CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 1 -

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II

EJERCICIOS DE CLASE

1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC C 90 , se

prolonga CB hasta D tal que DB AC 4 y AB 5

m. Si m DAB . Calcule 65 sen .

A) 4

5 B)

8

4 C)

16

5 D)

8

3 E)

3

5

Solución: Prolongamos AB hasta E y BDE es semejante al triangulo ABC (37°- 53°). Del gráfico:

16 / 5

tan37 / 5

Entonces AD 65

16 / 5sen

65

1665sen

5

CLAVE: D

2. Considerando los datos de la figura, calcule el valor

de 13 15sen .

A) 2 3 B) 3 C) 2 3

5 D) 5 3 E) 2 5

Solución:

Del gráfico: 13k = 2 2

k13

Luego

5 2 13DHsen

DB 5 5

13 15sen 2 3

CLAVE: A

3. En un triángulo isósceles ABC, AB BC , se tiene

que 5

cosB13

. Calcular 2tan C 13 cos A

cotB .

A) 3

5 B)

3

4 C)

2

3 D)

1

2 E)

5

6

Solución:

Del gráfico: A = C, entonces

2

2

tan C 13 cosC

cotB

3 213.

32 13

5 12 5

CLAVE: A

4. En la figura, BC m y AM x , halle el valor de x en

función de m, y . .

A

B C

M

N

A) mcos( ) tan B) mcos .sec

C) mcos .cot( ) D) msen .tan( )

E) msen .tan( ) .

Solución:

Del gráfico m ACM .

MC m.sen

Luego

AM x m.sen .tan

CLAVE: D

5. En el grafico mostrado ABCD es un cuadrado, ADC

es un sector circular con centro en D, m ABM y

m ADM . Calcule tan en términos de .

TRIGONOMETRÍA

04 CIENCIAS

A

B

CD2 10

55 5

H

AA C

B

5k

8k

13k

12k

A

DC B

4

54

16/512/5

E

Trigonometría Ejercicios – Semana 04

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 2 -

BA

CD

M

A)

1 sen

1 cos B)

1 cos

1 sen C)

2 cos

2 sen

D)

1 sen

1 cos E)

1 cos

1 sen

Solución: Se trazan desde M perpendiculares. Del gráfico:

MH L Lcos

HB L Lsen

Luego:

1 costan

1 sen

CLAVE: E

6. Desde un punto en tierra se observa la parte más

alta de un poste con un ángulo de elevación . Si nos acercamos al poste un distancia igual al doble de su altura, el ángulo de elevación es el

complemento de . Calcular tan.

A) 2 B) 3 C) 2 1 D) 2 1 E) 2 3

Solución:

h

2h htanhcot

90°-

Del gráfico:

22

1hcot 2h h tan 2 tan

tan

1 2 tan tan 1 tan 2

Luego: tan 2 1

CLAVE:C

7. En la figura mostrada, si AB 3 u , AD 10 u y

3BM 2MC , hallar 5sen .

A

B C

D

M

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Solución:

Del gráfico, BM MC 10 2k 3k 10 k 2

BM 4 MC 6

Luego AM 5 MD 3 5

AMC

10 3 5 3 5senS 5sen 2

2 2

CLAVE: B

8. Dos barcos parten de un mismo punto y al mismo instante el primero sale en el rumbo S30°E a 40 nudos y el segundo en el rumbo N E, a una

velocidad de 20 2 nudos. Halle para que al

cabo de una hora el segundo esté exactamente al Norte del primero.

A) 30° B) 60° C) 53° D) 37° E) 45°

Solución: Del gráfico, como la posición final de los barcos es paralelo al eje NS

45

CLAVE: E

9. Si y β son ángulos complementarios y se cumple

que

24cos60 3cos

tan75 sen cot 30 5

cos52 sen38 cos52 ,

hallar el valor de 11tan .

A) 3 B) 2 C) 1

2 D) 1 E)

1

3

BA

CD

M

Lcos

Lsen

L

L

H

NN

O E

S

30°

40n

20 2n

Trigonometría Ejercicios – Semana 04

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 3 -

Solución:

24cos60 3sen

tan75 sen cot 30 5

cos52 cos52 cos52

24 1 12 3 sen 3 3sen sen

5 2 10

Luego

1 1

tan 11tan33 11

CLAVE: E

10. Del gráfico mostrado, si CE ED y AE = 1, calcule

el valor de BA sen .csc .sen .

