Método de las FuerzasMétodo de las FuerzasAplicación del PFV a estructuras hiperestáticas

Análisis de estructuras hiperestáticas con PFVAnálisis de estructuras hiperestáticas con PFVMétodo de las Fuerzas◦ Principio de las Fuerzas Virtuales:◦ Resuelve hiperestaticidad=obtiene la/s incógnita/s hiperestática/s

◦ Trabajos virtuales: Fuerzas y esfuerzos virtuales realizan trabajo sobre desplazamientos reales.

◦ Se plantea la COMPATIBILIDAD DE DESPLAZAMIENTOS para resolver la hiperestaticidad (calcular la/s incógnita/s hiperestáticas).

Ejemplo: GHext=R-3=4-3=1GHint=0Podemos considerar cualquiera de las reacciones verticales como INCÓGNITA HIPERESTÁTICA X.Una vez conocida esa incógnita se pueden calcular reacciones y esfuerzos.

VB=XX

F

Procedimiento. Paso 1: cálculo del G.H.Procedimiento. Paso 1: cálculo del G.H. Ejemplo: Ejemplo: viga continua con un empotramiento y n apoyos móviles.

Varios tipos de cargas:◦ Distribuida p◦ Puntual P◦ Momento M◦ Asiento de un apoyo ∆

Grado de hiperestaticidad según Capítulo 1:◦ GHext=R-3=(3+n)-3=n (empotramiento = 3reacciones)

◦ GHint=3CC-Σ(BA-1)=0 (ni contornos cerrados ni articulaciones entre barras)

◦ GH=n Significa que “nos sobran” n reacciones.◦ Una barra en voladizo (3 Reacc.) es isostática◦ Cada apoyo adicional supone una reacción que no se puede calcular planteando sólo

el equilibrio estático (∑FV=0; ∑FH=0; ∑M=0)

Asiento= desplazamiento impuesto a un apoyo (porque cede la cimentación o por cualquier otro motivo)

Los asientos generan esfuerzos en las estructuras hiperestáticas

Procedimiento. Paso 2: elección del sistema baseProcedimiento. Paso 2: elección del sistema baseElegir un sistema base estáticamente determinado.◦ Eliminamos los elementos que dan lugar a la hiperestaticidad.

En el ejemplo eliminamos los n apoyos que hay en exceso

◦ Sustituimos esos elementos por las incógnitas hiperestáticas correspondientes (X). En el ejemplo son las correspondientes reacciones verticales de los apoyos.

SISTEMA BASE= sistema isostático equivalente al sistema inicial pero en el que desconocemos algunas fuerzas (incógnitas

hiperestáticas X)

Procedimiento. Paso 3: compatibilidad de despl.Procedimiento. Paso 3: compatibilidad de despl. Aplicando el principio de superposición

◦ El efecto de varias cargas simultáneas es igual a la suma de los efectos de las mismas por separado.

Planteamos qué condiciones deben cumplir los desplazamientos de los puntos donde tenemos las X.

Desplazamiento del punto i = desplazamiento que se produce en i en el sistema base sin las incógnitas hiperestáticas + los desplazamientos que se produce en i debido a cada una de las incógnitas hiperestáticas X.

01

·m

i i ik kk

Xδ δ δ=

= + = −∆∑δi0 = desplazamiento que se produce en i en el sistema base isostático sin las Xδik =desplazamiento que se produce en i en el sistema base isostático cuando sólo aplicamos una carga 1 en el punto de la incógnita hiperestática k.Xk= incógnita hiperestática k-∆ = desplazamiento impuesto al nudo i (asentamiento ∆ en este caso)

Ej: Ecuación de compatibilidad de desplazamientos del punto i

ECUACIONES:

Procedimiento. Paso 4: Sistema 0, Sistema 1…Procedimiento. Paso 4: Sistema 0, Sistema 1…Para el cálculo de los

desplazamientos δi0, δi1,… δin se utiliza el PFV (método de la carga unitaria). Para ello es necesario crear diferentes sistemas:◦ SISTEMA 0: Sistema base sin la

incógnita hiperestática.◦ SISTEMA 1: Sistema sólo con carga

unidad en la incógnita hiperestática 1.◦ SISTEMA 2: Sistema sólo con carga

unidad en la incógnita hiperestática 2.…

◦ SISTEMA n: Sistema sólo con carga unidad en la incógnita hiperestática n.

