3º medio_fisica estudiante

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

ao medio

AutoresProfesor de Fsica Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educacin

L. A. Pavez F.

Licenciado en Fsica Ponticia Universidad Catlica de Chile

J. E. Jimnez C.

Doctor en Fsica Ponticia Universidad Catlica de Chile

E. Ramos M.

SANTIAGO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID MXICO NUEVA YORK SAN JUAN SANTA FE DE BOGOT SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TORONTO

Fsica 3 ao medioTEXTO PARA EL ESTUDIANTEAutores Luis A. Pavez F. Javier E. Jimnez C. Esteban Ramos M. Editora Paola Gonzlez Diseo y diagramacin Pamela Madrid Correccin de prueba Patricia Romero Ilustraciones Faviel Ferrada Jacob Bustamante Archivo grco Banco imgenes McGraw-Hill

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otro mtodo sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. DERECHOS RESERVADOS 2009 McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA. Carmencita 25, ocina 51, Las Condes Telfono 56-2-6613000 Santiago de ChileLa materialidad y fabricacin de este texto est certificada por el IDIEM Universidad de Chile.

ISBN: 978-956-278-220-3 N de Inscripcin: 186.064 Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile. Se termin de imprimir esta primera edicin de 137.162 ejemplares, en el mes de diciembre de 2009.

PresentacinLa Fsica va ms all de las ecuaciones y los nmeros. Muchas cosas que suceden en nuestro alrededor tienen relacin con ella: los colores del arco iris, el brillo, la dureza del diamante son temas de la Fsica, asimismo, acciones como caminar, correr o andar en bicicleta involucran los principios de esta ciencia. Por ello, se ha tenido especial cuidado en establecer la relacin entre los contenidos y aspectos de la vida diaria, como la tecnologa de uso comn, la salud, etc. Este libro pretende ser una herramienta til para todos los estudiantes que cursan el tercer ao medio. El objetivo es que, leyendo con atencin cada una de las secciones, puedas obtener en forma paulatina, progresiva y ordenada los conceptos bsicos necesarios para su formacin cientca. Los contenidos se han estructurado en dos grandes unidades didcticas: Mecnica y Fluidos, las que a su vez se han separado en captulos y secciones para entregarte una estructura ms dinmica y didctica. Todas las secciones te presentarn actividades de indagacin, ejemplos, contexto histrico, actividades de profundizacin, sntesis, preguntas y ejercicios propuestos y evaluaciones. La Fsica es una actividad humana, una aventura excitante y en este curso conocers el fruto de muchos hombres y mujeres que dedicaron su vida a la investigacin para comprender nuestro mundo.

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Estructura grficaEl texto para el estudiante est ordenado siguiendo el siguiente esquema:

Unidad 1. MecnicaCaptulo 1: Movimiento circular Captulo 2: Energa mecnica Seccin 1: Movimiento circular uniforme Seccin 2: Momento angular y su conservacin Seccin 3: Energa y movimiento Seccin 4: Conservacin de la energa mecnica

Unidad 2. FluidosCaptulo 3: Hidrosttica Captulo 4: Hidrodinmica Seccin 5: Presin y principio de Pascal Seccin 6: El principio de Arqumedes Seccin 7: Fluidos en movimiento

Entrada de Unidad presenta los aprendizajes esperados y las primeras interrogantes motivadoras respecto a los temas a trabajar.

Entrada de captulo con preguntas motivadoras iniciales. Estas preguntas tienen un sentido diagnstico, ya que, por una parte, aluden a conocimientos que se espera sean de dominio del estudiante y, por otra parte, aluden a conceptos relacionados con el contenido del captulo.

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Indagacin, actividades que permiten a los estudiantes incentivar la curiosidad y desarrollar habilidades de investigacin cientca.

Contexto histrico de la fsica da referencias de las personas que contribuyeron al desarrollo del conocimiento en el rea de la fsica relacionada con la seccin.

Actividad de profundizacin sirve para consolidar el aprendizaje de la primera parte de la seccin y desafa a los estudiantes a enfrentar un problema en base al mtodo cientco.

Evaluacin intermedia permite evaluar el grado de avance en la comprensin de los contenidos.

Preguntas y ejercicios: batera de ejercicios propuestos que tienen por objetivo que el estudiante aplique los contenidos desarrollados en la seccin.

Sntesis, muestra un mapa conceptual que lleva a los estudiantes a ordenar y jerarquizar los contenidos de la seccin.

Evaluacin nal, pone a prueba los aprendizajes logrados en la seccin.

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ndiceUnidad 1. MecnicaCAPTULO 1: MOVIMIENTO CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CAPTULO 2: ENERGA MECNICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Indagacin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Indagacin 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Seccin 1: Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . 15 Trayectoria circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 El perodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 La frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Indagacin 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 La aceleracin centrpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 La fuerza centrpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Algunos casos de la fuerza centrpeta . . . . . . . . . . . . . 25 Contexto histrico de la fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Indagacin 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Indagacin 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Seccin 2: Momento angular y su conservacin . . . . . . 37 El momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 La inercia rotacional o momento de inercia . . . . . . . . 40 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Indagacin 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Inercia y conservacin del momento angular . . . . . . . 48 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Indagacin 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Indagacin 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Seccin 3: Energa y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Sistema y entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Trabajo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Indagacin 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Energa mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Energa mecnica total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Contexto histrico de la fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Indagacin 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Indagacin 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Seccin 4: Conservacin de la energa mecnica . . . . . 86 Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas . . . . . . . . 86 El principio de conservacin de la energa mecnica . 88 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Indagacin 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Conservacin de la energa y roce . . . . . . . . . . . . . . 101 Contexto histrico de la fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 109 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Unidad 2. FluidosCAPTULO 3: HIDROSTTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Indagacin 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Indagacin 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Seccin 5: Presin y principio de Pascal . . . . . . . . . . . 117 Lquidos y gases en el Universo . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Indagacin 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Presin hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Presin atmosfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 136 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Indagacin 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Seccin 6: El principio de Arqumedes . . . . . . . . . . . . 140 Por qu un objeto se hunde o ota? . . . . . . . . . . . . 142 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Indagacin 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Tensin supercial y capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . 147 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 155 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Solucionario 188

CAPTULO 4: HIDRODINMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Indagacin 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Indagacin 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Seccin 7: Fluidos en movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Lneas de ujo y ecuacin de continuidad . . . . . . . . 162 La ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Indagacin 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . 176 Viscosidad y velocidad lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 El ujo sanguneo en el cuerpo humano . . . . . . . . . . 182 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 185 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

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Seguridad en el laboratorioEl laboratorio de ciencias es un lugar seguro para trabajar si eres cuidadoso y ests atento a las normas de seguridad. Debes ser responsable de tu seguridad y de la de los dems. Las reglas que aqu se proporcionan te protegern a ti y a los otros de sufrir daos. Mientras realices procedimientos en cualquiera de las actividades, presta atencin en los enunciados de precaucin.

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Siempre obtn el permiso de tu profesor o profesora para comenzar la prctica. Estudia el procedimiento. Si tienes preguntas, plantaselas a tu profesor(a). Asegrate de entender todas las normas de seguridad sugeridas. Usa el equipo de seguridad que se te proporcione. Cuando cualquier prctica requiera usar sustancias qumicas, debes usar lentes, delantal y guantes de seguridad. Cuando calientes un tubo de ensayo, siempre ladalo de modo que la boca apunte lejos de ti y de los dems. Nunca comas o bebas en el laboratorio. Nunca inhales qumicos. No pruebes sustancias o introduzcas algn material en tu boca. Si derramas algn qumico, reporta el derrame a tu profesor(a) sin prdida de tiempo. Aprende la ubicacin y el uso adecuado del extintor de incendios, el botiqun de primeros auxilios y cualquier equipo de seguridad complementario. Mantn todos los materiales lejos de amas abiertas. Amrrate el cabello si lo tienes largo.

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Si en el saln de clase se inicia un fuego o si tu ropa se incendia, sofcalo con un abrigo o ponte bajo la llave del agua. NUNCA CORRAS. Reporta a tu profesor o profesora cualquier accidente o lesin, sin importar lo pequeo que ste sea.

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Sigue estos procedimientos mientras limpias tu rea de trabajo.1 2 3

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Cierra el agua y el gas. Desconecta los dispositivos elctricos. Regresa los materiales a sus lugares. Desecha las sustancias qumicas y otros materiales de acuerdo con las indicaciones de tu profesor(a). Coloca los vidrios rotos y las sustancias slidas en los contenedores adecuados. Nunca deseches materiales en la caera. Limpia tu rea de trabajo. Lvate las manos a conciencia despus de trabajar en el laboratorio.

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Primeros auxilios en el laboratorioLesin Quemaduras Cortaduras y raspones Desmayo Materia extraa en el ojo Envenenamiento Cualquier derrame en la piel Respuesta segura Aplicar agua fra. Llamar de inmediato al profesor o profesora. Detener cualquier sangrado mediante la aplicacin de presin directa. Cubrir los cortes con un pao limpio. Aplicar compresas fras a los raspones. Llamar de inmediato al profesor(a). Dejar que la persona se recueste. Aojar cualquier ropa apretada y alejar a las personas. Llamar de inmediato al profesor(a). Lavar con mucha agua. Usar lavado ocular con botella o directamente bajo la llave. Anotar el agente venenoso sospechoso y llamar de inmediato al profesor(a). Lavar con mucha agua. Llamar de inmediato al profesor(a).

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Smbolos de las medidas de seguridad

SMBOLOSDESECHAR CON PRECAUCIN PELIGRO BIOLGICO RIESGO DE QUEMADURAS PRECAUCIN, OBJETOS PUNZOCORTANTES PRECAUCIN, VAPORES PELIGROSOS PRECAUCIN, ELECTRICIDAD SUSTANCIAS IRRITANTES PRODUCTOS QUMICOS PELIGROSOS PRECAUCIN, VENENO PRECAUCIN, SUSTANCIA INFLAMABLE PELIGRO DE INCENDIO

PELIGROSe debe seguir un procedimiento especial para desechar los materiales. Organismos o material biolgico que puede causar dao a los humanos. Objetos que pueden quemar la piel por estar muy fros o muy calientes. Uso de herramientas o material de vidrio que fcilmente pueden perforar o cortar la piel. Posible dao al tracto respiratorio por exposicin directa a los vapores. Posible dao por choque elctrico o quemadura.

