.15 (1) Por un tubo de dimetro despreciable ubicado en el su sale un chorro de agua en un ngulo de45o con la horizontal (dentro
bo las partculas de agua tienen distintas velocidades). El grueso del agrma en el suelo un charco aproximadamente circular de radio 2,2 m cuntro se encuentra ubicado a12,2 mdel origen. Determine entre que valorra la rapidez con que sale el grueso del agua por el tubo despreciando erzas viscosas.
Solucin.De
x = v0t cos
y = x tan gx2
2v20cos2
,
andoy= 0 (punto de cada) se obtiene
x=2v20sin cos
g .
= 45o ello se simplifica a
x=v20
g,
bien v0=
gx.
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1
N
jercicio 6.16 (1) Una partcula ent = 0pasa por el origen de un sistecoordenadasfijo en el espacio con velocidadv0= 2
k m s1 movind
n el espacio con una aceleracin que en cualquier instante est dada porpresina(t) =t m s2. Determine ent= 2 s: a) Los vectores posicvelocidad de la partcula. b)Las componentes tangencial y normal deeleracin.
Solucin.Dea(t) =t ,
tegrando dos veces se deduce que
v(t) = 2 k+ (t2
2 t),
r(t) = (2 k)t + ( t3
6 t
2
2),
t= 2
r(2) = (2 k)2 + ( 43
2) = (163
,2,2),
v(2) = 2 k+ (2 2) = 4 2 k= (4,2,1)
Para evaluar las componentes tangencial y normal, determinemos
T(2) =v
v =
(4,2,1)21
or lo tantoaT = a(2) T(2),
roa(2) = (2,
1, 0), calculando resulta
10 2
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12 Soluciones ejercici
N
jercicio 6.17 (1) Un tanque se desplaza con velocidad constante de 1s1 por una llanura horizontal. Cuando t = 0, lanza un proyectil que
n el blanco a9 km. Si la inclinacin del can respecto de la horizontal o, determine la rapidez con que sale el proyectil respecto del can.
Solucin.Podemos escribir (g= 10 m s2)
x = 9000 = (v0cos 37 + 10)t,
y = v0t sin37 5t2 = 0,
la segundat=
v0sin 37
5 ,
emplace en la primera
9000 = (v0cos 37 + 10)v0sin 37
5mandosin 37 = 0,6, ycos 37 = 0,8
9000 = 0,096 v20+ 1. 2v0
ya solucin positiva es v0 = 300,0 m s1
N
jercicio 6.18 (1) Desde el origen de un sistema de coordenadas se la
un proyectil en direccin de un objeto situado en la posicin (2h; h). omento de lanzar el proyectil, se suelta el objeto que cae por efecto de avedad. Determine en funcin de h la separacin entre el proyectil yjeto cuando el proyectil haya recorrido horizontalmente una distancia h
Solucin.Para el proyectil
xP = v0t cos
yP = v0t sin 12
gt2,
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1
uandoxP =v0t cos = h, entonces
xP = h,
yP = h tan 1
2 g(
h2
v20cos2 ),xO = 2h,
yO = h1
2g(
h2
v20cos2
)
la distancia serd= p(xP xO)2 + (yP yO)2 = qh
2 + (h2
)2 = 12
5
N
jercicio 6.19 (1) Desde un barco que se mueve a20 km h1 se ve a orco que est a20km cruzando su trayectoria perpendicularmente con upidez de15 km h1. Despus de cunto tiempo la distancia que separa rcos es mnima?
Solucin.Respecto a un sistema cartesiano, las coordenadas de los darcos pueden escribirse
x1 = 0,
y1 = 20t,
x2 = 15t,
y2 = 20,
modo que la distancia en funcin del tiempo ser
d =p
(x1 x2)2 + (y1 y2)2 =p
(15t)2 + (20t 20)2= 5
p(25t2 32t + 16)
Un polinomio de segundo grado tiene un mnimo en el punto medio ens races que son16 12 16 12
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14 Soluciones ejercici
N
jercicio 6.20 (2) Una partcula A es lanzada sobre una lnea recta hzontal con cierta velocidad. Su aceleracin es constante. Un segundo m
rde y desde el mismo lugar otra partcula B es lanzada tras la primera cna velocidad igual a la mitad de la de A y una aceleracin el doble de uando B alcanza a A, las rapideces son22 m s1 y31 m s1 respectivamenalcule la distancia que las partculas han viajado.
Solucin.Suponiendo el movimiento sobre el eje OX tenemos
xA = vt +
1
2at2
,
xB = (1
2v)(t 1) +1
2(2a)(t 1)2,
vA = v+ at,
vB = (1
2v) + (2a)(t 1).
igualar las distancias y simplifi
car1
2vt = 1
2v+
1
2at2 2at + a
ems
vA = v+ at= 22
vB = (12
v) + (2a)(t 1) = 31
Es un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas cuyas soluciones sa= 5,0 m s2, t= 4,0 s,v= 2,0 m s1 y la distancia resulta
d= vt +1
2at2 = 48,0 m
N
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1
vx(m/s)
x (m)
15
30
Solucin.La funcin lineal del grfico corresponde a
vx15
+ x
30= 1,
donde tenemosdx
dt +
1
2x= 15,
t=
Z x0
dx
15 12
x= 2 ln 30 2ln(30 x) ,
ue tiende a infinito six
30. Cuandox= 18
t= 2 ln 30 2ln(30 18) = 1. 83 s,
rapidez resulta
vx= 151
218 = 6 m s1,
la aceleracin ser (derivando)
ax= 1
2vx= 3 m s2.
