8/16/2019 4.1.2. impacto

1/6

4.1.2 Impacto

Un choque entre dos cuerpos que ocurre en un intervalo muy pequeño ydurante el cual los dos cuerpos ejercen fuerzas relativamente grandes entre sírecie el nomre de impacto. !a normal com"n a las super#cies en contactodurante el impacto se conoce como línea de impacto. $i los centros de masa enlos dos cuerpos que chocan se uican sore esta línea% el impacto es unimpacto central. &n otro caso% se dice que el impacto es excéntrico.

$i las velocidades de dos partículas se dirigen a lo largo de la línea de impacto%se dice que el impacto ser' directo. $i alguna o amas partículas se mueven alo largo de una línea que no sea la línea de impacto% se dice que el impactoser' oblicuo.

(I)*+,- ,&/-0+! I0&,-(

$ean las partículas + y % de masas m+ y m% movi3ndose a lo largo de la

misma recta y hacia la derecha% con velocidades

→→

〉  B A

  vv

.

,omo

→→

〉   B A   vv la partícula + alcanzar' a la % chocar'n y en el choque amas se

deforman y al #nal de ese período de deformacin amas tendr'n la misma

velocidad

→u

.

+ continuacin tiene lugar el período de recuperación% #nalizado el cual% seg"nel módulo de las fuerzas de choque  y los materiales de que se trate% las

8/16/2019 4.1.2. impacto

2/6

partículas recuperaran su forma inicial o quedar'n en estado de deformacinpermanente.

,alculemos las velocidades B A   v yv ''

despu3s del choque y del período derecuperacin.

A

A

A

VAVB

u

V'A V'B

B

B

B

antes del choqueVA > VB

deformaciónmáxima

,onsideremos en primer lugar al sistema de dos partículas como un todo5 las"nicas fuerzas en juego son fuerzas internas al sistema y% por lo tanto% seconserva la cantidad de movimiento 6es un sistema aislado78% con lo que8

→→→→

+=+   '' B B A A B B A A

  vmvmvmvm

9sta es una ecuacin vectorial.,omo las velocidades que intervienen tienen la misma direccin y sentido% sepuede escriir como una ecuacin escalar8

 B B A A B B A A   vmvmvmvm ''   +=+

+l calcular% si otenemos un valor positivo  de Av'

  o de Bv'

  indicar' que elsentido correspondiente al vector  es hacia la derecha% si el resultado otenidoes negativo% el sentido correspondiente al vector es hacia la izquierda .

8/16/2019 4.1.2. impacto

3/6

*ero tenemos una ecuación escalar con dos incógnitas% necesitamos otra

ecuacin para resolver B A   v yv ''

  para ello consideremos el movimiento de lapartícula + durante el período de deformación y escriamos la relacin entre elimpulso y la cantidad de movimiento.

+

mA.vAA A

?P dt

=mA.

A er!odo de

deformación

de A

"mulso so#re A e$ercido or B

∫ →→→

=+   µ  A A A   mdt  P vm

  ecuacin vectorial donde

dt  P ∫ →

 es el impulso sore +

ejercido por .

,omo la percusin sore + en este período es deida e:clusivamente a lafuerza *% ejercida por % se puede estalecer la siguiente relacin escalar 

 

∫    =−   µ  A A A   mdt  P vm

617 donde la integral se e:tiende a todo el período de deformacin.

$i se tiene en cuenta el movimiento de la partícula A durante el período derecuperación% llamando 0 a la fuerza ejercida por sore +% se tendr'8

A

mA

+

A

  ?% dt

=

A

mA v'A  eriodo de

recueración

de A

 

∫    =−   A A A   vmdt  Rm ' µ 

627onde la integral se e:tiende a todo el período de recuperacin

&n general% la fuerza 

→

 R 6de recuperacin de forma de 7 que se ejerce sore +%es distinta de la fuerza P  que se ejerce sore + durante el período de

deformacin 6sería una ;casualidad< que *= 0 y por ende el impulso∫    dt  P 

sea

igual al impulso∫    dt  R

7 .

8/16/2019 4.1.2. impacto

4/6

&n general% el mdulo de∫    dt  R

es ME!"  que el mdulo de∫    dt  P 

 %∫ ∫ ≤   dt  P dt  R

y la relacin entre amos mdulos se conoce con el nomre de coe#ciente derestitucin8

coeciente de restitución

∫ ∫ =

dt  P dt  Re

  donde&   ≤≤   e

&l valor de e  depende fundamentalmente de los materiales de que se trate%aunque e tami3n varía con la velocidad del choque y con la forma y tama#ode los cuerpos que chocan.