EJEMPLOSAlgunos productos qumicos y organismos vivos. Bacterias, hongos, sangre, tejidos no conservados, materiales vegetales. Lquidos hirviendo, parrillas de calentamiento, hielo seco, nitrgeno lquido. Cuchillos cartoneros, herramientas con punta, agujas de diseccin, vidrio roto. Amoniaco, acetona, quitaesmalte, azufre caliente, pastillas contra las polillas. Conexiones mal hechas, derrame de lquidos, cortocircuitos, cables expuestos. Polen, pastillas contra las polillas, lima de acero, fibra de vidrio, permanganato de potasio. Blanqueadores, como el perxido de hidrgeno; cidos como el cido clorhdrico; bases como el amoniaco y el hidrxido de sodio. Mercurio, muchos compuestos metlicos, yodo, algunas partes de la flor de nochebuena. Alcohol, queroseno, permanganato de potasio.

PRECAUCINNo deseches estos materiales en el drenaje o basurero. Evita el contacto de estos materiales con tu piel. Utiliza una mascarilla y guantes. Utiliza proteccin indicada cuando trabajes con estos objetos. Utiliza tu sentido comn cuando trabajes con objetos punzocortantes y sigue las indicaciones pertinentes cuando utilices herramientas. Asegrate de que haya una buena ventilacin. Nunca aspires los vapores directamente. Utiliza una mascarilla. Revisa dos veces el circuito con tu profesor(a). Revisa las condiciones de los cables y los aparatos. Utiliza una mascarilla para polvo y guantes. Toma precauciones extras cuando trabajes con estos materiales. Utiliza lentes de proteccin, guantes y un delantal.

REMEDIODesecha los residuos como lo indique tu profesor(a). Avisa a tu profesor(a) si entras en contacto con material biolgico. Lvate las manos minuciosamente. Pide a tu profesor(a) ayuda de primeros auxilios. Pide a tu profesor(a) ayuda de primeros auxilios.

Aljate del rea y avisa a tu profesor(A) inmediatamente.

No intentes arreglar los problemas elctricos. Avisa a tu profesor(a) inmediatamente. Pide a tu profesor(a) ayuda de primeros auxilios.

Sustancias que pueden irritar la piel o las membranas mucosas del tracto respiratorio. Productos qumicos que pueden reaccionar y destruir tejido y otros materiales.

Enjuaga inmediatamente el rea con agua y avisa a tu profesor(a).

Sustancias que resultan venenosas cuando se tocan, se inhalan o se ingieren. Productos qumicos inflamables que pueden encenderse debido a la presencia de fuego, chispas o calor. Los mecheros en uso pueden ocasionar incendios.

Sigue las instrucciones que te indique tu profesor(a).

Lava bien tus manos despus de utilizar estas sustancias. Pide a tu profesor(a) ayuda de primeros auxilios. Avisa a tu profesor(a) inmediatamente. Si es posible, usa equipo de seguridad contra fuego. Avisa a tu profesor(a) inmediatamente. Si es posible, usa equipo de seguridad contra fuego.

Cuando trabajes con sustancias qumicas inflamables, evita utilizar mecheros y fuentes de calor. Amarra tu cabello y ropa holgada. Sigue las instrucciones que te indique tu profesor sobre incendios y extintores.

Cabello, ropa, papel, materiales sintticos.

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Aprendizajes esperados Al completar la Unidad, alumnos y alumnas: reconocen la utilidad del lenguaje vectorial en la descripcin del movimiento; deducen y aplican con soltura las relaciones del movimiento circular uniforme a una variada gama de situaciones (por ejemplo, la de un planeta que orbita en torno al Sol); reconocen experimentalmente la existencia de la fuerza centrpeta y explican su origen en diferentes y variadas situaciones en que objetos se mueven en trayectorias circulares y con rapidez constante; aplican la denicin de momento angular a objetos de formas simples que rotan en relacin a un eje y reconocen la conservacin de esta magnitud fsica tanto en valor como en direccin y las condiciones bajo las cuales ella se conserva; aprecian la utilidad predictiva de las leyes de conservacin del momento angular y de la energa mecnica; construyen y analizan grcos de las distintas energas mecnicas; reconocen en el roce cintico una forma en que habitualmente se disipa la energa mecnica; conocen las situaciones en que es adecuado emplear la ley de conservacin de la energa mecnica y usan procedimientos adecuados en su aplicacin; reconocen en los fenmenos con movimiento circular y aquellos debidos a la accin de la fuerza de gravedad que suelen ocurrir en el entorno cotidiano, los conceptos ms relevantes con los que se les describe y las leyes fsicas que los rigen; son capaces de argumentar en base a los conceptos bsicos de la fsica la explicacin de algn fenmeno fsico; pueden comunicar las ideas y principios fsicos que explican un determinado fenmeno de la naturaleza.

En la competicin de atletismo conocida como lanzamiento del martillo, el martillo es en realidad una bola de metal (una masa de 4 kg para las mujeres o de 7,26 kg para los hombres) unida a un cable que tiene un asa en el otro extremo. El atleta gira varias veces para impulsar la bola, cuidando de no salir de un crculo de 2,1 m de dimetro, y despus la suelta. El ganador es el atleta que lanza la bola a mayor distancia. Cunta fuerza debe ejercer el atleta sobre el asa para hacer que el martillo gire en trayectoria circular? Qu tipo de trayectoria sigue el martillo despus de ser lanzado?

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Mecnica

Captulo 1

Antes de empezar...1 Dnde puedes apreciar movimientos circulares en tu vida cotidiana? 2 Cmo se calcula el rea y el permetro de un crculo cuyo radio es R? 3 En qu unidad se miden los ngulos? 4 Suponiendo que la Tierra orbita al Sol en una rbita circular de radio R, cul es la relacin entre la rapidez angular () y la rapidez tangencial (v) de la Tierra? 5 Si un automvil realiza un movimiento circular uniforme al doblar en una curva, cambia su velocidad? 6 Cul crees que es la diferencia entre el momento lineal y el momento angular? 7 Por qu una gimnasta de patinaje artstico gira ms rpido cuando junta sus brazos al cuerpo? 8 Cmo dos personas de distinto peso pueden mantener en equilibrio un balancn? 9 Por qu crees que la mayora de las puertas tienen la manilla en el extremo y no en el medio?

Con ninguna disposicin he encontrado simetra tan maravillosa, conexin tan armnica de los astros, como colocando la antorcha del mundo, el Sol, que gobierna las revoluciones circulares de toda la familia de los astros, sobre el trono en el magnco templo de la naturaleza.Nicols Coprnico (1473 1543), sacerdote y astrnomo polaco.

10 Qu duracin tendra el ao solar si la distancia Tierra-Sol fuera la mitad de lo que es? 11 Imagina dos cilindros de igual forma y masa, pero uno hueco y el otro macizo. Cul de los cilindros rueda ms rpido por un plano inclinado? Por qu?

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Captulo 1: Movimiento Circular

Indagacin N1 Cmo se hace una curva?PARTE I: Trabajo personal Seguramente te has dado cuenta que muchos de los movimientos que observamos a diario no son siempre rectilneos. Por ejemplo, el movimiento de un automvil en una curva o el movimiento del t al revolverlo con una cuchara. Reexiona sobre las siguientes preguntas y responde en tu cuaderno. a) Qu caractersticas tiene el movimiento circular uniforme? Qu magnitudes cambian en el tiempo y qu magnitudes se mantienen constantes? b) Cmo es que los automviles pueden doblar en las curvas sin seguir de largo por el camino? PARTE II: Trabajo en equipo Junto a un compaero o una compaera, contrasten las respuestas dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuacin, elaboren una hiptesis en conjunto que d respuesta a la segunda pregunta. a) Registren la hiptesis en sus cuadernos e identiquen cules son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hiptesis, diseen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicacin aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisin, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fcil adquisicin o construccin y tiempos razonables para la observacin y el anlisis de sus resultados. c) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn las indicaciones que les d su profesor(a). Recuerden que una hiptesis es una explicacin posible que se supone cierta hasta que pueda ser contrastada empricamente. Por esta razn, es fundamental que la hiptesis se reera a un nmero reducido de variables observables y de algn modo medibles, que eventualmente pueden ser controladas en un experimento.

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Mecnica

Indagacin N2 Por qu la Luna no cae directamente a la Tierra?PARTE I: Trabajo personal Cuando un objeto se deja caer libremente sobre la supercie terrestre, sigue una trayectoria rectilnea dirigida hacia el centro de la Tierra. En cambio, un objeto que es lanzado como un proyectil con cierta velocidad inicial, realiza una trayectoria curva, pero igualmente cae al suelo. Sin embargo, la Luna no cae verticalmente. Por qu no se comporta como el resto de los objetos que se mueven sobre la supercie de la Tierra? Cmo puedes explicar esta diferencia? Plantea una hiptesis que d respuesta a estas preguntas y regstrala en tu cuaderno. PARTE II: Observacin compartida Renete con un compaero o compaera para compartir sus hiptesis obtenidas en la parte I. Comenten y argumenten a favor o en contra de ellas. Luego, sigan con atencin la demostracin que dirigir su profesor(a) y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas. a) Cmo es la trayectoria de la silla cuando se le da un tirn con el cordel? b) Cmo es la trayectoria de la silla cuando se le da un empujn y el cordel se tensa? c) Cul es la diferencia que dene las trayectorias que observaron? PARTE III: Trabajo en equipo En esta parte de la actividad, junto a tu compaero(a) realizarn un sencillo experimento, para el cual solo necesitan una goma de borrar. Primero, uno(a) de ustedes deja caer libremente la goma de borrar desde la altura de su cabeza, aproximadamente. El compaero o la compaera observa la trayectoria del objeto y la dibuja de manera aproximada en la imagen 1.1 (la del lanzador parado sobre la Tierra). A continuacin, realizan un nuevo lanzamiento, pero dando a la goma de borrar un pequeo impulso horizontal. En el mismo esquema, dibujen la trayectoria del objeto. Repitan el experimento varias veces, pero con un impulso horizontal cada vez mayor, hasta que no puedan lanzar la goma ms lejos. En cada lanzamiento, dibujen aproximadamente la trayectoria que sigue el objeto en el mismo esquema. Para nalizar, analicen sus observaciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas: a) Cmo cambia la trayectoria de la goma de borrar cuando se lanza con ms impulso horizontal? b) Cmo se relacionan los movimientos de la silla en la segunda parte de la actividad, y de la goma de borrar en la tercera parte? c) De acuerdo a su anlisis anterior, cmo se relacionan los movimientos de la goma de borrar y de la Luna alrededor de la Tierra? Comparen su respuesta con la hiptesis inicial que cada uno plante. TierraImagen 1.1

proyectil

T

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Captulo 1: Movimiento Circularci S ec n

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Movimiento circular uniforme (M.C.U.)

