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Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ingeniera

Clculo 1 Para Ingeniera

Cristin Burgos Gutirrez

Tercer Modelo PEP 2

Problema 1.

1. Sean f y g funciones derivables . Si H(x) = 2f(x) ln(g(x)) , g(x) > 0 , encuentre H (3) si g(3) = e , g(3) = 2 ,f(3) = 3 y f (3) = 13 .

2. Sea f(x) = sin(sin(x)) , demuestre que

d2y

dx2+ tan(x)

dy

dx+ y cos2(x) = 0

Problema 2.

1. Considere la funcin f(x) =

(x 1)2 cos

(1

x1

)x < 1

0 x = 1(x1)3

sin(x1)2 x > 1

. Es f es derivable en x = 1? , si su respuesta es

armativa, determine la recta tangente a la curva f en x = 1.

2. Considere la funcin f tal que f (x) = ax+b(x1)(x4)

(a) Sabiendo que f posee una inexin en x0 = 2 y que f(x0) = 1, encuentre los valores de a y b .

(b) Determine los valores de f y f y concluya sobre los crecimientos y convexidades de f . Esboce el grco def .

Problema 3.

1. En la gura hay una varilla de largo L ja en el punto B, en el aro de la rueda de radio r, el otro extremo de lavarilla (en el punto A), se mueve de forma horizontal. La rueda rota ja en su centro O en contra de las manecillasdel reloj a 3 revoluciones por segundo.

Figure 0.1: Rueda

(a) Demuestre que dxdt =3rx(t) sin((t))r cos((t))x(t)

(b) Calcule la velocidad con la que se mueve el punto A de la barra si el radio de la rueda es r = 3 , = 3 y x =12 .

El punto A en ese instante se esta acercando o alejando de la rueda ?

2. Considere la curva x2 y2 = 2 , > 0 . Se dene la distancia vertical cuadrtica en el punto P0(x0, y0) a unafuncin y = f(x), como la distancia al cuadrado que hay entre P0 y (x0, f(x0)) , es decir:

V2(P0, f(x)) = D2((x0, y0); (x0, f(x0)))

Si consideramos la parte de la curva que esta en el primer cuadrante del plano XY . Cul debe ser el valor de ,para que la suma de las distancias verticales de los puntos (1, 0) y (1, 2) a f(x) sea mnima ?