2004 UDC TD GonzalezGerardo

UNIVERSIDADE DA CORUÑA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y SISTEMAS

TESIS DOCTORAL

OPTIMIZACIÓN DE AISLADORES DE ALTA TENSIÓN EN EL SENO DE

DISTRIBUCIONES TRIDIMENSIONALES DE CAMPO

ELÉCTRICO

GERARDO GONZÁLEZ FILGUEIRA

DICIEMBRE 2003

UNIVERSIDADE DA CORUÑA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y SISTEMAS

TESIS DOCTORAL:

“OPTIMIZACIÓN DE AISLADORES DE ALTA TENSIÓN EN EL SENO DE

DISTRIBUCIONES TRIDIMENSIONALES DE CAMPO

ELÉCTRICO” REALIZADA POR

GERARDO GONZÁLEZ FILGUEIRA

INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN

PARA LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE DOCTOR EN INFORMÁTICA DIRECTOR DE TESIS: JESÚS Á. GOMOLLÓN GARCÍA

DOCTOR INGENIERO INDUSTRIAL

FERROL, DICIEMBRE 2003

AGRADECIMIENTOS

Sin lugar a dudas uno de los apartados más difíciles de escribir para mí es el de agradecimientos. No pretendo caer en una hipocresía barata, pues para eso no escribiría nada, pero aun a sabiendas de que no voy a ser capaz de incluir a todos los que han contribuido a la aparición de esta tesis, pido que el que lea estas líneas y crea que ha tenido que ver en algo en la presentación de este trabajo se sienta incluido pues seguro que por error y no por omisión voluntaria no ha aparecido referenciado.

Mi primera mención es para mi director de tesis el profesor Dr. Jesús Á. Gomollón García. El sentimiento me impide expresar con palabras lo que él hizo por mi no sólo en el aspecto profesional sino también en el personal. Sirva decir simplemente que sin su decidido apoyo y ayuda estoy completamente convencido de que esta tesis nunca hubiese visto la luz, lo cual como se comprenderá no tiene nada de simple.

Mi siguiente recuerdo es para Emilio Santomé, compañero donde los haya en todo el sentido de la palabra, que me sirvió de inestimable ayuda en mis horas más bajas.

A Miguel Menacho por sus buenos consejos personales y profesionales. Dicen por ahí que nadie aprende por cabeza ajena y yo no iba a ser una excepción.

A mis compañeros de Área, especialmente a Roberto Pérez, Javier Pérez y Francisco Oliver por haberme apoyado económicamente en un momento de la investigación.

A mi compañero de asignatura César Vidal. Las personas como César son un “rara avis” en peligro de extinción, pero a mi entender merecen la pena conservarlas más allá del trabajo.

Al departamento de Ingeniería Industrial por haberme dado la suficiente tranquilidad durante estos últimos 4 años para poder finalizar la tesis.

Al departamento de Electrónica y Sistemas, especialmente al Dr. Jorge García Vidal por facilitarme la labor de convalidación de los cursos de Doctorado y a mi tutor en el programa de doctorado Dr. Luis Castedo Ribas por las facilidades brindadas para la consecución de la suficiencia investigadora y lectura de esta tesis.

A mis amigos que han seguido las peripecias de esta “Historia Interminable” y que hoy parece más cerca de su final.

A mis padres que actuaron como auténticos sufridores de este trajín.

Y por último a mi hermana, que siempre está ahí aunque no se lo pidas y que en definitiva lo es todo para mí. Tampoco podría entenderse la finalización de esta obra sin su decidido apoyo.

“La victoria, por mucho que crezca,

no logra recobrar a los muertos”.

Jules Romains

"Prefiero permanecer callado y parecer estúpido

que abrir la boca y despejar todas las dudas".

Groucho Marx

TRIBUNAL: Presidente tribunal: Antonio Pastor Gutiérrez. Catedrático de Universidad. Área: Ingeniería Eléctrica (535). Departamento: Ingeniería Eléctrica de E.T.S.I.I. U.P.M. e-mail: [email protected]

Vocal 1º: Fernando Garnacho Vecino. Catedrático de Escuela Universitaria. Área: Ingeniería Eléctrica (535). Departamento: Ingeniería Eléctrica de E.U.I.T.I. U.P.M. e-mail: [email protected]

Vocal 2º: Juan Bautista Arroyo García. Titular de Universidad. Área: Ingeniería Eléctrica (535). Departamento: Ingeniería Eléctrica. Universidad de Zaragoza. e-mail: [email protected]

Vocal 3º: Sergio Martínez González. Titular de Universidad. Área: Ingeniería Eléctrica (535). Departamento: Ingeniería Eléctrica de E.T.S.I.I. U.P.M. e-mail: [email protected]

Secretario tribunal: Luis Castedo Ribas. Catedrático de Universidad. Área: Teoría de la Señal y Comunicaciones (800). Departamento: Electrónica y Sistemas. Universidad de A Coruña. e-mail: [email protected].

Fecha de Lectura: 13-2-2004.

Centro: Facultad de Informática. Campus de Elviña s/n. 15071. A Coruña.

Calificación: Sobresaliente Cum Laude.

I

ÍNDICE

Capítulo 1 Objetivos y Antecedentes ______________________________________ 1

1.1 Introducción _________________________________________________________ 1

1.2 Objetivos ____________________________________________________________ 3

1.3 Antecedentes _________________________________________________________ 4 1.3.1 Métodos de cálculo de campos ______________________________________________4 1.3.2 Métodos de optimización___________________________________________________7

1.4 Conclusiones preliminares _____________________________________________ 11

Capítulo 2 Métodos Numéricos de Cálculo de Campos Eléctricos _____________ 13

2.1 Introducción ________________________________________________________ 13 2.1.1 Consideraciones generales_________________________________________________14

2.1.1.1 Conductores _________________________________________________________15 2.1.1.2 Aisladores ___________________________________________________________15 2.1.1.3 Planteamiento del problema _____________________________________________15

2.1.2 Métodos numéricos de cálculo de campos_____________________________________17

2.2 Método de simulación de cargas (CSM: Charge Simulation Method)__________ 20 2.2.1 Principio básico _________________________________________________________20 2.2.2 Formulación de las condiciones de contorno___________________________________22

2.2.2.1 Coeficientes de potencial y de campo eléctrico ______________________________22 2.2.2.2 Formulación numérica de las condiciones de contorno ________________________23

2.2.2.2.1 Electrodos a potencial fijo__________________________________________24 2.2.2.2.2 Electrodos a potencial indeterminado dentro de un único medio dieléctrico ___24 2.2.2.2.3 Superficies dieléctricas ____________________________________________25

2.2.3 Construcción del sistema de ecuaciones ______________________________________28 2.2.4 Consideración del plano de tierra ___________________________________________29 2.2.5 Cálculo de potencial y campo ______________________________________________30 2.2.6 Tipos de configuraciones__________________________________________________31 2.2.7 Campos eléctricos en sistemas bidimensionales ________________________________31 2.2.8 Campos eléctricos en sistemas tridimensionales de revolución_____________________33 2.2.9 Campos eléctricos en sistemas tridimensionales sin simetría axial __________________37

2.2.9.1 Simulación con varias distribuciones uniformes______________________________39 2.2.9.2 Simulación con una sola estructura y varios valores discretos de cargas ___________40 2.2.9.3 Simulación con una sola estructura y una variación continua de la densidad de carga_41

2.2.10 Criterios para la modelización______________________________________________44 2.2.10.1 Tratamiento de zonas de variación______________________________________44 2.2.10.2 Matriz de cuasibanda ________________________________________________44 2.2.10.3 Decisiones en las modelizaciones ______________________________________45 2.2.10.4 Aspectos de aplicación_______________________________________________46

2.3 Método de cargas superficiales (SCSM: Surface Charge Simulation Method)___ 48 2.3.1 Introducción____________________________________________________________48 2.3.2 Principio básico _________________________________________________________49

II

2.3.3 Coeficientes de potencial y campo __________________________________________50 2.3.4 Formulación de las condiciones de contorno___________________________________52

2.3.4.1 Electrodos a potencial fijo ______________________________________________52 2.3.4.2 Electrodos a potencial flotante ___________________________________________52 2.3.4.3 Superficies de separación dieléctricas______________________________________53

2.3.5 Construcción del sistema de ecuaciones ______________________________________54 2.3.6 Cálculo de la distribución de potencial _______________________________________54

2.3.6.1 Campo rotacionalmente simétrico ________________________________________55 2.3.6.2 Campo sin simetría rotacional ___________________________________________58

2.3.7 Cálculo de la intensidad de campo __________________________________________60 2.3.7.1 Cálculo de la intensidad de campo mediante el cálculo de diferencias_____________60 2.3.7.2 Cálculo de la intensidad de campo mediante diferenciación analítica _____________61

2.3.7.2.1 Campo rotacionalmente simétrico____________________________________61 2.3.7.2.2 Campo sin simetría rotacional_______________________________________62

2.4 Método de los elementos de contorno (BEM: Boundary Element Method) _____ 63 2.4.1 Introducción____________________________________________________________63 2.4.2 Principio básico. Modelo matemático ________________________________________64 2.4.3 Modelo matemático discreto _______________________________________________67

2.5 Método de elementos finitos (FEM)______________________________________ 70 2.5.1 Introducción____________________________________________________________70 2.5.2 Principio del Método _____________________________________________________70 2.5.3 Funcional asociado a la ecuación diferencial de Poisson _________________________70 2.5.4 Discretización del dominio ________________________________________________71 2.5.5 Función de interpolación __________________________________________________72 2.5.6 Funcional de un elemento. Globalización _____________________________________73

Capítulo 3 Métodos de Optimización de Aparamenta de Alta Tensión __________ 75

3.1 Introducción ________________________________________________________ 75 3.1.1 Fundamentos de la optimización ____________________________________________75

3.2 Métodos de optimización de electrodos de revolución basados en la variación de la curvatura superficial ______________________________________________________ 77

3.2.1 Introducción____________________________________________________________77 3.2.1.1 Optimización para obtener una intensidad de campo constante __________________78 3.2.1.2 Optimización para obtener una tensión de ruptura constante ____________________78

3.2.2 Método de Singer y Grafoner ______________________________________________79 3.2.2.1 Introducción _________________________________________________________79 3.2.2.2 Descripción del método ________________________________________________81

1.1.1.1.1 Reducción del tiempo de cálculo_____________________________________84 1.1.3 Método de Grönewald ____________________________________________________85

1.1.3.1 Introducción _________________________________________________________85 1.1.3.2 Descripción del método ________________________________________________85

1.1.3.2.1 Convergencia____________________________________________________90 1.1.4 Optimización respecto a la tensión de inicio de la descarga disruptiva_______________92

1.1.4.1 Medio dieléctrico de aire _______________________________________________94 1.1.4.2 Medio dieléctrico de hexafluoruro de azufre ________________________________94

III

1.3 Métodos de optimización de electrodos con simetría rotacional basados en la selección de cargas equivalentes _____________________________________________ 95

1.3.1 Métodos de Metz y Okubo ________________________________________________95 1.3.1.1 Introducción _________________________________________________________95 1.3.1.2 Descripción del método ________________________________________________97 1.3.1.3 Método de Metz ______________________________________________________99

1.3.1.3.1 Cálculos interactivos con la ayuda de un terminal gráfico _________________99 1.3.1.3.2 Cálculos automáticos_____________________________________________100

1.3.1.4 Método de H. Okubo, T. Amemiya y M. Honda ____________________________101 1.3.2 Método de Zeng-Yao____________________________________________________104

1.3.2.1 Introducción ________________________________________________________104 1.3.2.2 Teoría básica y formulación del contorno de diseño__________________________104 1.3.2.3 Simulación de la superficie equipotencial__________________________________107

1.3.3 Método de Liu _________________________________________________________109 1.3.3.1 Introducción ________________________________________________________109 1.3.3.2 Descripción del método _______________________________________________110

1.3.3.2.1 Cálculo del incremento de las variables ______________________________111 1.3.3.2.2 Elección de condiciones de restricción _______________________________112 1.3.3.2.3 Determinación de las magnitudes iniciales de las cargas de optimización ____113

1.3.4 Método de Kato ________________________________________________________113 1.3.4.1 Introducción ________________________________________________________113 1.3.4.2 Principio de optimización ______________________________________________114

1.3.4.2.1 Proceso de reasignación de carga ___________________________________117

1.4 Método de Garnacho_________________________________________________ 119 1.4.1 Introducción___________________________________________________________119 1.4.2 Descripción del método __________________________________________________120

1.5 Método de Girdinio__________________________________________________ 124 1.5.1 Introducción___________________________________________________________124 1.5.2 Optimización de un perfil sobre la base de una condición impuesta en el mismo perfil _124 1.5.3 Optimización de un perfil sobre la base de una condición impuesta sobre otro perfil___128

1.6 Método de optimización de contornos de electrodos tridimensionales basado en el método de cargas superficiales. Método de Misaki y Tsuboi_____________________ 130

1.6.1 Introducción___________________________________________________________130 1.6.2 Principio de optimización ________________________________________________130

1.7 Optimización de contornos de electrodos utilizando elementos de contorno. Método de Welly ________________________________________________________ 140

1.7.1 Introducción___________________________________________________________140 1.7.2 Descripción del método __________________________________________________140

1.8 Modificación del contorno de electrodos basada en los efectos de área/volumen sobre la intensidad de campo de ruptura. Método de Kato ______________________ 143

1.8.1 Introducción___________________________________________________________143 1.8.2 Características del aislamiento eléctrico _____________________________________144

1.8.2.1 Condiciones que afectan a las características de ruptura del dieléctrico___________144 1.8.2.2 Efectos de área y volumen de los electrodos _______________________________144

IV

1.8.3 Algoritmo de optimización para los efectos de área y volumen ___________________146

1.9 Optimización de aisladores en función de la componente tangencial de la intensidad de campo _____________________________________________________ 149

1.9.1 Determinación de las geometrías de contorno con ayuda del método de las diferencias finitas. Método de Antolic _______________________________________________________149

1.9.1.1 Introducción ________________________________________________________149 1.9.1.2 Cálculo de control y cálculo de diseño en construcciones de alta tensión _________149 1.9.1.3 Planteamiento del problema ____________________________________________151

1.9.1.3.1 Datos _________________________________________________________151 1.9.1.3.2 Análisis del problema ____________________________________________151

1.9.2 Método de Singer y Grafoner _____________________________________________154 1.9.2.1 Introducción ________________________________________________________154 1.9.2.2 Descripción del método _______________________________________________154

1.9.3 Método de Grönewald ___________________________________________________156 1.9.3.1 Introducción ________________________________________________________156 1.9.3.2 Principio de corrección de los contornos __________________________________156

1.9.4 Método de Abdel-Salam _________________________________________________159 1.9.4.1 Introducción ________________________________________________________159 1.9.4.2 Descripción del método _______________________________________________159

1.9.5 Método de Stih para optimización de electrodos y aisladores _____________________160 1.9.5.1 Introducción ________________________________________________________160 1.9.5.2 Optimización del contorno del electrodo y del aislador _______________________161

1.9.5.2.1 Descripción del método___________________________________________161 1.9.5.2.2 Técnica de optimización __________________________________________162 1.9.5.2.3 Suavizado de un contorno mediante arcos circulares ____________________163

1.9.5.3 Aplicación al diseño del sistema aislador __________________________________165 1.9.6 Optimización del contorno de aislador mediante una red neuronal. Método de Bhattacharya _________________________________________________________________166

1.10 Optimización de aisladores en función de la intensidad de campo total en la superficie del aislador ____________________________________________________ 168

1.10.1 Diseño óptimo y comprobación de laboratorio de separadores de tipo poste para tres fases en cables aislados de SF6. Método de Mashikian______________________________________168

1.10.1.1 Introducción ______________________________________________________168 1.10.1.2 Suposiciones de la filosofía de optimización _____________________________168 1.10.1.3 Restricciones estructurales___________________________________________169 1.10.1.4 Consideraciones eléctricas ___________________________________________170 1.10.1.5 Algoritmo de optimización __________________________________________172

1.10.2 Método de T. Misaki y H. Tsuboi __________________________________________174 1.10.2.1 Introducción ______________________________________________________174

1.10.2.1.1 Descripción del método___________________________________________174 1.10.2.1.2 Aplicaciones de técnicas de optimización de funciones no lineales _________176

1.10.3 Estructura mejorada para evitar intensificación de campo local en separadores de gas SF6. Método de Itaka _______________________________________________________________177 1.10.4 Método de Tokumasu ___________________________________________________179

1.10.4.1 Introducción ______________________________________________________179 1.10.4.2 Método de optimización_____________________________________________179

V

1.10.4.2.1 Reducción de la intensidad de campo por debajo de un valor máximo_______180 1.10.4.2.2 Obtención de una distribución uniforme de intensidad de campo___________182

1.10.5 Método de Andjelic _____________________________________________________183 1.10.5.1 Introducción ______________________________________________________183 1.10.5.2 Utilización de las superficies virtuales__________________________________183 1.10.5.3 Optimización de los contornos________________________________________185

1.10.6 Método de Däumling____________________________________________________188 1.10.6.1 Introducción ______________________________________________________188 1.10.6.2 Descripción del Método _____________________________________________189

1.10.6.2.1 Optimización respecto de la intensidad de campo tangencial ______________190 1.10.6.2.2 Optimización respecto a la intensidad de campo total____________________192 1.10.6.2.3 Optimización respecto a la presión electrostática _______________________192

1.10.6.3 Estudios experimentales_____________________________________________192 1.10.7 Optimización mediante B-Splines. Método de Lee _____________________________193

Capítulo 4 Optimización de Aisladores mediante Splines Cúbicos de Ajuste ____ 195

4.1 Introducción _______________________________________________________ 195

4.2 Objetivo de la optimización ___________________________________________ 195

4.3 Formulación matemática del problema de optimización ___________________ 196

1.4 Relaciones entre campo eléctrico y magnitudes geométricas ________________ 198

1.5 Derivada global de la intensidad de campo ______________________________ 200

1.6 Método de Gomollón_________________________________________________ 205 1.6.1 Introducción___________________________________________________________205 1.6.2 Cálculo de los desplazamientos. ___________________________________________207 1.6.3 Uso de suavizado de splines cúbicos de ajuste para optimización dentro de distribuciones de campo axialmente simétricas __________________________________________________208

Capítulo 5 Ampliación a Campos Tridimensionales del Método de Gomollón __ 209

5.1 Introducción _______________________________________________________ 209

5.2 Calculo de distribuciones de campo tridimensionales con cargas superficiales _ 209

1.3 Posibilidades y límites de control de distribuciones de campo electrostático dentro de superficies aisladoras __________________________________________________ 210

1.1.1 Introducción___________________________________________________________210 1.1.2 Influencia en la distribución de campo de la posición de las superficies del aislador con respecto a las líneas de campo y equipotenciales______________________________________210

1.1.1.1 Aislador paralelo a las líneas de campo ___________________________________211 1.1.1.2 Aislador paralelo a las líneas equipotenciales_______________________________211

1.1.1.2.1 Estudio teórico del caso general ____________________________________211 1.1.1.1.2 Comprobación de los resultados para configuraciones simples ____________220

1.4 Ampliación del método de optimización campos tridimensionales ___________ 234

1.5 Criterios de evaluación _______________________________________________ 236

1.6 Descripción detallada del proceso de optimización para cada curva generatriz_ 237

VI

1.6.1 Consideraciones globales ________________________________________________237 1.6.2 La optimización como proceso iterativo _____________________________________238

1.1.1.1 El conjunto de parámetros de un contorno _________________________________241 1.1.1.2 La función de caracterización de las iteraciones_____________________________242 1.1.1.3 El cálculo de un contorno modificado ____________________________________243

1.1.1.3.1 El cálculo de los contornos desplazados ______________________________244 1.1.1.1.2 Cálculo de los contornos corregidos _________________________________247 1.1.1.1.3 Cálculo del contorno modificado ___________________________________249

Capítulo 6 Cálculo de Ejemplos de Aplicación____________________________ 251

6.1 Introducción _______________________________________________________ 251

6.2 Configuración asimétrica con un electrodo paralelo al aislador de apoyo _____ 251

6.3 Configuración asimétrica con un cable perpendicular al plano xz____________ 255

6.4 Influencia de la distancia del electrodo perturbador en la optimización _______ 257

6.5 Influencia en la optimización de fijar los extremos del aislador______________ 263

6.6 Análisis de resultados ________________________________________________ 265

Capítulo 7 Consideraciones Finales ____________________________________ 267

7.1 Resumen___________________________________________________________ 267

7.2 Conclusiones _______________________________________________________ 268

7.3 Posibilidades para futuras investigaciones _______________________________ 269 7.3.1 Ampliación del método de optimización que permita superficies tridimensionales ____269 7.3.2 Desarrollo de un método global de optimización ______________________________270 7.3.3 Optimización de aisladores mediante el uso de procesamiento paralelo en el método de cálculo de campos _____________________________________________________________270

Bibliografía. ________________________________________________________ 275

Lista de Símbolos. ___________________________________________________ 287

Apéndice A Coeficientes de Potencial y de Campo para configuraciones de Cargas Discretas y Superficiales

Apéndice B Cálculo de la Curvatura Total en Superficies de Revolución

Apéndice C Procedimientos Numéricos en el Método BEM Apéndice D Cálculo del mínimo de la Suma de los Cuadrados de las Diferencias en Forma Matricial

Capítulo 1 Objetivos y Antecedentes

1.1 Introducción

La presente obra trata de lo que dentro de la literatura técnica se conoce comúnmente con el nombre de "optimización de aisladores". Ahora bien, el término "optimización" posee, incluso para iniciados en el tema, un significado poco preciso. Uno aparece confrontado siempre que se utiliza la palabra "optimización" con interrogantes como: “¿qué es lo que se está optimizando?” ¿de acuerdo con qué criterios se está optimizando? Estas preguntas y otras similares están perfectamente justificadas, pues la palabra optimización puede emplearse sin grandes remordimientos de conciencia para denominar cualquier tipo de innovación tecnológica.

Genéricamente, una optimización debe entenderse, en cualquier caso, como un proceso de aproximación a una meta determinada, la cual no tiene por que ser alcanzada de modo necesario. Incluso la meta a alcanzar, lo óptimo, que parece un concepto absoluto, no puede ser considerado como tal. Esto es así, pues los criterios que sirven para definirlo como óptimo, tienen siempre una naturaleza relativa. En consecuencia, es menester considerar que incluso los óptimos teóricos son óptimos relativos. Relativos a los criterios que han servido de base para definirlos como tales óptimos.

En nuestro caso concreto, una optimización es la modificación de la forma de un aislador para reducir la intensidad de campo en su superficie. A lo largo de esta obra éste será el significado que se aplicará a la palabra optimización.

Cuando se habla, en cualquier proceso, del concepto “optimización de un sistema” parece quererse darnos a entender que se trata de la mejora de la calidad de funcionamiento de ese sistema, donde por sistema se entiende cualquier dispositivo cuya calidad de funcionamiento es susceptible de ser mejorada. Para el caso concreto que nos atañe la palabra “optimización” debe pensarse como asociada a nuestro “sistema”, que no es otro que una instalación de alta tensión.

Para poder emitir un juicio sobre la calidad de una instalación de alta tensión pueden entrar en consideración distintos tipos de criterios, a saber:

- Satisfacción de los requisitos técnicos exigidos (funcionalidad).

- Seguridad y ausencia de peligros contaminantes.

- Rentabilidad económica.

Estos criterios no deben considerarse como algo estático, pues están sujetos a evolución en la medida en que la ciencia y los conocimientos tecnológicos progresan, la exigencia

2 Optimización de Aisladores de Alta Tensión..

de niveles de seguridad y ausencia de peligros contaminantes aumenta y la coyuntura económica se modifica. A la hora de diseñar y construir nuevas instalaciones es preciso adaptarse a los cambios mencionados.

El aumento de la capacidad de soportar las solicitaciones eléctricas por parte de las instalaciones de alta tensión lleva consigo un funcionamiento más seguro y contribuye, en tanto que gracias a ella dejan de producirse faltas o accidentes, a reducir los niveles de contaminación del medio ambiente. También se posibilita la construcción de nuevas instalaciones en las que pueden satisfacerse en mayor medida las exigencias de ahorro de espacio.

Gracias al desarrollo de los métodos numéricos de cálculo de campos eléctricos, fue posible por primera vez un empleo sistemático del cálculo de campos para el diseño de instalaciones de alta tensión. El cálculo de campos puede usarse a distintos niveles como medio de ayuda para el diseño.

En un primer nivel resulta posible, mediante el análisis de la distribución del campo en una configuración dada, localizar los puntos débiles y tratar de eliminarlos con medidas constructivas.

En un segundo nivel se pueden realizar cálculos de campos para una serie de configuraciones, que se obtienen mediante la variación de un número determinado de parámetros de construcción, para determinar los mejores valores posibles de esos parámetros.

Las dos posibilidades entran dentro de lo que puede llamarse optimización de sistemas. En ambos casos los cálculos de campos se limitan a la resolución de problemas con geometrías prefijadas.

En un nivel adicional, se parte de una configuración, para la que se supone que ya ha sido llevada a cabo una optimización del sistema, y se trata de variar la forma de los elementos constructivos de tal manera que se consigan distribuciones de campo más favorables. Esta manera de proceder se denomina optimización de formas o de contornos.

Dentro de la optimización de contornos de elementos constructivos de instalaciones de alta tensión es preciso distinguir esencialmente entre la optimización de electrodos y optimización de aisladores. Ello es así ya que, debido al comportamiento eléctrico de los electrodos, se presentan relaciones especiales entre su forma geométrica y las magnitudes eléctricas, relaciones que en modo alguno aparecen en el caso de materiales dieléctricos.

En este trabajo se presenta un método, con el cual es posible llevar a cabo una optimización del contorno de aisladores en configuraciones de alta tensión en el seno de

Capitulo 1: Objetivos y Antecedentes. 3

campos tridimensionales. El punto de partida del método desarrollado lo constituyen las investigaciones realizadas por Gomollón [45] para la optimización de aisladores de alta tensión.

En el método desarrollado se han tenido en cuenta únicamente criterios de tipo eléctrico. Ahora bien los aisladores están sometidos a solicitaciones no sólo eléctricas sino también mecánicas y térmicas, independientemente de la función principal para la que fueron concebidos. Esto quiere decir, que los aisladores que se diseñen de acuerdo con los criterios presentados en esta obra, todavía deben ser sometidos a criterios adicionales de diseño como los comentados, antes de poder ser considerados como aptos para su aplicación en la práctica.

En el capítulo 2 se trata de los diferentes métodos de cálculo de campos eléctricos susceptibles de ser utilizados.

En el capítulo 3 se estudian desde el punto de vista teórico los diferentes métodos de optimización de contornos que han sido propuestos, hasta la fecha.

En el capítulo 4 se describe el método de optimización de aisladores de Gomollón [45]. Se discute sobre el objetivo, de la optimización y los posibles métodos a seguir. En este mismo capítulo se fijan una serie de puntos importantes que es preciso considerar a la hora de aplicar este método de optimización.

En el capítulo 5 se da paso al estudio sobre la ampliación de método presentado en el capítulo anterior para su aplicación al caso de campos eléctricos tridimensionales. En el capítulo 6 muestran distintos ejemplos de aplicación del programa de cálculo elaborado. El capítulo 7 cierra el trabajo con un resumen y una discusión sobre posibilidades de desarrollo posterior en el campo de la optimización de aisladores.

1.2 Objetivos

La presente obra persigue dos objetivos fundamentalmente:

1º. Desarrollar un método para la optimización de aisladores con simetría rotacional en el seno de campos eléctricos con distribución espacial tridimensional, e implementarlo en un programa de ordenador.

2º. Aplicar el programa realizado para el diseño de configuraciones prácticas seleccionadas.

El desarrollo de estos objetivos será expuesto en los capítulos 4, 5, 6 y 7.

El punto de partida para la realización de este trabajo es un método de optimización [45] de aisladores de alta tensión con simetría rotacional en el seno de campos


rotacionalmente simétricos realizado por el Director de esta Tesis Doctoral. En la práctica, si bien los aisladores en sí presentan simetría rotacional, lo más frecuente es que el campo eléctrico en el que se encuentran no cumpla esta condición. Basándose en este método se procede a ampliarlo para su utilización en campos tridimensionales. Para su aplicación práctica se procede a realizar un programa de ordenador para el método ampliado. La realización de este programa se basa en un programa previo de cálculo de campos que trabaja con los métodos siguientes:

• Método de Simulación de Cargas [121] (CSM: Charge Simulation Method).

• Método de Cargas Superficiales [125][118][87][88] (SCSM: Surface Charge Simulation Method).

1.3 Antecedentes

El tema de la optimización de aparamenta de alta tensión se ha venido abordando después del desarrollo de métodos numéricos para el cálculo de campos electrostáticos durante las tres últimas décadas.

La dificultad teórica y numérica del problema hace que en raras ocasiones se aborde el problema de la optimización de aisladores. Uno de los últimos trabajos en este sentido es el realizado en su Tesis Doctoral por el Director de esta Tesis cuyo título es “Modificación del contorno de aisladores como medio de control de la intensidad de campo superficial en los mismos” [45].

Puesto que, dado el enfoque que se ha utilizado para realizar el presente trabajo, a la hora de diseñar sistemas con aisladores es necesario conocer la distribución de campo eléctrico en el sistema objeto de estudio, se hará una breve reseña del estado actual de los métodos más importantes de cálculo de campo eléctrico. Dicha introducción pretende seguir un cierto orden histórico para posteriormente desarrollar en el capítulo 2 sólo aquellos métodos de cálculo de campos que actualmente están más en vigor. A continuación, una vez que se hayan introducido los diferentes métodos de cálculo de campos, se hará una reseña de los diferentes métodos de optimización publicados hasta la fecha.

1.3.1 Métodos de cálculo de campos

Atendiendo a un cierto interés histórico y según la técnica utilizada para la determinación del campo eléctrico, es posible clasificar los métodos de cálculo de campo eléctrico en tres tipos:

1º.- Métodos analíticos.


2º.- Métodos experimentales.

3º.- Métodos numéricos.

En los métodos analíticos, cabe destacar el método basado en la representación conforme [101] cuyo campo de aplicación se limita a sistemas bidimensionales, y el método por transformación de coordenadas [90][91][102] que resulta útil únicamente para ciertos tipos de electrodos. A pesar del interés que ofrecen los métodos analíticos por la exactitud en la determinación del campo eléctrico, no es posible generalizarlos para la aplicación a cualquier sistema tridimensional.

De los métodos experimentales, se pueden citar, por orden cronológico, el que emplea papel conductor [143] con resistividad homogénea, lo que permite calcular, en base a la analogía existente entre la electrostática y la conducción eléctrica, la distribución del campo en sistemas bidimensionales y, con dificultad, en sistemas tridimensionales de revolución.

Basado en el mismo principio se tiene el método de cuba electrolítica [143], donde el medio conductor es un líquido. Puede aplicarse a sistemas bidimensionales y tridimensionales, sean o no de revolución, pero su principal inconveniente consiste en la laboriosa construcción del modelo a escala reducida del sistema a estudiar.

Otro método experimental es el método reticular [143], basado en los mismos principios que los dos anteriores, con la diferencia fundamental de que el medio conductor de resistividad homogénea se sustituye por una malla compuesta por resistencias discretas. Es un método económico que puede aplicarse a sistemas bidimensionales y tridimensionales para realizar los primeros tanteos en el diseño del equipo.

Debido a la cada vez mayor disponibilidad de potencia de computación, los métodos basados en análisis numérico son los más utilizados en la actualidad. De estos, el Método de las Diferencias Finitas [36][114] (FDM: Finite Difference Method), consiste en desarrollar la ecuación de Laplace en serie de Taylor, y despreciar los términos a partir de un cierto orden, en función de la exactitud requerida. Es aplicable únicamente a sistemas cerrados.

