227899._2006_1

.r 515.1

S: /

,

Indice general

PREFACIO

1. TOPOLOGA Y LGEBRA LINEAL BSICA 1

1.1. El espacio eucldeo IRn . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Espacios mtricos . . ..... ...... . .. . . ... .. . 6

1.2.1. Espacios mtricos, normados, con producto interno. 6

1.2.2. Conceptos topolgicos bRicos. . ... . 16

1.2.3. Subespacios mtricos , espacio producto 22

1.2.4. Compacidad. 25

1.2.5. Conexidad ... . . ....... . . 32

1.3. Funciones continuas ... ... . . ... . 36

1.3.1. Continuidad, continu idad uniforme 36

1.3.2. El lmite de una funcin ... . . . 45

1.3.3. Homeomorfismos .. . ... .. . . 47

1.3.4. Convergencia uniforme de funciones. 49

1.3.5. Extensin de funciones continuas 51

1.3.6. Continuidad y compacidad 57

1.3.7. Continuidad y conexidad 62

1.4. Transformaciones lineales y matrices 66

1.4.1. Operadore lineales . . . .. . 66

1.4.2. Matrices . . . . . . . . . . . . 67

1.4.3. Operadores lineales y matrices 69

1.4.4. Cambio ele base .. .. . . .. . 71

1.4.5. La norma de un operador lineal . 73

1.4 .6. El dual de un eR pacio eucldeo 76

1.4 .7. El operador dual en espacios eucldeos 78

1.4.8. E l bidllal de un espacio eucldeo 79

1.5. Funciones deterlllinantes . 80

Df!. PTO. DE B IBLIOTECAS 13 1 LI TF .. rF." COM t:::Z

4 NDICE GENERAL

2. APLICACIONES DIFERENCIABLES 85

2.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . 85

2.1.1. La derivada o diferencial. . . . . 85

2.1.2. Derivada direccional , derivada parcial 93

2.1.3. La matrz jacobiana de la derivada . . 95

2.1.4 . El teorema de las derivadas cruzadas. 101

2.1.5 . Gradiente, diferencial y 1-formas 108

2.1.6. La regla de la cadena ... 113

2.1.7. El teorema del valor medio . . . 121

2.1.8. La frmula de Taylor. . . . . . . 126

2.1.9. Puntos crticos y extremos relativos 134

2.1.10. Integrales con parmetro 143

2.2. El Teorema de la funcin inversa . 148

2.3. El teorema de la funcin implcita 153

2.3.1. Funciones imp\fcitas . . . . 153

2.3.2. Valores regulares y variedades . 163

2.3.3. Extremos condicionados; Multiplicadores de Lagrange 170

3. VARIEDADES DIFERENCIABLES 177

3.1. Forma local de inmersiones ... 178

3.2. Variedades diferenciables en IP!.n. 182

3.3. Variedades con borde en IP!.n . . . 191

3.3.1. El borde de una variedad 191

3.3.2. Construccin de variedades con borde 198

3.4. El espacio tangente de una variedad M e IP!.n 199

3.5. La derivada de f : M -> N ... 205

3.5.1. La derivada de f sobre M . 206

3.5.2. La regla de la cadena ... 207

3.6. Orientacin de una variedad en IP!.n 208

3.6.1. Orientacin de un espacio vectorial real V 208

3.6.2. Orientacin de una variedad .. .... . 210

3.6.3. Cambio de signo de una parametrizacin . 213

3.6.4. La. orientacin inducida sobre el borde 3M 215

3.7. Orientacin y campos vectoriales . .... . 220

3.7.1. Campos vectoriales en variedades. 220

3.7.2. Orientacin y n-variedades en IP!.n . 220

3.7.3. Orientacin e hiperficies .. 223

3.7.4. Orientacin y 1-variedades . 225

3.8. Particiones de la Unidad ..... . 226

NDICE GENERAL 5

4. FORMAS DIFERENCIALES 231

4.l. Funciones multilineales a.lternantes ..... 231

4.2. El product.o extmior de formas alt.ernantes . 239

4.3. La tran. formacin A* inducida por A 243

4.4. La forma element.o de volumen .. 246

4.5. Formas diferenciales sobre abiert.os .. 252

4.5.1. Represent.acin de k-formas .. 254

4.5.2. El pulI-back de k-formas diferenciales 255

4.5.3. La derivada exterior o de Cartan .. 261

4.6. Formas y campos vectoriales sobre abiertos . 265

4.7. Formas diferenciales sobre variedades. . . . . 268

4.7.1. S\lma y producto ext.erior de k-formas sobre M 269

4.7.2. El pull-back de k-formas sobre variedades 270

4.7.3. La derivada de una k-forma sobre M . . 273

4.7.4. Represent.ac in local de formas sobre M 275

4.7.5. El pull-back en coordenadas locales. 280

4.8. Orientacin y n-formas ............. . 282

4.8.1. Orientacin y elemento de volumen .. . 283

4.8.2. Elemento de volumen y campos vectoriales 288

5. INTEGRACIN 293

5.1. El espacio Cc(X) . .. .. .. .. . 294

5.2. Integral mltiple en Cc(lRn) . . . . 296

5.3. Funciones integrables y la integral 298

5.3.1. El espacio seminormado (.e(X, A), 11 ILJ 298

5.3.2. Funciones integrables e integral . . . . . 300

5.3.3. Propiedades bsicas de .el (]Rn, A) Y de la integral 302

5.3.4. Conj\lntos de medida cero . . . . . . . . . . . . . 304

5.4 . Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

5.4.1. Integrales con parmetros: continuidad y diferenciacin 315

5.5. Funciones y conjuntos medibles . . . . . 316

5.5 .1. F\mciones medibles . . . . . . . . . . . . . 317

5.5.2. Conjuntos medibles y su medida . . . . . 318

5.5.3. Propiedades de la medida m"" regularidad 319

5.5 .4. Funciones medibles y conjuntos medibles 321

5.5.5. Integral y sumas de Riemann . . . . 323

5.6. La integral y la medida de Lebesgue en ]Rn 328

5.7. El Teorema de Fubini .... ..... .. 336

5.8. El teorema de cambio de variables en ]Rn . . 347

6 NDICE GENERAL

6. INTEGRACIN SOBRE VARIEDADES 361

6.1. Integracin de funciones sobre M . . . . . 3Dl 6.2. Integracin de formas sobre M ..... . 369

6.3. La integral de w y representaciones locales . 370

6.4. El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . 374

6.5. Teorema de Stokes y anlisis vectorial integral. 381

6.5 .1. El teorema de la divergencia en R" 382

6.5.2. El teorema de Stokes clsico . ..... . 383

E GENERAL

361 361 369 370 374 :381 382 383

PREFACIO

El presente texto ofrece un desarrollo sistemtico del clculo diferencial e integral de funciones en varias variables, es decir funciones con dominio en Rn (n ;::: 2) y contradominio en ]R:m Cm. ;::: 1). El texto puede ser usado como complemento de un cnrso sobre esta materia, pero tambin para uso autodidacta. El contenido es c1.'iico y existen varios libros sobre el tema (ver bibliografa). No hemos seguido el estilo condensado, muy comn en la mayora de textos en matemticas. Del extenso ndic0 general y los comentarios introductorios a los captulos se puede obtener una visin rpida y detallada de su contenido.

Se presupone para la Iectnra Hna cierta familiaridad con funciones de una variable real y con la topologa en 1ft Para comodidad del lector hemos antepuesto al captulo 2 1lIl captulo sobre topologa y lgebra lineal bsica que va ms all de lo nstrictamente necesario para los captulos siguiente;,;. Este cpitulo est pensado como repaso de las nociones ms bsicas del lgebra y la topologa, y se han incluido la mayora de las pruebas.

Una diferencia entre el anlisis en una variable real y el anlisis en varias variables resulta del hecho de que la topologa de los subconjuntos en ~n es significativamente ms compleja que la topologa de la recta. As, los conjuntos conexos en lR se clasifican fcilmente mientras que UIla clasificacin para n ;::: 2 ya no es posible.

Otra diferencia es el papel importante que juega el lgebra lineal y multilineal en dimensiones ms altas. sta es imprescindible para formular en forma concisa muchos de los conceptos y demostraciones. Despus de todo, el clcnlo diferencial se basa en la idea ele aproximar una fUllcin eIl una vecindad de un punto de su dominio por una aplicacin lineal llamada la derivada y no simplemente con un nmero, corno es el caso en una variabln. Es un hecho q ne el uso sistemtico del lgebra lineal trae grandes vent.ajas para la forrrm]acin de conceptos, para su notacin, unificacin y generalizacin.

El lgebra mllltilineal y el lgebra exterior de forma'i en el captulo 4,

JI PREFACIO

que basamos en las propiedades de la determinante, proporciona el formalismo adecuado para el tratamiento de algunas nociones geomtricas, como la nocin de orientacin, y provee las bases para el estudio de las formas diferenciales en IRn y en variedades. Las formas diferenciales resultan ser los objetos adecuados para ser integrados debido a sus buenas propiedades con respecto a cambios de coordenadas.

En el captulo 3 sobre variedades nos limitamos a variedades inmersas en IRn para as mantener un nivel elemental en la presentacin. La existencia de un espacio ambiente, por ejemplo , permite introducir el concepto fundamental de espacio tangente en forma muy nat.ural. A pesar de que un teorema de Whitney garantiza que toda variedad abstracta IVI es difeomorfa a un conjunto cerrado en algn IRn , es necesario, sin embargo, desarrollar una teora de variedades abstractas (que no haremos), debido en parte a que, por un lado, este difeomorfismo no es cannico, y por otro a que muchas variedades no aparecen en forma natural como subconjuntos de algn IRn .

En el captulo 5, sobre integracin en IRn , se desarrolla la integral de Lebesgue ya que solo esta teora provee teoremas de intercambio de lmites y de integracin suficientemente generales y constituye una herramienta imprescindible del anlisis actual, aunque para obtener el teorema de Stokes, en la forma presentada, bastara desarrollar la integral de Riemann en IRn . Al respecto se puede consultar [Sp 65], [Mu 91]. La integral de Lebesgue se introduce usando una variante del mtodo de J .P. Daniell , debida a M. Stone. Seguimos la presentacin que se da en [Ka 99].

En el captulo final introducimos la integral de funciones escalares y de formas diferenciales sobre variedades. Se prueba el teorema generalizado de Stokes y se deducen el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes clsico. Adems se obtiene el famoso teorema del punto fijo de Brouwer en IRn .

Finalmente quiero agradecer a Cecilia Vallejo por la muy diligente y efectiva tarea de pasar unos manuscritos de difcil lectura a una forma digital.

Captulo 1

TOPOLOGA Y LGEBRA LINEAL BSICA

Presentamos en este captulo las nociones ms importantes de la Topologa y del lgebra Lineal, que son de relevancia para los captulos siguientes. An cuando el espacio ~n y sus subespacios son de especia l inters, es conveniente no quedar en el contexto de estos espacios particulares a l desarrolla r las nociones topolgicas. Un marco adecuado es el de los espacios mtricos. Todo el material de Captu lo 1, salvo quizs el teorema de ext.ensin de T ietze, deberan ser resultados fam iliares.

Se puede considerar, por lo tanto , este captulo como un repaso de nociones bsicas. Para comod idad del lector se incluyen la mayora de las demostraciones y ejemplos .

1.1. El espacio eucldeo }R.n

Sea ~n, n 2: 1, el conjunto de las n-tuplas ordenadas x = (x, .X2 , . , x n ) con componentes Xj reales. Si se define para x, y E ~n y a E ~, adicin y multiplicacin por

x + y = (x + Yl, ... , X n + Yn) , ax := (ax , ... , axn) , el ~n resulta ser un espac io vector ial real con el elemento nulo O = (O .. . , O). Los elementos de ~n los llamamos puntos o vectores . Para x, y E ~n se define adems

(x, y) := x.y := xy + .. . + xnYn, producto escalar Ixl = Jxt + .. . X~ norma eucldea

=~ 1

2 CAPTULO 1. TOPOLOGA Y ALGEBRA LINEAL BAsICA

Ixl se llama tambin la longitud eucldea de x, as como

n ) ~ de (x,y) := Ix-yl = ( ~(Xi -yd

la distancia eucldea entre x y y. El par (IRn , O x i= O (b) laxl = lallxl (c) Ix + yl ~ Ixl + Iyl , desigualdad triangular (d) I(x, y)1 ~ Ixllyl, desigualdad de Cauchy - Schwarz

con igualdad en (d) s y slo si x, y son linealmente independientes. En efecto, (a) y (b) se siguen de las definiciones y (c) se obtiene con (d) de la expresin

Ix + yl2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) 2 2 :l ~ Ixl + 2lx\lyl + Iyl = (Ixl + Iyl)

Para probar (d) sean x,y E IRn . Si x,y son linealmente dependientes entonces y = O o bien x = y>.. y se tiene claramente igualdad en (d). En el otro caso tenemos

O< Ix - >"y12 = '(x - >..y, x - >..y) = (x, x) - 2>" (x, y) + 1>"121y12 Si ponemos a := >"/ly2 se sigue I(x, y)1 < Ixllyl y obtenemos lo deseado.

