Tarea 6. Resuelta

1. Escribe el hamiltoniano completo para el átomo de Be,

2

2 2 2 2

1 2 3 4

0 1 2 3 4

2

0 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

4 1 1 1 1ˆ2 4

1 1 1 1 1 1

4

e

eH

m r r r r

e

r r r r r r r r r r r r

2. Si investigas la configuración electrónica del Cu notarás cierta anomalía con respecto a lo

esperado siguiendo las reglas que aprendiste antes de este curso.

a. Enlista todos los elementos con configuraciones electrónicas “anómalas”.

Cromo, cobre, niobio, molibdeno, rutenio, rodio, paladio, plata, lantano, cerio, platino, oro,

gadolinio, actinio, torio, protactinio, uranio, neptunio, curio.

b. Investiga lo que dice la Regla de máxima multiplicidad de Hund y discute su

relación con la energía de intercambio.

Regla de Hund: Al llenar orbitales degenerados, los electrones se distribuyen, siempre que sea

posible, con sus espines paralelos. La configuración electrónica es más estable (tiene menor

energía) cuando tiene electrones desapareados (espines paralelos) que cuando esos electrones

están apareados (espines opuestos o antiparalelos).

Esta regla está fundamentada en la interacción de intercambio. Cuando los espines de dos

electrones son paralelos el término de intercambio es diferente de cero disminuyendo la energía de

la configuración con respecto a tener espines antiparalelos con los cuales el término de

intercambio se anula.

3. Teniendo 5 electrones en un orbital d se pueden tener 12 arreglos de espín.

a. Dibuja los 12 esquemas de distribución.

b. Asigna el número cuántico de espín atómico S a cada esquema.

c. Asigna el número cuántico MS a cada esquema.

Respuestas:

5 52 2

5 32 2

5 12 2

5 12 2

5 32 2

5 52 2

3 32 2

3 12 2

3 12 2

3 32 2

1 12 2

1 12 2

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S M

S M

S M

S M

S M

S M

S M

S M

S M

S M

S M

S M

4. Orbitales de Slater

a. Calcula los valores promedio para el radio de Slater (‹r›ST) correspondientes a las

capas de valencia de los átomos desde H hasta Ne.

Aplicando las fórmulas incluidas:

0

0 0

21 2

2 3 1 3

1 2

00 0

2 1 2 1

2 22 1 2 1

0 00 0

1 2

2 !

1 2 1 2

2 ! 2 !

n

Z r an

nST

n n

Z r a Z r an n

Zr R r r dr r e r dr

an

Z Zr e dr r e dr

n a n a

Igualando con la fórmula de integración se reconoce que:

022 1

0

;

22 1;

Z r an n bxx r e e

Zn n b

a

Pero antes de usar dicha fórmula veamos si es posible simplificarla. La serie resultante es

una integral indefinida, al evaluarla entre límites se tiene:

100

0

0

1 10 0

!

!

0! !lim

! !

n mbx nn bx

nm

n mn mbx bn n

n nxm m

bxn ex e dx

b n m

bbxn e n e

b n m b n m

El primer sumando incluye una exponencial negativa que al estar evaluada en infinito hace

que todo el término sea cero. En cuanto al segundo, todos los términos de la suma son cero,

excepto el independiente, cuando n – m = 0. Entonces:

0

1 1

0

0! !

0!

n bx

n n

bn nx e dx

b b

Sustituyendo las relaciones encontradas:

0

2 1 2 1

22 1

2 2

0 00

0

00

2 1 !1 2 1 2

2 ! 2 ! 2

2 1 ! 2 1

2 2 ! 2

n n

Z r an

nST

nZ Zr r e dr

n a n a Z

a

n a na

Z n Z

Por otro lado, en la capa de valencia la carga nuclear efectiva de los átomos es:

H

He

Li

Be

B

C

N

O

F

Ne

1

2 0.31 1.69

3 2 0.85 1.3

4 2 0.85 0.31 1.99

5 2 0.85 2 0.31 2.68

6 2 0.85 3 0.31 3.37

7 2 0.85 4 0.31 4.06

8 2 0.85 5 0.31 4.75

9 2 0.85 6 0.31 5.44

10 2 0.85 7 0.31 6.13

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Finalmente, los radios de Slater son:

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

3 20.794 Å

2

1500.470 Å

169

251.018

2 1 1 2 2 1H C

2 1 2 3.37

2 1 1He

2 1.69

2 2 1Li

2 1.3

2 2 1Be

2 1

Å13

2500.665 Å

199

1250.494 Å

13

.9

4

9

2 2 1B

2 2.68

ST ST

ST

ST

ST

ST

a ar r

ar

ar

ar

ar

a

a

a

a

a

0

0

0

0

0

0

0

0

0

500.393 Å

337

1250.326 Å

203

100.