El Método de los Elementos Finitos [57][54][151][61] (FEM: Finite Element Method) de aplicación común en otras áreas de la técnica (cálculo de estructuras, transmisión de calor, difusión de gases, magnetostática, torsión, etc...), consiste en discretizar el dominio en elementos, en los que la función incógnita, potencial eléctrico, se aproxima por una función de interpolación, que depende del valor del potencial en los nudos del elemento. Siguiendo la formulación clásica variacional se establece el sistema de ecuaciones lineales que hacen mínimo el funcional asociado a la ecuación diferencial de Poisson. De la resolución de dicho sistema de ecuaciones se obtienen los potenciales en


los nudos de los elementos, que, junto con la función de interpolación, definen el potencial en cualquier punto del dominio. Es aplicable únicamente a sistemas cerrados.

El Método de Cargas Equivalentes o Método de Simulación de Cargas [121][141] consiste en sustituir las cargas reales por otro conjunto de cargas equivalentes (puntuales, lineales, cargas en anillo) colocadas en el interior del electrodo que satisfacen las condiciones impuestas a la configuración en estudio. Los valores de estas cargas se determinan de tal modo que se satisfagan las condiciones de contorno. La posición de estas cargas se selecciona para evitar la singularidad del operador integral, y de modo que los coeficientes de la ecuación matricial algebraica puedan ser determinados analíticamente. El método es aplicable tanto a sistemas cerrados como a sistemas abiertos. Este método ha encontrado su aplicación en el análisis de campos electrostáticos en ingeniería de alta tensión. El método se amplió con la introducción de las cargas superficiales equivalentes colocadas directamente en la superficie de los electrodos y contornos dieléctricos dando origen al método de las cargas superficiales.

El Método Mixto de Elementos Finitos y Cargas Equivalentes [132][98][99], que permite aprovechar las ventajas y obviar los inconvenientes de cada uno de los dos anteriores, consiste en dividir el sistema en dos zonas, una, cerrada, en la que se aplica el método de los elementos finitos y, otra, abierta, en la que se aplica el método de cargas equivalentes.

El Método de Cargas Superficiales [125][88][87][118] es utilizado para calcular las distribuciones de campo eléctrico utilizando elementos de superficies curvados y elementos de línea curvados para problemas tridimensionales y problemas bidimensionales, respectivamente. En dicho método las superficies del electrodo y del aislador se dividen en elementos de superficie, que son elementos triangulares de superficie curvados en problemas tridimensionales o elementos de líneas curvadas en problemas bidimensionales. A cada superficie se le asigna una distribución de carga superficial y una condición de contorno. Dicha condición de contorno se impone en un número suficiente de nodos (puntos de apoyo) que son definidos sobre los elementos de superficie. Por ejemplo, los nodos sobre los elementos triangulares de superficie curvados se definen en los vértices y los nodos sobre los elementos lineales curvados se definen en los puntos extremos. Se establece en cada nodo una ecuación integral que representa la relación de las magnitudes eléctricas correspondientes a la condición de contorno correspondiente al punto elegido. En estas ecuaciones se formulan las magnitudes eléctricas como función de integrales de superficie de las funciones de densidad de carga superficial. Si se efectúa la aproximación de considerar la densidad de carga superficial como una función lineal por tramos en las distintas superficies, resulta posible reformular el problema global como un sistema lineal de ecuaciones en el que las incógnitas son los valores de la densidad de carga superficial en los puntos


escogidos para formular las condiciones de contorno, que por lo general coinciden con los puntos usados para discretizar las superficies para su tratamiento por el ordenador. Tras resolver este sistema de ecuaciones resulta posible calcular cualquier magnitud eléctrica en cualquier punto del espacio evaluando las integrales de campo directamente como función de las densidades de carga superficiales.

El Método de los Elementos de Contorno [10][13] (Boundary Element Method: BEM) se basa, al igual que el Método de Simulación de Cargas, en la formulación integral de las ecuaciones de Laplace o Poisson. Ambos métodos se basan en una discretización espacial que se limita sólo a la superficie de electrodos o contornos dieléctricos. Esto significa que esta clase de discretización se puede realizar con un número considerablemente más pequeño de elementos en comparación con el Método de Elementos Finitos. Por otro lado, esto conlleva guardar los resultados de los elementos en una matriz llena del sistema de ecuaciones, frente a las matrices esparcidas en el caso del Método de Elementos Finitos. En este caso, la limitación de la discretización al dominio de la superficie no permite incluir posibles no linealidades en el espacio. Pero, con todo, estos métodos demuestran ser un modo económico de cálculo numérico de campos en ingeniería de alta tensión, particularmente en el caso de campos 3D sin simetrías, pues permiten en muchos casos alcanzar un grado más alto de exactitud con menor tiempo de computación y menores requerimientos de almacenamiento. El defecto mencionado de BEM y CSM con respecto a las consideraciones de no linealidades no desempeña un papel importante en el cálculo de distribuciones de intensidad de campo eléctrico sin cargas espaciales.

Frecuentemente la aparamenta de alta tensión está formada por cuerpos de revolución, lo que simplifica notablemente la programación de los métodos numéricos descritos.

1.3.2 Métodos de optimización

Las principales características de la forma geométrica de un aislador de alta tensión y su posición relativa respecto a las demás partes de la configuración de alta tensión están determinadas fundamentalmente por su función dentro de la configuración. Aún así, resulta posible, siempre que se respeten estas limitaciones, buscar distintas formas para el aislador tratando de mejorar su funcionalidad según una serie de criterios preestablecidos. Por medio de una definición exacta de la forma exterior de los componentes de la configuración de alta tensión es evidentemente posible afectar a su comportamiento eléctrico. Este hecho era ya conocido por los científicos al comienzo de este siglo, cuando el análisis vectorial comenzó a ser usado en la resolución de cuestiones de geometría diferencial. Por su interés histórico, se deben citar trabajos muy interesantes en los que se estudian exhaustivamente las relaciones entre campos de potenciales y las propiedades intrínsecas de las superficies equipotenciales y las líneas


de campo. Sirvan de ejemplo, los trabajos de Rothe (1913) [109], Spielrein (1915, 1917) [128][129], Rogowski (1923, 1926) [107][108], Andronescu (1924) [14]. A estos se puede añadir el trabajo de Felici (1950) [34] basado en la representación conforme, y que conduce a contornos de velocidad constante llamados “contornos de borda”.

Puesto que estas relaciones analíticas eran extremadamente complicadas, no encontraron aplicación en la práctica hasta la aparición de ordenadores poderosos y el desarrollo de métodos numéricos para el cálculo de campo. De este modo, los primeros trabajos que tratan de la forma óptima de los componentes de alta tensión fueron escritos en los años 70.

Como se ha comentado previamente, en la optimización de componentes de alta tensión se debe distinguir básicamente entre la optimización de electrodos y de aisladores. En el caso de electrodos tanto el objetivo de la optimización como las propiedades geométricas de la superficie a optimizar son bien conocidas (Singer, 1979) [122]. Para aisladores, como ya se ha indicado, ambas preguntas plantean aún interrogantes. En el capítulo 4 se intenta hacer una aproximación teórica a las respuestas a ambas cuestiones; primero, se define un objetivo significativo para la optimización de aisladores y segundo, se expone cuales son las relaciones entre las cantidades escogidas y las propiedades geométricas de las superficies para ser optimizadas.

El primer método numérico para la optimización de sistemas tridimensionales de revolución fue el trabajo de Antolic en 1972 [15]. Antolic presentó la tarea como un problema de valor de contorno generalizado en el que se trata de obtener una distribución predefinida de la componente tangencial del campo eléctrico a lo largo de un contorno que ha de ser determinado en el transcurso de los cálculos. Singer, y Grafoner en 1975 [119] publicaron su método de optimización con un interés práctico para el diseño de aparamenta de alta tensión. Este método permite la generación de contornos electródicos con intensidad de campo constante a base de desplazar, sucesivamente, los centros de curvatura del contorno en estudio, de acuerdo con la expresión que relaciona la variación de la curvatura con la variación del campo eléctrico en cada punto de dicho contorno. Esta expresión se deduce de la relación hallada por Spielrein [129], entre la curvatura y la intensidad del campo eléctrico en el electrodo. Además, para aisladores, desarrollaron un algoritmo que realiza la optimización en función de la componente tangencial del campo, mediante el desplazamiento de los puntos del contorno a lo largo de las líneas equipotenciales. Para la determinación del campo eléctrico utiliza el método de cargas equivalentes. Mashikian et al . (1978) [79] investigaron qué forma debe tener un aislador con volumen mínimo para resistir las fuerzas electrodinámicas, bajo la condición de que no se excediera una intensidad de campo total dada.


Otro algoritmo de optimización de electrodos, éste basado en el método de cálculo de campos mediante cargas equivalentes discretas fue presentado por Metz en 1976 [84]. Más que un proceso de optimización del contorno es un proceso de optimización de las cargas. La configuración se divide en dos partes una fija, que no se va a optimizar, y otra variable, cuya modificación producirá el campo eléctrico deseado. El contorno fijo se simula por un conjunto de cargas de las cuales conocemos su posición pero no su magnitud. El contorno variable se simula por otro conjunto de “cargas de optimización” de las que se fijan a priori posición y magnitud. Se impone la condición de potencial eléctrico conocido en los puntos del contorno de la zona fija y se determinan la magnitud de las cargas equivalentes de esta zona. Se pueden variar la posición y magnitud de las “cargas de optimización” hasta lograr en la superficie equipotencial correspondiente al electrodo el campo eléctrico deseado. La principal ventaja de este método es que únicamente es preciso invertir la matriz de coeficientes de potencial una sola vez para resolver el sistema de ecuaciones con el que se determinan las cargas equivalentes, ya que en las siguientes iteraciones las modificaciones realizadas solo afectan a los términos independientes de dicho sistema. Sin embargo tiene el inconveniente de necesitar cierta experiencia a la hora de elegir el número, tipo, valor y posición del sistema de cargas equivalente inicial (“cargas de optimización”) en la zona de optimización.

En 1982-83 Misaki (1982,1983) [88] y Tokumasu et al. (1984) [137] propusieron reducir la intensidad de campo total máxima en la superficie del aislador, pero no establecieron qué ventajas se podían lograr a partir de tal procedimiento frente a la aparición de descargas superficiales en los aisladores. Tokumasu emplea el método de los elementos de contorno para el cálculo de campos eléctricos. Misaki, Tsuboi, Itaka y Hara (1982) [87] presentaron un algoritmo de optimización de contornos electródicos tridimensionales. El algoritmo utiliza el método de cargas equivalentes superficiales para la determinación del campo eléctrico; se divide la superficie del electrodo en elementos triangulares curvos cuya forma se representa por una función cuadrática y en los que la densidad de carga superficial se aproxima por una función lineal. La modificación del contorno se realiza en cada elemento en función de la fuerza electrostática a la que está sometido. En 1988 H. Tsuboi y T. Misaki [138] proponen un método para modificar los contornos de los electrodos y aisladores por métodos de iteración usados en programación no lineal, de modo que se obtenga el campo eléctrico deseado. Los métodos de iteración utilizados son el método de Gauss-Newton, el método de cuasi-Newton, el método del gradiente conjugado, y el método de la máxima pendiente. El método de Gauss-Newton es el que proporciona una más rápida convergencia. Para el cálculo de campos eléctricos es utilizado el método de cargas superficiales.


En 1982 Grönewald [50] presentó una modificación del método de optimización de electrodos desarrollado por Singer y Grafoner, donde se eliminan las hipótesis simplificativas realizadas por éstos en la expresión de la variación de la curvatura superficial. Así mismo, desarrolló para los aisladores un algoritmo consistente en desplazar los puntos del contorno manteniendo constante la distancia entre estos, con la finalidad de obtener contornos con una distribución uniforme de la componente tangencial de la intensidad de campo. El mismo objetivo fue seguido por Abdel-Salam (1986) [2] y Stih (1986) [133]. Andjelic (1992) [13] desarrolló un método general para electrodos y aisladores en el que la tensión eléctrica en la superficie llega a ser el factor determinante para la optimización.

Girdinio, Molfino, Molinari y Viviani [41] presentaron en 1983 varios algoritmos de optimización basados en el método de los elementos finitos, con los que es posible optimizar los electrodos en función de la componente normal del campo eléctrico en su contorno y los dieléctricos, en función de la componente tangencial del campo eléctrico. Además, es posible optimizar una zona determinada en función de la intensidad de campo en otros contornos predefinidos. El hecho de utilizar el método de los elementos finitos para resolver la ecuación de Laplace tropieza con la dificultad de su aplicación a sistemas abiertos.

En 1987 Däumling [30] mostró que una optimización con respecto a la intensidad total de campo mejora el comportamiento frente a la aparición de las descargas superficiales en el aislador. Para estas investigaciones Däumling usaba contornos de aisladores con una distribución uniforme de la intensidad de campo eléctrico. Sin embargo el punto crucial no es la uniformidad de la intensidad de campo en sí misma, sino el hecho de que los contornos, que han sido optimizados con respecto a la intensidad de campo total, muestran simultáneamente el valor más bajo de la intensidad de campo máxima a lo largo de la superficie.

Gomollón [44][45][43] presentó en 1994 las relaciones teóricas entre las propiedades geométricas de la superficie del aislador y las magnitudes eléctricas. De este modo, establece la relación existente entre la derivada global de la intensidad de campo con respecto al desplazamiento de un punto de una de las superficies de contorno en un problema de valores de contorno (BVP: Boundary Value Problem) a la vez que se investigan las consideraciones teóricas necesarias si se pretende desarrollar un proceso de optimización con respecto a la intensidad de campo total. Basándose en estos resultados y en las investigaciones de Däumling presenta un método para optimización de contornos de aisladores de alta tensión con respecto a la intensidad de campo total. En este método los puntos utilizados para la discretización del contorno dieléctrico son desplazados en la dirección normal para obtener un nuevo contorno modificado.


Basándose en el trabajo de L. Piegl [100], del uso de splines-B racionales como herramienta para modificar formas de modo iterativo, B.Y. Lee (1997) [74] presenta un método para el control de la forma de aisladores tridimensionales. Su algoritmo muestra analogías con el trabajo de Gomollón. El trabajo de Lee se basa en la introducción de los splines-B racionales para mejorar la forma de controlar el diseño del aislador.

Últimamente han aparecido nuevas aportaciones en el campo del diseño de aisladores. Uno de ellos es presentado por Bhattacharya [17] en el 2001. Consiste en optimizar contornos de aisladores con simetría axial en disposiciones con múltiples dieléctricos mediante el uso de redes neuronales (NN: Neural Network). Esta optimización se realizó con el objetivo de obtener no sólo una distribución uniforme sino además una distribución de esfuerzo eléctrico compleja a lo largo de la superficie del aislador.

Un enfoque distinto en cuanto al diseño de aislamiento de aparatos de potencia eléctricos lo proporciona Kato en el 2001 [65] considerando las características de ruptura del dieléctrico más que la distribución de campo eléctrico. El trabajo muestra como determinar el contorno del electrodo con el mejor aislamiento sobre la base del efecto de área y del efecto de volumen en la intensidad de campo de ruptura.

1.4 Conclusiones preliminares

En el presente trabajo se pretende modificar el contorno inicial dado de un aislador en una configuración de alta tensión para mejorar su comportamiento frente a la aparición de descargas superficiales. Para la consecución de dicho objetivo existen distintas formas posibles de proceder. Los procedimientos propuestos por los distintos autores en la bibliografía técnica se clasifican en dos grupos:

a.- Modificación del contorno de los aisladores en función de la componente tangencial o normal de la intensidad de campo o del esfuerzo eléctrico. Pertenecientes a este grupo se encuentran los trabajos de Antolic [15], Singer y Grafoner [119], Breilman [23], Grönewald [50][52], Girdinio [41], Abdel-Salam [2], Stih [133], Garnacho [39], Bhattacharya [17].

b.- Modificación del contorno de aisladores en función de la intensidad de campo total en la superficie del aislador. Este criterio es utilizado por Mashikian [79], Misaki [87][88] y Tokumasu et al. [137], Däumling [30][31], Gomollón [44][45][43], Lee [74], Kato [65].

Gomollón [45], en su tesis doctoral, analiza las ventajas y los inconvenientes de cada uno de los citados criterios de optimización exponiendo y justificando las decisiones adoptadas, en cuanto al objetivo de la optimización y al método de modificación de los contornos se refiere. En el trabajo que aquí se presenta se ha adoptado el mismo objetivo de optimización, a saber, reducir la intensidad de campo total en la superficie


del aislador. Para ello basándose en el mismo algoritmo se trata de proceder a generalizarlo para su aplicación en el seno de campos electrostáticos tridimensionales. Conviene, no obstante, dar cuenta de las restricciones a la generalidad, introducidas a priori dentro de los objetivos del proyecto impuestas en parte por las limitaciones de los programas de cálculo empleados y por el grado de dificultad de los cálculos a realizar. Estas restricciones son:

- Las superficies de los aisladores por optimizar se suponen ausentes de contaminación y de conductibilidad eléctrica.

- La configuración donde se encuentra el aislador por optimizar no tiene por qué presentar en su conjunto simetría de revolución, aunque sí sus partes individuales.

El método de optimización es implementado con un programa de ordenador. Para evitar dificultades en la convergencia del proceso de optimización es preciso tener en cuenta las siguientes consideraciones:

- En cada ejecución del programa de optimización resulta posible definir como superficie por optimizar únicamente un tramo continuo del contorno de un aislador.

- La intensidad de campo en los puntos de contacto de los aisladores con los electrodos limítrofes debe ser calculada con especial cuidado. A este respecto resulta de gran relevancia la consideración de la posibilidad de aparición de un "efecto de incrustación [145] y de la forma en que el programa de cálculo de campos puede abordarlo.

- Para garantizar la generalidad del método a desarrollar resulta imprescindible que el programa sea capaz de determinar de forma completamente autónoma las modificaciones del contorno necesarias para alcanzar la distribución de campo pretendida, sin que el usuario o el programador tengan que proporcionarle dato alguno acerca de determinadas formas.

- Los contornos intermedios, que se van obteniendo durante el proceso de optimización, no deben mostrar ningún saliente, canto o esquina, que no se hubiese pretendido de antemano, pues en estos puntos el campo eléctrico calculado no resulta fiable y si se usan tales contornos para obtener otros nuevos se desestabiliza en gran medida la convergencia del proceso de optimización.

- Igualmente negativa para la convergencia del proceso de optimización resulta la permisión de contornos intermedios con distribuciones de campo más desfavorables que las de sus predecesores. La experiencia muestra que, si bien en casos muy aislados resulta posible acelerar de esta manera la convergencia del proceso, por lo general el efecto resultante es la imposibilidad de conducir el proceso a una convergencia final.

Capítulo 2 Métodos Numéricos de Cálculo de Campos Eléctricos

2.1 Introducción

El conocimiento de la forma del campo electrostático es esencial para la construcción de aparatos destinados a soportar altas tensiones. La intensidad de campo eléctrico es la magnitud física determinante en la aparición de descargas eléctricas. De modo particular, en el caso de subestaciones con gas aislante, la predeterminación de las tensiones de ruptura, basada en el conocimiento de la distribución de campo eléctrico, es una etapa esencial durante el proceso de diseño.

El cálculo del campo eléctrico requiere la solución de la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson con las correspondientes condiciones de contorno. En general, dada una superficie de un electrodo, no interesa tanto el aspecto total del campo eléctrico como los valores de la intensidad de dicho campo en las zonas de mayor solicitación a lo largo de la superficie. Con este planteamiento se puede estudiar la forma geométrica más conveniente de la superficie del electrodo para poder evitar intensidades de campo que puedan dar lugar a la aparición de descargas. Otra posibilidad sería optimizar el contorno de la superficie del electrodo bajo estudio, de modo que pueda realizar la función para la que estaba diseñado, es decir, soportar altas tensiones, con el mínimo volumen posible.

En el pasado, se utilizaron métodos experimentales para determinar el campo eléctrico, por ejemplo el tanque electrolítico [143] o el papel semiconductor. Ahora, estos métodos han sido satisfactoriamente reemplazados en la mayoría de los casos por el cálculo numérico del campo. Los recientes desarrollos en tecnología de computación abren nuevas e interesantes posibilidades para el futuro. El cálculo de campos eléctricos se puede realizar bien por métodos analíticos o bien por métodos numéricos [13]. La mayoría de los sistemas físicos son tan complejos que las soluciones analíticas son difíciles o imposibles de obtener y de aquí que se usen los métodos de aproximación numéricos para muchas de las aplicaciones de la ingeniería. Los métodos numéricos disponibles se basan en conceptos de diferencias o integrales. Se encuentran disponibles una variedad de métodos y códigos de ordenador para cálculo de campos eléctricos en dos dimensiones (2D) y en tres dimensiones (3D). Mientras en el pasado el cálculo de campos electrostáticos 3D sin simetría estaba limitado sólamente a ordenadores "main frame", existen ahora posibilidades para calcular estos campos en estaciones de trabajo gráficas o incluso en ordenadores personales.


Muchos códigos de ordenador están disponibles para el cálculo de campos eléctricos basados en el Método de Elementos Finitos [57][151][61]. La aplicación de este método consiste en que la totalidad del espacio de interés se subdivide en elementos. Una ventaja de este procedimiento de discretización es la posibilidad de tomar en consideración las propiedades no lineales del espacio. Por otra parte esta clase de discretización puede dar origen a un número de elementos muy grande, especialmente en el caso de campos 3D sin ningún tipo simetría.

Una alternativa al ampliamente usado Método de Elementos Finitos son los denominados Métodos Integrales como el Método de Simulación de Cargas [121][141], el Método de Cargas Superficiales [125][87][88] o el Método de los Elementos de Contorno [10][13]. La base para estos métodos es la formulación integral de las ecuaciones de Laplace o Poisson. En estos métodos la discretización espacial generalmente se limita sólo al dominio de la superficie de electrodos o contornos dieléctricos. Esto significa que esta clase de discretización se puede realizar con un número considerablemente más pequeño de elementos en comparación con el Método de Elementos Finitos. Por otro lado, esto conlleva guardar los resultados de los elementos en una matriz llena del sistema de ecuaciones, en comparación con las matrices esparcidas en el caso del Método de Elementos Finitos. Además, la limitación de la discretización al dominio de la superficie no permite incluir posibles no linealidades en el espacio. Pero, con todo, estos métodos demuestran ser un modo económico de cálculo numérico de campos en ingeniería de alta tensión, particularmente en el caso de campos 3D sin simetrías, pues permiten en muchos casos alcanzar un grado más alto de exactitud con menor tiempo de computación y menores requerimientos de almacenamiento. El defecto mencionado de BEM y CSM con respecto a las consideraciones de no linealidades no desempeña un papel importante en el cálculo de distribuciones de intensidad de campo eléctrico sin cargas espaciales.

En este capítulo se va a realizar un repaso de los métodos de cálculo numérico de campos eléctricos haciendo hincapié en los métodos integrales. Para ello previamente se presentan unas consideraciones generales sobre los posibles elementos que intervienen en configuraciones así como sobre el planteamiento de los problemas de campo y potencial electrostáticos.

2.1.1 Consideraciones generales

Previamente a la realización de cualquier cálculo sobre una configuración dada, es necesario identificar y clasificar los distintos elementos físicos que la constituyen.

A efectos prácticos, se puede diferenciar en las configuraciones técnicas usuales entre conductores y aisladores. A la hora de realizar el cálculo de campos es preciso asociar a

Capitulo 2: Métodos Numéricos de Calculo de Campos Eléctricos 15

cada elemento una condición de contorno para la resolución del problema matemático. Estas condiciones de contorno son diferentes para los conductores y aisladores.

2.1.1.1 Conductores

En una configuración electródica en la que aparezcan conductores como parte de la configuración, dependiendo de los datos que nos proporciona la configuración electródica se pueden dar los siguientes casos:

- Conductor a potencial constante, φ , dado. Se trata de la condición que más frecuentemente aparece vinculada a un electrodo

- Conductor no conectado, con potencial, φ , flotante o indeterminado. Se trata de un conductor que permanece aislado por lo que el potencial se establece en función de la distribución de campo presente, su potencial es el mismo en toda la superficie pero está indeterminado a priori.

- Conductor por el que circula corriente. En esta situación debido a la resistividad del conductor habrá una caída de potencial a lo largo del conductor.

2.1.1.2 Aisladores

A continuación se muestran las diferentes situaciones que se pueden presentar dependiendo de la disposición geométrica de los aislantes.

- Un único medio aislante: ε = ε0. En este caso es el medio en el que está sumergida la configuración electródica.

- Más de un medio aislante. Se tendrán distintas fronteras de separación entre estos medios y es en esas fronteras donde se aplican las condiciones de contorno, es decir la condición de continuidad del vector desplazamiento eléctrico:

2211

21

nn

nn

EEóDD

εε ==

(2.1)

2.1.1.3 Planteamiento del problema

En el presente caso, para el cálculo del campo eléctrico se requiere la solución de la ecuación de Laplace con las condiciones de contorno establecidas en la configuración objeto de estudio.

En general, la descripción del campo eléctrico viene dada por la ecuación de Poisson cuando existen cargas libres:


0

2

ερφφ =∇=∆

(2.2)

Si no hay cargas libres, la ecuación de Laplace es la que describe la distribución del campo eléctrico en la configuración:

02 =∇=∆ φφ (2.3)

En coordenadas cilíndricas esta ecuación adopta la siguiente forma:

0112

2

2

2

22

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zrrrrφ

ψφφφ

(2.4)

donde φ es el valor del potencial en un punto cualquiera del espacio de coordenadas r, ψ, y z. La solución de esta ecuación se ha podido hallar analíticamente en configuraciones sencillas de electrodos, pero en la mayoría de los casos de alta tensión se recurre a métodos numéricos para hallar la solución.

Se considera una configuración arbitraria como la mostrada en la Fig. 2.1 y se establece un sistema de ejes coordenados. En ella se dispone de un conjunto de superficies electródicas SE1, SE2, SE3, SE4,..y un conjunto de superficies de separación entre dieléctricos SD1, SD2, SD3, ... El problema a resolver es la determinación del potencial

( )zr ,,ψφ y el campo eléctrico ( )zr ,,ψΕr

en cualquier punto del espacio.

SE1

ε0SE3

SE4

ε1

SE2

ε3

ε2

z

r

φ(r, ψ , z)SD1

SD2

SD3

ψ

Fig. 2.1. Configuración arbitraria.

Para solucionar el problema se deberán tener en cuenta las condiciones de contorno asociadas a las superficies del modo siguiente:


A.- En algunas de las superficies estas condiciones quedan definidas por el valor del potencial. Se trata de las superficies electródicas ya mencionadas: SE1, SE2, SE3, SE4,..

B.- En otras superficies las condiciones de contorno son las correspondientes a una superficie separadora de medios dieléctricos: SD1, SD2, SD3, ...

C.- Se pueden definir otros tipos de condiciones de contorno, pero las principales son las arriba mencionadas.

2.1.2 Métodos numéricos de cálculo de campos

La estimación de cómo se desarrolla el proceso electromagnético es una de las etapas más importantes y difíciles en el proceso de diseño de los dispositivos electromagnéticos. Como se ha visto en el planteamiento del problema, el modelo teórico del proceso electromagnético se basa en las leyes fundamentales de la electrodinámica establecidas por las ecuaciones de Maxwell [82] con las condiciones apropiadas de contorno. De este modo desde el punto de vista matemático, el cálculo del proceso electromagnético viene dado como un problema de valores de contorno descrito por un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Si al modelo teórico se añade la información de las características geométricas del sistema, las características de los medios donde discurre el proceso, y las características de las fuentes de campo, se obtiene toda la información necesaria sobre el proceso electromagnético en los alrededores del dispositivo electromagnético examinado (es decir, líneas de campo, líneas equipotenciales, localización de intensidades eléctricas máximas, fuerzas electromagnéticas, etc.).

Mediante la introducción de ciertas suposiciones y simplificaciones, se puede obtener el modelo matemático del proceso electromagnético para un dispositivo electromagnético específico.

Atendiendo al tipo de ecuaciones que se deben resolver, los modelos matemáticos se pueden dividir del siguiente modo:

• Diferenciales (el modelo matemático se describe por un sistema de ecuaciones en derivadas parciales con condiciones de contorno apropiadas).

• Integrales (el modelo matemático se basa en una ecuación integral).

• Diferencial – Integral (la combinación de los modelos dados previamente, por lo cual el proceso electromagnético en algunas partes se describe por ecuaciones diferenciales, y en otro por ecuaciones integrales).

Cuando se resuelven los modelos matemáticos diferenciales, se utiliza la aproximación llamada:


• Método de Diferencias Finitas.

El Método de Diferencias Finitas [36][142][38][101] ha sido utilizado durante un largo tiempo en la práctica para el cálculo de campos electrostáticos y magnetostáticos con simetría axial y de dos dimensiones (2D). El fundamento de este método consiste en trasladar un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales a un conjunto de ecuaciones en diferencias, usando una red ortogonal apropiada. Una vez que los puntos de la red dentro del área de interés están numerados, el sistema de las ecuaciones en diferencias se reduce a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales de muy alto orden. Una de las características de este sistema es una matriz de coeficientes muy esparcida. Este método proporciona relativamente buenos resultados en el cálculo de los modelos 2D de aparatos de alta tensión y máquinas eléctricas cuando se toman en consideración curvas de magnetización no lineales. Las dificultades de este método están en la construcción de la malla que mejor aproxima las líneas de contorno entre medios diferentes, el gran número de datos de entrada requeridos, y una necesidad para la diferenciación numérica.

Para la solución numérica de los modelos integrales, se utilizan:

• El Método de Elementos Finitos,

• El Método de Simulación de Cargas,

• y el Método de Elementos de Contorno.

El Método de Elementos Finitos se utiliza satisfactoriamente para resolver campos electromagnéticos 2D y 3D, y para otras aplicaciones técnicas. Este método se basa en el cálculo variacional, donde la solución de los problemas de campo se reduce a la determinación del estado estacionario de la función de energía apropiada. Empezando con este hecho, teniendo en consideración que entre las necesarias partes pequeñas del área observada (elementos finitos), la función de campo se puede expresar como una función analítica de la posición dentro de los elementos finitos, puede llegar a formularse un sistema de ecuaciones algebraico. Resolviéndolo, es posible colegir la información sobre la función de campo en el área de interés. Esta ecuación matricial es de un orden relativamente alto, con una matriz de coeficientes esparcida, que puede ser resuelta usando métodos iterativos o algunos métodos directos especiales. El principal inconveniente de este método es generalmente el gran número de datos de entrada que son necesarios cuando se define la geometría y los parámetros materiales de los elementos finitos del área seleccionados y el tamaño de los sistemas en configuraciones 3D.

En el Método de Simulación de Cargas [121][141][78][26][1][5][112][5], se usan las llamadas cargas equivalentes (puntuales, lineales, cargas en anillo) colocadas en el interior del electrodo. Los valores de estas cargas se determinan de tal modo que se


satisfacen las condiciones de contorno. La posición de estas cargas se selecciona para evitar la singularidad del operador integral, y de este modo los coeficientes de la ecuación matricial algebraica puedan ser determinados analíticamente. Este método ha encontrado su aplicación en el análisis de campos electrostáticos en ingeniería de alta tensión. Este método extendido mediante la introducción de las cargas de área equivalentes da lugar al Método de Simulación con Cargas Superficiales colocadas directamente en la superficie de los electrodos y contornos dieléctricos.

En el Método de Elementos de Contorno [10][13][22], se divide la superficie del electrodo y del aislador en superficies más pequeñas. En cada una de estas superficies se aproxima el integrando de la ecuación integral por una función polinómica de coeficientes indeterminados. Estos coeficientes se determinan obligando a que la ecuación integral se cumpla en tantos puntos de contorno como coeficientes indeterminados existan. El número de estos coeficientes viene dado por la exactitud requerida. De este modo se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas. Las características de los medios son tomadas habitualmente como valores constantes para un cierto elemento. La matriz de los coeficientes de las ecuaciones algebraicas, obtenida de este modo, es de relativamente bajo orden. Sin embargo es llena y con valores de coeficientes no constantes en el caso de medios no lineales. En este último caso para la solución de la ecuación algebraica matricial, se usa una combinación de inversión matricial directa y un proceso iterativo para ajuste de parámetros no lineales a lo largo de los elementos de contorno [33][24][22]. El punto débil de este método es la aparición de una matriz llena de elementos y el relativo gran consumo de tiempo de computación para el cálculo de los coeficientes matriciales. Las ventajas de este método son el relativo pequeño número de datos de entrada necesarios para la exacta descripción de las características del sistema, y la colocación de los elementos de contorno sólo sobre las fronteras entre los diferentes medios. Este método hace posible la solución de los denominados “campos sin fronteras” donde la aplicación del FDM y el FEM es más difícil.

