2.4 Funciones algebraicas función polinomial, racional e irracional.

Apuntes de Calculo diferencial 2.4 Funciones algebraicas, función polinomial, racional e irracional

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Hacia finales del siglo XVIII, los matemáticos y científicos había llegado a la conclusión de que un gran número de fenómenos en la vida real podían representarse mediante modelos matemáticos, construidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales. Estas funciones se dividen en tres categorías.

• Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales).

• Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente).

• Funciones exponenciales y logarítmicas

Una función de la forma , donde es una constante (número real), se denomina función constante. Su gráfica es una recta horizontal. La función se denomina función identidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen con pendiente igual a 1. Con base a estas funciones sencillas, podemos construir otras muchas funciones importantes.

Funciones polinomiales

Cualquier función que pueda obtenerse a partir de las funciones constantes y de la función identidad por medio del uso de las operaciones de suma, diferencia y multiplicación se denomina función polinomial. Esto equivale a decir que , es una función polinomial con la forma:

.

Donde el entero positivo es el grado de la función polinómica. Las constantes se denominan coeficientes, siendo el coeficiente dominante y el término constante.

Aunque se suele utilizar subíndices para los coeficientes de las funciones polinómicas en general, para las de grados más bajos se utilizan con frecuencia las siguientes formas más sencillas:

Grado cero Función constante Grado uno Función lineal Grado dos Función cuadrática Grado tres Función cúbica



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Algunos ejemplos de estas funciones elementales:

Ejercicios

Elabore una gráfica de las siguientes funciones polinomiales, indique su dominio y su contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.

1. 2 3 2. 4 1 3. 2 10 6 1

Funciones racionales

Del mismo modo que un número racional puede escribirse como el cociente de dos enteros, una función f es racional si tiene la forma:

, siempre que 0.

Donde y son polinomios. El dominio de estas funciones excluye los ceros del polinomio de . La gráfica de una función racional puede tener asíntotas verticales.

Las gráficas de las funciones racionales y de los polinomios tienen varias características en común. Por ejemplo, una función racional solo tiene un número finito de raíces, pues en la ecuación



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solo se puede anular si el polinomio del numerador se anula. De manera

análoga la gráfica de una función racional sólo puede tener un número finito de dobleces.

Pero el polinomio del denominador de la ecuación puede tener una raíz en el punto

donde el numerador no se anule. En este caso, el valor de será muy grande cuando esté muy cerca de . esta observación implica que la gráfica de una función racional puede tener

una característica que la gráfica de un polinomio no tiene: una asíntota.

Ejemplo 1

La figura muestra la gráfica de la función racional:

2 11 2

Observe las interecciones con el eje x, x=‐2 y x=1, correspondientes a las raíces del numerador (x+2)(x‐1). Las rectas verticales x=‐1, x=0 y x=2 que aparecen en la gráfica corresponden a las raíces del denominador x(x+1)(x‐2). Estas rectas verticales son asíntotas de la gráfica de f.

Ejemplo 2

La figura muestra la gráfica de la función racional.

1 22 1

Las intersecciones con el eje , 1, 0, 1 corresponde a la raíces del numerador, mientras que las asíntotas 1 y 2 corresponden a las raíces del denominador.



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Ejercicios

Elabore una gráfica de las siguientes funciones polinomiales, indique su dominio y su contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.

1.

2.

3.

Las funciones polinómicas y las racionales son ejemplos de funciones algebraicas. Se llama función algebraica aquella que puede expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias,

productos, cocientes y raíces que contengan . Por ejemplo √ 1 es algebraica. Las funciones no algebraicas se denominan trascendentes. Por ejemplo las funciones trigonométricas son trascendentes.

Funciones irracionales

Del mismo modo que un número irracional no puede escribirse como el cociente de dos enteros, una función f es irracional si tiene la forma

, donde es una función polinómica o racional

El dominio de estas funciones excluye los valores donde los valores de la raíz son válidos, dependiendo del valor de . Si es par, el radical está definido para 0; así que a los efectos de calcular el dominio de que contiene un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión .

Ejemplo 3. Algunos ejemplos de funciones irracionales son:

1 √

11

√1

√



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1

1

1√1

√√ 1√ 1

Ejemplo 4

Analizar y graficar la función √ 1

Solución

El dominio de esta función está limitado por la condición del radical, el cual no admite números negativos. Esta condición se puede escribir como:

1 0. En la sección 1.5 ya se estudio cómo resolver esta desigualdad, la cuál es válida para valores tales que están en el intervalo ∞, 1 1, ∞ . Por lo tanto el dominio es ∞, 1 1, ∞ .

Ejercicios

Elabore una gráfica de las siguientes funciones irracionales, indique su dominio y su contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.

1. √9

2. √

3. √

2.4 Funciones algebraicas función polinomial, racional e irracional.

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