N
jercicio 6.22 (1) Una partcula se mueve a lo largo de la curvar = l que = 2t3 donde t se mide en segundos, r en metros y en radian
etermine la velocidad y la aceleracin de la partcula en coordenadas polarra= 0,2 rad.
-
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16 Soluciones ejercici
endo r= 6t3, r= 18t2, r= 36t, = 6t2,= 12t y el tiempo dado de
2t3 = 0,2,
t = 0,464s
t= 0,464r= 18t2 = 3. 87r= (6t3)(6t2) = 0,77
v= 3,875r+ 0,774
(r
r2) = 36t
(6t3)(6t2)2 = 15. 704
(2r+ r) = 2(18t2)(6t2) + 6t3(12t) = 13. 349
a= 15. 704r+ 13. 349
N
jercicio 6.23 (2) Desde una altura de20 m, con respecto al eje X de
stema de coordenadas ubicado en Tierra, se lanza una partcula A con upidez de50 m s1 y formando un ngulo de30o con la horizontal. Simneamente y desde la posicin X = 200m se dispara verticalmente hacriba un proyectil B de modo que cuando la partcula A llega a Tierra,oyectil B est en su altura mxima. Calcular: a)el tiempo transcurrido pae la distancia que separa A de B sea mnima; b)la velocidad relativa despecto a B en m s1.
Solucin.Usandog= 10 m s2 de
xA = 50t cos 30 = 25
3t
yA = 20 + 50t sin30 5t2 = 20 + 25t 5t2,xB = 200,
yB = vB(0)t 5t2.
tiempo para que la partcula Allegue a la Tierra (yA= 0) se obtiene d
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dondevB(0) = 57,0 m s
1.
uegoyB(t) = 57t
5t2.
a distancia entre los dos objetos ser
d=p
(xA xB)2 + (yA yB)2
reemplazando las coordenadas
xA xB = 25
3t 200,yA
yB = 20 + 25t
5t2
(57t
5t2)
= 20 32tluego
d =
q(25
3t 200)2 + (20 32t)2
= q2899t2 10 000
3t + 40 400 1280t.
mnimo ocurre en el punto medio entre las races de 2899t2100003t400 1280t= 0, que son: t= 3. 208 + 1. 909i y
t= 3. 208 1. 909i, de modo que el tiempo est = 3,21 s. En este instans velocidades son
vA = (25
3, 25 10t)= (25
3, 25 32,1)
vB = (0, 57 32,1)la velocidad relativa resulta
vA vB =
25
3,32,0
= (43. 30,32,0)N
jercicio 6.24 (1) Un can est montado sobre un promontorio de altuSe dispara un proyectil con una rapidezv0 y ngulo de elevacin. D
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18 Soluciones ejercici
Solucin.La ecuacin de la trayectoria es
y=h + x tan gx2
2v20cos2
,
cuando y = 0 debemos despejar x de una ecuacin de segundo gradsultando
x = d=tan
qtan2 + 4gh
2v20cos2
gv20cos2
= v20cos2 g
(tan s
tan2 + 2ghv20cos
2 )
= v0(cos )
g (v0sin
qv20sin
2 + 2gh
)
N
jercicio 6.25 (1) Un can es montado sobre un promontorio de altuSe dispara un proyectil con una rapidez de salida v0. Demuestre que
cance horizontal d es mximo cuando el ngulo de elevacin es:
= sin1
s v20
2v20+ 2gh.
Solucin.La ecuacin de la parbola de seguridad es
y=h +v202g gx
2
2v20,
para llegar a puntos sobre la parbola de seguridad
tan = v20gx
.
uego, el alcance mximo x al nivel del suelo se despeja haciendo y = 0 odo que
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1
sultando
tan = v20gx
= v20
gp(v20+ 2gh)v0g = v0
p(v20+ 2gh) ,
sin =
v0q(v20+2gh)q
1 + v2
0
v20+2gh
= v0p(2v20+ 2gh)
,
que prueba el resultado.
N
jercicio 6.26 (2) Una partcula es lanzada al espacio de modo que cance sobre el plano horizontal es R y su mxima altura h. Demuestre q
alcance horizontal mximo, con la misma rapidez de salidav0, es:
2h +R2
8h.
Solucin.Sabemos que el alcance horizontal y altura mxima son
R = 2v20cos sin
g ,
h = v20sin
2
2g ,
que el mximo alcance horizontal es
Rmax=
v20
g.
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20 Soluciones ejercici
emplazamos en la primera
R = 2v20cos sin
g =
= 2v20
g
s2gh
v20
vuut1 (s
2gh
v20)2
= 2
2
h
sv20g 2h
,
ego R2
8h =
v20g 2h,
finalmente
Rmax=v20
g = 2h +
R2
8h.
