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Índice

ÁLGEBRA – 5 to AÑO DE SECUNDARIA

Pág.

T E M A 1 Numeros Complejos..................................................... 2

Clasificación....................................................................................................................... 2

Representación de complejos............................................................................................ 3

T E M A 2 Análisis Combinatorio.................................................. 10

Factorial de un número...................................................................................................... 10

Números combinatorios..................................................................................................... 18

Permutación, combinación y Variación............................................................................... 18

Binomio de Newton............................................................................................................ 22

T E M A 3 logaritmos................................................................... 27

T E M A 4 Funciones Exponenciales y logarítmicas........................ 37

Función Exponencial.......................................................................................................... 37

Función Logarítmica........................................................................................................... 41

T E M A 5 Matrices y Determinantes............................................ 43

Definición .......................................................................................................................... 43

Álgebra de Matrices........................................................................................................... 47

Determinantes................................................................................................................... 53

T E M A 6 Calculo Diferencial....................................................... 60

Funciones........................................................................................................................... 60

Límites ............................................................................................................................. 64

Derivadas........................................................................................................................... 80

Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI

Tema nº 01: Números complejos

Capacidades:

Identificar el conjunto de los números complejos.

Clasifica correctamente a los números complejos.

Representa de diversas maneras a los números complejos.

Opera con números complejos.

Resuelve problemas con números complejos.

Desarrollo del Tema:

Cantidades Imaginarias

Se obtienen al extraer raíz de índice par a

un número negativo.

Ejemplo : 64 4;7;2 ; ... etc.

Unidad Imaginaria

Definición: La unidad imaginaria se

obtiene al extraer raíz cuadrada de -1, se

representa de la siguiente manera :

i1

también se define como :

1i 2

Potencias de la Unidad Imaginaria

1i

ii

1i

ii

4

3

2

1

Propiedades :

1.Zn;1i n4

Ejemplo : 1ii )120(4480

2.)Zk;n(;ii kkn4

Ejemplo: iiii 33)11(447

1iii 22)4(310

Observación: Es conveniente recordar las

siguientes propiedades aritméticas.

nn ra)ra(

)parn(ra)ra( nn

)imparn(ra)ra( nn

Ejemplo :

iiiii 1o4

1211101o4

121110)1o4(1211109

Números Complejos

Son aquellos números que tienen la forma :

Z = a + b i = (a ; b ); a, b R

donde :

a = R e se llam a , p arte real d e Zb = Im se llam a pa rte im agin aria de Z

(Z)

(Z)

CLASIFICACIÓN DE LOS COMPLEJOS

Complejos Conjugados )Z(

Son aquellos que sólo difieren en el signo

de la parte imaginaria.

Ejemplo :

Z = 3 +4 i ; su conjugado es : i43Z

Ecuación Segundo Año

Complejos Opuestos (Zop)

Son aquellos que sólo difieren en los signos

de la parte real e imaginaria,

respectivamente.

Ejemplo :

Z = 5 - 2i ; su opuesto es : i25Zop

Complejos Iguales:

Son aquellos que tienen partes reales e

imaginarias, respectivamente, iguales.

Ejemplo :

De la igualdad : a + bi = 8 - 11i

tenemos : a = 8; b = -11

Complejo Nulo:

Son aquellos que tienen su parte real e

imaginaria, respectivamente, iguales a

cero.

Si : a + bi es nulo a + bi = 0

Luego : a = 0; b = 0

Complejo Imaginario Puro

Es aquel cuya parte real es igual a cero y su

parte imaginaria distinta de cero.

Si : a + bi es imaginario puro a = 0

Complejo Real

Si un complejo es real, entonces su parte

imaginaria igual a cero :

Si : a + bi es real b = 0

Representación de los Complejos

I. Representación Cartesiana o

Geométrica

En este caso, el complejo está

representado de la forma:

Z = a + b i

Gráfica del Complejo

Cada complejo es un punto en el plano,

para ubicarlo se le representa en el

llamado plano complejo, Gaussiano o de

Argand, el cual está formado por un eje

vertical (eje imaginario) y un eje

horizontal (eje real).

Ejemplo :

Graficar : 1Z = 3 + 4i

2Z = 5 - 3i

En el plano Gaussiano :

Im

Z1 = (3 ; 4 )4

R e

E je rea l

Z 2 = (5 ; -3 )-3

E je im aginario

O rigen 3

5

Observación : Cada complejo se

representa por un punto en el plano al

cual se le llama afijo del complejo.

II. Representación Polar o

Trigonométrica :

En este caso, el complejo adopta la

forma :

)S eniC o s(Z

Donde :

módulo; r > 0

argumento; 20

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 3


Gráfica del Complejo

En este caso, se utiliza el sistema de

coordenadas polares el cual está

formado por un punto fijo llamado polo

y una semirecta que parte del polo,

llamado eje polar. El módulo ( ) es la

distancia del polo al punto que

representa el complejo y el argumento

)( el ángulo positivo medido en sentido

antihorario desde el eje polar hasta el

radio vector O Z .

Graficar : Z = 5(Cos40° + iSen40°)

En el sistema de coordenadas polares :

4 0

5

p o lo eje p o lar

Z (5 ; 4 0 º)

º

=

O

Relación entre la Representación

Cartesiana y Polar

Sea el complejo : Z = a+b i (a, b >0)

b

a R e

E je p o larP o lo

Z

O rigen E je real p ositivo

Im

En la figura sombreada :

ab

ArcTg*

Senb*

Cosa*

ba* 22

i)Sen(Cosbia

)iS enC o s(b ia

Para transformar de cartesiana a polar

se calcula y . En el caso inverso, se

calcula el valor de la función

trigonométrica.

Aplicación :

1. Transformar : Z = 3 + 4i

* 543 22

* 53

34

ArcTg

)53Seni53Cos(5i43

2. Transformar : Z = 6 (Cos37°+ i

Sen37°)

Z = 6(Cos37°+ i Sen37°)

)53

i54

(6Z

i

518

524

Z

III. Representación de Euler

En este caso, se tiene :

ie)S eniC o s(

exp resad o enrad ianes

Se cumple :

ieiS enC o s

Siendo: e = 2,71828.... (base de los

logaritmos Naturales).

Asimismo :

ie)iS enC o s(b ia

OPERACIONES CON COMPLEJOS

I. Operaciones en forma cartesiana


a) Adición y multiplicación

Se utilizan las mismas reglas

algebraicas.

Ejemplo : (3+i)(3+2i) - (5-4i)

Resolución :

i132

i452i3i69

i45i2i3i69 2

b) División

Se multiplica el numerador y

denominador por el complejo

conjugado de este último.

Ejemplo : i3i32

Z

2

2

i9

i3i9i26i3i3

.i3i32

Z

i107

109

10i79

)1(93i76

Z

c) Potenciación :

Se utiliza el teorema del binomio.

Ejemplo:

i125

9i124

9i12i4)3i2( 22

d) Radicación :

En general se asume que la raíz

adopta la forma (a+bi) ; luego a y b

se hallan por definición de

radicación.

Ejemplo : i125

biai125

Elevando al cuadrado

abi2bai125 22 Igualando :

ab212;ba5 22

Resolviendo :

i23i1252b

3a

i23i1252b

3a

Observación :

* (1 i) = 2i

*

ii1i1

* i

i1i1

Operaciones en forma polar

a) Multiplicación :

En este caso, los módulos se

multiplican y los argumentos se

suman.

)SeniCos(Z 1111

)SeniCos(Z 2222

)](S eni)(C o s[ZZ 21212121

b) División :

En este caso, los módulos se dividen

y los argumentos se restan.

)SeniCos(Z 1111

)SeniCos(Z 2222

)](S eni)(C o s[ZZ

21212

1

2

1

c) Potenciación :

En este caso, el exponente eleva al

módulo y multiplica al argumento.



]nSeninCos[)]SeniCos([ nn

d) Radicación :

En este caso, se aplica la fórmula de

De Moivre.

Sea : Z = r(Cosq + iSenq)

)n

k2(S eni)

nk2

(C o sZ nn

k = 0, 1 , 2 , ..... , (n-1)

Nota : observa que n z tiene "n"

valores.

Ejemplo :

Hallar las raíces cúbicas de la

unidad.

333 0Seni0Cosi011

3k2

0Seni3

k20Cos13

k = 0, 1, 2

k = 0 31 = 1

k = 1 31 =

wi23

21

k = 2 31 =

2wi23

21

Raíces cúbicas de la unidad :

1; w; 2w .

donde :

* 1w3

* 0ww1 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Calcular :

13600121282

a) 76 b) -76 c) 44

d) -44 e) 50

2) Reducir :

iiii2

iiiV

15105

1694

a) 1 b) 2 c) 3i

d) 2i e) 4i

3) Simplificar :

20031973196019321921

17504932128

iiiii

iiiiiZ

a) i b) -i c) 1

d) -1 e) 1 - 1

4) 04. Reducir :

2003432 i...iiiiJ a) 1 b) 2 c) -1

d) i e) 2i

5) Hallar la suma "A" de números

complejos :

)in4(...)i4()i3()i2()i1(A n4432

a) n (2n+1) b) 2n (4n+1)

c) 0 d) n(4n+1) e) 2n(4n-1)

6) Calcular :

2019181716151413

1211109 iiiV

a) 0 b) 1 c) 3

d) 3i e) -3i

7) 07. Si :

R}n;b;a{;biani2)ini( 21312


Calcular : )1i(;)an(

n

b 22

a) 2/3 b)3/2 c) 6

d) 1/3 e) 3

8) Si : nimbia2

{a; b; m; n} R; además : 1i2

Calcular : mn

b

na

m22

2

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9) Calcular "n", si se cumple :

)ai2a(73)i3n(5)in(3

Si : RaRn

a) -3/8 b) 9/8 c) 9

d) 9/4 e) 3/4

10) Si : i21)i3n(5)in(3

zRn

es un complejo real. Calcular : "n".

a) -3/8 b) 9/8 c) 9

d) 9/4 e) 3/4

11) Hallar "n", si el número siguiente es

imaginario puro :

i34

ni23

a) -1 b) -2 c) -3

d) -4 e) -5

12) Sabiendo que :

i3bi2a

z

; es un número real.

biai)8a(b

w

; es un número

imaginario puro. Indique : a - b.

a) -12 b) 10 c) 24

d) 8 e) -10

13) Si : C}z;z{ 21

, calcular :

)z4z3z3z2

(Im)z4z3zz5

(Im21

21

21

21

a) -3 b) -1 c) 1

d) 3 e) 0

14) Si "i" es la unidad imaginaria, al

efectuar la siguiente operación :

1616 )i1()i1(2

a) 0 b) 1 c) -256

d) 512 i e) 256

15) Calcular el valor de : i2

a) 1 + i b) 1 - i c) -1 - i

d) -1 + i e) a ó c

16) Determinar el módulo de :

)i6)(i25(

)i35)(i37(Z

a) 1 b) 2 c) 2

d) 72 e) 14

17) Sea : i1Zi52Z 21

Determinar :

2

1

2

|Z|

Z58

a) 3 + i b) 5 - i c) 4

d) 2 - 2i e) 4i

18) Determinar el módulo de :



)1i3)(i4)i1)((i4)i1((Z 44

a) 2 b) 8 c) 32

d) 64 e) 128

19) Hallar "n".

1i;Rn;)i1(n)i1(8 6

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e)10

20) Hallar el módulo del complejo "Z", si

al dividirlo entre 5+i y al cociente

sumarle 2, se obtuvo 3-i.

a) 13 b) 132 c) 133

d) 134 e) 135

21) Sean : CZ;Z 21

. Reducir :

)z.z(R e)z.z(R e|zz||zz|

2121

221

221

a) 1 b) 1/2 c) 2

d) 3 e) 1/3

22) Indique la parte real de :

2222 )ni1(...)i31()i21()i1(z

; Zn

a) 2)1n(n

b) n c) 3)5n2(n

d) 6)1n(n

e) )n1)(5n2(

6n

23) Si : Cz

, resolver :

|z| - z = 3 + i

Indique : 1z

a) 1)i127(2

b) 1)i247(6

c) 1)i46(7

d) 1)i34(3

e) 1)i286(7

24) Sean : |z|= 2; |w| = 3.

Hallar : 22 |wz||wz|K

a) 36 b) 26 c) 34

d) 18 e) 22

25) Indique el módulo de :

)i37)(i1(

)i31)(i22(W

a) 1 b) 32 c) 2

d) 22 e) 2

26) Sabiendo que : m, n, x, y R.

