4º de E.S.O. Matemáticas B...4º de E.S.O. Matemáticas B Departamento de Matemáticas. I..S....

4º de E.S.O. Matemáticas B

Departamento de Matemáticas. I.E.S. “Fuente Lucena”. Alhaurín el Grande 1

TRIGONOMETRÍA

SEMEJANZAS

1. Figuras semejantes

2. Razón de dos segmentos

3. Segmentos proporcionales

4. Teorema de Thales

5. Aplicación del teorema de Thales

6. Triángulos semejantes

7. Criterios de semejanza de triángulos

8. Perímetros de figuras semejantes

9. Areas de figuras semejantes

10. Volumen de figuras semejantes

TRIGONOMETRIA

1. Razones trigonométricas

2. Unidades de medida de ángulos

3. Circunferencia goniométrica

4. Relación entre las razones trigonométricas de ángulos de distintos cuadrantes

5. Teorema del coseno

6. Teorema del seno

ANEXO I : RELACION DE EJERCICIOS

ANEXO II : RELACION DE EJERCICIOS RESUELTOS



SEMEJANZA

1. FIGURAS SEMEJANTES.

Son aquellas que tienen la misma forma aunque su tamaño puede ser distinto. Ejemplo un

piso y su plano, una fotocopia y su reducida, etc.

Observa que las figuras semejantes tienen sus LADOS PARALELOS y sus ÁNGULOS

IGUALES.

2. RAZON DE DOS SEGMENTOS.

Es el cociente que resulta al dividir las medidas de ambos segmentos.

Ejemplo:

Diremos que los segmentos y están en razón de 3 a 2.

3. SEGMENTOS PROPORCIONALES.

Dos segmentos son proporcionales a otros dos si sus razones coinciden.

Ejemplo:



La razón de a es:

La razón de a es:

4. TEOREMA DE THALES.

Thales de Mileto, uno de los sabios de la Grecia clásica, estableció 600 años antes de Cristo

el teorema que lleva su nombre y que todavía hoy tiene plena aplicación.

Demostración:

Sobre las rectas y se trazan rectas paralelas a igual distancia.

Consideremos los segmentos y . Como es la tercera parte de :

Si consideramos ahora la recta , vemos que es también la tercera parte de , es

decir:

Luego:

O, lo que es lo mismo:



Es decir y son segmentos proporcionales a y . De manera análoga podría

demostrarse para cualquier pareja de segmentos que eligiésemos. Luego en general:

El teorema de Thales puede enunciarse así:

El teorema de Thales es la base de las escalas que puedes ver al pié de mapas y planos, y con

él se pueden resolver problemas del tipo:

5. APLICACION DEL TEOREMA DE THALES.

Consideremos los

triángulos y

Del teorema de Thales se deduce que LOS TRES LADOS DE ESTOS TRIÁNGULOS

SON PROPORCIONALES, es decir:

Aunque no demostraremos esta conclusión, se ha deducido del teorema de Thales.

LOS SEGMENTOS INTERCEPTADOS POR UN CONJUNTO DE RECTAS

PARALELAS SOBRE DOS RECTAS CONCURRENTES ( y ) SON

PROPORCIONALES



Dos triángulos que estén en la misma posición que los de la figura diremos que están en

POSICION DE THALES.

y están en posición de

Thales.

Siempre que en un triángulo se trace una paralela a uno de sus lados, diremos que los

triángulos obtenidos están en posición de Thales.

La aplicación del teorema de Thales permite calcular alturas de lugares inaccesibles como

torres, edificios, etc.

6. TRIANGULOS SEMEJANTES.

Consideremos dos triángulos en posición de Thales.

y

Si trasladamos el quedarán:



Observa que responden a la definición de figuras semejantes dada en el apartado 1. Luego

dos triángulos en posición de Thales son semejantes y recíprocamente, dos triángulos

semejantes pueden ponerse en posición de Thales.

Por la aplicación del teorema de Thales sabemos que sus lados son proporcionales. Es decir:

A la razón que existe entre los lados de dos triángulos semejantes, se le llama RAZÓN

DE SEMEJANZA. Es decir, la razón de semejanza nos indica la proporcionalidad que

existe entre los lados de dos triángulos semejantes o de dos figuras semejantes en general.

Los triángulos semejantes, por tanto cumplen las siguientes condiciones:

Tienen sus lados paralelos.

Tienen sus ángulos iguales.

Tienen sus lados proporcionales.

7. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario comprobar todas las condiciones

anteriores. Es suficiente con algunas.

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para ser semejantes se llaman

criterios de semejanza. Veamos algunos:

Primer caso: Triángulos que tienen dos ángulos iguales.



Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales el tercer ángulo tiene que ser igual ya

que la suma de los tres ángulos debe ser 180º:

Y si tienen los tres ángulos iguales pueden ponerse en posición de Thales, luego son

semejantes.

Segundo caso: Triángulos que tienen los tres lados proporcionales.

Si tienen los tres lados proporcionales eso implica que tienen sus tres ángulos iguales (lo

puedes comprobar), por lo que podrán ponerse en posición de Thales. Es decir son

semejantes.



Tercer caso: Triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Pueden colocarse en posición de Thales luego son semejantes.

8. PERIMETROS DE FIGURAS SEMEJANTES.

Veamos la relación entre los perímetros de dos figuras semejantes.

Sabemos que sus lados tienen que ser proporcionales:

Por la propiedad fundamental de las fracciones:

(compruébalo con un ejemplo)

Si llamamos y a los perímetros de ambas figuras:

Luego:

9. ÁREAS DE FIGURAS SEMEJANTES.

