52606265 Ejercicios de Lixiviacion Pilas

7/28/2019 52606265 Ejercicios de Lixiviacion Pilas

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INFORME TALLER No 3

TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA

PROBLEMA 1

Se realizaron pruebas de lixiviacin en reactor agitado con 2 diferentes tipos de mineralesde cobre. Las Tablas 1.1 y 1.2 muestran los datos cinticos para el mineral tipo A y Brespectivamente. Utilizando el modelo de ncleo no reaccionado determinar si existe uncontrol de tipo cintico o difusional para los dos tipos de mineral. Determinaradicionalmente el tiempo que demora en reaccionar completamente el mineral. La masainicial de mineral es de 200 gr y el volumen de solucin es de 800 cm3.

Tabla 1.1Datos cinticos para el Mineral A

t Cu

[hr] [g/l]0.0 0.00.5 45.01.5 54.83.0 61.55.0 73.57.5 84.510.8 96.314.0 105.818.0 118.322.5 130.027.5 141.033.0 151.039.0 161.5

45.5 172.852.5 184.860.0 192.3

Tabla 1.2Datos cinticos para el Mineral B

t Cu[hr] [g/l]0.0 0.00.5 48.81.5 55.33.0 61.8

5.0 71.37.5 84.510.5 97.514.3 112.818.8 129.822.5 142.327.5 155.532.0 171.539.4 189.045.9 205.052.7 219.860.9 237.3

Solucin:


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Ecuacin para calcular la conversin X:

La masa inicial de Cu es m0 = 200 gr, y representara el slido a extraer con el lquidoreactivo de acuerdo a la teora del ncleo sin reaccionar,

Mineral de Cu(slido) + Reactivo (lquido) Producto (Cu en disolucin),

En general la masa P de Cu como producto, vase segundo miembro de la ecuacinqumica, expresada en gramos ser la concentracin C dada en la tabla 1.1 o 1.2multiplicada por el volumen V de la solucin, estos es

VCP = . (1.1)

Para V = 800 cm3 = 0.8 litros, la ecuacin anterior queda

C8.0P = , (1.2)

donde C es dada en gr/lt y la masa P convertida en gr de Cu.

En virtud a la definicin de conversin para reacciones heterogneas se puede escribir entrminos de la concentracin C de Cu y la masa inicial m0 de Cu en el mineral A, es decir1

0m

0.8CX = , (1.3)

Con m0 = 200 gr la expresin matemtica para calcular la conversin es

X = 0.004C, (1.4)

donde la constante de 0.004 tiene las unidades de l/gr. Ntese que la conversin esadimensional y vara entre cero y uno.

Caso mineral A

Por ejemplo, para el segundo dato de la tabla 1.1 se tiene t = 0.5 s y C = 45.0 gr/l,entonces segn la ecuacin (1.4),

X = 0.004C = 0.00445.0 = 0.18.

Anlogamente se hace los clculos para los otros datos de la cintica del mineral A y seobtiene los resultados de la conversin expuestas en la tabla 1.3.

Tabla 1.3

Resultados de la conversin Xpara el mineral A

1 En general, la conversin X se define como la fraccin de material convertida. Para reacciones tipo slido-fluido, X = 1-F, donde F = Volumen del ncleo sin reaccionar/Volumen total de la partcula, en base al

modelo del ncleo sin reaccionar. La ltima definicin es til cuando se conoce la variacin del tamao departcula del slido con el tiempo. Para la resolucin del problema en este trabajo, la expresin de laconversin se ha basado en la definicin general.


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t/hr X0 0

0,5 0,1801,5 0,2193,0 0,2465,0 0,2947,5 0,338

10,8 0,38514,0 0,42318,0 0,47322,5 0,52027,5 0,56433,0 0,60439,0 0,64645,5 0,69152,5 0,73960,0 0,769

Los datos tabulados en la tabla 1.3 se asumen como datos experimentales de la conversinX en funcin del tiempo.

A continuacin, se presentan una ecuacin generalizada que resume el modelo de ncleosin reaccionar, empleadas para determinar la etapa controlante de la velocidad detransformacin:

tF(X) = , (1.5)

donde

+=

qumicareaccinlaesetapalacuando.X)(11

cenizacapalaendifusinX),2(1X)3(11

lquidacapalaendifusinX,

F(X)1/3

2/3

Con los datos experimentales de X se obtienen valores de F(X) en funcin del tiempo, siexiste al menos perceptiblemente una relacin lineal de F(X) con el tiempo t, entonces laetapa controlante ser la correspondiente. En la tabla 1.4 se dan los valores de F(x)obtenidos con los datos experimentales de X como funcin discreta del tiempo, para cada

etapa de transferencia.

Las representaciones grficas de los resultados de F(x) con el tiempo t se muestran en lasfiguras 1.1, 1.2 y 1.3 para cada etapa respectiva. Adems de la recta de tendencia, deecuacin general y = bx, obtenida con el mtodo de mnimos cuadrados, recta que pasa porel origen de coordenadas para cada caso y acompaada del coeficiente de determinacinR2.

Tabla 1.4

Resultados de la evaluacin de F(X) para el mineral A

Datos F(X)t/hr X Liquido Ceniza R. qumica0 0 0 0 0


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0,5 0,180 0,180 0,0118 0,06401,5 0,219 0,219 0,0178 0,07923,0 0,246 0,246 0,0228 0,08985,0 0,294 0,294 0,0334 0,10967,5 0,338 0,338 0,0453 0,1285

10,8 0,385 0,385 0,0605 0,149714,0 0,423 0,423 0,0748 0,167618,0 0,473 0,473 0,0968 0,192422,5 0,520 0,520 0,1209 0,217027,5 0,564 0,564 0,1470 0,241733,0 0,604 0,604 0,1742 0,265739,0 0,646 0,646 0,2067 0,292645,5 0,691 0,691 0,2470 0,324152,5 0,739 0,739 0,2970 0,361160,0 0,769 0,769 0,3328 0,3866

y = 0,0163x

R2 = 0,4383

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10 20 30 40 50 60

Tiempo t/hr

Conversin

Figura 1.1 Conversin X versus tiempo t para el mineral A de Cu en la etapa de difusin atravs de la pelcula lquida. , dato experimental; , dato calculado con la recta regresin.


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y = 0,00548x

R2

= 0,99707

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 20 40 60

Tiempo t/hr

Conversin

Figura 1.2 Conversin X versus tiempo t para el mineral A de Cu en la etapa de difusin atravs de la capa de ceniza. , dato experimental; , dato calculado con la recta regresin.

y = 0 ,0075

R2 = 0 ,768

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 10 20 30 40 50 60

T ie m p o t/

Conversin

X

Figura 1.3 Conversin X versus tiempo t para el mineral A de Cu en la etapa de reaccinqumica. , dato experimental; , dato calculado con la recta regresin.


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De las figuras se observa notoriamente que la funcin F(X) con el tiempo guarda unarelacin lineal para el caso de la difusin a travs de la capa de ceniza, por lo tanto:

La etapa controlante es la difusin a travs de la capa de ceniza.

La recta de regresin y = 0.00548x (vase figura 1.2) corresponde a la ecuacin

t0.00548F(X) = (1.6)con

X)2(1X)3(11F(X)2/3

+= ,

en base a lo argumentado sobre la ecuacin (1.5). Otra importante conclusin es la que sedesprende al comparar la ecuacin (1.6) con la ecuacin (1.5); esto es,

00548.0

1

=

de esta relacin se determina fcilmente el tiempo necesario para que el mineral Areaccione completamente ( X = 1):

182.48 = hr.

Caso mineral B

A partir de la ecuacin general (1.4), escrita nuevamente aqu para seguir una mejor

compresin, puede determinarse los valores de la conversin para el mineral de B:X = 0.004C. (1.4)

Por ejemplo, para el quinto dato de la tabla 1.2 se tiene t = 5.0 s y C = 71.3 gr/l, laconversin ser:

X = 0.00471.3 = 0.285.

As, para los dems datos de tiempo y concentracin se entregan los resultados en la tabla1.5.

Tabla 1.5Resultados de la conversin X para el mineral B

t/hr X t/hr X0 0 18,8 0,519

0,5 0,195 22,5 0,5691,5 0,221 27,5 0,6223,0 0,247 32,0 0,6865,0 0,285 39,4 0,7567,5 0,338 45,9 0,820

10,5 0,390 52,7 0,87914,3 0,451 60,9 0,949

Anlogamente al caso del mineral A, se utiliza la ecuacin general (1.5) para determinarlos valores de F(X) con datos experimentales de X y t dados en la tabla 1.3 para el mineral


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B, con el objeto de determinar la etapa controlante de la velocidad de transferencia demateria. Los resultados se muestran en la tabla 1.6.

Tabla 1.6

Resultados de la evaluacin de F(X) para el mineral B

Datos F(X)t/hr X Liquido Ceniza R. qumica0 0 0 0 0

0,5 0,195 0,195 0,0139 0,06981,5 0,221 0,221 0,0182 0,08003,0 0,247 0,247 0,0230 0,09035,0 0,285 0,285 0,0313 0,10597,5 0,338 0,338 0,0453 0,1285

10,5 0,390 0,390 0,0622 0,151914,3 0,451 0,451 0,0867 0,181318,8 0,519 0,519 0,1204 0,216622,5 0,569 0,569 0,1504 0,2447

27,5 0,622 0,622 0,1876 0,277032,0 0,686 0,686 0,2421 0,320339,4 0,756 0,756 0,3166 0,375145,9 0,820 0,820 0,4036 0,435452,7 0,879 0,879 0,5085 0,505760,9 0,949 0,949 0,6901 0,6296

Se grafican los datos de F(X) y el tiempo t en horas para cada caso, al mismo tiempo sedetermina la recta regresin y = bx mediante el criterio de mnimo cuadrados, en lasfiguras 1.4, 1.5 y 1.6 se exhiben los resultados.

y = 0,0189x

R2 = 0,672

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 10 20 30 40 50 60

Tiempo t/hr

Conversin

Figura 1.4 Conversin X versus tiempo t para el mineral B de Cu en la etapa de difusin atravs de la pelcula lquida. , dato experimental; , dato calculado con la recta regresin.


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y = 0,00916x

R2

= 0,94031

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 20 40 60

Tiempo t/hr

Conversin

Figura 1.5 Conversin X versus tiempo t para el mineral B de Cu en la etapa de difusin atravs de la capa de ceniza. , dato experimental; , dato calculado con la recta regresin.

y = 0 , 01 0 1

R2 = 0 ,946

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 10 20 30 40 50 60

T i e m p o t/

Conversin

X

Figura 1.6 Conversin X versus tiempo t para el mineral B de Cu en la etapa de reaccin

qumica. , dato experimental; , dato calculado con la recta regresin.


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La figura 1.4 rebela que los datos de F(X) no estn sobre una lnea recta y por consiguientela etapa de difusin a travs de la pelcula lquida no es la controlante. Si bien las figuras1.5 y 1.6 no discrepan significativamente en los valores de los coeficientes dedeterminacin, la figura 1.6 muestra una tendencia lineal perceptible de los datos; encambio, en la figura 1.5 se observa que los datos de F(X) y t no forman una relacin lineal,

a pesar de tener un R2

= 0.94, para valores muy bajos del tiempo la funcin F(X) podraconfundirse con una recta, no obstante esta conclusin es discutible. Se puede decir que

la etapa controlante en este caso es parcialmente la de reaccin qumica.

En realidad, la teora de la etapa controlante no indica que debe realizarse necesariamenteun ajuste de mnimos cuadrados de los datos experimentales, en especial tomar elestadgrafo R2 como un parmetro para determinar la etapa controlante, ste ltimo no esuna condicin necesaria y suficiente, sino ms bien la teora indica que una grfica de losdatos discretos de F(X) en funcin del tiempo deben mostrar un tendencia lineal. Sinembargo, un anlisis estadstico ms riguroso podra ser til para marcar bien las

diferencias entre los resultados relativos a la capa de ceniza y la de reaccin qumica, elcual lleva por nombre mtodo de los residuos o errores.

Con la ayuda de las rectas de regresin se estiman los valores de F(X) para los tiemposdados y se restan a estos los correspondientes valores de F(X), obtenidos con datosexperimentales de X y t, para cada caso, o sea, ceniza y reaccin qumica. Los resultadosse muestran de manera grfica en las figuras 1.7 y 1.8.

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0 10 20 30 40 50 60

Tiempo t/h

Residuo

Figura 1.7 Grfica de los residuos para el mineral A

En la situacin de la figura 1.7, casi en todo el rango de los datos se puede decir que losresiduos tienen un tendencia, por lo tanto el modelo de la etapa de difusin a travs de laceniza no explica las observaciones y en consecuencia no es la etapa controlante para la

velocidad de transferencia de masa. Cuando el tiempo tiende a valores muy cercanos a cerolos residuos parecen tener una tendencia aleatoria, pero con cierto argumento discutible.


