6-ALGEBRA 2do (1 - 4)

Capítulo 1. Leyes de Exponentes I ..................................................... 9

Capítulo 2. Leyes de Exponentes II ................................................... 17

Capítulo 3. Ecuaciones Exponenciales ............................................... 25

Capítulo 4. Polinomios – Grados y Valor Numérico ........................ 32

Capítulo 5. Polinomios Especiales ....................................................... 39

Capítulo 6. Productos Notables I ........................................................ 46

Capítulo 7. Productos Notables II ....................................................... 53

Capítulo 8. División Algebraica I ........................................................ 60

Capítulo 9. División Algebraica II ....................................................... 67

Capítulo 10. División Algebraica III ..................................................... 74

Capítulo 11. Factorización en Z I ......................................................... 81

Capítulo 12. Factorización en Z II ....................................................... 88

Capítulo 13. Ecuaciones de Primer Grado ........................................... 95

Capítulo 14. Ecuación Cuadrática ......................................................... 102

Capítulo 15. Sistema de Ecuaciones Lineales ...................................... 109

Capítulo 16. Inecuaciones de Primer Grado ........................................ 116

5

Álgebra - 2do Sec.

1Leyes deExponentes I

LA LEYENDA DEL AJEDREZ

Hace tiempo, vivió un rey llamado DINUS, cuyo territorio estaba siendo invadido por las tropas de uno de sus vecinos (o sea otro rey) llamado MALIGNUS.

DINUS estaba desesperado, pues casi todas sus tropas estaban siendo derrotadas; solamente le quedaba una gran tropa compuesta por soldados, caballería, elefantes montados, expertos sablistas y todo el pueblo guiado por la reina.

Es aquí donde _____ llega al reino de DINUS y le dice:- ¡¡¡ Habla DINUS !!! ... ¿cómo has estado chocherita?- Un poco preocupado causita... estoy que pierdo una

pequeña guerrita.- Entonces he llegado justo a tiempo DINUS, aquí te

traigo un juego llamado AJEDREZ. Estoy seguro que si lo aprendes a jugar, solucionará tus problemas -dijo ________.

- No seas palta causita... estoy en plena guerra y tú me traes un jueguito... ¡¡Luego dicen que yo soy el taradinus!!!

- Es que no me entiendes -dijo -éste es un juego de estrategia.

Observa: los soldados que tienes vienen a ser los PEONES; la caballería de tus tropas está representada por estos dos CABALLOS; los elefantes son estas dos TORRES; los sablistas son estas dos piezas llamadas ALFILES; toditito el pueblo está simbolizado por esta pieza llamada REINA, y esta última pieza simboliza al REY, es decir, a ti. Practiquemos un rato y verás que con las estrategias que aprendas ganarás la guerra.Pasaron unas horas y DINUS aprendió muchas estrategias, las cuales aplicó al día siguiente en la batalla. ¡Y al finalizar el día!... ¿Qué creen que pasó muchachos?... DINUS ganó la guerra.

A la semana siguiente fue llamado ____ a la presencia del rey, y este dijo:- Oye ______ ese jueguito que me trajiste está recontra

chévere. ¡Imagínate que hasta me hizo ganar una guerra! ... ¿Cómo dijiste que se llama ... Monopolio, no es cierto?

- ¡¡NOO!!... este juego se llama AJEDREZ!! ... ¡de veras que eres bien, pero bien TARADINUS! dijo ______ un tanto molesto.

- Bueno, bueno, dejemos de lado el nombre, te llamé pues por tu ayuda brindada, voy a premiarte con cualquier cosa que me pidas. Pídeme lo que quieras y te lo daré... ¡ah! pero eso sí, nada que ver con mis figuritas de los MEDABOTS... ¿Ok?

- ¡Ches!... y justo tienes la 5, la que me faltaba... pero bueno ni modo. Ya que insistes, voy a pedirte lo siguiente:

Como habrás visto, el tablero de ajedrez tiene 64 casilleros. Quiero que me des 1 grano de arroz por el primer casillero, 2 granos por el segundo, 4 granos por el tercero, 8 por el cuarto, 16 por quinto, y así sucesivamente.

6

Álgebra - 2do Sec.

El rey avergonzado al no poder pagar la recompensa, le dio a _______ todo su reino.Y como diría alguien: ESO ES TO, ESO ES TO, ESO ES TODO AMIGOS!!

Si quieres saber cuántos granos de arroz hubiera sido la recompensa, realiza los siguientes cálculos:

CASILLERO GRANOS DE ARROZ

1.º ⇒ 20 = 1 2.º ⇒ 21 = 2 3.º ⇒ 22 = 4 4.º ⇒ 23 = 8 5.º ⇒ 24 = 16 : : 64.º ⇒ 263 = ???

Suma los resultados y obtendrás la recompensa.

Quizás estas operaciones te tomen un tiempo hacerlas (2 ó 3 días) así que voy a darte una ayuda.

El resultado final es:D I E C I O C H O T R I L L O N E S , C U AT R O C I E N T O S CUARENTA Y SEIS MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y C U AT R O B I L LO N E S S E T E N TA Y T R E S M I L S E T E C I E N TO S N U E V E M I L LO N E S , Q U I N I E N TO S CINCUENTA Y UN MIL SEISCIENTOS DIECISÉIS; o si lo prefieres en números:

18 446 644 073 709 551 616 granos de arroz

¡¡INMENSO!!... no crees?

¡Ah! lo olvidaba, una vez conocido este número, el rey no tuvo más remedio que estudiar matemáticas, para poder ser tan hábil como _____, así que decidió estudiar en el mejor de los colegios: MENTOR

Potenciación

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 5 = 32 5 veces

BASE POTENCIA

EXPONENTE

Ejemplo:

; n ∈ Na x a x a x ... x a = an

“n” veces

Es un número natural que indica la cantidad de veces que ha sido multiplicado otro número llamado Base, obteniéndose la Potencia.

1. EXPONENTE NATURAL

Ejemplo:

; m, n ∈ Nam x an = am+n

Ejemplo:

([am]n)p = am.n.p

Se suman los exponentes.

2. PRODUCTO DE BASES IGUALES

23 x 22 = 23+2 = 25 = 32

Se multiplican los exponentes.

3. POTENCIA DE POTENCIA

(22)3 = 22.3 = 26 = 64

; a ≠ 0, n ∈ Na-n =1

a-n

Esto nos indica que la base (diferente de cero, por cierto) se invierte.

4. EXPONENTE NEGATIVO

- ¡Uy!... Qué fácil!!! -dijo DINUS-mañana mismo te entrego esa recompensa.

Y el rey pensó que bastaba ir con S/. 10 a comprar en Metro, Santa Isabel o Plaza Vea, tres bolsitas de arroz COSTEÑO (¡buena con el cherry!) para cubrir la recompensa de ______, sin embargo uno de sus ministros dijo al rey que la cantidad total de granos sería inmensa, imposible de cumplir así toda la tierra estuviese cubierta por campos de cultivo. Así todos los mares se sequen y sean también campos de cultivo... esa cantidad es INMENSA!!!

7

Álgebra - 2do Sec.

Ejemplos:

amnp

a0 = 1 ; a ∈ R, a ≠ 0

Ejemplos:

a) 2-3 = =

b) 7-2 = =

123

18

172

149

5. EXPONENTE NULO

a) (-17)0 = 1

b) -170 = -1

En este tipo de ejercicios se efectúa la potencia empezando desde el exponente más alto.

6. EXPONENTES CONSECUTIVOS

Observa bien estos dos ejemplos, ¿cuál es la diferencia?

OJO

a) 3 20 = 3 1 = 3

b) 223 70

= 22 3 1 = 2 2

3 = 28 = 256

Ejemplo:

E = =

= = x58-56 = x2

x8 . x30 . x20

x56x8+30+20

x56

x58

x56

1. Efectúa:

E =(x2)4 . (x5)6 . x20

(x7)8

Resolución:

Resolución:

A = =

= 38

316 . (34)2

(32)8316 . 38

316

2. Calcula:

A =316 . 812

98

E = 23 3

3 3 3

3 3

= 23 3

3 3 3

= 23 3

3

= 23 = 8

Resolución:

4. Efectúa:

F = 3n+4 + 3n+3

3n+3 - 3n+2

F = =

= = 6

3n (34 + 33)3n (33 - 32)

81 + 2727 - 9

10818

Resolución:

5. Calcula:

E = 10n+3 - 10n+2

10n+2

F = =

= = 9 = 3

10n(103-102)10n . 102

1000-100100

900100

¿Por qué se dice elevar al cuadrado o al cubo? Estas expresiones son residuos de la época griega, en la cual los productos xx (x2) o xxx (x3) solo se entendían como áreas o volúmenes. Por eso nosotros, cuando calculamos el producto de un número x por sí mismo, decimos que estamos elevando x “al cuadrado”, aunque no pensemos, en absoluto, estar calculando el área de un cuadrado de lado x.

8

Álgebra - 2do Sec.

4) Simplifica:

Rpta: _______

6) Reduzca:

Rpta: _______

1) Simplifica:

2n+4 + 2n+3

2n+3 - 2n+2

[{23}4]5

(229)2

2) Calcula:

20 + 230 + 203 + 5205

3) Simplifica:

-80 + [50 + 876]1-871-60

+ (-8)0

[(73)4]5 . [(74)5]6

(711)11 . {(74)7}2

6) Reduzca:

4) Reduzca:

5) Reduzca: 152 . 813

9 . 274

25 . 37 . 49

48 . 23 . 36

316 . 812

98({24}5)7

({234}2)2

1) Efectúa: a2 . b3 . a4 . b5 . a6 . b7

Rpta: _______

2) Simplifica:

Rpta: _______

3) Efectúa: [(24)2]-3 . (22)(22)2

Rpta: _______

3n+2 . 3n+1

3n+1 – 3n

5) Calcula:

Rpta: _______

Rpta: _______ Rpta: _______

Rpta: _______Rpta: _______

Rpta: _______Rpta: _______

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

9

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Efectúa:

a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) -4

Efectúa:

a) 28 b) 5/3 c) 3/28 d) 3/5 e) 28/3

Efectúa:

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x5

Calcula el valor de la expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3519 . 4016 . 2713

(30)30 . (45)5 . 1418

(x2)4 . (x5)6 . x20

(x7)8

602 . 3754 . 158

304 . 1510 . 58

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

( ) ( )( )

2 33 7 15

76

x . x .x

x

10

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4Calcula:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10n+3 - 10n+2

10n+2

Realiza:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2n+4 - 2n+3

2n+2 - 2n+1

{(73)4}5 {(74)5}6

(711)11 {(74)7}2

Reduce:

a) 43 b) 53 c) 63

d) 73 e) 83

Resolución: Resolución:

Resolución:

Calcula:

a) 7 b) 72 c) 73

d) 74 e) 75

{[(72)3]4}5 . 763

7112 . (721)10

Resolución:

11

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Calcula:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Realiza:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 20

( )16

-2

-( )110

-2

+ +( ) ( )15

2

( )14

-2

-1

13 ( )112

-2-2

-

Calcula:

C = 20 + 230 + 203 + 5205

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


Resolución:

Efectúa:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Resolución:

0 5 00 2 0 1E 3 3 3 2= + + +

( )15

-3

( )12

-2

+ ( )115

-1

+

12

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Calcula: 4 . 4 . 4 ... 4 - 16 . 16 . 16 ... 16 20 factores 10 factores

a) 0 b)1 c) 280

d) 240 e) 220

Reduce:

D =

a) 1 b) 2/3 c) 3/2 d) 8/27 e) 9/4

( )23

6

. ( )94

9

. ( )827

4

Calcula:

a) 3 b) 0 c) 9 d) 2 e) 1

Reduce:

R =

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

153 . 64

93 . 42 . 125



40 factores 20 factores

3.3.3...3 9.9.9...9−

13

Álgebra - 2do Sec.

2Leyes deExponentes II

RADICACIÓN 6 Los Números Naturales. Fueron concebidos desde la época prehistórica siendo usados por los primitivos al calcular el número de animales cazados, los frutos recolectados, etc.

6 Los Números Enteros. Nacieron a partir de la concepción del número “0”, debido a que por el desarrollo comercial, las ganancias se representaban con cantidades positivas, las pérdidas por cantidades negativas, justamente el “0” fue ideado para marcar el límite entre positivos y negativos (esto lo puedes ver claramente en la recta numérica).

6 Los Números Racionales.Se crearon a raíz de problemas típicos como:”Dividir una manzana en tres partes iguales”, etc. Además se consideran las equivalencias entre fracciones y decimales.

6 Los Números Irracionales. Nacieron debido, estrictamente, a una exigencia en el avance matemático - científico.

6 Los Números Reales. Considerando a la reunión de todos los conjuntos anteriores.

Esta clasificación de los números, ha sido utilizada poco a poco en la categoría de los exponentes, es decir:* 23 = 8 Observa el exponente: 3 ∈ N

* 2-3 = =

Observa el exponente: -3 ∈ Z

123

18

Dentro de las matemáticas, existen lo que se denominan: PARADOJAS; que son resultados matemáticos absurdos, obtenidos a partir de situaciones verdaderas y lógicas.

A continuación voy a mencionarte una de ellas, sigue con cuidado cada paso del proceso:

* 0 = 0 Igualdad de dos números

* 4 - 4 = 2 - 2 Equivalencia de la igualdad anterior.

* 4(1 - 1) = 2(1 - 1) Factorizando 4 y 2 a izquierda y derecha,

respectivamente.

* 4 = Pasando a dividir (1 - 1) y luego simplificando

la fracción.

* 4 = 2 Sacando mitad.

* 2 = 1 Resultado final ...

TOTALMENTE ABSURDO !!¿Dónde está el error?...

Averígualo!!!

En la naturaleza del hombre y en el origen de su razonamiento lógico, se fueron construyendo los diferentes conjuntos de números que ahora conocemos como: Naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q), Irracionales (I) y Reales (R).

2 (1 - 1)(1 - 1)

14

Álgebra - 2do Sec.

¿Te diste cuenta?... hemos usado exponentes del tipo natural, del tipo entero... y ahora ¿qué falta? ¡Ajá! ¡acertaste! Ahora veremos exponentes del tipo racional.

Así: 41/2 ¿A qué será igual esto?

a) 3 4 5 = ____________

b) 5 3 2 = ____________

c) 8 = ____________

d) 2 2 = ____________

e) 32 3 3 3 = ____________

f ) 53 4 5 3 5 = ____________

Ejemplo:

a) 4 3 36 5 530 = 4 . 6 36 . 30 530 = 2 . 3 . 5 = 30

b) 3 3 4 3 5 = 8 317 = 317/8

c) 2 3 3 2 2 5 2 4 = 30 259 = 259/30

x +

x + x +

Resolución:

1. Determina el valor de:

J = 4 3 166 + 254

J = 24 (24)6 + 4 254

= 24 224 + 25 = 2 + 25 = 27

Radicación

1. EXPONENTE FRACCIONARIO

; n ≠ 0, m, n ∈ Z

a) (5) = 2 51 = 5

b) (8) = 6 81 = 6 231 = 2

m n p a = m.n.p a

a) 3 5 = 2.3 5 = 6 5

b) 216 = 2.2.2 216 = 18 2162

= 22 = 4

c) 3 64 = 6 64 = 2

d) 3 4 5 3 = 60 3

m, n, p ∈ Z - {0}

Ejemplo:

12

16 2

Se pueden simplificar estos

números

OJO

Ejemplo:

am/n = n am

2. RAÍZ DE RAÍZ

1. Indica el equivalente de:

a) 21/3 = _________________

b) 32/5 = _________________

c) 41/2 = _________________

d) 271/2 = _________________

e) 161/4 = _________________

f ) 321/5 = _________________

2. Reduce:

15

Álgebra - 2do Sec.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René

Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo.

