MTODOS NUMRICOS Trabajo Momento 3 Presentado por: OSCAR JOS RAMREZ CARDONA - Cd.: 79810115 RODOLFO DANIEL BOGOTA - Cd.: 79976308 CHRISTIAN EDUARDO TORRES - Cd.: 79992506 CAMILO EDUARDO MORALES - Cd.: WILSON BERNARDO PULIDO ROBAYO - Cd.: 79850780. Tutor JOSE ADEL BARRERA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA INGENIERIA DE SISTEMAS Noviembre de 2014 Introduccin Con el presente documento se pretende dar a conocer los conocimientos y destrezas adquiridas con la manipulacin, lectura y tratamiento que se le dio a la UNIDAD 3 DIFERENCIACIN EINTEGRACIN NUMRICA, Y SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES del mdulo de Mtodos Numricos de la UNAD. Para tales fines fue necesario el conocimiento de temas como: Frmulas de diferencia, Las reglas de Trapecio, Reglas de Simpson, Integracin de Romberg, Mtodo de Euler, Mtodo de Runge Kutta, Mtodos Multipasos y otros conceptos que se encuentran en cada uno de los temas de sta unidad. Es necesario tener estos conceptos claros para la buena complementacin y desarrollo de las actividades propuestas, adems es importante la aplicacin de estos conocimientos en la solucin de los problemas cotidianos. Objetivo . Estimar valores funcionales a partir de cierto nmero de datos iniciales. . Mejorar el manejo de los conceptos de Mtodos numricos ya que a travs de ellos podemos resolver una gran variedad de problemas matemticos. . Identificar los diversos mtodos para la integracin por mtodos iterativos. . Distinguir las diferentes implicaciones que tienen los mtodos de integracin: toma de intervalos y nmero de operaciones. Desarrollo de la Actividad Fase 1 Calcular la integral a la funcin plantada f(x) = 1/(1+x) en el video de la unidad 3 mtodos Simpson 1/3 con (n=6) utilizando los siguientes mtodos: Regla del Trapecio Vamos a usar la regla del trapecio, basados en la siguiente frmula: ..=...(..)........=..-..2..[..(..0)+2..(..1)+2..(..2)+.+2..(....-1)+..(....)] Teniendo en cuenta los valores de x y f(x) para (n=6) n 0 1 2 3 4 5 6 .... 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 ..(....) 1 6/7 2/3 3/5 6/11 1/2 Nuestra frmula quedara: ..=...(..)........=..-..2..[..(..0)+2..(..1)+2..(..2)+2..(..3)+2..(..4)+2..(..5)+..(..6)] Remplazando por los valores de la tabla: ..1-02(6)[..(0)+2..(16)+2..(13)+2..(12)+2..(23)+2..(56)+..(1)] ..1-02(6)[1+2(67)+2(34)+2(23)+2(35)+2(611)+(12)] ..112[1+1,7142+1,5+1,3333+1,2+1,0909+0,5] ..0,833[8,3385] ..0,6948 Regla de Simpson 3/8 Usando la regla de Simpson 3/8, basados en la siguiente frmula: ..=...(..)........=..-..8[..(..)+3..(2..+..3)+3..(..+2..3)+..(..)] Teniendo en cuenta que (n=6) vamos a hacer la siguiente tabla para hallar f(x), teniendo en cuenta que ....=..0+..*h n 0 1 2 3 4 5 6 .... 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 ..(....) 1 6/7 2/3 3/5 6/11 1/2 Teniendo esto en cuenta vamos a iniciar el desarrollo de la frmula ..=..-..8[..(..)+3..(2..+..3)+3..(..+2..3)+..(..)] ..=0-18[..(0)+3..(2(0)+13)+3..(0+2(1)3)+..(1)] ..=18[1+3..(13)+3..(23)+12] ..=18[1+3(34)+3(35)+12] ..=0,125[1+2,25+1,8+0,5] ..=0,125[5,55] ..0,69375 Fase 2 Realizar un cuadro comparativo entre los tres mtodos y establecer la repuesta de mayor exactitud. (Sobre algunas dudas en la gua del trabajo colaborativo momento 3, quiero aclararles que para la fase 2 el cuadro comparativo entre los tres mtodos y establecer la respuesta de mayor exactitud, se utiliza: Regla del trapecio, Regla de Simpson e integracin de Romberg) Antes de hacer el cuadro comparativo, vamos a realizar el ejercicio por algoritmos de Romberg. Para resolver por medio de los algoritmos de Romberg, debemos tener en cuenta las siguientes frmulas: Primero que todo la regla del trapecio: ..