La trayectoria circularUn mvil puede moverse describiendo cualquier tipo de trayectoria. Por ejemplo, en una carretera un automvil puede moverse describiendo una lnea recta, pero cuando llega a una curva pronunciada, generalmente su trayectoria es un arco de circunferencia. Para describir la distancia, la posicin o el desplazamiento en un movimiento rectilneo, utilizamos como unidad de medida el metro [m]; en cambio, en la descripcin del movimiento circular usamos el metro como unidad de distancia o arco recorrido, y para determinar la posicin y el desplazamiento utilizamos tambin una unidad angular, conocida como radin [rad]. Lo anterior se debe a que en el movimiento circular es fundamental la relacin entre los tres elementos que se muestran en la Figura 1.1: el arco recorrido (s), el radio de curvatura (r) y el ngulo descrito ().

Figura 1.2. La trayectoria de un planeta en torno al Sol puede ser considerada como una trayectoria circular.

es la letra griega delta que utilizamos en fsica para indicar diferencia o cambio. es la letra griega theta que utilizamos para indicar una medida angular. Por lo tanto, indica una diferencia angular.

longitud = r1 rad

rmvil

r

seje de referencia

Figura 1.3. Representacin geomtrica de 1 rad.

Un radin (1 rad) es la unidad para medir ngulos o desplazamiento angular en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Corresponde al cuociente entre un arco de circunferencia (s), cuya longitud es igual al radio (s = r), y el valor del radio r:

Figura 1.1. Movimiento circular de un automvil en una pista de carreras, r es el radio de curvatura, s es el arco recorrido y es el ngulo descrito.

1 radin mide, aproximadamente, 57,3 y una vuelta o revolucin mide 360 = 6,28 rad = 2 rad. El radin, al no tener dimensin, opera como neutro multiplicativo, es decir:1rad 1m = 1m (1.2)

= s = r = 1 rad r r

(1.1)

La posicin de un mvil en movimiento circular queda denida por el ngulo descrito respecto a un eje de referencia. Este ngulo se mide en radianes.

Seccin 1: Movimiento circular uniforme

15

Mecnica

Cuando cambia la posicin del mvil, decimos que realiza un desplazamiento angular , desde un ngulo inicial i hasta un ngulo final f:s

= f i

(1.3)

r

f

i

Como se muestra en la Figura 1.4, si el objeto en movimiento describe un desplazamiento angular , expresado en radianes, hay un arco de circunferencia s asociado a este desplazamiento. Estos elementos se relacionan a travs del radio de curvatura, de la siguiente manera: = s r(1.4)

Figura 1.4. Cambio de posicin de un mvil en movimiento circular. La posicin inicial del mvil es i y su posicin nal es f, de modo que el desplazamiento angular es = f i.

De la ecuacin (1.4) se puede despejar el arco de circunferencia, quedando la relacin como sigue: r = s(1.5)

es la letra griega omega.

La ecuacin (1.5) muestra que la distancia recorrida es directamente proporcional al ngulo descrito por el mvil. Si ahora relacionamos el cambio de posicin con el intervalo de tiempo (t) en que este cambio ocurre, obtenemos la siguiente relacin fundamental: r = s t t m r = vm(1.6)

Los conceptos de rapidez angular media y rapidez tangencial media se pueden expresar, en el lmite, como medidas instantneas de la rapidez angular y la rapidez tangencial. Lo anterior se puede hacer considerando que el intervalo de tiempo que transcurre entre dos posiciones sucesivas es muy cercano a cero. Esta condicin se expresa a travs del concepto de lmite, de la siguiente forma:

En la ecuacin (1.6), m = es la rapidez angular media y t vm = s es la rapidez tangencial media. Es decir, la rapidez t tangencial media es directamente proporcional a la rapidez angular media. Cuando el movimiento del mvil es uniforme, entonces su rapidez angular y su rapidez tangencial permanecen constantes durante todo el proceso de movimiento. En este caso, se trata de un movimiento circular uniforme (M.C.U.).

= lim t 0 t v = lim s t 0 t

(1.7) (1.8)

Las ecuaciones (1.7) y (1.8) denen la rapidez angular instantnea y la rapidez tangencial instantnea, respectivamente. Con esta denicin, la ecuacin (1.6) se puede expresar como:

r = v

(1.9)

Cul es el desplazamiento angular del minutero de un reloj analgico cuando se mueve desde los 15 a los 45 minutos?

16

Fsica 3 Ao Medio


Ejemplo 1 El segundero de un reloj analgico tiene una longitud radial de 20 cm y describe un ngulo de 90 en un tiempo de 15 s. a) b) c) a: Cul es la medida del ngulo expresada en radianes? Cul es el valor de la rapidez angular media? Cul es el valor de la rapidez tangencial media? Una vuelta o revolucin corresponde a un ngulo de 360. Expresado en radianes, este ngulo corresponde a 2 rad, entonces podemos establecer la siguiente proporcin:360 = 2 rad 90 rad = 2

En la cinemtica del movimiento rectilneo, aprendimos que la rapidez es el mdulo del vector velocidad. En el movimiento circular, tambin podemos hablar de velocidad tangencial y velocidad angular, que denen el sentido y el plano de giro, respectivamente. De acuerdo a lo anterior, la rapidez tangencial y la rapidez angular son los mdulos de los correspondientes vectores velocidad:

v =v =

(1.10)

b:

La rapidez angular media es, entonces: = t rad = 2 15 s rad = 0 ,1 rad = 30 s s

De acuerdo a esto, la ecuacin (1.9) se puede expresar vectorialmente como un producto vectorial de la siguiente forma:

(1.11) v=r En esta expresin, r es el vector posicin del mvil.

trayectoria

c:

De acuerdo al resultado anterior, y sabiendo que el radio del segundero es 20 cm, la rapidez tangencial media es:v = r v = 0 ,1 rad 0 , 2 m s v = 0 , 02 m s

r vFigura 1.5. es perpendicular al plano del movimiento. v es siempre tangencial a la trayectoria. La direccin de ambos vectores se relaciona a travs de la regla de la mano derecha: cuando el pulgar se apunta en la direccin de , la mano, extendida tangencialmente a la trayectoria, apunta en la direccin de v .

Donde hemos expresado el radio en metros.

Cunto tiempo, expresado en segundos, se demora el puntero del horario de un reloj analgico en dar una vuelta?


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Mecnica

El perodoCuando un movimiento es repetitivo, emplea un tiempo determinado para completar una vuelta o ciclo. Este tiempo se denomina perodo (T) y su unidad de medida es el segundo [s], en el S.I.m

h s

As, cualquier objeto que se mueva en trayectoria circular realiza una vuelta o una revolucin en un tiempo T. Desde el punto de vista de las unidades angulares, se puede decir tambin que en un perodo, el mvil describe un ngulo de 360 2 rad. Por otra parte, si un objeto realiza un movimiento circular uniforme, entonces su perodo de revolucin es constante, es decir, demora lo mismo en dar cada vuelta. Ejemplo 2 Supongamos que nuestro planeta describe una rbita circular en torno al Sol, con movimiento circular uniforme. a) a: Cunto demora nuestro planeta en realizar una vuelta en torno al Sol? Expresa el resultado en segundos. Tenemos que calcular el perodo de revolucin de la Tierra en torno al Sol. Como sabemos, nuestro planeta demora un ao en completar una traslacin, lo cual equivale a 365,25 das. De esta manera: T = 365,25 das T = 365,25 24 60 60s T = 3,16 107s

Figura 1.6. El reloj analgico indica 10 h: 15 min: 37 s. Cuando el minutero avance hasta 45 min, habr efectuado un desplazamiento angular = 180=rad. El valor negativo del desplazamiento aparece por la convencin de medir los ngulos positivos en sentido antihorario a partir de un eje de referencia. Esta convencin permite distinguir hacia dnde apunta el vector velocidad angular. En el caso del reloj analgico, el giro se realiza en sentido horario, por lo que apunta hacia dentro (entrando a la pgina). Esto lo podemos corroborar aplicando la regla de la mano derecha.

La caracterstica ms importante del movimiento circular uniforme es que el vector velocidad angular es constante. Esto quiere decir que tanto su magnitud o mdulo, como su direccin y sentido permanecen invariantes. En consecuencia, el plano de giro es siempre el mismo. En particular, en un movimiento circular uniforme, como definimos en las ecuaciones (1.10), el mdulo de la velocidad angular, es siempre positivo y constante:

La frecuenciaEl concepto de frecuencia es una idea muy intuitiva y de sentido comn. Por ejemplo, cuando preguntamos: Con qu frecuencia pasan los trenes?, una posible respuesta sera: Pasan 3 trenes cada diez minutos. Otro ejemplo se da cuando preguntamos: Cuntas veces has ido al estadio este ao?. En este caso, la respuesta puede ser: 4 veces en el ao. En los ejemplos anteriores, se indica una cierta cantidad respecto a un intervalo de tiempo. En casos como estos usamos el concepto de frecuencia.

