Microeconomıa IProfesores: Juan Dıaz, Andres Gomez-Lobo y Jorge Rivera

Ayudantes: Cristobal Araya, Mario Canales, Bastian Gallardo, Fernando Pino, Juan Alonso Puentes, PabloSanchez1

Pauta Guıa IOtono 2013

Preparacion Solemne 1

Comentes

1. La TMS indica la cantidad del bien 1 que entregaremos a cambio de una cantidad de consumo marginaldel bien 2.

Respuesta

Falso, es totalmente al reves: la cantidad de bien 2 que entregaremos a cambio de una unidad de bien 1.Ademas deben notar que no es una medida de cambio que efectivamente se vaya a realizar, sino que esun ejercicio que realizamos antes de hacer la transaccion.

2. Cuanto hacemos una transformacion monotona creciente sobre una funcion de utilidad no alteramos laspreferencias pero la tasa marginal de sustitucion varıa.

Respuesta

Falso, matematicamente supongamos que a la funcion u(x1, x2) se le aplica la transformacion φ(u).Derivando esta nueva funcion con respecto a ambos bienes se tiene:

∂φ

∂x1=

∂φ

∂u

∂u

∂x1

∂φ

∂x2=

∂φ

∂u

∂u

∂x1

La TMS (en valor absoluto) de la funcion transformada serıa∂φ∂u

∂u∂x1

∂φ∂u

∂u∂x1

donde es directo ver que los terminos

∂φ∂u se eliminan, dejando la TMS inalterada.

3. Cuando demostramos la convexidad de las curvas de indiferencia estamos diciendo implıcitamente quea su vez la funcion de utilidad es convexa.

Respuesta

Esto no es correcto pues se sabe que la funcion de utilidad es cuasiconcava. La convexidad de las curvasde indiferencia se deriva directamente de la cuasiconcavidad de la funcion de utilidad.

1pabsanch@fen.uchile.cl

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4. Un individuo que no prefiere mas a menos no es racional. Por tanto, si un amigo le dice que prefiere 2completos y 2 cervezas frente a 2 completos y 3 cervezas, ud. puede asegurarle que no esta actuando demanera racional.

Respuesta

Falso. Su amigo puede perfectamente tener preferencias del tipo perfecto sustituto, las que sabemos queson estrictamente monotonicas, es decir, nuestro nivel de utilidad puede no aumentar aunque obtenga-mos mas de uno de los bienes (solo de uno de ellos). Comunmente (?) las cervezas y completos soncomplementos por tanto el comente es falso.

5. Considere el supuesto de transitividad de las preferencias. Si ud. en un dıa lluvioso prefiere un paraguasa una bebida y una bebida a un helado, mientras un dıa soleado prefiere el helado por sobre las bebidasy el paraguas, sus preferencias no seran transitivas y ud. no sera un agente racional. Comente.

Respuesta

Falso. En este caso la transitividad no corre pues nos estamos enfrentando a escenarios distintos (lluviay verano). Por tanto no existe espacio a que podemos senalar que el supuesto se invalida.

6. Suponga que un agente tiene preferencias homoteticas. Si consumir la canasta (a,b) le brinda utilidadesmarginales de 2 y 5 por el bien x1 y bien x2 respectivamente, ¿cuanto sera el valor de la utilidad marginaldel bien x2 asumiendo que consumir la canasta (c,d) le proporciona utilidad marginal de 3 por el bienx1? (Hint: asuma que por ambas canastas pasa un rayo que parte desde el origen).

Respuesta

Si existe un rayo desde el origen que pase por ambas canastas (homoteticidad) podemos estar segurosde que TMS1 = TMS2. En consecuencia 2

5 = 3x , donde mediante un simple despeje llegamos a 15/2 o

7,5. Es decir, la utilidad marginal de x2 sera de 7,5.

7. Cuando observamos curvas de indiferencia mas planas, notamos que existe menor elasticidad de sustitu-cion.

Respuesta

Falso. Es totalmente al reves. De manera intuitiva, una menor elasticidad de sustitucion implica quepuedo intercambiar en un grado mucho menor el bien 1 por el bien 2 o viceversa. Esto se asocia masa una funcion de complementos. A mayor elasticidad es mas facil cambiar bien 1 por bien 2 y estose condice con curvas de indiferencia mas planas (en el extremo, la funcion de sustitutos perfectos escompletamente lineal).

