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Lavirgen y Scarabino Anlisis de pogo en un sistema de combustible con turbobomba

ANALISIS DE POGO EN UN SISTEMA DE COMBUSTIBLE CONTURBOBOMBA

Grupo Fluidodinmica Computacional GFC Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata

116 s/n entre 47 y 48 - (1900) La Plata - Argentina.Email: [email protected]

RESUMEN

El fenmeno de pogo es una inestabilidad dinmica en sistemas de caeras que transportan lquidos,que depende del acoplamiento de frecuencias naturales del fluido y de la estructura. Adems se veafectado directamente por factores externos que generan oscilaciones en la presin del fluido. Lasturbobombas producen perturbaciones de distintas frecuencias que podran ser amplificadas de formainestable y conducir al fenmeno de resonancia indeseado. Estas pueden modelarse numricamentesegn parmetros de cavitacin y flujo estacionario dentro y a travs las mismas. El siguiente trabajose orienta a lanzadores satelitales y presenta un anlisis de las frecuencias naturales del flujo ensistema de propulsin alimentado con turbobomba con un modelo de discretizacin numrica.

Palabras clave: pogo, interaccin fluido-estructura, lanzador, turbobomba

INTRODUCCIN

En un vehculo con combustible lquido, las bombas (u otro sistema) impulsan a los propelentes(combustible y oxidante) a travs de lneas de alimentacin de sus tanques de almacenamiento a lacmara de combustin del motor. Inevitablemente, los tanques, lneas de alimentacin, y el motorvibran durante el despegue y el ascenso. Esta vibracin hace que se genere una oscilacin en elempuje. El empuje resultante genera perturbaciones que causan vibraciones de la estructura, lo queaumenta las oscilaciones del fluido, provocando una mayor vibracin. Debido a la realimentacin queexiste entre la estructura y el sistema de propulsin, las oscilaciones aumentan de manera progresivahasta alcanzar aceleraciones en los componentes que sobrepasan los valores admisibles y puedenllevarlos a su fallo. Esta inestabilidad dinmica que involucra el sistema de propulsin y su interaccincon la estructura del vehculo, se denomina POGO. El fenmeno de pogo se manifiesta cuando lafrecuencia natural del flujo de combustibles se acerca a la frecuencia natural del sistema estructural delpiping y de la estructura general. Cuando esto sucede el lanzador sufre aceleraciones longitudinalesmayores a las previstas y puede presentar fallas de tipo estructural o de propulsin [1,2].El anlisis de las frecuencias naturales del flujo se realiza mediante un modelo numrico que incluyela modelizacin de cada elemento del sistema segn una ecuacin de segundo orden. El modelomatemtico se sistematiza en un programa de cmputo optimizado, que halla las frecuencias y modosde vibrar estructurales, fluidodinmicas y acopladas en el fenmeno de pogo. Para el anlisis deacoplamiento se obtiene una matriz representativa de todos los grados de libertad del sistema,incluyendo presiones y desplazamientos del fluido en ambas lneas. Sus autovalores y autovectoresgeneralizados, resueltos con un algoritmo QZ [3], brindan los modos del problema. Los resultados del sistema varan cuando se incluye el modelo de turbobomba, para el cual esnecesario determinar diferentes parmetros que estiman la cavitacin y fluctuaciones de presin en lamisma. La cavitacin se refiere a la formacin de burbujas de vapor en las regiones de baja presin enel campo de flujo de un lquido. La cavitacin genera desgaste por erosin en la superficie de loslabes y puede causar vibraciones y una disminucin de la performance de la turbomquina. Si bien es cierto que la cavitacin introduce un conjunto especial de problemas de interaccin fluido-estructura, tambin es cierto que hay muchos problemas de flujo inestable que puede surgir incluso enausencia de cavitacin. Una razn de que estos problemas pueden ser ms crticos en unaturbomquina, en que la gran densidad del lquido implica fuerzas dinmicas mucho mayores.

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En el Grupo Fluidodinmica Computacional GFC de la Facultad de Ingeniera de la UNLP, se vienendesarrollando en los ltimos aos modelos de pogo para vehculos espaciales y el diseo de sistemasde mitigacin para este problema [4,5]. Este trabajo es continuacin de esos desarrollos anteriores. Seconsidera la influencia de la turbobomba en las frecuencias y modos de oscilacin como elementopasivo caracterizado por sus caractersticas dinmicas, pero no como una perturbacin activa.

