2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - UNTECS
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TECNOLÓGICA Ing. Electrónica y Telecomunicaciones V DEL CONO SUR DE LIMA
MATEMÁTICA APLICADA II 2
(1,1)
(2,-2)
(4,4)
(2,0)
FUNCIONES, LÍMITES Y
CONTINUIDAD - COMPLEJOS
47.- Sea ( ) ( ).hallar los valores de para: (a)
(b) y hacer la gráfica de los valores correspondientes en el plano .
Solución:
(a)
( ) ( )( ) ( )
(b)
( ) ( )( )
Plano z Plano w
48.- Si ( ) ( ) ( ), hallar ( ) ( ) ( ) ( ) y representarlos
gráficamente.
Solución:
(a) ( )
(b) ( )
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(1,-1)
(-1,-2)
(0, 1) (0, 1)
Plano z Plano w
49.- Si ( ) ( ) ( ) , hallar ( ) ( ) ( ) * ( )+
Solución:
( ) (
)
( ) * ( )+ .
/
.
/
.
/
50.- Hallar:
( ) ( )
, hallar ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
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Solución:
) ( ) .
/ ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
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(1, 1) (2, 2)
S S’
Solución:
Plano z Plano w
) ( )
( )
Representamos a ( )
)
(( ) )
(( ) )(( ) )
( )
( ) (
( ) )
Remplazamos a:
( )
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(1, 1)
(1, 1/2)
S (1/5, 0) (1, 0)
(1, 1)
(2, 2)
S1’ (-1, 1)
(-1,-1) (1, -1)
(2, 0)
(0, 2)
Plano z Plano w
52.- Discutir el problema 51 si el cuadrado tiene vértices en (1,1), (-1,1), (-1,-
1), (1,-1)
Solución:
El problema se plantearía exactamente igual con diferencia de la variación del
cuadrado de la transformación
Parte a)
Plano z Plano w
S’
S1
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(1, 1) S (-1, 1)
(-1,-1) (1, -1)
(0,-1/5)
Parte b)
=
=
Plano z Plano w
53.- Separar cada una de las siguientes funciones en las partes real o
imaginaria, es decir hallar ( ) y ( ) tales que ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
Reemplazamos:
( )
( )
( ) ( )
S1
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( )
( )
( )
( )
(
)
Reemplazamos:
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) .
( ) /
Reemplazamos:
( )
( )
( ) ( )
, ( )-
0( .
/ .
/)1
Reemplazamos:
(
) (
)
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54.- Si ( )
construir algunos miembros de las familias
( ) ( ) donde y son constantes y mostrar que aquellas
son familias de círculos.
Solución:
( )
( )
( )
( ) [
( )]
Reemplazamos:
( )
( )
Luego construimos:
) ( )
(
) (
)
(
)
(
)
[ (
)]
[ (
)]
(
)
Es una familia de círculo de radio
) ( )
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(
) (
)
(
)
(
)
[ (
)]
[ (
)]
(
)
Es una familia de círculo de radio
LAS FUNCIONES ELEMENTALES
58.- Demostrar que:
( )
Sea:
( ) ( )
( )
( ) =
=
= ( )
=
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( )| |
| | | ( )| | |
| || |
| |√
59.- Demostrar que ningún valor finito de z satisface la ecuación
( )
( )
, -
( Λ ) v ( Λ )
( )
60.- Demostrar que es un periodo de ¿tiene otros periodos?
Sea:
= ( )
( )
( ( ))
( )
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61.- Hallar los valores de z para los cuales (a) , (b)
(a)
(b) =
=
= ( )
=
=
=
Obs:
62.- Demostrar: (a) , (b) ,
(c) .
/
( ) ( ) (
)
( )
Solución:
(a)
Sea:
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( )( )
( )
( )
(b) ( )
)
6
7
6
7
(c) .
/
( )
Sea: .
/ 6
7
.