La utilización de uno u otro de los métodos presentados vendrá en función de las características geométricas y eléctricas de la configuración en estudio como de las disponibilidades de medios de cálculo. En los siguientes apartados se realiza una presentación más detallada de los principales métodos numéricos para el cálculo del campo eléctrico.


2.2 Método de simulación de cargas (CSM: Charge Simulation Method)

2.2.1 Principio básico

Como se comentaba en el apartado 2.1.1.3 el campo electrostático en el espacio libre de cargas viene dado por la solución de la ecuación de Laplace del potencial.

El método de las cargas ficticias o de simulación de cargas [131][124][145] se basa en la linealidad de la ecuación del potencial de Laplace de la que se deduce una posibilidad para la obtención de soluciones aproximadas. Una solución aproximada puede obtenerse mediante la superposición de un número finito de soluciones particulares de la ecuación homogénea. Las soluciones particulares que se utilizan para construir la solución aproximada del problema en el método de las cargas ficticias son las funciones de potencial correspondientes a determinadas distribuciones de carga, de formas y posiciones conocidas pero cuyas magnitudes quedan aún por determinar. Para calcular las magnitudes de estas cargas se formulan ecuaciones que obligan al cumplimiento de las condiciones de contorno en tantos puntos como cargas se pretende calcular. El grado de exactitud de la solución así construida dependerá del número de puntos en que se fuerce el cumplimiento de las condiciones de contorno.

Para un sistema electródico definido aparecen distribuciones de carga en la superficie de los electrodos (cargas libres) y en las interfaces de separación de medios dieléctricos (cargas de polarización). En este método estas cargas físicamente presentes se sustituyen por cargas discretas situadas fuera del dominio donde se pretende calcular el campo (p. ej. para calcular el campo en el exterior de un electrodo se sitúan cargas discretas en su interior). La posición y el tipo de cargas ficticias se fijan de antemano en función de la geometría del problema. Allí donde se sitúen las cargas deja de cumplirse la ecuación de Laplace. Para calcular el campo eléctrico en una configuración con un único medio dieléctrico las cargas ficticias se sitúan en el interior de los electrodos como se indica en las figuras 2.2 y 2.3. En problemas con dos medios dieléctricos distintos, para conseguir que se satisfagan las condiciones de contorno correspondientes a la superficie de separación entre dieléctricos sería necesario situar cargas ficticias en el espacio donde se pretende calcular el campo. Para que las soluciones obtenidas sean válidas se descompone el problema en dos. En uno de ellos se colocan cargas en el seno de uno de los dieléctricos mientras se calcula el campo en el espacio ocupado por el otro medio dieléctrico. En el segundo se procede de forma inversa, como se muestra en la Fig. 2.4.

Para el cálculo de configuraciones complicadas se requiere la selección y emplazamiento de un gran número de cargas para conseguir una solución satisfactoria.


El método así obtenido resulta simple y es aplicable a cualquier sistema que incluya uno o más medios homogéneos. Una ventaja de este método es su idoneidad para ser aplicado en problemas tridimensionales de campo con simetría axial y a problemas de carga espacial.

Medio Dieléctrico

Electrodos

Cargas Ficticias

Fig. 2.2. Situación de las cargas ficticias con un único medio dieléctrico en un problema de campo

abierto.

MedioDieléctrico

Electrodo

Electrodo CargasFicticias

Fig. 2.3. Situación de las cargas ficticias con un único medio dieléctrico en un problema de campo

interno.


Medio dieléctrico I

Electrodo Medio Dieléctrico II

Zona de cálculo de campo

a)

Medio Dieléctrico II

Electrodo

Medio dieléctrico I

Zona de cálculo de campo

b)

Fig. 2.4. Situación de las cargas ficticias con dos medios dieléctricos en un problema de campo abierto.

2.2.2 Formulación de las condiciones de contorno

Como ya se comentó en el apartado 2.1.1 para el cálculo del campo eléctrico se precisa asociar a cada elemento de una configuración electródica una condición de contorno. Se consideran los siguientes tipos de condiciones de contorno:

- Potencial 0φφ = conocido.

- Potencial φφ = indeterminado.

- Continuidad de la componente normal del vector desplazamiento eléctrico 02211 =Ε−Ε nn εε .

2.2.2.1 Coeficientes de potencial y de campo eléctrico

Las condiciones de contorno han de formularse en un número finito de puntos. Sean Pi (con i=1,..n) los puntos en los que se van a formular las condiciones de contorno (a estos puntos se les denomina puntos de contorno). Sea Qj (con j=1,..n) la magnitud de una carga o densidad de una distribución de carga. Las magnitudes de estas cargas tienen que ser calculadas para que su efecto integrado satisfaga exactamente las condiciones de contorno en los puntos de contorno seleccionados. Puesto que los potenciales debidos a estas cargas satisfacen las ecuaciones de Laplace dentro del espacio bajo consideración, la solución es única dentro de ese espacio.

Se define el coeficiente de potencial pij de una carga o distribución de carga Qj de densidad constante en un punto Pi como el potencial que crearía esa carga en este punto


si la carga tuviese magnitud unidad. Si se dispone de n cargas la contribución de todas ellas al potencial φi en cada punto de contorno Pi se escribirá como:

∑=

=n

jjiji Qp

1

φ (2.5)

donde:

Qj es la carga discreta o la densidad de carga de una distribución de densidad constante situada en la posición j.

pij es el coeficiente de potencial asociado que indica el potencial creado en el punto Pi por la unidad de carga situada en la posición j. En el caso de haber más de un medio dieléctrico el coeficiente de potencial de las cargas situadas en la región donde se calcula el campo se toma igual a cero.

n es el número total de cargas que contribuyen al potencial φi en el punto Pi.

El coeficiente de potencial pij es función de la geometría de la carga, de la posición relativa del punto y de la constante dieléctrica.

Se define el coeficiente de campo fαij de una carga o distribución de carga Qj en un punto Pi como la componente de la intensidad de campo eléctrico en la dirección α que crearía en este punto i si la carga situada en la posición j tuviese magnitud unidad. Si se dispone de n cargas la contribución de todas estas cargas a la componente en la dirección α de la intensidad de campo eléctrico, Eαi, en cada punto de contorno Pi será:

∑=

=Εn

jjiji Qf

1αα

(2.6)

La dirección α dependerá del sistema de coordenadas que se escoja para el cálculo del campo eléctrico. De este modo en sistemas bidimensionales cartesianos se tendrán dos coeficientes de campo eléctrico, fxij y fyij en la dirección x e y respectivamente. En sistemas tridimensionales aparecerán tres coeficientes frij, fψij, fzij correspondientes a la dirección radial, acimutal y axial respectivamente si se utiliza un sistema de coordenadas cilíndricas. En el caso de haber más de un medio dieléctrico el coeficiente de campo de las cargas situadas en la región donde se calcula el campo se toma igual a cero.

2.2.2.2 Formulación numérica de las condiciones de contorno

Según el planteamiento del problema explicado en el apartado 2.1.1.3 se dispone de un conjunto de superficies electródicas y un conjunto de superficies separadoras de medios dieléctricos. Sobre cada una de estas superficies se sitúan puntos de contorno suficientes


como para garantizar la exactitud requerida a la solución del problema. En estos puntos de contorno se formulan las condiciones de contorno correspondientes de acuerdo con los procedimientos que se explican a continuación.

2.2.2.2.1 Electrodos a potencial fijo

Se considera un electrodo a un potencial fijo dado φEk. Sean PEk1,...,PEkNk los puntos de contorno asignados a este electrodo. Entonces para cada uno de estos puntos de contorno PEkl se formula la ecuación:

∑=

=n

jjijEk Qp

1

φ (2.7)

donde:

- i es el subíndice correspondiente al punto PEkl dentro del conjunto de todos los puntos de contorno de la configuración.

- k indica el número del electrodo dentro de la configuración (con los electrodos numerados de 1..MF).

- l indica el punto de contorno dentro del electrodo k (l = 1,..,Nk).

2.2.2.2.2 Electrodos a potencial indeterminado dentro de un único medio dieléctrico

En la técnica de alta tensión es frecuente encontrarse con electrodos que controlan la distribución de potencial entre un electrodo con potencial conocido φEk y el plano de tierra. El potencial de estos electrodos de control no es conocido, es decir, no viene determinado externamente por ninguna fuente de excitación y depende de su situación geométrica. Estos electrodos se denominan electrodos a potencial indeterminado o flotante.

De este modo la presencia en una configuración de un electrodo a potencial indeterminado aumenta en una incógnita más el problema que se planteaba en el caso de un electrodo a potencial fijo, pues se desconoce el potencial de aquel electrodo. Así, es preciso formular una ecuación adicional a las Nk ecuaciones que se formulaban para el caso de un electrodo a potencial conocido. Si el electrodo carece de carga inicial (que es el caso más frecuente) entonces esta ecuación adicional puede derivarse de la condición de conservación de la carga y sería:

∑=

=kN

llQ

1

0 (2.8)

donde Nk es el número de cargas situadas en el interior del electrodo.


Esta ecuación es equivalente a formular la integral de la densidad del flujo eléctrico para la superficie del electrodo en consideración:

00 =⋅∫ SdEε (2.9)

En el caso de que el electrodo esté rodeado de más de un medio dieléctrico, sería preciso dividir la integral en tantas zonas como medios dieléctricos rodeen al electrodo:

∑∫=

=⋅d

iii SdE

i1

0ε (2.10)

Siendo d el número de medios diélectricos que rodean al electrodo.

Como las cargas ficticias no corresponden físicamente con la carga situada en la superficie del electrodo, la formulación numérica de esta condición requeriría la evaluación de la integral en función de los coeficientes de campo de las cargas.

2.2.2.2.3 Superficies dieléctricas Cuando una configuración electródica está inmersa en un único medio dieléctrico (por ejemplo sistemas electródicos en aire o SF6), no resulta necesario plantear más ecuaciones que las correspondientes a los electrodos para obtener la solución del problema.

Sin embargo cuando existe más de un dieléctrico, se necesita tener en cuenta la carga de polarización que aparece en la superficie de separación entre ellos. En este caso ya se vio que la condición de contorno asociada a la superficie de separación entre ellos es:

2211 nn Ε=Ε εε (2.11)

Tal y como se indicó en el apartado 2.2.1 es preciso utilizar dos conjuntos de cargas. Un primer conjunto formado por las cargas interiores de los electrodos y las situadas en el seno del dieléctrico 1, cuando se trata de calcular el campo del dieléctrico 2. Y otro formado por las cargas internas de los electrodos y las situadas dentro del dieléctrico 2 cuando se calcula el campo en el dieléctrico 1.

Sea r el número total de cargas correspondientes a los electrodos y sean m las cargas situadas a cada lado de la superficie de separación de los dieléctricos. El primer conjunto de cargas estará formado por las cargas de índices I1 = {1,...., r, r+1....r+m} y el segundo por las cargas de índices I2 = {1,..., r, r+m+1,..., r+2m}. El número total de cargas de la configuración será n=r+2m.

Considérese un sistema electródico con dos medios dieléctricos, como se muestra en la Fig. 2.5.


Dieléctrico 2

2ε

Electrodo

α

γ

β

Dieléctrico 1

1ε

En1

En2

Fig. 2.5. Condición de contorno de un sistema electródico en dos medios dieléctricos.

La componente normal de campo en el medio dieléctrico 1, debido a las cargas discretas del segundo conjunto de cargas considerado, en un punto Pi será:

iiiiiiin EEE γγββαα µµµ222

1 ++=Ε (2.12)

donde iαµ , iβµ , y iγµ representan los cosenos directores de la normal de la superficie

dieléctrica en el punto Pi sobre el sistema de coordenadas en el que se está trabajando, es decir, α, β, γ, y el superíndice 2 representa el conjunto de cargas I2.

Lo mismo se puede decir de la componente normal de campo en el medio dieléctrico 2 debido a las cargas discretas del primer conjunto de cargas considerado:

iiiiiiin EEE γγββαα µµµ111

2 ++=Ε (2.13)

Y utilizando la expresión (2.6) se obtienen:

∑∑∑

∑∑∑+

++=

+

++=

+

++=

===

+++

+++=Ε

mr

mrjjiji

mr

mrjjiji

mr

mrjjiji

r

jjiji

r

jjiji

r

jjijiin

QfQfQf

QfQfQf

2

1

2

1

2

1

1111

γγββαα

γγββαα

µµµ

µµµ

(2.14)

con 0=ijfα para mrrj ++= ,...,1 .


∑∑∑

∑∑∑+

+=

+

+=

+

+=

===

+++

+++=Ε

mr

rjjiji

mr

rjjiji

mr

rjjiji

r

jjiji

r

jjiji

r

jjijiin

QfQfQf

QfQfQf

111

1112

γγββαα

γγββαα

µµµ

µµµ

(2.15)

con 0=ijfα para mrmrj 2,...,1 +++= .

Si se define el coeficiente de la componente normal de campo debido a la carga Qj en el punto Pi como:

ijiijiijinij ffff γγββαα µµµ ++= (2.16)

las expresiones (2.14) y (2.15) se pueden formular entonces:

∑∑+

++==

+=Εmr

mrjjnij

r

jjnijin QfQf

2

111

(2.17)

con 0=nijf para mrrj ++= ,...,1 y

∑∑+

+==

+=Εmr

rjjnij

r

jjnijin QfQf

112

(2.18)

con 0=nijf para mrmrj 2,...,1 +++= .

Si se escribe la expresión (2.11) como:

0121

2 =Ε−Ε nnεε

(2.19)

Y si en esta ecuación se sustituyen las expresiones (2.17) y (2.18) se obtiene:

∑∑∑∑+

++==

+

+==

+=

+

mr

mrjjnij

r

jjnij

mr

rjjnij

r

jjnij QfQfQfQf

2

11111

2

εε

(2.20)

o bien:

012

111

2

11

2 =−+

− ∑∑∑

+

++=

+

+==

mr

mrjjnij

mr

rjjnij

r

jjnij QfQfQf

εε

εε

(2.21)

Si en la superficie dieléctrica se sitúan m puntos de contorno la condición (2.11) se debe formular para estos m puntos. Como hay que determinar el valor de 2m cargas es preciso formular m ecuaciones adicionales para que el sistema de ecuaciones sea determinado. Estas ecuaciones se obtienen de imponer la continuidad del potencial en la superficie dieléctrica, calculado con uno u otro conjunto de cargas para los m puntos de contorno:


ii 21 φφ = (2.22)

es decir:

mrriparaQpQpQpQpmr

rjjij

r

jjij

mr

mrjjij

r

jjij ++=+=+ ∑∑∑∑

+

+==

+

++==

,...,111

2

11

(2.23)

o bien:

mrriparaQpQpmr

mrjjij

mr

rjjij ++==+− ∑∑

+

++=

+

+=

,...,102

11

(2.24)

2.2.3 Construcción del sistema de ecuaciones

Con las consideraciones realizadas en los apartados anteriores se está en disposición de construir el sistema de ecuaciones de cualquier configuración electródica que se pueda plantear.

Sean MF electrodos a potencial fijo, MI electrodos a potencial indeterminado y una superficie dieléctrica. Sea r el número de cargas correspondientes a los electrodos (ya sean a potencial fijo o indeterminado), y 2m el número de cargas correspondientes a la superficie dieléctrica. Se dispone por tanto de n = r+2m incógnitas correspondientes a las cargas y MI incógnitas correspondientes a los potenciales de los electrodos a potencial indeterminado.

Para calcular el valor de estas incógnitas se construye un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

- Para los puntos de contorno de un electrodo a potencial fijo Ek se escribe la ecuación:

∑=

=n

jjijEk Qp

1φ

(2.25)

- Para los puntos de contorno Pi situados en un electrodo a potencial indeterminado El se escriben las ecuaciones siguientes:

01

=−∑=

El

n

jjijQp φ

(2.26)

El conjunto de ecuaciones (2.25) y (2.26) formuladas para todos los puntos de contorno de todos los electrodos resultan en un total de r ecuaciones.

- Para cada electrodo a potencial indeterminado se escribe la ecuación correspondiente a la suma de cargas:


∑ =l

lQ 0 (2.27)

donde l recorre los índices de las cargas del electrodo a potencial indeterminado. De aquí resultan MI ecuaciones en consideración.

- En el caso de estar presente una superficie dieléctrica se formulan m ecuaciones dadas para las fórmulas (2.21) y m ecuaciones dadas para las fórmulas (2.24).

El sistema así considerado posee n+MI ecuaciones, y n+MI incógnitas.

Supongamos una configuración formada por MF electrodos a potencial fijo, un electrodo a potencial indeterminado y una superficie dieléctrica. El sistema de ecuaciones resultante se puede expresar en forma matricial de la siguiente manera:

=

−−

−

−

−

−

−−−

+

+++

+

+

++++++

+

++

+

+

+

0000000000

00000001110000000.00000

011

0111

000

1

.1

.

1

.1

.1

1..1......1..........................1..............................1

1

1

1

1

1

1

1

21

21

2

EMF

E

EMF

n

mr

mr

r

r

s

s

ijij

ijij

ijij

njnjnjnj

ijijijij

ijijijij

ijijijij

ijijijij

ijijijij

ijijijij

Q

QQ

QQ

QQ

Q

pppp

pp

ffff

pppppppp

pppppppp

pppppppp

nn

mrmr

rr

ss

nnmrmrrrss

φ

φ

φ

εε

εε

εε

(2.28)

donde s es el índice que indica el número de cargas de los electrodos a potencial fijo, siendo por tanto r-s el número de cargas de los electrodos a potencial indeterminado.

Los coeficientes de potencial de los electrodos situados en el seno del medio dieléctrico 1 ó 2 con las cargas correspondientes en la frontera dieléctrica situadas en el mismo medio se toman como cero.

2.2.4 Consideración del plano de tierra

En muchas configuraciones electródicas reales es de interés el campo electrostático entre un sistema de conductores y un plano infinito con potencial a tierra. Este plano se tiene en cuenta si se incorpora al sistema de cargas equivalentes otro con cargas del mismo valor pero de signo contrario situado simétricamente con respecto al plano de tierra. Se dice que el plano de tierra se modela con cargas imágenes como se puede observar en la Fig. 2.6.


-λ1

-λ2

-λ3

-λn

λ1

λ2

λ3

λn

U=0

λ1

λ2

λ3

λn

h 2h

Fig. 2.6. Modelización de una configuración electródica con plano de tierra.

Para estos sistemas los coeficientes de potencial pij y de campo fαij de una carga Qj(x,y,z) calculados en un punto Pi están compuestos por dos sumandos el primero debido a la propia carga Qj(x,y,z) y el segundo a su simétrica o imagen -Qj=Qj (x,y-z), es decir:

( ) ( )( ) ( )( )zyxQpzyxQpQQp jijjijjjij −′−=′ ,,,,, (2.29)

( ) ( )( ) ( )( )zyxQfzyxQfQQf jijjijjjij −′−=′ ,,,,, ααα (2.30)

2.2.5 Cálculo de potencial y campo

El sistema de ecuaciones planteado en (2.28) se puede escribir de forma simplificada como:

[ ]

=

Φ 0

BQA (2.31)

La solución del sistema de ecuaciones lineal proporciona el valor de las cargas ficticias así como de los potenciales indeterminados presentes en la configuración:

[ ] [ ]BAQ⋅=

Φ

−1 (2.32)

Ahora resulta posible calcular el potencial y campo eléctricos en cualquier punto del espacio utilizando las fórmulas (2.5) y (2.6).


2.2.6 Tipos de configuraciones

Atendiendo a las diferentes características geométricas de una configuración electródica objeto de estudio se puede clasificar el cálculo de campos eléctricos en tres tipos de sistemas:

- Campos eléctricos bidimensionales. La configuración presenta una dimensión mucho mayor en una dirección espacial determinada y las secciones de la configuración perpendiculares a esa dirección son idénticas, sea cual sea la altura a la que se produce el corte. Sólo resultan necesarios dos coeficientes de campo, p. ej. fxij y fyij en la dirección x e y respectivamente en el caso de coordenadas cartesianas.

- Campos eléctricos tridimensionales con simetría de revolución. La disposición de la configuración electródica objeto de estudio es tal que presenta simetría respecto a un eje de revolución. Sólo resulta necesario el cálculo de dos coeficientes de campo frij, y fzij correspondientes a la dirección radial y axial respectivamente si se utiliza un sistema de coordenadas cilíndricas.

- Campos eléctricos tridimensionales. Corresponden a una configuración general en la que no puede aplicarse ninguna de las simplificaciones de los sistemas comentados anteriormente. Para este tipo de sistemas es necesario el cálculo de tres coeficientes de campo, frij, fψij, fzij, correspondientes a la dirección radial, acimutal y axial respectivamente si se utiliza un sistema de coordenadas cilíndricas.

Para el análisis de cada uno de los sistemas anteriores se puede modelar el cálculo de campo eléctrico con diferentes tipos de cargas discretas.

2.2.7 Campos eléctricos en sistemas bidimensionales

Para el cálculo del campo eléctrico en sistemas bidimensionales se utilizan como cargas discretas cargas lineales de longitud infinita.

En la Fig. 2.7 se muestra la sección de un conductor elíptico con la situación de las cargas lineales infinitas con sus cargas imágenes y los correspondientes puntos de contorno, frente a un plano de tierra.


x

y

Pi(xi ,yi)λj(xj ,yj)

-λj(xj ,-yj)

Fig. 2.7. Cargas lineales de longitud infinita.

Los coeficientes de potencial de líneas de carga infinitas vienen definidos por la siguiente expresión [13]:

22

22

)()(

)()(ln

21

jiji

jijiij

xxyy

xxyyp

−+−

−++=

πε

(2.33)

con la notación de la Fig. 2.7. Esta expresión incluye también las partes de las cargas imagen para la representación del plano de tierra [121]. Puesto que las cargas lineales son de longitud infinita, las cantidades que deben ser determinadas son densidades lineales de carga λj. Los coeficientes de campo presentan las siguientes expresiones:

- Coeficiente en la dirección x:

−++

−−

−+−

−= 2222 )()(

)()()(

)(2

1

jiji

ji

jiji

jixij xxyy

xxxxyy

xxf

πε

(2.34)

- Coeficiente en la dirección y:

−++

+−

−+−

−= 2222 )()(

)()()(

)(2

1

jiji

ji

jiji

jiyij xxyy

yyxxyy

yyf

πε

(2.35)


donde:

λj es la carga perpendicular al plano XY de longitud infinita y de coordenadas (xj,yj).

Pi es el punto del espacio de coordenadas (xi,yi).

- λj es la carga imagen de λj de coordenadas (xj ,-yj).

En el Apéndice A se deducen las expresiones de los coeficientes de potencial y de campo eléctrico.

2.2.8 Campos eléctricos en sistemas tridimensionales de revolución

Las configuraciones tridimensionales simétricas en torno a un eje son frecuentes en la ingeniería eléctrica de alta tensión. Se trata de las configuraciones electródicas que presentan simetría axial respecto a un eje de rotación. Se utilizan los siguientes tipos de cargas:

a.- Cargas anulares. Se trata de anillos de carga con densidad lineal de carga constante centrados en el eje de simetría y situados perpendicularmente al mismo (Fig. 2.8 a).

b.- Cargas rectilíneas (de longitud finita). Se trata de un segmento de carga con densidad lineal de carga constante situado sobre el eje de simetría (Fig. 2.8 b).

c.- Cargas puntuales. Se emplean en lugar de las cargas anulares cuando es preciso situar las cargas en el eje de simetría. (ver Fig. 2.8 c).

zj

P(ri,zi)Qj

z

QjQj

r

z

P(ri,zi)

c) Carga puntual.

zj2

r

z

zj1

b) Carga lineal recta.

P(ri,zi)

r

a) Carga anular.

rj

Fig. 2.8. Tipos de cargas.

En la siguiente figura se puede ver el empleo de todos estos tipos de cargas en una esfera conductora con su entronque cilíndrico.


Carga anular.

r

Qj

z

rj

zj

zj2

zj1

r

z

r

z

Carga puntual.

Carga rectilínea.

P(ri,zi)

Fig. 2.9. Disposición de cargas para el cálculo de una esfera conductora con su entronque cilíndrico.

A continuación se indican las expresiones analíticas [121][13] de los coeficientes de potencial y de campo eléctrico en dirección radial y axial de dichas cargas en presencia de un plano de tierra, usando la notación de la Fig. 2.9.

a) Carga puntual

- Coeficiente de potencial.

( ) ( ) ( ) ( )

++−−

−+−=

2222

114

1

jijijiji

ijzzrrzzrr

pπε

(2.36)

- Coeficiente de campo eléctrico.

En dirección radial.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

++−

−−

−+−

−= 2/3222/322

)()(4

1

jiji

ji

jiji

jirij

zzrr

rr

zzrr

rrf

πε

(2.37)

Dirección axial.


( ) ( )( ) ( ) ( )( )

++−

+−

−+−

−= 2/3222/322

)()(4

1

jiji

ji

jiji

jizij

zzrr

zz

zzrr

zzf

πε

(2.38)

b) Carga anular. (Fig. 2.10)


( )

−⋅=

2

2

1

1 )(24

1ααππε

kKkKpij

(2.39)


En dirección radial.

( ) ( )

( ) ( )

⋅

⋅−⋅++−−

−

⋅

⋅−⋅−+−⋅−=

222

22

22222

211

12

11222

)()(

)()(14

1

βα

β

βα

βππε

kKkEzzrr

kKkEzzrrr

f

jiij

jiij

irij

(2.40)

En dirección axial

( ) ( ) ( ) ( )

⋅

⋅++

⋅

⋅−⋅−= 2

22

22

11

124

1βαβαππε

kEzzkEzzf ijij

zij (2.41)

donde:

22

11

222

221

222

221

22

)()()()(

)()()()(

αα

ββ

αα

ijij

jijijiji

jijijiji

rrk

rrk

zzrrzzrr

zzrrzzrr

==

++−=−+−=

+++=−++=

(2.42)

K(m) = Integral elíptica de primera especie de parámetro m.

E(m) = Integral elíptica completa de segunda especie de parámetro m.

Estas integrales se pueden evaluar por medio de aproximaciones polinómicas [6].


Pi(ri,zi)

rj

zj

-zj

Fig. 2.10. Cálculo de campos eléctricos mediante cargas anulares.

c) Carga rectilínea. (Fig. 2.11)


))(())((

ln)(4

1

2211

2112

12 δδγγ

πε +−+−

+++−

−=

ijij

ijij

jjij zzzz

zzzzzz

p (2.43)


Dirección radial.

+−

++

−−

−

−=

2

12

2

11

1

11

1

12

12

)()()()()(4

1δγδγπε i

j

i

j

i

j

i

j

jjrij r

zzr

zzr

zzr

zzzz

f (2.44)

Dirección axial.

+−−

−=

221112

1111)(4

1δγδγπε jj

zij zzf

(2.45)

donde:


22

22

21

21

21

22

22

21

)()(

)()(

ijiiji

ijiiji

zzrzzr

zzrzzr

++=−+=

++=−+=

δδ

γγ

(2.46)

Pi(ri,zi)

zj1

zj2

-zj1

-zj2

Fig. 2.11. Cálculo de campos eléctricos mediante cargas de segmentos verticales.

En el Apéndice A se deducen las expresiones de los coeficientes de potencial y de campo eléctrico para sistemas tridimensionales con simetría axial.

2.2.9 Campos eléctricos en sistemas tridimensionales sin simetría axial

Habitualmente los problemas de configuraciones electródicas que se plantean se restringen al estudio de aquéllos que poseen simetría rotacional (por ejemplo, transformadores para ensayos, divisores de tensión, condensadores), y de este modo se pueden simular con cargas puntuales, anulares y rectilíneas.


Sin embargo, puede plantearse el problema de una configuración electródica en el que aparezcan varios electrodos con simetría rotacional que juntos establezcan una configuración de campo sin simetría rotacional. Un ejemplo simple de esto último sería una configuración de 2 varillas cargadas que se sitúan muy próximas entre sí. Las varillas poseen por sus propiedades geométricas simetría rotacional, pero el campo eléctrico que surge en sus proximidades no lo es y las superficies equipotenciales que se originan tampoco, como se esquematiza en la siguiente figura.

Fig. 2.12. Corte transversal de varillas.

Este tipo de configuraciones no se puede simular únicamente con las distribuciones de carga hasta aquí comentadas. Para el cálculo de los campos eléctricos tridimensionales de estos sistemas se puede extender el Método de Simulación de Cargas. Del mismo modo que en el caso de simetría axial se pueden aplicar un conjunto de cargas puntuales, lineales, y anulares para la discretización de cargas superficiales reales. Pero en este caso la densidad de carga de las cargas anulares se escoge o bien de variación continua [121][123], o parcialmente constante [140] (ver Fig. 2.13), alternativamente pueden usarse cargas anulares excéntricas ( Fig. 2.14).

Si se utiliza una discretización de cargas con segmentos de anillo como en la Fig. 2.13 a, se asigna a cada segmento del anillo un punto de contorno. El coeficiente de potencial pij y las componentes de intensidad de campo de un segmento Qj en el punto Pi(ri,ψi,zi) utilizando el sistema de coordenadas cilíndricas viene dado por las siguientes expresiones [13]:

( ) ( )∫−−−

=j

jijiijjj

ijrrD

dp1

0 cos241

201

α

α αψ

αααπε

(2.47)


( )

( )

∫

∫

∫

−=

−⋅=

−⋅−=

j

j

j

j

j

j

dF

zzKQ

E

dF

sinrKQ

E

dF

rrKQ

E

ij

ji

j

jzij

ij

ij

j

jij

ij

iji

j

jrij

1

0

1

0

1

0

;

;

;cos

α

α

α

αψ

α

α

α

ααψ

ααψ

(2.48)

donde :

( )( )

( ) ( ) ,cos2

;4;

3222

01

2222

−−++−=

−=++−=

αψ

ααπε

ijiijjiij

jjj

ijjiij

rrrrzzF

KrrzzD

(2.49)

Y los ángulos α0j, α1j y α son los representados en la figura Fig. 2.13. Los símbolos rj y zj son los mismos que en el caso de las cargas con densidad de carga constante (ver Fig. 2.8 a). Las integrales precedentes pueden evaluarse utilizando técnicas de análisis numérico, por medio por ejemplo de la regla de Simpson. Se pueden también utilizar otras técnicas de integración numérica como la cuadratura gaussiana.

α

j0αj1α Longitud indicamódulo de carga

a)

x

y

rj

b)

x

y

αrj

Fig. 2.13. Cargas anulares. a) Densidad de carga parcialmente constante. b.) Densidad de carga variable

continuamente.

A continuación se presentan varios métodos para simular los electrodos con distribuciones de carga no uniformes.

2.2.9.1 Simulación con varias distribuciones uniformes

Este método consiste en simular las partes de los electrodos que producen asimetría en los campos eléctricos por varias distribuciones de carga uniformes.


En el siguiente ejemplo se observan 2 varillas conductoras acabadas en semiesfera en presencia de un plano de tierra. En las secciones transversales de cada varilla se fijan 4 puntos de contorno equidistantes. Cada uno de dichos puntos se asocia con una distribución anular uniforme excéntrica del modo que se puede observar en el ejemplo de la figura:

- La distribución anular uniforme λ1 está asociada con el punto de contorno A.

- La distribución anular uniforme λ2 está asociada con el punto de contorno B.

- La distribución anular uniforme λ3 está asociada con el punto de contorno C.

- La distribución anular uniforme λ4 está asociada con el punto de contorno D.

U=0

C A G E

A

B

C

D

λ1

λ2

λ3

λ4

E

F

G

H

λ5

λ6

λ7

λ8

Fig. 2.14. Cálculo de distribución de campo sin simetría axial mediante cargas anulares excéntricas.