Además : yixnim

Hallar el equivalente de :

42

2

ymy

nK

a) 6 b) 4 c) 8

d) 12 e) 10

27) Si : R}n;m;b;a{;nimbia3

además : . 1i

Calcular : 33

33

nm

)nb)(am(

a) 3 i b) 1 c) -3

d) -3 i e) 3

28) Resolver en : 0|z|2z:C 2

Indique : Re(3z) - Im(z).

a) -3 b) 9 c) 1

d) -2 e) 2

29) Efectuar :5 iii2

a) 1 + i b) 1 - i c) i


d) i2

e) 2i1

30) Hallar "Z", si cumple :

5|Z|

25

6

Z

1

Z

1

a) 3 - 4i b) 4 - 3i c) i43

5

d) i43

5

e)

i3

5

31) Llevar a su forma trigonométrica :

z = -3 - 4i

32) Llevar a su forma exponencial :

i344

a)

i3

4

e16

b)

i32

e4

c)

i34

e4

d)

i34

e8

e) i

32

e8

33) Efectuar :

43

32

51

z

zzK

sabiendo que :

)10Seni10Cos(2z1

20Cis8z2

5iSen45Cos4z3a) 4 i b) -1/2 c) 1/4d) i/2 e) 1

34) Sea : 20Cosi20Senw1

hallar : )w(Arg 1

a) 190° b) 250° c) 240°d) 340° e) 200°

35) Efectuar :

i4

2

i1

a) e b)

2/e c)

2/e

d) 2e e)

e

36) Un número real "x", que satisface la ecuación:

iCosxSenx)iCosxSenx( 4 es :

a) 10

b) c) 2

d) 5

e)

37) Si : i

23

21

z

Calcular : . 33 zz

a) ie2

b) i2e2

c) i2e2

d) i31

e) i

32

e

38) Reducir :

i4

i4

i4

i4

ee

eeL

a) 1 b) -1 c) id) -i e) e

39) Proporcionar un equivalente de : ii

.

a) 4/e

b) 2/e

c) e

d) 2/3e

e) Hay 2 correctas

40) Hallar el módulo de "z" que verifica :

)i1(4e

e 4z


Tema nº 02 : Análisis combinatorio

Capacidades:

Define correctamente el factorial de un número.

Opera con factoriales.

Opera con números combinatorias.

Diferencia entre permutación, combinación y variación.

Resuelve problemas con variación, permutación , combinación y binomio de Newton.


FACTORIAL DE UN NÚMERO

Se denomina factorial de un número entero y positivo al producto indicado desde la unidad en

forma consecutiva, hasta el número dado. Al factorial de un número se puede representar por

cualquiera de los dos símbolos: ! ó

Si el factorial es “n”m su factorial se representa por:

n!

Se lee: Factorial del número “n” o “b” factorial.

n

Por definición:

n! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x …. X n

n! = n = n x (n – 1) x (n – 2) – (n x 3) x … 2 x 1

Ejemplos:

2! = 2 = 1 x 2 = 2

3! = 3 = 1 x 2 x 3 = 6

4! = 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

5! = 5 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

7! = 7 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040

OBSERVACIONES

1. Los factoriales sólo están definidos para cantidades enteras y positivas, así:

5! = 5 ¡ factorial de 5 (si existe)

(-3)! = -3 ¡ factorial de (-3) (no existe)

-4! = - 4 ¡ factorial de 4 (si existe)

¡ un medio de factorial de 6 (si existe)

¡ factorial de (no existe)

Análisis Combinatorio Quinto Año

¡ factorial de (no existe)

2. El factorial de un número puede expresarse en función del factorial de otro número menor.

Ejemplo:

Sea: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

6! = 6 = 5 x 6 6! = 6 = 6 x 5

También: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

6! = 6 = 4 6! = 6 = 5 x 6 x 4

O también: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

6! = 6 = 3 6! = 6 = 4 x 5 x 6 x 3

Noten que en los tres casos, todos ellos son iguales a 6! Y a su vez el número contenido en

el factorial y los que están fuera de él son sus consecutivos posteriores a él.

Ejemplo 1: Escribir 12! en función delEjemplo 2: Escribir 20! en función del

factorial de 9 factorial de 16

Solución: Solución:

12! = 9! X 10 x 11 x 12 20! = 16! X 17 x 18 x 19 x 20

Ejemplo 3: Escribir (x+5)! en función Ejemplo 4: Escribir (x-2)! en función del

del factorial de (x+2) factorial de (x-4)

Solución: Solución:

(x+5)! = (x+2)! (x+3) (x+4) (x+5) (x-2)! = (x-4)! (x-3) (x-2)

3. Por Convención: 0 = 0! = 1 ; y por definición: 1 = 1! = 1

Lo que no implica que no podrá hacerse: 0 = 1 0 = 1 porque los dos conceptos

tienen diferente punto de partida en cuanto a su definición.

Demostrar que: 0! = 1

Demostración:

Se sabe que: n! = (n – 1)! n y que esta igualdad cumple para todo número entero positivo

a partir de la unidad.

Acomodando la expresión, obtenemos:

Reemplazando será:

N = 1 1 = 0! l . q . q . d.

Demostrar que: 1! = 1

Demostración:

Se sabe que: n! = (n – 1)! n


Es decir: damos a “n” valor de 2, obteniendo:

l.q.q.d.

4. De lo anterior, si:

a = 0

a! = 1 ó

a = 1

Ejemplo:

Dar la suma de los posibles valores de “x” en: (x – 3)! = 1

Solución:

x – 3 = 0 x = 3

(x – 3)! = 1 ó

x – 3 = 1 x = 4

La suma de los posibles valores de “x” será: 3 + 4 = 7

5. Si: a = b a = b a, b N ( = para todo)

Ejemplo: Determina el valor de “x” si: x – 1 = 24

Solución:

Tal como se presenta la igualdad, no es posible el despeje directo de “x” para ello es

recomendable desdoblar el 24 en factores de forma consecutiva veamos:

x – 1 = 1 x 2 x 3 x 4

x – 1 = 4

RECOMENDACIONES

En factoriales las siguientes operaciones no se cumplen:

I) (n + m)! n! + m! III) (n x m)! n! x m!

Ejemplo: Ejemplo:

(3+2)! 3° + 2! (3 x 2)! 3! X 2!

5! 6 + 2 6! 6 x 2

120 8 720 12

II) (n – m)! n! – m! IV)

Ejemplo: Ejemplo:

(4-2)! 4° - 2!

2! 24 -2 2!


2 22 2 120

PRÁCTICA DE CLASE

1) Determina el valor de M, sabiendo que:

2) Halla:

3) Halla el valor de:

4) Simplifica:

5) Calcula el valor de:


7) Reduce:


Q = (n+2)! – (n+1)!

9) Resuelve la ecuación:



12. Simplifica:

13. Halla el valor de.

a) b) c)

14. Calcula el valor de:

15. Resuelve:

16. a) ¿Qué valor tiene “k”?

Si: k! x 7 x 8 x 9 x 10 = 10!

b) ¿Qué valor tiene “n”?

Si: (n-3)! X 9 x 19 x 11 x 12 = 12!

17. Determinar el valor de:

18. CALCULAR:

19. Calcular “X”:

20. Calcular:

PRÁCTICA DOMICILIARIA

1. Reduce: E = (n+2)! – 2(n+1)!a) (n-2)! b) (n+3)! c) n(n+1)d) n(n+1) e) n! (n+1)

8. Reduce:

a) n b) n2 c) 2n d) e) n3


2. Reduce:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

3. El valor de: ; es:

a) b) c) d) e)

N.A.

4. Efectúa:

a) b) c)

d) e)

5. Resuelve:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

6. Simplifica:

a) b) c)

d) e)

7. Simplifica:

a) 8 b) 9 c) 12 d) 24 e) 36

9. Calcula el valor de “n”:

a) 1 b) 2 c) 3 d 4 e) 5

10. Calcula el valor de “x”

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11. Indica la solución entera de la ecuación(x-1)! + (x! + (x+1)! = 5880a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2

12. Efectúa:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1

13. Calcula el valor de “x”:(119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!!)24

a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6

14. El valor de:

; es:

a) b) c)

d) e) N.A.

15. Calcular:

PERMUTACIONES

Son los diferentes arreglos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto,

las permutaciones se diferencian entre sí sólo por el orden de sus elementos y lo

representamos de la siguiente manera:

n(n+1) (n+2) (n+3) … 3.2.1

Pn = n!

Ejemplo:

1. ¿Cuántas maneras diferentes pueden formar una fila de 5 soldados?

Pn = n!

P5 = 5!

P5 = 120

Ejemplo : Halla todas las permutaciones posibles de las cifras del número 437.

Solución.-


Las permutaciones se obtienen cambiando de lugar las cifras.

Así: 437; 473; 347; 374; 743; 734.

En total tenemos 6 permutaciones diferentes.

Si llamamos P3 al número total de permutaciones de 3 elementos, se comprende que:

P3 = 1 x 2 x 3 = 3! = 6

Ejemplo : ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse Angel, Beto, Carlos y Daniel en

una fila de 4 asientos?

Solución.-

Sea P4 el número de maneras distintas en que pueden sentarse A, B C D. Como intervienen

todos los elementos se trata de una permutación. Luego: P4=4! = 1x2x3x4 = 24

En general: El total de permutaciones diferentes que se pueden obtener con “n” elementos

se designa por Pn y el igual a n!

Pn = n!

Ejemplo : 3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuántas

maneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada?

Las 6 personas pueden ordenarse empezando por una mujer (M) o empezando por un

hombre (H)

Así: M H M H M H ó H M H M H M

Permutaciones de los H : P3 = 3! Permutaciones de los H : P3 = 3!

Permutaciones de las M : P3 = 3! Permutaciones de las M : P3 = 3!

Como cada trío de mujeres se combinan con un trío de hombres para armar una fila de 6,

aplicamos el principio de multiplicación. 3! X 3!

Por lo tanto el total de formas de sentarse será: 3! X 3! + 3! X 3! = 72 maneras diferentes.

Ejemplo : Se tienen 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el

resto de física. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si

queremos que los de matemática siempre deben ir juntos?

Designamos por M1, M2 y M3 a los libros de matemática y por F1, F2 y F3 a los libros de física.

Las ordenaciones se pueden presentar de la siguiente forma:

i) M1 M2 M3 F1 F2 F3 F4 # de formas = 3! X 4!

ii) F1 M1 M2 M3 F2 F3 F4 # de formas = 3! X 4! Total:

iii) F1 F2 M1 M2 M3 F3 F4 # de formas = 3! X 4! = 4 (3! X 4!)

iv) F1 F2 M3 M1 M2 M3 F4 # de formas = 3! X 4! = 576 formas diferentes

v) F1 F2 F3 F4 M1 M2 M3 # de formas = 3! X 4!


PERMUTACIÓN CIRCULAR.- En este caso no hay primero ni último elemento por

encontrarse en línea cerrada para hallar el número de permutaciones de n elementos.

A

F B n - 1

E C

D

Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podrían sentarse Blancanieves y los 7 enanos

alrededor de una mesa circular?

Ejemplo: ¿de cuántas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda

7 personas?

Solución: n = 7 Pc(7) = (7-1)! Pc(7) = 6! = 720

PERMUTACIÓN POR REPITENCIA.- Consiste en efectuar permutaciones con elementos

repetidos, si el conjunto tiene “n” elementos, n, es de una clase, n2 son de 2° clase y nk son

de k clases. La permutación por repitencia se obtiene por la forma siguiente:

Ejemplo: ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra

casacas?

Solución.-

Vemos que se tiene una permutación por repetición donde se repite las letras C(2 veces),

A(3 veces), S(2 veces).

Luego: n = 7 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2

Ejemplo : Calcula el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden formar

permutando las letras de cada una de las siguientes palabras: i) manzana; ii) Alfalfa,

iii)catarata

Solución: i) MANZANA

MNAZANA

MZANAAN } Palabras diferentes

.

.

etc.

Total elementos: n = 7

Elementos repetidos: A 3 veces

N 2 veces

Total permutaciones:


ii) ALFALFA

ALFAFAL

AFLAFLA } Palabras diferentes

.

.

Etc.


Elementos repetidos: A 3

L 2

F 2


Ejemplo : Se quiere confeccionar una bandera conformada por 5 franjas verticales. Si se

dispone de tres franjas de tela de color blanco y dos de color rojo. ¿Cuántas opciones

diferentes hay para escoger el modelo de la bandera?

Solución.- Diseño de la bandera


2 franjas rojas

3 franjas blancas


Elementos repetidos: B 3

R 2

Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden obtener en una fila 7 bolas de

billar (de igual forma y tamaño), si 2 son rojas, 4 amarillas y una blanca?

Solución:

VARIACIONES.- , son los diferentes arreglos que se pueden formar con parte de los

elementos de un conjunto formado de 2 en 2, 3 en 3, las variaciones se diferencian entre sí

por el orden se sus elementos o por uno o más de sus elementos.

El número de variaciones que pueden obtenerse de n elementos tomados de m y n se

representa por:

Ejemplo: Halla el número de variaciones en:


a)

b)

c)

COMBINACIONES

Son las diferentes variaciones que se puede hacer en todos o parte de los elementos de un

conjunto. Las combinaciones se calculan por la siguiente forma:

NÚMERO COMBINATORIO

PROPIEDADES

1. Todo número combinatorio cuyo índice es 1, 2s igual al índice superior.

2. Todo número combinatorio cuyos índices son iguales, es igual a 1.

3. La suma de 2 números combinatorios de igual índice superior, e índices inferiores

consecutivos es igual al número combinatorio, cuyo índice superior es igual al índice

superior común aumentado en 1 unidad y de índice inferior igual al mayor de estos.

=

=

=

=

=

= =

NÚMEROS COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS


Son 2 números combinatorios de igual índice superior y la suma de sus índices inferiores es

igual al índice superior común.

