61

Unidad 4 : DERIVADAS PARCIALES

Tema 4.5 : Vector Gradiente y Derivada Direccional

(Estudiar la Sección 14.6 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 16)

Definición del Vector Gradiente de una función de dos variables

( ) ( )yx ffj

y

fi

x

fyxfyxfzSi ,ˆˆ,, =

∂

∂+

∂

∂=∇→=

Definición del Vector Gradiente de una función de tres variables

( ) ( )zyx fffk

z

fj

y

fi

x

fzyxfzyxfwSi ,,ˆˆˆ,,,, =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇→=

Ejemplo

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) jifff

jyxiyxyxfyxy

fyx

x

f

yxyxyxfsifyyxfCalcule

yxˆ13ˆ32,1;1328132,1;323132,1

ˆ83ˆ33,;83;33

43,2,1,

22

23

+−=∇=⋅+⋅−=−=⋅−⋅=

+−+−=∇+−=∂

∂−=

∂

∂

+−=∇∇

Definición de Derivada Direccional

( )

( )

uunitariovectordeldirecciónenfdecambioderazónlaes

ufzyxfDlDireccionaDerivada

udirecciónencambioderazónzyxfDkz

fj

y

fi

x

fufu

kdirecciónencambioderazónz

fk

z

fj

y

fi

x

fkfk

jdirecciónencambioderazóny

fk

z

fj

y

fi

x

fjfj

idirecciónencambioderazónx

fk

z

fj

y

fi

x

fifi

u

u

ˆ,,

ˆ,,ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆ

⋅∇≡

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅=∇⋅

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅=∇⋅

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅=∇⋅

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅=∇⋅

62

Ejemplo: calcule la razón de cambio de la función dada, en una dirección a 30° con el eje X, en el punto especificado:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2

3313

2

13

2

33

2

1,

2

313,3ˆ2,12,1

2

1,

2

330,30cos,cosˆ

13,32,1;83,33,

?2,1;2,1;43,

ˆ

2

ˆ

23

−=+

−=⋅−=⋅∇=

===

−=∇+−−=∇

=+−=

uffD

senrsenru

fyxyxyxf

fDPyxyxyxf

u

u

θθ

Ejemplo: calcule la razón de cambio de la función dada, en la dirección del vector dado, en el punto especificado:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )29

32

29

40

29

8

29

5,

29

28,4ˆ1,21,2

29

5,

29

2

254

5,2ˆ

8,41,2;43,2,

?1,2,ˆ5ˆ2;1,2;4,

ˆ

223

ˆ

32

=+−

=⋅−=⋅−∇=−

=+

==

−=−∇−=∇

=−+=−−=

uffD

v

vu

fyxxyyxf

fDjivPyyxyxf

u

u

r

r

r

Ejemplo: calcule la razón de cambio de la función dada, en la dirección del vector dado, en el punto especificado:

( ) ( )

( ) ( )

142

9

14

3

14

2

142

1

14

3,

14

2,

14

11,1,

2

1ˆ

14

3,

14

2,

14

1;

941

3,2,1ˆ;1,1,

2

1

14

4;1

4

4;

2

11

3,2,1;,1,1,4;,,

ˆ

22

−=−−=⋅−−=⋅∇=

++==−−=∇

−=−

=+

−=−=

−=

+

−==

+=

=+

=

vffD

v

vvf

zy

xf

zy

xf

zyf

vPzy

xzyxf

u

zyx

r

r

r

63

Magnitud y Dirección de la Máxima Razón de Cambio La razón de cambio de una función en una dirección definida está dada por la

derivada direccional: θθ coscosˆˆˆ fufuffDu ∇=⋅∇=⋅∇= , si variamos el

ángulo θ para detectar el valor máximo de la derivada direccional encontramos que

para °= 0θ obtenemos el valor máximo de 1cos =θ , por lo tanto:

1) El valor máximo de la derivada direccional es igual a: f∇ ,

2) Este valor máximo está en la dirección del vector: f∇

Ejemplo. Encuentre la máxima razón de cambio de f en el punto dado y la dirección en la que ésta se verifica.

( ) ( )

( ) ( )

( )

4,3,229

2916941,1,1

4,3,21,1,1;4,3,2,,

1,1,1;,,

33242243

432

direcciónlaenocurreyescambioderazónmáximala

f

fzyxzyxzxyzyxf

zyxzyxf

=++=∇

=∇=∇

=

Ejemplo. La temperatura en un punto ( )zyx ,, está dada por:

( )222 93200,, zyxezyxT −−−= donde T se mide en °C y x,y,z en metros. (a) Encuentre

la razón de cambio de la temperatura en el punto ( )2,1,2 −P en dirección hacia el

punto ( )3,3,3 −Q . (b) ¿En que dirección aumenta más rápido la temperatura en P?

(c) Encuentre la mayor razón de incremento en P.