2.2.9.2 Simulación con una sola estructura y varios valores discretos de cargas

Otro método [121] para simular los electrodos con distribución de cargas no uniforme es tomar una estructura anular dividida en segmentos con densidades de carga constantes pero distintas en cada segmento. La estructura anular no puede ser continua,


pues implicaría cuatro puntos con 2 valores diferentes de densidad de carga. Esto se soluciona estableciendo una pequeña ruptura en cada uno de los 4 puntos de contacto de las distribuciones.

λ2

λ1λ3

λ4

P1

P2

P4

P3

Fig. 2.15. Anillo con carga no constante.

2.2.9.3 Simulación con una sola estructura y una variación continua de la densidad de carga

En este método las partes de los electrodos que producen asimetría se simulan por una sola estructura, por ejemplo una estructura anular (Fig. 2.16 a), con una variación continua de la densidad de carga (Fig. 2.16 b). La distribución de carga en los anillos al principio es desconocida (incógnita). Por esta razón la distribución se divide en una parte constante y varios armónicos cosinusoidales (sólo se admiten armónicos impares según la distribución) con valores de pico λµ desconocidos, similares a los que aparecen en el análisis de Fourier. La distribución de carga es una función del ángulo de rotación α (Fig. 2.17) y viene dada para cada carga j por:

∑=

=Hn

jj0

)cos()(µ

µ µαλαλ (2.50)

donde nH indica el número de armónicos.

Para implementar este método se toman para cada carga j, nH +1 puntos de contorno a lo largo del perímetro del conductor y se asigna a cada punto µ una incógnita λµ. La asignación de cada armónico al punto de contorno se hace por numeración.


Carga anular

α

Electrodo

riri

a) b)

λ(α)λ(α)λ(α)

Fig. 2.16. Simulación mediante una sóla estructura con una variación continua de λ. a) Situación del

electrodo y la carga anular. b) Distribución de carga sobre la carga anular.

α2π

λ

Fig. 2.17. Variación de la distribución lineal de carga λ con el ángulo α.

El principio de este método puede explicarse mediante un ejemplo. Considérense las dos varillas, junto con un electrodo disparador como se muestra en la Fig. 2.18. La simetría axial original del campo de las 2 varillas desaparece debido a la presencia del electrodo disparador. Las cargas de tipo anular se colocan dentro de la mitad de las esferas de las varillas y la parte cónica del electrodo disparador, de un modo similar al que se usa para geometrías con simetría rotacional. Para las partes cilíndricas de las varillas y el electrodo disparador, las cargas lineales rectas están situadas paralelas al eje de simetría de los electrodos en un círculo alrededor del eje. Para considerar la asimetría con razonable exactitud es suficiente colocar 3 o 4 cargas rectilíneas alrededor de la circunferencia en la sección transversal de cada electrodo. Sin embargo los anillos presentan una densidad de carga variable [121][123].


Sección transversalde la varilla superior

Fig. 2.18. Varillas vacías con electrodo disparador.

El valor de λµ no se calcula por cumplimiento de una condición de ortogonalidad como en el caso de un análisis de Fourier, sino dando varios puntos de contorno con valores de potencial conocidos alrededor de los electrodos.

El coeficiente de potencial de una carga anular variable periódicamente debido al µ-ésimo armónico en cualquier punto (r, ψ, z) de un sistema de coordenadas cilíndrico es (sin las cargas imágenes) [124][123].

( )µψcos22

1 2

21 ⋅

⋅⋅=

− j

j

µ

jjµ rr

DQ

rr

πεp

(2.51)

con ( ) 2222 rrzzD jjj ++−= y Qm-1/2 como las funciones de Legendre de 2ª clase de orden

µ-1/2, también llamada función toro. Los símbolos rj y zj son los mismos que en el caso de cargas constantes.

Se establece un sistema de ecuaciones lineales y se resuelve para λµ en un modo similar a como se describió anteriormente.

Las componentes de intensidad de campo, obtenidas por la diferenciación de la función potencial con respecto a r, ψ, y z son:


−

−

−

++

+

−⋅⋅⋅−=

∂

∂−=Ε

−+

−

j

j

j

j

j

jjj

jj

j

jj

rrD

Qrr

Drr

DQDrr

rrD

rrD

Qrr

rr

222)2(2

421

221)cos(

2

2

21

22

21

22224

2

21µr

µµ

µ

µµ

µ

µψπε

λφ

(2.52)

)(2

12

1 2

21µ µψµ

πελ

ψφ

µ

µµψ sin

rrD

Qrr

rr j

jj ⋅

⋅⋅⋅⋅=

∂

∂−=Ε

−

(2.53)

−

⋅−⋅

⋅−

+⋅⋅⋅−=

∂

∂−=Ε

−+ j

j

j

j

j

jjj

jj

j

rrD

Qrr

Drr

DQzzrr

rrDrr

z

222)(4

421

)cos(2

2

21

22

21

224µz

µµ

µµµ

µψπε

λφ

(2.54)

La intensidad de campo en cualquier dirección se calcula por superposición de la que crea, por un lado la carga constante y por otro lado las cargas variables periódicas. Por ejemplo tomando una carga anular,

∑=

=ΕHn

rr E0µ

µ (2.55)

2.2.10 Criterios para la modelización

2.2.10.1 Tratamiento de zonas de variación

En las configuraciones electródicas siempre aparecen zonas de escasa variación en su geometría que se siguen con otras de mayor variación (por ejemplo de, mayor curvatura que las anteriores). Para analizar estas zonas de mayor variación geométrica se disponen más cargas de lo habitual que en otras zonas de menor variación. Esto se hace así pues las zonas de mayor variación geométrica son las que soportan mayor variación en su densidad de carga y por lo tanto se necesita un número mayor de puntos de contorno y de cargas para que la simulación sea lo más exacta posible.

2.2.10.2 Matriz de cuasibanda

Para obtener un sistema de ecuaciones que modele lo más fielmente posible el potencial creado en el espacio exterior por una determinada configuración electródica, se debe de garantizar una cierta disposición que se considera más correcta de los elementos de la matriz del sistema, es decir, de los coeficientes de potencial. Para ello, se considera una


disposición correcta de los coeficientes de potencial dentro de la matriz del sistema cuando los coeficientes de máximo valor ocupan la posición de la diagonal principal en la matriz del sistema. De este modo los coeficientes que ocupan las subdiagonales adyacentes a la diagonal principal van disminuyendo de valor a medida que se alejan de la diagonal principal. Los coeficientes de potencial que ocupan posiciones en las subdiagonales más alejadas de la diagonal principal serán de un valor muy pequeño y en algunos casos próximo a cero. Esta disposición de los coeficientes en la matriz es lo que le proporciona a ésta un carácter de matriz cuasi-banda, con valores de coeficientes significativos situados en una banda alrededor de la diagonal principal de la matriz.

Para garantizar esta disposición de los coeficientes de máximo valor en la diagonal principal se debe observar que cada carga contribuye al potencial de todos los puntos de contorno, es decir aporta coeficientes para todos los puntos de contorno Pi. Pero la carga Qj que contribuye con mayor potencial, es decir la de mayor coeficiente, es la que se sitúa más próxima al punto de contorno Pi. Este coeficiente de potencial se debe de situar en la diagonal principal de la matriz para garantizar una resolución del sistema de ecuaciones de modo óptimo.

2.2.10.3 Decisiones en las modelizaciones

Habitualmente el tipo de cargas ficticias a emplear en las modelizaciones depende de la posición que ocupa cada punto de contorno en la configuración electródica. Así para puntos de contorno situados en el eje de simetría de una configuración electródica se emplearán cargas puntuales. Los puntos de contorno situados en partes curvas de configuraciones se verán simulados por cargas anulares, y finalmente los puntos de contorno situados en partes rectas de las configuraciones se ven simulados por distribuciones lineales de carga. Esto se esquematiza en la siguiente figura.


q

A

B

C

D

E

1

3λr

λa

2

Fig. 2.19. Disposición de Puntos de contorno y cargas asociadas. El punto A situado en el eje de simetría se le asocia la carga puntual 1. Los puntos B,C, y D se les asocia las cargas anulares 2. El punto E se le

asocia la carga lineal 3.

2.2.10.4 Aspectos de aplicación

Para la aplicación más efectiva del método CSM es de importancia la disposición adecuada de las cargas y puntos de contorno. Un criterio práctico se obtiene por la definición de un factor de asignación [121] fa = a2/a1 siendo a1 la distancia entre dos puntos consecutivos, y a2 la distancia entre un punto de contorno y la correspondiente carga según se muestra en la siguiente figura.

a1

a2

ρ0

r

a1

ρi

a) b)

Puntos de Contorno Cargas

a2

Fig. 2.20. Disposición de simulación de cargas.


Para contornos curvados, la distancia entre las cargas no debería ser demasiado pequeña, y esto precisa la formulación de un criterio de curvatura (radio ρ) para tales cargas. Se puede derivar la siguiente expresión empleando la notación de la figura anterior basándose en el significado geométrico de a1 y a2.

+=

raf

rafr aai

12

10

1 mρ (2.56)

ρi es válido para curvatura convexa (signo negativo), ρ0 para curvatura cóncava (signo positivo).

La experiencia demuestra que el factor de asignación de fa debe estar entre 1.0 y 2.0. Si fa se mantiene dentro de estos límites la exactitud del cálculo no está muy influida por la posición de las cargas de simulación. Otra posibilidad para determinar la posición de las cargas es mediante introducción de procedimientos de optimización, por ejemplo el algoritmo de Fletcher [149] o la aplicación de sistemas expertos [115]. La exactitud del cálculo depende de la elección del factor de asignación y la densidad de los puntos de contorno. En las áreas de interés, la exactitud se puede mejorar por un incremento de la densidad de los puntos de contorno. Los siguientes criterios se pueden usar para comprobar la exactitud de la simulación:

1º.- Una medida para la exactitud del cálculo es el "error de potencial" en varios puntos de comprobación en la superficie del electrodo entre 2 puntos de contorno. Este "error de potencial" se define como la diferencia entre el potencial conocido del electrodo y el potencial calculado:

icalculadoireali φφφ −=∆ (2.57)

2º.- La continuidad del potencial en una frontera dieléctrica.

3º.- La continuidad de la componente tangencial de la intensidad de campo en una frontera dieléctrica.

4º.- La relación de las componentes normales de la intensidad de campo a ambos lados de la superficie de un dieléctrico

5º.- La evolución de la dirección del vector intensidad de campo (ver Fig. 2.21).


Superficie electrodo.Línea equipotencial correspondiente

Simulación inaceptable Simulación aceptable

Fig. 2.21. Comprobación de la exactitud de la dirección del vector intensidad de campo Ε .

6º.- La derivada del logaritmo neperiano del módulo de la intensidad de campo debe de ser igual a la curvatura total de la superficie en este punto, cambiada de signo [129] o lo que es lo mismo: (fórmula de Spielrein):

+−=⋅

∂∂

21

111ρρEn

E (2.58)

con los radios de curvatura 1ρ y 2ρ perpendiculares a la sección de corte.

La experiencia muestra que el error del gradiente se eleva a diez veces más que el correspondiente error de potencial. De este modo el error de potencial debería ser menor que 1 por mil en un área del electrodo si se desea una exactitud de intensidad de campo del 1% en esta área. El límite práctico para la exactitud de la simulación de electrodos viene dada por la tolerancia de fabricación de los conductores. Del mismo modo la exactitud de la simulación de los dieléctricos tiene su límite práctico en la exactitud de la determinación de las constantes dieléctricas.

2.3 Método de cargas superficiales (SCSM: Surface Charge Simulation Method)

2.3.1 Introducción

El método de simulación de cargas superficiales corresponde al enfoque del cálculo de campo eléctrico y potencial mediante el cual, éstos se pueden calcular en cualquier punto del espacio una vez que se conozca la distribución de carga. Mientras el Método de Simulación de Cargas (CSM) con cargas discretas opera con distribuciones de cargas dispuestas fuera del dominio en consideración, el Método de Cargas Superficiales (SCSM) usa distribuciones que están localizadas directamente sobre las fronteras. Las cargas de los electrodos, o en su caso, las cargas de polarización de dieléctricos de


materiales diversos, se representan mediante funciones de densidad de carga superficial de tipos determinados (lineales, cuadráticas,..). En el caso de campos eléctricos "mixtos" de variación lenta (con una componente resistiva del campo eléctrico "fluyente" y una componente capacitiva), que desempeñan un papel importante en el caso de aislamientos con un ángulo de pérdidas alto, las cargas se sustituyen por corrientes [117][135]. También en el caso de campos electromagnéticos de variación rápida, se calcula con corrientes, bien lineales [53][46] bien superficiales [81][80]. Para aplicaciones de ingeniería de alta tensión el SCSM con cargas superficiales fue desarrollado por Singer [125][117][118].

El cálculo con una distribución superficial de las fuentes, (ya sea de carga o de corriente) puede utilizarse en cualquier tipo de configuración. Requiere eso sí, un mayor aparato matemático, pues para el cálculo del campo se hace necesaria una integración superficial, que por razones de precisión y de velocidad de cálculo, debe llevarse a cabo de forma analítica hasta el punto en que sea posible.

2.3.2 Principio básico

El método de las cargas superficiales puede entenderse como una extensión del método de las cargas discretas. Se aplica a configuraciones de electrodos y aisladores en donde las superficies portadoras de carga presentan simetría rotacional.

Considérese una sección de un cuerpo de revolución como la representada en la figura Fig. 2.22:

P1

P2

q1

q2

q4

q3

Fig. 2.22. Rodaja de sección de un cuerpo de revolución y discretización con cargas anulares.

En el método de las cargas ficticias, si la superficie representase parte de un electrodo, su carga superficial se reemplazaría por dos cargas discretas interiores, q1 y q2, la condición de contorno se escribiría para los puntos P1 y P2. Si se tratara de una


superficie dieléctrica las dos condiciones de contorno comentadas en 2.2.2.2.3 (salto de la componente normal de campo y continuidad de potencial) se escribirían para estos dos puntos mientras que las incógnitas serían las cargas q1, q2, q3 y q4 situadas a ambos lados de la frontera. Las cargas q1 y q2 se utilizarían para calcular potencial y campo en la zona de q3-q4 y viceversa.

En lugar de esto en el método de simulación de cargas, se supone la carga situada sobre la propia superficie, tal y como ocurre físicamente. La simplificación que se realiza es admitir que la densidad superficial de carga varía de forma lineal con la longitud de arco entre P1 y P2 entre dos valores desconocidos σ1 y σ2 como se representa en la Fig. 2.23:

( ) ( )Ll

LlLl 21 σσσ +

−= (2.59)

P1

P2

σ1

σ2

Ll

Fig. 2.23. Aproximación lineal de la variación de la densidad superficial en cada tramo.

De esta forma se simplifica el tratamiento de las superficies al no ser necesario diferenciar entre superficies de electrodos y superficies dieléctricas, y no se limita al número máximo de superficies dieléctricas que puede haber presentes en una configuración.

2.3.3 Coeficientes de potencial y campo

Considérense dos rodajas de carga como las que se muestran en la Fig. 2.24:


Pj-1

Pj+1

σj-1

σj+1

dl σj

Pj

Pi(ri,zi)

rr

r ′r

Fig. 2.24. Discretización con cargas superficiales.

Al calcular el potencial y campo eléctricos correspondiente a la distribución de carga linealizada mostrada, las contribuciones de los segmentos (j-1, j) y (j, j+1) al potencial y a la componente α de campo vienen dadas por las fórmulas:

( )

′−′⋅

+′−′⋅

= ∫∫+

−+−

1

101,1 4

1 j

j

j

jijj rr

SdrrSdP rrrr

σσπε

φ (2.60)

( )

′⋅∂

′−∂

′−+′⋅

∂

′−∂

′−= ∫∫

+

−+−

1

21 20

1,1 41 j

j

j

jijj Sd

rr

rrSd

rr

rrPE

ασ

ασ

πεα

rr

rr

rr

rr (2.61)

Al tratarse de superficies de revolución puede escribirse:

ldrSd ′′=′ π2 (2.62)

Y utilizando:

11,

11,

1,

1,1,1

,11

,

,

++

++

+

−−−

−−

′+

′−=

′+

′−=

jjjj

jjj

jjj

jjjj

jjj

jjj

PPentreL

lL

lL

PPentreL

lL

lL

σσσ

σσσ

(2.63)

se obtienen como coeficientes de potencial y campo para la carga σj:

′′−′⋅′

−′′−′

+′′−′⋅′

= ∫∫∫+

+

+

−−

1

1,

1

1,10

212214

1 j

jjj

j

j

j

jjjij ld

rrrl

Lld

rrrld

rrrl

Lp rrrrrr

ππππε

(2.64)


′⋅∂

′−∂

′−

′⋅′−

−′⋅∂

′−∂

′−

′+′⋅

∂

′−∂

′−

′⋅′=

∫

∫∫+

+

+

−−

1

21,

1

21 2,10

21

2214

1

j

jjj

j

j

j

jjjij

ldrr

rr

rlL

ldrr

rr

rldrr

rr

rlL

f

απ

απ

απ

πεα

rr

rr

rr

rr

rr

rr

(2.65)

Expresiones válidas para todos los tramos excepto el primer tramo y el último en cuyo caso las ecuaciones anteriores quedan reducidas a:

′′−′⋅′

−′′−′

= ∫∫+

+

+ 1

1,

1

0

2124

1 j

jjj

j

jij ld

rrrl

Lld

rrrp rrrr

πππε

(2.66)

′⋅∂

′−∂

′−

′⋅′−′⋅

∂

′−∂

′−

′= ∫∫

+

+

+ 1

21,

1

20

2124

1 j

jjj

j

jij ld

rr

rr

rlL

ldrr

rr

rfα

πα

ππεα

rr

rr

rr

rr (2.67)

expresión válida para el primer tramo, y:

′′−′

+′′−′⋅′

= ∫∫+

−−

1

1,10

2214

1 j

j

j

jjjij ld

rrrld

rrrl

Lp rrrr

πππε

(2.68)

′⋅∂

′−∂

′−

′+′⋅

∂

′−∂

′−

′⋅′= ∫∫

+

−−

1

21 2,10

2214

1 j

j

j

jjjij ld

rr

rr

rldrr

rr

rlL

fα

πα

ππεα

rr

rr

rr

rr (2.69)

expresión válida para el último tramo.

2.3.4 Formulación de las condiciones de contorno

2.3.4.1 Electrodos a potencial fijo

La formulación es completamente análoga al método de las cargas ficticias, para cada punto de contorno de un electrodo se escribe:

( ) ∑=

=n

jjiji pP

1

σφ (2.70)

2.3.4.2 Electrodos a potencial flotante

Al igual que en el método de las cargas ficticias es necesaria una ecuación adicional. En este caso habría que escribir para un único medio dieléctrico en torno al electrodo de forma análoga a (2.8):

( ) 0=′⋅′∫ElectrodoSdSσ (2.71)


Ecuación que se puede escribir como ∑∈

=Electrodoi

jijg 0σ donde gij son unos coeficientes

definidos como sigue:

∫∫∫+

+

+

−−

′⋅′⋅′−′⋅′+′⋅′⋅′=1

1,

1

1,121221 j

jjj

j

j

j

jjjij ldrl

Lldrldrl

Lg πππ (2.72)

Expresión válida para todos los tramos excepto el primer tramo y el último en cuyo caso la ecuación anterior queda reducida a:

∫∫+

+

+′⋅′⋅′−′⋅′=

1

1,

1212

j

jjj

j

jij ldrl

Lldrg ππ (2.73)

válido para el primer tramo, y

∫∫+

−−

′⋅′+′⋅′⋅′=1

1,1221 j

j

j

jjjij ldrldrl

Lg ππ (2.74)

expresión válida para el último tramo.

2.3.4.3 Superficies de separación dieléctricas

En los integrandos de (2.64) y (2.65) el punto en el que se calculan los coeficientes pertenece a la propia superficie de integración, por lo que para la evaluación de las integrales en esos puntos es preciso recurrir a técnicas especiales [113][118][125].

Cuando lo que se calcula es la intensidad de campo, que es una magnitud discontinua en las superficies donde existe una densidad de carga, el resultado de la evaluación de las integrales proporciona el valor medio de la intensidad de campo a ambos lados de la superficie.

A la hora de aplicar la condición de contorno de las superficies dieléctricas, es preciso tener esto en cuenta. Si En es el valor de la componente normal de la intensidad de campo calculada a partir de los coeficientes de campo en un punto de una frontera dieléctrica, es decir, su valor medio, entonces se puede escribir:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

1

02

2

2

εσ

εσ

iinin

iinin

PPP

PPP

−Ε=Ε

+Ε=Ε

rr

rr

(2.75)

Por lo que la condición de contorno (2.11) puede escribirse:

022 0

10

2 =

−Ε−

+Ε

εσε

εσε nn

rr

(2.76)

o bien:


( ) ( )0

2 0

1212 =

++Ε−

εσεε

εε nr

(2.77)

Quedando finalmente:

( )( ) 0

2 012

12 =⋅−+

+Εε

σεεεε i

nr

(2.78)

Y la ecuación del sistema de ecuaciones correspondiente al punto Pi se escribirá:

( )( ) 0

2 012

12

1

=⋅−+

+∑= ε

σεεεε

σ in

jijnijf

(2.79)

2.3.5 Construcción del sistema de ecuaciones

De forma análoga al caso de las cargas discretas se puede formular el sistema de ecuaciones completo de una configuración con MF electrodos a potencial fijo y aisladores y por ejemplo un electrodo a potencial indeterminado del siguiente modo:

=

⋅−+

+−−

⋅−+

+−

⋅−+

+

−−−

+

+

+

+++

+

+

+

000000000

..

0000000

0

0

0

111

000

0

1

1

.1

.1

1........................................................1.................1.......................1

1

1

1

1

1

012

21

012

21

012

21

EMF

E

EMF

n

r

r

s

s

ijijij

iniinijnijnijnij

niji

niinijnijnij

nijniji

niinijnij

ijijij

ijijij

ijijij

ijijij

ijijij

ijijij

ggg

fffff

fffff

fffff

pppppp

pppppp

pppppp

nn

rr

ss

nnrrss

φ

φ

φσ

σσ

σσ

σ

εσ

εεεε

εσ

εεεε

εσ

εεεε

(2.80)

donde s es el índice que indica el número de cargas de los electrodos a potencial fijo, siendo por tanto r-s el número de cargas de los electrodos a potencial indeterminado.

2.3.6 Cálculo de la distribución de potencial

Como por ejemplo se muestra en [121][126], la mayoría de los problemas de campo pueden tratarse mediante partes constructivas rotacionalmente simétricas, que se encuentran bien dentro de un campo igualmente rotacionalmente simétrico, bien dentro de un campo tridimensional general. La distribución de carga alrededor de la dirección de rotación es constante en el caso del campo con simetría rotacional y variable en el caso general de un campo tridimensional.


2.3.6.1 Campo rotacionalmente simétrico

En un campo rotacionalmente simétrico, se genera por la carga superficial de densidad σ en un punto de cálculo P(r,z) un potencial φ(P) según:

( ) ( )∫∫=

QA

QQ s

dAAP 04

1 σπε

φ (2.81)

siendo s la distancia entre el elemento de fuente dAQ y el punto de cálculo, en donde la integración se realiza a lo largo de la superficie AQ (Fig. 2.25). El cálculo debe realizarse en coordenadas cilíndricas circulares r,ψ,z. En este caso la integración sobre la variable ψQ puede realizarse analíticamente, la consiguiente integración sobre el contorno CQ=f(rQ,zQ) sólo puede llevarse a cabo numéricamente, si se prescinde de casos especiales (p. ej. contorno rectilíneo).

Con ello el potencial resulta:

( ) ( ) ( )∫

⋅=

QCQ

QQ dC

arkΚ

CP 01 σ

πεφ (2.82)

Donde K(k) es la integral elíptica completa de 1ª especie y parámetro k, siendo:

( ) ( )22

4

QQ

Q

zzrr

rrk

−++=

(2.83)

y

( ) ( )22QQ zzrra −++= (2.84)

ra, za

Z

CQ

dCQ

ψa

r

Fig. 2.25. Integración sobre un contorno CQ (Elemento de carga dCQ con las coordenadas rQ y zQ)


Para conseguir una reproducción lo más fiel posible a la realidad de la distribución de carga, se divide el contorno CQ en superficies parciales [125] y para cada una de estas superficies parciales j se supone una función de distribución distinta para σj(CQ). En muchos ejemplos de aplicación se ha mostrado como la más efectiva una distribución lineal de la distribución de carga en la dirección CQ, que en forma de funciones triangulares conduce a una transición continua desde una superficie parcial a la contigua, (Fig. 2.26), formándose para cada punto de apoyo CQj un vértice de carga jq .

CQ1 CQ2 CQ3 CQ4 CQ5

j=1 j=2 j=3 j=4

1q

2q3q

4q

5q

σ0(j=1)σ0(j=2)

σ0(j=3)

σ0(j=4)

CQ(rQ,zQ)

Fig. 2.26. Distribución de carga con funciones triangulares para las superficies parciales individuales

j=1,2,3....

La superposición de jq y 1ˆ +jq produce en la superficie parcial j una densidad de carga:

( ) ( ) ( )Q

QjQj

QjQjQQjjQ C

CCCCqCCq

C ⋅+=−

−⋅+−⋅=

+

++1000

1

110

ˆˆσσσ (2.85)

con la constante:

QjQj

QjjQjj

CCCqCq

−

⋅−⋅=

+

++

1

1100

ˆˆσ

y el valor dependiente linealmente de CQ:

QQjQj

jjQ C

CCqq

C ⋅−

−=⋅

+

+

1

110

ˆˆσ

La evaluación numérica de la integración puede realizarse por medio de métodos diferentes, p. ej., con ayuda de una sencilla regla de trapecios. Una variante rápida la constituye la integración mediante una regla trapezoidal de exponencial doble [113],


que con ayuda de una función exponencial doble apropiada, es capaz de eliminar la singularidad del integrando en el caso de que el punto de cálculo se encuentre sobre la propia superficie de integración. Relacionada con esta técnica se puede utilizar un desarrollo de la distribución de carga en forma de polinomios de Tschebyscheff prescindiendo de la división en superficies parciales [113]. En este caso, por razones numéricas, el número máximo de puntos de apoyo (puntos de contorno) en un elemento constitutivo de la configuración debe fijarse alrededor de 15.

Otra posibilidad de integración es la cuadratura de Gauss. Resulta precisa, pero tiene una distribución de puntos de apoyo fija y por ello no está pensada para el problema que aquí se trata. Un tratamiento más flexible se consigue mediante las reglas de los trapecios y de Simpson, pues en ellas los pasos de integración correspondientes h pueden adaptarse a la distancia s entre el punto de fuente y el punto de cálculo. (Fig. 2.27).

h3

CQj CQj+1

h1 h1 h2 h2 h3

P(r,z)

I3I2I1L

s

Fig. 2.27. Integración de las componentes de potencial de una superficie parcial CQj-CQj+1.

Este método de proceder es recomendable, pues las componentes de potencial de los intervalos individuales Ii, para la misma longitud de intervalos, se hacen mayores cuanto más próximos se encuentran al punto de cálculo P. Se obtienen buenos resultados con

ssh ⋅⋅= 5,0...2,0 [125]. La integración numérica debe interrumpirse, cuando el punto de cálculo está situado sobre la superficie y la distancia s a un intervalo de integración se hace muy pequeña (p.ej. QjQjmin CCss 1

510 +− ⋅<< ). Esta singularidad puede removerse

por medio de la doble función exponencial citada [113]. También puede evitarse si se integra numéricamente sólo hasta una distancia smin del punto de cálculo. Las componentes de potencial para los distintos intervalos pueden determinarse aproximadamente de forma rápida por medio de una serie geométrica [125], pues para s ∼ h las contribuciones de potencial para una aproximación cada vez mayor al punto de cálculo disminuyen como los términos de una progresión geométrica. Una tercera posibilidad de tratar la singularidad es la integración analítica de los elementos de fuente en la proximidad del punto de cálculo. Para ello el pequeño intervalo L<=2 smin en la proximidad del punto de cálculo se sustituye por un contorno rectilíneo, para el cual es posible llevar a cabo la integración analíticamente. Para la contribución al potencial de este intervalo L se cumple entonces (Fig. 2.28):


( ) ( ) ( )du

arkK

uLP QL ∫

⋅⋅=

1

00σ

πεφ

(2.86)

en donde la integración se lleva a cabo sobre la constante adimensional L

Cu Q= . Cuando

el punto de cálculo está situado en el centro del intervalo, su coordenada r # 0 (p. ej. L < 10-3r) y, al ser 1+<< QjQjCCL se puede considerar σ0 como constante en ese pequeño

intervalo, la integración lleva a la expresión:

( ) ( ) ( )

−+⋅

+−⋅

⋅++⋅

⋅≈ 2

212

2

20 21

31161

192116ln

2 Lrr

Lrn

rL

LrPL

PL πεσ

φ (2.87)

Para el desarrollo de esta fórmula se han utilizado los desarrollos en serie reproducidos en el Apéndice A para a y para K(k) para k ≈ 1.

Para puntos de cálculo con r ≈ 0 se cumple:

( ) ( ) ( )120

2rr

PPL −⋅≈

εσ

φ (2.88)

r2,z2;u2 = 1

P(r,z);u = 0.5

r1, z1;u1 = 0

L

U, CQ

Fig. 2.28. Integración analítica sobre el intervalo parcial L.

2.3.6.2 Campo sin simetría rotacional

Las partes constructivas con simetría rotacional pueden desplazarse o inclinarse unas respecto de otras de tal forma que el campo resultante pierde su simetría rotacional. La distribución de carga en función del ángulo de rotación ψQ deja entonces de ser constante. Como esta distribución no es conocida, puede descomponerse de forma análoga a como se realiza en el análisis de Fourier en una componente constante y varios armónicos sinusoidales o cosinusoidales [126][125]:


( ) ( )∑=

⋅⋅+=N

nQQnnQ nCC

0100 cos ψσσσ

(2.89)

La contribución al potencial del armónico de orden n se escribe:

( ) ( ) ( ) QnC

QQn dCQ

rr

CnPQ

⋅⋅⋅⋅= −∫ ξσπε

ψφ2

102cos

(2.90)

El potencial creado por esta distribución en un punto de cálculo P(r,ψ,z) reza:

( ) ( ) ( )∑ ∫=

−

⋅⋅⋅⋅=

N

nQn

C

QQ dCQ

rr

CnPQ

00 2

12

cos ξσπε

ψφ (2.91)

con:

( ) ( )Q

QQ

Q rrrrzz

rrd

21

2

222 −+−+==ξ

y:

( ) 222QQ rzzd +−=

En la Fórmula (2.90) ya se ha llevado a cabo la integración analítica sobre la variable ψL, que conduce a la función toroidal ( )ξ

21−nQ . La consecuente integración sobre un

contorno de forma arbitraria CQ se lleva a cabo de nuevo numéricamente. La expresión:

( )ξ2

1−⋅ nQ Qr

r

resulta para n = 0 idéntica con el término que aparece en el caso de una distribución de carga constante (2.3.6.1)

( )a

rkK Q⋅⋅2

En puntos con r = 0 resulta φn = 0.

La distribución de carga σn(CQ) se convierte para las superficies parciales individuales mediante linealización con funciones triangulares a la forma:

( ) QnnQn CC ⋅+= 10 σσσ

Al igual que en el caso de la distribución de carga simétrica, la integración numérica puede realizarse a lo largo de toda la superficie de la fuente si el punto de cálculo no está situado sobre ella. En caso contrario, se omite en la integración numérica de nuevo un intervalo de longitud L en un entorno del punto de cálculo y para él se realiza la


integración analíticamente; la correspondiente componente del potencial se escribe análogamente a la ecuación (2.87):

( ) ( ) ( )

( )

( )

+⋅

−−−

+⋅

−−++

−+

−⋅

+×

−+⋅

⋅≈⋅⋅⋅

⋅=

∑

∑

∫

−

=

−

=

−

1

02

212

1

0

222

2

2

2122

2

2

1

0

1212

961

1212

41

41

48841

43116ln

121116ln

2cos

2cos

21

n

k

n

k

nQ

QnLn

krrr

knn

rL

rrr

nr

LL

r

LrnLdUQ

rr

CnLPπε

ψξσπε

ψφ

(2.92)

Los desarrollos en serie necesarios para ella con ξ ≈ 1 se presentan en el Apéndice A. Para n = 0 la ecuación (2.92) se transforma en la ecuación (2.87).

