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Categoría ENSAYO Estadística y Aprendizaje Situado:

Experiencia de una Propuesta Didáctica de Regresión Lineal Múltiple

Ramón Castillo Ocampo Universidad La Salle Cuernavaca

Cuernavaca, Morelos, México

[email protected]; [email protected]

Resumen—En la sociedad del conocimiento es indispensable que las personas

desarrollen competencias para la interpretación de datos que sustente objetivamente su

toma de decisiones. La Estadística y la Estadística Educativa son recursos relevantes

para tal fin. En este trabajo se presenta una propuesta de didáctica para formular e

instrumentar un modelo de regresión lineal múltiple desde la perspectiva del Aprendizaje

Situado. La propuesta se aplicó a un grupo de estudiantes de licenciatura quienes

reportan mejora en sus habilidades para análisis e interpretación de datos, en la

comprensión de conceptos fundamentales de Estadística y desarrollo de pensamiento

estadístico.

Palabras clave— estadística educativa, aprendizaje situado, pensamiento estadístico.

I. INTRODUCCIÓN

Desde hace algunas décadas múltiples aspectos de nuestras vidas se convierten en

datos almacenados en diversos medios magnéticos, ópticos y electrónicos:

• Tecnologías emergentes para la obtención de datos permiten que se realicen registros

continuos del entorno físico (patrones del clima, eventos sísmicos).

• Constantemente monitoreamos nuestros movimientos a través de y con interacción a

nuestro entorno físico (tráfico terrestre y aéreo, uso del suelo, instalaciones de

manufactura avanzadas).

• En entornos mediados por computadoras, nuestras actividades dependen de manera

crucial de datos digitales complejos (juegos en red, tecnologías peer-to-peer, sitios Web

y uso de Internet).

• En expedientes médicos electrónicos (datos biométricos, diagnósticos, medicamentos y

tratamientos administrados).

• En registros de operaciones financieras (patrones de pago y de consumo).

Vastos repositorios de información, en continuo crecimiento, son un desafío: ¿cómo

representar e interpretar datos complejos, abstractos y frecuentemente socialmente

relevantes? Para los especialistas en estadística representa y representará la

oportunidad de trabajar “…con cantidades gigantescas de datos generada en diversos

estudios científicos…” (Pantula, 2010) en ámbitos como aseguramiento de …”calidad de

datos, confidencialidad de datos, seguridad de datos y análisis de datos…” (Pantula,

2010). En los albores del s. XXI, la importancia de desarrollar el pensamiento estadístico

en las personas, en particular de los universitarios y de los tomadores de decisiones no

puede soslayarse (Gil Pérez & Guzmán Ozámiz, 2009; Nicholson & Mulhern, 2000). En la

sociedad del conocimiento las personas deben desarrollar competencias para interpretar

datos en condiciones de incertidumbre, para sustentar y orientar su toma de decisiones

(Nicholson & Mulhern, 2000). La Estadística y la Estadística Educativa son valiosos

recursos para desarrollar en los estudiantes competencias para dichos fines (Batanero &

Serrano Romero, 1995; Garfield & Ben-Zvi, 2007; Zieffler et al., 2008).

En el nivel universitario vía cursos de Estadística los estudiantes debieran desarrollar

competencias para formular preguntas susceptibles de responder con datos, diseñar

instrumentos o experimentos para reunir datos, organizarlos y presentarlos para ofrecer

respuestas sustentadas en el análisis estadístico de los mismos. Los programas de los

cursos universitarios de Estadística incluyen temas para desarrollar tales habilidades.

Como material didáctico se dispone de excelentes textos (D. Anderson, Sweeney, &

Williams, 2008; Hines, Montgomery, Goldsman, & Borr, 2003; Lind, Marchal, & Wathen,

2008; Moore, McCabe, & Craig, 2009; Sánchez, 2009a, 2009b). Sin embargo, en la

práctica los cursos se reducen a métodos para una variable continua; temas como

regresión lineal y técnicas multivariadas reciben limitada atención. En consecuencia en el

ejercicio profesional el egresado carecerá de competencias fundamentales para resolver

con éxito situaciones donde los modelos multivariados deberían aplicarse.

La Educación Estadística y Teorías Cognitivas deben fundamentar el diseño de material

instruccional efectivo para que los estudiantes desarrollen competencias para la

interpretación de datos. Desde dicha perspectiva, para un primer curso de Estadística en

licenciatura en el presente trabajo se propone una trayectoria hipotética de aprendizaje

(Aranda & Callejo, 2010; Clements & Sarama, 2004; Gómez & Lupiañez, 2007; Watson &

Mason, 2006) y una propuesta didáctica del tema regresión lineal múltiple para un curso

de Estadística en licenciatura desde la perspectiva del aprendizaje situado (Díaz Barriga,

2006, 2008; Sadler, 2009).