( )

( )

( )

( ) ( ) mCeeTc

b

mCe

e

eeuTfDa

ueeT

uPQzyxezyxT

u

zyx

/337400324944002,1,2

18,3,2

/6

400,10

6

26400

6

1862400

6

1,

6

2,

6

118,3,2400ˆ)(

6

1,

6

2,

6

1ˆ;18,3,240036,6,42002,1,2

6

1,2,1ˆ;1,2,1;18,6,2200,,

4343

4343

4343

ˆ

433634

93 222

°××=++=−∇

−−

°−

=

−=

−−−=

−⋅−−=⋅∇=

−=−−=−−=−∇

−=−=−−−=∇

−−

−−

−−

−−−−

−−−

64

El Vector Gradiente y las Superficies de Nivel. Si tenemos una familia de superficies de nivel ( ) kzyxf =,, , y el vector de

posición ( ) ( ) ( ) ( )tztytxtr ,,ˆ = describe una curva sobre esa superficie, tenemos

que:

rdfdfdzdydxfffdzz

fdy

y

fdx

x

fdf zyx

ˆ;,,,, ⋅∇=⋅=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Sobre la familia de curvas de nivel 0=df , y como el vector rdr

es tangente a la

curva, tenemos que 0=⋅∇ rdfr

, por lo tanto el vector gradiente es perpendicular

a las superficies de nivel ( ) kzyxf =,,

Por esta razón el vector gradiente nos sirve para construir la ecuación del plano tangente y de la recta normal. Si aplicamos este mismo argumento a una familia de curvas de nivel

( ) kyxf =, , obtenemos que vector gradiente es perpendicular a las curvas de

nivel ( ) kyxf =,

Ejemplo: Halle las ecuaciones de (a) el plano tangente y (b) la recta normal a la superficie dada en el punto especificado.

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1;52;83

1458tan

0102538;0,5,81,2,3

66,38,261,2,3;6,4,2,,

1,2,3;432 222

−=+−=+=

=+

=++++−=−−∇

−−+=−−∇+−+−+=∇

−−=+−−

ztytxsonnormalrectaladeecuacioneslas

yxesgenteplanodelecuaciónla

zyxf

fxyzxzyyzxzyxf

Pxyzzyx

65

Propiedades Importantes del Vector Gradiente

)

)

)

)

)

) ( ) ( )

) ( ) ( )

)

FFrotFvectorialcampodelRotacional

FFdivFvectorialcampodelaDivergenci

fdedirecciónlaenocurrennaturalesprocesoslos

normalrectalaygenteplanoelencontraraayudanosf

kxyxfniveldeerficieslasalarperpendicueszyxf

kyxfniveldecurvaslasalarperpendicuesyxf

rdfdf

fDdemáximovalordeldirecciónlaesf

fDdemáximovalorf

uffD

ffff

u

u

u

zyx

rrr

rrr

r

×∇==

⋅∇==

∇

∇

=∇

=∇

⋅∇=

∇

=∇

⋅∇=

=∇

)11

)10

9

tan)8

,,sup,,7

,,6

5

4

3

ˆ2

,,1

ˆ

ˆ

ˆ

Para la próxima clase estudiar las secciones 14.6 Vector Gradiente y Derivada Direccional 14.7 Valores Máximos y Mínimos

Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 16 Derivada Direccional

66

Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA

Tarea No 16 : Derivada Direccional

(Sección 14.6 del Stewart 5ª Edición)

Encuentre la derivada direccional de f en el punto dado, en la dirección indicada por el

ángulo θ .

1 ( ) ( )6

,1,4,45,π

θ−

=−= yxyxf

a) Encuentre el gradiente de f, b) evalúe el gradiente en el punto P, c) encuentre la razón

de cambio de f en P, en la dirección del vector u

2 ( ) ( )13

12,

13

5ˆ,2,1,45,

32 =−= uPyxxyyxf

3 ( ) ( )3

1,

3

1,

3

1ˆ,1,2,1,,, 32 −

=−= uPzxyzyxf

Halle la derivada de la función en el punto dado en la dirección del vector vr

4 ( ) ( ) 3,6,6,2,2,1,,,222 −−=−++= vzyxzyxf

r

5 ( ) ( ) kjivz

yxzyxg ˆˆˆ,2,2,1,tan,,

1 −+=−

= − r

Encuentre la máxima razón de cambio de f en el punto dado y la dirección en la que ésta acontece.

6 ( ) ( ) ( )0,1,, xysenyxf =

7 ( ) ( )1,3,4,,, −+=z

yxzyxf

8

Suponga que, en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dado por:

( ) xyzxyxzyxV +−= 35,, 2. (a) Encuentre la razón de cambio del potencial en el

punto ( )5,4,3P , en la dirección del vector kjiv ˆˆˆ −+=r

. (b) ¿En que dirección

cambia V más rápidamente en P? (c)¿Cuál es la mayor razón de cambio en P?

67

Halle las ecuaciones de (a) el plano tangente y (b) la recta normal a la superficie dada en el punto especificado.

9 ( )1,1,4;2132 222 −=++ Pzyx

10 ( )1,0,1;442222Pxzxyzyx =+−−+

Respuestas

4

13

16

5:1 +R

( ) ( ) ( ) ( )13

172,16,4,410,125,:2 322

cbxxyyxyyxfaR −−−=∇

( ) ( ) ( ) ( )3

20,12,4,4,3,2,,,:3

22332cbzxyxyzzyzyxfaR −=∇

9

4:4R

34:5

π−R

1,0;1:6R

3,1,1;11:7 −−R

( ) ( ) ( ) 4062;12,6,38;3

32:8 cbaR

( ) ( )6

1

4

1

8

4;21324:9

−=

−

+=

−=+−

zyxbzyxaR

( ) ( ) 13

1;43:10 −=−=

−=+− zy

xbzyxaR