METODOLOGA

La inestabilidad de pogo se analiza evaluando las frecuencias naturales del sistema fluido estructuralacoplado. Para llevar a cabo dicha tarea se recurri al mtodo propuesto por Oppenheim y Rubin 1993[6] implementado por Logarzo et al en [5]. El mismo consta de cinco pasos:

1) Obtencin de los modos estructurales completos del lanzador;2) Discretizacin del sistema de propulsin y su campo fluidodinmico;3) Planteo del sistema de ecuaciones diferenciales dinmicas acopladas que contienen informacin delos dos primeros puntos;4) Clculo de los modos naturales del sistema fluido;5) Anlisis de acoplamientos de frecuencias naturales;

El anlisis de los modos estructurales provee los desplazamientos de cada elemento del sistemaadems de la presin en la salida del tanque para cada modo natural de oscilacin. Esta informacinluego es utilizada como una entrada en el armado de las ecuaciones diferenciales del sistema depropulsin. Los detalles de este clculo pueden obtenerse en el trabajo de Logarzo [7].

El armado de las ecuaciones diferenciales se realiza representando el sistema de propulsindiscretizado en elementos. Cada elemento (tanque, cao, bomba, cmara de combustin) esrepresentado por un bloque con una entrada y una salida. De esta manera se puede discretizar todo elsistema y obtener sus modos naturales aislados. Las variables de estado de cada nodo son lasperturbaciones de caudal y presin. De esta forma se puede obtener un sistema de ecuacionesdiscretizadas que representa el comportamiento dinmico del campo fluidodinmico. El mismo sesintetiza en tres trminos matriciales M, B y K, que multiplican al vector de estado v, compuesto porlas perturbaciones nodales de caudal y presin, y sus derivadas.

'' '( ) ( ) ( ) 0M v B v K v La interpretacin de las matrices es

[M]: Inertancia: cumple la funcin de la masa en un sistema mecnico, y proporciona los trminosinerciales en la dinmica del sistema.

[B]: Resistencia linealizada: se obtiene considerando las prdidas de energa en el conducto debido a lafriccin con las paredes.

[K]: Elasticidad: es un parmetro que depende de la velocidad de propagacin de una onda de presinen el conducto. A medida que el conducto se considera menos rgido; este parmetro disminuye

Las tres matrices son cuadradas y singulares por tener algunas columnas y filas nulas. Para encontrarla solucin al sistema se debe realizar el cambio de variables apropiado que lleve el sistema desegundo orden al orden lineal. 'v z

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Las soluciones al sistema pertenecen al campo complejo y pueden tener parte imaginaria nula, en cuyocaso son no oscilatorias o parte imaginaria distinta de cero, lo cual corresponde a una solucinoscilatoria. Si la parte real es mayor a cero la solucin es inestable [8,9]. A fin de conocer las variaciones dinmicas que introduce un elemento turbobomba se desarroll elmodelo para dos sistemas de propulsin: uno provisto de la mquina rotante en cada lnea y otro sin elaparato.

Sistema de propulsin con turbo bomba

Para analizar el sistema con turbobomba es necesario conocer los parmetros fsicos que lacaracterizan. El flujo oscilatorio que ocurre en el elemento est afectado por dos fenmenos, laproduccin de cavitacin en el borde de ataque de los alabes y el flujo continuo en la descarga de lamquina. Las ecuaciones que la modelan son las siguientes:

' (1)

