4º ACADÉMICAS

TEMA 6. SEMEJANZA

6.1 FIGURAS SEMEJANTES

Dos figuras que tienen la misma forma se llaman semejantes, aunque pueden tener distintas

dimensiones.

Los elementos (puntos, lados, ángulos…) que se corresponden en una semejanza se dice que

son los elementos homólogos.

Dos figuras semejantes tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos

correspondientes iguales.

En dos figuras semejantes el cociente entre las medidas de dos lados homólogos se llama

razón de semejanza (r ó k).

Dadas las siguientes figuras que son semejantes:

Distinguimos la figura 1 y la 2. En el numerador se ponen los elementos de la misma figura y

en el denominador se ponen los elementos de la otra figura.

Formamos la proporción: kc

c

b

b

a

a

'''

Comprueba que las siguientes figuras son semejantes e indica la razón de proporcionalidad.

a=10 a’=5

a c

1 c’

2

2

1

b = 8

a’

b’

a

b

1

b = 4

Sabiendo que son semejantes, con k=3, calcula las dimensiones que faltan.

a

a’=4

b’

b=21

6.2 MEDIDA DE FIGURAS SEMEJANTES

Dadas dos figuras semejantes no sólo podemos hacer proporciones con los lados, sino que sus

perímetros correspondientes serán proporcionales y el área y volumen también estarán

relacionados de la siguiente manera:

kP

P

2

1 2

2

1 kA

A 3

2

1 kV

V

Dado el triángulo de la figura, calcula las dimensiones de otro semejante a él cuyo

perímetro sea de 26 cm.

a=10 b=18

c=24

1 b’ a’ 2

a=10

c’

1 2

Sabiendo que la relación entre los volúmenes de dos ortoedros es 27, calcula las dimensiones de la segunda figura sabiendo que la primera es:

6.3 TEOREMA DE THALES

Dadas dos rectas secantes, si son cortadas por dos o más rectas paralelas, los segmentos

correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales.

Para relacionarlo con proporcionalidad lo ponemos:

'''''':

' CA

AC

CB

BC

BA

AB

r

r

También puede ponerse: AC

AB

CA

BA

BC

AB

CB

BA

''

''

''

''

IMPORTANTE: En un mismo ejercicio no cambiar el orden de las operaciones, es decir, si

empezamos figurasegundaladeDatos

figuraprimeraladeDatos TODAS las proporciones tienen que hacerse de la

misma forma.

1 2

a=9 b = 6

c = 3

b’

c’

a’

Calcula los segmentos que faltan

Calcula los segmentos que faltan

4

8 12

y

x

9

r r’

r r’

x

y 8

12

12

z

15

TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES

Una aplicación del Teorema de Thales la encontramos en los triángulos.

Dado un triángulo, si trazamos una línea paralela a uno de los lados, obtenemos un triángulo

semejante al primero y de menor tamaño. ( En esta figura se puede aplicar Thales o bien

proporcionalidad)

En el siguiente triángulo se ha trazado un segmento MN paralelo al lado mayor, de modo que NB mide 6 cm. ¿Cuánto miden los lados del triángulo MN?

A

M

B

C

N

A

9

12

6

18

6.4 CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Hay tres criterios de semejanza para triángulos:

Primer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

(El tercero siempre será igual ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º)

¿Son semejantes los siguientes triángulos?

Segundo criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

¿Son semejantes los siguientes triángulos?

=90º =56º

=90º

2 1

1 2

b = 6 c = 8

a = 10

b’ = 15 c’ = 20

2

a’ = 25

Tercer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo

comprendido entre ellos es igual.

Determina si son semejantes los siguientes triángulos

Triángulo 1: a=15, b=24 y º40ˆ C Triángulo 2: a’=10, b’=16 y º40'ˆ C

Podemos dibujar los triángulos si queremos, aunque no es necesario.

6. 5 ESCALAS

La razón de semejanza que se utiliza en la representación mediante modelos, planos o mapas de

magnitudes reales es la escala.

Para calcular la escala se divide una longitud medida en el modelo, plano o mapa, entre la

longitud correspondiente a la realidad

REALIDAD

PLANO

En el plano de un parque se utiliza la escala 1:1000.

Sabiendo que un estanque rectangular mide en el plano 3cm y 7cm respectivamente, ¿cuánto

mide en la realidad?