, donde k + 5 = n


Ejercicios Propuestos

1)

2)

3)

4) ¿De cuántas maneras se pueden

elegir y disponer de un escaparate 3

partes de calzado de un conjunto?

5) ¿Cuántas maneras diferentes de 4

cifras se pueden formar con los

nueves dígitos 1, 2, 3, ….. 9?

6) ¿Cuántas ordenaciones diferentes

pueden formarse tomando 5 letras

de la palabra gástrico?

7) En una fiesta hay 5 chicas y 10

chicos. ¿De cuántas maneras

podrían bailar?

8) ¿De cuántas formas distintas se

pueden sacar 3 banderines de una

caja que contiene 6 banderines?

9) En una empresa se necesitan un

supervisor, un tornero, un carpintero

y con conserje, y previo concurso

han quedado 9 personas. ¿De

cuántas maneras pueden escogerse

las personas requeridas.

10)Vamos a colocar un “trébol de la

suerte” (4 hojas) con un color

distinto para cada hoja. Si tenemos

una caja con 6 colores distintos. ¿De

cuántas formas podemos colorear al

trébol?

11)¿Cuántos equipos diferentes de

básquet podemos formar si

contamos con 8 jugadores que

pueden jugar en cualquier lugar?

12)Con 6 banderas de diferente color,

¿cuántas señales distintas de 2

banderas se pueden hacer?

13)Tres niños, ¿de cuántas formas

distintas pueden sentarse en 5

sillas?

14)5 viajeros llegan a una ciudad en la

que hay 7 hoteles. ¿De cuántas

maneras podrían alojarse en hoteles

diferentes?

15)¿De cuántas maneras podemos

formar en columna de a uno a 5

alumnos?

16)¿Cuántos números de 4 cifras se

pueden formar con los dígitos del 1

al 4?

17)¿Cuántas permutaciones de 7

elementos se pueden formar con las

letras de la palabra NÁUTICO?

18)¿Cuántas palabras diferentes se

pueden formar con todas las letras

de la palabra POPA?

19)¿De cuántas maneras pueden

cambiar de posición los jugaror5es

de básquet, si uno de ellos no

cambia?

20)¿Cuántas palabras diferentes se

pueden obtener con las letras de la

palabra COCCIÓN?

21)¿De cuántas maneras pueden

sentarse 5 personas en una mesa

redonda contando de un solo

sentido?

22)Un entrenador tiene a su cargo 7

deportistas. ¿de cuántas maneras

pueden distribuir a los citados

deportistas en dos competencias:

cinco en natación y dos en atletismo.

23)En un campeonato de bulbito han

participado 7 equipos. ¿De cuántas

maneras pueden quedar ubicados?

24)¿Cuántos conjuntos imitadores del

famoso trío “Los panchos” se

podrían formar a partir de un grupo

de 12 aficionados?

25)¿Cuántos equipos de básquet

podríamos formar a partir de un

conjunto de 12 jugadores’


26)Cerebrito debe contestar de 10

preguntas en un examen. ¿De

cuántas maneras puede cerebrito

escoger las 7 preguntas?

27)En el problema anterior:

Si las 2 primeras fueron obligatorias,

¿de cuántas maneras podrían escoger

las preguntas?

28)En la figura cada línea representa un

camino. ¿De cuántas maneras

distintas se puede ir de la ciudad A a

la ciudad C?

29)¿Cuántos números pares de 3 dígitos

se pueden formar con los dígitos:

1;2;5;6;7;89; si:

a) Los dígitos del número pueden

repetirse.

b) Los dígitos del número no se

repiten.

30)En una carreta participan 7 atletas.

¿De cuántas maneras distintas

pueden llegar a la meta, si llegan

uno a continuación del otro?

31)En una fila de sillas se sientan 5

mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas

maneras se pueden ordenar si las

mujeres deben estar juntos y los

hombres también?

32)¿De cuántas maneras diferentes se

pueden ubicar 9 damas en una fila

de 9 asientos, si Mirian y Andrea

siempre deben estar juntas?

33)¿Cuántas permutaciones diferentes

se pueden realizar con las letras de

la palabra BANANA?

34)¿De cuántas maneras se pueden

distribuir 5 hombres y 3 mujeres en

una fila de 8 asientos, si las mujeres

no deben sentarse juntos?

35)De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes y de la ciudad B a C hay 4 caminos diferentes. ¿de cuantas maneras se puede hacer un viaje redondo de A a C pasando por B?

36)Maria tiene 5 pantalones y 3 blusas. ¿de cuantas maneras distintas puede ponerse un pantalón y una blusa?

37)Determinar el valor de m en la

expresión:

38)¿De cuantas maneras pueden sentarse en una banca de 6 asientos, 4 personas?

39)Una persona posee 3 anillos distintos. ¿De cuantas maneras puede colocarse en sus dedos de la mano derecha, colocando solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar?

40)Una señora tiene 10 amigas de confianza. ¿De cuantas maneras puede invitar a 6 de ellas a cenar?

41) Resolver :

42)¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar 5 alumnos en 5 asientos unipersonales?

43)¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar 5 alumnos en 5 asientos unipersonales ubicados alrededor de una mesa?

44)¿Cuantos números mayores de 6000 se podrán formar con las siguientes cifras: 2;5;6;3?

45)¿Cuantas banderas tricolores diferentes de franjas horizontales se pueden confeccionar si se disponen 7 colores distintos?

46)¿Cuantas palabras se pueden formar con las letras de la palabra LIBRO?

47)La primera división de la liga de fútbol de huacho consta de 25 equipos.¿cuanto partidos se deben jugar para completar la primera rueda?

48)¿De cuantas maneras se pueden ubicar 6 personas en un auto si solo una de ellas sabe manejar?

49)De un total de x personas se pueden formar 21 grupos de 5. Determinar el valor de “x”

BINOMIO DE NEWTON

FORMA GENERAL DEL BINOMIO DE NEWTON


Deducción del Binomio de Newton

BINOMIO DESARROLLO SUMA DE COEIFC.

(x+1) = x + a 21

(x+1)2 = x2 + 2ax + a2 22

(x+a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 23

(x+2)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 24

(x+a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a + 10x2a3 + 5xa4 + a5 25

…………………………. ..

…………………………. ..

2n

Generalizamos y podemos llegar a:

(x+a)n = xn + nxn-1 a +

(I)

Observamos lo siguiente:

Bases del binomio: x a

Exponentes del binomio: n

El desarrollo del binomio: El segundo miembro

Luego:

a) El desarrollo es un polinomio homogéneo con respecto a x, a, donde el grado de

homogeneidad corresponde al exponente n.

b) Siempre el desarrollo contiene un término más que el exponente n.

c) El primer término del desarrollo contiene a x elevado al exponente n; disminuyendo los

exponentes de x de uno en uno hasta cero.

d) El segundo término contiene a la base a elevado a la unidad, aumentado el valor de su

exponente en cada exponente n.

e) Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.

f) El coeficiente de un término cualquiera se obtiene a partir del término anterior

multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de la primera base y

dividiendo este producto por el exponente de la segunda base aumentado en uno.

g) La suma de los coeficientes de un binomio (x+a) se da por 2n.

EL BINOMIO DE NEWTON USANDO NÚMEROS COMBINATORIOS

En la forma general (I) vemos que los coeficientes de cada término se dan como:

(x+a)n = 1.xn +

…. 1.an

Donde: …

Sustituyendo estos valores en la forma general, tendremos el desarrollo del binomio de

Newton con números combinatorios.


Ejemplo:

1) (m+n)7 =

Así (m+n)7 = m7 +7m6n + 21m5n2 + 35m4n3 + 21m3n5 + 7mn6 + n7

FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR GENERAL K

TK =

Ejemplo 1: Halla el término quinto de (2a + b2)11

Solución.-

n = 11; k = 5; x = 2a ; a = b2

Luego: T5 =

T5 = 330 . 128ª7b2 T5 = 42240ª7b8

Ejemplo 2: Encuentra el 6° término de (x-3y)10

T6 =

T6 = 252x5 – 243y5 T6 = -61236x5y5

Ejemplo 3: Halla el término que contiene x6 en el desarrollo de (x-3)14.

Solución.- Por fórmula del término general.

Tk =

Como el exponente de x debe ser 6.

15 – k = 6 k = 9 (el término buscado es el de lugar 9).

Luego: T9 =

T9 =

T9 = 39 . 7 . 11 . 13 . x6

PRÁCTICA DE CLASE

1. Halla el desarrollo de: (2x + 3y)5 2) resuelve:

3. Calcula el tercer término del desarrollo 4) Calcula el sétimo término del desarrollo de: de: (2x + 3)5 (x + 1/x)9

5. Calcula el término central del desarrollo 6) Calcula el término central del desarrollo de: de: (a + 2b)8 (x + 1/x2)10

7. Halla el término que contiene a “x8” en 8) Halla el valor de “x” de tal manera que la el desarrollo de: (x+y)13 suma del 3° y 5° términos en el desarrollo de

(x+1)4 sea igual a 25.9. Obtén los siguientes desarrollos: a) (x-2y)5 b) (1+3a)7 c) (1-b)11 10) Determina el término indicado en el desarrollo

Correspondiente:

11) Determina el coeficiente numérico del a) 7° término en: (x-y)11

Término indicado: b) 5° término en: (a+b)21


a) 2° término en (2x-y)4 c) 10° término en:

b) 3° término en (3a+4b)6

c) 9° término en: 12) En el desarrollo de , determine:

a) El coeficiente numérico del cuarto término. b) El término que contiene x4. c) El término independiente de x.

13) Encuentra los 3 primeros términos en el

desarrollo de:

14) Calcula el producto de los coeficientes numéricos del primero y del último término del desarrollo de: (1+3x2)6.

15) Calcular el término central del desarrollo de:

A) B)

C) D)

E)

16) Hallar el término que contiene a x8 en el desarrollo de: (x + y) 13

A) B)

C) D) E)

17) Hallar el valor de x de tal manera que la suma del 3ro y 5to término en el desarrollo de ( x+1 ) 4 sea igual a 25A) 1 B) 2C) 3 D) 4 E) 5

18) El último término en el desarrollo de:

A) B)

C) D) E)

19) Cual es el coeficiente de x14 en el desarrollo de: ( x2+x3 ) 6

A) 12 B) 18C) 15 D) 21 E) 24

20) El 5to término del desarrollo de:


1. El último término en el desarrollo de: (x-3y)5 es:a) -15y5 b) 15y5 c) 243y5

d) -243y5 e) -243xy5

2. El coeficiente numérico del 8° término del desarrollo de (2-x)11 es:a) 330 b) -330 c) 5280d) -5280 e) Otro valor

3. El coeficiente numérico del 2° término en el desarrollo de (2a+b)5 es:a) 16 b) 32 c) 80d) 10 e) 50

4. El término central en el desarrollo de:

, es:

a) b)

c) d)

e) no hay término central.

5. El término independiente de “x” en el

desarrollo de es el:

a) 2° término b) 3° términoc) 4° término d) último términoe) No hay término independiente de “x”

6. Halla el valor de “x” de tal manera que el coeficiente del 3° y 5° términos en el desarrollo de: (2x-1)5 sea igual a 72.a) x=2 b) x=4 c) x=3d) x=5 e) x=6

7. ¿Qué valor debe tener “n” para que el cuarto término del desarrollo de:

, sea el término independiente.

Cita el coeficiente del término que sigue al término de grado cero.

a) b) c)


d) e)

8. El término central en el desarrollo de: (2x-y)6 es:a) -60x2y4 b) 60x2y4

c) 160x3y3 d) -160x3y3

e) No hay término central

9. Halla el término anterior al independiente de “x” en el desarrollo del siguiente binomio de Newton:

a) b)

c) 720x1/2 d) 360x1/4 e) 485x3

10. ¿Qué lugar ocupa el término del

desarrollo binomial de: que es

de grado 100. a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11

11)Hallar el 4to término de:

A) B)

C) D) E)

12)Hallar el 6to término de: Ver cual es el grado absoluto.A) 20 B) 21C) 23 D) 22 E) 10

13)Hallar el tercer término del desarrollo de:

A) B)

C) D)

E)

14)Hallar el término central de:

A) B)

C) D)

E)


A) B)

C) D) E)


A) B)

C) D) E)

17) Hallar el término de lugar 5 en:

A) B)

C) D) E)

18)Hallar el término de lugar 10 en:

A) B)

C) D) E) N.A.

19)Calcular el término central del desarrollo de:

A) B)

C) D) E) N.A.

20)Calcular el tercer término del desarrollo de:

A) B)

C) D) E)


Tema Nº 03: LOGARITMOS

Capacidades:

Define logaritmo.

Aplica propiedades de logaritmos.

Resuelve ecuaciones con logaritmos

Resuelve problemas con logaritmos, aplicando su definición y propiedades.

Exploración y Desequilibrio:

¿Qué es un logaritmo?

¿En que se diferencia un logaritmo decimal, de un logaritmo neperiano?

¿Qué es un antilogaritmo y un cologaritmo?

De acuerdo a la definición de logaritmo calcula los siguientes ejercicios:

Logaritmo de en base

Si se sabe que: ; , calcular el .