2

279 Å19

1250.243

2 1N

2 4.06

2 2 1O

2 4.75

2 2 1F

2 5.44

2 2 1Ne

2 6.13

Å272

2500.216 Å

613

ST

ST

ST

ST

ar

ar

ar

ar

a

a

a

a

a

b. Construye una gráfica ‹r›ST vs. Z y compara tanto tendencia como valores con los

reportados en la literatura. Discute brevemente esta comparación.

Radios atómicos reportados (Chang

2002)

Átomo r [Å]

H 0.32

He 0.50

Li 1.52

Be 1.12

B 0.98

C 0.91

N 0.92

O 0.73

F 0.72

Ne 0.70

Puede notarse que el modelo de carga nuclear efectiva predice correctamente la tendencia a

lo largo del segundo periodo, pero falla por completo en el primero. De igual manera en los

datos reportados se observa un “hombro” en el nitrógeno, aspecto no previsto por el

modelo. En cuanto a valores notamos que en general el modelo de Slater predice valores

para el radio menores que los observados, excepto para H donde esto se invierte y para He,

donde se obtiene un valor considerablemente cercano al reportado.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 2 4 6 8 10 12

r/a 0

Z

Cálculo Experimental

c. Recalcula los radios anteriores utilizando la expresión para el radio promedio de un

orbital hidrogenoide. ¿A qué pueden deberse las diferencias entre resultados con el

cálculo anterior?

0

0

20

20

200

0

20

20

2

0

00

30.794 Å

2

30.397 Å

4

2 1.058 Å

30.794 Å

2

0.529 Å

50.441

H 3 1 0 0 12 1

He 3 1 0 0 12 2

Li 3 2 0 0 12 3

Be 3 2 0 0 12 4

B 3 2 1 1 12 5

C 3 2 1 1 12 6

Å6

ST

ST

ST

ST

aa

a

a

a

a

a

r

ar

ar

ar

ar

ar

0

0

0

0

20

20

20

20

N 3 2 1 1 12 7

O 3

50.377 Å

7

50.331 Å

8

50.294 Å

9

10.265

2 1 1 12 8

F 3 2 1 1 12 9

Ne 3 2 1 1 12 10

Å2

ST

ST

ST

ST

ar a

a

a

a

ar

ar

ar

d. Repite el cálculo del inciso anterior pero sustituye Z por Z* en la capa de valencia.

20

20

20

0

0

0

0

20

H 3 1 0 0 12 1

He 3 1 0 0 12 1.69

Li 3 2 0 0

30.794 Å

2

1500.470 Å

169

602.442 Å

13

6001.596 Å

199

12 1.3

Be 3 2 0 0 12 1.99

ST

ST

ar

ar

ar

ar

a

a

a

a

0

0

0

20

20

20

20

20

0

0

B 3 2 1 1 12 2.68

C 3 2 1 1 12 3.37

N 3 2 1 1 1

1250.987 Å

67

5000.785 Å

337

2500.652 Å

2 4.06

O 3 2 1 1

203

200.557 Å

19

1

12 4.7

250.

5

F 3 2 1 1 12 5.4

4861364

ST

ST

ST

ST

ST

ar

ar

ar

a

a

r

a

a

ar

a

a

2

00Ne 3 2 1 1 1

Å

5000.432

2 6.13 Å

613ST

ar a

e. ¿Qué te dicen estos resultados sobre el modelo de Slater?

El modelo de Slater permite hacer algunas predicciones cualitativas, sin embargo en general es

malo para hacer predicciones cuantitativas en lo que a tamaños atómicos se refiere.

Resulta interesante que la expresión exacta para átomos hidrogenoides arroje resultados muy

similares a los predichos por el modelo de Slater, pero que al corregir la expresión

hidrogenoide exacta con las cargas nucleares efectivas de hecho se obtengan resultados más

cercanos a los reportados en la literatura. Esto podría significar que si bien la forma de los

orbitales de Slater no es todavía apropiada para representar átomos polielectrónicos con

exactitud, al parecer el efecto pantalla y el concepto de carga nuclear efectiva son correcciones

razonables como lo demuestra el aplicarlos junto con la solución exacta.

5. Para el átomo de Si en el estado base,

Respuestas:

a. Escribe la configuración electrónica empleando la abreviatura con kernel.

Si: [Ne]3s23p

2

b. ¿Cuál de los siguientes desgloses es más apropiado para la capa de valencia?

i. 3s13px

23py

1

ii. 3s13px13py

13pz

1

iii. 3s23px

2

iv. 3s23px

13py

1

v. 3px23py

13pz

1

c. Calcula la energía del estado base empleando el método de la carga nuclear

efectiva.