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-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0 10 20 30 40 50 60

Tiempo t/hr

Residu

Figura 1.8 Grfica de los residuos para el mineral B

Aqu, la figura 1.8 manifiesta que los datos tienen una cierta tendencia aleatoria perceptiblesi se trunca los datos en el tiempo mayor a las 12 horas, lo cual indica que el modelomatemtico para la conversin en el tiempo es consistente con los datos experimentales.Sin embargo, para tiempos por debajo 12 horas la etapa controlante puede no ser la dereaccin qumica. Se puede concluir que el mtodo de los residuos puede ser til en la

decisin de la etapa controlante, el resultado del coeficiente estadstico R2

= 1, o muy cercade uno, no siempre indica una excelente calidad del ajuste del modelo a los datos, elanlisis del mtodo de los residuos es ms significativo en la calidad del ajuste de losmnimos cuadrados.

Entonces, considerando como etapa controlante la de reaccin qumica para la estimacindel tiempo necesario para la conversin completa del mineral B, se puede escribir lasiguiente ecuacin de estimacin:

F(X) = 0,0101t, (1.7)

en la cual

1/3X)(11F(X) = .

La ecuacin (1.7) es la misma que aparece en la figura 1.6, a saber, y = 0,0101x,comparando la ecuacin (1.7) con la ecuacin general (1.5), se desprende la relacin

0101.0

1= ,

de donde se obtiene = 99 hr

como el tiempo mnimo para la reaccin completa del mineral B.

PROBLEMA 2


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Se realiz prueba en pila piloto de 8 m de altura. Se cargaron 100000 T de mineral decobre con leyes que se muestran en la tabla 2.1. La pila se reg por 240 d en formacontinua a una tasa de riego de 10 lt/hr/m2.

Tabla2.1Ley de Cobre

Especie Ley [%]Cu2S 0.1CuS 0.05

CuFeS2 0.3Cu5FeS4 0.3

Mediante pruebas en laboratorio se encontr que las curvas de extraccin de estas especiessiguen el siguiente modelo:

)eA(1Ext-kt= . (2.1)

Utilizando los datos de la tabla 2.2 determinar:

i. Curva de extraccin de cobre en funcin del tiempoii. Curva de concentracin de cobre en funcin del tiempo. Asumir densidad de la pila

de 1.7 T/m3.iii. Consumo terico total de Fe3+ al cabo de los 240 d.

Tabla 2.2

Parmetros Curvas de Extraccin

Especie A k [d-1]Cu2S 100 0.03CuS 80 0.02

CuFeS2 30 0.01Cu5FeS4 50 0.008

Nota: Considerar la densidad de la pila igual a 1.7 T/m3.

Solucin:

Caso i

Puesto que la solucin de riego no contiene las especies de la solucin de drenaje o delmineral, la expresin para calcular el porcentaje de extraccin de Cu se simplifica llega aser:

%100Q

MExt(i)

i

i = , (2.2)

Donde Mi es la masa en toneladas de la especie i extraida, Q i es la masa inicial entoneladas de la especie i en la pila piloto.

Sea:


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Especie 1 = Cu2SEspecie 2 = CuSEspecie 3 = CuFeS2Especie 4 = Cu5FeS4

Entonces para todo i se cumple i = 1,2,3 y 4. Despejando la masa extrada de la ecuacin(2.2) se obtiene

ii Q100

Ext(i)M = , (2.3)

Por otro lado, la cantidad de cada especie en el mineral de ley Li y peso P = 100000 ton,puede calcularse como:

P100

LQ ii = , (2.4)

de acuerdo a la definicin de ley de un mineral. Por ejemplo, para los datos de la calcosina:L1 = 0.1 %, entonces segn la ecuacin (2.4)

100100000100

0,1Q1 == ton.

Anlogamente se calcula Qi para las restantes especies, en la tabla 2.3 se muestran losresultados obtenidos en base a la ecuacin (2.4).

Tabla 2.3

Toneladas de especie en la pilade peso P = 100000 ton

i Especie Qi /ton1 Cu2S 1002 CuS 503 CuFeS2 3004 Cu5FeS4 300

La sustitucin de la ecuacin (2.1) en la ecuacin (2.3) da la siguiente relacin funcional:

i

tk

ii Q

100

)e(1AM

i= , (2.5)

es decir Mi depende exclusivamente del tiempo para cada especie i. As, por ejemplo,

despus de 10 das de operacin, la masa extrada de la especie calcocina (de la tabla 2.2A1 = 100, k1 = 0.03 d-1) ser:

918.25100100

)e100(1)10(M

100.03

1 =

=

ton.

En virtud a la ecuacin (2.5), se pueden obtener los resultados de la cantidad de masa Miextrada para todas las especies para distintos tiempos. Sin embargo, el objetivo de esteapartado es poder calcular la masa extrada mi de Cu, lo cual se lleva a cabo por laaplicacin de una sencilla regla estequiomtrica entre el peso atmico del Cu, 63.5 gr/mol,

y el peso molecular PM en gr/mol de la especie i, esto es


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i

iiiPM

63.5Mm = , (2.6)

i es el nmero de tomos-mol de Cu en un mol de la especie i, por ejemplo, para laespecie Cu2S se tiene 1 = 2. Siguiendo con el caso particular fijado para t = 10 das, lamasa extrada de Cu contenida en 25.918 ton de calcosina ser:

689.201.159

264918.25

PM

64Mm

1

111 =

== ton

La sustitucin de la ecuacin (2.5) en la ecuacin (2.6) da una relacin directa entre lamasa extrada mi de Cu en la especie i con el tiempo t en das.

i

i

tk

iii

PM

100

)e(1QA64m

i

=

. (2.7)

As, por aplicacin de esta ecuacin para t = 10 das, las toneladas m i de Cu contenidas enlas otras especies, se muestra la tabla 2.4.

Tabla 2.4

Toneladas de Cu en extradapor especie para 10 das

Especie mi/ tonCu2S 20,689CuS 4,816

CuFeS2 2,964Cu5FeS4 7,298

La masa total de Cu extrada al cabo de 10 das de operacin es

767.35298.7964.2816.4689.20)10(m =+++= ton

En forma general, la extraccin de Cu total se puede escribir como

=

=

==

4

1 i

tk

iii4

1i

iPM

)e(1QA

100

63.5mm

i

i

. (2.8)

El smbolo m (sin subndice i) representa la masa total extrada de Cu desde el mineral parael tiempo t de operacin.