Los coeficientes de carga σ00, σ10, σ0n, σ1n se obtienen como es usual en los métodos de ecuaciones integrales forzando el cumplimiento de las condiciones de contorno del campo en el número necesario de puntos de contorno [126][125].

2.3.7 Cálculo de la intensidad de campo

A partir de las fórmulas del potencial φi(P) pueden obtenerse las intensidades de campo Ei(P) mediante el cálculo de diferencias o mediante diferenciación.

2.3.7.1 Cálculo de la intensidad de campo mediante el cálculo de diferencias

Dado que no existen fórmulas separadas para el potencial a cada uno de los lados de una carga superficial, se nos ofrece la posibilidad de determinar la intensidad de campo mediante la formación de diferencias de potenciales en dos puntos vecinos muy próximos (distancia ∆); de esta forma se obtienen automáticamente a ambos lados de una carga valores de intensidad de campo distintos entre sí. La desventaja de este método es que, para calcular la intensidad de campo se hace necesario realizar como mínimo tres cálculos de potencial. Otro problema adicional puede ser en configuraciones de amplia extensión espacial con un campo fuertemente inhomogéneo, la exactitud del cálculo de la intensidad de campo. Una distancia ∆ de p. ej. 10-3mm, difícilmente puede ser tenida en cuenta por el ordenador debido al límite de cifras significativas de trabajo en el caso de que la configuración se extienda ampliamente en una dirección (p.ej. z = 20 m). Además una distancia ∆ mayor (p. ej. 1mm) puede entrar ya en el orden de magnitud de la curvatura del electrodo. De estas razones se deduce la necesidad de buscar una diferenciación analítica.


2.3.7.2 Cálculo de la intensidad de campo mediante diferenciación analítica

Al igual que con el cálculo del potencial se distinguirá aquí entre una distribución de carga constante y una distribución de carga con variación periódica a lo largo del perímetro de rotación.

2.3.7.2.1 Campo rotacionalmente simétrico En un campo rotacionalmente simétrico con distribución de carga constante a lo largo del perímetro de rotación se obtienen mediante diferenciación analítica de la ecuación (2.84) en coordenadas cilíndricas las componentes de campo

( ) ( ) ( )[ ] ( )Q

QQQ

CQor dC

ba

kEzzrrkKbrC

rrE

Q

2

2222

21

⋅

⋅−+−−⋅⋅⋅⋅=

∂∂

−= ∫σπε

φ (2.93)

Caso especial r=0; Er=0,

( ) ( ) ( )Q

QQ

CQoz dC

ba

kEzzrC

rzE

Q

21

⋅

⋅−⋅⋅⋅=

∂∂

−= ∫σπε

φ (2.94)

con ( ) ( ) .222QQ zzrrb −+−=

También los integrandos de estas integrales presentan una singularidad en el caso de que el punto de fuente y el punto de cálculo coincidan (rQ,zQ → r,z). Esta singularidad no puede resolverse por una transformación en una función exponencial doble. Por esta razón, para un contorno de forma general se integra numéricamente (como se describió en el punto 2.3.6.1). En el caso de que el punto de cálculo esté situado sobre la superficie fuente, el intervalo parcial de longitud L en un entorno del punto de cálculo se integra analíticamente, considerándolo como un contorno rectilíneo. Para este intervalo se obtiene de forma análoga a la ecuación (2.86):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) dukEba

zzruLE

dukEb

rrrbkK

ar

ur

LE

QQozL

QQorL

⋅⋅

−⋅⋅⋅−=

⋅

−+−⋅⋅⋅=

∫

∫

2

1

0

2

21

0

;2

2

σπε

σπε

(2.95)

Con las condiciones citadas para la fórmula (2.87), las fórmulas anteriores llevan a:


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

−

−+−

+⋅⋅⋅

−−≈

+⋅⋅−

−−−+

−+⋅

−+

−−⋅

⋅≈

119225

3116ln

964

3116ln

23

22

196116ln

4

2

212

2

2

2

01212

2

2

2

212

212

2

212

2

212

2

2120

rrrL

Lr

rLP

rLzzrr

E

Lr

rL

rrrzz

Lrr

rzz

Lrr

Lr

rPL

E

zL

rL

σπε

πεσ

(2.96)

Los desarrollos en serie necesarios para la sustitución de E(k) en el paso de la fórmula (2.95) a la fórmula (2.96) se muestran en el Apéndice A.

Para puntos de cálculo con r = 0 se obtiene:

RL

E

E

zL

rL

εσ

4

00−

=

=

(2.97)

En donde R es el radio de curvatura de la superficie fuente en el punto de cálculo (R>0 para el polo "inferior" de una esfera y R<0 para el polo "superior" de una esfera. Para parábolas con ecuación 2

QPQPp rCrBAz ⋅+⋅+= el radio de curvatura correspondiente es

PCR

21

= ).

Dado el caso, las componentes Er y Ez calculadas con la ecuación (2.96), es preciso recalcularlas en componente normal En y componente tangencial Et. Cuando el punto de cálculo está situado sobre la propia superficie fuente, el valor así calculado para En representa únicamente el valor medio de las componentes normales En1 y En2 a ambos lados de la superficie de fuente. Ambos valores se determinan a partir de En mediante las relaciones:

( )

( )0

2

01

2

2

εσ

εσ

PEE

PEE

nn

nn

−=

+= (2.98)

En la superficie de fuente la componente normal de la intensidad de campo efectúa en el punto P un salto de σ(P)/ε0.

2.3.7.2.2 Campo sin simetría rotacional Para componentes constructivas rotacionalmente simétricas en el seno de un campo sin simetría rotacional se obtienen por diferenciación de los potenciales, de acuerdo con la ecuación (2.90):


( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]}( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] Qnn

QQ

C

QQn

nzn

QnC

QQn

nn

Qnn

QnC

QQn

nrn

dCQQ

ba

zzrrr

rCnn

zE

dCQr

rC

rnsinn

rrE

dCQQ

rdrba

nQ

rrr

Cnr

E

Q

Q

Q

⋅⋅−×

⋅

−⋅⋅⋅⋅

−⋅=

∂∂

−=

⋅⋅⋅⋅⋅

=∂

∂⋅−=

⋅⋅−×

−⋅⋅⋅

++⋅⋅⋅=

∂∂

−=

−+

−

−+

−

∫

∫

∫

ξξξ

σπε

ψφ

ξσπε

ψφ

ξξξ

ξσπε

ψφ

ψ

21

21

21

21

21

21

22

2222

421

2cos

21

221

41cos

(2.99)

La integración analítica de estas fórmulas sobre un intervalo parcial de longitud L en un entorno del punto de cálculo lleva de forma análoga a las ecuaciones (2.96) a las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

−+

−−

+⋅−

−

−⋅⋅

⋅−⋅−≈

−−

+⋅⋅

−+

−+

++

+⋅−+⋅⋅⋅

⋅≈

+

+⋅−+⋅

−+

−+

−×

−

−+

−−−+

−−⋅

−+×

+

+⋅−

−−⋅⋅⋅≈

∑

∑

∑

∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

2

212

21

0

2

221212

,

1

0

22

2

2

212

1

0

22

2

,

1

02

212

2

212

22

2

212

2

212

212

2

2122

2

212

2

1

02

212

,

962

112

12

6116ln

2441

4cos

3116ln

1212

41

2481

41

961212116ln

2

1212

3116ln

22

41

4812

242

481

121216ln

4cos

rrrL

k

Lr

rLnP

rLnzzrr

E

Lr

kn

rL

rrr

nr

LkL

rPLrnsinnE

kLr

rrr

rzzL

n

Lrr

rrrzz

rrr

nr

rrL

kLrr

LrPL

rnE

n

k

nnzL

n

k

n

knnzL

n

k

n

kunrL

σπε

ψ

σπε

ψ

σπε

ψ

(2.100)

Los desarrollos en serie de la función Qn+1/2(ξ)-ξ.Qn-1/2(ξ) se encuentran igualmente en el Apéndice A. Para puntos de cálculo con r = 0 se cumple Ern = Eψn = Ezn = 0. Para n = 0 las ecuaciones (2.100) se convierten en las ecuaciones (2.96).

2.4 Método de los elementos de contorno (BEM: Boundary Element Method)

2.4.1 Introducción

El método de los elementos de contorno trabaja al igual que el método de las cargas superficiales con distribuciones de carga distribuidas sobre las superficies de electrodos


y aisladores. El hecho de utilizar dos denominaciones distintas para ambos métodos obedece a razones históricas. La denominación del método de cargas superficiales se restringe para el caso explicado en que las superficies elementales portadoras de carga presentan simetría de revolución, mientras que la denominación del Método de Elementos de Contorno se emplea para el caso en que las superficies elementales portadoras de carga tienen una forma general, cada una de estas superficies recibe la denominación de “Elemento de Contorno”

2.4.2 Principio básico. Modelo matemático

El campo electrostático derivado de una función puede describirse usando ecuaciones integrales de Fredholm de primera y segunda especie en las que el núcleo es una función de Green [13].

Para formular el sistema de ecuaciones integrales se representa el sistema físico mediante cargas superficiales equivalentes distribuidas sobre:

• Las interfaces entre dos dieléctricos, teniendo en cuenta la carga ligada sobre la superficie de la frontera.

• Las interfaces de frontera conductor-dieléctrico en las que el conductor tiene un potencial conocido.

• Las interfaces de frontera conductor-dieléctrico en las que se conoce la cantidad total de carga del conductor (posiblemente nula).

La función de distribución de las cargas de superficie equivalentes introducidas, sobre las interfaces de contorno marcadas, se determina de modo que se satisfagan las siguientes condiciones:

• Condiciones de contorno sobre las fronteras entre dos dieléctricos.

• Se mantienen los valores prescritos para la función de potencial sobre la superficie de los conductores con potencial conocido.

• Se imponen los valores prescritos para la cantidad total de carga en los conductores con potenciales desconocidos (’potencial flotante’).

El campo eléctrico en el espacio de interés se puede considerar como el resultado de la presencia de las cargas superficiales equivalentes. Estas cargas se consideran las fuentes de campo eléctrico.

Para el estudio de este modelo matemático se considera la siguiente notación:

Sp: Superficie de separación conductor - dieléctrico, p = 1, ..., P;

Sd: Superficie de separación dieléctrico - dieléctrico. d = 1,..., D;


M: índice del punto de la fuente de campo que se encuentra sobre la superficie del conductor;

N: índice del punto de la fuente de campo que se encuentra sobre la superficie frontera entre dos dieléctricos;

I: índice de un punto arbitrario que se encuentra sobre la superficie del conductor;

J: índice de un punto arbitrario que se encuentra sobre la superficie de frontera entre dos dieléctricos;

σ : la función de distribución de las cargas superficiales equivalentes.

Si las funciones de cargas superficiales equivalentes son conocidas, entonces, para un punto arbitrario I sobre la superficie del conductor, el potencial se calcula de acuerdo a la siguiente relación:

( ) ( )

p

D

d S NI

dP

p S MI

pI

SI

rdSN

rdSM

pp

∈

⋅+

⋅= ∑ ∫∑ ∫

== 1010 41

41 σ

πεσ

πεφ

(2.101)

La ecuación (2.101) representa una ecuación Integral de Fredholm de primera especie. En el caso de que el potencial de algunos conductores no sea conocido, pero la cantidad total de carga Q sobre el conductor es conocida, entonces la ecuación que representa la cantidad total de cargas se usa junto con la ecuación anterior:

∑ ∫=

Ε=p

p

D

j Spjnprpjp dSQ

10εε

(2.102)

donde se supone la superficie del conductor P dividida en Dp superficies rodeada cada una por un medio dieléctrico de permitividad relativa εrpj.

La componente normal de la intensidad de campo eléctrico de un punto arbitrario J sobre la frontera de una interfaz dieléctrico - dieléctrico se puede calcular del siguiente modo:

( ) ( ) ( ) ( )JnJnJ

D

d

dnJ

P

p

pnJnJ EEEEE +=+= ∑∑

==

0

11

(2.103)

donde: ( )0nJE : componente normal de la intensidad del campo eléctrico debido a todas las

fuentes, excepto las fuentes de la superficie frontera donde se encuentra el punto J, ( )JnJE : componente normal de la intensidad de campo eléctrico debido a todas las fuentes

a lo largo de la superficie frontera donde se encuentra el punto J.


( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫≠==

+=ΕD

dJdd S

dJNJP

p S

pJMJnJ

d NIp MJr

dSnrNr

dSnrM

12

012

0

0 ,cos4

1,cos4

1rrrr

σπε

σπε

(2.104)

La componente normal de la intensidad del campo eléctrico en el punto J, causada por las fuentes a lo largo de la superficie donde se encuentra J, dJ, se calcula del siguiente modo:

( ) ( ) ( )∫=Ε

dJS NJ

dJJNJJnJ r

dSnrN2

0

,cos4

1rr

σπε

(2.105)

Se observa que cuando N→ J la integral (2.105) presenta una singularidad.

Para evitar la singularidad, se excluye un área pequeña alrededor del punto J, área SAB, de la integral anterior (Fig. 2.29), y el campo originado por las fuentes sobre esa área SAB se calcula aparte.

( ) ( ) ( )ABJnJ

JnJ

JnJ Ε+Ε=Ε − (2.106)

donde:

( ) ( ) ( )ABdJdJ

S NJ

dJJNJJnJ SSSdonde

rdSnrN

dJ

\,cos

41

20

==Ε −−− ∫

−

rrσ

πε (2.107)

( )ABJJE 2,( )ABJJE 1,

SAB

J

σj

JB

(

ε2

ε1

Fig. 2.29. Área SAB alrededor de un punto singular J

El área SAB puede considerarse como un pequeño disco circular plano, de modo que la intensidad de campo a que da lugar en su centro es normal a la superficie del disco.

Las superficies de separación entre dieléctricos se modelan mediante la densidad superficial de carga ligada sobre la superficie, estableciendo como condición de


contorno la continuidad del flujo a través de la superficie en los puntos de contorno. Por lo que a la parte de la intensidad de campo debida a la carga sobre el disco SAB se cumple:

( ) ( )

01,2, 2ε

σ JABJJ

ABJJ E =−=Ε (2.108)

y las componentes normales totales de la intensidad de campo en el punto J a ambos lados de la superficie, calculadas con la dirección de la normal hacia el lado "2", son:

( ) ( )

( ) ( )

0

02,

0

01,

2

2

εσε

σ

JJnJnJnJ

JJnJnJnJ

EE

EE

++=Ε

−+=Ε

−

−

(2.109)

Si se supone que no hay densidad de carga libre en la superficie del dieléctrico, entonces sobre la base de las condiciones de contorno en la interfaz de los dieléctricos la condición de salto de la ley de Gauss se puede escribir como:

( ) ( ) ( ) ( ) 022

0

0

01

0

02

1,12,2

=

−+−

++

=Ε−Ε

−−

εσ

εε

σε

εε

JJnJnJ

JJnJnJ

nJJn

EEEE (2.110)

Así se obtiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) 02 0

120

12 =

+++− −

εσεεεε JJ

nJnJ EE (2.111)

Y despejando:

( ) ( )[ ]DdSJ

EE

d

JnJnJJ

,..,1,

2 0

21

210

=∈

++−

= −

εεεεεσ

(2.112)

La ecuación anterior representa una ecuación integral de Fredholm de segunda especie. Para hallar su solución se necesitan las relaciones anteriores (2.104) y (2.107) junto con la condición SAB → 0.

2.4.3 Modelo matemático discreto

En la solución numérica de las ecuaciones de Fredholm mediante el Método de los elementos de Contorno (BEM), las superficies frontera se aproximan usando un número finito de subáreas - elementos de superficie de contorno- a menudo en la forma de un triángulo curvilíneo o cuadrángulo curvilíneo. El elemento de contorno en sí mismo se describe usando funciones de forma de órdenes adecuados a la precisión con la que se


quiere definir el elemento de contorno. En un gran número de casos, las superficies de contorno son superficies regulares de segundo orden, que pueden ser completa y simplemente descritas de forma analítica, como un total o en partes, en un sistema de coordenadas apropiado local dentro de un sistema de coordenadas arbitrario absoluto. Este caso específico del Método de Elementos de Contorno se denomina Método de los Elementos Parciales (PEM) [72].

La resolución de las ecuaciones integrales se reduce a un problema de determinar un conjunto de funciones para las cargas de superficie equivalentes definidas sobre cada elemento de contorno:

EeSGPpSIrdS

ep

E

e S GI

eeI

e

,...,1,;,...,1,4

110

=∈=∈

= ∑ ∫=

σπε

φ

(2.113)

( )

( ) Ε=≠∈=∈+−

= ∑∫=

,..1,;,..,1,

,cos4

121

2021

210

eJGSGDdSJr

dSnr

ed

E

eS

GJ

eJGJeJ

e

rrσπεεε

εεεσ (2.114)

donde E es el número total de elementos de contorno.

La solución numérica de las ecuaciones anteriores (2.113) y (2.114), exige la introducción de funciones apropiadas para la aproximación de la función σ(S). Para ese propósito, es mejor utilizar las denominadas funciones base (similares a las del Método de Elementos Finitos para aproximación de la función escalar del potencial) de un orden diferente.

Si los valores de la función son conocidos en m de los puntos del elemento de contorno seleccionados apropiadamente, entonces el valor de la función en un punto arbitrario del elemento se puede calcular usando una función base apropiada:

∑=

=m

jjj fNf

1

(2.115)

La forma de la función base Nj depende del orden del polinomio. En la mayoría de los casos, es suficiente usar polinomios de primer y segundo orden. En estos casos, es muy recomendable definir funciones base en un sistema de coordenadas local, denominado sistema de coordenadas L. Por ejemplo, para un elemento de contorno de forma triangular curvilínea, una aproximación lineal se define como sigue:

332211 fLfLfLf ++= (2.116)


donde L1 + L2 +L3 = 1, y (f1, f2, f3) son los valores de la función en los vértices del triángulo. La relación anterior se puede expresar en forma matricial de la siguiente forma:

[ ] ( )[ ] ( )[ ].11

3

2

1

321 fNfff

LLLf =

++=

(2.117)

Este método de expresar los valores de las funciones de un elemento puede ser considerado como general, cualquiera que sea el orden de la aproximación. Además, las dimensiones de la matriz introducida y la forma de las funciones base dependerán del orden de la aproximación. De este modo:

( )[ ] ( )[ ].ee fNf = (2.118)

donde se introducen los símbolos siguientes:

[N(e)]: matriz de transformación, donde la matriz fila contiene las funciones base de elementos.

[f(e)]: matriz columna de los valores de la función en los puntos especialmente seleccionados.

(e): orden de la aproximación de los polinomios.

El uso de aproximación lineal para las funciones desconocidas de la carga superficial equivalente, resulta suficientemente preciso:

1321332211 =++++= LLLLLL σσσσ (2.119)

Los mismos elementos de contorno son aproximados por funciones de 2º orden, o se representan por elementos parciales.

Por sustitución de la ecuac. (2.119) en (2.113) y (2.114), y asumiendo que los puntos (I, J) coinciden con los vértices de los elementos de contorno, el conjunto de las ecuaciones integrales se traduce en un sistema de ecuaciones algebraicas lineales:

[ ][ ] [ ]BA =σ (2.120)

Los elementos de las matrices [A] y [B] se calculan usando las relaciones (2.113), (2.114), (2.119)), teniendo en cuenta el modo en que están definidas las superficies de contorno.

En el Apéndice C se describen los procedimientos numéricos empleados para campos 3D y Campos 3D con simetría axial.


2.5 Método de elementos finitos (FEM)

2.5.1 Introducción

En este apartado se pretende describir de forma simplificada el desarrollo matemático del método en cuestión hasta la obtención del sistema de ecuaciones lineales que resuelven el problema de la determinación de la distribución de potenciales en un sistema bidimensional genérico [39]. El método de elementos finitos se ha aplicado en electrostática para sistemas bidimensionales y tridimensionales de revolución [143][57][56][73][61][54][96].

2.5.2 Principio del Método

Para el cálculo de la función potencial que satisface la ecuación de Poisson es posible utilizar la formulación variacional. Para ello el dominio se divide en elementos en los que la función incógnita (potencial eléctrico) se aproxima por una función de interpolación que depende del potencial en los nudos del elemento. A continuación se establece el sistema de ecuaciones lineales que hacen mínimo el funcional asociado a la ecuación diferencial de Poisson. De la resolución de dicho sistema de ecuaciones se obtienen los potenciales en los nudos de los elementos, que, conjuntamente con la función de interpolación definen el potencial en cualquier punto del dominio.

2.5.3 Funcional asociado a la ecuación diferencial de Poisson

Bajo el punto de vista del cálculo diferencial la determinación del potencial eléctrico consiste en resolver la ecuación de Poisson:

( ) ρφε −=⋅ graddiv (2.121)

Y si ε = cte:

ερ

φ−

=∆ (2.122)

Además, esta ecuación diferencial debería satisfacer las condiciones de contorno del problema.

Ahora bien, dado que es posible encontrar el funcional asociado a la ecuación (2.122), el problema se reduce al cálculo de la función φ que minimiza dicho funcional.

El funcional en el dominio A, donde debe calcularse el potencial, está expresado por la ecuación siguiente:


( ) ∫∫ ∫ ⋅⋅+⋅

⋅−⋅⋅=

SA

EdSqdAduuF φφρεφ

0 (2.123)

Donde:

ε : es la constante dieléctrica, que, en general, depende de zyx ,,,Εr

.

Er

: es el campo eléctrico en el punto ( )zyxP ,, .

ρ : es la densidad volumétrica de carga eléctrica.

φ : es el potencial eléctrico en el punto ( )zyxP ,, .

q : es la densidad de carga superficial.

Α : es el dominio en estudio.

S : es el contorno del dominio en estudio.

u: variable de integración.

2.5.4 Discretización del dominio

Para aplicar el método de elementos finitos el dominio a estudiar debe dividirse en elementos; para sistemas bidimensionales los elementos pueden ser triángulos (Fig. 2.30) cuadriláteros, etc..., para sistemas tridimensionales serán tetraedros, cubos, etc, y para sistemas tridimensionales de revolución, toros de secciones poligonales (triángulos, cuadriláteros, etc...) [75][105][9].

Fig. 2.30. División del dominio en elementos Finitos en sistemas bidimensionales.


2.5.5 Función de interpolación

Para cada elemento del dominio en estudio se define una función de interpolación que depende de las coordenadas del elemento y de los potenciales de sus nudos.

Para sistemas bidimensionales, supuesta una dependencia lineal, la función de interpolación ( )yxe ,φ en un elemento e tiene la forma siguiente:

( ) cbyaxyxe ++=,φ (2.124)

donde a, b y c son constantes de la función de interpolación del elemento genérico (e).

Conocidos los potenciales de los nudos de cada elemento se determinan las constantes a, b, y c al particularizar la ecuación (2.124) para cada uno de los tres nudos o vértices que definen el triángulo elemental (Fig. 2.30) se obtiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∆

−+−+−=

∆−+−+−

=

∆−+−+−

=

lmnnlmmnl

mlnlnmnml

lmmlnnllnmmnmml

xxxxxxb

yyyyyya

yxyxyxyxyxyxc

φφφ

φφφ

φφφ

(2.125)

Donde:

( )nmlvérticesdetriángulodelÁreayxyxyx

nn

mm

ll

,,2111

⋅==∆ (2.126)

Sustituyendo las ecuaciones (2.125) y (2.126) en la ecuación (2.124) se obtiene la siguiente expresión para el potencial en cualquier punto del elemento e:

( ) ( ) { }nmliyxyxi

iiiie ,,1, ∈++

∆= ∑ γβαφφ (2.127)

Donde:

mnl

nml

mnnml

xxyy

yxyx

−=−=−=

γβ

α

(2.128)

Análogamente, por permutación circular, se obtienen las expresiones de αm, βm, γm y αn, βn y γn en función de las coordenadas de los vértices del triángulo en consideración.


2.5.6 Funcional de un elemento. Globalización

Con el fin de simplificar los desarrollos, se supone que el sistema objeto de estudio está sometido únicamente a las condiciones de contorno de Dirichlet (φ = φp) y no a las de Cauchy, es decir q = 0. Con ello la ecuación (2.123) se transforma en la siguiente:

( ) dAduuFA

E⋅

⋅−⋅⋅= ∫ ∫ φρεφ

0 (2.129)

Dado que el dominio está dividido en N elementos se puede expresar la ecuación (2.129) en la forma siguiente:

( ) ( )∑ ∑∫ ∫= =

=⋅

⋅−⋅⋅=

N

J

N

JJj

A

EFdAduuF

j1 10

φφρεφ (2.130)

donde FJ es el funcional asociado a un elemento genérico del dominio.

Supuesto que, ε = cte en el elemento triangular j en estudio se cumple la igualdad:

∫ Ε=⋅⋅E

yxduu0

2 ),(2εε (2.131)

que integrada en el dominio Aj resulta:

2),(

2),(

222 ∆

⋅Ε⋅=⋅Ε⋅∫ yxdAyx jAj

εε (2.132)

Por otro lado, si se tiene en cuenta la ecuación (2.127) el campo eléctrico puede expresarse por la siguiente igualdad:

( ) ( )[ ]ji nnmmllnnmmllrrr

γφγφγφβφβφβφ +++++∆−

=Ε1 (2.133)

que sustituida en la ecuación (2.132), permite escribir finalmente:

( )nmljnmli

dAduui j

jijijijA

E

j

,,;,,40

==

+⋅⋅∆

=⋅⋅⋅ ∑∑∫ ∫ γγββφφεε

(2.134)

Asímismo si se tiene en cuenta la ecuación (2.127), supuesto ρ constante, se cumple la igualdad:

( )

nmli

QdAyxdAi i

iiA

jiiiiA

jjj

,,=

⋅⋅=++⋅∆

=⋅⋅ ∑ ∑∫∫ φργβαφρφρ (2.135)

donde Qi es:

( )∫ ⋅++∆

=jA

jiiii dAyxQ γβα1 (2.136)


Si se sustituyen las ecuaciones (2.134) y (2.135) en un sumando genérico de la ecuación (2.130) se obtiene como funcional de un elemento "e" la expresión matricial:

( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]eTeee

Tee QKF φρφφφ ⋅⋅−⋅⋅=

21 (2.137)

donde [K]e es la submatriz de rigidez correspondiente al elemento "e” cuyos términos Kije vienen expresados por la ecuación siguiente:

∆

+⋅= jiji

ijeKγγββε

2 (2.138)

Procediendo de igual forma con todos los elementos se puede extender para todo el dominio la ecuación (2.137) con lo que se obtiene:

( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]φρφφφ ⋅⋅−⋅⋅= TT QKF21 (2.139)

donde cada término Kij es la suma de los términos Kije de los elementos que tienen como nudos el i y el j.

Al imponer la condición de que el funcional F(φ) sea mínimo debe verificarse la ecuación:

( ) nKFF N

J K

J

K,..10

1

==∂∂

=∂

∂ ∑= φφ

φ (2.140)

donde: N es el número de elementos.

n es el número de nudos.

El desarrollo de la ecuación (2.140) conduce al sistema de ecuaciones lineales:

[ ] [ ] [ ]QK ⋅=⋅ ρφ (2.141)

donde las incógnitas son los potenciales en los n nudos. Debe destacarse que la matriz de rigidez [K] es una matriz en banda, siendo la banda tanto más estrecha cuanto menor sea la diferencia entre un nudo cualquiera y sus adyacentes que pertenecen al mismo elemento [104].

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones (2.141) se conoce el potencial de los vértices de los elementos en que se ha discretizado el dominio y, a partir de ellos, se puede calcular el potencial en cualquier punto interior a un elemento dado mediante la función de interpolación elegida, es decir, un elemento de contorno curvilíneo o un elemento de contorno.

Capítulo 3 Métodos de Optimización de Aparamenta de Alta Tensión

3.1 Introducción

El objetivo de este capítulo es mostrar los diferentes métodos de optimización en lo que respecta a la geometría de los electrodos y aisladores. Previamente se van a realizar unas consideraciones generales sobre optimización.

3.1.1 Fundamentos de la optimización

Cuando se habla de optimización de aparamenta de alta tensión se deben de tener en consideración tres cuestiones fundamentales:

1ª. ¿Qué se va a optimizar? ¿En qué condiciones?

2ª. Métodos de cálculo de campo.

3ª. Técnica empleada en la optimización.

Por lo que a la primera cuestión se refiere resulta indispensable diferenciar entre la optimización de electrodos y la optimización de aisladores. Los objetivos de optimización de electrodos, así como las propiedades geométricas de la superficie a optimizar fueron establecidos de modo claro por Singer [122], a saber:

• Optimización para obtener una intensidad de campo mínima.

• Optimización para obtener una tensión de ruptura máxima.

El mínimo teórico del máximo de las intensidades de campo en una región de un electrodo, en la que se admite que la densidad de carga no se anula en ningún punto (ninguna línea equipotencial corta al electrodo), bajo la suposición de que el flujo eléctrico en esa región permanece constante (toda la región está rodeada a su vez por un único medio dieléctrico), es el correspondiente a una distribución de campo homogénea en esa región. Debido a ello, muchas veces se utiliza como objetivo de la optimización de electrodos la obtención de una intensidad de campo uniforme.

En el caso de los aisladores tanto el objetivo de la optimización como las propiedades geométricas de la superficie a optimizar son cuestiones para las cuales existen todavía interrogantes en las que los investigadores no se ponen de acuerdo. Däumling [30][31] realizó un estudio comparativo entre distintas posibilidades de optimización y, de acuerdo con sus resultados la magnitud que determina de forma primordial el comportamiento de los aisladores, en cuanto a la aparición de descargas superficiales se

76 Optimización de Aisladores de Alta Tensión...

refiere, es el módulo de la intensidad de campo (o intensidad de campo total) en la superficie del aislador. Por otra parte, Gomollón [44][45][43] realizó un estudio sobre las relaciones teóricas entre las propiedades geométricas de la superficie del aislador a optimizar y las magnitudes eléctricas:

• Relaciones entre los parámetros geométricos de las superficies y las magnitudes de campo de un problema de valores de contorno del tipo de Laplace.

• Relación existente entre la derivada global de la intensidad de campo con respecto al desplazamiento de un punto de una de las superficies de contorno en un problema de valores de contorno (BVP: Boundary Value Problem).

Estas relaciones se abordarán con profundidad en el capítulo 4.

La segunda cuestión ha sido estudiada con profundidad en el capítulo segundo.

La tercera cuestión es el objeto de este capítulo. Dentro de lo que representan las técnicas de optimización se deben observar los requerimientos que toda optimización precisa, y que se pueden resumir del siguiente modo:

• Las geometrías resultantes del proceso de optimización deben ser simples y realistas para poder hacer uso práctico de ellas.

• Las geometrías optimizadas deben ser capaces de cumplir con las condiciones eléctricas y mecánicas exigidas.

• El grado de exactitud de la optimización debería de permanecer dentro del mismo rango que las tolerancias de producción de los equipos de aparamenta de alta tensión.

• El contorno debe de armonizar con el sistema total.

Pueden emplearse técnicas analíticas para obtener un perfil óptimo en formas explícitas. Sin embargo el cálculo se limita a sistemas muy simples en problemas bidimensionales. El cálculo numérico no puede dar un perfil óptimo directamente. Los métodos basados en análisis numérico se basan en un procedimiento iterativo de modificación de un perfil dado evaluando la distribución de campo en cada iteración. Al hilo de lo comentado más arriba la diferencia entre los distintos métodos de optimización desarrollados hasta la fecha consiste, por una parte, en la meta definida como objetivo de optimización, y por otra, en la forma en que se modifica la geometría de los contornos iniciales para la obtención de nuevos contornos. El factor decisivo en las etapas de iteración es el algoritmo de modificación empleado, es decir, la relación entre la distribución de campo eléctrico calculada y el correspondiente valor de la modificación. A continuación se exponen los diferentes métodos de optimización de

Capitulo 3: Métodos de Optimización de Aparamenta de Alta Tensión 77

aparamenta de alta tensión. En primer lugar se hace referencia a los diferentes métodos de optimización de electrodos basados en diferentes técnicas para obtener el criterio de optimización. En segundo lugar se realiza la exposición de los métodos de optimización de aisladores, clasificados según que el criterio de optimización utilizado sea respecto a la componente tangencial del campo o respecto a la intensidad total del campo. La nomenclatura empleada en la descripción de los métodos aquí presentados se realiza de acuerdo a la empleada por los diferentes autores, para de este modo respetar lo más fielmente posible los criterios empleados por éstos en las pruebas realizadas en sus correspondientes respectivas validaciones.