8. Una funcion homogenea siempre es homotetica, ası como toda funcion homotetica es homogenea.

Respuesta

Es correcto decir que toda funcion homogenea es homotetica. Sin embargo existen funciones que sonhomoteticas sin ser homogeneas. La homoteticidad es facil de verificar si la TMS es funcion de x1

x2, es

decir, del ratio entre el bien 1 y el bien 2 (en termino de cantidades).

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9. Debido a la imposicion de una restriccion presupuestaria, un individuo siempre hara la eleccion de sucanasta optima por encima de la recta de presupuesto. Comente

Respuesta

En realidad el individuo podria elegir cualquier canasta dentro del conjunto presupuestario. Lo que melleva a elegir una canasta encima de la recta de presupuesto no es la restriccion en sı, sino mas bienel supuesto de que gastare todo el presupuesto (matematicamente, que la relacion de presupuesto sesostendra con igualdad).

10. Como la condicion de optimo del consumidor es que la tasa marginal de sustitucion sea igual a los preciosrelativos, cuando esta igualdad no se sostenga no es posible encontrar demandas marshallianas.

Respuesta

Falso. Existe lo que se llama soluciones esquina, es decir, canastas optimas que no sostienen la condicionde maximizacion matematica y nos llevaran a consumir SOLO un bien. En particular si UMgx

px>

UMgypy

consumiremos solo bien x, y viceversa. Es decir, lo que interesa es la utilidad marginal por peso gastado.Casos ”emblema”son los sustitutos perfectos y los ”males.economicos.

11. El unico caso donde observamos soluciones esquina como optimo es cuando trabajamos con preferenciasde sustitutos perfectos.

Respuesta

Falso, como se discutio en el comente anterior, si el individuo incluye en su funcion de utilidad dos males(contaminacion por ejemplo) su solucion estara asociada a una solucion de esquina: elegira uno de losdos males, el que deteriore menos su utilidad.

12. Considere dos individuos que consumen los mismos bienes: x1 y x2. Demuestre que si la funcion deutilidad de uno de ellos es la raız cuadrada de la del otro, las condiciones de optimos serıan las mismas.¿Que faltarıa suponer para asegurar que consumen lo mismo?

Respuesta

Esto es equivalente a lo demostrado en el comente 2, donde ahora la funcion φ serıa la raız cuadrada.Es directo de esta demostracion matematica que la condicion de optimo (TMS = precios relativos) esla misma. Ahora, si queremos asegurar que van a consumir lo mismo debemos comprobar que: (1) losindividuos enfrenten los mismos precios y (2) que ambos tengan el mismo ingreso.

13. Si los precios e ingreso son expresados en dolares, entonces las condiciones de optimo y las demandasmarshallianas seran exactamente las mismas que cuando las variables se expresaban en pesos. Expliquepor que si o por que no.

Respuesta

La respuesta es verdadero. Esto es directo si consideramos la propiedad de las demandas marshallianasque nos dice que estas son homogeneas de grado 0 en precios e ingreso. Pensemos el tipo de cambiocomo un factor λ, entonces la propiedad de homogeneidad me dice que dara lo mismo valorar el problemaen dolares o pesos, siempre las demandas seran exactamente las mismas.

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14. En el caso de las funciones lineales, el escenario optimo sera escoger aquel bien que tenga mayor utilidadmarginal.

Respuesta

Falso. En caso de las funciones lineales tendremos solucion esquina y el optimo sera escoger aquel bienque tenga mayor utilidad por peso gastado.

15. La identidad de Roy me permite recuperar las demandas marshallianas a partir de una transformacionmonotona positiva de mi funcion de utilidad original.

Respuesta

Falso. La identidad de Roy relaciones las demandas marshallianas con la funcion de utilidad indirecta(FUI). En particular, me dice que el negativo del ratio entre la derivada parcial de la FUI con respecto aun precio (del bien 1 o 2) y la derivada parcial de la FUI con respecto al ingreso me dara como resultadola demanda marshalliana del bien respectivo (1 o 2). Pero la funcion de utilidad indirecta no es unatransformacion monotona de la funcion de utilidad, sino que es la funcion valor, la que sale de reemplazarlas demandas marshallianas en la funcion de utilidad original.