La formulas deducidas anteriormente pueden fcilmente introducirse en el softwareMicrosoft Excel, resulta risible hacer los clculos con detalles para diferentes tiempos yaque el procedimiento empleado es el mismo para el ejemplo descrito para 10 das. En latabla 2.6 se rebelan los resultados de la masa total extrada en toneladas de Cu paradiferentes tiempo desde 0 hasta los 240 das, con intervalos de 10 das. Adems, en la tabla2.5 se exhiben las cantidades extradas de especie y de Cu por especie para los tiempos

definidos.Tabla 2.5


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Resultados de las toneladas extradas de especie y de cobre

Toneladas de especie CuS2 CuS CuFeS2 Cu5FeS4t/das CuS2 CuS CuFeS2 Cu5FeS4 Cu/ton Cu/ton Cu/ton Cu/ton

0 0 0 0 0 0 0 0 010 25,918 7,251 8,565 11,533 20,689 4,816 2,964 7,298

20 45,119 13,187 16,314 22,178 36,016 8,759 5,646 14,036

30 59,34318,04

8 23,326 32,006 47,370 11,988 8,072 20,255

40 69,88122,02

7 29,671 41,078 55,781 14,631 10,268 25,996

50 77,68725,28

5 35,412 49,452 62,013 16,795 12,254 31,296

60 83,47027,95

2 40,607 57,182 66,629 18,567 14,052 36,188

70 87,75430,13

6 45,307 64,319 70,049 20,017 15,679 40,704

80 90,928

31,92

4 49,560 70,906 72,583 21,205 17,150 44,873

90 93,27933,38

8 53,409 76,987 74,459 22,177 18,482 48,721

100 95,02134,58

7 56,891 82,601 75,850 22,973 19,687 52,274

110 96,31235,56

8 60,042 87,783 76,880 23,625 20,777 55,553

120 97,26836,37

1 62,893 92,566 77,643 24,159 21,764 58,580

130 97,97637,02

9 65,472 96,982 78,208 24,596 22,657 61,375

140 98,50037,56

8 67,806 101,058 78,627 24,953 23,464 63,954

150 98,88938,00

9 69,918 104,821 78,937 25,246 24,195 66,336

160 99,17738,37

0 71,829 108,294 79,167 25,486 24,856 68,534

170 99,39038,66

5 73,558 111,501 79,337 25,682 25,455 70,563

180 99,54838,90

7 75,123 114,461 79,463 25,843 25,996 72,436

190 99,66539,10

5 76,539 117,193 79,557 25,975 26,486 74,166

200 99,75239,26

7 77,820 119,716 79,626 26,082 26,929 75,762

210 99,816

39,40

0 78,979 122,044 79,677 26,171 27,331 77,235

220 99,86439,50

9 80,028 124,193 79,715 26,243 27,694 78,596

230 99,89939,59

8 80,977 126,177 79,744 26,302 28,022 79,851

240 99,92539,67

1 81,835 128,009 79,764 26,350 28,319 81,010

Tabla 2.6

Resultados del total de toneladas de Cu extrados

t/das m / ton Cu t/das m / ton Cu0 0 130 186,835


15/32

10 35,767 140 190,99920 64,456 150 194,71430 87,685 160 198,04440 106,676 170 201,03850 122,358 180 203,73960 135,436 190 206,18370 146,449 200 208,40080 155,811 210 210,41490 163,840 220 212,247

100 170,784 230 213,919110 176,835 240 215,444120 182,146

Para expresar los resultados de la tabla 2.6 en trminos relativos es necesario calcular lamasa inicial total de Cu en la pila para luego finalmente calcular el porcentaje deextraccin Cu total.

Si Qi es la cantidad de masa de la especie i que contiene Cu, entonces la masa q i de Cu enla especie i se obtiene fcilmente por estequiometra, esto es

i

iiiPM

63.5Qq = , (2.9)

i tiene el mismo significado que en la ecuacin (2.6), o sea representa el nmero detomos-mol de una un mol de la especie i, el nmero 63.5 es el peso atmico del Cu engr/mol.

Para el caso de la calcosina Cu2S: 1 = 2, PM1 = 159.1 y Q1 = 100 ton, este ltimo extradode la tabla 2.3; la masa de Cu contenida en Cu2S es

824.791.159

25.63100

PM

64Qq

1

111 =

== ton

En la tabla 2.7 se exponen los resultados de la masa inicial de Cu en la pila contenida encada especie.

Tabla 2.7

Masa inicial de Cuen cada especie de la pila

i Especie qi / ton Cu1 Cu2S 79,8242 CuS 33,2113 CuFeS2 103,8154 Cu5FeS4 189,854

Por consiguiente, el contenido total qo de Cu en la pila es

=

=+++==4

1i

io 406.705189.854103.81533.21179.824qq ton

En general se puede escribir,


16/32

=

=4

1 i

iioPM

63.5Qq

i

. (2.10)

Ahora bien, con los valores conocidos de la masa inicial y total qo de Cu y la masa total mde Cu extrada (vase valores de m en la tabla 2.6) es posible calcular el porcentaje deextraccin de Cu como

%100q

mExt

o

= , (2.11)

para cualquier tiempo. En la situacin particular de t = 10 das, m = 35.767 ton y laextraccin porcentual de Cu es

79.8%100406.705

35.767Ext(10) == %.

En la tabla 2.8 se entregan los resultados en base para los datos de la tabla 2. 6 y el valor

conocido de qo.

Tabla 2.8

Porcentaje de extraccin total de Cupara 406. 705 ton de Cu inicial en la pila

t/das m / ton Cu % Ext (Cu)0 0 0

10 35,767 8,79420 64,456 15,84830 87,685 21,56040 106,676 26,229

50 122,358 30,08560 135,436 33,30170 146,449 36,00980 155,811 38,31190 163,840 40,285

100 170,784 41,992110 176,835 43,480120 182,146 44,786130 186,835 45,939140 190,999 46,963150 194,714 47,876160 198,044 48,695

170 201,038 49,431180 203,739 50,095190 206,183 50,696200 208,400 51,241210 210,414 51,736220 212,247 52,187230 213,919 52,598240 215,444 52,973

Una expresin general para la extraccin porcentual de Cu para cualquier tiempo puede ser

derivado si se considera la ecuacin (2.8):


17/32

=

=4

1i i

tk

iii

o PM

)e(1QA

q

63.5Ext(t)

i

, (2.12)

con qo = 406.705 ton, los resultados de extraccin en funcin del tiempo se obtienen en

tanto por ciento en peso de toneladas.En la figura 2.1 se contempla la curva de extraccin de Cu como dependencia del tiempo,en el intervalo cerrado 0 t 240 das.

Se observa que la extraccin de Cu es una funcin montona creciente y asinttica, alaumentar el tiempo la extraccin crece progresivamente hasta los 120 das,aproximadamente, luego la velocidad de extraccin se hace lenta.

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Tiempo t/das

%E

xtraccindeC

Figura 2.1 Curva de la extraccin de cobre en funcin del tiempo obtenida conlos datos de la tabla 2.8 y consistentes con la ecuacin (2.12).

Caso ii

En este caso se pide hallar la concentracin instantnea, un problema inverso al ejercicio 2resuelto en los apuntes de lixiviacin de Nelson Parra (2007).