LA IRRACIONALIDAD DE LA RAÍZ DE DOS

Según E. T. Bell, la segunda gran contribución de Pitágoras (mejor habría que decir “de la escuela pitagórica”) a las matemáticas fue, aunque le humillase y entristeciese, el descubrimiento de los números irracionales. Lo que no está tan claro es en qué contexto se realizó tal descubrimiento: muchos opinan que fue al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles, mientras que otros creen que fue al estudiar las propiedades del pentágono estrellado, símbolo de los pitagóricos. Sea como fuere, ambos trabajos proporcionaron los primeros ejemplos de números irracionales, la raíz de dos el primero y la razón áurea el segundo.

Resolución:

4 x8 3 x5

3 x3 4 x5

E = =

= 12 x12 = x

4(3) x8(3)+5

3(4) x3(4)+5

12 x29

12 x17

Resolución:

5 x7 . 5 x3

5 x8

x7 . x3

x85

5 x10

x8

Resolución:

92-1 + 362-1 + 1253-1

42-1

3 + 6 + 52

91/2 + 361/2 + 1251/3

41/2

9 + 36 + 3 1254

142

Observación

(am+b)p+γmnp

Resolución:

E = 25(1/4)1/2 + [49]1/2

= 25 1/4 + 49 = 251/2 + 7 = 25 + 7 = 5 + 7 = 12

5. Calcula el valor de:

A = 254-1/2 +1

49

-1/2

16

Álgebra - 2do Sec.

4) Calcula el valor de:

A = 254-1/2 + -1/2

Rpta: _______

5) Halla el valor de:

1) Calcula:

7 49 + 5 25 + 9

2) Reduce:

161/2 + 271/3 + 811/4

4) Efectúa:

-4 . -2-60

+ -3-1007

116

18

1100

x . 3 x . 4 x4 x . 3 x . x

3) Efectúa:

-16-16-2-1


2 2 2

1) Reduce:

25 + 49 + 144 + 400

Rpta: _______

2) Reduce:

32 + 42 + 122 + 52

Rpta: _______


-9-1/2

Rpta: _______

164

149


256

Rpta: _______

6) Calcula:

x . x . y . y

Rpta: _______

Rpta: _______Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______Rpta: _______


17

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2 Calcula el valor de:

a) 1512 5 b) 45 5 c) 125 5

d) 4 55 e) 5

Reduce:

a) 1712 7 b) 4 177 c) 173 7

d) 4 57 e) 53 7

Simplifica:

a) 3 x b) 43 x c) 25 x

d) 83 x e) 23 x

Reduce:

G = ; x ≠ 0

a) x1/10 b) x27/10 c) x2

d) x1/29 e) x7/20

5 x2 . 4 x10 x3

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

7 35 5

85

x . xM ; x 0

x= ≠

2 237 7 7 325 . 5 5

18

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4Simplifica:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

2n+4 - 2n+3

2n+2 - 2n+1

Calcule:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4


Simplifica:

a) 2 b) 1 c) 3d) 1/3 e) 9

[1/3]-(1/3)-1

[1/2]-(1/2)-1 + (0,2)-1

Resolución:

Calcula el valor de:

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 24

Resolución:

1 1/2151

M4

− −

=

n 3 n 2

n 2

10 1010

+ +

+

−

19

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Reduzca:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

Calcula:

M =

a) 4 b) 6 c) 7d) 9 e) 10

92-1 + 362-1 + 1253-1

42-1

Reduce:

A =

a) 5 b) 8 c) 4d) 3 e) 9

{ }127

132

-4/5-2/3

+1/2

Reduce:

a) 1/3 b) 1/4 c) 2d) 3 e) 1/2



1249A 27−−−

=

1/21/2 4/31 1B 3

36 8

− − = + +

20

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Indica el exponente final de "x". Luego de reducir.

a) 27/20 b) 1/20 c) 3/20d) 27/3 e) 1/3

Simplifica:

T =

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x5

8 x 8 x 8 x ..... 8 x10 x 3 x x 3 x ..... x 3 x

48 radicales

96 radicales

Indica el exponente final de x, luego de reducir:

O =

a) 1 b) 0 c) 2

d) 4 e) 5

4 x8 3 x5

3 x3 4 x5

Simplifica:

U =

a) 5 x b) 3 x c) x10

d) 1 e) 15 x

5 x 5 x 5 x ..... 5 x3 x 3 x 3 x ..... 3 x

50 factores

30 factores

5 6 7

4 2 5

x xQ

x x=

Resolución:

Resolución:


21

Álgebra - 2do Sec.

3EcuacionesExponenciales

LAS TORRES DE BRAHMA

Al terminar su obra Brahma (el creador), colocó tres clavos de plata alineados en el patio de un Monasterio de Bernares.

En el clavo de la izquierda puso 64 discos de oro de distintos tamaños. El mayor el más bajo.

Reunió a los monjes y les dijo: “desde hoy empezarán y sin descansar, pasarán los 64 discos de la izquierda a la derecha. Pero siempre respetarán mis tres mandamientos”.

Los tres Mandamientos de Brahma:

1. La unidad es la fuente. Por eso nunca moveréis más de un disco en cada movimiento.

2. Ahorren energía. Habrán de hacerlo en el mínimo número de movimientos.

3. El poderoso no debe oprimir al débil. Jamás un disco mayor se situará sobre otro menor.

Brahma les dijo: “El día que acaben vendrán conmigo al Nirvana Eterno donde cesarán el dolor y la intolerancia”.

¿Cuánto tiempo nos queda? Brahma habló hace 5 000 años.

La leyenda fue creada por el matemático francés Edouard Lucas en 1883.

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita está como exponente o también como base y exponente a la vez.

Ej.:

3x + 3x+1 + 3x+2 = 39 x-x = 4

1. CONCEPTO

1. Si:

2. PROPIEDADES

am = an → m = n ; ∀ a ≠ 0, 1, -1

Ejemplo: Resuelve 25x-1 = 1252-x

Después de expresar 25 y 125 como potencias de 5, tenemos:

(52)x-1 = (53)2-x

Efectuando operaciones en los exponentes:52x-2 = 56-3x

Bases iguales, exponentes iguales:2x - 2 = 6 - 3x

Resolvemos y obtenemos que: x = 8/5

22

Álgebra - 2do Sec.

2. Si:

xx = aa → x = a

Ejemplo: Resuelve x-x = 4

Expresa el exponente negativo y el 4 como potencia de 2 en:

= 221xx

122

1(-2)2

Resolución:

2x+1 . (22)x+2 = 23

2x+1 . 22x+4 = 23

23x+5 = 23

→ 3x + 5 = 3 3x = 3 - 5 3x = -2 x = -2/3

Resolución:

238x = 29

→ 38x = 9 38x = 32

→ 8x = 2 (23)x = 2 23x = 21

→ 3x = 1 x = 1/3

Resolución:

xx = 3 (2/3)2

xx = (2/3)2/3

→ x = 2/3

Resolución:

(4x)4x = 23(8)

(4x)4x = (23)8

(4x)4x = 88

→ 4x = 8 x = 8/4 x = 2

Resolución:

1. Halla “x” en: 125x-3 = 252x+1

(53)x-3 = (52)2x+1

53x-9 = 54x+2

→ 3x - 9 = 4x + 2 3x - 4x = 2 + 9 -x = 11 → x = -11

ax = bx ⇒ a = b ⇔ a > 1 ∧ b > 0

12

23

Álgebra - 2do Sec.

1) Calcula “x” en: 54x+2 = 25

2) Halla “x” en: 2x+1 . 23x-5 . 25x-9 = 25

3) Halla “x” en: 125x-3 = 252x+1

5) Resuelve: 34x+3

= 3162x-5

4) Resuelve:

2x-2

. 3 23-2x

. 5 2x-1

= 1

6) Calcula “x” en:

13( (

-3

+ 25( (

-2

+ 411( (

-1 x

= 216

2) Resuelve:

5 25x-1 = 3 5x+2

Rpta: _______

3) Resuelve: 32x+1 . 3x+2 . 33x–7 = 9

Rpta: _______

4) Halla “x” en:

8x+3

= 4 323x+1

Rpta: _______

1) Calcula "x" en: 3

2x+1 = 27

Rpta: _______

5) Resuelve:

2x+1 . 4x+2 = 8

Rpta: _______

6) Resuelve:

238x = 512

Rpta: _______

Rpta: _______ Rpta: _______

Rpta: _______ Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______


24

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Halla “x” en: 25x-3

= 225x

a) 1 b) 3 c) -3 d) 4 e) -1

Resuelve: 814x-1 = 9x+5

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3

Halla “x” en:

a) 2 b) 4 c) 3 d) - 1 e) - 2


Resolución:

x 2 x6 363 3−

=

Halla “x” en: 27x4

= 924

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Resolución:

25

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resuelve:

8 . 8 . 8 ... 8 = 4 . 4 ... 4 n veces (n+2) veces

a) 4 b) 2 c) 8 d) -8 e) -2

Resuelve:

8 . 8 . 8 ... 8 = 16 . 16 . 16 ... 16 (x+3) veces “x” veces

a) 4 b) 9 c) 2/3 d) 2 e) 1/8

Resolución:Resolución:

Resuelve:

34-x . 96+x . 2710-x = 814+x

a) 1 b) 2 c) 19/9 d) 3 e) 6

Resolución:

Resuelve:

27x-3 . 9x+1 = 81x+3

a) 12 b) 18 c) 19 d) 16 e) 20

Resolución:

26

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resuelve:

3x+4 + 3x+2 + 3x = 273

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resuelve:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución:

Resolución:

Resuelve:

2x+5 + 2x+4 + 2x+3 = 28

a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

Resuelve:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/4

62x-2

144x-1

116

=

Resolución:

Resolución:

3x 6

x 1

5 112525

−

−=

27

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resuelve:

(4x)4x = 224

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/4

Resuelve:

(2x)x = 212

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Halla “x” en:

= 2

a) 1 b) 4 c) 3 d) 1/4 e) 1/2

27 - 2x

2x - 23

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resuelve:

3x-1 + 3x-2 = 108

a) 3 b) 5 c) 9 d) 7 e) 1/5

Resolución:

28

Álgebra - 2do Sec.

4Polinomios:Grados y Valor Numérico

... Y AQUÍ UN PROBLEMITA ...

A u n h e r r e r o l e trajeron cinco cadenas de tres eslabones cada una, y le encargaron que las uniera formando una sola cadena. Antes de comenzar el trabajo, el herrero se dio a pensar cuántos eslabones tendría que abrir y volver a soldar.

Llegó a la conclusión de que tendría que abrir y soldar cuatro eslabones.¿No sería posible realizar este trabajo abriendo menos eslabones?

Para elegir los materiales adecuados, en cuanto a calidad y cantidad, para construir un puente, los ingenieros analizan las variables que intervienen antes de llevar a la práctica su proyecto, como la geología del terreno, resistencia al viento, cambio de temperatura y fluidez del tráfico automovilístico. Estas variables son expresadas matemáticamente mediante polinomios para así poder hacer los cálculos respectivos y no cometer errores imprevistos.

Uno de los símbolos más conocidos en el mundo de las matemáticas es:

> o < ; también ≥ o ≤

Estos símbolos permiten determinar que una cantidad es mayor o menor que otra. Por ejemplo, tenemos:

5 > 3 ; 1/2 < 4 ; 2 > -1

Así, podemos hablar entonces de una RELACIÓN DE ORDEN.

Se ha establecido que dicha relación de orden puede ser aplicada a todo par de números reales, y esto lo puedes comprobar si tomas dos números reales diferentes cualquiera. Siempre verás que uno es mayor que otro.Observa :

Si tomamos 2 y 1/2, entonces: 2 > 1/2

Si tomamos -4 y -π, entonces: -4 < -πLamentablemente las relaciones de orden no pueden ser aplicadas a toda entidad matemática. Así, por

ejemplo, si tenemos los polinomios: P(x) = 5x2 - 3x + 7

Q(x) = 8x3 + 1

No se puede afirmar que:P(x) > Q(x) o Q(x) > P(x)

Sin embargo, para salvar este problema se define, en lo que a polinomios se refiere, el grado absoluto (G.A.), y entonces podríamos hablar de “cierta relación de orden”.

Si tenemos el polinomio: P(x) = 5x2 - 3x + 7, tendremos que:G.A.(P(x)) = 2 (mayor exponente)

Si tenemos el polinomio: Q(x) = 8x3 + 1, tendremos que:G.A.(Q(x)) = 3 (mayor exponente)

Luego, podemos afirmar que:[G.A.(P(x))] < [G.A.(Q(x))]

29

Álgebra - 2do Sec.

Es el mayor de los G.R. de los monomios que conforman al polinomio.

Ejemplo : Halla el G.R.(y) del polinomio:

P(x, y) = 7x4y3 - 1/2x2y7 + 5 xy5

GRy = 3 GRy = 7 GRy = 5

El mayor de todos los G.R.(y) es 7.

⇒ Luego G.R.y(P(x, y)) = 7

Polinomio

1. GRADO ABSOLUTO (G.A)

Es la reunión de dos o más monomios mediante sumas y restas.

Ejemplo:

P(x, y) = 5x5y4 - 9x2y7 + 7x8z1/2

Grados

Es el mayor de los G.A. de los monomios que conforman al polinomio.

Ejemplo: Halla el G.A. del polinomio:

P(x, y) = 7x4y3 - 1/2x2y7 + 5 xy5

GA = 7 GA = 9 GA = 6

Como se observa, el mayor G.A. es 9.

⇒ G.A.(P(x)) = 9

2. GRADO RELATIVO (G.R)

Valor NuméricoSe reemplaza las variables del polinomio, por números indicados.Ejemplo: Dado el polinomio:

P(x, y) = 7x4y3 - 1/2x2y7 + 5xy5

Halla el V.N. si x = 0, y = 1.

Si reemplazamos tenemos:

P(0, 1) = 7.04.13 - 1/2 . 02 . 17 + 5 . 0 . 15

P(0, 1) = 0 - 0 + 0

P(0, 1) = 0

1. Halla el grado absoluto de: P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 - 7x2y2

Resolución:

Primero hallemos el grado absoluto de cada monomio: P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 - 7x2y2

GA=8 GA=8 GA=6 GA=9 GA=4Como se observa el mayor GA es 9.

Entonces: GA(P) = 9

2. En el polinomio: P(x, y) = 4xmy7 + 5x2ym, halla GA(P) si GR(x) = 10.

Resolución:

Si GR(x) = 10, entonces m = 10. Luego:P(x, y) = 4x10y7 + 5x2y10

GA=17 GA=12por lo tanto:

GA(P) = 17

3. Si el grado relativo de “x” es 9 en P(x, y) = 21x3yn - 8(xy)3n - xny5, halla el grado relativo de “y”.

Resolución:

Si GR(x) = 9, entonces 3n = 9 luego: n = 3reemplazando en el polinomio:

P(x, y) = 21x3y3 - 8x9y9 - x3y5

observamos:GR(y) = 9

4. Si P(x, y) = (2x + y)2 + (2x - y)2, calcula P(-1; -2)

Resolución:

Reemplazamos los valores numéricos para “x = -1” y “y = -2”.P(-1, -2) = (2(-1) + (-2)2) + (2(-1) - (-2)2) = (-2 - 2)2 + (-2 + 2)2

= (-4)2 + (0)2

= 16 + 0 = 16

5. Si W(x) = x + 2, halla W(W(3))

Resolución:

Primero hallamos W(x) para “x = 3”.W(3) = (3) + 2

= 5

luego: W(W(3)) = (5) + 2 = 7

30

Álgebra - 2do Sec.

1) Halla el G.A. en cada caso. A(x, y) = x7 + y9

B(x, y) = x3y4 + x2y6

C(x, y) = x4y8 + x8y5

D(x, y) = (x2y3)4 + xy17

2) Halla el grado relativo (G.R.) en cada caso. P(x, y) = x2y3 + x4y6 + y7

G.R.(x) = G.R.(y) =

Q(x, y) = x4y6 + xy6 + y8

G.R.(x) = G.R.(y) =

4) Calcula “a” si el siguiente polinomio es de cuarto grado:

P(x) = 3 2 + 9xa-4 - xa-3

12

5) Halla la suma de coeficientes de P(x) si este poli-nomio es de grado 7.