1.-DEFINICIÓN DE LOGARITMOEl logaritmo de una cantidad real positiva es una determinada base (b) positiva y diferente de la unidad, es el exponente al cual debemos elevar dicha base (b) de manera que resulte dicha cantidad.

Traduzcamos a lenguaje matemático lo anterior:

donde N>0

Por ejemplo:

Otro ejemplo: Si , cuanto vale x.

2.- PROPIEDADES DE LOGARITMOSA continuación se presentan una serie de propiedades, las cuales son fundamentales para el buen desenvolvimiento del tema; del nivel de manejo que se tengan de ellas, dependerán los resultados a obtener.

(I) Relación fundamental

Logaritmos Segundo Año

(II) Logaritmo de una multiplicación y una división.

(III) Logaritmo de una potencia

(IV) Cambio de base

(V) Cologaritmo y antilogaritmo

3.- TEOREMAS PARA RESOLVER ECUACIONES LOGARÍTMICAS

(I) Si:

(II) Si:

4.- ECUACIÓN LOGARÍTMICASe denomina ecuación logarítmica a toda aquella que contiene una o más funciones logarítmicas de la variable.Ejemplos:

Las raíces de una ecuación logarítmica puede hallarse:I. Aplicando la definición de logaritmo.

¡CUIDADO!

El número debe ser (+)

La base debe ser

La base debe ser (+)

RECUERDA QUE:

También:

(Regla de la cadena)

II. Aplicando la propiedad Si: entonces III. Introduciendo una nueva variable.

Ejercicios de Aplicación

1) Encontrar el valor de “x” a partir de:

Considere: a > 0 a 1

Solución:

Sabemos: logab = 1 logbbn = n logbb = n (1) = n

Según el enunciado:

Además:

Llamaremos:

Poniendo en (I):

Resolviendo:

Como m = logax

2) Reducir:

Sabemos: por lo tanto según el problema.

, reemplazando en el enunciado.

3) Resolver: Sabemos: , además

En el problema:

Como:


En (I) tenemos:

(Para que cumpla)

Resolviendo:

Rpta: x = 2

4) Resolver la ecuación:

Sabemos:

Primeramente hacer que todos tengan una misma base.

(de I, II, III); reemplazando en el problema:

5) Calcular:

Sabemos:

En el problema:

I.

Reemplazamos:

813x

3x3logxlog

3loglog

3log1010xlogxlogx/1logxlog

4

102/5103

2/53

103

xx)x/1()x(3

1033

2333

2

Por lo tanto:

6) Si: . Calcular: log 16

Recordar:

Por lo tanto:

Luego:

Pero como:

reemplazando

Reemplazando en “a”

Por lo tanto:

1alogblog

)2log3log1(E

2log3log3log2log12log3logE

)2log1()3log1(2log3logE

ba

:Sabemos

32

322332

3232


Práctica De Clase

1. Simplificar la expresión:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 16

2. Reducir:

a) 4 b) c) 2 d) e) 1

3. Simplificar la expresión:

a) 9 b) 12 c) 18 d) 64 e) 73

4. Simplificar la siguiente expresión:

a) 15 b) 10 c) 9 d) 16 e) 41

5. Reducir la expresión

a) a b) b c) c d) 1 e) 0

6. Indicar el equivalente de:

a) 12 b) 4 c) 6 d) 42 e) 1


a) 220 b)150 c)100 d)12 e) 42

8. Simplificar

a) -1 b) 4 c) -6 d) -9 e) 0

9. Indicar el equivalente de:

a) 60 b) 30 c) 15 d) 7.5 e) 3.75

10. Marcar el resultado de efectuar:

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

11. Halla el valor de ”x” en:

antilog x antilog x x =16a) 1 b) ½ c) 3/2 d) 2

12. Halla el valor de ”x” en:log 7 (x-2) + log 7 (x-5) = 2 log7 2

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6

13. log 3 (5x-1) + colog 3 (3x-5) = 2 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

14. Resuelve:

a) 2 b) 3 c) 4 d) a y b

15. ¿Que valor resuelve la ecuación? log 16 + log x + log (x - 1) + log 100 = 1 log (x2 - 4 ) + log 15 + log 2 4

a) 8 b) 9 c) 10 d ) 11

16. Calcular el valor de “x” en: Log x

x = 100a) 10-2 b) 10- 2 c) 10-3

17. El cuádruplo del logaritmo de un cierto

número excede en 4 al duplo del logaritmo del mismo número. ¿Cual es este número?

a)10 b) 102 c) 10-2 d) 10-1

18. Si log 2 = 0,30103 y log3 = 0,47712. Hallar el valor de log 48

a)1,80618 b) 0,60206 c) 1,68124

19. Calcular el valor de:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

20. Si: indicar el equivalente de:

a) b) c)

d) e)

21. Resolver:

a) 9 b) 6 c) d) 5 e) 2

22. Resolver:

a) b) c)

d) e)

23. Calcular:

Si además: ;

a) b) c)

d) e) N.A

24. Calcular el valor de “y” en:

y dar como respuesta el mayor valor de “x”

a) b) 9 c) 18

d) 27 e) 81

25. Resolver:

a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

26. Resolver:

y dar como respuesta el mayor valor de “x”

a)3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10

27. Luego de resolver:

Indique la suma de raíces

a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

28. Calcular el valor de “x” en:

a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9

29. Calcular el valor de “P”, si:

a)x-y b) x+y c) 2x d) 2y e) 1

30. Resolver:

a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

31. Resolver:

a)1 b) 10 c) d) e)

32. Verificar la veracidad de las siguientes expresiones: ( ) El logaritmo de una

multiplicación es equivalente a la suma de los logaritmos de cada uno de sus factores

( ) El logaritmo de una división es equivalente a la diferencia del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

( ) La función logaritmo es toda aquella cuya regla de correspondencia viene expresado por: f(x) = log x; donde x > 0

33. Indicar cual frase es verdadera respecto a cualquier sistema de logaritmos.a) Los números positivos menores que

uno tienen logaritmos negativos

b) El logaritmo de la base siempre es cero

c) El logaritmo de uno es siempre unod) La base de un sistema de logaritmos

puede ser cero.

34. Resolver: ( logx )1/2 = log (x )1/2

a) 1 b) 102 c) 104 d) a y c

35. Calcular: 2 + log x = 3

log 24 - 8 log + 6 log - log 243

a) 32 b) 3,2 c) 0,32 d) 0,16

36. log 6x . log x 2x . log 2x 3x = log x x2

a) 2 b) 3 c) 6 d) 12

37. Determinar la suma de los valores

enteros de “n” para que: x2- x+log n=

0, admite raíces reales.a) 6 b) 7 c) 8 d) 5


Práctica De Clase

1. Resolver la ecuación: log(7x-5) = 2

Indicar como respuestas:

a) 2 b) 5 c) 4 d) 9 e) 7

2. Calcular el logaritmo de en

base 125/27

a) 1/3 b) ½ c) 1/6 d) -1/6

3. Luego de resolver la ecuación:

Indicar como respuestas:

a) 1 b) 2 c) d) e) 3

4. Resolver la ecuación:

Marca luego el valor de 11x

a) 109 b) 201 c) 340 d) 100 e) 421

5. Después de resolver la ecuación:

Calcule el valor de:

a) 2.2 b) 1.2 c) 0.5 d) 1.5 e) 2.5

6. Calcular el valor de “x” en la

ecuación:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

7. Para qué valor de “x” se verifica la

relación:

a) 27 b) 9 c) 4 d) 16 e) 3

8. Resolver: log 2 log 3 (x+2) = 2

a) 81 b) 85 c) 79 d) 72

9. Analiza los logaritmos neperianos y

evalúa los problemas que se

presentan en la solución de los

ejercicios.

10. Elabora un listado de problemas para

ver en que se usan los problemas y

relaciónalo con la vida cotidiana.

11. ¿Cual es la base de log 8 si éste es

igual a -1,5 ?

a) 1 b) 0,5 c) 0,25 d) 0,125

12. Reduciendo la expresión:

Se obtiene:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

13. Simplifique la expresión:

a) b) 6 c) 4 d) 3 e) 2

14. Reducir:

a)6 b) c) 3 d) e) 2

15. Reducir la expresión:

a)25 b)5 c) 4 d)2 e) 1

16. Simplificar la expresión

a) 1 b) b c) 2 d) 2b e) 0


a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 13

18. Señale el equivalente de:

a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1

19. Simplificar la expresión

a) 9 b) 0 c) -11 d) 6 e) 3

20. Hallar: log de 125 en base 625

a) 0,5 b) 0,65 c) 0,75 d) 0,25

21. Hallar el número cuyo log de base 21/2

es igual a -6

a) 0,5 b) 0,25 c) 0,125 d) 0,75

22. ¿Cuál de los siguientes valores es el

mayor?

a) log 1/0,25 b) log 0,2

4 5

c) log 1/27 d) log 8

3 2

23. Indicar lo falso:

a)log 7 (-7) = no existe

b)log 1 5 = no existe

c) log (-2) 8 = no existe

d)log 1 1 = no existe

e)Todas no son falsas

24. Averigua que condiciones debe

cumplir una función logarítmica para

graficarlas, además cuales son las

diferencias con otras funciones.

25. Efectuar la expresión

a) 30 b) 42 c) 12 d) 10 e) 15

26. El equivalente de la expresión

a) b) c)

d) e) ab


a) 2 b) 3 c) 6

d) e)

28. Señale el equivalente de:

a) 1 b) 2 c) 4 d) a e) b

29. Hallar el valor de “x” en:

a) 3 b) c) 2 d) e)

30. Hallar el valor de “x” en:

a) b) c) d) e)

31. Calcular el logaritmo de en base

a) b) c) 4 d)2 e)

32. Hallar el de “x” en:

a) b) c) d)-4 e) -2

33. Si: ; Calcular el valor

de:


a) b)m c)-m d) e) 2m

34. Reducir la expresión “E”

a) b) c)

d) e)

35. Resolver:

a) 5 b) 25 c) 125 d) 625 e) 45

36. Si: Calcular el

valor de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

37. Resolver: 6 (102x) -4 = 10 x+1

a) 1 b) 1/3 c) - 1/3 d) log 2

38. Calcular “x” si:

Log (x+1) N = 0,146 135 …..……( 1 )

log (x-1) N = 0,292 270 ………... ( 2 )

b) 2 b ) 3 c) 4 d) 5

39. Calcular el valor de E = 10r, si:

r = 0,5 - log 0,375 10

a) 5/3 b) 8/3 c) 0 d) 10/7

40. Indicar la diferencia de raíces:

log2 (9 x+1 +7) = 2 + log2 (3x+1 + 1)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Tema Nº 04: funciones exponenciales y logarítmicas

Capacidades:

Saber identificar una expresión algebráica y su clasificación, lo cual nos va a permitir

reconocer un polinomio y en forma directa calcular su valor numérico cuando en ciertos

ejercicios así lo requieran.


FUNCIÓN EXPONENCIAL:

Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teoría de exponentes, restringir números reales positivos y los exponentes a números racionales.1) 7)

2) 8)

3) 9)

4) 10)

5) 11)

6) 12)

Definición: La función exponencial de base a, se define de la siguiente manera:

Observación:¿Por qué se excluye a, a = 1?También debemos excluir las bases negativas, ya que lo contrario tendríamos que excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2, (-1) 3/8, etc., no están definidas en el sistema de números reales.

Grafica de Funciones Exponenciales.a) Cuando la base a < 0,1>:

En el grafico se observa:

b) Cuando la base a < 1, >:

En el grafico se observa:

Grafica de la función exponencial natural, f(x) = e x :

)x( 1f

)x( 2f

1x 2x

x)x( af

(0 , 1)

y

x

x)x( af

1x 2x

)x( 2f

)x( 1f

(0 , 1)

y

x

Función Exponencial Quinto Año

Sus propiedades son las mismas que las de la función f(x) = ax

Problemas:

Graficar:

Caso I: f(x)=4x a>1

Localizamos los puntos:

Senota que f(x) > 0 para todo valor de x.

Caso II:

Localizamos puntos:

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.

Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) Si 0< a < b< 1 entonces ax < bx , x > 0

II) Si 1 < a < b entonces ax < bx , x < 0

III) Si 0 < a < 1 entonces Sol:1) Mediante la exponencial decreciente:

Como: 0 < a < b < 10x< ax < bx <1x solo si x es positivo, como veremos la

siguiente grafica:

x)x( 4f

64

16

4

1

-3 -2 -1 1 2 3

y

x643

162

41

10

4/11

16/12

64/13

)x(fx

1)x(f

0x:Para

1)x(f0

0x:Para

x3)x( )(f

-3 -2 -1 1 2 3

1

27

9

3

y

x27/13

9/12

3/11

10

31

92

273

)x(fx

1)x(f0

0x:Para

1)x(f

0x:Para

x3

x2

x)x( ef

x = 0

x

y

xa

xa

xbxb

y

x

2) Mediante la exponencial creciente:

Como: 1 < a < b 1 < ax < bx todo x positivo, como veremos en la siguiente grafica:

Como habíamos visto anteriormente:

Cuando x < 0, caso contrario. ax > bx La proposición es verdadera

3) Graficando

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Reconoce del sgte grupo de ejercicios, cuales son funciones exponenciales y cuales no lo son ; escribiéndolo y mencionando si son crecientes o decrecientes:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

2. Teniendo en cuenta la base de las sgtes. Funciones; indica si son crecientes o decrecientes.

a.

b.

c.x

xf )/3()(

d.x

xf 12)(

e.x

xf 3/1)(

f.

g.

3. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:

a. + 3

b. - 1

c. + 1

d. - 5

e. + 2

f.

g. - 1

h.


xa

xa

xb

xb x)x( mf

x

y

xa

x)a1(

x

y


a. - 1

b. + 1

c. - 5

d.

e. - 1

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Reconoce del sgte grupo de ejercicios, cuales son funciones exponenciales y cuales no lo son ; escribiéndolo y mencionando si son crecientes o decrecientes:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

2. Teniendo en cuenta la base de las sgtes. Funciones; indica si son crecientes o decrecientes.

a.

b.

c.x

xf )/3()( +1

d.x

xf 12)( -2

e.x

xf 3/1)( - 4

f. 1

g. - 5


a. + 3

b. + 1

c. -5

d. - 5

e. +5

f.

g. + 1

h.


a. - 1

b. + 1

c. - 5

d. ;

e. + 1

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Definición: Puesto que la función exponencial f(x) = ax, tal que f: R R+ es una función invectiva.

Y su función inversa es: (Función Logaritmo)

Sea: a > 0 a 1, siendo “a” la base, denotada por:

ay = x

Don f = R+ = < 0, > Ran f = R = <-, >

Ahora veremos las siguientes graficas:

Caso I: Si 0<a<1 0<b<1

Observamos:

0<b <a<1 x < 0,1> ; logax > logbx x < 1,> ; logax < logbx Si x = 1 logax = logbx = 0

Caso II: Si a >1 , b>1

Observamos:

1<a <1 a b son positivos. x < 0,1> ; logax > logbx x < 1,> ; logax < logbx

Ejemplos

1) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su rango.



4) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su

rango.


6) Graficar:

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Para cada función sgte. Graficar y hallar dominio y rango:

y

x

xlogy axlogy b

(1, 0)

xlogy b

xlogy a

y

x(1, 0)

Tema nº 05: Matrices y determinantes

Capacidades:

Define matrices y determinantes

Opera con matrices.

Clasifica matrices.

Resuelve sistemas de ecuaciones aplicando matrices .

Resuelve problemas con matrices y determinantes, aplicando definiciones y

propiedades.


INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

GENERALIDADES.- La solución de un sistema de ecuaciones lineales, no depende de los

símbolos que se usan como variable, sino de los coeficientes y constantes del sistema. Así:

y , tienen la misma solución (2; 3)

y

tienen la misma solución (-4; -2; 6)

Si con los coeficientes y constantes del sistema escribimos un arreglo rectangular de números

como aparecen a continuación, dicho arreglo se llama matriz.

3 1 9 3 -3 -2 -18

5 -1 7 y B = 6 2 3 -10

3 -3 1 0

Los números de una matriz se llaman elementos.

DEFINICIÓN.- Una matriz “A” se m filas o renglones (horizontales) y n columnas (verticales) se

define tal como aparece en el arreglo de abajo y decimos que el orden de la matriz es m . n o

“matriz m . n” o simplemente matriz rectangular. Una matriz n . n se llama matriz cuadrad de

orden n.

a11 a12 a13 …a1n

a21 a22 a23 …a2n

A = a31 a32 a33 …23n

. . . .

. . . .

am am2 am3 …amn

Cada elemento de la matriz se representa con doble subíndice aij, donde un elemento de la

matriz está en el í-enésima fila y j-ésima columna. Así, a22 está en la segunda fila y segunda

columna; a23 está en la fila 2 y columna 3, etc.

A=


IGUALDAD DE MATRICES. Sean las matrices:

3 -2 -1 9 -2 -1

4 1 2 22 10°

Observamos:

Las matrices A y B son del mismo orden 2 x 3.

Los elementos de A son igual a los correspondientes elementos de B.

Entonces A = B

De manera que: 2 3 4 2 3 4 2 2 2 2 2

1 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2

¿Por qué?

Matriz fila: Si m = 1. Así: A =[2 -2 4 0]

Matriz columna: Si n = 1. Así: 3

A = -2

0

Matriz cuadrada: Si M = n. Así: 2 4 -1

A = 1 3 3

0 1 -5 Diagonal principal.

Matriz transpuesta.- Sea la matriz A de orden 2 x 3: 4 0 2

Si se intercambian las filas por las columnas, -1 3 5

se tiene la matriz transpuesta At de orden 3 x 2, o sea:

4 -1

At = 0 3

2 5

Matriz simétrica: Si At = A, las matrices, son simétricas, tales como:

-3 2 -3 2

2 1 2 1

Matriz antisimétrica: Si At = -A, las matrices son antisimétricas. Así:

0 3 -4 0 -3 4

A = -3 0 -2 y At = 3 0 2

4 2 0 -4 -2 0

Matriz diagonal: una matriz cuadrada es matriz diagonal, si todos los elementos que no

pertenecen a la diagonal principal son ceros, tales como A y B.

3 0 5 0 0

0 4 y B = 0 -2 0

0 0 4

A= B=

y

A=

A= y At=

A=

Matriz escalar: Una matriz diagonal es escalar K, si todos los lados de la diagonal principal

son iguales, tales como C y D.

2 0 -3 0 0

0 2 y D = 0 -3 0

0 0 -3

Matriz identidad: Es una matriz escalar, donde K = 1, tales como E y F.

1 0 1 0 0

0 1 y F = 0 1 0

0 0 1

Matriz nula: Es una matriz en la cual todos sus elementos son 0. Se denota por

0 0 0

0 0 0

PRÁCTICA DE CLASE

1. Si: x+1 1 4 2 y-3 y

y-x -1 2 3 -(x+y) 2

Halla:

2. Si: 4 2

1 3 , halla At

-2 3

3. Si 4 2x+y x+y

A = 3y-2 5 x2-1 ,

3y-2x 3 3

es simétrica, halla el valor de: x2-5y

4. La traza de: a 2a 3

A = 2a 5 b+1

3 2 b

vale 8, 5. Si A=At, halle: a2+b2- ¼

5. Halla: a22 + a41 + a34 – 3a12.

6. Resuelve: a21 + a14 . a45.

7. Halla la traza de la matriz A = [aij] de

orden 3 y tal que:

i+j , si ij

i-j , si i>j

8. Escribir explícitamente la matriz "A".

/32ij]A[A

ji;jia

ji;ija

ij

ij

a)

315

341

b)

543

431

c)

243

431

d)

215

341

e)

643

431

9. Dada la matriz:

y2x18

x5y9x4A

Donde se cumple:2112 a2a

0a22 Calcular: x + y.a) 5 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

10. Si:

41

53

qpnm

qp2nm

Hallar: (m - p) + (2n - q).

a) 4 b) -3 c) 2d) 3 e) -2

A=

E=

=

= [0 0]

=

=

aij=


11. Hallar la suma de los elementos de "x",

tal que:

04

52

12

12x

a) -2 b) 0 c) 1d) 3 e) 5

12. Construir la matriz:

j3ia/]a[A ij23ij

a)

76

12

43

b)

76

15

74

c)

96

85

74

d)

65

54

43

e)

98

76

54

13. Sean las matrices :

yx3

xy2xA

;

43

4y2B

Hallar : "x.y", si : A = B.a) 6 b) 10 c) 8d) 12 e) 14


1. Dado:

1 4 2 8

2 3 1 4

A = 3 1 -3 -2

4 0 5 -1

5 -1 6 0

2. a22.a32+a42:a51- , es igual a:

a) 0 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2

3. La matriz A es de orden:

a) 5x3 b) 4x5 c) 5x4

d) 5 e) 4

4. Al resolver: a23x2-a41x-(a14+a24)=0, se

obtiene:

a) {-6; 2} b) {-6; -2} c) {2; 6}

d) {(6; -2)} e) {-2; 6}

5. x2-y2, es:

a) 27 b) 29 c) 21 d) 26 e) 24

6. Si A = [aij] es de orden 3 y aiji2-j, el valor

de tres (A) es:

a) 8 b) 10 c) 6 d) 2 e) 0

7. Si: a 8 -1

A = b+3 3 2 , traz (A) = 12

-1 k b

y A=At, el valor de es:

a) 5 b) 4 c) 9 d) 1 e) 3

8. La suma de todos los elementos de la

primera fila menos la suma de todos los

elementos de la primera columna es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) -1

9. La suma de todos los elementos de la

matriz: A = [aij]2x3, donde:

aij = i + j, es:

a) 21 b) 13 c) 18 d) 20 e) 25

10. Si A es una matriz de orden 4 x 3 At es

de orden:

a) 4x3 b) 3x4 c) 4

d) 3 e) 12

11. La ecuación cuadrática cuyas raíces son

½ y 1/3, es:

a) 6x2+5x+1=0 b) x2+5x+6=0

c) 6x2-5x+1=0 d) 6x2+5x+1=0

e) 6x2-5x-1=0

12. A es una matriz de orden 3. Si A es

escalar y traz(A)=21, el valor de aii es:

a) 7 b) 6 c) 5 d) a e) 21

13. A es una matriz diagonal, ¿es A=At?

a) Si b) No

14. a + 2y + x, es:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 10 e) -10

ÁLGEBRA DE MATRICES

Cualquier par de números reales puede sumarse, restarse y multiplicarse; sin embargo, dos

matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse si cumple ciertas condiciones.

ADICIÓN DE MATRICES

Dos matrices A y B pueden sumarse si tienen el mismo orden m x n. La suma es la matriz m x

n que resulta de sumar cada elemento de A con su correspondiente elemento de B, así;

Halla A + B, si A = 3 1 -1 y B = 3 2 -5

3 -4 0 1 0 -1

Solución:

3+2 1+2 -1 +(-5) 5 3 -6

3+1 -4+0 0+(-1) 4 -4 -1

Luego: Si A = [aij]mxn y B = [bij]mxn , se tiene: A + B = [aij + bij]mxn

De donde se reduce, la operación de adición en el conjunto de matrices m x n satisface las

propiedades siguientes:

Conmutativa : A + (B+C) = (A+B) + C

Elemento Neutro : A + 0 = 0 + A = A

Inverso Aditivo : A + (-A) = 0 = (-a) + (A)

SUSTRACCIÓN DE MATRICES

Para restar dos matrices A y B de orden m x n aplicamos el inverso aditivo: A – B = A + (-B)

Por ejemplo:

Halla: A – B, si: 3 2 2 -4

5 4 3 5

Solución:

-2 4 De donde: 3 2 -2 4 1 6

-3 -5 5 4 -3 -5 2 1

Luego:

Dadas las matrices: A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , se tiene: A – B = A + (-B)

PRODUCTO ESCALAR

Para multiplicar un número real “K” por una matriz A, se multiplica dicho número por cada

elemento de la matriz A.

Por ejemplo: Si K = 2 y A = -2 3 , halla: KA

5 -1

Solución:

-2 3 2(-2) 2(3) -4 6

A+B= =

A= y B=

-B= A-B=A+(-B)= + =

KA=2A = 2 = =


5 -1 2(5) 2(-1) 10 -2

Luego: Dado K un número real y A=(aij)mxn, el producto KA=K[aij]mxn =[kaij]mxn

PRÁCTICA DE CLASE

Sea: 3 1 1 3 1 0

3 4 -1 1 0 1

Hallar:

1. A + B

2. 4A + 5B

3. 2A – B – 3I

4. Resuelve A + X = I, si X es una matriz.

5. Si:

1 3 3 9

2 4 6 12

Hallar el valor de traz(X)

6. Si: -1 0 , calcular la suma de

2 -1

todos los elementos de la matriz.

E= A+2A+3A + … +nA

7. Si: 2x – y = B, donde: A = -1 2

x + y = A 0 1

B = 2 3 , halla la suma de todos

-1 -1

los elementos de “X”

8. Si: A + 2B + X = , donde:

1 -2 - ½ 1

-1 2 ½ -1

y es la matriz nula m, halla X

9. Efectuar: ; calcular

la suma de los elementos de la matriz

resultante.

10. Al efectuar:

;

Calcular la suma de los elementos de la

matriz resultante.

