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19

2. MOVIMIENTOS OSCILATORIOS.

2.1 Introduccin.-

El mundo esta lleno de cosas que se mueven, sus movimientos pueden ser divididos

(a groso modo),e n dos clases.

1. Objetos que al moverse permanezcan cerca de un lugar. 2. Objetos que se trasladan de un lugar hacia otro.

Un pndulo oscilante, las cuerdas de un violn, electrones vibrando en tomos, luz

rebotando de un lado a otro entre espejos de un lser, son ejemplos de la primera clase.

Los movimientos de traslacin al patinar sobre una pista de hielo una vibracin viajando

por una larga cuerda estirada al ser pulsada en uno de esos extremos, las olas agitadas del

ocano, el haz de electrones en un tubo de televisin, el rayo de luz emitido por una estrella

y captado por el ojo son movimientos de la segunda clase.

Muchas veces un mismo fenmeno puede presentar una y otra clase de movimiento

dependiendo esto de nuestro punto de vista.

Por ejemplo:

Las olas del mar viajan hacia las (orillas) playas, pero el agua (y el pato que se

encuentra en la superficie) se mueven hacia arriba y hacia abajo, adelante y hacia atrs, sin

trasladarse.

Por lo tanto comenzaremos nuestro estudio de objetos que permanecen en una zona y

oscilan vibran alrededor de una posicin promedio.

Cuando estudiamos la fsica, el curso comnmente es divido en :

Mecnica, electricidad, ptica, etc... Y uno estudia un tema despus del otro. Por

ejemplo este curso trata principalmente la mecnica, pero una cosa rara sucede (con

frecuente) una y otra vez. Es que las ecuaciones que aparecen en los diferentes campos de

la fsica y an en otras ciencias, son a menudo o casi exactamente iguales, de manera que

muchos fenmenos tienen analogas en estos diferentes campos, para dar un ejemplo

sencillo la propagacin de ondas sonaras es en muchos aspectos anlogo ha propagacin de

ondas luminosas.

El oscilador armnico, que estamos a punto de estudiar, tiene analogas ntimas en

muchos campos, aunque empezamos con un ejemplo mecnico de una masa fija aun resorte

un pndulo con una pequea amplitud algunos otros dispositivos mecnicos, realmente

estamos estudiando una cierta ecuacin diferencial.

Esta ecuacin aparece una y otra vez en la fsica y en otras ciencias y de hecho

pertenece a tantos fenmenos que su estudio a fondo bien vale la pena.

Algunos de los fenmenos que incluye esta ecuacin son:

- Oscilaciones de una masa en un resorte. - Las oscilaciones de las cargas que fluyen de una parte a otra en un circuito elctrico. - Las vibraciones anlogas de los electrones en un tomo que generan ondas

luminosas.

- Complicadas interacciones en reacciones qumicas.

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20

- Los zorros que se comen a los conejos que se comen el pasto etc... Todos estos fenmenos obedecen a ecuaciones que son muy similares entre s y esta

es la razn por la cual estudiaremos el oscilador mecnico con detalle.

Las ecuaciones se llaman Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes

constantes

2.2 El oscilador armnico simple.

Consideremos una masa unida a un muelle de constante K (resorte) suspendida desde

un punto (techo) como se muestra en la figura

Fig.2.1 Sistema masa Resorte .

- 0x

-

posicin de equilibrio

x

3emgw

+ 0x

F .

Hacemos un diagrama de cuerpo libre para

Representar las fuerzas que actan sobre l

)(... 012

2

21

1

1 tfxadf

dxa

df

xda

dt

xda

dt

xda

n

n

nn

n

n

3)( exKT

3emgw

)1.2(00

0

0

)(

)(

2

2

2

2

333

3

3

3

33

xm

k

dt

xdx

m

k

dt

xdm

amF

kxF

ekxFekxeF

ekxF

ekkxmgF

exkmgF

exkemgF

3ek

3)( exKT

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21

Esta es una ecuacin diferencial lineal de 2do orden de coeficientes constantes el paso

siguiente es encontrar una solucin para la ecuacin (2.1), puede resolverse de diferentes

formas

a. Resolver mediante tcnicas apropiadas b. Integrando para x c. Ensayar una cierta funcin que satisfaga (2.1)

En (2.1) hagamos lo siguiente:

(2.2)

porqu tiene que ser positiva? veamos, multiplicamos por )2.2(,2 ax

(2.3)

Aqu esta la razn de porque c2 >0 pues el primer miembro consta de una suma de

cantidades positivas.

Al dividir entre c2 se tiene

Esta ecuacin nos recuerda a 122 SenCos ; mejor an si se tiene en cuenta que en un sumando esta x y en el otro su derivada.

Escribamos entonces

pero:

positivateconsunaescdondecxxsea

xxdt

xdxseax

dt

xd

m

k

tan

00

2222

0

2

2

02

22

02

22

0

ctexx

xxxx

xxxxxx

22

0

2

22

0

222

0

2

2

0

2

0

0)(0)()(

0220

1

11

2

0

22

2

2

2

0

2

xcc

x

c

x

c

xx

cc

x

Cos Sen

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22

donde es un a constante arbitraria y cuyo valor debemos determinar, entonces la

ecuacin buscada es:

(2.4)

El mximo valor de )( 0 tSen es 1, correspondiente al mximo valor de )(tx

que es 0x (mxima elongacin), por lo que 00xc , finalmente:

(2.5)

es la ecuacin que corresponde al movimiento armnico simple (M.A.S)

0x es la amplitud mxima de oscilacin, depende de las condiciones iniciales .