53°

A

E

D

C

B

A) 3/5 B) 4/5 C) 10/3 D) 2/5 E) 5 Solución: De la figura, sen nsen

BHEF es cuadrado. BF nsen

Como AE = 1,

3

AF5

Luego:

3

BA nsen5

sen 3BA sen

sen 5

CLAVE: A

11. En la figura mostrada, si AC a , hallar DE .

A

E

D C

B

A) asen 1 tan tan B) acos 1 tan tan

C) asen 1 tan tan D) acos 1 tan tan

E) asen 1 cot cot

Solución:

Del gráfico, BC a.tan

Entonces CD a.tan tan

AD a a tan tan

Por cálculo de lados: DE a 1 tan tan sen

CLAVE: A

12. helicóptero se encuentra a 2n km de tierra,

observa a un barco que se encuentra al sur con un ángulo de depresión igual a 45º, si el helicóptero se desplaza horizontalmente dirigiéndose hacia el Este, se observa que avanzo 2n km. Calcule el ángulo de depresión con el cual observaría a la embarcación desde esta última posición.

A) 45° B) 37° C) 30° D) 60° E) 15°

Solución:

N

S

O

2n

2n2n

45°x

6n

Del gráfico: 2n 1

tan x x 306n 3

CLAVE: C

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Calcular tan del grafico mostrado.

120°2 4

A) 3

2 B) 2 C) 5 D) 2 E) 3

Solución:

120°24

2

60°2 3

A partir del grafico 3

tan2

CLAVE: A

53°

A

E

D

C

B

n

n

1nsen

nsen

H

F

Trigonometría Ejercicios – Semana 04

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 4 -

2. Si β es la medida del ángulo que forman las diagonales de un cubo, calcular el valor de tan .

A) 3 B) 4 C) 2 D) 2 2 E) 2

Solución: Del gráfico:

23L 2L 2L 2

sen2 4

2 2sen

3

Luego:

tan 2 2

CLAVE: D

3. En la figura mostrada, 3AD 2BC y el área de la

región del triángulo ABC es 250 3 m . Calcular la

medida de 3.AB .

A D C

B

120°

A) 4 13 B) 4 65 C) 26 D) 2 52 E) 46

Solución:

Del gráfico: AD 2

BC 3

ABC

2

S 50 3

5k.3 3k50 3

2

20k

3

Por Pitágoras:

2 2AB 52k

3AB 4 65

CLAVE: B

4. En el gráfico, T es un punto de tangencia y O es centro de la semicircunferencia, exprese el cociente de PM y QN en términos de los ángulos y .

A) 1 cot

1 2sen .cos

B)

1 sen

1 2sen .cos

C) 1 sen

1 2sen .sec

D)

1 cos

1 sen .sec

E) 1 sen

1 2sen .sec

Solución:

D

CTB

A

O

rr r

r

rsen

NM

QP

rcos

HF

Del gráfico:

MF rsen y AN 2r cos NH 2rsen cos

Luego:

PM r rsen 1 sen

QN r 2rsen cos 1 2sen cos

CLAVE: B

5. En la figura mostrada AD 12 u , BD 8 u y

3AB 4BC . Hallar P 6 23 tan 8 2 cos .

A B C

D

A) 20 B) 30 C) 40 D) 45 E) 43 Solución:

Del gráfico: AB 4k y BC 3k

A D C

B

120°

2k 3k

3 3k

2L

2L

2 2L

3L 3L

2L

Trigonometría Ejercicios – Semana 04

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 5 -

Por Pitágoras: 2 2 2DC 144 (7k) 64 (3k)

k 2 DC 46

Luego: 46 3 2

P 6 23 8 2 43163 2

CLAVE: E

6. En el grafico mostrado AB BC AD . Calcular

tan .

AD

C

B

32°

A) 24

125 B)

45

128 C)

21

121 D)

98

289 E)

99

299

Solución:

AD

C

B

16°

16°

16°25

24

7

7

25

25

Del gráfico,

14sen16 98tan

25 14cos16 289

CLAVE: D

7. Una persona observa tres veces la parte más alta de un edificio. En la primera observación el ángulo

de elevación es , para efectuar la segunda observación se acerca sobre la misma línea 9 m y el ángulo de elevación es de 45°, finalmente la última observación la efectúa luego de avanzar 6 m

más y el ángulo de elevación es 90° - . ¿Cuál es la altura del edificio, si la estatura de la persona es de 2 m?