N
jercicio 6.27 (2) Se monta un can sobre la base de un plano inclinae forma un ngulo con la horizontal. Este can dispara un proyec
acia la parte superior del plano, siendo el ngulo que forma la velocidad lida del proyectil con el plano. Calcule el ngulo de elevacin del plano pae el proyectil impacte sobre el plano inclinado paralelamente a la horizont
Solucin.La ecuacin de la trayectoria es con 0
ngulo de disparo recto a la horizontal
y=x tan 0 gx2
2v20cos2 0
,
cuandoy=x tan ,
mpacta al plano inclinado. En esa coordenada debe ser
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1
tan 0 gx2v20cos
2 0= tan .
e la tercera despejamosx y reemplazamos en la ltima
x= v20cos 0 sin 0
g ,
ego
tan 0 g2v20cos
2 0v20cos
0 sin 0
g = tan ,
1
2tan
0
= tan .ero0 =+ de manera
tan( + ) = 2 tan ,
tan + tan
1 tan tan = 2 tan
de donde
tan = 14tan
1q(1 8tan2 ) .
ay solucin slo si 8tan2
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22 Soluciones ejercic
N
jercicio 6.28 (3) Un proyectil se dispara con rapidez inicialv0, y nginclinacin variable. Para qu ngulo el alcance del proyectil ser mxim
lo largo de la recta y=x tan ?.
Solucin.Tenemos la ecuacin de la parbola de seguridad
y= v202g gx
2
2v20
,
para llegar a puntos sobre la parbola de seguridad
tan = v20gx
.
dems debe ser
y=x tan .e la primera y la tercera
v202g gx
2
2v20=x tan ,
donde
x= tan +q(tan2 + 1) v20
g,
luego
tan = v20gx
= 1
tan +p
(tan2 + 1)= tan + sec ,
que prueba el resultado. Sin embargo hay un resultado ms simple. ecto de la identidad
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1
ego
tan = tan+
2
2 ,
donde
= 4
+2
.
or ejemplo si= 0 = 4
, = 2 =
2.
N
jercicio 6.29 (1) Un aeroplano que vuela horizontalmente a1 km de
ra y con una rapidez de 200 km h1
, deja caer una bomba contra un barue viaja en la misma direccin y sentido con una rapidez de 20 km h
ruebe que la bomba debe soltarse cuando la distancia horizontal entrein y el barco es de705 m (considereg= 10 m s2).
Solucin. Colocando el origen al nivel del mar, bajo el avin en el instansoltar la bomba, tenemos (1 km h = 1000/3600 = 5
18= 0,278ms1)
xP = 20010003600
t,
yP = 1000 5t2,xB = d + 20
1000
3600t,
yB = 0.
ara dar en el blanco, igualamos
2001000
3600t = d + 20
1000
3600t,
1000 5t2 = 0,
la ltima
t=
200s
de la anterior
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24 Soluciones ejercicio
jercicio 6.30 (2) Se deja caer una pelota verticalmente sobre un punto un plano inclinado que forma un ngulo de20o con un plano horizonta
a pelota rebota formando un ngulo de40o con la vertical. Sabiendo que ximo rebote tiene lugar en B a distancia10 m de A ms abajo del plan
lcule:
a) el mdulo de la velocidad con la cual rebota la pelota en A,
b) el tiempo transcurrido desde que la pelota rebota en A hasta que pelota rebota en B.
Solucin.De acuerdo a la figura tenemos
10 m
20
x
y 100 m/s
B
40
50
y=x tan50 gx2
2v20cos2 50
,
niendo la condicin que pase porB con coordenadasxB = 10 cos 20, yB10sin20, debemos despejar v0
10 sin 20 = 10 cos 20 tan 50 g(10cos20)2
2v20cos2 50
,
v0= s5g(cos 20) sec2 50
(tan 50 + tan 20)
.
tiempo lo obtenemos de x v (cos 50)t resultano
-
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1
N
jercicio 6.31 (1) Si el alcance mximo horizontal de un proyectil es lcular el ngulo que debe usarse, con la misma rapidez de lanzamien
ara que el proyectil impacte en un blanco situado al mismo nivel de lanziento y a una distanciaR/2.
Solucin.Sabemos que
R=2v20cos sin
g , Rmax=
v20g
,
Rmax=R/2 entonces
sin2=1
2, 2= 30o, = 15o.
N
jercicio 6.32 (2) Una partcula se mueve a lo largo de una parbolay
de tal manera que para todo instante se cumple quevx = 3 m s1
. Calcvelocidad y aceleracin de la partcula cuando x= 2/3 m.
Solucin.Este problema requiere de conocimientos de clculo. En efecbemos que
dx
dt = 3, y=x2,
rivando la segunda
dydt
= 2xdxdt
= 6x,
rivando de nuevo,d2x
dt2 = 0,
d2y
dt2 = 6
dx
dt = 18,
aceleracin ha resultado constante
a= (0, 18)ms2.
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26 Soluciones ejercici
jercicio 6.33 (1) Una partcula se mueve en el plano XY de acuerdoley: ax =4sin t; ay = 3cos t. Se sabe que cuandot = 0, x = 0; y == 4;vy = 0. Encuentre la expresin cartesiana de la trayectoria y adem
lcule la velocidad cuandot= /4. Exprese sus magnitudes en unidades
Solucin.Tenemos que
d2x
dt2 = 4sin t, d
2y
dt2= 3cos t,
tegrando dos veces con las condiciones iniciales dadas resulta
dx
dt = 4 + 4(cos t 1) = 4 cos t,
dy
dt = 3 sin t,
x = 4 sin t,
y = 3 3(cos t 1) = 6 3cos t,
iminando el tiempo resulta la ecuacin de la trayectoria
x2
16+ (
y 63
)2 = 1.
a velocidad esv= (4 cos t, 3sin t)
ent= /4
v= (2
2,3
2
2) = (2. 83, 2. 12) m s1
N
jercicio 6 34 (1) Una partcula se mueve sobre el plano XY de mane
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1
Solucin.Tenemos
x= t, y= t3
6,
rivando dos veces
vx= 1, vy = t2
2,
ax= 0, ay =t,
vector unitario tangente es
T =vv
= (1, t2
2)q1 + t
4
4
.
nt= 2 scalculamos
vx = 1, vy = 2,
ax = 0, ay = 2,
T = (1, 2)
5
ego
a = 2 m s2,
v =
5 m s
1
aT = a T =ayTy = 2 2
5= 1. 7 9 m s2,
aN =q
a2 a2T =2
5
5 = 0,8 9 m s2,
= v2
aN=
5
2
5 = 5. 59 m.