0 la frecuencia natural (o pulsacin) del sistema que est relacionado a las

propiedades fsicas del sistema tiene unidades de rad / s .

( t0 ) es la fase.

es la constante de fase, y depende de las condiciones iniciales..

Las caractersticas de un M.A.S. son:

Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, e l movimiento

se realiza en una regin del eje X comprendida entre + 0x y - 0x .

La funcin seno es peridica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite

cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2, es decir, cuando

transcurre un tiempo (t+T)+= t++2 .

tegrando

tCosc

cCos

luegoCosc

xSenc

x

0

00

0

0

00

int

)(

;

)( 00

tSenc

x

tSenxtx 00)(

masadeunidadpor

entodesplazamideunidadeporretornodefuerza20

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2T ; se llama perodo de la oscilacin se mide en s..

2

00 f ; se llama frecuencia de oscilacin del sistema, y tiene unidades de

ciclos / s (o Hertz)

Observacin.

Como solucin de la ecuacin diferencial (2.1) , bien puede considerarse ,

soluciones del tipo

tCosxtx 00 , o tBCostASentx 00

2.3 Cinemtica del M.A.S.

En el movimiento rectilneo, dada la posicin de un mvil, obtenemos la velocidad

derivando respecto del tiempo, luego, la aceleracin derivando la expresin de la velocidad

con respecto del tiempo.

La posicin del mvil que describe un M.A.S. en funcin del tiempo viene dada por la

ecuacin

tSenxtx 00 Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del mvil

tCosxtv 000 (2.7)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleracin del mvil

(2.8)

2.4 Dinmica del M.A.S.

La segunda ley de Newton nos da la fuerza necesaria para que un mvil de masa m

describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a

ste.

Dicha fuerza es conservativa y la energa potencial Ep correspondiente se halla

integrando

xmmaF 20

tSenxta 02

00

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24

Fig.2.2 Representacin grfica de la posicin, velocidad y aceleracin versus el tiempo en el M.A.S.

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25

(2.9)

Se ha tomado como nivel cero de la energa potencial Ep=0 cuando el mvil est en el

origen, x=0.

La energa total ET es la suma de la energa cintica EK y de la energa potencial Ep.

Se puede verificar que la energa total es constante e igual a

(2.10)

2.5 Curvas de energa cintica y potencial del M.A.S.

A continuacin vamos a interpretar grficamente las relaciones energticas mediante

la representacin de la curva de la energa potencial de un cuerpo de masa m unida a un

muelle elstico de constante k, Ep=kx2/2. Esta funcin representa una parbola cuyo vrtice

est en el origen, que tiene un mnimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.

. .

Fig.2.3. Presentacin grfica de las energas cintica y potencial del M.A.S

Las regin donde se puede mover el cuerpo est determinada por la condicin de que

la energa cintica color rojo ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. O bien, que la energa

total sea mayor o igual que la energa potencial E>=Ep. Si la partcula tiene una energa

2

2

1KxEP

2

2

1mvEK

TE

0x0x

xmEluegoxdxmEdx

dEF p

x

p

p 2

0

0

2

02

1;

22

02

1

2

1mvKxEEE PKT

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26

total ET el cuerpo solamente se podr mover en la regin comprendida entre - 0x y + 0x ,

siendo 0x la amplitud de su M.A.S.

En el grfico podemos observar como cambian los valores de la energa cintica (en

color rojo) y potencial (en color azul) a medida que se mueve la partcula a lo largo del eje

X .La intensidad y el sentido de la fuerza viene dado por la pendiente de la recta tangente

cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que acta sobre la partcula es negativa a la derecha

del origen y positiva a la izquierda.

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situacin de equilibrio, que por

coincidir con un mnimo de la energa potencial es de carcter estable.

2.6 Energas cintica y potencial medias.

Es importante hacer un clculo de la media respecto del tiempo de las energas

cintica y potencial del M.A.S.

(2.11)

siendo el perodo 02 , como la integral se extiende a un perodo completo, no tiene

importancia el valor que tenga la fase y puede convenientemente ponerse 0 .

Entonces si escribimos 20,0 yentoncesty , luego:

(2.12)

de manera anloga el valor medio de la energa potencial resulta ser

(2.13)

siguiendo los argumentos para obtener (2.12), se tiene lo siguiente:

(2.14)

podemos observar que PK EE ,

luego (2.15)

0

2

0

0

2

2

0

2

0

0

22

1

0

dttCos

xmT

dtE

E

T

K

K

2

0

2

0

2

0

22

0

2

04

1

4

1xmdyyCosxmEK

0

2

0

0

2

2

0

2

00

22

1

0

dttSen

xmT

dtE

E

T

P

P

2

0

2

0

2

0

22

0

2

04

1

4

1xmdyySenxmEP

2

0

2

02

1xmEE TT

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27

2.7 El pndulo simple.

El pndulo simple se compone de una mas puntual m en el extremo inferior de una

varilla de longitud l sin masa, que oscila libremente alrededor de su posicin de equilibrio.

Este problema puede resolverse planteando en forma apropiada la segunda ley de

Newton, o en forma mucho ms prctica, partiendo de la ley de conservacin de la

energa, o de otro modo, basado en el momento cintico (momentum angular). Nosotros

plantearemos segn este ltimo.