II. ANTECEDENTES TEÓRICOS

En el siglo XX, la Estadística se consolidó como “una de las ciencias metodológicas

fundamentales y base del método científico experimental” (Batanero, Ortíz, Serrano, &

Cañizares, 2001; Pantula, 2010). El creciente interés en esta disciplina no se limita a

aspectos metodológicos y técnicos propios de ella (Batanero & Díaz, 2010). Los métodos

de enseñanza de la Estadística y la Educación Estadística como un campo de

investigación reciben atención por parte de estadísticos como por otros especialistas

(Batanero & Díaz, 2010; Batanero & Godino, 2005; Ben-Zvi & Garfield, 2008;

Shaughnessy, 2007). Cobb y Moore (1997) postulan que la Estadística proporciona a

otros campos del conocimiento un conjunto coherente de ideas, conceptos y

herramientas para analizar datos.

En el nivel universitario, los cursos de estadística son los de mayor presencia en los

programas académicos. La estadística se estudia como una herramienta para resolver

problemas en diversas áreas del conocimiento. A través de estos cursos los estudiantes

debieran desarrollar competencias para:

• Formular preguntas susceptibles de responder con datos,

• Diseñar instrumentos o experimentos para reunir datos,

• Organizarlos y presentarlos para ofrecer respuestas sustentadas en el análisis

estadístico de los mismos.

Los cursos de Estadística son un reto para estudiantes que carecen de adecuada

formación en métodos cuantitativos básicos o de motivación en ellos. Algunos dicen que

pensar en estadística es una actividad no natural porque es pensar en algo que puede o

no puede suceder. Y con frecuencia sus resultados son contra-intuitivos para el

estudiante.

Como áreas de conocimiento la Probabilidad y la Estadística parten de dos ideas muy

simples: repetibilidad de la situación en las mismas condiciones e independencia de

resultados en dos repeticiones. Estas dos ideas son una simplificación de la realidad y

pueden ser aceptables en mayor o menor medida en cada situación específica. Los

modelos simples se combinan entre si de forma potente partiendo de pocas ideas

fundamentales de donde se construyen modelos de complejidad progresiva, que

permiten resolver problemas de inferencia y de predicción en presencia de incertidumbre.

El sustento teórico de la estadística es complejo. Sin embargo, no todos los estudiantes

necesitan conocer los detalles avanzados de la Estadística, pero si es indispensable que

comprendan los fundamentos y supuestos de los métodos estadísticos para aplicarlos

correctamente.

La instrucción Estadística debe enfocarse en fenómenos específicos que puedan ser

cuantificados y después examinados. Algunos autores (Garfield & Ben-Zvi, 2005)

consideran que el estudiante de Estadística necesita comprender la naturaleza del

muestreo, la omnipresencia de la variación y las relaciones entre población y muestra. El

estudiante debe entender la probabilidad como una medida de incertidumbre, conocer

como desarrollar modelos para simular fenómenos aleatorios y como producir datos para

estimar probabilidades (Garfield & Ben-Zvi, 2007).

En el aprendizaje de la Estadística el estudiante necesita:

• Comprender el proceso de producción de datos y diferentes enfoques para producirlos

(transversales, longitudinales, series de tiempo, etc.).

• Realizar análisis exploratorio de datos (Batanero, Estepa, & Godino, 1991).

• Identificar el concepto de variabilidad muestral (Shaughnessy & Ciancetta, 2002).

• Adquirir la lógica de la inferencia estadística (Lovett & Greenhouse, 2000; Meyer &

Lovett, 2002).

• Hacer inferencias de la población a partir de una muestra.

• Coordinar y aplicar el conocimiento probabilístico a los datos analizados, a las

conclusiones preliminares de los resultados y a la interpretación de resultados en el

contexto específico bajo estudio.

En las siguientes secciones se presenta un breve panorama sobre: instrucción

estadística y Estadística Educativa, software en la enseñanza de la estadística,

pensamiento estadístico, aprendizaje situado y la taxonomía Structure of the Observed

Learning Outcome (SOLO).

A. Instrucción Estadística y Estadística Educativa

Existen aspectos de la “formación matemática del estudiante y de sus actitudes hacia las

matemáticas que pueden ser comunes a otras áreas del conocimiento” (Gómez &

Carulla, 2001). Diversas experiencias confirman que el enfoque constructivista (Coll,

1996; Dubinsky & McDonald, 2001; Gómez & Carulla, 2001; San Martín, 2006;

Schoenfeld, 1999; Shaughnessy, 2007) favorece el aprendizaje en matemáticas y

estadística. Sin embargo, en la instrucción Estadística prevalece un enfoque a

herramientas, procedimientos y cálculos que limita la adecuada apropiación de los

conceptos fundamentales de la disciplina por los estudiantes quienes en el proceso

enfrentan diversos obstáculos cognitivos (Brousseau, 1997; San Martín, 2006). De

acuerdo a Brousseau (1997) estos obstáculos se categorizan en

• Obstáculos ontogénicos (o psicogenéticos): Por ejemplo, para comprender la idea de

función de distribución de probabilidad se requiere el conocimiento de funciones.

• Obstáculos didácticos: Por ejemplo, la introducción de un nuevo simbolismo como en el

modelo de regresión que emplea una notación diferente a la que el estudiante ha

estado habituado a usar para referirse a la recta.

• Obstáculos epistemológicos: Tal es el caso de la definición de variable aleatoria que en

realidad es una función del espacio muestral a los números reales; una variable que no

es variable porque es una función.

B. Software en la Enseñanza de la Estadística

Aún con la omnipresencia de diversas tecnologías en nuestra vida, tales como las

tecnologías de la información y las comunicaciones, su adopción en los ambientes

educativos ha sido difícil y lenta. La disponibilidad de recursos de tecnologías de la

información contrasta con lo inadecuado de su incorporación en los cursos de

Estadística. En algunos cursos se enfatizan los procedimientos de cálculo; al mismo

tiempo se ignora la verificación de los supuestos de cada modelo y la interpretación de

los resultados. Díaz Barriga (2005, 2008) destaca la importancia del diseño instruccional

en entornos de aprendizaje con tecnologías de la información. Estudios recientes

muestran experiencias de la incorporación de tecnología en la instrucción estadística y de

los desafíos que representa realizarlo (Biehler & Prömmel, 2010; Maxara & Biehler,

2006). Software de calidad y gratuito puede emplearse para proceso, simulación y

enseñanza de estadística. Algunos ejemplos son: R-project (Gentleman & Ihaka, 2009; R

Development Core Team, 2006), Virtual Laboratories for Probability and Statistics

(Siegrist, 2009), Rice Virtual Lab in Statistics (Lane, 2006) o Free Statistical Software

(«Free Statistics - Free Statistical Software», 2010). Un recurso de fácil acceso es la hoja

de cálculo y es una alternativa para apoyar el aprendizaje de la estadística.

Con software tenemos la posibilidad de simular fenómenos aleatorios, condensar eventos

en el tiempo y observar el cambio de tendencias como función de diferentes parámetros.

Es viable sustituir demostraciones físicas que demandan tiempo de preparación por

simulaciones en la computadora previamente preparados por el docente o realizadas por

el estudiante con algunas indicaciones del docente. Tenemos la oportunidad de crear

representaciones dinámicas de objetos matemáticos para que el estudiante interactúe

con las propiedades matemáticas de dicho objeto. Desafortunadamente, el uso de esta

tecnología aún es reducido en los cursos de estadística para simular diversos procesos.

En la literatura, se distinguen dos connotaciones de “uso de simulaciones”. Una de ellas,

emplear simulaciones que contienen todos los elementos necesarios para que los

estudiantes la empleen (Java Applets, o como objetos en otros ambientes de

programación) (Blejec, 2002). La segunda de ellas, simulaciones que los estudiantes, o el

profesor, construyen con hojas de cálculo, paquetes estadísticos (STATA, Minitab, R) o

lenguajes de programación.

La incorporación de la tecnología en el aprendizaje de la Estadística de ninguna manera

deberá limitarse a su dimensión técnica o de herramienta. En la enseñanza de la

Estadística la tecnología debe contribuir para potenciar el aprendizaje de la disciplina y su

aplicación en contextos diversos.

C. Alfabetización, Razonamiento y Pensamiento Estadístico

La instrucción Estadística con enfoque limitado a herramientas, procedimientos y cálculos

restringe la adecuada apropiación de los conceptos fundamentales de la disciplina por los

estudiantes (Keast, 1999; Zieffler et al., 2008). DelMas (2002) considera que la

instrucción en Estadística debe tener tres grandes metas:

• Alfabetización estadística (identificar, describir, parafrasear, traducir, interpretar, leer)

• Razonamiento estadístico (capacidad del estudiante para explicar qué, cómo y por qué)

• Pensamiento estadístico (la aplicación, la crítica, la evaluación y la generalización)

Figura 1 Proceso de Instrucción Estadística

La Alfabetización Estadística considera la comprensión y uso del lenguaje y herramientas

básicas de la Estadística: conocer el significado de términos, el empleo de símbolos

estadísticos, y reconocer y ser capaz de interpretar representaciones de datos.

El Razonamiento Estadístico se refiere a como las personas razonan con ideas

estadísticas y de como atribuyen sentido a la información estadística. El razonamiento

estadístico incluye la relación de un concepto dentro de otro (P. Ej. centro y dispersión) o

la combinación de ideas sobre datos y aleatoriedad; significa comprender, ser capaz de

explicar procesos estadísticos y de interpretar totalmente los resultados estadísticos.

El Pensamiento Estadístico incluye el entendimiento de por qué y cómo se desarrollan las

investigaciones estadísticas. Implica reconocer y comprender el proceso completo de

investigación (planteamiento de la pregunta, recolección de datos, selección del método

de análisis, prueba de suposiciones, etc.), entendimiento de como los modelos se usan

para simular el fenómeno aleatorio, comprender como se producen los datos para

estimar probabilidades, reconocer cuándo y por qué las herramientas inferenciales se

Alfabetización Estadística

Razonamiento

Estadístico

Pensamiento

Estadístico

emplean, y ser capaz de entender y emplear el contexto de un problema para planear y

evaluar investigaciones y derivar conclusiones.

En un primer curso de Estadística el objetivo es conducir al estudiante en cada una de las

etapas anteriores en un proceso iterativo con diferente profundidad en cada etapa.

