Principio de los Trabajos Virtuales.

Aplicación del PTV al análisis

estructural

Simplificaciones habituales

1. Material homogéneo e isótropo: ◦ mismas propiedades en todos sus puntos

independientemente de la dirección.

2. Comportamiento elástico-lineal del material:

◦ cumplimiento de la ley de Hooke. Tensiones proporcionales a deformaciones.

3. Elementos tipo barra: ◦ la dimensión longitudinal predomina.

4. Hipótesis de Bernouilli: ◦ las secciones transversales planas permanecen

planas después de la deformación. No se alabean.

5. Pequeños desplazamientos y deformaciones:

◦ se puede aplicar teoría de primer orden.

6. Principio de superposición: ◦ el efecto de la suma de dos sistemas de cargas es

igual a la suma de los efectos de los mismos

◦ se cumple al cumplirse las simplificaciones 2 y 5.

P1 P2A

A’

Planteamiento del problema elástico

Equilibrio:

◦ las fuerzas externas y las fuerzas internas (tensiones o esfuerzos) están en equilibrio.

Compatibilidad:

◦ los movimientos de la estructura son compatibles con las deformaciones de elementos y condiciones de apoyo

Comportamiento:

◦ se cumple la ley de Hooke: deformaciones proporcionales a las tensiones.

Ecuaciones de equilibrio y compatibilidad

Equilibrio interno

◦ Entre tensiones y fuerzas de

volumen X, Y, Z

Equilibrio externo

◦ Entre fuerzas superficiales y

tensiones

Compatibilidad

◦ Se relacionan desplazamientos u, v,

w y deformaciones.

◦ Deben cumplirse condiciones de

integrablidad.

Ecuaciones de comportamiento

La Ley de Hooke generalizada también puede escribirse como las ecuaciones de Lamé.

Dependen de:◦ módulo elástico del material E (Módulo de Young)

◦ coeficiente de Poisson

◦ El módulo de elasticidad transversal G puede obtenerse de E y .

Dificultad del problema elástico: uso del PTV

En muy pocos casos simples es posible plantearlo

◦ En muchos de estos no es posible la resolución del sistema de

ecuaciones diferenciales

Uso de métodos energéticos: el PTV

◦ Un estado real: que queremos analizar.

◦ Un estado virtual: inventado a nuestra conveniencia para

obtener unos determinados resultados.

◦ Ambos pueden tener:

Cargas y reacciones externas

Tensiones o esfuerzos internos

Deformaciones

Desplazamientos

Real Virtual

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS

VIRTUALES El trabajo virtual externo y el trabajo

virtual interno son iguales. Te=Ti

◦ Te= realizado por fuerzas o momentos

externos sobre desplazamientos o

giros.

◦ Ti= realizado por esfuerzos internos o

tensiones sobre deformaciones.

2 Opciones (PDV y PFV)

◦ Cargas y tensiones reales sobre

desplazamientos y deformaciones

virtuales:

PRINCIPIO DE DESPLAZAMIENTOS

VIRTUALES

◦ Cargas y tensiones virtuales sobre

desplazamientos y deformaciones

reales:

PRINCIPIO DE FUERZAS VIRTUALES

∑Te= ∑ Ti

Variantes del PTV: PDV y PFV

Principio de los Desplazamientos Virtuales (PDV):

◦ Se usan desplazamientos y deformaciones virtuales para obtener cargas (normalmente reacciones), tensiones o esfuerzos.

Principio de las Fuerzas Virtuales (PFV):

◦ Se usan fuerzas, esfuerzos y tensiones virtuales para obtener desplazamientos y deformaciones reales.

Trabajo virtual en barras: trabajo virtual

externo Es el producto de fuerzas (F, R, etc.)por desplazamientos ( , ,

etc.) o momentos (M)por giros ( )

El trabajo es positivo si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido.

En un sólido elástico la fuerza que es necesario aplicar para deformarlo aumenta al aumentar el desplazamiento, sin embargo cuando hablamos de trabajos virtuales al aplicar el PTV lo que se hace es multiplicar directamente carga por desplazamiento.

Trabajo virtual en barras: trabajo virtual

interno Integral de los esfuerzos (N, V, M, Mt) por los diferenciales de

desplazamientos o giros internos.

Es positivo si el esfuerzo y el desplazamiento tienen igual sentido.