Z

O1

l

m

X Fig.2.4. Oscilacin de un pndulo simple. Y

Tomemos el eje X normal al plano del movimiento. El momento N (Torque)

respecto a este eje es el siguiente

(2.16)

Considerado, respecto al eje de giro del pndulo. El pndulo oscila en el plano YZ; La

fuerza debido a la atraccin gravitatoria es de magnitud mg , en direccin Z, El Torque N est en la direccin +X.

El momento cintico (Angular ) respecto al mismo punto es:

(2.17)

lSen

lmgSenFxrN xx

FxrN

2,, mlpxrJluegolmpdondepxrJxx

gm

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28

r

Fig.2.5 Representacin del momento cintico

adems, se sabe que xx

Ndt

JdentoncesN

dt

Jd

, , finalmente obtenemos la

ecuacin deseada.

(2.18)

La ecuacin (2.18) es una ecuacin trascendente, cuya solucin, puede obtenerse

numricamente. Sin embargo, si se consideran pequeas amplitudes angulares de

oscilacin, podemos hacer uso de una expansin en serie de la funcin Sen , como sigue:

(2.19)

Fig.2.6 Representacin grfica de

La aproximacin de mgSenF

Con mgF (F versus )

considerando una aproximacin hasta el primer orden, con (2.19) en (2.18) resulta

(2.20)

La ecuacin (2.20) es exactamente igual a (2.2) que es la ecuacin del oscilador armnico

, y l

g20 , cuya solucin est dado por : simple, donde se ha cambiado

(2.21)

0

Seng

l

!5!3

53 Sen

0,0 20

g

l

xpor

tSent 00

F

4

mgF

mgSenF

4

mg

mg

p

r

J

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29

0 es la amplitud angular mxima de oscilacin, depende de las condiciones iniciale

t0 es la fase

es la constante de fase, y depende de las condiciones iniciales.

l

gf

2

10 , es la frecuencia de oscilacin.

g

lT 2 , es el perodo del movimiento.

2.8 Pndulo de torsin.

Es un disco suspendido mediante un

alambre por el centro de masa del disco. El

alambre est firmemente unido (fijo) a un soporte

y al disco.

Cuando el punto P del disco es rotado hacia

el punto Q, el alambre se tuerce, este alambre

torcido ejerce un momento sobre el disco y como

ambos estn unidos firmemente el disco tiende a

regresar a su posicin inicial de equilibrio.

El momento, es un momento restaurador,

este momento restaurador es proporcional al

grado de torsin angular (esto dentro de los

lmites de linealidad cumpliendo con la ley de

Hooke). Entonces:

N (2.22) Fig.2.7 Disco sometido a un momento de torsin ejercido por el alambre, unido al disco

En esta ecuacin tiene propiedades fsicas del alambre y se denomina constante de torsin. El signo (-) pone de manifiesto que el momento es de sentido contrario al

desplazamiento angular.

Segn las ecuaciones del movimiento circular

2

2

dt

dIangularinIxaceleracN

(2.23

R

Q

OP

punto fijo

0

I

R

02

2

2

2

Idt

d

dt

dII

dt

dI

dt

dI

dt

dJN

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30

Esta ecuacin corresponde a un M.A.S siendo entonces la solucin dado por :

(2.24)

0 es la amplitud angular mxima de oscilacin, depende de las condiciones iniciales

t0 es la fase es la constante de fase, y depende de las condiciones iniciales.

I es el momento de inercia del disco.

If

2

10 , es la frecuencia de oscilacin.

IT 2 , es el perodo del movimiento.

Ejemplo 1.

Una varilla delgada de masa 0.10 Kg. y longitud 0.10 m. se suspende de un alambre

que pasa por su centro y es perpendicular a su longitud. Se tuerce el alambre y la varilla se

pone a oscilar, se encuentra qque su perodo es de 0.2 s . Acto seguido se suspende de

manera similar un cuerpo plano de forma triangular equiltero desde su centro de masa, se

observa que su perodo de oscilacin es 6.0 s. Encintrar el momento de inercia del tringulo

con respecto al eje de rotacin.

Fig.2.8 varilla y triangulo sometidos a un momento de torsin ejercido por el alambre.

)()( 00 tSent

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31

Solucin

, (a)

(b)

dividiendo (a) entre (b), y resolviendo resulta que:

2.9 Pndulo fsico. Un cuerpo cualquiera, de tamao finito, montado de manera que oscile en un plano

vertical alrededor de un eje que pase por l, perpendicular al plano de oscilacin , es un

pndulo real, llamado pndulo fsico.

En la Fig. adjunta , por O pasa un

eje sin friccin perpendicular al plano de

oscilacin, el cuerpo se desplaza un

ngulo de su posicin de equilibrio y se deja oscilar.

G es el centro de masa y la

distancia dde O a G es d , el momento de

inercia del cuerpo con respecto a un eje

que pasa por O es I, y la masa del cuerpo

es M.

El momento restaurador para un

desplazamiento angular es:

Considerado, respecto al eje de giro

del pndulo fsico. El pndulo fsico

oscila en el plano YZ; La fuerza debido a

la atraccin gravitatoria es de magnitud

Mg , en direccin Z, El Torque N est en la direccin -X.

El momento cintico (Angular ) respecto

al mismo punto

Fig.2.9 Dinmica de un pndulo fsico

sTv 0.2

sTt 0.6

12

2mlI v

?tI

vv IT 2

tt IT 2

v

v

t

t IT

TI

2

O

MgCos

MgSen

d

G

Mg

dSen

dMgSenFxrN xx

,pxrJ

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32

adems, se sabe que xx

Ndt

JdentoncesN

dt

Jd

,

finalmente obtenemos la ecuacin deseada.