Consideremos el caso particular de dos rectángulos semejantes:

LA RAZON DE SEMEJANZA ENTRE LOS PERIMETROS DE DOS

FIGURAS SEMEJANTES ES TAMBIÉN LA RAZON DE SEMEJANZA.



Este resultado se puede generalizar a cualquier par de figuras semejantes:

10. VOLUMEN DE FIGURAS SEMEJANTES.

Lo demostraremos para dos ortoedros.

LA RAZON ENTRE LOS VOLUMENES DE DOS FIGURAS SEMEJANTES

ES EL CUBO DE LA RAZON DE SEMEJANZA.

LA RAZON ENTRE LAS AREAS DE FIGURAS SEMEJANTES ES EL

CUADRADO DE LA RAZON DE SEMEJANZA.



TRIGONOMETRÍA

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

Las razones trigonométricas nos van a permitir relacionar entre sí los lados de un triángulo

rectángulo.

Sea un ángulo

Desde un punto de un lado trazaremos una recta perpendicular al otro lado, formándose así

un triángulo rectángulo ABC.

Definiremos sobre él las siguientes razones trigonométricas del ángulo :

Estas razones son independientes del triángulo elegido para definirlas. Es decir, si tomamos

otro triángulo rectángulo, por ser semejante al anterior, sus lados serían proporcionales,

luego las razones antes definidas permanecerían constantes.

1.1.Relación entre las razones trigonométricas.

a)

Se demuestra de forma inmediata, por la propia definición.

Fíjate en el apartado anterior.

b)

Ocurre igual que con la anterior relación.

c)

Igual que en los dos casos anteriores.

d)

En efecto, puedes comprobar que:



e)

Se demuestra de forma análoga al apartado d). Inténtalo tú.

f) . RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA.

Ya que, por el teorema de Pitágoras sabemos que

g)

Dividiendo la expresión del teorema fundamental de la trigonometría entre :

h)

Se demuestra de forma análoga a la anterior dividiendo todo entre . Intenta

demostrarlo.

1.2. Relación entre 'las razones trigonométricas de ángulos complementarios.

Ya sabemos que ángulos complementarios son aquellos que suman 90 grados, y que en todo

triángulo rectángulo sus ángulos agudos son complementarios, ya que han de sumar 90º

para que junto con el ángulo recto completen los 180° que suman los tres ángulos de todo

triángulo.

Sea el triángulo y consideremos los

ángulos y , que son complementarios

(su suma es 90º).

Según la definición dada anteriormente podemos escribir:



Como podemos observar:

1.3. Razones trigonométricas de ángulos usuales (30°, 45°, 60°)

1.3.1. Ángulos de 30°

Consideremos un triángulo equilátero de lado 1 (sus tres ángulos miden 60°).

Calculamos su altura:

(Por Pitágoras).



Si hubiésemos elegido un triángulo de lado distinto de 1, el resultado hubiera sido el

mismo, ya que como ya sabes, las razones trigonométricas no dependen del

triángulo elegido para definirlas.

1.3.2. Ángulos de 60°

1.3.3. Ángulos de 45º

Consideremos un cuadrado de lado 1 y calculemos su diagonal:

2. UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS.

Utilizaremos dos clases de unidades para medir ángulos:

2.1. Grados sexagesimales.

Son los que has utilizado hasta ahora. El grado sexagesimal se obtiene al dividir el

ángulo completo (360°) en 360 partes.

El grado se divide en 60 minutos:



El minuto se divide en 60 segundos:

2.2. Radianes

Diremos que un ángulo mide un radián si la longitud del arco que abarca es igual al

radio de la circunferencia.

Es decir, el ángulo α mide 1 radián si .

Veamos la equivalencia entre grados sexagesimales y radianes. Para ello vamos a

determinar los radianes de un ángulo completo.

Como la longitud de la circunferencia es , es decir, veces el radio, el ángulo

completo tiene veces un radián:

A partir de esta igualdad podemos pasar, mediante una proporción, cualquier ángulo

medido en grados a radianes y viceversa.

Veamos los grados de un radián:

3. CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICA.

Consideremos una circunferencia de radio unidad cuyo centro está situado en el origen de

un sistema de coordenadas cartesianas.

A esta circunferencia la llamaremos circunferencia

goniométrica.

Dado un ángulo cualquiera α, es interesante situarlo de

modo que su vértice coincida con el origen de

coordenadas y su primer lado coincida con la parte

positiva del eje de abscisas (X).



Por convenio, mediremos el ángulo partiendo del eje de abscisas (X). Así, si al recorrer el

ángulo lo hacemos en sentido contrario al de las agujas del reloj diremos que el ángulo es

positivo.

Es positivo

Y si al recorrer el ángulo, lo hacemos en el sentido de las agujas del reloj, diremos que el

ángulo es negativo.

Es negativo

0



Vamos a calcular las razones trigonométricas de un ángulo llevándolo a la circunferencia

goniométrica.

Consideremos el triángulo OPQ y sobre él

calcularemos las razones trigonométricas de α

(podemos hacerlo pues, como ya sabemos, las

razones no dependen del triángulo elegido para

definirlas).

Del triángulo OPQ obtenemos:

, es decir, el seno del ángulo coincide con la ordenada.

, es decir el coseno del ángulo coincide con la abscisa.

De lo anterior podemos concluir que en la circunferencia goniométrica, el seno y el coseno

de un ángulo coinciden con las coordenadas del punto de intersección del lado del

ángulo con la circunferencia.

Respecto a la tangente, como los triángulos OPQ y OST son semejantes:



La tangente coincide con la ordenada del punto S,

que es el punto donde corta el lado del ángulo a la

recta t.

La circunferencia goniométrica nos va a permitir calcular el signo de las distintas razones,

según el cuadrante en el que esté el ángulo.

Ángulos del primer cuadrante.