11. Calcular la transpuesta de la matriz

resultante:

12. Calcular “a + b + c + d” de modo que la

matriz resultante sea nula:

13. Calcular:”a + b + c + d ”

PRACTICA DOMICILIARIA

La suma de todos los elementos de la

matriz resultante de:

1 4 -1 -3 -1 1

1. 2 5 + 4 1 - 6 5 , es

3 6 2 2 5 7

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

2. 2 1 6 9 5 8

3 4 10 12 7 9 es:

a) 0 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

3. Si: 4 -8 5 10 9 7

-12 13 7 8 11 -6

A= B= y I=

8x+4 x - =2

A=

A= B=

3 + 2 -4

- +

la suma de todos los elementos de la

matriz resultante es.

a) 39 b) -39 c) 40 d) -131 e) 131

4. Si:

4 -8 5 10 9 7

12 13 7 8 11 -6

la traza de la matriz resultante es:

a) 19 b) 65 c) 111 d) 93 e) -26

5. Si:

-8 13 a c 1 0

4 7 b d 0 1

el valor de ad – bc, es

a) 106 b) -106 c) -3 d) 2 e) -10

6. Si:

1 4 7 -1 4 -7

B = 2 5 8 -2 -2 5 -8

3 6 9 -3 6 -9

Traz(B) es:

a) 35 b) -25 c) 29 d) 25 e) -35

14. Si:

4 5 -3

Bt = -2 -8 7 , traz (B+Bt) es:

3 4 10

a) 12 b) 44 c) -16 d) -12 e) -44

15. Si: a d 1 3 0 1

b e +2 1 5 -3 -1 0 =

c f 1 -2 3 -2

El valor de: a+b+c-(d+e+f), es

a) 0 b) -5 c) 15 d) 5 e) 24

16. Si: -2 3 4 2 -3 4

A = 0 1 -2 y B = -3 5 2

0 0 0 4 2 8

Halla: At + b

0 0 8 0 -3 -4

a) -3 6 0 b) 0 6 2

4 2 8 8 0 8

0 -3 4 0 -3 4

c) 0 6 2 d) 0 6 2

8 0 8 -8 0 8

0 3 4

e) 0 -6 2

8 0 8

17. Sean las matrices:

21

73By

13

24A

Hallar: 3A - 4B.

a)

128

3224

b)

125

164

c)

248

140

d)

109

64

e)

513

220

18. Dados:

31

13A

y

10

29B

Si: P(x;y) = 3x - 2y + 2Hallar: P(A; B).

a)

11

07

b)

33

29

c)

10

72

d)

93

77

e)

20

19

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Dadas las matrices A y B, el producto de matrices AB está definido si y solo si el número de

columnas de A es igual al número de filas de B, tales como:

1 3 4 2 -2 1 4 3 -2 4

-2 4 1 3 3 2 0 y B = 0 5 -1

1 2 6

3 +2 -4

+ =

A= y B= A=


Para multiplicar dos matrices cada elemento de la fila “i” de la matriz A por el elemento

correspondiente de la columna “j” de la matriz B, luego se suman los productos.

Por ejemplo:

Sean:

-2 1 4 3 -2 4

3 2 0 y B = 0 5 -1 Halla: AB

1 2 6

Solución:

(-2)(3) + (1)(0) + (4)(1) (-2)(-2) + (1)(5) + (4)(2) (-2)(4) + (1)(-1) + (4)(6)

(3)(3) - (2)(0) + (0)(1) (3)(-2) + (2)(5) + (0)(2) (3)(4) + (2)(-1) + (0)(6)

-6 + 0 + 4 4 + 5 + 8 -8 -1 + 24 -2 17 15

9 + 0 + 0 -6 + 10 – 0 12 – 2 + 0 9 4 10

Observa que A es una matriz de orden 2 x 3 es de orden 3 x 3 y Ab es una matriz de orden 2 x

3. AB está definido, porque: 3 = 3. En general, el producto de una matriz A de orden m x n con

otra matriz B de orden m x p es la matriz C de orden m x p. C está definida, porque: m=n

Luego:

Si: A = [aij]mxn y B = [bij]mxp , entonces AB es la matriz.

C = [cij]mxp , donde cij = aijbij + ai2b2j + … + ain bnj

PRÁCTICA DE CLASE

A=

AB=

AB= =

Efectúa:

4

1. [1 3 4]1x3 x -2

2 3x1

4

2. -2 x [1 3 4]1x3

2 3x1

3. 4 3 2

1 5 2x2 3 2x1

4. 2 1

3 3 x

-1 4

5. 2 4 1 3

3 5 5 2

1 0 1 4 2

6. 2 2 x -1 0 2

4 3

7. Si: A = 1 1 , halla traz(A2)

-1 -1

8. Si: A = 2 -1 , halla A2

-1 2

9. Si: A = 1 0 , halla A3

0 1

10. Si A = a 2 B = 1 2 ,

b -1 3 4

A x B = B x A, halla: a + b

11. Si A = 1 -1 x 1 -1

0 -1 0 -1

12. Si A = 1 1 , halla el valor de:

-1 0

A15 + A19

13. Si A = a c , halla: I x A

b d

donde I es la matriz identidad.

14. Calcular El Producto DE : M.Mt ; sabiendo

que:

15. Calcular a + b:

16. Calcular “m + n”

17. Calcular la suma de de los elementos de la diagonal principal de la resultante de la

matriz:

18. Calcular la suma siguiente:

19. Efectuar: ;

Calcular la suma de los elementos de la matriz resultante.


El resultado de:

1. [-2 4] x 2 es: 3. Si: 3 -2 x a b = 17 1

3 1 4 -1 5 1 23

-1-2

x


a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 el valor de a + b es:

a) -8 b) -2 c) 10 d) 8 e) 2

2. 2

[1 5 7] x 4 es 4. Si: 1 -1 3 a 5

6 2 -3 4 x b = 8 , el

3 -2 0 c 6

a) 64 b) 12 c) 25 d) 16 e) 24 valor de a+b – 2c es:

a) -1 b) 0 c) 4 d) 5 e) -2

5. Si: 4 8 x -1 = a 6. La suma de todos los elementos de la

-2 9 4 b resultante de:

el valor de: a + b, es: 2 -4 2 0 4

a) 65 b) 66 c) 67 d) 70 e) 16 3 0 x -3 1 2 , es:

-1 1

7. Si A = -1 1 , el valor de traz(A3), es a) 45 b) 46 c) 24 d) 28 e) 25

0 -1

a) 1 b) -3 c) -2 d) 3 e) -1 8. Si: a2 a x 1 = 8 ,

b2 -3b 2 -9

9. Si: 2 -1 x 1 2 = m 5 el valor de el valor de a3+b3, si a > 0 , b > 0, es:

3 4 5 -3 n x

(m+n) – (r+s), es: 10. 2 0 4 2 -4

a) 19 b) 13 c) 7 d) 21 e) 33 -3 1 2 x 3 0 , es:

-1 1

11. Si: A = -1 -1 , el valor de A3, es a) 3 b) 5 c) 7 d) 14 e) -9

0 1 12. Si M = 1 1 , el valor de 3M5-2M24 es

a) –A b I c) –I d) A+I e) A -1 0

a) A b) 2A c) I d) –A e) –I

13. Sean las matrices :

21

32A

214

321B

Hallar: A.B.

a)

709

12114

b)

709

12011

c)

109

10114

d)

809

12114

e) N.A.

14. Dada la matriz:

011

121

221

A

Hallar la traza de 2A

a) 7 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. Dados :

423

312A

21

32

11

B

Hallar : A×B.

a)

42

10

b)

63

11

c)

53

11

d)

65

11

e)

51

22

16. Dada la matriz:

21

04A

Calcular: AA2

a)

24

06

b)

50

120

c)

01

43

d)

25

012

e)

10

05

17. " " y " " son las raíces de la ecuación:

031x4x2 Calcular el determinante de:

a) 4 b) 9 c) 16d) 25 e) 36

18. Dada la matriz:

10

12A

Además: I2x5x)x(P 2

Dar la suma de elementos de P(A):a) 8 b) -6 c) -4d) 6 e) -8

19. Dada la matriz:

25

14B

Calcular: IB3 T

a)

74

013

b)

69

1315

c)

73

1513

d)

29

516

e)

69

1518

DETERMINANTES

Hemos visto que una matriz es un arreglo rectangular de números. Si la matriz es cuadrada, se

le puede asignar un número al que se llama determinantes de la matriz. Si la matriz cuadrada

es A, el determinante es el número que se denota por |A| (no confundir con la notación de valor

absoluto).

Por ejemplo:

Si la matriz es A = 3 5 , su determinante es |A| = 3 5

2 -1 2 -1

De acuerdo al número de filas y columnas en una matriz cuadrada, el determinante puede ser

de: 2do. orden, 3er. orden, orden superior; nosotros nos referimos solamente de los

determinantes de segundo y tercer orden.

DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN

De la matriz cuadrada: A = a11 a12

a21 a22

El determinantes |A| es de segundo orden y se define como sigue:

a11 a12

|A| = a11 a22 – a12a21

a21 a22

Así:

3 5

|A| = = (3)(-1) – (5)(2) = -3-10 = -13. Rpta.

2 1

De manera que si las flechas indican la diagonal principal Diagonal secundaria


y diagonal secundaria, el determinante de segundo orden

es igual al producto de los elementos de la diagonal

principal menos el producto de los elementos de la Diagonal principal

diagonal secundaria.

DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

Si la matriz cuadrada: a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

a31 a32 a33

El determinante de A es de tercer orden y se define como sigue:

a22 a23 a21 a23 a21 a22

|A| = a11 -a32 +a13

a32 a33 a31 a33 a31 a32

Este método de hallar una determinante de tercer orden se llama método de cofactores, donde

se observa:

Se toma cualquier elemento como un factor y el otro factor es el determinante de segundo,

donde no intervienen los elementos de su fila ni de su columna.

El primer y tercer factor son positivos y el segundo factor es negativo.

Por ejemplo:

2 1 1 -1 3 1 3 1 -1

|A| = 1 -1 3 = 2 2 2 -1 3 2 + 1 3 2

3 2 2

= 2(-2-6) – 1 (2-9) + 1 (2+3)

= -16 + 7 + 5 = -4 Rpta.

MÉTODO DE SARRUS

Para hallar una determinante de tercer orden por el método de Sarrus, se escribe a la derecha

de la matriz las dos primera columnas, luego se multiplican siguiendo el sentido de las flechas

y teniendo en cuenta el signo. Así:

FORMA GENERAL:

a11 a12 a13 a11 a12 |

|A| = a21 a22 a23 a21 a22 |

a31 a32 a33 a31 a32 |

- - - + + +

Ejemplo:

2 1 1 2 1

|A| = 1 -1 3 2 -1 |A| = (-4+9+2) – (-3+12+2)

3 2 2 3 2 = 7 – 11

= 4 Rpta.

- - - + + +

Advertimos que este método no funciona para determinantes de orden superior.

PRÁCTICA DE CLASE

Sean: A = 4 5 , B = -5 -1 C = 1 0 1 y D = 2 3 -1

-2 -3 3 2 1 2 2 0 4 2

4 1 3 1 -5 -3

Halla:

1. |A| + |B| 2. |A + b| 3. |A| x |B| 4. |A x B|

5. |C| - |D| 6. |C + D| - |C x D| 7. Si X Z, resuelve: x2 x = 10

1 3


1. Si. A = 2 3 , B = -3 10

1 5 4 -2

1 4 7 3 4 5

C = 2 5 8 D = 7 8 9

3 6 9 11 12 13

el valor de:

2. |A| - 3|B|, es:

a) 109 b) 115 c) -131 d) 131 e) -27

3. , es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. |C|, es:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

5. |D|, es:

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

6. |A+B|, es:

a) 68 b) -27 c) 62 d) -68 e) 27

7. |A+B|, es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 5

8. a b c

a b c es:

1 2 3

a) -1 b) 0 c) a d) b e) c

9. m n p

m2 mn mp , es:

m2 n2 p2

a) m b) 0 c) n d) p e) mnp

10. 37 -23

-27 -3 , es:

a) 147 b) -147 c) -721

d) 721 e) -21

11. 3 0 1

2 x 2 = 28, es


4 -2 3

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12. Se define la siguiente función :

z00

5y0

75x

z98

0y4

00x

z00

0y0

00x

F )z,y,x(

A partir de ella, calcular: F (1, 2, 4).a) 16 b) 18 c) 24d) 15 e) 23

13. Sabiendo que :

3256

ba

32

ba

Calcular el valor de: 14

ba4

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e)128

14. Luego de resolver la siguiente ecuación:

0

13

xx2

1x

Indicar la suma de cuadrados de las soluciones.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


28x1

183

x2

15

Indicar su solución:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

16. Se define la siguiente regla:

143

102

cba

)c,b,a(P

A partir de ella, calcular : P(-2, 0, 1).a) 16 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

17. Si :

2dc

ba

Hallar el valor de: b1

d12

dc2

ba2

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

18. Dada la ecuación:

z00

3y0

21x

z20

1y3

12x

= 0se pide calcular el valor numérico de :

1z

x

a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) 11

19. Dadas las matrices:

11

13A

y

30

24B

Hallar: |A|

|B||B.A|

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20. Hallar el valor de:

a0b

111

aba

E

a) a + b b) a - b c) ab

d) ab - 1 e) 22 ba

21. Si se sabe:

0

654

cba

321

Además: a + b + c = 18.Calcular:

13

bca

a) 6 b) 13 c) -6d) 12 e) 18


0x2

33

128

1x5

00x

Indicar el producto de soluciones.a) 5 b) -5 c) 6d) 3 e) -7

23. Si: y; son las raíces de la ecuación:

03x5x3 ; Calcular el

determinante de:

a) 0 b) 1 c) -1d) 4 e) 7

REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES

LINEALES

GENERALIDADES.- La solución de un sistema de ecuaciones lineales, no depende de los

símbolos que se usan como variable, sino de los coeficientes y constantes del sistema. Así:

Sea un sistema de ecuaciones lineales:

Multiplicando la primera ecuación por b2 y la segunda ecuación por –b1:

De donde: aab2x – b1a2x = c1b1 – b1c2

Factorizando: x(a1b2 – b1a2) = c1 b2 – b1 c2 De donde:

De manera semejante hallamos “y” multiplicando la primera ecuación por a2 y la segunda

ecuación por –a1.