Matematicos

1. Funcion de Elasticidad de Sustitucion Constante. Sea la siguiente funcion de utilidad CES:

u(x1, x2) = (α1xρ1 + α2x

ρ2)

1ρ

En donde α1 + α2 = 1 y siendo su elasticidad de sustitucion constante e igual a: σ = 11−ρ .

(a.) ¿A que funcion se aproxima la CES cuando ρ → 1? Comente que sucede con la elasticidad desutitucion.

Respuesta

Cuando ρ → 1 la funcion tiende a una de Sustitutos Perfectos. Considerando la expresion para laelasticidad de sustitucion, con ρ→ 1 tenemos que σ →∞. Ası, la funcion lineal tiene una elasticidadde sustitucion constante igual a infinito, es decir, la funcion expresada representa preferencias debienes perfectos sustitutos.

(b.) ¿A que funcion se aproxima la CES cuando ρ → 0? Comente que sucede con la elasticidad desutitucion.

Respuesta

Cuando ρ→ 0 la funcion tiende a una Cobb Douglas. Basta aplicar logaritmo natural a la expresion,posterior a ello aplicar lımite y obtendremos una expresion del tipo 0

0 que puede ser resuelta medianteL’Hopital, posterior a ello basta una trasnformacion monotonica creciente (exponencial) para llegara la clasica funcion Cobb-Douglas.

Considerando la expresion para la elasticidad de sustitucion, con ρ→ 0 tenemos que σ → 1. Ası, lafuncion Cobb-Douglas tiene una relativa sustituibilidad.

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(c.) ¿A que funcion se aproxima la CES cuando ρ → −∞? Comente que sucede con la elasticidad desutitucion.

Respuesta

Cuando ρ → −∞ la funcion tiende a una de Complementos Perfectos o Leontief. Basta aplicarlogaritmo natural a la expresion, posterior a ello aplicar lımite y obtendremos una expresion del tipo00 que puede ser resuelta mediante L’Hopital, luego la solucion es:

lımρ→−∞

1

α1xρ1 + α2x

ρ2

(α1xρ1 lnx1 + α2x

ρ2 lnx2)

Luego, multiplicando el numerador y el denominador por 1xρm

donde xm = mınx1, x2 tenemos que:

lımρ→−∞

1

α1

(x1

xm

)ρ+ α2

(x2

xm

)ρ (α1

(x1

xm

)ρlnx1 + α2

(x2

xm

)ρlnx2

)

Luego, si ρ → −∞ y xm = x1, entonces(x1

xm

)ρ→ 1 y

(x2

xm

)ρ→ 0 y por ende el lımite tiende

a lnx1. Analogo es el proceso para x2 Luego, aplicando una trasnformacion monotonica creciente(exponencial) obtenemos la funcion de mınimos (Leontief).

Considerando la expresion para la elasticidad de sustitucion, con ρ → −∞ tenemos que σ → ∞.Ası, la funcion Leontief tiene nula elasticidad de sustitucion, es decir, la funcion expresada representapreferencias de bienes que son complementos perfectos.

2. Preferencias y utilidad. Considere las siguientes funciones de utilidad:

u(x1, x2) = α1x1 + α2x2

u(x1, x2) = x1 +√x2

u(x1, x2) = mın [α1x1, α2√x2]

Para cada una de ellas se pide:

(a.) Calcule la utilidad marginal de cada bien y la TMS.

Respuesta

Para la funcion 1 tenemos que UMg1 = α1 y UMg2 = α2 por tanto:

TMS1,2 = −α1

α2

Para la funcion 2 tenemos que UMg1 = 1 y UMg2 = 12√x2

por tanto:

TMS1,2 = −2√x2

Y finalmente para la funcion 3 hacemos un analisis diferente. Sabemos que preferencias de mınimo serepresentan por angulos rectos (no son derivables), donde en la seccion vertical la utilidad marginalpor x1 sera infinito y la utilidad marginal por x2 sera 0 (es de proporciones fijas, por lo que sime ofrecen mas x2 aceptare el cambio solo en la medida que me entreguen mas x1). En la seccionhorizontal es al reves: la utilidad marginal por x1 es cero, pero la utilidad marginal por x2 es infinito.Concluimos entonces que hay dos TMS en esta funcion, mientras en la parte vertical la TMS esinfinita, en la parte horizontal la TMS es cero.