Son los ángulos menores de 90° ,

o lo que es igual:

Como las coordenadas x e y son positivas todas las

razones de los ángulos del primer cuadrante también

van a ser positivas, es decir:



Ángulos del segundo cuadrante.

Son los ángulos comprendidos entre 90° y 180º

, o lo que es igual:

Como la abscisa (x) es negativa y la ordenada (y) es

positiva, el seno va a ser positivo y el coseno y la

tangente negativos, es decir:

Ángulos del tercer cuadrante.


18 , o lo que es igual:

Como tanto la abscisa como la ordenada son negativas,

el seno y el coseno van a ser negativos y la tangente

positiva, es decir:



Ángulos del cuarto cuadrante.


27 , o lo que es igual:

En este caso la abscisa (x) es positiva y la ordenada (y)

negativa, por lo que seno y tangente son negativos y el

coseno positivo, es decir:

La circunferencia goniométrica nos va a permitir calcular las razones de los ángulos de 0º,

90°,180° y 270°.

4. RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS DE

DISTINTOS CUADRANTES.

4.1.Ángulos del 2º cuadrante.

Si β es un ángulo del segundo cuadrante, podemos

encontrar un ángulo del primer cuadrante de manera que

α y β sean suplementarios, es decir sumen 180°.



Así:

Luego DOS ANGULOS SUPLEMENTARIOS TIENEN SUS SENOS IGUALES Y

SUS COSENOS Y TANGENTES OPUESTOS.

4.2. Ángulos del 3er

cuadrante.

Si β es un ángulo del tercer cuadrante, siempre

podemos encontrar un ángulo del primer

cuadrante que difiera en 180° con β.

Así:

Luego DOS ANGULOS QUE DIFIERAN EN 180º TIENEN SUS SENOS Y

COSENOS OPUESTOS Y SUS TANGENTES IGUALES.

4.3. Ángulos del 4º cuadrante.

Un ángulo del cuarto cuadrante lo podemos

relacionar con uno del primero, con el cual sume

360°.

Así:

Luego LOS ANGULOS QUE SUMAN 360° TIENEN SENOS Y TANGENTES

OPUESTOS Y SUS COSENOS IGUALES.



4.4. Ángulos de más de 360° ( radianes).

Los ángulos que tienen más de una vuelta de circunferencia se superponen con el ángulo

obtenido al descontarle un número entero de vueltas.

Al ser los ángulos y coincidentes sus razones son exactamente iguales.

5. TEOREMA DEL COSENO.

Consideremos un triángulo cualquiera .

La altura divide a en dos triángulos rectángulos y .

Apliquemos el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos:

Despejamos h de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

Pero, por otra parte, DC puede escribirse:

Sustituyendo en la expresión (1):

Pero en el triángulo ADB podemos escribir:



Que podemos sustituir en la c última expresión obtenida:

A esta expresión se la conoce con el nombre de TEOREMA DEI COSENO y puede

enunciarse así:

“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de estos dos lados por el

coseno del ángulo comprendido”

El teorema del coseno nos va a permitir hallar lados ángulos en un triángulo cualquiera.

Si particularizamos este teorema para un triángulo rectángulo, obtenemos el teorema de

Pitágoras. Por tanto, el teorema del coseno se puede considerar como una generalización del

teorema de Pitágoras para triángulos cualesquiera.

6. TEOREMA DEL SENO.

Consideremos un triángulo cualquiera .

La altura divide a en dos triángulos rectángulos y .

En :

En :

Igualando ambas expresiones:

De donde:

De la misma forma, si trazamos la altura desde el vértice A obtenemos:



Si unimos ambas igualdades obtenemos:

A esta expresión se la conoce como TEOREMA DEL SENO y podemos enunciarlo así:

“Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.”

Con la ayuda del teorema del seno y del coseno, podemos resolver todo tipo de triángulos

conociendo algunos de sus elementos.



RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SEMEJANZA

1) Los lados de un triángulo miden 10 cm, 7 cm y 6 cm. Calcula los lados de un triángulo

semejante a él si la razón de semejanza vale 3.

2) Los lados de un triángulo miden 10 cm, 8 cm*y 6 cm y los de otro miden 30 cm, 40 cm y 50

cm. ¿Son semejantes?

3) Los lados de un triángulo miden 5, 8 y 7 cm. El perímetro de un triángulo semejante al

anterior mide 40 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza? Calcula los lados del nuevo triángulo.

4) Un patio tiene forma de cuadrilátero con dos lados paralelos. Medimos y resulta AB=5 m y

AD=12 m. Además sabemos que OA=13 m y OB=16 m. ¿Cuánto miden BC y DC?

5) Di cuáles de los siguientes enunciados ciertos y cuáles no:

Todos los triángulos son semejantes.

Todos los triángulos rectángulos son semejantes.

Todos los cuadrados son semejantes.

Todos los cuadriláteros son semejantes.

Todas las circunferencias son semejantes.

6) Un enorme árbol arroja una sombra de 20 m. En ese mismo momento un pino joven de 1'60

m. de altura proyecta una sombra de 64 cm. ¿Cuál es la altura del árbol grande?

7) ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es de 1'5 m. y alejándonos 0'5 m. del

borde, desde una altura de 1'7 M. vemos que la visual une el borde del pozo con la línea del

fondo?

8) Un sacerdote le preguntó a Thales como haría para conocer la altura de la pirámide de

Keops. Thales respondió: “Clavaré en la arena este bastón y mediré su sombra. También

mediré, a la misma hora la sombra de la pirámide y le sumaré la mitad del lado de la base”.

¿En qué se basa su razonamiento?