'' '' '' ( ') (2)j i b i i

i j j i p j

C pp p I H r mp R

El primer fenmeno es responsable de las pequeas fluctuaciones de presin y flujo, y es funcin de lavelocidad de rotacin de la mquina, de su geometra y de la capacidad del flujo de generar distintosgrados de cavitacin. Los efectos del flujo en la descarga son funcin de las propiedades inerciales yhomogneas del mismo, dichos parmetros ingresan al sistema a travs de la segunda ecuacin.La diferencia fsica entre el flujo que atraviesa a la turbomquina y el flujo que atraviesa cualquierotro conducto radica especialmente en el comportamiento compresible que sucede dentro de lamaquina por los elevados gradientes de presin existentes. Dicha compresibilidad est ntimamenterelacionada con la elasticidad caracterstica del elemento. Es por esto que se har hincapi en mayormedida sobre los fenmenos de cavitacin que ocurren en el impulsor del rotor.Este fenmeno se produce debido al descenso de presin en la zona de succin de los alabes, en dondeel flujo logra cambiar su estado (de lquido a gaseoso) formando burbujas que cambian el volumen delfluido homogneo presente en el canal. Dicha formacin se da en forma de paquetes de vaporseparados por lquido ocasionando las oscilaciones en la presin y el flujo general.Como puede observarse en la ecuacin (1) es necesario definir dos parmetros: los coeficientes Cb,conocidos como elasticidad de cavitacin y , que representa la ganancia del flujo msico segn elngulo de ataque. La elasticidad de cavitacin infiere el cambio de volumen que se produce ante uncambio de presin en la entrada y est directamente relacionado con la formacin de burbujas en elborde de ataque de los labes en el impulsor.Para conocer los valores correspondientes al coeficiente Cb es necesario realizar el estudio decavitacin dentro de la bomba. Segn Brennen y Acosta [10] este parmetro esta dado analticamentepor la relacin entre la variacin de volumen y la variacin de presin:

Cb= V ps

Los autores realizaron un estudio analtico sobre este tema considerando la teora de la cascada y flujoaxial-simtrico que embiste al inductor de forma plana.En el anlisis, la formacin de burbujas se realiza teniendo en cuenta los siguientes parmetros:

El espesor del labe, d El ngulo del borde de ataque del labe con la tangente del permetro del inductor, El ngulo de ataque del flujo, La velocidad del flujo aguas arriba, V1 La velocidad del flujo aguas abajo, V2 El nmero de cavitacin,

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El nmero de revoluciones por minuto del rotor, RPM.

El nmero de cavitacin es un coeficiente adimensional para el cual se produce el cambio de fase delfluido. Generalmente est definido como:

212

s cp p

V

Siendo pc la presin de cavitacin o presin de vapor del elemento y V una velocidad que en el casodel rotor est ligada al nmero de RPM de la mquina.La teora desarrollada busca definir la forma del perfil de cavitacin y luego analizar el cambio de lamisma segn la variacin de .El modelo descripto en [10] consiste entonces en pasar al campo complejo siguiendo las coordenadasz x iy . Para linealizar las ecuaciones en el campo complejo se pasa del plano z al plano i , a travs de la transformacin

1 1

2 ln 1 ln 1i iz e eh

,

De este desarrollo se obtiene la siguiente expresin para el perfil de cavitacin yc:

1/21 2 2

1/21

1/2 1/21 11 2

1 1/2 1/21 1

1 / ( 1)( ) 1 Im (1 ) ln1 / ( 1)

/ ( 1) / ( 1)(1 ) ( cos ) / .ln

/ ( 1) / ( 1)

ic

i

y Veh V

e i d

Como datos de entrada para el modelo, adems de las variables de la bomba, se toman las propiedades de cada fluido, incluyendo mdulo de compresibilidad, viscosidad, densidad, caudales msicos, presin de tanque, y la geometra de los conductos y la turbobomba.

RESULTADOS Y DISCUSIN

Resultados sin turbobomba

El clculo numrico realizado devuelve, de acuerdo al tipo de autovalores, las siguientes soluciones:

Tipo de solucin Cantidad de solucionesComplejas amortiguadas 52Reales amortiguadas 4Complejas no amortiguadas NingunaReales no amortiguadas Ninguna

Las soluciones complejas amortiguadas estn dadas de a pares conformados por un numero complejoy su correspondiente conjugado, de modo que las soluciones a tener en cuenta conforman 26 modosamortiguados, con frecuencias comprendidas entre los 28 y 334 Hz.

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Tabla 1. Modos de vibracin del sistema sin turbobombas.

MODOSFrecuencia

(Hz) amortiguamientomodo 1 28,101 0,175modo 2 40,281 0,083modo 3 55,746 0,088modo 4 79,981 0,042modo 5 82,593 0,059modo 6 108,244 0,045modo 7 118,513 0,028modo 8 132,328 0,037modo 9 154,499 0,031

modo 10 155,317 0,022modo 11 174,443 0,027modo 12 189,855 0,018modo 13 191,885 0,024modo 14 206,600 0,022modo 15 218,426 0,020modo 16 221,625 0,015modo 17 227,275 0,018modo 18 233,136 0,017modo 19 236,026 0,016modo 20 250,163 0,013modo 21 275,053 0,012modo 22 295,932 0,011modo 23 312,495 0,011modo 24 324,501 0,010modo 25 331,772 0,010modo 26 334,196 0,010

Las formas modales de los primeros modos pueden verse en la Figura 1:

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Figura 1. Formas modales de presiones en primeros 4 modos naturales sin turbobomba.

