7/28/2019 2.6 Funciones Crecientes y Decrecientes

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Unidad 2: La derivada

Funciones crecientes y decrecientes.

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Interrogante!

donde t es el tiempo para los prximos seis

meses. Sin trazar la grfica de esta funcin,

Cmo podemos determinar en qu intervalos de

tiempo las ventas sern decrecientes?

Si el ingreso por ventas en una empresa viene

dado por la expresin:

3 21( ) 4 12 303

v t t t t

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Observe el comportamiento de las siguientes curvas:

q

p

S

q

p

D

Una funcin f es

creciente en un intervaloI, si para todo x1 < x2

en el intervalo I,

entonces f(x1) g(x2)

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Criterios para funciones montonas

(crecientes y decrecientes)

Sif(x) > 0para todox enalgnintervalo]a; b[,

entoncesfes creciente en]a; b[.

Sif(x) < 0para todox enalgnintervalo ]a; b[,

entoncesfes decreciente en]a; b[.

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Mximos relativos:

f(0) yf(e)

Mnimos relativos:f(b) yf(c)

Valores crticos:

a, b, 0, c, dy e

Valores crticos, extremos relativos y puntos silla

Puntos Silla

0

b

a c d e x

y

Puntos silla:

(a; f(a)), (d; f(d))

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Extremos relativos de una funcin:

Se denomina valor extremo de una funcin fa un valor

mximo o un valor mnimo de la misma.

Una funcinf tiene un mximo

relativo enx = c, sif(c) >f(x)

para todox en algn intervalo

]a; b[ que contenga ax = c.

x

y

c

0f

0f

f(c)

a b

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Extremos relativos de una funcin:

Una funcinf tiene un mnimo

relativo enx = c, sif(c)

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Valor crtico:

Si c est en el dominio def y:

f(c) = 0 o f(c) no est definida,

entonces c se denomina valor crtico def.

Punto crtico:

Si c es un valor crtico, entonces:

el punto (c;f(c)) se denomina punto crtico

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Sea c un valor crtico paraf(x). El punto crtico

correspondiente (c;f(c)) es:

Un mximo relativo sif(x) > 0 a la izquierda de c y

f(x) < 0 a la derecha de c

Un mnimo relativo sif(x) < 0 a la izquierda de c y

f(x) > 0 a la derecha de c

Criterio de la 1ra derivada para extremos

relativos

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Para una funcin continua y derivableen x = c, si f (c) es un extremo

relativo entonces:f(c) = 0.

Lo contrario no sucede.

x

y

c

0f 0f

( ) 0f c

x

y

c

0f

0f

Es decir, enx = c, sif(c) = 0, no

necesariamentef(c) es un extremo

relativo pues se puede presentar el

punto de silla.

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Ejemplo

Halle los extremos relativos de las funciones:

a)f(x) = (x1)23 b)g(x) =x33x2

Ejemplo

Trace la grfica de una funcin que tenga las

siguientes propiedades:

f(0) =f(1) =f(2) = 0f(x) < 0 cuando x < 0 y x > 2

f(x) > 0 cuando 0