2. ESFUERZOS AXIALES 2.1 DIAGRAMA DE ESFUERZO Vs. DEFORMACION. Este permite determinar las propiedades mecánicas de los materiales y son de gran importancia para el diseñador, ya que con estas propiedades pueden comprobar que los esfuerzos inducidos en los elementos, estructuras o equipos diseñados no sobrepasen la resistencia del material y de este modo estar seguro que lo que ha diseñado va cumplirá los requisitos de funcionamiento.

Las propiedades mecánicas mas conocidas son; la rigidez, el esfuerzo y la ductilidad. Los ensayos de laboratorio relacionados con carga axial son:

• Ensayo de tensión para materiales dúctiles como el acero, aluminio y cobre. La probeta se somete a fuerzas de tracción tal como puede verse en la figura 13.

Figura 13. Espécimen sometido a fuerzas de tracción

PROPIEDADES MECANICAS

Esfuerzo

Rigidez

Ductilidad

P

LO

P

Los procedimientos para llevar a cabo el ensayo de tensión se detallan en las normas Icontec; No. 2 Tracción para productos de acero, y en maderas, No. 944 Tracción paralela al grano y No. 961 Tracción perpendicular al grano.

• Ensayo de compresión para materiales frágiles como el Vidrio, Madera, Concreto y la Fundición. La probeta se carga a compresión tal como se observa en la figura 14.

Figura 14. Espécimen sometido a fuerzas de compresión

LO P P

Los procedimientos para el ensayo de compresión en maderas se definen en las normas Icontec No. 784 y No. 785, compresión axial paralela al grano y compresión axial perpendicular al grano respectivamente. Donde: Lo: Longitud inicial de calibración P : Carga gradualmente aplicada con la cual se toman las respectivas lecturas de deformación. En estos ensayos los datos tomados son:

• Carga Aplicada: empleada en el cálculo del esfuerzo. • Deformación: empleada en el cálculo de la deformación unitaria.

Las propiedades mecánicas se determinan a partir de ensayos destructivos a partir de probetas normalizadas. En el ejemplo dado a continuación se tabulan los datos de la carga y la deformación tomados de un ensayo de tensión de materiales. Los valores de la carga se dan en intervalos de cien unidades y los datos de deformación en intervalos de dos unidades.

CARGA DEFORMACION 100 2 200 4 300 6 400 8 500 11 600 16 700 25 700 40 800 120 900 160 1500 180 1600 3000 rotura

Se observa que hasta 400 unidades de carga, la deformación presentada es de dos unidades de deformación. Por lo tanto se concluye que hasta este punto existe una linealidad entre la carga aplicada y lo que se deforma el material, puesto que por cada cien unidades de carga hay 2 unidades de deformación lineal. Más allá de 400 se pierde la linealidad. Cuando se llega al punto donde la carga es de 700 unidades se observa que sin existir un incremento, el material sigue deformándose. Esta situación se le conoce con el nombre de FLUENCIA o CEDENCIA. La carga sigue incrementándose hasta un punto donde en el material comienza a aparecer una garganta; a este punto se le llama ÚLTIMO, y finalmente el material romperá siendo este el punto de ROTURA. Tales situaciones se detallan en la figura 15, llamada ESFUERZO vs. DEFORMACIÓN UNITARIA de ingeniería. En el eje de las ordenadas se representan los esfuerzos normales y en el eje de las abscisas las deformaciones unitarias. El esfuerzo se calcula dividiendo la fuerza entre el área transversal de la probeta y la deformación unitaria se calcula dividiendo la deformación entre la longitud inicial de calibración (Lo) de la probeta. Figura 15. Diagrama Esfuerzo Vs. Deformación Unitaria en un material dúctil.

σ

D E

C

B A ∈ En la gráfica los puntos A, B, C, D y E son las propiedades mecánicas, comúnmente denominados resistencia del material. A continuación se define cada uno de ellos:

σ LP (A) Esfuerzo en el límite proporcional: Valor del esfuerzo hasta donde existe proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria.

σ LE (B) Esfuerzo en el límite Elástico: Valor del esfuerzo hasta donde el material recupera sus dimensiones iniciales una vez cesa la carga. En materiales

dúctiles el límite elástico está muy cerca del límite proporcional y generalmente se toma igual para ambos.

σ FL (C) Esfuerzo de Fluencia: Valor del esfuerzo en el que sin haber un aumento de la carga el material sigue deformándose permanentemente; se presenta una gran deformación.

σ UL (D) Esfuerzo último. Es el mayor esfuerzo hallado en la gráfica de Esfuerzo vs. Deformación unitaria. Se puede decir que es el mayor esfuerzo que puede soportar el material. A partir de este punto, comienza a presentarse una reducción en una determinada sección transversal. Este fenómeno se le conoce como estricción y por esta garganta se va a fracturar la probeta. σ RO (E) Esfuerzo de Rotura: Esfuerzo donde se presenta el rompimiento del material.