= t = 2 rad T

(1.12)

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Fsica 3 Ao Medio


Para el caso del movimiento circular, no utilizaremos las expresiones comunes como veces de ida al estadio o trenes que pasan por la estacin, sino que prestaremos nuestra atencin al nmero de vueltas o revoluciones que realizan los objetos en movimiento. La frecuencia se puede obtener de dos maneras: 1) contando el nmero de vueltas en un determinado tiempo, 2) calculando el recproco del periodo, ya que en un periodo se efecta una vuelta:f = 1 T(1.13)

Otra caracterstica del M.C.U. es que el mdulo de la velocidad tangencial v es constante. Es decir, la rapidez instantnea es constante. De acuerdo a esto, no tiene sentido hablar de la rapidez tangencial media, ya que la rapidez es la misma en todo instante de tiempo. Por lo tanto, en el M.C.U. el mdulo de la velocidad instantnea coincide con la rapidez tangencial media y no hacemos distincin entre ellas. Por esta razn, en el ejemplo 1 usamos los smbolos y v, en vez de escribir m y vm. v

La unidad de medida de la frecuencia en el sistema internacional es el hertz [Hz], cuyo signicado operacional es el siguiente:

[ Hz ] = vueltas = revoluciones = 1 s s sEjemplo 3

(1.14)

Nuevamente, supongamos que la Tierra describe una rbita circular en torno al Sol, con movimiento uniforme. a) a: Cul es la frecuencia de revolucin de nuestro planeta en torno al Sol? De acuerdo a nuestra respuesta en el Ejemplo 2, el periodo de traslacin de la Tierra alrededor del Sol es T = 3,16 107s. Entonces:f = 1 T f = 1 3,16 10 7 s

v v

Figura 1.7. Obsrvese que si bien la velocidad tangencial tiene siempre el mismo mdulo o magnitud, su sentido y direccin cambian en todos los puntos de la trayectoria.

f = 3,16 10 8 vueltas = 3,16 10 8 Hz s

Frecuencia y rapidez angular son conceptos totalmente distintos. De acuerdo a las ecuaciones (1.12), se relacionan entre s de la siguiente manera:

En conclusin, cuando preguntamos por la frecuencia, estamos preguntando por el nmero de vueltas en una unidad de tiempo.

= 2 f

(1.15)

Una unidad de uso comn en mquinas elctricas y motores de todo tipo es rpm, que signica revoluciones por minuto. Qu concepto de los que has aprendido mide esta unidad? Por qu?


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Mecnica

Actividad de profundizacin Cmo se relaciona la frecuencia de pedaleo de un ciclista con la rapidez media de su movimiento?Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una bicicleta, una huincha de medir de al menos 1 metro y un reloj. Segn la disponibilidad de bicicletas en el curso, renete con algunos compaeros y compaeras (entre 2 y 5, idealmente) y formen un equipo de trabajo. a) Reexionen sobre esta pregunta: Cmo se relaciona la frecuencia de pedaleo de un ciclista con la rapidez media de su movimiento? Como equipo, planteen una hiptesis para responder. A continuacin, realicen el siguiente experimento: un estudiante recorre en bicicleta una trayectoria rectilnea de largo conocido. Pueden marcar dos puntos en el patio del colegio y medir la distancia entre ellos. Es muy importante que el ciclista no pase cambios, que realice un pedaleo constante y que cuente el nmero de veces que pedale. El resto del equipo mide el tiempo que su compaero demora en ir de un punto a otro y se asegura de que siga una trayectoria rectilnea con rapidez aproximadamente constante. Analicen el funcionamiento del sistema de transmisin de la bicicleta, que se puede observar en la imagen 1.2, y respondan: b) Cmo se relaciona la rapidez tangencial del plato (vplato) con la rapidez tangencial del pin (vpin)? Expresen esta relacin matemticamente. c) Cmo se relaciona la rapidez angular del plato (plato) con la rapidez angular del pedaleo (pedaleo)? Expresen esta relacin matemticamente. d) Cmo se relaciona la rapidez angular del pin (pin) con la rapidez angular de la rueda (rueda)? Expresen esta relacin matemticamente. e) Considerando estas relaciones y a partir de las medidas de los radios del pin (Rpin), del plato (Rplato) y de la rueda (Rrueda), usen la frecuencia de pedaleo medida para calcular la rapidez tangencial de la rueda trasera de la bicicleta. f) Cmo se relaciona la rapidez tangencial de la rueda con la rapidez del ciclista? A partir de su respuesta, evalen la validez de su hiptesis. Rpin

Rplato

Imagen 1.2

20

Fsica 3 Ao Medio


Evaluacin intermediaPARTE I: Problema de planteamiento1

A partir de la imagen de la actividad de profundizacin, determina la relacin matemtica entre la rapidez angular del pedaleo y la rapidez angular de las ruedas, en funcin de los radios del pin (Rpin) y del plato (Rplato).

PARTE II: Anlisis2

A partir del problema anterior: a) Expresa la distancia recorrida en funcin del nmero de vueltas, Rplato, Rrueda y Rpin. b) Si el radio Rrueda = 6 Rplato y Rplato = 3 Rpin Qu distancia medida en unidades Rrueda recorre la bicicleta en 20 pedaleos?

Indagacin N3 Cmo sera la trayectoria de la Tierra si el Sol desapareciera repentinamente?Para responder la pregunta planteada en el ttulo de esta actividad, se propone la siguiente hiptesis: La trayectoria de la Tierra no cambia, sino que mantiene su movimiento, aproximadamente, circular y uniforme. Cmo podemos poner a prueba esta hiptesis? a) Junto a un compaero o una compaera, diseen un procedimiento experimental que les permita, a travs de un modelo, poner a prueba la hiptesis para evaluar si es una explicacin aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisin, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fcil adquisicin o construccin y tiempos razonables para la observacin y el anlisis de sus resultados. b) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn las indicaciones que les d su profesor(a).Seccin 1: Movimiento circular uniforme

Imagen 1.3

Recuerda que un modelo es una representacin simplicada del fenmeno que se intenta explicar, que incorpora sus principales caractersticas y, en especial, las variables medibles.

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Mecnica

El vector aceleracin centrpeta y el cambio del vector velocidad tangencial se relacionan de la siguiente forma:

La aceleracin centrpetaEn un movimiento circular cualquiera, la aceleracin puede tener una componente en direccin tangencial a la circunferencia y otra componente en direccin radial y dirigida hacia el centro de la trayectoria. A la primera se le llama aceleracin tangencial y a la segunda, aceleracin centrpeta. La aceleracin tangencial se maniesta como un cambio en el mdulo de la velocidad tangencial, mientras que la aceleracin centrpeta aparece como un cambio en la direccin y sentido de la velocidad. En un movimiento circular uniforme, debido a que el mdulo de la velocidad tangencial es constante, solo existe una aceleracin que cambia la direccin y el sentido de la velocidad, es decir, la aceleracin centrpeta. El cambio del vector velocidad tangencial apunta hacia el centro de curvatura, al igual que la aceleracin centrpeta ac .

La ecuacin (1.16) implica que el vector aceleracin centrpeta tiene la misma direccin y el mismo sentido que el cambio de velocidad.

v ac = t

(1.16)

vi

vf

vf

v

rfri

r

vi

( )

Figura 1.9. r es el cambio de posicin de un mvil en M.C.U. en un intervalo de tiempo muy pequeo. v corresponde al cambio de velocidad en el mismo intervalo.

vf -vi vf vi v

De acuerdo a la Figura 1.9, en el M.C.U. se cumplen las siguientes condiciones:

ri = rf = r vi = v f = v

(1.17)

rf ri

Adems, r v en todo momento, por lo tanto: AOB A O B (son tringulos semejantes).

(Contina en la pgina 23)

Figura 1.8. Si se considera el cambio de velocidad, v = v f vi , que

experimenta un mvil en un pequeo intervalo de tiempo ( t ) , se ve que

v es radial y est dirigido hacia el centro curvatura. La aceleracin, por

lo tanto, tambin tiene esa direccin y sentido, y por eso se denomina aceleracin centrpeta.

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Fsica 3 Ao Medio


De acuerdo a la ecuacin (1.26), para determinar la aceleracin centrpeta se puede utilizar la siguiente relacin:2 ac = v r

(Continuacin)

(1.18)

Ahora, si recordamos que (1.9), podemos deducir que la aceleracin centrpeta tambin puede ser determinada como:ac = r2

Dadas las condiciones geomtricas de las ecuaciones (1.17) en la Figura 1.9 y la relacin de semejanza entre los tringulos AOB y A O B , podemos ver que:

(1.19)

v r = v r

(1.23)

La fuerza centrpetaEn la mecnica de Newton, los cambios en el movimiento son explicados por medio de fuerzas de interaccin. En particular, la segunda ley establece que la fuerza neta, es decir, la suma de todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo, es proporcional a la aceleracin del cuerpo: F neta = F = ma(1.20)

v , en la ecuacin Al sustituir ac = t(1.23), se obtiene:

Considerando solo el mdulo de los vectores, tambin podemos escribir la ecuacin (1.20) como:Fneta = ma(1.21)

ac t r = v r r v ac = r t r v ac = t r 2 ac = v v = v r r

(1.24)

Donde hemos simplicado la notacin, ya que:

En un movimiento circular, la fuerza que permite este tipo de trayectoria es la fuerza que apunta hacia el centro de curvatura y la denominamos fuerza centrpeta. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza centrpeta provoca una aceleracin centrpeta y, por lo tanto, en trminos de sus mdulos, la ley se puede expresar de la siguiente forma:Fc = mac(1.22)

ac = ac r = r

(1.25)

Es decir, en trminos de magnitudes podemos escribir el mdulo de la aceleracin centrpeta como:2 ac = v r

(1.26)

Ejemplo 4 En el contenido de fsica de 2 medio, aprendimos que el radio orbital medio de la Tierra alrededor del Sol es de 1,49 1011 m y su masa es de 5,98 1024 Kg. a) b) Cul es la aceleracin centrpeta y la fuerza centrpeta que ejerce el Sol sobre la Tierra? De acuerdo a este resultado, nuestro planeta puede ser considerado como un sistema inercial?

Por lo tanto, la magnitud o mdulo de la aceleracin centrpeta es constante en un M.C.U.

es la letra griega sigma y se usa para representar una sumatoria.


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Mecnica

a:

Para determinar la aceleracin centrpeta, necesitamos saber la rapidez angular o la rapidez tangencial de la Tierra con respecto al Sol. Usando el resultado del Ejemplo 2 para el periodo de traslacin de nuestro planeta, se obtiene lo siguiente: = t 2 rad = T 2 rad = 1, 99 10 7 rad = s 3,16 10 7 s

Fc

ac

Figura 1.10. La fuerza de gravitacin acta sobre la Tierra como una fuerza centrpeta y provoca su rbita alrededor del Sol. La intensidad de la fuerza es relativamente grande, en cambio, la aceleracin que experimenta el planeta es pequea. La explicacin de esta diferencia se relaciona con la gran magnitud de la masa de la Tierra.