(2.26)

Aqu, asumiremos las consideraciones de aproximacin para el desplazamiento

angulares hechas en al pndulo simple.

(2.27)

la ecuacin (2.27) tiene solucin ya conocida y es:

(2.28)

Observacin

.

en esta ltima expresin, todas las cantidades de la derecha son medibles, por lo tanto el

momento de inercia del pndulo fsico puede hallarse. En particular si la masa de un cuerpo

est suspendida de una cuerda de peso despreciable, entonces

Ejemplo 2.

Encontrar la longitud de un pndulo simple cuyo perodo es igual al de un pndulo fsico

dado.

0

SenI

Mgd

0,0 20

I

Mgd

IMgdSen

)()( 00 tSent

2

2222

04

4,

MgdT

IMhd

IT

I

Mgd

lgldmMmlI 202 ,,

Md

IlTTcomoMgdITglT fsfs ,2,2

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33

Es decir, la masa de un pndulo fsico puede considerarse concentrada en un punto del

cuerpo, cuya distancia desde la articulacin es MdI / .Este punto se llama centro de

oscilacin del pndulo simple equivalente.

Ejemplo 3.

Un disco est articulado en su borde como se observa en la figura . Encontrar su perodo

para pequeas oscilaciones y la longitud del pndulo simple equivalente.

+Z

RR

2

3

2

3,

232

,: 20

Rleseequivalentpendulodellongitudelay

g

R

MgR

IT

esperodosuluegoMRIIesZejedelrespectoldiscodeinerciademomentoEl

z

z

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34

2.10 Oscilador armnico amortiguado.

En los sistemas oscilatorios idealizados que hasta ahora hemos estudiado, no se ha

considerado fuerza dicipativa alguna. La amplitud de oscilacin de cualquier resorte o

pndulo real disminuye con el tiempo, lentamente hasta el equilibrio, un sistema as se

llama oscilador armnico amortiguado, y el movimiento que realiza este, se denomina

movimiento armnico amortiguado.

Al incluir la fuerza amortiguadora en el sistema masa resorte, inicial, la fuerza total que

actua sobre el oscilador armnico libre en una dimensin es:

3ex

3ek

3)( exKT

3emgw

3ex

3emgw 3)( exKT

3emgw

O

0x

0x

my

m

K

donde

xxxxm

Kx

mx

mentredividiendoKxxxm

xKKxmgxxKmgxm

1,

)29.2(01

0

,0

2

0

2

0

Fig.2.10 Sistema masa resorte en el que se aprecia tres situaciones. El primero es el resorte colgante, el segundo resorte y masa en la posicin de equilibrio y el tercero, luego de ser desplazado de su

posicin de equilibrio mediante una fuerza externa, hasta 0x , para luego ser abandonada.

Fig.2.11 Diagrama de cuerpo libre de Las fuerzas que actan sobre el cuerpo.

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35

es el coeficiente (o constante) de amortiguamiento.

es el tiempo de relajacin (tiempo que requiere el sistema para llegar al estado de equilibrio).

La Ec.(2.29) es una ecuacin diferencial en x ; sera igual a la Ec. (2.5) , si no fuera

por el trmino adicional

x . La resolucin de esta ecuacin es sencilla. No entraremos

aqu en detalles , mas bien sugerimos intuitivamente como solucin la ecuacin siguiente.

(2.30)

Donde las constantes y, se determinan con las condiciones iniciales o de frontera .

Por sustitucin directa se tiene:

(2.31)

tSentExpxtx 0

tSentExpx

tCostExpxtSentExpxx

tCostExpxtSentExpxx

0

2

00

2

00

2

Fig.2.12 Representacin grfica de las funciones Sen(t) , Exp(-t), Exp(-t)Sen(t) y diferentes valores de la constante de amortiguamiento. Se observa que, a medida que el amortiguamiento decrece, la

amplitud crece, esto pone de manifiesto que para un amortiguamiento ser el tiempo de relajacin ser

grande.

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36

Reemplazando las Ec.(2.30), (2.31), en (2.29) y reagrupando trminos semejantes tenemos

Como las funciones Seno y Coseno son L.I. sus coeficientes que lo acompaan son todos

nulos, de los cuales s4e obtienen soluciones para y , dados por:

(2.32)

Se puede ver claramente que, el rozamiento disminuye la pulsacin(frecuencia angular) del

sistema, de modo que, 0 nicamente si el tiempo de relajacin es infinito

( fsicamente significa sin rozamiento).

Como y estn determinadas por (2.32), entonces la ecuacin (2.30) es una

solucin de la ecuacin diferencial (2.29), entonces:

(2.33)

Fig.2.13 Grafica de la Ec.(2.33) que muestra el movimiento armnico amortiguado, en caso cuando la constante de =0, el perodo cuando no hay amortiguamiento dado por la curva de color gris. Las otras curvas a colores representan los diferentes valores que toma la constante de

amortiguamiento.

0)()()2()()()( 002

0

22

tSentExpxtSentExpx

2

0

02

11,

2

1

y

}2

11{

2

21

2

00

tSen

tExpxtx

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37

Una solucin an ms general es la siguiente:

(2.34)

consiste de una superposicin de dos solucines L.I. con dos constantes arbitrarias, que

pueden determinarse con las condiciones iniciales (o de frontera) 00

xyx . Pueden

obtenerse dos soluciones independientes si hacemos 2

,0 o

tBCostASent

Exptx

2

Fig.2.14 Grafica de la Ec.(2.33) que muestra el movimiento armnico amortiguado, en el caso

cuando la constante de fase = 2/ , y la amplitud ha sido multiplicado por el facor 1.8; Se puede observar adems, curvas que representan los diferentes valores que toma la constante de

amortiguamiento . Amplitud versus el tiempo)

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38

(2.35)

donde

(2.36)

De este modo la frecuencia es menor y el perodo mayor que para el M.A.S. (Sin embargo,

la mayor parte de los casos prcticos de un amortiguamiento dbil, difiere solo un poco

de 0 ).

Es preciso sealar la importancia de le Ec.(2.36), el cual presenta tres casos lmite.

2.11 Casos lmite del oscilador armnico amortiguado.

a) Cuando 10 se dice que el movimiento es dbilmente amortiguado.

Entonces:

(2.37)

tSentCost

Expxtx

entoncesB

AB

Ax

BxxBSenAx

2

1

2

:,2

02

0

00

0

00

2

0

2

0

2

2

11,

2

1

y

:2

:,12

1;11,

00

0

00

esgrficasolucincuyatCost

Expxtx

pordadoestsolucinlaluegotSen

Fig.2.15 Representacin grafica del desplazamiento versus el tiempo del Movimiento Armnico Amortiguado Ec. (2.37).

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39

b) Cuando 0,2

10

y el movimiento se llama crticamente amortiguado.

No hay oscilacin del sistema y la masa vuelve a su posicin de equilibrio en el ms

breve tiempo.

Al reemplazar las condiciones antes impuestas en la Ec.(3.35) se tiene lo siguiente:

(2.38)

21

20

ttExpxtx

Fig.2.16 Obsevece cmo el movimiento se va amortiguando para cuando la constante de amortiguamiento crece crece en la Ec. (2.37)

Fig. 2.17 Representacin grfica del movimiento crticamente amortiguado Ec. (2.38)

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40

c) Cuando

2

10 ; Entonces se dice que el sistema est sobre amortiguado, esto

implica que la Ec.(2.35) ya no es solucin de (2.29), y i , donde

2

0

2

2

1

en este caso, es pequeo y es muy grande , el cuerpo vuelve a su posicin de

equilibrio.

Los trminos usados en los casos descritos lneas arriba derivan del uso para los

sistemas amortiguados prcticos como el mecanismo de cierre de puertas y los

amortiguadores de un automvil. Estos se disean por lo comn para dar el

amortiguamiento crtico; paro cuando sufren desgastes, se presenta el amortiguamiento

dbil (sub amortiguado) una puerta se cierra de golpe, un auto brinca varias veces cuando

pega en un tope. Las agujas de los instrumentos electrnicos de medicin ( voltmetro,

ampermetro, indicadores de nivel de audio) por lo regular estn amortiguadas crticamente

dbilmente amortiguadas.

Ejemplo 4.

Calcular la energa disipada por unidad de tiempo para un oscilador armnico

amortiguado, en el lmite del amortiguamiento dbil.

Solucin.

Sabemos que en lmite del amortiguamiento dbil 10 , luego la solucin para el

desplazamiento est dado por

y la energa cintica se escribe como .

haciendo uso de los valores medios de Sen y Cos definidas anteriormente se tiene

tCostExpxtx 00 2

2

2

1 xmEK

Fig.2.18 Representacin grfica del movimiento sobre amortiguado.

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41

Esta expresin nos dice que la energa cintica decae exponencialmente.

Del mismo modo hallamos la energa potencial media

Observamos que los valores medios de las energa potencial y cintica son iguales, esto era

de esperar, luego:

, y la potencia media disipada es:

, es decir

Observemos de que los valores medios hallados contienen el tiempo, lo que ocurre ,

es que estamos observando el movimiento de un oscilador amortiguado a lo largo de

muchos ciclos, y lo que aqu hemos calculado es la energa ( cintica o potencial ) media

( en un ciclo dado) para un tiempo dado. Como la energa se est disipando en forma de

calor , es de esperar que la energa media ( en un ciclo ) disminuya segn va completando

mas ciclos.

2.12 Factor de calidad Q. La Q o factor de calidad de un sistema oscilante es un trmino que se utiliza muy

frecuentemente. Q se define como 2 veces la razn entre la energa almacenada y la prdida media de la energa por perodo:

E

E

P

E

fP

EQ

2

Obsrvese que Q carece de unidades .

Para el oscilador anmnico dbilmente amortiguado ( 10 ) se tiene

2.13 Oscilador armnico forzado. Cuando un sistema que vibra se pone en movimiento, vibra a su frecuencia natural .

Al iniciar este captulo desarrollamos expreciones que relacionan la frecuencia natural ( o

pulsacin del sistema) con las propiedades del sistema tales como los resortes y pndulos.

Sin embargo, un sistema a menudo no oscila por s mismo, sino que puede estar

sometido a una fuerza externa que oscila con una frecuencia dada. Por ejemplo un

columpio, que bsicamente es un pndulo con su propia frecuencia natural; cuando

empujamos a una persona en un columpio, tenemos un oscilador armnico forzado.

El movimiento forzado de un oscilador armnico amortiguado, es de mxima importancia.

