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5. Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas

5.2 Componentes Simétricos (ou Simétricas)

Sistemas Elétricos de Potência

5.2 Componentes Simétricos (ou Simétricas)

Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito

E-mail:[email protected]

disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito

• Como vimos anteriormente, os sistemas trifásicos equilibrados esimétricos podem ser analisados através de uma de suas fases e oneutro (terra), tanto em condições normais de funcionamentoquanto em decorrência de curtos-circuitos trifásicos.

• Porém tal procedimento não pode ser adotado quando ocorremfaltas assimétricas, que provocam desequilíbrio nos sistemas. Emtais situações, os métodos tradicionais de cálculo pelas Leis de

5.2.1 Introdução

faltas assimétricas, que provocam desequilíbrio nos sistemas. Emtais situações, os métodos tradicionais de cálculo pelas Leis deKirchhoff revelam-se muito trabalhosos e de trato difícil,principalmente devido à presença de máquinas rotativas.

• Além disso, o desbalanceamento natural das cargas e de outroselementos dos sistemas trifásicos contribuem para a assimetria daseqüência de fasores (tensão/corrente) trifásicos, dificultando aanálise dos sistemas trifásicos.

• Como resolver esse problema? Ou, como facilitar os cálculos de redesdesequilibradas?

– Através do método das Componentes Simétricas (C.O. Fortescue, 1918);

– Tornou-se uma das mais poderosas ferramentas para análise de redespolifásicas desequilibradas.

• Definição de Componentes Simétricas:

– Um sistema desequilibrado de “n” fasores correlacionados pode ser

5.2.1 Introdução

– Um sistema desequilibrado de “n” fasores correlacionados pode serdecomposto em “n” sistemas equilibrados denominados componentessimétricos (ou simétricas) dos fasores originais;

– Sendo que os “n” fasores de cada conjunto de componentes são iguais emcomprimento, e os ângulos entre os fasores adjacentes do conjunto sãoiguais.

Dada uma seqüência qualquer de fasores, representada por:

5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas

Trifásicos

==

C

B

A

ACBA

V

V

V

VV

&

&

&rr

,,)1(

existe (e é única) uma seqüência direta, uma seqüência inversa e

uma seqüência nula que somadas reproduzem a seqüência dada.

De outra forma: uma seqüência qualquer de fasores pode ser

decomposta em três outras seqüências (direta, inversa e nula) e

essa decomposição é única.

Matematicamente, a equação (1) pode ser decomposta emcomponentes simétricas da seguinte forma:


Trifásicos

++

++

++

=

+

+

=++=

=

210

210

210

2

2

2

1

1

1

0

0

0

210

CCC

BBB

AAA

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

A

VVV

VVV

VVV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VVV

V

V

V

V

&&&

&&&

&&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&rrr

&

&

&r

)2(

utilizando-se o operador , temos:

++

++

++

=

⋅+

⋅+

⋅=

=

2

2

10

21

2

0

210

2

2

2

10

11

1

1

1

VVV

VVV

VVV

VVV

V

V

V

V

C

B

A

A

&&&

&&&

&&&

&&&

&

&

&r

αα

αα

α

α

α

α

)3(

e substituindo na equação (2), resulta em:

)12012401(1201 0020−∠=∠=∠= αα

2

2

22222

111

2

111

0000

;;

;;

VVVVVV

VVVVVV

VVVV

CBA

CBA

CBA

&&&&&&

&&&&&&

&&&&

⋅=⋅==

⋅=⋅==

===

αα

αα

)4(

Outra expressão para equação (4) é a seguinte:


Trifásicos

sendo:

- T a matriz de transformação de componentes simétricas;

)5(2,1,0

2

1

0

2

2

1

1

111

VT

V

V

V

VA

r

&

&

&r

⋅=

⋅

=

αα

αα

- T a matriz de transformação de componentes simétricas;

- seqüência de fasores de componentes simétricas.

Interpretação gráfica dos fasores das componentes simétricas

2,1,0Vr


Trifásicos

A matriz T não é singular, isto é, existe a matriz T-1. Dessa forma,

a seguinte expressão é válida:

)6(

⋅+⋅+

⋅+⋅+

++

⋅=

⋅

⋅=

⋅=

=−

CBA

CBA

CBA

C

B

A

C

B

A

VVV

VVV

VVV

V

V

V

V

V

V

T

V

V

V

V

&&&

&&&

&&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&r

αα

αα

αα

αα

2

2

2

21

2

1

0

2,1,03

1

1

1

111

3

1

• Com base na decomposição de uma seqüência de

fasores em suas componentes simétricas, definimos:

– seqüência trifásica simétrica: =>

– seqüência trifásica pura: =>

5.2.3 Conseqüências

0,0;0

0;0

021

021

=≠≠

==≠

VVV

VVV

&&&

&&&

AVr

– seqüência trifásica pura: =>

– seqüência trifásica impura: => 0,0;0

0,0;0

021

021

≠≠≠

=≠≠

VVV

VVV

&&&

&&&

• Quando substituímos uma dada seqüência fasorial trifásica por outra obtida

por uma rotação cíclica de seus fasores, isto corresponde a uma rotação de α

(α=1|1200) na componente simétrica de seqüência inversa. Matricialmente,

temos:

5.2.4 Rotação Cíclica na Ordem de

Fasores

⋅

=

=

2

1

0

2

2

1

1

111

A

A

A

C

B

A

A

V

V

V

V

V

V

V

&

&

&

&

&

&r

αα

αα

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

=

2

1

0

2

2

2

1

0

2

2

2

1

0

2

2

2

1

0

2

2

1

111

1

1

1

111

111

1

1

1

1

111

A

A

A

C

C

C

B

A

C

C

A

A

A

B

B

B

A

C

B

B

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

&

&

&

&

&

&

&

&

&r

&

&

&

&

&

&

&

&

&r

αα

αα

αα

αα

αα

αα

αα

αα

)7(

• Assim, uma rotação nos elementos da seqüência VA, corresponde a mesma

rotação nos elementos correspondentes da linha da matriz T.

• O grau de desequilíbrio de uma dada seqüência trifásica pode

ser definida como sendo a relação entre os módulos das

componentes de seqüência inversa (negativa) e direta

(positiva), ou seja:

5.2.5 Grau de Desequilíbrio de uma

Seqüência

V&)8(

1

2.

V

Vdeseqgrau

&

&

=

• Para facilitar a compreensão da aplicação de componentes

simétricas à sistemas trifásicos, iremos considerar um sistema

trifásico ligado em estrela, conforme a figura a seguir:

5.2.6 Aplicação

• Em termos de tensões de fase, a seqüência VAN fica:

⋅+

⋅+

⋅=

⋅=

=

2

22

10

2

1

0 11

1

1

1

α

α

α

α VVV

V

V

V

T

V

V

V

V

CN

BN

AN

AN&&&

&

&

&

&

&

&r

)9(

Figura 1: Sistema trifásico ligado em estrela (gerador 3Ø)

• A partir da expressão (9) podemos desenhar o sistema elétrico da seguinte

forma:

5.2.6 Aplicação

• Como vemos na figura 2, podemos substituir a tensão gerada VAN pela

associação série de três f.e.m.s V0, V1 e V2 (o raciocínio é análogo para as

outras duas fases).

• A fig. 2b caracteriza o efeito da componente de seqüência zero da tensão,

que é o de elevar o potencial do centro-estrelo.

Figura 2: a) Circuito equivalente; b) Circuito equivalente com a componente de

seqüência zero isolada

• A tensão de linha VAB pode ser calculada em termos das componentes

simétricas da seguinte forma:

5.2.6 Aplicação

• A equação (10) mostra que a tensão de componente nula não entra (ou não

influencia) nos cálculos de tensão de linha.

21

21

2

21

2

21

)303()303(

)1()1(

VVV

VVVVVVV

oo

AB

AB

&&&

&&&&&&&

⋅−∠+⋅∠=

⋅−+⋅−=⋅−⋅−+= αααα)10(

influencia) nos cálculos de tensão de linha.

• Em termos de seqüência de fasores, a seqüência de tensão de linha

decomposta em componentes simétricas torna-se:

−+

−=

⋅

−−

−−

−−

=

=

⋅

−

⋅

=

−

=−=

2

2

2

1

2

2

1

0

2

22

2

2

1

0

2

2

2

1

0

2

2

1

)1(

1

)1(

)1()1(0

)()(0

)1()1(0

111

1

1

1

1

111

α

αα

α

αα

αα

αααα

αα

αα

αα

αα

αα

ANAN

AN

AN

AN

CA

BC

AB

AB

AN

AN

AN

AN

AN

AN

AN

CN

BN

CN

BN

AN

BNANAB

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VVV

&&

&

&

&

&

&

&r

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&rrr

)11(

• Até aqui foram adotados apenas fasores de tensão no estudo de

componentes simétricas, entretanto o Teorema de Fortescue aplica-se

igualmente a quaisquer fasores associados a uma máquina ou a um circuito

trifásico, tais como corrente elétrica. Veja:

5.2.6 Aplicação

⋅

=

= 1

0

2

2

1

1

111

I

I

I

I

I

I

I B

A

A

&

&

&

&

&

&r

αα

αα )12(

2

21 IIC&& αα

⋅

=

=

C

B

A

I

I

I

I

I

I

I

&

&

&

&

&

&r

αα

αα

2

2

2

1

0

2,1,0

1

1

111

3

1)13(

e também é válido:

• Em sistemas trifásicos a 4 fios, a soma das correntes de linha é igual à

corrente de retorno IN pelo neutro.