P(x) = 3mxm - xm+2 - xm+4

13

3) Halla el G.A. de: E(x, y) = (x4)5 (y6)7

6) Si w(x) = x + 2, halla w(w(3)).

1) Calcula P(1; 2), sabiendo que: P(x, y) = x3 + y3 + 3xy(x + y)

Rpta: _______

2) Si g(x) = 2x - 1, calcula g(g(3)).

Rpta: _______

3) Si f(x) = x2 + x + 1, halla f(3).

Rpta: _______

4) Halla el G.A en cada caso: A(x, y) = x7 + y9

B(x, y) = x3y4 + x2y6

C(x, y) = x7y8 + x8y5

D(x, y) = (x2y3)4 + xy17

Rpta: _______

5) Halla el GR(x) y el GR(y) en cada caso: P(x, y) = x2y3 + x4y6 + y7

Q(x, y) = x4y6 + xy6 + y8

S(x, y) = 2x3 + 5y9

T(x, y) = xy2 + xy6 + x5y9

Rpta: _______

6) Calcula "a" si el siguiente polinomio es de quinto grado.

− −= + −a 3 a 21P(x) 2 3 7x x

3

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______


31

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Halla "M" si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 12.

P(x) = 6 + xm - 3 2xm+7 + xm+3

a) 5 b) 6 c) 10 d) 7 e) 12

15

Halla “m” si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10.

P(x) = 7 + 5xm+6 - 3xm+7

a) 1 b) 5 c) 3 d) 4 e) 2

Calcula F(-0, 2) si se sabe que: F(x) = 2 + 25(3x + 1) a) -1 b) 0 c) 12 d) 5 e) 10

Halla P(1) + P(-1) si se sabe que: P(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3

a) -1 b) -2 c) 1/2 d) 6 e) -1/2

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

32

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Si: P(a) = 3a2 + a + 3, calcula:

E =

a) -2 b) -1 c) 2 d) 4 e) 1/2

P(0) + P(1)P(-1)

Resolución:

Si: P(x) = 2x5 - 3x4 + 2x3 + 2x - 3 halla P(-1) a) -15 b) -10 c) -5 d) -1 e) -12

Si: F(x) = x2 + x + ,

calcula F(1).

a) 1 b) 5 c) 4 d) 2 e) 3

12

13

76

Resolución:

Resolución:

Si H(x) = 5x2 - x + 2, halla: H(1) + H(2) + H(3)

a) 24 b) 68 c) 82 d) 48 e) 70

Resolución:

33

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Halla P(3) si se sabe que: P(x) = 3(x+1)(x - 1) + (x+1)2

a) 24 b) 16 c) 40 d) 18 e) 42

En el polinomio: P(x, y) = 4xmy7 + 5x2ym

halla GA(P) si GR(x) = 10.

a) 11 b) 10 c) 12 d) 5 e) 7

Halla P(5) si se sabe que: P(x) = 2(x+1)(x - 4) + (x+3)2

a) 72 b) 73 c) 74 d) 75 e) 76

En el polinomio: P(x, y) = xmy5 + xm+2y halla GR(x) si GA(P) = 12. a) 10 b) -9 c) 11 d) 7 e) 9



34

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si el grado relativo de “x” es 9 en: P(x, y) ≡ 21x3yn - 8(xy)3n - xny5

halla el grado relativo de “y”.

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

Dado el polinomio: P(x, y) ≡ 2xa+by2 - 3xa+1yb + 5xayb-1

si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a “y” es 4, halla el grado relativo a “x”.

a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

Del siguiente polinomio se conocen los siguientes datos: G.R.(x) = 7; G.R.(y) = 8

P(x, y) = 2xm+1 - 3xmyn + 5yn+2

¿cuál es el G.A. de P(x, y)?

a) 12 b) 10 c) 9 d) 14 e) 11

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Halla el grado absoluto de: P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 - 7x2y2

a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Resolución:

35

Álgebra - 2do Sec.

5Polinomios Especiales

Polinomio donde el G.R. de una variable, en cada monomio, crece o decrece.

Ejemplo:x10 + 9x7 + 5x2

1. POLINOMIO ORDENADO

1 + x2 + 3x4 + 5x7 + 2x9 + 7x12 + 3x13 + x17 + 4x20

Polinomio que presenta respecto a una variable, término independiente, término de grado 1, término de grado 2, término de grado 3 y así sucesivamente.

Ejemplo:2x5 + 7x + 2x2 + x3 + 2 + 5x4

2. POLINOMIO COMPLETO

Polinomio que tiene monomios de igual G.A.

Ejemplos:3x4y3 + 7x2y5

4x5y2 - 3x6y

6x8y3 + 3x4y7 - 4x10y

8 + 3 4 + 7 10 + 1

3. POLINOMIO HOMOGÉNEO

Polinomios y tecnología

Existen unas funciones, denominadas splines, que son utilizadas para aproximar curvas. En varios programas de computadoras se usan para construir gráficos en 2D (dos dimensiones), 3D (tres dimensiones),

spline de grado 1 Yuxtaposición de segmentos. Polinomios de grado 1.

spline de grado 2Yuxtaposición de trozos de polinomios de grado 2.Por cada tres puntos en cada uno de estos cuadros pasa la gráfica de un polinomio de grado 2.

animaciones, ondas de audio y otros. Estas funciones se construyen uniendo puntos, yuxtaponiendo trozos de polinomios que pasan por estos puntos. A los splines se les asigna un grado de acuerdo al grado de los polinomios que se utilizan.

36

Álgebra - 2do Sec.

2. Si se cumple:(m - 2)x2 + 6x + (p - 4) ≡ 6x2 + nx + 10,

halla “m + n + p”.

Un polinomio está conformado por monomios de la misma forma que un tren lo está por vagones. Por ejemplo: si sumas los monomios x3, x2, x y 7 lo que se obtiene es x3 + x2 + x + 7, que es un polinomio.

x3 + x2 + x + 7

3. Si:

(a + b - 2)x3 + (a + c - 3)x + (b + c - 5) ≡ 0, determina “a - b + c”.

Resolución

Como el polinomio es idénticamente nulo se cumple:a + b - 2 = 0a + c - 3 = 0b + c - 5 = 0

el sistema de ecuaciones se cumple para:a = 0b = 2c = 3

nos piden: a - b + c = 0 - (2) + 3 = 1

Si el polinomio es completo y ordenado, el primer término será de grado cero, el segundo de grado uno y el tercero de grado dos.

Entonces: 3a - 9 = 0 → a = 3 a + b - 3 = 1 → b = 1

2(4b + a - c)= 2 → c = 6

por lo tanto: a + b + c = 10

5. Si: P(x) = ax3 + bx + n ≡ 0 determina: M = 2003a + 2004b + 2005n

Resolución

Si el polinomio P(x) es idénticamente nulo, entonces:a = 0b = 0n = 0

luego:M = 20030 + 20040 + 20050

= 1 + 1 + 1

= 3

Resolución

Si el polinomio es homogéneo cada término debe tener el mismo grado absoluto, entonces:

3 + m = 7 + 5 = n + 8

luego:m = 9n = 4

por lo tanto:m + n = 13

0x3 + 0x9 + 0x7 + 0

Resolución

Observamos: m - 2 = 6 → m = 8 6 = n → 2 = 6

p - 4 = 10 → p = 14

por lo tanto: m + n + p = 28

1. Si: P(x, y) = 4x3ym + 5x7y5 - 2xny8 es un polinomio homogéneo. Halla (m + n).

Polinomios que poseen el mismo V.N. para cualquier valor asignado a las(s) variable(s).

Ejemplo: x2 + 7 = x2 + 7

3. POLINOMIOS IDÉNTICOS

Polinomio cuyo V.N. es cero para cualquier valor asignado a la(s) variable(s).

Ejemplo:Un polinomio nulo es como un tren sin vagones.

4. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO

4. Si: P(x) = 3x3a - 9 + xa+b-3 + 6(x2)4b+a-c

es completo y ordenado ascendentemente, calcula “a + b + c”.

Resolución

1) Señala en la siguiente relación, los polinomios homogéneos.a) P(x,y) = x2y5 + x3y4

b) P(x,y) = x5y5 + x2y8 - x9yc) P(x, y) = x6y7 + x10y3 + x5y7

d) P(x, y) = 2x4y13 - 7x7y10 - 3x8y9 + x15y2

e) P(x, y) = 5x2y7 + x9y + xy9

37

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

2) Indica en la siguiente relación, cuál no es un polinomio completo.a) P(x) = 5x + 3x2 + 2b) P(x) = 4 + 7x3 + x - 3x2

c) P(x) = 2x5 - 4x2 + 4 + x4 - 7x3 + 9d) P(x) = 5x4 + 3 - 3x2 + 3xe) P(x) = x4 + x2 + 1

3) Si: P(x) = 5x3 + x + 7 + 4xm , es un polinomio completo, halla "m".

4) Si: P(x, y) = x2y8 + xmy5 + xny7 , es un polinomio homogéneo, halla mn.

5) Si: ax3 + 3x2 + cx + 4 ≡ 2x3 + bx2 + 7x + d , halla a + b + c + d.

6) Si: (a - 3)x2 + (b - 1)x + c - 5 ≡ 0 , halla abc.

1) Indica cuál de los siguientes polinomios no es ordenado.

a) P(x) = 5x9 + x4 + 7x2

b) P(x) = 4 + 2x5 + x7

c) P(x) = x3 + 5x4 - 3x10 + 9x12

d) P(x) =3x3 - 10x30 +2x17 + x13 - 5x5 + 1e) P(x) = 8x7 + 9x10 - 4x12 + 13x11 - x20

2) ¿Cuántos polinomios son completos?

A(x) = x2 + 5x - 1 B(x) = x + 51x2 - x3 + 13 C(x) = 1 + x + x2 + x4 D(y) = y2 + 7y + 13 + y3

3) Si: P(x) = x4 + 2x2 - x3 + 4xm - 5x0

es un polinomio completo y ordenado, halla "m".

4) Si: P(x, y) = x4y5 + x2ym es un polinomio homogéneo, halla "m".

5) Se tiene ax + b ≡ 5x + 2, halla ab.

6) Si (a - 1)x + b ≡ 0, halla a + b.


38

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:

Resolución:

Halla el grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = 24x5y7 + x2y10 + xy11

a) 10 b) 12 c) 120d) 16 e) 15

Si: P(x, y) = 9x13 + 5x10 - xm + 8x8 + 7x2 + 5es un polinomio ordenado, halla "m".

a) 10 b) 11 c) 13d) 9 e) 5

Si: P(x, y) = 4x3ym + 5x7y5 - 2xny8 ,es un polinomio homogéneo, halla m + n.

a) 8 b) 6 c) 7d) 14 e) 13

Si: P(x) = 7x8 + 2x5 + 3xm + x2 ,es un polinomio ordenado, halla la suma de los valores que puede tomar m.

a) 3 b) 4 c) 7d) 11 e) 10

39

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Si: P(x) = x4 + 5xm + mm +xn + 7xes un polinomio completo, halla la suma de los valores que puede tomar el término independiente.

a) 17 b) 27 c) 12d) 19 e) 7

Si: P(x, y) = axmyn + nx2y7 + mx8yq + qxbyc

es un polinomio homogéneo, halla la suma de sus coeficientes.

a) 7 b) 14 c) 21d) 37 e) 47

Si: P(x) = 8xm+1 + m-n + 2xn + 4xp ,es un polinomio completo, determina el mínimo valor del término independiente.

a) 1/3 b) 1/2 c) -1d) -3 e) -7

Si: P(x, y) = ax8yb + axymn + bxmn

y + bxay14

es un polinomio homogéneo, halla la suma de coeficientes.

a) 12 b) 36 c) 60d) 48 e) 24

40

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Si: (a - 2)x2 + (b - 3)x + c + 1 ≡ 2x2 + 4x + 3, halla:

a) 7 b) 2 c) 14d) 4 e) 28

abc

Halla “(a + b)(ab)”, sabiendo que: P(x, y) = xa-2bya+b - 15xby2b+a + 2xa-by8

es un polinomio homogéneo. a) 60 b) 100 c) 160d) 200 e) 240

Si: ax2 + b ≡ n + mx2, halla:

a) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) -2

a - na

b - mm

+

Calcula la suma de coeficientes del polinomio:P(x, y) = a2xa+7 - bxayb + abyb+4

sabiendo que es homogéneo. a) 35 b) 36 c) 37d) 38 e) 39

41

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Si:P(x) = xa+b + 2xb+c + 3xc+d + 4xd+4

es completo y ordenado ascendentemente, calcula “abcd”. a) -12 b) 12 c) -6d) 6 e) -3

Si: P(x) = ax3 + bx + n ≡ 0determina:

M = 2003a + 2004b + 2005n

a) 3 b) 4007 c) 2004d) 2005 e) 6012

Si el polinomio:P(x) = 18xa-18 + 32xa-b+15 + 18xc-b+16

es completo y ordenado ascendentemente, calcula “a + b + c”. a) 18 b) 32 c) 36d) 68 e) 92

Si: P(x) = (ab - 8)x5 + (ba - 9)x + (c - ab)x7 ≡ 0halla:

a b + c a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 9

42

Álgebra - 2do Sec.

6Productos Notables I

I. ConceptoSon resultados que se obtienen inmediatamente, de ciertas multiplicaciones indicadas, sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

Algunos de ellos son:

(x + 4) (x + 4) = (x + 4)2 = x2 + 2(x)(4) + 42 = x2 + 8x + 16

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)(a - b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplo:

(a + b)(a - b) = a2 - b2

(x + 5) (x - 5) = x2 - 52 = x2 - 25

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS

Ejemplo:

1. Si m2 + n2 = 5 y mn = 2, halla m + n.

Resolución:

Sabemos: (m + n)2 = m2 + n2 + 2mn

Reemplazando: (m + n)2 = 5 + 2(2) → (m + n)2 = 9

Luego: m + n = ±3

2. La expresión (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2) se reduce a mx + n. Halla m + n.

Resolución:

Por dato:(x + 3)2 - (x + 2)(x - 2) ≡ mx + n

→ x2 + 6x + 9 - (x2 - 4) ≡ mx + n → 6x + 13 ≡ mx + nLuego: m = 6

n = 13

nos piden: m + n = 19

3. Simplifica: (x + 1)2 - (x - 1)2.

Resolución:

Desarrollando cada producto notable:(x + 1)2 - (x - 1)2 = x2 + 2x + 1 - (x2 - 2x + 1)

= 4x

5. Reduce: (x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 2) y halla como respuesta

el término independiente.

Resolución:

Desarrollando:(x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 2)

= (x2 - 9) - (x2 - 4) = x2 - 9 - x2 + 4 = -5 Por lo tanto el término independiente es -5

4. Simplifica: (x + 2)2 + (x - 2)2.

Resolución:

Desarrollando cada producto notable:(x + 2)2 + (x - 2)2 = x2 + 4x + 4 + (x2 - 4x + 4)

= 2x2 + 8

43

Álgebra - 2do Sec.

Matemático francés nacido el 4 de abril de 1842 en Amiens y muerto en París el 3 de octubre de 1891. Trabajó en el observatorio de París y más tarde fue profesor de matemáticas en la capital del Sena. Se le conoce sobre todo por sus trabajos sobre la serie de Fibonacci y por el test de primalidad que lleva su nombre, pero también fue el inventor de algunos juegos recreativos matemáticos muy conocidos como el de las Torres de Hanoi.Edouard Lucas fue educado en la Escuela Normal Superior de Amiens. Posteriormente trabajó con Le Verrier en el observatorio de París.Sirvió como oficial de artillería en el ejército francés durante la guerra de 1870 contra Prusia. Tras la derrota francesa, Lucas volvió a París, donde se dedicó a la enseñanza de las matemáticas en dos institutos parisinos: el Liceo de San Luis y el Liceo Carlomagno.Lucas murió de una forma un tanto peculiar de una probable septicemia a consecuencia de un corte en una mejilla sufrido en un banquete que le produjo una inflamación y se complicó con fatales consecuencias.