Los colores azul, rojo, magenta y verde pertenecen al primer, segundo, tercer y cuarto modorespectivamente.Como puede observarse, cada modo natural genera oscilaciones marcadas en una lnea en particular.La lnea de combustible se ve mayormente perturbada por el modo 1 y el modo 3, y la lnea deoxidante est afectada principalmente por los modos pares. La propagacin de las ondas se desarrolla alo largo de toda la lnea de manera continua.

RESULTADOS CON TURBOBOMBA

Para verificar el mtodo de clculo de cavitacin se graficaron varios perfiles variando el ngulo . Puede observarse en la Figura 2 que al aumentar el ngulo de ataque el volumen de burbuja es mayor.Para ngulos de ataque negativos, la burbuja comienza a formarse en la cara inferior. Fsicamente lazona gaseosa finaliza cuando el perfil intersecta al alabe (grficos verde y violeta).Se realiz el mismo estudio fijando el ngulo de ataque en 3o y el ngulo del labe en 5orespectivamente, y variando los nmeros de cavitacin . Los resultados (Figura 3) demuestran que,razonablemente, para mayores nmeros , el volumen de gas formado es mayor.La integracin numrica de estos perfiles en la superficie de alabe arroja el volumen de burbuja decavitacin. Al adimensionalizar este parmetro con h2 se obtiene el volumen adimensional decavitacion v* y la variacin de ste segn el nmero de cavitacin, indica el valor de la elasticidad decavitacin adimensional K*.

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Figura 2. Perfiles de cavitacin para = 5o y distintos ngulos de ataque: Arriba, sobre extrados, con positivo,abajo, sobre intrads, con negativo.

Figura 3. Perfiles de cavitacin para distintos nmeros de cavitacin.

El clculo formulado genera los valores de K* para cada valor adimensionalizado del radio y presentauna distribucin de reas a lo largo del alabe.La Error: No se encuentra la fuente de referencia4 presenta una distribucin de reas de burbujas decavitacin logradas. En la misma los valores de rea estn adimensionalizados con la altura de loslabes. Puede observarse que la mayor rea que podra producirse se encuentra sobre el borde deataque, lo cual valida el clculo

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Figura 4. Variacin de area de burbujas a lo largo del alabe

Figura 5. Variacin de K* a lo largo del alabe

En la Figura 5 se muestra la variacin de K* para el largo del alabe. La misma corresponde a unnmero de cavitacin en el extremo de 0.33. All puede observarse que el mayor cambio de volumende burbuja se produce pasado el borde de ataque, puesto que all se da el mayor cambio de presintotal. La relacin entre r y nmero de cavitacin se tom como:

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donde

Para inductores en los cuales las velocidades pueden considerarse proporcionales al radio, se puedecalcular el nmero de cavitacin suponindolo tambin variable con el radio.Ambas hiptesis conllevan a que el numero K* vare con el radio y con local. El estudio de Brenneny Acosta [10] define al parmetro Cb para estos casos de la siguiente manera:

Donde H es la distancia entre alabes, R es el radio mximo del rotor, Rh es el radio mnimo (borde de ataque) del rotor y Vt es la velocidad tangencial del radio mximo del rotor.

Para el caso analizado, se integro numricamente la funcin K* a lo largo del labe obtenindose unCb de 0.27 m2 o un Kb de 3.61 1/m2.La variacin de produccin de burbuja o reas de cavitacin segn el ngulo de ataque del impulsor seobtuvo a partir del mismo clculo haciendo variar el ngulo de ataque de 0 a 90 grados. Debido a lagran presin esttica, el rea de cavitacin cambia menos de un 10% para todo el rango. Finalmente los parmetros dinmicos de la bomba son los siguientes:

Parmetro Rb[s/m^2] M+1 I[s^2/m^2] [s] Kb[1/m^2]0.15 2.17 21.18 4e-6 3.61

Se puede hacer una comparacin con los valores de un elemento cao para conocer las diferencias entre los rdenes de magnitud. Si se comparan las caractersticas dinmicas pasivas de la influencia dela bomba en el fenmeno de pogo con las de un elemento de caera, se concluye en la turbobomba la inertancia es similar, pero la elasticidad y la resistencia son mucho menores. Parametro Rb[s/m^2] M+1 I[s^2/m^2] [s] Kb[1/m^2]Turbobomba 0.15 2.17 21.18 4e-6 3.61Cao 284 0 17 0 1.94e7

