3.2 INT-DOBLES_CE14_201401
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ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOSESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS
CÁLCULO 2 (CE14)CÁLCULO 2 (CE14)
INTEGRALES DOBLES
2
Habilidades• Define el concepto de integral doble sobre una
región general.• Interpreta geométricamente el concepto de
integral doble.• Calcula integrales dobles mediante integrales
iteradas.• Calcula el volumen de un sólido usando
integrales dobles.
Cálculo 2
Problema 1Calcular el volumen del sólido E, limitado por la región 20;20;2160/;; 22 yxyxzzyxE
D
dAyxf );(
m
i
n
jjiijijnm
yxyxfV1 1
**
,);(lim
m
i
n
jjiijijnm
yxyxfV1 1
**
,);(lim
f(x*;y*)
xiyj
m
i
n
jjiijij
yxyxfV1 1
** );(
3
Definición. La integral doble de una función f se denota por
R
dAyxf );( y se define como
R
m
i
n
j
jiijijnmyxyxfdAyxf
1 1
**
,);(lím);(
si el límite existe.
Integral doble sobre un rectángulo
1. Evalúe la integral doble R
dAyx )3( 2
donde R es el rectángulo 21202 y;x/Rx;yR
Ejemplos
4
Ejemplos2. Evalúe las integrales iteradas:
3
0
2
1
2 dxdyyx(a) 2
1
3
0
2 dydxyx(b)
Teorema de FubiniSi f es continua en el rectángulo [a; b][c; d ], entonces
b
a
d
cR
dxdyyxfdAyxf );();(
d
c
b
a
dydxyxf );(
5
Considere una función f de dos variables definida en un rectángulo cerrado
dAyxfVR ;
dycbxaRyxdcbaR ,/;;; 2
Se supone que . La gráfica de f es una superficie con ecuación . Sea S el sólido que yace arriba de R y debajo de la gráfica de f, entonces
yxfz ;
0; yxf
1. Volumen de un sólido.Aplicaciones de la integral doble
6
7
Halle el volumen del sólido S que está limitado por el paraboloide elíptico , los planos en el primer octante.
Cálculo 2
Ejemplos
162 22 zyx2;2 yx
Cálculo de integrales de dobles (regiones generales)
Región del tipo I
Consideraremos regiones del tipo I a aquellas regiones del plano cuya descripción es:
D
y = f(x)
y = g(x)
x
y
ba
xfyxb, gx/aRIyx 2;D
b
a
xf
xgD
dydxyxfyxf)(
)(
);(dA ; b
a
xf
xgD
dydxyxfyxf)(
)(
);(dA ;
8
yhxyd, ky/cRIyxD 2;
Región del tipo II
Consideraremos regiones del tipo II a aquellas regiones del plano cuya descripción es
Cálculo de integrales de dobles (regiones generales)
9
d
c
yh
ykD
dxdyyxfyxf
)(
)(
);(dA ; d
c
yh
ykD
dxdyyxfyxf
)(
)(
);(dA ;
yhxyd, ky/cRIyxD 2;
Región del tipo II
Consideraremos regiones del tipo II a aquellas regiones del plano cuya descripción es
Calculo de integrales de dobles
10
11
2. Halle el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloide , encima de la región D limitada por la recta y=2x y la parábola
22 yxz
2xy
Cálculo 2
Ejemplos
donde D es la región limitada por 1. Calcule ,)2( D
dAyx
Las parábolas 22xy 21 xy y
);();();)(( 1.D DD dAyxgdAyxfdAyxgf
DD
);();( 2. dAyxfcdAyxcf
Propiedades de la integral doble
21
21
);();();(.3
DDD
dAyxfdAyxfdAyxfDDD
DMAdAyxfDmA
Myxfm
D
);(
entonces;;.4
12