Edouard Lucas

Ten en cuenta

Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobreentiende son números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los griegos representaban las magnitudes como segmentos de línea recta y los operaban según las reglas de la geometría.

Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es un álgebra geométrica, que les servía más o menos para los mismos fines que nuestra álgebra simbólica. La proposición 4 del Libro II: “si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos”, es una manera larga de decir que (a +b)2 = a2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contrapartida algebraica moderna. He aquí la demostración:

El área del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores.

Luego: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a b

a

b ab b2

a2 ab

= a2

ab

ab

b2+ +

44

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Indica la relación correcta:

a) (x - 10)2 ( ) x2 - 20x + 100 b) (x - 6)2 ( ) x2 - 14x + 49 c) (x - 7)2 ( ) x2 - 12x + 36

2) Desarrolla cada caso:

a) (m + 2)(m - 2) =b) (2a + 3)(2a - 3) =c) (x2 + 3x)(x2 - 3x) =

3) Indica la relación correcta:

a) (x - 10)2 ( ) x2 - 20x + 100b) (x - 7)2 ( ) x2 - 14x + 49

4) La expresión: (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2) se reduce a mx + n. Halla m + n.

5) ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?

P(x) = (2x + 3)2 - 8x2 + (2x - 3)2 + x

6) Reduce: (x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2),

y halla por respuesta el mayor coeficiente.

1) Relaciona correctamente:

a) (x + 5)2 ( ) x2 + 4x + 4 b) (x + 3)2 ( ) x2 + 10x + 25c) (x + 2)2 ( ) x2 + 6x + 9

2) Halla la respuesta en cada caso:

a) (2x + 1)2 = ______________________

b) (4x2 - x)2 = ______________________

3) Relaciona correctamente:

a) (x + 5)2 ( ) x2 + 4x + 4

b) (x + 2)2 ( ) x2 + 10x + 25

4) Si: (2x + 8)2 = mx2 + nx + p halla m + n + p.

5) Reduce la expresión:(x + 1)2 + (x + 3)2 - (x - 1)2 - (x - 3)2

6) Simplifica:(x + 1)2 + (x - 2)2

y halla como respuesta la suma de coeficientes.


45

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Reduce: (p + 7)2 - (p - 7)2

a) 4 p b) 7p c) 12pd) 28p e) 48p

Simplifica:(x + 1)2 - (x - 1)2

a) 2x b) 4x c) 5xd) 8x e) 9x

Reduce:(m + 5)2 + (m - 5)2

a) 4m2+25 b) 2m2-25 c) 2m2+25d) m2 + 25 e) 2m2+50

Simplifica:(x + 2)2 + (x - 2)2

a) 2x2 + 8 b) 2x2 + 4 c) 2x2 + 1d) 2x2 - 1 e) 2x2 + 3

46

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:


La expresión: (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2)se reduce a mx + n. Halla m + n.

a) 13 b) 17 c) 6d) 18 e) 19

La expresión: (x+4)2 – (x+3)(x–3)Se reduce a: mn + nHalla: m + n

a) 23 b) 13 c) 43d) 33 e) 53

Si: m2 + n2 = 5 y mn = 2halla m + n.

a) 2 b) 3 c) 5d) 1 e) 4

Si a + b = 4 y ab = 1halla I = (a2 + b2)2.

a) 190 b) 196 c) 197d) 198 e) 194

47

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:


Calcula el valor de:

M = 32 1 + 3(22+1)(24+1)(216+1)(232+1)(264+1)

a) 4 b) 8 c) 16d) 160 e) 64

Calcula:

222 1+3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

Desarrolla: (a + 5)2 - (a - 5)2

a) 20a b) a2 + 25 c) 25 - a2 d) 10a e) 5a2

Desarrolla:M = (a/4 + b/2)2 - (a/4 - b/2)2

a) 4ab b) ab/2 c) abd) 8ab e) ab/8

48

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:


La suma de dos números es 7 y su producto es 12. Halla la suma de sus cuadrados.

a) 49 b) 24 c) 25d) 50 e) 64

La suma de 2 números es 7 y la diferencia de sus cuadrados es 21. Halla la diferencia entre los números.

a) 14 b) 3 c) 5d) 6 e) 7

Halla el valor de: A = x2 + 2x - 5si x = 3 - 1. a) 3 b) 3 c) -3d) 1 e) 0

Halla el valor de: A = x2 + 2x +3si x = 5 - 1. a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

49

Álgebra - 2do Sec.

7Productos Notables II

Identidad de Stevin

* (x + 2)(x + 3) = x2 + (2 + 3)x + 2 . 3 = x2 + 5x + 6

* (x + 5)(x - 2) = x2 + (5 - 2)x + (5)(-2) = x2 + 3x - 10

* (x - 7)(x + 2) = x2 + (-7 + 2)x + (-7)(2) = x2 - 5x - 14

* (x - 2)(x - 1) = x2 + (-2 - 1)x + (-2)(-1) = x2 - 3x + 2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejemplos:

Simon Stevin

El matemático más eminente en los Países Bajos fue Simon Stevin de Brujas.

Stevin, que apoyaba la facción protestante encabezada por Guillermo de Orange en su lucha contra la católica España, fue tolerante, sino indiferente, en materia religiosa. Bajo el príncipe Mauricio de Nassau ocupó el cargo de Intendente General y de Comisario de Obras Públicas, y durante un tiempo fue tutor del príncipe en Matemáticas.

Geométricamente la identidad de Stevin se demuestra así:

Según sus áreas:

(x + a) (x + b) = x2 + bx + ax + ab

= x2 + (a + b)x + ab

x ax

b bx ab

x2 ax= x2 + bx + ax + ab

Binomio al Cubo

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplo 1:

Formas desarrolladas:

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Formas abreviadas:

(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

Si x + y = 6 y xy = 7, halla: N = x3 + y3.

Resolución:

Recordando el producto notable.(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)

Reemplazando:63 = x3 + y3 + 3(7)(6)

Despejando:x3 + y3 = 63 - 3(7)(6)

x3 + y3 = 90

50

Álgebra - 2do Sec.

Ejemplo 2:

Si x - 1/x = 1, calcula P = x3 - 1/x3. Resolución:

Recordando: (x - 1/x)3 = x3 - 1/x3 - 3(x)(1/x)(x - 1/x)Reemplazando: 13 = P - 3(1)Despejando:

1 + 3 = P P = 4

Resolución:

Recordando:(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

En el problema:(x + 2)(x2 - (x)(2) + 22) ≡ ax3 + b

x3 + 23 ≡ ax3 + b

Entonces a = 1, b = 8

Luego a + b = 1 + 8 = 3

1. Si (x + 2)(x2 - 2x + 4) = ax3 + b, calcula a + b.

Resolución:

2. En la expresión: (a + b)(a2 - ab + b2), se cumple que: a + b = 2 y a2 - ab + b2 = 5. Halla M = a3 + b3.

Recordando:(a + b)(a2 - ab + b2) ≡ a3 + b3

Reemplazando los datos:(2)(5) ≡ a3 + b3

10 ≡ a3 + b3

Por lo tanto:M = a3 + b3 = 10

Resolución:

3. Determina el valor numérico de M = (x + 3)(x + 2) sabiendo que x2 + 5x = 2.

Por la identidad de Stevin:M = (x + 3)(x + 2) = x2 + (3 + 2)x + 3 . 2

= x2 + 5x + 6

Pero: x2 + 5x = 2

Entonces:M = x2 + 5x + 6

= (2) + 6 = 8

Resolución:

Por la identidad de Stevin:(x - 4)(x + 2) = x2 + (-4 + 2)x + (-4)(2) = x2 - 2x - 8

Por dato:mx2 - nx - p ≡ x2 - 2x - 8

Luego: m = 1 , n = 2 , p = 8

Entonces:n + p - m = 2 + 8 - 1 = 3

4. Si (x - 4)(x + 2) = mx2 - nx - p, determina n + p - m.

Resolución:

5. Si a + b = 3 y ab = 1, halla a3 + b3.

Recordando:(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Reemplazando:(3)3 = a3 + b3 + 3(1)(3)

27 = a3 + b3 + 9 18 = a3 + b3

Por lo tanto:a3 + b3 = 18

51

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

m + p + qm + n

1) Si: (x - 2)3 = mx3 + nx2 + px + q

halla:

2) Se cumple que: (x - 3)(x2 + 3x + 9) = mx3 + n Halla m + n.

(a - b)3 + b3 + 3ab(a - b)a3

3) Reduce:

G =

4) Reduce:N = (x + 3)(x + 2) + (x - 3)(x - 2) - 2x2

5) Determina el valor de: a3 - b3 si a - b = 6 y a2 + ab + b2 = 8

6) Calcula: (x + 4)(x + 8) si: x2 + 12x = 4

1) Si: (x + 1)3 = ax3 + bx2 + cx + b

halla K = a + bc + d

2) Si: (x + 2)(x2 - 2x + 4) = ax3 + b

calcula a + b.

3) Simplifica: M = (a + b)3 - 3ab(a + b)

4) Simplifica: M = (x + 2) (x - 1) - (x + 3) (x - 2)

5) Si: a + b = 3 y ab = 1 halla: a3 + b3 en la siguiente expresión: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

6) Determina el valor numérico de: M = (x + 3) (x + 2) sabiendo que x2 + 5x = 2


52

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Efectúa los siguientes productos:

* (x + 2) (x + 3) =* (x + 5) (x + 4) =* (x + 1) (x + 7) =

Reduce:(2x + 1)2 - 4x2 - 4x

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Reduce: (1 - 2x)2 + 4x - 4x2 + 3

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 0

Multiplica:

* (x + 3) (x - 4) =* (x + 2) (x - 7) =* (x - 8) (x + 5) =

53

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Si: (x + 2) (x + 5) = mx2 + nx + phalla: m + p - n

a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

Si: (x - 4) (x + 2) = mx2 - nx - pdetermina: n + p - m.

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 5

Simplifica: (x + 1)(x + 2) - x2 - 3x - 2

a) 3 b) 0 c) 2d) 1 e) -2

Simplifica: (x + 2)(x - 1) - x2 - x + 3

a) 2 b) 0 c) 3d) 1 e) 4

54

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:


Reduce la expresión: (x + 1)(x + 3) - x2 - 3 + 12x

a) 2x b) 3x c) 10xd) 12x e) 16x

Si x + y = 4 ; xy = 2, calcula x3 + y3.

a) 64 b) 40 c) 54d) 45 e) 50

Efectúa: (x2 + 5x + 5)2 - (x + 1)(x + 2) (x + 3)(x + 4)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Si: a + b = 4 y ab = 1halla: S = a3 + b3

a) 52 b) 51 c) 50d) 49 e) 60

55

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:


Si x + 1/x = 3, calcula el valor de:G = x2 + x3 + x-2 + x-3

a) 5 b) 6 c) 4d) 8 e) N. A.

Simplifica:N = (x + y)2 - (x - y)2

a) 2 xy b) 4 xy c) 4xyd) x e) xy

Reduce:Q = (x + y)(x - y) + y2

a) x b) x2 c) xyd) y2 e) y

Si x + 1/x = 4, halla x2 + 1/x2.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

56

Álgebra - 2do Sec.

8División Algebraica I

Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada Cociente dadas otras denominadas Dividendo y Divisor.

En el esquema:

Donde: D : Dividendo d : Divisor q : Cociente r : Residuo

siempre se cumple:

D = dq + r

D d r q

Identidad Fundamental de la División.

Ejemplo 1:

Dividendo = 25 Divisor = 7 Cociente = 3 Residuo = 4

Según la identidad fundamental de la división:25 = 7 . 3 + 4

25 721 3 4

Ejemplo 2:

D = 59 d = 9 q = 6 r = 5

Luego:59 = 9 . 6 + 5

59 954 6 5

Ejemplos:

= 4 = -7

= 5 = -8

246

-35-7

16-2

-284

El Dato

La división de signos iguales da (+). La división de signos diferentes da (-).

LEYES DE EXPONENTES

bm

bn = bm-n

Ejemplos:

= x5-2 = x3

= b24-10 = b14

x5

x2

b24

b10

Para dividir monomios, la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte variable según la Ley de Exponentes.

1. División entre Monomios

Ejemplos:

= 7x8-3 = 7x5

= -9x12-8 = -9x4

35x8

5x3

36x12

-4x8

57

Álgebra - 2do Sec.

Para este caso debemos utilizar la propiedad distributiva:

2. División de un Polinomio entre un Monomio

Ejemplos:

a + b + cm

am

bm

cm

= + +

*

= + +

= 2x2 + 4x + 6x7

4x5 + 8x4 + 12x10

2x3

4x5

2x312x10

2x38x4

2x3

*

= - +

= 5x3 - 2x5 + 7x8

35x8 - 14x10 + 49x13

7x5

35x8

7x549x13

7x514x10

7x5

Resolución:

1. Halla el resultado de la siguiente división

x12 - x10

x7

= -

= x5 - x3

x12 - x10

x7x12

x7x10

x7

Resolución:

2. Halla el resultado de la siguiente división:

x8 + x10 + x5

x5

= + +

= x3 + x5 + 1

x8 + x10 + x5

x5x8

x5x10

x5x5

x5

3. Si = xm + xn, hallax5 + x4

x3

m . n2

Resolución:

Al dividir:

= +

= x2 + x

Por dato: x2 + x ≡ xm + xn

Luego: =

= 1

m . n2

x5 + x4

x3x5

x3x4

x3

22

4. Si = x11 + x12, halla m , m ∈ Z.x4m+2 + x5m-3

x2m-2

Resolución:

Al dividir:

= +

= x2m+4 + x3m-1

Por dato: x11 + x12 ≡ x2m+4 + x3m-1

La identidad se cumple para: m = 4

Luego: m = 4

= 2

x4m+2 + x5m-3

x2m-2x4m+2

x2m-2x5m-3

x2m-2

Resolución:

5. Reduce:

M = , si x3y2 = 327x5y6

9x2y4

= 3x3y2

= 3(3)

= 9

27x5y6

9x2y4

Recuerda

Recuerda siempre que la división entre cero no está definida, por ejemplo: 5/0, -7/0, 24/-0, -4/-0.

Ley de Signos:

(+)(+)

= (+) ( - )(+)

= ( - )

( - )( - )

= (+) (+)( - )

= ( - )

58

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

mn + p + q

1) Luego de dividir -36x3y2z4 entre 3x2yz3, se obtiene mxnypzq.

Calcula:

32x8y5 + 16x7y12

8x4y2

2) Calcula el cociente en:

y halla por respuesta GR(x)+GR(y) de este cociente.

3) Reduce:

8x6y9 4x2y7

6x8y7 -3x4y5+

12x4y3 3x3y

32x8y12 8x7y10- +

25x8y7 5x3y3

12x10y10 6x5y6-

28x4y3 7x3y

-x5y8 x4y6+

4) Simplifica:

M =

32x5y3 - 64x7y9 8x3y2

72x10y10 - 36x8y4 9x6y3+

5) Reduce:

50x5 + 55x7 5x3

6) Calcula el valor de: L =

si x2 = 2 y x4 = 4.

1) Al dividir 12x3y entre 4xy, se obtiene mxn. Halla: n m + 1

15x8y7 - 12x10y5

3x3y3

2) Si de:

se obtiene un cociente, calcula GR(y) del cociente.

