2_Pre-Lectura Sistemas de Numeración
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LLGGIICCAA MMAATTEEMMTTIICCAA YY DDEE PPRROOGGRRAAMMAACCIINN
GGUUAA DDEE LLEECCTTUURRAA
SSIISSTTEEMMAASS DDEE NNUUMMEERRAACCIINN
RREEAA DDEE MMAATTEEMMTTIICCAASS
BBOOGGOOTT,, AAGGOOSSTTOO DDEE 22001100
Introduccin. El ms conocido y usado es el Sistema Decimal, que no es el nico; los
ms utilizados en sistemas por ejemplo son el binario, en circuitos digitales el octal, y
otras ramas el hexadecimal. El
binario, en el hay tan solo dos valores o dos estados posibles, o se es o no se es, pero
no hay intermedios. Encendido o apagado, da o noche, funciona o no funciona,
activado o desactivado, en cada caso existe un 1 o un 0 lgico. El estudio de este
primer captulo le permitir a usted como estudiante armarse de las herramientas
suficientes para comprender la llamada lgica binaria a la que se tendr que
enfrentar.
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en
bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un nmero
al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de
representacin ms prctico.
El concepto de base1. En diferentes partes del mundo y en distintas pocas se lleg a
la misma solucin, cuando se alcanza un determinado nmero se hace una marca
distinta que los representa a todos ellos. Este nmero es la base. Se sigue aadiendo
unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el nmero anterior y se
aade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un nmero determinado
(que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades
de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se aade una de tercer orden y
as sucesivamente.
La base que ms se ha utilizado a lo largo de la historia es 10 segn todas las
apariencias por ser ese el nmero de dedos con los que contamos. Hay alguna
excepcin notable como son la numeracin babilnica que usaba 10 y 60 como
bases y la numeracin maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 aos la gran mayora de las civilizaciones han contado en unidades,
decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos hacindolo
hoy. Sin embargo la forma de escribir los nmeros ha sido muy diversa y muchos
pueblos han visto impedido su avance cientfico por no disponer de un sistema eficaz
que permitiese el clculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los nmeros enteros,
aunque en algunos pueden confundirse unos nmeros con otros, pero muchos de
ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal
cantidad de smbolos que los hace poco prcticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la
multiplicacin, requiriendo procedimientos muy complicados que slo estaban al
alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empez a utilizar en Europa el
sistema de numeracin actual, los abaquistas, los profesionales del clculo se
opusieron con las ms peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el clculo algo
complicado en s mismo, tendra que ser un mtodo diablico aquel que permitiese
efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes. Del
origen indio del sistema hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la
opinin de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo
sistema en la Europa de 1200. El gran mrito fue la introduccin del concepto y
smbolo del cero, lo que permite un sistema en el que slo diez smbolos puedan
representar cualquier nmero por grande que sea y simplificar la forma de efectuar
las operaciones.
1 Tomado de: http://andreaherranz.wordpress.com/category/historia-de-las-matematicas/
SISTEMAS DE NUMERACIN
-
El sistema de numeracin griego2
El primer sistema de numeracin griego se desarroll hacia el 600 a.C. Era un sistema de
base decimal que usaba smbolos, como los de la Figura 3,2, para representar esas
cantidades. Se utilizaban tantos como fuera necesario segn el principio de las
numeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los nmeros hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5,
10 y 100, las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deta) y
mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofnico.
Representacin del nmero 3.737 en el sistema de numeracin griego
Sistemas de numeracin hbridos
En el anterior sistema los nmeros parecen palabras, ya que estn compuestos por letras,
y a su vez las palabras tienen un valor numrico, basta sumar las cifras que corresponden
a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de
disciplina mgica que estudiaba la relacin entre los nmeros y las palabras. En algunas
sociedades, como la juda y la rabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta
relacin ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la
cbala, que persigue fines msticos y adivinatorios.
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para
representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los
hbridos utilizan la combinacin del 5 y el 100, pero siguen acumulando estas
combinaciones de signos para los nmeros ms complejos. Por lo tanto sigue siendo
innecesario un smbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacin del 7
y el 100 seguido del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones; se dan
as los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100, etc. se
repiten siempre en los mismos lugares, pronto se piensa en suprimirlos, dndolos por
supuestos y se escriben slo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc., pero,
para ello, es necesario un cero, algo que indique que algn orden de magnitud est
vaco y no se confundan el 307 con 370, 3070 ...
2 Tomado y adaptado de: Ruiz A.(s.f.). Elementos de lgica digital. Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas. Facultad Tecnolgica. Bogot.
Adems del chino clsico, han sido sistemas de este tipo el asirio, el arameo, el etope y
algunos del subcontinente indio cmo el tamil, el malayalam y el cingals.
El sistema de numeracin chino
La forma clsica de escritura de los nmeros en China se empez a usar desde el 1500
a.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y las distintas
potencias de 10. Utiliza ideogramas, como los de la Figura 3.3, y la combinacin de los
nmeros hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar, para, segn el
principio multiplicativo, representar 50, 700 3.000.
Ejemplo del nmero 5.789 en el sistema de numeracin chino.
El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 1 0 7 igual podra representar 57
que 75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo, aunque tambin se hace de
izquierda a derecha, como se muestra en la misma figura. No era necesario un smbolo
para el cero, siempre y cuando se pusieran todos los ideogramas; pero, an as, a
veces se supriman los correspondientes a las potencias de 10.
Aparte de esta forma, que podramos llamar cannica, se usaron otras. Para los
documentos importantes se tomaba una grafa ms complicada con objeto de evitar
falsificaciones y errores. En los sellos se escriba de forma ms estilizada y lineal y an se
usaban hasta dos grafas diferentes en usos domsticos y comerciales, aparte de las
variantes regionales. Los eruditos chinos, por su parte, desarrollaron un sistema posicional
muy parecido al actual, y que, desde que incorpor el cero por influencia india en el
siglo VIH, en nada se diferencia de este.
Sistemas de numeracin posicionales
Ms efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posicin de una cifra
nos dice si son centenas, decenas o, en general, la potencia de la base
correspondiente.
Slo tres culturas, adems de la india, lograron desarrollar un sistema de este tipo.
Babilonios, chinos y mayas en distintas pocas llegaron al mismo principio. La ausencia del
cero impidi a los chinos un desarrollo completo hasta la introduccin del mismo.
Los sistemas babilnicos y maya no eran prcticos, porque no disponan de smbolos
particulares para los dgitos, usando para representarlos una acumulacin de signos de la
unidad y la decena. EL hecho de que sus bases fuesen 60 y 20, respectivamente, no
habra representado en principio ningn obstculo. Los mayas, por su parte, cometan
una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrs de las veintenas
-
no usaban 20 x 20 = 400, sino 20 x 18 = 360 para adecuar los nmeros al calendario, una de
sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los indios, antes del siglo VII d.C. los que idearon el sistema tal y como hoy lo
conocemos, sin ms que un cambio, en la forma en la que escribimos los nueve dgitos
y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeracin como
rabe, las pruebas arqueolgicas y documentales demuestran el uso del cero, tanto en
posiciones intermedias como en finales, en la India. Los rabes transmitieron esta forma de
representar los nmeros y sobre todo el clculo asociado a ellas, aunque tard siglos en
ser usada y aceptada. Una vez ms se produjo una gran resistencia a algo por el mero
hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de
numerar y efectuar clculos difcilmente la ciencia hubiese podido avanzar.
Sistema posicional base 20
Se ilustra el sistema del que se hace mencin. Parece ser un sistema de base 5 aditivo,
pero en realidad, considerados cada uno un solo, estos smbolos constituyen las cifras
de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20,
20 x 20, 20 x 20 x 20, segn el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es, por tanto, un
sistema posicional que se escribe de arriba abajo, empezando por el orden de
magnitud mayor.
Ejemplos de varios nmeros aparecen en las s siguientes figuras donde se presenta el sistema de
numeracin comercial base 20.
Representacin de varios nmeros en base 20
Al tener cada cifra un valor relativo segn el lugar que ocupa, la presencia de un signo
para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algn orden, se hace
imprescindible; y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto
de cantidad nula. Los babilonios lo tenan simplemente para indicar la ausencia de otro
nmero. Pero los cientficos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la
observacin astronmica y para expresar los nmeros correspondientes a las fechas
usaron unidades de tercer orden irregulares para la base 20. As, la cifra que ocupaba el
tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20 x 18 = 360 para completar una muy
prxima a la duracin de un ao, tal como se presenta es lo reflejado en la figura 3.6.
Aplicacin astronmica al sistema posicional base 20 de los mayas
El sistema de numeracin babilnico
Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se
desarrollaron distintos sistemas de numeracin. Uno de ellos fue un sistema de base 10,
aditivo hasta el 60 y posicional para nmeros superiores.
En el sistema decimal babilnico, las reglas para representar una cantidad son las
siguientes:
1. La cua con valor 1 se poda repetir hasta un total de nueve veces.
2. Cuando se repiten smbolos se suman valores. Ala izquierda se escriben los
smbolos mayores. Por ejemplo:
a) Equivalencia 10+ 2 = 12
b) Equivalencia: 20 + 5=25
-
3. Para representar rdenes superiores a 100 se usaba la multiplicacin por 10, escribiendo
separada una cua de este valor, a la izquierda de la cantidad multiplicada.
As, para escribir 1.000, se anota, primer" el 100 y a la izquierda una cua con
'valor 10 que multiplique al 100:
10x100=1.000 y 10.000 sera: 10x1000=10.000
Para la unidad se usaba una marca vertical hecha con el punzn en forma de
cua, tantas como fuera preciso hasta llegar a lO, que tenia su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades
hasta llegar a 60. Representando sucesivamente el nmero de unidades, 60,
60 x 60, 60 x 60.
Sin embargo, estas combinaciones no se usaban con mucha frecuencia.
Con el paso de los aos y con el progreso, los babilonios usaron el sistema
sexagesimal (de base sesenta). Los nmeros menores de sesenta se escriban
en el si decimal. Los nmeros mayores de sesenta se escriban anotando las
cuas en distintos lugares a la izquierda. Cada lugar a la izquierda
representaba potencia distinta de 60. Las cuas indicaban cuntas veces
deba multiplicarse cada potencia de 60.
Este sistema sexagesimal se puede representar con varias casillas:
Figura 3.7 Representacin sexagesimal babilnico.
En esta tabla se represent el nmero 3.661 porque hay una cua de valor
cada casilla, lo cual equivale a:
1 x 3.600 + 1 x 60 + 1 = 3.600 + 60 + 1 = 3.661
Tambin puede escribirse ms de una cua por casilla. En ese caso, se suma
primero el 1 valor total de as cuas y luego se multiplica por la potencia
correspondiente
Ejemplo:
1. Cul es el valor de los siguientes numerales?
Solucin:
* En este caso, tenemos:
3x60'+ 10 = 3x60+10= 180+10 =190
* El segundo nmero es:
3 x 602 + 12 x 60' + 30 = 3 x 3.600 + 12 x 60 + 3'= 10.800 + 720 + 30=11.550
En la segunda casilla se suma primero 10 + 2 = 12 y despus se multiplica por
la potencia correspondiente.
El sistema sexagesimal se usa actualmente en la medicin de ngulos
(grados, minutos y segundos) y del tiempo (horas, minutos y segundos).
Ejemplos:
1. Sumar28 grados 13 minutos y 25 segundos con 76 grados 28 y 17 segundos.
2813' 25"
+ 76 28' 17"
104 41' 42"
2. Verifica e] resultado para comprobar si se deben transformar alguna de las
unidades a su inmediata superior.