$i de las ecuaciones 617 y 627 despejamos las e:presiones integrales tenemos8

∫    −=−= ()   µ  µ   A A A A A   vmmvmdt  P 

(')'  A A A A A   vmvmmdt  R   −=−=∫    µ  µ 

 µ 

 µ 

−

−==

∫ ∫ 

 A

 A

v

v

dt  P 

dt  Re

'

$aciendo el mismo an%lisis para la partícula & tenemos'

*eríodo de eformacin8

∫ ∫    −=⇒=+ ()  B B B B B   vmdt  P mdt  P vm   µ  µ 

*eríodo de 0ecuperacin(')'   µ  µ    −=⇒=+   ∫ ∫    B B B B B   vmdt  Rvmdt  Rm

 B

 B

v

v

dt  P 

dt  Re

−

−==

∫ ∫ 

 µ 

 µ '

&ncontramos otra e:presin para el mismo e que hallamos usando +.+plicando la propiedad de los cocientes tenemos8

  B A

 A B

 B A

 B A

vv

vv

vv

vve

−

−=

−+−

−+−=

'''(')

 µ  µ 

 µ  µ 

 ∴

 ()''  B A A B   vvevv   −=−

nde8*''  A B   vv   −

velocidad relativa después del choque.

8/16/2019 4.1.2. impacto

5/6

  B A   vv   −

  velocidad relativa antes del choque

+hora tenemos las dos ecuaciones para calcular

 B A   v yv ''

  B B A A B B A A   vmvmvmvm ''   +=+

 ()''  B A A B   vvevv   −=−

 ⇒

 ()''  B A A B   vvevv   −+=

 !a deduccin de estas frmulas se ha hecho suponiendo que amas partículasse mueven en el mismo sentido inicial hacia la derecha% si no ocurriera así% es

decir si se moviera hacia la izquierda al escalar Bv

  se lo dee considerar

negativo  y despu3s del choque se aplica el mismo convenio8 es decir Av'

positivo% se mueve hacia la derecha y negativo hacia la izquierda. 0esolviendo las ecuaciones8

[ ] B A A B A A B B A A   vvevmvmvmvm   −++=+ )''

  ==−++   B B A B A B A A   vemvemvmvm ''

()'()  B A B A B A   vvemvmm   −++

 

 B A

 B A B B B A A A

mm

vvemvmvmv

+

−−+=

  ()'

 

+grupando con respecto a Av

  y a B B  vm

 tenemos8

 B A

 B B A B A A

mm

evmvemmv

+

++−=

  (&)(.)'

*ara hallar Bv'

reemplazamos en()''  B A A B   vvevv   −+=

 el valor hallado de Av'

8 

[ ] B A

 B A

 B B A B A B   vve

mm

evmvemmv   −+

+

++−=   )

(&)(.)'

 multiplico y divido por B A

 B A

mm

mm

+

+

esarrollando y simpli#cando queda8

8/16/2019 4.1.2. impacto

6/6

 B A

 A A B A B B

mm

evmvmemv

+

++−=

  (&)()'

(I)*+,- !I,U(

&ste tipo de choque se produce cuando las velocidades de las dos partículasque entran en colisin no est%n dirigidas seg(n la línea de choque.

V'B

VA

V'A

VB

x

,

l!nea de choque

choque central o#licuo

/o conocemos en este caso los módulos y direcciones de las velocidades

 B A   v yv ''

 despu3s del choque% para su determinacin se hace necesario elempleo de cuatro ecuaciones linealmente independientes)&legimos los ejes x e y como muestra la #gura.$i las partículas est%n perfectamente pulidas y no e:isten rozamientos% las"nicas fuerzas impulsivas que act"an durante el choque son interiores alsistema y dirigidas seg(n el e*e  x % se puede decir entonces que8

17 $e conserva la componente en “y” de la cantidad de movimiento dela partícula +

27 $e conserva la componente en “y” de la cantidad de movimiento dela partícula

>7 $e conserva la componente en “x” de la cantidad de movimiento delsistema

47 !a componente “x” de la velocidad relativa de las dos partículasdespués del choque es igual al producto de la componente en x de lavelocidad relativa antes del choque por el coe+ciente de restitución)

iliografía8 )ec'nica vectorial para ingenieros? in'mica? eer @ Aohnston.