Por superposición vemos que se cumple: STOTAL=S0+SI·X1+S2·X2+…+Sn·Xn

S0

Si

STOTAL

Procedimiento. Paso 5: cálculo de Procedimiento. Paso 5: cálculo de δδi0i0

Se calcula δi0 aplicando el método de la carga unitaria.◦ 1·δi0=Trabajo de los esfuerzos en el sistema virtual i sobre los

desplazamientos en el sistema “real” 0.

Trabajo de momentos del Si

sobre las deformaciones

debidas a momento del S0

Trabajo de normales del Si

sobre las deformaciones

debidas a normales del S0

Los trabajos de los cortantes

suelen ser despreciables

Trabajos de los esfuerzos en muelles del Si

sobre las deformaciones

de muelles del S0

Desplazamiento en el punto i en el S0.

1 2 i k n ... ... ...

1

S0

Si

1º: obtener diagramas de los sistemas 0 e i2º: obtener las integrales de Mohr correspondientes (tabla)

Procedimiento. Paso 6: cálculo de los Procedimiento. Paso 6: cálculo de los δδikik

Se calcula δik aplicando el método de la carga unitaria.◦ 1·δik=Trabajo de los esfuerzos en el sistema virtual i sobre los

desplazamientos en el sistema “real” k.

Trabajo de momentos del Si

sobre las deformaciones

debidas a momento del Sk

Trabajo de normales del Si

sobre las deformaciones

debidas a normales del Sk

Los trabajos de los cortantes

suelen ser despreciables

Trabajos de los esfuerzos en muelles del Si

sobre las deformaciones

de muelles del Sk

Desplazamiento en el punto i en el Sk.

Sk

Si

1º: obtener diagramas de los sistemas k e i2º: obtener las integrales de Mohr correspondientes (tabla)

Procedimiento. Paso 7: resolver hiperestaticidadProcedimiento. Paso 7: resolver hiperestaticidadUna vez conocidos los desplazamientos δi0, …, δik, … se

resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad.

1 1 1

1

1

1

0

. . .

. . .

0

n

o k kk

n

i io i k kk

n

n no nk kk

X

X

X

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

=

=

=

= + = = + = −∆ = + =

∑

∑

∑

n ecuaciones con n incógnitas (X1, X2, …, Xn)

X1, X2, …, Xn

Procedimiento. Paso 8: esfuerzos totalesProcedimiento. Paso 8: esfuerzos totalesPor superposición:◦ STOTAL=S0+SI·X1+S2·X2+…+Sn·Xn

Consideramos los sistemas 0, 1, 2, …, n Los diagramas totales se obtienen de la superposición de los n+1 diagramas

También pueden obtenerse simplemente a partir del sistema total, ya que ahora conocemos las incógnitas hiperestáticas.

Método de las Fuerzas: ejemploMétodo de las Fuerzas: ejemplo

En la estructura de la figura con una carga P, determinar los diagramas de esfuerzos internos en las barras por el método de las fuerzas. DATOS: Sm = 6EI/√5

AEAB = EI/6√5

EI = cteAE = GAα=∞ en las barras de nudos rígidos.

P

Sm

AE EI

EI

EI

A

D E

Figura 3.1

x

y

z

F

B

EI4m

2m

2m 1m

2m3m

Los datos se dan en función de la rigidez EI La barra AB sólo sufrirá tracciones y compresiones, por

eso sólo hace falta su rigidez a axil AEAB.

Cuando nos dice que consideremos AE=∞ es que los desplazamientos que se producirán debido a los axiles en esas barras son despreciables, por tanto no los consideraremos en el producto de diagramas.

Comunmente se considera GAα=∞, así no se consideran los cortantes al calcular desplazamientos.

Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación)Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación)Grado de Hiperestaticidad:◦ El apoyo articulado fijo F: 2 R (vert. y htal.)◦ Muelle torsional: 1R (momento)◦ Apoyo articulado fijo A: 2 R

GHext=R-3=5-3=2

◦ No hay contornos cerrados◦ Articulación entre 1 barra y un conjunto rígido

GHint=3CC-Σ(BA-1)= -(2-1) =-1

◦ GH=1

Otro modo de verlo:◦ Al no haber CC, pensamos sólo en clave de hiperestaticidad externa.◦ La barra AB sólo puede tener axiles, por tanto la única reacción posible

en A es la horizontal. ◦ GH=R-3=4-3=1

Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación II)Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación II)Elección de un sistema base:◦ Convertir la estructura en isostática

eliminando “aquello que tenemos en exceso” y sustituyéndolo por incógnitas X.◦ Las incógnitas hiperestáticas pueden ser:

Reacciones Esfuerzos

En este caso en A la reacción sólo puede tener una dirección htal., ya que la barra biarticulada sólo puede transmitir axiles.

Incógnita hiperestática X1:◦ Reacción en A=Axil en AB

P

X1

Sm

AE EI

EI

EI

A

DE

F

CB

EI

X1 X1

A B

Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación III)III) Plantear ecuaciones de compatibilidad de

desplazamientos: Para que el sistema base se comporte igual que el

sistema original (con apoyo fijo en A):◦ Desplazamiento horizontal en A=0

Desplazamiento horizontal en A = desplazamiento horizontal en A que se produce en el sistema base isostático sin X1+ el desplazamiento horizontal en A debido a la incógnita hiperestática X1.

δHA = δ1= δ 10 + δ 11·X1 = 0◦ δ1=desplazamiento que se produce en según la incógnita 1

(desplazamiento horizontal en A). Ese desplazamiento debe ser 0 al tener un apoyo fijo A.

◦ δ10 = desplazamiento que se produce en según la incógnita 1 en el sistema base isostático sin X1 (Sistema 0).

◦ δ11 =desplazamiento que se produce según la incógnita 1 en el sistema base isostático cuando sólo aplicamos una carga unidad en el punto de la incógnita hiperestática 1 (Sistema 1).

◦ X1= incógnita hiperestática 1

P

X1

Sm

AE EI

EI

EI

A

DE

F

CB

EI Sistema Base

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. IV)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. IV) Sistemas 0 y 1 para el cálculo de δ10 y δ11.

Sistema 0: sistema base sin X

Sistema 1: sistema base sólo con X1=1

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. V)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. V)Cálculo de δ10: producto de diagramas de S0*S1.

◦ No tendremos en cuenta los cortantes ya que GAα=∞ y sólo tendremos en cuenta los axiles en AB debido a que EA=∞ en el resto.

2P 2tm

6tm

*

√20m

=

0

0

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VI)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VI)Cálculo de δ11: producto de diagramas de S1*S1.

◦ No tendremos en cuenta los cortantes ya que GAα=∞ y sólo tendremos en cuenta los axiles en AB debido a que EA=∞ en el resto.

=

6 tm

*6tm

√45m

=

*+1t +1t

3m3m

=

=

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VII)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VII) Cálculo de la incógnita hiperestática:

δHA = δ10 + δ11·X1 = 0

Esto significa que la reacción horizontal en A es P/9 hacia la dcha. (sentido opuesto al que planteamos inicialmente).

Considerando la incógnita podeos calcular los diagramas totales:

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VIII)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VIII)Obtención de diagramas totales por superposición:Vemos que el Sistema base (equivalente al original) es igual al

sistema 0 mas el Sistema 1 multiplicado por X1.

Por tanto los diagramas pueden obtenerse:◦ Momento flector, M = M0 + M1 X1

◦ Esfuerzo cortante, V = V0 + V1 X1

◦ Esfuerzo normal, N = N0 + N1 X1

+= ·X1

Cargas térmicasCargas térmicas Incremento de temperatura=dilatación◦ Depende del coeficiente de dilatación térmica del material α [0C-1]

◦ Causa esfuerzos en estructuras hiperestáticas Incremento de temperatura uniforme en toda la sección

Carga térmica general (incremento uniforme + gradiente)

Diferencial de deformación longitudinal en la barra

du= ·dx= · T·dxε α Δ

Deformación longitudinal + Girodu= ·dx= · Tε α Δ m·dx + .

Cargas térmicas en sistemas hiperestáticosCargas térmicas en sistemas hiperestáticosSistemas isostáticos

Sistemas hiperestáticos: c. térmicas provocan esfuerzosHay que considerar las cargas térmicas en el Sistema 0.