Observando cuidadosamente cada numerador y el denominador común, se deduce que se

pueden escribir como determinantes, así:

c1 b1

c2 b2 ; a1 b1

a2 b2

a1 c1

a2 c2 ;

Luego: Si: a1 b1 0, entonces:

a2 b2

c1 b1 a1 c1

c1 b2 a2 c2

X = ; y =

c1b2 – b1c2 =

a1b2 – b1a2 =

a1c2 – c1a2 =


a1 b1 a1 b1

a2 b2 a2 b2

Ejemplo:

Resuelve:

Solución:

1 3 1 1

-1 -5 -5 -3 1 - 1 -1 - 1

X = : = 4 ; y = = = -1

1 -3 -5 + 3 1 -3 -5 + 3

1 -5 1 -5

PRÁCTICA DE CLASE

Resuelve empleando determinantes o regla.

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.


Resuelve la regla de Cramer:

1.

2.

Al resolver por la regla de Cramer:

3.

el valor de es:

a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4

4.

el valor de x es:

5. el valor de y es:

a) 2458 c) 3687 c) 7374

d) -7374 e) -2458

6. , el valor de +x+y,

es

a) 388 b) -401 c) 401

d) -198 e) -388

Resuelve la regla de Cramer:

7. Resolver:

8. Resolver

9. Resolver:

10. Resolver:

11. Resolver:

12. Resolver:; hallar “x + 2y”

Cálculo Diferencial Quinto Año

Tema Nº 06: cálculo diferencial

Capacidades:

Reconoce y aplica los conceptos básicos de funciones.

Calcula el límite de funciones aplicando su definición.

Calcula el límite de una función aplicando propiedades.

Calcula la derivada de una función.


VARIABLES, FUNCIONES Y LÍMITES

1. VARIABLES Y CONSTANTES

Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso

de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las

últimas letras del alfabeto.

Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante.

Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los

problemas, como 2, 5 7, , etc.

Constantes arbitrarias o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores

numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente

se representan por las primeras letras del alfabeto.

Así, en la ecuación de la recta:

x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la línea, mientras que

a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada

en el origen, las cuales se supone que son los valores definidos para cada recta.

El valor numérico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor algebraico,

se representa por |a|. Así, |-2|=2=|2|. El símbolo |a| se lee “valor numérico de a” o “valor

absoluto de a”.

2. INTERVALO DE UNA VARIABLE

A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo,

podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores

comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que uno o ambos

sean incluidos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los

números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que se diga

explícitamente otra cosa. Este símbolo [a, b] se lee “intervalo de a y b”.

3. VARIACIÓN CONTINUA

Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo (a, b) cuando x

aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores

intermedios entre a y b en el orden de sus magnitudes; o cuando x disminuye desde x=n

hasta x=a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios. Esta idea se ilustra

geométricamente mediante el diagrama siguiente.

a x b

0 A P B

Tomando el punto 0 como origen, marquemos sobre la recta los puntos A y B

correspondientes a los números a y b. Además, hagamos corresponde el punto P a un valor

particular de la variable x. Evidentemente, el intervalo [a, b] estará representado por el

segmento AB. Al variar x de una manera continua en el intervalo [a, b], el punto P

engendrará el segmento AB si x aumenta o el segmento BA si x disminuye.

4. FUNCIONES

Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda

determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de

la segunda.

Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza,

y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en

las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo, el peso que

un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su

fuerza. Análogamente, se puede considerar que la distancia que un muchacho puede

recorrer depende del tiempo. O también podemos decir que el área de un cuadrado es una

función de la longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una función de su

diámetro.

5. VARIABLE INDEPENDIENTE Y DEPENDIENTE

La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de límites que

dependen del problema particular, se llama la variable independiente o el argumento. La

primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable

independiente, se llama la variable dependiente o la función.

Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligadas entre sí, queda a nuestro

arbitrio el elegir a una de ellas como variable independiente; pero una vez hecha esta

elección, no es permitido cambiar de variable independiente sin tomar ciertas precauciones

y hacer las transformaciones pertinentes. El área de un cuadrado, por ejemplo, es una

función de la longitud del lado, y, recíprocamente, la longitud del lado es una función del

área.


6. NOTACIÓN DE FUNCIONES

El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x. Con objeto de

distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F(x), (x), f’(x), etc.

Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una

misma ley de dependencia entre una función y su variable. En los casos más simples, esta

ley expresa la ejecución de un conjunto de operaciones analíticas con la variable. Por

consiguiente, en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la misma

operación, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. Así, por

ejemplo, si

f(x) = x2 – 9x + 14,

entonces,

f(y) = y2 – 9y + 14;

f(b+1) = (b+1)2 – 9(b+1) + 14 = b2 – 7b + 6

f(0) = 02 – 9.0 + 14 = 14

f(-1) = (-1)2 – 9(-1) + 14 = 24

f(3) + 32 – 9.3 + 14 = - 4

7. LA DIVISIÓN POR CERO, EXCLUIDA

El cociente de dos números a y b es un números tal que a = bx. Evidentemente, con esta

definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = 0, y recordando que cero

tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no

existe, a menor que a = 0. Si a = 0, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto,

las expresiones que se presentan en una de las formas

,

carecen de sentido por no ser posible la división por cero.

Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un

ejemplo.

Supongamos que a = b

Entonces, evidentemente ab = a2

Restando b2, ab – b2 = a2 – b2

Descomponiendo en factores, b(a – b) = (a + b) (a – b)

Dividiendo por a – b b = a + b

Pero, a = b;

luego, b = 2 b,

o sea que 1 = 2

El resultado absurdo proviene de haber dividido por a b = 0

Ejercicios de clase

1. Dado f(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20, demostrar que f(1)=12, f(5)=0, f(0)=-2f(3), f(7)=5 f(-1).

2. Si f(x)=4-2x2+x4, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2).

3. Si F()=sen 2+cos , hallar F(0), F(1/2 ) . F().

4. Dado f(x)=x3 – 5x2 – 4x + 20, demostrar que f(t + 1)=t3 – 2t2 – 11t+12.

5. Dado f(y) = y2 – 2y+6, demostrar que f(y + h)=y2 2y+6+2(y-1)h + h2.

6. Dado f(x) = x3 + 3x, demostrar que f(x + h) – f(x) = 3(x2+1)h + 3xh2 + h3.

7. Dado f(x) = , demostrar que f(x+h) – f(x) = .

8. Dado (z)=4, demostrar que (z+1) - (z) = 3 (z).

9. Si (x) = ar, demostrar que (y) . (z) = (y + z).

10. Dado (x) = , demostrar que (y) + (z) = .

11. Dado f(x)=senx, demostrar que f(x+2h) – f(x) = 2 os (x+h) senh.

8. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN; CONTINUIDAD

Consideremos la función x2 y hagamos

(1) y = x2

Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y

para los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola

(Fig. 1) y se llama la gráfica de la función x2. Si x varía continuamente (Art. 4) y se llama la

gráfica de la función x2. Si x varía continuamente (Art. 8) desde x=a hasta x=b, entonces y

variará continuamente desde y=a2 hasta y=b2, y el punto P(x, y) se moverá continuamente,

a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2) hasta (b, b2). Además, a y b pueden admitir

todos los valores. En este caso decimos que ´´ la función x2 es continua para todos los

valores de x´´.

Consideremos ahora la función . Hagamos.

(2)

Esta ecuación da un valor de y para cada valor de x, con excepción de x=0 (Art. 12); para

x=0 la función no está definida. La gráfica (Fig. 2), que es el lugar geométrico de (2), es

una hipérbola equilátera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo [a, b] que no

incluya x=0, entonces y decrecerá continuamente desde hasta , y el punto P(x, y)


describirá la curva entre los puntos correspondientes , . En este caso decimos

que ´´la función es continua para todos los valores de x con excepción de x=0´´. No

existe en la gráfica un punto correspondiente a x=0.

Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una función. Una definición se dará

en el Artículo 17.

9. LÍMITE DE UNA VARIABLE

La noción de una variable que se aproxima a un límite se encuentra en la Geometría

Semental, al establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área

de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después,

que n crece infinitamente. El área variable tiende así hacia un límite, y este límite se define

como área del círculo. En este caso, la variable v (área) aumenta indefinidamente, y la

diferencia a-v (siendo a el área del círculo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a

ser menor que cualquier número positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeño

que éste se haya elegido.

El concepto de límite se precisa mediante la siguiente definición: Se dice que la variable v

tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor

numérico de la diferencia v-l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número

positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.

La relación así definida se escribe lím v=l. Por conveniencia, nos serviremos de la notación

v l, que se leerá ´´v tiende hacia el límite l´´ o, más brevemente, ´´v tiende a l´´

(Algunos autores usan la notación v l).

Ejemplo: Si v toma la sucesión infinita de valores.

2 + 1, 2 +

Es evidente que v 2 al crecer n, es decir, lím v = 2.

Si sobre una línea recta, como en el Artículo 8, se señala el punto L que corresponde al

límite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud 8, sin importar lo pequeño que éste sea,

entonces se observará que los puntos determinados por v caerán todos, finalmente, dentro

del segmento que corresponde al intervalo [l-8, l+8]

10.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el

siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v

recibe valores tales que v l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable

dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un límite. Si

efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se expresa esta relación

escribiendo

y se leerá: ´´el límite de z, cuando v tiende a l, es a.´´

11.TEOREMAS SOBRE LÍMITES

En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes. Las

demostraciones se darán en el Artículo 20.

Supongamos que u, y y w sean funciones de una variable x y que

Entonces son ciertas las siguientes relaciones:

(1)

(2)

(3)

En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es

igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites

respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero.

Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce:

(4)

Consideremos otros ejemplos:

1. Demostrar que

Demostración: La función dada es la suma de x2 y 4x. En primer lugar hallaremos los

límites de estas dos funciones.

Según (2)

Según (4)

Luego, según (1), el límite buscado es 4 + 8 = 12.

2. Demostrar que .

x a

x a x a x a

x 2


Demostración: Considerando el numerador, , según (2) y (4). En

cuanto al denominador, . Luego, de (3), tenemos el resultado buscado.

12.FUNCIONES CONTINUNAS Y DISCONTINUAS

En el ejemplo 1 del Artículo 16, donde se demostró que

observamos que la solución es el valor de la función para x=2; es decir, el valor límite de la

función cuando x tiende a 2 es igual al valor de la función para x=2. En este caso decimos

que la función es continua para x=2. La definición general es la siguiente:

DEFINICIÓN: Se dice que una función f(x) es continua para x=a si el límite de la función,

cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x=a. En símbolos, si

entonces f(x) es continua para x=a.

Se dice que la función es discontinua para x=a si no se satisface esta condición.

Llamamos la atención de los dos casos siguientes, que se presentan frecuentemente.

CASO I.- Como ejemplo sencillo de una función que es continua para un valor particular de

la variable, consideremos la función

Para x = 1, f(x)=f(1)=3. Además, si x tiende a 1, la función f(x) tiende a 3 como límite

(Art.16). Luego la función es continua para x=1.

CASO II.- La definición continua supone que la función está definida para x=a. Sin

embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la función tal valor para x=a

que la condición de continuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente

teorema:

Teorema: si f(x) no está definida para x=a, pero

entonces f(x) será continua para x=a, si se toma como valor de f(x) para x=a el valor B.

Así, por ejemplo, la función

no está definida para x=2 (puesto que entonces habría división por cero). Pero para todo

otro valor de x.

y

luego,

Aunque la función no está definida para x=2, si arbitrariamente asignamos a ella para x=2

el valor 4, se hace continua para este valor.

Se dice que una función f(x) es continua en un intervalo cuando es continua para todos los valores de x dentro de este intervalo.

En el cálculo e integral, es frecuente tener que calcular el límite de una función de la

variable v, cuando v tiende a un valor a situado en un intervalo en un intervalo donde la

función es continua. En este caso el límite de la función es el valor de la función para v=a.

13.INFINITO ()

Es el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier

número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve

infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente

toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea para

los tres casos es

En estos casos v no se aproxima a un límite, según la definición del Artículo 14. La notación

lím v = , o v, debe leerse ´´v se vuelve infinita´´ y no ´´v se aproxima al infinito´´**

Con esta notación podemos escribir, por ejemplo,

Significando que 1/x se hace infinito cuando x tiende a cero.

Según el Artículo 17, es evidente que si

es decir, si f(x) se hace infinita cuando x tiende a a, entonces f(x) es discontinua para x=a.

Una función puede tender hacia un límite cuando la variable independiente se hace infinita.

Por ejemplo:

En general, si f(x) tiende al valor constante A como límite cuando x, empleamos la

notación del Artículo 17 y escribimos

Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación. La

constante c no es cero.

z 2

z 0

x x


Escrito en forma de interés Forma abreviada , frecuentemente usada

(1)

(2) c . =

(3)

(4)

Estos límites particulares son útiles para hallar el límite del cociente de dos polinomios

cuando la variable se hace infinita. El siguiente ejemplo ilustrará el método.