De la desigualdad triangular se siguen adems, con z E IRn,

(e) Ix - zl ~ Ix - yl + Iy - zl (f) I Ixl - Iyl I ~ Ix - yl

donde (e) se obtiene de (c) reemplazando x, y por x - y, y - z . Para obtener (f) se reemplaza x, y por x - y , y (respectivamente por x, y - x) y se obtiene

Ixl ~ Ix - yl + Iyl, (respectivamente Iyl ~ Ixl + Iy - xl)

1.1. EL ESPACIO EUCLDEO IR N

de donde (f) es inmediato. Los vectores el = (1, O," . , O) , e2 = (0,1, O,' " ,O) ,'" , en = (O" .. , 0,1)

se llaman la base estndar o cannica de IRn . Todo x = (Xl, .. . ,Xn ) se escribe X = XI el + ... + xnen donde Xi = (X, ei) , 1 :::; i :::; n.

Bola abierta y vecindad.

El IR", con la norma eucldea I . 1, se llama el espacio euclfdeo IR" y el conjunto B (a, r) := {x E IR" I Ix - al < r}, a E IR", r > O, bola eucldea abierta en IRn. Geomtricamente, para n = 2, B (a, r) es un disco abierto en IR2 centrado en a = (0.1,0.2) con radio r > Oy para n = 3 una bola abierta slida centrada en 0.= (0.1,0.2,0.3) con radio r > O en IR3 .

Un conjunto U e IRn se dice vecindad de a E IR", si contiene una bola abierta B (a, r) , r > O, con centro en a. B (a, r) se llama tambin una r-vecindad de o..

Ejemplo: La bola B (b, r), b E IR", r > O, es vecindad de todo a E B (b, r). En efecto para todo E: < r - lb - al se verifica B (a, E) e B (b, r) con la desigualdad triangular.

Para vecindades en IRn se obtiene fcilmente:

(a) La interseccin de dos vecindades de a es tambin una vecindad de a. (b) Todo superconjunto de una vecindad de a es una vecindad de a. (c) Dos puntos a,b E IRn diferentes tienen vecindades disjuntas .

Para (c) tmese r-vecindades B (a, r) , B (b, r) con r < ~ lb - al. Se dice que IRn tiene la propiedad de separacin de Hausdorff.

Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados.

Un conjunto A e IRn se llama abierto en IRn , si para todo a E A existe una bola abierta B (a, r) , o equivalentemente, una vecindad de a, contenida en A. Un conjunto A se dice cerrado en IRn si AC:= X " A, es decir los puntos que no estn contenidos en A, forman un conjunto abierto.

Ejemplos: (a) Toda bola abierta, B (a, r), es un conjunto abierto. (b) El conjunto {~I nEN} no es abierto ni cerrado. (c) B(a,r):= {x E IRn/ Ix - al:::; T} es un conjunto cerrado.

3


Propiedades: Los abiertos en IR" satisfacen (Al) IR", q; son abiertos. (A2) La interseccin de un nmero finito de abiertos es abierto. (A3) La reunin de un nmero arbitrario de abiertos es un abierto.

Topologa: La coleccin de todos los conjuntos abiertos en IRn se llama la topologa eucldea de IRn , inducida por la distancia eucldea de (x , y) Ix-yl, x,yEIRn .

Convergencia y completez en IRn .

Similar al caso de IR, decimos que una sucesin (Xk) en IRn , Xk := (Xl k,X2k,' " ,Xnk), k E N, es convergente con lmite u E IRn , si 't1E; > O :3 N E N tal que IXk - al < e, 'tIk 2 N . Se escribe lm Xk = a , o

k--.oo bien, Xk ---> a, para k ---> oo. La sucesin (Xk) se dice una sucesin de Cauchy (resp una sucesin acotada) si 'tIe 2 O :3 N E N : IXn - xml < e, 'tIn, m 2 N (respectivamente:3 M : IX'kl < M, 'tIk E N). Aplicando , a x = (x 1, ... , xn ) E IRn, las desigualdades

IXj l ::; Ixl ::; IXII + ... + Ixnl , 1 ::; j ::; n (1.1 )

vemos que la convergencia, la condicin de Cauchy y el acotamiento de una sucesin en IRn se dejan reducir a estos conceptos en IR.

Proposicin 1.1.1 Una sucesin xk = (Xlk,'" , Xnk), k E N, en el espacio eucldeo IRn es convergente (respectivamentede Ca'uchy, respectivamente acotada) s y slo si las n sucesiones coordenadas (xd , " , , (Xnk), k E N, son convergentes (res pect-ivamente sucesiones de Cauchy, respectivamente acotadas) en IR. En el caso de convergenC'ia hacia a = (a l ,' , . an ) se tiene

lm Xk = a lm (Xjk) = aj , para 1 S j S n k --.00 k ---> 00

Demostracin. Inmediata de 1.1 y las definiciones,

Corolario 1.1.2 Sean (Xk) , (Yk) sucesiones convergentes en IRn y (Qk) una sucesin convergente en IR con a = lm Xk, b = lm Yk, Q = lm Qk. Entonces

(1) lm (Xk + Yk) = 0. + b (2) lm QkX k = Q a k--. oo k --.oo

(3) lm (Xk,Yk) = (a,b) (4) lm IXkl = 10.1 k --.00 k ---> c>o

1.1. EL ESPACIO EUCLDEO IR N

Demostracin. Para (1), (2) aplicar los teoremas de lmites, para las sucesiones componentes de nmeros reales. Para (3) aplicar los resultados para sucesiones reales (x, y) = L;~l Xi Yi. (4) Se sigue de Ilxlel -Iall :S IXIe - al, k E N .

Como se sabe que IR es completo, es decir toda sucesin de Cauchy en IR es convergente (el recproco es trivial), se obtiene de lo anterior,

Teorema 1.1.3 (Criterio de Cauchy). Una sucesin en IRn es convergente s y slo si es una sucesin de Cauchy. Se dice que IRn (con la norma eucldea) es completo.

Si aplicamos el teorema de Bolzano-vVeierstrass en IR (versin con sucesiones) sucesivamente a las n sucesiones componentes de una sucesin acotada XI;; = (XII;;, . .. , Xnk) , k E N, en IRn , se obtiene

Teorema 1.1.4 (Bolzano- Weierstrass). Toda sucesin acotada en IRn tiene una subsucesin convergente.

En forma anloga se introduce el espacio vectorial (complejo) de las n-tuplas de nmeros complejos, en, n ~ 1. Para X = (Xl, ,xn),y = (Yl, ... ,Yn) E en se define ahora (lo que incl uye el caso real IRn e en), un producto interno por (x,y): = x Y = Xl?1t + .. . + xnYn, y una norma por Ixl := J7:X:X), donde Yi es el conjugado de Yi E e y !xiI es el mdulo del nmero complejo Xi. Se verifican, en forma similar al IR", las propiedades de una norma y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en en.

Observemos tambin que la aplicacin

X = (Xl, ,Xn ) -----4 X' = (Rex,lmxI, ,Rexn , lm x n )

donde Re Xi (respectivamente 1m Xi) son la parte real (respectivamente la parte imaginaria) del nmero complejo Xi, es una aplicacin IR-lineal biyectiva de en sobre IR2n tal que Ixl = Ix'l. La convergencia en ense deja reducir as a la convergencia en IR 2n . Se observa adems que en es completo.

Despus de haber introducido con OCn (siempre ser OC = IR o bien OC = q el conjunto bsico del anlisis, como tambin algo de su estructura, elegimos ahora un marco ms general como lo es el de los espacios mtricos. Sin esfuerzo adicional se obtienen as resultados que son aplicables mucho ms all del mbito de los espacios IRn o en. Se observa tambin que las pruebas no seran en absoluto ms simples ni ms cortas si nos restringiramos solo al caso delIRn. Se obtienen en cambio resultados aplicables a hiptesis mucho ms generales.

5


1.2. Espacios mtricos Los espacios mtricos introducidos por M. Frchect en 1906, son un marco suficientemente general para nuestros propsitos. Incluyen la clase de los espacios normados y una subclase de stos como lo son los espacios con producto inte rno, los cuales son fundamentales para el anlisis moderno.

1.2.1. Espacios mtricos, normados, con producto interno.

Definicin 1.2.1 Sea X un conjunto no vacio. Una mtrica en X o funci6n distancia sobre X, es una aplicacin d : X x X ---> IR, (.1:, y) ---> d (x, y) , con las siguientes propiedades:

(MI) d(x,y) ~ O, 'l/x, Y E X y d(x,y) = O~ x = y (M2) d( x,y) = d(y,x) , 'l/x , y E X (M3) d (x, z) :::; d (x,y) + d (y, z ), '1/.1:, y , z E X

donde (M3) se llama desigualdad triangular. La funcin d se llama 'una mtrica sobre X y el nmeTO d (x, y) la distancia entre x y y . La pareja (X , d) se llama un espacio mtrico. Para (X, d) escribimos tambin X d . En abuso de notacin diremos a menudo el espacio mtrico X sin especificar si es claro o no es de importancia, cul mtrica se est considerando. Si no se cumple la segunda condicin en (Mi ) deC'imos que d es una semimtrica y (X, d) un espacio semimtrico,

Ejemplo 1.2.2 (a) Sobre el espacio IRn (respectivamente complejo cn) con los puntos x = (Xl,'" ,xn), y = (Yl,'" ,Yn), Z = (Zl, ' " ,Zn donde xi ,Yi E IR (respectivamente Xi,Yi, E C), se define para 1 ::::: p :::; 00

dp (x , y) := (t IXi - YiI P) P 1 SI 1:::; P < 00, y ,=1

doo (x, y) := mx { IXi - Yi I I 1 ::::: i ::::: n} si P = oo. Las propiedades (MI) y (M2) de una mtrica se ver ifican fc ilmente. Tambin (M3) en los casos p = 1 Y P = oo. Para 1 < p < 00 se tiene , IX i - zil ::::: IXi - Yil + IYi - zi l , para 1 ::::: i ::::: n, y por lo tanto

n n n l[dp (x, y)]P = ~ IXi - zilP ::::: ~ IX'i - zi lP- Ix" - Yil+ ~ IYi - zilP - l IYi - zil

;=1 ;=1 i=l

1.2. ESPACIOS MTRICOS

Se aplica ahora la desigualdad de Holder con ai = IXi - zil p - I Ybi = IXi - Yil (respectivamente bi = IYi - zi l) Y se obtiene

[ dp (x, zW = [ dp (x, z ))P- 1 {dp (::r , y) + dp (y, z)} de donde se sigue, en forma inmediata, la propiedad (M3) para dp . Particularmente importante son los casos p = 1, P = 00 y p = 2 Y claramente d2 (x,y) = de (x,y) = Ix - yl es la mtrica eucldea. (b) Sea C [0,1) el conjunto de las funciones continuas en [0,1] de valor real. Se define

1

dp(x , y ) := ({I .1.: (t)-y(tWdt) " , si l:Sp < oo y doo(x,y):=mx{ Ix(t)-y(t)1 0:S+ :S 1}, si p=oo

para .1.:, Y E e [0 , 1) . Las propiedades (MI) , (M2) para dp son inmediatas y tambin (M3) para p = 1 Y P = oo. En el caso 1 < p < 00 se procede en forma similar al ejemplo (a) y se usa la desigualdad de Holder para integrales (Ejercicios). Observe que, a diferencia del ejemplo (a), con la estructura de espacio vectorial cannica, C [0,1], no es de dimensin finita. (c) Todo subconjunto A e X, no vaco, de un espacio mtrico (X,d), es un espacio mtrico si se restringe la mtrica d al conjunto A x A e X x X . La mtrica di A x A, se llama la mtrica inducida por d sobre A y el conjunto A, con esa mtrica, un subespacio de (X, d). En particular, todo subconjunto no vaco del espacio eucldeo o de los espacios en los ejemplos anteriores, es un espacio mtrico. (d) Sea X i= cp. Si se define para x, y E X

si xi=yd( x ,y) = { ~

si x =y

se obtiene una mtrica, la mtrica discreta. Observamos que en los ejemplos (a) y (b) donde el conjunto base X tiene

la estructura de un espacio vectorial sobre OC, la mtrica tiene las propiedades

d(x+ z, y+z)=d(x,y), Vx ,y, z EX (1.2) d (ax ,ay) = lal d (x, y) VaEOC, x,yEX (1.3)

En particular (1.2) dice que la mtrica es invariante a translaciones. En general, en un espacio mtrico el conjunto base X del espacio no tiene ninguna estructura de espacio vectorial.