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(b.) Determine si las funciones son homogeneas y muestre cual es su grado de homogeneidad.

Respuesta

Deben llegar a la conclusion de que las funciones 1 y 3 sı son homogeneas (y de grado 1) mientrasla 2 no lo es.

(c.) Determine si son homoteticas.

Respuesta

El analisis de homoteticidad tambien es distinto. En el caso de la primera funcion notemos que si

es homotetica pues la TMS es funcion de x1/x2, en este caso particular(x1

x2

)0

. Ademas, se debe

notar que es homogenea.

La funcion dos no es homotetica pues (1) no es homogenea y (2) su TMS no es funcion de ambosbienes.

La funcion mınimo si es homotetica pues trazando un rayo desde el origen siempre las canastas quecruce tendran una TMS proporcional. Si lo quieren ver intuitivamente, recuerden que la funcionmınimo es un caso particular de la funcion CES, la que a su vez es homotetica.

3. Preferencias cuasilineales. Asuma que las preferencias de un individuo estan representadas por lasiguiente funcion de utilidad:

u(x1, x2) = − α

x1+ βx2

(a.) Encuentre una expresion para la curva de indiferencia.

Respuesta

Para obtener la curva de indiferencia, fijamos un nivel de utilidad y despejamos alguno de los dosbienes. En este caso despejaremos x2 como funcion de x1:

u0 = − α

x1+ βx2

βx2 = u0 +α

x1

x2 =u0

β+

α

βx1

(b.) ¿Es esta funcion homogenea? ¿Son las preferencias homoteticas? Justifique.

Respuesta

calculamos la RMS para ver si son homoteticas:

∂u

∂x1= − α

x21

u

x2= β

RMS =α

βx21

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calculamos la RMS(TMS) depende del valor en terminos absoluto de x1 y no de los valores relativosde ambos bienes, la funcion no es homotetica.

La funcion tampoco es homogenea, ya que no podemos despejar t en la siguiente expresion:

u(t−→x ) = − α

tx1+ βtx2

(c.) Considere que el ingreso del agente es I y los precios de los bienes x1 y x2 son p1 y p2 respectivamente.Plantee el problema de maximizacion del consumidor.

Respuesta

Max u(−→x ) s.a. p1x1 + p2x2 = I

(d.) Obtenga las demandas marshallianas.

Respuesta

formamos el Lagrangiano

ζ = − α

x1+ βx2 + λ(I − p1x1 − p2x2)

CPO:

∂u

∂x1= − α

x21

= λp1

∂u

∂x2= β = λp2

I = p1x1 + p2x2

de este proceso obtenemos las marshallianas

x1 =

√−αp2

βp1

bien neutro

x2 =I

p2−√−αp2

βp1

p1

p2

cuando la parte negativa es mayor en valor absoluto a la positiva, no se consume nada de este bien(solucion esquina).

(e.) Compruebe las propiedades de las demandas marshallianas.

Respuesta

Vamos a comprobar que ambas son homogeneas de grado 0.

x1(tp, tI) =

√−αtp2

βtp1= x1(p, I)

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x2(tp, tI) =tI

tp2−√−αtp2

βtp1

tp1

tp2= x2(p, I)

Queda propuesto demostrar la Ley de Walras y la unicidad.

4. Maximizacion futbolera. Con toda la atmosfera clasificatoria que se respira esta semana, usted esta in-teresado en comprar alguna camiseta de la seleccion para regalarle a su padre (muy fanatico del futbol).Usted tiene dos opciones: compar la camiseta de Pipe Gutierrez (x1) o bien la de Nico Castillo (x2)2.Suponiendo que el precio de cada una de ellas es de $10 y $15 (respectivamente) y su lımite de gasto esde $110, responda lo que sigue tomando en cuenta que la funcion de utilidad de su padre es:

u(x1, x2) = (x1 + α)x2

(a.) Calcule la TMS y determine si estas preferencias son homoteticas.