3.2 Métodos de optimización de electrodos de revolución basados en la variación de la curvatura superficial

3.2.1 Introducción

Como ya se ha comentado existe una relación directa entre la geometría de un contorno electródico y el campo eléctrico que aparece en la superficie del electrodo.

Basándose en esta relación pueden desarrollarse algoritmos de optimización según diferentes criterios.

Todos estos criterios se ajustan al siguiente esquema. Se define una magnitud base para la optimización, que en este caso es el módulo del campo eléctrico, del cual se conoce una relación incremental con la curvatura. Se calcula la diferencia entre la magnitud E objetivo y la que realmente se tiene en el contorno para cada punto de la zona a optimizar del mismo.

irealiobjetivoi EEE −=∆ (3.1)

A partir de la relación conocida de iE∆ con C∆ (C es la curvatura total) se calcula el incremento de curvatura necesario en cada uno de los puntos del contorno a optimizar.

( )iirealiobjetivoi EfCCC ∆=−=∆ (3.2)

Posteriormente se calculan los desplazamientos que hay que dar a los distintos puntos del contorno para obtener en cada uno de ellos la curvatura deseada.

Este proceso se repite hasta que las diferencias entre los valores reales y los valores objetivos fijados para la magnitud a optimizar son, en cada punto, menores que una cantidad prescrita para poder aceptar como válidos los resultados de la optimización.


3.2.1.1 Optimización para obtener una intensidad de campo constante

Uno de los objetivos que pueden perseguirse en la optimización de electrodos es que, en cada punto de una zona determinada del contorno de un electrodo se tenga una intensidad de campo eléctrico constante e igual a un valor fijado de antemano.

El proceso a seguir en este caso para la optimización es el descrito anteriormente. La relación incremental entre ∆Ε y C∆ (campo eléctrico y curvatura superficial) es conocida y no es sino la dada por la igualdad deducida de la fórmula de Spielrein [128][129].

El problema se reduce, en definitiva, a determinar la variación de los centros de curvatura en función de la diferencia entre el campo eléctrico existente y el deseado. Con el fin de resolver de forma más cómoda el problema Singer y Grafoner adoptaron la hipótesis simplificativa de considerar que la variación de la curvatura superficial únicamente está afectada por la variación del radio de curvatura de la sección normal que contiene al eje de revolución.

Basándose en este algoritmo, Grönewald desarrolló uno nuevo [50][52], que tiene en cuenta las variaciones de los radios de curvatura de las dos secciones normales del contorno. El método linealiza la variación de la curvatura con respecto a los desplazamientos de los puntos del contorno y los determina mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.

3.2.1.2 Optimización para obtener una tensión de ruptura constante

Paralelamente al método de diseño basado en el criterio de obtener una distribución de campo eléctrico homogéneo en una zona determinada, aparece el basado en una optimización con respecto a la tensión de iniciación de la descarga disruptiva (se denominara en lo sucesivo y por comodidad tensión de inicio). Conocidas las relaciones empíricas existentes, para distintos medios dieléctricos, entre el campo eléctrico y la tensión de inicio correspondiente, es posible establecer una fórmula que defina la variación de la curvatura con respecto a la desviación de la tensión del electrodo, respecto a la de inicio [122].


3.2.2 Método de Singer y Grafoner

3.2.2.1 Introducción

Uno de los primeros métodos desarrollados para diseñar electrodos y aisladores de revolución fue publicado por Singer y Grafoner [119]. Mediante un proceso iterativo, se varían las posiciones de los centros de curvatura de un contorno electródico dado con el fin de obtener uno nuevo en el que el campo eléctrico en una zona prefijada se encuentre uniformemente distribuido. Los contornos de los electrodos se optimizan de acuerdo a la componente normal de la intensidad de campo, que en la superficie de un electrodo coincide con la intensidad total de campo. Se utiliza el método de simulación de cargas para el cálculo del campo eléctrico.

Conocida la forma geométrica del electrodo y el valor de la tensión aplicada al mismo, se determina el campo eléctrico en los puntos del contorno, especialmente en la zona que se desea optimizar. Si el campo eléctrico difiere del deseado en una magnitud superior a un valor prefijado, se modifica la curvatura del contorno de la superficie comprendida entre cada dos puntos, en función de la desviación del campo eléctrico respecto al valor prefijado. Para variar un contorno es preciso desplazar los distintos puntos que lo conforman, estos desplazamientos se calculan a partir de los valores obtenidos para los incrementos de curvatura en cada punto. El procedimiento constructivo de modificación del contorno se detalla en el apartado 3.2.2.2.

Después de la corrección del contorno se debe calcular de nuevo el campo. Para ello, hay que volver a determinar únicamente los términos de las filas y las columnas de la matriz de coeficientes de potencial correspondientes a las zonas modificadas del electrodo. Por ejemplo si la configuración en estudio está compuesta de tres electrodos y se va a optimizar el tercero deberán recalcularse únicamente los términos correspondientes a las filas que definen los puntos de contorno de dicho electrodo. Si, además, se ha modificado la posición de las cargas del electrodo a optimizar se deberán de recalcular también los términos de las columnas correspondientes a las citadas cargas (Fig. 3.1).


VIEJO

VIEJO VIEJO

VIEJO NUEVO

NUEVONUEVO

NUEVO

NUEVO

Cargas modificadas

Puntos de contornomodificados

Fig. 3.1. Estructura de la matriz del sistema tras la modificación de un electrodo.

Se resuelve de nuevo el sistema de ecuaciones y se determina el campo eléctrico en la zona de optimización. Si este difiere del deseado en un valor superior al prefijado se realiza nuevamente el mismo cálculo, con lo que se tiene el proceso iterativo indicado en el diagrama de flujo de la Fig. 3.2.

Corrección de las cargas.

Comienzo

Entrada de datos geométricosy eléctricos

Cálculo de coordenadas decargas.

Cálculo de la matriz (P)

Solución del sistema de

ecuaciones ( ) ( ) ( )φ⋅= −1PQ

Cálculo del Campo E en la zona aoptimizar

|E-Edeseado|<ε

Corrección del contorno.

Resultado Contorno Calculado.

Fin

SÍ

NO

Fig. 3.2. Diagrama de flujo del proceso iterativo de optimización.


3.2.2.2 Descripción del método

La corrección del contorno se deduce de la relación de Spielrein [128] según la cual para cada punto Pi de un electrodo se cumple la igualdad:

i

ii E

nE

C

−=∂∂

(3.3)

donde:

• Ci es la curvatura total de la superficie en un punto Pi

• Ei es el módulo del campo eléctrico en el punto Pi

• nr es la normal al contorno en el punto Pi

o bien

( )i

i nEC

−=

∂∂ ln (3.4)

Si se deriva la curvatura con respecto al campo eléctrico, resulta:

ii EnEC

−=

1

∂∂

∂∂ (3.5)

que de forma incremental puede aproximarse por:

2i

iii E

nE

EC

∆≈∆∂∂

(3.6)

con lo cual, conocido el campo eléctrico Ei en cada punto del contorno, y, prefijado el valor del campo deseado, Ed, la variación de la curvatura ∆Ci queda numéricamente determinada por la expresión (3.6).

Como se indica en el apéndice B la curvatura total C de la superficie, en el punto P es la suma algebraica de las correspondientes a las dos secciones normales:

CRi

axi i

= ± ±1 1

ρ

(3.7)

De acuerdo con la Fig. 3.3, ρi es el radio de curvatura de una sección normal que contiene al eje de simetría, p.e: la definida por el plano del papel. El radio de curvatura de la sección normal perpendicular al plano del papel que pasa por el punto Pi es Raxi cuyo valor está definido por la distancia entre el punto del contorno Pi y la intersección con el eje de rotación de la recta normal a la superficie en dicho punto.


r

z

M

Pi

Raxi

ρi

Fig. 3.3. Radio de curvatura.

Es evidente que si se modifica ρi también varía Raxi, pero, en general, la variación de Raxi puede despreciarse respecto a la de ρi [119], con lo que se obtiene para el incremento de la curvatura la expresión:

iiiC

ρρ11

−′

≈∆± (3.8)

donde:

- iρ ′ representa el nuevo radio de curvatura que debe de tener el perfil del contorno.

- iρ es el radio de curvatura que tiene realmente en la iteración en curso.

Conocido numéricamente el valor de ± ∆Ci, a partir de la expresión (3.6), y definido geométricamente el electrodo, se puede determinar el nuevo radio de curvatura iρ ′ a partir de la ecuación (3.8) sin mas que despejar en ella, es decir,

ii

iC

ρ

ρ1

1

+∆±≈′ (3.9)

Para explicar cómo se realiza la construcción del nuevo contorno se utiliza el perfil de una varilla frente a un plano de tierra representado en la Fig. 3.4. En dicha figura se representa el proceso de construcción entre dos pasos de iteración. Se trata de construir un nuevo perfil formado por una sucesión de arcos de circunferencia tangentes en los puntos de contorno. Se comienza con el punto P1 de mínima intensidad de campo. El procedimiento es el siguiente. Cada punto del contorno, salvo el primero que enlaza con


la parte no optimizada y permanece fijo, se va a desplazar en dirección normal, para lo cual se trazan todas las normales que pasan por los puntos de contorno del contorno original. Para cada punto Pi se conoce el radio de curvatura ρi,i+1 del arco Pi, Pi+1 en el contorno original, y sobre las normales trazadas se tienen los centros Mi,i+1 de cada uno de estos arcos. A partir de los incrementos de curvatura necesarios para obtener las intensidades de campo prefijadas se han determinado los nuevos valores que deberán tener los radios de curvatura después de modificar el contorno. Para el punto inicial P1 se impone la condición de que el contorno mantenga su tangencia con el resto del electrodo por lo que la normal del contorno original y la del contorno desplazado coinciden. A la vez, al ser un punto fijo, el punto P1 y su desplazado P’1 coinciden. Empezando en P1, a partir de cada punto desplazado P’i se traza la nueva normal al arco P’i, P’i+1 en P’i. Sobre esta normal se lleva el nuevo radio calculado ρ’i,i+1, obteniéndose el centro M’i,i+1. Con centro en M’i,i+1 y radio ρ’i,i+1 se traza una nueva circunferencia que determina el nuevo P’i+1 en el punto donde corta a la antigua normal al punto Pi+1. El nuevo punto Pi+1’ junto con el centro de la circunferencia trazada, M’i,i+1, determinan la nueva normal en P’i+1 que permite continuar el trazado.

ρ’1,2

P’n

P’5

P”5

M’2,3

Pn

P’n-1

P6

P”6

P5

P4

P3

P2

P’1=P1

Mn-1,n

Mn-2,n-1

M’n-1,n

M’n-2,n-1

M5,6

M4,5

M3,4

M2,3 M1,2

M’4,5

M’3,4

ρ4,5ρ3,4

M’1,2

ρ5,6

ρ2,3

ρ’4,5

ρ’3,4

ρ’2,3

ρ1,2

P’4

P”4

CorregidoM’n-1,n

P’6

Pn-1

P’2

P’3

Pn-2

P’n-2

Fig. 3.4. Construcción de un nuevo contorno entre dos pasos de iteración.


Conviene destacar que la recta nnn MP ,1− para el caso representado en la Fig. 3.4, es el

propio eje de rotación ya que este es un extremo de la zona a optimizar.

Por otro lado, debe establecerse la condición de que en el último punto P’n la tangente sea horizontal, es decir, que el centro de curvatura M’n-1,n tenga abscisa nula. Esta condición no se ha considerado en el proceso de corrección del contorno descrito anteriormente aunque debe quedar satisfecha de forma obligada. Por lo tanto, el radio del arco de la última circunferencia no será el que resulta del cálculo sino que debe modificarse ligeramente y situarse sobre el eje de simetría (ver centro corregido en la figura).

Además, debido a las hipótesis simplificativas realizadas en las expresiones (3.6) y (3.9) el contorno calculado se sustituye, a veces, por uno intermedio en el que cada nuevo punto iP ′′ se coloca en una posición intermedia entre iP y iP′ (Fig. 3.4), las

coordenadas de este punto vienen dadas por:

( )( ) iii

iiizfzfzrfrfr

′⋅+⋅−=′′′⋅+⋅−=′′

11 (3.10)

donde f es un factor de relajación (f<1).

En otras ocasiones es más adecuado elegir valores de f >1, con lo que se logra una convergencia más rápida, aunque, si el factor f es demasiado grande, puede producirse una iteración oscilante no convergente.

El valor que debe tomar f depende principalmente de la distancia entre electrodos próximos [119]. En el transcurso de las iteraciones se puede modificar el factor de relajación para obtener lo mas rápidamente posible la solución.

3.2.2.2.1 Reducción del tiempo de cálculo Se consigue una reducción del tiempo de cálculo si se desprecia la influencia de la zona del contorno donde se ha hecho la modificación, sobre las cargas de simulación correspondientes a las zonas del contorno suficientemente alejadas de ella. Estas cargas no se calculan y se consideran conocidas siempre que no varíen en dos iteraciones consecutivas más de un cierto límite prefijado, con ello el sistema de ecuaciones a resolver se simplifica notablemente. Para explicarlo supóngase una disposición de cuatro cargas desconocidas a las que les corresponde el sistema de ecuaciones siguiente:

=

4

3

2

1

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

φφφφ

QQQQ

PPPPPPPPPPPPPPPP

(3.11)


Si las cargas Q2 y Q3 han variado muy poco durante dos iteraciones consecutivas, el sistema de ecuaciones se reduce al siguiente:

−

=

3

2

4342

1312

4

1

4

1

4441

1411

QQ

PPPP

QQ

PPPP

φφ

(3.12)

con lo que el tiempo de calculo necesario para resolver el sistema de ecuaciones es, ahora, notablemente inferior.

3.2.3 Método de Grönewald


Este método de optimización, lo mismo que el descrito anteriormente, se basa en la variación del contorno en función de la desviación del campo eléctrico en la zona a optimizar con respecto al valor deseado. El método de Grönewald tiene dos pasos muy diferenciados:

1º.- El cálculo del campo eléctrico y

2º.- La modificación de la geometría a partir de este cálculo.

Como se describe seguidamente, la diferencia con el método anterior estriba fundamentalmente en dos puntos:

1º.- Se tiene en cuenta la influencia de la variación de curvatura de las dos secciones normales a la superficie en cada punto y

2º.- Se desarrolla un algoritmo de corrección del contorno mediante la linealización de las curvaturas principales.


Se consideran unos vectores de desplazamiento perpendiculares al contorno de partida. Una vez calculada la diferencia entre el campo eléctrico existente en la zona a optimizar con respecto al deseado se determina la longitud de los desplazamientos y sus sentidos.

A continuación se procede a analizar detenidamente cómo se lleva esto a cabo en la práctica. En cada punto la curvatura se determina considerando los dos puntos inmediatos adyacentes del contorno, de manera que, con las coordenadas de estos puntos se encuentra el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos, cuyo radio define el radio de curvatura del punto intermedio, y cuyo centro junto con el punto antedicho definen la dirección de la normal en este punto.


Para ver la relación entre los cambios de curvatura y los desplazamientos de los puntos del contorno se discretiza la zona de contorno a optimizar mediante n puntos que se denominan puntos de contorno. El perfil del electrodo entre estos puntos se sustituye por arcos de circunferencia definidos por cada punto genérico Pi y sus adyacentes anterior y posterior, Pi-1 y Pi+1 respectivamente.

Se dibujan también los desplazamientos, supuestos conocidos, de los puntos de contorno, para pasar de un contorno al siguiente. Estos desplazamientos se van a considerar en dirección normal al contorno ficticio definido por el arco de circunferencia mencionado.

Si se desplazan los puntos del contorno a lo largo de los vectores t según indica la Fig. 3.5 se obtiene para el nuevo punto P’i la curvatura C’i dada por la expresión:

P’i-1

ρ’i

ρi

R’axi

Raxi

P’i+1 Pi+1

Pi

Pi-1

P’i

1+it

it

1−it

Fig. 3.5. Desplazamiento de los puntos del contorno a lo largo de los vectores t .

( ) ( )tRRtC

axiaxiii ∆+

±∆+

±=11'

ρρ (3.13)

donde por t se ha denotado el vector de desplazamientos ( )11 ,, +− iii ttt . Según esta expresión los nuevos radios de curvatura, ρ’i y R’axi, se pueden representar como la suma de los anteriores ρi y Raxi más unas funciones ∆ρ(t) e ∆Raxi(t) dependientes de los desplazamientos t. Con esto, la nueva curvatura total C’i en el punto P’i se puede calcular mediante la ecuación:

( )tfCC ii +=' (3.14)


Ahora bien, para llevar a cabo los cálculos en la práctica, se hace necesario linealizar la la función f(t) de la expresión de C’i. Para esto se usa el desarrollo en serie de Taylor de C’i entorno al origen ( )0,0,0 11 === +− iii ttt :

( ) 11

11

0 ++

−−

⋅′

+⋅′

+⋅′

+′=′ ii

ii

i

ii

i

iii t

tCt

tCt

tCCC

∂∂

∂∂

∂∂ (3.15)

pero C’i (0) no es sino Ci, por lo que queda:

11

11

++

−−

⋅′

+⋅′

+⋅′

+=′ ii

ii

i

ii

i

iii t

tCt

tCt

tCCC

∂∂

∂∂

∂∂ (3.16)

y llamando:

j

iij t

Cf

∂∂

= (3.17)

Al linealizar la función f(t), la ecuación (3.14) se convierte en:

∑+

−=

⋅+=1

1

'i

ijjijii tfCC

(3.18)

El término de la derecha del segundo miembro de esta ecuación representa la variación de la curvatura para un desplazamiento dado del contorno. Los coeficientes fij utilizados se encuentran desarrollados en [50].

La ecuación (3.18), planteada para los n puntos del contorno, se puede expresar matricialmente en la forma:

+

=

−− nnnnnnnnn C

C

t

t

fff

fffffffff

C

C

.

...

......000....00

0..000..000.

.

.11

12

333231

232221

131211

'

'1

(3.19)

que llamando iii CCC −′=∆ puede reescribirse como:


∆

∆

=

nnnnn

n

C

C

t

t

ff

ff

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................

..... 11

1

111

(3.20)

lo cual escrito de manera simplificada resulta:

[ ] [ ] [ ]TFC ⋅=∆ (3.21)

o bien:

[ ] [ ] [ ] [ ]TFCC ⋅+=′ (3.22)

Es decir, la curvatura deseada [C’] en los puntos del contorno es igual a la suma de la curvatura existente [C] y a la variación de la curvatura [ ] [ ]TF ⋅ producida por los desplazamientos [T]. Si se tiene en cuenta la ecuación (3.18) se puede ver fácilmente que la matriz [F] es una matriz tridiagonal cuyos elementos son todos nulos salvo los de la diagonal principal y los de las dos diagonales adyacentes a la principal.

Los C∆ pueden determinarse a partir de los valores determinados para E∆ o inU∆ mediante la fórmula (3.6) o la fórmula (3.36) respectivamente, y una vez conocidos aquellos, la solución del sistema (3.21) nos proporcionaría los valores de los desplazamientos que se debe dar a los distintos puntos de contorno para pasar de un contorno al siguiente.

Según lo dicho el vector de desplazamiento [T] se determina mediante la resolución del sistema de ecuaciones siguientes:

[ ] [ ] [ ] 0=∆−⋅ CTF (3.23)

Ahora bien, al sistema (3.21) hay que añadirle algunas restricciones. Estos es así pues deben de ser satisfechas ciertas condiciones adicionales para que la parte optimizada del electrodo se ajuste al resto. Para empezar, se debe obligar, como mínimo, a que uno de los desplazamientos en el borde del contorno sea nulo, es decir, que algún punto sea fijo. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones (3.23) esta sobredeterminado; ya que deben calcularse (n-1) desplazamientos a partir de n incrementos de curvatura. Además, para que las geometrías que se obtengan como resultado no presenten singularidades geométricas, debe exigirse muchas veces la condición de que la tangente se conserve en


algún punto del contorno (normalmente el primero o el último) a lo largo de las distintas iteraciones.

Como se ha señalado, estas condiciones suelen aplicarse a los puntos inicial y/o final de los contornos a optimizar. Consideradas todas ellas forman un conjunto de restricciones (linealizables al igual que el sistema principal) que deben añadirse al sistema de ecuaciones inicial. De manera que el problema queda planteado como la resolución del sistema de ecuaciones:

[ ] [ ] [ ] [ ]VCTF =∆−⋅ (3.24)

donde el vector [ ]V es un vector de errores admisibles sujeto a las restricciones:

[ ] [ ] [ ] [ ]0=+⋅ BTG T (3.25)

donde [G]T es una matriz (m x n) en la que m representa el número de restricciones lineales que deben satisfacer los desplazamientos it (representados por la matriz [T]).

Para resolver este sistema se usa el método de Gauss de los mínimos cuadrados con multiplicadores de Lagrange que se expone en el Apéndice D.

Las expresiones para los coeficientes de las matrices [F] y [G]T , así como su deducción pueden consultarse en [50].

El vector de desplazamientos [ ]T así calculado define el nuevo contorno de la zona a optimizar.

A continuación, se determinan los valores del campo eléctrico en los puntos del nuevo contorno. En caso de que difieran respecto de los deseados más de un limite admisible es preciso realizar un nuevo desplazamiento del contorno.

Lo mismo que en el método anterior, no es preciso calcular nuevamente todos los términos de la matriz de coeficientes de potencial sino únicamente los que hayan variado por la modificación del contorno y de la posición de las cargas.

En la Fig. 3.6 se representa un diagrama de flujo simplificado en el cual se indica el proceso iterativo de este método.


Comienzo

Entrada de datos geométricos y eléctricos

Cálculo del Campo E

|E-Edeseado|<ε

Corrección del contorno.


Fin.

Fig. 3.6. Diagrama de flujo del proceso iterativo.

3.2.3.2.1 Convergencia Conviene hacer notar que, en la zona de paso entre el contorno fijo y el variable, la geometría está físicamente sobrecondicionada ya que el contorno no puede desplazarse.

Por este motivo, es necesario considerar una zona de cambio entre el último punto del contorno fijo y el primero variable, en la que se asegure que el campo eléctrico no es mayor que en el resto de la zona de optimización. Esto se evita mediante la subrelajación de las curvaturas. Es decir, la geometría no se desplaza de acuerdo con el incremento de curvatura dado por la ecuación (3.6) sino que solamente se considera una pequeña parte de esta.

1, <<⋅= ωω CCrelaj (3.26)

El inconveniente de esta subrelajación, si se mantiene para el resto del contorno, es la lentitud en la modificación del contorno, lo que obliga a aumentar el número de pasos de iteración para obtener la solución final.

Esta subrelajación no es necesaria si se introduce la condición de que en el punto de contacto de ambas zonas, fija y a optimizar, la normal a la superficie sea común, según indica la Fig. 3.7.


M’n

Mn

Pn

P’n

Pn-1

P’n-1

Pn-2

P’n-2

1−nt

2−nt

nt

Fig. 3.7. Condición normal a la superficie común para zonas fija y a optimizar.

Geométricamente, esto significa que el centro M’n del arco de circunferencia del contorno desplazado debe de estar sobre la normal del antiguo contorno. Esta condición puede incluirse en el conjunto de restricciones (3.25).

Otra forma de mejorar la convergencia consiste en introducir unos factores de aceleración, controlados en el transcurso de las iteraciones, que ponderan los incrementos de la curvatura tal como se hace en la ecuación (3.26); sin embargo, ω no se mantiene constante en todas las iteraciones sino que se determina en cada una de ellas.

Como ya se ha indicado en las expresiones (3.6), (3.22) y (3.25) el algoritmo de corrección se basa en relaciones linealizadas, por lo que los desplazamientos no deben de abandonar la zona de trabajo admisible.

Se puede usar un factor ω que mantiene constante su producto por la relación del incremento medio de la curvatura respecto del valor medio de la curvatura total a lo largo de la zona del contorno considerado, según se indica en la ecuación siguiente:

wcteC

n

Cn

ii

ii

==

∆

⋅

∑

∑2

2

1

1

ω

(3.27)

Al principio del cálculo el valor de ω es pequeño puesto que las desviaciones del campo son demasiado grandes con respecto al deseado. Al aumentar el número de iteraciones y disminuir, por tanto, los valores de ∆C, aumenta el valor de ω. Debe cuidarse que al


final de las iteraciones el factor ω no conduzca a desplazamientos superiores a los necesarios lo que provocaría una oscilación del contorno alrededor de un valor medio.

A partir de los casos estudiados por Grönewald se estima que el valor óptimo de w es de 0,1.

Al igual que en el método de Singer y Grafoner [119], según lo explicado en el párrafo 3.2.2.2.1, es posible despreciar la influencia de la zona del contorno modificado sobre las cargas de simulación correspondientes a las zonas del contorno suficientemente alejadas de ella.

3.2.4 Optimización respecto a la tensión de inicio de la descarga disruptiva

Para un electrodo que esta sometido a una tensión elevada no solamente es importante que el campo eléctrico sea homogéneo sino que se debe tener en cuenta la tensión Uin correspondiente al valor del campo Ein para el cual se produce el inicio de las descargas disruptivas [122][50][51]. En un electrodo que tenga una distribución homogénea de campo en la superficie, comenzarán a producirse las descargas en la zona donde el contorno sea menos curvado, pues para la mayoría de los dieléctricos el campo Ein de inicio es función de la curvatura del electrodo.

( )CfEin = (3.28)

La optimización del contorno debe realizarse de tal forma que:

1º.- En cualquier punto del contorno, el campo sea igual al campo de inicio de las descargas disruptivas, con lo cual la tensión teórica de inicio en cualquier punto y la probabilidad de producirse en cada instante una descarga será la misma.

2º.- Por añadidura se trata de conseguir que esto ocurra con la máxima tensión posible, Uin.

Para deducir la expresión de la variación de la curvatura respecto al valor de la desviación de la tensión de inicio, se parte de la relación existente entre la tensión de inicio Uin con respecto a una tensión arbitraria U0 y entre los valores de los campos eléctricos correspondientes. Se admite que el campo eléctrico en un punto del contorno de un electrodo, varía proporcionalmente con la tensión a que éste se ve sometido. Esto nos permite definir la tensión de inicio en cada punto como:

( ) 00

UUE

EU in

in = (3.29)


Para fijar el valor de referencia de la tensión Uin, en cada iteración de la optimización se selecciona el punto del contorno con Uin mínimo, pues es en dicho punto en el que antes aparecería la descarga si se fuese aumentando la tensión del electrodo. De esta manera se está trabajando en todo momento con la mayor seguridad posible y por otra parte se facilita la convergencia del proceso.

Queda por establecer una relación incremental entre inU∆ y C∆ . Derivando la expresión (3.29) respecto de la curvatura C, resulta para cada punto:

( ) ( )

( ) 00

2

00

UUE

CUE

EC

EUE

CU in

in

in ⋅∂∂

⋅−∂

∂⋅

=∂

∂ (3.30)

o bien:

( ) ( )( )

∂∂

⋅−∂

∂⋅=

∂∂

CUE

UEE

CE

UEU

CU ininin 0

02

00

1 (3.31)

y como:

nE

EEC

∂∂

⋅=∆∆

21 (3.32)

se puede poner:

nE

ECE

∂∂

12 ⋅=∆∆ (3.33)

de donde:

( ) ( )0

10

0

0

U

ininin

nE

EUC

EUE

UC

U

∂∂∂

∂∂

∂⋅⋅−⋅= (3.34)

o en forma incremental:

( ) ( )

⋅−⋅⋅∆=∆

0

11

00

U

inin

in

nE

EC

EUE

UCU∂

∂∂∂

(3.35)

o bien:

( ) ( )

−⋅

⋅⋅∆=∆

00

0 1

11

U

inin

in

nE

EC

EUE

UUC

∂∂∂

∂

(3.36)

Que también puede escribirse como:


( ) ( )( )

∂∂

−∂

∂⋅

∆≈∆

CUE

UEE

CE

UEU

UC

inin

in

0

02

00

1 (3.37)

3.2.4.1 Medio dieléctrico de aire

La relación entre la curvatura y el campo eléctrico de inicio para el aire esta definida por la ecuación empírica [131]:

+⋅= 3

218,22 CEin (3.38)

cuya derivada respecto de la curvatura C es:

3 2

103,623

8,223

2

31

CC

CEin =⋅

⋅=

∂∂ − (3.39)

donde Ein está expresada en kV/cm y C en cm-1.

Por otro lado la derivada del campo eléctrico respecto de la curvatura se puede expresar mediante con la ecuación:

( ) ( )( )

∂

∂=

∂∂

nUEUE

CUE

0

02

0 (3.40)

Al sustituir las expresiones (3.38), (3.39) y (3.40) en la ecuación (3.37) resulta finalmente:

( ) ( )

∂∂

+

−

∆≈∆

nUE

C

CUEU

UC in

0

3

3 20

0218,22

03,6

(3.41)

3.2.4.2 Medio dieléctrico de hexafluoruro de azufre

La relación entre la curvatura y el campo eléctrico de inicio para el hexafluoruro de azufre está definida por la ecuación empírica [28].

( )( )PCPEin 217,010,89 +⋅⋅= (3.42)

donde: Ein está expresado en kV/cm, C en cm-1 y P es la presión del gas en bares.

Derivando la expresión anterior


( )2

7825,322,2

117,00,89 21

CPC

PP

CEin =⋅⋅⋅=∂

∂ − (3.43)

y, por último,

( )( )( )

( )

∂

∂+⋅

−

∆≈∆

nUE

PCP

CUEPU

UC in

000

217,010,89

27825,3

(3.44)

Estas expresiones sirven para variar el contorno con el fin de que la tensión de inicio sea homogénea en las zonas prefijadas del electrodo en estudio.

Los métodos descritos anteriormente son aplicables bajo este criterio, sin más que sustituir la ecuación (3.6) por la (3.41) ó (3.44) según que el medio dieléctrico sea aire o hexafluoruro de azufre respectivamente.

3.3 Métodos de optimización de electrodos con simetría rotacional basados en la selección de cargas equivalentes

3.3.1 Métodos de Metz y Okubo


Un método alternativo a los descritos en los párrafos anteriores fue desarrollado por Metz en 1976 [84][85][83] y complementado por H. Okubo, T. Amemiya y M. Honda en 1979 [97].

En este método la zona de optimización no se simula por puntos del contorno del electrodo sino por cargas cuya posición y magnitud se han estimado inicialmente. La superficie del electrodo en la zona a optimizar está definida por la superficie equipotencial correspondiente al valor de la tensión del electrodo.

La optimización consiste en un cambio iterativo de la posición y magnitud de las cargas de la zona de optimización, por lo que es más adecuado hablar de optimización de las cargas en vez de optimización del contorno. El proceso iterativo finaliza cuando el valor y la posición de las cargas es tal que en la superficie equipotencial correspondiente a la tensión del electrodo, el campo eléctrico es el deseado.

El sistema electródico se divide en dos zonas, una fija, que corresponde a la zona cuya geometría no se va a modificar y otra variable, en la que el contorno se modifica para que el campo eléctrico sea el deseado.


El contorno en la zona fija se simula por un número n de puntos contorno y un conjunto de n cargas equivalentes Q cuya posición se estima inicialmente aunque la magnitud se deja indeterminada. La zona variable no se simula por puntos de contorno sino por un conjunto de n cargas Q cuyas posiciones y magnitudes están predefinidas. Estas cargas se denominan “Cargas de Optimización” y representan una solución parcial del problema matemático, ya que el valor de las restantes cargas equivalentes de la zona fija es desconocido a priori.