N
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28 Soluciones ejercici
Solucin.De los datos
s= R =t3 + 2t2,
donde=
3t2 + 4t
R , =
6t + 4
R
a aceleracin en polares tiene las dos componentes
a= (R2, R) = ((3t2 + 4t)2
R , 6t + 4),
t= 2 sa=
400
R , 16
,
se sabe que la magnitud esr4002
R2 + 162 = 16
2,
dondeR= 25 m.
N
jercicio 6.36 (1) Una partcula describe una trayectoria dada por las ientes ecuaciones paramtricas: x= t; y=t2/2. Determinar la curva y
dio de curvatura.Solucin.Elimine el tiempo y se obtiene la curva
y=1
2x2.
radio de curvatura es
= (1 + y02
)3/2
|y00| = (1 + x2)3/2 = (1 + t2)3/2.
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1
Solucin.Similarmente resulta
y = x2,
=
(1 + y02)3/2
|y00| =
(1 + 4x2)3/2
2 ,
K = 1
=
2
(1 + 4x2)3/2,
enx=
a
=(1 + 4a)3/2
2
.
N
jercicio 6.38 (2) Demuestre que la curvatura de la elipsex2/a2+y2/bes:
K= a4b
[a2 (a2 x2) + b2x2]3
2
.
Solucin.Es conveniente derivar en forma implcita
x
a2+
yy 0
b2 = 0,
y0 = b2x
a2y,
y00
= b2
a2y +
b2x
a2y2y0
= b2
a2yb2x
a2y2b2x
a2y
= b2
a2y b
4x2
a4y3.
uego
K = |y00|
(1 + y02)3/2b2 b4x2
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30 Soluciones ejercici
ego
K= a4b4
(a4y2 + b4x2)3
2
= a4b
(a2(a2 x2) + b2x2) 32.
N
jercicio 6.39 (1) La aceleracin de una partcula es:a= 2et +5cosn el instante t = 0 se encuentra en el punto P(1;3) siendo su velocid= 4 3. Encuentre su posicin y velocidad para cualquier instantet >
Solucin.Tenemos que
dvdt
= 2et + 5 cos t ,
tegrando con las condiciones iniciales dadas
v = 4 3 + 2(1 et) + 5 sin t = 6 2e
t
+ (5 sin t 3) .tegrando de nuevo
r = + 3 +
6t 2(1 et)
+ (5(1 cos t) 3t) = (2et + 6t 1) + (8 5cos t 3t).
N
jercicio 6.40 (1) Una partcula se mueve sobre una trayectoria tal qvector de posicin en cualquier instante es: r=t + t
2
2 + tk . Determin
la velocidad, b)la rapidez c)la aceleracin, d)la magnitud de la aceleracingencial y e)la magnitud de la aceleracin normal.
Solucin.De
r=t +t2
2 + tk,
rivando dos veces
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1
vector unitario tangente es
T =v
v =
(1, t, 1)2 + t2
,
or lo tanto
aT = a T = t2 + t2
,
aN =q
a2 a2T =r
1 t2
2 + t2 =
r 2
2 + t2.
N
jercicio 6.41 (2) Una partcula se mueve en el plano XY de tal manee: ax = 4pe
4t y vy = 2qcos2t donde p y q son constantes positivuando t = 0; x=p/4; y = 0; vx =p. Determinar: a)el vector posicin,ctor velocidad y el vector aceleracin de la partcula en funcin del tiempla trayectoria de la partcula.
Solucin.Tenemos que
ax = dvx
dt = 4pe4t,
vy = dy
dt = 2qcos2t.
ara la aceleracin derivamos la segunda
ay = 42qsin2t,
egoa= (4pe4t,42qsin2t).
ara la velocidad debemos integrar la primera
v = p +
Z t4pe4tdt = pe4t
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32 Soluciones ejercic
tegramos de nuevo
r=p
4 + (
1
4pe4t 1
4p, qsin2t) = (
1
4pe4t, qsin2t).
ara obtener la trayectoria debemos eliminar tentre
x=1
4pe4t,
y=qsin2t,
teniendo
y=qsin(
2ln
4x
p)
N
jercicio 6.42 (2) Una partcula se mueve en el plano XY describiendo
rvay = ln x; calcule: a) la rapidez en funcin dex yx , b) la magnitla aceleracin en funcin dex , x yx , c)six= c , calcule enx= a, agnitudes de la aceleracin tangencial y normal.
Solucin.De
y= ln x,
obtiene
y = 1
xx,
y = 1
xx 1
x2x2,
modo que
p r 1 r 1
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1
x= c entonces x= 0 y sabemos que x= a. Por lo tanto
v = cr1 + 1
x2,
aT = dv
dt =c
2x2x
2q
1 + 1x2
= c2 2
x2
2q
1 + 1x2
= c2
ap
(a2 + 1)
Adems
a =
rx2 + (
1
xx 1
x2x2)2 =
x2
x2 =
c2
a2,
aN =q
a2 a2T =s
c4
a4 c
4
a2 (a2 + 1)=
c2
a2p(a2 + 1)
.