9) Los lados de un triángulo ABC miden 4, 5 y 6cm. Sobre AB construimos un rectángulo

ABMN de altura 2'5 cm. ¿Cuánto medirá la altura de un rectángulo ACPQ semejante al

anterior construido sobre AC? ¿Cuál es su área? ¿Cuánto vale el área de un rectángulo

semejante al anterior construido sobre BC?

10) Calcula la superficie del siguiente campo pentagonal que está dibujado a escala de 1:20.000.

11) Los triángulos de la figura tienen sus lados paralelos. ¿Cuánto miden los lados “a” y “b”?



PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA NIVEL 1

1) Expresar en radianes los ángulos siguientes:

2) Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes :

3) Si un arco de circunferencia de radio R mide

, ¿cuál es la medida del ángulo central

correspondiente, expresada en radianes y en grados sexagesimales?

4) Calcula, utilizando papel milimetrado las razones trigonométricas de los ángulos de y

rad.

5) Los lados de un triángulo rectángulo miden 3, 4 y 5 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos.

6) Determina gráficamente el ángulo agudo cuyo seno es . Comprueba el resultado obtenido con el que se obtiene utilizando la calculadora.

7) Expresar en radianes el ángulo determinado por las agujas del reloj a las 3 horas 30 minutos.

8) Determina el ángulo girado por la Tierra en .

9) Reduce a la primera vuelta los ángulos de 2974'' y de 97 radianes.

10) El radio de una circunferencia es 2 m. ¿Cuánto medirá el ángulo central correspondiente a un arco de 2,5132 m? Expresa el resultado en radianes y en grados.

11) Sobre una circunferencia se tiene un ángulo central de 2,4 radianes. ¿Cuánto mide el arco que determina dicho ángulo sobre una circunferencia de radio 8 cm.? ¿Y si la circunferencia fuese de radio 10 cm?

12) Calcula la altura de una nave espacial sabiendo que la sombra que proyecta mide . y el ángulo determinado por los rayos del Sol con la horizontal es de .

13) Si el , determinar el valor de todas las razones trigonométricas de dicho ángulo.

14) Ídem sabiendo que

15) Sobre una circunferencia goniométrica, representa gráficamente todas las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante.

16) Expresa las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios



y de ángulos suplementarios.

17) ¿Puede existir un ángulo cuyo seno sea dos. Justifica la respuesta.

18) Determina el número de grados minutos y segundos que tienen los siguientes ángulos:

19) Tomando como base el triángulo rectángulo de la figura, resuélvelo en los siguientes casos:

a) a = 72,5 m b) b=38,6 m c) a=32 cm d) b=25,4 m C = 35° 10 C=58° 40’ b=16 cm c=38,2 m

20) Una escalera está apoyada sobre una pared. Sabiendo que la altura de la escalera es de 4 m ,determina su inclinación considerando que el pie de la escalera dista 4 m de la pared.

21) En un triángulo isósceles el lado desigual mide 10 cm y los ángulos iguales 70°.Calcula la superficie y el perímetro del citado triángulo.

22) Un 12% de desnivel significa que por cada 100 m recorridos sobre la horizontal, he subido o bajado 12 m. ¿Qué ángulo formará sobre la horizontal una carretera cuyo desnivel es del 14%? Si hemos recorrido sobre dicha carretera 730 m, ¿cuántos m habremos ascendido?

23) Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera. Nombra todos sus elementos de forma conveniente y define sobre él todas las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos. ¿Encuentras alguna relación entre las razones de dichos ángulos ? Justifica tu respuesta.

24) ¿Cuánto vale el ángulo cuyo seno es igual a su tangente? Determina el valor de su coseno.

25) Determina las razones trigonométricas del ángulo central de un decágono regular. ¿Cuánto valdrá el ángulo interior de dicho polígono ?

26) Un dodecágono regular tiene 12 cm de longitud de sus lados. Determina la superficie de éste en mm`

27) Un ángulo mide 1,5 radianes. Sabiendo que uno de sus arcos mide 10 cm , ¿cuánto medirá el radio con que se ha trazado dicho arco ?

28) Si el radio de una circunferencia mide 6,3 m ¿cuáles serán las longitudes de los arcos cuyos ángulos centrales miden 1,3 radianes y 22° respectivamente?

29) Sabemos que la longitud de un arco de circunferencia es de 342 cm, correspondiéndole un ángulo central de 1,7 radianes. Determina la longitud total de la circunferencia, así como su radio.

30) Dibuja un triángulo rectángulo. Toma las medidas que creas oportunas y determina las razones trigonométricas de sus ángulos agudos.



31) Determina las razones trigonométricas de un ángulo de sin utilizar calculadora ni tabla

trigonométrica.

32) Sobre una circunferencia goniométrica representa gráficamente las razones trigonométricas de un ángulo del primero y otro de cuarto cuadrante.

33) Una escalera está situada de manera que su pie dista 2 m de la pared, formando un ángulo de 67° con el suelo. Determina la longitud de la escalera así como la altura a la que podemos subir con ella.

34) Sobre una circunferencia de 6 m de radio se traza un arco de 8,5 m de longitud. ¿Cuántos grados sexagesimales mide el ángulo central correspondiente al arco trazado?

35) Una escalera de 7 m de altura se encuentra apoyada sobre una pared formando un ángulo de 75 con el suelo. La altura máxima a la que podemos subir es de 6,79 m y la separación entre la pared y el pie de la escalera es de 1,98 m. ¿Es correcto todo lo que afirma el enunciado del problema? JUSTIFICA LA RESPUESTA.

36) De entre los ángulos siguientes elige de forma razonada cuál de ellos tiene su coseno mayor:

37) Sabiendo que y que

, determina el resto de las razones trigonométricas

del ángulo.

38) Determina la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 50° con el suelo.