A) 32 m B) 20 m C) 25 m D) 30 m E) 22 m

Solución:

2 m

6 m9 m

90°-45°

h-2

(h-2)tan

h-2

9 6

Del gráfico,

h 2 h 8tan45 tan

6 (h 2) tan h 2

También

h 2(h 2)cot 9 (h 2) tan

h 7

De las ecuaciones: h 20

CLAVE: B

8. En la figura, exprese BD

AD en función de .

A) cos .cos2 .cos3 B) sen .cot 2 .csc 3

C) cos .sen2 .cos3 D) sen .csc 2 .sec 3

E) cos .tan2 .sec 3

Solución:

2

A

B

C

D

H

3n

m

ncos3

mcsc2

De la figura, m

?n

ncos3 DBsen sen2 cos3 csc

mcsc 2 AD

CLAVE: C

9. En la figura mostrada m ABC 90 , m ABD ,

BC = p y BD = q. Calcular AB.

C

B

AD

A)

pqcos

p qsen B)

pqsen

p qcos C)

pq

psen qcos

D)

p qcos

p qcos E)

p qsen

pq

Trigonometría Ejercicios – Semana 04

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 6 -

Solución:

C

B

AD

pq

qsen

qcos

Por semejanza

AB pAB.qsen ABp pqcos

AB qcos qsen

Luego:

pqcosAB

p qsen

CLAVE: A

10. En el gráfico mostrado, el rectángulo ABCD tiene

por área 236 u , además AP 3 5 u y DP 4 3 u .

Halle el valor de tan .

A) 6

2 B)

3

3 C)

2

2 D)

5

2 E) 5

Solución: De la figura:

APD ABCD

1 3 5 4 3S S sen 18

2 2

3

sen15

, luego 6

tan2

CLAVE: A

11. En la figura adjunta, las areas de las regiones triangulares ACD y DEB son iguales. Determine el

valor de 2

tan cot .

A) 3 B) 4 C) 6 D) 2 E) 5

Solución:

A

D

C

BE

n

ntan

H

Del gráfico,

n

ncot 2DH ntan DH cot tan2

n

HE cot tan tan2

Luego ADC DEBS S

222

2 2

n cot tan tann tan

2 4

cot tan 2 cot tan 6

CLAVE: C

12. En el gráfico, OAB es un sector circular, MNPQ es

un cuadrado de lado “L” y AT TB

L L . Si el ángulo

AOB es igual a , calcule el radio de dicho sector

circular.

A) 2L

cot cot 22 2 2

B)

2Ltan tan 4

2 2 2

C) 2L

cot 4cot 52 2 2

D)

2Ltan tan 2

2 2 2

E) 2L

tan 4cot 42 2 2

Solución:

radio OA OB OQ y PQ PM L

Ahora,

22 L L

OQ L cot2 2 2

Luego

2 22 2 2

2

L LOQ L cot L cot

4 2 2 4

Lcot 4cot 5

2 2 2

CLAVE: C

Trigonometría Ejercicios – Semana 04

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 7 -

13. Desde dos puntos A y B en tierra opuestos a un poste, se observa la parte superior de este con ángulos de elevación y respectivamente. Si la

distancia de A a la base del poste es x metros y la

distancia del poste a B es de x 4 metros.

Calcule la altura del poste, si se tan tan 6 .

A) 3x

x 44

B) 3x

x 42

C) 5x

x 42

D) x

x 42

E) x

x 44

Solución:

x+4x

h

Del gráfico, h x tan x 4 tan

6

3xx tan tan 4 tan tan

2

Luego 3x

h x 42

CLAVE: B

14. Se tiene dos torres de 24m y 7m de altura,

distanciados 31 m uno del otro. Determine el

mínimo ángulo de elevación con que una persona observaría la parte superior de la torre menor, desde un punto ubicado entre las dos torres; sabiendo que el ángulo de elevación para la torre mayor, desde ese punto, es el complemento del que se pide calcular.

A) 8 B) 30 C) 16 D) 37 E) 24

Solución:

24

7

x31-x

Del gráfico,

27 31 xtan x 31x 168 0

x 24

x 24 16

CLAVE: C