7


Espacios normados

Se introducen ahora dos clases importantes de espacios mtricos.

Definicin 1.2.3 Sea E un espac'io vectoTial sobTe IK. Una norma sobTe E es una funcin II 11: E ~ IR tal que pam todo x , y E E Y o E ]K se tiene (NI) Ilxll 2 O y II TII > O~ x ;t O (N2) Iloxll = 101 IIxll (N3) Ilx + yll S; IIxll + lIyll

E con la norma II II se llama un espacio normado. Si no se cumple la segunda condicin en (N 1) pam II 11 entonces (E , II 11) se dice un espacio seminormado. Observemos que todo espacio normado es un espacio mtrico si se define d(x,y) = Ix - yl y esta mtrica satisface (1.2), (J.3) Ejemplo 1.2.4 Toda mtrica en un espacio vectorial X sobre ]K donde la mtrica d tiene las propiedades (1.2) y (1.3) induce trivialmente una norma sobre X si se define Ilxll = d (x, O), "Ix E X. Se obtienen as de Ejemplo 1.2.2 :

I

(a) Si para x E ]Kn, IIxllp:= (L~~I IXiIP)p, 1 S; P < (X) y IIxlloo := mx {Ixil 11 S; i S; n} si p = 00, se definen normas sobre ]K"'. Para p = 2 se obtiene la norma eucldea l I = 11 . 112' (b) En el espacio vectorial infinitodimensional e [0 , 1] se obtienen normas I1 II p ' 1 S; p S; 00, si se define, para x E e [0,1 ]

1

Ilxll p := (Jd Ix (t)JP dt) P si 1 S; p < 00 , Ilxlloo := mx { Ix (t)1 lOS; t s; 1} , si p = (X)

(c) Si consideramos el espacio R [O, 1] ::J e [O , 1] de las funcion es Riemannintegrables en [0,1] con Ilxlll:= .J~l l x (t)1 dt para x E R [0 , 1] obtenemos un espacio semi normado. Basta observar , si x (t) = O, salvo en un nmero finito de puntos, entonces x E R [0,1] Y Ilxlll = O. Observacin 1.2.5 A todo espacio seminormado (E , 11 11) se le puede asociar, en forma natural, un espacionormado N := N (II 'II):= {x E Elllxll = O} el cual es , debido a las propiedades (N2) y (N3), un subespacio vectorial de E y se tiene para todo x E E Y Y E N

Ilx + yll S; Ilxll + Ilyll = Ilxll = IIx + y - yll S; Ilx + yll + II-yll = Ilx + yll


Se sigue Ilx + yll = IIxll, para x E E Y Y E N. Esto significa que la seminorma se factor iza sobre el es pacio cuociente: Si n : E ---> E/N , x ---> n (x) = X, donde i:= [xl := { x + y I y E N}, entonces

IIn (x)IIn = IIxll 'r:/x E E define claramente una seminorma sobre E/N Yhasta una norma. En efecto, si 0= IIn (x)IIrr ~ IIxll entonces x E N Y as n (x) = O. El espacio normado (E/N,II IIn) se llama el espacio normado asociado a E.

Espacio con producto interno

Definicin 1.2.6 Sea H u.n espacio vectprial (finito o infinito dimensional) sobre OC y (', .) : H x H ---> OC u,na funci6n que satisface para x, y I Z E H Y >",J.L E OC:

(Il) (x, x) 2 O y (x, x) > O {::::::::} x =1= O (12) (>..x + jJ.y, z) = >.. (x, z) + J.L (y, z) (13) (y, x) = (x, y) donde (x, y) es el con,jugado del nmero complejo (x, y) si J{ = C. Decimos que (-, ,) es un producto escalar o producto interno en H y (H, (.,.)) un espacio con producto interno.

Si se define IIxll := ~ para x E H (1.4)

se verifican las propiedades (NI) - (N3) de una norma, (NI) y (N2) son triviales y para (N3) se prueba la fundamental desigualdad de CauchySchwarz. I(x, y)1 ~ IIxll . IIyll , 'r:/x, y E H, en forma similar como se hizo en la seccin 1.1 para IRn .

Ejemplo 1.2.7 (a) Sien OCn se define (x,y) :=L~lxilJi parax,yEIRn , es trivial verificar las propiedades (Il) - (13), Como norma se obtiene con (1.4) la norma eucldea en OCn ,

(b) Si en C [O, 1] se define (x, y) := Iol x (t),y (t) dt para x, y E C [O, 1] tambin es inmediato verificar las propiedades (11) - (13) Y como norma se obtiene

IIxll~ = fol Ix (t)1 2 dt, En la teora de los espacios mtricos y con eso tambin en la de los es

pacios normados y espacios con producto interno es conveniente en extremo

9


usar un lenguaje geometrlco inspiradO en la geometra clsica. As los elementos de un mtrico se acostumbran a llamar puntos, los de un

normado vectores. En ese sentido para un mtrico Xd, si aEX y r>Oelconjunto.B r):=Bd(a,r): xEXld O Y si existe 1" > O independiente de y decimos que las mtricas son uniformemente equivalentes.

Claramente la de mtricas es una relacin de en la clase de mtricas sobre un X. escribe d", d' topolgicamente (resp. d '" di uniformemente).

1.2.9 (1) un eSDaCIO mtrico. Se define di mn { 1, d y)} ) y E X

Es fcil verificar que di es, en una mtrica sobre X. Bd r) 1') Vx E X Y O< T < 1 con lo cual d y di son lentes. Adems es obvio que d y):::: 1 para todo x,y E X. Se dice que X con la mtrica di es un

Dos mtricas d, di sobre X son (hasta uniformemente si existen constantes u, fj > O tal que

ud :::: di y) < Y E X. (1.6) En efecto de la por directo, para las bolas

(a, m) e Va E X, r > (1 (3) En el iRn las mtricas dp , 1 :::: p :::: 00 de ejemplo 1.2.2 (a) son a la mtrica En es fcil ver que, con constantes

doo :::: dp < y), Vx,y E lRn , 7J.2: 1


La (simple) verificacin se deja como ejercicio. Por transitividad de la relacin'" se tiene que todas estas mtricas son equivalentes a la mtrica eucldea de = d2 en IR. TL Adems es claro del ejemplo (2) que las mtricas son uniformemente equivalentes.

Isometras. espacios isomtricos

Definicin 1.2.10 Sean Ed y Fdl dos espacios mtricos. Una aplicacin 1 : E ------> E se llama una isometra si di (f (x) ,1 (y)) = d (x, y) , Vx, y E E. Si 1 es adems sobr'e, entonces los espacios Ed y Edl se dicen isomtricos.

Claramente una isometra es inyectiva y su inversa es tambin una isometra. Cada teorema que valga en E y se refiera solo a distancias entre elementos de E, lleva a un teorema correspondiente en cada espacio isomtrico F. Claramente la isomet.ra de espacios mtricos define una relacin de equivalencia en la clase de los espacios mtricos

Nota 1.2.11 Sea Fd un espacio mtrico y 1 : E ------> F una biyeccin del conjunto E sobre F. Entonces la mtrica en F puede ser" transportada" al conjunto E definiendo para x, y E E una distancia di por

di (x, y) := d ( 1 (x) , 1 (y)) Claramente di es una mtrica sobre E y 1 : Edl ------> Fdl una isometrfa sobre. Si E ya tiene una mtrica obtenemos una nueva mtrica que en general no ser equivalente. En el caso que F sea un espacio normado, E un espacio vectorial sobre el mismo campo OC y 1 : E ------> F una biyeccin que adems es lineal, es decir 1 (x + y) = 1 (x) + 1 (y) y 1 (O'x) = 0'1 (x), Vx , y E E, O' E OC, entonces Il xllE := 111 (x ) II F , x E E, define una norma sobre E y 1 es una isometra lineal.

La recta ampliada ~

La funcin 1 definida en IR. por 1 (x) = H~lxl es ina biyeccin de IR. sobre el intervalo 1 = (1,1) e IR. que tiene la inversa 9 (x) = l-lxl' como se verifica por clculo directo . Sea el intervalo cerrado Y := [-1,1] con la mtrica usual y IR. el conjunto formado por IR. y dos elementos que no pertenecen a IR. , denotados por +00 y -00, y ~ : = IR. U {-oo, oo}. Podemos extender 1 a ~ si se pone 1(-00) = -1 y 1(+00) = +1.

Denotamos la extensin de 1 a IR., as como su inversa, nuevamente por 1 y g. Si aplicamos el proceso descrito anteriormente podemos obtener una

11


mtrica sobre IR si definimos d' (x , y) := 1 f (x) - f (y)I , Vx, y E iR; IR con la mtrica d' se llama la recta real ampliada o la compactificacin por dos puntos de IR.

Obsrvese que la distancia d, cuando se restringe a IR, es diferente de la mtrica usual d (x ,y) = Ix - yl , x, y E IR. Se verifica que la mtrica d' sobre IR es topolgicamente equivalente a la mtrica usual pero no uniformemente equivalente. En efecto, se prueba, sin dificultad, que para a E IR YE = Ea > O pequeo se tiene B (a, 8) = {x I x E IR , \f(x) - f (a)1 < E} e IR y existen 8=8(a,E0 y 8'=d'(a,E0 con

B d, (a,8) e (a - 8,a + 8) y Bd (a , o') = (a - 8' , a + 8') . Como Bd (a, 8) = (a - 8, a + 8) y B ex,(a,8') = (a - 8', a + 6'), sto significa que d' y d son topolgicamente equivalentes en IR. Un argumento con sucesiones de Cauchy prueba que d' y d no son uniformemente equivalentes.

Observemos que d' (+00, x) = I+\xl para x ~ O, y d' (-oo,x) = }Ixl para x ::; O. Por lo tanto es claro que para la sucesin X n = n, n E N, d' (+00, n) = l~n ----. O, para n ----. 00, es decir (x n ) es convergente en (IR, d') con lmite +00, pero no en (IR, d) .

Equivalencia de normas

Sea E un espacio vectorial normado sobre IK. Por definicin dos normas sobre E se dicen equivalentes si las mtricas generadas por las normas son equivalentes. Como en un espacio normado la mtrica inducida por una norma tiene las propiedades (1.2), (1.3) obtenemos para espacios normados la siguiente caracterizacin, que a menudo se toma como definicin.

Lema 1.2.12 Dos normas 11 111' 11 112 en el espacio E sobre ]K son equivalentes si existen constantes positivas a, f3 tal que

a Ilxlll ::::; IIxl12 ::::; f3 l1 xlll, Vx,y E E (1.9) Demostracin. (a) Sean 11 11 1 y 11 lb normas equivalentes en E. Como las mtricas satisfacen (1.2), basta considerar las bolas abiertas en el origen. Sea Bk (0,1') la bola abierta en la norma 11 Ilk' k = 1,2. Por hiptesis se tiene con l' > Oadecuado, B2 (0,1') e Bl (0,1'). Para todo x E E con x =f:. o se sigue por homogenidad de la norma, 1'/2 . x/ Ilxlb E B2(O, T) e Bl (O, T) de donde es inmediato que a Ilxlll ::::; II xll2 con a = r / 2. Por simetra se sigue un estimativo IIxll2 ::::; f3llxlll, Vx =f:. o. Para x = oestas desigualdades son triviales y se prob (1.9).

1.2. ESPACIOS NITRICOS

(b) Por otro lado es claro de (1.9) y lo observado en el ejemplo (2) de l.2.9, que B'2 (a, ar) e Bl (0.,1') e Be (a, /31') , Vx E E, l' > O.

Tenemos as que en un espacio normado dos normas son equivalentes si y solo si son uniformemente equivalentes y esto se expresa por las desigualdades en (1.9). Ejemplo 1.2.13 Para las normas II II p ' 1 < p < 00 en ]Rn valen los estimativos ptimos

(1.10) En particular, toda bola (abierta o cerrada) en la norma del mximo II 11 00 contiene una bola eucldea y viceversa.

Si el espacio normado E es finito dimensional podemos probar que todas las normas en E son equivalentes.

Teorema 1.2.14 Todas las norm.o.s en un espacio vectorial n-dimensional E sobre ]K son equivalpntes.

Demostracin. (a) Caso particular E = ]Rn. Basta probar que una norma cualquiera 11 11 es equivalente a la norma eucldea 11. Sea el, ... ,en la base estndar en ]Rn. De x = Xl el + .. . + xnen se sigue con la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Il xll ~ 2: n

IXklllekl1 ~ e Ixl (1.11 ) k= l

donde C 2 = L~= I IIekl12 y se obtuvo una de las desigualdades a probar. Sea ahora m := nf { Ilxll l X E sn-l } donde sn-l := { x E ]Rn I IxI2 = 1} es la esfera unitaria en la norma eucldea. Veamos que m > O. En efecto, si m= O, existe (Xk) con xk E sn-l y Ilxkll ---7 O, k ---7 oo. Por BolzanoWeierstrass , (Teorema 1.1.4), (Xk) tiene una subsucesin convergente en la norma eucldea I l. Denotamos otra vez por (Xk) esa subsucesin. Como Ilxl -lyll ~ Ix - yl se sigue, para el lmite a de (Xk): lm IXkl = 10.1 = 1 es

k----->oo

decir x E sn-l. Por otro lado se sigue de (1.11 ): 110.11 ~ 110. - xkll + Ilxkll ~ e la - Xkl + Ilxk ll y con k --> 00 obtenemos 110.11 = O es decir a = O en contradiccin con a E sn-l. Por lo tanto m > O. Claramente I~I E sn-I y m~ II I ~III . Con eso mIxl ~ IlxlI , para x E ]Rn ~ Junto con (1.11) obtenemos mlxl ~ Ilxll ~ C Ixl x E ]Rn, es decir la equivalencia de 1111 con 11 . Comoen

13

14 CAPTULO l. TOPOLOGA Y ALGEBRA LINEAL BAsICA

es isomtrico a bajo las normas eucldeas es vlido lo anterior tambin para

(b) Sea ahora E un n-dimensional sobre OC y al, ... ,an una base de E. Entonces todo x E E tiene la representacin nica x ) _ Xiai

n

con Xi E OC. Para la aplicacin : E OC" que a = Xiai----t x X (x) = , , es claro que es 1 1, sobre y lineal y con eso tambin 9 = -l. Sean ahora 11 11 1 y 11 11 2 dos normas sobre E. Entonces, (Nota 1.2.11), con 9 = -1 : OCn E Y----t

para x E OC"11 1 ' 11 2

se definen dos normas 11 W1 y 11 11; sobre OCn . Por la (a) existen 0:.,f3 > O tal que O:. 1 $. IIxll~ $. f3llxll'l para xE OC". Como g : OC" E, x ----t----t X = 9 , es estas son a O:.llylll $. Ilylb $. f3llylll , Vy E E. Por lo tanto 11 11 1 y 11 11" son en E. l1li

Sucesiones de Completez.

Similar al caso OC" con la mtrica eucldea de la seccin 1.1, definimos para un e~lJaCl() conceptos de geucJa. sucesin de Cauchy y

Definicin 1.2.15 Sea 'una sucesin en el mtrico Se es convergente con lmite a E si para la sucesin en

se tiene d , a) ----t O para k ----t oo. Se escribe lm Xk a o bien Xk ---) a, para k ----t oo. La sucesin se k~oo dice de Cauchy, si para todo > O existe un N E N ta.l que ,Xm ) < , Vn,m 2: N.

Si usamos las propiedades de una mtrica v las se verifican con las

Una sucesin tiene un lmite nico.

(b) Toda sucesin es acO{:;au es decir existe M > O tal que d :S M, Vk EN.

(c) Toda subsucesin de una sucesin es tambin

con el mismo lmite.


(d) Toda sucesin convergente es de Cauchy.

(e) Id(x,y)-d(xl,yl ) l ~d(x,xl)+d(y,yl) en Xxx.

(f) Si Xn --> X y Yn --> Y entonces d(xn,Yn) --> d(x,y)

(g) Un punto a E X, es un punto lmite de un conju nto E e X (Definicin 1.2.27), si existe una sucesin ( .Tk) en E con Xk =1 a y Xk --> a para k --> oo.

Para (a) observar que si a,b E X, a =1 b,d(a,b) =; 2 > O entonces existen bolas abiertas (veci ndades ) B (a, ) , B (b, ) con B (a, )nB (b, E) = rjJ (Propiedad de Hausdorff).

Como se vi en la seccin 1.1 , para el IRn. eucldeo, se cumple el recproco de (d); Toda sucesin de Cauchy es convergente. Se dice tambin que IRn tiene la propiedad de Cauchy. En un espacio mtrico general sto es falso. En efecto, basta considerar Q e IR con la mtrica usual.

Por la importancia fundamental que tiene la propiedad de Cauchy para el Anlisis se toma esa propiedad en espacios mtricos como una definicin.

Definicin 1.2.16 Un espacio mtrico X se dice completo, si toda sucesin de Cauchy es convergente. Si un espacio normado (respectivamente un espacio con producto interno), visto como espacio mtrico, es completo se llama un espacio de Banach (respectivamente un espacio de Hilbert).

Ejemplos: (a) El IRncon cualquiera de las mtricas derivadas de una norma es completo. (b) Todo espacio mtrico discreto es completo. (c) C [0,1] con la norma Ilxlll ;= .f~l Ix (t)1 dt , x E C [0,1] , no es completo, pero s con la norma del mximo Ilxlloo = mx { Ix (t)1 I O~ t ~ 1} , (d) Si d y di son mtricas sobre X, las cuales son uniformemente equivalentes, entonces Xd es completo si y solo si Xd, es completo .

Es importante observar que la completez no es una propiedad topolgica. En efecto, basta tomar sobre IR la mtrica usual d y la mtrica di introducida en la recta ampliada t IR con d es completo pero con di, que es topolgicamente equivalente, no lo es. En efecto, X n = n, n E N es Cauchy en la mtrica con di y convergente en i' con lmite +00 , Cauchy en el subespacio (IR, di ), pero no convergente.

15


topolgicos

Definicin 1.2.17 En el espacio mtrico un conjunto U e X una vecindad de a E X si existe una bola abierta B T) con B Una bola abierta B r) se dice tambin 'una T-vecindad.

se d'':ce e U.

vecindad del punto x entonces V := {x} se llama una vecindad agujereada de x.

Como concepto fundamental en un mtrico tomamos el de conjunto abierto. Con el de vecindad podemos reformular la nocin de de una sucesin en X: Xk a si y slo si para toda vecindad V de existe un N E N tal que Xk E V(a) para todo k N.

Una familia (o coleccin de vecindades del punto x E X se dice una base local de vecindades en x s y slo si para toda vecindad U de x existe un a: E 1 tal que Vo: e La familia (B , T E IR es una base local en x. para todo x E X la familia de bolas abiertas (x, T)) con radio racional, forman una base local de vecindades contable en x.

Conjuntos topologa Definicin 1.2.18 Un A e se dice abierto (en si es una vecindad de todos sus puntos, es si para cada a E A existe una bola B (a, T) con B r) e A. La clase de todos los abiertos del el:i'lut:',W mtTco Xd, es decir := {A e X , se llama la topologa por la mtdca d sobTe X.

como en el caso del %11, que toda bola abierta B T), es en efecto un unto abierto. Para cada abierto (en X) tenemos el concepto asociado de conjunto cerrado. Definicin 1.2.19 Un mtrico X d se dice cerrado (en si su Ae A es abierto, es decir, 'nprfp'J'lpI"P a la topologa generada pOT d.

Claramente los abiertos y los cerrados en estn en una relacin biunvoca. Fundamentales son las de los abiertos. cuya

(simple) omitimos.

Proposicin 1.2.20 Para los conjuntos abiertos en un mt'rlco X se


(A 1) X Y cP son a.bier-tos.

(A2) Toda r-euni6n de conjuntos abiertos es abierta.

(A 3) La intersecci6n finita. de abiertos es abierta.

Para deducir un resultado similar para los conjuntos cerrados recordamos

de la teora de conjuntos.

Reglas de de Morgan:

Si l3 e P es una coleccin cualquiera de subconjuntos de un conjunto X, entonces

( U A)C = n AC ( U A)C = U N AEB AEB AEB AfB

A menudo es til considerar colecciones indexadas (AoJa:EJ con Aa: e X, que llamaremos familias de conjuntos. Entonces

U Aa: := {x E X I :3 ex E J, x E Aa:} , n Aa: = {x E X I'v'ex E J, x E Aa: } a:EI a:EI

y las reglas de de Morgan se escriben

( U Aa:)C = n A~ ( n Aa:)C = U A~ a:EI a:EI a: E I a:EI

Observe que toda coleccin l3 e P se deja escribir como familia usando como conjunto ndice J = l3 y para ex E l3 Aa: := AA . Recprocamente toda familia (Aa:)a:EI ' Aa: e X, define una coleccin l3 = {Aa: 1 ex E I} e P . Como Aa: e X , ex E J , es claro que si ex = cP se tiene U Aa: = cP y

a:EJ n Aa: = X Y podramos suprimir en la siguiente definicin la condicin a:EI (Cl), por estar incluida en (C2), (C3).

Aplicando las reglas ele de Morgan a conjuntos abiertos obtenemos de la Proposicin anterior, en forma inmediata:

Proposicin 1.2.21 Los conjuntos cerrados en un Xd satisfacen (Cl) X, cP son cerrados. (C2) Toda interseccin de conjuntos cerrados es cerrada. (C3) La reunin finita de conjuntos cerrados es cerrada.

Observemos que tanto (A3) como (C3) no valen sin la hiptesis "finita". Para (A3) se puede tomar en X = lR la coleccin l3 e P(lR) dada por l3 = { (- ~ ~) In E N} . Claramente la interseccin es el conjunto {O} que resulta cerrrado en (lR, 1 1).

17

18 y1. LINEAL

e:;jJi:LC!u:; mtricos es destacable que los conjuntos cerrados y con eso los se pueden caracterizar por sucesiones. Esto ya no vale en espa

que los mtricos. A menudo ms cornada con sucesiones que en trminos con abiertos o vecindades.

Teorema 1.2.22 Un conjunto A e X en un mtrico X es cerTado, si el lmite de toda sucesin (Xk) son xk E A Y en X a A.

Demostracin. A cerrado y en X con xk A. Si Hm Xk =: a est en X\A , un conjunto entonces existe B (a,1') e

k---HX>

con Xk E B r) para 2: N) Y se obtiene una contradiccin. pongamos ahora que A no es es decir S := no es abierto. Entonces existe a E S tal que para todo r > O, B eso, para todo k E N existe xk E X con xk E A Y d < Por lo tanto existe sucesin A con xk ---; a, para k ---; 00 y a A. Se sigue que A debe ser 111

E un subconjunto no vaco de un mtrico y .T E X. Se define

diam E := sup { d y) I x,y E}, como el dimetro de E y (1. d := nf { d y)ly E}, comoladistanciadexaE (1.13)

Para E = 1> se pone diam 1> = Q. diarnE < 00 que E es acotado y en el otro caso que E no es acotado.

Observacin 1.2.23 Sin dificultad se obtiene con las y las f/'CUW,l',.:> de la mtrica

E acotado {::} :3 a E X y T > O tal que E e B r) dam E I d (x, ,y) , y E X

(6) d (x, E) O{::=} x E De utilidad es el resultado que resalta la importancia de la

completez.

Teorema 1.2.24 (Cantor): Sea Xd un espacio mtrico completo. es una sucesin de conjuntos no con::J::J , es decir encajados, con diam Cn ---; Opara 11 ---; 00, entonces la interseccin de los Cn es no vaca y consiste de exactamente un punto.

1.2. ESPACIOS MTRICOS 19

Demostracin. Para todo n E N sea xn E Cn . Veamos que (xn ) es una sucesin de Cauchy. En efecto, dado > existe N E N tal que diamCn < . Si e,m ~ N entonces Xe,.km E CN ya que Ce e CN Y Cm e CM. Por lo tanto d (Xl, Xm ) ~ diam CN < Y (x n ) resulta ser de Cauchy. Por hiptesis existe X o E X con X n ~ xo , para n ~ oo. Para todo eE N , xn E Ce si n ~ epor Cn e Ce. Como Ce es cerrado, X o E Ce (Teorema 1.2.22) . Se sigue Xo E n Ce y as la interseccin de los Ce es no vaca. Si X E n Ce ~N ~N entonces X E Cn para todo n E N y

~ d(x,xo) ~ diam Cm, m E N

y como diam Cm ~ , para m ~ 00, se sigue d (x, x o ) = O y con eso x = xo .