39) Si sabemos que el ¿en qué cuadrantes crees que puede estar situado el ángulo ? Elige uno de los posibles cuadrantes y determina en él, el resto de las razones trigonométricas del ángulo .

40) “Los lados de un triángulo rectángulo son 30, 40 y 60 cm.” ¿Es cierta esta afirmación? En caso negativo cambia una de esas medidas para que el triángulo resultante sea rectángulo y determina su superficie.

41) Las dos ramas de un compás se encuentran abiertas formando un ángulo de .Si ambas ramas miden 12 cm , determina el radio de la circunferencia que se puede trazar con el compás en esas condiciones, así como la longitud y superficie de la circunferencia obtenida.

42) Si , determina el resto de las razones trigonométricas del ángulo en todos los casos posibles.

43) Una cometa está unida al suelo mediante un hilo de 77 m, formando un ángulo de con el suelo. Suponiendo que el hilo está tirante, determina la altura a la que está situada dicha cometa sabiendo que y que .



44) En un triángulo rectángulo los catetos miden 15 y 20 cm. Determina el resto de los elementos de

dicho triángulo.

45) Si el desnivel de una carretera es del 15%, ¿qué ángulo formará la carretera con la horizontal? ¿Qué altura habremos ascendido si hemos recorrido 86 m de carretera?

46) Sabiendo que , determina el resto de las razones trigonométricas de todos los ángulos que verifiquen dicha condición.

47) Calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 53°y 143° sabiendo que y que .

48) Desde un faro situado a 40-m de altura sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión desde el que se ve un barco es de . Calcula la distancia a la que está el barco de la base del acantilado.

49) Sabiendo que

, determina: y

.

50) El ángulo de elevación desde el que se ve el extremo de una veleta es de 46°.Determina la altura de dicho extremo, sabiendo que el ángulo anterior ha sido medido a 72 m de la base de la torre sobre la que se apoya dicha veleta y a una altura sobre el suelo de 1,2 m.

51) ¿Existe algún ángulo que verifique que y ?. JUSTIFICA LA RESPUESTA.

52) La altura de un triángulo equilátero es 20 cm. ¿Cuánto mide el lado?

53) Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con la horizontal?



PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA NIVEL 2

1) Los lados de un triángulo miden , y . Calcular el ángulo A.

2) Calcular el lado c de un triángulo sabiendo que , y .

3) Sabiendo que , y , calcula el ángulo del triángulo .

4) Calcula el lado b de un triángulo definido por ., y

5) Resolver los triángulos oblicuángulos definidos de la siguiente forma: a) . b) . c) . d) .

6) Calcular el área de los triángulos definidos de la siguiente forma: a) . b) . c) .

7) ¿Bajo qué ángulo se ve una circunferencia de de radio desde un punto situado a de distancia de su centro?

8) Hallar las diagonales de un paralelogramo sabiendo que uno de sus ángulos interiores mide y que sus lados miden y .

9) Desde dos puntos situados a un mismo lado de una torre, alineados con ella y distantes entre sí se ve su punto más alto bajo ángulos de y . Calcular la altura de la torre considerando que las mediciones se han realizado con un aparato de de altura.

10) Desde dos puertos distantes y situados en una costa rectilínea se divisa un barco bajo ángulos de observación de y . ¿A qué distancia de la costa se encuentra el barco? ¿A qué distancia del puerto más cercano? ¿Y del puerto más alejado?

11) Desde los extremos de un muelle de de longitud situado en una ria, se divisa una ermita bajo ángulos de y . Calcular la distancia existente entre ermita y el punto medio del muelle.

12) Demostrar que en un triángulo isósceles en el que y consiguientemente , se verifica:



13) Dos individuos A y B observan un globo situado en un plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre los dos individuos es de . Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son y respectivamente. Hallar la altura a la que se encuentra el globo y su distancia a cada observador.

14) Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de . Aproximándonos hacia la orilla enla dirección del árbol el ángulo es de . Calcular la altura del árbol.

15) Calcular el ángulo que forman dos fuerzas de y newton si sabemos que el valor de la fuerza resultante es de .

16) Calcular el valor de dos fuerzas iguales, sabiendo que forman un ángulo de y que el valor de la fuerza resultante es .



PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA NIVEL 1

Ya debes saber que los ángulos se miden en grados sexagesimales, y en radianes. El número de grados sexagesimales de una circunferencia es y el número de radianes es , lo cual significa que:

De esta relación entre grados y radianes nos servimos para transformar medidas de ángulos expresadas en radianes en su medida equivalente expresada en grados sexagesimales o viceversa, del modo siguiente:

Solución Apartado A Comenzamos con el primero de nuestros ángulos, el Como viene expresado en grados valdrá . Sustituyendo en (1), obtenemos:

La solución es:

Solución Apartado B

La solución es:

1) Expresar en radianes los ángulos siguientes: a) b) c) d) e) f)



Solución Apartado C

La solución es:

Solución Apartado D

La solución es:

Solución Apartado E

La solución es:

Solución Apartado F

La solución es:

Para resolver este ejercicio hacemos uso de la expresión (1), usada en el ejercicio anterior, aunque esta vez la incógnita va a ser , el número de grados.

Solución Apartado A

Sustituyendo por su valor nos queda la siguiente expresión:

2) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)



Y despejando obtenemos:

La solución es:

Solución Apartado B

La solución es:

Solución Apartado C

La solución es:

Solución Apartado D

La solución es:

Solución Apartado E



La solución es:

Solución Apartado F

La solución es:

Recordemos que un radián es lo que mide el ángulo central de la circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud del radio de la misma.

En nuestro ejercicio se nos da la longitud del arco

, con lo cual si dividimos por el radio de la

circunferencia , obtendremos el número de radianes que corresponden a dicho arco:

que es la medida del ángulo central expresada en radianes.