De acuerdo a la ecuacin (1.19), la aceleracin centrpeta es:ac = 2 r ac = 1, 99 10 7 rad s 3 m ac = 5 , 9 10 s2

(

) 1, 49 102

11

m

Con este resultado podemos determinar el mdulo de la fuerza centrpeta:Fc = mac Fc = 5 , 98 10 24 kg 5 , 9 10 3 m s2 Fc = 3, 53 10 22 NAunque comnmente se menciona la fuerza centrfuga, en el contexto de la mecnica newtoniana esta fuerza no existe, ya que solo se trata de un efecto inercial.

b:

Observamos en el resultado anterior que la aceleracin centrpeta tiene un valor muy bajo con respecto a la aceleracin de gravedad (9,8 m/s2) por ejemplo, de modo que la aceleracin experimentada por la Tierra en su traslacin es prcticamente cero. Esta es la razn por la que nuestro planeta puede ser considerado un sistema aproximadamente inercial. En cambio, la fuerza centrpeta alcanza un valor muy grande, ya que se necesita una gran fuerza para mantener el planeta en rbita.

Si la fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es tan grande, por qu nuestro planeta se acelera tan poco?

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Fsica 3 Ao Medio


Algunos casos de fuerza centrpeta UNA CURVA CON ROCECuando un automovilista se encuentra en la carretera con una curva, seales reectantes en la orilla del camino le advierten sobre el peligro que signica exceder la velocidad lmite impuesta por las leyes del trnsito. Exceder la velocidad lmite signicara salir derrapando en la direccin tangente al camino, ya que hay una velocidad sobre la cual se pierde el soporte fsico que genera el rozamiento entre los neumticos y la carretera. Como se muestra en la Figura 1.12, en este tipo de la fuercurvas za de roce acta como fuerza centrpeta, es decir, Fc = Fr , por lo que de acuerdo a la 2a ley de Newton, la ecuacin (1.22) se puede escribir como:Fr = mac Fr = m v r2

50Figura 1.11. El peligro de superar la velocidad mxima permitida en una curva se relaciona con la fuerza de roce necesaria para realizar la trayectoria.

(1.27)

es la letra griega mi o mu.

Por otra parte, sabemos que el mdulo de la fuerza de roce mxima es proporcional a la fuerza normal:Fr = N(1.28)

v v v r Fr

Donde es el coeciente de roce esttico entre los neumticos y el suelo. Relacionando las ecuaciones (1.27) y (1.28), tenemos:2 m v = N r 2 m v = mg r v = gr

(1.29)

N Fr P

Para obtener las ecuaciones (1.29), hemos usado N = mg, dado el equilibrio en la direccin vertical de las fuerzas que actan sobre el automvil, el peso y la fuerza normal. El resultado anterior corresponde a una velocidad lmite a la cual el vehculo puede efectuar el movimiento circular, para un coeciente de roce dado, y que depende del radio de curvatura. Mientras ms cerrada es la curva (menor radio) menor ser la velocidad lmite permitida y mayor el riesgo.

Figura 1.12. En la curva, la fuerza de roce acta como fuerza centrpeta y mantiene al vehculo en movimiento circular. En la direccin vertical, actan sobre el automvil el peso P y la fuerza normal N . En la direccin horizontal, acta la fuerza de roce Fr entre los neumticos y el suelo.

( )

( )

( )


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Mecnica

Ejemplo 5 Un automvil tiene una masa de 1 600 kg y toma una curva en una pista plana y sin pendiente de 40 m de radio. El coeciente de roce esttico entre los neumticos y la pista es = 0,5 a) a: Cul es la velocidad mxima permitida que debera aparecer en la sealizacin de advertencia? Para resolver, simplemente evaluamos la ltima de las ecuaciones (1.29)v = gr v = 0 , 5 10 m 40 m = 14 ,14 m s s2

Donde hemos usado g = 10 m para simplicar el clculo. s2 El resultado indica que la velocidad mxima permitida debe ser de 14 m/s (50,4 km/h), aproximadamente. Cualquier velocidad superior a esta causara un deslizamiento o derrapamiento del vehculo, por lo que saldra patinando en direccin tangente a la trayectoria.

FUERZA CENTRPETA EN EL SISTEMA PLANETARIOUna manera interesante de relacionar la fuerza centrpeta con el Sistema Solar es a partir de la ley de gravitacin universal, en la cual se establece que el mdulo de la fuerza con la que se atraen dos objetos de masas m1 y m2 es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, r. Es decir:FG = G m1 m2 r2(1.30)

Donde G es la constante de gravitacin universal cuyo valor es 2 de G = 6 , 67 x10 11 Nm2Kg

En el caso de los planetas, la fuerza de gravitacin acta sobre ellos como una fuerza centrpeta y provoca su rbita alrededor del Sol. Por ahora, de manera aproximada podemos suponer que el movimiento planetario es circular y uniforme.

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Fsica 3 Ao Medio


Planeta -FG FG

Masa 0,06 0,82 1,00 0,11

Radio orbital (UA) 0,38 0,72 1,00 1,52

Mercurio Venus Tierra

Figura 1.13. Al igual que los planetas interactan gravitacionalmente con el Sol, la Luna tambin experimenta la atraccin gravitacional de la Tierra. Sin embargo, de acuerdo con la ley de accin y reaccin, si la Tierra atrae a la Luna con una fuerza FG , el satlite tambin atrae al planeta con una fuerza igual, pero de sentido opuesto, FG .

Marte

318 Jpiter 95 Saturno Urano Neptuno 14,6

5,20

En el caso del sistema Tierra-Luna, la fuerza de gravitacin acta como fuerza centrpeta sobre la Luna debido a la accin a distancia de la Tierra. En el caso de un planeta cualquiera y el Sol, suponiendo una rbita circular, podemos establecer la siguiente relacin, de acuerdo a las ecuaciones (1.22) y (1.30)G msol m planeta2

9,54 19,22

r msol G = v2 r 2 msol = v r G

=

m planeta v r

2

17,2

30,06

(1.31)

Este resultado implica que podemos conocer la masa del Sol conociendo la velocidad tangencial del planeta y su radio orbital. Por ejemplo, ya que sabemos la velocidad angular de la Tierra y el radio de su rbita, podemos obtener su velocidad tangencial de un modo muy sencillo, haciendo uso de la ecuacin (1.9) y con ese resultado, usar las ecuaciones (1.31) para calcular la masa del Sol. Si el radio medio de la rbita terrestre es de 1,49 1011 m, cul es la masa del Sol?

Figura 1.14. Masas y radios orbitales medios de los planetas del Sistema Solar, relativos a los valores de la Tierra. La masa de la Tierra es de 5,9736 1024 kg y una Unidad Astronmica (UA) corresponde aproximadamente a su distancia media al Sol, es decir, 1UA = 149 597 870 km.

Fc v

Figura 1.15. La atraccin gravitacional del Sol sobre la Tierra acta como una fuerza centrpeta y provoca la rbita curvilnea del planeta.


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Mecnica

LAS BOLEADORASUna boleadora es un arma manual muy antigua que consiste en un proyectil sujeto en el extremo de una bolsa atada a una cuerda, la que se hace girar en torno a la cabeza con el n de provocar una gran velocidad tangencial para el lanzamiento del proyectil. En este caso, la fuerza mecnica que opera sobre el proyectil es la fuerza de tensin de la cuerda y una de sus componentes acta como fuerza centrpeta.

trayectoria circular

T

r FC

Figura 1.17. Ejemplo de boleadora usada por habitantes de pueblos sudamericanos originarios.

masa

P

Figura 1.16. En la gura se muestra esquematizado el movimiento de una boleadora y las fuerzas que actan sobre la masa en el extremo del cordel. La imagen muestra que una parte de la tensin acta como fuerza centrpeta.

Figura 1.18. Un antiguo habitante de la Patagonia usa una boleadora para atacar un puma.

En la Figura 1.16, se puede observar que la componente de la tensin que acta como fuerza centrpeta es: Fc = T sen(1.32)

Por lo tanto, de acuerdo a la ecuacin (1.22), en trminos del mdulo de la tensin, podemos escribir: v2 (1.33) r Por otra parte, el equilibrio de las fuerzas que actan sobre la masa en la direccin vertical implica que: T sen = m T cos = mg(1.34)

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Fsica 3 Ao Medio


Dividiendo entre s las ecuaciones (1.33) y (1.34), se puede obtener lo siguiente: v2 (1.35) tan = rg Este resultado indica que mientras ms grande es el ngulo de la fuerza de tensin respecto a la vertical, mayor es la velocidad tangencial con la que puede ser liberado el proyectil. De manera inversa, se puede ver que la velocidad de lanzamiento del proyectil depende de la fuerza de tensin que ejerza la persona que hace girar la boleadora. As, mientras mayor es la fuerza, mayor es el ngulo de elevacin mencionado y mayor es la velocidad de disparo. Ejemplo 6 Un estudiante hace girar una goma de borrar atada al extremo de un hilo. La masa de la goma es de 0,03 kg. Mientras la goma gira con M.C.U., el estudiante mide un ngulo de 60 del hilo con respecto a la vertical, y un radio de giro de 0,5 m. a) b) a: Cuando el estudiante suelta el hilo, cul es la velocidad tangencial de salida del proyectil? Cul es la tensin ejercida sobre el proyectil a travs de la cuerda? Para determinar la velocidad, utilizamos la ecuacin (1.35): tan = v2 rg m m tan 60 = 2, 91 2 s s

Para dividir las ecuaciones 1.33 y 1.34 procedemos de la siguiente manera: v2 r T cos = m g T sen = m Dividiendo miembro a miembro este sistema de ecuaciones, tenemos: v2 T sen = r T cos m g m sen v2 = cos r g La razn(1.36)

sen corresponde a la cos funcin tangente del ngulo: tan = v2 rg

v = r g tan v = 0, 5m 9, 8 b:

Para obtener la fuerza de tensin, podemos reemplazar el resultado anterior en la ecuacin (1.33) o usar la ecuacin (1.35): T cos = mg T= mg = cos 0, 03kg 9, 8 cos 60 m s 2 = 0, 588 N