2 2 2

14 0.31 13.69

14 2 0.85 7 0.35 9.85

14 2 1 8 0.85 3 0.35 4.15

Si 13.606 e 7844.112 eV 2 8 41 2

V3

K

L

M

K L MT

Z

Z

Z

Z Z ZE

d. Calcula la longitud de onda del fotón necesario para enviar un electrón de la capa L

a la capa O.

Para un átomo de silicio excitado de la forma en que se indica, la configuración electrónica

es:

Si*: 1s

22s

22p

53s

25s

1

Por lo que su energía usando el método de la carga nuclear es:

22 2 2

14 0.31 13.69

14 2 0.85 6 0.35 10.20

14 2 1 7 0.85 3 0.35 5.00

14 2 1 7 1 4 1 1

Si 13.606 eV 2 7 4 7728.758 eV1 2 3 5

K

L

M

O

OK L MT

Z

Z

Z

Z

ZZ Z ZE

La longitud de onda del fotón es:

34 8

19

6.626 10 Js 3.00 10 1

7728.7582 eV 7844.112 eV 1.602 10 J eVSi Si

10.748 nm

T T

hc

E E

e. Calcula las 2 primeras energías de ionización.

El Si+ tiene como configuración:

Si+: [Ne]3s

23p

1

Quitar un electrón de su capa de valencia cambia la carga nuclear efectiva solamente en dicha

capa, por lo tanto sólo vale la pena calcular los cambios producidos ahí:

2 2

1

14 2 1 8 0.85 2 0.35 4.50

4.50 4.15Si Si 13.606 eV 3 12.306 4

3eV

3

MZ

EI E E

Noten que se omitieron el resto de subcapas ya que al ser iguales automáticamente se

eliminan en la resta.

Para Si2+

Si2+

: [Ne]3s2

De nuevo, solamente hay cambio en la capa de valencia, el cálculo procede como:

2 2

2

2

14 2 1 8 0.85 0.35 4.85

4.85 4.50Si Si 13.606 eV 2 3

3 320.718 eV

MZ

EI E E

6. Para el átomo de carbono (C, Z = 6)…

Respuestas:

a. Calcula la energía electrónica total experimental.

exp 11.2603 eV 24.3833 eV 47.8878 eV 64.4939 eV 392.087 eV 489.991 e

1030.0223 eV

VE

b. Utiliza la tabla de constantes de apantallamiento para calcular las cargas nucleares

efectivas para los niveles 1s y 2s2p.

6 0.31 5.69

6 2 0.85 3 0.35 3.25

K

L

Z

Z

c. Calcula las energías para los niveles 1s y 2s2p.

2

2

13.606 eV 440.4992 eV1

13.606 eV 35.9275 eV2

KK

LL

ZE

ZE

d. Calcula la energía electrónica total teórica y el error con respecto a la experimental.

exp

exp

2 4

1030.0223 eV

1024.7084 eV

0.51024

2 .784 eV

%E 100 1001030.0223 e

%V

T K L

T

E E E

E E

E

e. Repite los pasos anteriores para calcular todas las formas catiónicas del carbono,

desde C+ hasta C

4+. (Se vale usar Excel). Luego calcula la energía del hidrogenoide

C5+

.

2

3

4

5

1013.2458 eV

987.1399 eV

943.8908 eV

880.9985 eV

489.8049 e

C

C

V

C

C

C

E

E

E

E

E

f. Calcula todas las energías de ionización teóricas y calcula el error con las

experimentales.

1

2

3

4

5

6

%E

%E

%E

11.4628 eV 1.80 %

26.1059 eV 7.06 %

43.2491 eV 9.69 %

62.8923 eV 2.48 %

391.1936

%

E

%E

%

eV 0.23 %

489.8049 eV 0.04 %E

EI

EI

EI

EI

EI

EI

g. Compara en un diagrama las energías de los niveles 1s y 2s2p para cada forma

(neutra y catiónica). Sé consistente con la energía de amarre de acuerdo a la carga

nuclear que deben “sentir” los electrones conforme los vas retirando.

2s2p 2s2p 2s2p 2s2p 2s2p 2s2p

1s 1s 1s 1s 1s

1s

-500

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

C C+ C2+ C3+ C4+ C5+

7. Consigue una tabla con la escala de electronegatividades de Pauling. Investiga los valores

de afinidad electrónica y la primera energía de ionización de los primeros 10 elementos de

la tabla periódica. Si estos valores pueden relacionarse mediante la expresión:

m EI AE b

donde χ es la electronegatividad, EI es la primera energía de ionización y AE es la afinidad

electrónica.