EJEMPLO ILUSTRATIVO.- Demostrar que .

DEMOSTRACIÓN: Divídanse el numerador y el denominador por x3, que es la mayor

potencia de x que entra en la fracción. Entonces tenemos:

El límite de cada término que contiene a x, tanto en el numerador como en el denominador

del segundo miembro, es cero, de acuerdo con (4). Por consiguiente, se obtiene la solución

aplicando las fórmulas (1) y (3) del Artículo 16.

En cualquier caso análogo se procede, por lo tanto, como sigue:

Se dividen numerador y denominador por la mayor potencia de la variable que entre en la

fracción.

Si u y v son funciones de x, y

Y A no es igual a cero, entonces

Esta fórmula resuelve el caso excepcional de (3), del Artículo 16, cuando B = 0 y A no es

cero. Véase también el Artículo 20.

PRÁCTICA DE CLASE

Demostrar cada una de las siguientes igualdades:

1. 2.

x 0

x

r

x a

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.


Demostrar cada una de las siguientes igualdades:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. Dado f(x)= x2, demostrar que

8. Dado f(x) = ax2 + bx + c, demostrar que

9. Dado f(x) = , demostrar que

10. Si f(x) = x3, hallar

PRÁCTICA

Hallar el valor de los siguientes límites:


01)a) 13 b) 14 c) 15 d) 19 e) 20

02) a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 10

03) a) 1/6b) ½ c) 1/3d) 1/8e) 1/7

04) a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) N.A.

05) a) -1/4 b) 2/7 c) 1/8 d) -1/2 e) N.A.

06) a) 1/3b) 1/2c) -1/6 d) 1/7 e) 1

07) a) 1/3 b) 1/2 c) 1/8 d) 1/7 e) -1/2

08) a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1

09) a) 3 b) 3/2c) 2/3d) 3/7e) 7

10) a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4

11)siendo “f” una función definida por:

f(x) = sabiendo que existe:

. Hallar

a) -9 b) -8 c) -7 d) -6 e) -5

12)

a) 672 b) 600 c) 172 d) 345e) 729

13)

a) 1/12 b) 1/15 c) 1/25d) 1/16 e) N.A.

14)Calcular:

15)Calcular:

16)Calcular:

17)Calcular:

18)Calcular:

19)

20)

21)

22)

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

23)

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

24)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

25)

a) 5 b) 25 c) 125d) 625 e) N.A.

26)

a) b) c)

d) e)

27)

a) b) c)

d) e)

28)

a) b) c)

d) e) N.A.

29)

a) 0 b) 1 c) 2

d) e)

30)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

31)

a) b) 1 c)

d) e)

32)

a) b) c)

d) e) N.A.

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

DERIVACIÓN

1. INTRODUCCIÓN


En este capítulo vamos a investigar cómo varía el valor de una función al variar la variable

independiente. El problema fundamental del Cálculo Diferencial es el de establecer con

toda precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole,

problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a

Newton * al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálculo Infinitesimal, el

instrumento científico más poderoso del matemático moderno.

2. INCREMENTOS

El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se

obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el

símbolo x, que se lee ´´delta x´´. El estudiante no debe leer este símbolo ´´delta veces x

´´

Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo ** según que la variable

aumente o disminuya al cambiar de valor. Asimismo,

y significa incremento de y,

significa incremento de ,

f(x) significa incremento de f(x), etc

Si en y=f(x) la variable independiente x toma un incremento x, entonces y indicará el

incremento correspondiente de la función f(x) (o sea, de la variable dependiente y).

El incremento y siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que

corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el

incremento x. Por ejemplo, consideremos la función.

y = x2

Si tomamos x=10 como valor inicial de x, esto fija y=100 como valor inicial de y.

Supongamos que x aumenta hasta x=12, es decir, x = 2;

entonces y aumenta hasta y=144, y y = 44.

Si se supone que x decrece hasta x=9, es decir, x=.1;

entonces y decrece hasta y=81, y y = . 19.

En este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y y decrece cuando x decrece. Los valores

correspondientes de x y y tienen un mismo signo. Puede acontecer que y decrezca

cuando x aumenta, o viceversa; x y y tendrán entonces signos contrarios.

3. COMPARACIÓN DE INCREMENTOS

Consideremos la función

(1) y = x2

Supongamos que x tiene un valor inicial fijo y le damos después un incremento x.

Entonces y tomará un incremento correspondiente y, y tendremos:

y + y = (x + x)2 ,

o sea, y + y = x2 + 2 . x + (x)2

Restando (1) , y = x2

(2) y = 2 x . x + (x)2

obtenemos el incremento y en función de x y x.

Para hallar la razón de los incrementos, basta dividir los dos miembros de (2) por x, y

resulta.

Si el valor de x es 4, es claro (Art. 16) que

Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, cómo se comporta la razón de los

incrementos de x y de y cuando el incremento de x decrece.

Valor

Inicial de x

Valor

Final de x

Incremento

x

Valor

Inicial de y

Valor

Final de y

Incremento

y

4

4

4

4

4

4

4

5,0

4,8

4,6

4,4

4,2

4,1

4,01

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,1

0,01

16

16

16

16

16

16

16

24

23,04

21,16

19,36

17,64

16,81

16,0801

9

7,04

5,16

3,36

1,64

0,81

0,0801

9

8,8

8,6

8,4

8,2

8,1

8,01

Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer x también disminuye y, mientras que la

razón de los dos incrementos toma los valores sucesivos 9, 8,8, 8,6, 8,4, 8,2, 8,1, 8,01. Esta

sucesión de valores nos dice que podemos hacer que el valor de la razón sea tan

próximo a 8 como deseemos con sólo tomar a x suficientemente pequeño. Luego,

4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE

La definición fundamental del Cálculo Diferencial es la siguiente:

La derivada * de una función es el límite de la razón del incremento de la función al

incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene

derivaba.

La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente: Dada la función:

(1) y = f(x)

consideremos un valor inicial fijo de x.


Demos a x un incremento x; entonces obtenemos para la función y un incremento y,

siendo el valor final de la función.

(2) y + y = f(x+x)

Para hallar el incremento de la función, restamos (1) de (2); se obtiene

(3) y = f(x + x) – f(x)

Dividiendo los dos miembros por x, incremento de la variable independiente, resulta:

(4)

El límite del segundo miembro cuando x0 es, por definición, la derivada de f(x), o sea,

según (a), de y, y se representa por el símbolo . Luego, la igualdad

(A)

define la derivada de y [o de f(x)] con respecto a x.

De (4) obtenemos también

Asimismo, si u es función de t, entonces,

= derivada de u con respecto a t.

La operación de hallar la derivada de una función se llama derivación.

5. SÍMBOLOS PARA REPRESENTAR LAS DERIVADAS

Puesto que y y x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión

es una verdadera fracción. Pero el símbolo ha de mirarse no como una fracción,

sino como el valor límite de una fracción. En muchos casos veremos que este símbolo sí

tiene propiedades de fracción, y más adelante demostraremos el significado que puede

atribuirse a dy y dx, pero, por ahora, el símbolo ha de considerarse como conjunto.

Puesto que, en general, la derivada de una función de x es también función de x, se emplea

también el símbolo f’(x) para representar la derivada de f(x). Luego, si y = f(x) podemos

escribir la igualdad , que se lee ´´la derivada de y con respecto a x es igual a f

prima de x´´ El símbolo , considerado por sí mismo, se llama operador derivada; indica

que toda función que se escriba después de él ha de derivarse con respecto a x. Así.

indica la derivada de y con respecto a x;

indica la derivada de f(x) con respecto a x;

indica la derivada de 2x2+5 con respecto a x

El símbolo y es una forma abreviada de .

El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de . Luego, si y = f(x), podemos

escribir las identidades.

Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que x0, la variable es x. El

valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer resaltar que x=x0 desde el principio

hasta el fin, podemos escribir:

6. FUNCIONES DERIVABLES

De la teoría de los límites se deduce que si existe la derivada de una función para cierto

valor de la variable independiente, la función misma debe ser continua para aquel valor de

la variable.

Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son

continuas y, a pesar de eso, no tienen derivada. Pero tales funciones no son frecuentes en

las matemáticas aplicadas, y en este libro se consideran solamente las funciones

derivables, es decir, las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variable

independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados.

7. REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN

Según la definición de derivada se puede ver que el procedimiento para derivar una función

y=f(x) comprende los siguientes pasos:

REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN

PRIMER PASO.- Se sustituye en la función x por x + x, y se calcular el nuevo valor de la

función y + y.

SEGUNDO PASO.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene y

(incremento de la función).


TERCER PASO.- Se divide y (incremento de la función) por x (incremento de la variable

independiente).

CUARTO PASO.- Se calcula el límite de este cociente cuando x (incremento de la variable

independiente) tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada.

El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el procedimiento a muchos

ejemplos. La resolución detallada de tres de estos ejemplos se da a continuación. Nótese

que los teoremas del Artículo 16 se emplean en el cuarto piso, manteniéndose x constante.

Ejemplo 1.- Hallar la derivada de la función 3x2 + 5

Resolución: Aplicando los pasos sucesivos de la regla general, obtenemos, después de

hacer y = 3x2 + 5.

Primer Paso y + y = 3(x + x)2 +5

= 3x2 + 6x . x + 3 (x)2 + 5

Segundo Paso y + y = 3x2 + 6x . x + 3 (x)2 + 5

y = 3x2 + 5

------------------------------------------

y = 6x . x + 3 (x)2

Tercer Paso

Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos x0. Según (A) resulta:

O bien

Ejemplo 2.- Hallar la derivada de x3 – 2x + 7

Resolución: Hagamos y=x3 – 2x + 7

Primer Paso y + y = (x + x)3 – 2(x + x) + 7

= x3 + 3x2 . x + 3x . (x)2 + (x)3 – 2x – 2 . x + 7

Segundo Paso y + y = x3 + 3x2 . x + 3x . (x)2 + (x)3 – 2x – 2 . x + 7

Y = x3 - 2x + 7

--------------------------------------------------------------------

y = 3x2 . x + 3x . (x)2 + (x)3 - 2 . x

Tercer Paso

Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos x0. Según (A) tendremos:

O bien

Ejemplo 3.- Hallar la derivada de la función

Resolución: Hagamos

Primer Paso

Segundo Paso

Y =

------------------------

Tercer Paso

Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos x0. Según (A) tendremos:

PRÁCTICA DE CLASE

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.

1. y = 2 – 3x Sol. Y’ = -3 2. y = mx + b y’ = m

3. y = ax2 y’ = 2 ax 4. s = 2t-t2 s’ = 2-2t

5. y = cx3 y’ = 3cx2 6. y = 3x – x3 y’ = 3 – 3x2

7. u = 4v2 + 2v3 u’ = 8v + 6v2 8. y = x4 y’ = 4x3

9. 10.


11. 12.

13. 14.


Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.

1. 2.

3. 4.

5. 6. S = at2 + bt + c

7. v = 2v3 – 3v2 8. y = ax3 + bx2 + cx + d

9. Q = (a - b)2 10. y = (2 – x) (1 – 2x)

11. y = (Ax + B) (Cx + D) 12. s = (a + bt)3

13. 14.

REGLAS PRÁCTICAS DE DERIVACIÓN

1. Derivada de una potenciaSea f(x) una función y

Caso particular:

NOTA: Se lee: “Derivada de f(x) con respecto a x”

2. Derivada de una constante:

3. Derivada de una constante por una potencia.¡Es similar al a 1ª regla!

Caso particular:

4. Derivada de una suma

También:

NOTA:Se sabe que:

Si la base es una función así como:

Aplicamos la regla y lo multiplicamos por la derivada de

5. Derivada de una diferencia

También:

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Su

derivada

sen x Cos x

cos x - sen x

tg x Sec2x

ctg x -csc2x

sec x Secx . tgx

csc x -cscx . ctg x

6. Derivada de un producto

También :


siendo U y V dos funciones.

7. Derivada de un cociente

También:

donde: u y v son funciones.

8. Derivada de una función exponencialCaso (I):

Donde: u = f(x), a = constante

Caso (II):

¡es el mismo que el caso 1!

Caso (III):

Donde : e = base de log. Neperianosu = f(x)

9. Derivada de la función logaritmoSi: u = f(x)

NOTA:

10.Valores máximo y mínimo de una función

Hallar los puntos críticos de:

Solución:Derivando la función:

Se hace que: f’(x)=0Luego:

PRACTICA de clase

1. Hallar:

2. Si:

Hallar: f’(x)

3. Hallar

4. Si

Hallar: f’(x)

5. Si

Hallar: f(x)

6. Si Hallar f’(x)

7. Hallar:

8. si Hallar f’(x)

9. Hallar:

10. Si: Hallar: f’(x)

11. Hallar:

12. Hallar: f’(x) en:

13. Si hallar f’(x)

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Tarea domiciliaria

1. Hallar la derivada de:

por definición.

2. Hallar la derivada por definición:

3. , por definición

4. , por definición.

5.

APLICANDO LAS REGLAS:

6.

7.

8.

9.

10.


11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20. Hallar

21. Averigua para que sirven las derivadas y cual es su aplicación en el cálculo superior de las matemáticas.

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