Si aplicamos las propiedades de los cerrados (Proposicin 1.2.21), podemos definir

Clausura de un conjunto.

Definicin 1.2.25 Paro. un conjunto E e X de 'Un espacio mtrico X la clausura de E ( en X) es la interseccin de todos los subconjuntos cerrados en X que contienen a E, es decir

E := n { C IC e X cerrado y E e C} (1.14) Como E resulta cerrado, E e E y E est contenido en t.odo cerrrado que contiene a E . Se puede decir que E es el cerrado ms pequeo que contiene a E . Claramente E e X es cerrado

20 CAPTULO 1. TOPOLOGA Y LGEBRA LINEAL BSICA

Punto lmite, punto aislado

Definicin 1.2.27 Sea E e X con X espacio mtrico. Decimos que x E X es un punto lmite de E si E n (U " {x}) i= cf; para toda vecindad de x. Un punto que no es punto lmite de E se llama punto aislado de E. Denotamos por E' el conjunto de los puntos lmites de E.

En un espacio mtrico X, es fcil ver que x E X es punto lmite de E e X s y slo si toda vecindad de x contiene infinitos puntos de E. Adems es claro que un punto lmite de E puede o no pertenecer a E.

De la Proposicin 1.2.26 podemos deducir que la clausura de E e X est dada por E = E U E'.

Interior de un conjunto

Definicin 1.2.28 Si E e Xd entonces x E E se dice 'un punto interior de E si existe una vecindad U de .T con U e E. Denotamos por EO o por int E el conjunto de los puntos interiores de E que llamamos el interior de E.

Es claro de las definiciones, que EO es la reunin de todos los abiertos contenidos en E (~ de todas las bolas abiertas contenidas en E) . As EO es el mayor abierto contenido en E, es decir no existe conj unto abierto que contenga a EO como sobconjunto propio. Se prueba (ejercicios) que X " EO = EC.

Frontera de un conjunto

Definicin 1.2.29 Un punto x E X se d'iceun punto de frontera del

subconjunto E e X, si toda vecindad de x (~ toda bola abierta B (x, r))

contiene (por lo menos) un punto de E y (por lo menos) un punto del

complemento E C = X " E .

Escribimos fr E o tambin bd E para el conjunto de los puntos de

frontera de E y lo llamamos la frontera de E (en X).

El lector puede probar fcilmente que fr E = E" EO y fr E = cf; ~ E es abierto y cerrado en X


Denso, separable

Definicin 1.2.30 Sea X un espa.cio mtrico y E e X. Decimos que E es denso en X si E = X. Ms general, E es denso en el subconfu.nto S e X si E :J S. Si existe en X un subconjunto E denso y contable entonces el espacio X se dice que es separable.

Claramente E e X es denso en S e X s y slo si, para todo x E S y toda vecindad U de x se tiene U n E =1= 4>.

Como ejemplo tomemos IR con la mtrica usual. Los racionales Q y los irracionales IR " Q son densos en R Se sabe, Q es contable y IR " Q no lo es. Por lo tanto IR es separable. Ms general, el IR n es separable.

Base de una topologa

Definicin 1.2.31 Una familia (C'lJ

22 CAPTULO 1. TOPOLOGA Y ALGEBRA LINEAL

existe m tal que l/m < r /2 y un ndice n tal que an E B (x, l/rn) lo UJ.!!-,.lJ.vo., X E B . Por otro lado si y E B ) entonces

< 1- < r v as B 1..) < B r). lo+d - m.J m

observado arriba se obtiene lo deseado. 111

Corolario 1.2.34 (Propiedad de LindelOJ): En un espado mtrico X todo recubrimiento de X por abiertos contiene una subcoleccin cubrimiento) contable que recubre X.

Demostracin. A una coleccin de abiertos que recubre a X y (Bn ) una base contable para la topologa. Para cada 11 E para el cual sea

elegimos un elemento, llamado de A que contiene a La coleccin A' e A as obtenida es contable. Adems recubre a X. En efecto, dado x E existe A E A en x E A. Como A es abierto existe de la base con x E e A. Por construccin de A, e An para An E A'. As x E y es subrecubrimiento contable de X. 111

Para ellRll la familia de las bolas abiertas, en cualquier norma, con centro racional E y radio racional (o incluso con T = *, n E es una base contable de la tODolol2:fa usual de iRll

Subespacios mM... ; espacio producto

En esta seccin se consideran dos maneras de obtener nuevos espacios mtricos a partir de mtricos dados.

E un subconjunto no vaco de un mtrico La restriccin a E x E de la --~ d es claramente una distancia sobre E. E con la distancia d* := diE x E se llama un de X d y d* la mtrica inducida en E por d. A menudo se escribe d para d*. Los conjuntos abiertos en se llaman relativamente o d* -abiertos. Todos los

introducidos anteriormente estn con eso tambin definidos en E. As, por S e E es relativamente cerrado en el

E si E " S es d* -abierto. Los relativos claramente coi nciden con los anteriores s E = X. Como muestra el X

E = (0,2] , S = (1) 2] el conjunto S es abierto en E pero no en JFt El conjunto (0,1] es en E pero no en iR.

Es claro de la definicin de la mtrica d que para E e X las bolas abiertas relativas estn dadas por

En (a,r) a E E, >0 (1

1.2. ESPACIOS tv1TRICOS

y as las vecindades relativas V*(x) por

V*(.x) = En V(x) xEE (1.16)

Tenemos con eso la siguiente simple caracterizacin de los conjuntos relativamente abiertos y relativamente cerrados.

Abiertos y cerrados relativos

Teorema 1.2.35 Sea E e X subespacio del espacio metrico X. Un conjunto S e E es abierto en E, o relativamente abierto, s y slo si S = Gn E donde G es un abierto en X. En particular si E es abierto en X, entonces S e E es abierto en E s y slo si S es abierto en X. Las afirmaciones anter'iores siguen vlidas si sustitumos "abierto 11 por "cerrado ".

Demostracin. Si S es abierto en E, existe para todo x E S una bola abierta B (x, T x ) en X con B (x, T x ) n E e S ya que B (x, r) n E es la bola abierta re lativa de radio r centrada en x . Si G es la reunin de esas bolas B (x, rx ), x E S, entonces S = G nE. En efecto, como x E B (x, r x ) para todo x E S Y S e E es claro que S e G n E. Por otro lado para las bolas que componen G se tiene B (x, rx ) n E e S para x E S y se sigue Gn E e S. Para el recproco sea S = G n E con G abierto en X. Para todo x E S existe bola B (Xl, rx ) e G. As para la bola relat iva B (x, rx ) n E e S se obtiene que S es abierto en E. Las afirmaciones para cerrados en E se siguen con las reglas de de Morgan. _

Proposicin 1.2.36 Sean S e E e X y X espacio mtrico. Para la clausura relativa de S en E, SE, se tiene SE = S n E, donde S es la clausura de S en X.

Demostracin. Para cada vecindad V(x) de x E S en X es claro que V(x) n S = (V( x ) n E) n S, pues S e E , y V*(x) = V(x) n S es vecindad relativa de x. Ahora para x E S se tiene x E S s y slo si V(x)nE =1= cp . Por tanto V =1= cp para toda vecindad relativa. Se sigue x E SE por Proposicin 1.2.26 que caracteriza la clausura. Similarmente deducimos que x E S nE.

-

Proposicin 1.2.37 Todo subespacio E de un espacio mtrico X separable es tambin separable.

23

24 1. TOPOLOGA Y LINEAL

Demostracin. , N e N una base contable para la del X . Los Gn n E (no son una familia contable de abiertos en la topologa relativa en virtud del Teorema (1.2.35). Si U U n E es un abierto no entonces para x E U* e U existe e U con x E . Con eso x E n E e U n E y as UnE u e N. Se sigue que Gnn n E NI es una

nEN base contable para la relativa. Por el Teorema 1.2.33 conclumos ahora que E es

Tambin se dar una directa que no uso de una base para X.

Espacio producto, topologa producto

mtricos con mtricas diXl,'" ,Xn amos el conjunto X := X k Xl X ... X Xn de la'3 n-tuplas ordenadas y definimos para (Xl'" ,

d (Xl'" , , . . . ,Yn) := mx { (Xk, Il::;k::;n} (1. Se por clculo directo que d es una mtrica sobre que se llama mtrica Adems es inmediato que la bola abierta Bd r) , con a = , r > O, est dada como de bolas en los Xk

Las bolas Bd los factores son el

di

y se tiene

(a, r) Bd! r) x ... x, , (an , r) (1. Oson una base de la topologa producto. Si

se obtiene en forma natural que tambin t::'W


No se crea que todo abierto (respectivamente cerrado) en el producto de los X k tiene la forma de un producto de abiertos (respectivamente cerrados) en .Xk, 1 S k S n.

1.2.4. Compacidad

La compacidad de un espacio es uno de los conceptos ms importantes de la topologia y la base de gran nmero de resultados de existencia de diferente ndole en el anlisis. Se tienen varias definiciones equivalentes en espacios mtricos. Consideramos inicialmente la ms intuitiva.

Compacidad secuencial

Definicin 1.2.38 Un subconjunto E de un espacio mtrico X se llama secuencialmente compacto (escribimos tambin s-compacto) si toda sucesin (Xk) en E ti ene una subsucesin convergente con lmite en E. E se dice relativamente compacto si E es compacto.

Como simples propiedades se tienen:

Proposicin 1.2.39 En un espacio mtrico se cumplen: (a) Todo conjunto s-compacto es acotado y cerrado. (b) Un subconjunto cerrado de un conjunto s-compacto es s-compacto.

Demostracin. (a) Si E e X es subconjunto s-compacto del espacio mtrico X, entonces con Teorema 1.2.22 se sigue que E es cerrado. Si E no es acotado, existe a E X Y una sucesin (Xk) con d (Xk, a) --+ 00, para k --+ oo. Con la desigualdad triangular se obtiene que tambin para todo b E X se tiene d (Xk:, b) --+ 00, para k --+ oo. Por lo tanto (Xk) no puede tener una subsucesin convergente y asf E no es acotado.

(b) Es una simple consecuencia de Teorema 1.2.22.

Con los resultados de la seccin 1.1 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) vemos que en el IRn con cualquier distancia (topolgicamente) equivalente, vale el recproco de (a). Por lo tanto.

Teorema 1.2.40 En el IRn con la topologa eucldea los conjuntos secuencialmente compactos son e.".Cactamente los conjuntos cerrados y acotados. Adems E ~ IRT/. es relativamente compacto s y slo si E es acotado.

25


Introduzcamos ahora otra manera, no tan intuitiva, de definir compacidad. Para espacios mtricos resulta que es equivalente a la definicin por sucesiones. Es la: nocin de compacidad adecuada cuando se quiere generalizar la nocin de compacidad a espacios ms generales que los mtricos.

Compacidad por recubrimientos.

Definicin 1.2.41 Sea E un subconjunto de un espac-io mtrico X. Un recubrimiento por abiertos de E es una familia (CoJo:EI de confuntos abiertos en X tal que E e UCo:. Si l' e I la familia (CO:)O:CI' se llama un subrecubrimiento de (CO:)O:Ef si tambin recubre a E y un subrecubrimiento finito si [' e I es finito. Un subconJunto K e X del espac-io mtrico X se dice compacto, si todo recubrimiento por ab'iertos de K tiene un subrecubrimiento finito, Para K = X decimos q'ue el espac-io X es compacto.

Fcilmente se prueban para conjuntos compactos en un espacio mtrico X :

(a) Subconjuntos compactos en X son cerrados y acotados. (b) Subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos, (c) Todo conjunto finito es compacto. (d) Si E es un subconjunto infinito de un conjunto compacto K e X,

entonces E tiene un punto limite en K,

(e) Si D e Y e X , entonces D es compacto como subconjunto del subespacio Y si y slo si D es compacto en X.

(f) La reunin finita y la interseccin de una coleccin cualquiera de conjuntos compactos es compacto.

Probamos (d) : Si ningn punto de K es punto lmite de E, entonces para todo q E K existe una bola abierta B (q, rq) que contiene a lo ms un punto de E (q, si q E E). Claramente la familia B (q, rq ), q E K no tiene subrecubrimiento finito de E ya que E es infinito. Como E e K tampoco hay subrecubrimicnto finito de K. Por lo tanto J( no sera compacto, una contradiccin, Dejamos las otras afirmaciones como ejercicio. Ntese que (e) expresa que la compacidad no depende del espacio circundante X. Algo similar no vale para las nociones abierto y cerrado.