Calcula los valores más aceptables para m y b mediante regresión lineal con las energías

expresadas en kJ/mol.

Datos

Átomo EI1 [kJ/mol] AE [kJ/mol] χ

H 1312 72.552 2.2

Li 520 59.63 0.98

Be 899 0 1.57

B 801 26.7 2.04

C 1086 121.85 2.55

N 1402 0 3.04

O 1314 140.97523 3.44

F 1681 328.1638 3.9

3

2

2.011 10

1.003 10

m

b

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 500 1000 1500 2000 2500

Ele

ctro

ne

gati

vid

ad

EI + AE

8. Ordena las siguientes secuencias de menor a mayor volumen:

Respuestas

a. Si4+

< Si3+

<Si2+

< Si+ < Si < Si

− < Si

2− < Si

3− < Si

4−

b. H < Li < Na < K < Rb < Cs < Fr

c. Ne < F < O < N < C < B < Be < Li

d. C4+

< Be2+

< Li+ < F

− < O

2− < N

3− <C

4−

e. N3−

< P3−

< As3−

< Sb3−

< Bi3−

9. Calcula la afinidad electrónica de todos los elementos del segundo periodo.

Determina el % de error con respecto a datos reportados en una fuente bibliográfica.

Para la afinidad electrónica del átomo A:

A A AAE E E

Para Li:

2 2

3 0.31 2.69

3 2 0.85 1.30

Li 13.606 eV 2 202.657 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Para Li−:

2 2

3 0.31 2.69

3 2 0.85 0.35 0.95

Li 13.606 eV 2 2 203.048 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Por lo tanto:

Li 0.391 eVAE

Para Be:

2 2

4 0.31 3.69

4 2 0.85 0.35 1.95

Be 13.606 eV 2 2 396.389 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Para Be−:

2 2

4 0.31 3.69

4 2 0.85 2 0.35 1.6

Be 13.606 eV 2 3 396.645 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Por lo tanto:

Be 0.256 eVAE

Para B:

2 2

5 0.31 4.69

5 2 0.85 2 0.35 2.60

B 13.606 eV 2 3 667.540 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Para B−:

2 2

5 0.31 4.69

5 2 0.85 3 0.35 2.25

B 13.606 eV 2 4 667.438 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Por lo tanto:

B 0.102 eVAE

Para C:

2 2

6 0.31 5.69

6 2 0.85 3 0.35 3.25

C 13.606 eV 2 4 1024.732 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Para C−:

2 2

6 0.31 5.69

6 2 0.85 4 0.35 2.90

C 13.606 eV 2 5 1024.052 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Por lo tanto:

C 0.680 eVAE

Para N:

2 2

7 0.31 6.69

7 2 0.85 4 0.35 3.90

N 13.606 eV 2 5 1476.587 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Para N−:

2 2

7 0.31 6.69

7 2 0.85 5 0.35 3.55

N 13.606 eV 2 6 1475.107 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Por lo tanto:

N 1.480 eVAE

Para O:

2 2

8 0.31 7.69

8 2 0.85 5 0.35 4.55

O 13.606 eV 2 6 2031.723 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Para O−:

2 2

8 0.31 7.69

8 2 0.85 6 0.35 4.20

O 13.606 eV 2 7 2029.229 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Por lo tanto:

O 2.494 eVAE

Para F:

2 2

9 0.31 8.69

9 2 0.85 6 0.35 5.20

F 13.606 eV 2 7 2698.780 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Para F−:

2 2

9 0.31 8.69

9 2 0.85 7 0.35 4.85

F 13.606 eV 2 8 2695.038 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Por lo tanto:

F 3.742 eVAE

Para Ne:

2 2

10 0.31 9.69

10 2 0.85 7 0.35 5.85

Ne 13.606 eV 2 8 3486.363 eV1 2

K

L

K L

Z

Z

Z ZE

Para Ne−:

2 2 2

10 0.31 9.69

10 2 0.85 7 0.35 5.85

10 2 1 8 0.85 1.2

Ne 13.606 eV 2 8 3488.540 eV1 2 3

K

L

M

K L M

Z

Z

Z

Z Z ZE

Por lo tanto:

Ne 2.177 eVAE

Elemento Afinidad Electrónica [eV]

Error [%] Calculada Reportada

Li 0.391 0.618 36.70

Be 0.256 --- ---

B −0.102 0.280 136.44

C −0.680 1.262 153.91

N −1.480 0 ---

O −2.494 1.461 271.12

F −3.742 3.401 210.02

Ne 2.177 --- ---