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Mecnica

Contexto histrico de la fsicaHasta Coprnico el movimiento de los cuerpos celestes se explicaba mediante el sistema de Ptolomeo. Se supona que los cuerpos celestes se encontraban situados en esferas huecas concntricas a la Tierra, que giraban con distintas velocidades alrededor de la Tierra. Coprnico se plante que, en vez de ser las esferas las que giraban alrededor de la Tierra, podra ocurrir que la Tierra girara alrededor de su eje una vez al da. Sin embargo, el verdadero aporte de Coprnico fue el proponer que la Tierra no era el centro del mundo, sino que la Tierra y todos los dems planetas se Este hombre fue un revolucionario. Naci en Torun, Polonia, el 19 de febrero de 1473 y muri el da 24 de mayo de 1543. En el ao 1507, present su primera exposicin de un sistema astronmico donde ubicaba al Sol en su centro y la Tierra y los dems planetas girando en torno a l. Fue criticado por lsofos y parte de la Iglesia, debido a que negar que nuestro planeta fuera el centro del Sistema Solar tena consecuencias no solo cientcas, sino tambin sociales y teolgicas. Antes, el ser humano era el centro del Universo, de la creacin. La teora de Coprnico desechaba esta opinin, por lo menos desde un punto de vista astronmico. Muy pocos creyeron en sus teoras, pero quienes lo siguieron fueron los fundadores de la ciencia moderna: Johannes Kepler, Galileo Galilei e Isaac Newton, entre otros. La historia de las ideas es imbricada y compleja. El 24 de febrero de 1616, una comisin de telogos consultores de la Inquisicin censur la teora heliocntrica de Coprnico, rearmando la inmovilidad de la Tierra. movan describiendo crculos alrededor del Sol. Este nuevo modelo permita explicar fcilmente el aparente movimiento de avance y retroceso que describen los planetas en el rmamento. Aunque en nuestros das se acepta la tesis copernicana, sta ha sido corregida. Las rbitas de los planetas no son circulares, sino elpticas, como mostr Johannes Kepler (1571 1630), gracias al enorme y riguroso trabajo de observacin que haba realizado Tycho Brahe (1546 1601). Asimismo, el Sol, como los dems astros del rmamento, tambin se mueve. El proceso empez el 19 de febrero con la propuesta de censura de una comisin de expertos, entre quienes no haba ningn astrnomo. Luego, en una reunin de la Congregacin del Santo Ocio y por orden del papa Paulo V, se inici la amonestacin a Galileo (1564 1642), por la que se le exige que abandone la opinin de que la Tierra se mueve. En marzo del mismo ao, la Congregacin del ndice prohbe una serie de libros relacionados con el heliocentrismo y su validez desde un punto de vista teolgico, y se suspende la obra copernicana Sobre el movimiento de las esferas celestiales hasta que sea corregida. As, la obra maestra de Coprnico permanecera en el ndice de libros prohibidos hasta 1835. Aos ms tarde, el 22 de junio de 1633, a pesar de la proteccin de la poderosa familia Medici, Galileo ser formalmente condenado por la Inquisicin y forzado a abjurar, de rodillas y bajo amenaza de torturas, de la teora de Coprnico, calicada de hertica. As le deca Kepler a Galileo: ... Dadme las naves y adaptadme las velas al viento celeste; habr gente que no tendr miedo ni siquiera de cara a aquella inmensidad. Y para estos descendientes que ya dentro de muy poco se aventurarn por estos caminos preparemos, oh Galileo, yo una astronoma lunar y t una joviana.

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Fsica 3 Ao Medio


SntesisA partir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa conceptual de la gura. Conceptos Relevantes (CR) A Radio B Crculo C Frecuencia D Velocidad Tangencial E F Fuerza Centrpeta Aceleracin Centrpeta I II III IV V VI Frases Conectoras (FC) Mantiene constante su Se realiza en una trayectoria Denen Que corresponde al mdulo del vector Y en cada punto de ella existe una Que, junto a un

1 9

Movimiento Circular Uniforme Periodo de revolucin 6 12 5 Rapidez Tangencial Que corresponde al mdulo del vector Rapidez Angular 7 El cual dene una

La cual dene un

Circunferencial

10 Tangente Que es perpendicular al

8

ngulo de 2

3 2 Cuya variacin en el tiempo dene

Velocidad Angular

DesafoCuando hayas terminado esta actividad, vuelve a leer el texto de la seccin, con mucha atencin, y genera tu propio mapa conceptual.

11 Que corresponde al efecto de la

4


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Preguntas y ejercicios propuestos1

En tus palabras, qu relacin se puede hacer entre el movimiento circular, Coprnico y la posicin del ser humano en el Universo? Desde un punto de vista fsico, cul es la principal caracterstica de un movimiento circular? Existe ms de un tipo de velocidad en el movimiento circular uniforme? Por qu? Qu son perodo y frecuencia en el movimiento circular? Por qu una piedra que gira atada a una cuerda sale disparada tangencialmente y no radialmente al soltarse la cuerda? Si un automvil realiza un movimiento circular uniforme al doblar en una curva, cambia su velocidad? Explica. El segundero de un reloj analgico tiene una longitud radial de 10 cm y describe un ngulo de 45 en un tiempo de 7,5 s. (a) Cul es la medida del ngulo expresada en radianes? (b) Cul es la rapidez angular del segundero? (c) Cul es la rapidez lineal de su extremo? Cul es la frecuencia de rotacin de la Tierra sobre su propio eje? El ventilador de un secador de pelo gira a 3 000 rpm. (a) Cul es la frecuencia de rotacin, expresada en Hz? (b) Cul es su rapidez angular? (c) Cul es el periodo de giro del ventilador? Un satlite gira en una rbita circular alrededor de la Tierra a una altitud de 600 km sobre el nivel del mar, completando una vuelta respecto al centro de la tierra en 70 minutos. Cunto vale la aceleracin del satlite? (considera que el radio de la Tierra es de 6 400 km).

11

2

3

Un planeta orbita segn la trayectoria punteada en la Figura 1.19 y en el sentido de la velocidad angular indicado. Dibuja la direccin y el sentido de los siguientes vectores, suponiendo que el movimiento es uniforme: (a) Velocidad tangencial y aceleracin centrpeta en A. (b) Velocidad tangencial y aceleracin centrpeta en B. A B Figura 1.19

4

5

6

12

En un movimiento circular uniforme, cmo se relaciona la frecuencia (f) con la rapidez angular () del movimiento? El reloj de la Figura 1.20 muestra tres punteros que corresponden a la hora (H), los minutos (M) y los segundos (S). Cul es la rapidez angular de cada uno de estos elementos?

7

13

8

9

Figura 1.2014

10

Una matraca gira con un movimiento uniforme, alrededor de un eje que pasa por el punto O, como se muestra en la Figura 1.21. Efecta dos revoluciones por segundo. Para los puntos A y B de la barra, situados a las distancias rA = 0,2 m y rB = 0,3 m del eje de rotacin, calcula las siguientes magnitudes (considera = 3,14): (a) El perodo de revolucin. (b) La rapidez angular de cada uno

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(A y B). (c) La rapidez tangencial de cada uno (vA y vB). (d) La aceleracin centrpeta de cada uno (acA y acB). B A 0 vB vA

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Suponiendo que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es circunferencial, demuestra que el mdulo de la velocidad tangencial de traslacin del planeta es: v = G M s . Donde G es la constante r R de gravitacin universal, Ms es la masa del Sol y R es la distancia entre la Tierra y el Sol. Una bola de 0,5 kg. de masa unida al extremo de una cuerda cuya longitud es de 1 m se hace girar cada vez ms rpido, como una boleadora. Si la cuerda puede soportar una tensin mxima de 50 newton, cul es la mxima rpidez que puede alcanzar la bola antes de que la cuerda se rompa? Un automvil de 1 000 kg, da vuelta en una esquina circular, a 25 km/h. Si el radio de giro es de 10 m, (a) cul es el valor de la aceleracin centrpeta? (b) Qu fuerza horizontal debe ejercer el roce del pavimento con los neumticos para mantener el vehculo en trayectoria circunferencial? (c) Cul es el coeciente de roce mnimo entre las ruedas y el pavimento necesario para que el auto no se deslice? Una camioneta cargada tiene una masa de 2 500 kg y toma una curva circular en una pista plana y sin pendiente de 50 m de radio. El coeciente de roce entre los neumticos y la pista es = 0,5. Cul es la mxima rapidez a la que la camioneta podra dar el giro sin resbalar? Un estudiante hace girar una goma de borrar atada al extremo de un hilo. La masa de la goma es de 0,02 kg. Mientras la goma gira con movimiento circular uniforme, el estudiante mide un ngulo de 60 del hilo con respecto a la vertical y un radio de giro de 0,4 m. (a) En estas condiciones, cul es la tensin ejercida sobre la goma a travs de la cuerda? (b) Si el estudiante suelta el hilo, cul es la velocidad tangencial con que la goma de borrar sale disparada?

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Figura 1.2115

De acuerdo al esquema de la Figura 1.22, donde se muestra el sistema de transmisin de una bicicleta, Rpin < Rplato. Es correcto decir que la velocidad angular del plato es igual a la del pin? Por qu? Rpin Rplato

20

21

Figura 1.2216

Si el sistema de transmisin de la bicicleta que se muestra en la Figura 1.22 es impulsado por un ciclista que pedalea con rapidez angular constante y a una frecuencia de 3 vueltas por segundo. Considerando que Rplato = 10 cm y Rpin = 4 cm, (a) cul es la rapidez tangencial del pin? (b) Cul es la rapidez angular del pin? (c) Si el radio de las ruedas es de 50 cm, cul es la rapidez del ciclista? Cul es la velocidad tangencial de una persona parada sobre el ecuador de la Tierra a nivel del mar?

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Evaluacin nal de la seccinPARTE I: Anota en el recuadro el nmero de la magnitud que corresponde a la descripcin o denicin dada.1 2 3 4 5

Magnitud ngulo descrito Arco recorrido Perodo de revolucin Frecuencia Rapidez angular

Descripcin o denicin Cambio angular en el transcurso del tiempo. Se mide en radianes en el S.I. Tiempo empleado en realizar una vuelta. Se mide en m en el S.I. Es el recproco del perodo.

PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justicacin de tus respuestas. VoF 1 2 3 4 5 Si un auto recorre una curva pronunciada de la carretera a una velocidad superior a la mxima permitida, entonces derrapar. Un movimiento circular es uniforme si su aceleracin y fuerza centrpetas permanecen constantes. El planeta Tierra puede ser considerado un sistema inercial debido a que no acelera. Si el Sol desapareciera la Tierra continuara con movimiento circular y uniforme por siempre. La direccin de la aceleracin en un movimiento circular uniforme es siempre paralela a la fuerza centrpeta.

PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta. 1 3 Un aspa se mueve con M.C.U., una aceleracin En cul de los siguientes movimientos la centrpeta a0 y un perodo T0. Si se cambia el aceleracin es constante? motor al ventilador, aumentando su perodo a 2T0, a) Movimiento circular uniforme (M.C.U.). Cmo cambia su aceleracin centrpeta? b) Movimiento rectilneo uniforme (M.R.U.). a) Aumenta al doble de su magnitud. c) Movimiento uniformemente acelerado b) Disminuye a un medio de su magnitud. (M.U.A.). c) Aumenta al cudruple de su magnitud. d) Movimiento circular acelerado (M.C.A.). d) Disminuye a un cuarto de su magnitud. 4 Un automvil est diseado para moverse a una rapidez ja v0. Si cambia de una curva 2 Cul de los siguientes movimientos puede ser circular de radio R a una de radio 2R, Cmo modelado como movimiento circular? se ha modicado su aceleracin centrpeta al a) Traslacin de un planeta en torno al Sol. pasar de una curva a la otra? b) Una piedra que se lanz horizontalmente a) Aumenta al doble. desde la cima de un cerro. b) Disminuye a la mitad. c) Un atleta corriendo los 100 m planos. c) Aumenta al cudruple. d) El aterrizaje de un avin. d) Disminuye a la cuarta parte.

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Indagacin N4 Cmo girar ms rpido?PARTE I. Trabajo personal En las fotografas del movimiento de la patinadora (imagen 2.1), se puede ver una secuencia de varios giros en los cuales ella mueve continuamente partes de su cuerpo y adopta diferentes formas. Seguramente has observado secuencias como esta, y has notado que la bailarina puede alcanzar una alta rapidez de rotacin. a) Qu magnitud fsica aumenta durante su movimiento y qu magnitud disminuye? b) Qu hace la bailarina para girar ms rpido? PARTE II. Trabajo en equipo Junto a un compaero o una compaera, contrasten las respuestas dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuacin, elaboren una hiptesis en conjunto que d respuesta a la segunda pregunta. Recuerden que una hiptesis es una explicacin posible que se supone cierta hasta que pueda ser contrastada empricamente. Por esta razn, es fundamental que la hiptesis se reera a un nmero reducido de variables observables y de algn modo medibles, que eventualmente pueden ser controladas en un experimento. a) Registren la hiptesis en sus cuadernos e identiquen cules son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hiptesis, diseen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicacin aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisin, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fcil adquisicin o construccin y tiempos razonables para la observacin y el anlisis de sus resultados. c) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn las indicaciones que les d su profesor(a).

Imagen 2.1

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Indagacin N5 Rueda hueca o rueda maciza? Cul gana la carrera?PARTE I. Trabajo personal Imagina dos cilindros de igual forma y masa, pero uno es hueco y el otro es macizo (es decir, relleno) como en la imagen 2.2. Cul de los cilindros rueda ms rpido por un plano inclinado? a) Responde la pregunta anterior y plantea una hiptesis que explique el resultado de una carrera entre los dos cilindros. PARTE II. Dilogo con argumentosplasticina

Caso 1 Imagen 2.2

Caso 2

a) Renete con un compaero o compaera para compartir sus hiptesis obtenidas en la parte I. Idealmente, procura que tu compaero(a) haya respondido a la pregunta al contrario que t. Comenten sus hiptesis y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuacin, necesitan los siguientes materiales: un cilindro de cartn, como el tubo vaco de un rollo de papel higinico; 6 barras de plasticina; un trozo rectangular de cartn rgido o de madera (1 m de largo y por 10 cm de ancho, aproximadamente) que servir como plano inclinado; una regla de 30 cm; 2,5 m de hilo y un reloj con cronmetro. PARTE III. Trabajo en equipo Corten el tubo de cartn en tres cilindros iguales. Luego, usen el hilo para confeccionar un riel por el cual se puedan desplazar los cilindros por el plano inclinado. El hilo debe evitar que al rodar, los cilindros se desven. Para esto, ajusten dos lneas de hilo paralelas al plano inclinado a unos 2 cm de altura y separadas por una distancia igual al ancho de los cilindros, de manera que estos rueden entre ellas. A continuacin, distribuyan equitativamente las 6 barras de plasticina adhierindola en las dos bases de uno de los cilindros por el interior, como en el caso 1 de la imagen 2.2. No deben quedar restos sueltos de plasticina. Luego, dejen rodar el cilindro por el plano inclinado y midan la distancia que recorre. Realicen 5 lanzamientos, registrando el tiempo que demora en recorrer la distancia medida y contando el nmero de vueltas que ejecuta durante el movimiento. Para poder contar las vueltas del cilindro es imprescindible que la inclinacin del plano sea mnima (ajusten la pendiente hasta que puedan realizar la observacin). Anoten estos datos en una tabla y calculen un promedio para el tiempo y el nmero de vueltas. Repitan exactamente el mismo procedimiento anterior, pero cambiando la distribucin de la plasticina en el interior del cilindro de manera que ahora la plasticina se adhiera a la pared, es decir, a su manto como en el caso 2 de la imagen 2.2. En esta parte, es importante reutilizar la misma plasticina para no cambiar la masa del objeto. Para nalizar, analicen sus mediciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas: a) Cul es la diferencia de tiempo en el recorrido del cilindro entre los dos casos? b) Cul es la diferencia en el nmero de vueltas? c) Cmo inuye la distribucin de masa del cilindro en su comportamiento rotacional? d) Comparen su respuesta anterior con sus hiptesis iniciales. Con cul de los dos casos se puede comparar el movimiento de un cilindro macizo y el de un cilindro hueco? Cul rodara ms rpido?

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Captulo 1: Movimiento Circularci S ec n

2

Momento angular y su conservacin

El momento angularEn cursos anteriores ya has estudiado el concepto de momento lineal ( p ), expresin latina que en espaol signica cantidad de movimiento lineal. El momento lineal de un objeto es una medida de su inercia de movimiento, que es la propiedad que lo mantiene en movimiento hasta que algo lo detiene o cambia su velocidad, y se puede calcular como el producto de la masa del objeto y su velocidad. Los objetos que giran tambin experimentan una inercia de rotacin que los mantiene girando hasta que algo los detiene o cambia su velocidad. Una medida de esta propiedad es lo que llamamos cantidad de movimiento angular o, simplemente, mo mento angular ( L ). Por ejemplo, una lata de bebida que rueda por una calle con pendiente, la rueda de una bicicleta o una estrella alrededor del centro de la galaxia siguen girando hasta que algo las detenga. En este sentido, todos estos objetos tienen momento angular. El mdulo del momento angular de un objeto en movimiento circular se relaciona con los mdulos de su momento lineal y del radio de curvatura r de la trayectoria, de la siguiente forma: L=rp Sin embargo, considerando el mdulo del momento lineal:(2.1) Figura 2.1. Una lata de bebida que rueda por una calle con pendiente, gira y aumenta su momento angular.

Figura 2.2. Las estrellas se mantienen en rbita alrededor del centro galctico y tienen momento angular.

p = mvDe acuerdo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), tenemos: L = r mv

(2.2)

(2.3)

La ecuacin (2.3) tambin se puede escribir en trminos de la rapidez angular: L = m r 2 (2.4)

Es decir, el momento angular depende directamente de la masa del objeto que gira, de su radio de giro y de su velocidad angular.

Seccin 2: Momento angular y su conservacin

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Es necesario destacar que las cantidades involucradas en la denicin del momento angular tienen naturaleza vectorial. Es decir, el momento angular se puede expresar como un producto vectorial de la siguiente forma: (2.5) L=r p Como se muestra en la Figura 2.4, el momento angular de un objeto es un vector perpendicular al plano de la trayectoria.L

Dos ventiladores idnticos se hacen girar simultneamente. Si la rapidez angular que uno de ellos alcanza es el doble que la del otro, cul tiene mayor momento angular?

A r

Sentido del giro

L r

p

trayectoriar p L

r

Figura 2.3. Al girar, un CD tiene momento angular, al igual que las aspasp v

que rotan en un ventilador. La direccin y sentido del vector momento angular se puede determinar por medio de la regla de la mano derecha: el pulgar apunta en la direccin de y la mano apuntan en el sentido de giro. Aqu se muestran los vectores casi en el extremo de las aspas del ventilador.

Figura 2.4. L es perpendicular al plano del movimiento, por lo tanto, mantiene la misma direccin que la velocidad angular . La direccin de ambos vectores se obtiene usando la regla de la mano derecha.

p de un punto de masa en el borde del CD y de otro punto de masa

L ( de ), cuando los dedos de r

Ejemplo 7 Una piedra de 0,2 kg gira en una boleadora con un radio de 50 cm y una velocidad angular de 2 rad/s. a) a: Cul es el mdulo del momento angular de la piedra? Para resolver usamos la ecuacin (2.4): L = m r 2 L = 0, 2 kg 0, 5m 2 L = 0,1 kg m2 s

(

)

2

rad s

A partir de este resultado, vemos que el momento angular se mide kg m2 en unidades de en el Sistema Internacional de Unidades. s Esta unidad de medida no recibe un nombre especial.

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Ejemplo 8 En el ensayo de su baile, una bailarina hace girar dos boleadoras simultneamente, como se muestra en la Figura 2.5. Ambas boleadoras giran con igual velocidad angular, cuyo mdulo es rad , constante. =2 s a) Cul es el mdulo del momento angular del sistema de boleadoras?0,5 m 0,6 m 0,3 kg 0,2 kg

Figura 2.5. La bailarina hace girar simultneamente dos boledoras. Las lneas punteadas representan las trayectorias de las masas. El plano del movimiento de ambas masas es el mismo y se ha pintado para evitar la ambigedad debida a la perspectiva. En un sistema de varias masas en rotacin, se puede calcular el momento angular total, sumando los momentos angulares individuales.

a:

Como se trata de dos masas que rotan con igual velocidad angular, podemos calcular el mdulo del momento angular total del sistema compuesto por las dos masas, de la siguiente forma: Ltotal = L1 + L2 Ltotal = m1 r12 + m2 r2 2 Ltotal = ( m1 r12 + m2 r2 2 ) Ltotal = 0, 2 kg 0, 5m + 0, 3kg 0, 6 m Ltotal kg m2 = 0, 3156 s

El ejemplo 8 sirve para denir el momento angular de un conjunto de partculas que giran con igual velocidad angular. La generalizacin de L para n partculas que cumplen esa condicin, se expresa as: L = m1 r12 + m2 r22 + + mn rn2 Escrita con la simbologa de sumatoria, esta expresin queda as

(

(

)

2

(

) ) 2 rad s2

n L = mi ri2 i=1

(

)

(2.6) (2.7)

Este desarrollo permite observar la aparicin de una cantidad importante en el estudio de las rotaciones, el producto de la masa de un objeto en rotacin y el cuadrado de su radio de giro. Esta cantidad se denomina momento de inercia.