En analogia con el teorema de encaje de Cantor para espacios mtricos completos se tiene el til


Teorema 1.2.42 (de encaje compacto). Sea X un espacio mtrico compacto. Si (Kn) es una sucesin de conjuntos cerrados, no vacos, y encajados, es decir K ~ K2 ~ K3,"', entonces n Kn -=1- rp.

nEf\!

Demostracin. Sea Un := X " Kn, n E N. Si n Cn = cf, entonces por de nEf\!

Morgan, U Un = X con Un abierto y se tiene un recubrimiento de X pornEf\!

abiertos. Por compacidad existe un subrecubrimiento Uil ,' .. , Uik finito. De n k

X = U Uij {::=:} n Kij = rj>, obtenemos una contradiccin a la propiedad j=l i=l

de encaje y Kn -=1- rj>.

Corolario 1.2.43 Todo espac'io mtrico compacto X es completo.

Demostracin. Sea (xn ) Cauchy en X y An := {Xk I k 2: n}. Entonces An+l CAn, Vn E N, los cuales son conjuntos compactos y as por el teorema

00

de encaje, n An -=1- rp. Sea x E nAno Si e > O, existe no tal que d(xm , Xn) < n=l ~, Vn, m 2: no, y B (.x, ~) nAno -=1- rp por x E Ano.Por lo tanto existe m 2: no con d(xn, xm) < ~ y con lo cual se sigue d(x, Xn) < e para todo n 2: no. Por lo tanto X n ----> :x, para u -> 00 y el Corolario est. probado. _

Proposicin 1.2.44 Todo espacio mtrico secuencialmente compacto e8 separable.

Demostracin. Basta probar que para todo n E N existen finitos xi E X, i = 1,2,'" ,kn tal que para todo x E X existe un x'J,l :::; j :::; kn con d(x, x'J)

28 1. TOPOLOGA Y LINEAL BSICA

Demostracin. X una sucesin en X y definamos rlk ., Xk+l," . } para k E N. Entonces e para todo k y as e k E N. Por lo tanto para la sucesin (ih) de untos cerrados y

no vacos en el mtrico compacto X se nAk i q; 00

. Ahora, si x E n y > 0, entonces B E) n An i para todo k=]

k. Por lo tanto existe nI 2': 1 tal que d < 1 Y existe n2 > n tal que d ,x)

1.2. ESPACIOS lI/ITRICOS

sigue que In e C e. lo que contradice (b). Hemos probado el teorema si K es un rectngulo.

Si K es cerrado y acotado entonces existe un rectngulo cerrado y acotado, Q, con K e Q. Como Q es compac to y K es cerrado entonces, de (b) que sigue a Definicin 1.2.41 , se deduce que K es compacto. El teorema est probado. _

Se tienen las siguientes caracterizaciones de los conjuntos compactos en el IRn eucldeo.

Teorema 1.2.47 Paro. v.n conjunto E e IRn son equivalentes. (a) E es cermdo y acotado (/1) E es compacto paro. s1/,cesiones () E es compacto (o) Todo conjunto infinito de E tiene un punto lmite en E Demostracin. Sabemos (Teorema 1.2.40) que (a) ~ (,8) y que (i3) ~ () por Teorema 1.2.45 . Adems de (d ) que s igue a Definicin 1.2.41 se obtiene () ~ (o). Solo falta probar as (o) ~ (a). En efecto, si E no es acotado, entonces existen puntos x n E E tal que Ixnl > n, 'r/n E N. Claramente el conjunto de los X n es infinito y no tiene punto lmite en IRn y as tampoco en E.

Si E no es cerrado, entonces existe un punto lmite X o de E que no pertenece a E (Teorema 1.2.22) y una sucesin (x n ) con IXn- xol < ~. Sea S := {xn I n E N}. Claramente S es infinito (de lo contrario X n = Z E E para infinitos n, una contradiccin a IXn - xo l < ~); Xo es punto lfmite de S y S no ti ene otros puntos lmites en IRn . En efecto , si y E IRn , y ~ X o entonces 'r/n 2: N.

y as y no es punto lfmite de S. Por lo tanto S no tiene puntos lmites en E en contradiccin con (o). Por lo tanto E es cerrado. _

Nota 1.2.48 En realidad (i3) ~ () ~ (o) en cualquier espacio mtr ico . En efecto (i3 ) ~ () por Proposicin 1.2.45 . La implicacin () ~ (o) se s igue del numeral (d) que sigue a Definicin 1.2.41 y se us en la demostrac in de Proposicin 1.2.45. (o) ~ ((3) se verifica sin dificultad.

Corolario 1.2.49 (Bolzano- Weierstrass , versin conjuntos). Todo conjunto acotado e infinito en IRn tiene un punto lmite en IRn .

29


Desafortunadamente en un espacio mtrico la implicacin (ex) =c? (,6) es falsa.

Ejemplo 1.2.50 Tomemos el espacio normado (en realidad espacio de Banach) C[O,Jr] = {x Ix: [0,Jr]--->1R2 , x continua} con la norma Ilxllo,tr]:= mx { Ilx (t)11 2 10 :::; t:::; Jr} donde Ilx (t)11 2 es la norma eucldea en 1R2 , es de

l

cir si x (t) = (Xl (t) , X2 (t)) Ilx (t)1I 2 = (Xl (t)2 + x~ (t)) :2, para t en [O, Jr]. Veamos que la bola unitaria cerrada B (O; 1) no es compacta para sucesiones y con eso tampoco compacta. En efecto, considrense las funciones ek E B (O, 1) definidas por ek (t) = (cas kt, sen kt), :::; t :::; Jr, k E N. Claramente Ilek (t)112 = 1, para todo t E [O,Jr ]. Por lo tanto , en la norma de C[O,Jr] se tiene Ilekllo,tr] = 1 Y Ilek - ejll(o,tr) = 2 para k'' j como se sigue de

II edt)-ee(t)II~=2-2cos(k-j)t:::;4 O:::;t:::;Jr y (k - j) t = -1 para algn ten [O,Jr].

Se prueba en el Anlisis Funcional que para espacios normados completos E, B (O; 1) e E es compacta s y slo si E es finito-dimensional (Teorema de Riesz)

Si se tiene en cuenta que en un producto finito de espacios mtricos, convergencia en la topologa producto es convergencia en los factores del producto y utilizando Proposicin 1.2.45 obtenemos, sin ms

Proposicin 1.2.51 Si Kl e Xl , '" ,Kn e X n son confuntos compactos, entonces Y = Kl X ... x Kn es un con)'unto compacto en el producto X de los espacios mtricos X k , 1 :::; k :::; n.

El siguiente concepto es frecuentemente til en demostraciones que involucran conjuntos compactos; se trata de la nocin de nmero de Lebesgue.

Definicin 1.2.52 Decimos que). > es un nmero de Lebesgue de un recubrimiento (CcJ aEJ por abiertos de un espacio mtrico X, si todo subconjunto de X con dimetro menor que). est contenido en algn C Q

Proposicin 1.2.53 Sea K e X un conjunto compacto en el espacio mtrico X d . Entonces todo recubrimiento de K por abiertos (en X) posee un nmero de Lebesg'ue.


Demostracin. Si la afirmacin es falsa entonces para todo k E N existen puntos xk, Yk E K tal que d (Xk, Yk) < i pero ningn abierto Gcx , a E 1 contiene los puntos Xk, Yk,para cualquier k E N. Como K es compacto para sucesiones (Proposicin 1.2.45), obtenemos subsucesiones (Xkn ) , (Yk,.) con ;r:k

n ----+ a E K, Yk

n -+ a. Necesariamente a = a'. Si G), es un abierto del

recubr imiento que contiene al punto a E K se tendra, para n suficientemente grande , Xk

n , Yk

n E G)" una contradiccin. Por lo tanto la suposicin que se

hizo es falsa y as el teorema est probado. _

Espacios localmente compactos

En algunas ramas de la matemtica como por ejemplo en la teora de integracin, los espacios localmente compactos juegan un papel importante.

Definicin 1.2.54 Un espacio mtrico X se dice localmente compacto si para cada punto x E X existe una vecindad compacta del punto x E X .

Ejemplo 1.2.55 (a) Como X es un espacio mtrico, es claro que X es localmente compacto si para todo x E X existe Ox > O tal que las bolas cerradas B (a, r) son compactas para O :s; T < Ox, Existe por lo tanto en todo punto x E X una base local de vecindades compactas. En el caso del IRn eucldeo se tiene que todas las bolas cerradas B (x, r), O < r < 00 son compactas. (b) Todo espacio compacto y todo espacio discreto, infinito, es localmente compacto. (c) El espacio eucldeo IRn es localmente compacto, pero no compacto como muestra el Teorema 1.2.47. (d) variedades S e IRn son, localmente, conjuntos homeomorfos a algn IRd y as espacios mtricos localmente compactos. Adems son separables.

Para un conjunto no vaco A de X se haba definido como r-vecindad abierta del conj unto A

V(A,r):= {x E XI d(x,A) < r} r>O

Proposicin 1.2.56 Sea A subconjunto compacto de un espacio mtrico localmente compacto X. Entonces existe un r > O tal que V (A, r) es compacto en X .

Demostracin. Para cada ;r: E A, existe una vecindad compacta V (x) de :r y as la familia (VO( :r ))XEA es un recubrimiento de A por abiertos,

31

32 CAPTULO 1. TOPOLOGA Y LINEAL

el cual se reducir a uno finito VD 1 :::; i < n. La reunin finita n n

U .-- Y{x) es y contiene el abierto U := U ::> A. Si se i=l

considera la funcin continua x f-----i d(x, X" U) > O, x E A, (considere que a Definicin 1.2.15) sobre el compacto A, se del teorema del mximo y mnimo 1 que existe x E A con X " U) =

X" Ul. Como d(x, X" U) =: r > O es claro que Vr(a) e U. e u e U y la proposicin est probada. 111 ejemplos en muestran que sin la hiptesis que A sea com

pacto, la oroDoscin anterior es falsa. Teorema 1.2.57 Sea X mtrico localmente Las siguientes pr'opiedades son equivalentes (1) Existe una sucesin creciente de conjuntos abiertos con Un compacto tales q'ue e ,'1117. E N y X = U (2) X es reunin contable de (3) X es separable.

Demostracin. =:} (2) es claro, pues U n es tambin es claro, ya que todo espacio mtrico compacto reunin contable de es Veamos (3) =:} Sea X separable y (Vn ) una base contable de la de X. Para cada x E X existeuna vecindad de x y por lo tanto existe un

tal que x E e W. Resulta que los Vn que son relativamente constituyen ya una base para la de E. puede suponer

as que todos los Vn son relativamente compactos. Ahora se define por donde r > es tal que Vr(Un)

1.2.56). Con eso 111

Se adems facilidad) de las definiciones:

Proposicin 1.2.58 En un mtrico localmente compacto los subconjuntos cerrados y los subcon}1mtos abiertos son s1J.bespacios localmente compactos.

1.2.5.

La del cone::;idad de un e:SlJaClO intuitiva: decimos que un es disco nexo si puede ser ae:scom topolgicamente, en dos partes no triviales. Ms preciso:

1.2. ESPACIOS j\1TRICOS

Definicin 1.2.59 Una separacin de un espacio mtrico X es un par U, V de conjuntos, disjuntos y no vacos cuya unin es X. El espacio se dice que es conexo si no existe una sepa.racin de X. En caso contrario se llama disconexo . Un subconjunto A e X se dice conexo si A, como subespacio de X, es conexo.

Hay varias formulaciones equivalentes de este concepto. En la siguiente Proposicin , cuya (simple) prueba dejamos para el lector, se tienen algunas formas alternativas para expresar el contenido de la anterior definicin.

Proposicin 1.2.60 Para el espacio mtrico X son equivalentes (1) X es conexo. (2) X no es la reunin de dos conjuntos cerrados, no va.cos y disjuntos. (3) ~ A e X que es abierto y cerrado diferente de ~ y X. (4) Si U, V son subconjuntos abiertos de X con X = U U V Y U n V = ~ entonces U = ~ o bien B = ~.

