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8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 2/85
FRACCIONES
LA
RELACION PARTE-TODO
,:i:Ji,Tlliffi';
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 3/85
Y APRENDIZATE
14. Proporcionalidad
geométrica
y
semejanza
Grupo
Beta
15. Poüedros
cotrocimietrto: didáctica de as
rn¡temÁticrs
Gcco¡i¡ uillén o¡d
A¡s.l
Guri&Ea
dr&do ón@A¡roM,r@ Dhz@iro, LuúRio
Rl)ll@,M.
Si@vázqw
1ó Una m€todotogíe ctiv¡
y
¡údic¡
p¡ra
l¡ e||seña¡z¡ de a
geomehíN
LuisRicoRóllm. Encll@iú¡ csto Ma¡tlM, Búiqu. C¡úo Mal@z
17.
El
probleE¡
de l¡ medidr
y
cáIculo
c¡,-
chu^
nat¡'
'w
M B'l'-lc Gó,*
Bd.rdo CónsAr@lo
1& Cirq¡lando
por
el círrulo
Fr¡rctu? PrdiI¡,Dfú.
Adulfo Setor Hmárdcq Fi¡bh vcuzqu¿,
sdvádór lin@ cis, M,' vi.loda s¡l&h.z Cñl¡
19. Sup€rficie
y
volumctr
Núñeft6 decim¡ls:
po¡ qué y para q¡lé
M.. A¡eel* delorm Rofm, Frscisa M@no
carErñ, F¡üciscocil cu¿dÉ
Juli¡C¿ cúoPéÉz
1
20. ProporcioD¡Iil¡d dfurcta
NúrÍ€¡os e¡temó M,'Lui ¿Fiol Mo¡a, oséMl Forünyayreni
toséL. GonzáLzM¡í,
M.'Dd@ Iri¡rt Bü¡tor,Arono Oniz Coms, n¡Ñld¿ V.rg&
M¡chuc¡,
Msúl¡ tilmo P&É2, ¡ronioonir vilñjo, Bs¡c¡on dz rimérez
21. Nudos
y
n€xo6. Red€s €n I¡
$cuel¡
Mob¿sCon.t Bcn@ch, Jü@
SüchoCi[ AdonioMlrft d.l MmL
Pib. Go¡z¡loMdrln
Mode.b Siem Vázqez,A¡d¡ ,sG@l¡,
M,' T,
Co¡zás tutudilo,
Mdoco¡z¡lezaccl¡
22, Por los caminos de la lógics
ha. Sd¿ ¿rn¡, ModqroAri.t¡ U¡mndi,
Eltr Ph¡do uiz
LüisPuigEspi¡o¡q, m4do
(¡dá¡
ltM
23. Inictsción ¡l áIg€br¡
Meel Marl¡
506 Robayra,MatlasC{@lD M .hlI, M.¡ M.ecdas
PrlaM Medins,
eD cdlcolo
y
mcdiit¡
Júef¡HdúÍlezDonJnsH
¡sidooSeepvia ¡.x,Er@ión C¡m,oMardr¿, EdiqÉ Cstro Ms¡dez,
Lu¡ Rso
Ro4re
24. E¡|3eñ¡nz¡ de l¡ suma y d€ Ia rc.lt¡
A ¡os M@ GóreZ
Aritmétic¡
y
c¡lcul¡dor¡
FEddic udin i abeló
25. Ensۖanza de
I¡ multitr üc*ión
y
d€
h divi.ión
C¡rtorM@C6M
pala
cotrstluir la
g€omehía
cam¡
Bürgués l{Ei€h, cr&di alsiúcr.lá, rcep M.'Fo.túy Ay¡)mi
26' tr',uncione
y
grÁllcrs
¡o¡di Drulofd
Piqet,
Ca¡rM AúÁr'úcoitúM
nútacitu a l¡ didictic¡ ile l¡
geometrí¡
|
craldi
alsim catal4 Joep M,. ¡o¡tunyAtM, c¡@n Büguas
l@ich
27' au¡r
y probabilidad
Jm Dle Godi¡o.C.@o Bataoñ Bflabéu. M,'
t lrtuC¡¡li@s Catellúo
Simctrí¡ din,ímic{
R¿hel
péÉz
cóM, ct¡u¡í Akiú cata¡á, .f.rino
Ruiz
oarido
|
28' EncüG3tas
¡ prccios
A¡d.¿t No¡tcsCIEa
8/10/2019 4-FRACCIONES
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Prensa
y
matemáticas
Antonio
Fernández
Cano,
Luis Rico
Romero
y
educación
matemática:
algunas
modalidades
de uso
José
A. Cajaraville
Pegito
Ordenar
y
clasificar
Carlos
Maza
Gómez,
Carlos Arce
Jiménez
Juegos
y pasatiempos
en
la enseñanza
de
la matemática
elemental
Josefa
Fernández Sucasas,
M.' Inés Rodúguez
Vela
Ideas
y
actividades
para
enseñar
álgebra
Grupo
zarquiel
Recursos en el aula de matemáticas
Francisco
Hernán Siguero,
Elisa Carrillo
Quintela
Consejo
titor:
Luis
Rico
Romero,José
M." Fortuny
Aymemi,
Luis
Puig Espinosa
FRACCIONES
LA RELACION PARTE.TODO
CoonnrN¡.¡onrs:
S¡,r,vnoon
Lr,w¡nns Crsc¡,n
M." Vrcronr¡ SANcnnzGlncfn
Profesores
itulares
de Didáctica
de as Matemáticas e a Universidad
e Sevilla
EDITORIAL
SINTESIS
8/10/2019 4-FRACCIONES
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ft-.
??'?"X.
arras
\,}üil
Forma
eadquisición:
arr\o
Carnpra
Canje
-
techa
eadqursrción
Año-
Mes
Fecha
e
Procesa¡niento
Proveedor-
iPrgcesado
or
-
reimpresión:
diciembre 1997
de cubierta: Juan
José
Vázquez
odos os derechos.
Está
prohibido,
bajo
as
enales
y
el resarcimiento civil previstos
en
eyes, eproducir, registrar
o transmitir esta
publi-
parcialmente,
por
cualquier
sistema
y por
cualquier medio,
sea
mecánico,
electroóptico,
por
fotocopia o
sin
la
autorización
previa por
escrito
Síntesis,S. A.
Sánchez
García
SÍNTESIS. S. A.
34.
28015 Madrid
(91)
593
20
98
legal:. M
-
43.826-1997
en España
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Printed in
Spain
Donación
Día
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ts's""t"."
l{.''.:'i¿'*
l r i lF l l
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Pepa.
Jauier
y
Raú|.
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destino
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INDICE
Introducción
l. Creenciassobre as fracciones
1.1.
Las
fracciones el lenguaje
cotidiano
1.2. Tus creencias obre as fracciones
1.2.t. Sí o
no
a las fracciones n la escuela
1.2.2. Acercadel aprendizaje
el concepto
de fracción
y
el lugar
que
debenocuparen el curriculum ...
1.2.3. Sobre os algoritmos de las
operaciones
on fracciones
. . . .
1.3. Otras opinionessobre as fracciones
1.3.1. Las fracciones su
permanencia
n los
primeros
niveles
. . .
1.3.2. Las fracciones las nuevas ecnologías
1.3.3.
El
proceso
de enseñanzaaprendizaje
de las fracciones
]filas
operacionescon las fracciones.
1.4. Nuestrascreencias
2. Las fr¡cciones en l¡ escuel¡
35
2.1. Las fracciones
las
reformas urriculares ....
36
2.1.1. Las fracciones
n
los
distintos curricula
antesde la instaura-
ción de la EGB 36
2.1.2. Las fracciones n la EGB.
47
3.
Las fracciones; liferentesnterpretaciones
...
3.1. La existencia e diferentesnterpretacionese as fracciones .....
3.2. La
relación
parte-todo
y
la
medida
3.2.1. Representaciones
ontinuas
y
discretas
3.2.2. Decimales
3.2.3.
Las fracciones
omo
puntos
sobre
a recta numérica
. . . . . .
3.3. Las fracviones omo cociente
3.3.1. Diüsión indicada.Reparto
3.3.2. Las fracciones omo elementos
e
una estructuraalgebraica
l3
t718
20
2l
22
22
24
24
29
30
33
51
52
55
56
59
59
63
63
67
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3.4. Las
fracciones
omo raz6n .
3.4.L.
La
probabilidad
.. .
3.4.2.
Los
porcentajes
. . .
3.5. Las fracciones los operadores .
3.6.
Una
visión
global
de las fracciones
3.ó.1.
Relaciones
ntre as distintas nterpretaciones . ..
3.6.2.
Papel
destacado e la relación
parte-todo
a relación
arte-todo
las
racciones ...
.1.
Introducción
4.1.1. Los atributos de la relación
parte-todo
4.1.2. Los
contextosde
la relación
parte-todo
4.1.3. La relación
parte-todo
como
generadora
el lenguaje
y
sím-
bolos
.
4.1.4. La
relación
parte-todo
el conocimientonformal de os niños.
Relacionesentre situacionesconcretas,descripción
de
situaciones,
modelosy símbolos
El trabajo inicial con la relación
parte-todo
4.3.1. Introducción
4-3-2-Eltamañode aunidad
... . . . . s
4.3.3.
Situaciones n las
que
a idea de fracción no es aplicable .
4.3.4. Dos direcciones.. .
4.3.5.
Una
recapitulación
Una
secuencia
ara
la enseñanza el
conceptode
fracción
4.4.1- Diferentesnociones
en el conceptode fracción
4.4.2.
Una
primera
aproximación
4.4.3. Las
primeras
raslaciones ntre
as representaciones.
l
pa-
pel
de
las fracciones
nitarias
4.4.4. La forma escrita
de
la relación
parte-todo:
as fracciones .
4.4.5-
Los diagramas la
forma
escrita .
4.4.6. El
problema
de las citas
perceptuales
4.4.7. Las fracciones
unitarias, el contar
y
las operaciones on
fracciones
4.4.8. La utilizaciónde otros concretos 109
4.4.9. Los
contextos iscretos 110
4.4.10.Larectanumérica .. . . . i . l t4
Varios nombres
ara
a misma elación.
a
idea
de equivalencia . 116
La comparaciónde
fracciones. a idea
de
orden
. 125
operacioneson
fracciones. os algoritmos
131
132
el concepto racción las operaciones.....
134
5.2.1.
Unapanorámica ..
13 7
138
5.3.1.
El manejode os algoritmos la resolución e
problemas
138
5.3.2. Los algoritmos
y
el trabajo
previo
con
as relaciones
lgebrai-
cas . . .
l4 l
6.
Errores
y
estimación
6.1.
Introducción
6.2. El
proceso
nteractivo
en la
enseñanza la
observación e errores
6.3. Errores
en las fracciones
6.4.
Algunos
ejemplos ípicos de
errorescon las fracciones
6.4.I. Errores
en la noción
de equivalencia
e fracciones
6.4.2. Errores
en la adición
y
sustracción
de fracciones
6.4.3. Errores
en
la
multiplicación
y
la
división
6.5. Estimación
Referencias
67
7l
7l
72
75
75
77
5.4.
5.5.
5.6.
La suma
y
resta
de fracciones
La multiplicación
de
fracciones
t4l
t45
15 1
a
división de fracciones
79
80
80
82
15 5
15 5
155
r58
159
159
r60
r62
t6 4
t67
83
84
87
89
89
92
93
94
95
96
96
98
100
10 1
t02
105
106
ll
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INTRODUCCION
Al abordar un tema tan conocido
y
a la oez tan complejo
como
el de
las
fracciones,
hemos
querido
conjugar dos aspectos.
Por un lado,
pretendemos
que
lasfracciones se asocien a situaciones,que signiJiquenalgo para el alumno, que
sepa utilizarlas,
relacionarlas
y
aplicarlas.
Sin embargo,
no
podemos
oluidar
que
las Matemáticas son un arte.
Y bajo
este segundo aspecto,
queremos
iniciar a los
jóuenes
alumnos en
la
<poesía>
de
las
fracciones.
De
la
misma manera
que
el buen conocedor del lenguaje
utiliza
las
palabras
para
expresarse
poéticamente,
que
el músico utiliza los
sonidos
combinándolos de
forma
armoniosd,
que
el
pintor
juega
con los colores,
debe-
mos enseñar a los alumnos a relacionar las ideas matemáticas
para
conseguir
un todo qrmonioso. Sólo así podrún apreciar la uerdadera esencia de las
Matemáticas.
"fi'
La idea
de
fracción
aparece a
partir
de situaciones en
que
está implícita
la
relación
parte-todo.
Esta relación es una de las
posibles
interpretaciones de
la
fracción.
Pero,
por
otro lado, también
podemos
representar mediante una
fracción
situaciones en las
que
está implícita una
relación
parte-parte
(o
todo-todo),
que
nos lleuan a una interpretación de la fracción como
razón.
Aun
existen otras interpretaciones de las
fracciones:
operador,
cociente de
dos números, etc. El constructo teórico
que
sintetiza todas ellas constituye
el
número racional.
Hay,
por
tanto, un largo camino
que
recorrer entre las
primeras
ideas
intuitiuas
de
<mitades> y <<tercios¡>
astq la consideración
de las
fracciones
como elementos ntegrantes de unq estructuro algebraíca.
Siendo consciente de la necesidad de elegir correctamente el
punto
de
partidq para el inicio del trabajo en cualquier noción matemótica, centramos
nuestra atención sobre la interpretación
parte-todo,
que
es) de alguna
menera,
el origen de las demás interpretaciones.
t3
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http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 9/85
Resaltamos
algunas
características
del
proceso
enseñqnza-aprendizaje
ue
interés. Entre
ellas está
la necesidad
de desarrollar
un lenguaje
de
que
sea coherente
con el
conocimiento
intuitiuo,
a traués de
la
poten-
<estilo
de enseñqnzat4que
incorpore
lqs oportunidades
apropia-
para
que
los
niños
puedan
discitir=op-inar
con
sus
propios
compañeros
o
el
profesor,
El motiuo
de esto es,
por
una
parte,
ayudar a hacer
conscientesa los niños
de sus
propias
estrategias
y
fauorecer
la autocorrección
de dichas
sean las idóneas
para
una situación determinada.
Por otra
parte,
creemos
que
un
factor
importante en la
formación
de los
(en
el aprendizaje en
general)
lo constituye el desarrollo
del lenguaje
oral de los
<<objetos> ue
se manejan en lqs situaciones) uinculqdo
a las
que
estamos
trabajando.
Otra característica
que
queremos
destacar
es
que
as
ideqs
de los
profesores
papel como tales, su concepción sobre el aprendizaje de los
como ciencia
y
como disciplina
escolar, sus
general y
el contexto en el
que
todo esto está inmerso, actúan
t<Jiltros>
modificando la traslación
de
la Teoría
a su Práctica coü*diana.
El hacer
que
eslas ideas afloren de alguna manera
puede
ayudar a raciona-
proceso
tan
complejo como el de la actiui dod docente.
Así, en el
primer
capítulo se reflexiona sobre la
propia
actuación
cuando se
fracciones,
sobre las ideas
que
cada
profesor
tiene respecto
a las
y
sobre su
proceso
de enseñanzaaprendizaje, con el
fin
de llegar a
conscientesde las opiniones
personales.
Las
opiniones de
<otros>
ayudan a ampliar
perspectiuas
en
relación
al tema
ser útiles
al ser contrqstadas con las de uno mismo.
Siguiendo cen esta línea,
en el capítulo 2 hacemos un repqso
descriptiuo
y
la trayectoria
de las
fracciones
en nuestros
currículos escolares
en
de la
que
esperamos
que
cada uno saque sus
propias
reflexio-
El hecho de que la idea de fracción esté uinculada a distintas situaciones
describirlas. Es
necesario conocer los distintos
aspectos
que puede
aparecer
la idea de
fracción
a la hora de
plantearnos
su
Este
es el motiuo
por
el
que
en el capítulo
3
damos una
descripción
Un objetiuo a largo
plazo
del
proceso
de
enseñanzadel
lo constituye la integración
de todas estas interpretaciones.
La
elección de comenzar
desde un
punto
intuitiao el desarrollo
de las
que
constituirán
la red de relaciones
ntegrantes del constructo
núme.
nos lleua a desarrollar
detenidamente
a relación
parte-todo
en el
cuqrto.
A continuación, en el capítulo cinco discutimos la
problemáiica que presen-
la introducción de las operaciones con
fracciones
y
sus algoritmos.
El aceptar
que
los niños construyen su conocimiento, combinando la
infor-
mación
nueua con sus experiencias
preuias,
hace
que
consideremos
os errores
desde una
perspectiua
distinfa a la contemplada hasta ahora.
Algunas estrate-
gias
erróneas se oen como feniendo en
(germen,
los
procedimientos
correctos.
El
conocímiento
de los
procedimientos que
utilizan los
niños al resoluer sw
tqreqs
permite
hacer inferencias sobre el
proceso
de aprendizaje. En
el
capítulo
seisse comentan algunas
de estas ideas.
Nos
gustaría que
estas
páginas
siruan como marco de discusión en un temn
tqn controvertido
como la enseñanza nicial de las
fracciones.
Si conseguimos
que
se tome conciencia
de las
propias
creencias sobre estas ideas,
que
se
inlercambien,
rompiendo
el tradicional
hermetismo en
que
se ue enuueho nues-
tro trabajo docente,
y
siendo capaces de
hacer de ellas un cauce de discusión
con nuestros compañeros,
pensamos que
nuestro trabajo habrá merecido
la
pena.
Para
Jinalizar,
queremos
expresar
nuestro agradecimienlo a todos aquellas
personas que, de una forma o de otra, han inJluido en nosotros, desde las
diferentes
promociones
de alumnos de la Escuela Uniuersitaria
de Magisterio
de
Seuilla,
hasta nuestrq relación con
profesores
con experiencia, como Marga-
rita
Garrudo,
José Antonio Riuero,
Laura Drake
y
Rosario Mora. Asimismo
agradecemosa nuestros
compañeros Carmen Pereda, Luis Rico
y
Luis Puig las
sugerencias
y
comenlarios realizados
q
este texto.
SR¡-vnoon
LUN¡,nrs
M. Vrcronr¡, SÁNcnnz
15
8/10/2019 4-FRACCIONES
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1.
Creenciassobre
las
fracciones
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+
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L
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0
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 11/85
LAS FRACCIONES Y EL LEGUAJE
COTIDIANO
Una de las
primeras
circunstancias
que
hay
que
tener en
cuenta al
a tratar un tema matemático
es
el hecho
de
que
los conceptos
que
a desarrollar
pueden
estar vinculados a un lenguaje cotidiano, utiliza-
por
las
personas
en
general.
Este
enguaje o
<vocabulario>
a veces
puede
tihcado más o menos
estrechamente on la noción matemática
y
a
no. Por
tanto, debemosconsiderar
que,
en la
mayoría
de las ocasiones,
palabras que se van a utili zar no están desprovistasde signiflrcado i para
para
los
adultos.
De una forma u
otra, el alumno está
nfluenciado
por
el uso
que
de ellas
en la vida
cotidiana.
En nuestro
caso
particular,
la
palabra
fibcción
parte
de un vocabulario relativamente familiar. Pero,
¿qué
significa
El diccionario
ya
separa
en
su
significado dos acepciones ien diferencia-
(del
Latín fractio, romper),
por
un lado se nos
como
<la
división
de
un todo
en sus
partes)
o
<las
partes
de un
Po
otro lado, dentro de los significados
propios
de la Aritmética,
acepciones ales como
<número
quebrado>,
<expresión que
indica
que
no
puede
efectuarse),etc.
Si formulamos la
pregunta
anterior
a
personas
de escasa ormación
división
de
un todo en
partes prevalece
sobre las
siendo
recuente
ambién asociarl a con
quebrado,
algo
que
se recuerda
la infancia
unido a cálculos
nterminables.
Sin embargo, al escu char as conversaciones
e
los niños
dentro
y
fuera
se aprecia que utilizan espontáneamente xpresionesen las que
ones. Frecuentemente, os niños de la
escuela elemental
al expresarse erbalmente.Ahora bien,
aun-
el niño
pueda
oír
y
usar expresiones ales como,
por
ejemplo, medio dia,
significa
que piense
necesariamente n la mitad de un día
con relación
Lo mismo sucede
cuando
habla
de una botella de medio litro.
Quizá
la
relación
que puede
establecer on la de un litro
es
que
es
más
pequeña.
para pedir
<dame
a mitad
de
tu
pastel>),
eguramente
énfasis del signihcado lo
esté
poniendo
en
que
las dos mitades
sean
En el caso de
las fracciones el uso
cotidiano se
restringe en realidad a
muy
pocas:
un
medio, un terci o,
un cuarto
y
tres cuartos
principalmente; dos
tercios,un
quinto,
un octavo,
mucho menos.
El
campo
de aplicación de
cada
uno de
ellas se va r educiendo
considerablemente,
alvo un
medio,
que
tiene
un uso
casi universal
y
apareceauiomáticamente
en
prácticamente
odas las
situaciones cuantifrcables,
e
incluso como una
primera
estimación
a una
cantidad:
media entrada,
a mitad del camino,
etc.
Por tanto, hemos de
tener
presenteque,
asociada a context os
tan diver-
sos como
pueden
ser as unidades
del Sistema
Métrico Decimal
(medio
kilo,
tres cuartos
de litro,
etc.),
períodos
temporales
(un
cuarto
de hora,
media
hora, etc.),situaciones
de reparto o descuento
la
tercera
parte
de la
ganan-
cia,
rebajado un
veinte
por
ciento),
o bien como
parte
de la herenci acultural
(una
octava en
Música, los
Tercios de
Flandes, en Historia, etc.)
(APMA,
1984),
os alumnos,
para
bien o
para
mal,
ya
han utilizado
o simplemente
oído
las
palabras
de las
que
ahora,
desdeuna vertiente
matemática,
nosotros
les vamos a hablar.
00
0
/
UN
ERCIO
t9
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 12/85
CREENCIAS
SOBRE LAS FRACCIONES
En
el apartado
anterior
hemos
visto
que
las
palabras
que
vamos
a
y
los
conceptos
ue
vamos
a introducir
son
<conocidos>
or
nues-
alumnos e
una u otra
forma.Nosotros
mismos
amos
un significado
de racción
hacemos
n uso
de ella en nuestra
ida
cotidiana
que
no
tieneun
posterior
eflejo
en os
aspectos
e enseñanza.En
casio-
al tratar
estasnociones
en la
escuela,as
vemos
desdeuna
vertiente
atemática,
menospreciando
tros aspectos.
Llegados estepunto,puede erconveniente lantearnos nivelperso-
somos onscientes
o
sólo del signilicado ue
damosa la
palabra,
ino
a los temas
que
vamos
a tratar
y
de cuál
es nuestra
opinión sobre
Muchas
veces emos
observado
ómo
una
misma
nformación
es nter-
de muy
distintasmaneraspor personas
e ideologías
iferentes.
ógico,
entonces,
ue
en un
proceso
an
complejo
como el
que
se
en una
clase as
teorías subjetivas
el
profesor,
sus
actitudes,
expectativas,
uegen
un
papel
elevante.
Esta nfluencia
del
pensamiento
el
profesor
es de estudio
eciente
Vr-
ANcuro,
L. M., 1986)
MmcELo,
C.,
1987).
iempre ehabían
conside-
actores
ue podríamos
enominar
mbientales
esctructuras
jecutivas
y
organizadoras el sistema
escolar, ipos de escuela, ivel de los
compañe-
ros,
condiciones e trabajo,etc.)
Orrn,
1979)
n el estudiodel
proceso
de
enseñanza-aprendizaje.
Hoy
día seda tambiénespecialelieve lo
que piensa
n
profesor
obre
su
propia
actuación
como
profesor
de Matemáticas,
obre
as Matemáticas
en
general (y
en nuestro caso, sobre
las fracciones), u opinión
sobre el
proceso
de enseñanza-aprendizaje,tc.,
ya que
de alguna
manera
estas deas
actúan como un fil tro
a la
hora
de transformar a información
teórica en
recursos
rácticos Bnounann
Bnornv,
1986).
En el casode un concepto
que
organiza os conocimientos uyo
uso e
incidencia
en su medio
social es significativo, as ideas
del
profesor
condi-
cionan sus decisiones,
anto en relaciónal contenido,
omo a su selección,
planificacióny
en la evaluación
del
proceso.
¿Nos
hemos
parado
a
pensar
uáles
on
nuestras
reencias cerca e as
fracciones?
Quizá,
legados
a este
punto,
seaconveniente
lantearnos
algu-
naspreguntas obreellas.Probablemente,uchosde nosotros os as haya-
mos hecho
alguna vez,
por
ejemplo, al
preparar
nuestrasclases,
pero
es
posible
ambién
que
sea a
primera
vez
que
nos as formulemos.
En cualquier
caso, e
pedimosque pienses
obre
ellas.O mejor,
que
escribasus respuestas las cuestiones
ue
e vamosa
plantear
a continua-
ción.
Puede
ser de utilidad conservarlas
y
volver sobre ellas cuando la
lectura
de este ibro haya concluido.Tanto
si se
mantienen
us opiniones,
como si se
produce
algún cambio,creemos
ue
te servirá
para
entender
mejor tus
propias
decisiones.
El hacer
surgir nuestras
ropias
concepciones
omo
profesores
sde vital
importancia
para poder
maximizar el resu ltado de las conexión
entre la
Teoría
y
la Práctica
cotidiana.
Proporcionar
as razones
ue
expliquen anto
las
decisionesomadasen relación
a
la
enseñanza,l aprendizaje e l conteni-
do
que
vamosa trataÍ,como el
caminoseguido
ara
tomar estas ecisiones
y
no otras,
puede
ayudarnos a ser
profesionales
eflexivos
y
no simples
transmisores e as deas
de otros.
La serie e cuestionesndicativas uevamosa presentar stádivididaen
tres
grupos.
Las
del
primer grupo
se eferirána las fracciones la
utilidad o
no
de su enseñanza n a escuela,as del segundoa lo
que
significaaprender
el concepto de fracción
y
el
lugar
que
deben ocupar las fraccionesen el
currículum,
y
las del'ultimo
grupo
a la valoración
que
damosal aprendizaje
de las operaciones on fracciones.
1.2.1.
SÍ o no a las fracciones n Ia
escuela
Quizá
a veces e has
planteado
el
por qué
tienes
que
enseñar racciones
los niños.
O, a
lo mejor,
piensas ue
ésteno es
tu
problema,ya que
el
0
2r
8/10/2019 4-FRACCIONES
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programas
escolares
stá ijado
en los
planes
de estudio.
¿te
has
parado
a considerar
qué
es o
que
se
pretende
on
su enseñan-
¿Crees
ue
a raz6n
para
enseñarlas
s
que
son
útiles en la vida cotidia-
¿O
quizá
su interés
eside n
que
son necesarias
ara
otros
contenidos
Condicionan
stas piniones l contenido
que
vas
a explicar?
De
forma la metodología
que
empleas
n clase
para
tratar estos
contenidos
Otro aspecto
que
a veces os
preocupa
es o
que
debemos nseñar obre
Qué
es o básico?
Hay
que
añadir
algo a lo
que
vieneen los
de texto
que
usas?
¿Por
qué?
¿O
quizá
éstos no tienen
en cuenta as
e tus alumnos ofrecen
emasiado
ontenido, e forma
que
que
añadir,sino
que
debes educirlo?
Por otro l ado la
apariciónde las calculadoras
su notación decimal
ue
afectade
algunamaneraa la enseñanza
e as racciones?
Pueden
a
hacerla nnecesarla?
O,
por
el contrario,
hacenmás
necesario l
que
pongaen a comprensión e os conceptos no en el tratamiento
del aprendizaje el concepto e fracción
'3'
y
el
lugar
que
debeocuparen el currlculo
Vamos
a
plantearnos
horaalgunas
reguntas
ue pueden
urgir
cuando
a enseñaras fracciones.
Piensas
ue plantean
problemas
de aprendi-
a los niños?Estos
problemas,
i
crees
que
existen,
son
de la
misma
de os
que
e encuentras
n otros
conceptosmatemáticos?
Has
enido
que
as racciones
ueden
ener nterpretaciones
iferentes?
Crees
su
usoescomplicado?
Crees
ue
as
dificultades
e
manejo
por parte
de
que
deberían nseñarseles
e
forma
distinta?
¿Te
has
algunas eces
tilizamosas racciones ara
representaritua-
distintas,como
por
ejemplo
<quedaba
n
tercio de tartar
(descripción
situación)o
<<dame
n cuarto de
tarta>
(descripción
de una
acción)?
A lo mejor considerasue su <lugar> n el currículono es apropiado,
deberían
ambiarse
otros cursos.
Anteriores
posteriores?
Por
qué?
piensas
ue
estoestará
n unciónde os
conocimientos
revios ue
el
Qué
nociones
rees
ue
son
básicas?
Qué
destrezas ay
que
para
poder
introducir
las fracciones?
Sobre
os
algoritmos
de
as
operaciones
con
fracciones
Vamos
a
cuestionarnos
hora aspectoselacionados
on as operaciones
fracciones.
Crees
ue
os niños dentifrcan
a noción
de operación on
fraccionesen
las
situacionescotidianas?
¿Crees
ue
los niños utilizan
los
algoritmos
relativos
a las operaciones
on
las fracciones
en las situaciones
cotidianas?
Qué
elación existe
entre el algoritmo
que
puedo
enseñar
n la
escuela el
proceso
personal
que
un
niño utiliza ante
una situación similar,
planteada
uera
de ella?
¿Te
has
planteado
alguna
vezlarelación entre
1/3
x
ll2
y
la situación:
<Había media tarta
y
me he comido
una tercera
parte>?
¿Piensas
ue
es
necesario
mantener
a enseñanza e
los algoritmos
de
las
operaciones
on
fracciones
inculada
a situaciones
oncretas?
O
crees
que
esta
enseñanza
ebe
pertenecer un nivel superior,
más abstracto
desvincu-
lado de las
situaciones
concretasf
O,
por
otra
parte,
¿es
ealmente útil
enseñar
os algoritmos
e
as operaciones
on
fracciones n
a
escuela?
No
sería
más operativo
pasar
as fracciones
a números
decimales
utilizar
la
calculadora
para
realizar
os cálculos?
Por otro
lado,
a lo mejor
hasobservado urante
el
proceso
e aprendiza-
je
que
los
niños cometen
errores
ante
problemas
de la
misma
estructura.
Estos errores ¿soncomunesa varios niños?¿O bien, hay algún niño en
particular
que
repite algún
procedimiento
erróneo
de forma sistemática?
A
qué pueden
er debido
estoserrores
o el uso de
estos
procedimientos
rró-
neos?
Cómo
y
cuándo
os
has detectado? uando
os
has detectado
qué
explicación
es has dado?
Esta explicación,
i
ha
existido,
ha
nfluido en el
enfoque
osterior
de
as mismas
uestiones?
Los
has enido
en cuentaa
la
hora de continuar
el
proceso
de enseñanza?
El modo
de responder
a
las
preguntas
anteriores
depende
en
parte
de
nuestras reencias.
s evidente
que
el
procesamiento
e
información
que
el
profesor
realiza
a la
hora de tomar
sus decisiones,
u forma
de
pensar,
sus
opiniones,
nfluyen de
forma decisiva
a la
hora de
plantearse
l
proceso
de
enseñanza
prendizaje,
y
en
la
puesta
en
marcha de
unas
<rutinas> de
comportamiento
que
marcan
su actuación.
De hecho,
nuestras
propias
creencias
an
influido a la
hora
de
plantear
estas
preguntas.
Las creencias
fectan
no sólo al contenido
que
selecciona-
mos
para
una
clase, ino también
a
lo
que
hacemos
l darla
y
al evaluarla,
al tipo de aprendizajeque en ella se produce. Pensamosque, en ciertos
aspectos
su
influencia
es
mucho
mayor
que
el
conocimiento
de
técnicas
o
planteamientos specílicos,
or
acertados
que
éstos
seanen el
plano
teó-
rico.
Por tanto,
es
mportante
conocer
nuestras
propias
creencias
obre
cada
aspecto
de la
enseñanza,
afa
que
la dinámica
de
renovación
y
mejora
del
proceso
no se
quede
anquilosada.
Y, una
vez conocidas,
hay
que
buscar
oportunidades
reuniones,
eminarios,
entrosde
profesores,
tc.)
para
poder
intercambiarlas
on otros
compañeros.
El
confrontar
opiniones
puede
ayu-
dar a
justificar
y
a
aclarar
pensamientos
istintos
y
enfoques
ispares
para
los
mismos emas.
I, N
Vf
RSiDAO
ISTRi.TAL
rnniilriiir
ost
DÉ
AtDAs
23
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0q
0
OTRAS
OPINIONES SOBRE LAS FRACCIONES
Una
vez que
has respondido
a las
preguntas
formuladas
en
el apartado
con respuestas
ue
serán
probablemente
diferentes
en otros compa-
nos
parece
interesante
presentar
las opiniones
de algunos autores
las fracciones,
ya que
el conocerlas
puede
ser útil
para
rcforzar,
cam-
o clarificar nuestras
propias
opiniones,
o ser motivo
para
la
polémica.
Esta revisión
no
va a ser en ninguna
forma
exhaustiva, sino
que
nos
a algunas
opiniones
que
nos
parecen
más
relevantes
y
represen-
Las fracciones
y
su
permanencia
en los
primeros
niveles
La
aparición de los
primeros
conceptos
fraccionarios no
es reciente ni
menos
en la Historia
de
las
Matemáticas. El
conocimiento
de su
babilonios
y
los egipcios hasta
nuestros
dias,
puede
comprenderlas mejor
y
ser una fuente
de motivación
en su
embargo, una revisión histórica
de las fracciones
está fuera
de
planteados
en este libro
(una
excelente revisión histórica
es la
en
Nnwu¿.N,
J.,
El
mundo de las Matematicas,
Ed.
Grijalbo).
Reconociendo
a importancia
objetiva
de las fracciones,1o
que
aquí nos
deben considerarse
o no como
parte
del currículum
escolar
y
a
nivel. Las
reformas
sociales,
ue
han
conducido a una mayor
escolariza-
ción
infantil
hasta llegar
a la obligatoriedad
actual,
la
gran
cantidad
de
materias
a
trataÍ, el
fracaso escolar,
y
otros
motivos, han llevado
a reformas
curriculares
en las
que
se ha cuestionado
a
necesidadde
la
enseñanza
de los
conceptos
relacionados
con
las fracciones
y,
sobre todo, de
sus algoritmos,
cn
los
primeros
niveles.
Ahora bien, la
decisión
de si las fracciones
deben
permanecer
o suprimir-
se
en la escuela
elemental,
no
puede
omarse aisladamente,
ino
que
depende
directamente
de los criterios
que guien
la elección
del currículum
para
los
primeros niveles.Si
estos criterios
son
puramente
prácticos y
atienden
exclu-
sivamente
a las necesidades
e
la sociedad,
entoncesalgunos
autores cuestio-
nan
la
permanencia de las
fracciones.
Ya en
1937WnsoN
y
Dlrnvure
(citados por
Frv,
1980) levaron a cabo
una
investigación
sobre
los usos
sociales
y
comerciales
de las fracciones.
A
partir
de
la tabulación
de
la frecuencia
con
que
se utilizaban
las
fracciones
por
distintas
personas
en
su trabajo,
concluyeron
que
<la necesidad de
manejar
con
soltura
las fracciones
en la
vida ordinaria se limita a las
mitades, ercios,
cuartos,
doceavos,...
a resta
de fracciones
se
presenta
rara-
mente...
a división
no aparece
asinunca...>r.
n
consecuencia,
ugirieron
qu e
podría
reducirse
enormemente
a enseñanza
de
las fraccionesen
la escuela.
Con
la implantación
paulatina del Sistema
Métrico Decimal en
los
países
anglosajones,
a
polémica
acerca
de la conveniencia
o
no de enseñar
raccio-
nes en
los
primeros
niveles
se ha agudizado.
El argumento
de su
poca
utilidad
práctica,
y que
en
el Sistema
Métrico
Decimal las unidades
métricas
requieren
fracciones
decimales,
pero
no ordinarias,
se cuenta
entre los
más
frecuentes
utilizados
por los
que
dehenden
que
deben
ser suprimidas
o
reducidas
en
gran
medida.
Sirva como
ejemplo el
hecho, cada
vez más usual
de sustituir
un
tercio
por
0,33
o 0,32
cl en la
gran
mayoría de
latas de cerveza
y
refrescos.
Algunos
llegan a afirmar
que
permanecen
en el currículo
escolar
por
inercia
y
no
por
necesidad eal.
Curiosamente,
el argumento
de la
poca
utilización
de las
fracciones
por
parte
de niños
y
adultos, es
el
hecho en el
que
se
apoyan otros
para
mantener
su
permanencia:si no son comprendidas,
¿cómo
van a ser utilizadas?
El
periodista,
el
político,
el estadístico,
etc.
prefteren utilizar expresiones
como
<dos de cada
tres
personas>o
<cinco de cada cien>
en lugat
de 213 o
del 5
oA.
¿Nos
será
esto
quizá
debido
a
que
pretenden
ser
entendidos
por
mayor número
de
personas?
Una
mejor enseñanza
del
concepto
de fracción
haría aumentar
inmediatamente
su
utilización
en la
vida cotidiana.
Pero, como
habíamos
señalado
anteriormente,
pueden
ser otros criterios,
distintos
de las necesidades
ociales,
os
que
se sigan
a la
hora de seleccionar
el contenido
matemático.
Así,
podemos
considerar
si
las fracciones
son
básicas
para
el
posterior
desarrollo
de otros
contenidos
matemáticos
(o
de
otras disciplinas),
o simplemente,
si las debemos
considerar
como
conoci-
mientos
de
cultura
general.
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lado,
a constatación
el bajo
entendimiento
onceptual
la
destreza
omputacional
on
fracciones,
leva
a cuestionarse
l
nivel
ara
su enseñanza.
este
especto,
nnuNonNrHAL
1973)llega
que
<das
racciones
omplicadas
las operaciones
on ellasson
nven-
el
maestro
que
sólo
pueden
ntenderse
nivel
superiou.
merece a
perspectiva
ue
nos
presenta
VAN
HInrn.
a extendernos
lgo
más en ella,
porque
su trabajo
aporta
críticas
las
racciones
a las
operaciones
on ellas
que
son
nteresantes
de las
razones
que
se
muestran
para
apoyar
a
permanencia
el
con
fracciones
n a enseñanza
lemental
sel uso
que
de él se
haceal
as
proporciones
igualdad
e
dos razones
xpresadas
n
forma de
ajo esta
perspectiva,
l
tratamiento
e a
proporciónva asociado
lgorítmico
e as
racciones,
on
as
dihcultades
ue
conlleva
el denominador o puedasercero.Puesbien,esteautor sugiere ue
a
construcción
e
lo
que
él
llama
una
<matriz
proporción>
se
rabajar
as
proporcionessin utilizar
el
cálculo de
fracciones.
proporción
se
orma
a
partir
de una
primera fila de
números,
el cero;
ás ilas sucesivas
eobtienen
multiplicando
a
primeih
por
números.
matriz
asi
ormada
cumple
as siguientes
ropiedades:
cualquier
matriz de
proporción se transforma
en otra si
se inter-
cambian
ilas
por
columnas;
una ila
se
puede
obtenera
partir
de
otra
multiplicando
or
un cierto
número;
si consideramos
uatro
elementos
e
orma al
que
ocupen
os vértices
de
un rectángulo,
l
producto
de los
elementos
ertenecientes una
diagonal
es
gual al
producto
de
los
pertenecientesla otra;
matriz
proporciónse
puede
ampliar
con nuevas
ilaso
columnas
con a condiciónde que sean ombinaciónineal de as anteriores.
araaclarar
el uso
de estas
matrices
roporción
onsideremos
l siguien-
Supongamos
ue queremos laborarun
pastel,
la recetanos
dada
de a siguiente
orma:
Brzcocno
A LA CREMA.
Ingredientes
para
cuatro
personas:
- 12 bizcochos,
-
6
yemas
de
huevo,
-
250
cc
de
leche,
-90
g
de
azicar;
¿qué
sucede
si el
número de
personas
es
mayor o
menor
que
cuatro?
Esta
situación
podríamos
expresarla
por medio de la siguiente
abla:
Personas
Bizcochos 6121824
lo
que
expresado
en
forma de
matriz sería
Si ampliamos
os
datos,considerando
l total de
os ingredientes
Personas 8 . ..
(246
8
\
\6
Lz
18 24
. . )
Bizcochos
Yemas
de
huevo
Leche
Lzicar
llegamos
61 2
36
125
250
4s
90
18
24
912
37s
500
135
180
¡
2
4 6
8 " '1
I
e
t2
18 24
.. . \
l :
6 s
12
I
\
125
2s0 37s
500
/
\
+s
90
13s
180
.. .
1
Es evidenteque esta matriz se puedeampliar tanto en filas (añadiendo
nuevos
ngredientes)
omo
en columnas
aumentando
el
número de
comen-
sales).
ambiénse
puede
omprobar
in difrcultad
ue
cumple
as
propieda-
desantes
itadas.
¿Cómo
obtendríamos
hora
os ingredientes
ara
doce
personas? asta-
ría
multiplicar
por
un número
alguna
de
as columnas
precedentes. ambién
podríamos sin difrcultad
reconstruir
nuestra
receta si
hubiésemos
erdido
parte
de
os datos
correspondientes
un
determinado
úmero
de
personas,
encontrar
dos
números
conocida
su
razón
y
su
producto
(o
su razón
y
su
suma)
y,
en
general
esolver
odos
los casos
de cálculo
de
proporciones
aplicando
a nuestra
matrizsus
propiedades
VlN
HInLE,
P.' 1986).
No vamos
a extendernos
n el tratamiento
de
as
proporciones
partir
de estas
matrices,
porque
evidentemente
e sale
del
tema específico
ue
27
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ero
de este
lanteamiento
urge na
pregunta, ue
el
y que
a
nosotros
nos afectadirectamente:
i
las
e
pueden
rabajar-sin necesidad
e utilizar las fracciones
de os motivos clásicos
ue
ustihcaban
u
permanencia
n el currícu-
se
uedeprescindir
e éstas?
Cuál
es a aplicación
ráctica
de
Si
las
fraccionesde uso cotidiano son muy reducidas
y
las decimales e
on
notación
decimal, o
que
leva al uso
de
os
algoritmoscon los
es
ecesario
alcularcon fracciones? ¡,N Htelc
añade
que quizá
alguna orma
de simplificar
y propone,
apoyándose n un
planteamiento
xiomático, a
alb
por
a'b-t.
Ahora
bien,
estos
lanteamientos,
erían álidos
para
alumnos
de segun-
ue
hubiesen lcanzado
n nivelcognosciti vo decuado. ero,
sto en la segunda
etapa,
o
que
se cuestionaentonceses
sun la primera.
El mismo autor
señalacomo ventajasen su su
presión
el hecho
de
a técnicas
aisladas entro
de las Matemáticas,
as ventajasde
productos
en ugar
de
cocientes
otras como a valoracióndel
grupo,
aportando as bases
ara
una visión
global
estructurada
las Matemáticas, la
preparaciónpara
la
posterior
ntroducción
de
Entre
os
mayores
nconvenientes este
planteamiento,
l mismo autor
de
romper
nuestra
ropia
costumbre,a resistencia
l cambio
y que
ha intentado odavía
de
forma
generalizada,
or
lo
que
no se
bien todas
las implicaciones
que
acarrearia
una decisión de este
caso,esta
postura
merece enerse n
cuenta
y
no ser
para
el futuro.
Por
otra
parte,
algunos utores
Jov,
R., 1981;Cnnn, J., 1981) ehenden
e
as
fracciones poyándose
n
que
as operaciones
omo a
y
división de decimales
sólo
podrían
entenderse orrecta-
si se saben as correspondientesperaciones on fracciones.
tros
ue
as fracciones on
esencialesomo actores e comparación,
utilizados
para
establecer ómo se comparandos cantida-
personas
ue
conocieran ólo os números aturales erían imitado
afrrmar,
or
ejemplo,
he
ardado resvecesmás
que
ú en
un
trabajo>
y
no seríancapaces e formular
a
proposición
nversa.
características
e aprecianaún más
claramente n la siguiente rase,
naranjas
uestan hora dos veces media has
que
hace
cinco años>.
ambién
conviene aceruna reflexión
esde
a
perspectiva
e os
cuatro
e enseñanza
e as Matemáticasormulados
or
DtnNns
DmNns,
La aplicación de su
principio
de variabilidad
matemática leva a
si
queremos
mantener a
enseñanza e
las fracciones ecimales n
la
introducción
del
número
decimal,
para
que
sean bien
entendidas
por
nuestros
alumnos
es necesario
ue
tomen conciencia
e
a existencia e
otras
fracciones,
e
as
que
a decimal
esun
caso
particular. Esto seríaanálogoa
la
necesidad
e
presentar
distintas
basesde los
sistemas e
numeración.
Otros autores
ftF_n¡N_r
9751.v,99.e-a
taq
ra,_qcio*ggsln*fgI,(gtgglg,para
las
relaciones lsebraicas
oteriores,
consideran
ue
a comprensión e
os
números
áóiónIl"s
éb'básica
árá
el'desarroilo
control"deas
iá-eas ate-
máticas.
Al
utilizar
estos
números los
niños deben ser
conscientes e
la
iqüivatencia
e racciones,
anejaruna operación
umacompleja,
más
axio-
mática
que
ntuitiva,considerar
ue
a relación ntresuma
y
producto
no se
presenta
de forma
natural
y
trabajar
la fracción
inversa,
por
lo
que
los
problemas
de
tipo algebraico
que
se
presentan
on evidentes.
Por último existen piniones
ue
consideran
ue
as
racciones on
parte
de nuestro
bagaje ultural
y que
no sería
ógico estringir
os conocimientos
de
las
generaciones
uturas respecto
de las
presentes
Cenrn,
J.,
1981).
Hemos ratado de recogeropinionessobresi debeno no permaneceras
fracciones
concepto
operaciones,
las
dos
cosas) n el
currículum lemen-
tal.
Evidentemente,
u tratamiento
estáestrechamente
inculado
a las ideas
que
se engan
sobre el
proceso
de enseñanza
prendizaje.
1.3.2. Las
fracciones
las nuevas ecnologfas
El desarrollo spectacular
e
os ordenadores,compañado
e
a mayor
accesibilidad
ue
se iene en
a actualidada
las calculadoras
ersonales,
stá
modilicando
profundamente
iversosaspectos
e la enseñanza
e todas as
disciplinas
y
muy
particularmentede las Matemáticas.
Tradicionalmente,
os currículos
e
Matemáticas n
os niveles lementa-
les
ponían
mucho énfasis n el
desarrollo
de un
gran
número de
procedi-
mientosmecánicos
rutinarios,en
particular,de os algoritmosde
cálculo de
la
Aritmética.
En el presente, on la llegadade as calculadoras,a eficacia rapidezde
cálculode
os alumnos,
en
general
e os seres
umanos, a
perdido
gran
parte
de
su valor.
Esto debe mplicar
una disminución
en el tiempo
que
se
dedica a
la
práctica
algoritmica,
especialmente
e expresiones
omplicadas,
empleándolo
n
profundizar
en os conceptos,
n ncluir
temashastaahora
no considerados
en
desarrollar
estrezas e un
nivel cognitivo
más alto,
como
puede
ser el cálculo
aproximado,
a estimación,
etc.
Así
pues,
l centro
de
nterés
e
desplaza
aciauna
mejor
comprensión
e
los conceptos
del significado
e
as
operaciones,
iendo
menos
mportante
el desarrollo
de destrezas
ara grandes
cálculos.
En el caso concreto
de las
fracciones,
a mayoría de
las
calculadoras
muestran
us esultados
n notación
decimal,
o
que
se
ha
traducido
en una
29
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 17/85
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 18/85
que
tradicionalnrclrlc
e r¡rec lc
lits li' itccirlttcs
uncione
excelente-
Niños de cort¿r
cda(l
¡rttedctt
cttcr óxito
ll trabajar
con
medios,
etc.
Esteéxito llcva
al lnlrcstlo
¿runir
)t 'cnl¿ltura
ntroducción
de
os
y
ahí
es dondc
crn¡"riezittt
t lpit l'cuüt'
os
problemas>. l caso
má s
1o
constituye
a divisiilt,
c¡rtc
cgirtr
l citaclo autor,
dentro de
la
no es natla
inttt it ivlt,
tto cstit
motivada
y
no tiene
ncluso cuando
sc ctlnsidcran
fl'¿tccittltcs
uy sencillas.
La opinión
de
FnnuNoENrl{AL
cs
quc
tlcntt 'o
dc esta
Aritmética
sólo
aquella
parte
de
las fracciorrcs
quc
sea
accesible
por
los
intuitivos.
El estudio
de
las fraccioncs
dcbc
continuarse
después,
del
Algebra.
No
hace falta señalar
a influencia
que
adoptar
una u otra
postura
tiene
enfoque
que
se dé a
las fracciones
y
a las operaciones
con
ellas
currículum.
Por señalar
un ejemplo,
si
pensamos
con SrnnsrlaNl
búsquedade solucionesante situacionesproblemáticasque conllevan
la
idea de fracción
(situaciones
de
reparto,
medida,
etc.)
parte ineludible del
proceso
de
<dotar>
de significado
a
la idea
esto
implicaría,
desde a
perspectiva
de
aprendizaje,
que
el
y
los algoritmos
se
desarrollan
al
mismo tiempo
y,
desde
una
de enseñanza,
a necesidad
de buscar
situaciones
problemáticas
que
el
procesode búsqueda
de soluciones
nos lleve al
desarro-
e esa
dea matemática
(SrnnnnleNl,
1984).Es
muy importante entonces,
hora de adoptar un
criterio
u otro, estudiar
seriamente
as
implicaciones
que pueda
tener.
No debe olvidarse
que
lo
que
acabamos
de
exponer son opiniones
de
los
en
la materia,
pero
que
lo
que
realmente
mporta
son las
propias,
ya que
éstas son
las
que influyen decisivamente en
la
ráctica.
Debemos
por
tanto reflexionar
sobre
as distintas
posibi-
y
eÍperimentar
con ellas
hasta alcanzar
un
modelo del
que
estemos
convencidos.
N0S01R0
REEHos
0q
0
I.4. NUESTRAS
CREENCIAS
Evidentemente
uestras
creencias
on respecto
a las
fracciones
stán
implícitas
anto
en a fomulación
de as
preguntas
e os
apartados
nterio-
rescomo
en el
desarrollo
e os capítulos
iguientes.
ueremos,
o obstante,
resaltar
algunos
aspectos ue
nos
parecen
nteresantes.
Pensamos ue
es
muy importante
que
os
niños
vean as
Matemáticas
n el
mundo
que
es odea,
es
areanuestra
ayudarles,
or
un ado,
a apreciar
a
pre-
sencia
e
os conceptos
matemáticos
n
general,
de as racciones
n
particu-
lar,
en lo
que
ven
y
en
lo
que
oyen,
y por
otro,
a integrar
os
procedimien-
tos de razonamiento,esoluciónde problemas, tc. en su actividadcotidiana.
Bajo
esta
perspectiva,
os
criterios
guiados
por
necesidades
ociales
o
nos
parecen
os
más
adecuados
ara
decidir
el
sí o no
a las fracciones, a
que,
aunquemuchos
de os estudiantes
o continuarán
studios
uperiores,
no creemos
correcto
establecer
discriminaciones
a
prioril>
entre los
que
serán uturos
matemáticos
científrcos
e os
que
no. Por
ello, no
debemos
limitar el
currículo
a las
estrictas necesidades
e la
vida diaria,
y
somos
partidarios
de mantener
as fracciones
en
la escuela
lemental.
Ahora
bien,mantener
as
racciones
o
quiere
ecir
perpetuar
l descono-
cimiento
de su significado,
a infrautilización
del concepto
y
la
sobrevalora-
ción de los
algoritmos
con
que
en muchas
ocasiones
os
encontramos.
Debemos
dar a los
alumnos
un conocimiento
ntuitivo profundo
de las
fracciones,
resentando
l niño contextos
significativos
anto
para
el
concep-
ta
JJ
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 19/85
para
su campo de aplicación,
y
buscando
conexiones onceptuales
orcentajes,
azones, tc.
Pensamos
ue
hay
que
mantener
a enseñanzae os
procesos
lgorítmi-
ntentando
que
no
se vean aisladosde todo lo anterior,
presentándolos
síntesis e
procesos
ersonales
e
resoluciónde
situaciones
roblemá-
y
no como
<reglas> ara
ser utilizadas.Este enfoquedebecondicionar
planteamientos
e clase,
a que
sedeben
primar
los
procesos ue
os
para
solucionar las situaciones
presentadas,
ncauzándolos
que
al
final
del
<<camino>>
e
puedan
ver
as reglasdel
cálculo algorítmi-
a síntesis
e
os
procesos
tilizados.Esta
postura
mplicael cues-
el lugar de los algoritmos de las fracciones n
el currículum.
Por
otro lado, debemos erconscientese
que
estamosnmersos
n una
constante,
que
hace
que
operaciones
ue
antes sólo
ser resueltas travésde complicadoscálculosseanahora fácilmente
l ignoraresto
por parte
del
profesor uede
esanimar
rofun-
los alumnos.
Este mismo
avance enológico
que
en los últimos años,con la aparición
calculadoras su notación decimal,
hizo
que
muchos
se cuestionasen
as
fracciones susalgoritmosen a enseñanza lementalfrhora,
los
ordenadores
personales
de
pequeño
tamaño
que
de
forma
algebraica a abierto un nuevo
nterrogante.
¿Servirán
ara
as fracciones susalgoritmos?
¿Conducirán
su
progresiva
desa-
¿O
quizá
ahora
más
que
nunca se
necesitará na
buenacompren-
pasoprevio
a su utilización?
Nosotros
apostamos
or
esto
último.
Todas estasopinionessobre as fracciones o son un
hecho
aislado.
crrenciasvienen condicionadas
por
la
propia
Matemática,
por
el
de otras disciplinas,
or
el entorno social,
a
tradición escolar,
de as Didácticas e as
Matemáticas, tc.
y
marcan a visión
que
tenemossobre el
proceso
de
enseñanza
prendizaje.
Este
proceso
nos lo
planteamos
como una actividad
en
la
que
inter-
por
una
parte,
el
procesamiento
e
nformaciónde os conocimientos
a posesiónde un conocimientopráctico (experiencias),tc. que
el
profesor para
tomar decisiones
, por
otra, el
procesamiento ue
el
alumno
para
transformar
a
información
ofrecida, reestructurar us
ctitudes
y
conocimientos. odo lo anterior desarrolladoen
situaciónde enseñanza e as Matemáticas.
PÉnez
Góunz, 1983).
Estos
a que
os
procesos
e aprendizaje
condicionar a actuacióndel
profesor.
Por
tanto, el admitir
que
los niños construyenel conocimiento
por
sí
que ya poseen,
la interac-
como baseesencial e todo el
proceso,
os leva a una aproxima-
de a enseñanza prendizaje e as
Matemáticas
Hnnco-
N.,
y
BnncnnoN, . C.,
1984).
Las
fracciones
en
la
escuela
2.
00
0
AA
o^
OA
0
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 20/85
LAS FRACCIONES Y LAS REFORMAS
CURRICULARES
Las fracciones n os distintoscurrículasantes
de a
instauración
e a EGB
Antes
de
pasar
a
situar
las fracciones
en el currículum actual, es conve-
hacer
un breve repasode la trayectoria
que
han
seguido
en
nuestro
a lo largode asdistintas eformas.Como veremos, llo no es area ácil,
as racciones
parecen ispersas n distintos ursos e variosniveles
A comienzos e siglo, el objetivo
prioritario
que
se
perseguía'len
os
nivelescon la enseñanza
e
las Matemáticas
ra eminentemente
en
un esfuerzo
por
relacionar los
problemas
de la Aritmética
con
los
problemas que
el
adulto
podía
encontrar
en su vida
La Primera Enseñanzase centraba en desarrollar habilidades
de cálculo, eservando
ara
cursos
posteriores
l desarrollo e a
Fig.
2.1).
En los
añoscuarenta.
as
recomendacionesobre a Enseñanza rimaria
país Ley
del 17 de
ulio
de 1945)
lasificanos conocimientos n
grupos:
nstrumentales,ormativos
y
complementarios.
entro de los
seconsiderabanndispensables,staba ncluido
el cálculo, sí
lectura la expresión
ráfrca
n susdistintas ertientes. os ormati-
se
definían
omo
a
basede
a formaciónmoral
e
intelectual,
barcando
última a las Matemáticas. os conocimientos omplementarios ran
ue
secreíannecesario
ara
completar a culturamínima
primaria.
Ley
señalaba
ue,
según l tipo de escuela,ebería
rimarse
no u
os distintos
grupos.
Estasnormas
genéricas
e reflejaronen unos cuestionarios
ublicados
años
más
arde
1953).
emos ecogido
lgunas
rases
ue
aparecen n
e
dichos uestionarios,
rocurando
o
sacarlas
el
contexto
que
estánescritas, on objeto de
que
cada uno elaboresus
propias
En
la
primera parte
se señala
ue
<los
Cuestionarios
son)
espetuosos
tradición
escolar
que
ha
convertido a
<asignatura)
n realidad
a
enseñanzaerá oncreta, ida
y
activa.Partirádel ambien-
LBCCION
VII.
De
los
luebrados
lr??.?¿nes
reduccion
t'
á
zt?t
o??t?.t?r,
enonúnador
y
sím-
Ttlif
cací0n.,
f;:
l$::,3'"Í",'"0,'i.1lin
ou"
rac-
c ion
6
quebra( lo
es
aquel
n{ rmero
que
consta olode parres e lb ur¡ idad ó óueexpresa
¡na
ant idad
renor
ue
Ja unic jad
entera.
Por
ejemplo
una
i6ra consra
de
I6 onzas
esto
es,
6
por.c iones
unidades
enteras
menores
ue
la l ibra.
P.
¿
Conro
e
lamr
el
númer.o
ne ex-
p. re: l las
partes
ue
se
roman
de
ja
üni-
dad
R.
Numerador
y
e.s
l
que
se
pone €D-
c ima de
a
rava.
P.
¿
Cómó
se
l lama
el número
de
par-
tes
en
que
se
considera
iv id ida
a
uniüad?
R. f )enont inador,
'
es
el
que
se
¡1o¡e
de. jo e a r :aya. or ejémplo
+
i el z es 'aqui
et t )ueterador,
orque
numera
uat) tas
ar-
tes.hay
cle
a ui l id"d,
J
el 5
e- i
e l
denorni -
l ld.o. ' :
gue
expresa
n
cuantas
arres
stá
div ic l ida- la
¡ i i rna
unic lad,
Esta
' racc ion
e
]ee
dos
7u,¿:ntos.
l-"^"*.1?
Reprod,ucción
e
una
página
de un libro
de Aritmética
Elemental
ublicado
n
1828.
Título
de la obra:
Lecciones
e Aritmétit.a.
uror:
MARTANo
¡no.
lÁprént"
de
Don
Mariano
Caro,Sevil la,
828.)
)t
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 21/85
está
que
el
material de
enseñanza
s
ndispensable;
pero
mejor
material
que
el
que
ofrece
a
vida misma?...
Si se
rata de
cálculo,
stán
as adquisiciones
que
satisfacen
as necesidades
omésticas,
l coste
libros
y
juguetes,
los
juegos
de
comprar
y
de
vender
que
pueden
en
la misma
escuela,
además
de utilizar
el
cálculo
--cosa
que
se
tantas
veces-
para menesteres
que
no
sean solamente
los
de
la
y
el despertamiento
del
espiritu
de lucro...
La
palabta ftá
refotzada
la
intuición
y
por
la acción.
Un aspecto
mportantísimo
de
la acción
medio didáctico
son
las manualizaciones.
Toda lección,
para merecer
debe
terminar
con una
serie de
actividades
o ejercicios,
entre
los
no debe
faltar
-a
menos
que lo vede a
índole de
las
materias- los
manuab.
de
las noÍnas
didácticas
específicas
para
la enseñanza
de
las
señala
como
fundamental
<la
fundamentación
sólida
de los
como punto de partida indispensable para la ampliación y
de
otros
nuevos.
Las repeticiones,
el ejercicio
constante
de cada
adquirido
son
indispensables
medios
didácticos...
Los
problemas
r
graduados
en
progresión creciente
de
dificultad
y
agrupados,dentro
posible
en tipos
anáiogos,
(Fig.2.2).
'tr
Hemos
querido recoger
estas
precisiones
para
resaltar
a importancia
del
a la
hora de
interpretar
las
palabras. Es evidente
que
aquí
<acción>
el
mismo significado
que
ahora
le damos,
y
lo
mismo sucede
con
e
problemasD, tc.
Estas orientaciones,
que
nos
pueden
parecer
lejanas
en el tiempo
y
en la
forma,
fueron, sin
embargo,
as
que
guiaron
primeros
pasos
de
toda una
generación
que,
en este
momento,
está
entre
Conviene
que
seamos
conscientes
de ello.
Respecto
a
las fracciones
en
particular, éstas
aparecen
diseminadas
en los
cursos.
No se
aprecia
ninguna
indicación
específica
para
su
intro-
sino
que parece
subyacer
a
idea de
que
sea
a
práctica
repetitiva
la
lleve
a su comprensión
y
a
un dominio,
de
carácter
rutinario,
de las
de cálculo. Y, de hecho, os libros de texto de la época nruestranuna
preocupación en el
<cómo>>
e
usan
as fracciones
que
en el
<<qué>on'
En el
primer
curso
del
Período
de
Enseñanza
Elemental
aparece
la
mediante
ejercicios
prácticos, a la
idea de doble
y
mitad.
En el
siguiente,
después
de repasar
as
ideas de
doble
y
mitad
se ntroduce
la
triplo
y
tercio,
y
cuarto
y
octavo.
En el tercer
trimestre
de este
curso
eñala
también
como
contenido
una
idea
general
del
Sistema
Métrico
Así
pues,
éste
precede
a
la introducción
del
quebrado
(utilizan este
y
su
representación
por
cifras,
que
unto
con
ejercicios
de
hallar la
el tercio,
el cuarto,
y
el
octavo
de números
dados,
se encuentran
en os
segundo
y
tercero
del tercer
curso.
En cuarto
curso,
desglosado
meticulosamente
como
todo el
cuestionario
trimestres,
se
encuentran
ejercicios
de
medida
y peso
de
los cuerpos
y
Frcunn
2.2.
Recomendaciones que
aparecen
en un libro
de Aritmética para
Primera
Enseñan-
za editado
en 1947.
(Título
de la
obra: Mi
librito de
Cálculo.
Autor:
Jnsui
GoNzArnz.
Editorial:
El
Mensajero
del
Corazón
de Jesús,
apartado
73,Bilbao,
1947.)
representación
e os números
nteros,
uebrado
mixtos
esultantes;
nicia-
ción a la
simplificación
equivalencia
e
quebrados;
implificación
reduc-
ción
a común
denominador
e
quebrados
omunes;
uma
de
quebrados
,
por primera
yez,
apareee
a
palabra
fracción
en
el apartado <reducción
de
fracciones
ordinarias
a
decimales>. ambién
se ncluye
la
suma
y
resta
de
quebrados.
a multiplicacióny
la
división
se dejan para
el
período
de
Perfeccionamiento.
Tresconsejos
ados
por
el
erninente
pedagcgo
español
don
Andrés
Manjón para
aproyechar
en
Aritmética:
Prime'ro
Práctica
Eiercicio
Habíiuacíón
Segundo
Mucha
tíza
Mucho
lápiz
Mucha
tínta
Tercero
La
memoria
por
adames
La
pízarra
por
anobas
Los
problemas
por
quíntales
39
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 22/85
Es de destacar
que
la idea
general
de
quebrado
y
su representactón
en
ct-
focupa un solo trimestre
de un curso,
y
la
iniciación
a
la simplificación
y
la
otro.
Las operaciones
aparecen en siete
trimestres de los
18
que
los Períodos
Elemental
y
de Perfeccionamiento.
También se
obser-
que
os términos
quebrado
y
fracción
coexistenen
el cuestionario
(Fig.
2.3).
En los años cincuenta
a UNESCO
elabora unas directrices,
con carácter
paÍa
la enseñanza e
las Matemáticas
en los niveles elementa-
lo
que
trasladado
al sistema
educativo español
incluía los
primeros
Bachillerato.
Estas directricesno tuvieron
demasiado reflejo
en los
de estudio
de Bachillerato
aparecidos en el
(B.O.E.)
de fecha
2l
de
de 1954.
En los Cuestionarios correspondientes
al
primer
curso
(equi-
al 5.o curso
de la
EGB
actual)
aparecen,
dentro del apartado de
<las
raccionesordinarias
y
sus
propiedades
elementales; dición,
multiplicación
y
división de
fracciones>.Curiosamente,
a reduc-
a fracciones rreducibles y la reducción de fraccionesal mínimo común
no
aparece hasta el
curso siguiente
(Fi9.2.4).
Las orientaciones
metodológicas
que
se
proponían para
desarrollar
los
primer
curso
recomendaban omitir
todo razonamiento
abs-
hacer notar las
propiedades
numéricas
con la repetición
de ejercicios,
el
mayor número
posible
de ellos, a
fin de
que
al finalizar
el
los alumnos
manejasen números
naturales,
fracciones ordinarias
y
decimalescon
soltura, es decir,
sin equivocarse
en cálculos excesiva-
En esta
misma déc ada comenzó
en distintos
países, rincipalmente Fran-
y
EE.UU.,
la introducción
de las
Matemáticas Modernas, a
las
que
de desarrollo
as corrientes
estructuralistas.
La denomi-
Matemática Moderna
merece algunos
comentarios,
pues
la
mayor
de
los contenidos
de los llamados
(programas
modernos>
ya
era
por
los teóricos
en el siglo
pasado.
De lo
que
realmente se rató
fue
revolución
de la orientación
y
de los contenidos
de los
matemáticos en la escuela.
Es
dificil
identificar
las causas
que
desencadenaron
ste brusco cambio.
punto
de vista formal,
podría
decirse
que
se
pretendía
dotar a
los
de una
formación más
versátil, de
manera
que pudiesen
adaptar-
al avancecontinuo
y
vertiginoso
que
estaba
eniendo
ugar
un mundo cada
dia más
tecnológico
y que
demandaba
una mayor compe-
matemática.
Parecia como si
se aceptase el
hecho de
que
no
era
enseñar
a los alumnos unos conocimientos
perdurables,
en el sentido
permanentementeútiles.
En lugar de ello,
había
que
intentar dotarles de
que
les
permitieran
adaptarsea las
variadas situaciones
que
encontrar
en el futuro.
También es
nteresanteseñalar
que,
usto
por
estos
años, surge en
distin-
países
una
gran preoc upación por
el a nálisis e
innovación de
los currícu-
F¡cuu
2.3.
Página de un
texto escolar
de 1954
en la
que
se
aprecia
la
coexistencia
de
lo s
términos
quebradó
y
fracción.
(Titulo
de la
obra: Aritmética
de 2.o
grado,
pág.
93.
Editorial
Luis
Y
v es, Zar agoza,
1954.)
Don Ju¡n
dividc
cl
portcl y
lo reparto cotrc todo
LUCCTON
0
QUEURADOS T STIS PROI'¡EDADES
P¡or¡t¡¡r.-
lt?,
Qr¡rbr¡do
o
lrltcifd¡,- 153.Té¡miuo¡
dcl
qrcbrrdo.
-
159.
ü.¡om¡c¡d,'r.
Nur,".rr,r,,r.- lür.
Euiltrn dc
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Lntr3¡ dr
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rl mirnn.
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16l,
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vcrf,c¡
cu¡ndo dn
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I
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rni¡lr¡ trnrdlrj.- lü. l .rn
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drl
s¡let
dc h Incc¡in dc un ntinem.
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lt¿.
lloprrl¡.¡$ rlr
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qnr.l'rrrl,s.
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¡^
r¡rtbndc:
prugio,
hngrr,gru
y
[l i¡t6.
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lt4l. Cómo |. ndu¡c
un
rah].o
¡
qúr5¡¡do.
-
l€,
ld. uq 0i¡ro ¡
qurt¡t¡do.
I57. Lh¡¡rasc
gucbrutlo
o fruccióo
cl
nú¡r¡cro
que
e.\prL-sa na
o va-
rias
partes
gualcs
dc
l¡ unidad.
Divisiún
rJc
un
prutd
lin cl
grabatlt ' quc cncnlxra
csta
¡r/rgino
vúnt(x
t¡ut
rl.rrr
Juan
ha
tlivitJid¡r
el g:r-<tcl cD 8 p.1rtc iiualcs. Cada parto 6 en ocluuo: i. ¡-"" I partes vrn
tl
ocho ocluuos:
T.
Soo cl
pastcl
total. C¿da
Pcrloue
¡ccibe
una
p¡.rlc,
¡n
o(l¿.
r t2
uo.'¡.
Los I
aiños
reciben csol?o oclovos,
i.
L"" 2 ¡iñas ¡tcibco
dos
oclauos:
I.
El
padrc
recibe
una
prrtc. ün
oclavo:
¡
Lo
atisoo recibc ru sc6or¡.
El oümcro 8,
que
escribülos
debajo, significa
que
el
pasttl
sc
ba dividido
en I
p r r tes . igue lcs .
Los
oúnreros 1.2.
a,
que
e..cribinr<x
cncim¡.
sigorfican
lirr
p:rrtes que
tooÁ-
oos dcl
pastcl.
4l
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 23/85
Ir{INIMO
COMITN
MúLTIPLO
62,
DErrNrcróN.
-
Se uo.mq
iltnínta centln
,ntilttpl'o ite dot
o
,t¿tis Lúr¿eros,
V
se
ir.dlca
por
nL
c.
m. dl menor de
los ntúi-
ttplos contutres
aie
dlcllos ruitneros.
Sean
los
númcros
28,42
y
63.
Mu¡ülpllcando
cad¿ uno de el¡os
por
los
de Ia suces¡ón,de
números
naturalcs.
ob¿€ndremos
ires colecctones
llhrftr-
das de
múltlplos, cn las
que
veremos hay lnnnldad
de nú-
meros
como
252,
604,756, I 008, eüc.,
que
.¡r
a vez son múlilplot
del
28,
del
42
y
del
63. De todos esos mül¡lplos comunes
el
menor
es 252i
lua.¿o
i l t . c . m.
(28,42
Y
63):252.
Obtendrenros
el
?¿.
c.
m.
haclendo uso de
las
slguientes
reglas:
63,
Rscr.r l.a
-
Pa,ro, hallar
el,n, c.
trt.
de dos ltúrneros, se
d¡uide
¡l¿
prod(c¿o
po¡
s¿r
Dl.
c,
(¿,
o, lo (rae
¿.$
rr¿ds
bre¿e,
sc
..rultípllcd, r.tro de los tui'l¿eros por el coclentc de d.i)id,¿r c¿
olro
por
el
,n,
c. d.
d,e
antbos.
Ejemplo:
Hallar
el nr.
c,
,t.,
de
56?
y
891.
P¡ocederemos
asi:
i lt.
c. d.
(367
V
891)
91
n¡.
c. ,¿.
(567
y
89r): (567
: 8 ¡)
X
8gr
-
?
x
891:0
23?
Gl. R¡c¿¡
2,a-
para
t¿aud,r
et,n.
c.
,ra,
d.e
aulos taúnrctos
se
d.etermlna.
eI
d,e dos
d,e
ellos
después
se lrlla
el
d.el
n.
c.
n..
obtenido
lt
otro d.e
los núrneros
dad.os;
¿sl
¡e
cor¿tinri¿
tics_
lc
lraúer
opercd.o
cot¿
¿odos
¡os ,¿1ú.meros.
Se:r,
por
ejemplo,
hallar
e¡ n.
c.
nr,
de
9Z{,
I 761
y
7
gl2.
Tendremos
I
m.
¿. n.
(s24 y
I ?64)
t9
4q4.
,n.
c.
n.
(rg
404
9
7 812)
69¡
524
lüego
r,
,tr,
c.
t¡r (921,1
76{
y
? 812)
601
SZ4
.65.
Rsr¿r
3.4-Se
pued.e
hallar
et
nr,
c, rn.
de dos
o
nr,s
::iameros
d.$contponléradolos
en.
sus
lactores
|rfí.|| os
U
mú¡i_
plicando.tas
nd.yores potenclas
d¿
'odos
tos'¡actoreí prlÁos
q
e
conteng
dt¿
a.qt¿ea¿os.
EJemplo:
¡fallar
el rt.
c. t,t. de los nútncros 924. ¡?64y 7 812.
92{:2 .3.?,ll;
1764:2 .9 .,t .
1
gl2.=22.3:.?.gl
ñ.c.nt,.(924,
176.1
?Btz)
2 .32.1 .l l.Jt_
001S24.
APLICACIONES
AL
SSTUDIO
DE
LAS FRACCIONES
.
66.
.Recordemos
algo
de
lo
dtcho
en
el curso
anter¡or, :rl
b¡aer
él esüudlo
de ¡as
fracctones,
con el
nn
de
amp¡la¡to.
.SitnpltÍicar
una
ra.c.c ón
es ¡mllat
otra
eqult:aiente
a ta
Frimero,
pero
¡le
térmlnos
menores.
2.4. Introducción
al m.c.d. y
m.c.m.
como
paso
previo
a la
simplificación
de fracciones
de Bachillerato
del
plan
del
54.
(Título
dt la
obra: Márcmáticas
2.o curso
de
Autor: Benigno
Ba¡atech.
Editorial:
Imprenta
Heraldo
de Aragón,
1954.)
los, o
que
se traduce en el desarrollo de numerosos
proyectos
de
investiga-
ción educativa. Ello favoreció
la implantación
y
extensión de
la reforma.
Para
poder
entender bien
el
enfoque didáctico
de las Matemáticas Mo-
dernas es,
quizá,
importante situarlas
en su
contexto. Por un lado,
y
a un
nivel
puramente
matemático, se habia avanzado mucho en el desarrollo de
cstructuras, así como en
la
unificación de conceptos.
Por
otro,
se había
<Iesarrollado normemente,el conocimiento acerca
de los
procesos
de apren-
dizaje de
los
niños.
Estos hechos
parecen
suficientes
para
entender as razo-
nes
que
llevaron
a abandonar
una enseñanza e las
Matemáticas Elementa-
les basada
en
un desarrollo
<utilitarista>,
y
S€
pasase
a una enseñanza
basada en un desarrollo
<estructuralista>.
Estas corrientes no llegaron a España
hasta
años
más
tarde.
En 1965
(Ley
del 8 de
ulio),
aún aparecenunos cuestionarios
de Matemáticas
para
la
Enseñanza
Primaria
en los
que,
a modo de
introducción,
se
señala:
(La
nueva sistemática de los Cuestionario s de Matemáticas, divididos en ejerci-
cios
y
adquisiciones,exige en
primer
lugar actividadesde
carácter operativo,
ya que
el aprendizajede las
Matemáticas
debe ser
activo. A los conceptos se
llegará
únicamente mediante una serie de ejercicios
cuya realización conduce
al dominio de las nociones
y garantiza
el desarrollo
de hábitos
y
destrezas
pertinentes.
La
enseñanza
e las Matemáticas debe ser uncional. Su
aprendi-
zaje
se vinculará a l a so lución de los
problemas que
la
vida
ordinaria
plantea
permanentemente
en
los niños,
y
esto de tal forma
que
ellos
vean de algún
valor su
aprendizaje. ..>. lamamos de nuevo la atenci ón sobre
el significado
que
se
da
quí
a
la
palabra
activo.
Una comparación de los contenidos de
este
plan
con los cuestionariosdel
año
1953 muestra
que
el tratamiento dado
a las fraccionesno varía
sustan-
cialmente. Así, en el 3."' curso aparece
<idea
general
de
quebrado>
en los
cuestionarios,
y
(reconocimiento
de
fraccionesordinarias> en el
Plan del 65;
en cuarto
curso
figuran en ambos la suma
y
la resta
(Fig.
2.5),
y
en el
curso
siguiente
el resto de las operaciones
y propiedades.
La única
variación se
aprecia en la reducción de frac ciones a c omún denominador que en el plan
del 65 se
retrasa
a
4.o
curso.
Se mantiene un enfoque
preferentemente
lgorít-
mico,
y quizá
el
hecho anecdótico más relevante
sea la desaparición
de la
palabra quebrado.
Es de destacar el tr atamiento
desigual
que
se dan a las Matemáticas en
los últimos cursos de la EnseñanzaPrimaria en relación al llamado
Bachille-
rato
Elemental.
Así, en el caso de las fracciones,
mientras
que
el 3."'curso
del
Bachillerato
Elemental
(Plan
del 57) aparecenenglobadasen un
tema sobre
<el
Número
Racional>, en el curso corresp ondiente
de la EnseñanzaPrima-
ria una de las adquisiciones
que
se señalaes a simplificación de
fracciones
y
las
fracciones rreductibles.
En
cierto modo, los dos
planes parecen
corres-
ponder
a una dicotomía entre una forma de
introducción
<más
avanzada>>
otra más
<elementab>Fi5.2.6 y
2.7).
UNIVERSIDADDISTRII
3
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 24/85
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CURSO?.- (t2-13AñOs)
F.¡urctc¡os
Aoou¡ ir .(
l t rNLs
-
Dr'scomposición
f¡rctorial de
l<¡s
númcrt¡s.
-
Prr¡blt'n¡;rs
dc a¡rlic:rciór¡
dc
la
pruporciorralitl¡¡tl tlc
||r :¡gr
u(lcs.
-
Rcprcscntación
gráfica
de' magnitudcs
dir('cta
c
irl'
vcr s¡ nrc¡r L'
propurcionalcs.
-
lijercicios.
dg
cunversirin
v
rc¡luccirirt
dc fr¡¡t'cinttr's
or¡ l i rrarias
v
dcci¡tt:¡ l t 's.
-
EjJreicios sobrc rc'gla
de
trcs compucsl¡r,
inlcrtrs
v
t lcsCU(n
10 .
-
fijt'rcicios s<¡hrc raíz cu¡clrada
dc númcros
('nl('ros,
r jsci lnalcs y tr¡ccio¡tarius.
-
Cr¡nstrucción dc
tr iángulos
y polígonos sctttcj l t l t lcs
üun
cnrl)lc(, dul
pantógrafo.
-
Ejcrcicios sobrc
simctría axial
y
central .
-
Ejcrcicios sr.lbrc raslitción
de segmcntos
y
geoPlanos.
-
Ejcrcicios
sobrc
giro y
Iraslación
dcl
rt 'ct lngulo,
tr i '
áñgulo
rcctángulo,ciróunfr ' r 'cncia,
i rculo,
st ' ¡ l t icircun'
Ic¡cr¡cia
y
scrrr icirculo.
-
Prr.¡blcnrassohrc
áreas
y
volúment's
de
tos cucrpos
dc rcvuluciór¡.
-
Ejcrcicir.rs sobre
igualdad, equivalcncia
y
scmejanza
dc
liguras.
-
Dcmostración
t'xperimental dt:l teorem¡¡
dc
Pitágoras.
-
Problcm¡¡s
sobre
mczclas
y
alcacioncs.
-
Ejcrcicios
dc t¡r¡trción
litcr¡l
dc
ma¡¡nitudt's.
- Ejcrcicios scncillos ¡Jc mon<¡¡niosy polinomios.
-
tLcsolución
¡ c ccuaciones
dc
primcr
grado
ctrn
una
irrcógnit¡r.
-
Rcprcscntación
gráfica
de
ecuacioncs
lineaL's.
-
ldc¡t
y
fundamentos
de
l¡ rturncr:rción
n
basc cu¡rl-
(lu
cra¡.
-
Div is i l r i l i rJad:M.
C.D.y
M,
C.
I l .
-
Sirnpl i f icación
de
fracci<¡rrcs.
r:rcci¡rnes
rreductiblcs.
-
Rcgla
d(' trcs compuesta.
-
Mczr' l ¡rs
alcaciones.
-
Reg,la
dc
irrtcrés
y
descucnto.
-
ll:rí¿
culdr¡dr.
-
Fi¡1uras
gconrdtricas
iguales,
cc¡uivalentes
y
setnc.
jan
tcs.
- Suucjirnza de triángulos.
-
Pro¡xrrcionalid¡d Je segmentos
en
cl triángul¡¡
rcc-
tiirrgukr:
tcorcilr¡¡
de Pitó¡¡orus.
-
Arcas
dc los cucrpos rctlondr¡s.
-
l'r'r¡yccció¡r
de
puntos.
sc8mcntos
y planos.
-
Nrriúrr de álgebra, mon<¡n¡iu
y polinonrio.
-
F.cu¡¡ción incal.
Frcunt
2.6.
Programa
correspondiente
al curso
7.u
de
Enseñanza
Primaria del Plan de 1965
(Cuestionarios
Oficiales).
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 25/85
I\fATE¡UATICAS
LECCTON
ttti¡ncros
negatív.os.-lulagnitudes
bsotutas y
magnitudes
relativas.-
untcros
posrt¡vos
y
númcros
ncgativos.-Números
raciónalcs.-Reprcscnla-
gráfica.-\,alor
lbsolrrto dc
un nt'rrncro.-fgualdaci
c
númcros
r¡ciona.
númcros racionalcs.-Ejcrcicios.
LECCTON
2
o¡t ttútn¿ros racíonal¿s.-Adición:
Propiedades.-sustracción.
dc términos
racionalcs.-ñtultipliiación:
propicda<Ii.s.-
Propiccladcs,-Ejercicioi.
LECCTON
Operaciones
con nú¡neros racíonales
(continuacíón).-Potenciación.-pro
c las
potcncias.-Racliq¡ción:
Propiedacles.-Ejcrcicios.
LECCTON 4
É'r,
E.tpresíones
algebraicas.-E.rprcsiones
algebraices-
Clasificación.-Valor
dc
una expresión algebraica.-E.rpiesioncs
algebraicas
eouivalcn-
fdcntidad.
Educaiión.-Monbmios
y poliñomios.{ra-do
de un
mbnomio.
un
polinomio.-Polinomio
hómogéneo.-Ejercicios.
LECCION
5
Operaciones con monomios
y polinomios.-Suma
de
monomios
semeian-
y
difcrcncia de
polinomios,-Producto
de monomios.-Prodücto
un
polinomio
por
un
monomio.-Producto de
polinomios
Propicdades.-
LECCION ó
Divísíón
algebraíca--Cociente
de dos
monomios.{ociente
de un
polino
por
un monomio.-Cociente
entero de dos
polinomios.-Relaciones-
n¡re
elementos de
un
división
entera.-Cociente-e.racto
de dos
polinomios.-
aica.-Ejercicios.
LECCION
7
Operacíones con
fraccíones
algebraícas.-Adición.
Sustr¡cción.-Multiplica.
de las operaciones
con fracciones algcbraiias.-
2.7. Primeras
ecciones el total
de 24
que
componían
l
programa
de Maternáticas
e
de Bachillerato
del Plan
de 1957.Nótese
a diferencia
on
el corresoondiente
l 7.o
curso de la
Enseñanza rimaria
(Plan
del 65)
(Cuestionarios
Oficiales).
2.1.2.
Las fracciones n
a EGB
LaLey Generalde
Educación e
1970
(B.O.E.))
el 6 de
agosto)
ntro-
duceen os
planes
e estudio
españolese
EGB las
MatemáticasModernas
antes itadas.
n los objetivos
directrices
etodológicasel
M.E.C.sedan
las razones
ue,
a su
uicio,
hacennecesaria u
ntroducción.Así,
por
ejem-
plo,
seseñala
que
(una
de as unciones
undamentales
e as Matemáticas
es
la de ordenar
conocimientos crear
estructuras
ormales
ue
os resuman
expresen.
as estructuras
ormalesestáncaracterizadas
or
unas
eyes
que
permiten
aplicarles, e
modo
preciso,
unos automatismos,
ntre ellos
el
automatismo
e a Lógica,
ue
acilitasu utilización
n
problemas
ariados)).
Los
programas
siguen
un orden basado
en la
propia
estructuración
lógicade as
Matemáticas,i teneren cuenta
troscriterios
edagógicos
Fig.
2.8).Las fracciones
e ntroducenexperimentalmente
n el 5.o
nivel
de
la
Primera Etapa pasandodirectamente n el 6.' nivel a la construcción el
conjuntode
os números acionales
ositivos
a las operaciones
ntreellos.
Es curioso
señalar
ue
no se
haceninguna
eferencia xplícitaa
las raccio-
nesni a sus
posibles
nterpretaciones.
IJnos
mesesmás arde
<B.O.E.
del2
de
ulio
de
1971)
e
publican
unas
nuevas rientaciones
ara
a
segunda tapa
cursos
.o,
.o
8.o
de a EGB),
manteniéndoseos de la
primera. Estas
orientaciones
ntroducenalgunas
precisiones ue
merece a
pena
reseñar.
Dentro del
Area Matemática, os
objetivos
generales
eñalan
que
(la
segundaetapa de
Educación General
Básica
pretende
r hacia una
mayor
profundidad
en el
formalismo
matemáti-
co.
Se hace
preciso
desarrollar
n el alumno
a capacidad e
elaborar
os
sistemas
ormales ecesarios
ara
a
resolución e os
problemas.
n cuanto
a
la adquisiciónde
los automatismos
supuesto
su conocimiento
n
la
primera
etapa-
es específico e
estasegunda
a formulación
matemáticade
los
mecanismos el cálculo operacionab).
Quizá
a
mayor nnovaciónse
manifiesta n el apartado
dedicado
a la
Metodología. sí,en el temaque nos nteresa e os números acionales e
dice
<parece
onveniente
acer
a construcción el conjunto
de os
números
racionales
positivos
a
partir
de
la noción de
operador, legando
a la de
número
racional mediante
a clasede operadores
quivalentes.
especto la
ordenación, astará
que
el alumno sepa
decir,dados
dos números acionales
positivos,
uál
de os dos es el
mayoo)
Fig.
2.9).
En 1981
y
1982aparecen ucesivamente
os Programas
Renovados e
Educación
Preescolar, iclo
Inicial, Ciclo
Medio
y
Ciclo Superior.
Una clara
discusiónde
las características
e estos
programas
puede
encontrarse
n el
volumen2
(Números
Operaciones)
e esta
mismacolección.
En el Ciclo
Inicial se
nicia
el
trabajo con as
fracciones
más
sencillas
un
medio, un cuarto) vinculadas
a actividades
de
medida de magnitudes.
El
estudio
de as racciones
los decimales e
abordaconjuntamente
n
cuarto
47
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 26/85
Definicio¡r dc
lracciorr
son
fracciones.
Llamaremos
racclón
a un
par
ordonado
de números
enteros,
generalmen-
a
te sscr¡to
T-,
s lendo
b
dlst lnto
do 0.
numeradof
-¿eniñiiidór-
Fracciones equivalentes
A
pailir
de
una fracción
por
eJemplo
13
,
podemos
obtener
otras fracciones
que
z
ffamaremos
equlvalentes
a la
prlmera.
dol sigulerite
modo:
ft .
Mult¡pl ¡cando
l nume¡ador
el
denominador
e la f¡acción
dada
por
un mlsmo
número entero
dist¡nto
de 0.
Asf, son equivalentes
f,
f6
fracclones:
-636_9
12_t5
4, =,
=. o
'
='
- io - .
En algunos
casos, se
pueden
obtener fracciones
equivalentes
a una
dada, de otra
manera.
?. Dividiendo numcrador y denomlnadorpor el mismo número entero.
Por ejemplo.
as
sigulentes racclones
son
equlvalentes
a
+
-72
19-1
-9-t8
=.=c,
T'
-l¡-,
F
El
primer
método
se llama
camplificación"
de lracciones,
y
es siempre
posible,
El
segundométodo
se llama
.slmplificaclón¡
de fracciones,
y
no
es siempre
posl.
ble:
sólo en el
caso de
que
numerador
denominador
enganalgún
actor
primo
común.
r-32-10
-T'-V-,='=
La
fracción
f
es
et operador
compueslo
de
los operadorcs
ntultiplicar
pot
a
y
dividh
por
b
(o
bien
dividir
por
b
y
multiplicer
por
al'
El número
a es el
numerador de
la fracción
f.
El número
b es
el denominador
de
la
fracción
f,
EI
"tt
"*t
".
""
".r. "eso
a racción:
€-._--3-o
-+O
i
" \¿
E
Calcula
os números
oue
la¡ten:
12
._;.-
\
3\
o
L
I
ü
12
\
\
A
\
I
I
D
¿Oué
observas?
Para
apl icar
a fracción
f
a un
númeto
N.
basta
mult ipl icar
N
por
a
(nu'
merador)
y
dividir
eí
,esuirsdo
por
b
(denominador).,
bien'
dividir
N
por
b
(denomináuor¡ mul t ipl icarel
resul lado
por a
(numerador)'
2.8.
Presentación
e las
fracciones
n un
texto
de
7.. de
EGB.
(Título
de la
obra:
rbe,7.o
EGB.
Autores:
A. vne, y
J. M.
AcusrÍ.
Editorial:
vicens
vives,
Barcelo_
na, 1973.\
Frcuu
2.9.
Introducción
de la
fracción
a
partir de la
noción
de operador
en
6.' de
EGB'
según
las orientaciones
metodológicas
para la-Segun-da
Etapa
Publicadas
en
197,1
(Título
de
la
oira:
Matemáticas
6.0
EGB,
pagL
tte-ttZ.
Autór: Sns¡srrÁN
Mlnstrvlcn.
Editorial:
Bruño,
1977.)
49
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 27/85
Se comienza ntroduciendo las ideas ntuitivas de décimas.
céntesimas
asociándolasa actividades dirigidas a establecer as equivalen-
los múltiplos
y
los submúltiplos de las unidades de
medida
de
para
a continuación representarlasmediante fracciones
conectando las notaciones
de
las fracciones
decimales con su
Posteriormente se
pasa
a la interpretación
de
la fracción
como cociente
para
el
curso
siguiente
(5."
de
EGB)
su
inter-
como operador
y
como aproximación de una
medida,
así como la
entre
los
distintos conceptos
(haciéndose
mención
de la relación
Las
únicas operaciones
que
se consideran en el Ciclo Medio son la suma
diferencia de
fracciones
sencillascon el
mismo
denominador, abordán-
general.
Nótese el
gran
cambio
relación a los Programas del 70.
Para cerrar esta somera discusión acercade las fraccionesen los currícula
país queremos
hacer
algunas observacionesde
general.
La
primera
se refiere
al
hecho
de
que
en la
mayor
parte
de
países
e está
produciendo
una rectificación de las reformas basaüasen la
y
de
particular
interés lo
que
ya
en 1977 abandonó
estos
planteamien-
de otros
países,
unto
con trabajos como el Informe
1982
por
una comisión de expertos de Inglaterra
y
deben
ser tenidas
en cuenta en un
momento
en
que
se están elaboran-
nuevas alternativas cirriculares.
La
segunda es
que
los
programas
oficiales son indicaciones a las
que
el
debe dotar de significado. Y
es aquí donde aparecen
muy
diversas
y
donde cada uno de nosotros
pone
en
juego
sus opiniones,
y
ordenación de contenidos
individualizada
en la
perspectiva
de sí mismo
y
de sus alumnos.
3.
Las
fracciones
diferentes int erpy
tacione
+3
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 28/85
DE DIFERENTES
INTERPRETACIONES
DE
LAS
FRACCIONES
6
Laidea de fracción, o
mejor aún, la
palabra
<fracción>
indicando un
par
números naturales escritos
de la forma alb. es utilizado
en
y
situaciones
que
muchas veces
puede
parecer que
no
tengan
nada
Por ejemplo:
)
Para indicar la relación
que
existe entre la
parte
sombreada y
un
<todo>,
<tres
de
as
cinco
partes>,
/5.
) Si un litro de cerveza vale
sesenta
pesetas,
¿cuánto
valdrán
tres
<quintos>?
c)
En
un
grupo
de niños
y
de niñas hay diez niñas
y
cinco niños. En
un
momento
determinado alguien dice:
<Hay
la mitad de niños
que
de
niñas>
(hay
doble niñas
que
niños).
La
expresiónmitad esta
emplea-
da en esta situación
para
describir una relación entre
dos
partes
de
un conjunto. Se
ha
realizado una comparación
parte-parte
y
como
resultado de esta comparación se utiliza una fracciónpara cuantificar
la relación.
Sin embargo si estamos utilizando el
mismo
(ente
matemático>
para.".
nos a dichas situaciones,es de suponer
que
tengan algo en común.
esde una
perspectiva
escolar nos
podríamos plantear
la
siguientesitua-
no de los contextos en el
que
la idea
de
fracción
tiene
(contexto
significativo)
y
desarrollamos el
proceso
de enseñanza
elaciones equivalencia
y
orden
.
operaciones
signifrcado
y
con dicha interpretación
¿cabría
esperar
que
los niños fueran
de trasladar esa comprensión
y
destrezas onseguidasa interpreta-
y
contextos diferentes?
Parece
ser
que
la capacidad
de
<trasladar
esa
comprensión>
a situaciones
distintas no es
del todo
clara; es decir,
puede
ser
que
el
que
el niño tenga
claro
el significado
de una fracción
en una
situación,
sabiendo
realizar
su
representación
con diagramas
y
de forma numérica,
así
como reconocer
el
significado
de las diferentes
operaciones
en dicho
contexto
y
esto no impli-
que que
sepa utilizar
la misma
<herramienta)
en contextos
distintos,
aunque
también
conlleven implícitamente
la idea
de fracción.
Además
los resultados
de numerosas
nvestigaciones
BnHn,
et al., 1983
KERSrasrn, 1986;
LnsH,
et al., 1983)
relativas
al
proceso
de enseñanza-
aprendizaje
de las ideas de
<fraccióru>
han
empezado
a indicar
que para que
cl niño
pueda
conseguir
una comprensión
amplia
y
operativa
de todas
las
ideas
elacionadas
con
el concepto
de
fracción
se deben
plantear
las secuen-
cias de enseñanza
de tal forma que proporcionen
a los niños
la adecuada
cxperiencia
con la mayoría
de
sus
interpretaciones (KnnrN,1976;
DTENES,
t972).
De todas maneras el alcanzar el concepto de fracción con todas sus
relacionesconlleva
un
proceso
de aprendizaje
a largo
plazo.
La variedad
de
estructurascognitivas
a las
que
las
diferentes nterpretaciones
de las fraccio-
nes están
conectadascondiciona
este
proceso
de aprendizaje.
En
otras
pala-
bras, al concepto
global
de fracción
no se lega
de una vez
totalmente. Desde
las
primeras
experiencias
de los niños
con
<mitades>
y <tercios> (relación
parte-todo)
vinculadas
a la habilidad
de manejar
el mecanismo
de
dividir
(repartir),
y
la habilidad
de manejar
la inclusión
de clases,hasta
el trabajo
con las razones
y
la
proporcionalidad
de los
óvenes
adolescentes,
inculada
a la habilidad
de comparar
y
manejar
dos conjuntos
de datos al mismo
tiempo,
y
del
desarrollo del esquema
de la
proporcionalidad,
existe un largo
camino
que
recorrer.
Los
profesores
debemos
tener en cuenta todas estas
caracteristicas,es
decir:
las muchas nterpretaciones.
-el
proceso de aprendizaje alargo plazo
cuando
pensemos
en el desarrollo
de secuencias e enseñanza
ue pretendan
cl aprendizaje
de nociones relativas
a
las fracciones.
De la misma forma también
existe un largo camino
desde el
primer,
contacto
intuitivo
de los niños
con las fracciones
relación
parte-todo, <<mit"{."
des>,
<tercios>...)
asta aftanzar
el conocimiento de carácter
algebraico aso-
ciado a las fracciones.
Con el conocimiento
de carácter algebraico nos referimos,
por
ejemplo, a
la
interoretación
de la suma de fracciones
como
ad+bc
bd
a( '
-+-
bd
53
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 29/85
la solución
de la ecuación
es
decir,
el número
que
en el lugar de
la
<rx>
a igualdad)
3'x:5
:
5/3, o
tambiénx
:
1016 1519...; s decir,
poder
ver al conjunto
de
fracciones
números
racionales) ormando un sistema
numérico, cerrado
ciertas
operaciones
y
con
unas
propiedades
determinadas.
Puede ser
que
alguna
de las dificultades
que plantea
la enseñanza
a-
de las fracciones,en alguno
de sus aspectos,venga
determinada
encontrarnos
an rápidamente
con su carácteralgebraico
en la secuencia
Esto
es debido
a
que
muchas veces se empieza a trabajar con
algebraicas, in tener
previamente
un transfondo concreto
ampliamente, en
raz6n de la
<atracción>
que puede proporcio-
el comenzar a
frabajar rápidamente con
simbolos cuando nos enfrenta-
fracciones,por la relativa facilidad que pueden proporcionar para
Es decir, hay
que
considerar
(DlcrsoN,
1984) el equilibrio
qu&
debe
el
significado
de las fraccionesen contextos concretos
prácticos (situa-
ciones
problemáticas),
y
-
en situaciones
más
abstractas-cálculosin contexto
karácter
alsebrai-
co).
Las destrezas
que
se
pueden
conseguir
en el manejo de
los
símbolos
las fracciones
y
a las operaciones
con fracciones,no son fácilesde
no hem os sido capaces
de crear un esquema
conceptual a
partir
de
concretas.
La
comprensión
operativa del
concepto de fracción
(número
racional)
proporcionar
la fundamentación
en la
que
se apoyen
las operaciones
que se van a desarrollar posteriormente.Un buen trabajo con las
puede
contribuir a
que
estas
operaciones algebraicas
no se con-
algo sin sentido
para
los niños.
Llegados a
este
punto
se
nos
presenta
la necesidad
de
plantear
los
de
enseñanzaaprendizaje
de las fraccionesdesde odas
sus
perspec-
sus nterpretaciones
posibles,para que
un trabajo continuado
interpretaciones ayude al
niño a conseguir una
comprensión
(operativa)
de
la idea de fracción,
sin crear
<agujeros
conceptua-
Una vez determinada
esta necesidad
se
plantea
la tarea de
identificar las
nterpretaciones,contextos,
en los
que
aparezca
el concepto frac-
la fracción como un
megaconcepto.
La sección siguiente
se va a centrar en la identificación
y
la caracteriza-
ción de los contextos
que
hacen
significativa la noción de fracción
(inter-
pretaciones
o subcons tructos del megaconcepto) .Esta identihcación
de las
interpretaciones
pricipales
del número racional ha
sido
realizada
teniendo en
cuenta los trabajos de T. Kr¡nnN
(1976),
BnuR,
et al.
(1983) y
DrcrsoN,
el c/.
(1e84).
Las
diferentes
nterpretaciones
ue
sevan a describir
on:
a) La
relación
parte-todo
la medida.
a.l. Representaciones
n
contextos ontinuos
discretos.
a.2.. Decimales.
a.3. Rectanumérica.
bl Las
fracciones
omo cociente.
b.l.
División ndicada.
b.2. Como
elemento e un
cuerpocociente.
c) La fracción
como razón.
c.l. Probabilidades.
c.2. Porcentajes.
d) La fracción
como operador.
3.2. LA RELACION PARTE-TODO
Y MEDIDA
Se
presenta
sta
situacióncuando
un
<todo> (continuo
o
discreto)
e
divide en
partes
(congruentesr>
equivalentes
omo
cantidad de
superficieo
cantidad de
<objetos>r).
a fracción indica
la
relación
que
existe entre
un
número
de
partes
el número otal
de
partes
quepuede
estar
ormado
por
varios
<todgs¡D.
El
todo'^iiibe
el nombre
de unidad. Esta
relación
parte-todo
depende
directamente
e
a habilidad
de dividir un
objetoen
partes
o trozos guales.
La fracciónaquí essiempre<fracciónde un objeto>.
Sobre
esta nterpretación
e basan
generalmente
as
secuencias
e ense-
ñanza cuando
se ntroducen
as fracciones
normalmente
en su
representa-
ción continua).Parece
er
que
tiene una mportancia
capital
para
el desarro-
llo
posterior
de a idea
global
de
número
racional.El
estudio
de esta elación
se realizará
con detalle
en el capítulo
siguiente.
Para
una
comprensión
perativade
estesubconstructo
e necesita
re-
viamenteel desarrollo
de algunashabilidades
omo:
-
tener nteriorizada
a noción
de
nclusión
de clases
según
a termino-
logía
de
Pu,cnr);
-
la identificación
de a unidad
(qué
<todo>
es el
que
seconsidera
omo
unidad
en
cadacasoconcreto):
55
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 30/85
-
la
de realizar
divisiones
el
todo
se
conserva
un
cuando
o
dividamos
en
trozos,
conservación
e la
cantidad),
y
-manejar
la idea
de
irea (en
er
caso
de las
representaciones
ontinuas).
Las
representaciones
e
esta
relación
que
vamos
a
describir
son
las
n
contextos
ontinuos,
iscretos
mediante
a
utilización
de
numérica.
Representaciones
ontinuas
área)
y
discretas
un
contexto
continuo,
en
el
que
ras
epresentaciones
ás
recuentes
er
diagramas
irculares
rectangulares
dos
dimensiones):
a)
tt
<De
las
cinco
partes
del
todo
se
han
sombreado
res>>:
<3
de
as
5>;<3/5.>
O
bien
¡+.
<De
las
cinco
partes
del
todo,
se
han
sombreado
res>l;
<3 de las 5>>:<3/5.>>
Si la
unidad
la representamos
or
<t
314
es
a
parte
sombreada,
iendo
1
314la
orma
mixta
de
a
fracción
+
314.>
oooooooooo
57
Si utilizaramos
para
los
diagramas
a
segmento
n
partes
guales
magnitud
longitud,
al
dividir
la fracción
ndica
as
partes
que
se
oman
en relación
al número
de
partes
en
que
se ha
dividido
el
segmento.
En
un
contexto
discreto
ge puedg¡epres-entar
" - l*
kf-- |+tt-|:*'
f
aqui
el
<todo>
está ormado por
el conjunto global
de
as cinco
bolas,
res
de
.{
las cuales
son
negras.
<3/5>
indica
la relación
entre
el número
de bolas
l,-¡egras
y
el número
total
de bolas.
Si
por
otra
parte
representamos
l todo
por
@@
@
entonces
en la situación
@@
@
. . r r t iJ , r , ' \ {
'
{ fJt
r ' \
@o
o
@
@
<2
1/3 epresenta
a
parte
sombreada>.
(-o
Er interesante
esaltarque
si se
utilizan
contextos
iscretos
e uerza
a
$
oue
et
niño
amplíe
u esquema
e a relación
arte-todo
a
que
en este
aso,
l'
cuañdo
usamos
n conjunto
de objetos
discretos
omo
unidades, or
ejem-
plo
@ @@ oo
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 31/85
repr sen ara fracción
3/5
(tres
quinros)
dividir
el
con¡unto
en
partes
y
tomar
tres)
os
subconjuntos
ue
resultan
ambién
están
ada
uno
de
ellos
por
varios
áU¡"to,
en
este
"uro
po,
áor)
@@
contraposición
l
contexto
ontinuo
en que
as partes
stán
ormadas
or
simples.
I
ógicamente
a
dificultad
aumenta
i
se
oma
como
unidad
ooooooo
piden
os
3/5,
es
decir,
situaciones
n
las
que
a
fracción
no
se puede
En
la
caracterización
e
a
relación
parte-todo
e
habla
de <parteslon-
o
que
no
indica
necesariamente
artes
de
a
misma
orma.
En
la
siguiente
a
relación
ntre
as partes
ómbreadas
el
número
de partes
se puede
epresentar
or
3is (tres
qffi-;'
"''qr'vru
'
3.2.2.
Decimales
Una estandarizaciín
de
la relación
parte
todo,
junto
con las característi-
cas
de nuestro
sistema de
numeración decimal, dan
pie
a
la
introducción
de
los decimales
fracciones
decimales).
Por ejemplo, utilizando
la representa-
ción
continua
y
el modelo
rectángulo,
considerando la
unidad
como
un
rectángulo
y
dividiéndolo en
diez
partes.
Cada
una
de las
partes
es
en
relación
al todo
(unidad)
1/10, una
de
las diez
(una
décima).
L.:
noción
de <partes
congruentes>
es
de
que
en
la
siguiente
igura
vital
importancia
para
poder
Si cada
<parte>
décima)
a dividimosen otras diez
partes,
btenemos
una
de diez de
una de diea,
1/10
de 1/10
una
centésima).
Queremos
ndicar
con esto,
que
los
decimales
la
notación
decimal
de
algunas
racciones)
stán
inculados la relaciónmás
general
parte-todo>.
Así
concebidag
as racciones omo decimalesormanuna
extensión
atural
de los
númerosnaturales.
Para
un estudio
más
detallado
del caso
de
los
Decimales
odemos
onsultar
l
tomo 5 de estacolección,
ECIMALES
de
Jurn
CnNrnNo).
3.2.3.
Las
fracciones omo
puntos
sobre
a recta numérica
En estasituación e
asocia a fracciónalb con un
punto
situado
sobre
a
rectanumérica n
a
que
cadasegmento nidadse
ha
dividido
en ó
partes
o
en un
múltiplo de ó) congruentese
as
que
se oman
<o.
También
e
puede
considerar
omo un caso
particular
de a relación
parte-todo.
Se destaca sta nterpretación a que aquí implícitamente e realiza a
asociación e un
punto
a una fracción.
\
1+3/5=13/5
ññ¡ñ.,
.
- ' { . - .
. - \ .
.
|
.
*
.
.
|
>.
o+ 1
-l
Jl c
en
este aso
se
puede ensar
ue
a fracción
no
seasocia
una
parte
de
una
hgura o
aun subconjunto
de objetos, si
no
que
se
reduce
a un
número
abstracto;
sí como
el 3/5
es un
número
entreel cero
y
el
uno, el 3/2
es
un
número
entreel
uno
y
el dos.
ndicar
oor
315 tres
quintos)
a parte
sombreada,
l
no
estar
por
partes
congruentes.
sto
es
debidb
a
que
en¿;J;;ls
por
:7s:
igura
iene
sombreada
os
tres
quintos
A"
,u
,up"rn;;;.--'^'''
@@@
59
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 32/85
Esta
representación
hace que
se
pueda
pensar
en
las
fracciones
como
al 1,2,3,4,...,
y
que
se
pueden
colocar
entre
ellos.
Aunque
esta
forma
de
representar
as
fraccionesprovoca
algunas
dificul-
a algunos
niños
(8-12
años),
ambién
presenta
algunas
ventajas Dlcr-
1984):
-
hace que
las
fracciones
mpropias
(fracciones
mayores
que
la
unidad)
aparezcan
de forma
mucho
más
natural,
así
como
la
notación
como
números
mixtos;
-
hace
hincapié
en
el hecho
de que
el
conjunto
de
las
fracciones
orma
una extensión
del
conjunto
de los
números
naturales
(las
fracciones
rellenan
<huecos>
entre los
naturales):
-
tiene
conexiones
on
la idea
de
mediáa
(uso
de escalas).
Pero, como decíamos,su utilización puede presentaralgunos problemas.
resultados
de algunas
investigaciones
sugieren que
la interpretación
de
mediante
la
recta numérica
es
especialmente
dificil
para
los
(Novlrus,1977).
uno
de los
problemas
que
se
pueden
plantear
es la
identificacién
del
unidad cuando
la
recta
numérica
se ha
extendido
más
allá
del uno:
pide
señalar
l 3/5 los niños
suelen
ndicar
el
punto
dondeestá
el
embargo
esta
dificultad
no se
presenta
i se les proporciona
a
iguiente:
1-
se
plantean
problemas
cuando
el segmento
unidad
está
dividido
en
del
denominador.
Por
ejemplo:
Identifrcada
una unidad
de
media
(segmento),
dmite
subdivisiones
con-
gruentes. El
número
de
<adiciones
iterativas>
de
la
parte
resultante
de la
subdivisión
que <cubren>
el objeto,
indica
la medida
del objeto
(proceso
de
contar
iterativo
del
número
de
unidades
subunidades-
que
se
han utiliza-
do en
cubrir
el objeto).
<Cuánto
mide esta
cuerda?>
, r . t l l l
0
1
2
3
4 5 .6
7
3+l l2 :3112:3+0,5:3,5
Así, desde
esta
perspectiva más
general,
en
un contexto de
medida,
este
modelo
viene
caracterizado
por
la elección de
una unidad arbitraria
y
sus
subdivisiones
(la
unidad
debe
ser invariante
bajo las
divisiones)
(KIennN,
1980), significando la tarea de medir, la asignación de un número a una
<región>
(en
el
sentido
general).
Al considerar
las fracciones
(número
racional)
en la
interpretación
de
medida,
se
proporciona
el
contexto
natural
para
la
(suma))
(unión
de
dos
medidas),
y para
la
introducción
de los decimales
notación
decimal)
(Kln-
neN,
1980).
Además,
el
manejo de la
representación
de las
fraccionesa través
de
la
recta
numérica
debe ayudar
al niño
a
(conceptualizar>>
as
relaciones
parte-
todo en
un contexto
y
reconocer
contextos
equivalentes
que
proceden
de
nuevas divisiones
de
la unidad.
Es decir, el
rhanejo con
la recta
numérica
(contextos
de
media)
puede
ser una
buena
introducción a
la noción de
equivalencia:
la misma
parte
de la unidad
recibe
nombres diferentes
en
función
del
número de divisiones.
Un
adecuado
recurso
didáctico
para
desarrollar
estas
deas
que
relacio-
nan las fracciones
y
la noción
de medida
lo
puede constituir los
Números en
Color.
Este material
está ormado
por regletasde madera de diferentescoloresy
diferentes
ongitudes,
Blanca
b)
Roja
(r )
Verde clara
(v)
Rosa
Amarilla
a)
Verde
oscura
V)
Negra
(n)
Marrón
(m)
Azul
(A)
Naranja
N)
It¡
<Señala
l 315.>
rccta numérica
sirve
también
como
una
buena
representación
de la
de las
fracciones
como
medida.
61
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 33/85
estas
regletas'
a
pregunta
<¿qué
es la
regleta
roja
de la
blanca?>
iene
traducción
en términos
de
medida que
indica
<qué
mide
la
regleta
roja
la
blanca
como
unidad>.
Para
contestar
a esta
cuestión,
hacemos
un
<(trenD
e regletas
blancas
de
longitud
que
la
regleta
roja
dada,
tar
y
como
indica
la
figura
lanca
esuna
de as
cinco
que
cubren
a la
amarilla;
así,
utilizando
notación
anterior
b: l l5xa
a
verde
clara que
está
ormada
por
tres
blancas,
erá
u:3xb:3l5xa
a verde
clara
es
os
tres quintos
de
a
amarilla.
general,
odemos
ndicar que
la
relaciónparte
todo
(tanto
en su
ontinua
omo
discreta),
onstituye
l
fundamento
e
a nter-
de as
fracciones
omo
medida.
un
estudio
más
detallado
del
problema
de la
medida
ecurrir
al
de
esta
misma
colección
l
problema
e a
medida,
e
chamorro
v
¡,-I.
LAS
FRACCIONES
COMO
COCIENTE
lin
esta
nterpretación
e
asocia
a fracción
a
la operación
e
dividir
un
númcro
natural
por
otro
(división ndicada
a:
b
:
alb).Dividir
una
canti-
du{
cn
un
número
de
partesdadas.
T. E. KmnnN
1980)
eñala
a diferencia
tlc
csta
nterpretación
on
la
anterior
ndicando
que,
para el niño
que
está
n¡rrcndiendo
trabajar
con
las fracciones,
l dividir
una
unidad
en cinco
pirrtcs
coger
res
(3/5)
esulta
bastante
iferente
el
hechode
dividir
tres
uni<Jades
ntre
cinco
personas, unque
el resultado
eael
mismo.
En esta
nterpretación
e
considera
ue
las fracciones
ienen
un doble
Ispocto:
a)
Ver
a la fracción
3/5
como una
división
ndicada,
stableciéndose
a
equivalencia
ntre315
0,6
en una
acciónde
reparto,
y
b)
Considerar
as fracciones
números
acionales)
omo
los elementos
de una estructuraalgebraica;
s decir,
como
los elementos
e
un
conjunto
numérico
en el queseha definidouna relaciónde equiva-
lencia,
en el
conjunto
conciente
esultante
nasoperaciones
su-
ma
y
multiplicación-
que
cumplen
iertas
ropiedades
e
tal forma
que
dotan
a dicho
conjunto
de
una estructura
lgebraica
e cuerpo
conmutativo.
Debido
a
que
bajo
esta
ntepretación
econcibe
las racciones
números
racionales)
ertenecientes un
sistema
lgebraico
bstracto
onde
as rela-
ciones
ntre
os elementos
on de
índole
deductiva,
sta
nterpretación
ebe
tener
un
carácter
lobalizador ser
posterioren a
secuencia
e
enseñanza
las
demás
nterpretaciones.
En
las secciones
iguientes
amos
a
intentar
desarrollar
mbos
aspectos
de
esta
nterpretación.
3.3.1.
División
ndicada
reparto)
La
intepretación
e la
fracción
ndicando
una divisiónde dos números
naturales
315
3
: 5) aparece
n
un contexto
de
reparto:
<Tenemos res
barras
de
chocolate
y
hay
que
repartirlas
de
forma equitativa
entre
cinco
niños,
¿cuánto
e tocará
a
cada
uno?>
<La
roja
es
dos
veces
a
blanca.>
Si a
pregunta
uera<¿qué
s a
blanca
de a
roja?> ¿qué
mide
a
regleta
cuando
omamos
a
roja
como
unidad?),
ntoncás
a
<blanca
s una
dos
que
cubre
a la roju.
Entonces
a relación
entre
la
blanca
v la
es
de ll2.
b:1. l2xr
caso
se dice
que
a regleta
blanca
es un
medio
de
ra
roja. ".,
situación
se
puede
generalizar.
i
consideramos
omo
unidad
la
amarilla y
preguntamos:
<¿qué
mide
la verde
clara?),
entonces
se
volver
a
la regleta
blanca
y
se iene,
<Cinco
veces
a
blanca
es
una
amarilla.>
pt
/5
I
t-
1
,n
J/C
1/ 5
63
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 34/85
los trabajos
de la
profesora
Hnnr
(r9g0)
sólo
la
tercera parte
de los
de doce y
trece
años
eran
capaces
de
darse
cuenta que
dbs
números
se
pueden
dividir
uno por
otro pudiéndose
""p.óra,
el
resultado
mediante
una fracción.
La
resistencia
de
los
niños
a
ver
3 : 5
como
3/5
puede
ser debido
a
que
de ellos
se encuentran
familiarizados
con
la interpretación
parie-
para
las fracciones
y
por
tanto
ven los
3/5
como
la deicripción
di
una
(de
cinco partes
hay
tres
sombreadas),
mientrar
qu. pó.
orra parre,
indica
un proceso,
precisamente
el
proceso
de iepártir
3
paiteles
cinco
niños.
hay
que
olvidar
tampoco que
muchos
niños (incluso
en
el
ciclo
Su-
debido
al
manejo
de los
números
naturales,
dicen
que
la
división
3 : 5
puede
realizar
cuando
se les
presenta
de forma
aritmética.
embargo,
a
pesar
de
esto,
existen opiniones (SrnnnrrnNo,
19g4)
que
el desarrollo de las secuencias e enseñanza e las fraccionesalrede-
de esta nterpretación,
indicando
que
la dificultad que
presenta
a ense-
de las fracciones
en la
escuela,
onsiste
en
que
se
iende rápidamente
a
en un
tratamiento
formal y
algorítmico
de estas deas.
alternativa
consistiría
en
buscar
situaciones
de la vida
real,
diaiia
de
y
de
medida
que
conllevarán
el trabajo
con las
fraccionesy,
apoya-
el conocimiento
informal
que
sobre
éstas
levan
los niños
cuando
en la
escuela, otenciar
a través
de estas
situaciones
a
<construcción>
concepto,
las
operaciones y
las
relaciones
en
las fracciones
por
los
niños.
al
destacar
esta
interpretación (situaciones
de
reparto-
en
las
que
están implicadas
las fracciones)
marca
la
diferencia
con
aproximaciones
ndicando que
ante la
situación
<<En
n restaurante,
ay
que
repartir
res
pizzas
ntre
cinco niños
¿cuánto
corresponde
cada uno?>
315
aparece
a
partir
de
un
proceso
de
diferenciar,
dividir,
abre-
representar,
imbolizar,...
ndicando
mucho
más
que
la simple
represen-
del diagrama.
a
secuencia
ue
se
deriva
de
plantear
ra
situación
anterior,
se
en
los
procesos
e
verbalización
ue
realizan
os
niños
de los pasos
De forma esquemática los
principios
de enseñanza de las fracciones
clefendidos
or
este autor con esta aproximación son
(L.
SrnnnnrlNo, 1984):
o
Lo
que
es
importante
es la
<construcción>
de las operacionescon las
fracciones
por
los
propios
niños;
-
construcción
basada
en
la
propia
actividad de
los
niños: estimación,
desarrollo de cierto sentido del orden
y
tamaño...;
-
la valoración del trabajo de los niños, sus métodos
y procedimien-
tos, aunque difieran de las aproximaciones ormales;
-
el énfasis se traslada a l a verbalización de los niños, verbalización
del conocimiento adquirido, ser capaz de formular
una
regla,
com-
prender
el
poder
de las
generalizaciones...;
-
Se utiliza el conocimiento
informal
de
los niños
como bases
para
empezar a ecuencia de enseñanza
ideas
relativas
a mitades, ter-
cios,... os procesosbásicos de dividir, repartir,...).
.
Desarrollo
de situaciones de comprar
y
ordenar en las
que
los niños
construyan
procedimientos
de solución mediante
procesos
de dividir,
ordenar, medir, componer,...
.
Utilización de
modelos
de apoyo
(regiones
o segmentos,
ecta numéri-
ca, Ldblas
de
razones,...)
situaciones
problemáticas (situaciones
de la
vida
diaria)
que
sirvan
de
<puente>
(conexión)
entre las situaciones
problemáticas
en diferentescontextos
y
el
trabajo
numérico.
Bajo
esta
perspectiva
el si gnificado de fracción
y
las operaciones
están
conectadosde tal forma
que
se desarrollan al
mismo
tiempo.
Defiende a idea de
que
son los niños
que
tienen
que <construir> y
no los
profesores.
Sin
embargo
al desarrollo de las secuencias e enseñanza
con
1a nter-
pretación
de la idea de
cociente
(reparto)
se le
puede plantear
algunas
mqizaciones según se utilicen en contextos discretos o continuos (área,
lo/[í ud)
(Brun
er a/..
1983).
I-lado un contexto discreto:
<Repartir
einte artasentrecinco buzones.>
o
un contexto
continuo:
<Tenemos
na
cinta
de
22
cm.
Hay
que
repartirlaentre4 niños
¿cuánto
e
toca a cadauno?>
los niños realizan considerablementemejor las
tareas de reparto en contex-
tos discretos
que
en con textos continuos.
Se
ha
señalado a explicación de
que
en el
caso continuo
los
niños necesitanun
(esquema
anticipatorio bicn
65
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 35/85
es
decir,
un <plan
de
acción>
previo
a ra
rearizacrón
e
la
_mientras
ue
en
el
caso
discreto
ra
tarea
se
puede
rearizar
mediante
irectos.
Entonces
omo
señala
M.
^Bnun
et
al.
(r9g3):
Debido
que
as
estrategias
mpleadasor
los
niñospara
as
areas
on
cantidades
discretas
son
tan
diferentes
a las
empleadas
en taieas
con
cantidades
continuas,
se
puede
asumir que
la
estructura
cognitiva
implicada
en resolver
una
u
otra
tarea
son
diferentes.
An_te
os
dos
ejemplos
anteriores,
en
el contexto
discreto,
er
proceso
de
se
puede
realizar
simplemente
empezando
a repartir
las
cartas
irecto).
El
resultado
de
cuatro
curiaspor
buzón puede
ser
visto
los
415
del
estado
unidad
descritopor
las
veinte
cartas
áel
principio.
En
el contexto
continuo
no
existe
ese
proceso
an
directo.
un
prócedi-
de estimación
de
tanteo,
o
una
operación
aritmética
puéde'
se.
ara acercaÍnos la solución.
Sin
embargo
a
necesidad
e
un <plan
de actuación>
revio
pa*
realizar
que
aumenta
a
dificultad
de realización
po.
pu.i"
del
niño,
no
sólo
vinculada
al
contexto
continuo
o
discreto
áe lá
tarea
a reali4gr
sino
al
tipo
de
tarea
de
que
se trate.
como
veremos
en
el
pióximo
uando
a
tarea
no
es de <división-reparto>
ino
de
ordenación
e
arece
er,
según
eñala
l
profesoi
T.
R.
posr
(19g5)
ue
es
el
discreto
el que
parece
exigir
la
existencia
de
un
<esquema
nti-
para
realizar
con
éxito
la
tarea.
Atendiendo
a esto,
no
se
puede
generarizar
a dificultad
que
presenta
un
de
contexto discreto
continuo)
rente
a
otro
sin
vincularlo
de
antema-
a
un
tipo
de
tarea.
De
todas
maneras,
n
esta
nterpretación
e <división-reparto),
a
princi-
habilidad
que
se
efleja
es
a
de
dividir
un objeto
u
objet^os
n un
número
guales.
Retomando
l
ejemplo
del
principio
de esta
sección:
<Repartir
res
barras
echocolate
ntre
inco
iños
e orma
equitatiuu".ff
¡
e
solución división-reparto)
las
simbolizaciones
epresenta_
de
estosprocesos
ue
se
pueden
aiometer
aquí
se
convierten
n
el
(preactividades)
la resolución
e
ecuaciones.
n
esre
aso
5'x:3
<x>
a
cantidad
de
barra
de
chocolate
ue
e
corresponderia
cada
Es
decir,
este
tipo
de
actividades
"
prr"-d"n
convertir
en
los
pilares
os
que
se undamenten
l
trabajo
con
los
números
acionales
omo
el
álgebra.
Para
frnalizar,
podemos
considerar
que,
en
esta interpretación
de las
fracciones
como cociente
y
en las
situaciones
de división-reparto
en las
que
una cantidad
se divide
en un número
de
partes
dadas, se
pueden
distinguir
dos aspectos:
a)
Cuando nos
proporcionan
la cantidad
y
el número
de
partes
en las
que
hay que
dividirlo
y
nos
piden
lo
que
vale
cada
parte (reparto).
<Tres
pizzas
ntre
cinconiños.>
b) Cuando nos
proporcionan
la cantidad
y
lo
que
vale
cada
parte y
nos
piden
el número de
partes (medida).
<Tenemos
res
pizzas
a cadaniño le ha
correspondido
os 3/5
de una
pizza.
¿A
cuántosniños hemos
podido
dar
pizza?>>
3.3.2. Las
fracciones
como
elementosde
una estructura
algebraica
Como hemos indicado,
las
actividades en situaciones
de
reparto-medida
constituyen
el
sustrato
sobre el
que
se construye
la interpretación
de
las
fracciones
omo elementos
de un cuerpo conmutativo
(estructura
algebraica).
Se conciben as fracciones
números
racionales)
como elementos
de la
forma
a/á, siendo
a
y
b naturales
para
Q
+)
(b
*
0)
que
representan a
solución
de
la
ecuación
b'x: a
(Para
un
desarrollo
detallado
de
las
relaciones,
propiedades
que
se dan
en
el conjunto
Q,
se
puede
recurrir a
cualquier libro
de Algebra Elemental).
De forma
clara
<esta
nterpretación
de las fracciones
números
raciona-
les) como
elementos
de un
cuerpo
(estructura
algebraica)
no está
estrecha-
mente vinculada al
pensamiento
natural del niño al dearrollarse de forma
deductiva las
operaciones
y propiedades>
Kmnrr.r,
1975).
3.4.
La
fracción
como razón
En
las secciones
anteriores
se han
caracterizado
las
fracciones
en situa-
ciones
de comparación parte-todo,
pero
algunas
veces
as fracciones
son
usadas
como
un
<índice
comparativo)
entre
dos cantidades
de una magnitud
(comparación
de situaciones).
Así
nos
encontramos
con
el uso de
las fraccio-
nes
como
razones. En
este
caso no
existe
de forma
natural
una
unidad
(un
<todo>)
como
podía
ocurrir
en
los otros.casos (podíamos
entender
esto
como
que
la
comparación puede
ser
bidireccional).
67
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 36/85
,
situación,
a
idea
de
par ordenado
de
números
naturales
oma
uerza.
En
este
"uro
no.-uünente
a relación
arte-parte
o
a
relación
se
describe
on
a: b.
ejemplos
n
diferentes
ontextos
ueden
ayudarnos
clarificar
nterpretación
subconstructo)
e
las
fracciones:
La relaciónentre os puntosde A y de B esde 3/5>: 3 : 5)'
La relación
entre
os
puntos
de
B
y
de
'4
es
de
5/3):
5
:
3)'
,4
es
os
315
e
B:
(3
:
5).
B es
os
513
e
A:
(5
3).
e)
Las
recetas
de
comidas,
as
mezclas
e
líquidos'
las
aleaciones'"'
Las
comparaciones
ealizadas
en
los
ejemplos
anteriore-s
escriben
na
relación
<conjunto
a conjunto>
(todo-todo),
aunque
las
fracciones
omo
razonesambiénaparecen uandosedescriben ompracionesparte-parteD'
E¡slupro
:
la
relación
(razon)entre
bolas
negras
y
blancas
es de
tres
quintos
(3/5)'
E¡Buplo
2.
La
relación
de
niños
y
niñas
en
este
grupo es
de
tres
quintos
3/5)'
La
razl¡entre
los
círculos
y
los
cuadrados
es de
tres
quintos
3/5)'
b)
ooo
ooooo
La
altura
del
muñeco
A
es 315
de
la
de
B;
(3
:
5) '
La altura
del
muñeco
B
es 513
de
la
del
A:
(5
: 3)'
c) Las escalasen los dibujos de mapas, planos,
d\
ooo
T NNNT
Algunos
autores
tilizan
contextos
otidianos
ara dotar_de
ignihcado
la
idea
de
razón.
El
particular,
L. StnnnnteNo
19-84)
tiliza
a
<situación
el
restaurante)
para
contex
ualizar
(dotar de
contexto
como
un
modelo
de
comprensión)
a
proporcionalidad
igual de
razones)
uando
se
nterpreta
las
fracciones
omo
razones.
<<Enunrestaurantedondeexistenmesasdediferentestamañ
se
colocan
antidades
iferentes
e
60cadillos
0s
niños
se
distribuyen
o
mesas.))
E¡nuplo
3.
(3
: 5).
lt¡
69
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 37/85
24
=
número
e bocadil los
32
niños
los niños
a través
del trabajo en esta situación
se den cuenta
cia de situaciones en
relación al número de bocadillos
que
le
cada niño),
además
de iniciar una esquematizaciín
progresiva
esta relación.
Evidentemente
podemos
mantener la estructura de
estas situaciones va-
Se
puede
aplicar a la relación
entre cantidadesde
puntos
por
un equipo
de niños
y
el
número
de niños de cada equipo. Se
:
puntos.
Realmente la operación que estamos realizando (estableceruna relación)
representarmediante
una
aplicación
que
asocie cada
grupo
de tres
con un
grupo
de
cuatro niños,
según
ndica
DENES 19'72).
Otro contexto
<natural>
para
esta nterpretación
de las fracciones
como
o
podemos
encontrar
en la
relación entre cantidades
de una magnitud
magnitudes diferentes)
contextos
particulares,
mezclas,
aleaciones...).
Si denominamos
por
M1
y
M2 a las magnitudes
y poÍ
ai a las cantidades
y
b, a
las
cantidades
de M2
M1IM2
a1
lo,
a2
lo,
entre
as cantidades
de Ml
y
M2(a,;./
\
puede
no tener
dimen-
(cuando
Ml
y
M2
son
la
misma magnitud)
/-r'y;ede
tener dimensión,
o
ocasiona qve apaÍezcaotra magnitud. Un ejemplo 1o enemos al compa-
longitudes,
como en el
caso
de la altura de los muñedos,
ejemplo á)
relación
que
aparece es sin dimensión,
y
otro caso
cuando
compramos
longitudes
(metros)
con tiempo
(segundos)
ara
de velocidades
metros/segundos).
Este
camino conduce
a situaciones
en las
que
se tienen
que
comparar
<<Un
ocheA recorre
un
trayecto de 3 km en
5
minutos.
Un coche B ecorre
un trayecto
de
4
km en
6 minutos.
¿Qué
coche
leva
una velocidad.mayor?>
<Un
niño
compra 3
caramelos
por
5
pesetas.
tro
niño
compra 4
caramelos
por
6
pesetas
quién
a
comprado os
caramelosmásbaratos?>
o n buscarvaloresadicionales
las razones
ue
se
pueden
construir
(proble-
nlusde
reglade tres),
<Un
coche
recorre n trayecto
e 3 km en 5
minutos.
Cuánto
ardará n
recorrer n trayecto e
4
km?>
<Un niño
compra
caramelos
or
5
pesetas.
Cuánto
agatá or
4 carame-
los?>
r¡uc
constituyen n
marco natural
para
as
proporciones
igualdad
e
razo-
rres-equivalencia
e
fracciones) on esta
nterpretación.
(Para
un estudio
más
detallado e
as azones las
proporciones,
ecurrir
nl
tomo 20 de estacolección
ROPORCIONALIDAD de
M. LuIsn Flor
y
.1,
M. FonruNv).
Otras
nterpretaciones e as racciones omo
raz6n
aparecen
sociadas
()lros
ontextos omo son
a representacióne a
probabilidad
los
porcen-
lrrJcs.
Mostramosa continuación
lgunosejemplos e estosaspectos.
.1.4.1.
La
probabilidad
De todos
esconocida
a dificultad
quepresenta
l estudio e as
probabi-
lidades
n os niveles uperiores,
esconectada
e cualquier tro tópico de
a
enseñanza
rimaria.
La utllizaciín de
as racciones n estecontexto
se e da
un
carácterde
cálculo
aritmético)
in
pensar
que
la
estructura
ognitiva
rubyacente
las relaciones
mplícitasen contextosde
probabilidad
está
vinculada
la
red de relaciones stablecida
ara
os
números acionales.
Podemos onsiderar
lgunosejemplos
e su utilización,
en los
que
se
cstablece
na
(comparación>
odo-todoentre
el conjunto de casos
avora-
bles
y
el conjunto
de casos
osibles,
omo en
<En una bolsahay tres bolasnegras dos blancas.Sacamos leatoriamente
una
bola.
¿Cuál
es
a
probabilidad
e
que
seanegra?
<Al
lanzar
un dado cuál
es
a
probabilidad
e
obtenerun
seis.>
3,4.2.
Porcentajes
La relación de
proporcionalidad
que
se
establece ntre un
número
y
100
(ó
1000)
recibe el
nombre
particular
de
porcentaje.
Por regla
general
los
porcentajes
ienen
asignado un
apecto de
<operador>,
es decir,
al interpretar
<cl
60
oA
de 35¡>
e concibe
<actuando
la
fracción 60/100 sobre
35>
(hacer
100
partes
de 35
y
coger 60).
(La
interpretación de las
fracciones como
operador
será
descrita en
la sección siguiente.)
7l
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 38/85
utilizando
el
enguaje
e
aplicaciones,
os porcentajes
e
pueden
ntender
el
establecimiento
e <relaciones>
ntri
conjuntos
ázones),
stable-
ubconjuntos
e
cien
partes.
por
ejemplo-cuando
e
estatlecen
as
el
15
o%,
estamos
stableciendo
ná
reiación
<de
15
es
a r00>
que
una
cantidad
de
300 pesetas
endría
epresentado
or
xiste
a <<misma
eración>
definiendo
a
<relación>r
n
el
sentido
e
iunivoca
entre
subconjuntos)
ntre
<r5
es
a 100>
omo
en
<45
300>.
De todas formas a diferencia ntre estasdos interpretacionese las
omo
razones
probabilidad
y
porcentajes)
la
relación
parte-
descrita
n
a primera
sección
e
esie^capítuto
ueae
.rultu.
bastante
LAS
FRACCIONES
Y
LOS
OPERADORES
ajo
esta
nterpretación
as
racciones
on
vistas
en
el
papel
de
transfor-
algo
que
actúa
sobre
una
situación
estado)
lá
."ám.a>.
Se
quí
a
fracción
como
una
sucesión
e
muttipncáá"*,
v
ái"isiones,
inversa.
ejemplo
i
en
un_context{¡{screto
omamos
omo
una
situación
e
estado-unidad)
r
conjundJ
rrma¿o
or
los
36
niños
de
una
clase,
l
de
la
aplicación
del
operado
213 d,os
ercios)
e
puede
.pr.r"nru,
,
De
nuevo
hay que
nsistir
en que
el operador
leva
mplícito
un
convenio:
primero
actúa
a
división
y
luego
a
multiplicación,
dentificándose
si
con
a
interpretación
arte-todo.
También
se puede
nvertir
el
convenio
y
actuar
siempre
a
multiplicación
en
primer
lugar
y
luego
a
división.
Hay que
observar ue,
bajo
esta
nterpretación,
as
racciones
eutilizan
en un
doble
aspecto:
a)
describiendo
una
orden,
una
acción
a realizar operador),
b)
describiendo
n
estado
e
cosas,
s
decir,
describiendo
na
situación.
En
el ejemplo
anterior
utilizando
el contexto
discreto
se mostraban
os
dos
aspectos
e Ia
utilización
de as
fracciones
ajo
esta
nterpretación.
De forma
esquemática,
i representamos
l estado
unidaá por
uno,
el
resultado
e
aplicarle
el
operador
<dos
ercios)
nos proporcioni
el
estado
frnal213.
Esr¡,oo
Oppnloon
Esupo
I
x
(213)
Este
doble
aspecto
e as
fracciones
n esta nterpretación
redetermina
un
poco
el
estudio
que
se
pueda
ealizar.
n
este aso,
or
ejemplo, odemos
establecer
e
dos formas
a
equivalencia
e fracciones:
i) Equivalencia
e
operadores.
peradores
raccionarios
iferentes, ue
al actuar
sobre
el mismo
estado-inicial
an
el mismo
estado
inal
Esr¡oo
Open¡pon
Esrlno
12
t2
t2
x
(2/3)
x
@16)
x (81t2)
8
8
8
Esuoo-uNrolo
(srruncróN)
Op¡nlnon
Esrroo
nlNtl-
36
niños
(Dividir
por
3,
multiplicar
por
2)
24
niños
ii)
Equivalencia
e
estados.
n mismo
operador
que
al
actuar
sobre
estados
nidad
diferentes roduce
a
misma
ranformación
comparando
l
estado nicial y
final
en
el sentido
descrito
en la
sección
nteriár
sobre
a
<<raz6n>>),
o
que
nos
ntroduce
de forma
natural
a la
noción
de
proporción.
final <<24
iños>
también
recibe
el nombre
de
estado
<dos
tercios>
la
descripción
de
un
estado
de
cosas.
un
contexto
continuo,_
por
ejemplo
cuando
actúa
la
fraccion
213
como
operador
sobie
un
segmento
de
longitud
dada,
se
obtiene
segmento
de
longitud
213
del
original.
Esr¡oo
Oprnnoon
Esr¡oo
t2
t5
24
x
(213)
x
(2/3)
x
(2/3)
8
l0
t6
73
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 39/85
ntre el estado
nicial
y
el estado inal siempre
es
<dos
a
tres).
enfatiza
el
papel
de las fracciones
números
aciona-
como elementosdel
algebra de funciones
transformaciones)
l mismo
que
conducea la idea
de
que
los
números acionales
orman
un
(estructura
lgebraica)
on la
multiplicación.
sí un
contextonatural
parala
composición
de transforma-
funciones,
perador),
a
idea
de nversa
el
operador
que
reconstruye
a
idea
de
dentidad
el
operador
que
no modifica
el estado
de las
fraccionesha
sido tratado
con detalle
por
Z. P.
una
aproximación estructuralista
n la enseñanza
e
en
a aproximaciónestructuralista
a
actividad del niño
se
hacia
a construcción
de
estructuras
matemáticas
ormales).En
pala-
propio
Z. P.
DIsNus
1972,
ág.
111):
Seobservaráue odasestas iferentesacetas el estudio e as racciones(razón,porcentajes,ecimales,..) uedener omprendidas
entro
eunesquema
de a estructura
peracionale as
matemáticas
i consideramos
na racción
como a
sucesióne
una
partición
una
operacióne
multiplicar...
a:
Como esultado
eestemétodo
e ratamiento,
eberá
ambién onstatarse
que
el estudio
e
as
raccionesorman
arte
de
un
estudio
mucho
másamplio
general
obre
os
estados
los operadores.
sta
constatación
e conlirmará
cuando e
aborde l estudio
e
a
geometría,
ondeas ransformaciones
on os
operadoresasdistintas
osiciones
e
as
igurasos
estados
enelcampo
elál-
gebra
onde
osvectores
erános
estados as
matrices
osoperadores..
(pág.l2).
3.6.
UNA VISION
GLOBAL
DE
LAS
FRACCIONES
3.6.f.
Relaciones
ntre as
distintas
nterpretaciones
En las secciones
revias
hemos descrito as diferentes
nterpretaciones
que
se
pueden
asociara la idea de fracción, caracteizándolas
n sus
rasgos
más elevantes.
Debido a las diversas
perspectivas
on las
que
se
puede
concebirel
concepto
racción,algunosautores
o consideran n
megaconcepto
refirién-
dose
al número racional como
sintetizador e todas
as interpretaciones
descritas)
onstituido
construido) or
diferentes
ubconceptos
lo que
noso-
tros hemosdenominado
nterpretaciones).
Los rasgos
generales
e cada
nterpretación señalados n
las secciones
anteriores
muestran
que
el ser
(hábib)
en dichas
nterpretaciones onllevael
dominio
de diferentes structuras
ognitivas
---entendidas
omo
esquemas e
pensamientoubyacente las acciones ecesariasaradesarrollarareas ue
implican
a idea de número racional
en cualquierade sus
nterpretaciones-
que
sedan
en el niño en diversas
pocas e su desarrollo,
o
que
condiciona
las secuencias
e enseñanzan vn
momentodeterminado.
Además,desdeuna
perspectiva
e enseñanza o es
posible
aislar
por
completo
cada una de
las interpretaciones e
las demás.
Algunas de ellas
tienen
vinculaciones
naturales>
que
no se
pueden
gnorar,
y
hacen
que
al
tratar un
determinado aspectodel
número racional,
mplícitamenteestén
presentes
tros aspectos.
Estas elaciones
an sido conceptualizadas
ara
a enseñanza través
del
siguiente
squema
Bnnn,
M.
J. et al.,1983,
pág.
100).
Diagrama
3.1
los autores
ndican mediante
lechascontinuas as
relaciones stablecidas
mediante
lechas
discontinuas
as
relaciones
ue
se conjeturan.
Las recientesnvestigaciones
obreel aprendizaje e
os conceptos
elati-
vos a las fracciones
an
señalado
lgunasde estasdependencias,
sí como
a
aproximación
de unas
nterpretaciones otras cuando
nos introducimos
en
contextos
<<más
bstractos>.
I iNIVERSIDAO
ISTR'TAL
75
F RA Nr lcr nr ñ E n r r dr . Á.
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 40/85
Por ejemplo, cuando
se utiliza la relación
parte-todo
en contextos
discre-
las situacionesnurhericas
puede
conducirnos a la idea
de operador o
de
<315
de 20>>
uede
ser nterpretado como una fracción actuando sobre un
(operador),
es decir, una acción más
que
la descripción de una
o cuando empleamos
para
describir esta situación el lenguaje de
ó0
oÁ
de
20>,
el 60
por
ciento de veinte, estamos comunicando
existe
a misma
<relación>: en
el sentido de
razón)
<tres
de cinco>
que
e cien>.
Por otra parte, en la sección 3.5 de este mismo capítulo se mostraba la
interpretación
de la fracción como operador o
razón,
cuando se describía a equivalencia de estados.
.r
Además, como señala el
propio
Z. P . DnNns, la
conexión entre la
inter-
de la fracción como operador
y
la
idea
de m edida se encuentra en
contexto
natural en la realización de mapas
y planos (la
utilización de
Para intentar
clarificar estasúltimas relaciones
podríamos
indicar
que
as
ue pueden
separar as distintas
interpretaciones
del
número ra-
<finas>
según subimos
por
el edificio matemáti-
que
llega un momento
que
en
<contextos
abstractos>
(trabajo
números
y
ecuaciones)
asamos
de una
interpretación
a otra
impedim€ntos
(conceptuales>.
El
poder
de
generalización
síntesis e las
se
muestra
para
ayudarnos a desenvolvernos
on facilidad.
Con todas las caracterizacionesanteriores,
hemos
pretendido
mostrar
el concepto
<fracción>
número
racional) es muy complejo; formado
por
nterpretaciones
e
interrelacionesentre
ellas;
por
eso, no
podemos
que
hacernos
eco de
la sugerencia
de
Suvn¡,u
(1979)
que,
despuésde
hecho
una revisión de los
proyectos
de
investigación
desarrollados
1979, en re lación a la enseñanza de las
ideas
relacionadas con el
que
conviene:
-
considerar objetivos
a largo
y
corto
plazo
en relación a cada una de
las
interpretaciones;
-
seleccionar as
interpretaciones
apropiadas
para
desarrollar
esosobje-
tivos, teniendo en cuenta las estructuras cognitivas
necesarias;
-
proporcionar
secuencias e enseñanza
actividades)
ue
contribuyan al
crecimiento de estasestructuras.
De
todas
formas,
y
como
habíamos
señalado
al
principio de
esta sección,
manejar
as diferentes
nterpretaciones
viene
vinculado
al
dominio
(posesión)
de
determinadas
estructuras
cognitivas
(lo que condiciona
el
momento
de
(ver))
en
la escuela
estas
nterpretaciones).
De
forma esquemática,
enemos:
La necesidad
de
que
el niño
desarrolle
a comprensión
del
número
racio-
nal en
todas
sus nterpretaciones,así como plantear las relacionesentre estas
interpretaciones
diferentes
ya ha sido defendida
por
algunos
educadores
matelnáticos,
como
hemos señalado
en el
primer
capítulo
(véase a opinión
de
KmnnN,
Dmurs,...).
El estudio
pormenorizado,
las caracterizaciones
y
las
implicaciones
en el
proceso
de enseñanza
de
algunas
interpretaciones,
en
particular decimales,
medida,
fazon,
operador,
se
sale fuera
de
este
ibro
y ya ha sido
estudiado
por
otros
autores.
3éZ-,
Papel
destacado
de
la relación
parte-todo
Ahora
bien,
pareceser
que
la
i{r-te.rpretación
ar(e-todo, tanto
en contex-
tos continuos
como
discretos
(caracterizado
en
la sección
3.2) constituye
la
piéára
angúlar
sobre
la
que
se van
a
desarrollar
algunas
de
las restantes
interpretaciones, al y como se
ndica en
el diagrama
anterior'
Esta
<naturalidad>
del
concepto
parte-todo
se ve
reflejada
en la gran
atención
que
normalmente
recibe
en el
desarrollo
de las
matemáticas
escola-
res.
Además,
existen
opiniones
(E[nnnnucH,
PAYNE,
1978)
que
dehenden
a
idea
de
que para
realizar
a
introducción
al concepto
de fraccón
se_debe
sar
unu
int.iprétación
simple
(contexto
de área.
continuo),
indicando
que la
ríación
parte-todo es la
que
constituye
la
interpretación
más natural
para
los
niñoJ(además
de
constituir
un
buen
modelo
para
dotar
de
significado
a
la
suma
de fracciones).
Sin
embargo
estas
ntroducciones
unívocas
ienen
que
ser completadas
a
lo
largo
de la
enseñanza
con
otras
interpretaciones
del concepto
de
fracción
para intentar
evitar
las
posibles limitaciones
conceptuales
que
se
podrían
lnferencias
n
la secuencta
de
enseñanza
77
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 41/85
Una
excesiva
sociación
e
la
idea
de fracción
a
la interpretación
contexto
ontinuo)
podría
plantear
dificultades
nte
cuestiones
a
siguienteHanr,
l98l):
<María
y
Juan
tienen
dinero
en
el
bolsilo.
María gasta
1/4
del
suyo
y
Juan
ll2.
¿Es
posible
que
María
haya gastado
más que
Juaut
D"
todas
ormas
no hay que
olvidar que
as
nociones
matemáticas
o
se
odas
de
una
vez
y
al mismo
nivel
de
<manejabilidad>
operativi-
tanto
hay que
aceptar ue
os
niños
puedan
esarrollar
na
noción
racción
inculada
la
relación
arte-todo
n
un
mom"nto
de a
enseñan_
y
al
ampliar
el
concepto
de fracción
a
otros
ámbitos (a
otras
inter-
sta
noción primitiva
se econceptualjzará
readaptará)
odifr_
De
esta
orma
concebimos
l
<paso))
e
as
diferentes
nterpretaciones
e
ideade fracciónpor la secuencia e enseñ nza,pretendiéndóseueal linal
construcción
el
concepto
e número
acional
enga
como
subconceptos
diferentes
nterpretaciones
ue
ha ido
adaptando
lo lurgo
de
sr4forma_
a diferentes
nterpretacionis).
vamos
a desarrollar
a
relación
parte-todo
en los próximos
capítulos,
rasladar
as
consecuencias
el
análisis
eórico
de
la relación
a
e
clase.
De
forma
aleatoria
se
establecerán
onexiones
on
las
otras
nterpreta-
e al
forma que
se
pueda
empezar
delinear
a
futura
<<tela
e
araña>
ue
constituye
as
deas
elativas
l número
acional.
ñ
*
4.
La
relacíónparte-todo
y
las
fracciones
o
r>
Lil.'-Er.:li
@
AA
0
AA
O
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 42/85
En
el
capítulo
anterior
habíamos
caracterizado
a interpretación
parte-
cuando un <todo>
o varios (continuos
o
discretos)
éra
dividido
en
y
la fracción
nos
describía
la
relación
entre
las <partes>
que
se
y
el número
de
partes
en
que
se había
dividido
el todo.
El
primer
contacto que
tiene
el niño
con
esta
relación
es relativamente
como
ya
se ha
señalado.
Expresiones
como <media
manzana>>>
vaso de leche>,<dame un trozo de tarta> pertenecen
al vocabulario
desde os
primeros
años.
Las aproximaciones
que
el
niño
realiza
a
estas
nociones (relaciones)
on
primer
momento
cualitativas
y
no
alcanzan
todavía
el
fango
de
cuantitativas
de
una
situación.
Este
hecho
ha
apoyado
la idea
la
<estimación>
aproximaciones
cualitativas)
en
el
proceso
de
de las
nociones
niciales
en
relación
a la
fracción,
como
una forma
al niño
a anticipar
la
formación
de <estructuras
operativas>
ara
crear (buscar)
procesos
de
solución
en situaciones
problemá-
que
conlleven
de forma
implícita
la
noción
de fracción.
A
partir
de este
momento
vamos
a intentar
identificar
las
características
permite
manejar
la
noción parte-todo.
Los atributos
de la relacién
parte
todo
Independientemente
de
la
aproximación
cualitativa,
algunas
habilidades
el dominio
de
la relación
parte-todo
son
la
capacidad
de
un todo en
partes,
reconocer
el todo,
realizar
divisiones
cóngru"nter,
as
partes
del todo...
El manejo
de
estas <habilidades>
la
posesión
de la
estructura
cognitiva
permite
realizar
estas
acciones)
ha
sido
estudiado
por
pracEr,
INHer,nsn
(1960)
ndicando
que
la
noción
de
fracóión
en
su
aspectoparte-
sostenida
por
los
niños
(en
contextos
continuos-área)
se
apbya
en siete
(citado
por
Suvoau,
1979,pág.
l5).
..:¡
\r,t
Un todo
está
compuesto or
elementos
eparables.
na región
o
''
superficie s
vista
como
divisible.
(t.
,
1,"
separación
se
puede
realizar
en
un número
dete.rminado
de
--
partes.
El
<todo>se
puededividir
en
el
número
de
partes
pedido'
3.
Las subdivisiones
ubren
el todo;
ya
que
algunos
niños
cuando
se
les
pedía
dividir
un
pastelentre
res
muñecos,
ortaban
res rozos
e
ignoraban
el
resto.
4.
El número
de
partesno coincide
on
el
número
de
cortes'
5.
Los trozos
-partes-
son
iguales.
as
partes ienen
que ser del
mismo
tamaño
----congruentes-.
6.
Las
partes ambién
se
pueden onsiderar
omo
otalidad
un
octavo
a
de un
todo
se
puedeobtener
dividiendo
os
cuartos
en
mitades).
\1
El
<todo>
seconserva'
Estos
tributos
ueron
ampliados
or PnvNE
1976)
on
os
que él veía
como
necesarios
esenciales)
ara
el
aprendizaie
nicial
de
estas
ociones.
8.
Control
simbólico
e as
racciones,
s
decir,
el
manejo
de os
símbo-
los relacionados las fracciones.
fñ
Las relaciones
arte-todo
en contextos
ontinuos
discretos.
0b
Las fracciones
mayores
ue a unidad.
h. Subdivisiones
quivalentes.
Tanto
a
idea
de
que
as
partes
e
pueden onsiderar
su
vez
como
odos
(señalada
or
Pncnr),
como
la
noción
de
las
subdivisiones
quivalentes
(señalada
or
PnvNe)
están
estrechamente
elacionadas
on
la noción
de
iraccioneq
quivalentes,
s
decir,
con
la
<habilidad>
e
reconocer
uando
distintas
partes
de
un
mismo
odo,
obtenidas
on diferentes
ivisiones,
os
dan
a
tnir.nu
parte de
la totalidad,
o
cual
nos
leva a
admitir
una
misma
relación
parte-todo
a través
de
<nombres equivalentes>>.
Veámoslo
on
un
ejemPlo:
Totalidad.
División en
dos
partes.
División
en
8
partes'
Relación
1 a 2 e¡tre
Parte
Y
todo.
en
ambos
casos
engo
igual
parte
del
total.
Relación
4
a 8
entre
parte
y
todo.
8l
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 43/85
Distintas relaciones
parte-todo
pueden
expresar a misma parte
de un
caso as relaciones
se refieren
al mismo objeto fisico,
y
ello se dicen equivalentes.
Los contextos
de
la relación
parte-todo
La utilizaciín
de determinados
contextos
pueden
influenciar
el desarrollo
e enseñanza
ctJyoobjetivo sea a
adquisición de
las
primeras
a la relación
parte-todo.
basadas en
actividades de doblar
papel, pajitas,...
as
ideas
on la
noción
parte-todo
pueden
ser adquiridas
por
de ocho
años,mientras
ue
a
utilizaciónde
contextos iscretos
n as
e enseñanza
ueden
casionar
n un
primer
momento
mayores
PnvNn,1978).
Esta opinión
contradiceas
conclusionesel trabajo
de
Novu,us (1976)
ndica
que
os
dos contextos esultaron
erdel mismo
grado
de
dificul-
't
El objetivo
de las investigaciones
e Novu,us
consistíaen identificar as
ependencias
onceptuales
ue
se
pudieran
dar entre
as
deas
vin-
a la noción
de fracción.
Entre
as deas
que
consideró eencontraban
a de asociar
una fracción
el
área
de una
parte
de una figura
(contexto
continuo),
con un subcon-
de un
conjunto
contexto
iscreto), con un
punto
de a rectanuméri-
nteresantes,
os resultados
ebenser considerados
on
precau-
:{,o.ytl¿¡S.
on-c-lu.Ig
q}e
_gl
desa r o
{9
.
de
_
as
-
relasi
p¡re
.
p
arfe
-tg-d.q
n
ontinuos-y iscretos
pn-reguisilos
reviospara
el trqpajg_cq¡
a
numérica.¡
demás
sus experienciasndicaron que
la
capacidadde
gna
fracción
a una representación
nun contextodiscretoo continuoat-íiáliá¡o con las relaciones
de équivalenciá
aii'ertiiites'"hornbies
as relaciones
quivalentes).
uestra opinión
es
que
para
diseñarsecuencias
e enseñanza
actividades
debemos
ptar
por
un contexto
continuo,en
primer
lugar,
e i r
posteriormente
ctividades
n as
que
se utilicen como fase nter-
objetos
articulados
para
utilizar finalmente
situaciones
n
las
que
el
unidad>esté ormado
por
elementos
iscretos. n estecaso
el
de la secuencia
e enseñanza
objetivo
a
corto
plazo)
serádesarro-
os
atributosdel
concepto
e
racción
asumiendo
n
este aso
or
Pr¡,c¡r
et al.
y
los añadidos
or
PevNn).
stas
onsideraciones
ienen
nferencias
n
a
secuenciae enseñanza.
e
resumidase
puede
ndicar
que
aunque a relación
parte-todo
es básica
e
inicial
para
a adquisición
e
las nociones
elativas
al número
racional,
dentro
de este
concepto
o todos
os contextos
resentan
a
mismadificul-
tad, lo
que
condiciona
a
clasede
materiales
concretos)
que
deben
ser
utilizados.
De forma
esquemática
btenemos:
Relación
arte-todo:
a)
Contextos
ontinuos:
uart i l las,
t iras
de
paPel,
aiitas...
4.1.3.
L¿ relación
parte-todo
omo
generadora
del
lenguaje símbolos
De alguna
manerase
puede
entender
ue
a
relación
parte-todo
se
en-
cuentra
en el origen
de as
demás
nterpretaciones
el número
acional.
Esta
intepretación
s de las
más ntuitivas
en el
niño,
por
tanto
el
problema
se
plantea
n
que
su uso
a
convierte
n
generadora
e enguaje
símbolos,
ue
van
a constituir
a base
origendel
trabajocon
as demás
nterpretaciones
Debe enerse
muchocuidado
en
a identihcación
e os símbolos
on
as
situaciones,
sí
como en
la utilización
del lenguaje
sociado
las
ideasde
parte-todo uese ealiza n estosmomentos. a atención special ue ecibe
esta
nterpretación
nicial de as fracciones
os obliga
a ser cuidadosos
on
las deas
que
en ella se
ransmiten.
El lenguaje
los símbolos
utilizados
en este
primer momento
pueden
condicionar
a comprensión
e futuras
ampliaciones
e la
noción racción.
Así,algunas
nvestigaciones
Krnsr-srn, 1986) an señalado
ue
el
mane-
jo
de as racciones
omo
números n determinadas
areas omo
pueden
er:
-
colocar
racciones
obre a
rectanumérica,
-
nombrar raccions
entreD
dos
fracciones
adas,...
son relativamente
omplicadas
ara
os niños
que
sólo
<ven>
as racciones
como una descripción
e
una relación
ntre
as
partes
en
que
seha dividido
un todo
y
el todo.
83
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 44/85
Por
otra parte,
una inferencia
que
se
debe
hacer
en
el
desarrollo
de
las
e
enseñanza
de
la
noción
fracción
es el
cuidado
especial
que
hav
tener
en
identificar
las
manipulaciones
concretas,
a
expresión
veJbal,
os
la
expresión
escrita
y
los
símbolos
que
se
manejan
en
estas
Estas
deas
serán
descritas
a lo
largó
de
las
próximas
seccio_
En
otras
palabras,
en
un
primer
momento
de
la
secuencia
de
enseñanza,
de desarrollar
la
comprensión
del
concepto
viene
a la
capacidad
de
<representación>
ue
el niño pueda
hacer
de la
parte-todo.
Esta
idea
de
intentar
vincular
el objetivo
de
conseguir
a comprensión
de
ala
capacidad
de representar
esta
co-preniión
conse-
nos presenta
otra
de las
características
e la
secuencia
e
enseñanza:
a
de <negociar>
el
significado
de
los
símbolos
con
los
niños.
Bajo
esta
perspectiva,
a idea
de
<negociar>
el significado
de los
símbolosversecomo el propósito de llenar de
significado
os
símbolos (la
repre-
de
la
relación) que
los
niños
utilizan
(o
van
a
úilizar) para
descri-
las
situaciones
que
llevan
implícitas
la
noción
de fracción.
.:
Este
hecho
hace que
nuestra
atención
se
centre
en las
posibles
epresenta-
de la
noción parte-todo
así como
en las
diferenteslraslaciones
de una
a
otra.
(Esta
cuestión
será
desarrollada
en detalle
en
la
sec-
4.4
de este
capitulo.)
La relación
parte-todo
y
el
conocimiento
informal
de los
niños
forma
de comenzar
a
desarrollar
el
<lenguaje
de fracciones>,
que
dotar
de
significado
os
símbolos
que
utilizamos para
representar
el
es
dar importancia
al
conocimiento
que de forma fragmentaria ellevan los niños
en
relación
a la
noción
fracción (parte-iodo)
cuan-
a empezar
a
trabajar
estas ideas.
También
conviene
localizar
usuales
en
las que
<hay
fracciones>
aunque
nunca
se hayan
así.
desarrolladas
en
las
auras
normalmente
que
pueden
no
tener
relación,
a
primera
vista,
con
el
desarrollo
de
conciptos
matemáti-
ser
utilizadas
a
este
respecto.
de
este
ipo
de
actividades
pueden
ser a
construcción
de mura-
en el aula.
La
colocación
de
un
gran
panel
de
papel
en
una
de la
clase,
el
cual
se
divide
en
regiones
guales pu.u
gtupor
de
niños
a
se les pide
que
realicen
sus
dibujos pueden-
ser
ñtilés
a
través
de
actividades
omo:
-
<repartiros
cada trozo entre
los cuatro
miembros
de vuestro equipo
para que
todos tengais a misma
cantidad de
papel>;
-
la
introducción por
parte
del
profesor
de
divisiones
<no
normales>.
pueden
uscitar uestionesomo,
<¿Cómo
e
puede
aber i son
gualesas
partes?>
Provocando los comentarios
de los niños
y
dejando
que
sean ellos
los
que
justihquen
sus respuestas.
La construcción de
mosaicos
utilizando
(cuartos)
de distintos colores
y
formas
pueden
ntroducirnos en considerar mosaicos ormados
por
determi-
nadas
formas
y
colores de tal forma
que
resulten
<bonitos>.
Actividades de recorte
y pegado
con
hojas de revistas
y periódicos
tam-
bién
pueden
ser
utilizadas
para <averiguar>
este
conocimiento
informal
que
pueden
manejar los niños sobre las fracciones.Sugerencias
omo,
-estimar
el tamaño de una foto
en
relación
a la hoja
entera;
-
relacionar el tamaño de algunas otos
en
hojas
distintas
de un
periódi-
co,
<<¿cuál
s mayor?
¿por
qué?
¿cómo
se
puede
saber
sin recortar
ni
superponer?...
-
la introducción
de
pequeñas
<anomalías>
a las r egularidadesmaneja-
das
puede
ayudar a
<perfilao
el tipo de argumentos utilizados.
La
propuesta que
subyace en esta
sugerenciaes la de
que
se
pueden
utilizar multitud
de situaciones en
el aula
que
nos ayuden a descifrar
la
<clase>
e conocimiento
que
los
niños tienen sobre as fracciones
la
clase
de
Matemáticas
no tiene
por qué
ser
sólo
la
<hora
de Matemáticas>).
Este
conocimiento informal,
junto
al lenguaje
que
los niños utilizan
asociado
a él
(mitades,
cuartos, tercios,
quintos,...
dividir,... repartir,...)debe
ser el
punto
de
partida
de las secuencias e enseñanza.Esto
condiciona
que
al
principio,
las fraccioneqmás
<normales>para
plantear
deban
ser
U2, U3,
ll4,
U5,...
aunque M. Gournno
(1964,
pág.
91) señala
que
debido a
que
los
<medios> y
los
<tercios)
son los
que
no siguen
una
regla
en relación
al
vocabulario
como los
<<cuartos>>,quintos>,
sextos))...
inculados
al carácter
ordinal de los números,
presentan
mayores dificultades
para
los niños.
85
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 45/85
En relación
la
necesidad
e
eneren
cuenta
l conocimiento
nformal
de
niños,
cabe señalarque
la única
forma
de
poder
tener en
cuenta
este
s
<saber
n
qué
cantidad
existe>,
eso o
sabremos
i el
niño
o
<dice>>.
ara
esose
necesita
n clima
de
clase n
el
que
os
niños
no
ortapisas
a la
posibilidad
de <verbalizar)
sus
pensamientos,
e
que
se es
presenten
as
<situaciones
decuadas>
ara
que
esto
ocurrir.
Ejemplos
omo el
anteriormente
itado
de os muralespueden
ayudar
a
un clima
de clase nformal
en el
que
os
niños
comenten
o
que
hacen,
omparen
us
esultados,...
Se
pretende
iunto
al énfasis
ue
se coloca
en
estos momentos
en la
e
os niños
en estas
ituaciones
oncretas)
ealizar
na
estrate-
de enseñanza
n a
que
el niño
seencuentre
nteuna
amplia
variedad
e
arte-todo.
La
situación
de repartos
equitativos
del
ipo <cinco
naranjas ntre resde medida medirel largo de la mesa
con un lápiz,
eniendoque
el
posible
<<algo
ás>
de alguna
orma
más
cuantitativa)
pueden
como
sugerencias.
deben
ser
utilizadas
ituaciones
ompletamente
rtificiaies,
o-
uegos
con los
Números
en
color
(eligiendo
na regleta
arbitraria
unidad,nombrar
as otras
regletas)
n los
que
os
niños
encuentren
decuados ara
verbalizar
u
conocimiento
e la relaciónparte-
posición
esdefendida or
M. Gourenp
(1964)
uando
ntroduce
as
sando
os números
n
Color,
...Es
atural
ue
os niños
ometan
rrores
l dar
sus
primeros
asos
n el
manejo
e as racciones,
no hay
por
qué
asombrarse
eello.
Seentra
entonces
en una
discusión
olectiva
onde
eexaminan
odas as
opiniones,
ealizando
experiencias
ateriales
oncluyentes
ue
decidirán
i aquellas
piniones
on
aceptables
es
preciso
modificarlas.
ó1o sí
es
posible
aprender e verdad.Cuandoeniega osniños lderechocometerrrores,e lega sustituirlos
a decirleso
que
conviene
ue
descubran
pág.
0).
esumir
as
últimas deas
expuestas odríamos
eñalar
ue
a inter-
verbal
entre
profesor
alumnos
y
entre
alumnosmismos
es esencial
que
el
profesor ueda
obtener
atossobre
el conocimiento
nformal
y
fragmentario ue puedan
raer en un momento
dado os niños;y
una fuente.
e corrección
e errores.