/ 6
7
6
7
, -
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( ) (
)
( )
(
) *
+
6
7
( )
63.- Probar
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
[
]
[
]
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64.- Si ( ) ( )
Solución:
( )
( )
( )
( )
( )
4
54( )
5
( )( ( ) )
( )( ( ) )
65).-Demostrar que todas las raíces de ( ) ( )
Solución:
Si
( )
, - , -
, -
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, -
( , - ) { , -
( )
, - , -
, -
( , - ) { , -
66.- Demostrar que si | | para todo z, entonces z debe ser real.
Solución:
Si | |
Λ
Λ
( ) Λ ( )
( ) Λ ( )
(( ) ) Λ (( ) ) Si y=0: pues debe cumplir
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( ) Λ ( )
67.- Mostrar que, (a) , (b) , (c)
Solución:
( )
( )
(
) (
) (
)
4( )( ) ( )
5
4 ( ) (( )( ))
5
4
5
4 ( ) ( )
5
( )
( )
Se demuestra que:
( )
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(b)
( )
(
) (
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Se demuestra que:
( )
(c)
( )
( )
( )
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68.- Para cada una de las funciones siguientes hallar ( ) ( )tal que
( ) o sea encontrar las partes real e imaginaria:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Encontramos u y v
( ) ( ) ( )
( )
, -. ( )
( ) , -
Demostrando que:
( )
( ) ( )
( )
Demostrando que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( ))
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Demostrando que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ))
( )( )( ( ) ( ))
*,( ( ))( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- +
,( ( ))( ) ( )- ,( ) ( ) ( )-
Demostrando que:
,( ( ))( ) ( )-
,( ) ( ) ( )-
69.- Demostrar que ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
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70).-Demostrar que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Solución:
( ) ( ) 4 ( ) ( )
5(
)
4 ( ) ( ) ( ) ( )
5
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
4( )( )
54( )( )
5
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
4( ) ( )
5
4( ) ( )
5
( ) ( )
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( )
Sea:
Dividimos entre
71).-Demostrar que (a) .
/
( ) ( ) .
/
( )
Solución:
(a) .
/ .
/
.
/
(
)
( ( ) )
( ) .
/ 4
5
.
/
(
)
( ( ) )
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72.- Hallar ( ) ( ) ( ) ( )
Solución:
( )
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
4
5 ( ) 4
5 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Demostrando que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) (
)
( ) 4
5
( ) ( ( ) ( )
)
,( ) - ,( ) -
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Demostrando que:
,( ) -
,( ) -
73.- Hallar el valor de:
( ) (
) ( ) ( ) (
) ( )
Solución:
( ) (
) (
) (
. / .
/ .
/ .
/
)
.
/
( √ )
( ) [( ) (
)]
( ( )
( )
)
[
( ) ] [
( ) ] [
( ) ] [
( ) ]
6( )
7
0
1
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74. - (a) .
√
/ = .
/
Solución:
‖ ‖ ( )
4
√
5 ‖
√
‖ ( )
√
√
4
√
5 ‖
√
‖ (
)
‖
√
‖ 4
√
5 (
)
(b) ¿Cuál es el valor principal?
Solución:
4
√
5 (
( ) )
4
√
5 (
)
75.- Obtener los valores de:
a) ( )
( ) ( ) ( )
La rama principal k=0 ( ) ( )
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b) ( )
( ) ( ) (
)
La rama principal k=0 ( ) ( )
c) (√ )
( √ ) ( ) (
)
La rama principal k=0 ( √ ) ( ) (
)
76.- Mostrar que ( )
(( ) ) .
/
( ) (( ) ) (√( ) ) 4.
/ 5
k=0 ( )
(( ) ) .