2 1

b = 24

a = 15

º40ˆ C º40'ˆ C

a’ = 10

b’ = 16

6.6 TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de

los catetos

6.7 TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones de

los catetos

Dado el siguiente triángulo rectángulo, calcula el valor de los catetos

a b

c

a2 = b2 + c2

h2 = m· n

m

a

b c

n

a: hipotenusa

b, c: catetos

h: altura

m, n: proyecciones

h

m = 6’4

b c

n= 3’6

6.8 TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa del

triángulo por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa

En un triángulo rectángulo, las proyecciones m y n de los catetos sobre la hipotenusa miden 12’8 y 7’2 cm respectivamente. Calcula la medida de los lados del triángulo

En un triángulo rectángulo de 7 cm de altura sobre la hipotenusa se cumple que m = 4

n,

con m y n proyecciones de los catetos. Calcula las proyecciones

m

a

b c

n

a: hipotenusa

b, c: catetos

h: altura

m, n: proyecciones

h

b2 = a· m c2 = a· n

h = 7

b c

n m = 4

n

n = 7’2 m = 12’8

a

b

c

6.9 MEDIDA DE ÁNGULOS. RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES

Dada una circunferencia, el ángulo central tiene su vértice en el centro de la misma y sus lados

son dos radios. Para medir ese ángulo podemos utilizar:

El grado es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir el ángulo recto

en 90 partes iguales. Su símbolo es º. El sistema de medida se llama sistema sexagesimal,

y a parte del grado se utilizan las unidades minutos (‘) y segundos (‘’)

1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’

El radián es la medida del ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la misma

longitud que el radio. Su símbolo es rad.

Existe una relación entre grados y radianes:

Ejemplo: Expresa las siguientes medidas de ángulos en radianes

a) 270º

b) 90º

Ejemplo: Expresa las siguientes medidas de ángulos en grados

a) rad5

2

b) 𝜋

4𝑟𝑎𝑑

180º = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

6.10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS

Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son unas

funciones que relacionan los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos agudos:

Seno de un ángulo: 𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Coseno de un ángulo: cos ∝ = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Tangente de un ángulo: 𝑡𝑎𝑛 ∝ = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜

Hay otras tres razones trigonométricas que son las inversas de las tres anteriores:

Cosecante de un ángulo: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ∝ = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

Secante de un ángulo: 𝑠𝑒𝑐 ∝ = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜

Cotangente de un ángulo: 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 ∝ = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

Por lo tanto, las razones trigonométricas del siguiente triángulo rectángulo para el ángulo agudo

∝ son:

sen ∝ = 𝑦ℎ

cos ∝ = 𝑥ℎ tan ∝ =

𝑦𝑥 cosec ∝ =

ℎ𝑦 sec ∝ =

ℎ𝑥 cotan ∝ =

𝑥𝑦

En las calculadoras, el seno suele aparecer como sin, y a la tangente la podemos escribir tan, tag

o tg.

x

y

h

∝

Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los siguientes triángulos rectángulos

a)

b)

6.11 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS 0°, 30°, 45°, 60° Y 90°

En este curso hay que saber las funciones trigonométricas de ciertos ángulos, 0°, 30°, 45°,

60° y 90°, para poder deducir la medida de más ángulos que van a pedirnos relacionado con ellos.

Antes de explicar cómo se calculan sus valores, vamos a ver cómo, conociendo las funciones

trigonométricas de estos ángulos en la circunferencia goniométrica, de centro el origen de

coordenadas y radio la unidad, que es el mismo valor que en cualquier otro triángulo, por el

teorema de Thales.

Para calcular las razones trigonométricas del ángulo 30º, trazamos el ángulo opuesto y de

esa manera formamos un ángulo equilátero cuyos lados miden 1. A partir de aquí, utilizando

Pitágoras, calculamos el valor del cateto que nos falta y formamos las razones.

8

15

β

α

17

1 y

x

3

4

5

α

𝛽

Para calcular las razones trigonométricas del ángulo 45º, al tener un triángulo isósceles,

podemos utilizar Pitágoras y calculamos el valor de los catetos que son iguales.

Para calculas las razones de 60º utilizamos el triángulo anterior para los 30º ya que es el

mismo triángulo pero cambiada su posición

1

y

x

30

1 y

x

30

1 y

x

60

Ahora en este cuadro escribimos los valores que hay que saber:

0° 30° 45° 60° 90°

seno

coseno

tangente

6.12 CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OTROS ÁNGULOS

Para calcular estas razones:

- Escribir cada ángulo como suma o resta de los ángulos de los ejes de coordenadas (0º,

90º, 180º, 270º) con los ángulos 30º, 45º o 60º

- Dibujamos en unos ejes de coordenadas y circunferencia goniométrica los dos ángulos,

el que nos piden calcular la razón y el que hemos sumado al de los ejes (30º, 45º, 60º)

- Por semejanza, “comparamos” la razón, el elemento (x’, y’) del ángulo pedido con la

razón, el elemento (x, y) del ángulo (30º, 45º, 60º) que hemos dibujado

- Ajustamos el signo

- Calculo la función trigonométrica de que nos han pedido

Calcula las siguientes razones trigonométrica:

a) sen 300

b) cos 135

c) tan 240

d) sen (- 30)

e) cos 2580º

6.13 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En este curso vamos a estudiar tres relaciones entre las razones trigonométricas.