Resolviendo:

Ahora debemos pasar la medida hallada a grados sexagesimales, para lo cual procedemos de igual manera que en los dos ejercicios anteriores:

La solución es:

3) Si un arco de circunferencia de radio R tiene una longitud de

¿Cuál es la medida del

ángulo central correspondiente, expresada en radianes y en grados sexagesimales?



Sobre un papel milimetrado construye un ángulo de utilizando el transportador de ángulos. Elige un punto cualquiera de uno de sus lados y desde él traza una perpendicular al otro lado.

Una vez realizado lo anterior mide con una regla todos los lados del triángulo resultante y utiliza las relaciones ya conocidas de seno, coseno, etc. para calcular todas las razones trigonométricas.

Para el ángulo siguiente se procede de forma similar después de transformar el ángulo medido en radianes a grados sexagesimales.

Dibujemos el citado triángulo:

Las medidas corresponden al triángulo rectángulo más pequeño cuyos lados miden unidades enteras.

Como ya sabes las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo

vienen dadas por las relaciones entre sus lados:

Por lo tanto:

5) Los lados de un triángulo rectángulo miden 3, 4 y 5 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos.

4) Calcula, utilizando papel milimetrado, las razones trigonométricas de los ángulos de

y

.



De igual modo:

Por lo tanto:

La solución es:

Como sabemos que el coseno de un ángulo viene dado por la relación existente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo, nos bastará con dibujar un triángulo rectángulo en el cual los lados del ángulo a determinar midan 7 y 15 unidades respectivamente:(Tomamos como unidad el cm.)

El proceso a seguir sería el siguiente:

Se traza un segmento horizontal de 7 cm. y por uno de sus extremos se traza una línea

perpendicular al mismo. Con un compás en el que hemos tomado una abertura de 15 cm. pinchamos en el extremo libre del segmento y marcamos en la línea perpendicular al mismo, con lo que habremos construido un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 15 cm. y uno de sus catetos 7 cm.

El ángulo que se nos pide es el que tiene por lados la hipotenusa y el cateto de 7 cm.

7) Expresar en radianes el ángulo determinado por las agujas del reloj a las 3 horas 30 minutos.

6) Determina gráficamente el ángulo agudo cuyo coseno es . Comprueba el resultado obtenido con el que se obtiene utilizando la calculadora.



A las 3 h 30 min, el minutero se encuentra situado sobre el seis y el horario en el punto medio del

arco determinado por las tres y las cuatro horas. La aguja horaria recorre cada hora una doceava parte de la circunferencia, que corresponde a

de ,es decir a . Como solo ha recorrido la mitad del arco comprendido entre las tres y las cuatro, el ángulo barrido será solo .

Entre las tres y las seis horas existe un ángulo de ,pero al haber recorrido el horario de

esos , el ángulo entre ambas agujas en ese momento será ,es decir, .

La solución es:

Como ya sabes, la Tierra en su movimiento de rotación alrededor de su eje, tarda 24 h en dar una vuelta completa, lo cual significa que cada 24 horas gira un ángulo de .

Para determinar los grados que ha girado en nuestro caso deberemos transformar en horas el tiempo dado (3 h 21 min 30 s)

Llamando X al número de grados girados por la Tierra en el tiempo dado y utilizando la siguiente regla de tres:

Obtenemos

Como en la práctica los ángulos se expresan en grados, minutos y segundos, transformamos el

resultado obtenido de la siguiente forma:

La parte decimal de grados la transformamos en minutos, para lo cual deberemos multiplicarla

por 60, que son los minutos que tiene un grado. De igual forma deberemos proceder cuando nos surja la parte decimal en los minutos que vamos a calcular para convertirlos en segundos.

8) Determina el ángulo girado por la Tierra en 3 h 21 min 30 s



(despreciamos las dos décimas de segundo)

La solución es:

Una vuelta completa equivale a o a radianes. Reducir a la primera vuelta consiste en encontrar un ángulo comprendido entre y o bien entre y radianes de manera que sus razones trigonométricas sean iguales a las del ángulo dado, en nuestro caso .

Para ello dividimos nuestro ángulo entre . El cociente obtenido será el número de vueltas

completas y el resto será el ángulo comprendido entre y cuyas razones trigonométricas coinciden con las de nuestro ángulo.

El ángulo de equivale a dar 8 vueltas completas y detenernos después. La solución es: 94o

El arco de un radian medido sobre una circunferencia de dos metros de radio mide dos metros. Por tanto los radianes correspondientes a un arco de 2,5132 m serán:

Pasando estos radianes a grados, tal como hicimos en los ejercicios 2 y 8 tendremos: 71° 59' 52` La solución es:

1,2566 radianes 71° 59' 52"

10) El radio de una circunferencia es 2m. ¿Cuánto medirá el ángulo central correspondiente a un arco de 2,5132m? Expresa el resultado en radianes y en grados.

9) Reduce a la primera vuelta en ángulo de .



En esta circunferencia un radian determina un arco de 8 cm, por lo que un ángulo de 2,4 rad determinará el arco siguiente: Longitud Arco = 8.2,4 = 19,2 cm

Como habrás observado la longitud de un arco puede calcularse mediante el producto del radio por la medida del ángulo centra correspondiente medido en radianes: *** Si la circunferencia tiene 10 cm de radio tendremos: Longitud Arco = 10.2,4 = 24 cm ***(LA MEDIDA DEL ANGULO DEBE ESTAR EXPRESADA EN RADIANES) ESTA EXPRESION NOS PERMITE CALCULAR EL RADIO Y EL` ANGULO SIN MAS QUE DESPEJAR LO QUE NOS INTERESE. La solución es:

Siempre es de gran ayuda a la hora de realizar un ejercicio, tratar de utilizar un dibujo que represente la realidad que se describe.

