DEFINICI Ó N DE U N A F UNCIÓN DE V A RIAS V A R I ABL E S

UNIDAD NOMBRE TEMAS

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Funciones vectorial de varias variables

4.1 Definición de una función de varias variables.

Funciones de varias variables

Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza

, el volumen de un cilindro circular recto , el qrea de un triángulo , son todas funciones de dos variables. El volumen

de una caja rectangular es una función de tres variables.

Denotaremos una función de dos o mas variables de la forma usual

En esta sección se introduce otro importante concepto: las funciones de varias variables. Se introduce también el concepto de derivación parcial. Conceptos muy útiles en las aplicaciones.

Se ha visto la gran utilidad de las funciones en la descripción de los diferentes fenómenos de la naturaleza. Hasta el momento se ha considerado solamente funciones de una variable funciones de una variable:

f: R R

x y = f(x)

La explicación y uso del mundo natural y social han planteado, sin embargo, la necesidad de considerar funciones de más de una variable. Por ejemplo, considere el volumen de un cilindro circular recto:

V = r2h.

El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir

V(r, h) = r2h.

Es decir, como una función de dos variables r y h.

V: (r, h) r2 h

Por ejemplo:

V (1,2) = 12. 2 = 2

Los ejemplos son muchísimos:

V(x, y, z) = x2 + y2 + z2

es una función de tres variables: x, y, z.

En general, se puede hablar de funciones de varias variables.

Funciones de dos variables

En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:

se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:

Por ejemplo, si

z = f(x) =

se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centro en el punto origen (0, 0,0) (figura 9.14).

o Nota: La ecuación

z2 = 9 - x2 - y2, o bien: z2 + x2 + y2 = 32

brinda la superficie de la esfera completa.

Otro ejemplo: sea f(x,y) = 1.

Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido por todos los puntos (x,y,1)).

Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.

Bibliografía:

Libro: Cálculo Tomo IIAutor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano

Libro: Cálculo con Geometría AnalíticaAutor: Swokowski Earl W.Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano