3 Continuidad de Una Función Ok

8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok

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CONTINUIDAD

Y LÍMITESLATERALES DEFUNCIONES

Ing. Carlos José SandovalReyes



En la fgura se identifcan tres valores de x en los que la gráfca de f no es

continua. En los demás puntos del intervalo (a, b), la gráfca de f no sure

interrupciones y es continua.

CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO ABIERTO

DISCONTINUIDAD

Ing. Carlos JoséSandoval Reyes



f no es continua en1. La función no está denida en .

2. No eiste e! !"#ite de f $ x % en .

3. E! !"#ite de f $ x % en eiste& 'e(o no es i)ua! a f $c%*

E+ERCICIO, !u" unciones se dice que son continuas en dic#o intervalo$




CONTINUIDAD%i no se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la unci&n f es

continua en c. 'ecir que una unci&n es continua en , signifca que no #ay

interrupciones de la gráfca deen c (la gráfca no tiene #uecos o saltos).




onsiderar un intervalo aierto I que contiene un n*mero real c. %i una unci&n

f está defnida en I (e+cepto, posilemente, en c) y no es continua en c, se

dice que f tiene una discontinuidad en c.

as discontinuidades se clasifcan en dos categor-as e-ita.!es o

(e#o-i.!es& e ine-ita.!es o no (e#o-i.!es. %e dice que una discontinuidad

en c es evitale o removile si f se puede #acer continua defniendo (o

redefniendo) apropiadamente f (c).




E+EM/LO, Continuidad de una función

/nali0ar la continuidad de

a) El dominio de f lo constituyen todos los

n*meros reales distintos de cero. /

partir del teorema de límite de

funciones polinómicas y racionales, se

puede concluir que f es continua en

todos los valores de x de su dominio.

En , f tiene una discontinuidad

inevitable, como se muestra en la

fgura.

o #ay modo de defnir f () para #acer

que la nueva unci&n sea continua en .

f es discontinua en




b% El dominio de g lo constituyen todos los

n*meros reales e+cepto ./plicando el teorema de límites de

funciones polinómicas y racionales se puede

concluir que g es continua en todos los

valores de x de su dominio.

En , la unci&n presenta una

discontinuidad evitable.

Si se dene & la “nueva función” es

continua en todos los números reales.

E+EM/LO, Continuidad de una función

/nali0ar la continuidad de




c% El dominio de h está ormado por

todos los n*meros reales.

a unci&n h es continua en (4, ) y

en (, 4), y puesto que h es

continua en toda la recta real.

d % El dominio de y está conormado

por todos los n*meros reales.

!el teorema sobre límites de

funciones trigonométricas se puede

concluir que la unci&n y es

continua en todo su dominio $01&

1%*




LÍMITES LATERALES Y CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO

5ara comprender la noci&n de continuidad

en un intervalo cerrado, es necesario

estudiar antes un tipo dierente de l-mite,llamado !"#ite !ate(a!.

El !"#ite 'o( !a de(ec2a signifca que x

se apro+ima a c por valores superiores a c.

Este l-mite se denota como

L"#ite 'o( !ade(ec2a*




E! !"#ite !ate(a! 'o( !a i34uie(da signifca que x se apro+ima a c por valores

ineriores a c. Este l-mite se denota como

os l-mites laterales son *tiles al

calcular l-mites de unciones que

contienen radicales.

5or e6emplo, si n es un entero dado




E+EM/LO, Un !"#ite !ate(a!

Encontrar el l-mite de cuando x se apro+ima a 0 2 por la derec#a.

So!ución omo se muestra en la fgura, el l-mite

cuando x se apro+ima a 0 2 por la derec#a es

7




uando el l-mite por la i0quierda no es igual al l-mite por la derec#a, e! !"#ite(ilateral) no existe*

El concepto de l-mite lateral permite e+tender la defnici&n de continuidad a los

intervalos cerrados.

%e dice que una función es continua en un intervalo cerrado si es continua en el

interior del intervalo y posee continuidad lateral en los extremos.