Sistema hiperestático Sistema base sin incógnitas=S0

du0=ε0·dx=α·ΔT·dx ε0 =α·ΔT

Sistema hiperestático Sistema base sin incógnitas=S0

du0=ε0·dx=α·ΔT·dx ε0 =α·ΔT

Sistema hiperestático

Sistema base sin incógnitas=S0

d0=ε0·dx=α·ΔTm·dx ε0 =α·Tm

Carga térmica cte. + Gradiente térmico

Carga térmica cte.

Trabajos internos de las cargas térmicasTrabajos internos de las cargas térmicasε0T debido al incremento uniforme de Tª: ◦ en el sistema base y el sistema 0 debe tenerse en cuenta una

deformación ε0T = · Tα Δ m como si fuese un diagrama de normales constante. ◦ El “diagrama” es + si es un aumento de temperatura◦ No habrá que dividir por ninguna rigidez (EA) al ser ya ε0 deformación.

κ0T debida al gradiente térmico: ◦ en el sistema base y el sistema 0 debe tenerse en cuenta una curvatura κ0T = ( Tα Δ i- TΔ s)/h como si fuese un diagrama de momentos constante. ◦ El “diagrama” se dibuja por el lado del incremento térmico +◦ No habrá que dividir por rigideces (EI) al ser ya κ0 curvatura.

· Tα Δ mε0T

( Tα Δ i- TΔ s)/hκ0T

Simetría y antisimetríaSimetría y antisimetríaEn una estructura simétrica:

Cargas Mf V N Mt

Simétricas Simétrico Antisimétrico Simétrico AntisimétricoAntisimétricas Antisimétrico Simétrico Antisimétrico Simétrico

L/3 L/3 L/3

P P

PL/3 P

P

L/3 L/3 L/3

P

P

PL/9

PL/9

P/3 P/3

2P/3

Carga simétrica Carga antisimétrica

Estructura simétrica con carga simétricaEstructura simétrica con carga simétrica Deformada simétrica En el punto de corte con el eje de simetría:◦ No debe girar◦ Desplazamiento perpendicular al eje de simetría nulo◦ Los esfuerzos antisimétricos como el cortante V son nulos.

Todo esto se simula con apoyo empotrado móvil que pueda desplazarse a lo largo del eje de simetría.

Diagramas de M y N simétricos y V antisimétricos. La deformada debe ser simétrica y los puntos del eje de simetría no deben girar.

Estructura simétrica con carga antisimétricaEstructura simétrica con carga antisimétrica Deformada antisimétrica: En el punto de corte con el eje de simetría:◦ Desplazamiento del punto en la dirección del eje de simetría nulo.◦ Los esfuerzos simétricos como el momento flector M y el esfuerzo normal N son nulos.

Todo esto se simula con apoyo articulado móvil que pueda desplazarse en perpendicular al eje de simetría.

Los diagramas de M y N serán antisimétricos y los de V serán simétricos. La deformada debe ser antisimétrica y los puntos del eje de simetría no deben

desplazarse a lo largo del mismo.

Simplificaciones por simetría y antisimetríaSimplificaciones por simetría y antisimetríaP

M

P/2

M/2

P/2

M/2

P/2

M/2 M/2

P/2= +

Sim. Antisim. Un sistema de cargas sobre estructura simétrica puede dividirse en

simétrico + antisimétrico

Calcular desplazamientos: Carga unitariaCalcular desplazamientos: Carga unitaria

Ejemplo:

Caso de estructura plana de barras articuladas con rigidez AE. Se pide el desplazamiento vertical de la esquina inferior derecha.

Sistema hiperestático (sobra una barra para ser isostático)

Sistema base (sistema isostático con incógnita hiperestática X1)

  P 1 P

2 P 1 P

2

X 1 X

1

1

1

A

B

A

B

P 1 P

2 P 1 P

2

X 1 X

1

1

1

A

B

A

B ?GH=B+R-2N=6+3-2·4=1GHext=R-3=3-3=0GHint=GH-GHext=1

• “Sobra” una barra.• Se corta o se separa una barra diagonal• Incógnita hiperestática=el axil X1.