• Do mesmo modo, em sistemas trifásicos a 3 fios com ligação estrela

aterrada, a soma das correntes de linha é igual à corrente de retorno IN pela

terra. Para ambas as situações temos:

5.2.6 Aplicação

CBAN IIII &&&& ++= )14(

entretanto, como concluímos que:)(3

10 CBAA IIII &&&& ++=

AN II 03 && ⋅= )15(

• Através da equação (15), vemos que a corrente de seqüência zero só existe

se houver um circuito fechado no qual possa circular.

• Em sistemas trifásicos a 3 fios, com carga em estrela isolada ou com carga

em triângulo, a soma das correntes de linha é zero e portanto nenhuma

componente de seqüência zero está presente nas correntes de linha.

Geradores Trifásicos

5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em

Componentes Simétricas

- Como as tensões trifásicas internas geradas (Ea, Eb e Ec) são simétricas, elas

não afetam as seqüências inversa e zero, apenas a seqüência direta.

- A impedância de seqüência zero leva em conta a impedância de aterramento

do centro-estrela e a impedância do gerador de seqüência zero. Veja abaixo:

00 3 gn ZZZ +⋅=

000

222

111

ZIV

ZIV

ZIEV

aa

aa

aaa

⋅−=

⋅−=

⋅−=

&

&

&&

)16(

)17(

Geradores Trifásicos



- Matricialmente, podemos representar um gerador trifásico em

componentes simétricas da seguinte forma:

⋅

−

=

000

00

000 aa

I

I

Z

Z

EV

V

&

&

&&

&

)18(

⋅

−

=

2

1

2

1

2

1

00

00

0 a

aa

a

a

I

I

Z

ZE

V

V

&

&&

&

&

Transformadores Trifásicos

- Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas,

apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância

de seqüência negativa.

- Os circuitos equivalentes, por fase, para seqüência positiva e negativa são

elaboradas desprezando-se resistências e corrente de excitação, e referindo

as reatâncias a um dos lados.

5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas

Elétricos em Componentes Simétricas

as reatâncias a um dos lados.

- O modelo para seqüência zero depende do tipo do trafo e da maneira como

foi conectado, permitindo, ou não, o estabelecimento de corrente de

seqüência zero através de um percurso fechado (veja a seguir).

Transformadores Trifásicos – Seqüência zero:



Linhas de Transmissão

- Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas,

apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância

de seqüência negativa.

- A reatância de seqüência zero das linhas é influenciada por grande número

de variáveis (características dos condutores, natureza e resistividade do solo

sob a linha, entre outros). De modo geral, a reatância de seqüência zero



sob a linha, entre outros). De modo geral, a reatância de seqüência zero

apresenta valor que se situa na faixa de 2 a 5 vezes o valor da reatância de

seqüência positiva.

Exemplo de rede de seqüência nula

Fig.: Sub-rede equivalente de seqüência nula (ou zero)

5.2.8 Exercícios

Exercício 1: Considere a seqüência fasorial a seguir:

Encontre as tensões de seqüência nula, direta e inversa para a fase A, e

)(

90380

90380

0120

0

0

0

V

V

V

V

V

C

B

A

A

∠

−∠

∠

=

=

&

&

&r

Encontre as tensões de seqüência nula, direta e inversa para a fase A, e

represente graficamente tais fasores.

Resposta: V0 = 40|00 (V); V1 = 260|00 (V); V2 = 180|1800 (V)

5.2.8 Exercícios

Exercício 2: Certo sistema trifásico apresenta seqüência de fases A, B e C, e

tem as seguintes componentes simétricas de correntes de linha:

)(

61,7112,4

80,2611,13

31,14661,3

0

0

0

2

1

0

A

I

I

I

−∠

∠

−∠

=

&

&

&

Obtenha os fasores das correntes de linha IA, IB e IC do sistema.

Resposta: IA = 10|00 (A); IB = 12,04 |-94,760 (A); IC = 18,97|161,570 (A)

61,7112,42I −∠

5.2.8 Exercícios

Exercício 3: Considerando que a potência base do sistema abaixo é 10 MVA e

que todas as reatâncias já estão nas referidas bases. Para o sistema elétrico

abaixo, desenhe o diagrama unifilar (ou sub-rede) de: a) seqüência positiva; b)

seqüência negativa; c) seqüência nula.

[1] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de

Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.

[2] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos

de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.

Referências Bibliográficas

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