Puesto de que se conoce la masa de extraccin de Cu como una funcin continua en eltiempo, dada por la ecuacin (2.8), entonces puede obtenerse exactamente la concentracin

para cualquier tiempo a travs de la definicin de la concentracin instantnea.

dV

dmC = . (2.13)

Multiplicando y dividiendo el segundo miembro de la ecuacin (2.13) por el diferencial de

tiempo:


18/32

dt

dVdt

dm

dt

dt

dV

dmC == . (2.14)

El caudal constante qs de salida de la pila piloto se define como qs = dV/dt, luego laecuacin (2.14) se transforma en

dt

dm

q

1C

s

= , (2.15)

lo cual implica obtener la derivada de m con respecto a t, afortunadamente la funcin

=

=

==

4

1 i

tk

iii4

1i

iPM

)e(1QA

100

63.5mm

i

i

,

Escrita en el anterior caso como la ecuacin (2.8). Derivando la funcin m se obtiene

=

=

==4

1i i

tk

iiii4

1i

i

PM

eQkA

100

63.5

dt

dm

dt

dm i. (2.16)

El caudal de salida qs puede determinarse a partir de un balance global de materia. En lafigura 2.2 se muestra esquemticamente el proceso de lixiviacin.

Figura 2.2 Pila de lixiviacin.

Del balance global de materia se deduce

qAqs = , (2.17)siendo A el rea media de la pila, el cual es

H

VA

p= . (2.18)

La densidad de la pila p = P/Vp, donde P y Vp es la masa y el volumen de la pila,respectivamente. As se tiene

H = 8 mPilade

Lixiviacin

q =10 lt/hm2

qs

lt/m2


19/32

p

p

PV = . (2.19)

Para los datos: P = 100000 ton y p = 1.7 ton/m3,

588007.1

100000

Vp=

m3

.A partir de la ecuacin (2.18)

73508

58800A == m2.

El caudal de salida en lt/hr ser

qs = 107350 = 73500 lt/hry en lt/das,

6

s10764.1q = lt/das

Reemplazando este ltimo valor de qs en la ecuacin (2.15) da

dt

dm

101.764

1C

6= ,

en unidades ton/lt; si el segundo miembro de esta ecuacin se multiplica por el facto deconversin 106 gr/1ton se llega a la siguiente expresin para determinar C en las unidadesusuales de gr/lt:

dt

dm

1.764

1C= . (2.20)

Por ejemplo para el primer componente Cu2S y t = 10 das: 1 = 2, PM1 = 159.1, A1 = 100,k1 = 0.03das-1 y Q1 = 100 ton. Inmediatamente de la ecuacin (2.20) se deduce que laderivada de m1 (masa de Cu extrada en la especie 1) respecto de t es

7741.11.159

10003.01002

100

5.63

PM

eQkA

100

5.63

dt

dm 1003.0

i

tk

iiii1i

=

==

eton/das

De manera similar se calcula para las otras derivadas de la masa de Cu en las otras especiescon respecto al tiempo, en la tabla 2.9 se exhiben los resultados para t = 10 das.

Tabla 2.9

Resultados de las derivadasen ton Cu/das para t = 10 das

i Especie dmi/dt1 Cu2S 1,77412 CuS 0,43513 CuFeS2 0,28184 Cu5FeS4 0,7010

Sumando las derivadas para todos los valores de i se obtiene la derivada de la masa total de

Cu respecto al tiempo, esto es


20/32

192.37010.02818.04351.07741.1dt

dm

dt

dm 4

1i

i =+++===

ton/das

Reemplazando esta derivada expresada en ton/das en la ecuacin (2.20), la concentracinde Cu en unidades de gr/lt ser:

809.1192.31.764

1

dt

dm

1.764

1C === gr/lt.

Para determinar las concentraciones para cualquier tiempo se sigue el mismoprocedimiento de clculo empleado antes para la calcocina y t = 10 das, en la tabla 2.10 seentregan los resultados del clculo de la concentracin para tiempos desde 0 hasta 240das, en intervalos de 10 das. En la figura 2.3 se muestra grficamente la variacin de laconcentracin con el tiempo.

Tabla 2.10

Resultados de las derivadas de la msa extrada y concentracin de Cu

t/das dm1/dt dm2/dt dm3/dt dm4/dt dm/dt C/(gr/lt)0

10 1,7741 0,4351 0,2818 0,7010 3,1919 1,80920 1,3143 0,3562 0,2550 0,6471 2,5726 1,45830 0,9736 0,2916 0,2307 0,5974 2,0934 1,18740 0,7213 0,2388 0,2088 0,5515 1,7203 0,97550 0,5343 0,1955 0,1889 0,5091 1,4278 0,80960 0,3958 0,1600 0,1709 0,4699 1,1967 0,67870 0,2932 0,1310 0,1547 0,4338 1,0127 0,57480 0,2172 0,1073 0,1399 0,4004 0,8649 0,49090 0,1609 0,0878 0,1266 0,3696 0,7450 0,422

100 0,1192 0,0719 0,1146 0,3412 0,6469 0,367110 0,0883 0,0589 0,1037 0,3150 0,5659 0,321120 0,0654 0,0482 0,0938 0,2908 0,4982 0,282130 0,0485 0,0395 0,0849 0,2684 0,4412 0,250140 0,0359 0,0323 0,0768 0,2478 0,3928 0,223150 0,0266 0,0265 0,0695 0,2287 0,3513 0,199160 0,0197 0,0217 0,0629 0,2111 0,3154 0,179170 0,0146 0,0177 0,0569 0,1949 0,2841 0,161180 0,0108 0,0145 0,0515 0,1799 0,2567 0,146190 0,0080 0,0119 0,0466 0,1661 0,2326 0,132200 0,0059 0,0097 0,0421 0,1533 0,2111 0,120210 0,0044 0,0080 0,0381 0,1415 0,1920 0,109

220 0,0033 0,0065 0,0345 0,1307 0,1749 0,099230 0,0024 0,0053 0,0312 0,1206 0,1596 0,090240 0,0018 0,0044 0,0283 0,1113 0,1458 0,083


21/32

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

0 50 100 150 200 2

Tiempo t/das

ConcentracinC/(gr/

Figura 2.3 Curva de la concentracin de Cu versus el tiempoLa concentracin de Cu disminuye exponencialmente al transcurrir el tiempo, laconcentracin se hace cero para un tiempo infinito. Cuando el tiempo tiende a cero, laconcentracin instantnea tiende a un valor menor a 2.3 gr/lt (vase figura 2.3) pero noigual a este ya que la derivada en t = 0 no est definida. Al principio la velocidad con quedisminuye la concentracin es alta y luego vara cada vez ms lenta. Con la expresinanaltica para la derivada, dm/dt, ecuacin (2.16) y la ecuacin (2.20) se obtiene una

funcin continua para la concentracin, es decir, se puede evaluar la concentracin paracualquier tiempo desde 0 < t 240 das.