/
77.- Demostrar que:
a)
√
√ ( √ )
( √ )
b)
( )
( )
( )
( )
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Por proporción:
(
)
78.- Demostrar que :
a)
√
( √ )
b)
(
)
79.- Hallar los valores de:
a)
√
√ ( √ )
( √ )
( √ )
b)
( √ )
Luego:
{ (√ )
(√ )
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80.- Hallar todos los valores de:
a)
cosh(m) = i
= i
√
√
M = { ln( 0+(1+√ ); ln (0+(1-√ )i}
Usamos ln (z) = ln(r) + ( θ+2k )i
Donde z =rcis θ
ln(√ +1 ) +
i +2k i
M= { ln(√ -1 ) +3
i +2k i
b) ( ( ))
Primero usamos: ln(-1) = ln(1) +( + 2k )
Reemplazando:
Senh(w) = ln(1) + (1+2k )
Senh(w) = (1+2k)
= (1+2k) i
- 2(1+2k) i -1 = 0
= 2(1+2k) i -1 = 0
= ( ) √ ( )
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W= {(1+2k) i √ ( ) }
Luego por transformación:
W= { ln((1+2k) √( ) ) +
i +2m
{ ln((1+2k) √( ) ) +
i +2m
81.- Determinar todos los valores de :
a) ( )
( ) √ ( )
√ ( )
(√ ) ( )
( )
.{cos(ln√ ) ( √ )}
b) √
√ = ( )√
√ = cos(2√ ) (2√ )
82.- Hallar:
Re ( )( )
( )( ) = (
)√ ( )
( )
( )
( )
Re (z) = (
) ( )
. cos(
( ))
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b) |( ) |
|( )(( )
) |
( )( )
83.- Hallar la parte real e imaginaria de :
= ( )( )
= r (
) )
= . ( ) .
/ /( )
= ( ) (
).
(
) ( )) .
La parte real: ( ) (
).{cos(x .
/ ( ))}
La parte imaginaria: ( ) (
).{sen(x .
/ ( )
Donde: r = √
84.- Mostrar que es función algebraica de z
a) F(z) = w = ( )
= -1
Es una función Algebraica.
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LÍMITES
89.- (a) Si ( ) = , demostrar que ( )
Solución:
‖ ‖ ‖ ( ) ‖
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ( ) ‖ ‖ ( )
( )( )‖
‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
2
3
(b) Si ( ) {
, hallar ( ) y justificar su respuesta
Solución:
) ( )
)
( )
)
( ) ( )
Por lo tanto, con esto se demuestra que no es continuo en z=i, ya que al evaluar el
límite cuando z tiende a i de la función es diferente a la función evaluado en z=i .
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90.- Demostrar que
Si evaluamos el límite de manera directa se obtendrá
, lo cual es una
indeterminación, pero para eliminar esto aplicaremos L´ Hospital
Ahora evaluamos
( )
( )
( )
( )
91.- Adivinar un valor posible para (a)
, (b)
(a)
=
(b)
=
92.- Si ( ) ( ) , demostrar que,
(a) * ( ) ( )+
Debemos demostrar que para cualquier podemos encontrar un tal que:
|( ( ) ( )) ( )| | |
Tenemos:
|( ( ) ) ( ( ) )| | ( ) | | ( ) | ( )
Por hipótesis, dado un podemos encontrar un tales que
| ( ) |
| | ( )
| ( ) |
| | ( )
Entonces de (1), (2) y (3)
|( ( ) ( )) ( )|
| |
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(b) * ( ) ( )+
Debemos demostrar que para cualquier podemos encontrar un tal que:
|( ( ) ( )) ( )| | |
Tenemos:
|( ( ) ) ( ( ) )| | ( ) | | ( ) | ( )
Por hipótesis, dado un podemos encontrar un tales que
| ( ) |
| | ( )
| ( ) |
| | ( )
Entonces de (1), (2) y (3)
|( ( ) ( )) ( )|
| |
93.- Si ( )
( )
* ( )+
Tenemos: | ( ) ( ) | | ( )( ( ) ) ( ( ) )| ( )
| ( )|| ( ) | | || ( ) |
| ( )|| ( ) | (| | )| ( ) |
Puesto que ( ) | ( ) | para
0<| |
| ( ) | | ( )| | | | ( )| | | | ( )| | |
O sea, | ( )|
Ya que ( )
| ( ) |
| |
Puesto que ( ) , dado podemos encontrar
| ( ) |
(| | ) | |
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Utilizando en (1), tenemos
| ( ) ( ) |
(| | )
(| | )
| |
( )
* ( )+ .
En( b) se procede de forma análoga al ejercicio anterior.
94.- Calcular aplicando teoremas sobre límites los siguientes casos (en cada uno
establezca precisamente qué teorema utiliza).