Incluso en cursos superiores de Estadística es posible aplicar dicho proceso1. Es

importante informar previamente a los estudiantes sobre el proceso para reducir el nivel

de ansiedad que puede interferir con su aprendizaje (Ashcraft & Kirk, 2001). Es frecuente

que los estudiantes esperen un formato de curso donde ellos estén familiarizados,

perciban tener control, conozcan las reglas, sepan como obtener una calificación y desde

su perspectiva tener “éxito”. Asimismo es recomendable tener comunicación oportuna

con los administradores educativos sobre este proceso que difiere de la práctica común.

Derivados de la teoría cognitiva y aplicados a la educación, Lovett y Greenhouse (2000)

proponen consideraciones para los docentes y su práctica: (1) Los estudiantes aprenden

mejor cuando ellos practican y se desempeñan de manera independiente; (2) El

conocimiento tiende a ser específico al contexto donde se aprende; (3) El aprendizaje es

más eficiente cuando el estudiante recibe retroalimentación inmediata sobre sus errores;

(4) El aprendizaje requiere de la integración de nuevo conocimiento con conocimiento

previo; (5) El aprendizaje es menos eficiente a medida que la carga mental del estudiante

aumenta. Con estas consideraciones (Lovett & Greenhouse, 2000) diseñaron un curso de

Razonamiento Estadístico para estudiantes de humanidades y ciencias sociales en

Carnegie Mellon University con duración de un semestre académico. Ellos reportan que

la experiencia favorece el aprendizaje de los estudiantes.

D. Aprendizaje Situado y Enseñanza Situada

Díaz Barriga (2003) señala que los principios de la Cognición Situada están relacionados

con el Enfoque Socio-Cultural de Lev Vygotsky y con la Teoría de la Actividad de Aleksei

Leontiev. Para la Cognición Situada una premisa fundamental es que el “…conocimiento

es situado, es parte y producto de la actividad, el contexto y la cultura en que se

1 El autor ha seguido este proceso en cursos de Estadística Matemática en nivel maestría con grupos de 6 a 8

estudiantes. Inicialmente, los estudiantes han mostrado desconcierto. Al final del curso ellos reconocen beneficios y

expresan satisfacción por el modelo de enseñanza. Estas experiencias serán reportadas en futuros trabajos.

desarrolla y utiliza...” (Díaz Barriga, 2003). El Aprendizaje Situado es una postura teórica

de la cognición y del aprendizaje que considera que estos no pueden abstraerse del

ambiente donde ocurren. Las aseveraciones fundamentales del Aprendizaje Situado con

respecto a la educación son: (1) La acción está anclada en las situaciones concretas en

las que ocurre y (2) La instrucción debe realizarse en ambientes sociales complejos.

Díaz Barriga (2003) expresa que la enseñanza situada es el enfoque instruccional

sustentado en la cognición situada. En la enseñanza situada la actividad y el contexto

para el aprendizaje son centrales; el aprendizaje escolar se reconoce como proceso a

través del cual los estudiantes se asimilan a una cultura de prácticas sociales. Desde la

cognición y la enseñanza situada se cuestiona la praxis de la enseñanza a partir de

conceptos declarativos, abstractos y descontextualizados; de limitada utilidad y

relevancia social (Díaz Barriga, 2006).

En contraste, Anderson, Reder y Simon (1996, 2000) consideran que ciertos aspectos de

la aplicación del aprendizaje situado es inapropiado y en otros casos es incorrecto.

Señalan (1996, 2000) que descomponer el conocimiento en sus elementos con el

propósito de estudiarlos y descontextualizarlos con fines de instrucción escolar tiene

validez y vigencia desde una posición conductista o constructivista. Para Anderson et al

(1996, 2000) las aseveraciones de los beneficios del aprendizaje situado son

desmesuradas; recomiendan cautela y mayor detalle al analizar la evidencia empírica de

la aplicación del aprendizaje situado.

Sadler (2009) explora las implicaciones del aprendizaje situado como perspectiva teórica

para la educación en ciencias; destaca beneficios y expone críticas al enfoque.

E. La Taxonomía SOLO

Biggs, Collis y Tang (1982; 2007) desarrollaron la Taxonomía Structure of the Observed

Learning Outcome (SOLO); es una aplicación de la teoría de Piaget en el aula y se

sustenta en el trabajo de Marton y Säljö (1976). La taxonomía SOLO es aplicable a los

resultados de aprendizaje escrito y oral; en cinco niveles describe el resultado del

aprendizaje como evidencia de compresión. Los cinco niveles, en creciente complejidad

de comprensión, son: Pre-estructural, Uni-estructural, Multi-estructural, Relacional y

Abstracción extendida.

En el nivel Pre-estructural, las respuestas de los estudiantes carecen de coherencia o

relevancia para la tarea o pregunta que se les presentó. Los niveles Uni-estructural y

Multi-estructural se asocian con un aumento cuantitativo en conocimiento o “enfoque

superficial” al aprendizaje donde un elemento de información, dato o hecho se usa o se

identifica (Uni-estructural), o cuando más de un elemento de información se identifica,

pero cada uno de ellos es empleado separadamente sin integración (Multi-estructural).