3) Simplifica:

15x3y5 5xy4

20x7y2 10x5y

-

4) Reduce:

M =

16x7 + 32x9 + 8x4 4x3

20x11 + 40x13 + 10x8 5x7

5) Reduce:

G = 20x5 + 15x7

5x324x7 + 16x9

-8x5+

27x5y6

9x2y4

6) Reduce:

M = , si x3y2 = 3


59

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Al dividir:

se obtiene:

a) x3+x2 b) x3+x4 c) x+x2

d) x3 + x5 e) x3+x

x5 + x3 x2

x8 + x10 + x5

x5

Halla el resultado de la siguiente división:

a) x3 + x5 + x2

b) x3 + x5 + xc) x3 + x4 + x2

d) x3 + x5 + 1e) x3 + x5 + x4

Halla el resultado de la siguiente división:

a) x5-x4 b) x2-x3 c) x5-x d) x5-x3 e) x4-x3

x12 - x10

x7

Qué resultado se obtiene al dividir:

a) x + 4x4

b) x2 + 4x4

c) x2 + xd) 2x2 + x4

e) 2x4 + 2x2

2x4 + 8x7

2x3

60

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:


Si:

halla:

a) 2 b) -1 c) 1d) -2 e) 4

x5 + x4

x3= xm + xn

m . n2

Si:

halla m ; m ∈ Z.

a) 4 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

x4m+2 + x5m-3

x2m-2 = x11 + x12

Efectúa la siguiente operación de división de un polinomio entre un monomio:

M = (25x25 - 32x15 + 45x10) ÷ (5x8)

a) 5x17 - 7x7 + 9x2

b) x17 - 7x7 + 9x2

c) 6x17 - 7x7 + 9x2

d) 9x17 + 7x7 + 9x2

e) 6x17 + 7x7 + x2


K = (36x22 + 18x12 + 9x10) ÷ (3x5)

a) 12x17 + 6x7 + 3x5

b) 2x17 + 6x7 + 3x5

c) x17 - 6x7 + 3x5

d) 5x17 - 6x7 + 3x5

e) 5x17 - 6x7 + x5

61

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:




I = (14x11 - 28x12 + 21x13) ÷ (7x7)

a) x4 - 4x5 + 3x6

b) x4 + 4x5 + 3x6

c) x4 + x5 + 3x6

d) 2x4 - 4x5 + 3x6

e) x4 + x5 - 3x6

Divide el siguiente polinomio:E = (32x16 - 36x14 - 16x12) ÷ (4x5)

y luego marca la respuesta correcta.

a) 8x11 + 9x9 - 4x7

b) 8x11 - 9x9 - 4x7

c) 8x11 - 9x9 + 4x7

d) 8x11 - 3x9 - 4x7

e) 8x11 + 3x9 - 4x7

Efectúa:J = (16x20 + 36x10) ÷ (4x5)

a) 4x15 + 9x5 b) 4x15 - 5x5 c) 4x15 - 2x5

d) 3x15 - 2x5 e) 2x15 - 2x5

Simplifica:T = (35x22 + 25x12) ÷ (5x10)

a) x12 + 3x2 b) 7x12 + 5x2 c) 15x12 + 3x2

d) 5x12 - 3x2 e) 5x12 - 2x2

62

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:


Efectúa la siguiente división:P = (35x25 - 25x15 + 15x10) ÷ (5x8)

a) 5x17 - 7x7 + 9x2

b) x17 - 7x7 + 9x2

c) 7x17 - 5x7 + 3x2

d) 6x17 + 7x7 + 9x2

e) 6x17 + 7x7 + x2

Efectúa la siguiente división:Ñ = (16x20 + 20x10) ÷ (4x5)

a) 4x15 + 5x5

b) 4x15 - 5x5

c) 4x15 - 2x5

d) 3x15 - 2x5

e) 2x15 - 2x5

Divide:48xm+2yn+1 entre 24xmyn

a) 4xmy b) 12x2yn c) xmyn

d) 2x2y e) 4x2y-2

Divide:36xm+7yn+2z4 entre 4xm+2ynz3

a) 9x2y5z b) 16x2yz c) 9x5y2zd) 9x2mynz e) 8xy2z5

63

Álgebra - 2do Sec.

9División Algebraica II

1. Método de RuffiniUn polinomio de primer grado es aquél cuyo mayor exponente es igual a uno. Es un caso particular del Método de Horner. Se emplea para dividir un polinomio entre otro de primer grado.

Polinomios de primer grado:2x - 4 ; 7x + 5 ; x - 4 ; 3x + 5 ; x + 1

Un polinomio de primer grado es aquél cuyo mayor exponente es igual a uno.

Ejemplos:

2. Esquema

Coeficientes del Dividendo

V a r i a b l e d e l divisor despejada

Coeficientes del cociente

Resto

Siempre un espacio

+

÷ El coeficiente pr incipal del divisor

Divide:

Paso 1: Igualamos el divisor a cero4x - 1 = 0

Paso 2: Despejamos la variable4x - 1 = 0

x = 1/4

Paso 3: Planteamos el esquema

Ejemplo:

12x2 + 5x + 34x - 1

12 5 3

x = 1/4

12

⇒ Se baja el 1.er coeficiente del dividendo.

12 5 3

x = 1/4

Coeficientes del dividendo; mismo signo

⇒ Se multiplica el 1.er coeficiente por x = 1/4.

12 5 3

x = 1/4

12

3

⇒ Sumamos.

12 3

x = 1/4

12 8

5

3

64

Álgebra - 2do Sec.

⇒ Multiplicamos por x = 1/4.

12 5 3

x = 1/4

12

3

8

2

x

⇒ Sumamos directamente porque ya encontraremos el resto.

12 5

x = 1/4

12

3

8 5

+3

2

Respuesta: Q(x) = 3x + 2 R(x) = 5

⇒ Luego:

12 5

x = 1/4

12

3

8 5

+

x4

3 2

Coef. del cociente

3

2

1. Halla b si la siguiente división es exacta.

x2 + 8x + bx + 3

Resolución:

Planteamos el esquema de Ruffini:

Por lo tanto: b = 15

1 8 b

x = -3 -3 -15

1 5 0 Divisiónexacta

2. Completa el esquema de Ruffini:

1 4

x = -3 -3

7

Resolución:

Completando: 1 4 10

x = -3 -3 -3

1 1 7

3. Divide y señala el resto.3x2 + x - 7x - 2

Resolución:

Dividamos:

Por lo tanto el resto es 7

3 1 -7

x = 2 6 14

3 7 7

4. Divide , y señala el cociente más el resto.x2 - 4x - 20x + 3

Resolución:

Al dividir:

Luego: Q(x) = x - 7 R(x) = 1

Entonces: Q(x) + R(x) = x - 6

1 -4 -20

x = -3 -3 21

1 -7 1

5. Halla n si la división es exacta:

5x2 + 7x + nx + 1

Resolución:

Completando el esquema de Ruffini: 5 7 n

x = -1 -5 -2

5 2 0 Divisiónexacta

Por lo tanto: n = 2

1) Halla el cociente de la siguiente división:

1) Halla el cociente de la siguiente división:

3) Halla el residuo de la siguiente división:




x2 + 8x + 18x + 3

x2 + 5x - 7x - 2

6x2 + x + 43x - 1

10x3 - 33x + 9x2 - 225x + 2

6x2 + 9x + 22x - 1

6x2 + 22x + 73x + 5

x2 + 3x + 11x + 2

x2 - 2x - 4x - 2

2x3 + x2 + ax - 6x - 1

2x3 - x2 + 3x - 42x - 3

2x4 + x3 - x - 2x2

2x + 1



5) Halla “a” si la siguiente división es exacta.

6) Al dividir, halla la suma de coeficientes del cociente:

6) Dada la siguiente división exacta:

halla el mayor coeficiente del cociente

5) Halla b si la siguiente división es exacta.

x2 + 8x + bx + 3

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

65

Álgebra - 2do Sec.

66

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


1 4

x = -3 -3

7

Completa el siguiente esquema de Ruffini:

2

x = 2 6

2 3 7

Completa el siguiente esquema de Ruffini:

Divide:

e indica el cociente.

a) 3x - 1 b) 3x + 2 c) 3x + 1 d) 3x - 8 e) 3x - 2

3x2 + 4x + 8x + 1

Divide:

y halla por respuesta el cociente.

a) 2x + 3 b) 2x + 5 c) 2x - 1 d) 2x + 4 e) 2x + 7

2x2 + 3x + 2x - 1



67

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Divide:

y señala el cociente más el resto.

a) x - 5 b) x - 4 c) x - 7 d) x - 1 e) x - 6

x2 - 4x - 20x + 3

Divide:

e indica el cociente más el resto.

a) x + 22 b) x - 10 c) x - 2 d) x - 9 e) x - 7

x2 + 5x + 1x - 2

Calcula la suma del cociente y residuo en la siguiente división:

a) x2 + x + 1 b) x2 - 5x + 3 c) x2 - 3x + 5d) x2 + 2x + 8 e) x2 - 5x + 8

2x3 - 6x2 - 18x + 112x + 4

Indica el cociente al dividir:

a) 2x3 + 3x2 - 4x + 5b) 2x3 + 3x2 - 4x - 5c) 2x3 - 3x2 + 4x - 5d) 2x3 - 3x2 - 4x + 5e) 4x3 + 6x2 - 8x - 10

4x4 + 4x3 - 11x2 - 6x - 62x - 1


Resolución:

Resolución:

68

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Al dividir x4 - 2x2 - 6 entre x + 3, el residuo es:

a) 36 b) 42 c) 15d) 57 e) -12

Halla el residuo en:

a) 12 b) -12 c) 11d) -8 e) 4

2x4 - 5x3 + 3x - 6x - 2

Indica el residuo de la siguiente división:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

2x7 - 4x6 + 2x + 3x - 2

Efectúa la siguiente división e indica el residuo.

a) -1 b) 1 c) 2d) -2 e) 3

6x3 - 5x2 - 4x + 4x - 1


Resolución:

Resolución:

69

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

¿Cuál es el valor que deberá tener “k” para que al dividir 4x5 - 2x3 + k - 2 entre x - 2, el residuo sea cero?

a) 110 b) -110 c) 42d) -6 e) 50

Halla el valor de “k” para que el polinomioP(x) = x3 + 2x2 - x + k, sea divisible entre x - 2.

a) -13 b) 13 c) 15d) -14 e) -15

Al efectuar la división, encuentra la suma de coeficientes del cociente.

a) 3 b) 3 - 1 c) 3 + 1 d) 3 + 3 e) - 3

( 3-1)x4-(1+ 3)x3+2x2+( 3+1)x-2 3-1x - 3 - 1

Calcula “m” si la división es exacta.

a) 2 b) 1 c) -2d) 0 e) 6

2x6 + 2 2 x5 - 3x4 - 3 2x3 + 6x + m 2x + 2

Resolución:

70

Álgebra - 2do Sec.

10División Algebraica III

PROCEDIMIENTO

Teorema del Resto

Este método se utiliza para obtener el resto o residuo de una división por simple inspección.

Paso1: Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable.

Paso 2: Se reemplaza el valor de la variable en el dividendo y el valor obtenido es el resto.

Ejemplo 1:

Halla el resto en la siguiente división:

x2 - 2x - 4x + 3

Resolución:

Paso 1 : x + 3 = 0→ x = -3

Paso 2 : R = D(-3) = (-3)2 - 2(-3) - 4 = 9 + 6 - 4 = 11

Ejemplo 2:

Halla el resto en la siguiente división:

2x3 - 3x2 + 2x - 6x - 1

Resolución:

Paso 1 : x - 1 = 0→ x = 1

Paso 2 : R = D(1) = 2(1)3 - 3(1)2 + 2(1) - 6 = 2 - 3 + 2 - 6 = -5

El álgebra geométrica griega sorprende a veces al lector moderno como excesivamente artificial y difícil, pero para aquellos que la utilizaron y que sin duda llegaron a manejar sus operaciones con soltura, debió parecer una herramienta muy cómoda probablemente. La propiedad distributiva a(b + c + d) = ab + ac + ad tuvo que resultar indudablemente mucho más obvia para un escolar griego que para un estudiante actual que aborda el álgebra por primera vez, ya que el primero podía dibujar fácilmente las áreas de los rectángulos que aparecen en el teorema. Para razonar de esta manera basta recordar que el área de un rectángulo se calcula de la siguiente manera:Sea el siguiente rectángulo:

Área total = a(b + c + d) = ab + ac + ad

A = 3 . 53

5

tiene área: 15u2Área = mnm

n

Área = mn

b c d b c d

= a + a + aa

71

Álgebra - 2do Sec.

1. Halla “b” en la siguiente división:

si el resto que se obtiene es 7.

2x2 - x + bx - 1

Resolución:

Hacemos d(x) = 0 → x - 1 = 0

x = 1 Por el Teorema del Resto, reemplazando en el dividendo:

R(x) = D(1) = 2(1)2 - (1) + b = 2 - 1 + b = 1 + bLuego por dato: 7 = 1 + b b = 6

2. La siguiente división tiene resto 5. Halla “b”.3x2 + bx - 3x - 2

Resolución:

Hacemos d(x) = 0 → x - 2 = 0

x = 2 Por el Teorema del Resto, reemplazando en el dividendo:

R(x) = D(2) = 3(2)2 + b(2) - 3 = 12 + 2b - 3 = 9 + 2bPor dato: 9 + 2b = 5 b = -2

3. Calcula el resto de:

(x - 1)2004 + (2x - 1)2003 + x - 1x - 1

Resolución:

Si hacemos d(x) = 0→ x - 1 = 0

x = 1Por el Teorema del Resto:

R(x) = (0)2004 + (1)2003 + (0) = 0 + 1 + 0 = 1

4. Calcula el resto de:x4 + x2

x - 1Resolución:

Si hacemos d(x) = 0 → x - 1 = 0 x = 1 Por el Teorema del Resto:

R(x) = D(1) = (1)4 + (1)2

= 1 + 1 = 2

5. Halla el residuo de:x2 + 3x + 11

x + 1Resolución:Hacemos d(x) = 0

→ x + 1 = 0 x = -1

Por el Teorema del Resto:R(x) = D(-1) = (-1)2 + 3(-1) + 11 = 1 - 3 + 11 = 9

Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobreentiende son números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los griegos representaban las magnitudes como segmentos de línea recta y los operaban según las reglas de la geometría.Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es un álgebra geométrica, que les servía más o menos para los mismos fines que nuestra álgebra simbólica. La proposición 4 del Libro II: “si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos”, es una manera larga de decir que (a +b)2 = a2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contrapartida algebraica moderna. He aquí la demostración:

El área del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores.Luego: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a b

a

b ab b2

a2 ab

= a2

ab

ab

b2+ +

72

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

x2 + x + 5x - 1

x2 - x + 1x - 2

2x3 + 3x - 2x2 + 2x - 1

x2 + 3x + 11x + 1

x2 - 2x - 4x + 2

3x4 + 3x3 + x + 8x + 1

1) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo.






2x2 + x2x - 1

3x2 + 2x3x - 1

2x2 - x + bx - 1

3x2 + bx - 3x - 2

4x5 - 8x4 + 3x + 1x - 2



5) Halla “b” en la siguiente división:

si el resto que se obtiene es 7.

5) La siguiente división:

tiene resto 5. Halla “b”.