Al imponer la condición de potencial eléctrico conocido en los puntos del contorno de la zona fija se puede determinar el valor de las cargas de esta zona. Para ello se aplica la condición de que la superposición de los potenciales producidos por estas n cargas Q y los producidos por las n cargas de optimización jQ en cada punto del contorno de la

zona fija, debe ser igual al valor de la tensión del electrodo. Matemáticamente, esto lleva a la expresión siguiente:

nkQPQP kj

n

jkji

n

iki ....1

11

==⋅+⋅ ∑∑==

φ (3.45)

o bien de forma matricial por la siguiente:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kjkjiki QPQP φ=⋅+⋅ (3.46)

Las únicas incógnitas de este sistema de n ecuaciones lineales son las n cargas Qi por lo que la ecuación (3.46) se puede escribir en la forma siguiente:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]jkjkiki QPQP ⋅−=⋅ φ (3.47)

En esta expresión la solución parcial estimada de las cargas jQ puede contemplarse

como una modificación de las condiciones de contorno del potencial en la zona fija. Por ello, una variación de las cargas de optimización produce una variación del segundo miembro de la ecuación (3.22), pero no una modificación de la matriz (Pki) y, en definitiva únicamente será preciso invertir una sola vez dicha matriz para todo el proceso de optimización.

En cada iteración, a partir del conjunto de n cargas jQ de optimización, se determinan

las n cargas Qi del contorno fijo. Ambos conjuntos de cargas producen una distribución de campo y una superficie equipotencial en las regiones de optimización que sirven de base para modificar nuevamente el valor y posición de las n cargas de optimización.



4º.-Cálculo del vector [RSk].[ ] [ ] [ ] [ ]jkjkk QPRS ⋅−= φ

Comienzo

1º.- Entrada de datos geométricosy eléctricos

2º.- Cálculo de coeficientes depotencial producido por las cargasequivalentes del contorno fijo [Pki]

de cargas.

3º.- Inversión de la matriz [Pki]:[Pki]-1

6º.- Determinación de la superficieequipotencial y del campo eléctrico.

5º.- Cálculo del vector [Qi][Qi]=[Pki]-1.[RSk]

8º.- Variación del conjunto

de n cargas jQ

7º.- |E-Edeseado|<ε


Fin

SI

NO

Fig. 3.8. Diagrama de flujo del Método de Metz.

En la Fig. 3.8 se representa el diagrama de flujo del proceso iterativo que debe seguirse para determinar el contorno que tiene la distribución de campo eléctrico deseado.

a) Bloques 1 - 2 – 3:

En la entrada de datos se debe indicar, para la zona fija, las coordenadas de los puntos del contorno y la posición de las cargas equivalentes, y para la zona a optimizar, las coordenadas y el valor de las cargas de optimización. Con los datos correspondientes a la zona del contorno fijo es posible determinar la matriz de coeficientes de potencial (Pki) expresada en la ecuación (3.47) que será necesario invertir una sola vez en todo el proceso de optimización.


b) Bloque 4:

Con los datos de la zona a optimizar se determina la matriz de coeficientes de potencial [ ]kjP con lo que se puede calcular el segundo miembro de la ecuación (3.47). El vector resultante se expresa por [ ]kRS :

[ ] [ ] [ ] [ ]jkjkk QPRS ⋅−= φ (3.48)

En este vector, como ya se ha indicado, se tiene en cuenta la influencia de las n cargas de optimización jQ . Por lo que, para un punto Pk de la zona fija, se considera como

condición de contorno el valor del potencial en dicho punto, menos el producido por las cargas de optimización en el mismo.

[ ] [ ] ( ) ( )∑=

⋅−=n

jjkjkk QPRS

1

φ (3.49)

Este término toma una forma más complicada cuando existen dos medios dieléctricos como se explica a continuación

ds

ds

k1

k2

k

a

b

Fig. 3.9. Frontera de dos medios dieléctricos.

En los puntos de la frontera de dos medios dieléctricos distintos se debe cumplir la condición de que la componente normal del vector de desplazamiento eléctrico permanezca constante a uno y otro lado de la frontera

nbna DD = (3.50)

o lo que es lo mismo

bnbana EE εε = (3.51)


Para dos puntos situados en la dirección normal al contorno del dieléctrico a uno y otro lado de la frontera y a una distancia infinitesimal ds de esta, la ecuación (3.51) puede expresarse por la siguiente igualdad:

bkk

akk

dsdsεφφεφφ 21 −

=⋅−

(3.52)

Esta expresión se puede poner de la forma siguiente:

01 2211 =

⋅+⋅+

⋅+⋅

+−

⋅+⋅ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑

i jjjkiik

i jjkjiki

b

a

i jjjkiik

b

a QPQPQPQPQPQPεε

εε (3.53)

donde al agrupar los términos que dependen de jQ se tiene:

⋅+⋅

+−⋅−= ∑∑∑

jjjk

jjkj

b

a

jjjk

b

ak QPQPQPRS 21 1

εε

εε (3.54)

c) Bloque 5:

El vector de las cargas equivalentes en la zona fija se determina a partir de la ecuación (3.47):

[ ] [ ] [ ]kkii RSPQ ⋅= −1 (3.55)

d) Bloque 6:

Conocido el conjunto de cargas que simulan el sistema en estudio es posible calcular la superficie equipotencial y el campo eléctrico en la misma.

e) Bloques 7 y 8.

Si la distribución de campo eléctrico calculada coincide con la deseada, dentro de un cierto margen admisible, el problema está resuelto y el contorno optimizado es la propia superficie equipotencial. En caso contrario, debe modificarse el conjunto de cargas de optimización con lo que se obtiene un nuevo vector [RSk] y, con él , un nuevo conjunto de cargas jQ , que definir una nueva superficie equipotencial con otra distribución de

campo eléctrico. Este proceso se repite hasta lograr la distribución de campo deseada.

Para el desarrollo del presente método pueden usarse diversas estrategias de optimización que dan lugar a distintas variantes.

3.3.1.3 Método de Metz

Metz establece dos tipos de cálculos distintos para conseguir el contorno deseado.

3.3.1.3.1 Cálculos interactivos con la ayuda de un terminal gráfico


Después de calcular los coeficientes de potencial de las cargas de la zona fija e invertir la matriz, hay que seleccionar el número de cargas de optimización, así como la magnitud y la posición de las mismas.

Para obtener la forma básica de la zona de optimización se escogen inicialmente pocas cargas de optimización (una o dos) a las que se modifica, en los pasos siguientes, de posición y de magnitud. Los criterios para variar estos parámetros resultan de la observación directa de los efectos que producen sobre la curvatura superficial y el sentido del campo. Las cargas se modifican con el fin de que la curvatura en las regiones de mayor campo se reduzca (el radio de curvatura aumente) y así resulte un campo tan pequeño y uniforme como sea posible.

Una vez conocida la forma básica de la zona de optimización se aumenta el número de las cargas de optimización, para suavizar los picos que existan. Para ello se disponen cargas de pequeño valor, dentro de la superficie equipotencial, en las zonas afectadas.

3.3.1.3.2 Cálculos automáticos Para los cálculos automáticos es preciso definir en la superficie equipotencial de la región de optimización algunos puntos que se denominan puntos de optimización.

kQ Pk

z

αki

kiE

r

iQ

kn

Fig. 3.10. Disposición de las cargas de optimización en el método de Metz.

Cada una de las cargas de optimización correspondientes a estos puntos están colocadas en las rectas perpendiculares a la superficie que pasa por cada punto de optimización, conforme se representa en la Fig. 3.10, de forma que cada carga afecta, fundamentalmente a una pequeña zona de la superficie equipotencial.


A partir de las desviaciones Ed del campo existente respecto al deseado, en los puntos de optimización, se determina la variación de las cargas de optimización Qd . La variación de las cargas de optimización con respecto al cambio del campo en los puntos de optimización viene definida por la ecuación:

[ ][ ] [ ]EdQdf = (3.56)

en la que

[ ] [ ] [ ]EEEd −= (3.57)

y los elementos de la matriz [ ]f son la proyección de coeficientes de campo eléctrico correspondientes a cada carga en dirección a la normal a cada punto de optimización.

El coeficiente fki correspondiente al campo producido en el punto k-ésimo por la carga i-ésima, viene expresado por:

( ) kirkizkiki fff αcos22 ⋅+= (3.58)

3.3.1.4 Método de H. Okubo, T. Amemiya y M. Honda

Este método añade al desarrollado por Metz una técnica de determinación de las nuevas cargas de optimización para cada iteración.

Para mostrar el cálculo de las cargas de optimización Q’ se dibuja con trazo continuo, en la forma indicada por la Fig. 3.11, una superficie equipotencial definida por un conjunto inicial de cargas de optimización representadas por el símbolo ⊗. Para dicho sistema de cargas se tiene una distribución de campo eléctrico, indicada en la Fig. 3.11 con trazo continuo, en la que los máximos se obtienen en los puntos de la superficie equipotencial enfrentados a las cargas.

Para corregir la distribución del campo eléctrico se colocan, en la proximidad del contorno donde el campo es mínimo, unas nuevas cargas de optimización que se representan en la Fig. 3.11 por el símbolo ⊕.


Cargas de Optimización

Cargas iniciales Puntos de Optimización

G

z

r

F E D

C

B

A

V 100%

l A B C D F E G

E

Perfil inicial.Perfil optimizado.

Distribución inicial

Distribución optimizada

Emax inicial

Emax optimizada

Fig. 3.11. Disposición de cargas de optimización en el método de Okubo y campo eléctrico resultante.

Se sitúan, las nuevas cargas, de acuerdo con la Fig. 3.12, en rectas, perpendiculares a la superficie de contorno, que pasan por cada punto de la superficie equipotencial donde el campo presenta un mínimo y a una distancia de dicho punto dada por la ecuación:

( )CDBCaCS llMinfl ,⋅= (3.59)

donde fa es el factor de asignación que, de acuerdo con la experiencia, debe estar comprendido entre 1 y 2 [121].


lCS

lBC

lCD

D

B

C

Fig. 3.12. Disposición de las cargas de optimización perpendiculares a la superficie equipotencial.

El valor de las nuevas cargas de optimización se determina por la siguiente ecuación [97]:

( )DBjVPQj

cjcjc ,1 =∆⋅⋅= ∑ −ω (3.60)

donde:

• Pcj es el coeficiente de potencial en el punto C producido por la carga j.

• ω es un factor de relajación que se introduce para obtener una convergencia más rápida. Para cada perfil debe elegirse un ω distinto.

• ∆Vcj es un valor que está definido en función del campo eléctrico en los puntos Pc y Pj, donde j = B, D; es decir:

( ) ( )DBjEEfV cjcj ,=−=∆ (3.61)

Las ecuaciones (3.60) y (3.61) permiten obtener el valor que debe tener la carga correspondiente al punto donde el campo eléctrico es mínimo para que la diferencia de potencial entre él y sus puntos próximos sea tal que la variación del campo entre ellos tienda a hacerse nula.

En la Fig. 3.11 se representan con líneas punteadas la superficie equipotencial y de distribución de campo eléctrico resultante, obtenidas al incorporar estas nuevas cargas a dicha superficie de optimización.

El proceso descrito se repite automáticamente hasta que se obtiene la distribución uniforme de campo eléctrico deseada.


3.3.2 Método de Zeng-Yao


En 1987 Fei Zeng-Yao [150] presento un método de optimización basado en el método de simulación de cargas en el que se trata a la vez de optimizar la posición de las cargas de simulación para minimizar los errores del cálculo de potencial.

3.3.2.2 Teoría básica y formulación del contorno de diseño

• Conceptos básicos del CSM.

Se recuerda que en el método CSM se tiene para problemas Laplacianos la relación entre las cargas y la condición de contorno de Dirichlet que es:

[ ][ ] [ ]φ=QP (3.62)

La matriz columna [Q] de cargas de simulación se obtiene resolviendo la ecuación (3.62), y se puede calcular la intensidad de campo a lo largo del contorno por:

[ ][ ] [ ]EQF = (3.63)

Donde [F] es la matriz de coeficientes de intensidad de campo.

En un sistema de coordenadas polares bidimensionales, la ecuación anterior se puede expresar del siguiente modo:

[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]zz

rr

EQFEQF

== (3.64)

• Ecuación incremental.

Se tiene una función objetivo ( )rfEg = , que es la distribución de campo deseada, y una

distribución de campo ( )cc rfE = que se calcula a partir de la forma inicial del electrodo. La diferencia entre [Eg] y [Ec] es:

[ ] [ ] [ ]cg EEE −=∆ (3.65)

De forma análoga a la ecuación (3.63), puede formularse la ecuación:

[ ] [ ][ ]QCE ∆=∆ (3.66)


que se denomina ecuación incremental, donde [C] es la matriz de coeficientes de corrección (CCM), [∆Q] es una matriz columna de cargas incrementales. Si se puede hallar la CCM [C], entonces las cargas incrementales [∆Q] se obtienen de la ecuación (3.66). Los valores de las nuevas cargas nuevas resultan entonces:

[ ] [ ] [ ]QQQ ∆+=′ (3.67)

Cuando el electrodo se simula por las nuevas cargas [Q’], el contorno original deja de ser una superficie equipotencial. La nueva superficie equipotencial se toma como un nuevo contorno. Mediante un proceso iterativo, se obtiene un nuevo contorno del modo deseado.

• Formulación del cálculo.

En sistemas de coordenadas polares bidimensionales, se tiene:

22zlrlzirii EEzErEE +=′+′= (3.68)

donde r′ , z′ son vectores unitarios de los ejes r y z. Diferenciando ambos miembros de la ecuación (3.68) y considerando la ecuación (3.64), se obtiene:

( ) i

N

jjjzizi

N

jjjririiziziririi EQFdEQFdEEdEEdEEdE

+

=+= ∑∑

== 1,

1,

(3.69)

donde el subíndice “i” es el índice de cualquier punto del contorno del electrodo, N es el número de las cargas de simulación, y los coeficientes Fri, j, Fzi, j son los coeficientes de la intensidad de campo entre carga de simulación y un punto de contorno. Cuando se

escoge el tipo de carga de simulación, el término

∑

=

N

jjjri QFd

1, o el término

∑

=

N

jjjzi QFd

1, presenta cinco variables: ri, zi (las coordenadas de los puntos de contorno);

rj, zj (las coordenadas de las cargas de simulación) y Qj. Si se escogen los valores de las cargas de simulación como variables de optimización, la ecuación (3.69) se expresa como:

j

N

jjzi

i

zijri

i

rii QdF

EE

FEE

dE ∑=

+=

1,,

(3.70)

Y simplificada queda:


jiji QCE ∆=∆ (3.71)

Donde:

∑=

+=

N

jzij

i

zirij

i

riij F

EEF

EEC

1

(3.72)

Y para la totalidad del sistema se tiene:

[ ] [ ][ ]QCE ∆=∆ (3.73)

La ecuación (3.73) es la ecuación incremental en la que se basa la optimización de los valores de las cargas de simulación. Según la ecuación (3.73), la modificación de los valores de [∆Q] viene determinado por el valor de [∆E].

Si las coordenadas de las cargas de simulación o los puntos de contorno se escogen como variables de optimización, las fórmulas resultantes son más complicadas que la que presenta la ecuación (3.72).

Según los nuevos valores de las cargas de simulación, se obtiene una superficie equipotencial nueva y una distribución de campo. Comparando la distribución de campo nueva con la función objetivo, se repite el procedimiento como se muestra en la Fig. 3.13, hasta que se alcanza el objetivo.


Entrada de las coordenadas del electrodo y la función objetivo de E

Cálculo de la distribución de campo por medio del CSM y valor medio Eav a lo

largo de la superficie del electrodo.

Compara la diferencia entre Eg y Ec.Si 0>− cigi EE

Cálculo de la matriz de coeficientes de modificación [C] y la de las cargas

incrementales [∆C].

Dibujar el contorno del nuevo electrodo

Las coordenadas del nuevo contorno.

Si

No

Fig. 3.13. Diagrama de flujo del programa de optimización.

3.3.2.3 Simulación de la superficie equipotencial

De acuerdo con el CSM original, las posiciones de las cargas de simulación se distribuyen arbitrariamente y los valores de las cargas de simulación los fijan las condiciones de contorno según la ecuación (3.62). Para sistemas de electrodos simples, es fácil obtener resultados exactos. Si la configuración del electrodo es más complicada, no es tan fácil obtener resultados ideales, especialmente para el cálculo de la intensidad de campo. En el procedimiento del diseño óptimo del electrodo, el valor de la intensidad de campo es el parámetro más importante. Consecuentemente la disposición óptima de las cargas de simulación llega a ser el problema clave para los resultados ideales.

Se asume que φi (i =1,2,..M) son los potenciales calculados por medio de las cargas de simulación, los ∗

iφ son los valores dados del contorno. Si la ecuación:

( ) minhFM

ii

M

iii ==−= ∑∑

==

∗

1

2

1

2φφ

(3.74)

se satisface, entonces los valores de φ son los resultados exactos del problema. La función F se denomina la función objetivo, depende de las posiciones y valores de las


cargas de simulación, y estos son los parámetros de diseño del proceso de optimización. Se escoge la fórmula de Fletcher [35] como un método de optimización para encontrar las cargas de simulación. La experiencia ha mostrado que tratar con las posiciones y valores de las cargas de simulación como los parámetros de diseño de modo alternativo es más eficiente que tratarlos como variables al mismo tiempo. Si se escogen cargas anulares de simulación las formulaciones del cálculo son como siguen:

( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )∑

∑

∑

=

=

=

−−+−=

∂∂

−=

∂∂

=∂∂

M

i

jijii

jj

M

i

jii

j

M

ii

j

kKkEzzrrh

rrF

kEzzh

zF

kKhqF

12

2222

2

122

12

21

1

1

αβ

β

επ

αβεπ

αεπ

(3.75)

Donde j=1,2,...,N, y N es el número total de cargas anulares. ri, zi, rj, zj son las posiciones de los puntos de contorno y las cargas anulares respectivamente.

( ) ( )( ) ( )

α

β

α

ji

jiji

jiji

rrk

zzrr

zzrr

2

22

22

=

−++=

−++=

(3.76)

En la resolución del problema de optimización (3.74) las coordenadas de las cargas no pueden tomar valores cualesquiera, sino que se mueven dentro de una distancia dada dr0 respecto de las coordenadas de las posiciones de las cargas iniciales. Esto implicaría la solución de un problema con restricciones. Este problema puede simplificarse convirtiéndolo en un problema de optimización sin restricciones si se utiliza el siguiente cambio de variables:

Nj

sinxsinxdrdr

sindrzzdrrr

j

jjj

jjjj

jjjj

,...,1

11

cos

0

0

0

=

<<−=

+=+=

θθ

(3.77)


θj

z

r0

jrv

Qj(rj, zj)

(r0j, z0j)

drj

Fig. 3.14. Transformación de variable.

El significado de las variables se denota en la Fig. 3.14, donde r0j, z0j, θj, dr0j, son constantes dadas, y las variables de rj, zj, se determinan a través de las xj que pasan a ser las nuevas variables de optimización.

jjjj

jjjj

j

jj

j

jjxdr

rFsindr

zF

xr

rF

xz

zF

xF coscos00

∂∂

+∂∂

=∂

∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

=∂∂ θθ

(3.78)

Este método presentado es válido para problemas con simetría axial o para otros problemas tridimensionales pero con un solo dieléctrico.

3.3.3 Método de Liu


Como se ha visto en el capítulo anterior, para el cálculo de distribución de campo en aparamenta de alta tensión se pueden emplear diversos métodos. Destaca en su empleo el método de simulación de cargas por su sencillez y exactitud. Como se ha visto hasta ahora a lo largo de este capítulo dependiendo del objetivo que se pretenda lograr se pueden dividir en dos ramas los diferentes algoritmos que hacen uso del citado método. A la primera rama pertenecen los algoritmos que varían los radios de curvatura del contorno de los electrodos. A la segunda rama pertenecen los algoritmos que varían las cargas de optimización. Los algoritmos que pertenecen al segundo método presentan la ventaja de que no necesitan resolver las ecuaciones lineales en cada iteración, y de este modo se puede reducir una gran cantidad de cálculo.

El principio básico del método de optimización de cargas es que las cargas eléctricas se dividen en dos partes: cargas de simulación y cargas de optimización, y al mismo


tiempo el electrodo también se divide en dos partes: una parte fija y una parte que va a ser optimizada. La primera parte se simula por las cargas de simulación y la segunda por las cargas de optimización, en la que se asignan primero las magnitudes y las coordenadas. Habitualmente se toman las magnitudes de las cargas de optimización como variables de optimización.

Liu, en 1988 [76], presentó un método basado en el uso de cargas de optimización. Toma las coordenadas en lugar de las magnitudes de las cargas de optimización como las variables de optimización. Según Liu su método presenta mejores resultados que el método original y que la tasa de convergencia del primero es más rápida. Algunos casos que no se pueden resolver por el método original se pueden resolver por este método.


De acuerdo al método de simulación de cargas, se tiene:

[ ][ ] [ ]φ=QP (3.79)

donde la matriz de coeficientes de potencial [P] y la matriz de potencial sobre los puntos de contorno [φ] son conocidas, de este modo la matriz de cargas de simulación [Q] se obtiene resolviendo la ecuación (3.79). Si existe un electrodo en el sistema que va a ser optimizado, en lugar de por puntos de contornos, se simula por cargas de optimización [q] cuyas magnitudes y coordenadas vienen dadas. En este caso, la ecuación sobre los puntos de contorno es:

[ ][ ] [ ][ ] [ ]φ=′+ qPQP (3.80)

Debido a que [P’][q] es conocido, se puede trasladar al segundo miembro de la ecuación:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]qPQP ′−= φ (3.81)

La matriz de cargas de simulación [Q] se puede obtener resolviendo esta ecuación, y entonces se puede obtener el perfil del electrodo que va a ser optimizado como un lugar de líneas equipotenciales del potencial del electrodo.

La distribución de la intensidad de campo eléctrico en el contorno que va a ser optimizado se puede obtener de la siguiente ecuación:

[ ] [ ][ ] [ ][ ]qeQeE ′+= vvr (3.82)


Donde [ ]ev y [ ]e ′v son los coeficientes de la intensidad de campo con respecto a [ ]Q y [ ]q , respectivamente.

Si no se satisfacen las condiciones deseadas de intensidad de campo, se necesita cambiar las magnitudes y posiciones de las cargas de optimización. Entonces se resuelve la ecuación (3.81) y se repite el procedimiento otra vez hasta que se satisfacen las condiciones del campo eléctrico. En el curso de la optimización no se cambia [P].

3.3.3.2.1 Cálculo del incremento de las variables En un campo con simetría axial, el campo E de cualquier punto l sobre el contorno del electrodo se puede escribir como:

( ) zqeErqeEzErEEM

jjjzlzl

M

jjjrlrlzlrll ′⋅

′++′⋅

′+=′+′= ∑∑

==

rrrrr

1,0

1,0

(3.83)

Donde rlje′ y zlje′ son las componentes de ije ′r en las direcciones r ′r y z ′r respectivamente;

0rlE y 0zlE son las componentes de la intensidad de campo producidas por las cargas de

simulación [Q] y M es el número de cargas de optimización. El módulo de El es:

22zlrll EEE += (3.84)

Diferenciando El con respecto a rj, zj y qj y expresando la ecuación en forma incremental:

( )∑=

∆⋅+∆⋅+∆⋅=∆M

jjljjljjljl qCzBrAE

1

(3.85)

Donde:

jj

jzl

l

zl

j

jrl

l

rllj q

re

EE

re

EE

A

∂

′∂+

∂

′∂= ,,

(3.86)

jj

jzl

l

zl

j

jrl

l

rllj q

ze

EE

ze

EE

B

∂

′∂+

∂

′∂= ,,

(3.87)

′+′= jzl

l

zljrl

l

rllj e

EE

eEE

C ,, (3.88)

En la ecuación (3.85), se ha despreciado la derivada de Erl0, y Ezl0 con respecto a rj, zj y qj, debido a que son muy pequeñas en comparación con el resto de los términos.

La ecuación (3.85) expresa la relación entre el incremento de la intensidad de campo eléctrico y las variables de optimización. Si se conoce ∆El, entonces ∆rj ∆zj y ∆qj se


pueden calcular mediante estas ecuaciones, pero el número de variables es más grande que el número de ecuaciones, luego se deben añadir condiciones de restricción. Dado un valor deseado Ecl para la intensidad de campo en un punto l del contorno del electrodo, ∆El se calcula como:

lcll EEE −=∆ (3.89)

Si no se conoce, entonces:

( ) ( )( )MiMi

EEMinEMaxE liil

≤≤≤≤−+=∆

112 (3.90)

3.3.3.2.2 Elección de condiciones de restricción Para conseguir una solución única de la ecuación (3.85), se tienen que añadir algunas condiciones de restricción. Las condiciones de restricción se pueden escoger del siguiente modo:

1.- Tomando ∆rj = ∆zj = 0, que significa que se usan las magnitudes de las cargas de optimización como las variables de optimización, se tiene:

( )Ml

qCEM

jjljl

...3,2,11

=

∆=∆ ∑=

(3.91)

2.- Tomando ∆qj = 0, que significa que se usan las coordenadas de las cargas de optimización como las variables de optimización, se tiene:

( )( )Ml

zBrAEM

jjljjljl

...3,2,11=

∆+∆=∆ ∑=

(3.92)

Pero la ecuación (3.92) no se puede resolver todavía, debido a que el número de variables es más grande que el número de ecuaciones, de este modo se deben de añadir otras condiciones de restricción. La condición de que ∆rj es proporcional a ∆zj se puede utilizar para que la carga qj se mueva en una cierta dirección:

jjj zr θtg=∆∆ (3.93)

De este modo la ecuación se puede escribir como:

( ) j

M

jljjljl zBAE ∆+=∆ ∑

=1

tgθ (3.94)

o:


( ) j

M

jjljljl rBAE ∆+=∆ ∑

=1

cotθ (3.95)

La ecuación (3.93) limita la dirección de desplazamiento de la carga qj, y se debe escoger apropiadamente.

3.3.3.2.3 Determinación de las magnitudes iniciales de las cargas de optimización

Cuando se empieza la optimización, se deben dar las magnitudes iniciales de las cargas de optimización. Diferentes elecciones de estas cargas conducen a diferentes resultados. Se propone un método para obtener las magnitudes iniciales: al principio de la optimización se asume un contorno inicial que va a ser optimizado. Su solución se obtiene por el método de simulación de cargas, en el que aquellas cargas que simulan la parte optimizada del contorno del electrodo se toman como valores iniciales de las cargas de optimización. Obviamente cuanto más próximo es el contorno inicial al contorno optimizado, mejor resultará la optimización.

Para una configuración electródica dada, tomando las magnitudes de las cargas de optimización como variables de optimización, se producen diferentes resultados para las diferentes posiciones iniciales de las cargas de optimización, debido a que el resultado puede no ser un valor mínimo global sino un valor mínimo local. En este método las posiciones iniciales de las cargas de optimización se espera que sean dadas. Pero resulta difícil hacer esto debido a que las cargas de optimización que son apropiadas para el contorno de electrodo inicial puede que no lo sean después de varias iteraciones. Por otra parte el resultado de la optimización depende principalmente de las magnitudes iniciales de las cargas de optimización. En este caso, es más fácil dar las magnitudes iniciales adecuadas de las cargas de optimización que se pueden obtener por elección de un contorno electródico inicial razonable, y resolver entonces las ecuaciones correspondientes. Obviamente es más fácil especificar un contorno inicial razonable que especificar las posiciones iniciales adecuadas de las cargas de optimización.

3.3.4 Método de Kato


En 1995 K. Kato et al. presenta un método de optimización basado en el método de Metz (3.3.1.3). Este método presenta ciertos límites en la posibilidad de la variación de la forma del electrodo durante el proceso de cálculo iterativo. Kato propuso un algoritmo que permite disponer de más flexibilidad en la variación del electrodo.


3.3.4.2 Principio de optimización

En el “Método Metz”, el contorno del electrodo se dividía en dos partes: una parte fija y una parte variable. La parte fija se simulaba por un número fijo de puntos de contorno y las correspondientes cargas ficticias, con una posición fija pero de magnitudes desconocidas Q. La parte variable, que iba a ser optimizada, se simulaba por un número de cargas de optimización con una posición dada y magnitud Q’ por determinar. La ecuación lineal que debe resolverse es:

UQPPQ =′′+ (3.96)

Donde P y P’ son las matrices de coeficientes de potencial en las partes fija y de optimización, respectivamente. U es el vector de potencial del electrodo dado como la condición de contorno, a satisfacer de momento únicamente en los puntos de contorno.

En la ecuac. (3.96), el primer y segundo términos en el lado izquierdo están asociados con las partes del electrodo fijas y de optimización, respectivamente. Entonces el valor de carga desconocida Q se calcula por la ecuación siguiente:

{ }QPUPQ ′′−= −1 (3.97)

Las matrices P y P’ dependen únicamente de las coordenadas de las cargas y puntos de contorno. Q’ y U vienen dadas. En cada iteración, se determina una nueva Q’ y entonces varía el término P’Q’, mientras que P permanece constante, por lo que se debe de invertir sólo una vez en todo el proceso.

Para ampliar las posibilidades de optimización del método de Metz se presentan dos opciones:

1.- Se pueden cambiar las localizaciones, no sólo valores de las cargas de optimización dispuestas [76].

2.- En cada iteración se pueden disponer cargas adicionales en la región donde se optimiza el contorno del electrodo.

El primero presenta la ventaja de un menor consumo de tiempo en el cálculo iterativo para el CSM debido al número limitado de cargas de optimización. Por otra parte, el último presenta una buena característica de convergencia debido a la modificación más fina del contorno del electrodo mediante cargas adicionales.

Kato propone este segundo método. La diferencia de este método respecto a los métodos comentados anteriormente basados en el método de selección de cargas equivalentes radica en que aquí se introduce un algoritmo en el que se disponen cargas de optimización no sólo en las regiones valle de la intensidad de campo del contorno


original sino también en las regiones donde se alcanzan picos de intensidad de campo (ver Fig. 3.15). Entonces los valores de cargas de optimización que resultan son cargas positivas en las regiones valle de intensidad de campo y cargas negativas en las regiones de valores de pico de la intensidad de campo. De este modo se añade en cada iteración un número de cargas igual a la suma del número de puntos máximo y mínimo. Esto se hace debido a que las distribuciones de intensidad de campo que van apareciendo en cada interacción resultan cada vez más oscilantes, siendo entonces necesario añadir nuevas cargas para reducir la intensidad de campo total. Para mejorar la uniformidad de la intensidad del campo eléctrica resultante se agrupan las cargas añadidas que se encuentran en posiciones de vecindad geométrica cada dos o tres iteraciones. Este proceso provoca que la curvatura del electrodo sea más suave de modo que la distribución de campo eléctrico llega a ser más uniforme. Según Kato el método de carga bipolar introducido aumenta la velocidad de convergencia y amplia las posibilidades de modificación de contorno de electrodo, comparado con la carga unipolar convencional del “Método Metz”.

Segundo perfil

Cargas de Optimización PositivasCargas iniciales Puntos de Optimización

G

z

r

F E D

C

B

A

V 100%

l A B C D F E G

E

Perfil inicial.Perfil optimizado.

Distribución inicial

Distribución optimizada

Emax inicial

Emax optimizada

Primer perfil

Cargas de Optimización Negativas

Fig. 3.15. Disposición de cargas de optimización en el método de Kato y campo eléctrico resultante.


Las cargas de optimización adicionales deben tomar valores de carga adecuados. Para determinar el valor de cada carga individual, se define un campo objetivo Ea en función de la distribución de campo.

JQ ′

P

Electrodo de Alta Tensión.Electrodo fijo.

Puntos deOptimización.

Cargas deOptimización.

dEIJcosXIJ

dEIJ

XIJ

EI

Cargas PositivasCargas Negativas

I

Fig. 3.16. Campo eléctrico inducido por las cargas de optimización.