( )
( )
En este caso solo será cuestión de evaluar directamente
( )
( ) ( )
( )
( ( ) ( ))
( )
Primero recordamos lo siguiente:
Ahora evaluamos
.
/
( ) .
/
√ ( )
√ ( ) √ ( )
√ ( ) √ ( )
√ ( )
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( ( )
( ))
( ( ) ( ))
( )
( )( )
( )
En este caso solo será cuestión de evaluar directamente
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( ) . / .
/
. /
( )( )
( )
( ( ) ( )) . ( )
( )/
( )
Si evaluamos el límite de manera directa se obtendrá
, lo cual es una
indeterminación, pero para eliminar esto aplicaremos R´ Hospital
( )
{
}
Primero damos forma al denominador, con el fin de eliminar el numerador
{
}
6
( ( ))( ( ))7
Ahora podemos evaluar el límite y hallar su valor
(
( ))
(
( ) ( ))
(
)
{
}
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95.- Hallar
.
/ .
/
Primero recordamos lo siguiente:
Segundo si evaluamos el límite de manera directa se obtendrá
, lo cual es una
indeterminación, pero para eliminar esto aplicaremos R´ Hospital
( ) .
/
(
)
(
( ))
Ahora recién evaluamos el límite pues ya no existe indeterminación
( )
.
/
.
/
( √ )
( √ )
( √ )( √ )
( √ )( √ )
√
( ) .
/
√
96.- Demostrar que si ( ) , entonces ( ) ( )
Solución:
( ) ( )
( )
( )
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( ) ( )
97.- ( )
( ) ( )
( )
Solución:
( ( ) ( )
) . /
( ( ) )( ) ( )( ( ) )
( ( ) )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ( ) ( )
) . /
( )
98.- ( ) √ ( ) √
√
Solución:
Si evaluamos directamente se obtiene
lo cual es una indeterminación, para ello
multiplicamos la conjugada del numerador, para eliminar la indeterminación
(√ )(√ )
( )(√ )
( )
( )(√ )
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Ahora si se evalúa para hallar el valor del límite
( )( )
( )(√ )
√
99.
( )
( )
Es una aplicación de límites que tiene validez al cumplir la siguiente condición:
( )
( )
Comprobando su validez en el ejercicio:
( )
( )
Significa que para cada número positivo existe un número positivo tal que:
‖
( ) ‖
‖ ‖
( )
Notamos que el límite tiende al infinito por lo cual se cumplirá lo siguiente:
Para nuestro ejercicio, primero dividimos convenientemente entre para obtener la
forma planteada, tanto al numerador como al denominador
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‖
‖ ‖ ‖
100.- Demostrar que :
( )
( )
Tomamos 2 caminos:
1. (x,0) (
) y=0 , x =
2. (
) (
) x=
, y = 0
1er camino: y = 0
( )
( )
( )
2do camino: x =
( )
( ) (
)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
Luego como (1) = (2) el Limite existe y es: .
/
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MATEMÁTICA APLICADA II 40
101.- Mostrar que si consideramos las ramas de f(z) = talque f(0) =0
entonces
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
, (√ )
. (√ )
/
(
)
(
)
Se demuestra el valor :
( )
( )
a) Demostrar que el limite existe y hallarlos
( )
( )( )
Esta función es continua por lo tanto el limite existe
b) Es continua?
Seria continua si : ( )
( )
Pero: f(2i) = 3+4i
( ) f(2i)
( ) No es continua
c) Es continua en cualquier otro punto (z 2i ) pues la f(Z) no se indertemina,
siempre tendrá imagen (Ǝ f(z ) )
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103.- Resolver el problema 102 si f(2i) es ahora a 4i y explicar por qué algunas
diferencias ocurren.
( )
( )
( )
La discontinuidad del 102 era evitable si definimos f(2i)=4i
Pero como no era el caso(f(2i) = 3+4i) entonces surgen diferentes resultados.
V
Discontinuidad
2
-2 2 u
104 ) Demostrar que f(z) =
es continua en todos los puntos dentro y sobre el
circulo unidad | | exepto en 4 puntos y determinar esos puntos.