Figura 16. Diagrama Esfuerzo vs. Deformación Unitaria de un material frágil El comportamiento de un material frágil se ve en la figura 16. En ella se nota que a diferencia de un material dúctil la zona plástica es muy pequeña; lo cual indica que en un material frágil después de sobrepasar la elasticidad del material rápidamente llega a la falla. Debido a esta circunstancia, en los materiales frágiles el esfuerzo más importante es el esfuerzo último; para un material dúctil es el esfuerzo de fluencia. Dicho de otra manera, una zona plástica pequeña indica que el material no presenta buena capacidad de dejarse deformar. RIGIDEZ

El Módulo de Young o Módulo de elasticidad es la pendiente de la recta de la gráfica “Esfuerzo vs. Deformación Unitaria”. Se designa por la letra E y se determina mediante la expresión:

Esfuerzo Último

σ

Esfuerzo L.F

Zona Plástica

Zona Elástica

∈

εσ /=E También, el módulo de elasticidad se define como la razón entre el esfuerzo y la deformación unitaria en la zona elástica y representa una constante de elasticidad. Cada material posee un valor característico del módulo de elasticidad y el cual se encuentra tabulado. Como la deformación unitaria es adimensional la unidad del Módulo de Young es la del esfuerzo; en el sistema internacional es el Pascal (Pa= 1 N/m2) y en el sistema Inglés es la libra por pulgada cuadrada (1 psi = 1 2lgpuLb ). DUCTILIDAD Las medidas de ductilidad son el porcentaje de alargamiento (o acortamiento) de la longitud inicial y el porcentaje de reducción (o aumento) del área de la sección transversal. Sus magnitudes se determinan a partir de las siguientes ecuaciones:

% de alargamiento (o acortamiento)

%ΔL = 100*⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

LoLoLf

% de reducción de área (o aumento)

%ΔA = 100*⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

AoAoAf

Otras propiedades del material son la resiliencia y la tenacidad. RESILIENCIA: Capacidad de un material para absorber energía en la zona elástica TENACIDAD: Capacidad de un material para absorber energía en la zona plástica. 2.2 LEY DE HOOKE En la zona elástica (ver figura 17) del material, se presenta proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria, siendo el módulo de elasticidad la constante de proporcionalidad. Recordando:

∈= Eσ

Figura 17. Representación zona elástica en gráfica σ Vs. ∈ Proporcionalidad entre Esfuerzo y Deformación σ Unitaria.

ZONA ELASTICA

∈ En la figura 17, se muestra la pendiente de la línea recta que permite relacionar los parámetros de la deformación y el esfuerzo. El esfuerzo se determina mediante:

Ap /=σ

En la zona elástica, el material obedece a la ley de Hooke, entonces:

εEAp =/ ; luego, AEP /=ε Además, la deformación unitaria se calcula utilizando la expresión oL/δε = Teniendo en cuenta las expresiones algebraicas anteriores y despejando la deformación axial se obtiene que: 00 EAPL=δ La deformación Axial en la zona elástica está en función de la carga externa aplicada (p), la geometría (A y Lo) y del tipo de material (E). Similarmente, en el esfuerzo cortante existe una constante de elasticidad que se le conoce como Módulo de Elasticidad al Esfuerzo de Corte o Módulo de Rigidez, se designa por la letra G y las unidades son las mismas del esfuerzo: Pascales (Pa) en el sistema Internacional y Libras por pulgada cuadrada (psi) en el sistema Inglés. Análogamente al esfuerzo normal, el esfuerzo de corte puede determinarse en función del módulo de rigidez utilizando la ecuación: γτ G=

Donde, γ es la deformación angular. El anexo A se enseña un resumen de las propiedades mecánicas de algunos de los materiales más utilizados.

EJEMPLO. Una placa de acero de (1 x 6 x 20) pulgadas está sujeta con pernos a un bloque de roble de (6 x 6 x 20) pulgadas. La estructura se acorta 0.02 pulgadas debido a una aplicación de una carga P desconocida. Determine la magnitud de la carga P y el esfuerzo axial que se origina debido a la carga.* P

Acero

PLACA

Roble

6”1”

20”

OBJETIVO. Hallar la magnitud de la carga aplicada en la placa de tal modo que la deformación en el acero y el roble sea de 0.02 pulgadas. DATOS. De tablas, los módulos de elasticidad del acero y del roble son:

AceroE = 30x106 psi

RobleE = 1.5x106 psi La deformación del roble y del acero es de 0.02 pulgadas. ANÁLISIS. ESTÁTICA. Se construye el diagrama de cuerpo libre - D.C.L.- de la placa rígida:

F Acero

P

F Roble

* FUENTE: HIGDON, Archie y otros. Mecánica aplicada a la resistencia de los materiales., primera edición en español. México: Continental, 1972. p110.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático: P = F Acero + F Roble ∑ =↑+ 0Fy DEFORMACIÓN.