En el nivel Uni-estructural en la respuesta no se identifican aspectos que pueden

modificar o contradecir la respuesta. En el nivel Multi-estructural, en la respuesta se

omiten elementos que eventualmente contradicen la respuesta presentada.

En contraste, los niveles Relacional y Abstracción Extendida se consideran semejantes al

“enfoque profundo” del aprendizaje que se asocia con la calidad de pensamiento o

comprensión. En el nivel Relacional, la mayor parte de los datos relevantes son

empleados en la respuesta y relaciona datos diversos, las posibles contradicciones son

identificadas y evaluadas. En el nivel de Abstracción Extendida, la pregunta es abordada

como un caso particular de una situación general, se aportan cuestionamientos a las

suposiciones, se aportan contraejemplos y nuevos datos, y la respuesta se presenta

como una posible solución debidamente sustentada. En este nivel, el estudiante

identifica, obtiene e integra información adicional a la que recibe inicialmente para crear

hipótesis o elaborar predicciones.

SOLO es una forma de clasificar sistemáticamente, la creciente complejidad que

enfrentan los estudiantes en el aprendizaje de tareas académicas. Y puede emplearse

para definir los objetivos curriculares en los que los estudiantes deberán trabajar incluso

para evaluar la etapa en la que los estudiantes trabajan (Biggs & Collis, 1982; Biggs &

Tang, 2007).

A partir de los planteamientos de Robert delMas (2002), de Lovett y Greenhouse (2000) y

de la Enseñanza Situada (J. R. Anderson et al., 2000; Díaz Barriga, 2003; Sadler, 2009)

en el presente trabajo se propone una trayectoria hipotética de aprendizaje (Aranda &

Callejo, 2010; Clements & Sarama, 2004; Gómez & Lupiañez, 2007; Watson & Mason,

2006) y una propuesta didáctica de regresión lineal para un primer curso de Estadística

en licenciatura. La evaluación del desempeño se realizó con la Taxonomía SOLO (Biggs

& Tang, 2007).

III. TRAYECTORIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAJE (THA) PARA REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Una trayectoria de aprendizaje (THA) es “la predicción que el profesor tiene acerca del

camino por el cual puede proceder el aprendizaje” (Gómez & Carulla, 2001). Tres

componentes fundamentales de la THA son “la visión que el profesor tiene del objetivo de

aprendizaje, la planificación del profesor para las actividades de aprendizaje y las

hipótesis del profesor acerca del proceso de aprendizaje” (Gómez & Carulla, 2001). La

THA es un proceso dinámico y en constante evolución durante la clase. Sin embargo, es

importante recordar que el proceso de aprendizaje no es secuencial ni tampoco

determinístico; es un proceso dinámico.

Cuando el estudiante no comprende el concepto de regresión lineal su atención se

enfoca al cálculo y procedimiento inhibiendo la comprensión del concepto. La trayectoria

hipotética de aprendizaje (THA) y actividades didácticas diseñadas a partir de los

principios de Lovett y Greenhouse (2000), son una alternativa para trabajar este tema en

clase y apoyar el procesos de aprendizaje de los estudiantes desde el planteamiento de

delMas (2002).

Con la THA y las correspondientes actividades se promueve que el estudiante integre

conocimientos previos de álgebra y probabilidad para construir la representación

conceptual de regresión lineal. Emplear conjuntos de datos derivados de procesos

específicos con los que el estudiante pueda relacionarse permite un mejor desempeño en

su proceso de aprendizaje de los temas de Estadística.

A continuación se enuncian algunas situaciones de interpretación incorrecta de

conceptos de estimación estadística, coeficiente de correlación de Pearson y regresión

lineal múltiple.

A. Estimación Estadística

Una de las tareas de la Inferencia Estadística (clásica) es la estimación de parámetros de

una población (D. Anderson et al., 2008; Lind et al., 2008; Sánchez, 2009a, 2009b;

Wakerly, Mendenhall, & Scheaffer, 2002). La estimación estadística es: puntual y por

intervalos de confianza. En la estimación puntual a partir de una muestra se construye

una función para estimar (estimador puntual) el parámetro (desconocido) de una

población. En la estimación por intervalos de confianza se construye una función que

determina, para un nivel de confianza establecido, los límites inferior y superior en donde

se estima que el parámetro (desconocido) de la población se encuentra. Diversos autores

(Batanero, Godino, Green, Holmes, & Vallecillos, 1994; Batanero & Serrano Romero,

1995; Chance, 2002) identifican dos situaciones de interpretación incorrecta:

1. Considerar el intervalo de confianza como la probabilidad de que el parámetro

(desconocido) esté en el intervalo.

2. Ignorar el concepto de variación muestral.

B. Medida de Asociación de Variables: Coeficiente de Correlación de Pearson.

El coeficiente de correlación de Pearson, ,X Y

r , es una medida de la asociación lineal entre

dos variables cuantitativas.