( 0,1)
| | √
Para
F(z) =
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
𝑓(𝑧) 𝑧
𝑧 𝑖
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MATEMÁTICA APLICADA II 42
Entonces: * + *
+
2
3
z = ( )
* +
105) Si f(z) y g(z) son continuas en z= demostrar que 3f(z)-4ig(z) es también
continua en z= .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ), entonces:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Entonces 3f(z) 4ig(z) es continua en z=
106) f(z) es continua en z = demostrar que : a) , ( )- y b) , ( )- don también
continuas en z =
( ) ( ) ( )
Es continuo , ( )- en z = ?
, ( )- ,
( )- , ( )-
es continua
Es continuo , ( )- en z = ?
, ( )- ,
( )- , ( )-
es continua
En genral: n ϵ , ( )- ,
( )- , ( )-
Es continua para todo n ϵ en z = ?
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107 ) Hallar la continuidad de las siguientes funciones:
a) F(z) =
Para que sea discontinua f(zo) =
( ) = -1
Z1 = -1 i
b) F(z) =
Para que sea discontinua f(zo) =
= 16
Z1 = 2 2i
Z2 = -2 + 2i
Z3 = -2 - 2i
c) F(z) = cot(z) = ( )
( )
Para que sea discontinua f(zo) = ( )
En la circunferencia trigonométrica los puntos en los que el seno es cero son
los puntos de la forma:
, k = 0, +/- 1, +/-
d) F(z) = 1- sec(z) = ( )
( )
Para que sea discontinua f(zo) = ( )
En la circunferencia trigonométrica los puntos en los que el coseno es cero
son los puntos de la forma:
(
) , k = 0, +-1, +-
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e) F(z) = ( )
=
( )
( )( )
Para que sea discontinua f(zo) =
( )
= 0 z = i, -i
= -1 = ( )
θ
(
) , k = 0, +-1, +-
108) Demostrar que f(z) = - 2z +3 es continua en todo el plano finito.
Solución.
Partimos de ϵ / zo ϵ Dom f(z)
F(z) es continua F(z) = f(z0) ϵ
( ) = f(zo)
Aplicando limite a la función:
( ) - 2 ( ) +3 = -2zo +3
zo ϵ ( )
F(z) es continua.
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109) Demostrar que f(z) =
es,
a) Continua
Supongamos que f(z) es discontinua en z = zo
F(zo) =
= 0
= -9 +0i = r cis (θ)
9 cis( 0 +2k )
K= 0,1,2
√ (
)
(
)
Zo ϵ Dom f(z)
b) Acotada en la región | | 2
zo = (cos(
) + i sen(
))
√
+i√
√
√
- i√
√
zo = (cis(2k
))
| | 2
√ 2
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4
Con lo cual luego de reemplazar los valores de k tendremos que estos se ubicaran
fuera de la gráfica del circulo:
110) Demostrar que si f(z) es continua en una región cerrada, es acotada en la región:
f(z) / f(z) es continua en | |
| | = a
f(zn) , ( )
Y comprobamos que:
f(zn) ( )
debido al probar en la definición:
{| | | ( ) ( )|
{1 , r
} = dmin ; para un r y m obtenidos al demostrar el limite
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111) Demostrar que f(z) =
es continua para todo z tal que | | 0, pero que no es
acotada
Tenemos que : | | 0 +
Se cumple que
x
y
Gráficamente observamos que mientras en el eje x más se acerque a cero, en el eje y se
aproximara a infinito.
112) Demostrar que un polinomio es continuo en todo el plano finito.
F(z) =∑ /zo E Domf zo E C
F(z) = a0 +a1z +a2
Supongamos que f(zo) ( )
( f(zo) = ao +a1(zo) +a2( ) ( ) )
( ( ) ( ) +a2 ( ) ( )
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ao +a1(z0) +a2( ) ( ) = ao +a1(z0) +a2( ) ( )
Para un zo C
113) Mostrar que la siguiente función es continua para todo z exterior a | | 2
Zo = 2
Z1= 1
Por lo tanto al ubicar los puntos probamos que la discontinuidad se encuentra dentro
de la región circular, por lo tanto es continua en la región exterior a | | 2