0.02”POSICION SIN CARGA

POSICION DEL SISTEMA CON CARGA APLICADA

Se presenta un acortamiento estructural de 0.02 pulg., como se ve la deformación del acero es igual a la del roble.

δ Roble = δ Acero = 0.02 pulg. [PL/AE]Acero = [PL/AE]Roble

F ACERO F ROBLE

6”6”1”

PARA EL ROBLE

0.02pulg = [(FRoble x 20pulg) / (36pulg2 x 1500000 Lb/pulg2)] Despejando: F Roble = 54000 Lb.

PARA EL ACERO

0.02pulg = [(Facero x 20pulg) / (6pulg2 x 30000000 Lb/pulg2)]

Despejando: F Acero = 180000 Lb.

Como P = F Acero + F Roble; la magnitud de la carga aplicada al sistema es:

P = 54000 Lb. + 180000 Lb. P = 234000 Lb. ⇒

2.3 ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS: Es un sistema en el cual las ecuaciones de equilibrio estático ( ,∑ = 0F ∑ = 0M ) no son suficientes para determinar las variables solicitadas. En la solución de este tipo de problemas se emplea la siguiente metodología:

• ESTÁTICA. Se traza un diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) y de ahí plantear las ecuaciones de equilibrio estático.

• DEFORMACIÓN. Como las ecuaciones de equilibrio estático no son

suficientes se debe analizar el comportamiento de la deformación del material, y en base a la geometría de la deformación plantear tantas ecuaciones como sean necesarias de modo que se pueda forma un sistema de igual número de ecuaciones y variables.

Estos son los principios generales para la solución de estructuras estáticamente indeterminadas y que se resumen a continuación: ESTATICA Ecuaciones de Equilibrio ∑ = 0F

∑ = 0M SOLUCIÓN

DEFORMACION Relaciones Geométricas

EJEMPLO. Dos alambres B y C se fijan a un soporte en el extremo izquierdo y a una barra rígida articulada en el extremo derecho. Cada alambre tiene un área de 0.03 pulgadas cuadradas de sección transversal y módulo de elasticidad de 30x106 psi. Cuando la barra esta en posición vertical, la longitud de cada alambre es de 80 pulgadas. Sin embargo antes de fijarlo a la barra, la longitud del alambre B era de 79,98 pulgadas, y la del alambre C era de 79,95 pulgadas. Determine las fuerzas de tensión y los esfuerzos inducidos en los alambres bajo la acción de una fuerza P de 700 Lb, que actúa en el extremo superior de la barra.*

* FUENTE: GERE, James M. Mecánica de materiales, quinta edición. México: Thomson, 2003. p171.

OBJETIVO. Determinar las fuerzas y los esfuerzos en los alambres B y C.

L

L

L

80”

B

C

B arra r ig ida

700 lb

DATOS. Área de los alambres = 0.03 pulg2; E = 30x106 psi; P = 700 Lb Longitudes. Dadas en el texto ANÁLISIS. ESTÁTICA Trazando un D.C.L. de la barra rígida

Tb

TcL

L

L700Lb

DxDy

O

∑ = 0M+ 0 lb) 700 x 3L ( 2LTb LTc =+ 2Tb + Tc = 2100 lb

80”

L

L

LB

CDEFORMACION DE B

DEFORMACION DE C

La deformación del alambre B; δB = δB’ + δB” La deformación del alambre C; δC = δC’ + δC”

δB’ = 80” - 79.98” = 0.02” ; δC’ = 80” - 79.95” = 0.05”

Tang θ = δC”/L = δB”/2L ; δB” = 2δC” δB = 0.02” + δB” = 0.02” + 2δC”

δC = 0.05” + δC” Igualando por δC” 2δC” = δB - 0.02”

δC” = δC – 0.05” δB - 0.02” = = 2δC – 0.10”

Ordenando; δB - 2δC = - 0.08”

[PL/AE]B - 2[PL/AE]C = 0.08” Reemplazando

lg08.0/pulg2)30000000lb x (0.03pulg2

) 80“ x Tc ( 2 /pulg2)30000000lb x (0.03pulg2

80“ x Tb pu=−

80TB – 160TC = -7200 lb El sistema de ecuaciones será: Por estática 2Tb + Tc = 2100 lb Tb = 660 lb Deformación 8Tb – 16Tc= -720 lb Tc = 780 lb Los esfuerzos en el sistema:

Alambre B ----------- σ B = PB/AB σ B = 660 lb/0.03pulg2 ⇒ σ B = 22ksi Alambre C ----------- σ C = PB/AB σ C = 780 lb/0.03pulg2 ⇒ σ C =26ksi 2.4 RELACION DE POISSON El elemento mostrado en la figura 18 está sometido a la acción de cargas de compresión que hará que se presente una deformación en el sentido de la aplicación de la carga, pero también sufrirá una deformación en su sección transversal. Figura 18. Proyección de la deformación axial y lateral en un elemento cargado axial. Posición final Posición inicial yδ P P xδ Lo xδ Lf De la figura 18 se observa que:

xδ : Deformación Axial yδ : Deformación Lateral

xδ = (Lf – Lo) axial yδ = (Lf – Lo) lateral

Poisson demostró que existe una relación lineal entre la deformación axial y la deformación lateral si los esfuerzos inducidos no sobrepasan la elasticidad del material. A esa relación lineal se le conoce como coeficiente de Poisson y se determina mediante la expresión algebraica:

axiallateral

∈∈−

=μ

Donde: μ = Coeficiente de Poisson ∈ Deformación unitaria lateral =lateral

axial ∈ Deformación unitaria axial. =

El signo menos siempre estará presente ya que mientras una deformación será de alargamiento, la otra será de acortamiento. El coeficiente de Poisson se da como un número adimensional y está tabulado. Para el acero es aproximadamente 0.30, el concreto 0.20, y para materiales no ferrosos entre 0.33 a 0.35. El mayor valor de está constante es 0.50. Las constantes de elasticidad; módulo de young [E], módulo de rigidez [G] y coeficiente de poisson están relacionadas entre sí:

( )μ+=

12EG

2.4.1 Elemento sometido a esfuerzo uniaxial. De la figura 19 se tiene que la deformación unitaria axial –eje “X”- sufrido por un elemento cargado con una fuerza “p“ es:

Figura 19. Caso de esfuerzo uniaxial

εX = σX E 2.4.2 Elemento sometido a esfuerzos biaxiales. Además de la deformación debida a la carga axial, deberá agregarse la deformación producida por la carga aplicada perpendicularmente en el eje donde se está determinando la deformación. En la figura 20, puede verse un elemento sujeto a la aplicación de cargas en el plano.

Figura 20. Caso de esfuerzos biaxiales yσ

xσ xσ

yσ

Al determinar la deformación unitaria a lo largo de la dirección del eje “x “será igual a la deformación axial producida por el esfuerzo xσ y la deformación lateral debido a yσ . Entonces la deformación axial es:

( )Exx L

σ=∈

La deformación lateral es: ( ) ( ) Eyy 2∈=σ ;

Por definición:

axiallateral

∈∈

−=μ ;

Donde: ( )2yaxial ∈→∈

( )2xlateral ∈→∈ Reemplazando:

( )( )2

2

yx

∈∈

−=μ ; pero ( )Eyy σ

=∈ 2

Entonces:

( )Eyx σμ−=∈ 2

La deformación unitaria en el eje “X” es:

( ) ( ) ( ) ( )Ey

Exxxx σμσ

−=∈∈+∈=∈ ;21

La anterior situación se representa en la figura 21. Figura 21.Representación de la deformación en el eje “x” debido a esfuerzos biaxiales.

Yσ

+ 1 2

X Tomando las deformaciones unitarias en los ejes “X” e “Y”

σ Xσ

1X∈Yσ

2X∈

EEYX

Xσ

μσ

−=∈

EE

XYY

σμ

σ−=∈

Multiplicando por μ la segunda ecuación e igualando se tiene:

YX

XX

EE∈+=∈− μ

σμ

σ 2

Tomando Factor Común:

( ) YXX

E∈+=∈− μμ

σ 21 ;

Entonces el esfuerzo en el eje “X” es:

( )21 μμ

σ−

∈+∈= YX

X E ;

Análogamente:

( )21 μμ

σ−

∈+∈= XY

Y E

2.4.3 Elemento sometido a esfuerzos triaxiales En la figura 22 se observa un elemento que está sometido a la acción de esfuerzos en el espacio:

Figura 22. Caso triaxial

Xσ Xσ

Yσ

Yσ

Zσ

Zσ

Aplicando lo visto en el caso Biaxial y teniendo en cuenta el efecto del esfuerzo zσ , la deformación unitaria es:

εX = σX - u σY - u σZ E E E

εY = σY - u σZ - u σX E E E

εZ = σZ - u σY - u σY E E E Los Esfuerzos para el caso Triaxial son:

σX = E εX( 1-u ) + u E (εY + εz) 1-u – 2 u 2

σY = E εY( 1-u ) + u E (εX + εz) 1-u – 2 u 2

σZ = E εz( 1-u ) + u E (εX + εY) 1-u – 2 u 2 2.5 MODULO DE COMPRESIBILIDAD En la figura 23 se observa un elemento cuyas dimensiones son la unidad; su volumen inicial es Vo = 1.