39 16' 44"
+ 22 38'39"
6154' 83"
En este caso, 83" puede convertirse a minutos, porque 60" = 1'. As que la respuesta
es:
61 55'23"
-
El sistema de numeracin maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servan para 2,3 y 4. El 5 era una raya
horizontal, a la que se aadan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10
se usaban dos rayas, y de la misma forma se continuaba hasta el 20, con cuatro rayas.
El ao lo consideraban dividido en 18 uinales que constaba cada un de 20 das. Se
aadan algunos festivos (uayeb) y de esta forma se consegua que durara justo lo que
una de las unidades de tercer orden del sistema numrico.
Adems de este calendario solar, usaron otro de carcter religioso, en el cual el ao se
divide en 20 ciclos de 13 das.
Al romperse la unidad del sistema, se hace poco prctico para el clculo y aunque los
conocimiento astronmicos y de otro tipo orden notables, los mayas no desarrollaron
una matemtica ms all de la del calendario.
Qu es un sistema de numeracin?
Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo
conforman, reglas que permiten establecer operaciones y relaciones entre tales
elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeracin es el conjunto de
elementos (smbolos o nmeros), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas
propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones.
Los sistemas bsicos, operaciones y relaciones
Sistema decimal
Es el ms utilizado, cuenta con diez elementos: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Las operaciones
que en l se pueden dar son las aritmticas (suma, resta, multiplicacin, divisin,
potenciacin, etc.) y lgicas (unin - disyuncin, interseccin -conjuncin,
negacin, diferencia, complemento, etc.). Las relaciones entre los nmeros del sistema
decimal son: mayor que, menor que, igual, y, a nivel lgico, son pertenencia y
contenencia.
Un nmero del sistema decimal tiene la siguiente representacin:
(N)10 = an*10" + an_1*10n-1 + alO-2 +... a0*10 + a /lO'1 +... a.p*10-" (1)
Siendo:
N el nmero decimal.
a el nmero relativo que ocupa la posicin isima.
n nmero de dgitos de la parte entera (menos uno).
p nmero de dgitos de la parte fraccionaria.
As pues el nmero 234,21 en base diez que se escribe (234,21)10 se representa: (234,21)]0 = 2*102 + 3*10' + 4*10 + 2*10-1 + 1*10-2
con n = 2; p = 2 a2 = 2; a1 = 3; a0=4; a-1 = 2 y a-3= 1
Otro ejemplo, puede ser (3456,872)10
(3456,872)10 = 3*103 + 4*102 + 5*10' + 6*10 + 8*10-' + 7*10'2 + 2*1Q-3
con n=3; p = 3; a3 = 3; a2 = 4; a1= 5; a-1 = 8; a-2 = 7 y a-3 = 2
Las operaciones, tanto aritmticas como lgicas, son las que normalmente se han
trabajado durante toda la vida escolar.
Sistema binario
El sistema de numeracin binario es el conjunto de elementos formado por el O y el 1, con
operaciones aritmticas (suma, resta, multiplicacin) y lgicas (or, and y not) y sus propias
relaciones, que por intermedio de reglas propias permiten establecer el papel de tales
relaciones y operaciones entre sus dos elementos.
Operaciones aritmticas
Suma: Se realiza exactamente igual que en el sistema de numeracin decimal,
teniendo en cuenta que, si se excede la base, se lleva en la siguiente cifra una
unidad de orden superior. Veamos algunos ejemplos:
1. Sumar:
2. Resolver:
3. Resolver:
4. Resolver
-
5. Resolver: (1011, 111)2 + (1011,111) 2 + (0010,010)2
6. Resolver: (1011, 111)2 + (1011, 111)2 + (10010,000)2 + (0010,010)2
Resta. Se realiza exactamente igual que en el sistema de numeracin decimal,
teniendo en cuenta que, si se excede la base, se lleva en la siguiente cifra una
unidad de orden superior. Veamos algunos ejemplos:
1. Resolver
2. Resolver
3. Resolver
4. Resolver
Para desarrollar apropiadamente la resta se hace uso de la operaci n de
complemento a uno o de complemento a dos. En el primer caso, se denomina
complemento a la base menos uno, y en el segundo, complemento a la base..