Respuesta

Es directo ver que UMg1 = x2 y UMg2 = x1 + α por lo que la TMS correspondiente sera:

TMS1,2 = − x2

x1 + α

Sobre la homoteticidad: sabemos que la funcion no es homogenea pero hay dos comentarios adicio-nales. Si α = 0 la funcion tiene estructura de homoteticidad. Adicionalmente, a ingresos muy altosα se vuelve marginal para la decision de consumo, por lo que la funcion es cuasi-homotetica.

(b.) Suponiendo que α = 1, obtenga la cantidad de camisetas de cada jugador que debera comprar paramaximizar la utilidad de su padre.

Respuesta

El problema de maximizacion tiene la estructura usual:

maxx1,x2

x1 · x2 s.a. 10x1 + 15x2 = 110.

De resolver el problema anterior llegamos a que las demandas por camisetas de Pipe Gutierrez (x1)y Nico Castillo (x2) son las siguientes:

xm1 =11

2, xm2 =

11

3

(c.) Suponga que por una promocion de la tienda, ambas camisetas quedan en $10. ¿Como cambia surespuesta del apartado anterior?

Respuesta

Se debe resolver exactamente el mismo problema que en (b) pero solo asumiendo que p2 sera 10 yno 15. Optimizando la utilidad del consumidor se llegara a que:

xm1 = xm2 =11

2

Lo que es bastante intuitivo ya que ahora ambos bienes cuestan igual.

2Su padre es racional y, por ende, hincha de la UC.

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(d.) Si su madre decide aportar a su presupuesto para hacer mas feliz aun a su padre, dejando su lımitede gasto en $150. ¿Que sucede con el optimo?

Respuesta

Esto es equivalente al problema en (c) pero solo asumiendo que I sera 150 y no 110. Optimizandola utilidad del consumidor se debe llegar a que:

xm1 = xm2 =15

2

Es decir, comprara mas de ambas camisetas. Algo bastante creıble en el sentido de que puede versecomo un desplazamiento hacia fuera de la restriccion presupuestaria, aumentando el set de canastasposibles de consumo.

5. Cobb Douglas con impuestos. Considere un individuo cuyas preferencias estan dadas por:

u(x1, x2) = xα1 · x1−α2

Donde 0 < α < 1. Asuma que los precios de los bienes son p1 y p2 respectivamente, y que el ingresoexogeno es I > 0.

(a.) Suponga que se aplica un impuesto de suma alzada T > 0 al individuo (esto significa que se lequita un monto fijo de su ingreso). Determine las demandas y la utilidad indirecta.

Respuesta

Dados los precios e ingresos, tenemos que el problema del consumidor es:

maxx1,x2

xα1 · x1−α2 s.a. p1x1 + p2x2 = I

De lo anterior sera directo comprobar que las demandas son:

x1(p1, p2, I) =αI

p1, x2(p1, p2, R) =

(1− α)I

p2, (1)

Por lo que la funcion de utilidad indirecta sera:

V (p1, p2, I) = I · 1

pα1 p1−α2

· αα(1− α)(1−α) (2)

Por lo tanto, si la renta ahora es I − T , como p1, p2 no han cambiado, la utilidad indirecta simple-mente sera:

V ∗ = V (p1, p2, I − T ) = (I − T ) · 1

pα1 p1−α2

· αα(1− α)(1−α)

(b.) Suponga que se aplica un impuesto ad valorem τ > 0 al bien x1 (esto es, proporcional al gasto endicho bien). Determine las demandas y la utilidad indirecta.

Respuesta

Sabemos que ahora la renta I no cambia. Lo que sı varia es el gasto en el bien 1 p1x1, por lo queel gasto final en este bien sera (1 + τ) · p1x1; el gasto en 2 sigue siendo p2x2. La nueva restricciones finalmente:

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(1 + τ) · p1x1 + p2x2.

Intuituvamente, el impuesto τ puede verse como un aumento en el precio p1. En este escenario, elproblema del individuo sera:

maxx1,x2

xα1 · x1−α2 s.a. p1 · (1 + τ)x1 + p2x2 = I

De () es directo apreciar que la funcion de utilidad indirecta es la siguiente:

V ∗ = V (p1 + τ, p2, I) = I · 1

[(1 + τ)p1]αp1−α2

· αα(1− α)(1−α)

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