6) Halla el resto en la siguiente división:

6) Calcula el resto de:

x4 + x2

x - 1


73

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo:

a) 1 b) 3 c) 9d) 4 e) 6

6x3 + 2x2 - 12x + 5x - 1


a) 12 b) 30 c) -11d) 14 e) 18

3x4 - x3 + 6x2 - 8x + 12x + 1


a) 2 b) 1 c) 5d) -1 e) 3

2x3 - 3x2 + 6x - 4x - 1


a) -5 b) -1 c) 4d) 12 e) 9

x3 - 2x2 + 6x + 4x + 1

74

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4




a) 1 b) 10 c) -8d) -3 e) 12

x4 + x3 - 6x2 + 8x - 4x - 2


a) -2 b) -7 c) 11d) 6 e) 9

x3 - 5x2 + 4x - 3x - 2


a) -23 b) 13 c) 16d) -11 e) 19

x4 + x3 - 3x2 + 2x - 15x + 2


a) 6 b) 5 c) -4d) 12 e) 3

x3 + 2x2 - 3x - 1x + 2

75

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Halla el resto:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4x30 + 1x - 1

Halla “a” si el resto de la división es 7.

a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 8

4x20 + 2x + ax + 1

Halla el resto en:

a) 17 b) 12 c) 13d) 14 e) 18

(x - 3)20 + 16x - 4

Halla “a” si el resto es 9 en:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 8

x3 + x2 + 3x + ax - 1

76

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolución:

Resolución:

Halla el resto en:

a) 20 b) 16 c) 21d) 22 e) 28

(x-3)8+(x-3)7+(x-3)6+(x-3)5+(x-3)2+16x - 4

Halla el resto:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

x60 + x80 + x90 + x20 + 4x10 + 1

Halla el resto en:

a) 1 b) 2 c) 0d) 16 e) 8

(x + 5)(x + 4)(x + 3)(x + 2) ... (x - 2)(x - 1)x + 1

Calcula el residuo de dividir:3x12 - 4x9 - x6 + 2x3 - 1 entre x3 + 2

a) 60 b) 65 c) 71d) 74 e) 80

77

Álgebra - 2do Sec.

11Factorización en Z I

Ejemplo 1:

Factoriza: 9x2 - 16

A. DIFERENCIA DE CUADRADOS

MÉTODO DE LAS IDENTIDADES

Este método se basa en los productos notables, es decir, si se nos proporciona un polinomio cuya forma conocemos, podemos escribir la multiplicación indicada de factores que le dio origen.

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Extraemos la raíz cuadrada a ambos términos.9x2 = 9 x2 = 3x

16 = 4La expresión factorizada será: 9x2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4)

Resolución:

Ejemplo 2:

Factoriza: E = 16x4 - 81

Escribiendo la diferencia de cuadrados dada como la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas.

E = 16x4 - 81

↓ ↓ 4x2 9

E = (4x2 + 9)(4x2 - 9)

Resolución:

El primer factor (4x2 + 9) es primo; pero el segundo factor obtenido (4x2 - 9) no lo es:

E = (4x2 + 9) (4x2 - 9)

2x 3E = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)

B. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Extraemos la raíz cuadrada a ambos términos.a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

↓ ↓ a b 2ab

Factoriza: ⇒ M = 4x2 + 12x + 9 2x 3 2(2x)(3)

El polinomio M (factorizado) se escribe como el cuadrado de la suma de las raíces.

M = (2x + 3)2

En el siglo XVII para representar los signos (+) y (-) se usaban las letras P de plus para la suma y M de minus para la resta, respectivamente.

Ejemplo 1:

78

Álgebra - 2do Sec.

Factoriza: ⇒ N = x2 + 10xy + 25y2

x 5y 2(x)(5y)

N = (x + 5y)2

Factoriza: ⇒ P = m16 - 2m8t2 + t4

m8 t2

2(m8)(t2)

Si el doble del producto de las raíces de los extremos es negativo, la expresión factorizada es el cuadrado de la diferencia de las raíces.

P = (m8 - t2)2

Cuidado:La expresión (2x + 3)2 equivale a escribir:

(2x + 3)(2x + 3)

C. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Ejemplo 1:

Factoriza: E = a6 + 125

* Raíz cúbica del 1.er término 3 a6 = a6/3 = a2

* Raíz cúbica del 2.º término 3 125 = 5

* La suma de estas dos raíces cúbicas constituyen el primer factor buscado. E = a6 + 125 = (a2 + 5) ( ............ )

* El factor trinomio se calcula así:- Los términos extremos son los cuadrados de los

términos del factor binomio.E = a6 + 125 = (a2 + 5)(a4 + ... + 25)

- El término central es el producto de los términos del factor binomio con el signo cambiado.

E = (a2 + 5)(a4 - 5a2 + 25)

Resolución:

Ejemplo 2:

Factoriza: F = 27x9 - 8y6

* Raíz cúbica del 1.er término.

3 27x9 = 3 27 . 3 x9 = 3x3

* Raíz cúbica del 2.º término.

3 8y6 = 3 8 . 3 y6 = 2y2

E = (3x3 - 2y2) (9x6 + 6x3y2 + 4y4)

Resolución:

Ejemplo 3:

Ejemplo 2:

1. Factoriza: w5x3 + w5y3 + 3w5xy(x + y)

Resolución:

w5x3 + w5y3 + 3w5xy(x + y)= w5(x3 + y3 + 3xy(x + y))

= w5(x + y)3

2. Factoriza: (x2 + xy)2 - (y2 + xy)2, y señala el factor primo que menos se repite.

Resolución:

(x2 + xy)2 - (y2 + xy)2

= (x2 + xy + y2 + xy)(x2 + xy - (y2 + xy)) = (x2 + 2xy + y2)(x2 - y2) = (x + y)2(x + y)(x - y) = (x + y)3(x - y)

El factor primo que menos se repite es (x - y).

3. Factoriza: x2 + y2 - 2xy - z2

y da por respuesta la suma de factores primos.

Resolución:

x2 + y2 - 2xy - z2

= (x2 - 2xy + y2) - z2

= (x - y)2 - z2

= (x - y + z)(x - y - z)

Luego la suma de factores primos es (2x + 2y).

79

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Factoriza: m3x2 + m3y2 + 2m3xy, y señala el factor primo que menos se repite.

1) Factoriza: wx2 + wy2 - 2 wxy, y señala el factor primo que más se repite.

2) Factoriza: x2 - 25, e indica un factor primo.

2) Factoriza: x4 - 81, e indica un factor primo.

3) Factoriza: (w + 2)4x3 + (w + 2)4y3 + 3(w + 2)4xy(x + y), y señala la suma de coeficientes de un factor primo.

3) Factoriza: (2w - 1)2x3 - (2w - 1)2y3 - 3(2w - 1)2xy(x - y), e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

4) Factoriza: (x2 + xy)2 - (y2 + xy)2, y señala el factor primo que menos se repite.

4) Factoriza: (x2 - xy)2 - (y2 - xy)2, y da por respuesta la suma de factores primos.

5) Factoriza: x2 + y2 - 2xy - z2, y da por respuesta la suma de factores primos.

5) Factoriza: z2 - x2 - y2 - 2xy, y da por respuesta la suma de factores primos.

6) Factoriza: (x + y)2 + x3 + y3 + 3xy (x + y), e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

6) Factoriza: (x - y)2 + x3 - y3 - 3xy (x - y), y da por respuesta la suma de coeficientes de un

factor primo.


80

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Señala un factor de:P = ax + bx - ay - by

a) a - b b) 1 c) x + y d) 2 e) a + b

Señala un factor de:(x + 1)(y - 2) + 3x(x + 1)

a) (x + 1) b) (y + 2) c) (x - 1) d) 1 e) (y - 2)

Factoriza: a(x - 1) - b(1 - x) + cx - ce indica un factor.

a) x + 1 b) 1 c) x - 1 d) a + c e) a + b + c

Factoriza y señala uno de los factores de:xy + wz - wy + xz

a) (x + w) b) (y + z) c) (w - x) d) (z - y) e) (y - z)

81

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Factoriza: a2m + a2n - b2m - b2n,e indica el número de factores primos.

a) 5 b) 1 c) 4d) 3 e) 2

Factoriza: m2a2 - m2 - 4a2 + 4,e indica el número de factores primos.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

Indica el número de factores primos de:mn4 - 5m2n3 - 4m3n2 + 20m4n

a) 2 b) 3 c) 7d) 5 e) 4

Factoriza: ab (ax3 - by3) + xy (a3x - b3y),y luego indica un factor primo.

a) by + ax b) a + b c) ay - bxd) x + y e) ab + xy

82

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolución:

Resolución:

Señala uno de los factores de:xm - xp + xn + my - py + ny

a) (m - n + p) b) (m - n - p)c) (m + n - p )d) (x - y) e) (m + n)

Después de factorizar, señala uno de los factores:ax - ay - bx + by - cx + cy

a) (x + y) b) (a - b - c) c) (y - x) d) (a - b + c) e) (a + b + c)

Factoriza: N = 36x4 - 16y6

y halla la suma de sus factores primos.

a) 10x2 b) 12x2 c) 6x2

d) 8y3 e) 12y3

Halla la diferencia de los factores primos de:64x4y6 - 36z6

a) 12x2y2 b) 12z3 c) 12x2

d) 12y3 e) 12x3y2

83

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolución:

Resolución:

Factoriza: (ax - 3b)2 - (bx - 3a)2

e indica un factor.

a) a + b b) x + 1 c) a + 3d) x + b e) b - 3

Indica un factor de:b2 + c2 - a2 - d2 + 2ad + 2bc

a) a + b b) 1 c) b - c d) a - 2 e) b+c - a+d

Factoriza: x2 - y2 + 7x + 7y,e indica la suma de coeficientes de uno de sus factores primos.

a) 2 b) 3 c) -2d) 5 e) 7

Luego de factorizar: x2 + 2xy + bx + by + y2,señala un factor primo.

a) x + b b) y + 2b c) y + b d) x + y + b e) x + 2

84

Álgebra - 2do Sec.

12Factorización en Z II

MÉTODO DEL ASPA SIMPLE

Si un polinomio no tiene las características de un trinomio cuadrado perfecto, entonces podría ser factorizado por el método del aspa simple.

Ejemplo 1:

Factoriza: 6x2 + 11x + 4

• Descomponemos el término 6x2 en dos factores que multiplicados nos permitan volver a obtener 6x2.

• Descomponemos el término 4 en dos factores que multiplicados nos permitan volver a obtener 4.

Es decir: 6x2 + 11x + 4 3x 4 2x 1

• Hallamos la suma de los productos en aspa de los cuatro términos hallados:

6x2 + 11x + 4 3x 4 → 8x 2x 1 → 3x 11x

Como la suma coincide con el término central, tomamos los factores en forma horizontal.

Es decir:

6x2 + 11x + 4 = (3x + 4) (2x + 1) 3x 4 2x 1

Resolución: Ejemplo 2:

Factoriza: N = 18x4 + 5 + 21x2

• Ordenando el polinomio: N = 18x4 + 21x2 + 5

• Descomponemos los términos extremos: N = 18x4 + 21x2 + 5 6x2 + 5 3x2 + 1

N = (6x2 + 5)(3x2 + 1)

Resolución:

Nota

Si el polinomio es de una sola variable, entonces debe estar ordenado en cuanto a los exponentes de dicha variable, este orden puede ser ascendente o descendente.

Fa c to r i z a r u n p o l i n o m i o es t ransfor mar lo en una multiplicación indicada de factores primos.

Recuerda

85

Álgebra - 2do Sec.

Ejemplo 3:

Factoriza: R = 100x2 + 91xy + 12x2

Cuando los términos extremos tengan muchos divisores es preferible colocar todas las posibilidades.

R = 100x2 + 91xy + 12y2

25 10 20 50 100 6 4 12 4 10 5 2 1 2 3 1

R = (25x + 4y)(4x + 3y)

Resolución:

1. Factoriza: x2 - 17x - 60 e indica la suma de sus factores primos.

Resolución:

x2 - 17x - 60 x - 20 -20x (+) x 3 3x -17xEntonces:

x2 - 17x - 60 = (x - 20)(x + 3)

Luego la suma de sus factores primos es:(x + 20) + (x + 3) = 2x - 17

2. Factoriza: x4 - 13x2 + 36 y da por respuesta la suma de los factores primos.

Resolución:

x4 - 13x2 + 36 x2 - 9 x2 - 4 Luego:x4 - 13x2 + 36 = (x2 - 9)(x2 - 4) = (x + 9)+(x - 9)+(x + 2)+(x - 2)

Nos piden: (x + 9)+(x - 9)+(x + 2)+(x - 2) = 4x

3. Luego de factorizar: (x + 2)2(x - 1)2 - (x2 + x + 10) indica el factor primo cuadrático.

Resolución:

(x + 2)2(x - 1)2 - (x2 + x + 10) = [(x+2)(x-1)]2 - ((x+2)(x-1) + 12)= [(x+2)(x-1)]2 - [(x+2)(x-1)] - 12 aspa simple= ((x + 2)(x - 1) - 4)((x + 2)(x - 1) + 3)= (x2 + x - 2 - 4)(x2 + x - 2 + 3)= (x2 + x - 6)(x2 + x + 1) aspa simple

= (x + 3)(x - 2)(x2 + x + 1)

Luego el factor primo cuadrático es:(x2 + x + 1)

4. Factoriza: x2 + 4x - 21 e indica la suma de factores primos.

Resolución:

x2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3)

Luego la suma de factores primos es:

(x + 7) + (x - 3) = 2x + 4

5. Factoriza: x2 + 10x + 21 e indica la suma de factores primos.

Resolución:

x2 + 10x + 21 = (x + 7)(x + 3)

Luego la suma de factores primos es:

(x + 7) + (x + 3) = 2x + 10

86

Álgebra - 2do Sec.

1) Luego de factorizar: x2 + 6x + 5, señala un factor primo.

1) Indica un factor primo de: x2 - 6x + 5

2) Factoriza: x2 + 10 x + 21, e indica la suma de factores primos.

2) Factoriza: x2 + 4x - 21, e indica la suma de factores primos.

3) Factoriza: x2 - 4x - 21, e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

3) Determina la suma de coeficientes de un factor primo de:

x2 - 10x + 21

4) Luego de factorizar: x2 - 16x + 60, señala la suma de factores primos.

4) Factoriza: x2 - 17x + 60, e indica la suma de factores primos.

5) Factoriza: x2 - 17x - 60, e indica la suma de factores primos.

5) Factoriza: x2 + 59x - 60, e indica un factor primo.

6) Factoriza y relaciona:

Polinomio Factor primo

a) 2x2 + 5x + 3 ( ) x - 1b) 2x2 + 7x + 3 ( ) 2x - 1c) 2x2 - 5x + 3 ( ) 2x + 3d) 2x2 - 7x + 3 ( ) x + 3

6) Factoriza y relaciona:

Polinomio Factor primo

a) 2x2 + 5x - 3 ( ) 2x - 1b) 2x2 - x - 3 ( ) x - 3c) 2x2 - 5x - 3 ( ) x + 1d) 2x2 + x - 3 ( ) 2x + 3

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

87

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Factoriza: 15x2 + 11x - 12,y señala la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 4 b) 7 c) 3d) 5 e) -7

Factoriza: 20x2 - 6x + 36,y señala la suma de coeficientes de un factor primo.

a) -1 b) 1 c) 12d) 22 e) -22

Factoriza: 10x2 - 13x - 3

a) 2x - 3 b) 2x c) 5x + 3d) 2x - 5 e) 5x - 3

Factoriza: 6x2 - xy - 2y2

a) 2x + y b) 2x c) 3xd) 3x + y e) 2x - 2y



Factoriza: x4 - 13x2 + 36,y da por respuesta la suma de factores primos.

a) 2x + 5 b) 2x2 c) 4x2

d) 3x e) 4x

Luego de factorizar: x4 - 26x2 + 25,indica el número de factores primos.