( ) ( )

( ) ( )

1

,

2 2

1 1

n

i i

iX Y

n n

i i

i i

X X Y Y

r

X X Y Y

=

= =

− −

=

− −

∑

∑ ∑

El coeficiente de correlación lineal,

,X Yr , mide en una escala continua entre -1 y +1 la

intensidad de la asociación lineal entre dos variables cuantitativas. El signo del

coeficiente indica el sentido de la correlación, negativa o positiva. El valor absoluto del

coeficiente de correlación señala la intensidad de la relación lineal, débil si la magnitud

tiende a cero; fuerte si tiende a la unidad. Es indispensable complementar este

diagnóstico con un diagrama de dispersión.

Dos interpretaciones erróneas de esta medida de asociación de variables son:

1. Considerar falta de asociación entre variables cuando el coeficiente de correlación es

cercano a cero cuando debiera interpretarse como ausencia, o falta de evidencia, de

relación lineal.

2. Aplicarlo cuando el diagrama de dispersión exhibe una relación no lineal.

3. Implicar relación causa–efecto al obtener un valor del coeficiente de correlación

cercano a la unidad cuando lo que único que podemos establecer es una asociación

de variables.

C. Modelo de Regresión Lineal

Para modelar la respuesta en función de un conjunto de variables una metodología de

amplio uso es la regresión lineal múltiple. Con ella se ajusta un modelo lineal a un

fenómeno que tiene una respuesta continua resultado de una función lineal (en los

parámetros) de un conjunto de variables cuantitativas o categóricas (Montgomery, Peck,

& Vining, 2007; Wakerly et al., 2002). Se asume que la distribución de los errores tiene

una distribución normal con media cero y varianza constante no conocida; y no están

correlacionados. En esta técnica se estima el valor esperado de la variable continua y en

función de k variables x . Es decir

ɵ �0

0

; 1

k

i ii

i

y x xβ=

= =∑

La exposición del estudiante a modelos de regresión lineal (D. Anderson et al., 2008;

Hines et al., 2003; Montgomery et al., 2007; Moore et al., 2009) deberá enfocarse a:

• Presentación de los supuestos fundamentales del modelo de regresión.

• Análisis exploratorio de los datos.

• Méritos de la formulación del modelo.

• Validación del modelo.

• Interpretación de los resultados derivados.

Asimismo, debe evitarse concentrarse en el cálculo de los estimadores o en limitados

criterios de validación del modelo. Es una tarea relativamente sencilla proporcionar a los

estudiantes un conjunto de datos para que ellos obtengan la ecuación de regresión. Sin

embargo, dicha práctica de ninguna manera implicará aprendizaje ni conocimiento del

modelo de regresión. Con respecto a la validación del modelo, se sugiere presentar a los

estudiantes los clásicos conjuntos datos de Anscombe (Anscombe, 1973; Chatterje &

Firat, 2007) para ilustrar casos en los que usar indiscriminadamente el coeficiente de

determinación como criterio de validez del modelo es incorrecto. Para referencia del

lector en el Apéndice A se incluye este conjunto de datos.

IV. UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LICENCIATURA

Una rigurosa aplicación del aprendizaje situado para el tema de regresión lineal múltiple

requeriría incorporar a los estudiantes en comunidades de práctica; comunidades cuyo

trabajo sustantivo sea resolver problemas vía modelos estadísticos, en particular análisis

de regresión. Para aproximarnos al aprendizaje situado, dadas las condiciones del

contexto universitario y cultura escolar, optamos por diseñar actividades para que los

estudiantes identificaran el problema, definieran variables, obtuvieran datos, realizaran

análisis exploratorio de los datos, propusieran modelos, los validaran e interpretaran los

resultados en el contexto del problema analizado.

Diversos autores (Brunelli & Gattuso, 2000; Derry, Levin, & Schauble, 1995; Godino,

Ruíz, Roa, Pareja, & Recio, 2010; Nolan & Speed, 1999) destacan la relevancia de

desarrollar nociones conceptuales de estadística en los estudiantes a través de

experiencias con conjuntos de datos de fenómenos concretos y de simulaciones. En la

presente propuesta didáctica se asume que los estudiantes poseen habilidades de

manejo de hoja de cálculo y tienen familiaridad con los conceptos de variable aleatoria,

función de distribución de probabilidad (D. Anderson et al., 2008; McColl, 1995; Moore

et al., 2009), medidas de tendencia central y de dispersión, y estimación estadística. En

particular, se asume que el estudiante comprende las distribuciones Normal y t-Student

(D. Anderson et al., 2008; Fendler & Muzaffar, 2008; Hines et al., 2003; Lind et al., 2008).

Para la aplicación de la estrategia didáctica, se invitó a veinte estudiantes de

mercadotecnia que aprobaron un primer curso de Estadística2. Se organizó a los

estudiantes en dos equipos con cuatro integrantes y cuatro equipos con tres integrantes.