Ejemplo 1.2.61 (a) Consideramos A = [- 1, O) U(O,l] como subespacio de la recta real. Los conjuntos U = [-1, O) Y V = (0,1] son no vacos y abiertos en el subespacio A y asf son una separacin de A. A es disconexo. (b) Los conjuntos abiertos ~ e X y {x} e X de un espacio mtrico X son trivia.lmente conexos. (c) El subespacio Q e JR es disco nexo. Ms a.n los nicos subespacios conexos de Q son los conjuntos de un punto. En efecto si Y e Q y p, q E Y con p ::j:. q, podemos elegir un irracional s entre p y q y definir U = Y n (-00, s) , V = Y n (8, +00). Claramente U, V es una separacin de Q. (d) El subespacio X = {(x ,y) I x ::j:. O, Y = I;I } e JR2 no es conexo. En efecto , los conjunt.os

son abiertos en X (pero no en JR2) y claramente una separacin de X. Veamos ahora algunos resultados que dan, a partir de espacios conexos dados, nuevos espacios conexos. Primero una simple Proposicin:

Proposicin 1.2.62 Sean X un espacio mtrico, Y un subespacio de X y U, V una separacin de X. Entonces (a) U n V = ~ es decir V no contiene puntos lmites de U y por simetra Unv =1>. (b) Si S e X es un subespacio conexo de X, entonces S e U o bien S e V

33


Demostracin. (a) Como U, V es una separacin de Y entonces U es abierto y cerrado en Y. La clausura de U en Y est dada por UY = U n y (Proposicin 1.2.36) y como U es cerrado en Y, U = Un Y. Por U = U n (U U V) = (U n V) U (U n V) = U U (U n V) se sigue U n V = cp, es decir V no tiene puntos lmites de U.

(b) Como U, V son abiertos en Y, los conjuntos U n S y V n S son abiertos en S. Adems estos conjuntos son disjuntos y su unin es Y . Si fueran ambos no vacos tendramos una separacin de S contradiciendo la conexidad de S. Por lo tanto S e U o bien S e V. _

Teorema 1.2.63 La unin de una colecci6n de subespacios conexos de X que tienen un punto comn es conexa.

Demostracin. Sea (AO,)a:EI una coleccin (indexada) de subespacios conexos del espacio mtrico X y pE nAa:. . Veamos que el subespacio A = UAa: es conexo. Supongamos para eso que U, Ves una separacin de A, A = Uu V. El punto p est en U o bien en V; podemos suponer p E U. Como para a: El, Aa: es conexo por la Proposicin anterior, Aa: e U o bien Aa: e V. Como p E U y P E Aa: debe ser Aa: e U para cualquier a: E J. As UAa: e U y V sera vaco, una contradiccin. Por lo tanto A es conexo. _

Veamos ahora que si A es conexo, tambin A es conexo. Probamos algo ms general: no es necesario agregar todos los puntos lmites para obtener algo conexo.

Teorema 1.2.64 Sea A un subespacio conexo del espacio mtrico X. Si A e B e A entonces tambin B es conexo.

Demostracin. Sea A conexo y A e B e A, es decir B es un conjunto al que se le han aadido algunos puntos lmites de A. Supongamos B = U U V con U, V una separacin de B. Como A es conexo y A e B, se sigue de la Proposicin 1.2.62 que A e U o bien A e V. Podemos suponer A e U.Entonces A e U y la Proposicin 1.2.62 da U y V son disjuntos. Como B e A e U se sigue que B no puede intelsecar a V lo que contradice B = U uV con V no vaco. Por lo tanto B es conexo. _

Nota 1.2.65 La prueba que el producto cartesiano finito de espacios mtricos conexos es conexo lo dejamos para una seccin posterior para poder tener una prueba ms simple.

Del anlisis en una variable se tiene un resultado que caracteriza los conjuntos conexos en IR. Para eso recordemos que un conjunto J no vaco


en IR se llama un intervalo, si para todo x, y E I con x < y se sigue para cualquier Z E IR con x < Z < y que z E J. Ejemplos de intervalos son {x},x E IR, J = IR, (o.,b], [a , b), (a,b) con a,b E IR, a < b. El siguiente teorema es base para una parte considerable de la teora sobre espacios conexos .

Teorema 1.2.66 Un subconjunto A e IR es conexo s y slo si es un intervalo.

En general un espacio mtrico X no ser conexo. Pero como veremos siempre se puede obtener, con los resultados anteriores, una particin de X en partes conexas maximales, las componentes conexas del espacio.

Definicin 1.2.67 Sea X un espacio mtrico y pam todo x E X, sea, Cx la reunin de todos los cor~iv.ntos conexos que contienen a x. Cada Cx se llama una componente (o componente conexa) de X o tambin la componente del punto x en X .

Proposicin 1.2.68 En el espacio m trico X sea, pam x E X, Cx la componente de x en X .. Entonces, (a) pam todo x E X, Cx es conexo y cermdo. (b) pam todo x,y E X se tiene Cx = Cy o bien Cx n Cy = .

Demostracin. (a) Por Teorema 1.2.63, Cx es conexo y por Teorema 1.2.64 Cx es conexo. As, por definicin de Cx, Cx e Cx y se sigue Cx = Cx es cerrado. (b) Si Cx n Cy f. entonces Cx U Cy es conexo por Teorema 1.2.63 y por definicin de Cx se sigue Cx U Cy e Cx. As Cy e Cx y por simetra Cx e Cy con lo cual obtenemos Cx = Cy .

Es claro de lo anterior que todo espacio X posee una particin en conjuntos conexos disjuntos y que adems son cerrados (en X). Se puede obtener una tal particin tambin definiendo una relacin de equivalencia en X : decimos que x , y son equivalentes, x'" y, si existe un subespacio conexo de X que contiene ambos puntos . Las clases de equivalencia determinadas por la relacin,.... resultan ser las componentes de X definidas anteriormente .

Ejemplo 1.2.69 (a) Todo espacio mtrico discreto tiene como componentes Cx = {x } . Observar para eso que todos los puntos del espacio son aislados. Se dice tambin que el espacio es totalmente disconexo.

(b) Sea

36 CAPTULO 1. TOPOLOGA Y LINEAL BAsICA

{x} ,Vx E y Q es totalmente disco nexo. Tambin lo es su complemento, el conjunto de los irracionales.

El conj urito de Cantor C e 1 e IR (ver [ l) es totalmente disconexo, no contable y Un conjunto que se considerar no discreto en extremo.

1.3. Funciones continuas

El de funcin continua es central para gran parte de las matemticas. No obstante que en los el inters principal estar en funciones con dominio en ]Rm de varias y recorrido en ]Rrl vector aqu el marco m.s donde el dominio y el recorrido de las funciones estn en espacios mtricos. Los resultados para el caso de los ]Rn se obtienen Cabe destacar nuevamente que los las de los resultados que se obtienen no seran en modo alguno ms y las demostraciones ms fciles y cortas si se hiciera restriccin a los esoacios ]Rrl. En cambio se gana en

1.3.1. Continuidad, continuidad uniforme

Comenzamos con la de continuidad que se reduce a la definicin e-6 del si la funcin considerada es una funcin de una

Continuidad

Definicin 1.3.1 X Y Y espac/.Os mh'lcos con mtricas d y d' res-Sea 1 'una con dom'inio D e X y valo'res en Y,

1 : D -- Y. Decimos que 1 es continua en un x E D sz para todo e > O existe 6 > O tal que

d' (J ,1 O : I 1 1 I < e, Vx E D tal que I x

1.3. FUNCIONES CONTINUAS

lo que se reduce, en el caso m = n = 1 a la definicin e-8 de continuidad en IR.

Observemos que en un punto aislado x E D toda 1 es continua. En efecto, como existe 8-vecindad B (x, 8) con B (x, 8) n D = {x} se obtiene, cualquiera que sea e > O

x E D con d (x, x) < 8 =? X = X =? d (f (x), 1 (x-)) = O< e . Demos t.odava reformulaciones ms geomt.ricas o topolgicas de la definicin anterior:

1 es continua en x E D s y slo si Ve-vecindad, Bd l (f (x) ,e) de 1 (x) -::J8-vecindad, Bd (x, 8), de x E D tal que

(1.21)

Observe que aqu Bcl (x ,8) n D es una 8-vecindad relativa de x en D. Con el concepto de vecindad obtenemos de lo a nterior una reformulac in que no involucra explcitament.e las mtricas

1 es continua en x E D s y slo si para toda vecindad V de 1(x) en Y e.?::iste una vecindad U de x en X tal que

1 (U(x) n D) e V (f (x)) ( 1.22) Aqu U(x) n D es una vecindad en el subespacio mtrico D, una vecindad relativa y vemos que los puntos de X que no pertenecen a D no tienen efecto sobre la continuidad de 1 en x E D. Para asuntos de continuidad podemos suponer as a menudo que X = D, lo que simplifica la escritura de algnas formulaciones y pruebas.

Damos ahora unas caracterizaciones muy tiles de la continuidad global entre espacios mt.ricos , formulad as en trminos topolgicos.

Teorema 1.3.2 Sean X y Y espacios mtricos y 1 una funcin de X en Y. Enton ces son equivalentes (1) 1 es continua en X (formulacin e-8) (2) 1-1 (V) es abierto en X para todo abierto V en Y (3) 1- 1 (C) es cerrado en X para todo cerrado C en Y (4) Vx E X Y toda vecindad V de 1 (x), -::J vecindad U de x con 1 (x) E V.

Demostracin. (1) =? (2): Sea 1 continua en X y V un abierto en Y. Debemos probar que todo punto de 1-1 (V) := { x E XI 1 (x) E V} es punto interior de 1- 1 (V). Sea x E X con 1 (x) E V. Como V es

37

38 1. y ALGEBRA LINEAL

abierto existe una e-vecindad fe) e V. Como f es continua en x existe O-vecindad o) e X tal que o) e e V donde hemos usado (1.3.1) con D = X. Esto implica (V) y 1 resulta abierto.

==? . Sean f-l (V) abierto para todo abierto V en Y, x E X, Yf. O dado. La f.-vecindad (f ,f.) e Y es un abierto en Y. Por lo tanto

existe una o-vecindad o) con Bd o) e (Bdl Se f (Bd o)) e Bdl (f que es (1.31) para D = X. Por lo tanto fes continua en X. (2) {::=:} (3): Es inmediato ya que un conjunto E e Y es cerrado en y s y slo si EC es abierto en Y y se tiene la identidad (EC ) [f- 1 c,"IECY. (4) ~cc;" 1). Es inmediato de ( con D X.III

Una clase importante de funciones continuas es la siguiente:

Definicin 1.3.3 Sean X, Y espacios mtTicos co'/1, mtncas d, d' respectivamente. Una funcin f . D e X -, Y se dice Lipschitziana en D) si existe un L > O tal que d'(f ,f (y)) :::; Ld Y E D.

f es tal q'ue "Ix E D existe una vecindad U de x en X y > O 'una constante tal que f I D n U es con constante , entonces decirnos que f es localmente Lipschitziana en D. Proposicin 1.3.4 E Y F son esvac-ios normados sobre I!{ con E dimensional, entonces todo operador lineal A : E F es continuo. -i

Demostracin. Sea 11 11 norma en 1I 11' norma de F. Para x E E se tiene XCIVI + .. + Cn Vn con nicos Ck E I!{ para 1 :::; k :::; n. Se por linealidad Ax = c.. Av, y con eso

n

11' :::; { II 11' } 1)k=1

La norma Ilyll para y E I!{n por trans

y 1111,11 1 . Ilylll' si U Yk'U.k E E. una norma en E. n

Como todas las norma.,> en E son equivalentes se de y

Ilxlll :::; /3llxli , /3 O, que existe L > O tal que :::; L Ilxll "Ix E E


Como A es lineal se obtiene 11 Ax - Ayll' :=:; L Ilx - yll , \:Ix, y E E, lo que dice que A es Lipschitiziana. Por lo tanto A es continuo. _

Ejemplo 1.3.5 X, Y denotan espacios mtricos. (a) Toda funcin Lipschitziana / : D e X -> Y es continua en D . (b) Sea D e X un subconjunto no vado del espacio mtrico Xd. La funcin distancia d (-, D) : X -> IR, definida por d (x, D ) = nf {d (x, a) la E A} para :1; E X, satisface la desigualdad

1d (x, D) - d (y, D)I :=:; d (x, y), \:Ix, y E X (*)

es decir es Lipschitziana con L = 1 Y asf continua por (a). En efecto, para > O,y E X existe a E D con d(y,D) > d(y,a) - Y como d (x, D) :=:; d (x, a) se sigue con la desigualdad triangular d(x, D) - d(y, D) :=:; d(x , a) - d(y , a) +:=:; d(x,y) + lo cual da d(x, D) - d(y,D):=:; d(x,y). Intercambiando :1: con y da finalmente (*). (c) Si E es un espacio normado entonces la norma 11 11: E -> IR satisface Illxll -llylll :=:; Ilx - yll , \:Ix, y E E es decir es Lipschitziana, con L = 1. (d) Si / : X -> IR es continua en el espacio mtrico X, entonces, para todo e E IR el conjunto A:= {x E X 1/ (x) < e} es abierto en X yel conjunto c:= {x E X 1/ (x) :=:; e} es cerrado en X. En efecto, A es la imagen inversa del abierto (-00, e) e IR y C del conjunto cerrado (-00, ej.

