5.3 LA MATRIZ DE TRANSFORMACIN LINEAL.

Si A es una matriz de m x n y est definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformacin lineal. Ahora se ver que para toda transformacin lineal en existe una matriz A de m*n tal que Tx=Ax. Entonces un T= e Im T=. Ms aun, v (T) = dim un T = v(A) y p (T) = dim Im T = p(A). As se puede determinar el ncleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformacin lineal de determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en mediante una simple multiplicacin de matrices.Pero esto no es todo. Como se ver, cualquier transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita se puede representar mediante una matriz.

Teorema 1Sea T: una transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de m*n, tal que Tx= para toda X DemostracinSea w1= T, = T,.,= T. Sea la matriz cuyas columnas son w1, w2,., wny hagamos que ATdenote tambin a la transformacin de , que multiplica un vector en por . SiPara i = 1,2,., n.

Entonces

De esta forma, =para i = 1,2,.n., T y la transformacinson las mismas porque coinciden en los vectores bsicos.

Ahora se puede demostrar que es nica. Suponga que Tx = y que Tx = para todo x. Entonces = , o estableciendo CT= AT BT, se tiene que CTx = 0 para todo x Rn. En particular, ies la columna i de CT. As, cada una de las n columnas de CTes el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT= BTy el teorema queda demostrado.

Definicin 1 Matriz de transformacinLa matriz en el teorema 1 se denomina matriz de transformacin correspondiente a T o representacin matricial de T.

NOTA. La matriz de transformacin est definida usando las bases estndar tanto en como en . Si se utilizan otras bases, se obtendr una matriz de transformacin diferente.

TEOREMA 2 Seala matriz de transformacin correspondiente a la transformacin lineal T. entonces.

Im T = Im A = P (T) = p ()Un T = V (T) = v (

Ejemplo 1 Representacin matricial de una transformacin de proyeccinEncuentre la matriz de transformacin correspondiente a la proyeccin de un vector en sobre el plano xy.

Solucin

Aqu T =.en particular. T

.Observe que

Teorema 4Sean V y W espacios vectoriales de dimensin finita con dim V = n. sea T: V-W una transformacin lineal y sea una representacin matricial de T respecto a las bases en V y en W. entoncesI.P (T) =p ( II.V (A) = v () III.V (a) + p (T) = n

Teorema 5Sea T: una transformacin lineal. Suponga que C es la matriz de transformacin de T respecto a las bases estndar y en y , respectivamente. Sea la matriz de transicinde a base en . Si denota la matriz de transformacin de T respecto a las bases y , entonces.

Geometra de las transformaciones lineales de en .Sea T:-una transformacin lineal con representacin matricial Ahora de demostrar que si es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesin de una o ms transformaciones especiales, denominadasexpansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o yUna expansin a lo largo del eje x es una transformacin lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en por una constante C>1. Esto es

Entonces de manera que si , se tiene

De manera similar, una expansin a lo largo del eje y es una transformacin lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en por una constante C > 1. Como antes,Si T,Entonces la representacin matricial de T es de manera que A) B)

C)

a)se comienza con este rectngulo.b)Expansin en la direccin de x c = 2.c)Expansin en la direccin de y con c = 4.

Compresin a lo largo de los ejes x o y.Una compresin a lo largo de los ejes x o y es una transformacin lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en por una constante positiva 0 < c < 1, mientras que para la expansin c