Multiplicacin: La operacin de multiplicacin es idntica a la del sistema decimal,
teniendo en cuenta las sumas en binario.
Ejemplos:
1. Multiplicar: (11)2*(10)2
2. Multiplicar: (1001)2*(100)2
3. Multiplicar: (11001, 1)2*(1,001)2
4. Multiplicar: (1001,101)2*(11101,101)2
Divisin: Igual que la multiplicacin, en este caso las restas deben hacerse como ya se
estableci, teniendo en cuenta el complemento a dos para el minuendo, ya que es un nmero
negativo. El procedimiento general es:
Se toma el mismo nmero de cifras en el dividendo que las que tiene el
divisor; si no cabe ninguna vez, se toma una ms.
Se hace la resta se establece cunto falta, se baja la siguiente cifra y se sigue el
procedimiento.
Para restar se aplica el complemento a la base.
Los decimales se manejan como en la base diez.
Ejemplos:
1. Resolver:
-
Como hay acarreo, el nmero es O y se baja la siguiente cifra hasta terminar como son
ceros, el cociente lleva cero cada vez.
2. Resolver:
El resultado es
Operaciones lgicas:
Las operaciones binarias lgicas bsicas son OR, XOR, AND y NOT, de aqu surgen la
OR, la NAND, la XOR y la XNOR.
La OR responde a la unin entre conjuntos, la AND a la interseccin y la NOT al
complemento.
Su funcionamiento se explicar en el apartado correspondiente al lgebra de Boole, pero su
esencia ya fue bien desarrollada en el captulo anterior. Las relaciones son la de
pertenencia y contenencia.
Posicionamiento del sistema binario LSB Y MSB:
En el sistema de numeracin binario, los bits tambin adquieren su valor segn la posicin
que ocupan (esta es la base para la conversin a decimal).
En la siguientes figura se muestra el valor o peso de los primeros siete lugares o posiciones
binarias, as como el nmero binario 11010 y su equivalente en decimal; el bit del
extremo de la derecha es el menos significativo o de menor peso (LSB) y el bit del extremo
de la izquierda es el ms significativo o de mayor peso (MSB).
Representacin posicional de un nmero binario
Sistema octal
El sistema numrico octal o de base 8 es el sistema de numeracin que utiliza ocho
dgitos o smbolos (0-7), correspondiendo el mayor al nmero 7, es decir, uno menor que el
valor de la base (8). Cuando se cuenta en este sistema, la secuencia va desde O A 7. Las
operaciones aritmticas son las mismas de cualquier sistema numrico.
Ejemplo: 345, 67201, 321, 1024. El nmero 1840 no es octal, porque incluye un dgito (8)
que es ilegal o invlido en este sistema de numeracin.
Los nmeros octales se denotan mediante el subndice 8 o la letra o. Ejemplo: (7)8
(45)8 (101)o (523)o (6170)8. Todos son nmeros octales.
Operaciones aritmticas
Las operaciones aritmticas de este sistema se resuelven de idntica forma que los
sistemas vistos, sin rebasar la base, es decir, cada vez que se conformen grupos de ocho se
salta al siguiente nivel significativo. A continuacin se presentan ejemplos de cada
caso.
Suma: Antes de empezar a desarrollar los ejemplos correspondientes se presenta en la
siguiente figura una tabla de suma octal bsica para hacer las primeras sumas.
-
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
10
2
2
3
4
5
6
7
10
11
3
3
4
5
6
7
10
11
12
4
4
5
6
7
10
11
12
13
5
5
6
7
10
11
12
13
14
6
6
7
10
11
12
13
14
15
7
7
10
11
12
13
14
15
16
Figura 3,9 Tabla de suma para octales.