Figura 23. Elemento de volumen unitario

1 1

1

Al aplicar cargas sobre el elemento, se presenta en cada eje deformaciones unitarias ( )zyx ∈∈∈ ,. , de modo que las dimensiones finales del elemento deformado son:

En “X”; xxL ∈+= 1 En “Y”; yyL ∈+= 1 En “Z”; zzL ∈+= 1

El volumen final; [ ] [ ] [ ]ZYXfV ∈+•∈+•∈+= 111

Entonces, el cambio del volumen ΔV = Vf – Vo Remplazando, ( )( )( ) 1111 −∈+∈+∈+=Δ ZYXV Como los productos YX ∈∈ . , ZX ∈∈ . , ZY ∈∈ . y ZYX ∈∈∈ .. son insignificantes

( )ZYXV ∈+∈+∈+−=Δ 11

Como los productos YX ∈∈ . , ZX ∈∈ . , ZY ∈∈ . y ZYX ∈∈∈ .. son insignificantes ,

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∈+∈+∈+−=Δ zyxV 11

El cambio de volumen es: ZYXV ∈+∈+=∈Δ ZYX ∈+∈+∈=∈

Pero; EEE

ZYXX

σμ

σμ

σ−−=∈

EEEZXY

Yσ

μσ

μσ

−−=∈

EEEYXZ

Zσ

μσ

μσ

−−=∈

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

−++

∈=EEE

ZYXZYXZYX σσσμ

σσσμ

σσσ 212

Si el elemento está sometido a presión hidrostática

PX −=σ ; PY −=σ ; PZ −=σ Se tiene:

( )μ213−∈=

EP

El módulo de compresibilidad se designa por la letra K y se expresa como:

( )μ213 −=

EK ; reemplazando: KP

−∈=

EJEMPLO. Se introduce en el océano un bloque cilíndrico de latón con altura de 160 mm y diámetro 120 mm hasta llegar a una presión de 75 Mpa cerca de 7500 mm de profundidad, si el módulo de elasticidad del material es 105 Gpa y el coeficiente de fricción 0.35, determine: a) Cambio de altura en el bloque

b) cambio en el diámetro c) Cambio de Volumen *

Y

Z X

LATON

OBJETIVO. Determinar cambio de altura en el bloque, cambio en el diámetro, y cambio de volumen. DATOS. =μ 0.35 Profundidad = 750 mm H = 160 mm 0 = 120 mm Presión hidrostática P = 75 MPa E = 105 Gpa ANÁLISIS. La presión hidrostática sobre el bloque cilíndrico:

σX = -P

σy = -P

σZ = -P Se Concluye:

σX = σY = σZ = P εx = εy = εz

* FUENTE: BEER, Ferdinand P. y Johnston, E. Rusell. Mecánica de Materiales, segunda edición. Colombia: McGraw-hill, 1996. p87.

Entonces:

εX = σX -uσY - u σZ = -P/E- μ -P - μ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

EP

E E E E

εX = P/E + (2u P) /E ; εX = P 2u -1

εX = 75x 106 N/m 2 ( 2x (0.35 -1 ) ) 105 x10 9 N/m 2

εX = - 2.143 x 10 -4 m/m unidimensional

a) Δh = y∈ . h ; Δh = 2,143 x 10-4 m/m x 160mm Δh = 3,429 x 10-5 m

b) Δ θ = x∈ .θ , Δθ = 2,143 x 10-4 m/m x 120mm

Δ θ 2,572 x 10-5 m

c) ΔV = eV ; Δ V 3 P (1 – 2 u ) x V E Δ V = 3x 75 x 10 6 n/m2 1 – 2 x 0.75 x II 120mm 2 x 160mm 105 x 10 9 n/m 2 2.6 EFECTO DE TEMPERATURA Al aplicar fuerzas axiales de tensión y/o de compresión los elementos tienden a deformarse. Pero, sin que se aplique ninguna carga y el elemento se someta a una variación de temperatura también se presentará una deformación axial como es representado en la figura 24. Si es un aumento en la temperatura la deformación se llama dilatación. Si por el contrario, el material soporta una disminución de temperatura a la deformación axial generada por este efecto se le llama contracción La deformación por un cambio de temperatura se determina mediante:

TLt Δ= αδ Donde: tδ = Deformación debido al cambio de temperatura

Figura 24. Barra bajo la acción de una variación de temperatura

Lf

Lo

T+

= Longitud inicial del elemento L TΔ = Cambio de temperatura

α = Coeficiente de cambio de temperatura

La unidad del coeficiente es de 1/ ºC en el sistema Internacional, y 1/ ºF en el sistema Inglés; de modo que el análisis dimensional de la deformación por temperatura indica que la unidad es el metro en el sistema Internacional y pulgada en el sistema Inglés. Ya que las magnitudes son tan pequeñas generalmente se utilizan prefijos como el mili y la micra. En el anexo B se muestran los coeficientes de expansión térmica de algunos materiales como metales, vidrio, madera, concreto y algunos plásticos seleccionados. EJEMPLO. Una viga rígida de 800 Lb de peso cuelga de 3 varillas igualmente espaciadas, dos son de acero y la otra de aluminio, cuyas diámetros son de 1/8 de pulgada antes de cargarlas . Los tres elementos tienen la misma longitud. Con que aumento de temperatura en los tres elementos toda la carga es soportada solo por los alambres de acero.*

A C E R O ALUMINIO A C E R O

800Lb * FUENTE: FUENTE: GERE, James M. Mecánica de materiales, quinta edición. México: Thomson, 2003. p169.

OBJETIVO. Determinar el aumento de temperatura (ΔT) que permitan que solo los alambres de acero soporten la carga. DATOS. E = 30 x10 6 psi E = 10 x 10 6 psi Acero Aluminio α = 6,5 x 10 – 6 1/ ºF α =12 x 10-6 1/ ºF Dimensiones dadas en la figura ANÁLISIS. ESTÁTICA. Trazando un diagrama de cuerpo libre de la viga.

P

TacTalTac

Planteando las ecuaciones de equilibrio estático: [ ]∑ =↑+ 0F ; 2Tacero+ Taluminio = 800lb Tacero = 400lb; Taluminio = 0 DEFORMACIÓN. Dibujando la visión deformada del sistema y planteando las relaciones geométricas de las deformaciones de las barras de acero y aluminio.

DEFORMACION ACERO

DEFORMACION ACERO

DEFORMACION ALUMINIO

P

W = 800lb

Entonces: δ aluminio = δ acero Se conoce: δP = (PL)/(AE); δT = αLΔT δacero = [ δP + δT ] acero δ acero = [(PL/AE) + (αLΔT)]acero δaluminio = [ δP + δT ] aluminio δ aluminio = [(PL/AE) + (αLΔT)]aluminio Reemplazando

Tº12x10 T x L x F /º1 10 x 6.5lglg

L x lb 400 6- Δ /1 =Δ+/ 10 30 )/4(1/8

6−262 xLxF

pulbxxpuπ

Despejando ΔT = 197,5 º F 2.7 ESFUERZO TÉRMICO En la figura 25 se ve un elemento de máquina que está fijo entre apoyos en sus extremos, no se aplica ninguna tipo de carga pero sufre una variación de temperatura. El elemento puede estar libre o restringido, si el elemento no esta restringido su movimiento, el libremente se deformará y no se generará esfuerzo en el. Caso diferente es si el elemento se somete a un cambio de temperatura y se restringe su movimiento. Si la variación de la temperatura es una disminución, el elemento tenderá a acortarse (figura 25 a), pero los apoyos fijos estarán ahí para impedírselo. Al tender a contraerse y no poder hacerlo, en el material se producirá un esfuerzo comúnmente llamado esfuerzo térmico que depende solo del cambio de temperatura. Para determinar la magnitud del esfuerzo térmico se puede utilizar el método de superposición. 1. Suponer que el elemento se libera de uno de los apoyos o que este no existe,

permitiendo que el material se deforme libremente. (ver la figura 25 b). La magnitud de la contracción es:

TLt Δ= αδ

2. Suponer que se aplica una carga “P” al elemento de modo que recupere sus

dimensiones iniciales. (ver figura 25 c). La magnitud de la deformación es:

AEPL

P =δ

Figura 25. Método de la superposición aplicada a esfuerzos térmicos

TΔ (-)

a)

( )−ΔT b) Deformación Por disminución De la temperatura

P ( )−ΔT

c) xδ xδ = Deformación por carga aplicada “p”

Como la deformación real es cero y superponiendo los dos efectos anteriormente analizados.

( )AEPLTL +Δ−= α0 ; TL

AEPL

Δ= ; Como AP

=σ

Entonces:

TET Δ= ασ σT, es la magnitud del esfuerzo térmico y sus unidades son Pascal (Pa) en el sistema internacional y Libra por pulgada cuadrada (Lb/pulg2) en el sistema Inglés, y E , α son constantes anteriormente definidas. Se observa que el esfuerzo térmico depende del material (α , E) y de la variación de la temperatura ( TΔ ). EJEMPLO. En la figura se muestra el prototipo de un sistema estructural. El área y el módulo de elasticidad de cada barra son A y E respectivamente y el coeficiente de expansión térmica de la barra 2 es 2 veces el de la barra 1, (α2)=2(α1). Si se aplica una carga P al bloque rígido y la temperatura disminuye ΔT. Demuestre que el desplazamiento del bloque rígido es: PL/2AE – (3/2) α1ΔTL.*

PBLOQUERIGIDO

12

L

OBJETIVO. Demostrar que el bloque rígido se desplaza una longitud

( )TLAEPL

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− α*

23

2

DATOS. A1 = A2 = A E1 = E2 = E α2 = 2(α1) ANÁLISIS. ESTÁTICA Trazando un diagrama de cuerpo libre del bloque rígido.

