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2. Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales y cuadráticas

2.1. Introducción

Hacia el año 250 de nuestra era, el matemático griego Diofanto de Alejandría introdujo la utilización de signos, letras y la abreviatura de palabras para representar cantidades y operaciones entre ellas. Este sistema mixto se le llamó álgebra sincopada. Por este motivo se le considera el precursor del álgebra, pero algunos libros plantean que los babilonios y los egipcios fueron los primeros en su empleo, pues para resolver algunos problemas indicaban frases o palabras como representación de cantidades.

De especial relevancia fueron los logros de la matemática hindú en los primeros siglos de nuestra era en aritmética y álgebra. En particular reconocieron los números negativos como soluciones de una ecuación y que las ecuaciones cuadráticas podían tener hasta dos soluciones diferentes. Parte de la matemática hindú fue asimilada por los países islámicos, mayormente durante los siglos IX al XIII. Entre los matemáticos árabes se destaca al-Jwārizmī, cuyo tratado sobre la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas con coeficientes numéricos sentó las bases del conocimiento matemático en la Europa medieval. De su nombre proviene precisamente la palabra “algoritmo”, por los procedimientos algebraicos1 que introdujo para resolver tales ecuaciones con la utilización de la numeración arábiga y la notación decimal.

Sin embargo, no fue hasta el siglo XVI que F. Vieta (1540-1603), matemático francés, mostró la dirección que habría de seguir el álgebra en su desarrollo ulterior al sentar las bases de la actual terminología y simbología matemáticas e introducir novedosas técnicas para la transformación y resolución de ecuaciones. Ya a finales del siglo XVI e inicios del XVII, las ecuaciones eran una herramienta indispensable en el desarrollo de la Matemática. Con la introducción en esta misma época por René Descartes, de los sistemas de coordenadas, fue posible expresar el conjunto solución de las ecuaciones mediante puntos, rectas y curvas, contribuyendo así al nacimiento del concepto de función.

El concepto función es resultado de una larga evolución histórica hasta llegar a su definición actual, al dejarse de exigir: 1) que su representación gráfica fuera una curva continua y 2) que estuviera dada necesariamente mediante una expresión analítica (ecuación). La denominación de función fue utilizada por primera vez por el alemán W.G. Leibniz en 1694 para designar una relación de dependencia entre dos magnitudes.

Gracias al lenguaje simbólico de la matemática hoy en día no solo se puede establecer de manera unívoca el significado de las proposiciones matemáticas, sino que también se facilita escribirlas de forma más compacta y clara, lo cual favorece su comprensión y fijación y permite el desarrollo de cálculos y algoritmos, que si bien son posibles en teoría mediante el lenguaje natural, se podrían realizar difícilmente en la práctica. De esta manera podemos establecer relaciones a partir de informaciones dadas en diferentes formatos y podemos interpretar, representar o generalizar situaciones de la realidad, o de la propia matemática, mediante reglas verbales, tablas, gráficos o ecuaciones que describen funciones.

1 La palabra álgebra proviene de la palabra árabe al-ŷabr que significa ‘reducción’.

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Es importante que dominemos conceptos, relaciones y procedimientos como los estudiados en este capítulo para que podamos desarrollar estrategias que nos permitan resolver o formular nuevos problemas intra - y extramatemáticos, tanto de la vida práctica como de carácter político ideológico, económico- social o científico – ambiental.