El resultado del clculo numrico arroja las siguientes soluciones complejas

Tipo de solucin Cantidad de solucionesComplejas amortiguadas 48Reales Amortiguadas 8Complejas no amortiguadas NingunaReales no amortiguadas Ninguna

Tabla 2. Modos de vibracin del sistema con turbobombas

MODOSfrecuencia

samortiguamie

ntosmodo 1 50,712 0,089modo 2 61,190 0,040modo 3 73,678 0,016modo 4 86,503 0,025modo 5 100,673 0,047modo 6 118,206 0,021modo 7 146,544 0,009

9


modo 8 146,950 0,032modo 9 167,108 0,013

modo 10 167,167 0,015modo 11 185,739 0,024modo 12 204,735 0,012modo 13 214,027 0,007modo 14 214,140 0,017modo 15 228,344 0,011modo 16 230,934 0,011modo 17 236,325 0,009modo 18 236,373 0,009modo 19 270,316 0,006modo 20 289,437 0,007modo 21 310,589 0,005modo 22 322,820 0,007modo 23 331,555 0,005modo 24 334,194 0,006

La forma modal de las presiones del sistema de los primeros 4 modos se muestran en la Figura 6:

Figura 6. Formas modales de presiones en primeros 4 modos naturales con turbobomba.

El color azul, rojo, magenta y verde pertenecen al primer, segundo, tercer y cuarto modorespectivamente.

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Se destaca en este caso que las ondas no se propagan libremente en toda la tubera de un fluido enparticular. Esto es porque las propiedades dinmicas de la bomba dividen cada lnea en dos sublneascon sus frecuencias naturales. Es decir, que cortan o restringen parcialmente la libre propagacin delas oscilaciones. La bomba del sistema de oxidante se encuentra en la estacin 6 y la de combustible seubica en la estacin 20 lo cual separa el sistema de dos lneas de combustible en un sistema de 4 lneasparticulares, dos aguas arriba de las bombas y dos aguas abajo. Esta tambin es la causa por la cual losprimeros modos de vibrar son de mayor valor numrico en este sistema que en el sistema sinturbobomba. Dicho efecto se observa en la Figura 7, donde se comparan las frecuencias naturales delos dos sistemas.

Figura 7. Frecuencias naturales del sistema de propulsin

La amortiguacin tambin se ve modificada, en este caso la misma se reduce debido a los valores de resistencia de la bomba, como muestra la Figura 8.

Figura 8. Amortiguacin de cada modo natural del sistema de propulsin

CONCLUSIONES

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Se extendi en este trabajo el modelo de clculo de frecuencias y modos de pogo en sistemas dealimentacin de propelentes en vehculos lanzadores, incorporando una turbobomba y calculando losparmetros dinmicos de inertancia y elasticidad asociadas al flujo medio y la posible presencia decavitacin en la misma. Se considera la influencia de la turbobomba en las frecuencias y modos deoscilacin como elemento pasivo caracterizado por sus caractersticas dinmicas, pero no como unaperturbacin activa, lo que ser objeto de prximos desarrollos. Para su modelizacin se ha tomado en cuenta especialmente la posible aparicin de cavitacin en loslabes y se han considerado las variaciones de los parmetros caractersticos en funcin de lasvariables geomtricas y fluidodinmicas involucradas. Los resultados con y sin el elemento turbobomba muestran que esta acta como un elemento de graninertancia y baja elasticidad, de forma que los modos de vibracin principales se manifiestan conamplitud importante en los segmentos antes y despus de la bomba con relativa independencia, yfrecuencia mayor. Los primeros modos presentes sin la turbobomba, de frecuencias ms bajas,desaparecen al incluir este elemento (los autovalores correspondientes no son complejos, de modo queno hay una oscilacin). Por otra parte, el amortiguamiento del sistema con turbobomba es menor quecuando este elemento no est presente. Una posible razn es que disminuyen la resistencia yelasticidad del sistema mecnico disminuir la inercia en forma proporcional.El trabajo futuro abarca el anlisis del sistema considerando las perturbaciones activas que produce laturbobomba en las frecuencias asociadas a su rotacin, y la puesta a punto del modelo con lacomparacin con valores experimentales o clculos realizados por mecnica de los fluidoscomputacional.

REFERENCIAS

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