Otro procedimiento para la obtencin de la concentracin pero no como una funcincontinua sino ms bien discreta con el tiempo, es el uso del mtodo numrico aproximado

para calcular la derivada como diferencia finita, as la ecuacin (2.20) se transformaaproximadamente en

t

m

1.764

1C

= , (2.21)

til cuando la derivada de la funcin m(t) sea compleja de derivar. La precisin con estemtodo depende de las caractersticas propias de m(t), del tamao del intervalo y del error

de redondeo. Por ejemplo, a partir de los valores obtenidos de m en la tabla 2.6 se puedeobtener fcilmente la derivada aproximada m/t, en la que t = 10 das y m ser ladiferencia entre un valor de m y el inmediato inferior, previamente se calculan los valoresmedios del tiempo que corresponden a la derivadas as obtenidas. En la tabla 2.11 se

presentan los clculos en forma tabular, adems de la concentracin.

Tabla 2.11

Resultados de la derivada y la concentracin por el mtodo numrico

Datos Valor medio m/t Concentracint/das Ton Cu t / das ton/das C/(gr/lt)

0 0 5 3,5767 2,028

10 35,767 15 2,8689 1,62620 64,456 25 2,3228 1,317


22/32

30 87,685 35 1,8991 1,07740 106,676 45 1,5682 0,88950 122,358 55 1,3078 0,74160 135,436 65 1,1013 0,62470 146,449 75 0,9362 0,53180 155,811 85 0,8029 0,45590 163,840 95 0,6944 0,394

100 170,784 105 0,6052 0,343110 176,835 115 0,5311 0,301120 182,146 125 0,4689 0,266130 186,835 135 0,4164 0,236140 190,999 145 0,3715 0,211150 194,714 155 0,3329 0,189160 198,044 165 0,2994 0,170170 201,038 175 0,2702 0,153180 203,739 185 0,2444 0,139190 206,183 195 0,2216 0,126

200 208,400 205 0,2014 0,114210 210,414 215 0,1833 0,104220 212,247 225 0,1671 0,095230 213,919 235 0,1526 0,086240 215,444

En la figura 2.4 se expone la comparacin de los resultados de la concentracin con elmtodo analtico y con el mtodo de diferencia finita. Con lnea a trazos son los resultadoscon el modelo numrico y con lnea continua con el procedimiento analtico.

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

0 50 100 150 200 2

Tiem po t/das

Concen

tracinC/(gr/lt)


23/32

Figura 2.5 Concentracin de Cu versus tiempo., curva obtenida con el mtodo analtico;---, curva con el mtodo de diferencia finita.

Obsrvese que la curva trazada con el mtodo de diferencia finita coincide prcticamentecon la curva obtenida analticamente, no habiendo diferencia significativa. Esto se debe a

la forma uniforme que caracteriza a la curva y la aproximacin lineal por segmentos derecta son adecuadas para obtener resultados precisos y casi exactos.

Caso iv

Al cabo de los 240 das las cantidades de Cu extradas por cada especie del mineral hansido calculadas y estn expuestas como el dato final en la tabla 2.6 y 2.8, en la siguientetabla 2.12 se muestra ordenadamente los valores numricos de las toneladas de Cuextradas con las especies qumicas.

Tabla 2.12

Toneladas de Cu extrados del mineralal cabo del tiempo de 240 das

Especie Ton de Cu extradosCu2S 79,764CuS 26,350

CuFeS2 28,319Cu5FeS4 81,010

A partir de las reacciones qumicas involucradas para cada especie con la sal de Fe2(SO4)3,

Calcosina:Cu2S + Fe2(SO4)3 = CuS + CuSO4 + 2FeSO4 (2.22)

Covelina:CuS + Fe2(SO4)3 = CuSO4 +2FeSO4 + S (2.23)

Calcopirita:CuFeS2 + Fe2(SO)3 = CuSO4 + 5FeSO4 + 2S (2.24)

Bornita: Cu5FeS4 + 2Fe2(SO)3 = CuSO4 + 5FeSO4 +4CuS (2.25)

puede obtenerse fcilmente mediante la estequiometra directa entre los iones Cu2+ y Fe3+,el consumo terico de Fe3+ en toneladas, primero por cada especie y finalmente el total.2

De la ecuacin qumica (2.22):

092.7063.5tonCu2

55.8tonFe2u79.764tonCFedePeso

2

323 =

= ++

++ ton.


2 Los pesos atmicos relativos de los elementos involucrados han sido extrados de una tabla peridica: A(Fe)= 55.8, A(S) = 32.1 y A(Cu) = 63.5.


24/32

350.2663.5tonCu


2

323 =

= +

+++ ton.


540.9963.5tonCu


2

323 =

= +

+++ ton.


949.5663.5tonCu5


2

323 =

= ++

++ ton.

Por lo tanto,

Consumo terico total de Fe3+ = 70.092+26.350+99.540+56.949 = 272. 9 ton.

PROBLEMA 3

Se realiz experimento en el cual se midi la presin capilar a 5 diferentes alturas dentrode una columna en funcin del tiempo. Utilizando los datos en planilla Excel adjunta y lacorrelacin de van Genuchten determinar:

i. Curva de variacin de la humedad en funcin del tiempo para las 5 diferentesalturas.

ii. Curva de variacin de la conductividad hidrulica en funcin del tiempo para las 5diferentes alturas.

iii. Curva de variacin del flujo de salida de la columna en funcin del tiempo.iv. Asumiendo que hay una prdida de un 10% del flujo de alimentacin por

evaporacin, determinar el flujo con el cual se aliment la columna.

Para el clculo considerar los valores de los parmetros que se muestran en la tabla 3.1

Nota: Para el clculo considere z = - z (eje z va desde la parte superior de la columna haciaabajo)

Tabla 3.1 Parmetros

Parmetro Valor N 1.5 [m-1] -5Densidad Mineral [T/m3] 2.27Densidad Lecho [T/m3] 1.38Humedad Residual [m3 solucin/ m3 lecho] 0.001Permeabilidad [darcy] 450Densidad Lquido [T/m3] 1.10

Viscosidad Lquido [poise] 0.001z [m] 1.6


25/32

Solucin: ste es uno de los problemas de modelado del proceso de lixiviacin en pilas.Para el inciso i, la correlacin de van Genuchten da la relacin de la humedad con lacabeza capilar , a travs de la ecuacin:

( )[ ]mnrsr

1

1

+

=

, conn

11m = , (3.1)

donde r representa la humedad residual en m3 lquido/m3 lecho, s representa lahumedadde saturacin, , n y m son constantes determinadas. Adems, con base a losdatos dados en una planilla de Microsoft Excel, se puede escribir

z)(t, = , (3.2)

z es la profundidad de la columna en la direccin negativa de z en el instante t. De lasanteriores ecuaciones se deduce inmediatamente

z))((t,= , (3.3)

con t 0, z 0 y rango r s. El problema se resume en hallar s y m ya que losvalores numricos de los otros parmetros de la ecuacin (3.1) son dados en el enunciadodel problema, a saber, r= 0.001, = -5 m-1 y n = 1.5.