El extremo de la nave, su base y el extremo de su sombra forman un triángulo

rectángulo,en el que se conoce un cateto y su ángulo contiguo.

30o 50 m

Las únicas razones trigonométricas que relacionan los dos catetos con cualquiera de sus ángulos

agudos son la tangente y la cotangente. Cualquiera de ellas es válida para resolver nuestro ejercicio. Elegimos la tangente.

Como tg 30o=0,577

0,577

Despejando x=50·0,577 x=28,86 m.

La solución es:

12) Calcula la altura de una nave espacial sabiendo que la sombra que proyecta mide 50 m. y el ángulo determinado por los rayos del Sol con la horizontal es de 30o

11) Sobre una circunferencia se tiene un ángulo central de 2,4 radianes. ¿Cuánto mide el arco que determina dicho ángulo sobre una circunferencia de radio 8cm.? ¿Y si la circunferencia fuese de radio 10cm.?

Longitud Arco = Radio.angulo

19,2 cm. y 24 cm.

Altura de la nave 28,86 m.



A partir del teorema fundamental de la trigonometría, que como ya sabes nos dice:

podemos calcular sen a, solo con sustituir en esa expresión el coseno por su valor y despejar el seno.

Sen2a=1-cos2a ; Al ser cos a mayor que cero (cos a>O) deducimos que (a será un ángulo del primer o del cuarto

cuadrante. Vamos a estudiar ambos supuestos: Primer supuesto: Suponemos que a es un ángulo del primer cuadrante

En este caso cos a = 0,63 y sen a = + 0,78, por lo que

Del mismo modo:

Segundo supuesto: Suponemos que a, pertenece al cuarto cuadrante. Si a pertenece al cuarto cuadrante, su seno será negativo, por lo tanto sen a = -0,7765951.

Procediendo de la misma forma que en el primer supuesto:

y

La solución es: Primer supuesto.,,--' pertenece al primer cuadrante. sen¡5' Como sabemos que tg 2 COSIO,

s en cos

1 14.- Idem que el ejercicio n 13,sabiendo que tg,-¡'=2. Sustituyendo sen,,'->' por su valor (2.cos fundamental de la trigonometría:

13) Si el cos a=0,63, determinar el valor de todas las razones trigonométricas de dicho ángulo.

a pertenece al primer cuadrante: sen a=0,78 cos a=0,63 tg a=1,24 ctg a=0,81 a pertenece al cuarto cuadrante: sen a= -0,78 cos a=0,63 tg a= -1,24 ctg a= -0,81



sen 2.cos en la relación Francisco Jurado Rodríguez y Pepe González Alba. 10 (2. cos f.» + cos = 1; cos`, + cos`; -,, = i cos Í, = 1 L, cos 5

cos ¡3 =

1 5 1

} 5 5

Nos quedamos con el signo + por ser Ñ del primer cuadrante.

Como sen í5' = 2. cos

cos f?, = 2. / 5 2. /5 5 La cotangente la podemos hallar directamente a partir de la tangente, ya que sabemos que la ctg es la inversa de la tg por lo que: ctg

Segundo supuesto: pertenece al tercer cuadrante. El proceso a seguir sería idéntico al del primer supuesto excepto que nos quedamos con el signo menos de la raíz, por considerar que pertenece al tercer cuadrante.

La solución es: pertenece al primer cuadrante ctg f', = ctg

1 2 1 2

2/ t

=

sen cos 5 5 pertenece al tercer cuadrante

2í5 / 5 sen,(— cosf'=- t 5 5

15.-, Sobre una circunferencia goniométrica, representa gráficamente todas las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante. 16.- Expresa las ,relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios «Y y 90-ck) y de ángulos suplementarios. Relación entre ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios cuando suman 90° orT/2 radianes, por ejemplo: cx y 90-a son ángulos complementarios. La relación que existe entre sus razones es: sen~--~=cos (90-o() tg,Y=Ctg (90-C )



co scx= s en (9 0 -a) c t gcX = t g ( 9 0 Relación entre ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando su suma es 180° o u radianes, por.ejemplo: a y 180-a, son ángulos suplementarios. La relación que existe entre sus razones trigonométricas es: senez=sen(180-<Y) t ga t g ( 18 0 -ck') cose —cos(180-c9,) cot~y=-cot ( 180-C? 17.- ¿puede existir un ángulo cuyo seno sea dos. Justifica la respuesta. Si seno de un ángulo fuese dos, la relación fundamental de la trigonometría sen a+cos a=1 no se verificaría, por lo cual no existen ángulos con senos iguales a dos. Otra justificación de la imposibilidad de que pueda ser d6s seria la siguiente: cateto opuesto por definición, sena- hipotenusa si vale 2 significaría que el cateto 'opuesto mediría el doble que la hipotenusa, cosa imposible pues la hipotenusa es siempre mayor. 18.Sabiendo que sen a = 4/5,calcula: asen (-a) b)tg (y + a) c)cos (7r/2 - a.) Para calcular las razones trigonométricas anteriores tenemos que darnos cuenta de la relación que existe entre el ángulo a y los restantes.

Los ángulos a y -a son opuestos;quiere esto decir que uno está en el primer cuadrante y el otro en el cuarto por tanto sus senos son opuestos. sen (-a) = -sen a = -4/5

r=1 Los ángulos a y r+a difieren en Y (ó 180 * ) por tanto uno está en el primer cuadrante y el otro en el tercero; luego tienen la misma tangente. tg (Y+a) = tg a Como lo que sabemos es sen a, de este dato tenemos que calcular su tangente.