Si adems del rozamiento existe una fuerza externa tF ( ver Fig. 2.19).aplicada al oscilador, la ecuacin de movimiento es

(2.39)

tExpxm

tExpxmxEK

2

0

2

0

2

0

2

0

22

4

1

22

1

4

1

2

1

t

ExpxmxKEP2

0

2

0

2

4

1

2

1

t

ExpxmET2

0

2

02

1

tExpxmE

dt

dP T

2

0

2

02

11

T

EP

0Q

m

tFx

xx

)(20

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42

.

Fig.2.20 Diagrama de cuerpo libre de Las fuerzas que actan sobre el cuerpo.

En la ecuacin (2.39) 0 es la frecuencia

natural del sistema , en ausencia de

rozamiento y en ausencia de cualquier

fuerza externa impulsora.

Cuando al sistema se le impone una

fuerza externa de frecuencia distinta a la

frecuencia natural , la respuesta del

sistema viene dada con la frecuencia

impuesta y no con la frecuencia natural.

Cuando la fuerza impuesta es eliminada repentinamente, el sistema vuelve a una

oscilacin amortiguada, cuya frecuencia coincide aproximadamente con la frecuencia

natural, en el lmite del amortiguamiento dbil.

Supongamos que

De modo que la fuerza impulsora es sinusoidal con frecuencia , por lo tanto la Ec. (2.39) se convierte en

(2.40)

La integral de (2.40) est dado por dos integrales, una txg en ausencia de fuerza

externa impulsora, y otra txp en presencia de la fuerza externa impulsora, por lo tanto:

(2.41)

3)( exKT

3emgw 3ex

tF

3)( exKT

3emgw 3ex

tF

m

FdondetSen

m

tSenFmtF 000

0 ,

tSenxx

x

0

2

0

txtxtx pg

Fig.2.19 Sistema masa resorte el cual es impulsado por una fuerza externa

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43

La integral txg representa los efectos transitorios (es decir, aquellos efectos que dependen de las condiciones iniciales) el cual se anula al cabo del tiempo a causa del factor

exponencial, o sea 0 tBCostASentExptxg , cuando el tiempo es grande.

La integral txp representa los efectos transitorios y contiene toda la informacin

para el caso para cuando

1t .

La solucin en el estado estacionario es de gran importancia prctica, y es la que se

mantiene despus que ha desaparecido cualquier efecto transitorio. La frecuencia del

sistema en el estado estacionario, ser precisamente la frecuencia impulsora. De otro lado la

diferencia de fase variar con el tiempo, sta es una caracterstica de un oscilador armnico

forzado. Ahora bien, busquemos una solucin de la Ec. (2.40) de la forma

(2.42)

Donde a partir de la ecuacin del movimiento, hemos de encontrar los valores de la

amplitud 0x y de la constante de fase . En la Ec. (2.42) es la frecuencia de la fuerza

impulsora y es la diferencia de fase entre la fuerza impulsora y el desplazamiento del

oscilador. As pues, tiene aqu un significado completamente diferente del que tena en

el oscilador armnico no amortiguado (libre), en el que se relacionaba con las

condiciones iniciales del problema. En el oscilador forzado no interesan las condiciones

iniciales, nicamente se considera el estado estacionario.

Hallemos entonces las derivadas , primera y segunda de (2.42)

(2.43)

Entonces la ecuacin de movimiento (2.40) se escribir como:

(2.44)

La Ec.(2.44) pude simplificarse haciendo uso de las siguiente relaciones

trigonomtricas.

(2.45)

Reemplazando (2.45) en (2.44) , y agrupando trminos semejantes se obtiene

(2.46)

La Ec. (2.46) se satisface si los coeficientes que acompaan a tCos y tSen , son nulos

y se cumplen cuando:

tSenxtxp 0

tSenxdt

xdtCosx

dt

dx0

2

2

2

0 ,

tSentCosxtSenx

000

22

0

SentSenCostCostCos

SentCosCostSentSen

tSentCosxCosSentSenxSenCos

00

22

00

22

0

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44

(2.47)

(2.48)

(2.49)

(2.50)

Con ( 2.49 ) y ( 2.50 ), reemplazando en ( 2.48 ), sta se reduce a la siguiente expresin:

(2.51)

La Ec. (2.51) expresa la amplitud del movimiento. Pues bien, ahora, conociendo 0x y

la fase conoceremos la respuesta del sistema bajo la fuerza impulsora tSenmF 0 .

Luego:

(2.52)

El estudio de esta ltima ecuacin (2.52) es importante, pues, en ella podemos

examinar los casos lmite, pero suponiendo siempre un amortiguamiento dbil

( 10 ).

2.14 Casos lmites del oscilador armnico forzado.

a) Frecuencia impulsora baja , cuando 0 .

Se observa que 0;0,1 SenCos . Esta respuesta a baja frecuencia

se dice que est en fase con la fuerza impulsora, entonces

(2.53)

Fig.2.20.Tringulo para hallar

22

0

CosySen

2122220

22

0

Cos

21

2222

0

Sen

SenCos

x

22

0

0

0

22

0

Cos

SenTan

21

2222

0

00

x

22

0

1

21

2222

0

0

TantSentx

K

F

K

mx 00

2

0

0

0

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45

Esta ecuacin nos dice que el resorte (muelle) ( y no la masa ni el rozamiento)

condicionan la respuesta en este lmite.

b) Respuesta de resonancia, cuando 0 .