El clculo de s es como sigue, a partir de la definicin de la saturacin

S= ,

que para la saturacin completa del lecho, se cumple S = 1 y la ecuacin anterior quedacomo

=s ; (3.4)

es decir, la humedad de saturacin s es igual numricamente a la porosidad del lecho.Ahora bien, dado la densidad aparente del lecho a y la densidad del mineral m (odensidad del slido), la porosidad puede ser calculado en funcin de estas variablesmediante3

m

a

1= , (3.5)

Para a = 1.38 T/m3 y m = 2.27 T/m3, se obtiene

392.02.27

1.381 ==

3 La densidad del lecho y la densidad aparente del lecho son dos conceptos muy diferentes. Mientras ladensidad del lecho es la relacin de la masa del lecho y el volumen del lecho, la densidad aparente del lechoes masa del slido sobre el volumen del lecho. Estas relaciones son consistentes con la definicin de

porosidad del lecho. Entonces el valor numrico dado como densidad del lecho en la tabla 3.1 ms bien debe

referirse como la densidad aparente del lecho, de lo contrario no sera til para el clculo de la porosidad; unanlisis de las unidades de la expresin (5) y la definicin de la porosidad es suficiente para la compresin delo dicho anteriormente.


26/32

bien0.392s = ,

en virtud a la ecuacin (3.4).

Hasta aqu se tiene casi todos los parmetros conocidos a excepcin del valor de m, este

ltimo se obtiene a partir de la ecuacin m = 1-1/n, esto es,

3

1

5.1

11m == .

Finalmente, sustituyendo los valores numricos de los parmetros en el modelo de vanGenuchten, se obtiene la ecuacin particular

( )[ ]1/31.5511

0.391

0.001

+=

, (3.6)

donde tiene unidades de metros, pues as los miembros de la ecuacin se hacen

adimensionalmente homogneos.La expresin matemtica anterior para la humedad es escrita de una manera ms elegantecomo

3 551

0.3910.001

+= , 0 , (3.7)

La funcin es dada en forma tabular en la tabla de abajo, extrada de la planilla deMicrosoft Excel del problema propuesto (vase los datos completos en el Anexo1).

Tabla 3.2

t/das 1 2 3 4 50,1 -37,530 -326,701 -327,010 -327,010 -327,0100,2 -14,020 -313,573 -327,010 -327,010 -327,0100,3 -7,583 -227,130 -327,010 -327,010 -327,0100,4 -5,126 -117,852 -327,000 -327,010 -327,0100,5 -3,858 -60,454 -326,881 -327,010 -327,0100,6 -3,057 -33,296 -325,816 -327,010 -327,0100,7 -2,544 -20,489 -320,037 -327,010 -327,0100,8 -2,188 -13,718 -299,019 -327,010 -327,0100,9 -1,912 -9,619 -245,417 -327,010 -327,0101,0 -1,704 -7,164 -171,228 -327,007 -327,010

7,8 -0,880 -0,880 -0,880 -0,880 -0,8807,9 -0,880 -0,880 -0,880 -0,880 -0,8808,0 -0,880 -0,880 -0,880 -0,880 -0,880

Entonces, la sustitucin de los valores de entregados en la tabla 3.2 en la ecuacin (3.7),da los correspondientes valores numricos de la humedad en el intervalo de tiempo 0 t 8 das, para las profundidades z1 = 1.6 m, z2 = 2z1, z3 = 3z1, z4 = 4z1 y z5 = 5z1,respectivamente. En la tabla A.2 del anexo 1 se presentan los resultados para todos lostiempos a las cinco alturas definidas.


27/32

En base al modelo de van Genuchten, ecuacin (3.7), la representacin grfica de = (t),en el intervalo 0 t 8 das, para cada altura definida, se obtiene la curva de la humedaden funcin del tiempo en la figura 3.1.

Para todos los valores de z, se observa que la humedad aumenta rpidamente con el tiempo

hasta cambiar muy lentamente por encima de 0.181, prcticamente constante, si y slo si,se toman cuatro decimales, esto se debe a que la funcin vara muy lentamente con eltiempo despus de los 6 das, (vase la figura 3.2). La rapidez con que se llega la humedada este valor pseudo-constante disminuye con respecto a los niveles de profundidad, en elsentido del menor valor al mayor valor de z en valor absoluto, vase la figura 3.1. Sinembargo, el valor casi constante de 0.181 es menor que la de saturacin (s = 0.392). Estono quiere decir que el sistema no alcanzar la humedad de saturacin, sino lo har pero enun tiempo mucho mayor para el cual = 0. En la figura 3.2 se observa notoriamente comola funcin cambia extremadamente lenta despus de los 6 das.4

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

Tiempo t/das

Humedad

8 m

6,4 m

4,8 m

3,2 m

1,6 m

Figura 3.1 Curva de la humedad en funcin del tiempo para cinco alturas diferentesobtenida con el modelo de van Genuchten ecuacin (3.7) en combinacin con la tabla3.2. Los segmentos de curva con lnea discontinua representa una extrapolacin de

para valores de tiempo t < 0.1 das. En el punto t = 0 la humedad es =r =0.001.

4 En la planilla adjunta de datos de en funcin del tiempo para las cinco alturas se observa que los datos noestn redondeadas sino entrecortadas para visualizar con tres decimales, por ejemplo los datoscorrespondientes a t = 8 das los valores de con 8 decimales son notoriamente distintas y en realidad hasta

los 8 das las propiedades de la pila como humedad, conductividad hidrulica, entre otros no ser constante sise toman todas los decimales de los datos de . De ah que la necesidad de tomar muy en cuenta el nmerode cifras significativas de los datos y de los resultados para emitir conclusiones errneas.


28/32

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

Tiempo t/das

Cabezacapilar

/m

8 m6,4 m

4,8 m

3,2 m

Figura 3.2 Variacin de con el tiempo t para diferentes profundidadesEn el caso ii, la conductividad hidrulica segn el modelo de van Genuchten est dada porla siguiente expresin matemtica:

( )

2m

1/m

r

r

0.5

r

rs

11

KK

=

(3.7)

con

gkKs= , (3.8)

siendo Ks la conductividad hidrulica de saturacin en m/das, k la permeabilidad de lapila en m2, , son la densidad y la viscosidad del lquido, respectivamente, y g representala aceleracin de la gravedad.