Ejemplos:
1. Resolver
2. Resolver
3. Resolver
4. Resolver
5. Resolver
6. Resolver
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Sustraccin o resta: La tcnica es la misma explicada en la resta binaria o de base 2. Se consigue el complemento a la base, en este caso el complemento a ocho. Para hacerlo,
primero se consigue el complemento a la base menos uno, es decir, el complemento
siete. El mtodo consiste en buscar dgito a dgito el complemento a siete (1 le hace
falta al nmero para llegar a siete). Al complemento a la base se le uno en su
ltima unidad y se obtiene el complemento a ocho.
La resta se realiza sacando el complemento a ocho del sustraendo y suman resultado al
minuendo; los criterios para asumir el signo del nmero son los m; que en la resta binaria. Si hay
acarreo, el nmero es positivo y se desee! acarreo; de lo contrario, es negativo. Si se quiere
saber el valor de tal nmero negativo hay que obtener el complemento a la base del
nmero y se si resultado con signo negativo.
Ejemplo: Resolver (543,44)8 (444,32)8
Como hay acarreo, se suprime y el resultado es
Multiplicacin:
Divisin: Se procede exactamente igual a la base dos.
Se toma el mismo nmero de cifras en el dividendo que las que tiene el
divisor; si no cabe ninguna vez, se toma una ms.
Se establece cunto falta para alcanzar el nmero y se baja la siguiente
cifra, se repite la interaccin, tanto como se requiera.
Para restar se aplica el complemento a la base.
Los decimales se manejan como en la base diez.
-
Cada vez que se debe restar, tal operacin se realiza el complemento a la base del
sustraendo. Se agregan tantos ceros al divisor como lugares haya despus de la
coma en el dividendo, corriendo los lugares necesarios.
(40,3)8 / (7)8 = (4,5)8
Sistema hexadecimal
El sistema de numeracin hexadecimal es el conjunto de elementos formado por los
nmeros del O al 9 y las letras A, B, C, D, E y F, siendo este ltimo el de mayor valor
(representa el 15 decimal) y el de menor valor el 0; el conteo se hace en la
secuencia de O a F. En l se desarrollan las operaciones aritmticas suma, resta,
multiplicacin, y lgicas (unin, interseccin y complemento; y, adems, sus propias
relaciones (pertenencia, contenencia, orden), que por intermedio de reglas propias
permiten establecer el papel de tales relaciones y operaciones entre sus diecisis
elementos.
Ejemplo: 123, A23F, 223FF y F4. Los nmeros de este tipo se destacan mediante el
subndice 16 o con una H.
Ejemplo: (4)16 (FAC)16 (1C2D)H (6458)H etc. son todos nmeros decimales.
Operaciones aritmticas
Las operaciones aritmticas son las mismas de cualquier otro sistema. A continuacin se
relacionan ejemplos de sumas, restas, productos y divisiones con tal base.
Sustraccin: Se realiza con el mismo criterio de los sistemas anteriores. La resta es una
suma de los complementos a la base del minuendo y el sustraendo. Donde este l t i mo
es un nmero negativo.
Para obtener el complemento a la base o complemento a 16, se obtiene primero el
complemento a 15 y se suma al ltimo dgito un 1.
Cuando hay acarreo, el nmero es positivo, cuando no, el nmero es negativo y se le
debe encontrar su valor, estableciendo el complemento a dos.
Operaciones lgicas:
Son las mismas del sistema octal y decimal, con iguales representaciones y relaciones.
Igual que los sistemas numricos anteriores, el hexadecimal es de carcter
posicional, es decir, segn su posicin la cifra tiene un valor. El de la derecha ser el
menos significativo (LSB) y el de la izquierda el ms significativo (MSB).
Otros Ejemplos:
Resolver (4D)16 * (42)16
Resolver (27FCA)16 / (3E)16