Proposicin 1.3.6 Sean X = XI X ... X X n el pTOducto finito de espacios mtricos con la topologa pTOducto y para 1 :=:; i :=:; 11., pri : X -> Xi, X = (XI' .. , xn) ---> pri (x) = Xi la funcin proyeccin sobre el espacio Xi. Entonces las funciones pri, 1 :=:; i :=:; 11. , son continuas en X y son funciones abiertas, es decir llevan abiertos en X en abiertos en Y.

Demostracin. Si Ai e X; es un abierto en Xi,l :=:; i :=:; 11., entonces c1aramentepr1 (Ai) = XIX"'XXi_IXAiXXiX ",xXnCJueevidentemente es un abierto en X. Por lo tanto pri es continua para 1 :=:; i :=:; n. Por otro lado sea A e X un abierto y Xi E pri (A). Entonces existen Yj E Xj, 1 :=:; j :=:; n , j =1- i con (YI, ' " ,Yi-I, Xi, Yi+I,' .. 1 Yn) E A. Como A es abierto existen abiertos Aj e X j con Yj E Aj ,1 :=:; j :=:; 11. Y j =1- i Y Xi E A para j = i con B := Al x ... x An e A. Se sigue claramente Xi E pri (E) = Ai e pri (A) . Por lo tanto pri, 1 :=:; i :=:; 11., es una funcin abierta. La continuidad de las proyecciones se deduce tambin del estimativo

nF. PTO. DE BIBUOTE AS rmH .TOTE(, "FFr: " G JM EZ

39


para x = (Xl," . , X n ), y = (Yl,' .. Yn) E X y donde d es la mtrica producto (1.24). Por lo tanto las proyecciones pri : X ----+ Xi son funciones Lipschitzianas con L = 1. Un caso particularmente importante se da cuando Xi = ]R , 1 S; i S; n., es decir X = ]Rn = ]R X ... x ]R y donde escribiremos 7fi := pri, 1 S; i S; n.

Probemos ahora que la composicin de funciones continuas es continua, la llamada regla de la cadena para funciones continuas . Por observaciones anteriores podemos suponer que los dominios de las funciones son todo el espacio mtrico.

Teorema 1.3.7 (Regla de la cadena). Supongamos que X , Y, Z son espacios mtricos y f : X ----+ Y, 9 : Y -> Z funC'iones dadas. Sean x E X , f continua en X, 9 continua en y := f (:x) y h: X ----+ Z la funci6n definida por

h(x)=g(f(x)), xEX. Entonces h es continua en:X. La func 'i6n h se llama la composici6n o compuesta de f y 9 y se denota por 9 o f := h.

Demostracin. Aplicamos la caracterizacin de Teorema 1.3.2 (a). Sea z:= h (:x) = 9 (f (x)) y V (z) una vecindad de z en Z. Por continuidad de 9 en y = f (x) existe vecindad W (y) en Y con g(W (y)) e V (z) y por continuidad de f en x existe para la vecindad W (y) ,y = f (x) , una vecindad U (x) de x con f (U (:x)) e W (f (x)). Por lo tanto h (u) e 9 (f (u)) e 9 (W) e V. Con eso 9 satisface la condicin (1.22) con D = X y es as continua en x. _

Como en un espacio mtrico la topologa se deja caracterizar por sucesiones, podemos expresar la continuidad de una funcin por sucesiones. Se tiene

Teorema 1.3.8 Sea f : X ----+ Y una funci6n entre espacios mtricos X y Y; X E X un punto en X. Entonces f es cont-lnua en X si y slo si para toda suces'in (Xk) en X con lm Xk = x se tiene lm f (xd = f (x).

k~oo k~oo

Demostracin. Sea f continua en a y lm Xk = x. Sea V una vecindad k - ,oo

de f (x). Por continuidad existe vecindad U de x tal que f (U) e V. Como Xk -> x existe N E N tal que Xk E U para k 2:: N. Por lo tanto f (Xk) e V para k 2:: N. Como Vera una vecindad arbitraria de f (x) se sigue lm f (xd = f (x). Para el recproco supongamos que f no es continua

k-oc


en x. Entonces existe vecindad V de f (x) tal que para toda vecindad Vk := B(X1,) de x existe Xk E Vk con f(xd ~ V. As tendramos (Xk) con Xk ~ x para k --> 00 pero f (Xk) no converge a f (:.c). Por lo tanto f es continua en :r. _

Consideremos ahora funciones definidas sobre un espacio mtrico pero con valores en el espacio eucldeo IRn , es decir el contradominio es un espacio producto. Si X es un conjunto no vado y f : X --> IRn una funcin dada entonces las n funciones fi: X ~ IR , Ji = 7ri o f , 1::; i ::; n, se llaman las funciones coordenadas de f. Para todo x E X se tiene

f (x) = (Ji (x)"" ,fn (x)), x E X (*) Escribimos f = (J, ... ,fn) o bien f = J x ... x fn para indicar que f (x) = (Ji (x) ," . ,fx (x)). Recprocamente n funciones dadas fi : X ~ IR,l ::; i ::; n, determinan una funcin f : X ~ IRn definida por (*) y se tiene fi = 7ri o f, 1 ::; i ::; n.

El siguiente resultado, de importancia prctica, permite reducir la continuidad de una funcin vector valuada a la continuidad de funciones real valuadas.

Teorema 1.3.9 Una funcin f : X --> IRn, definida sobre el espacio mtrico X es continua en el p'unto a E X s y slo si cada una de sus n funciones coordenadas Ji = 7r. o f, 1 ::; i ::; n, es continua en el punto a.

Demostracin. Si consideramos en IRn la mtrica inducida por la norma eucldea basta observar que para x, y E X

I (x) - J. (y)I ,; I (x) - (y)I ~ (~IMX) - , (Y)I')' < ::; nmx {[Ji (x) - fi (y)\ [ 1::; i::; n}

de donde se siguen las afirmaciones del teorema. _

Claramente podemos reemplazar en el anterior teorema a IRn por un producto finito de espacios mtricos . Se obtiene

Teorema 1.3.10 Si X es un espacio mtrico y f : X --> Y donde Y es el es]lt'lcio producto Y = Y1 X ... X Yn de n espacios mtricos (o normados) entonces f = (JI, ... ,fn) es continua en a E X s y slo si las funciones coordenadas Ji = pr. o f, 1::; i ::; n son continuas en a.

41

I


Como IRn es un espacio vectorial se puede definir , para 1, 9 X -> IRn, O' : X -> IR, X un conjunto no vaco, (a) 1+ 9 : X -> IRn , (J + g) (x) I (x) + 9 (x) (b) 0'1: X -> IRn (0'1) (x) O'(x) . I (x) (c) (I,g):X->IR, (I,g)(x) = (I(x),g(x)) (d) 1/0' : X -> IR , (l /O' ) (x) 1/ 0' (.T) ,s O=1 O' (X)

donde en (e), (',.), es el producto interno en IRn Claramente lo anterior es vlido si IRn es sustitudo por un espacio vecto

rial general, por ejemplo un espacio normado y O' : X -> OC. Consideremos primeramente el caso de funciones real valuadas y despus el caso vector valuado.

Proposicin 1.3.11 Si las funciones I,g : X -> IR, definidas sobre un espacio mtrico X son continuas en X, entonces tambin las funciones I + g, I . 9 y I / g (en el ltimo caso s'i O1. g(X) ) son continuas en X. Demostracin. Basta aplicar la caracterizacin por sucesiones de funciones continuas (Teorema 1.3.8) y aplicar los teoremas para lmites de sucesiones en IR.

Teorema 1.3.12 Si I ,g : X --+ IR" Y O' : X --+ IR son fun ciones continuas, entonces las funciones I + g, 0" 1, (1, g) son continuas en X. Demostracin. La continuidad de 1+9 y 0" I se sigue usando los Teoremas 1.3.9 y 1.3.11. Para (I,g) observar, si I = (JI,'" , In),g = (gl,'" , g,,), que (1, g) = L~llig; es una suma finita de funciones continuas. Podemos interpretar a (1, g) como un producto generalizado de funciones inducido por la aplicacin bilineal (.,.) .

Ejemplo 1.3.13 La aplicacin r : IRrl+1 " {O} ---> IRn + l , n ~ O definida por r (x) = JiT .T =1 0, (retraccin radial sobre sn) es continua. Su imagen es la esfera (eucldea) en IRn+1, s n := {x E IR"+ I I x = 1 } .

Con los resultados anteriores podemos generar una gran cantidad de funciones continuas. As, por ejemplo, las funciones de valor real (1) (x, y) ~ exp (U log x) , para (x, y) E IR+ X IR (2) (x,y,z) 1----> (1 + sen~xy + yz))fr , para (x,y,z) E IR3 (3) (x, y) ~ (sen x) . eX +y3 , para (x, y) E IR2 son continuas en sus dominios.

Para (3), es decir I (x, Ud = sen x e3. ~ i .'l 3 basta observar que con g(x, y) = sen x, h (x,y) = eX +y3 y 1= g. h , se tiene para g, 9 = sen 07r1

1.3. FUNCIONES CONTINUAS 43

y para h, h = exp oi.p donde i.p (x, y) = x2 + y3 Y as i.p = 'Trr + 'Tr~. Por lo tanto

f = (sen o 'TrI) . exp o ('Tri + 'Tr~) Y la regla de la cadena, junto con el teorema sobre suma y productos de funciones continuas, muestran que f es continua en IR2.

Una clase importante de funciones continuas son los

Polinomios en varias variables:

Sabemos que las funciones coordenas 7i : IR k ---; IR, 'Tri (x) = Xi, 1 :::; i :::; k, son funciones cont inuas. Aplicando varias veces Proposicin 1.3.11 obtenemos que los monomios

x E IR k (1.23)

donde P = (PI, Pk) es una k- tup la de nmeros enteros con Pi 2: 0, son funciones continuas en IR\ Ipl := PI + ... Pk se llama el grado del monomio.

Un polinomio (en k variables) es decir una combinacin lineal de monomios, P : IR k ---; IR , con

P (x) = apxP , ap E IR Ipl::;n

se dice que tiene el grado n, si por lo menos un ap con Ipl = n es diferente de cero. Los polinomios constantes P (x) = 0,0 =f tienen el grado O y el polinomio P (x) = (por definicin) el grado -1. Si en la suma solo aparecen sumandos con Ipl = n, P se dice un polinomio homogneo de grado n. En ese caso P (tx) = tn P (x) , tER Un cuociente de dos polinomios se dice una funcin racional. Est bien definida en los puntos de IRk donde el denominador no se anula.

Proposicin 1.3.14 Todo polinomio P (en k variables) es continuo en IRk y toda funcin racional (k variables) R = P / Q es continua en los puntos de IR k donde el polinomio Q no se anula.

Claramente podemos considerar en (1.8) coeficientes ap E IRq Y obtener polinomios vectorvaluados P : IR k ---; IRP; incluso se puede tomar ap E E donde E es un espacio normado para obtener polinomios (en k-variables) con valores en E, P : IR k ---; E.


Consideremos ahora el caso donde el dominio de la funcin pertenece a ~m , un espacio producto. Sea f : D e ~m. ----+ Y, donde Y es un espacio mtrico (casos particulares, Y = ~ o Y = ]R."). Decimos que f es continua con respecto a la variable (o coordenada) Xi, 1 S i S m, en el punto (al, ,am ) E D, si la funcin

t t--t fal, , aj _ l,t,aj_l, , am ) (*) es continua en el punto t = ajo

Si f es continua en (al, ... ,am ) E D entonces f es continua con respecto a cada f variable (o coordenada) Xj, 1 S j S m. En efecto, la aplicacin (*) es la compuesta de f con la aplicacin t t--t (al, ... aj - l, t, aj , ... ,am ) que claramente es continua. El recproco es, en general, falso como muestra el sig

227899._2006_1

Documents

Transcript of 227899._2006_1