F1F2

P

Planteando la ecuación de equilibrio estático:

* FUENTE: LARDNER T.J. y ARCHER, R. R. Mecánica de sólidos, primera edición. México: McGraw-Hill, 1996. p105.

∑ =↑+ 0XF ; F1 + F2 = P DEFORMACIÓN Dibujando la deformación del sistema y estableciendo las relaciones geométricas de las deformaciones de las barras:

1

2 P

L

Sin carga, sin T

Aplicacion de P y

T

T

δ 1 = δ 2 La deformación tendrá componente por carga y por aumento de temperatura [PL/AE]1 + [αΔTL]1= [PL/AE]2 + [αΔTL]2 Reemplazando: [F1L/AE] + [-α1ΔTL] = [F2L/AE] + [-α2ΔTL] Cancelando términos semejantes: [F1/AE] = [F2/AE] + [α1ΔT] - [2α1ΔT]; [F1/AE] = [F2/AE] - [α1ΔT] Entonces: F1 = F2 - [α1ΔTAE] Como F1 = P – F2 Igualando: F1 - [α1ΔTAE] = P – F2 ; F2 = [P + α1ΔTAE]/2 F1 = P - [P/2 + α1ΔTAE/2] ; F2 = [P + α1ΔTAE]/2 El desplazamiento del bloque rígido es igual a la deformación de la barra 1 o de la barra 2:

Desplazamiento del bloque = δ1 = δ2

Desplazamiento del bloque = F1L/AE - α1ΔTL

Desplazamiento del bloque = [P/2 + α1ΔTAE/2] [L/AE] - α1ΔTL Desplazamiento del bloque = [PL/2AE] - (3/2) α1ΔTL

2.8 ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA. Un recipiente es un elemento que contiene un fluido (líquido o gas) a una presión determinada. Como ejemplos de recipientes de pared delgada se citan: las latas de refrescos, tuberías, cilindros de gas propano, y de pared gruesa: los cilindros que contengan cloro, oxígeno y acetileno. Los recipientes de pared delgada se hallan sometidos a esfuerzos tangenciales y longitudinales. Los recipientes de pared gruesa además de la acción del esfuerzo tangencial, longitudinal, tienen que soportan esfuerzos en la dirección radial. Para ser considerado un recipiente como de pared delgada debe cumplir la condición: r/t > 10 Donde, r es el radio medio del recipiente y t es el espesor de la chapa con que fue construido el cilindro. 2.8.1 Esfuerzo Tangencial. La figura 26 representa un recipiente de pared delgada que contiene un fluido a una presión predeterminado ya sea en Pascal (Pa) o en libra por pulgada cuadrada (psi).

Figura 26. Recipiente de pared delgada sometido a presión Pared delgada

Fluido a presion Pa, psi

El fluido produce una presión sobre las paredes del cilindro y en dichas paredes se genera una reacción que equilibra la presión ejercida por el fluido. Tomando un corte diametral (A) según puede verse en figura 27 La presión ejerce una fuerza sobre las paredes del recipiente. Tal situación se representa en la figura 28.

CONDICIONES DE EQUILIBRIO Al descomponer en sus componentes rectangulares la fuerza de inducida por la presión en la pared del cilindro se tiene en el eje horizontal θcosF y en el eje vertical θFsen .

Figura 27. Corte diametral de un recipiente de pared delgada a presión

Presion atmosférica

Presion determinadaL

Diametro

Fuerzas inducidas las paredes

B) A) Ahora al plantear el equilibrio sobre el eje horizontal se nota que cada componente horizontal tiene su contraparte y se anulan. ∑ =↑+ 0XF .Dicho de otro modo, cada componente tiene su contraparte que la equilibra.