El
proceso
de
verbaliza-
ción
que
realizan
os niños
para
comunicar
susexperiencias
ace
que
se reformulen
y pongan
en acción
o
que
ellos
conocen
de la situa-
ción, o
que
ayudaa mostrar
sus
propias
contradicciones.
4.2. RELACIONES
ENTRE
SITUACIONES
CONCRETAS,
DESCRIPCION
DE
SITUACIONES,
MODELOS
Y
SIMBOLOS
En
la sección
nterior
se
había señalado
ue
parte
del
hechode compren-
der una
idea
venía
ndicado
por
la
(versatilidad>
de
la representaciones
ue
se
pueden
realizar
con
ella.
Así, si el llegar
a
comprender
na
dea
matemática
onlleva,
ntreotras
cosas,
a habilidad
de
<manejarla>
n diferentes
epresentaciones
de
poder
realizar
raslaciones
ntre éstas,
arece
claro
que
habremosde
dentilicar
as
posibles
epresentaciones
n
as
que
se
puede
manifestar
a idea de
fracción
(Lnsn
el al.,1983).
Una
situación
oncreta
n
a
que
un
profesormuestra na
hoja de
papel
con cinco
partes
congruentes
eñaladas
on
tres de ellas
sombreadas,
con
los números
n color,
omando
a
regleta marilla
como
unidad
para
nten-
tar
determinar
el
valor de
a regleta
verdeclaro,
son
ormas
de
<representar>
la fracción<tresquintos>.
ao
En este
caso el
profesor
está
utilizando
modelos concretos
de
determina-
das fracciones.
Dibujar
en un
folio diagramas
que
intenten representar
esta
situación,
es otra
forma de
representar
a
idea de fraccton.
87
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 46/85
Decir
en
voz
alta
<tres
quintoo>,
escribir
enla
pizarra<<tres
uintos>r,
3
uintos>r
<<315>>,
ambién
sondireréni;i;;.u,
de
representación.
Las
diferentes
raslaciones
ntre
r;;
;pi..rntu"iorres
ras
podríamos
ndi-
ar
mediante
el
siguiente.diagrama
esn,-re-ar,
ntro¿u""
"o'rri'Jolo
tipo
a"
epresentación
as
situaciones
el
mundo
real).
/
/
Forma
oral
p
Diagramas,
ibujos
/
/
<3/5>
Forma
escrita
<tresguintos),
dobles
lechasndican que sedebenbuscaractividadesou.uf,-u" er niñoesarrolle-su
apacidad
para
pasar
de
una
representación
otra
en
ambos
Por
ejemplo:
Actiuidad
.
Se
e
muestra
l
niño
una
hoja
de papel
dobrad&
n
cinco
artes
ongruentes,
res
de
,as
cuales
stán
intádar
d;
.rj",
;;
le pide
que
indique
ue
parte
del
otal
estápintada
áe
ojo.
,r"rníliirl{
t'
Se
e
pide
al
niño
que
en
una
cuarrilla
os
cororee
e
rojo
sus
Estas
actividades
orresponderían
la
traslación
del
modero
concreto
a
oral (y
viceversa).
-
La
representación
,e
as
situaciones
ue
nevan
mplícitamente
a
noción
racción
a través
de
diagramas,
ibujoi
esquemas,
uede
ser
earizada
on
intención
de
proporcionar
a
lós
"inLt-
*o¿"ns
de
apoyo
que
es
ayuden
a
esdeas situaciones_oncretas,ntuitivas,a un nivel más ormal
gmo
puede
ser
el
trabajo
íumérico.
La
descripción
detallada
de
algunas
de
estas
raslaciones
n
el
caso
del
del
concepto
de
fracción
s
"ri
i"ur¡ruduen
las próximas
secciones.
En particutar,
y
dentro
del
rrabajo
"oo
áiugru_",
rd;ü;j;;
lf
hs
trasla_
a forma
orar
v forma
escrituj
"onui*,
dominar
las
representaciones
las
fracciones
más
sencilas
r"brÉ
hJ;;ras
geométricas
más
conocidas.
el
modero
seométrico
más
usuai
"o
ti
,ep."r""dtó,
lráfica
de
es
el
rectlngulo,
no
cabe
duda
que
se
pueden
emplear
muchas
iguras
geométricas
ara
expresar
a
reláción
pl.t"-toaá.-Éiientang.rro,
y
el
círculo
son
las
-figuras
que
mejor
se
prestan
a representar
e
denominador
cualeíqui"tu=J"ui¿o
a
que
son
fácilmente
divisi_
en
un
número
n
(n
:
2,4,...)
.
puri",
igout"r.
Por
otra
parte, existen
otras
figuras
sencillas
cuya
división
en
partes
ila,
no
es
ün
fácil,
pero
que
se
puedenemplear
para
representar
etermi-
fracciones.
sí,
el triángulo
equilátero
se
puede
utilizar
para
represen-
,ilf
medios,
ercios,
sextos,...
ol
rombo
Para
representar
medios,
ercios,
uartos,
extos,.'.
0 $$ 0
el
pentágono
egular
para
representar
uintos
y
décimos'
w
omo
habíamos
icho,
estos
jemplos
e
pueden
utilizat
para
as activi-
dades
correspondientes
las
traslaciones
diagramas
<
:
: : =
:
: : :
> forma
verbal
diagramas
< : : : : : -- : :> formaescrita
4.3.
EL
TRABAJO
INICIAL
CON
LA
RELACION
PARTE.TODO
4.3.1.
Introducción
Según
Pncnr,
la
habilidad
de
manejar
a relación
arte-todo
eapoya
en
la
capácidad
ue
ienen
os
niños
de
sostener
iertos
atributos
o
habilidades'
La
identifiiación
de
estos
atributos
condiciona
la
secuencia
nicial
en
relación
a
las
actividades
ue
deben
er
ealizadas
n
a escuela
on
el fin de
conseguir
u
manejo.
89
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 47/85
La
estructura
cognitiva
sobre a
que
se basan
estosatributos
a
constitu-
a
acciónde
dividir un
todo en
partes.
La forma
de
realizar
a
división,
el
sobreel todo,
el resultado
de a
división,...
on, uestiones
ue
han
sido
por
Pu,cnr
et
al. como os
fundamentos
para
manejar
a rela-
parte-todo.
Por
ello, as
actividades
desarrollar
en
un
primer
momento
deben
estar
a
que
los
niños
adquieran
el
manejo
de estos
atributos.
Por
otra
parte
habíamos
señalado
que
el
contexto
continuo
(modelo
podía
considerarse
l más
natural
para
rcalizar
a introducción
de estas
Al
plantearse
una
situación
de enseñanza
prendizaje
se introduce
la
de realizar
el diseñode sussecuencias. enominaremos
ecuencia
e
una seriede actividades
irigidasa la consecución
e uno o varios
de aprendizaje.Cada secuencia
e enseñanza
uede
estar
ormada
por
otras secuenciase enseñanza
iferütes. Además as
secuencias
ueden tener una duración de unas horas, unas semanas
de varios añoscomo
as caracterizadas
or
los
objetivosalargo
plazo.
Tenemos
dentificados
os atributos
a conseguir,
través
de ün
contexto
en un
primer
momento,
para
integrar posteriormente
actiftdades
iscretos.
Otra
cuestióna tener
en cuenta
es a
<<representación>
e as deas,
desde
intuitivo
(entendiendo
a
simbiosis
que
se da
al considerarmodelos
n situaciones
oncretas
el conocimiento
nformal
y
fragmentario
os niños
puedan poseer
de estas
nociones)
al
plano
simbólico
pasando
la utilización
de diagramas
y
formas
verbales
escritas.
uede
ser conveniente
ntes
de
ntroducirnos
de leno
en el estudio
de a
parte-todo
a través de la
utilización
de
modelos
más
concretos,
siuaciones
ue
se
puedan
considerar
cotidianasal
niño en las
que
e una forma
u otra diferentes
tributos
conectados
on a idea
de
Recordar
as
sugerencias
el apartado
4.1.4.)
ituaciones e reparto y medida, anto en contextoscontinuoscomo
en cuyo
desarrollo ntervengan
deas
ales
como el
considerar
el
de a unidad, a
necesidad
e
partes
congruentes,
situaciones
n as
a
propia
idea
de fracción
no es
aplicable,
pueden
ayudar
a clarificar
os
atributos necesarios
ara
el desarrollo
posterior
de la
relación
otidianas
los niños
como
as de reparto
de una
tarta entre
determinado
de niños,
o el dividir
o repartir
trozos
de cinta
de
para
realizar
determinados
uegos,
pueden
proporcionar
os momentos
para
que
los niños
verbalicen
el conoci,miento
que
ponen
en
n estas ituaciones.
a interación
verbal
entre os
propios
y
entre
os niños
y
el
profesorpueden
er
utilizados
por
este
último
determinar
el
<<estado
e la cuestióu.
Juegos
y
actividadesen
las
que
se fuerce al
niño
a repartirse distintos
materiales,
sí
como
que
as
partes que
se ormen
sean
congruentes,
ueden
iniciar el camino
hacia
a conceptualización
e la relación
parte-todo.
La
sugerencia n el
reparto
de
una
pizza, pot
ejemplo,de
<tú
haces as
partes
y yo
elijo> ayuda al n iño a
introducirseen a idea de
partes
congruen-
tes. Este ipo de actividades
ambién
pueden
ser realizadas
utilizando líqui-
dos
conjuegos
e vasos
probetas,
provechando
a experiencia
uepuedan
tener
os
niños en repartirse,
or
ejemplo,
zumo
de
naranaja, eche...
unque
evidentemente
stasúltimas actividades eben
estar
supeditadas
l desarro-
llo en el
niño de
a
conservación e
os volúmenes.
Dividir un folio o una
tira
de
papel
con unas ijeras,
ensayando istintos
procedimientos
ara que
as
partes
obtenidassean gualesson actividades
realizar.
Situaciones ncontextosde medidapuedenutilizarseparadesarrollar as
habilidadesde dividir
<<todos>>
n
partes
congruentes.
La
posibilidad
de
cubrir
una mesacon folios teniendo
que
considerar
en
algún
momento
((partes)
del folio
para
terminar a tarea,o
medir a longitud
de a
pizarra
con
un
láryiz
y
tener
que
volver a considerar
<partes>
del
ápiz
(en
relación al
todo) con
el
condicionantede tener
que
comunicar a los
compañerosde
una forma clara
que parte
del folio o del
lápiz se han
considerado,
pueden
ser actividades
que
nos
introduzcan
a
las ideas
de
(parte
de
un
todo>
y partes
ongruentes
n contextos amiliares los niños.
Los números
en color
(Regletas
uisinaire) onstituyen
n material
di-
dácticosuficientemente
onocido
que
ambién
pone
de manifiesto
as relacio-
nes
parte-todo
en
os contextos e media
utilizándolo
omo
representacio
nes
de
situaciones
oncretas).
9l
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 48/85
o
AA
0
El tamaño
de la unidad
Es
necesario
ue
en las
situaciones
escritas
anteriormente
se vincule
a
de
las fracciones
a la
unidad:
el
<tamaño>
de la
mitad
de una
está
en función
de lo
grande
que
sea a
naranja.
Las
situaciones
n
que
en un
primer
momento
as
fracciones
ienen
un
aspecto
de
operador
a mitad
de una
naranju)
deben
desarrollarse
ambién
desde
el
del trabajo con la relación parte-todo. La integración de las
nterpretaciones
el número
racional
puede
empezar
a realizarse
primeros
momentos
en
situaciones
concretas,ya que
también
es
ntegralas
n el
conocimiento ue
se está
ormando
de a idea
de
Este
ipo de
actividades
ueden
esultar
de vital importancia
a la
hora
de
que
los
niños ignoren
el
contexto
en
el cual
están
rabajando
as
n
un
momento
dado.
La
vinculación
del
contexto
al
significado
ue pueda
ener
en
esemo-
a fracción
ayuda
a evitar
errores
con
posterioridad
cuando
semane-
las fracciones
en
un nivel numérico.
volviendo
a las situaciones
e reparto
en as
que
el
<todo>>
stá ormado
varios
elementos unidades),
e
debe asumir
que
todos son
iguales.
Si
se
plantea a tarea
en
clase
e
repartirse
os
naranjas
ue
son
visible-
mente
diferentes
n
tamaño
entre
cuatro
niños,
a división
puede
no convencer
de
forma
directa
a
los
niños, La necesidad
de
que
las
partes
que
le corresponden
a cada
uno
sean del
mismo
<<todo>
e
presenta
directamente.
Además stas ituaciones
e reparto,
anto en
contextos otidianos
omo
utilizando
material
manipulativo
adecuado,
uedenproporcionar
a
los niños
experiencias,
n las
que
de
forma implícita,
se
manifiestan
as relaciones
compensatorias
ue
existen
entre el tamaño
de
las
partesy
el número de
partesen as
que
un
todo es
dividido
(a
mayor número de
partes,
menor es
el
tamaño
de as
partes),
omo un
pasoprevio
a la
idea
de
a ordenación.
4.3.3. Situaciones
n
a
que
a idea
de fracción
no es aplicable
Algg"$situaqigne¡{ergp-1{to--ensqq exe-r-d¡ e¡9 99pf"-gs{tFBl e3:|
cuestión
los niños
de-gue-.qqiempre spgslbleapllcalla rdeade r-4ee en.
Tíhü-qiie"ñü;iii
cuatro
ninos
én tres
círcuios
lridiiirtos
iñtados
en el
suelo,
stá
claro
que
a solución
un niño
y
un tercio
de
niño en cada
círculo
no es
válida
Si hemos
comprado
en
el
mercadouna
bolsa con
cuatro
peces
e
colores
para
nuestra
anda
de 3
amigos,
i nos
peleamos
nos
enemos
ue
repartir
los
peces,
stá
claro
que
un
pez
y
un
tercio de
pez para
cada amigo
tampoco
es una
solución
válida.
--.
La necesidad
e
plantear
stas
ituaciones
n
algún
momentodel
proceso
de enseñanza
s
necesaria
ara
enfatizar
a relación
de
las fracciones
on
el
contexto,
rente
a la
interpretación
n
a
que
seve a las
racciones
ólo como
una división
indicada
de números
naturales.
93
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 49/85
AA
0
AA
0
&,rO
oo
0
h
Dos
direcciones
La
necesidad
e formalizar
y
relacionar
el
conocimiento
y
las
ideas
que
niños
ponen
en
funcionamiento
en
as
situaciones
nteriorás
especto
la
de
fracción,
y,
en
particular,
de
la
relación
purt"-ioáo
indica
la
ue
hay que
seguir.
En
estepunto
del
desarrollo
es
posible
omar
varias
direcciones.
or
una
a realización
de
secuencias
e
enseñanza
tJyo
bjetivo
sea
ormalizar
de los
niños
en
relación
a
ros
aiributás
identificados
por
y los añadidospor
peyNn,
a travésde la utilización de materiales
concretos
estr'.cturado-s,
omo
os
experimentados
"n
ujuou,
univer-
americanas
pevNn,
Err,¡nsnucH,
óoxrono,...¡.
dirección
vendría
definida
por
la
posición
de
L.
S'n¡¡FLAND,
que
as
fracciones
asándose
n
los procesos
producciones
e los
en
situaciones
acadas
e
la
vida
reul,
"uyu,
"áru"t"¡rti"u,
generales
sido
descritas
en
la sección
3.3
del
capitrrlo
anterior.
orma
esquemática
a
posición
de
srnnnr,r,aND
e
basa
en
intentar
situaciones
fenómenos)
e
la vida
rear que
,on
o.guniruáo,
po,
tu,
para
que
el
aprendiz
comience
a
manejar
y
dotar
de
significado
nstrumentos
de organización
las
raccionesien
stas
-is*u,
situacio-
con
esta
aproximación
o
que
se
ntenta
hacár
es
presentar
ituaciones,
variadas
posibles,
n as
que
el
concepto
¿e
rracci¿n
vlu,
op.ru"iorr",
con as
fracciones
organizan a
información subyacente.
ajo estaaproxima-
ción
la realidad sirve
como una
fuente en
la formación del
concepto
y
no
sólo
como
medio de aplicación.
El
seguir
una
orientaciónu otra
vienecondicionado
por
diferentes
acto-
res.
Habría
que
tener en
cuenta actores
de índole
nterna, como
pueden
ser
las creencias
ue
sostenemos
n
relación al
proceso
de enseñanza-aprendiza-
je
de
as fracciones,
n relaciónal
desarrollode
a
dinámica
del aula, ..,
pero
tampoco
podemos
olvidar
factores
de
índole externa
como
pueden
ser a na-
turaleza
del
currículo
establecido
ue puede
ondicionar
un desarrollo
u otro.
Como
vemos,
a
<toma
de
decisióu
en estos
momentos
ienedelimitada
por
algunos
ondicionantes.
Examinando
a
forma en
que
aparecen
as
racciones
n nuestro
currículo
resulta
más
afin a
los
planteamientos eseñados
n
primer
lugar'
Estas irecciones
on
as
que
vamosa desarrollar
n as
próximas
eccio-
nes.Aquí nuestrascreencias o puedendelimitar el marco generalde desa-
rrollo,
pero
si determinados
nfoques
nternos
en a
realización
de as activi-
dades.
Las
características
el
desarrollo
curricular
de
las
fracciones n
los
programas
ctuales
an sido
detalladas
n el
segundo
apítulo).
4.3.5.
Una
recapitulación
Lo
expuesto
astaahora
son
algunas
e
las razones
motivos básicos
que
deben
er enidas
n
cuenta
uando
seempieza
pensar
n os
procesos
de
enseñanza
prendizaie
elativos
a las fracciones.
Las
sugerencias
xpuestas
asta este
momento
intentan ser
puntos
de
apoyo
para que
el
profesor,
en
virtud del
nivel
dondeseencuentre,
ueda
dar
forma
al diseño
de
su secuencia
e enseñanz^
ve
él
crea
más
ndóneo
para
su
situación-aula
articular.
De todas formas
existen
dos
<principios>
que
se
mantienen
de
forma
implícita
en la serie
de sugerenciasadashastaestemomento.
En
primer
lugar, está
a necesidad
e centrar
ps
nociones
sobre
raccio-
nes en
contextos
concretos,
n un
nivel
puramente
descriptivo,
eniendo
en
cuenta
anto
a
ideade
medidacomo
de reparto,
on
materiales
ontinuos
discretos...
uando
mencionamos
os
contextos
oncretos,
os referimos
an-
to a situaciones
eales
omo
a situaciones
uestas
e
manifiestocon
material
estructurado.
a
idea es crear
<<situaciones)
ara
os niños
donde
se
mani-
fieste
a relación
parte-todo.
El motivo
de
nsistir
en este
punto
es a necesidad
e vincular
as
fraccio-
nes a
<<algo>,ntentando
evitar
el
problema
que ya ha sido señalado
en
algunas
partes
de este
ibro de
que,
sin
darnbs
cuenta,
a veces
ealizamos
na
traslación
demasiado
ápida
al trabajo
algorítmico
con
las fracciones,
in
haberlas
<<atado>
uficientemente
l mundo
de las
experiencias
isuales
de
95
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 50/85
niños,
convirtiéndose
así
en
sólo
un
manejo
de
reglas
y
símbolos
sin
En
segundo
ugar
hay que
recoger
a idea
de que
el
trabajo
inicial
con
las
se
considera
un generador
de
lenguaje.
En
estepunto
consideramos
er enguaje
(verbal
y
escrito)
como
un
puente
la
situación
concreta
y
los
símbolos
matemáiicos
y
ielaciones
con
las
La
idea
consiste
en que
los
niños
a través
del
lenguaje
<llenen
de
signifi-
en primer
lugar
los
<objetos>
(concepto
de fratción)
que
estamos
y
las
relaciones
entre
estos
obietos.
una
vez
señalado
estos
dos
principios
ntentaremos
erinear
os puntos
a
desarrollar¡al
pensar
en
secuencias
e
enseñanza
cuyo
ob¡"tiuo
as
nociones
niciales
del
concepto
fracción.
UNA
SECUENCIA
PARA
LA
ENSEÑANZA
DEL
CONCEPTO
DE
FRACCION
De
forma
clara,
el
desarrollo
de
una
secuencia
de
enseñanza
@n
este
queda
vinculada
a la <habilidad>
de
los
niños
de
manejar
la
noción
de las partes
en el
todo
en la
terminología
de
prnt¡r.
Además,
en un primer
momento
vamos
a utilizai
el modelo
referido
a
continuos
en particular
los
representado
por
hojas
de papel,
olios,
hojas
de periódico,...
La
idea
de utilizar
el
modelo
rectángulo
en
un
primer
momento
frente
al
modelo
de
os
circulos
(tartas),
se
debe,
"o*,o
yu
se
ha indicado,
a
es
más
fácil para
los
niños
el
uso
de
la forma
rectangular
para
realizar
congruentes,
y para
identificarlas.
Además
de
que
resultan
más
fáciles
obtener
hojas
rectangulares
que
circulares.
Diferentes
nociones
en
el concepto
de fracción
Los
pasos
ealizados
en la
secuencia
ropuesta
por
coxnono
et
at.
(1975)
enfatizar
os
siguientes
puntos
dél
cbncepto
de
fracción:
1.
Unidad:
-
identificar
el
número
de
unidades;
-
identificar
cantidades
mayores
o menores
de
la unidad.
Partes
de una
unidad
usando
materiales
concretos:
-
identificar
el
número
de partes
de
una
unidad;
-
identificar
partes
del
mismo
tamaño;
-
dividir
una
unidad
en partes
iguales.
Nombres
orales para partes
de
la
unidad:
-
establecer
el nombre
de
las
fracciones;
-
usar
las
fracciones
para
contestar
a
¿cuántos?;
-
identilicar
fracciones
guales
a
uno.
Escribir
fracciones
para
representar
partes
de
ra
unidad
(traslaciones
entre
las representaciones
:
-
de
forma
oral
a forma
escrita;
-
de
forma
escrita
a
forma
oral;
-
de
una
forma
concreta
a forma
escrita:
-
de forma
escrita
a
alguna
forma
concreta.
5.
Representar
racciones
con
dibujos;
- transición de objetos a diagramas;
-
repetición
de los pasos
anteriores
pero
con los
diagramas.
6. Ampliar
Ia
noción
de
racción;
-
fracciones
mayores
que
uno;
-
números
mixtos;
-
modelo
discreto,
utilización
de
conjuntos;
-
comparar
fracciones,
racciones
equivalentes;
(Coxrono
y
Errrnunucu,
1975,pág.
195.)
como
vemos
en esta
serie
de
puntos
se enfatiza
el trabajo
con los
objetos
concretosy
se
presta
una atención
particular
a
la
traslación
entre
as
diferen-
tes
representaciones,
omando
en
un
primer
momento
como
eje
os modelos
concretos
y
luego
en una
segunda
ase
os
diagramas.
De forma esquemática enemosel siguientecuadro que nos permite ve r
con mayor
claridad
la
serie
de
traslacionesque
se realizan
entre las
represen-
taciones.
4.
Concreto
\ l
\
tol
.-
Forma
scrita
I
--rysímbolos
J
z
Diagramas
i '
orma
oral
(Cuadro
4.1)
97
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 51/85
A
continuación
amos
a intentar
mostrar
sugerencias
e
actividades ue
a
clarihcar
cada
uo de los
puntos
anteriores.
Una
primera
aproximación
Actividades
e doblar
cuartillas
por
la mitad,
consideradas
stas
omo
nos ntroducen
en la
familia
de las mitades,
uartos,
octavos,...
Si
proporcionamos
nuestros
lumnos
hojas
de
papel
ectangularesue
de
doblar
(hojas
de
periódico,
por
ejemplo),
y quedamos
entre
en lamar
<<unidad>
una hoja,
se
pueden
oger
otras
y
sedoblan
por
Esto
se
hace
así
para
mari'üener
iempre
delante
una representación
unidad.
denominar a cada una
de las
partes,
as llamamos
(una
de las
dos>
(l
las 2, ll2)
que
cubren a la unidad,
un medio
doblar por
un
medio,
I medio
la
mitad,
podemos
obtener
dos alternativas
Por otra
parte,
doblar
cuartillas
de
forma
irregular
para
que
las
partes
que
se ormen
no sean
congruentes,
nos ayudará
a
potenciar la
idea
relativa
¿il
hecho
de
que
las
partes
sean
congruentes.
En
algunas
ocasiones
a com-
probación de
la no
congruencia
obligará
a la
partición fisica
del
objeto
para
superponer
as
partes).
También,
la noción
de
considerar
la
unidad
y
de
que
las
partes sean
congruentes
e
pueden desarrollar
con
la idea
de repartos
de tartas
rectangu-
lares
y
con
la sugerencia
<uno hace las
partes
y
el
otro elige>.
Obtener
tercios
a
partir
de
una
hoja
rectangular
puede
ser
realizado
colocando
dos
lápices,
uno a
cada lado
del
papel
e ir acercándolos
hasta
que
pafezca
que
obtenemos
tres
partes
congruentes
en
el
folio,
se
hacen dos
ieñales
en
la
posición de
los
lápices
y
se
dobla
el
papel
por
esas
señales
(Coxnono
et al.,1975).
En
otro
momento
podemos coger
otro
trozo
de
papel
y
rcalizar
algunas
dobleces.
La
posibilidad de conjeturar
las
partes
de
la unidad
que
van
a salir
antes
de
desdbbhr,
ayuda
a
los niños
a
trasladar
al
terreno
mental
la acción
de
desdoblar
y
llamar
a cada
trozo
en
relación
con
el
número
de
partes en
que
se
ha
dividido
la
unidad.
La introducción
de las
palabras
<tercios>,
<cuartos),
SextoSD,
octavos)
se
hará
para
nombr
ar
cada
parte
en
la
que
se
ha dividido
el
folio
en cada
caso.
Las
primeras
actividades
deben
estar
dirigidas
únicamente
a
que:
-
los niños
puedan
identificar
la unidad;
-
poder realizar
divisiones
congruentes;
-
contar
el
número
de
partes en
que
se
divide
el
todo,
y
-
en
darse
cuenta
que
el
número
de
divisiones
no
da el
número
de
partes, ni
por tanto
la fracción.
Los
niños
tienen
dihcultades
nicial-
mente
en
relación
a
este
aspecto.
En
estos
momentos,
Cox¡ono
et
al.
(1975)
ndican
que
la observación
de
los niños
puede
ser
guiada
por
las siguientes
preguntas
(ante
un
folio
dividi-
do en
cuartos
en el
que
se
han
sombreado
tres de
ellos):
En
un
primer
momento
se
podría
dejar
a los niños
la libertad
de doblar
de la forma
que
quisieran.
Aparece
ante nuestros
ojos
dos representa-
distintas
de un cuarto.
La
denominación
de
un cuarto
para
cada trozo
roduce
de forma
natural
después
del
comentario
realizado para
los
Se
puede
suscitar una
discusión
sobre
el
hecho
de obtener <un
cuarto>
de
de diferente orma.
Aprovechando
la
ocasión
y
a través
diálogo
entre los niños
se ayuda
a reforzar
a noción
de
<parte
congruen-
(y
no necesariamente
<partes
de la misma
forma>).
99
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 52/85
-
¿Cuál
es a unidad?,
-¿cuántas
partes
hay en la unidad?,
-
¿son
as
partes
del
mismo
tamaño?,
-¿cuánto
es cada
parte
de la unidad?,
¿cuánto
está sombreado?
La secuencia de enseñanza
se centra así en
las
traslaciones entre las
(indicada
con
a) en el esquema).
primeras
traslaciones
entre
las representaciones.
El
papel
de
las
fracciones unitarias.
El contar ordinalmente
puede
ayudar a la traslación
€to
- -
-)'
forma oral
el
profesor puede
sosteneren sus
manos
una hoja de
papel
en
la
que
diferentes fracciones sombreadas
y
el niño
debe
ir
diciendo
qué
representa. Secuenciasdel tipo
<un
cuarto>,
<dos
cuartos)),
(tres
mismo
tiempo
que
se va señalando cada una
de las
partes,
ser útiles
para
conceptualizar
posteriormente
el
<tamaño
de la frac-
(en
relación
a la
relación
de orden).
Es
decir, el trabajo
con las
unitarias del tipo
lfn,
conectadas con los números ordinales
puede
que
el niño empiecea construir su red de relaciones
con respecto
a
Una buena
introducción
a las fracciones mayores
que
la
unidad, a las
vistas como
<<cuatro-cuartos>
la
preparación parala
introducción
como a una aproximación
a algu nas operaciones,
de partes en que el todo se ha dividido.
El
proceso
de contar fracciones unitarias como
generador
de diferentes
(propias
e impropias)
puede
evitar la restricción
que
supone el
exclusivo de
fracciones
menores
que
la unidad
que
tradicional-
asociado a
la interpretación
parte-todo.
Si
el cuadrado
es
la
unidad. entonces
.<+
El
problema posterior
de
ver los números mixtos
como fracciones
(y
viceversa)
uede
empezar a evitarsesi
los niños integran
desdeel
principio
en
su red de relacionesdel concepto fracción las
ideas
relativas a las fracciones
mayores de la unidad
que posteriormente
se
podrá
representar
mediante
números
mixtos
si
queremos.
Llegados a este
punto,
se debe ufllizar la notación de los números mixtos
desdeun
primer
momento,
y
no
darles un tratamiento especial.
También deben aparecer raccionesmayores
que
la
unidad,
y
no
centrar
la atención
sólo en las fracciones menores
que
uno.
Se
evitan
así algunas
difrcultades
que
los niños tienen en la i dentificación de la unidad cuando
se
les
presentan
fracciones mayores
que
uno,
habiendo
estado
identificando
desde el
primer
momento sólo fracciones como
(parte
de una unidad> de
forma
estricta.
En resumen,creemos
que
es conveniente centrar la
<actuación
sobre as
fracciones>en
la idea
de
fracción
unitaria
(1ln)
y
en el
hecho
de contar
fraccionesunitarias. Aumentando
el énfasisen esta dirección estaremos olo-
cando las bases
establecer
elacionesentre
los conceptos)
para
-
la
introducción de forma natural de las fracciones
mayores
que
uno;
-
ver la unidad formada
por
todas
las
partes;
-
el
uso de la notación
mixta
como una
forma natural desde el
primer
momento
y
como una alternativa a
la
notación
fraccionaria
de ciertas
fracciones;
-
preparación para
las nociones de
orden;
-
preparación para
las nociones de la suma/resta de
fracciones
con el
mismo denominador
y
la
multiplicación de
un número natural
por
una fracción.
Por
otro
lado, la
suma de
fracciones
con el
mismo
denominador
puede
venir
<apoyada>
tanto en la secuenciade contar fracciones
unitarias, como
en la
introducción
de
la
notación mixta
para
las fracciones.
Así,
el
objetivo
de esta fase
nicial
es conseguir colocar las
basesde una
red de relaciones ica en información.
Regresandoal
punto
de
partida
de esta discusión,
que
era
la
traslación de
la forma concreta a la forma
oral de las nociones niciales del concepto
de
fracción, cabría señalar
que
la traslación inversa
viene caracterizada
por
el
hecho de
que
el
profesor
(u
otro alumno)
pida
en voz al ta una fracción
y
los
niños
deben construirla con el
material.
4.4.4, La
forma escrita de la relación
parte-todo:
las fracciones
El
problema que
se
puede
plantear
al intentar colocar de forma escrita
todas las
relaciones
que
hasta este momento sólo se habían visto en forma
€
uno
y
un cuarto
101
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 53/85
concreta
en
forma
oral,
es
el
orden
de
os
dos
números
ue
hemos
estado
anejando-
s
decir,
el
escribir
413por
O",
"uu.,or.
sta
dificultad
se
puede.
vitar:,
"g,in
r.iuru
paiNe
(1975)
ntroduciendo
ntes
e
a
representación
imbóri;"
;
ir;;
escrita
habiéndose
otenciado
reviamente
a
forma
oral)
3
cuarros
ñ
uo
Los
diagramas
y
la
forma
escrita
Finalmente
uando
se
hayan
cerrado
odas
as
direcciones
en
ambos
entidos)
ntre
odas
as
ormas
de
representación
e
ra
parte
a)
del
e.¡quema
.1
deben
mpezarse
introducir
os
eia;;;;as
como
<dibujos>
el
material
utirizado
hasta
este
momento.
De
todas
ormas
se
debe
evitar
una
emasiado
emprana
a los
diagiamas.
No
hay
que
olvicar
que
el
en
estos
rimeros
momentos
s
crear
un
rico
bagaje
oncreto
obre
poder
establecer
oteriormente
as
relaciones.
Ya
en
la parte
ó)
del
esquema,
as
actividades
desarro'ar
en
este
omento
pretenden
que
el
niño
pueda
rearizar
u,
truriu"ioi"J
"ntr"
lu.
epresentaciones
n
cualquier
dirección.
Entre
estas
rasraciones
xisten
utgunu,
que
resurtan
más
dific'es
de
a
los
niños,
por
lo que
se
a.U."fr.rtu.
una
atención
special.
En particular
en
a
conexión.
Además
se
pueden plantear
dilicultades
cuando
se manejan
fracciones
mayo-
res de la uni dad. Aunque
se ndique
a
los niños
que
la
unidad
es
muchos
para
ndicar
a
parte
sombreada
n a situación
indican
5/8 en
vezde 514.De ahí a necesidad
e
prestar
atención
special
las tareas elativasa la identihcación
e
la
unidad,
econocer
as
partes
en
que
estádividida la unidad
y
las actividades n relación
al manejode las
fracciones nitarias
del
ipo
lln)
comose ndicó anteriormente.
Entonces,a utilización e a notaciónmixta
(números
mixtos)debeestar
integrada n estosmomentos n as actividades
ue
consistan n desarrollar
la forma escritade las fracciones.
Para
evitar dificultades
posibles
errores
en la notación se
necesita
enfatizaren su
momento, a
equivalencia
cuatro-cuartosD,
tres-tercios>
<dos-medios>>,...
la unidad. Este énfasis omo habíamosvisto
se
puede
desarrollar n las situaciones e contar racciones nitarias.
El desarrollode a secuencia
,ncreto-forma
oral-forma escrita-símbolos
(y
viceversa)
puede
ser vista de la siguiente orma
(considerando
el rectángu-
lo como unidad):
esto es
un cuarlo, ll4
dos cuartos,
2/4
trescuartos,
/4
cuatro
cuartos,414,
también
una
unidad.
cinco uartos, 14,6
+
ll 4
103
Diagrama
(¡-
-)'
forma
escrita
niños
les
resulta
más
fácil
las
actividades
del
tipo,
<Píntame
os
dos
tercios
2/3)
de
a
figura.>
las
actividades
en
las
que
se
les
pide
indicar
mediante
sombreada
de
otra
figura.
%
'%ru
%
una
fracción
la
8/10/2019 4-FRACCIONES
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A
partir
de estos
momentos
se
deben
ntroducir
actividades
que permitan
el
conocimiento
que
han adquirido en relación
a la
Estas actividades-ejercicios on
las
que
denominaremos
(reconstrucción
dad>. Hasta ahora se
proporcionaba
al
niño fracciones unitarias
y
través de
la secuencia
de
contar recgnstruían
la
unidad
(el
ejemplo
se desarrollaba con
los cuartos),
péro para generalizar
esta
situa-
podemos proporcionar
al
principio
la siguiente situación,
<Si
este
entáneulo
es os 3/4 de
la
unidad.
ntentad
construir
a unidad
Claramente
a
realización de este
ipo de actividades
equiere un
desarro-
de ia noción
parte-todo mayor
que
cuando se
nicia la situación
con una
unitaria.
Resumiendo,
podemos
decir
que
estas actividades
anteriores
de recons-
de la unidad
tienen una
doble versión,
que
viene determinada
por
grado
de complejidad,
,r:
a) cuando
partimos
de
fracciones unitarias,
y
b) cuando
partimos
de una
fracción cualquiera,
debemos tener
en cuenta estos
niveles de dificultad
cuando
planteemos
actividades de
traslación entre
las distintas representaciones.
Otra
variante
de estos ejercicios
consistiría en
cambiar la forma
de la
<todo)
que
se
considera en cada
momento.
En
el
caso anterior
la forma era
un rectángulo,
pero
podemos
modificar
partiendo
de otras
figuras.
Así, tenemos actividades
del tipo
<Estoes
os
dos octavos
e una
hgura.
¿Cuál
es
a figura?>
De
forma
esquemática
y
como
guía
del
tipo
de
ejercicios
que
se
pueden
plantear
obtenemos
el siguiente
cuadro
(Cuadro 4.2):
4.4.6.
El
problema
de
as
citas
perceptuales
Por otra
parte,
el
uso
de diagramas
puedehacer
que introduzcamos
pequeñas lteraciones
n el
desarrollo
e
las
nociones
n los
niños.
Si a un
ni¡b
en
esta
ase
se e
pide
sombrear
os 314
de
la siguiente
igura
se
e
pueden
plantear dilicultades
porque
no
concibe a necesidad
e
modifi-
car
as
<<citas
erceptuales>
informaciónvisual
que
nos ofrece
a
imagen,
que
puede
ser
rrelevante,
incluso
dificultar
el
proceso
e comprensión)
ue
e
muestra
el
diagramar.
1
BsHn et
a/.
(1983)
han conjeturado
que
da extensión
en
la
que
un
niño
es capaz
de
resolver
los
conflictos
entre
el
procesamiento
perceptual
de
la i¡formación
visual
y
el
procesa-
miento
cognitivo
de
las
relaciones
lógico-matemáticas
es vista como
uno
de
los varios
indicadores
importantes
de la capacidad
de
comprensión
del
niño del concepto
de número
racional>.
A
/ t \
ffi
\
(Esto
es
os trescuarto de un
todo. Dibuja
el
"todo".>
\l
)
A
<Esto
es
os dos cuartos. Dibuja el
"todo".)
FORMA
DELA
UNIDAD
REcTÁNGULO
Cunr-euInn
oru
FIcunl
Se
parte
de fracciones
unitarias
Ejemplo:
n
Es1/4de
| |
la f-rgura.
l-|
¿Cuál
es
la figura?
Ejemplo:
^
Es l/4 de
/\
u r 'gura,
/ \
¿Cuál
es a hgura?
Ss
pnnrs
DE
FRACCIONES
CUALESQUIERA
Ejemplo:
Es 3/4 de
| |
la figura,
¿Cuál
es a hgura?
Ejemplo:
Es
3/5
de
|
-
la figura,
Ll
¿Cuál
es
la figura?
4
10 5
8/10/2019 4-FRACCIONES
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,^*O_11ut
citas
perceptrrales
on
el
uso
de
liguras
Colorear
os
4
spptimos
e
esta
ig,rra,
también
<colorear
os
4
novenos
e
esta
igura>.
no
convencionales.por
Pues
ien,
en
estos
momentos,
n
os
quehemos
empezado
representar
as
relaciones
arte-todo través
de diagramas,
orma
escrita
símbolos,
ebe-
mos
ambién
poner
de
manifiesto
ya que
realmente
stán
mplícitas
n esta
situaciones)
lgunas
peraciones
on
as fracciones.
En el
momento
en
que
contamos
as racciones
nitarias
para
dentilicar
<¿cuánto
ay?>.
-cuarto,
otro
cuarto,
otro
cuarto,
y
...)
se
deben
ya
introducir
os símbolos
ue
representan
sta
situación:
u4+u4+114+.. .
debemos
resentar
omo
un todo
los símbolos
relaciones
ntre
os
símbo-
los,quede hecho epresentano mismo.
Si
el cuadrado
es a
unidad.
Entonces
a siguiente
ituación:
está representada
a
partir
de
la secuencia
de
contar
fracciones
unitarias
por
u4+r l4+r l4+r l4+r l4
Ampliando
a
noción
de
multiplicación
e
números
naturales
omo
(tantas
veces
algo),
esta
expresión
se
puede epresentar
or
5 veces /4
es
decir:
5xl l4
pero
también
sabemos
ue
se
puede
epresentar
or
|
+
114
(es
decir,
1
1/4)
Todas as representaciones
imbólicas
aparecen
e
forma
natural
si utili-
zamos
como apoyo
las fracciones
unitarias
y
la secuencia
e contar.
No e
<<lícito>
ue
ocultemos
los niños
odas
estas
epresentaciones
ue
puede
aparecer
e
una forma
tan
clara
y
vinculadas
su
vocabulario.