Calcular desplazamientos: Carga unitaria (II)Calcular desplazamientos: Carga unitaria (II) Plantear compatibilidad de desplazamientos en el S.B.:◦ Que δ1=0 significa que los desplazamientos según X1 deben ser iguales y

opuestos (como si la barra estuviese aún unida) Sistemas S0 y S1

Se calcularían todos los esfuerzos en barras para ambos sistemas Se obtienen los desplazamientos δ10 y δ11.

Se obtiene X1 despejando:

1 1 11 1 0o Xδ δ δ= + =

Sistema 0 (sistema base sin X1) Sistema 1 (con carga unidad en la incógnita X1)

P 1 P

2

1

1

1

1

X 1 = 1 X

1 = 1

A

B

A

B

P 1 P

2

1

1

1

1

X 1 = 1 X

1 = 1

A

B

A

B

i

barrasn

1i

1ii

barrasn

1i

ioo L

AE

NNyL

AE

NN 1i111i1 ∑∑

=

=

=

==δ=δ

1 1 11 1 0o Xδ δ δ= + =

Calcular desplazamientos: Carga unitaria (III)Calcular desplazamientos: Carga unitaria (III)

Sistema real de deformaciones (sistema total) Sistema virtual de fuerzas (carga unidad)

P 1 P

2

B

VD δ

D

C A

1

B

A

D

C

P 1 P

2

B

VD δ

D

C A

1

B

A

D

C

Se plantea el método de la carga unitaria. Sist. Virtual = la estructura del sistema base con una carga unidad

acorde con el despl. a calcular.

Desplazamiento = trabajo virtual interno (producto de diagramas)

11

1.

n barrasin barras

i iii ii

i

VDVD

TVE TVIN

N LNN L AEAE

δδ

==

==

==

= ∑∑

Cálculo de desplazamientos: EjemploCálculo de desplazamientos: Ejemplo

En la estructura de la figura, determinar por el método de la carga unitaria el desplazamiento vertical de D y dibujar la elástica a estima de la estructura.DATOS: Sm = 6EI/√5

AEAB = EI/6√5

EI = cteAE = GAα=∞ en las barras de nudos rígidos.

P

Sm

AE EI

EI

EI

A

D E

Figura 3.1

x

y

z

F

B

EI4m

2m

2m 1m

2m3m

Para este ejemplo ya se ha resuelto la hiperestaticidad de la estructura en un ejercicio anterior

Se tomó como incógnita hiperestática la reacción en A, que es igual al axil en AB.

Para la obtención del desplazamiento pedido partiremos de los diagramas de esfuerzos totales del sistema hiperestático completo.

Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (II)Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (II)Diagramas de esfuerzos del Sistema Base resuelto (S. total)

Deformaciones en el S. real(Sistema total)

Esfuerzos en el S. virtual (Sistema con carga 1 en D)

2P/EI

2P/9EI 16P/9EI

6P/9EI

P/9AE P/9AE

1t

2tm

2tm

AB es la única barra que puede sufrir

deformaciones por esfuerzos normales

Los cortantes no se tienen en cuenta porque GAα=∞ .

θm=6P/9Sm

AB no tiene normales

Los cortantes no se tienen en cuenta porque GAα=∞ .

Mm=0

Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (III)Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (III)

1t

2tm

2tm

2P/EI

2P/9EI 16P/9EI

6P/9EI

P/9AE P/9AE

*Se aplica el PFV. (TVE=TVI)El desplazamiento buscado es igual a

los trabajos virtuales internos (producto de diagramas)

( )

1muelleVD m

L L AB

TVE TVI

M NM dx M N dxEI AE

δ θ

=

× = + +∫ ∫

6P/9

* = 16·2·(2·16P/9-6P/9)√20·1/EI=4,30·P/EI2tm

√20m

16P/9

2P

* = 1/3·2·2P·2/EI=2,67P/EI2tm

2m

Al ser positivo, su sentido es el mismo al supuesto con la carga unidad (hacia abajo).

Cálculo de la deformada (elástica) a estimaCálculo de la deformada (elástica) a estima Forma estimada de la estructura deformada:◦ Convexa por el lado en el que está el diagrama de momentos.◦ Donde el momento cambia de signo ⇒ punto de inflexión◦ Tener en cuenta la deformación calculada◦ Alargamiento-acortamiento de barras biarticuladas ∆L=(N/AE) L

Deformaciones Deformada