=...2(....0+......)+2S ...... .......... .... ...... .................. .=..-.... Donde: a=lmite inferior b=lmite superior n=subintervalos ....0= primer valor ......= ltimo valor S= suma de los valores dentro del intervalo Para obtener cada nivel usamos la frmula: 4..-14..-1-1*..(h2)- 14..-1-1*..(h1) Donde h2 es la iteracin de mayor exactitud y h1 la de menor exactitud, se dice que la exactitud es mayor cuando tenemos mayor nmero de iteraciones, lo que nos proporciona ms fuentes de datos. Resolviendo las iteraciones por la frmula de trapecios tenemos: abprimeroltimo0110,5ixf(x).xntrapecio0111nivel 2110,50,75nivel 3ixf(x).xn0,6944010,52nivel 410,50,66670,70830,6974210,50,69720,6959nivel 5ixf(x).xn010,3333310,33330,750,70,69600,6951nivel 620,66670,6310,50,69600,69510,6946ixf(x).xn010,25410,250,80,69700,69510,694620,50,666730,750,5714410,50,69460,6952ixf(x).xn010,2510,20,83330,69560,694620,40,714330,60,62540,80,5556510,50,6946ixf(x).xn010,1667610,16670,85710,694920,33330,7530,50000,666740,66670,650,83330,545561,00000,5nivel 1.....1+..1043..h2-13..(h1)1615..h2-115..(h1)6463..h2-163..(h1)256255..h2-1255..(h1)10241023..h2-11023..(h1) Ahora podemos proceder a comparar los resultados de los tres mtodos. Simpson 1/3 (vdeo) Regla del Trapecio Simpson 3/8 Integracin de Romberg 0,6931 0,6948 0,6937 0,6946 Con base en los resultados obtenidos, podramos decir que el mtodo que nos da la respuesta de mayor exactitud (tomando como referencia la dada en el vdeo por Simpson 1/3) es la de Simpson 3/8. Aunque en lo personal pienso que la respuesta ms exacta de las 4 es la obtenida por Integracin de Romberg, pues tenemos muchos ms datos lo que nos da una mayor aproximacin que en los otros casos. MAPA CONCEPTUAL MAPA CONCEPTUAL MTODOS ITERATIVOS EMPLEADOS EN LA SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE VALOR INICIAL Fase 4: Evaluar los diversos mtodos para los valores aproximado de ecuaciones diferenciales con valor inicial ecuacin. Aplicar el mtodo de Runge-Kutta de orden cuatro para obtener la aproximacin y (0,8) a la solucin del siguiente problema de valor inicial, con h=0,2 Para resolver por el mtodo de Runge - Kutta,debemos tener en cuenta las siguientes frmulas. ....+1=....+16(..1+2..2+2..3+..4)*h ..1=..(....,....) ..2=..(....+h2; ....+h*..12) ..3=..(....+h2; ....+h*..22) ..4=..(....+h; ....+h*..3) x00y00,25h0,2iteracinXK1K2K3K4Y000,2510,21,251,36501,37651,48530,52420,41,48391,58231,59221,68240,84130,61,68111,75921,76701,83451,19340,81,83341,88671,89211,93181,571.. =..-..2+1 Conclusiones Alcanzamos manejo y destreza en la diferenciacin numrica, integracin numrica y ecuaciones diferenciales con mtodos numricos. Complementamos las dudas e inquietudes referentes a esta unidad, resaltando su importancia en el campo de las matemticas. Adquirimos conocimientos para diferenciar numricamente funciones con datos tabulados o mediante curvas determinadas en forma experimental. Bibliografa Bucheli Chaves, Carlos Ivn (2013): Curso Acadmico Mtodos Numricos. Pasto, Nario. Chapra C., Steven; Canale, Raymond P. (2007): Mtodos Numricos para Ingenieros. Mxico. http://www.ma3.upc.edu/users/carmona/teaching/clases/08-09/trabajos/metodo%20biseccion.pdf EL MTODO DE LA BISECCIN