Calculamos el cos a mediante la fórmula fundamental de la trigonometría: sen 2 a + costa = 1 costa = 1 - 16/25 cos a =3/5 Como tg a = sen a (4/5)- + cosa = 116/25 + costa =1 costa = 9/25 cos a = d 9/25 cos a tg a = 4/5 : 3/5 = 4/3 Por tanto: tg (r+a) = tg a = 4/3 Los ángulos a y (7rl2 - a) son complementarios,luego el coseno de uno coincide con el-seno del otro. Por tanto cos (r/2 - a) = sen a = 4/5; ,



c)

13 19.Sabiendo que tg b = 2/3 ,calcula: a)tg (7r/2 - b) b)tg (z-b) c) tg (Y+b)

a)

Losángulos b y v/2 b son complementarios,luego la tangente de uno es igual a la cotangente del otro. Así,tg (7r/2 - b) = cotg b = 3/2

r. Los ángulos b y (y-b) son suplementarios, por lo que uno estará en el primer cuadrante y el otro en el segundo,y sus tangentes serán opuestas. Luego tg (v-b) = -tg b = -2/3 Los ángulos b y (7r+b) difieren en 7r, o sea, uno estará en el primer cuadrante y el otro en el tercero,y en consecuencia tendrán la misma tangente. r:1 tg (7r + b) = tg b = 2/3

20.Si sen x = 1/3,halla: a)tg (7r/2 - x) b)cos(v + x) c) sen (-x)



a)

Los ángulos x y (7r/2 x ) son complementarios,luego la tangente de uno será igual a la cotangente del otro. tg (Y/2 - x) = cotg x Como el dato del problema es sen x, a partir de este hemos de calcular cotg x.

Para ello usamos una de las fórmulas trigonométricas en qqe intervenga la cotg x y el sen x (o su inverso). t 1 + cotg2x cosec2x sen x = 1/3 luego cosec x = 3;sustituimos: 1 + cotg2x = 31 1 + cotg2x = 9 cotg2x = 8 cotg x 8 = 2~ Y por tanto tg (Y/2 - X) = cotg x = 2~ b) Los ángulos x y 7r+x difieren en ir, uno está en el primer cuadrante y el otro en el tercero.Sus cosenos son opuestos. cos (r+x) cos x cos x tenemos que calcularlo a partir de los datos que sabemos. Como sen x = 1/3 y cotg x = 2~,podemos despejar el coseno en la expresión de la cotangente. cotg x = cos x sen x cos x = cotg x - sen x cos x = 2~ - 1/3 = 23 Y por tanto cos (r+x) = -cos x = -2M2/3 c) ri4 Los ángulos x y -x son opuestos,uno está en el primer cuadrante y el otro en el 5en< cuarto;sus senos son opuestos. sen (-x) = -sen x = -1/3 sen(-x) 21.Obtén todos los ángulos comprendidos entre 0 y 4v cuyo seno valga í-2/2. Como 2y es una vuelta completa, 4Y serán dos vueltas, luego nos están pidiendo que calculemos cuáles son los ángulos de estas dos vueltas con ese seno. 0 Si nos fijamos en la primera vuelta,el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante,luego hay dos ángulos con ese seno. Además sabemos que sen 45' = ~/2;luego ya conocemos uno de ellos.Como el que nos sen45° falta está en el segundo cuadrante, será su suplementario,es decir,180 -45 =135'. ::J En la primera vuelta los ángulos son 45' y 135*,con lo que para calcular los de la segunda,le sumaremos 360' a cada uno de ellos. Los ángulos pedidos son 45',135',45'+360*=405' y 135'+360'=495'. 22.Para hallar la altura de un globo,realizamos las mediciones de la figura;¿cuánto dista el globo del punto AUY del B? ¿A qué altura se encuentra el globo? Vamos a empezar calculando el lado b, que es la distancia del globo al punto Aspara ello nos fijamos en el triángulo ABG;de él conocemos dos ángulos,nos falta G. Como los tres suman 180',G=180'(63'+72')=45'. En el triángulo ABG conocemos los tres ángulos y un lado;podemos aplicar el teorema del seno para conocer el lado b:



b 9 sen B sen G b 20 b 20 sen63 sen45 0,891 0,7071 Y despejando b= 20.0,891 = 25,2 m. 0,7071 Para hallar la distancia a B,como conocemos los tres ángulos y dos lados,podemos aplicar el teorema del coseno: a2 =b2 + g2 - 2•b•g•cos A ; a2 = (25,2)2 + 20' - 2. 25, 2 -20 - cos 72' a2 = 635,4 + 400 - 1008.0,309 = 723,93 a = X723,93 a = 26,9 M. El dato que nos queda por calcular es la altura h.Para hacerlo,nos damos cuenta que se encuentra en un triángulo rectángulo, lo que quiere decir que podemos hallarla a partir de alguna razón trigonométrica. Como conocemos el ángulo de 7S' hemos hallado b,que es la hipotenusa y h es el cateto opuesto,utilizamos el seno. sen 75' h h = b•sen 75* = 25,2.0,9659 = 24,34 m. b 23.Dada una circunferencia de 5 cmade radio,trazamos dos rectas tangentes a ella desde un punto situado a 7 cm del centro.¿Qué ángulo forman entre sí las tangentes?

Si trazamos las rectas tangentes a la circunferencia. observamos que uniendo el punto de tangencia con el centro obtenemos un radio perpendicular a dicha tangente,lo que nos da un triángulo rectángulo.En éste,7 es la hipotenusa y 5 el cateto opuesto al ángulo a.Podemos calcular su seno y de aquí el ángulo. sen a 5 = 0,7142 7 De donde a = 45'34130tt. Como el ángulo que nos piden es doble que a, b = 2•a = 90*691.

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