N
jercicio 6.43 Una partcula se mueve de modo que sus coordenadas csianas estn dadas como funciones del tiempo por
x = 3t
y = 2t 5t2
etermine a)Las componentes cartesianas de la velocidad y de la aceleraciLas componentes polares de la velocidad y de la aceleracin. c)Las conente normal y tangencial de la velocidad y aceleracin. d)La ecuacin trayectoria en coordenadas cartesianas. e)La ecuacin de la trayectoria ordenadas polares.
Solucin.
-
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34 Soluciones ejercic
b)r= 3t+(2t5t2)
9t2+(2t5t2)2, =kr= 3t(2t5t
2)9t2+(2t5t2)2
vr = vr=9t + (2t 5t2)(2 10t)p
9t2
+ (2t 5t2
)2
v = v=3t(2 10t) (2t 5t2)3p
9t2 + (2t 5t2)2
ar = a r= (10)(2t 5t2)p
9t2 + (2t 5t2)2
a = a = (10)3tp9t2 + (2t 5t2)2
T = vv
= 3+(210t)9+(210t)2
, N= Tk= 3+(210t)9+(210t)2
entonces
vT = v T =v =p
9 + (2 10t)2vN = 0
aT = a T = 10(2 10t)p9 + (2 10t)2
aN = a N= 30p9 + (2 10t)2
y=2
3x
5
9x2
Sera necesario expresarr=r() donde
r =p
9t2 + (2t 5t2)2
tan = y
x=
2 5t3
dondet=
2
5 3
5tan
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1
N
jercicio 6.44 Una partcula se mueve sobre una elipse de semi ejes acentrada en el origen de un sistema de coordenadas con rapidez constan
, siendo la ecuacin de la elipse:
x2
a2+
y2
b2 = 1
Determine la magnitud de la aceleracin de la partcula en los puntos mejado y ms cercano de la partcula al centro. b) El tiempo que emplea
artcula en recorrer toda la elipse. c) La determinacin de la ecuacin partrica de la trayectoria con parmetro tiempo es un problema complicadro explique el mtodo a seguir.
Solucin.De la elipsex2
a2+
y2
b2 = 1
seamos obtener el radio de curvatura. Derivando implcitamente obtenem
yy 0
b2 = x
a2
y0 = b2
a2x
y, y00 = b
2
a21
y+
b2
a2x
y2y0 = b
4
a2y3
tonces
=(1 + y02)3/2
|y00| =
(1 + b4a4x2y2 )
3/2
b4
a2y3
=(a4y2 + b4x2)3/2
a4b4
a > bel punto ms alejado es x= a, y= 0,= b2
a. El punto ms cerca
x= 0, y=b, = a2
b
a)
a= v20
=(
v2
0ab2v20b
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36 Soluciones ejercici
donde
p1 + (y0)2dx
dt = v0
dt = 1
v0
p1 + (y0)2dx
nto a
x2
a2 +
y2
b2 = 1
y0 = 1p
(a2 x2)b
ax
dt = 1
v0
1
a
sb2x2 + a4 a2x2
a2 x2
dx
la ltima expresin pudiera integrarse se tendra t = t(x) y problemsuelto.
N
jercicio 6.45 La ecuacin de una elipse en coordenadas polares puecribirse como
r= c
1 e cos
endo c y e constantes. Si el ngulo vara proporcionalmente al tiemp
n constante de proporcionalidad, determine las componentes polares velocidad y de la aceleracin en funcin del tiempo.
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1
s componentes polares estn dadas por
vr = r= ec sin t
(1
e cos t)2
v = r= c1 e cos t
ar = r r2
= r r2
=
e cos t
(1 e cos t)+ 2e2 sin2 t
(1 e cos t)2 1
2c
1 e cos t
a = 2r+ r= 2r = 2e2c sin t
(1 e cos t)2N
jercicio 6.46 Una partcula se mueve sobre una circunferencia de radion aceleracin angular constante partiendo del reposo. Si la partcula realvueltas completas a la circunferencia en el primer segundo, determine
eleracin angular de la partcula. Determine adems el nmero de vuele realiza la partcula durante el siguiente segundo del movimiento.
Solucin.Aqu
=1
2t2
tonces
2n =1
2, = 4n
durante el siguiente segundo realiza
(2) (1)2
=n(22 12) = 3n
ueltas.
N
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38 Soluciones ejercici
Solucin.La altura en funcin del tiempo ser
y=h + v0t1
2gt2
ego, tomandog= 10 m s2
y=h + 12,5t 5t2
endoa)h + 12,5(4,25) 5(4,25)2 = 0,h= 37. 19 mb)vy = 12,5 10t= 12,5 10(4,25) = 30,0 m s1
N
jercicio 6.48 Se deja caer un cuerpo desde una altura inicial de33 mmultneamente se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial m s1. Encontrar el instante en que la distancia entre ellos es de18 m.
Solucin.
y1 = 33 5t2
y2 = 33 t 5t2
y1 y2=ttonces la distancia entre ellos es 18 ma los18 s.
N
jercicio 6.49 Un cuerpo que cae, recorre en el ltimo segundo 68,3ncontrar la altura desde donde cae.