Todos respondieron a un instrumento (“A”) para establecer el nivel SOLO (al inicio) de

cada participante. El docente describió en una sesión de dos horas el tema de regresión

2 Ningún participante obtuvo calificación final de diez en su curso de Estadística.

lineal simple; tema que no cubierto en su curso. En una segunda sesión de dos horas el

docente elaboró sobre la limitación del modelo de regresión lineal simple, mostró la

necesidad de incluir variables independientes adicionales; presentó el modelo de

regresión lineal múltiple y sus supuestos. El docente ejemplificó el uso de Excel para

realizar los cálculos correspondientes.

En una tercera sesión de dos horas, el docente presentó a los estudiantes el proceso de

especificación de un modelo de regresión lineal múltiple. Posteriormente, él abrió la

discusión al grupo sobre tópicos con los que los estudiantes pudieran relacionarse para

aplicar el modelo de regresión.

Las etapas realizadas fueron:

1. Especificación del modelo.

2. Recolección de datos.

3. Cálculo de los estimadores de regresión.

4. Validar el modelo.

5. Interpretar el modelo.

6. Discutir los resultados

Considerando que la experiencia de los estudiantes es el área mercadotecnia y un

posible interés es la música, se propuso a los participantes elaborar un modelo para

determinar el precio ($) de CD de música3 a partir de un conjunto de variables

independientes cuantitativas.

A. Precio de CD de Música

En una primera aproximación a cada grupo se le proporcionó una muestra de precios de

CD que sólo incluía precio y duración (minutos) del CD. Se hizo un “lluvia de ideas” en

cada grupo de estudiantes para identificar factores cuantitativos adicionales que pudieran

afectar el precio del CD. Los grupos propusieron incluir variables como número de

melodías, duración de cada melodía, años transcurridos desde la producción del CD,

3 Es recomendable modificar el ejemplo dependiendo de los intereses de los estudiantes. Para el caso de estudiantes

de tecnologías de la información podríamos referirnos errores de transmisión de mensaje. O bien para estudiantes

del área de salud diseñar un problema que involucre datos biométricos.

número de artistas que participan en el CD, número de instrumentos musicales

empleados. A los grupos se les asignó el proyecto: “a partir de los factores cuantitativos

identificados por cada grupo obtener una muestra de las características de CDs para

especificar un modelo de regresión lineal con el precio como variable dependiente”.

B. Etapas para el Modelos de Regresión Múltiple de Precio de CD de música

En la etapa 1 los estudiantes organizaron sus hallazgos de la “lluvia de ideas”;

propusieron las variables cuantitativas dependientes. En la segunda etapa analizaron los

datos de CDs y obtuvieron información para construir su muestra. Para la tercera etapa

capturaron datos en la computadora, realizaron el análisis exploratorio y emplearon el

correspondiente procedimiento de análisis de regresión. En este punto se mostró a los

estudiantes que el proyecto aún no concluía porque debían validar e interpretar el modelo

y discutir los resultados. Es decir, tenían tres etapas por realizar. En la etapa 4,

verificaron que los supuestos del modelo se cumplían al analizar el comportamiento de

los residuales; aplicaron sus conocimientos de correlación, intervalos de confianza y

pruebas de hipótesis para validar el modelo. Finalmente, en las últimas dos etapas los

estudiantes interpretaron y discutieron sus resultados.

El proyecto lo desarrollaron los estudiantes en un lapso de dos semanas con sesiones de

asesoría con el docente. Al final de la tercera etapa, cuatro estudiantes de un mismo

grupo desistieron de continuar el proceso; argumentaron que el trabajo era confuso para

ellos. En este sentido, se destaca que el paradigma constructivista implica cambio de

actitud no sólo del docente. El cambio también es requerido de parte de los estudiantes;

incluso de la propia institución. Por lo que es crucial mantener con todos los involucrados

una comunicación propositiva y continua sobre el proceso.

V. RESULTADOS

Para evaluar el desempeño de los estudiantes participantes de este proyecto ellos

respondieron individualmente a dos instrumentos adicionales (“B” y “C”). La respuesta a

cada reactivo del instrumento “B” la hicieron con una puntuación de 1 a 5. Donde 5

representa la máxima puntuación y 1 la mínima. Los resultados del instrumento “B” se

resumen en la siguiente Tabla 1.

1 2 3 4 5Total

Repuestas0.0% 0.0% 12.5% 25.0% 62.5% 100.0%0.0% 0.0% 6.3% 25.0% 68.8% 100.0%

Desarrollan mejor comprensión de Muestreo 0.0% 0.0% 6.3% 18.8% 75.0% 100.0%Representatividad de la muestra 0.0% 0.0% 0.0% 12.5% 87.5% 100.0%Variabilidad estadística 0.0% 0.0% 25.0% 56.3% 18.8% 100.0%Estimación 0.0% 0.0% 0.0% 6.3% 93.8% 100.0%Significancia estadística 0.0% 0.0% 0.0% 25.0% 75.0% 100.0%

Reconocen el papel de la tecnología Como recurso para su aprendizaje 0.0% 0.0% 12.5% 25.0% 62.5% 100.0%Como recurso para experimentar con diferentes escenarios 0.0% 0.0% 0.0% 12.5% 87.5% 100.0%Como recurso fundamental para el análisis de datos 0.0% 0.0% 0.0% 6.3% 93.8% 100.0%

Valoran la utilidad de los métodos estadísticos.Mejoran en sus habilidades de interpretación de datos.