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 1

Factoriza: x2 - 16e indica la suma de los T.I. de cada uno de sus factores.

a) 5 b) 4 c) 8d) 10 e) 1

Factoriza e indica la diferencia de los factores de:Q = (x + 2y)2 - 9

a) 5 b) x + 2y c) 6d) 9 e) 0

88

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


Resolución:

Resolución:

Factoriza la expresión: N = (a + b)2 - c2

e indica la suma de sus factores.

a) 2(a + b) b) 2(b + d) c) 2c d) a + c e) 2(a + c)

Factoriza la siguiente expresión: N = 7a2 - 7b2

e indica un factor.

a) 7 b) 2a + b c) 2b + ad) 2a e) 2b

Determina el número de factores primos de:(x2 - 8x)2 - (3x - 6)2

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 7

Factoriza: f(x, y) = (4x2 + 4x + 1) - y2

e indica el producto de coeficientes de un factor primo.

a) -4 b) -3 c) -2d) -1 e) 0

89

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:


Factoriza: x2 + 3cx - 10c2

e indica la suma de sus factores.

a) x + c b) 3x + c c) 2x + 3cd) 3x - 2c e) x - c

Factoriza e indica la suma de sus factores:x2 + 4ax + 3a2

a) 2x + 4a b) x - a c) 2x - 4a d) 2x + a e) x + a

Luego de factorizar: (x + 2)2(x - 1)2 - (x2 + x + 10)

indica el factor primo cuadrático.

a) x2 - x + 1 b) x2 + x + 1c) 2x2 + 1d) x2 + 1 e) x2 + 2

Factoriza: (x + y + z) (x + y + z + 2w) - 8w2,luego indica la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 2 b) 7 c) 3d) 5 e) 6

90

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



91

Álgebra - 2do Sec.

13Ecuaciones dePrimer Grado

I. CLASIFICACIÓN DE LAS IGUALDADES

II. ECUACIÓN POLINOMIAL

Forma general:

a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0; a ≠ 0

Donde:

* a0; a1; a2; ... ; an: Coeficientes numéricos * x : Incógnita * n ∈ N

* Si:

n = 1: a0x + a1 = 0 Ecuación de 1.er grado

* Si:

n = 2: a0x2 + a1x + a2 = 0 Ecuación de 2.º grado

Ejemplos:

Absoluta (Identidad)Siempre cumple.Ejemplo:

7 = 7

Relativa (Ecuación)Se cumple en algunos casos.Ejemplo:x + 4 = 7↑3 ← E s t e v a l o r s e l l a m a solución porque verifica la igualdad.

IndeterminadaTiene infinitas solucionesEjemplo: x + y = 7 ↓ ↓ 3 4 1 6 0 7 -5 12

IGUALDAD

son algunos valores que verifican la igualdad

CompatibleTiene solución.Ejemplo:

x2 + x - 2 = 0es compatible porque x = 1 es solución.

IncompatibleNo tiene solución.Ejemplo:

x2 = -4No existe ningún número real que verifique la igualdad.

DeterminadaTiene finitas solucionesEjemplo:

x2 = 49sus soluciones son dos exactamente:

x = 7 ; x = -7

92

Álgebra - 2do Sec.

III. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Forma general:

ax + b = 0; a ≠ 0

Donde:* a y b son coeficientes numéricos.* x es la incógnita.

Resolución: Consiste en determinar el conjunto solución

De la forma general: ax + b = 0 ; a ≠ 0 ax = -b x = -b/a

Luego la solución es -b/a y el conjunto solución (C.S.) es:C. S. = {-b/a}

IV. E C UAC I Ó N PA R AM É T R I C A D E P R I M E R GRADO

Ecuación de la forma:

Ax = B

Donde:* A y B son parámetros (constantes representadas por

letras).* x es la incógnita.

* (m + 1) x = m* 2x = 4 Esta última ecuación no es paramétrica porque 2 y 4

no son parámetros.

Ejemplo:

V. DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA

De la forma:

Ax = B

* Si A ≠ 0 y B es cualquier número.

⇒ La ecuación es compatible determinada.

* Si A = 0 y B = 0 ⇒ La ecuación es compatible indeterminada.

* Si A ≠ 0 y B = 0 ⇒ La ecuación es incompatible.

Resolución:

(2x - 9) - 2 = (3x + 4) . 3 → 4x - 18 = 9x + 12 -18 - 12 = 9x - 4x -30 = 5x -30/5 = x x = -6

2. Resuelve:2x - 9

33x + 4

2=

Resolución:

1. Resuelve: 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3)

2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3)→ 2x + 7 - 2x + 2 = 3x + 9 9 = 3x + 9 9 - 9 = 3x 0 = 3x 0/3 = x x = 0

Resolución:

3. Resuelve:x2

x4

- x = - 9

x2

x4

- x - = -9

Resolución:

x2 - 25 = x2 - 6x + 9 - 16 6x = 9 - 16 + 25 6x = 18 x = 18/6 x = 3

5. Resuelve: (x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16

2x - 4x - x4

-3x4

-(9)4-3

= -9

= -9

-3x = (-9)4

x =

x = 12

1) Resuelve: 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3)

1) Resuelve: 3(x - 1) - 4(5 - x) = 2(6 + x)

2) Resuelve:2x - 9

33x + 4

2=

2) Resuelve:x + 1

22x - 1

3=

3) Resuelve:x2

- x = x4

- 9

3) Resuelve:x2

+ 34

= x + 14

4) Resuelve:12

+ x - x6

= 13

+ 16 - 2x9

4) Resuelve:2x3

- 8 = x6

+ 34

5) Resuelve: 3(x - 4) + 5(x - 2) = 2(x - 6) - 4(5 - x)

5) Resuelve: 3x - 1 - (x - 4) - [2(x - 3) - 3(1 - 2x)] = -x - 2

6) Resuelve: (x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16

6) Resuelve: 2(x - 4)2 - (x + 3)2 = (x - 1)(x + 3)

93

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________


94

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resuelve:19 - 15(3x + 1) = 36 - 6(5x - 3) - 5(x + 7)

a) -3/2 b) 1/2 c) 1/3d) 1/8 e) 3/4

Resuelve:(13x - 4)(x + 2) = (3x + 1)(5x - 3) - (2x2 + 5)

a) 1 b) 0 c) -1d) -2 e) 1/2

Resuelve:

a) 7,5 b) 3,5 c) 4,5d) 2,5 e) 2

xx - 2

x - 2x

52

- =Resuelve:

a) -20 b) -24 c) -30d) 40 e) 24

x3

x4

+ 2 =

95

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


Resolución:

Resolución:

Si , halla x.

a) x = 6 b) x = 10 c) x = 7d) x = 9 e) x = 8

2x3

- 3 = x4

+ 13

Resuelve:

a) x = 3 b) x = 6 c) x = 5d) x = 7 e) x = 2

x2

14

+ = 4 - x4

Si: 3(x - 4) + 6 = 5(x + 1) - 13; halla x.

a) 1/9 b) 1/4 c) 1/2d) 1/3 e) 1/8

Resuelve:3(x + 1) + 4(2x - 1) = 5(x + 5) - 2(x - 3)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

96

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolución:

Resolución:

Resuelve: 15(2x + 1) - 2 = 3(-2x + 8) - 2

a) 1/5 b) 1/6 c) 1/8d) 1/4 e) 1/7

Resuelve:

a) 13/4 b) 15/4 c) 16/4d) 3 e) 17/5

43

(x + 2) = 2 + [4(x - 2)]

Resuelve:

a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) 3

x2

x3

15

+ - = 12

13

x5

+ -Halla “x” en:

a) 16 b) 28 c) 20d) 30 e) 18

5x7

- 4 = x - 12

97

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Resuelve:

a) 64 b) 60 c) 48d) 30 e) 32

13

(x - 2) + 2 = 15

(x - 2) + 6Resuelve:

a) 10 b) 20 c) 30d) -21 e) -10

= x + 412

32

(x + 5) + 23

(x + 6)

Resuelve:

a) 20 b) -12 c) 9d) -16 e) 10

x + 12

- 6 + 1 - x5

= 710

Resuelve:

a) 20 b) 15 c) 30d) 35 e) 40

5x - 8x - 1

7x - 4x + 2

=

98

Álgebra - 2do Sec.

14Ecuación Cuadrática

ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0; 2 raíces

1. FORMA GENERAL

FORMA DE RESOLUCIÓN

1. Aspa simple

x2 + 5x + 6 = 0 x 3 x 2

(x + 3)(x + 2) = 0x + 3 = 0 ∨ x + 2 = 0

x = -3 ∨ x = -2

Recuerda

Si A . B = 0, se cumple: A = 0 ∨ B = 0

2. FÓRMULA GENERAL

x = -b ± b2 - 4ac

2a

x2 - 2x - 4 = 0 a = 1 ; b = -2 y c = -4

Reemplazando:

x =

x =

x1 = 1 + 5 x2 = 1 - 5

-(-2) ± (-2)2 - 4(1)(-4)2(1)

2 ± 2 52

3. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

* Producto

x1 . x2 =

=

=

x1 . x2 =

(-b)2 - ( D)2

4a2

-b + D2a( (

b2 - b2 + 4ac4a2

4ac4a2= c

a=

-b - D2a( (

ca

* Diferencia

x1 - x2 = Da

* Suma

x1 + x2 =

=

=

x1 + x2 =

-b + D2a

-b + D - b - D2a

-2b2a

-ba

=

-b - D2a

+

-ba

4. NATURALEZA DE LAS RAÍCES

D = b2 - 4ac SiD > 0 : Raíces reales y diferentesD = 0 : Raíces reales e igualesD < 0 : Raíces complejas y conjugadas

99

Álgebra - 2do Sec.

Recuerda

EcuacionesEquivalentes

= bn

am

= cp

si poseen las mismas raíces; se cumple:

ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0mx2 + nx + p = 0 ; m ≠ 0

se desprende

x1 = 1x2

Raíces Recíprocas o Inversas

x1 . x2 = 1x1 + x2 = 0

se desprende

x1 = -x2

Raíces Simétricas u Opuestas

Resolución:

2. Halla el discriminante de: x2 + 3x + 1 = 0

Recuerda: D = b2 - 4ac D : discriminante

En el problema: a = 1, b = 3 y c = 1

Luego: D = (3)2 - 4(1)(1) D = 5

Resolución:

3. Halla la menor solución de: x2 + 3x + 1 = 0

Por la fórmula general:

x =

Para el problema: a = 1, b = 3 y c = 1

Luego:

x =

=

Entonces la menor solución es:

-b ± b2 - 4ac2a

-(3) ± (3)2 - 4(1)(1)2(1)

-(3) ± 52

-(3) - 52

Resolución:

4. Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 3x2 + 7x + 5 = 0

Por la propiedad de las raíces:x1 + x2 = -b/a

x1 . x2 = c/a

Para el problema: a = 3, b = 7 y c = 5

Luego: x1 + x2 = -7/3 x1 . x2 = 5/3

Resolución:

1. Si la ecuación: (4 - K)x2 + 2Kx + 2 = 0; K > 0 tiene raíces iguales, halla 2K + 1.

Si las raíces son iguales, entonces el discriminante es igual a cero:

D = b2 - 4ac = 0 b2 = 4ac

Para el problema: a = 4 - K, b = 2K y c = 2

(2K)2 = 4(4 - K)(2) 4K2 = 4(8 - 2K) K2 = 8 - 2K

K2 + 2K - 8 = 0 (K + 4)(K - 2) = 0

como K > 0, entonces K = 2.

Luego nos piden: 2K + 1 = 5

100

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

1) Indica el conjunto solución de: x2 - 4x + 3 = 0

1) Señala el conjunto solución de: x2 - 6x + 5 = 0

2) Resuelve: x2 + 9x + 14 = 0; y luego indica la menor solución.

2) Resuelve: x2 + 10x + 21 = 0; y luego indica la mayor solución.

3) Halla el discriminante de: x2 + 3x + 1 = 0

3) Halla el discriminante de: x2 + 4x + 2 = 0

4) Halla la menor solución de: x2 + 3x + 1 = 0

4) Halla una solución de: x2 + 4x + 2 = 0

5) Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 3x2 + 7x + 5 = 0; y da por respuesta uno de estos resultados.

5) Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 2x2 + 5x - 9 = 0; e indica el mayor resultado.

6) Encuentra la ecuación que dio origen a: * x1 - x2 = 5; x1 x2 = 150 * x1 + x2 = -1; x1 - x2 = 5

6) Encuentra la ecuación que dio origen a: * x1 + x2 = 5; x1 x2 = 6 * x1 + x2 = 11; x1 x2 = 10


101

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Resolución:

Resolución:


Luego de calcular la suma y el producto de las soluciones de: 7x2 - 3x - 4 = 0; señala el menor resultado.

a) - 3/7 b) 4/7 c) - 4/7d) 3/7 e) - 4/3

Calcula la suma y el producto de las soluciones de:4x2 - 5x + 7 = 0 y luego uno de estos resultados es:

a) -5/4 b) -7/4 c) 4/7d) 7/4 e) 4/5

Si la ecuación: (4 - k)x2 + 2kx + 2 = 0; k > 0tiene raices iguales, halla 2k + 1

a) 2 b) 4 c) 7d) 5 e) 3

Halla el menor valor de k para que la ecuación(4k + 8)x2 - 4kx + 1 = 0 tenga raíces iguales.

a) -2 b) -4 c) -1d) -3 e) 2

102

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Si una solución de la ecuación: x2 - 6x + b = 0es el doble de la otra, halla b2.

a) 4 b) 81 c) 64d) 9 e) 16

Si una solución de la ecuación mx2 - 3mx + 5 = 0 es cinco veces la otra, halla m.

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 1

Encuentra la suma y el producto de la raíz de:3x2 - 5x + 4 = 0

a) S = 5/3, P = 4/3 b) S = 5/2, P = 3/4c) S = 5, P = 3d) S = 5, P = 3/4 e) N. A.

Encuentra la suma y el producto de la raíz de:2x2 - 6x + 18 = 0

a) S = 3, P = 8 b) S = 4, P = -9c) S = 3, P = 9d) S = -3, P = -9 e) N. A.

103

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Encuentra la ecuación que dio origen a:x1 + x2 = -5/12; x1 x2 = -1/6

a) 3x2 + 5x + 2 = 0 b) 6x2 + 3x - 2 = 0c) 12x2 + 5x - 2 = 0d) 3x2 + 5x + 2 = 0 e) N.A.

Encuentra la ecuación que dio origen a:x1 + x2 = 13/2; x1 x2 = -21/2

a) 2x2 - 13x - 21 = 0 b) 2x2 - 3x + 1 = 0c) 2x2 - 3x - 21 = 0d) 2x2 - 13x + 11 = 0 e) N.A.

Calcula el valor de “C” si la ecuación Cx2 = 4x - 1, presenta solución única.

a) 0 b) 8 c) 4d) 1 e) 2

Determina el valor de “m” para que la ecuación:x2 + 4 - mx = 0 / m > 0 tenga una única solución.

a) 9 b) 7 c) 2d) 4 e) 6

104

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:


Si: mx2 - (m - 5)x + 1 = 0, halla “m”; ademásx1 x2 = x1 + x2, donde x1 y x2 son soluciones de la ecuación inicial.

a) 8 b) 2 c) 4d) -1 e) 6

Si: x1 y x2 son soluciones de x2 - 4x + 2 = 0, calcula: x1 + x2 + x1x2 + x1

2 + x22

a) 17 b) 27 c) 19d) 16 e) 18

Si a < b, halla a/b; donde a y b son soluciones de:(x - 1)2 = (2x + 2)2

a) 9/2 b) -1/9 c) 9d) 1/9 e) -9

Si: x=-3 es una solución de: 9x2+(5n+1)x - 3=0halla la suma del valor de n y la otra raíz.

a) 1/9 b) 5 c) 6/9d) 46/9 e) -1/9

105

Álgebra - 2do Sec.

15Sistema deEcuaciones Lineales

S I S T E M A L I N E A L D E E C U A C I O N E S D E D O S VARIABLES

Son ecuaciones del tipo: ax + by = c dx + ey = f donde “x” e “y” son las incógnitas; y a, b, c, d, e, y f son constantes.

¿ Q U É S I G N I F I C A “RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES”?

Significa hallar los valores de las incógnitas (generalmente x e y), de tal manera que al reemplazar en las ecuaciones se verifique la igualdad.

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS

Existen muchos métodos para resolver SISTEMAS DE ECUACIONES, algunos más sencillos que otros. Estudiaremos tres de ellos:

1. Método de Reducción o Eliminación

En este método, el objetivo es eliminar una de las incógnitas sumando o restando ambas ecuaciones.