L = I n

2 El trmino I = mi ri se denomina

inercia rotacional o momento de inercia de un sistema de n partculas.

i =1

(

)

Seccin 2: Momento angular y su conservacin

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Recuerda el modelo atmico de Bohr, en el que los electrones giran en rbitas alrededor del ncleo. De acuerdo a este modelo, tienen momento angular los electrones en un tomo? Por qu?

La inercia rotacional o momento de inerciaCuando se analiza un movimiento traslacional y rectilneo se considera a la masa del objeto como una medida de su inercia. Como ejemplo, si se aplica la misma fuerza a un camin y luego a un auto, observamos que el auto acelera ms que el camin. En este caso, decimos que el auto cambia su estado de movimiento con mayor facilidad ante la fuerza aplicada. En trminos tcnicos, el auto tiene menos inercia que el camin.Figura 2.6. Un equilibrista utiliza una varilla de masa m para equilibrarse. Mientras ms longitud tiene la varilla, mayor es su inercia rotacional y ms cuesta hacerla rotar.

Por lo tanto, la masa es una medida de la inercia de un cuerpo y es en este sentido, una medida de su resistencia al cambio de velocidad. Anlogamente, al hacer que un objeto slido rote o se mueva en trayectoria curva, se observa una resistencia al cambio del movimiento rotacional. Esta oposicin del objeto al cambio de su rotacin se conoce como inercia rotacional o momento de inercia. En otras palabras, en el movimiento circular el momento de inercia cumple el mismo rol que la masa juega en el movimiento rectilneo. El momento de inercia lo encontramos en dos tipos posibles de sistemas:

SISTEMAS DE OBJETOSSe trata de objetos fsicos que modelamos como si se tratara de partculas que tienen toda su masa concentrada en un punto y que giran con la misma velocidad angular a cierta distancia de un eje de giro. Este es el tipo de sistema que consideramos cuando el eje de giro no atraviesa el objeto. Por ejemplo, aunque para nosotros los planetas son enormes cuerpos masivos, su tamao en relacin al tamao del Sistema Solar es en la prctica muy pequeo y por esta razn podemos modelar el movimiento de los planetas como si se tratara de partculas cuya masa se concentra en un punto. Modelar a los planetas como partculas es una simplicacin fsica importante, pero podemos lograr una muy buena aproximacin a sus movimientos de esta manera.

Figura 2.7. En un mvil giratorio de beb podemos modelar el giro de los objetos alrededor del eje central como si se tratara de partculas. Sin embargo, los objetos tambin giran sobre s mismos, alrededor de un eje que los atraviesa. En esta rotacin no podemos considerarlos como partculas, sino como cuerpos extensos.

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Para este tipo de sistema usamos la ecuacin (2.7), que dene el momento de inercia de un sistema de n partculas como: I = mi r12i =1 n

(2.8)

Donde mi son las masas de las diferentes partculas que forman el sistema y ri son sus radios de giro alrededor de un eje comn. Esta relacin indica que si varios objetos puntuales componen un sistema, el momento de inercia del sistema es la suma de los momentos de inercia de cada partcula respecto al mismo eje de rotacin: I = m1 r12 + m2 r2 2 + m3 r32 + m4 r4 2 + ...(2.9)

Si el sistema est compuesto de una nica partcula que gira alrededor de un eje externo, entonces su momento de inercia se reduce a: I = m r2(2.10)

La ecuacin (2.10) indica que el momento de inercia de un objeto puntual de masa m depende directamente del cuadrado de su radio de giro r. De esta manera, mientras ms alejada del eje est la masa, ms esfuerzo se requiere para hacerla girar con la misma rapidez angular. En la Figura 2.8 se muestran dos sistemas de masas unidas a los extremos de fsforos de distinto largo. Si las cuatro pequeas esferas de plasticina tienen igual masa, qu sistema tiene mayor inercia rotacional? Por qu? De qu depende esto?Figura 2.9. Las masas en este mecanismo pueden ser modeladas como partculas que giran alrededor de un eje comn. En cul de las dos situaciones el momento de inercia del sistema compuesto por las dos masas es mayor? Por qu?

Figura 2.8. Las esferas de plasticina tienen la misma masa. Se usan dos fsforos de distinto tamao para confeccionar los sistemas con dos masas. Los posibles ejes de rotacin de cada sistema son innitos. Seccin 2: Momento angular y su conservacin

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OBJETOS EXTENSOSSe trata de objetos slidos y rgidos que giran sobre un eje que atraviesa sus contornos. Son objetos rgidos aquellos que no experimentan deformaciones. Ejemplos de objetos extensos en rotacin hay muchos a nuestro alrededor. El caso ms directo, aunque tal vez no el ms evidente, es la propia rotacin de la Tierra alrededor del eje imaginario que la atraviesa de polo a polo. Si lanzas un martillo al aire o haces girar un trompo, vers tambin cuerpos rgidos en rotacin. Para calcular el momento de inercia de un objeto rgido no es posible usar la ecuacin (2.8) directamente, ya que este tipo de cuerpo distribuye su masa en toda su extensin de distinta manera, de acuerdo a la geometra que posee. As, por ejemplo, un cilindro slido tiene mayor momento de inercia que una esfera slida del mismo radio y de igual masa. En general, cada cuerpo geomtrico, regular o irregular, tiene su propia inercia rotacional. La tcnica matemtica para calcular la inercia de objetos slidos y extensos pertenece al rea del clculo diferencial e integral. Para evitar este tipo clculos, tenemos la Figura 2.11, que muestra algunos cuerpos geomtricos comunes y sus respectivos momentos de inercia.Eje Eje Eje Eje

Figura 2.10. Un gato es deformable, y por lo tanto, no es un cuerpo rgido. Cuando cae de espalda realiza contorsiones en el aire modicando la inercia rotacional de su cuerpo hasta alcanzar una posicin cmoda y segura de cada.Eje

Eje

Eje

Eje

Figura 2.11. Momentos de inercia de algunos cuerpos geomtricos respecto a diferentes ejes de rotacin.

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Actividad de profundizacin Qu sucede con el momento angular si hay varios cuerpos que rotan juntos?Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una rueda de bicicleta y una silla que pueda rotar sobre su eje. Segn la disponibilidad de sillas giratorias y ruedas de bicicleta en el curso, renete con algunos compaeros y compaeras (entre 4 y 6, idealmente) y formen un equipo de trabajo. a) Reexionen sobre esta pregunta: Qu sucede con el momento angular si hay varios cuerpos que rotan juntos? Como equipo, planteen una hiptesis para responder. A continuacin, realicen el siguiente experimento: el estudiante ms liviano se sienta en la silla y sostiene la rueda de la bicicleta verticalmente, con ambas manos puestas en el eje de la rueda (imagen 2.3). Dos compaeros(as) pueden sujetar la base de la silla para que no se traslade, mientras otro estudiante da impulso a la rueda para que gire. Luego, respondan: b) En qu direccin y sentido est dirigido el momento angular de la rueda? Dibuja en tu cuaderno un esquema del movimiento, indicando el vector momento angular de la rueda. A continuacin, con la rueda en movimiento, el estudiante que est sentado debe inclinar el eje de rotacin de la rueda, lentamente hasta que quede horizontal. c) Describe en tu cuaderno qu observas. d) En qu direccin y sentido est dirigido el momento angular de la rueda? En qu direccin y sentido est dirigido el momento angular de la silla? Dibuja un esquema de la situacin. e) Qu ocurre si la rueda se inclina hacia el otro lado? Dibuja un esquema de la situacin. f) Exploren las posibilidades del experimento. Qu ocurre si en vez de hacer girar la rueda, se empieza por hacer girar la silla? g) Discutan sus respuestas y comprenlas con la hiptesis que plantearon. Para nalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajo segn las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a sus compaeros(as) cules fueron sus hallazgos.Seccin 2: Momento angular y su conservacin Imagen 2.3

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Evaluacin intermediaPARTE I. Problema de planteamiento1

Observa la siguiente imagen. Ella corresponde a un balancn giratorio.

b) Si el nio B gira con una rapidez tangencial de 4,5 m/s Cul es la rapidez angular del nio A? c) Considerando los valores obtenidos anteriormente, cul es el mdulo del momento angular total? (Sin considerar el travesao) PARTE II. Anlisis2

2m

1,5 m

Nio A: 30 kg

Nio B: 40 kg

De qu manera inuye el largo distinto de cada brazo del balancn en el equilibrio rotacional de los nios de distinta masa?

a) Encuentra los momentos de inercia de cada nio y compralos entre s.

Indagacin N6 Por qu las manillas de las puertas estn ubicadas en el extremo?Para responder la pregunta planteada en el ttulo de esta actividad, se propone la siguiente hiptesis: Para abrir las puertas, se necesita menos fuerza cuando esta se aplica ms lejos del eje de rotacin. Cmo podemos poner a prueba esta hiptesis? a) Junto a un compaero o una compaera, diseen un procedimiento experimental que les permita, a travs de un modelo, poner a prueba la hiptesis para evaluar si es una explicacin aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisin, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fcil adquisicin o construccin y tiempos razonables para la observacin y el anlisis de sus resultados. b) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn las indicaciones que les d su profesor(a).

Recuerda que un modelo es una representacin simplificada del fenmeno que se intenta explicar, que incorpora sus principales caractersticas y, en especial, las variables medibles.

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Fsica 3 Ao Medio


TorqueEl torque mecnico () es un concepto fsico muy simple con el que nos encontramos frecuentemente en la vida diaria. Por ejemplo, al abrir una puerta, usar las pinzas, cortar con una tijera o usar

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