La
introducción
de
estas
pequeñas
<anomalías>
ólo
debe
realizarse
el
niño
haya
conseguiáo
na
buena
ed
de
relaciones
erativas
l
e
racción,
través
e
ras
actividade^s
nteriores
ue
deben
ermi_
u
capacidad
ara
*"i¡l"i-i",
diferentes
rasliciones
entre
ras
epresentaciones
considerando
hora
a parte
ó)
;;i;qr"ma
4.1)
omo
ejes
os
diagrama,
y
poJ",
iarizar
modificaciones
e
as
citas
para
poder
encajar-la
ituu"ion
en
su
esquema
e
relaciones
a
las
fracciones.
n palabras
de
Bnun,
cuando
el
niño
hubiese
nformación
-
suficiente
para
pod"r
í"riri,
-
"i'
pro""ru,ni"nto
relaclones
ógico-matemáticas
er
concepro'rrucc¡on
rela-
Las
fracciones
nitarias,
l
contar
y
las
operaciones
on
fracciones
Dos
ideas
básicas
emos
estado
manejando
hasta
estos
momentos
en
la
secuencia.d¡enseñanr^;
;.-ñ,nita
conceptualizar
as
nociones
atributos)
el
concepto
ruc"¡¿r,
retación
parte-todo).
Estas
deas
apoyarnos
en:
Ia
noción
de
fracción
unitaria.
v
en
el
contar
dichas
racciones
ara
obtener
as
demás.
to
8/10/2019 4-FRACCIONES
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si utilizamos
e orma
natural
odas
estas
imbolizaciones
ara
as situa-
conectadas
a situaciones
concretas,
o
deberemos
ener
dificultades'en
ue
os
niños
as
puedan
manejar
desde
un
primer
un
buen
modelopara
apoyar
stas elaciones
o
puede
onstituir
a
recta
iempre
cuando,
engamos
n
cuenta
odas
as
dificultades
ue
lantear
el asociar
na racción
a un
punto
de a
rectapor parte
de os
véase
as
secciones
.2.3
4.4.10)
1+1/4
5/4
1 1/4
La sucesión e contarhaciaadelanteambiénpuede nvertirse. ontar
atrás
(quitar
fracciones
nitarias),
desarrolla
a
idea
de resta
de
fraccio-
con
el mismo
denominador.
Si consideramos
n
cuadrado
de
papel
como
unidad y
lo
dividimos
en
congruentes
e
las
cuales
pintamos
de
rojo
tres
de
estas
par,les,
ara
a
parte
pintada
en relación
a
la unidad
ada
parte
la
hemos
lamado
un-cuarto
a
parte
pintada
es
la
unidad
un cuarto,
r_t l4
De esta ormase ntentaqueal desarrollar nestosmomentosas rasla-
ntre
as
epresentaciones
oncretas
e
a fracción
las
ormas
escritas
e amplíe
a
<noción
de fracción>
mediante
a
utilización
de
epresentaciones.
s
decir,
se
pretende
ue
a idea
de fracción
se
conceptualice)
unto
con
el inicio
a las
opeiaciones.
una
vez
abierto
el
camino,
os
niños pueden
beneficiarse
e
a multitud
posibilidades
ue
se
le
ofrecen
ante
sus
ojos
e incluso poder
llegar
a
combinaciones
e operaciones
ara
representar
as
racciones
ue
no
odido
maginar.
si se
iene
a
suficiente recaución
ara
legar
a estos
momentos
abien-
los niños
manejado
gran
cantidad
de
situaciones
oncretas
realizado
cantidad
de traslaciones
ntre
as
representaciones,
erbalizando
odas
posibilidades
ue
se
es
presenten
elante, que
ellos
creanver,
el uso
de
lossímbolosparalosniñosnodebeplantearproblemas.Pero.nohay
olvidar
que desde
.t.
fun,o
al
manejt
de
os
algoritmos
para las
operacio-
nes
queda
odavia
un
largo
camino'
Sin
embargo,
ituaciones
omo:
<Tengo
n
mis
manos
14
elahoja
ahora
onsigo
14
mis
¿cuánto
engo
ahora?>
<Tenía
no
y he
perdido
n
cuarto'
¿cuánto
e
queda?>
enlasquesemanipulaelmaterialySeexpresanverbalmentelasdesc
nes
y
las
relaciones
ntre
os
elementos
é
la
situaci
6n,
para
posteriormente
hacerlasrrpr.r"nru.*smediantelossímbolos'puedenintroducirnos
este
erreno.
Enlasseccionesquesiguenmostramosotrosconcretoscuyauti l i
puedeayuda, u "o-pl"turtiferentes aspectos e
la
relación
parte-todo'
Enel lanosevanarepet i rcontododetal le loquehemosexpuestop
los
contextos
continuJs
óoJ"ro
rectángulo)
pero dibe
ser
obvia
la
posibili-
dad
de
trasladar
as
ideas
expuestas
q"t
u
titot
concretos
tangram'
egle-
tas,
contexto
discreto)
o
representaciones
rectanumérica)
si
la
situación
en
el
aula
permite
este
desarrollo'
4.4.8.
La
utilización
de
otros
concretos
Elestablecimientoderelacionesentrelosdiversosaspectosdelcon
inicial
de
fracción
uri"otlro
del
desarrollo
de
as
diferentes
raslaciones
ntre
las
representaciones
ndicadas
en
el
esquema
anterior
también
pueden
ser
mostradasapaf i i rdeotromaterialconcretodist intodelosfol iosyde
hojasrectangulares,comopuedeseratravésdelasf igurasdel jueg
TlNcnmu(parasabermássobreelTnNcnnu'consul tarJ 'Er ' rrnns'El j
de
ormas
chíno.
Et'toNc*¡'on,
Ed'
Labor'
1982)'
uya
conft::,t:::"
especial
puedeayuda, u
"on"'.fuu1i
iuí v ra"udepartescongruentes in necesidad e
tener
a
misma
forma'
ElTlNcnluestáformadoporuncuadradodecartul inaoplást ico
dividido
en
siete
partes,
omo
muestra
a
figura'
10
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 57/85
parte
de
los
diferentes
uegos
de
índoles
geométricos
que
se
pueden
organi_
at,
la
noción
parte
de
lu
*i¿u¿,
**úr",
de
las
partes,...
ambién
encuen_
con
9¡.tT
figuras
un
buen
campo
áe
desarrollo.
La
fac'idad
de
construcción
de
estas
iguras
hace
posible
que
todos
los
uedan
isponer
"ilua..iul
pu.u
*uájá.
,n grupo,
La potenciación
e
ros
procesos
e
verbarización
e
los
niños
en
las
iferentes
ctividades.qu.
"
pu.áun
á.iirr-otu.
con
este
-ui..iur
hace
que
er
enguaje>
dquiera
u
verdadera
imensión
n
"t;;;.
de
legar
a
conceptuarizaciónde
a
relació"-fu*.l,oto.
Las
fases
de
trabajo
con
este
aterial
manrienen,los
ismos
upu.tuaá,
descritos
";;
;r;;;os
de
papel
tendiendo
las
diieccion",
¿"1
rqu",nu-
.-üs
rlprerentacio_
demás
otencia
ociones
omo
as
o"
suf"rnci"s
quiva-
otro
material
estructurado
ue
puede
ayudar
a
conceptualizar
odas asreracionesndicadas'so"'ior
"ono"idos
Númerosen
color.
No
de
este."i;;il;.;que
consideru_o;
;;
es
uficien_
Los
contextos
discretos
Al principio
de
este
apitulo,
habíamos
eñalado
a
necesidad
e
ncorpo_
en
un
momento
dado
a
ra
secuencia
e
enseñanz;1;;;;
conrextos
onde
a
relación
"r,"-irá.
"rluui"ru
presente.
l
motivo
consistía
esde
iversas
erspectivas
a
noción
de
fracción.
Se
ntentaba
asi
que
la
formación
¿e
¿sta
rü
u¡n"rruda
sólo
a
determinados
odríamos_
entender
esto
como
una
expresión
el
principio
de
e
variabilidad
ercepriv"i;;r;;;i;
percepción,
antener
a
reración
matemática).
J
toaas
or;;
iuy
iu"
;;;"t""res
que
ra
1;* ffiiretoshcha,,u,uui,o,,puede
énfasis
que
se
rearizo
nteriormente
.ob_re
r paper
que uegan
las
nitarias
n
a_concep,""l¿".i0"
de
a
relación
árte-todo,
.n_
:
a
n
en
ar
a
an
r
"lc
;
i_Jin
u
ad
;;il;
ri-*,*
n
c
o
n
ex
tenemos
n
conjunto
de
cinco
ichas
y
consideramos
ue
ooooo
cada
icha
se
considera
n quinto
de
a
unidad
sin
demasiados
Las dilicultades
pueden
empezar uando
hay
que
considerar
partes
de
a
unidad
ormadas
por
diversos bjetos
discretos:
, ,C-Q'oooooooo
-t*
n"n". oscuras
onun
quinto
de
a
unidad.>
Reconociendo
as difrcultades
ue puedan
aparecer,
as actividades
ue
planteamos
eben
estar
dirigidasa:
-
reconocimiento
e
a unidad;
-
reconocimiento
e
partes
de una unidad,
y
-
¿cuántas
artes?
En un primermomento as situacionesuesedebenpresentar onaque-
llas
que
conllevan
racciones
ue
consideremos
ás familiares
los niños
(medios,
ercios, uartos,...)
en as
que
a unidad
esté ormada
de tal
modo
que
as
partes
coincidan
on
una ficha
subgrupos
e
un elemento).
Si
consideramos
omo
unidad
ooo
<¿lo
puedo separar
en tres
grupos
guales?>
<¿Cuánto es
un
grupo
del total?>:
<<una
e
las tres>,
<un
tercio>>,
1
tercio>,
<1/3>.
Si
consideramos
como
la unidad
oooooo
<¿puedo
epararlos
n dos
grupos
guales?>
e-ao;
O-o--ó;
<¿Qué es cada
grupo
en
relación a
la
unidad?>):
una
de
las
dos>,
<un
medio>,
<1
medio>.
<1/2.>
iO
iÓ;
O
111
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 58/85
Hay
que
evitar que
los
niños puedan
confundir
la
cantidad
de hchas
en
con el
número
de
partes
que
se
tengan.
Esta
situación
puede
presentar
en:
<Si
consicléramos
omo
unidad
oooo
¿puedes
epararlos
n
dos
grupos
guales?
(0__a'.p___o;
¿Qué
es
cada
grupo
en relación
a la
unidad?>
La
expresión
<dos grupos
iguales>>
<dos
fichas
en
cada
grupo>
pueden
a confusión.
La
comprensión
errónea
de
la relación
parte-iodoque
se
situación
se nos
muestra
cuando
algún
niño puede
tener
dificulta-
en determinar los tres medios en la situación en la que perceptualmente
nduce
a ver
dos
grupos
de
tres.
ooo
ooo
,. ,
Para
intentar
evitar
estas
confusiones
se
deben ntroducir
actividades
en
sean
distintos
el número
de fichas
en cada
grupo
y
el
número
de
grupos,
la secuencia
descrita
en
la actividad
anterior.
De
todas
formas
el uso
de la fracción
unitaria y
el
contar
los
grupos
ayuda
a
conceptualizarla
relación parte-todo
en
contextos
discre-
también.
Por
ejemplo,
si consideramos
como
unidad
oooooo
res
grupos
guales
, 'ó-ó' l iÁ-ñ' , í^-
^,
.r_u__
1,,
..V_
_V_r,
i.\/_
_ /i
scada
rupo
en relación
la
unidad?:
,uno
de
res,',
.un
tercio".>
(0-O un ercio
(ÓO
dos
e¡cios
^-^
TY-
Yi
lñ-Al rÁ-^' ló-
O';
rres
ercios
' \ l_
_v; ' ' .Y
_Y, ' . :_
_
_
_
tiempo que
se van
contando,
es nteresante
que
se
vaya
seña-
con
el
dedo cada grupo.
Estas
actividades
se
pueden realizar siendo
los niños
las dtchas>>.
-
Formar
grupos
que
se
consideren
como
la unidad;
-
subdividirlo
en
subgrupos
de
igual
tamaño
(con
el
mismo número
de
niños
en
cada
subgruPo);
-
¿cuántos
subgruPos
se
han
hecho?;
-
¿cuál
es
el nombre
de
cada
subgrupo
en
relación
al
grupo
total?
Por ejemplo,
si teníamos
en
un
primer
momento
un
grupo
de diez
niños'
hacemos
ubgrupos,
upongamos
que
cinco.
Cada
grupo
es uno
de
los cinco
en
que
se
ha dividido
la unidad,
es decir,
un
quinto
(1 quinto, 1/5).En este
momento
otro
niño distinto
a los
que
están
en el
grupo
puede
ir señalando
cada
grupo
diciendo:
<<un
uinto>
<dos
quintos>, .. ..
haciendo al
mismo tiempo
que
se vayan
reuniendo.
Al llegar
al cinco
quin-
tos,
obtenemos
otra
vez la
unidad. Se
puede
ampliar
la
idea de fracción
a
fracciones
mayores
que
la unidad,
formando
con
los demás
niños otros
subgrupos
del
mismo
<tamaño>
que
el
que
habíamos
lamado
un
quinto
(es
decir,
grupos
formados
por
dos
niños),
y proseguir el
proceso
de
ir
añadien-
do
<quintos> al
grupo inicial, obteniendo
fracciones
mayores
que
uno.
Al mismo
tiempo
que
se está
realizando
esta actividad,
podríamos
tener
unapizarra
de franela
(o
un
gran
póster-mural
de
papel)
en
la
que
tenemos
pegada
fichas
que
representan
a los
niños.
En dicha
pizarra, manteniendo
visible un
grupo
de
diez firchas
ue
repre-
sentan
a unidad,
otro
niño
podría ir
representando
os distintos
grupos que
se
van
formando,
emparejando
grupos
de
fichas con
tarjetas
que
indiquen
su
representación
forma
escrita,
símbolo)
como
fracción.
En la
pizarra
de franela
vendría
representada
una
situación como
la
siguiente:
unidad
I
____.>
I
quinto:
1/5
-->
2
quintos:
U5
+
ll5
:
215
-
3
quintos:
l5
+
115
+
ll5
:
31 5
-
4
quintos:
15
+
ll5
+
ll5
+
ll5
:
41 5
t r-trcn
tr8trDtr
@
@@
@@@
@@@@
il 3
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 59/85
este
proceso
debe ir
acompañado
de
un diálogo
entre los
niños
y
el
y
entre
los
propios
niños
discutiendo
lo
que
está ocurriendo.
El
debe estar
considerado
como un <vehículo>>
n la formación
del
Las
diferentes
organizaciones
de los
datos,
expresiones
tilizadas,
símbo-
deben ser integradas
por
los
niños
dentro
de
sus esquemas
de relacio-
noción
fracción, y para
eso es necesario
que
expresen
verbalmente
ellos <están
viendo> que
está
sucediendo
en esta
situación.
La
utilización
de todas
las
representaciones
mediante
símbolos que pue-
los niños
debe
ayudar
a mejorar
la conceptualizaci1nde
a idea
por
ellos.
Expresiones
del
tipo
<cinco
veces
un cuarto)),
(uno
y
un cuarto>,
<dos
tres
cuartos>>, <cinco
uartos),...
utilizadas por
los
niños
en
estas
deben tener
su
(respuesta>
a través
de los
símbolos:
5xl l4 ,1+t l4 ,2_314 ,514
tro
material ue
puede
ugerir
ontextos
iscretosuede
er
cartones
La
relación parte-todo
puede
ser
vista
de
formá
clara
al comparar
de huevos
en
los
huecos
en
relación
al cartón
entero
(¡¡indépen-
de lo
fácil que
pueda
resultar
obtener
este
materialllj.
completar
esta
serie
de
actividades,
ecordamos
en estos
momentos,
de introducir
las
actividades
de reconstruir
la
unidad
a
partir
de
fracción.
ejemplo:
¡
(Si
¡
es os
3/4
de a unidad.
¿Cuál
es a unidad?>
¡ t r t r
todas formas,
tanto
con
los
niños
como
con
los
cartones
de huevo
o
la estructura
de la
secuencia
de enseñanza
es la misma
que
la
a travésdel esquemade las <representaciones traslaciones>, nfati-
las ideas
indicadas
en los puntos
1-5
de
la
secuencia
descrita por
et al.
(1975)
sección
4.4.1
de
este capítulo).
La recta
numérica
de fracción
asociada
a
un
punto
de
la recta
numérica
(caracteri-
la sección
3.2.3)pertenece
a un nivel
más
abstracto
en relación
a l o
hemos
estado mencionando
hasta
ahora.
Sin embargo,
si
los
niños
están
a manejar
la recta
numérica
como
un recurso
didáctico
en
su
con las
operaciones
con
los números
naturales
puede
que
esta denti-
punto-fracción
no sea
tan
dura.
Apoyados
en
la
idea
de
medida,
los
niños
pueden empezar
a utilizar
la
recta
numérica
en su
trabajo
con
las
fracciones.
Si
cada
segmento
unidad
lo
dividimos
en cuatro
partes, a recta
numérica
aparecería
como
o-123
cada
parte
del
segmento
unidad
recibe
el nombre
de
un cuarto'
y
utilizando
la longitud
podemos
dar nombres
a cada
punto,
9123
¡ ,
,
,
I
r
I
¡
I
¡
'
'
|
'
'
'>
rl4
214
314
414 sl4
614 714
814
el4
r+r14
r*u;* t lo
Las actividades nicialesdeben consistiren establecrasociaciones ntre pun-
tos
y
fracciones
habiéndose
ealizado
un
número
determinado
de
divisiones
.n
"l
,.g-"nto
unidad
(lo que
determina
el
nombre
de cada
división).
I ¡
|
,
t
L
I
I
¡
I
I
|
|
|
't>
o
't/s
D
315
tr
1
tl
7/5
El
e/5
2
t r t r
t r
El
énfasis
en
la asociación
de la
fracción
a un
punto
debe
estar
dirigido
a
superar
as
dificultades
y problemas
que os
niños tienen
con
esta
representa-
ción
señalados
en
la
sección
3.2.3
del
capitulo
anterior'
Es intresante
que
los
niños
hayan
superado
as dificultades
del
manejo
de
la recta
numérica
si
pretendemos
usarla
en
el
desarrollo
de nociones
poste-
riores
como
puede ser
la equivalencia
de
fracciones.
Algunas
actividades
que
nos
indiquen
el
grado
de
manejo
que muestran
los
niños
con
la
recta
numérica
pueden ser
del tipo
siguiente:
<Asociar una
fracción
a cada
punto.>
5/ 6
1/ 3
Está
claro
que
el nivel
de
desarrollo
de
estos
ejercicios
es
distinto
que
en
los contextos
continuos
y
discretos.
El carácter
más
abstracto
que
muestran
estas
actividades
hace
que Se
deban
retrasar
hasta
que
el
niño
tenga
un
manejo
correcto
de los
diagramas
y
símbolos
desarrollados
en los
otros
contextos.
Las
dificultades
que
puede
115
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 60/85
el
manejo
de
esta representación
hace que
debamos
ser
prudentes
evitar que
los
niños
lleguen
a realizar
manipulaciones
de símbolos
que
no
tener
sentido para
ellos.
El
hecho
de
que
en
la recta
numérica
(cuando
se
prolonga
más
allá
de l
como
suele
ser el
caso)
se deba
tener
en
cuenta
la relación
entre
el
de la fracción
y
el
número
de
subdivisiones
del
segmento
establece
una
diferencia
con los
contextos
continuos
o
discretos
1980).
En
este
caso
aparece ya
de forma
implícita
la
noción
de
todo
ello
debemos
ener precaución
si llegamos
a utilizar
este
mode-
representar
as
sucesiones
e
contar
fracciones
unitarias.
VARIOS
NOMBRES
PARA
LA
MISMA
RELACION.
LA IDEA
DE
EQUIVALENCIA
tareasde claseen las que se desarrollan as nociones niciales
fracción,
tanto
en
contextos
continuos,
discretos,
como
con
la
numérica,
a veces
se
pueden
plantear
situaciones
en
las
que
la relación
parte
considerada
y
el
todo puede
venir
descrita
mediante
parejas
de
distintas.
La
importancia
de
la idea de
equivalencia
de
fracciones
se
debe al
papel
clave
que
juega
en
diversos
aspectos:
en
la relación
de orden
(ordenar dos
fracciones,
nsertar
varias
fracciones
entre
dos
fracciones
dadas),
en el
desa-
rrollo
de
los algoritmos
de
la suma
y
resta
de fracciones
de denominador
diferentes.
En un nivel
más elevado,
a conceptualizaci'ln
del
número
racio-
nal
como
clases
de equivalencia
de fracciones
entendiendo como
clase de
equivalencia
el
conjunto
de
todas
las
fracciones
que
describen
la
misma
relación
entre
la
parte
considerada
y
el
todo).
Además,
a
idea
de fracción
equivalente,
sintetiza
algunos
de
los atributos
identificados
para
manejar
la noción
de
fracción
como
<las
partes también
pueden considerarse
omo
todos>
(Pncnr
et
al.)
y
<subdivisionesequivalen-
tes>
(PnvNr),
es decir
la habilidad
que
puedan desarrollar
los
niños
para
poder considerar
una
parte
de
un
todo
(un
subgrupo
de un
grupo)
como
una
iegión
(subgrupo) no
divida
y
como
una
región
(subgrupo) con
divisiones.
Además,como habíamosseñalado
anteriormente
(sección4.1) son
requi-
sitos
previos
para
la
comprensión
de la
equivalencia
el
haber desarrollado
las
ideas
relativas
a
la relación
parte-todo
tanto
en contextos
continuos
como
discretos.
De todas
formas
la
idea
matemática
de equivalencia
puede tener
varios
niveles
de
sofisticación.
El
manejo
de esta
relación
en
situaciones
concretas
(continuas
o
discretas)
no
tiene
por qué inferir el
manejo correcto
de
los
símbolos
matemáticos
t l2
:214
:
418
. . .
213
?16
por
tanto
el trabajo
en
la escuela
debe
r dirigido
a
que
los
niños desarrollen
en
un
primer momento
estas
elaciones
la
equivalencia)
en contextos
concretos
(continuos
y
discretos)
potenciando
la capacidad
del
niño de
realizar
traslacio-
nes entre
las representaciones
oncretas,
así
como
de
realizar
las
traslaciones
a
la
forma
oral,
escrita
y
simbólica,
según
el esquema
de
la sección
4.4.1.
No podemosdescribir todas
las actividades
necesarias
n relación
a cada
una
de las
representaciones,
a
las traslaciones
entre
las representaciones,
porque la
extensión
de este
volumen
no
lo
permite,
pero
debemos
decir
que
€n
estos
momentos,
aparte
de desarrollar
una
relación
(la
equivalencia)
se
pretende
fundamentar
una
regla
por
lo
que
creemos
que
la
secuencia
de
actividades
debería
venir determinada
por
el
siguiente
esquema,
modihca-
ción
del
aparecido
en
la sección
4.4.1.
Concreto
f
T
1de2
íáá,,róór
"?9r",,_O__O.ri
de 2
@@oo
@@oo
(4,, @rti'O'liO',
'@,''@/
r9'\9-/
2de4
4de8
2de4
o l
l
de 2
posibilidad
amplía
el
ámbito
de as
nociones
elativas
las
raccio-
parte-todo).
Estas
situaciones
escriben
l
signilicado
de
la
e
fracciones.
4de8
%77
2de4
4de8
Diagrama
Simbolos
t t7
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 61/85
La
forma
oral
sobre
as
lechas
ndica
que
en
este
momento
el
enguaje,
a
e o
que
se
está
haciendo/pénsando,
ebe
constituir
er
vínculo
unión (medio)
para
pasar
de
los
concretos/diagramas
los
,i,nuolor.
La
habilidad
del
niño
en
rearizar
as
diferentes
raslaciones,
sí
como
su
independencia
el
material
concreto
se pueden
"orrrid"ru,
"o-o
del
desarrollo
de
esta
dea
matemática.
lo.
otraparte,
la
dificultad
de
la
equivalencia
e fracciones
adica
en
el
de
tener
que
vincurar
as
manipuiaciones
ue
se
rearizanen
ontextos
on
la regla
de
obtener
racciones
equivalentes
n
el
niver
de
los
Es
decir,
en
un
contexto
continuo
(modelo
""tárg;i"testablece-
nuevas
divisiones
en
el
todo
o ignoramos
parte
de
las q-ue
"*irt"r,
puru
racciones
quivalentes;
n
un
contexto
discreto
"áüru-o,
nuevas
e os
elementos
fisica
o mentalmente)
ara
obtener
raccio_
equivalentes.
Así,
estas
actuaciones n el nivel concretohay que vincularlasa la regratener que multipricar
o
dividir
er numerador
y
el
denominador
de
la
por
el mismo
número
para
obtener
racciones
"q"iuur"ni"r,
f-ol
"
,/bJ\
4+4
1
8+4
2
4x2
8
8x2
16
se
presenta
el
hecho
de
que
los
niños
en
un
nivel
simbórico
con
mayor
facilidad
el
procesó
de
obtener
racciones
on
términos
mediante
a multiplicación)
que
el
proceso
de
obtener
racciones
e
más
pequeños
mediante
a
divisiónl.
tener que
fundamentat
ra
rqgla que
produce
fracciones
equivalentes
tengamosque secuenciardebidamenteas actividadesevitando
ápidamente
a la
manipulación
de
os
símbolos,
in
que
estas
manipu-
engan
un
apoyo
concreto
uerte.
posteriormente
debemos
ntentar
el
pensamiento
e
os
niños
se ndependice
el
material
y
de
as
manipu-
el
mismopara
que
se
convieria
earmente
n
erabóraciones
enta-
es
el
<quió>
de la
cuestión,
casi
un
arrna
de
doble
filo.
odas
ormas,parece
ser
que
as
secqencias
e
enseñanza
asadas
n
e doblar
papel
esultan
efectivas
ur"
"onr"g.rir.rt"
p.opo-
(Bon,rN,1971,
itado por
p^a.vun,
976).
ello
se
añade
a
necesidad
e
utilizar
un
solo
rnodelo
modelo
ectángu-
el
contexto
continuo)
en
ra
rearización
e
las
actividades,
a
que
la
imultánea
e
contextos
ontinuos
discretos
ueae
ser
perjudi_
a
adquisición
e a reglaque
permite
obtener
racciones
quivaljntes.
Sin
embargo,
es de
suponer
que
en un
momento
posterior
de a secuenci
de
enseñanza
erá útil
proponer
actividades
en contextos
discretos
que
re-
quieran
el
manejo
de la
idea de equivalencia.
so hará
que
os niños
tengan
la oportunidad
de
ampliar
su noción
de equivalencia
situaciones
ue
en el
mejor de
los casos
necesitan
una
manipulación
previa
(en
el
plano
de
lo
concreto
o
mental)
para
poderse
ealizar,
además
de
que
si utilizamos
ichas
como
concretos
puede
ser
que
no haya una
unidad
predeterminada.Por
ejemplo,
si tenemos
a
representación
iguiente
para
dos sextos
2/6),
@@oooo
para
obtener
una
representación
e un
tercio
(1/3) hay
que
realizar
un
reagrupamiento
manipulativa
o
mentalmente)
e
las fichas
y
considerar
os
grupos ormadospor dos fichas.
t,a__@;(A
0)'lQ_O
Pero
por
otra
parte,
si
queremos
btener
una representación
e
4112,
ebere
mos
considerar
como
unidad,
por
ejemplo,
un
grupo
formado
por
doce
fichas
con
cuatro
de ellas
coloreadas
@
@
@oooo
@
o o
o o
4112
teniendo
que
reagrupar
as
fichasde
dos en
dos
para
obtener
una
represent
ción del
216
que
es a situación
de a
que partíamos)
para
poder
establecer
a
equivalencia.
ttb't idtíol iOrOlíoi
I t r
l¡
ll
lt
ll
I
\@
,
-@)
9,1
oi'.9
tg/
Este hecho
de tener
que
<conjeturar)
cuantas
ichas deben
ormar
en est
caso a unidad
para
obtener
una buena
epresentación
e a fracción
equiva
lente, o
en el caso
anterior,
el tener
que
determinar
<cuántas>ichas debe
estar
en cada
subgrupo,
hacen
que
el
manejo de este
concreto
sea
má
complejo.
Lo anteriorjustifica
ue
a secuencia
e
enseñanza
ue
busque
a
gener
lizaciín
en a obtención
de fracciones
quivalentes
on términos
más
grande
se base
en la utilizac ión
del
modelo ectángulo
omo
único
concreto.
11
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 62/85
De todas
ormas
no
hay
que
destacar
a
posibilidad
e utilizar
contextos
ara
ampliar
la
<red
de relaciones>
elativa
a la
uando ya
nos
hayamos
aproximado
a la
regla
de
encontrar
quivalentes
n el
nivel
simbólico.
En
lo
que
sigue
vamos
a intentar
describir
as
características
e
la
e
enseñanza
asada
n
el contexto
continuo,
modelo
ectángulo,
mediante
actividades
de
doblar
papel.
Si
tenemos
dos
hojas
rectangulares
e
papel
con
dos
tercios
(213)
som-
en
cada
una
dos de
tres,
2-tercios.2l3
estos
momentos
e
suponeque
os
niños ya
no
deben
ener
problemas
las nociones elativasal concepto nicial dé fracciónpara podór ntrodu-
con
éxito
en
esta
nueva
situación.
Entonces,
mientras
enemos
na
hoja
delante,
ncima
de a
mesa.
on
Ia
realizamos
a
siguiente
secuencia.
d
<Doblarla
or
a
mitad
horizontalmente.>
<Desdoblar,
en
cuántas
artes
ha
quedado
dividida
ahora
a
unidad?:
n
seis.>
<<En
uántaspartes
estaba
dividida
antes?>
sólo
hay que
comparar
con
la
hoja
que
tenemos
delante):
n
tres.))
<En
la
que
tenemos
ahora,
¿qué
es
cada
parte
de la
unidad?:
un
sexto.))
<¿cuántos
extos
enemos
ombreados?mientras
e
cuenta
en
voz
alta ir
señalando
on
el dedo):
uatro
sextos.))
<¿Cómo
o
representábamos?:
f6.>
las
dos
hojas
de
papel
que
teníamos,
una
al
lado
de la
otra.
fracción que
indica
la
parte
sombreada.
213
=
416
t2l
Estasact iv idadesesimprescindib lequelashaganlosniños.Tiene
valor
si es
el
profesor
quien realiza
a
manipulación
guiando con
sus
comen-
tarios
as
observaciones.
l
trabajo
de
a
manipulación
ersonal,
svital
para
la
interiorización
e
as
transformaciones
ue
se
están
ealizando.
El objetivo
en
estos
momentos
s
rasladar
a
atención
e
os
niños
hacia
las
modilicaciones
ue
sufre
el
número
de
partes
sombreadas
n
relación
al
número
de
partes del
todo.
SegúnEr.r-nRBRUcHetal. ( |978):<Laideaesencia lesre lacionarl
dobleás
de
la
hoja
de
papel a
la
idea
de
doblar,
triplicar,
y
en
general,
multiplicar
el
numeradoiy
denominador
or
el
mismo
número...
e
presiona
la relación
entre
a
."pr.rión
verbal
de
doblar
el
número
de
piezas
doblar
el
número
considerado.>
Asi
indican:
Podemosmostrarlaequivalenciaconectandolosdiagramasrectang
,",
y
lu
recta
numérica.
És
una
forma
de
organizar
a
información
que
poseemos
n
estos
momentos,
ue
puedeayudar
a aproximarnos
la
regla'
'S;;p;;
en
las
actividades
e
gtnétu.
la
familia
de
medios,
e
cuartos'
de
tercios"..
ue salen
a
partir de
ás
secuencias
e
contar
racciones
nitarias'
Si iodós
os
dobleies
os
realizamos
e
forma
vertical
enemos,
Los cuartos
están
sombreados.
2de4
Familia
de los
medios:
Familia
de
os
tercios:
Familia
de
los
cuartos:
El
número
otal
de
las
partes o
hemos
multiplicado
por
dos,
el
número
de
partes
sombreadas
ambién
o hemos
multiplicado
por
dos'
4de8
l ' l ' l ' l '
t ' ' l ' l
ó
ttz i
stz
2
3
2/4
2/2
6/4
4/2
3/3
6/3
4/4
61 2
9/ 3
ru
lr :
rl l
I
I
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 63/85
ue esermás
clara
aumentando
er
número
de
fami_
consideradas.
sí
se
obtienen
r"
r¡g"ü,"s
fracciones
quivalentes,
ntre
si
toda
esta
información
la podemos
colocar
en
una gran
pizarra
d,e
en
er
aura,
ra
dirección
"'G;i;;
estos
momentos
es
descubrir
el
numérico
que
se
sigue
en
ta
generación
de
fracciones
quivalentes.
La
ventaja
e
poder
mosrrar
anta
nform*tó;;i;;;;#;",
a
través
osdatosorganizados nra pizarriá" iün.ru, esque acilitael determinar
que
se
sigue
en
todas
ás
amitias
áe
fracciones
quivarentes,
l
tener
a
vista
varias
de
estas
amilias.
El
objetivo
de
utilizar
estegran
<pósten
en
la
clase
es
que
,iruá'"omo
de
discusión
sí
como
J"
upoyo-.n
ros
comentari*;;;;"
rearicen
os
niños
o
entreros
niños
y
"r
práteroi.
La.búsqueáa
"iáoa.ro,
q.r"
en
la
formación
de
las
iamiiias
áe
f.acciones
puede
ser
considerada
actividad
de
gran
grupo
(con
a
clase
entera),
una
actividad
a
desarro_
pequeños
crup+
d-e
iabajo,
rr"ui"n¿o
posteriormente
na
sesión
de
en
común
entre
os
distintós.
rupos,
"n
iu
qu,
;
p;;;;
r"*.nunm"rto
por
cada
grupo'
uri
";;;i;s
procesos
que
se
han
seguido
determinar
a
respuesta.
l
descubrir
cómo
sepasa
de
una
determinada
racción
a
la
siguiente
a
se
puede
afiinzar
-"di;;;-r;;
siguientes
ctividades-ejercicios
ayudan
a
rearizar
el
paso
de
ras
repres"ntu"ion.s
";;;r*^;iagramas
regla
Errnnnnucn
y
pevNn,
f
qió,----'
Algunas
de
las
situaciones
nteriores,
mostradas
en
el
póster-murar
pueden
epresentarse
or
r/2
:
214
l : t l l :
312
6¡4
2:2/ t :
5/2
:
1g¡4
3:3 l t :
así,
os
siguientes
jercicios
generalización.
i )2
x
2
2/2:3¡3:4/4: . . .
412:6/3:g l4: . . .
6 /2:9¡3: t2/4: . . .
:_
i i )3x?_
4x?-
2x 2
4x 2
se
pueden
proponer
para
ayudar
a
la
4x
123
b\ Dada una
fracción
y
un
nuevodenominadorencontrar
el numerador
c)
Dadas dos fracciones
un nuevo denominador,encontrar racciones
equivalentes.
<Dadas
as
fracciones 13
y
3/4.
Escribir
cada raccióncon un
denominador
e I2.>>
?
l2 '
d) Dadasdos
racciones ncontrar racciones quivalentes
las dos, con
un denominador
omún.
El
algoritmo
que
estosautores
ugieren
s
elegirel denominador
más
grande
de
as
racciones adas
e
ir inten-
tando múltiplossucesivos.
El verdadero alor de estosejercicios e encuentra n
el análisisde
los
procesos ersonales
onjeturados
or
los niños en su trabajo en
pequeños
grupos y
en las discusiones
osteriores
on la claseentera
cuando cada
grupo presenta
justifica
sus
procedimientos.
En las secuencias e
ejerciciosde este estilo,
os niños encuentranmás
fácilmente
as soluciones uando o
que
aparece
on relaciones e
múltiplos,
por
ejemplo:
en donde
para pasar
de 4 a
12 multiplicamos
or
3, uegohay
que
multipli-
car el 3
del denominador e
a
primera
racción
por
el factor
3
para
obtener
el numeradorbuscado.
Sin embargo
os niños ienenmásdificultades n
os
ejercicios
n os
que
no seda esta
elaciónde
múltiplos,
por
ejemplo:
en estecasoel
paso
de 9 a 12 no es a travésdel
producto
de un
número
natural.
En estasecuencia
e ejercicios
ropuesta or
Ennnnnucr
et a/.
(1978)
e
sobreentiende
ue
en todo momento
os niños
pueden
ecurrir
al
material
para
comprobar
sus resultados.
3?
4t2
2?3
-:-
3r24
3?
4t2
912
-:-
t2 ?
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 64/85
Además,
a
verbalización
de
todos
los pensamientos
ubyacentes
Ia
sea
de
símbolos
o
concreta,
ayudará
a
interiinzar
la
regla
de
manifiesto
cuando
se
construyen
amilias
de
fracciones
quivalen-
a una
dada.
Esta
secuencia,
on
la
que
se
obtiene
el
procedimiento
para
obtener
quivarentes
on_términos
mayores,
debería
""-pl"tá^"
con
acti_
e
simplificación:
ayudarán
a mostrar
la
regla
en
todos
sus
aspectos.
Hay que
recordar
que
estos
ejercicios
son
sugerenc
a
de
aüiuidades
que
l
profesor
estructurar
us
acciones
ocátes.
g.
J*ir,;
deben
er
omo
ejercicios
ndividuales
a
rearizar
or
cada
niño
sin
antes
desarronado
algunascrases reviasde diálogo-¿ircuriáo
"n
peque-gran grupo.
Y-"
dentro
del
campo-de
os
símbolos,
existen
sugerencias
obre
a
forma
aftanzar
a
regla
de
obtención
de
fracciones
equivalentes,
ue
sfrpoyan
la
delinición
del
elemento
unidad.
introducción
de a
multiplicación
de
fracciones,
avorece
a
utilización
de
sugerencias.
n
el
capítulo
siguiente
veremos
qué
ror-u
pu"á"n
adoptar.
También
puede
ser
útil
aprovechar
a
conexión
entre
hs
iracciones
y
los
ara
determinar
a
equivalencia
e
fraccioner.
si
"r
Áuol¡o
de
os
or
los
niños
nos
o plrmite,
podemos
utilizar
la
calculado
a
paÍa
equivarencia.
e
enfatiza
en
esta
situación
a
conexión
entre
a
división
de
dos
números
naturales
y
los
decimales.
362??153
60:30:
15
:
10
n:
i
..1
2..,
2
fúl
zr3
6
J'
'
:
t
* l ¡ j :
i ,
s
o
6
|
4:6:4:1,5
6
t :
6:3:2
2
, :
3:2:
1,5
t2
;
6
:
12:6:2
otra
parte
el
y19jo
de
la
equivalencia
de
fracciones
nos puede
acercarnos
a
la
idea
de
la
densidad
de
los
,rn-"ro,
racionales,
actividades
e
búsqueda
e fracciones
entre))
otras
dos
fracciones
continuación
vamos
a
ver
cómo
se
utiliza
la
idea
de
fracción
equivalen-
determinar
a
relación
que
existe
entre
er <<tamaño>r
"
;;;
iracciones.
4.6.
LA COMPARACION
DE
FRACCIONES.
LA
IDEA
DE ORDEN
Una
de
las aplicaciones
e la
idea de
fracciones
quivalentes
e
pone
de
manifiesto,
",runáo
queremos omparar
dos
racciones
determinar
si una
es
más
pequeña,
gual
o
mayor
que
la otra.
Oe tó¿as
ormas,
el
compaiar
dos
fracciones
on
el
mismo
denominador,
se
puedehacer
directamente
omparando
os numeradores.
stas
actividades
deben
seguir
a
misma
secuencia
nterior,
empezando
on
concretos
y me-
diante
a-explicación
or
parte
de
los niños
de
o
que
se
está
aciendo,
o
de
la
razbn
pór
la
"u"l
r"
está
haciendo
determinada
cosa,
hasta
llegar
al
manejo
de
los
símbolos.
Por
ejemplo,
l comParar
416
Y
516:
al
realizar
os
dobleces
de
papel
y
sombrear
a
parte indicada
(traslación
símbolo-material
en
la
secúencia
del
concepto
fracción),
tener
la
unidad
separada
n
el
mismo
número
de
partes a comparación
es nmediata,
apoya'
dónos
en
el
orden
de
los
números
naturales
el
orden
de
los
numeradores)'
<<4 eces
un
sexto
y
5
veces
un
sextoD,
y
como
cuatrO
es
menor
que
CincO,
enemos
que
cuatro
veces
un
sexto
es
menor
que
cinco
Yeces
n
sexto.
La
primera dilicultad
se
presenta
cuando
hay
que
comparar
fracciones
con
denominadores
istintos,
por
ejemplo
516
y
213.
La construcción
con
material de las fracciones, la comparacióndirecta, puedeser un primer
intento
a realizar.