%e pueden estalecer defniciones análogas para incluir

la continuidad en intervalos con la orma (a, 8 y 9a, ),

que no son aiertos ni cerrados o en intervalos infnitos.

5or e6emplo, la unci&n

es continua en el intervalo infnito 9, 4), y la unci&n

es continua en el intervalo infnito ( 4, 28.

g




PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD

ada una de las propiedades de los l-mites produce una propiedad correspondiente

relativa a la continuidad de una unci&n.

Continuidad de funciones

e!e#enta!es,




%e puede concluir que una gran variedad de unciones elementales son continuas en

sus dominios. E+EM/LO, A'!icación de !as '(o'iedades de !a continuidad

5or el teorema 1.11 cada una de las siguientes unciones es continua en todos los

puntos de su dominio.

Continuidad de funciones co#'uestas,

:na consecuencia del teorema 1.12 es que si f y g satisacen las condiciones se;aladas,

entonces

E6emplos




TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

El teorema del valor

intermedio asegura que

e+iste al menos un n*mero

c, pero no proporciona un

m"todo para encontrarlo.

<ales teoremas se

denominan teoremas de

existencia.




E+EM/LO: A'!icación de! teo(e#a de! -a!o(inte(#edio:tili0ar el teorema del valor intermedio parademostrar que la unci&n polinomial

tiene un cero en el intervalo 9, 18.

Solución:

a unci&n es continua en el intervalo cerrado 9, 18.

'e

y

resulta que () y (l) . 5or tanto, se puede aplicar el teorema del valor

intermedio y concluir que dee e+istir alg*n c en 9, 18 tal que f"c# $% f

tiene un cero en el intervalo cerrado 9, 18.




%ea f la unci&n dada por

LÍMITES INFINITOS

/ partir de la fgura y de la tala, se puede

oservar que (+) decrece sin cota o sin l-mite

cuando + se apro+ima a 2 por la i0quierda y que

(+) crece sin cota (tope) o sin l-mite cuando + se

apro+ima a 2 por la derec#a. Este

comportamiento se denota




:n l-mite en el que (+) crece o decrece sin cota

o sin l-mite cuando + tiende a c se llama límite

in&nito.=ay que tener en cuenta que el signo de igualdad en !ae'(esión !"# f$% 5 1 no si)nica 4ue e! !"#ite

eista. 5or el contrario, indica la ra0&n de su no e+istencia

al denotar el comportamiento no acotado o no limitado de

(+) cuando + se apro+ima a c.




EJEMP!: Dete(#inación de !"#ites innitos a 'a(ti( de una)(áca'eterminar el l-mite de cada unci&n que se muestra en la fgura cuando x

tiende a 1 por la i0quierda y por la derec#a.

y




ASÍNTOTAS VERTICALES

%i la gráfca de una unci&n f tiene una as-ntota vertical en x $ c, entonces fno es continua en c.




EJEMP!: Cá!cu!o de !as as"ntotas -e(tica!es'eterminar todas las as-ntotas verticales de la gráfca de cada una de las

siguientes unciones.

So!ucióna% uando +7 1, el denominador de

es igual a y el numerador no es .5or tanto, mediante el teorema 1.1>, se puede

concluir que es una asíntota vertical '




b% /l actori0ar el denominador como

puede verse que el denominador se anula en

y en .

'ado que el numerador no es en ninguno

de estos puntos, se puede aplicar el teorema

y concluir que la gr(&ca de f tiene dos

asíntotas verticales'


So!ución,



c% Escriiendo la unci&n cotangente de laorma

se puede aplicar el teorema 1.1> para

concluir que las as-ntotas verticales tienen

lugar

en todos los valores de x tales que sen x $

y cos x $, como muestra la fgura. 5or

consiguiente, la gráfca de esta unci&n

tiene infnitas as-ntotas verticales. Estas

as-ntotas aparecen cuando x $n, donde n

es un n*mero entero.




EJEMP!: Una función (aciona! con facto(es co#unes




EJEMP!: Cá!cu!o de !"#ites innitos




EJEMP!: Cá!cu!o de !"#ites




"#racias$


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