Ejemplo:

x + 2y = 12 Tenemos: 8x - 2y = 6 Sumando: 9x = 18

x = 2

Así obtenemos: y = 5

Si sumanos ambas ecuaciones no se elimina ninguna incógnita, así que multipliquemos por 2 la ecuación 2 .

x + 2y = 12 2[4x - y] = 2[3]

Resolución:

Resuelve el sistema: x + 2y = 12 ...... ecuación 1 4x - y = 3 ...... ecuación 2

Este artificio es muy usado en la resolución de sistemas.

E s t e v a l o r s e r á s u s t i t u i d o e n cualquier ecuación.

2. Método de Igualación

Se despeja una misma variable en ambas ecuaciones, luego se igualan ambos resultados.

Ejemplo:

Resuelve el sistema:

x + 2y = 12 ...... ecuación 1 4x - y = 3 ...... ecuación 2

Despejando “y” en 1 .x + 2y = 12

→ 2y = 12 - x → y = 12 - x 2Despejando “y” en 2 .

4x - y = 3 → 4x = 3 + y → 4x - 3 = y

Luego igualamos ambos resultados:

Resolución:

12 - x = 2(4x - 3) 12 - x = 8x - 612 + 6 = 8x + x 18 = 9x

12 - x 2

= 4x - 3

x = 2⇒

106

Álgebra - 2do Sec.

Reemplazando el valor de «x» en 1 o en 2 tenemos:

2 + 2y = 12 2y = 12 - 2 y = = 5

y = 5

10 2

3. Método de Sustitución Es similar al método anterior; con la diferencia de que únicamente se despeja una variable en una ecuación, y este resultado se reemplaza en la otra ecuación.

Resuelve el sistema:x + 2y = 12 .....ecuación 1

4x - y = 3 ........ ecuación 2{De 1 despejando a la incógnita "x". x = 12 - 2y

Este resultado lo reemplazamos en 2 :

4(12 - 2y) - y = 3 48 - 8y - y = 3 48 - 3 = 8y + y 45 = 9y y = 5

Este valor se reemplaza en 1 o en 2 y obtenemos el valor de "x".

x + 2(5) = 12 x = 12 - 10 x = 2

Ejemplo:

Resolución:

1. Resuelve:

Resolución:

Hacemos: EC(2) - EC(1)

x = 5 reemplazamos en EC(1) y = 1

x - y = 4

2x - y = 9 {x - y = 4 ............(1)

2x - y = 9 ..........(2){

2. Resuelve:

Resolución:

Hacemos: EC(1) + 3EC(2)

7x = 0 x = 0

Reemplazando en EC(1):

y = 1

4x = 3y - 3

x + y = 1 {4x - 3y = -3 ............(1)

x + y = 1 ..........(2){

3. Resuelve:

Resolución:

Hacemos: 2[(EC(1)] + 3[EC(2)]:

2(4x - 9y) = -2 3(2x+6y) = 98x - 18y+6x + 18y = 7

4x - 9y = -1

2x + 6y = 3{4x - 9y = -1 ............(1)

2x + 6y = 3 ..........(2){Indica "x".

(+)

14x = 7 x = 1 2

4. Resuelve:

2x - 4 = -y { x+y 2

= 1 2

Resolución:

2x + y = 4 ............(1)

x + y = 1 ..........(2){Hacemos: EC(1) - EC(2)

x = 3 y = -2

⇒

⇒

⇒

107

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

2) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:


3x + 2y = 92x - y = -1{


x - y = 32x + y = 12{


x - 3 = 2y3y - 1 = x{

2x + y = 10x + y= 7{


x - 2y = 42x + 3y = 1{


y = x + 22x = 5 - y{


x + y = 32x - 1 = 4(1 - y){


x - 8y = 02y + 3 x = 13{


{ = yx + 13

= x - 7y - 12


{ = 2x + 3y

= - 1y + 6x


2x - 4 = -y { x+y 2

= 1 2


+ { x - = 0

= 2

y - 12

x2

y5


108

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema:

a) (2; -3) b) (4; -5) c) (-2; 1)d) (-2; 3) e) (6; -7)

x + y = -13x + 2y = 0{


a) (1; 10) b) (2; 7) c) (3; -2)d) (4; 7) e) (4; -9)

y - 8 = 2xx + 2y = 3(y - 3){


a) (2; -5) b) (2; -5) c) (3; -2)d) (1; 7) e) (4; -3)

2x - 4 = -y { x+y 2

= 1 2


a) (2; 5) b) (5; -3) c) (4; 3)d) (1; 3) e) (3; -1)

+ { x - = 0

= 2

y - 12

x2

y5

109

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4




a) (1 ; 7/6) b) (2 ; 2/3) c) (1/3 ; 7/2)d) (4/5 ; 2/6) e) (1/3 ; 1/2)

{ y = 53

- x2

+2x3

12

= y


a) (–5/3 ; –2) b) (1/2 ; –4) c) (1/3 ; –1/2)d) (1/15 ; –1/2) e) (3/2 ; 1/5)

{ x =

6x + 4 = 3y

2y - 13

Resuelve: a + 7b =15 3a - 7b = -11Halla b/a

a) 4 b) 3/2 c) 5/2d) 2 e) 3

Resuelve: 2x +9y = -38 x - 9y = 35Halla x + y

a) -6 b) -7 c) -9d) -8 e) -5

{ {

110

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:




a) (2; 3) b) (4; -5) c) (-2; 1)d) (0; 1) e) (6; -7)

4x = 3y - 3x + y = 1{


a) (3; 1) b) (2; -5) c) (3; -3)d) (7; -2) e) (4; -1)

x + 2y = 5x + 3y = 6{

Resuelve el sistema: ) x = 5 + 3y ............. (1) 7x - 39 = 9y ............ (2)Halla x + y

a) 20/3 b) 19/3 c) 21/3d) 18/3 e) 22/3

{Resuelve el sistema:

Halla m + n

a) -5 b) -4 c) -3d) -2 e) -1

7m - 2n + 34 = 05m + 3n + 11 = 0

{

111

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Resuelve el sistema e indica la mayor solución:

2x + 3y = -2 2x - 6y = 1

a) 1/2 b) 1/5 c) 1/4d) 2 e) 1/3

{Si: 7x + 5y = 33/2 3x - 6 = yson dos ecuaciones simultaneas, halla el valor de (x - y).

a) 1/2 b) -1/3 c) -1/2d) 4 e) 1/3

{


a) (6; 2) b) (5; 1) c) (-3; 7)d) (7; 3) e) (4; -2)

x - y = 42x - y = 9{


a) (3; -12) b) (4; -3) c) (-2; 16)d) (5; -1) e) (16; -2)

{ = 5

x + 8y = 0

x+ y + 13

112

Álgebra - 2do Sec.

16Inecuaciones dePrimer Grado

c. Intervalo Semiabierto o Semicerrado

Es una misma de los anteriores.

Ejemplo :

INECUACIÓN

INECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Es la desigualdad entre dos polinomios, pero también pueden ser otras expresiones, verificable para ciertos valores de la incógnita.

Es la desigualdad entre dos polinomios de primer grado, siendo el C.S. (es decir los valores que puede tomar la incógnita) de la forma:

a + ∞ o

a− ∞ ; a∈R

¿Cómo se resuelve una inecuación? Se resuelve de manera idéntica a la ecuación, procurando mantener a la incógnita con el coeficiente positivo. Los valores que verifican una inecuación, es decir su C.S., son INTERVALOS.

a. Intervalo Abierto

No se consideran los extremos:

TIPOS DE INTERVALOS

Observa el siguiente intervalo y sus diferentes representaciones:

Representación gráfica:

Representación simbólica: ⟨3; 7⟩

Representación mediante desigualdades: 3 < x <7

3 7

b. Intervalo Cerrado

Si se consideran los extremos:

Ejemplo :

Representación gráfica:

Representación simbólica: [3 ;7]

Representación mediante desigualdades: 3 ≤ x ≤ 7

3 7

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

113

Álgebra - 2do Sec.

1. Resuelve:2(x + 1)

53(x - 2)

10<

Resolución:

2(2x + 2) < 3x - 6

4x + 4 < 3x - 6

4x - 3x < -6 - 4

x < -10

C.S. = ⟨∞; -10⟩

2x + 25

3x - 610

<

2x + 21

3x - 62

<

2. Resuelve:x + 3

4< 2 +

Resolución:

x + 23

x + 34

- x + 23

< 2

3(x+3) - 4(x+2)12

< 2

3(x + 3) - 4(x + 2) < 2(12)

3x + 9 - 4x - 8 < 24

-x + 1 < 24

-x < 23

x > -23

C.S. = ⟨-23; +∞⟩

3. Resuelve: (2x - 3)2 > (2x + 5)(2x - 1)

Resolución:

4x2 - 12x + 9 > 4x2 + 8x - 5

-12x + 9 > 8x - 5

-20x > -14

x < x <

C.S. = ⟨-∞; 7/10⟩

-14-20

710

4. Resuelve:(2x+1)(x-2) ≤ x(x+5)+(x - 5)(x+1)

Resolución:

(2x2 - 4x+x - 2) ≤ x2+5x+x2 - 4x - 5

2x2 - 3x - 2 ≤ 2x2 + x - 5

-3x - 2 ≤ x - 5

-4x ≤ -3

x ≥

C.S = ⟨3/4; +∞⟩

34

5. Resuelve:(x+1)(x-5)+(x+2)2 < (2x+1)(x-1)+2

Resolución:

(x2-4x-5)+(x2+4x+4) <

(2x2-2x+x-1)+2

2x2 - 1 < 2x2 - x + 1

-1 < -x + 1

x < 2

C.S. = ⟨-∞; 2⟩

La velocidad con la que Euler elabora trabajos matemáticos es legendaria. Cuando finalizaba un artículo se lo enviaba al editor de las actas de la Academia de San Petersburgo. Este lo colocaba en lo alto de un montón al que después acudía cuando necesitaba material para llenar las actas, de modo que los artículos de Euler muchas veces se publicaron en orden inverso al de elaboración.Lo peor es que su afán de perfeccionar sus resultados hacía que Euler volviese varias veces sobre un mismo tema y escribiese distintos artículos en orden creciente de perfección y complejidad sobre el asunto. Al publicarse algunos de estos trabajos en orden cronológicamente inverso, es fácil imaginar la confusión en la que se ve sumido el pobre investigador que se sumerge en dichas actas.

114

Álgebra - 2do Sec.

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

1) Resuelve la siguiente inecuacion y da su conjunto solución (C.S.).

4x + 3(x - 1) ≤ 5x + (1 - 2x)


17 + 3x - (x+ 2) ≥ 4 -x


4(1 - x) + 2(2 -x) ≥ 5 -11 (x - 5)


2x + 1 > 2 - (x - 8) +13

3) Da el C.S. de:x + 3

4< 2 + x+ 2

3

3) Resuelve:2 (x+ 1)

5< 3(x - 2)

10

4) Resuelve:x + 5

3- x - 2

2≤ x

6- 3

4) Resuelve:x - 5

43x2

- 2x ≥ - 1

5) Indica el C.S. de:(x+4)(x - 4) - (x+5)(x+1) > 2x - 7

5) Halla el C.S. de:(x+1)(x+2) - (x+3)(x - 5) > x - 1

6) Resuelve: (x - 2)(x + 1) + x(x - 1) ≤ (2x + 1)(x - 3) + 4

6) Resuelve: (x - 2)(x + 1) + x(x - 3) ≤ (2x - 3)(x - 1) - 1


115

Álgebra - 2do Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resuelve:

a) ⟨-∞; 6] b) ⟨-∞; 8] c) ⟨-∞; 7]d) ⟨-∞; 9] e) ⟨-∞; 5]

+ 2 > xx+43

Resuelve:

a) ⟨-∞; 9] b) ⟨-∞; 7] c) ⟨-∞; 8]d) ⟨-∞; -9] e) ⟨-∞; 10]

+ 1 ≤ x5x+16

Resuelve: 9x + 12 > 2x - 2

a) ⟨-2; ∞⟩ b) ⟨2; ∞⟩ c) ⟨-3; ∞⟩d) ⟨1; ∞⟩ e) ⟨-4; ∞⟩

Resuelve: 123 - 321x ≥ 122 - 320x

a) ⟨-∞; 2] b) ⟨-∞; -3] c) ⟨-∞; 1]d) ⟨-∞; 4] e) ⟨-∞; -1]

116

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:


Halla el conjunto solución de: 5x - 8 < 4 + 2x

a) C.S. = ⟨-∞; 4⟩ b) C.S. = ⟨-∞; 2⟩c) C.S. = ⟨-∞; 8⟩d) C.S. = ⟨-∞; 3⟩ e) C.S. = ⟨-∞; 4/3⟩

Resuelve: 5x - 9 ≤ 2x + 15

a) ⟨-∞; 9] b) ⟨-∞; ∞⟩ c) ⟨9; 30⟩d) ⟨-∞; 8] e) N.A.

¿Cuál es el intervalo de x?

a) ⟨1; ∞⟩ b) ⟨-∞; -1⟩ c) [-1; ∞⟩d) ⟨-∞; -1] e) ⟨-∞; 1⟩

(x + 8)2 - (x - 8)2 ≤ - (x + 49) 23

¿Cuál es el intervalo de x? a) ⟨-∞; ∞⟩ b) ⟨-∞; 5⟩ c) ⟨-∞; 20/3⟩d) N. A. e) ⟨-∞; 10]

2(x+5)(x - 2) ≤ 8+ (x+2)(3x - 1)23

117

Álgebra - 2do Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolución:

Resolución:

Resuelve: (x - 5)2 + (x+4)(x - 6) ≥ x2

a) ⟨-∞;38/21⟩ b) [17/3;+∞⟩ c) ⟨-∞;38/21]d) ⟨-∞;1/7⟩ e) [23/21;+∞⟩

23

16

56

Halla el conjunto solución de:

a) C.S. = ⟨-∞; 20/3] b) C.S. = ⟨-∞; 23]c) C.S. = ⟨-∞; 28/21]d) C.S. = ⟨-∞; 25/26] e) C.S. = ⟨-∞; ∞]

(x - 5)2+ (x+4)(x - 6) ≥ .x2 23

16

56

Resuelve:

entonces el conjunto solución es:

a) ⟨-∞; 8⟩ b) ⟨-∞; 9⟩ c) ⟨-∞; 7⟩d) ⟨-∞; ∞⟩ e) N. A.

(x - 5)- 2 ≤ 1 - ; x4

13

Resuelve la inecuación: a) C.S. = ⟨-∞; 8⟩ b) C.S. = ⟨-∞; -8⟩c) C.S. = ⟨-∞; -5⟩d) C.S. = ⟨-∞; 10⟩ e) C.S. = ⟨-∞; -10⟩

(x + 1) < (x - 2) 25

310

118

Álgebra - 2do Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Resuelve:6(x+5)(x - 2) ≤ 26+2(x+2)(3x - 1)

a) ⟨-∞;13/2⟩ b) ⟨-∞;41/4] c) 13/2;+∞⟩d) ⟨-∞;13/2] e) ⟨-13/2;+∞⟩

Resuelve:(x + 1)(x - 5)+(x + 2)2 < (2x + 1)(x - 1)+2

a) ⟨-∞; 2⟩ b) [2; +∞⟩ c) ⟨-∞; 2]d) ⟨-2; 2⟩ e) ⟨2; +∞⟩

Resuelve:(3x-1)(x+5) < 3(x+2)(3x-1)

a) ⟨-∞;-1/11⟩ b) ⟨-1/11;+∞⟩ c) ⟨-∞;1/11⟩d) ⟨1/11; -1/11] e) [-1/11;+∞⟩

Resuelve:(2x+1)(x - 2) ≤ x(x+5)+(x - 5)(x+1)

a) ⟨-∞;3/4⟩ b) [-3/4;+∞⟩ c) ⟨3/4;+∞⟩d) [-3/4;3/4] e) [3/4;+∞⟩

6-ALGEBRA 2do (1 - 4)

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