47. Dadas las secuencias siguientes: ; ; Calcule y represente las siguientes secuencias:

a)

b)

c)

d)

1.71. En esta practica se estudiaran los conceptos de estabilidad y linealidad basicos a la hora de analizar sistemas discretos. Determine si los sistemas definidos por las ecuaciones en diferencia siguientes verifican las propiedades de linealidad, invarianza temporal y estabilidad.a) b) c) Si bien las propiedades de linealidad y estabilidad de un sistema se deben verificar para cualquier secuencia de entrada, para comprobarlo con MATLAB emplearemos secuencias particulares. Algo similar ocurrre con la estabilidad. Sabemos que un procedimiento para determinar si un sistema es estable, si este es L.I.T. es determinando si la respuesta impulsional tiene suma acotada, sin embargo para sistemas no L.I.T debemos aplicar la definicion general (cualquier entrada acotada produce una entrada acotada). En este sentido vamos a utilizar como entrada acotada un impulso y observaremos si la salida esta acotada.Los programas utilizados seran los mismos para todos los sistemas, si bien cada sistema tiene sus particularidades:a) El sistema no es recursivo ni depende de entradas pasadas por lo que se puede implementar de forma vectorizada.b) No se puede vectorizar. Lo implementaremos mediante un bucle for y sacaremos del bucle aquellos valores de n que puedan dar problemas con los indices (MATLAB no permite indices con valor 0 o negativos).c) Analogo al anterior.Para verificar las propiedades de linealidad e invarianza temporal aplicaremos la definicion y para comparar las secuencias obtenidas utilizaremos para una de ellas circulos y para la otra cruces, de esta forma la igualdad entre secuencias se producira cuando cada circulo contenga en su interior una cruz.Dentro del mismo bucle for calcularemos todas las secuencias necesarias para verificar las propiedades.A continuacion mostraremos el programa utilizado para estudiar el segundo sistema. Se deja como ejercicio al lector escribir los programas correspondientes a los otros dos sistemas a partir del anterior, si bien mostraremos los resultados obtenidos si utilizamos las mismas secuencias de entrada.

%sistema 2clearcloseallN=100;x1=sin(2*pi*0.1*(0:N-1)); %secuencia 1 para linealidadx2=sin(2*pi*0.3*(0:N-1)); %secuencia 2 para linealidadalfa=3;beta=0.5;x3=alfa*x1+beta*x2; %secuencia 3 combinacion lineal%de las anterioresx4=[1 zeros(1,N-1)]; %secuencia para estabilidadret=5;x5=[zeros(1,ret) x1(1:N-ret)]; %secuencia para invarianza temporal;%retardamos la secuencia 5 muestras,%la secuencia original es x1

y1(1)=x1(1);y2(1)=x2(1);y3(1)=x3(1); %calculamos fuera del bucle los%indicesproblematicos y consideraremos%condiciones iniciales nulasy4(1)=x4(1);y5(1)=x5(1);for(n=2:N) y1(n)=((n-1)/n)*y1(n-1)+x1(n)/n; y2(n)=((n-1)/n)*y2(n-1)+x2(n)/n; y3(n)=((n-1)/n)*y3(n-1)+x3(n)/n; y4(n)=((n-1)/n)*y4(n-1)+x4(n)/n; y5(n)=((n-1)/n)*y5(n-1)+x5(n)/n;end

plot(y3,'ro')title('linealidad del sistema 2')holdonplot(alfa*y1+beta*y2,'g*');xlabel('n')disp('pulse una tecla')pause

clfstem(y4,'r')title('estabilidad del sistema 2')xlabel('n')disp('pulse una tecla')pause

clfplot(y5,'ro') %dibujamos la salida obtenida%al retardar la entradatitle('invarianza temporal sistema 2')xlabel('n')holdonplot([zeros(1,ret) y1(1:N-ret)],'g*'); %retardamos la seal de salida%obtenida a partir de la secuencia%original y la dibujamosxlabel('n')disp('pulse una tecla')pause

Las graficas obtenidas son las mostradas en las figuras para los sistemas a,b y c(a=1.2 a=0.8) respectivamente.De las graficas en la figura se deduce que el sistema es no lineal, lo cual era de esperar debido al termino cuadratico, estable y variante temporal. No es un sistema L.I.T. Por su parte, a partir de las graficas en la figura se deduce que el sistema es lineal, estable, ya que la salida esta acotada, y variante temporal y , por tanto, no es un sistema L.I.T. De las graficas en la figura se deduce que el sistema es lineal, inestable, ya que la salida diverge, e invariante temporal. Se trata de un sistema L.I.T. Sin realizar ningun tipo de operacin sabemos que se trata de un sistema L.I.T. ya que se trata de un sistema definido por una ecuacion en diferencias lineal con todos los coeficientes constantes. El parametro a unicamente puede afectar a la estabilidad. Para a=1.2 el sistema es inestable mientras que para a=0.8 el sistema es estable. Es sencillo determinar que la respuesta impulsional de este sistema es:

al tratarse de un sistema L.I.T. podemos determinar la estabilidad calculando la suma de dicha respuesta. Se trata de una serie gemetrica, por lo tanto la condicion para que la suma converja es que |a|