La respuesta puede ser muy grande en la resonancia, para 0 la resonancia

impulsora se hace igual a la frecuencia natural del sistema en ausencia de rozamiento.

(2.54)

Cuanto ms bajo es el amortiguamiento mayores son 0xy , manteniendo 0F

constante. La relacin entre la respuesta en la resonancia y la respuesta a la frecuencia

cero est dado por:

(2.55)

La Q en la resonancia puede ser muy grande ( 410 ) o mas . Significa que el amortiguamiento condiciona la respuesta en la resonancia.

Observacin.

La respuesta mxima 0x no se presenta exactamente cundo 0 , esto puede

hallarse tomando la derivada con respecto a de la Ec. (2.51), e igualando a cero, el cual resulta ser:

(2.56)

0

0

02,1,0

xluegoSenCos

Qx

x

0

2

0

0

0

0

00

0

2

2

0

2

2

1

Fig. 2.21 Representacin grfica de la amplitud en funcion de la frecuencia angular en

la resonancia , para diferentes valores de Q.

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46

Esta es la posicin de respuesta mxima de la curva de 00 xx , el mxima est muy cerca de 0 . Puede parecer extrao que la respuesta mxima se obtenga con

el ngulo de diferencia de fase igual a 2

, es decir, cuando la fuerza est desfasada

exactamente 2

respecto al desplazamiento. Podra parecer lgico que la resonancia

se presente cuando 0 y no cuando 2

. Pero el secreto est en que la

potencia absorbida por el oscilador no depende directamente de la fase entre la fuerza

impulsora y el desplazamiento, sino ms bien de la fase entre la fuerza y la velocidad.

Solo hay que reflexionar un momento para ver que obtendremos las desviaciones

mayores cuando la velocidad est exactamente en fase con la fuerzas impulsoras. De

este modo la masa resulta empujada en lugar y momentos precisos. Cuando el

desplazamiento es cero, la velocidad tiene su valor mximo. Si en este punto se est

moviendo en sentido positivo, nos conviene que la fuerza alcance en ese instante su

mayor valor con el objeto de tener el mximo movimiento. En los puntos extremos en

los que la velocidad cambia de sentido conviene, para que se presente la resonancia,

que la fuerza cambie de sentido del mismo modo que lo hace el movimiento en ese

mismo instante. As, pues, la resonancia, se entiende mejor en funcin de la fase entre

la velocidad y la fuerza impulsora. Sabemos que la velocidad adelanta a su

desplazamiento exactamente en 90 , as, pues, para la resonancia con fuerza y

velocidad en fase , debemos tener la fuerza 90 adelantada al desplazamiento, de modo

que 2

.

c) Frecuencia impulsora alta, cuando 2 .

Aqu

(2.57)

En este lmite la respuesta, decrece como 21.La inercia de la masa condiciona la

respuesta en lmite de altas frecuencias.

Observemos adems que la fase del desplazamiento x respecto a la fuerza

impulsora F empiesa en cero a frecuencias bajas , pasando por 2

en la

resonancia y llegando a a frecuencias elevadas. Es decir, el desplazamiento

siempre se retrasa respecto a la fuerza impulsora.

Ejercicio.

Hallar la media en tiempo del trabajo realizado por unidad de tiempo sobre el sistema

oscilante por la fuerza impulsora externa que viene dada.

Solucin.

Sabemos que

..;0;12

0

2

0

2

00

m

F

m

mxSenCos

tCostSen

mxFP

2222

0

2

0

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47

Desarrollando el tCos y recordando que, 0;212 tCostSentSen , y sabiendo que

, entonces la expresin anterior se reduce a:

, este resultado muy importante , pues, la absorcin de

potencia en la resonancia , para cuando 0 est dado por

, aqu se observa que la absorcin de potencia en la resonancia crece

con el tiempo de relajacin, adems se puede observar que la absorcin de potencia se

reduce a la mitad del valor en la resonancia cuando 2

1var ena , pues podemos,

apreciar el grafico de la potencia media versus la frecuencia, adems podemos escribir lo

siguiente:

As mismo el factor de calidad puede expresarse como

22220

Sen

22220

22

0 /

2

1

mP

202

1mPres

2

1000

22

0 2

2

1

0

02

Q

Fig. 2.21 Representacin grfica de la potencia media como funcin de la frecuencia.

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48

Fig.4

PROBLEMAS

1.- Un peso oscila armnicamente a lo largo del eje X, con una frecuencia f = 5 Hz. En t = 0 su desplazamiento es x = 10 cm y su velocidad de 314,16 cm/s.

a) Determinar la expresin del desplazamiento, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo.

b) Determinar la velocidad para t = 0,5 seg

2.- Una varilla de longitud l oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos. A que distancia d del eje de giro se puede acoplar una masa m a la varilla de modo que el periodo del sistema sea igual al inicial?. Fig. 1.

3.- El desplazamiento de una partcula en t = 0.25 s est dado por la expresin x = 5

cos (4 t + ) donde x esta dado en metros y t en segundos. Determinar:

a) La frecuencia y el periodo de movimiento b) La amplitud del movimiento c) La constante de fase d) El desplazamiento de la partcula en t = 0.25 s e) La velocidad y aceleracin en t = 1/3 s f) La velocidad y aceleracin mxima

4.- Se tiene un pndulo modificado, de longitud 1.2m. Para un ngulo inicial de 5, hallar

el periodo. Fig. 2.