Solucin.Suponiendo que se solt del reposo
y=h 5t2
tiempo en que llega al suelo es t=q
h5
la distancia recorrida en el ltim
gundo ser
y(r
h5 1) y(rh
5)
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1
N
jercicio 6.50 Desde lo alto de un acantilado, se deja caer una piedresde la misma altura se lanza verticalmente hacia abajo una segunda p
a, 2 s ms tarde, con una rapidez de 3 0 m s1. Si ambas golpean el pi
multneamente, encuentre la altura del acantilado.
Solucin.
y1 = h 5t2y2 = h 30(t 2) 5(t 2)2
endo al mismo tiempo
y1 = h 5t2 = 0y2 = h 30(t 2) 5(t 2)2 = 0
aqut= 4 s,h= 80 m
N
jercicio 6.51 Desde el piso, se lanza hacia arriba una pelota con upidez de40 m s1. Calcule el tiempo transcurrido entre los dos instantes e su velocidad tiene una magnitud de2,5 m s1 y la distancia respecto
so que se encuentra la pelota en ese instante.
Solucin.
y = v0t1
2gt2
vy = v0 gt
aqu
vy = v0 gt1= 2,5
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40 Soluciones ejercici
dems de40 gt1 = 2,5
spejamos
t1=37,5
10 = 3,75 s
por lo tantoy1= 40(3,75) 5(3,75)2 = 79. 69 m
N
jercicio 6.52 Una roca cae libremente recorriendo la segunda mitad distancia de cada en3 s. Encuentre la altura desde la cual se solt y
empo total de cada.
Solucin.
y=h 12
gt2
tiempo en que alcanza h/2 es t1 =q
hg y el tiempo en que h = 0
=q
2hg
a) por lo tanto el tiempo empleado en la segunda parte de recorrido ess2h
g
sh
g = 3 = h= 524. 6 m
t=
s2h
g =
r524. 6
5 = 10,2 s
N
jercicio 6.53 Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de150altura con una rapidez de 180ms1 y formando un ngulo de 30o con
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Solucin.
x = 180(cos /6)t
y = 150 + 180(sin /6)t
5t2
Punto de cada150 + 180(sin /6)t 5t2 = 0, t= 19. 5 s
x= 180(cos /6)(19,5) = 3039. 8 m
b) Tiempo para la altura mxima180(sin /6)10t= 0, t= 9,0 sentonmax= 150 + 180(sin /6)(9)
5(9)2 = 555,0
ymax= 555,0 m
c) El vector unitario tangente es
T = v
v = cos /6 + sin /6,
a = 10tonces
aT = a T = 10sin /6 = 5 m s2
aN =q
a2 a2T =
100 25 = 8,6 6 m s2
N
jercicio 6.54 Un can de artillera lanza proyectiles con una rapidez0ms1. El artillero debe darle a un blanco que se encuentra a8640 mdetun cerro cuya altura es de1000mubicado a1200mdel can. Demues
e es posible darle al blanco y determine el ngulo de elevacin para cumpobjetivo.
Solucin.Supondremos que damos en el blanco entonces
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42 Soluciones ejercici
ue tiene dos races reales
1 = 53. 03o
2 = 36. 97o
bemos verificar que el disparo pasa sobre el cerro, para ello evaluamos mbos ngulosy(1200)
y1(1200) = 1373,0 m
y2(1200) = 777,95 m
endo la altura del cerro excedida en el primer caso.
N
jercicio 6.55 Se dispara un proyectil de modo que su alcance horizonigual al triple de la altura mxima. Encuentre el ngulo de lanzamiento
Solucin.Sabemos que
xmax = v20sin 2
g
ymax = v20sin
2
2g
tonces v20sin 2
g = 3
v20sin2
2g
tonces 2 cos = 3 sin
tan =2
3, = = 33,69o
N
-
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Solucin.La ecuacin de la parbola de seguridad es
y=h +v202g gx
2
2v20
abemos tambin que parah= 0 la distancia mxima alcanzable es
x(0) =v20
g = 300
para una altura h la distancia horizontal mxima ser
x(h) = q(v20
+ 2hg)v0
g = 400m
la primeraa)
v0=
3000 = 54. 7 7 m s1
dep
((54. 77)2 + 2h10)54. 7710
= 400b)
h= 116. 701mc) El ngulo de lanzamiento cuando el blanco est sobre el lmite de
arbola de seguridad est dado por tan = v20/gx entonces
= 36,87o
N
jercicio 6.57 Se dispara a un objeto que se encuentra sobre un placlinado en ngulo.El disparo se hace desde un punto del plano inclinan rapidez inicialv0. Determine la mxima distancia sobre el plano inclinacanzable por el disparo y el ngulo de lanzamiento para lograrlo.
Solucin. Este problema es parecido a otro anterior. Denotaremos pel ngulo del disparo respecto a la horizontal. Tenemos la ecuacin de
arbola de seguridady
v20 gx2
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44 Soluciones ejercici
dems debe sery=x tan .
e la primera y la tercera
v202g gx2
2v20=x tan ,
donde
x=
tan +
q(tan2 + 1)
v20g
,
ego la distancia sobre el plano ser
d =p
x2 + y2 =xp
1 + tan2 = x sec
= sec
tan +
q(tan2 + 1)
v20g
.
clculo del ngulo:
tan 0
=
v20gx =
1
tan +p
(tan2 + 1)= tan + sec .
que prueba el resultado. Sin embargo hay un resultado ms simple. Eecto de la identidad
tan
2 =
1 cos sin
sultatan
+ 2
2 =
1 + sin
cos = tan + sec ,
ego
tan 0 = tan +
2
2 ,
donde
0
=
4+
2 .