Pero
el
propósito de
la
secuencia
e
enseñaÍza
es conse-
guir
una
independencia
aulatina del
material,
y
pafa
eso,
si c€ntramos
iuestra
atencién
en lo
que
podemos
hacer
cuando
comparamos
racciones
con
el
mismo
denominador
epresentadas
n
material,
encontramos
que,
-
podemos
hacer
a
comparación
directa,
y
-
podemos
apoyarnos
en
el
hecho
de comparar
el
número
de
fracciones
unitarias
que
<<hap>
n
cada
racción'
Una
de
las
deas
mplícitas
en
esta
última
tarea
es
a necesaria
ompren-
sión
de
la
relación
invirsa
entre
el
número
de trozos
de
la
unidad
y
el
tamaño
de
as
Piezas
Cuadro
4.3)'
125
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 65/85
Cu¡dro
4.3
O
I
O
I
I
&
Una
actividad
(Posr
et
at-,
1987)
que
pone
de
manihesto
esta
relación
puede
consistir
en
que
os
niños
comparen
ante
círculos
de distintos
colores
iinididor
en
diferentes
partes
el número
de
partes
que
cubren
a unidad
y
el
tamafro
de las
partes.
Colocando
los
niños
por
parejas
y
tomando
como
unidad
el
círculo
(todo)
se
pide
a
un
niño
que
divida
su
círculo
en
cuartos
y
al otro
el
suyo
en
sextos,
planteándose
continuación
preguntas
como:
¿en
cuántas
piezas
se
ha
dividido
el círculo?;
¿quién
iene
más
Piezas?;
¿quién
iene
a
Pieza
más
grande?
y
el
anotar
las respuestas
n
hojas
aparte
puede
ayudarles
a darse
cuenta
de
ia relación nversaexistenteentre el número de trozos en que se divide la
unidad
y
el
tamaño
de
cada
trozo.
Pauiatinamente,
as
cuestiones
deben
plantearsede
tal
forma
que
los
niños
deban
contestar
a
las
preguntas
primero
y
luego
comprobar
sus
res-
puestas
si
lo creen
necesario)
tilizando
el
material.
^
Además,
os
niños
puedenutilizar
diferentes
rocedimientos
ara realizar
las comparaciones
ependiendo
el
tipo
de
fracciones.
a estrategia
escrita
al
principio
para
fracciones
on
igual
denominador
@16
516)
e
compara-
ción
dirécta
utilizando
esquemas
e ordenación
de
los
números
naturales
no
son
válidos
cuando
as
fracciones
que
tenemos
ienen
gual numerador
pero
distinto
denominador,
como
por
ejemplo
3la
y
315.
En estas
situacio'
nes,
haber
conseguido
una
buena
comprensión
de
la relación
entre el
número
de
piezas
y
el tamaño.
De
las
piezas
puede
ayudar
a
que os niños
ante
esta
siiuación
consideren
que
como
los cuartos
son
más
grandes
que
los
quintos
entonces
a fracción
314
debe
ser
mayor
que
3/5,
con
lo
que
actividades como las descritas anteriormente
que intentaban
poner de
manifiesto
a
relación
entre
el
número
de
piezas
del
total y su tamaño
adquieren
una
gran
imPortancia.
iinalmente,
en h
cómparación
de fracciones
el
tipo
516
213
es
donde
las
diferentes
estrategias
utilizadas
por
los
niños
en
los casos
anteriore
pueden
mejorarse.
Tanto
el contar
fracciones
unitarias
como
los
procedi-
mientos
de
fijarse
en
la
comparación
del
tamaño
de
las
(partes)
pueden
introducirnoJen
la
utilización
de
estrategias
ue puedan
ustilicar
el
uso
de
algún
algoritmo.
Así
por
ejemplo,
con
la
introducción
a
la comparación
de
fraccione
basada
én
a comparación
del
número
de fracciones
nitarias,
seestablece
e
forma
natural
la
necesidad
e tener
fracciones
on
el
mismo
denominado
cuando
queramoscomPararlas.
127
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 66/85
Ante
as
fracoiones
13
315:
<<213
s
dos
veces
un
tercio>r,
<3/5
es
res
veces
n quinto>,
necesitamos
ener
a
misma
racción
unitaria,
ro
que
se
raduce
en
a
necesi_
dad
de
obtener
racciones
equivalentes
cada
una
de
las
fracciones
dadas
pero
con
el
mismo
denominador.
Siguiendo
la
secuencia
descrita
anteriormente,
o
intentaríamos
con
sucesivos
e
cinco
(el
denominador
más grande
de
as
dos
raccio_
Así,
5x1:5,
5x2:10,
5x3:15,
. . .
obtenerun múltiplo de 5 que también o fuesede 3, con lo que:
2t0
3:3t5:15
9
15
"?
J
5
5x 3
<<213
s
diez
veces
un quinceavo>,
>3/5
es
nueve
veces
n quinceavo>>,
lo
que
a
comparación
es nmediata.
Lajustificación
de
a
necesidad
e
apoyarnos
n
ras
racciones
quivalen-
tealizat
la
comparación
debé
éstar
enraizada
en
las
actividades
concretos ealizadas or los niños.Antesde movernosdirectamente n
nivel
de
os
símbolos
hay que
realizar
numerosas
ctividades
onde
nter-
a
manipulación
y
la
expresión
erbal.
una
trasracion
uuiuiinu
rru.iu
introducción
de
ros
símbolos
mediante
ctividades
";
ü;;;;;;istan
las
formas
de representación
concreta,
orar y
simbórica)
ujuau.a
u
qu"
estemos
rabajando
en
el
niver
simbólicó
únicameníe,
r,
,rn
,no-"n_
determinado,
os
niños
puedan
explicar
por
qué
h;;;;;;;minadas
e
simboros
poyando
us
explicaciones
obre
concretos.
En
relación
a ra
ufirización
de
material
discreto
rn"rr"r)-p"r;
ser, que
a
representación
@@o
)/ 1
@@@oo
l/\
r2
la
utilización
de
una
unidad
formada
por
quince ichas,
sólo
se
puede
conce-
bir
si
previamente
e
ha realizado
una
elaboración
de
los datos
en
el nivel
simbóiico.
Este
hecho
es o
que
algunas
veces
e
ha llamado
a
existencia
e
un
(esquema
nticipatorio))
para
realizar
con
éxito
a tarea
de
o concreto
al
símboló,
eorganizáción
e
a situación
en
el nivel
simbólico
¿mental?-
y
vuelta
otra
vez
al nivel
concreto).
La
dificultad
que
plantean estas
areas,
hace
que
puedan ser
utilizadas
para
<<valorar>
l
aprendizaje
ue
se
ha
realizado
después
e
haber
desarro-
iludo
unu
secuencia
e
enseñanza
n contextos
ontinuos,
apoyada
en
a idea
de
fracciones
unitarias
para
justificar
la necesidad
de
obtener
fraccione
equivalentes
an
realizar
a
comparación.
De
todas
formas
no
hay
que
olvidar
que
parte
de
la dificultad
que
presentan
as tareas
de comparar
racciones
iene
vinculada
al tipo
de núme-
io,
qu.
seestán
utilizando,
anto
en contexto
continuos
omo
discretos.
Por otra parte, a utilizaciónde la RectaNuméricapara representaras
fracciones
uide
potenciar a conexión
con
la noción
de
medida,
y
el desa-
rrollo
de
lá
relación
de
orden
entre
las
fracciones.
En
las actividades
de
señalar
racciones
n
la
Renta
Numérica
entre
otras
dos
dadas,
se
potencia
las conexiones
ndicadas
antes
avoreciendo
a
ampliación
por
parte
del
niño
de
su visión
de
as
fracciones
en particular a
idea
de verlas
como
números
y
no
sólo
como
representaciones
e
diagramas
parte-todo>)'
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 67/85
F
J.
Las operacioneson racciones.
Los
algoritmos
,(+-+)
00
g
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 68/85
Hablar
de
los
algoritmos
para
las
operaciones
on
las
fracciones
esulta
onflictivo.
omo
habíamos
iito
en
el
primer
capítulo,
as
dificul_
que
tienen
os
niños
con
estos
argorit-or
1ru
"r"uru
J"u"ia
"n
,u
así
como
la <poca
utilidad
prácticu
que
se
es
puede
atribuir
(los
suelen
vitarlos
n
as
situacionés
otidianas,
ustituic"J"l",
por
orros
en
la
búsqueda
de la soluci n a la sltuación ptanteada),esteapartadoen el centro
de
una
gran
problemática.
Mientras
que
parece
que
no
hay
excesiva
iscrepandia
n
relación
a las
ntuitivas
del
concepto
fracción,
al
plantear
la
cuestión.-de
os
relativos
a las
operaciones
on
fracciones,
e
desata
"
p"E-i"á.
cuestión
ha
sido
descritaya
con
detalre
anteriárment",
p-
lo
que
no
a
pena
volver
a
plantearla.
En
este
momento
vamos
a
aproximarnos
al
problema
de
a
enseñanza
e
algoritmos,
e intentar
vercon
qué
condiciones
uedery'dJ"n
up".r"",
el
currículum
de
Matemáticas
e os
primeros
años.
siempre que
se
va
a estudiar
una
operación
numérica,
se hace
a
distin-
entre
el
concepto
e
a
operación
su
algoritmo;
"s'¿e.ir,
"ntre,
-comprender
el
significado
e a
operación,
stando
ste
unto
vincula-
do
a la
aplicación
de
la
operación
en
la
resolución
e
situaciones
problemáticas,
- serhábilen a ejecucióne os pasos ecesarios,enel ordencorrecto,
que
levan
a la
obtención
del
resultado
de
una
operación;
o
que
en
er
lenguaje
usual
se
denomina
rcalizar
os
cálculos.
Esta
distinción
es
necesaria
a
que,
entre
otras,
algunas
e
as
objeciones
se
realizan
a
la
enseñanza
de
las
operacion.t
con fracciones
a
la
e
os
algoritmo_s),
s
que
estos
aigoritmos
se
convierten
en
reglas
sentido ara
os
niños.
Lógicamente,
i
einiño
está
manejando
eglas
in
sentido
para
é1,
esulta
bastante
natural que
a lo
rurgá
aa
tiempo,
de
utilizarlas
las
sustituya or
otros procedimientos
ás
<naturales>
olviden
o modifiquen
algún puro
enil
algoritmo,
convirtiéndolo
sí
procedimiento
erróneo.
La raz6n
de
que
estos
algoritmos
se
puedan
convertir
en
reglas
sin
sentido
puede
ser
debida
a una
introducción
demasiado
emprana
en
la
escuela
traslación
demasiado
ápida
hacia el
manejo
de simbolos
sin
la
existencia
de un
esquema
onceptual),
pero
también
en
algunos
casos
por
una
ntroducción
desvinculada
e
un fundamento
suficientemente
oncreto
y
natural
a
la operación
falta
de la
existencia
de
un
<modelo
de compren-
sión>).
Si
aceptamos
stas
dos
deas,
parece
claro
que
aumentando
el
tiempo
de
práctica
en el
manejo
del
algoritmo,
no conseguiremos
na
comprensión
de
los
pasos
de dicho
algoritmo.
En
esta
situación,
os obligamos
mirar
los errores
producidos
or
los
niños
al realizar
os cálculos
o
al aplicar
as
operaciones
los
problemas
de
palabras)desde
otra
perspectiva.
El solo
aumento
de
a
práctica
con
los algoritmos
puede
no ser
un buen
recursodidácticopara superar os erroressi no somoscapaces e
determinar
si el
error
es debido
a
un descuido
en el
proceso
de aplicar
los pasosdel
algoritmo
o a
la aplicación
sistemática
e
un
procedimiento
rróneo
algunas
veces
modificación
de un
procedimientocorrecto).
.
El
papel
quejuegan
os errores,
su análisis
las
nferencias
ue
se
pueden
'realizar
a
partir
de ellos
en
relación
a
la comprensión
del
niño de
los
algoritmos
que
maneja
será ratado
con
más detalle
en el
próximo
capítulo.
Otro
de
os aspectos
tener en
cuenta
cuando
se
habla de
os algoritmos
en
las operaciones
on
fracciones,
s
el
hecho de
que
existe
una
aparente
desvinculación
ntre
la
regla
para
resolver
una
(cuentaD,
por
ejemplo
del
tipo
y
un
problema
verbal
que
conlleve
mplícitamente
esta operación,
por
ejem-
plo:
<Si
quedabanos3/4de
una artay mecomoa mitad
¿cuánta
artadel otal
me he comido?>
Lo más
probable
es
que
los niños
se enfrenten
a
este
problema
verbal
utilizando
estrategias
iferentes
la regla
de multiplicar
fracciones.
Además, en
relación
a la conexión
entre
el algoritmo
y
la resolución
de
problemas, mr
(1981)
eñala
ue,
...1a
abilidad
para
resolver
cálculos
de
sumas
y
restasdecrece
uando
os
niños
son
mayores.
La
habilidad
para
resolver
problemasno decrece
on
la
edad,
con
o
que
se
puede
suponer
que
os
problemas on
resueltos
in
recurrir al
cálculo
algorítmico.
Muchos
niños,
en efecto,
arecen
o conectar
os algoritmos
con
la resolución
de
problemas
y
usan
sus
propios nétodos.
i \ ivFBc inA* n .l' "?
13
-x-
24
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 69/85
Así,
parece
ser,
que
en
esta
situación,
os
niños
(siempre
y
cuando
se o
la
presión
escolar),
ienden
a buscar procedimientos
ue
impliquen
de
los
números
naturales
antes que
((poner
en u""ióno pro"iai-
vinculados
a la
noción
de fracción (efecto
distractor
de los
números
uno
de los
efectos
derivados
de
esta
situación,
o
señala
HLnr (19g1)
ndica,
en
relación
a la
comprensión
e a
idea
de fracciones
quiva-
por
niños
de 12-13
años
(aproximadamente
.o
de EGB), que
muchos
ven as
fracciones
omo
parejas
de
números
naturales
no relacionados,
separadamente.
e forma
clara
estas
nferencias
endrán
reper-
obre
el manejo
de
los
algoritmos,
en
particular
para
a suma y
la
de fracciones
on
denominadores
iferentes.
LAS
INTERPRETACIONES
DEL CONCEPTOFRACCION Y LAS
OPERACIONES
En
el tercer
capítulo
hemos
caractenzado
iferentes
nterpretaciones
so-
ala
idea
de fracción.
A
través
del
análisis
del
concepto
eali?ado
en
caso,
se
podía
vislumbrar
el hecho
de
que
algunas
interpretaciones
conduci¡
de
una
forma
más
natural,
al
concepto
de
determinadas
Así, en
el
aspecto
medida
caractenzado
través
de a
relaciónparte-todo,
conceptos
e
suma
y
resta
de fracciones,
ncuentran
su)
intérpretación
natural.
Podemos
utilizar
el modelo
de
la Recta
Numérica
pará
vincular
arte-todo,
medida y
fracción
como
númeró.
I l/4
de metro
+
3/4
de meÍo
1
1/ 4
314
Por
otra parte
el
concepto
de multiplicación
y
división
de
fracciones
vinculado
con
más <<naturalidad
la interpretación
operador.
El
carácter
funcional
de
la murtiplicación/división,
haóe
que
la inter-
de as
fracciones
<más
structuralistu
(algebraica)
es proporcione
adecuado.
Por
ejemplo:
i) <coge
os
dos
tercios
de
la parte
sombreada,
cuánto
as
cogido
del
total?>
'Z:%:W
213x
(314)
13
(213\
Qlal
ü)
<Coge los 314
de
la tarta.
Cómete
los
213del
trozo
que
has cogido'
¿Cuánto
e
has comido
del
total?>
Estado
Unidad
Estado
x
Ql$
Ql4)
Estado
Ql3)
x
Qp)
Teniendo
en
cuenta
esta
elativa
amiliaridad
entre
algunas
nterpretacio-
nes
y
algunas
operaciones,
s
posible
prever dificultades
en
relación
a
la
adquisición del concepto
de
alguna
operación,
en
función
de
qué
inter-
preiación de las
fracciones
se haya potenciado en la secuencianicial de
enseñanza.
Así,
eniendo
en
cuenta
esta
circunstancia,
DrcNns
por
ejemplo,
al
poten-
ciar
la
interpretación
operador
(entendiendo n
estecaso
a
fracción
como
una sucesión
e una
multiplicación
y
de
una diviSión
de números
naturales)
indica
que
el concepto
de
multiplicación
es
el más
natural
y que
su
ntroduc-
ción
no
plantea
ninguna
dificultad,
por
lo
que
introduce
la
multiplicación
antes
que
la suma/resta
de fracciones
con
denominador
distinto,
ya que
considera
esta
operacióno
omo
la sustitución
de
dos operadores
por
uno
solo,
o
la aplicación
de un
operador
a un estado
raccionario.
Con
esté
planteamiento
a idea de
fracción
nversa
operador nverso)
y
la
idea
de
división
son
inmediatas.
Sin
embargo
esta
misma
<elegancia>
n
la
presentación e
la multiplicación
y
división
plantea
algunos
nconveniente
al
introducir
la suma
de
fracciones.
DtsNss
salva
esta
dificultad
hablando
de
suma
de estados
inales
obtenidos
por
medio
de
operadores
raccionarios
en
vezde a sustituciónde dosoperadores or uno equivalente omoen el caso
de
la multiplicación).
Por ejemplo,
para presentar a suma
de
as
fracciones
13
+
4/5
establec
los siguientes
asos:
Consideremos
l
estado
unidad
(inicial),
en nuestro caso
15
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 70/85
Parte-todo
(medida)
Concepto
de
fracción
Suma y
resta
de
fracciones
con
el
mismo
denominador
Multiplicación
de un
natural por
una fracción
F¡ouna
.1
Ante
esta
dificultad
estamos
onvencidos
e la
necesidad
e que
cada
ome
sus
propias
decisiones,
n
relación
determinados
spectos
el
e
enseñanza.
l
papel
de
as propias
creencias
quí
es
undamental.
El
esquema
e la
figura
5.r
describe
l
nestado
e
Ia
cuestión)
en
esros
obre
dicho
esquema
ueden
mostrarse)
os
<mudos
de
toma
decisión>
en relación
a
esta
cuestión
de
desarrollo
curricular.
vamos
a intentar
acercarnos
la
cuestión
elativa
a la
enseñanza
e os
eñalando
reviamente
lgunas
uestiones.
ALGUNASCUESTIONES
El
manejo
de os
algoritmos
y
la
resolucién
e
problemas
Recordemos
hora
algunos
etailes
xpuestos
n as
secciones
nteriores.
señalado,
n
relación
a los
algoritmos,
el bajo
rendimiento
que
os
manifiestan
n su
manejo,
unto
con
el hecho
dL
que
en
determinados
os
niños
sustituyan
el
algoritmo
de
a <cuenia>
ue
está
mplíci-
en
dicha
situación
por
el
uso
de procedimientos
ropios.
De
forma
resumida
enemos:
-
bajo
rendimiento
n
el
manejo
de
os
algoritmos,
-desvinculación
entre
a <situación
roblernática>
"la
realización
ela
operación
mediante
l
algoritmo
correspondiente.
Teniendo
en cuenta
esto,
habría
que
trasladar
a atención
hacia a
forma
en
que
está
caracterizadala
ecuencia
e enseñanza
n
relacióna
los algorit-
mos de las
operaciones
on
fracciones.
A veces,
l
pensar
en dicha secuencia
e
enseñanza,
l orden
que
se sigue
suele enir
delimitado
por
las
siguientes
uestiones:
-
¿cuál
es el
algoritmo?;
-
¿qué
estrategia
e
puede
utilizar
para
hacerlo
más
<concreto>?
A
partir
de este
momento se
<justifica>
l
algoritmo a través
de una
<<situación
oncreta).
Larealizaciín
de ejercicios
on
posterioridad,
pretende
que
los niños
<<cojan
ráctica>,
en
realizar as
<cuentas>. n
estas
situacio-
nes,a
veces, e
proporcionan
problemas
erbales on
posterioridad
omo
<aplicación>.
Llegadoestemomento, l planteamientoesultaclaro y puede nducir a
pensar:<Si
os niños
dentihcan
a cuenta
necesaria
ara
resolverel
proble-
ma,
como
ya
tienen
práctica
en el
manejo
del
algoritmo,
entonces o
habrá
ningunadificultad
¡ ).)
En este ipo
de
planteamiento,
xisten
os
puntos
claves,
i) la identificación
e
la operación,
ii) el desarrollo
del algoritmo.
Entonces,
ecordando
o señalado
al
principio,
cabria
preguntarse:
-
(¿son
os aigoritmos
de las operaciones
on
fraccionesos
"proceso
naturales"
ara
resolver l tipo
de
problemas
ue
se
e
plantean
a los
niños?>;
-
<¿las
ecuencias
e enseñanza
ue
desarrollamos n
nuestras lases
e
dan el mismo pesoespecíhco los dos
puntos
señalados
nterior-
mente?>;
-
(¿conectamos
l
proceso
e reslución
e
problemas
la utilización el
algoritmo?>;
-
<¿podemos tilizar los
procesos
e resolución
de
problemas
como
camino
para
a conceptualización
e
la operación
en
este caso cl
algoritmo)
y
no sólo como
aplicación?>;
-
<<¿realmente
on necesarios
os algoritmos
e as operaciones
on frac-
ciones
para
resolver
esos"
problemas?>.
Como
vemos,
quí
se nos vuelven
a
plantear
cuestiones
ue
ya
nos
sol'l
familiares.
l intentarbuscar
espuesta
estas
uestiones
nunciadas
ajo
cl
encabezamiento
El
manejode
os algoritmos
la
resolución e
problemas
13 9
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 71/85
yudarnos
a clarificar
nuestra postura
personal
en relaciirr ,r
spectos
e las
fracciones
n la
escuela.
Desde
nuestra
perspectiva,
a
utilización
de los
problemas situaciorrt's)
os
contextosnecesarios
ara
conceptualizar
os
procedimicrrlr,,,
cálculo
con las
fracciones.
Es
decir,
creemosque
en el
proceso
de hacer
conscientes
los
niños rr,.
relaciones
entre
las manipul aciones (en
algunas
operaciones)
y
las
replc
imbólicas,
ecolocan
as
bases
ara
algunosprocesos
lgorítni
Así.
ejemplos
el t ipo
<Juan
ha
ganado
en a feria
una
barra
de chocolate
un
terciode
barra
y
decide epartírsel o
on su
amigoPedro,
¿cuánto
e
correspondera
cadauno'l>
os que
os niños
<estiman>
n
un
primer
momento
el resultado,
ealizan
actividades,
n
un
plano
de representación
n
primer
lugar
y
luego
en
unsimbólico,en grupo o individualmente,
ara
luego
poner
en
común
lo s
procedimientos
tilizados,
enfatizando
anto los
resultados
guales
dichos
procedimientos
o
que
es
deben ntroducir
en el camino
de los
de las
opcraciones.
En
estas
ituaciones,
l
profesor
debe
estar
atento
para
aprovechar
cual-
sugerencia ue
se
pueda
derivar
del trabajo
de
los niños,
aunque
os
tilizados
por
ellos
sean diferentes
e la aproximación
or -
Una
buena
estructura
<le organización
de la
clase
para
este ipo
de
s
el trabajo
en
grupos
reducidos cuatro
o cinco niños)
en
un
momento para posteriormente,
en
sesiones
on la clase
entera
(gran
exponer
os
procedimientos
utilizados
en
cada
grupo,
asi como las
ades que
se han
tenido
y
la
forma
de superarlas.La
exposición
común
procedimientos,
nos más
elaborados ue
otros ayuda
a
que
os
vayan avanzando
en el
camino de la
generalizacion.
Desarrollado
de esta orma,
la conexión
entre
el
primer
contacto
intuiti-
on las operaciones, el establecimiento e los algoritmos,dependeen
medida
del
trabajo del
profesor
en
saber aprovechar
las innumerables
durante as sesiones
on la
claseentera,
proporciona
a
verba-
de los
procesos
utilizados
por
los niños.
El
objetivo
de estas esiones
e trabajo
es legar
a
que
os algoritmos
sean
hnal,
la síntesis, e la
evolución
de las
estrategias
ersonales.
De
todas formas,
en estassituaciones,
os
algoritmos, las
reglas
generales
a
partir
de numerosos
procedimientos,
strategias
ersonales,
o
quedarse
ólo como síntesis
e
procedimientos
inculados
a situacio-
o
menos
concretas.Se
debe
<mirar>
hacia
adelante.Es
decir,
el
con los algoritmos,
el manejo
de símbolos
operaciones
n situacio-
generales
debe ser el
preludio
del
trabajo
con las
relaciones
algebrai-
5.3.2.
Los
algoritmos
y
el
trabajo
previo
con
las
relaciones
algebraicas
Delaformaseñaladaanteriormentesepuedenconectarlosalgoritmos
rclativos
a
las
operaciones
con
las
fracciones
a
los
procesos
de
resolución
de
problemas
urud^o,
por los
niños,
por una
parte,
y
a
un
manejo
de
los
,í*bolo,
que nos
introduce
en
el
campo
de
las
relaciones
algebraicas,
por
otra.
Así,almanejarenunplanosólodesímboloslanocióndefracciónylas
.rf.ru.iot",
áon
fracciones,
se
estará
empezando
el
camino
de
introducción
oi
Átg.uru,
al
ser
el
conjunto
de
los
números
racionales
el
primer
caso
de
"onj.-into
numérico
manejado
por los
niños
en
que las
cuatro
operaciones
no
tienen
restricciones.
Planteado
lo
anterior,
la
cuestión
que surge
es
conocer
si existen
mode-
los (estrategias
de
enseñanza)
que
putdun
ayudar
a
afrarlzar
algunos
algo-
ritmos,
una
vez
que aparecen
n la secuenciade enseñanzacomo síntesis
de
los
procesos
personales
de
resolución
de
problemas
planteados
por los
niños.
Las
secciones
ue siguen
ntentarán
describir
algunas
de estas
estrateglas
para
los
diferentes
lgoritmos.
5.4.
LA
SUMA
Y
RESTA
DE
FRACCIONES
En
la secuencia
ue desarrollaba
el
concepto
nicial
de
fracción
se
presio-
naba
sobre
el
uso
de
las
fracciones
unitarias
y
el
contar,
lo
que
nos
introdu-
cía
de
forma
natural
en
las
ideas
de
sumar
y
restar
fracciones
en
algunos
casos
determinados.
Se
sugería
que ésta
se
realizará
a través
de
situaciones
problemáticas,
como
por ejemPlo
<Juan e
ha comido
os 3/8
de
a tarta
y
Pedro
os
2/8.
¿Cuánta
arta
se
han
comido
entre
os
dos?>
en
las
que el
proceso
de
solución
venía
determinado
por
el
hecho
de contar
octavos
(tres
octavos
más
dos
octavos
son
cinco
octavos)
que
de forma
simbólica
podíamos
epresentar
or
31 8
+
218
3 octavos
2 octavos
'/ul%tru)
5/ R
5 octavos
l4l
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 72/85
T
W
-\---
sM+/
Se
enfatizaba
en estas situaciones,de nuevo, la identificación
de
la
uni-
al igual
que
sucedeen las situacionesen las
que
intervienen fracciones
de la unidad.
<Juan
se ha
comido
1 ll3
de
los pasteles
e chocolate Pedro 2ll3.
¿Cuántos
asteles
ehan
comidoentre os dos?>
1+r l3
2+t/3
3+213
El
proceso
utilizado
en las situacionesdescritas
hasta
el
momento
(tanto
la suma como
para
la resta) se apoyaba en el
hecho
de sumar
y
restar
unitarias;
el nivel de manejo de símbolos se dirigía
hacia
el
hecho
se sumaban los numeradores:
primeras
situacionesde esteestilo hay
que
ir
con
cuidado
al
represen-
las fracciones,
si éstas son representadas n
<unidadey
distintas,
ya
que
conducir a
error
Las
primeras
diflrcultadesaparecen
cuando
la
<unidad
de contar> es
en las dos fracciones.Si
el objetivo de
la
secuencia
e enseñanza s r
os procedimientosde los niños haciael procedimientodado por
de la
operación,
un camino
que
ha
probado
tener buenos
es el de la secuenciación
del
tipo
de fracción en las actividades
En las situaciones
en las
que
se nos
presentan
fracciones con
distinto
a idea
que
subyaceen los
procedimientos
utilizados
es buscar
fracciones escritasde tal
forma
que podamos
aplicar secuencias
es decir, buscar
fraccionescon el
mismo
denominador.
Esta
idea
el trabajo hecho con la equivalencia de
fracciones. En estos
se
deben utilizar los
pasos que
se sistematizaron
para
encontrar
en la sección 4.5
(buscar
múltiplos del
más
grande que
también seanmúltiplos del otro denominador).
Conviene ecordar
que
los algoritmos
para
a suma
y
restade fraccione
con denominadores
distintos
pertenecen
a
un nivel
poco
intuitivo. Est
hechohay que
tenerlo
presente
l secuenciaros
pasosque
debemos
ar
pa r
ayudar a los ni ños a
que
se rasladen esde a utilización
de sus
procedimien
tos
personales
a un
procedimiento
síntesis
general)
de
los
procedimiento
usados;o
incluso
a veces,
a secuencia e enseñanza
o único
que
debe hace
es
altanzar a
<regla>que
de forma incipiente han
empezadoa utili zar los
niños.
Todo
ello
hace
que
la
secuenciade enseñanza
pueda/deba
realizarseen
un nivel
simbólico, aunque independientemente
e esto, en algunos
casos
s
debe volver
a situaciones oncretas
para
evitar la
pérdida
de la
intuición.
Así, continuando
la sencuencia
propuesta
en relación
a la clase de frac-
ción considerada,
enemos:
1)
fracciones con
denominadores múltiplos
entre sí
213+316:
,213-116:
2) denominadoresrimos
ntre í,
215+312:
,312- l l3:
3) los denominadores
o
sonmúltiplos
ntre i,
216+314:
,314-216:
El procedimiento
en todos los
casos,
apoyados
en la
equivalencia
de
fracciones,
consiste
en
buscar denominadores
comunes.
Por ejemplo
en
el
caso
216 314
debemos ecalcar
os diferentes
procedimientos
que pueden
utllizar los niños.
A veces,es posible encontrar niños que utilizan procedimientosde cálculo
del mínimo
común múltiplo
(m.c.m.)
pueden
ser repetidores,
o
niños
cuyo
papá( )
e haya
enseñado,
o niños
que
hayan
llegado
a este
procedimiento
por
sí
mismos...).
La idea
siempre
es intentar
llegar a
procedimientos
más
sistemáticos.
Uno de estos
procedimientos los
niños
pueden
encontrar
otros)
puede
ser el descrito
en la sección
4.5
para
encontrar
fracciones
equivalentes
En
este último
caso sería:
-
hjarse
en el denominador
más
grande.
En
este caso 6;
-
calcular sus múltiplos
hasta
encontrar
uno
que
también
sea múltiplo
de
4,
6
x
1
:
6 no es múltiplo
de
4
6
x
2: 12siesmúl t ip lo
e4,ya
que4
x
3:12.
3 2 3+2 5
t_
8-8- s
-8
,k
,h
t4
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 73/85
En
estas
ituaciones,
veces,
abiendo
rabajado
reviamente
a
multipli-
se
puede
enfatizar
a
idea
de
elemento
neutro
para
el producto
a
siguiente
resentación,
De
todas
ormas
hay
que
enerclaro
que
estamos
rabajando
n
un
nivel
simbólico
de
relaciones
ntre
os
<objetos>
en
este
caso
racciones)
través
de
as nociones
e equivalencia
las operaciones.
En determinados
iveles,
s
necesario
aceruso
de
procedimientos
ás
generales,omo
el
mínimo
común
múltiplo,
ya
que
este
rocedimiento
sútil
ón estudios
osteriores
fracciones
olinómicas,...).
sto
nos
leva a
que
os
niños
deben
manejar
rocedimientos
ás ormales
factorizacióne
números
naturales,...),
o
que
determinaría
ue
la
conexión
entre
la
manipulación
concreta
de
diagramas)
los
pasos
el
algoritmo
secuestionará
incluso
se
rehusará
hacer
dicha
conexión.
como
vemos,
n un
último
nivel,el
manejodel
algoritmo
para a suma
y
resta
de
fracciones
xige
<efmanejo
de
procedimientos
ás
ormales>,
leja-
dos
ya
de
toda
intuición
concreta.
5.5.
LA MULTIPLICACION
DE FRACCIONES
El
primer
contacto
on la operación
e
multiplicar
vinculada
a las
frac-
ciones
pareció
l representar
a suma
de racciones
guales
númeronatural
por
fracción),
<Ana ecibe
lases
e Matemáticas
e
314 e
horadurante
inco
íasa
la
semana,
cuántas
oras e
Matemáticas
ecibe
la semana?>
314
314
314
314
314
:
5
veces i4
:
5x
31 4
y que
apoyada
en
la
idea de
fracciones
unitarias
se
obtenía
15 cuartos
o
también,
representado
como
número
mixto
2x2
4
6x2
12
9
n
) )
6"t:6x
33
¿
"
t :4x
2U4-314
2t/4:2+
na
unidad
3x3
4x 3
l l4 : t+ t+t l4
,z
2.3
4
9
4+9
¡- f- :- -L
64121212
Algunasveces' e.sugiere ue en los primeroscasosque se presenten,
una
manipulación
on
el material
ntentando
"on."iu,
los pasos
del
a
las
manipulaciones
el
material
concreto.
Así,
por
ejemplo,
uando
presentemos
ituaciones
on
números
mixtos,
a
e
necesita
enombrar
alguna
unidad
en
términos
de
fracción,
en
con
la resta.
Ante
esta
situación
Asnrocr
(19g3)
ugiere
ue
el
e
renombrar
a
unidad
iene
sentido
para
os
niáos
cuando
con
el
materialy
hacen
anotaciones
e as
manipulaciones
trans-
ue
realizan.
or
ejemplo,
t+414tt l4 :1
-l
.ry
+514:1514
.4+t
f-
4
a
resta
2
ll4 -
314
omaría
a
forma
2tl4
-
314: (r
+
sl4)
3/4:
t
+ 2t4:
: l+t l2:r t l2
3+314:3314.
14
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 74/85
éstas
eran representaciones
utilizadas
en la secuencia
de
enseñanza
desarrollaba os
conceptos niciales
de fracción.
En este
caso a aparición
producto
de
un número
natural
por
una fracción
seguía un
camino
En
este momento
contemplando
las operaciones
desde
una
perspectiva
podriamos
llegar a
pensar
que
mediante
a
propiedad
conmutativa
se
tener
la operación
fracción
x
número natural
de lo anterior.
Pero esta traslación, no es
del
todo válida,
ya que
responde a situaciones
<Ana
utilizó 314de una
docenade huevospara
realizar
un
pastel,
¿cuántos
huevos tilizó?>
<Ana
estuvo aminando urante7
cuartos e hora,
¿cuántos
inutos
estuvo
caminando?>
<Pedro
ecomió as
dos erceras
artes
e
os 18pasteles
ue
habia.
¿Cuán-
tos
pasteles
omió?>
En estas
situacionesse utiliza la
fracción
en su aspectooperador
(frente
a
de
medida
de las
otras situaciones):
además a transición
314de 12 a
314
x 12
es tan
inmediata
como
pueda
ser
5veces3/4 a 5x314
Todo
esto
hace
que
las situacionesque
indican
la multiplicación
de
una
por un número natural son algo más dificiles de resolver por los
(PrvNp,
1975).
Para intentar
superar alguna
de estas dilicultades
se
sugieren secuencias
que
sigue:
<Había
9 canicas,
Pedronecesitaba
l triple
de a
que
habia,3 veces
, 3
x
9
Pedro
necesitaba
l doble
de
as
que
había,2
veces
,
2
x
9
Pedro
necesitaba n terciode
as
que
habia,
1/3 de
9,
ll3 x
9
Pedro
necesitaba
os erciosde as
que
habia,2l3
de 9,213 x
9.>>
el tipo
de
números
y
de fraccionesse ayuda a realizar el
paso
(xr.
Asi,
a
través
de
situaciones
omo
as
descritas
nteriormente,
anto
para
elcasodenúmeronatura lxf racciónyparaeldefracciónxnúmero
natural,
se
ntenta
que
os
niños
se
den
cuenta
de
1o
común
en
cada
caso'
3
5*4:
)
lx9
J
)X J
2x9
J
es
decir,
que
se
multiplica
el
numerador
e
a
fracción
por
el
número
natural'
En
este
punto
se
ntenta
llegar
al
caso
general
de
fracción
por
fracción'
El
modelo
utilizado
no"nui-tnt'
en
l'a
enseñanza
s
el
modelo
área'
intentando
ser
una
ampliación
del
producto
de
números
naturales
para
determinar
l
área
de
un
rectángulo'
Si tenemos n rectángulo e dimensiones y 3 respectivamente
el
áreaviene
eterminada
por el
número
de
cuadrados
1
x
1
que
o
forman
(Evidentemente
ste
t¿"fi
o-bién
se
puede
aplicar
a
la
situaci6n
5
x 314
Utilizando
esta
deá
ur,
"ut"utur
ei
.área
e
un
rectángulo
uyas
dimen
Sionessean3lay215.Podemosconstruirunrectángulocomoelsig
El
área
del
rectángulo
es
3/4
x
x 1)
está
dividida
en
20
Partes'
Y
partes
de
las
veinte,
entonces
215,y
como
a
unidad
de
dimensione
nu.rt.o
rectángulo
stá
ormado
por
J
-X
4
26
s20
t
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 75/85
,El
qrg""9imi-ento
ara
racciones
mayores
ue
a
unidad,
números
mix-
i(e1 r¡o'
si hay
que
derermin
r
er
área
el
rectánguro'd'e
imensrones
z
2
1
En
esta
situación
a
unidad
está
dividida
en
6
partes.
Entonces, l rectán-con as dimensionesadasesraráormadopor
50 p;;r;'i;;go,
el
área
cincuenta
extos
5016):
|
2
3
31/3
2Ll2x3rl3:
5x10
50
25
:2"3:e:T
axb
cxd
510
23
de
ejercicios
divers_os,
e
ntenta
guiar
la
atención
de
os
niños
hacia
pasos
qu€
se
repiten,
o
cuales
"oniitui.án
tu
g.n.rutir*ián
na"iu
"t
Al
multiplicar
fracciones,
multipricamo,
o,
nu-.*áár",
y
to,
ab
-X-:
cd
Sin
embargo
el inconveniente
que
presenta
esta
ntroducción
es que elno representaun buen <<modeloO"
"o.pr"n.ián,
pu.u
fu
de
multiplicar
fracciones
ya
que
no
es
normal
encontrar
dicha
s
decir,
esta
ntroducción
o
",
unu
buena
<herramientu
oncep-
ntendiendo
sta
expresión
omo
que
el
modelo
átea
no
tiene
un
general
para
representar
<diversas
ituacion*
a"
-urtiplicar
frac-
xisten
pocas
aplicaciones
irectas
de
la
multiplicucián
,
fraccio-
que
se
puedan
rasladar
de
una
forma
naturar
alaidea
de
encontrar
el
multiplicando
longitudes
raccionaria.
si
sólo
utilizamos
esta
ntroducción
a
la
multiplicación
de
fracciones
os
on
las
dificultades
descritas
en
las prima,
,""aion.,
de
este
en
relación
a
la
desvinculación
ntre
er
manejo
del
argontmo
y
Ia
e
problemas.
Una
aproximación
alternativa
se
puede
plantear
con
la
interpretación
operador.
Esta
aproximación
a la
multiplicación
ha
sido
desarrollada
con
detalle
por
DInNrs,
en
sus
dos aspectos:
1) operador
sobre
un
estado
fraccionario,
y
2\
composición
de
dos
oPeradores,
tanto
en
contextos
discretos
como
continuos.
En
el caso
de
operador
fraccionario
sobre
un
estado
fraccionario
en
contextos
continuos
se
presentaría
a siguiente
situació
o
en una
sltuaclon
mas
31 4
213x Qla)
general
213
: 214
213
ll4
¿l ¿
rPx(213) :2112
Sin
embargo,
la
necesidad
de
vincular
la
multiplicación
de
fracciones
a
situaciones
próblemáticas,
nos
induce
a
buscar
aproximaciones
complemen-
tarias.
Es décir,
presentar
en
un
primer
momento
la operación
vinculada
a
problemas.
La otservación
de
<lo
que se
repite>
nos
llevará
a la
regla.
Lo
que hay
que tener
en cuenta
en
estos
momentos,
es
que,
generalment
en los piobl"-ui ltituu"iones
problemáticas)
en
los
que
(aparece)
la
opera-
ción
de
multiplicar
fraccionei,
las
fracciones
suelen tener un carácter d
operador
(ampliaciones
de
la operación
fracción
x
número
natural).
^
La representación
de
la
situación
mediante
diagramas
puede ayudar
a
mostrar
ü
situación
que describe
el
problema
con
ejemplos
del
tipo
<Quedaba
14
e
tarta
en
a nevera
me comí
os dos
ercios.