Fig 1. Fig. 2 Fig. 3

5.- Hallar el periodo de oscilacin del sistema. Fig 3.

6.- Una plancha horizontal tiene una masa M y longitud

L, tienen un pivota en uno de sus extremos y en el

otro un resorte de constante K.

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49

El momento de inercia de la plancha respecto del pivote es (M L2

)/3, si la plancha de

desva un ngulo pequeo respecto de la horizontal, demuestre que se mueve con M.

A. S. Cul es su frecuencia angular?.

7.- Cuando el pndulo simple forma un ngulo ( ) con la vertical, su rapidez es v. a)Calcule la energa total del pndulo como una

funcin de v y . b)Para ngulos pequeos, cual es la energa potencial?.

8.- Para oscilaciones calcule la frecuencia natural de las

masas:

a) Varilla de masa despreciable respecto de m

b) En su resultado haga K = 0 Qu obtiene?.

9.- Un cuerpo de masa 100 gr. Pende de un resorte. Se estira el resorte 10 cm, y se suelta

oscilando con un periodo de 2 s.

a)Cul es la velocidad de la masa al pasar por la posicin de equilibrio.

b)Cul es la aceleracin cuando se encuentra a 5cm por encima de su

posicin de equilibrio?

10.- Determine el periodo del M.A.S. generado cuando la esfera de radio r se desplaza ligeramente del punto A y rueda sin resbalar.

AYUDA:

2

5

2mrIC

11.- Un cuerpo de seccin normal constante A y densidad flota en un lquido desplazando un volumen V en el equilibrio.

a) Hacer un diagrama de fuerzas del sistema b) Usando (a) hallar la ecuacin del movimiento para pequeas oscilaciones c) Demuestre que el periodo de pequeas oscilaciones en torno a la posicin de

equilibrio es gAVT /2

g es la aceleracin de la gravedad.

O

R

r

C

A

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50

12.- En la figura 2 un lquido de longitud l se

encuentra en reposo dentro de un tubo doblado

en V. Si mediante un mbolo modificamos el

nivel del lquido. Determine la frecuencia de

oscilacin del lquido al retirar abruptamente el

mbolo.

13.- Hallar el movimiento resultante de la superposicin de los movimientos oscilatorios

x1 = 3 cos (5 t + 53) y x2 = 4 cos (5 t + 37).

14.- Un disco de masa M y radio R se le hace oscilar en torno a un agujero a una distancia

r del centro de masa. Haga una grfica del periodo en funcin de r (para ngulos

pequeos).

15.- Se construye un dispositivo que consta de 2 MAS perpendicular y estn unidos a un

lapicero de tal manera que ste se mueve segn los MAS. Si los MAS son descritos

por:

x = 30 Sen 20 t

Y = 40 cos 40 t

donde X, Y estn en cm y t en segundos. Halle

a) La posicin del lapicero en funcin del tiempo b) La fuerza sobre el lapicero en funcin del tiempo

16.- Un objeto de 2 kg de masa oscila con una amplitud inicial de 3.00 cm con un resorte de constante k = 400 N/m.

Hallar:

a) EL periodo de oscilacin b) La energa inicial total c) Si la energa disminuye en un 1% por periodo. Determinar la constante de

amortiguamiento

d) Finalmente halle el factor de calidad Q, definido como 2 veces la razn entre la energa almacenada y la prdida media de la energa por perodo.

17.- Una masa de 200 g se mueve en el extremo de un resorte de constante elstica igual a

100 N/m sometida a una fuerza amortiguadora. Si la constante de amortiguamiento

es1 kg/s

a) Cunto tiempo transcurre en reducirse la amplitud a la mitad de su valor inicial? b) Cunto tiempo transcurre en reducirse la energa mecnica a la mitad de su valor

inicial?

Fig

Embolo

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51

e) Finalmente halle el factor de calidad Q, definido como 2 veces la razn entre la energa almacenada y la prdida media de la energa por perodo.

18.- En el sistema mostrado en la figura b (en kg/s) es el coeficiente de

amortiguamiento, k (en N/m) es la constante elstica del resorte y m es la

masa del bloque (en kg). Si el bloque desplaza ligeramente de la posicin

de equilibrio y se suelta.

Halle la ecuacin diferencial de movimiento

a) Demuestre que x = Ae-t sen (wt + ) donde m

b

2

es el factor de

amortiguacin, 22

0 ww es la frecuencia angular de oscilacin,

m

kw 0

, A amplitud inicial y fase inicial

es una solucin de la ecuacin diferencial

b) Cunto tiempo tarda la amplitud en reducirse al valor A/2? 19.- La media en el tiempo del trabajo realizado por unidad de tiempo sobre un sistema

oscilante por la fuerza impulsora se define como p = < F x >

a) Demuestre que en la resonancia 202

1Mp

b) Demuestre as mismo que la anchura completa a la mitad de la potencia mxima

est dado por Q

ww 02/12

c) A continuacin considere un oscilador armnico con masa M = 1 gr; constante

k = 104 dinas/cm y tiempo de relajacin seg2

1

c-1) Hallar w0, w y Q

c-2) El tiempo para que la amplitud se amortige hasta e-1 de su valor inicial,

luego hallar

d) Haga ahora que el sistema sea impulsado por tSentSenMF 90100 dinas

d-1) Hallar 0 , w, x0 y la fase

d-2) Comparar las amplitudes en el lmite cuando w 0 y con la que se presenta en la resonancia

d-3) Hallar (a) y (b)

k

m

b