Pontificia Universidad Catlica del Per Programa de Maestra en Economa Curso: Microeconoma Intermedia Profesores: Claudia Barriga & Jos Gallardo Asistente: Csar Gil Malca

Teora del Bienestar

Considerando el siguiente problema de maximizacin de la utilidad:

mx. U = 21

32

1

22

1

1 XXX

s.a. I = P1X1 + P2X2 + P3X3

Donde:

I : Ingreso total.

iX : Demanda del bien i.

:iP Precio del bien i.

La funcin de Lagrange asociada al problema seria:

L (X1, X2, X3,) = 2

1

32

1

22

1

1 XXX - (I P1X1 P2X2 P3X3)

02

1

1

21

1

1

PX

X

L (1)

02

1

2

21

2

2

PX

X

L (2)

02

1

3

21

3

3

PX

X

L (3)

L I P1X1 P2X2 P3X3 = 0... (4)

De las ecuaciones (1) y (2):

2

1

21

1

21

2

P

P

X

X X2 = 1

2

2

1 XP

P

(5)

De las ecuaciones (1) y (3) por simetra:

X3 = 1

2

3

1 XP

P

(6)

Reemplazando (5) y (6) en (4) tenemos:

I = P1X1 + 1

2

3

131

2

2

12 X

P

PPX

P

PP

I = X1 32

12133211

2

3

2

1

2

2

11

)(

PP

PPPPPPPx

P

P

P

PP

Despejando X1 obtenemos la demanda Marshalliana del bien 1:

X1(P, P2, P3, I) = )(

1213321

32

PPPPPPP

IPP

Reemplazando en (5) y (6) obtenemos la demanda Marshalliana del bien 2 y 3:

X2(P, P2, P3, I) = )(

1213322

31

PPPPPPP

IPP

X3(P, P2, P3, I) = )(

1213323

21

PPPPPPP

IPP

Reemplazando las demandas Marshallianas en la funcin de utilidad obtenemos la

funcin de utilidad indirecta:

V (P, P2, P3, I)= 2

1

1213323

212

1

1213322

312

1

1213321

32

)(

)(

)(

PPPPPPP

IPP

PPPPPPP

IPP

PPPPPPP

IPP

=

21

21

32

1

22

1

1

213132 I PPP

PPPPPP

Por teorema de la dualidad tenemos la funcin de gasto:

e (P1, P2, P3, ) = )(

213132

2

3 21

PPPPPP

UPPP

Por el lema de Shepard obtenemos las demandas compensadas Hicksianos:

)(

)(

)( 213132

23321

213132

2

32

1

1PPPPPP

UPPPPP

PPPPPP

UPP

P

eX h

Despejando la demanda Hicksiana del bien 1:

2

213132

2

3

2

23211

)(

),,,(

PPPPPP

UPPUPPPX h

Por simetra:

2

213132

2

3

2

13212

)(

),,,(

PPPPPP

UPPUPPPX h

2

213132

2

1

2

23213

)(

),,,(

PPPPPP

UPPUPPPX h

Veamos un ejemplo:

Una persona labora en Arequipa y su ingreso lo gasta entre 3 tipos de bienes y servicios:

Alquiler, entretenimiento y alimento; los precios de cada bien y servicio son

respectivamente: AP1 = 10,

AP2 = 5, AP3 = 20, pero, su empresa le exige rotar a Lima

donde los precios de los bienes y servicios son respectivamente:LP1 =20,

LP2 = 5, LP3 = 20,

Cunto estara dispuesto a pagar como mximo la persona para no ir a Lima? Cunto

estara dispuesto a aceptar la persona para ir a Lima?

La respuesta a la primera cuestin se obtiene con la variacin equivalente, dado que

aumenta los precios, que se define como:

VE = e (LAAA uPPP ,,, 321 ) - e (

AAAA uPPP ,,, 321 )

VE =

L

A

L

A

L

A

P

P

LP

P

LP

P PPPPPPuPP

PPPPPP

uPP

P

e 1

1

1

1

1

1 )(

1

)( 213132

2

3

2

2

213132

2

3

2

2

1

Por formula de integracin tenemos:

1112 AAdA

A

Por lo tanto tenemos:

VE =

L

A

P

P

L

PPPPPPPP

uPP1

1

)(

1

)( 21313232

2

3

2

2

Reemplazando los datos del ejercicio obtenemos la respuesta a la primera pregunta en

funcin de la utilidad:

VE=21

))5102010205(

1

)5202020205(

1(

)205(

205 22 LL uu

La respuesta a la segunda cuestin se obtiene con la variacin compensada, dado que

aumenta los precios, que se define como:

VC = )u,P,P,P(e)u,P,P,P(e 0131

2

1

1

11

3

1

2

1

1

VC=

L

A

L

A

L

A

P

P

AP

P

AP

P PPPPPPuPP

PPPPPP

uPP

P

e 1

1

1

1

1

1 )(

1

)( 213132

2

3

2

2

213132

2

3

2

2

1

VC= ))5102010205(

1

)5202020205(

1(

)205(

205 22

Au