Qué
orció
de a
tarta
entera
me comí?>
@
14
2l12
213 e
Qla)
=
213
3la
r4
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 76/85
ndica
la
parte
de
tarta que
hemos
comido
en
relación
al total. <seis
lt .
En
estas
situaciones
os
niños pueden
<construir>
multitud
de
exprcsi.
indicar
el trozo
detarta
que
ha
comido
cada
uno,
si se
ha
seguirl,,
ellos
una
secuencia
de
enseñanza
como
la
señalada
en los
"upitrl.,,
cuyo
énfasis
estaba
colocado
en
las <producciones>
por
partc
rlt.
niños
de numerosas
expresiones
ara
describir
situaciones
diterminadus.
La
discusión
que
se
puede
plantear
cuando
se muestran
estas
distintirs
la
clase
entera por
parte
de
cada
niño
o
grupo
de niños, pueclc
a
que
se
superen
errores,
malas
interpretacionás,
se
admitan
com.,
expresiones
distintas
a las que
ha producido
uno
mismo.
El
proceso
de
ustificación
de
cada
expresión
asi
como
en
la explicaciórr
cada
niño
(o
grupos
de
niños)
del
proceso
que
se
ha
seguido parir
dicha
expresión,
ayudan
a
que
los
niños
amplíen
las
noÁnes
sobrc
y
operaciones
de fraccionesque poseenen un momento determi-
or
otro
lado,
la
aparición
de
la
expresión
'i
6lt2
epresentar
l final
del proceso
13x
3l4,junto
con
a realización
e
ctividades
e
este
estilo y
mediante
a
guía
del
profesor
debe
a los
niños
a la
reglageneral
algoritmo
de
a
muliiplicación).
ituaciones
eben
enir
complementadas
ediante
a
iropuesta
de
ue
conlleven
a multiplicación
e racciones
n
coniextos
iscre-
(utilicé
314
de
una
docena
e
huevos ara
hacer
res
artas.
cuántos
huevos
tiene
cada
tarta?>
¡
¡
lt r
D
ln
n
-
|
-
-
_*_
_"_ J
\-(3/4)
i " f
¡ D
¡
/--=-\
l . i t r
¡
D
rl
i ¡ lD
D
(r/3)
tl3
de
Ql\
:
1l3x3l4:3112.
314
e 12 huevos
9 huevos
l /3de9
huevos:3huevos
estas
situaciones,
como
vemos,
inducen
a
trasladarnos
al manejo
naturales.
ste
detalle
haceque
a
utilización
de
la multiplicá-
de fracciones
per
se)
sea
más
bien
un
procedimiento
e
uso
dudoso.
Peroatravésdeaquel lasquepermitanunaident i f icaciónmásclara
pro.*
áe
solución
á
tu
-uttlplicación
de
fracciones,
e
debe
seguir
a
sccuencia
escrita
nteriormente;
-
presentación
el
problema
situación);
-irabajos en
grupos
o
individualmente;
-
"*pori"ión
¿e
oi
procedimientos
de
as
posibles
oluciones
or
parte
de
os
niños;
-observaciones
sobre
os
procedimientos
ue conducen
la
tegla;
-
posible
generalización'
quenosl levaaqueelalgori tmodelamul t ip l icaciónseaunaregladecál
ürt
t"p*t..te
procediÑentos
ersonales
e
solución
a
los
problemas'
Finalmente,
na
vez
establecida
a
regla'
y
ya
en
un
plano
de
símbolos'
e
deben
proporcionar
actividades
cuentas)
ara
esquematizar'aÍtanzar
roce-
dimientos e cálculo utilizando ropiedadesomo a conmutativa, sociati-
nu"..)
qu. nos
ntroducirán
postérioimente
n
las
primeras
elaciones
lge-
braicas.
Hay
que tener
en
cuenta
que el
cálculo
con
los
números
mixtos
no
requieie
nu.uu,
destrezas,
iempre
cuando
no
existan
dificultades
n
re-
nombrar
os
números
mixtos
como
fracciones'
ue habia
sido
uno
de
los
ou¡"tluo,adesarrol larenlasecuenciadeenseñanzade|conceptoinic
fracciónal introducir lasfraccionesmayoresdelaunidad.Detodasfor
hay
que
ndicar
que algunas
nvestigaciones
PnvNn'
1975)
an
señalado
ue
prrlO"n
esultar
más
dificiles
a
los
niños'
En
un
plano simbólico
se
procedería'
rr l3x23ls:
:(1
+tl3)x(2+3ls):
: (313
rl3)
x
(10/s
3ls)
:
413
r3ls
-
5r l 15
-
¿'l
LJ'
5.ó.
LA
DIVISION
DE
FRACCIONES
La
operación
de
dividir
fracciones
corresponde
ya
-directamente
a
una
operación
de
sentido
algebraico.
Su
vinculación
a
procedimientos
o situacio-
nes
ntuitivas
es
tan
reáota
que
podemos
aceptar
que no.existen'
Hay
diversas
estrategias
para
presentar
ésta
operación'
pero
la
más
conociáa
es
a
que se
fundaménta
en
la
idea
de
fracciones
nversas.
15 1
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 77/85
La idea
de fracción
nversa
puede
ser desarrollada uandohablamos
e
cación. or ejemplo, i
consideramosomo unidad a
cuartilla,
a
parte
sombreada
on os tres
cuartosde la cuartilla.
si consideramos omo
unidad
cuartil la entera son los
413
de
la
unidad.
Como
vemos, a
de estosejercicios,basadosen la idea de relacionar una parte con
unidad Ltnavez identificada
la unidad,
corresponden
al tipo
de
ejercicios
al inicio de la secuencia
de enseñanzapara
el concepto
inicial
.i
Si multiplicamos
estas dos fracciones
que
aparecen,
3x 4
't
la
parte
sombreada,
]T
t2
_l
-
12- '
es a unidad.
Estas
racciones
se denominan fracciones
nversas.
Así,
al apoyar la
introducción
de la división
de fracciones
en la
idea
de
nversas se está
planteando
la idea
de operación inversa
de
la
es
decir,
relaciones e índole
algebraico).
De forma
general,
os
pasos
a desarrollar
en un
primer
momento
a través
numéricosserían:
La
divisióncomo
un factor
desconocido
de una multiplicación, incularía a multi-
plicacióny
la división.
34
-x-:
43
4x3
ac
;:
:
bd
a
t)
a
_X
b
a
;X
t)
o
_X
b
: ( r
" )"q,
"4)/
Dr;
: f r ( ;
d
c
4
c
d
c
2
: I "1
. ; * i : r
15
Es
decir,
rcalizar
la
división
es
lo
mismo
que reahzar
ac
b'd
a
E
d
X-
c
31 314
*
+ 'g:vg
Además
de
esta
presentación,
existen
otras
estrategias
para
llegar
a la
regla
de
la
división
(Asnlocr,
1983,
pág' 335)'
Pasos
Ideas
matemáticas
Una
fracción
e
puede
usar
para señalar
una división ndicada : b : alb'
Si
multiplicamos
numerador
y
denomi-
nador
por él
tnitttto
número
el
valor
de
la
fracción
no
cambia
a
:
b
*
314
811
Al
multiplicar
un
número
y
su
lnverso'
el
resultado
s
1'
ax( l la \ : l
El
dividir
por uno
no
modifica
nada'
Para
multiplicar
dos
fracciones
e
mul-
-
6
tiplican
os
numeradores
los
denomina-
dores.
axc
bx c
3x8
24
*-: -
4xl
4
De
todas
maneras
sta
segunda
proximación
la
división
de
fracciones
parece
er
que no
resulta
an
efectiva
omo
a
anterior
PevNn'
1975)'
En
estos
momentos
ay
que ener
en
cuenta
que a
división
de
raccioncs
se
undamenta
en
relaciones
lgebraicas:
-
la
división
como
operación
nversa
de
la
multiplicación'
o
-
- tu
-rrltiplicación
de
un
número
por su
nverso
es
a
unidad
Comohemosseñaladoencapí tu losanter iorespuedeserque,de
estecaráctera lgebraicoypocointu it ivodeladivis ióndefracciones
"u.trio""
el
maiejo
de
e,ie
algoritmo
en
a
enseñanza
rimaria'
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 78/85
De
todas
ormas,
y
Lrna
ez
establecida
a
regla (en
el nivel
que
sea)
ya
un
plano
de
manejo
de
símbolos,
al y
como
señalábamos
ara
er caso
de
multiplicación,
e pueden
proporcionar
actividades
ue
nos
ayuden
a
aftanzar
dicho
procedimiento
de
cálcul
.
Algunas
e
estas
ctividades
odrian
omar
a
forma
de
puzzles
del
ipo
os que
aparecen
n
revistas
i
pasatiempos
entretenimientos).
ostra-
a
continuación
lgunos
de
ellos
Fig.
5.2).
1:
/
\
en
esta
dirección
semultiplica
J¿Ó
-X-:-
52 0
en
esta
dirección
se
divide
q
3
n
66 3
- X l l : - ' -
-:
4
u
g'8
4
2:
las
elchas
pueden
\\
indicar
cualquiera
\
de
las
operaciones
Por
ejemplo:
2
t6
l2
_X
44
Frcune
5.2
15 5
6.
Errores
y
estimución
6.1. INTRODUCCION
Muchasveces l
proponer
a
los
estudiantes
na determinada
area
mate-
mática,nos encontramos on
que
la f orma de resolverla
or parte
de los
niños
no se ajustaa aquella
que
nosotros
habíamos sperado.
A veces , stos
rocedimientos
an
respuestasorrectas, unque
l camino
seguido
o seael
que
nosotros, esde na
mentalidad e adultos,
ensamos
sería
ógico. Creemos
ya
felizmentesuperada
a fase en
la
que
un
plantea-
mientono demasiado rtodoxo,en desacuerdo
on as normas
dictadas
or
el
profesor,
uponía n
rechazo e todo el trabajo
planteado
or
el alumno.
Otras,
por
el
contrario,el
proceso
el resultado
o son
os correctos,
tradicionalmente,
ste al lo es considerado omo un
error.
Hoy
día,
consideramos l estudiode estoserrores
como
un
parte
muy
importante en el desarrollo del
proceso
de enseñanza-aprendizaje,
a que
aceptamosa
idea
de
que
os niños combinan as nociones
uevas
ue
se es
presentan
n un
momentodeterminado n la escuela
on sus experiencias
previas.
A
partir
de esteestudio,
ntentamos veriguar
o
que
realmente
iensa
l
alumno,
buscando acarel máximo de
información
y
sin
trivializar
unos
indicadores
ue,
de alguna manera,nos
pueden
manifestar lgún
tipo clc
desajuste n
os
esquemas
onceptualesreados
or
el
niño al enfrentarsc
la situación
propuesta.
6.2.
EL PROCESO
NTERACTIVO
EN LA ENSEÑANZA
Y LA OBSERVACION
DE ERRORES
En el trabajo
que
sedesarrolla
n una clase
odemos
istinguir
distintas
formas
de recoger
nformación
or parte
del
profesor
Bnoussnnu,G.
t al',
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 79/85
un lado
podemos
bservar
los
estudiantes
n su trabajo
con el
(clase
ntera),
equeño
rupo (seis
ocho alumno)
e individual-
pretende
ue
a información
eaauténtica, ay
que
procurar
que
os
estén n
un ambiente
e clase elajado,
in
que
estén gobiados
or
la
e obtener
una mala
nota o,
simplemente,
quedar
mab.
Hay
trasmitirles
a
sensación e
que,
de alguna manera,
el
profesor
y
sus
uieren
aprender lgo
de é1.
una dificultad
que
tiene
el
profesor
para
realizar
esta
(ta-
presión
del tiempo.Normalmente
e
siente gobiado
or
la
canti-
que
debe
proporcionar
y
minimiza
a importancia
de
la
e este
ipo de nformación.
observaciones
omadas
por
el
profesor
en relación
al
desarrollo
del
de os niños,
levana
precisar ue
hay
unoserrores
ue
aparecen
n
alumnosen forma aleatoria,por descuido, istracción, tc. y otros seque,
simplemente,
l
alumnono sabe
a respuesta
orrecta
propone
l
azar.
otros ipos
de errores
ebidos bien
a la existencia
e defectos
n a
del concepto
o a la
aplicación
sistemática
e
proced'imientos
procedimientos
tilizados
or
los niños
pueden
erdebidos
elaboración
e métodos
personales
lternativos
los
enseñados
or
el
o a la modificación
u olvido
de algún
paso
de un
algoritmo enseñado.
continuación
algunosejemplos
de este ipo de
errores
que
er ácilmente
dentificados
n el trabajocon as racciones
or
parte
niños.
1. Aquellos
alumnos
en los
que
se ha
potenciado
mucho
la inter-
parte-todo
de las fracciones, partir
de diagramas,
ueden
ener dificulta-
15 omo
un número
comprendido
ntre
0
y
1,
o como a
división
5 en una situaciónde reparto,presentándosen problemaconceptual n a
de
las
distintas
nterpretaciones
e la fracción.
del modelo RectaNumérica
puede
servir
para
ayudar
al
integrar as
distintas
nterpretaciones.
.
Un niño resuelve
a tarea
J+
'+
l5'
El
niño
probablemente
gnora
el signihcado
e os
símbolos
ue
se
e
presen
tan,
y
rJsuelve
a operacón
tilizando
el esquema
ditivo
de os
naturales.
La introducción
de
los
números
mixtos
desde
un
primer momento
en
contextos
oncretos
omo
se
ha estado
eñalando
n el
capítulo
4' ayuda
a
evitar/superar
ste
ipo de
problemas.
Ernuplo
3.
Un
niño
resta racciones
el modo
siguiente:
L^-L=L-
- :
L
T-e-6-
6-6
+
+=#
,
- i . -__L-_-L)L
7'r+l++
Es
probable
que
a este
niño
alguien
le
haya
enseñado
a
tegla
par
reducir
fracciones
a
un común
denominador
mediante
el uso
del
mínimo
común
múltiplo.
El
niño
lo calcula
correctamente
ero
no altera
os numera
dores
(ha
olvidado/modificado
algún
paso
del algoritmo
enseñado)'
Esto
puede
ser
debido
a una
aproximación
demasiado
ápida
al
cálcul
algorítmiio,
o
que
ha convertido
el
manejo
de
los
pasos
del
algoritmo
e
algo
sin
sentidoldesconectado
e la
idea
de equivalencia
de fracciones).
L
7
7
70
¿-
70
)
5
+
E¡rupro
4. Un
alumno
procede
de
a siguiente
manera:
111284
-
a
-: -
¿3E5Sq
?,
1
_<_a
5¿
2 to
s1
t{
|L l
2j12
Gt8
t -=-
7?
?
lo
)?'
?q?
Este
niño
ha
construido
un
algontmo
erróneo
y
bastante
omplicado
ar
Sumar
racciones
e
distinto
denominador,
ue
consiste
n
poner
un
denom
nador
común
igual
a la suma
de
los
denominadores
sustituir
os
numer
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 80/85
de
cada
racción
por
el
producto
del
denominador
y
numerador
de
la
una
vez
reducidos
a
común
denominador,
os
suma
correctamente.
de
una
mezcla-alteración
e
pasos
dei
algoritmo
;al
aprendi-
que
han
dado
lugar
a un
procedimiénto
sistemático
ropio)
(AsHrocx,
Para
ftnalizar
es mportante
señalarque
en
estas
ituaciones
l
niño
cree
o
que
está
haciendo
es correcto.
El
único
modo
de
corregir
este
ipo
de
es
provocarles
un
conflicto,
por
ejemplo,
por
medio
de la
visualiza_
ntentando
que
el
niño
se
dé
cuénta
áe
ú coniradicción
que
existe
entre
odo
de
actuar
y
el
que
e muestra
a
realidad.
ERRORES
EN
LAS
FRACCIONES
Aunquecon las fracciones e presentanodos os tipos de erroresque
señalado
anteriormente,
una
gran
parte
de
ros
eriores
que
los
niños
al trabajar
con
fracciones
ienen
su
origen
en
la
similaridad
oue-
en
el lenguaje
como
en la
simborogía,
presentan
"o'
lorhri-.'r*
Por
un
lado,
as
racciones
e
nombran
utilizando
nombres
guales
parecidos
los
que
ya
les
son
amiliares
en
el
contexto
de
os
números
así,
por
ejemplo,
se
dice
(un
cuarto),
<<dos
uintos),
etc.
otro
lado, y
esto
es
lo
más
grave,
los
símbólos
de
los
números
se
utilizan
también
para
as
fracciones
ñadiendo
simplemente
na
horizontal.
El
niño
tiene
experiencia
on
los
números
naiurales
y
esto
una
tendencia
a ver
las
fracciones
omo
un
conjunto
de
dos
núme-
eparados
gr
ra
rayita.
La
consecuenói"
".
que
trata
de
sus
conocimientos
e
cálculo
óon
os
números
aturales,'ilara
o
cual
a las
fracciones
as,reglas
algoritmos
de
aquéllos.
Esió
constituye
algunos
autores
han
denominadó
<efecto
e
distracción
de
os
núme-
que el conocimientode los númerosnaturales
ejerce
en
el
de
aprendizaje
de las
fracciones
se
manifiesta
en
otrós
muchos
s
dificil
para
el
niño
entenderque
el
producto
de
dos
fracciones
ser
menor que
cualquiera
de
ellas,
afcontririo
de o
que
sucede
n
os
naturales.
como
lo
que
él
tiene
asimilado
son
los^
ttorii-o,
.on
números
a menudo
trata
de
forzar
los
algoritmos
"on
iru""iorr",
d"
el
resultado
se
ajuste
a lo
que
le
dióta
su intuición.
esumen,
l
paso
de los
númeroJ
naturales
a los
fraccionarios
no
es
los
niños.
presenta
dificultades
anto
conceptuales
omo
algorítmi_
l
profesor
debe
estar
pendiente
de
la
evolución
de
los
errores
de
los
y
huir
de
la
tentación
de
creerque
con
la
simplepráctica
refetitiva
se
subsanando.
6.4.
ALGUNOS
EJEMPLOS
TIPICOS
DE ERRORES
CON
FRACCIONES
A continuación
presentamos
lgunoserrores
ípicos,discutimos
su
origen
y
hacemos
ugerencias
ara
su solución.
Su análisis
uidadoso reemos
ue
permitirá
al lector enfrentarse
ajo
otra
perspectiva los errorescometidos
por
susalumnos.
6.4.1,
Errores
en a
nociónde
equivalencia
e
fracciones
E¡sr{prO
1. A veces
ngs encgntramos
COn
a siguiente
respuesta ante una
tarea
de búsqueda
de fracciones
equivalentes.
L=-L:
a
5
41
11
Aquí se refleja una
situación
en a
que
a fracción se considera
omo un
par
de números
naturales
que
no están
relacionados
ntre sí.
La respuesta
está basadaen
el reconocimiento
e
un modelo aditivo
en
los numeradores
(sumar
seis)
que
se raslada
a los denominadores.
Algunas nvestigaciones
an mostrado ambién
que
os niños
presentan
problemas
nte
a
transitividad
el signo
gual.Así, Hmr
(1981)
eñala
ue
ante una expresión
del tipo
los alumnos ienen
mayor dilicultad
en calcular
n,
yu
que
una
vez calcula-
do el valor 8
para
el numerador
de la segunda
racción comparan
8ll2 con
I4lJ,lo
que
resulta
más dificil
que
hacerlo con 213.
El no utilizar
213
:
14/tr
puede
ser debido a
que
sólo se
ijan en a
igualdad de las dos
últimas
fracciones.
Estos resultados
deben ser
tenidos
en cuenta
al
plantear
nues-
tras
actividades.
a visualización
puede
ugar
aquí también
un
importante
papel.
o
t2
.,
I4
n
r59
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 81/85
lL
6
3
q
L
3
4
3
¿
(,
vista, parece
ue
no.existe
ninguna
ógica
en estos esultados. inun análisismás detanado ou"írru que
el
niño
ha
elaborado
una
que
para
simprificar
raccioner
;;;;;"
cada
número
naturar
otro
más
,"..":..1'",
osasa
"
;;,;;
sno,
res
obsérvese
además
que
su
regra
e
dá
un
,erultado
correcto
en
bastantes
Asurocr,
19g6).
que
hay.que
hacer
antes
de
niciar
el
proceso
de
corrección
es
si
er
niño
iiene
clara
ru
,,o"iol'¿"
rru""ion.-s¡-rrl-ú"iunirru,
",
que
a
enseñanza_deberá
."on,"""ui-ies¿e
ahi.
Si
ra
tiene,
as
activida_
realizar
serán
del
tipo
¿.
rur
¿ir-"J¿],
"n
el
apartado
4.5.
Errores
en
la
adición
y
sustración
e
fracciones
=a
3
tti#i"?r';".y,lrT#
que
e
epide
ue
implifique
na
erie
e
racciones
scribe
1. Consideremos hora as respuestas
6
.11
_4
3
2
l
4?t i
- : -
257
l rz
-+_
3
s6
4l
-=b
36
2
3.
6
t
7
)
a
l-
cl
J
.l
z
161
Estas respuetas
orresponden
a uno
de los errores más comunes
a
la
adición de
fracciones
que
consisteen
que
el niño suma
ndependientement
los numeradores
y
denominadores.
Un error análogo se
presenta
en la
sustracción.El origen del error
puede
estar en
la
similaridad
de notaciones
que
existenentre as
fracciones los
númerosnaturales
llevandonle
al
uso
de
procedimientos
aditivos
con los naturales) al
y
como
hemos ndicado
anteriormente,
ero
también
puede
estaren
que
al
niño se e ha
explicado
ya
el algoritmo de la multiplicación
y
está meclando
ambos
algoritmos.
En
este
segundo caso, no es conveniente
que
el niño
practique
con
exclusividaduno de los dos algoritmos,sino
que
debehacerlo con los dos a
la vez
(Asnlocn,
1986).
Si las
observacionesecogidas os levan a apreciar
que
las dificultadesestán
asociadas la
idea
de suma de
fracciones,
ebe
pasar
a
realizar actividades omo las sugeridas n el apartado 5.4.
E¡nupro 2. Otro caso es el
que presentamos
n
la siguiente
ituación:
54
2
?. i
_
2
3
__É_
6_
+=
31
' )
5
\ -5
-5
2
2
Aquí se
están
considerando
por
separado os números
naturales
y
las
fracciones.
El
número
mixto no se consideracomo
un
todo,
y
se
resta
por
separado, o teniendoen cuentaen el casode
las fracciones i el minuendo
es
o no
mayor
del
sustraendo.Si hay una sola fracción, simplementese
coloca.
En estecasoseríaconveniente
roponer
al
niño
que
explicase l
por qué
de
sus
procedimientos.
e sus espuestas ebemos
ntentar deducir si es
que
le faltan
los requisitos básicos
para
abordar
la tarea
(como puede
ser
la
sustracción
e
os números
naturales)
que
a notacióndel número
mixto
no
estábien
adquirida. En esteúltimo
caso,se deberíahacerhincapiéen las
actividades
señaladas
ara
la
introducción
de
la
notación
de los números
mixtos.
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 82/85
Errores
en la
multiplicación
y
la
división
E¡¡upro
1.
un
error
bastante
omún
es realizar
a
murtiplicación
de fraccioncs
modo
siguiente,
21q
3
f i ,
-3 -
3
26
6
6
3
I
( , .5
3-
f,,-
5
¿t010
3o
10
se
observa,
as
racciones
e
educen
común
denominador
luego
se
os
numeradores.
ste
error proviene,
n
muchos
"uro'r,
d.
unu
de
los
algoritmos
de
la
adición
y
A,
U multiplicación.
-
La
introducción
emprana
ar
manejo
de
ros
algoritmos
da
lugar
a
la
"mbos,
produciendo
un
prócedimientode
cálculo
sin
ntng,in
1?
Ll tf
-2 ,3 .á
31
r j=a
6
2.
Sea
ahora
de
esta
manera:
un
niño que
multiplica
un
número
natural
por
una
3^6
-X
J=-
t{ t
l
niño
ha
aprendido
que
para
multiplicar
fracciones
ay
multiplicar
los
numeradores
los
denominadores
resuelvs
el
caso
en
uno
de
los
dos
factores
es
un
número
natural
utiliiándolo
como
factor
ambos.
puede
ser que
esté
utilizando
un
método
que
se
e
ha
enseñado
construir
fracciones
equivalentes
multiplicar
numerador
y
denomina-
or
un
mismo
número).
Esto
nos
indica
lo
que les
sucede
algunos
niños
que mantienen
un
conflicto
ante
a
idea de
qo.
pu.u
obtener
racciones
quivalentes
multiplican
por un
<<número>>
u-".udoi
y
denominador
de
la
fracción
pudiéndolas
er
ul
-ir*o
tiempo
como
una
mútiplo
de
la otra,
al
trasladar
un
esquema
válido
en
los
naturales'
Realmente
oder concebir
a
multiplicación
de
una
fracción
por 1' expre-
sando
éste
en
fbrma
fraccionaria
ala),tiene
una
dificultad
mayor
de
lo
que
puede
parecera simPle
vista.
E¡nupro
3.
Una
secuencia
ípica
de error
con
la división
de
fracciones
s
t { .2=2 L= ,+
q33(61
2
?
{
5
7
-
1
2 . ' , t , -
2
- . -
5'2
2
I
2
2
6
t
z
El
procedimiento
que
se
está
aplicando
para obtener
estos
resultado
consistl
en
dividir
separadamente
os
numeradores
y
los
denominadore
ignorando
os
posiblei
restos
que
se
obtengan
si
la división
no
es
exacta.
Este
error
tiene
su
origen
o bien
en
una
confusión
con
el
algoritmo
de
a
multiplicación
o bien
en-la
influencia
de
los
números
naturales,
epetida-
mente
citada.
Porotrolado,convienenotarqueelprocedimientodaelresul tad
correcto
con
alguna
recuencia
que,
por
tanto
su
utilización
puede haber
sido
reforzada
or
los
ejercicios
ué
el
alumno
ha visto
hacer
como
ejemplos
Una
propiedad
curiosa
de
este
modo
de
operar
es
que
-puede
legar
a
resultadoi
a-bsurdos,
ales
como
fracciones
con
cero
en
el
denominado
(Asnr,ocr,
1986).
Puede
ser
conveniente
n
este
caso
provocar
el
conflicto
poniéndoíe
situaciones
en
las
que el
resultado
de
la
operación
no
teng
sentido.
Conestosejemploshemosqueridomostraralgunosdeloserror
cometen
os
niños
ál
trabajar
con
las
fracciones.
speramos
ue
sirvan
par
ayudarnos
a
considerar
qúe los
ejercicios
ealizados
por
los
niños
no deb
sér
sólo
utilizados
para evaluarlos,
sino
que
deben
ser
usados
para
que el
prof..or,
mediante
a
observación
ontinuada
del
trabajo
de
sus
alumnos
s
16
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 83/85
cuenta
de
que
ros.procedimientos
que
utilizan
para
rearizar
as
tareas
pueden
estar
rejos
der procedimi"nto
o"rrreñ";;;;"
necesidad
considerar
el
aprendizuj"
"o-o-utt
fio".ro
personal
y
(constructivo>
se
manifiesta
al <<descubrir>
os pro".di-i.otór
p.r.oni"r-ár'lo,
ni¡or.
a
<<observación>
ra
indagación
continuadu
¿"
lu,
"rtiutegias
de
ros
constituyen
un
instrumenio
',uy
u"tio.o
para
efectuar
una
tarea
de
roporcionando
entre
otru,
lor"r,
un
modo
de
discernir
entre
ros
que
utilizan
un
procedimiento
ncorrecto
de
ros
que
simpremente
o
ómo
hacerlo
y
contestan
al
azar)o
tienen
errores
conceptuales.
sto,
ener,
posteriormente
mplicacionm
á
u
hora
de
realizarlos
diseños
e
ESTIMACION
concluir esteribro sin hablar
de
la
estimación
y
de
las
que
puede
reportar
su
utilización
ar
trabajar
con
fracciones.
es
fácil
dar
una
definición
de
lo que
se
entiende
por
estimación.
decir que
se
rata
de
dar
una
respuesta
numérica)
que
estflpróxi-
respuesta
xacta.
Ahora
bien,
el
significado
de
<próximo>r
epende
en que
se
plantea
a
p.ejunta,
e
incluso
de
a propia
respuesta.
aclararlo,
onsideiremos
l
rig;"nt.L¡r_pto.
r--r--
ue
en
un
supermercado
r"-ó,
ido
cogiendo
artícuros
de
or
un
varor
exacto
ae
zilnpesetas.
N"riii"i
""urarmente
ste
varor,
pero
¿"reu-or-
hacer
una
estimación
mientras
hacia
a
caja.
un
valor
estimaáo
de
25.000
;;.,^
ñ.ía
consi_
en
general
co11bu1no,
u
no
,"ilu"
t,ruiere_ir-s¿l;,.;;,
ejemplo
esetas
n
er
borsillo.
En
este
aso-es'claro
ue
necesitamos
acer
una
más próxima
si
no qu"r"-o,
u..no,
en
dificultades
a
la
hora
de
ituaciones
omo as anteriores ran as quecasisiem-asociabana ra idea de
estimar.
Sin
embargo,
en
ros
últimos
años
que.
e
han prodrrcido
algunos
ntentos
para
introducir
la
estimación
currícula
de
unafo*u
-L
u.priu.
iur
razones
ara
ello
son
variadas
an
desde
as
necesidaáes
e
u
ui¿u
*tüi"""
l"rg"üo,
n"n
"n
defensa
rente
a,.ra
rapidez
";;;;r
ras
carculadoras
fectúan
as
asta
su
utilidad
p^ra
rcforrar
conceptos
algoritmos
en
Ios
bien,
hay que
señalar
que
ra
enseñ
nza
dela
estimación
es
dificil,
y
ierta
resistencia
n
roi
niños.
Es
ácil
*.prái"iqr.
si-a
on
nino
que
realice
una
estimació1
de
urgo
q""
sabi
carcular
exactamente,
hará
el
cálculo
y
a
partir
¿e
él
dáá
una
estimación.
o
es
esté
el
lugar
para
desarro'ar
aspectos
enerales
e
la estimación.
Pero
queremos
eñalar
que
no
es un tema
que
deba
enseñarse
aisladamente,
ino
que
debe desarrollarse
e un
modo continuo
a lo
largo
del estudio
de las
Matemáticas.
Centrándonos
en las fracciones,
onsideremos
n
primer
lugar
la
propia
estimación
del
<<tamaño>>e una
fracción
dada.
Para
poder
estimar algo
es
necesario
ercapaz
de considerarlo
omo
una unidad,
como
un
<todo>'
Sólo
en este
caso
endrá sentido
hablar
de su
<<tamaño>>.sto
requieredade un
significadoconjunto
a los símbolos
que
aparecen:
l numerador,
el denomi-
nador
y
la rayita
horizontal. Se
rata
de ver a
fracción como
una entidad
en
sí
misma.
¿Cómo
se
puede
ayudar
a los niños
a desarrollar
a idea de
<tamaño>>e
una
fracción?
Esta
podría
ser la
pregunta
clave.
Una
actividad
que podría
ayudar
a
respondera esta
cuestión
sería
a de
pedir
a
los niños
que
constru-
yan
una fracción
an
próxima
a
1 como
sea
posible
pero
menor
que
él
mismo
(BnHn, t al.,1986).
Podemos
omenzar
pidiéndole
al niño
qu€ proponga
una
fracción cerca-
na ala unidad.
Supongamos
que
la respuesta
es 517'
A
continuación
le
pedimos
que
dé una
fracción
más cerca
de a unidad
que
a anterior.
La idea
es
intentar
que
observe
que puede
hacerlo
aumentando
el numerador
y
proponer
consecuentemente
7
La tareaes
más dificil
cuando
e volvemos
a
pedir
otra fracción
a
partir
de ésta,
más
próxima
a la
unidad
pero
menor
que
ella. Un
alumno con
una
comprensión
suficiente
deberá ser
capaz
de razonar
que
aumentando
el
numerador
y
el denominador
en una unidad
obtiene
718,
que
es mayor
que
617,
pero
menor
que
uno.
Evidentemente
stasactividades
se
pueden
modilicar cambiando
el nú-
mero al
que
pedimosque
los niños se
aproximen
con las
fracciones'
Otro tipo de
actividad
podría
ser as
que
requierancomparar
dos
raccio-
nes
dadas.
En ellasalgunos
niños
elaboranestrategias
ersonales
ue
consis-
ten
en utilizar
otra fracción
como
punto
de
referencia
ara
realizar
a compa-
ración, o realizanmentamente iertosalgoritmos.
Actividades
que potencien
destrezas
de estimación
en situaciones
de
.suma
pueden
ser as
que
ante una seriede
cinco
o seisnúmeros
naturalesse
pida
a los
niños
que
formen dos
fracciones uya
suma esté
o más cercana
posible
a un
número dado
(este
número
dado
estaría en función de
los
númerosnaturales
ue
se
e
proporcionan
los
niños en
primer
ugar).
Una
modificación
de la tarea anterior
consistiría
en
que
los niños
pro-
porcionen
os
racciones
uyasuma
esté o
más
cercana
osible
un número
dado
pero
sin
proporcionarles
e
antemano
ningún conjunto
de números
naturales
para que
formen as fracciones.
Evidentemente
l
valor de estas
areas stá
no tanto en
a respuesta
ue
puedan
proporcionar
os niños
como en las
oportunidades
ue
se es den
para que
puedan
verbalizar
as estrategias
tilizadas
ara
dar la respuesta.
16 5
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 84/85
e
as
distintas
estrategias
mpleadas
or
varios
niñosy
la
entrada
en
cuál
es a idónea
en
cada
caso
puede,
or
una
parte,
al
profesor
a
darse
cuenta
de
cuál
es
el nivei
de conocimiento
en
a
las racciones
a las
operaciones
on
ellas
que
ienen
sus
alumnos.
otra
parte
ayuda
a los-niños
ser
conscientes
e
sus
propias
estrategias
que
as
reafirmen
o las
modifiquen
en
cada situación
párticular.
aquí
a insistir
en a
necesidad
e
trasladar
a
atención
sobre
as
mpleadas
su
justificación
por
parte
de los
niños
frente
a la
e
as respuestas
ólo
como
correctas
incorretas.
operaciones
omo
a multiplicación
con
el mismo
objetivo
eseña-
las
actividades
anteriores,
wooncocr (19g6)
ha
propuesto
o
si-
e
le
da al niño
una igura geométrica,
or
ejemplo
un
rectánguloy
pide
que
dibuje
ectángulos
ue
sean
ll0,
rl2,3la y
9lr0
del
rectánguló
planteándose
na
serie
e
preguntas
ara
hacerles
eflexionar
obre
han
realizado.
preguntassereferirána la comparacióndel tamaño de los rectán-
a ordenarles
e mayor
a menor
y
cómo podrán
saber
i
el rectángulo
tienen
que
pintar
era mucho
menor
o sólo un
poco
menor qué
el
a+
una
segunda
parte
s€ utiliza
la
experiencia
adquirida
para
calcular
de fracciones,
idiéndoles,
or
ejemplo,
ue
estimen
uál
será
el
aproximado
al
determinar
a fracción
de una
cantidad:
siendo
esta
al
principio
un número
natural para
luego
pasar
a fracciones
en
como
las de estimar
el
resultado
de 1/10 por
Il3,
ll2
por
113,...
ambiénpreguntas
el
mismo
ipo
de ai
anteriores.
terminar, queremos
esaltarque
una
de las
ventajas
de
presentar
a
actividades
de estimar
tanto
el <tamaño>>
e
la fracción
como
el
e
as
operaciones
on
racciones
s
que
es
ayuda
a
profundizar
n
concepto
e
racción
de
as operaciones.
e
hecho,
a
asimilación
concepto
y
el
desarrollo
de a habilidad
de estimar
son
procesos
ue
paralelamente,
poyándose
no
en
el otro.
t67
REF'ERENCIAS
Arue,
Grupo
de
EGB:
<Estudio
metodológico
el
número
raccionario
exto
nivél
de
EGB>'
en
Epsilón,
diciembre,
1984,
págs.
3--24t.
. ..
-
nsnr-'oór,
É. B.
y
otroi:
e"¡f,üriri
énild's
Learning
of
M-athematics:
,Diagnostic
Approach
to
Instruction
Charles
E. Merril
Publishing
Companv:
Londres'
lÚJl'
-.
f,¡¡6¡
patterns
n Computation.
semiprogrammeá
pproach
CharlesE'
Merril
Publis-
hine
Cop.
London)
(1986,
ercera
edición)'
íonal
Skitts,
snc[Mi", ,{. C.:o,lnuíyring bhildten" Work Procedures>>,n Detleloiting-9? l * t
'
iltJ".,M.N.,
y n.y,'n.E. Ed.), e78 earbook|SJM; Rt: "1yLt
1?79):
geH&
"M.
J.i
LesH,
f .;
po'st
i.,
V
bri"i*.
e. A.:
<Rational-Number
Concepts>
n
Acquisition
f
Mathematics
oncepts
an-d'Frirrrser,
Lesh,
R.,
y
Landau,
M.
(Ed.)
Academic
Press,
Nueva
York,
1983).
S'HR,
t
{. J.;
íosr,
T.
R.,
y
WlcHsuurn,
I.:
<Estimation
and
Children's
Concept
of Rational
---ñmber'Size>,'en
Es'timation
nd
Meital
computurion,"shoen,
.
L.,y
Zweng,
M.
J.
(Ed.),
1986
Yearbook
(NCTM' Reston,
VA,
1986)'
snHR,
M-
L.;
wlcHsruur",
i,
i
pósr,
T.
R.í
<<Construct
sum:
A
Measure
of
children's
----iináirstair¿ing
of
Fraction
ó¿"u,
"n
Journal
or
Research
n Mathematics
Education,
16,
1985,
ágs.
120-131.
Srri,
ll íVió**"tor,
J.,
y
KücnnrrllNN,
D.: Researeh
n
Learning
and
Teaching
NFER-
NELSON,
Londres,
983)'
S*;"ñi,'y
B*o""",
f.,
íf""chers'
Cognitive
Activities>,
en
Perspectiues
n
Mathematical
- -nA""át¡oi,'Christianse,
B. et
al.
(Ed.)
Dordrecht,
Reidel'
1986)'
s*ou;ui",
ó.;
Dtug
R.
B.,
y
Wenr'ren,'T.:
Observing
tudents.
t
lg+',t' .T^i,'^pectiDe
on
Malhematical
Education,
Christiansen,
B. et
al'
(Ed')
(Dordrecht' Keldel'
-19óo''
Coxronn,
A.,
y
Er,unanuós,
i.r
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en
Mathematics
Learning
n Early
ChilhoodPiyne
Ed.)
NCTM, Reston
Va,-1975).
otc*ió",
i.; Sio*",
r"f.
iCi"-b",
O.'
Children'Learning
Mathematics
CassellEducation,
Londres,
1984).
DrcNns,
. P.:
Fracciones
Teide,Barcelona,
|972}
D6;il.;W" t fr¡CioNe,'n. ñ.é nVt"tttemáti"sai a SchoolSqbj99t1, n P-erspectioen
Mathe'
--
i-ot¡ít
Eáication,Chiistiansen,
B' et
al.
(Ed.)
Dordrecht'
Reidel'
1983)'
^
gr,r,E""RucH,
.
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Séquence
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Initial
Fraction
Concepts
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E.
(Ed.)
NCTM,
Reston
VA,
1978).
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y
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Etapa.
Tercera
Edición
(Ed.
Escuela
Española,
Madrid,
1972).
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pr;i;anas'Renouados
de
Educación
reescolar
c.
/.
(EscuelaE¡qa1o]a-,
Madrid,
1981).
lr;'grr;^
iinoondos
de
EGB.
Ciclo
Medio.
(Éscuela
Española,
Madrid,
1981).
fr",'f.'i.i,fuf"ift"rnatics
Educatióo
Research
n Cürriculum
and
Instruction>>,
n
Research
n
'Marhematics
Education,
NCTM
(NCTM,
Reston
VA,
1980)'
fn;N;"Nr;ti,
H.:
MathLmatics
i an
Edu,cational
asft
(Reidel Dordrecht'
1973).
-.
Didactical
phenomenilisy
of
Mathematical
Structures
Reidel,
Dordrecht,
1983).
Grrnño,
C.i Aritmérica
,;;';rirL;;t
in
color.
Lhro
V. Fracciones
ordinarias
y decimales'
Porcentajes
Cuisinaire
de
España,
Madrid'
1967)'
Oo"t*",
fri., Catorce
charlas
óbre
os
números
n color
(CuisinaireEspaña,
964)'
8/10/2019 4-FRACCIONES
http://slidepdf.com/reader/full/4-fracciones 85/85