Tabla 1 Opiniones de los participantes

Obsérvese que más del 85% de los estudiantes asignan puntuación de 5 a las

categorías:

• “Desarrollan mayor comprensión de representatividad de la muestra” (87.5%)

• “Desarrollan mayor comprensión de estimación” (93.8%)

• “Reconocen el papel de la tecnología como recurso para experimentar con diferentes

escenarios” (87.5%)

• “Reconocen el papel de la tecnología como recurso fundamental para el análisis de

datos” (93.8%)

En contraste, 25% de los participantes asigna puntuación de 3 a la categoría “Desarrollan

mayor comprensión de variabilidad estadística”. Incluso esta categoría es la que tiene el

menor porcentaje (18.8%) de puntuación 5. Una conclusión preliminar es que el concepto

de variabilidad estadística sigue representando un reto para el aprendizaje y para la

enseñanza.

El resumen de los resultados de los instrumentos “A” (Nivel SOLO al Inicio) y “C” (Nivel

SOLO al Final) con la correspondiente clasificación se resume en la Tabla 2.

Nivel SOLO al Inicio

Nivel SOLO al Final

% %Pre-estructural 0% 0%Uni-estructural 38% 0%Multi-estructural 44% 38%Relacional 19% 38%Abstracción extendida 0% 25%

100% 100% Tabla 2 Nivel SOLO de los participantes

De la anterior tabla se observa mejora en el desempeño global del grupo. Al inicio 19%

de los participantes fue ubicado en nivel Relacional o Abstracción Extendida; al final

fueron ubicados en esas mismas categorías el 63% de los participantes. Sin embargo, en

lo individual, diez estudiantes mejoraron su nivel SOLO, dos bajaron su nivel SOLO y

cuatro no cambiaron de nivel SOLO.

En la dinámica de trabajo se observó que los participantes mantuvieron una actitud

propositiva en el proceso enseñanza-aprendizaje. Aún en circunstancias de frustración

por las dificultades inherentes al proceso. En el formato de clase magistral estos

aspectos son difíciles de evidenciar y en consecuencia de evaluar.

VI. CONCLUSIONES

El análisis de una problemática con la que los estudiantes se relacionen con mínimas

consideraciones técnicas fomentó en ellos la reflexión, el desarrollo de habilidades de

análisis de datos, y razonamiento y pensamiento estadístico. Se diseñó y aplicó una

actividad didáctica para el tema de regresión lineal múltiple en un curso de Estadística

donde

� Las actividades se orientan a las metas de la instrucción estadística (delMas, 2002;

Lovett & Greenhouse, 2000; Meyer & Lovett, 2002).

� A través los resultados de la práctica del estudiante, se evidencia el proceso de

aprendizaje del estudiante para retroalimentar al profesor (Biggs & Tang, 2007).

� El diseño de la intervención atiende a las características del aprendizaje situado

(Sadler, 2009).

Es factible extender el esquema de la anterior propuesta al diseño e instrumentación de

cursos de Estadística. Dichas tareas demandan modificaciones en la práctica de los

docentes así como en los procedimientos de evaluación de estudiantes y docentes.

Adicionalmente deben establecerse compromisos formales y concretos de estudiantes,

autoridades educativas y administrativas para progresar en la encomienda. Las

demandas de la sociedad del conocimiento hacen indispensables e impostergables los

cambios en la instrucción estadística para que los estudiantes desarrollen competencias

para la interpretación de datos que sustente objetivamente su toma de decisiones.

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VIII. APÉNDICE A

Conjunto de datos de Anscombe (1973).

Variables Nº Obs. X Y1 Y2 Y3 X4 Y4

1 10 8.04 9.14 7.46 8 6.58 2 8 6.95 8.14 6.77 8 5.76 3 13 7.58 8.74 12.74 8 7.71 4 9 8.81 8.77 7.11 8 8.84 5 11 8.33 9.26 7.81 8 8.47 6 14 9.96 8.1 8.84 8 7.04 7 6 7.24 6.13 6.08 8 5.25 8 4 4.26 3.1 5.39 19 12.5 9 12 10.84 9.13 8.15 8 5.56 10 7 4.82 7.26 6.42 8 7.91 11 5 5.68 4.74 5.73 8 6.89

Resumen de datos.

X Y1 Y2 Y3 X4 Y4

Observaciones 11 11 11 11 11 11 Media 9.00 7.50 7.50 7.50 9.00 7.50 Desviación estándar 3.32 2.03 2.03 2.03 3.32 2.03 Suma 99.00 82.51 82.51 82.50 99.00 82.51

Diagramas de dispersión, coeficiente de determinación y ecuación de regresión

X vs Y1y = 0.50x + 3.00

R2 = 0.67

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15

X

X vs Y2y = 0.50x + 3.00

R2 = 0.67

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15

X

X vs Y3y = 0.50x + 3.00

R2 = 0.67

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15

X

X4 vs Y4y = 0.50x + 3.00

R2 = 0.67

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20

X4

Y4

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