Figura 28. Fuerzas ejercidas en la chapa de un recipiente de pared delgada

θcosF

Fθ

F sen

θ

DF

DA

P P

Las componentes en la coordenada “y” se suman y son contrarrestadas por las fuerzas de reacción en las paredes del cilindro. Σ Fuerzas ejercidas por la presión; F = Σ f sen θ Σ Fuerzas ejercidas en las paredes; P = Σ p Para el equilibrio se requiere que: F = 2 P La magnitud de la presión sobre las paredes del cilindro es F = p A Donde:

p = Presión del fluido A = Área proyectada

Figura 29. Área proyectada que soporta la presión del fluido Área proyectada= dL

L

d

La fuerza ejercida por la presión sobre las paredes del cilindro es equilibrada por fuerzas internas inducidas en la chapa como se ve en la figura 30. Entonces por

equilibrio estático F = 2 P, y reemplazando p A = 2 P; pdL = 2P; 2

pdLP =

Figura 30. Fuerza inducida en la sección transversal de la chapa

L

Espesor t

El esfuerzo en las paredes del recipiente es:

=σ Fuerza / área; Entonces AP

=σ

Reemplazando: tL

PdL2

=σ

Cancelando el término L:

t

Pdt =σ

2Donde: σ t = Esfuerzo tangencial d = Diámetro medio del recipiente a presión t = Espesor de la chapa El subíndice t es para indicar que el esfuerzo es el tangencial.

Este esfuerzo es el que trata de hacer fallar el recipiente a lo largo de su circunferencia y depende de la presión, el diámetro medio y el espesor de la chapa y no de la longitud. 2.8.2 Esfuerzo longitudinal. La figura 31 representa un recipiente que contiene un fluido (gas o líquido) a una presión determinada. La presión ejercida por el fluido en el recipiente trata de separar el fondo (o tapas) del cuerpo del cilindro. Este esfuerzo se la conoce como esfuerzo Longitudinal.

Figura 31. Recipiente a presión

Fondo o tapa

Cuerpo del cilindro

Presion del fluido

La fuerza ejercida por el fluido sobre el fondo (ver figura 32) es:

F = Presión x Área; donde, el Área del fondo es A = (π/4)(d2); 2

4dpF π

=

Figura 32. Fuerza ejercida por la presión sobre las tapas

Para el equilibrio la fuerza ejercida por la presión del fluido sobre el fondo (tapa) del recipiente es contrarrestada por una fuerza de reacción (P) en el material, de tal modo que ∑ ; P = F. = 0F

P induce un esfuerzo en el material; σ = Fuerza / área donde la fuerza es P y el área, es el área perimetral del cilindro, la cual es πdt (figura 33).

Figura 33. Área perimetral que soporta el esfuerzo longitudinal

Area transversal del cilindro

Perimetro t

Radio interior

Radio exterior

Reemplazando: σ πdt = P(π/4)(d2) Despejando: t

PdL 4=σ

Donde: σ L = Esfuerzo longitudinal d = Diámetro medio del recipiente a presión t = Espesor de la chapa Donde el subíndice L indica que el esfuerzo es longitudinal, y como el esfuerzo tangencial también depende de la presión, el diámetro y el espesor y no de la longitud. Al comparar ambos esfuerzos tangencial y longitudinal se observa que el esfuerzo tangencial es dos veces el longitudinal. Por tanto para un diseñador el esfuerzo tangencial es el más importante y si el recipiente se diseña contra la falla del tangencial estará seguro de que nunca fallara por el longitudinal. EJEMPLO. Un hospital tiene una caldera pirotubular con un diámetro interior de 1500 milímetros y está diseñada para soportar presiones de hasta 900 MPa. Si el factor de seguridad es de 1,5. ¿Cuál es la fuerza de tracción por centímetro de costura tangencial? ¿Cuál es la fuerza de tracción por centímetro de costura longitudinal? OBJETIVO. Hallar las fuerzas de tensión en las paredes de la caldera por centímetro de costura tangencial y longitudinal.

DATOS. Diámetro interior = 1500 mm

Presión = 900 Mpa Factor de seguridad = 1,5 ANÁLISIS. Si se toma r/t = 10; t = 75/10 = 7,5cm σ T = Pd/2t

σ T = 900x106 N/m2 x 1,575m = 9,45 GPa 2(0,075m)

Como se conoce el espesor: d exterior = d interior + 2t = 165cm d medio = d exterior + d interior = 157,5 cm. 2 Como σT = P/áreaproyectada; Donde P es la fuerza de tracción y el área proyectada es tL (espesor por longitud) Despejando : P = σ T T L; P = 9,45x106 N/m2 x 0,1575m x L Recordando la relación entre el factor de seguridad y las cargas de falla y permisible:

n = P falla / P Permisible; se tiene que el P permisible = 708,75 x 106 N/m x L

P falla = n x P Permisible = 1,5 x 708,75x106 N/m x L La fuerza de tracción límite por centímetro de costura tangencial:

FT = P falla / L = 1,205 x 106 N/m La fuerza de tracción límite longitudinal por centímetro de costura es:

σ L = σ T / 2 = 4.725 x 109 N/m2

PL = σL x Area = 4.725x109 N/m2 x π x 1,575m x 0,075m ⇒ PL = 1,75x104 N