De la tabla 3.1, k = 450 darcy, = 1.10 T/m3 y = 0.001 poise. En unidades cgs:

26

2

24213

cm104.455

1m

cm10

darcy1

m109.9darcy450k

=

= ,

33 1.10gr/cm1.10T/m == ,

scm

gr0.001

=

Sutituyendo estos valores, adems de g = 981 cm/s2, en la ecuacin (3.8) se obtiene:

4.807cm/s0.001

98110.1104.455K

-6

s =

= .

En unidades prcticas:

m/da4153.25100cm

1m

1da

24h

1h

3600s

s

cm807.4Ks == .


29/32

Remplazando este ltimo valor de Ks y simultneamente tambin los otros parmetrosconocidos en la ecuacin (3.7), se tiene

( )

21/3

30.5

0.391

0.00111

0.391

0.0014153.25K

= .

(3.9)O bien

( )

2

3

3

0.391

0.00111

0.391

0.0014153.25K

= , (3.10)

donde est dada por la otra ecuacin de van Genuchten:

3 551

0.3910.001

+= , 0 .

Tomando en cuenta las ecuaciones anteriores y la tabla de valores para , la funcin K esuna composicin de las funciones de y , en otras palabras as, K= , = (t, z). Conesto y los datos de la tabla 3.2, los resultados de K en funcin del tiempo para las cincoalturas dadas se muestran en la tabla A.3 del Anexo 1

En la figura 3.3 se muestra la curva de la conductividad hidrulica K en funcin del tiempoa cinco profundidades diferentes de la pila.

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Tiempo t/das

ConductividadhidrulicaK/(m/das)

1,6 m

3,2 m

4,8 m

6,4 m

8 m

Figura 3.3 Conductividad hidrulica K en funcin del tiempo a diferentesprofundidades.

De la figura 3.3, de inmediato se desprende que la familia de curvas pasa por el origen de

coordenadas y a medida que se incrementa el tiempo la conductividad aumenta msrpidamente a bajas profundices que a altas profundidaes; despus de t > 6 das la


30/32

conductividad vara imperceptiblemente alcanzando un valor casi constante de 3.201m/da. La curvas obtenidas as son consistentes con las determinadas para = (t).

En el caso iii, la ecuacin para trazar la curva de variacin del flujo de salida de lacolumna en funcin del tiempo se obtiene a partir de la ecuacin general de Darcy.

( ) ( )zKq += , (3.11)

Puesto que el problema de transferencia de materia es unidireccional en el sentido negativodel eje z, Nelson Parra (2007) sugiere la siguiente ecuacin al hacer el cambio z = -z paraobtener un q siempre positivo.5

( )

+=

dz

d1Kq , (3.12)

Si se aplica ahora el teorema del valor medio de las integrales, la ecuacin anterior puedeescribirse de manera ms prctica donde la derivada d/dt es reemplazada por diferenciasfinitas:

( )

+=z

1Kq , (3.13)

donde K representa el valor medio de la conductividad hidrulica obtenida por laevaluacin de la funcin K() en el valor promedio de la variable en el intervalo de yz. La aplicacin anterior est intrnsecamente relacionada con las definiciones dediferencial exacta e inexacta y el teorema de Rolle para las derivadas e integrales. As porejemplo, el caudal o el calor son variables que no tiene diferencial exacta pues no son

propiedades de estado.

En las tablas A.4, A.5 y A5 del Anexo 1 se muestran los clculos tabulares para laobtencin de K , /z y el caudal q. La figura 3.4 presenta la grfica de los caudales desalida en funcin del tiempo, es muy importante sealar que para los clculos el origen decoordenadas para el eje z o mejor dicho como valor de referencia se toma en z = 1, ya queen z = 0 no se conoce el caudal de entrada qe, si bien las derivadas son evaluadas en valores

promedios de , pero el caudal de salida puede ser indicada para cada base de elemento depila, as se tendr un problema consistente con las definiciones matemticas para calcularderivadas y consistente con la representacin fsica del caudal de salida, vase tambin lafigura 3.5 para una mejor comprensin.

5 Al hacer un cambio de variable por ms simple que sea, dentro la expresin de una ecuacin diferencial, esnecesario, paralelamente, indicar la relacin de las diferenciales; si z = -z, entonces debe cumplirse dz =-dz.Ahora bien, en la ecuacin sugerida (3.12) para tener un q > 0, no queda otra que dz es positivo, ya que en los

datos de la tabla 3.1 aparece la diferencia finita correspondiente z = 1.6 m dado como valor positivo, encualquier caso la verificacin de la expresin (3.12) se manifestar en la obtencin de los resultados positivosde q.


31/32

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10

Tiempo t/das

Caudaldesalidaq/(m/

3.2 m

4.8 m

6.4 m

8 m

Figura 3.4 Caudal de salida en funcin del tiempo. El caudal salida es referida a la base delelemento de pila pero evaluada en el punto medio de cada elemento de pila.

Figura 3.5 Esquema de la columna en elementos finitos.

Ntese que la deriva d/dt con los datos de no puede estimarse en los extremos relativosinferiores de cada elemento de pila sino estara en contra de la definicin y existencia de laderivada de una funcin, pero si puede estimarse la derivada en el valor promedio de decada elemento, incluso en los extremos absolutos de la columna. Por consiguiente, elcaudal se ha calculado en los promedios de pero pueden ser indicados para las

profundidades de cada base del elemento ya que el caudal es un flujo de salida.6

En el caso iv, el problema es sencillo de resolver, como el rea de la columna es constante,entonces el caudal que ingres a la pila se puede obtener por unidad de rea.

A partir de un balance de materia se deduce:6 Cuando una funcin f(x) se define en un intervalo a x b existe la derivada de la funcin f (x) en elintervalo abierto a < x < b; es decir, no est definida en los extremos relativos.

1

2

3

4

5

q2

q3

q4

q5

z =1.6 m

2

1

3

4

5

z = 0


32/32

qa = qp + qs, (3.14)

Aqu, qa, qp y qs, son los caudales de entrada, prdida debido a la evaporacin y de salida,respectivamente.

Sabiendo que se pierde el 10 % del caudal de alimentacin, entonces la ecuacin (3.14) sepuede escribir como

qa = 0.1qa + qs,de donde

0.9

qq sa = , (3.15)

De acuerdo a los resultados numricos del caudal de salida, este tiende a un valor casiconstante, a saber, qs = 3.2 m3/m2/das (vase la figura 3.4 o la tabla A.6 del Anexo1),suponiendo que el caudal no tiene cambio alguno con dos cifras significativas, entonces, elflujo volumtrico de alimentacin ser:

6.39.0

2.3==

aq m3/m2/das.

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