Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal

Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T.

Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la preimagen completa del vector nulo:

Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V,W).Entonces ker(T ) es un subespacio de V .

Proposición (la imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). Entonces im(T ) es un subespacio de W .

Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se demuestra que el conjunto im(T ) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por escalares, además contiene al vector cero.

Mostremos que el conjunto im(T ) es cerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im(T ).Por la definición de la imagen, existen v1, v2 ∈ V tales que w1 = T (v1), w2 = T (v2). Por la linealidad de T,

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = w1 + w2.

Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T (x) = w1 + w2. Por la definición de la imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im(T ).

El Rango de una transformación

Sea T : V → W una transformación lineal. El rango o imagen de T es el conjunto de todas las imágenes de Ten W.

Es decir, el rango es el subconjunto de W formado por aquellos vectores que provienen de algún vector de V .

Núcleo e Imagen son subespacios

La propiedad fundamental del núcleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales:

Teorema Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces

Ker(T) es un subespacio de V . R(T) es un subespacio de W.

DemostraciónEl núcleo de T es subespacio

Sean v1 y v2 elementos del núcleo de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = 0 = T(v2), y por tanto:

T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 0 + c2 0 = 0

probando que c1 v1 + c2 v2 está también en el núcleo de T. Lo cual a su vez prueba que el núcleo de T es un subespacio de V .

La imagen de T es subespacio

Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = w1 y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V , y por tanto:

T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2

probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 está también en la imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio de W .

Nulidad y Rango de una Transformación

Debido al resultado anterior el núcleo y la imagen de una transformación lineal son espacios vectoriales.

Como espacios vectoriales, ellos tienen una dimensión asociada. Estas dimensiones tienen nombre específicos:

Definición: Sea T : V → W una transformación lineal.

La nulidad de T es la dimensión de Ker(T) El rango de T es la dimensión de R(T).

El siguiente resultado permite calcular fácilmente la nulidad y el rango de una transformación matricial.

TeoremaSea T : V → W una transformación lineal. Suponga que T corresponde a la transformación matricial asociada a A. Entonces:

Ker(T) = V(A) = Espacio nulo de A R(T) = C(A) = Espacio generado por las columnas de A Nulidad (T) = Nulidad(A) = Número de columnas sin pivote en A reducida. Rango (T) = Rango(A) = Número de columnas con pivote en A reducida.

Note que el resultado anterior indica que para cualquier transformación lineal T : V → W,

Así por ejemplo:

T : R4 → R3 lineal no puede ser inyectiva pues

4 = dim(Ker(T)) + dim(R(T)) ≤ dim(Ker(T)) + 3

por tanto, dim(Ker(T)) ≥ 1 probando que Ker(T)) 6= {0}.

T : R4 → R8 lineal no puede ser sobre pues

4 = dim(Ker(T)) + dim(R(T))

por tanto, dim(R(T)) ≤ 4 probando que R(T) 6= R8

REFERENCIA: http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-53.pdf http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/52-nucleo-e-imagen-de-una.html

http://esfm.egormaximenko.com/linalg/ker_image_es.pdf