Dado un ángulo cualquiera se verifica:

Ecuación fundamental de la trigonometría

De la relación fundamental de la trigonometría podemos deducir que:

1cos111 sen

La tangente puede tomar cualquier valor real.

1cos22 sen

Las otras relaciones entre las razones trigonométricas son:

Sabiendo estas relaciones, dada una razón trigonométrica de un ángulo es posible calcular las

otras razones.

Ejemplo: Sea un ángulo agudo, sabiendo que sen = 13

, calcula las otras razones.

Ejemplo: Si cos α = √5

3, calcula las otras dos razones sabiendo que es agudo.

𝑡𝑎𝑛 ∝ = 𝑠𝑒𝑛 ∝

𝑐𝑜𝑠 ∝

1+𝑡𝑎𝑛2 ∝ = 1

𝑐𝑜𝑠2∝ = = 𝑠𝑒𝑐2 ∝

1+𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 ∝ = 1

𝑠𝑒𝑛2∝ = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 ∝

Ejemplo: Si tan α = 14, calcula las otras dos razones sabiendo que es agudo.

6.14 CÁLCULO DEL ÁNGULO CONOCIDA LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA

Para calcular el ángulo se utilizan funciones inversas a las razones trigonométricas.

Dichas funciones son arcoseno, arcocoseno y arcotangente, ya que los ángulos son la medida de

los arcos en una circunferencia.

24'0sen es el arco cuyo seno vale 0’24

79'0cos es el arco cuyo coseno vale -0’79

Para calcular se escribe:

)79'0arccos(

24'0

arcsen

En las calculadoras son las mismas teclas de sin, cos, tan pero en su segunda función, así que hay

que darle primero a SHIFT, INV o 2nd Función

Ejemplo: Calcula los ángulos de las siguientes razones:

sen α = 0’72

tan α = 2`39

cos α = 0’31

sen α = – 0’70

cos α = – 0’27

Hasta ahora hemos calculado razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos

rectángulos, pero se pueden utilizar las razones trigonométricas en triángulos no rectángulos

utilizando los siguientes teoremas

6.15 TEOREMA DEL SENO

En un triángulo de lados a, b y c y de ángulos BA ˆ,ˆ y C se verifica:

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

ˆˆˆ

Calcula el lado c y el lado a de un triángulo si B mide 45º, C mide 60º y b = 5 cm

6.16 TEOREMA DEL COSENO

En un triángulo de lados a, b y c y de ángulos BA ˆ,ˆ y C se verifica:

a2 = b2 + c2 – 2bc·cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac·cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab·cos C

Calcula el ángulo A en el triángulo con a = 2 cm, b = 4 cm, c = 5cm

6.16 PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA

Ejemplo: Una escalera está apoyada en la pared con un ángulo de 30º. Si la altura a la que

se apoya la escalera es de 3’2m, ¿qué longitud tiene la escalera?

Ejemplo: Desde la ventana de su casa Juan ve un gato que está a 10m de su edificio. Si

lo ve con un ángulo de 30º, ¿a cuántos metros está la ventana del suelo?

Ejemplo: En lo alto de un árbol hay un nido con un pájaro. Marta está a 40m del árbol y ve el nido con un ángulo de 60º, ¿qué altura tiene el árbol?

Ejemplo: Luis abre un compás formando un ángulo de 120º. Si la distancia entre las ramas es de 9’2cm, ¿cuánto mide cada rama? (Suponemos las ramas iguales)

Ejemplo: En un castillo, al bajar el puente, éste se queda atascado a una altura de 2’5m

formando un ángulo con la horizontal de 30º ¿cuánto mide el puente?

Ejemplo: Isabel está mirando un cartel en un edificio con un ángulo de 45º. Decide

acercarse 18 metros y ahora lo ve con un ángulo de 60º. ¿A qué altura está el cartel? ¿A

qué distancia inicial estaba Isabel del edificio del cartel?

En un terreno quieren colocar tres bocas de riego formando un triángulo. La distancia entre las bocas de riego A y B mide 2 hm. Entre B y C hay 4 hm, y el ángulo que se forma en B es de

60. ¿Qué distancia hay entre A y C?