N
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Solucin.En la ecuacin de la parbola de seguridad
y=h +v202g gx
2
2v20,
acemosy= 0 obteniendo
xmax=v0
g
q(v20+ 2gh),
de
tan = v20
gx
,
obtienetan =
v0p(v20+ 2gh)
,
enor de45o.
N
jercicio 6.59 Un cazador que no sabe que los proyectiles caen, disparectamente a un mono que est sobre un rbol. El mono que tampoco sasica, se deja caer justo cuando el cazador dispara. Pruebe que el dispga justo al mono.
Solucin.Seah la altura inicial del mono, d su distancia horizontalzador. Entonces el ngulo de disparo est dado por
tan =h
d.
as ecuaciones de movimiento del proyectil (P) y mono (M) son
xP = v0t cos , xM=d,
yP = v0t sin 1
2gt2, yM =h
1
2gt2,
-
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46 Soluciones ejercici
ara ese tiempo comparemos las alturas
yP = v0t sin 1
2gt2 =d tan 1
2gt2,
yM = h 12
gt2,
ue son iguales porque d tan = h.
N
jercicio 6.60 En una feria de diversiones, se dispara al blanco sobre u
lera de blancos que pasan frente al que dispara, a una distanciad con upidez u0. Los disparos salen con una rapidez v0. Determine el ngulo
delanto en que hay que apuntar para dar en el blanco al objeto que pasto frente al que dispara.
Solucin.Seaese ngulo. Debe cumplirse que
tan = u0t
d ,
v0t =q
d2 + u20t2,
speje el tiempo de la segunda y obtenga
tan = u0
pv
2
0 u2
0
.
N
jercicio 6.61 Una piedra se deja caer a un pozo de profundidad desconda. El ruido del impacto en el fondo se escucha un tiempo T despus ltada la piedra. Si la rapidez del sonido esuSdetermine en trminos deyg, la profundidad del pozo.
Solucin. Sea t1el tiempo de cada de la piedra y t2el tiempo que demo
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ego
T=t1+ t2=
s2h
g +
h
uS,
despejeh
h=u2S2g
r1 +
2gT
uS 1!2
.
N
jercicio 6.62 Una pelota se deja caer desde una alturahy en cada reb
ntra el suelo, la rapidez del rebote es un factore de la rapidez que testo antes de chocar contra el suelo(e
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48 Soluciones ejercicio
la distancia total recorrida es
s=h + 2(e2h + e4h + e6h + ) =h1 + e2
1 e2
N
jercicio 6.63 Una persona lanza un objeto con rapidez inicialv0 formanun ngulo respecto a la horizontal. Determine la aceleracin constant
n que debe correr la persona, partiendo del reposo, para justo alcanzar ejeto al mismo nivel de lanzamiento.
Solucin.Tenemos
x = v0t cos
y = v0t sin 1
2gt2,
y= 0, t= 2v0sin /g,y debe tenerse
v0t cos = 12at2,
biena=g cot .
N
jercicio 6.64 Un automvil viaja hacia el norte con una rapidez de60 kmn una carretera recta. Un camin viaja en direccin opuesta con una rapiz de50 km h1. (a) Cul es la velocidad del automvil respecto al camin) Cul es la velocidad del camin respecto al automvil?
Solucin.Si el norte corresponde al sentido positivo, entoncesa)60 (50) = 110 km h1 b)50 60 = 110kmh1
N
6 65 U l h l b l R I
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Solucin.Similarmente si el Oeste indica el sentido positivo entoncesa)80 95 = 15kmh1 b)95 80 = 15 km h1
N
jercicio 6.66 Un ro tiene una rapidez uniforme de0,5 m s1. Un esante nada corriente arriba una distancia de 1 km y regresa al punto
artida. Si el estudiante puede nadar con una rapidez de1,2 m s1 en aguanquilas, cunto dura el recorrido? Compare este resultado con el tieme durara el recorrido si el agua estuviera tranquila.
Solucin. La rapidez absoluta (respecto a la ribera) cuando nada c
ente arriba es1,20,5 = 0. 7y cuando nada corriente abajo es1,2 + 0,57 entonces el tiempo de ida y vuelta ser
t=1000
0,7 +
1000
1,7 = 2016. 81 s = 0,56 h
N
jercicio 6.67 Dos remeros en idnticas canoas ejercen el mismo esfuremando en un ro, uno corriente arriba (y se mueve corriente arrib
ientras que el otro rema directamente corriente abajo. Un observador, poso sobre la orilla del ro, determina sus rapideces que resultan ser deV2 respectivamente. Determine en trminos de los datos la rapidez de uas del ro.
Solucin. SeaW la rapidez del ro y u la rapidez de los botes respecagua, (igual en ambos), entonces
V1=u W, V2 =u + W
modo que
W =V2 V1
2 .
N
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50 Soluciones ejercici
uerdo a los datos Cul es la velocidad del bote respecto a un observadtenido en la orilla? Hasta dnde estar el bote, medido corriente aba
aralelamente al ro, desde la posicin inicial hasta cuando alcance la oriuesta?