El axil realiza trabajo sobre el desplazamiento longitudinal.

El cortante realiza trabajo sobre el desplazamiento transversal.

Los momentos realizan trabajo sobre los giros (por flexión o por torsión).

E=módulo elástico

A=área

G=módulo elasticidad

transversal

A =área de cortante

I=momento de inercia

Kt=momento de

inercia polar (cilindros)

Rigidece

s

PDV: Esfuerzos reales sobre desplazamientos virtuales

PFV: Esfuerzos virtuales sobre desplazamientos reales

Aplicación del PTV al análisis estructural

Tipo de P.T.V. Estructuras Método Se obtienen

P.F.V. (Fuerzas Virtuales) Isostáticas De la carga unitaria Desplazamientos

Hiperestáticas De las Fuerzas Ecs. de compatibilidad

P.D.V. (Despl. Virtuales) Isostáticas De despl. virtuales Esfuerzos y reacciones

Hiperestáticas De los Ángulos de Giro Ecs. de equilibrio

Si se aplica como Principio de las Fuerzas Virtuales: Sistema virtual de fuerzas y esfuerzos

Equivale a Ecuación de Compatibilidad para el sistema real de

desplazamientos y deformaciones.

Si se aplica como Principio de los Desplazamientos Virtuales: Sistema virtual de desplazamientos y deformaciones

Equivale a Ecuación de Equilibrio para el sistema real de fuerzas

externas e internas.

Método de la carga unitaria: sistema virtual

Usa un sistema virtual inventado que cumpla las siguientes condiciones:◦ Encontrarse en equilibrio.

◦ Las fuerzas virtuales se aplicarán en una estructura formada por una parte o toda la estructura inicial. Estable

Que contenga los puntos en los que se quiere calcular el despl. o giro

Se aplicará una fuerza unitaria, con la localización, dirección y naturaleza acorde con el desplazamiento buscado.

◦ El PFV dará lugar a una ecuación, en la que el desplazamiento buscado será la única incógnita.

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

Método de la carga unitaria: trabajos

virtuales

Trabajo externo =carga virtual (1)x desplazamiento real

( B)

Trabajo interno= L momento virtual·d + L cortante virtual·dλ

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

P

B

L

B

B

PL

(+) P P

A

A

A ¿ B?

M

V

Método de la carga unitaria: PTV

1x B= L momento virtual·d + L cortante virtual·dλ

Recordemos:

Como las deformaciones por cortante suelen ser despreciables respecto a las debidas a momento flector:

∑Te= ∑ Ti

3 3

1. 3 3B

B

L L

e iT T

PL PL PLM V

M dx V dx EI GA EIEI GA

Este término puede considerarse 0 (como si

GA = )

¿Cómo se calculan fácilmente las

integrales de los productos de

diagramas?

Tablas de integrales de Mohr

*B=1/EI·

*

Cálculo de reacciones y esfuerzos con PDV

Sistema virtual con un desplazamiento (o giro) inventado que:

◦ Si se permitiese el despl. libremente sería un mecanismo

◦ Debe ser compatible con las condiciones de contorno

◦ Debe corresponderse con la fuerza, esfuerzo o momento buscado.

Los giros se corresponden con momentos (flectores o de empotramiento)

Los desplazamientos con fuerzas o esfuerzos de tracción o cortantes.

◦ Ojo: si ese “desplazamiento” virtual es un giro (que utilizamos para obtener algún momento) eso implica introducir una rótula.

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

¿RA

?

Cálculo de reacciones con PDV: PTV

Trabajo externo =Reacción (RA) x despl. virtual ( )+Carga (P) x despl.

virtual ( /2)

Trabajo interno=0

◦ No incluimos ningún esfuerzo interno en el sistema real.

∑Te= ∑ Ti

A A A

e i

e

i

T T

PT R P R P 0 R

2 2 2

T 0

Se obtiene por geometría (semejanza de triángulos)

en el sistema virtual de desplazamientos/2

Cálculo de esfuerzos con PDV

Trabajo externo = Carga (P) x despl. virtual ( )

Trabajo interno= Momento flector (MC) x giro virtual ( )

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

BA

P

L/2 L/2

C

El desplazamiento virtual en el centro de la viga se obtiene partiendo de la

suposición, válida en el caso de ángulos pequeños, de que el valor de un ángulo

en radianes es igual a su seno y a su tangente