Solucin. Sea x paralelo al ro e y perpendicular al ro de ancho ntonces seav la velocidad del bote respecto al ro, u la velocidad del ro,velocidad absoluta del bote (respecto a tierra). Luego
a)V =u + v
b) La componente de la velocidad absoluta perpendicular al ro determi
tiempo de cruce de acuerdo a
t=w
v
r lo tanto el bote avanza paralelamente al ro una distancia
d= ut =u
vw
N
jercicio 6.69 Un comprador que est en una tienda puede caminar se una escalera mecnica en30 s cuando est detenida. Cuando la escaleecnica funciona normalmente, puede llevar al comprador sin caminarguiente piso en20 s. Cunto tiempo le tomara al comprador al subir cinando con la escalera mecnica en movimiento? Suponga que el comprad
ace el mismo esfuerzo al caminar sobre la escalera mecnica en movimiencuando est parada.
Solucin.SeaL el largo de la escalera. Entonces la velocidad de la pena respecto a la escalera es
v0 = L
30.
avela velocidad de la escalera. Ella corresponde a la de la persona cuan
camina, es decirL
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donde el tiempo ser
t= 12 s
N
jercicio 6.70 Un avin va dirigindose hacia el oeste. La rapidez in respecto al aire es de 150kmh1. Si existe un viento de 30kmh
acia el norte, calcule la velocidad del avin respecto a la Tierra.
Solucin.
N
O
v
vv
a velocidad del viento es vv = 30 y la rapidez del avin respecto al aire= 150, en magnitudes. Pero
v=v= 30 + v0
dondev0 =v
30
si tomamos magnitudes
150 =
v2 + 302
dondev= 146. 969kmh1
N
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52 Soluciones ejercicios
Solucin.Usaremos la figura anterior pero ahora la velocidad del vientot hacia el Sur. Ahora la velocidad del viento es vv = 50 y la rapidez delin respecto al aire es v0 = 200, en magnitudes. Pero
v=v=
50 + v0
similarmente resultav0 = 200 =
v2 + 502
dondeb)
v= 193. 65kmh1
a)v0 = 50 + 193. 65
a la direccin en que debe dirigirse el avin.
N
jercicio 6.72 Un automvil viaja hacia el Este con una rapidez de50 km hst lloviendo verticalmente con respecto a la Tierra. Las marcas de la llu-
a sobre las ventanas laterales del automvil forman un ngulo de60o
convertical, calcule la velocidad de la lluvia con respecto al automvil y conspecto a la Tierra.
Solucin. La velocidad relativa v0 de la lluvia forma un ngulo de 60o
n la vertical y la velocidad vde la lluvia con respecto a la Tierra es vertical.ntonces de
v=vA+ v0,
nemos que
vA v0 sin 60 = 0,v0 cos 60 = v,
donde la velocidad de la lluvia respecto al auto tiene magnitud
v0 = vA
sin60
= 50
123=
100
3km h1
l id d d l ll i t l ti ti it d
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N
jercicio 6.73 Un nio en peligro de ahogarse en un ro est siendo llevarriente abajo por una corriente que fluye uniformemente con una rapi
2,5 k m h1. El nio est a0,6 km de la orilla y a0,8 km corriente arr
un embarcadero cuando un bote de rescate se pone en camino. a)Si el bocede a su rapidez mxima de20 km h1 con respecto al agua, cul esreccin, relativa a la orilla, que deber tomar el conductor del bote? bul es el ngulo que hace la velocidadv del bote con respecto a la oril Cunto tiempo le tomar al bote para alcanzar al nio?
Solucin.
0.6 Km
0.8 Km
x
y
ara el nio
x = 2,5t
y = 0,6
ara el bote
x = 0,8 + vxt
y = vyt
bote encuentra al nio cuando
2,5t = 0,8 + vxt0,6 = vyt
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54 Soluciones ejercic
endov0 = 20de modo que si tomamos mdulo dev0 resultar
(vx 2,5)2 + v2y = 400
reemplazamos aquvx 2,5 = 0,8t yvy = 0,6t resultar
(0,8
t )2 + (
0,6
t )2 = 400
dondec)
t= 0,0 5 hb) Ahora podemos calcular vx, vy
vx = 2,50,8
t = 2,5 0,8
0,05= 13,5,
vy = 0,6
0,05= 12.
sea, como se supuso en la figura, el bote va corriente arriba formando ngulo con la orilla determinado de
tan = 12
13,5, = = 41,63o.
a) El conductor del bote debe dirigirlo segn
v0 = (vx 2,5) + vy= 16 + 12,
sea formando un ngulo0 respecto a la orilla aguas arriba dado por
tan 0 =12
16= 0 = 36,87o.
N
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Solucin.Siy es la vertical hacia arriba y x es la direccin de la acecin del tren, entonces
a)a0 =
2,5
9,8.
b)a= 9,8.
N
jercicio 6.75 Un estudiante de la Facultad de Ingeniera est parado se el vagn de un tren que viaja a lo largo de una va horizontal recta a u
pidez constante de V m s1. El estudiante lanza una pelota al aire a lo lar
una trayectoria que inicialmente forma un ngulo de con la horizonest en lnea con la va. El profesor del estudiante, que est parado cerbre la tierra, observa que la pelota sale verticalmente. Qu altura subipelota?
Solucin. Si V 0 es la rapidez relativa al tren inicial de lanzamien
tonces en la direccin del movimiento xtenemos
Vx=V 0 cos V = 0
rque el Profesor observa que sale verticalmente. Entonces
V 0 = V
cos
toncesV = V 0 = V 0 sin = V tan