Los valores de las cargas dispuestas nuevamente se determinan para que se obtenga este campo objetivo. En la Fig. 3.16, EI es el campo creado en el punto de optimización I por las cargas anteriormente definidas (cargas correspondientes a puntos de contorno y cargas de optimización de iteraciones anteriores), y es por lo tanto normal al electrodo, pues este viene determinado por la línea equipotencial de la distribución de campo que crean esas cargas. La componente de la intensidad de campo creada por la carga adicional JQ ′ en el punto I en la dirección de EI viene dada por la ecuación (3.98):

IJJIJIJIJ XQFXdE coscos ′= (3.98)

donde FIJ es el coeficiente de campo eléctrico. Esto permite plantear el siguiente sistema de ecuaciones para determinar los valores de las nuevas cargas de optimización

JQ ′ imponiendo la condición de que el campo eléctrico en los puntos de optimización sea el deseado:

−

−=

′

′

′′

′′

na

a

nnnn

n

EE

EE

Q

Q

FF

FF....

......

.. 11

1

111

(3.99)


IJIJIJ XFF cos=′ (3.100)

donde n es el número de cargas adicionales.

3.3.4.2.1 Proceso de reasignación de carga Como se comentó anteriormente para mejorar la exactitud y eficiencia del cálculo, se lleva a cabo una reagrupación de cargas, que es necesaria principalmente debido a la introducción de carga ficticia con polaridad negativa en el proceso de optimización del electrodo de alta tensión. Existen dos propósitos para la “reagrupación de cargas”.

El primero es mantener una cierta distancia entre las cargas dispuestas nuevamente y el contorno del electrodo durante el proceso de optimización iterativo, esto es necesario para prevenir la degradación de la exactitud del cálculo.

El segundo propósito es reducir el número de nuevas cargas de optimización dispuestas en el proceso de iteración desde el punto de vista de ahorro de tiempo de cálculo.

Generalmente, el proceso de reagrupación se aplica cada dos o tres iteraciones. En el proceso de redisposición de carga, se tienen que desplazar posiciones de carga y reducir el número de cargas de forma que se mantenga el contorno del electrodo como se muestra en la Fig. 3.17. Para calcular el valor de las cargas reasignadas se plantea la siguiente ecuación sobre los puntos de optimización reasignados:

PQUQP rJIJ −=′ (3.101)

Donde PIJ es el coeficiente de potencial entre el punto de optimización I y la carga reasignada rJQ ′ , y PQ es la contribución al potencial en el punto de optimización I de las cargas fijas.

I

rJQ ′

Cargas redispuestas

Puntos de Contorno.

Cargas de Optimización.

Contorno de electrodo Puntos de Contorno.

Fig. 3.17. Proceso de redisposición de carga.

El proceso de redisposición permite reducir el tiempo de cálculo drásticamente.


La Fig. 3.18 muestra el diagrama de flujo del proceso de optimización total.

Datos de entrada para el cálculo

Inicio

Cálculo de los valores de cargapara la forma del electrodo inicial.

Cálculo de la línea equipotencial ycampo eléctrico.

¿Están las cargas deoptimización cerca de la

línea equipotencial?

¿Satisface la distribuciónde campo eléctrico lacondición requerida?

Redisposición de carga.

Cálculo de las coordenadas ymagnitudes de las cargas de

optimización nuevas añadidas.

Cálculo de los valores de carga paracargas fijas.

Salida.

Parada

Si

No

NoSi

Fig. 3.18. Diagrama de flujo del proceso de optimización.


3.4 Método de Garnacho

3.4.1 Introducción

En el diseño de electrodos de alta tensión es frecuente buscar formas geométricas tales que el campo eléctrico sea uniforme e inferior a un valor prefijado. Con este fin, Fernando Garnacho [39] desarrolló un algoritmo para el diseño de electrodos, que utiliza el método de cargas equivalentes discretas para el cálculo del campo eléctrico. Aunque se haya utilizado este método, el algoritmo es tanto más adecuado cuanto mejor es el método numérico de cálculo de campos que permita imponer por separado las condiciones de contorno de Dirichlet y de Neumann a distintas regiones del sistema a la vez.

El electrodo se simula con cargas discretas puntuales, anulares y/o segmentos rectilíneos verticales, cuyos valores se calculan al imponer la condición de Neumann en la zona donde inicialmente el campo eléctrico es superior al prefijado y de Dirichlet en las zonas restantes.

El contorno se modifica con el criterio de que el vector de campo eléctrico sea perpendicular a la superficie de la zona donde se aplica la condición de Neumann.

El contorno del electrodo a diseñar se divide en dos zonas, una en la que el campo eléctrico es inferior al valor máximo admisible, Emax, y otra en la cual es superior. A la primera se la denominara en lo sucesivo zona de Dirichlet y a la segunda zona de Neumann.

En los puntos del contorno correspondientes a la zona de Dirichlet la condición a satisfacer es la de equipotencialidad (a la tensión del electrodo al que pertenezca) y en los puntos de la zona de Neumann se obliga a que el campo eléctrico perpendicular a la superficie sea el prefijado. Con estas condiciones el potencial en la zona de Neumann será distinto del que el electrodo tiene realmente.

Si no se pudiera modificar la configuración geométrica del electrodo, la única forma para lograr que el campo eléctrico en un punto cualquiera de la zona de Neumann fuese el prefijado consistiría en reducir la tensión del electrodo a un determinado nivel. Por lo tanto sería posible establecer para cada punto de esta zona un valor de tensión para el cual el campo eléctrico es el deseado.

Al imponer simultáneamente a todos los puntos del contorno de la zona de Neumann, la condición de que el campo normal a la superficie sea el prefijado, se obtendrá una distribución de potencial a lo largo del contorno. Esta distribución de potencial no constante indica que existe una distribución de campo tangencial no nulo en la


superficie, o lo que es lo mismo, que el campo eléctrico global para dichos puntos no es perpendicular al contorno.

Para que el potencial sea el mismo en todo el electrodo la componente tangencial del campo debe ser nula. Con tal fin el contorno se modifica conforme al criterio de que su superficie sea perpendicular al vector de campo eléctrico global. De esta forma en pocas iteraciones se consigue el contorno con las características buscadas.

3.4.2 Descripción del método

La condición a satisfacer en los nd puntos de la zona de Dirichlet puede expresarse por la ecuación:

ddi

nn

njnjij

n

jdjij niQpQp

nd

d

d

...111

==⋅+⋅ ∑∑+

+==

φ (3.102)

donde Qdj y Qnj son los valores de las cargas j correspondientes a la zona de Dirichlet y de Neumann respectivamente y nd y nn el número de puntos contorno o de cargas de las zonas respectivas.

La condición a satisfacer en los nn puntos de la zona de Neumann se puede expresar mediante la ecuación:

nddn

nn

njnjnij

n

jdjnij nnniEQfQf

nd

d

d

++==⋅+⋅ ∑∑+

+==

.....111

(3.103)

fnij es el coeficiente de campo eléctrico en dirección a la normal a la superficie en el punto i-ésimo producido por la carga j-ésima.

El sistema de ecuaciones definido por (3.102) y (3.103) puede expresarse matricialmente por la ecuacion:

=

⋅

n

d

n

d

n EQQ

fP φ

(3.104)

Con los valores de las cargas obtenidos al resolver el sistema de ecuaciones lineales (3.104), se determina la dirección del campo eléctrico en cada punto de la zona de Neumann. Para ello, se calcula la componente de campo eléctrico tangencial a la superficie en cada punto del contorno de la citada zona.

El ángulo iβ ′ que define la nueva dirección in ′ del campo eléctrico en un punto genérico Pi puede expresarse según se indica en la Fig. 3.19 por la suma algebraica del ángulo iβ de la dirección normal al contorno en el punto Pi más el incremento del ángulo ∆β¡ producido por la componente tangencial Etgi, lo que matemáticamente se expresa por las ecuaciones:


iii βββ ∆+=′ (3.105)

dónde

ni

ii E

E tgarctg=∆β (3.106)

iβ ´iβ

inin′

iP

iE tg

maxn EE =iβ∆

Fig. 3.19. Ángulo iβ ′ que define la nueva dirección in ′ del campo eléctrico.

En la práctica se deben reducir los incrementos de ángulo ∆β, para lo cual se multiplica el valor de la componente tangencial del campo por un factor ω< 1.

ni

ii E

E ωβ

⋅=∆ tgarctg (3.107)

En los casos estudiados resultó satisfactorio un valor ω esté comprendido entre 0.5 y 0.8.

Las intersecciones entre cada dos nuevas direcciones consecutivas 1−′in , y in ′ correspondientes a los puntos 1−iP y iP de la zona de Neumann determinan los nuevos

centros de curvatura ',1 iiM − (Fig. 3.20) de los arcos de circunferencia que definirán el

nuevo contorno entre los puntos '1−iP y '

iP .

Para determinar los radios de cada arco de circunferencia del nuevo contorno es suficiente con imponer la condición de continuidad del contorno en el punto de intersección, en el punto P0 de la zona de Neumann con la de Dirichlet (Fig. 3.21).


1−in

1−′in'

iP

1−iP

1+iP

'1−iP

'iP

'1+iP

iiM ,1−

1, +iiM

'1, +iiM

',1 iiM −

1+in

in

in ′

1+′in'

Fig. 3.20. Centros de curvatura de los arcos de circunferencia del nuevo contorno de la zona de Neumann.

2,1M

1,0M

'2,1M '

1,0M

'00 PP =

1P

2P

'1P

'2P

0n

1n

2n

0n′

1n′

2n′

Fig. 3.21. Punto P0 de la zona de Neumann con la de Dirichlet.


Para ello, con centro en 01M ′ se traza un arco de circunferencia de radio 010 MP ′ cuya

intersección con '1n proporciona el nuevo punto '

1P . Análogamente con centro en '2,1M

se traza otro arco de circunferencia de radio '2,1

'1 MP cuya intersección con '

2n da lugar

al nuevo punto '2P y así sucesivamente hasta determinar el último punto '

nP .

La unión entre el nuevo contorno de la zona de Neumann y el contorno de la zona de Dirichlet del electrodo se debe modificar en cada iteración, con el fin de que no se produzcan bordes con cambios bruscos de curvatura que podrían dar lugar a un campo eléctrico elevado en la zona de unión.

En la Fig. 3.22 se representa el diagrama de bloques del proceso iterativo de corrección del contorno. Este se dará por finalizado cuando en la iteración en curso los potenciales en los puntos de la zona de Neumann, φn, difieran del valor del potencial del electrodo, φ, en una cantidad inferior a un valor prefijado (ε), lo que implica a su vez que el campo eléctrico en dicha zona este comprendido en un margen suficientemente pequeño alrededor de Emax.

CALCULO DECOEFICIENTES DEPOTENCIAL Y DE

CAMPO

DATOS:GEOMÉTRICOS.

ELÉCTRICOS.

COMIENZO

⋅

=

−

n

n

nn

d

EfP

QQ φ1

CALCULO DEL POTENCIALEN LOS PUNTOS DEL

CONTORNO DE LA ZONADE NEUMANN

COEFICIENTES DEPOTENCIAL Y DE CAMPO

εφφ <−n

VARIACIÓN DELCONTORNO

SALIDA DERESULTADOS

FIN

Fig. 3.22. Diagrama de flujo del proceso de corrección de contorno.


3.5 Método de Girdinio

3.5.1 Introducción

En 1983 Girdinio [41] presentó un procedimiento para optimización de perfiles usando elementos finitos o diferencias finitas. El procedimiento se diseñó para permitir que la optimización del perfil desconocido sobre la base de un objetivo de optimización dado, pueda ser definida por el usuario a través de los datos de entrada. El objetivo se puede expresar como una distribución espacial de una función determinada (campo, potencial) sobre el perfil desconocido o bien sobre otro perfil.

La optimización se puede realizar de dos formas. En una, la forma de un perfil se determina para conseguir una distribución dada de campo a lo largo del mismo perfil. Esto es común en diseño de electrodos, por ejemplo cuando se fija una distribución dada de la componente normal del campo eléctrico sobre la superficie del electrodo. Los perfiles dieléctricos pueden también ser sometidos a optimización, sin embargo, en este caso la distribución de campo puede ser más difícil de encontrar, puesto que a menudo involucra una fórmula de la componente tangencial del campo eléctrico o la intensidad total de éste, que conduce a dificultades en la elaboración de criterios para realizar la optimización.

En la segunda forma de optimización, el contorno de un perfil se determina para obtener una distribución dada de campo a lo largo de otro perfil. Esto implica mayores dificultades, la primera de ellas sería no obtener el resultado deseado lo cual puede ocurrir más frecuentemente que en el caso anterior. Esto es debido a la falta de criterio para decidir “a priori” sobre la posibilidad de la optimización en sí misma para los dos perfiles escogidos. En general la forma del perfil que va a ser modificado requiere un número suficiente de grados de libertad y debe estar suficientemente cercana al perfil en el que las condiciones de formulación son dadas, para asegurar que el campo sobre ese perfil recibe la influencia de la forma del otro perfil. No se puede establecer ninguna condición “a priori” más que las condiciones ya mencionadas.

3.5.2 Optimización de un perfil sobre la base de una condición impuesta en el mismo perfil

La distribución de campo objetivo se expresa como una función F de un conjunto de escalares que representan las incógnitas del problema de campo que va a ser optimizado. Generalmente la función objetivo depende bien de una incógnita escalar simplemente o bien de dos incógnitas en casos de régimen permanente sinusoidal.


El usuario puede especificar el objetivo de optimización por medio de la entrada de datos indicando el perfil involucrado y la expresión analítica de la distribución de campo requerido.

Generalmente el objetivo está relacionado con la componente normal de campo eléctrico, pero se pueden especificar muchos otros objetivos. El procedimiento de optimización funciona mejor cuando se especifica una derivada normal de la cantidad F dada, puesto que se puede usar una técnica muy eficiente. Sin embargo, incluso si la eficiencia es más pequeña, se puede hacer frente a otros objetivos sin problemas particulares según Girdinio. Los peores problemas se presentan con la condición relacionada con la minimización de la componente tangencial sobre un perfil de dieléctrico, para una longitud máxima especificada del perfil. De hecho en este caso se requieren más especificaciones para generar el perfil, tales como radio de curvatura mínimo del perfil en sí mismo, condiciones de periodicidad en la forma del perfil, etc. No es difícil desarrollar condiciones tales como la distribución prescrita de la componente tangencial a lo largo del perfil. En este caso, sin embargo la componente tangencial resultante será proporcional y distinta a la especificada. De hecho, se debe de satisfacer la condición de que la integral de línea del campo eléctrico a lo largo del perfil deba coincidir con la tensión aplicada.

El proceso realizado en el paquete que implementa este método de optimización es un proceso iterativo que comienza a partir de un perfil inicial dado (ver Fig. 3.23). Converge si el perfil inicial se da de modo apropiado, pero, a menos que se de un perfil inicial muy extraño, se obtiene el resultado sin problemas particulares. El método resuelve el problema de campo con el perfil inicial especificado, entonces modifica el perfil en base al error con respecto al objetivo, resuelve otra vez el problema, comprueba la convergencia y modifica otra vez el perfil, iterando el proceso hasta que se obtiene la convergencia. Se alcanza la convergencia cuando el desplazamiento normal máximo en la última iteración decrece por debajo de un límite dado y la diferencia entre los valores obtenidos y los requeridos decrecen por debajo de un límite prefijado.


SI

NO

CALCULO DECOEFICIENTES DE

POTENCIAL Y DE CAMPO.

INTRODUCCIÓN DATOS:GEOMÉTRICOS.

ELÉCTRICOS CONTORNOINICIAL

COMIENZO

CALCULO DEL POTENCIALEN LOS PUNTOS DEL

CONTORNO DE LA ZONADE NEUMANN E ∆n

VARIACIÓN DELCONTORNO

SALIDA DERESULTADOS

FIN

( ) ετ <∆n

RESOLUCIÓN DELPROBLEMA DE CAMPO CON

LA CONDICIÓN DENEUMANN EN LOS PUNTOS

DE OPTIMIZACIÓN

Fig. 3.23. Diagrama de flujo del algoritmo del método de Girdinio.

En el proceso de optimización del método de Girdinio se pueden contemplar dos casos, o criterios. La superficie a optimizar se divide en dos zonas, una parte fija y una parte variable o zona de optimización.

CASO 1º.

El objetivo es una distribución de componente normal de campo dada en la zona de optimización. La condición que debe de verificarse es la condición de Neumann:

( )τhnV

=∂∂ (3.108)

Donde V es el potencial eléctrico, τ es la coordenada tangencial, n es la coordenada normal al electrodo y h(τ) es una función que especifica el patrón objetivo de campo requerido de nV ∂∂ , (puede modificarse en cada iteración).

El problema de campo para un electrodo tendría la siguiente formulación:

( )

=

⋅

τh

UQQ

fP

n

d

n

(3.109)


Donde h(τ) = En es el campo objetivo y Qd y Qn son los valores de las cargas correspondientes a las zona fija (condición de Dirichlet) y variable o de optimización (condición de Neumann) respectivamente.

Como consecuencia, una vez resuelto el sistema, el potencial en la zona de optimización no es el potencial del electrodo U, sino que se tiene una distribución V(τ) distinta de la distribución de potencial objetivo g(τ) (que en el caso de un electrodo es una función constante g(τ) = U). Para conseguir que el potencial en la zona de optimización sea el deseado, g(τ), los puntos del contorno se desplazan en dirección normal en una magnitud ∆n que se calcula según:

( ) ( ) ( )( ) στ

τττh

Vg

nVVn −

=

∂∂∆

=∆ (3.110)

donde σ es un factor de subrelajación. Se ha encontrado que los valores de σ más adecuados que permiten una rápida convergencia son muy pequeños, por ejemplo de 0.2 a 0.02.

CASO 2º:

El objetivo es una magnitud eléctrica F (componente tangencial de campo, cuadrado de la intensidad de campo eléctrico, etc) diferente del potencial eléctrico.

En este segundo caso se pueden utilizar dos procedimientos alternativos:

A.- Supuesta una relación entre F(τ) y ∂V/∂n dada por:

( ) ( ) ( )τττ GhGnV

nF

−=−∂∂

=∂∂ (3.111)

Entonces se parte de un G(τ) dado, que en la primera iteración es cero, con lo cual se

obtiene una función objetivo ( )nVh

∂∂

=τ y se aplica el mismo procedimiento que en el

primer caso (condición de Neumann). En sucesivas iteraciones se puede determinar

G(τ) en función de las diferencias entre nF

∂∂ y

nV

∂∂ en la iteración anterior.

B.- No existe relación entre F(τ) y ∂V/∂n.

Entonces se plantea el problema de campo con la condición de Dirichlet en la zona de optimización. Ahora el potencial es el fijado pero no se satisface la condición F(τ) = f (τ). Entonces se determina ∆n en función del error de F(τ) como:

( ) ( ) ( )[ ]στττ Ffn −=∆ (3.112)


En este caso, σ es un coeficiente de subrelajación que presenta dimensiones físicas, para que el problema a escala sea realizable. Generalmente esto se realiza mediante fijación del desplazamiento máximo ∆n en la primera iteración como una fracción dada del tamaño lineal del problema.

Procedimientos análogos mantienen bajo control los perfiles de dieléctrico. Sin embargo la condición de Dirichlet V = g(τ) se debe de reemplazar por las condiciones de interfaz:

( ) ( )ττ 21 VV = (3.113)

( ) ( ) ( )τρτ

ετ

ε snV

nV

=∂

∂+

∂∂

2

22

1

11 (3.114)

( ) ( ) ( )ττ

γτ

γ sS Jdivn

Vn

V=

∂∂

+∂

∂

2

22

1

11 (3.115)

Dónde ε es la permitividad y γ la conductividad de los materiales existentes, ρs es densidad de carga superficial, sJ es densidad de corriente superficial, n1 y n2 son las coordenadas normales orientadas hacia la región 1 y 2, respectivamente.

En el caso de perfiles de dieléctricos el procedimiento más habitual es el adoptado por la definición de la ecuación (3.112).

3.5.3 Optimización de un perfil sobre la base de una condición impuesta sobre otro perfil

El procedimiento se diseña para permitir la optimización del perfil desconocido sobre la base del objetivo de optimización dado definido sobre otro perfil. También es este caso la función objetivo depende de un escalar desconocido o de dos incógnitas que representan la parte real e imaginaria de un escalar desconocido complejo.

El usuario puede especificar el objetivo de optimización como en el procedimiento anterior. También en este caso el objetivo está generalmente relacionado con la componente normal del campo eléctrico, pero se permite una variedad de objetivos. El procedimiento de optimización iterativa desarrollado en el paquete es completamente similar al procedimiento previo: empezando a partir de un perfil inicial, se obtiene un nuevo perfil sobre la base del error con respecto al objetivo calculado en la iteración previa, hasta que se alcanza la convergencia.

En todos los casos, el criterio que se adopta es similar al descrito en la ecuación (3.112). Sea τt la coordenada tangencial sobre el perfil en el que el objetivo escogido se va a desarrollar y τo la coordenada tangencial sobre el perfil cuya forma va a ser optimizada. Sobre el primer perfil se impone una condición de Dirichlet:


( ) ( )ttt gV ττ = (3.116)

Una condición de Neumann:

( )ttt

hnV τ=

∂∂ (3.117)

O una condición de interfaz:

( ) ( )tt VV ττ 21 = (3.118)

( ) ( ) ( )tsnV

nV τρτετε =

∂∂

+∂

∂

2

22

1

11 (3.119)

( ) ( ) ( )tsS Jdivn

Vn

V ττγτγ =∂

∂+

∂∂

2

22

1

11 (3.120)

Sea el objetivo expresado como:

( ) ( )tt fF ττ = (3.121)

El desplazamiento normal ∆n se expresa como una función de error sobre:

( ) ( ) ( )[ ]στττ tto Ffn −=∆ (3.122)

Donde F(τt) es el valor de F obtenido en la última iteración.

La aplicación de la ecuación (3.122) requiere establecer una correspondencia entre las dos coordenadas curvilíneas τt y τo. Generalmente, esta correspondencia es lineal, pero son posibles diferentes elecciones. Prácticamente, la solución habitual es normalizar a uno las longitudes de los dos arcos t y o, para que la correspondencia llegue a ser sencilla.

También en este caso el coeficiente de subrelajación σ se calcula fijando el desplazamiento máximo aceptable durante la primera iteración.

La necesidad de establecer una correspondencia entre las dos coordenadas es el principal inconveniente del método. De hecho, una correspondencia lineal es la solución más simple, pero puede no ser muy adecuada en algún problema.


3.6 Método de optimización de contornos de electrodos tridimensionales basado en el método de cargas superficiales. Método de Misaki y Tsuboi

3.6.1 Introducción

En 1983 T. Misaki, H. Tsuboi K. Itaka y T. Hara, publicaron un método para la optimización de contornos electródicos tridimensionales con geometría arbitraria [88][139]. En este método, primero se calcula la intensidad de campo eléctrico y el esfuerzo sobre la superficie del electrodo; la forma del electrodo se modifica en proporción a la magnitud del esfuerzo en la dirección contraria al esfuerzo [86]. Esto se lleva a cabo iterativamente para que la intensidad de campo máxima se reduzca. El método propuesto utiliza el SCSM junto con un método de corrección de curvatura superficial.

Mientras que en el método explicado en 3.2.2 la forma del electrodo se modifica conforme a la diferencia entre el campo calculado y el campo uniforme y, en el método explicado en 3.3.1.4, de acuerdo a la diferencia entre las intensidades de campo máximo y mínimo, en este caso la forma del electrodo se modifica conforme al esfuerzo ejercido por el campo eléctrico, lo que en esencia equivale a modificarla en función del cuadrado de la intensidad de campo eléctrico. Esto supone una mejora considerable de la velocidad de cálculo [37]. Además, en el método propuesto, la forma del electrodo escogida minimiza la intensidad de campo máximo mientras en los métodos comentados lo que se pretende es determinar la forma del electrodo que produzca un campo eléctrico uniforme.

3.6.2 Principio de optimización

El método consiste en dividir la superficie electródica en elementos triangulares curvos cuya forma se sustituye por elementos de superficie de ecuación cuadrática y en los que la densidad de carga superficial se aproxima por una ecuación lineal. La corrección del contorno se realiza mediante el desplazamiento de cada elemento en dirección opuesta a la fuerza electrostática a la que está sometido.

Para minimizar la máxima intensidad de campo sobre la superficie del electrodo, se establecen puntos discretos sobre la superficie del electrodo. Se denomina a esos puntos nodos discretos.


Si las coordenadas de los nodos 1 a n se varían en pequeñas cantidades ∆x1, ∆y1, ∆z1, ..., ∆xn, ∆yn, ∆zn, entonces las intensidades de campo en estos nodos varían del siguiente modo:

[ ]

∆∆

∆∆∆

=

∆∆

∆∆∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∆

∆∆

n

n

n

n

n

nn

n

n zy

zyx

G

zy

zyx

zE

xE

zE

yE

xE

E

EE

.

...

...

..

..

..

..

..

...

.

.

.

. 1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

(3.123)

Donde ∆Ei , i = 1..n es la diferencia entre el campo existente y el máximo admitido y [G0] es una matriz de sensibilidad que muestra cómo varía la intensidad de campo con el movimiento de cada nodo [63].

La ecuación (3.123) presenta 3n variables incógnitas y la matriz de sensibilidad resulta difícil de calcular directamente. Además varía de modo no lineal con las coordenadas de cada nodo.

Para determinar cuánto y en que dirección se debería de mover cada nodo, se pone atención al esfuerzo ejercido sobre la superficie del electrodo de acuerdo al siguiente principio:

a. La dirección de referencia para el desplazamiento de los nodos es la contraria a la del vector normal sobre la superficie del electrodo.

b. Cada nodo se mueve una pequeña distancia en proporción al esfuerzo ejercido sobre la unidad de área de la superficie del electrodo alrededor del nodo bajo consideración.

Para un elemento genérico i de un electrodo (Fig. 3.24) el desplazamiento o factor de corrección 0iC viene dado por la ecuación:

ii fkC ⋅−=0 (3.124)

donde if es el esfuerzo ó fuerza electrostática ejercida sobre el nodo i y k es un

parámetro de corrección.


P3

V2

V1

P1

P2

Electrodo-1-

Electrodo-2-e

ee

e

e

Fig. 3.24. Modelo de dos electrodos y un dieléctrico.

De acuerdo con la teoría del campo eléctrico, la fuerza eléctrica ejercida sobre la superficie de un electrodo está en una dirección que incrementa la energía almacenada en el campo eléctrico. Esto significa que la fuerza eléctrica siempre tiende a expandir el electrodo. Por lo tanto, el vector corrección definido por la ecuación (3.124) tiende siempre a reducir la intensidad de campo eléctrico sobre la superficie conductora. El esfuerzo fi viene dado por:

22iii nEf ε= (3.125)

donde in la componente normal unitaria en el punto i, Ei es la intensidad de campo

eléctrico en el nodo i y ε es la constante dieléctrica, del medio circundante.

Sustituyendo la ecuación (3.125) en (3.124) queda:

220 iii nEkC ε−= (3.126)

Que indica que la magnitud del vector corrección es proporcional al cuadrado de la intensidad de campo eléctrico. Por lo tanto la velocidad de convergencia del método propuesto es más rápida que la del método de proporción lineal que proponen Kato [64] y Okubo [95], en el que la magnitud de 0iC es proporcional a Ei, ya que la velocidad de

convergencia del método de corrección cuadrática es más rápida que la del método de corrección lineal si el parámetro de corrección k se escoge apropiadamente [37]. El método de Singer [119] utiliza el radio de curvatura de la superficie del electrodo y por lo tanto su aplicación a un problema tridimensional no es fácil. El método propuesto se puede aplicar muy fácilmente a un problema tridimensional.

Utilizando la ecuación (3.126), se reescribe la ecuación (3.123) del siguiente modo:


{ } kGk

kE

kEkE

E

EE

nn

∆⋅=∆

∂∂

∂∂∂∂

=

∆

∆∆

.

...

2

1

2

1

(3.127)

Donde {G} es el vector gradiente.

Intensidad de campo eléctrico E

k1 kmin0

Eminmax

k2

E2max

a) Aproximación Lineal b) Aproximación cuadrática

Intensidad de campo eléctrico E

Corrección del parámetro k Corrección del parámetro kk1 kmin0

E0max

E1maxEb

Ea

Eb

Ea

E0max E1max

Eminmax

Fig. 3.25. Determinación del parámetro de correción.

Como el valor objetivo de E en realidad no se conoce a priori, si se fijase uno arbitrariamente para calcular los valores de ∆Ei, y se utilizase la fórmula (3.127) para calcular ∆k, se obtendría un valor de ∆k distinto para cada punto. En su lugar se pueden utilizar las funciones Ei(k) aproximadas de forma lineal o cuadrática para determinar, dentro de un rango de valores de k en el que se supone que la aproximación es admisible, el valor de k que hace mínimo el máximo de Ei sobre los nodos considerados. Esto se realiza del siguiente modo:

El valor de E se conoce para k = 0. Se supone que E presenta una variación lineal o cuadrática con k. Si dicha variación es lineal se utiliza un valor de k (k1) para obtener Ei(k) en cada punto (ver Fig. 3.25 a). Si la variación fuese cuadrática se precisarían 2 valores de k, (k1 y k2) para determinar Ei(k) en cada punto (ver Fig. 3.25 b).

Una vez obtenidas las funciones Ei(k) para los n nodos, se escoge el valor de k que minimiza la máxima intensidad de campo sobre los nodos (kmin en la Fig. 3.25).

El procedimiento se representa gráficamente en Fig. 3.25 para determinar el valor del parámetro de corrección k en caso de n = 2 nodos. En la Fig. 3.25 (a) se asume que el


campo eléctrico Ea y Eb en los nodos a y b varía de modo lineal con k y se conoce el campo eléctrico para k = 0 (campo eléctrico para la forma inicial del electrodo). Con estas consideraciones, primero se hace k = k1 y se corrige la forma del electrodo para calcular el campo eléctrico. Usando las intensidades de campo eléctrico en los nodos a y b para k = 0 y k = 1, se expresa el campo eléctrico en los nodos a y b como funciones lineales de k. A continuación se determina el valor de kmin para minimizar la intensidad de campo máxima, es decir, hallar el mínimo de los máximos de intensidad de campo. Si fuese difícil aproximar la intensidad de campo por una función lineal de k, entonces se aproxima por una función cuadrática utilizando intensidades de campo para tres parámetros de corrección k = 0, k = k1, k = k2. Desde luego, es posible aproximar por una función cúbica o de mayor orden (proporcionaría una mayor exactitud) pero la aproximación cuadrática es satisfactoria desde un punto de vista práctico.

Puesto que el vector gradiente {G} en la (3.127) es una función no lineal de k, se repite el proceso anterior iterativamente.

Generalmente es necesario modificar sólo una parte de la superficie del electrodo. Por lo tanto hay que ser cuidadosos sobre la corrección en los puntos fijos. Normalmente existe la condición restrictiva de fijar el desplazamiento de dos o más puntos del contorno, por lo cual se deberá restar al vector de desplazamiento o corrección un cierto vector 0C correspondiente a dicha restricción. De este modo se añade el vector

restricción 0C a 0iC en la ecuación (3.126). obteniéndose el vector corrección iC que

tiene que ser igual a cero en los puntos fijados. El desplazamiento a aplicar en cada punto está definido, por tanto, por la expresión:

000 CfkCCC iii +⋅−=+= (3.128)

Si se fijan dos puntos, el vector de restricción 0C se expresa por la ecuación:

11220 pppp CCC ⋅+⋅= ωω (3.129)

donde 2pC y 1pC son los vectores de desplazamiento en los puntos P2 y P1

respectivamente, ωp2 es una función de peso que adquiere el valor unidad en el punto P2 y se anula en P1, y, análogamente, ωp1 es otra función de peso que toma valor unidad en P1, y se anula en P2, Si se fijan más puntos el vector de restricción 0C se expresará de

forma general por la ecuación:

∑=

⋅−=m

jjij CC

100 ω

(3.130)


donde ijω es la función de peso (coeficiente de proporcionalidad) que vale 1 en Pi y 0

en los demás puntos, m es el número total de puntos fijos, y j representa el índice nodal de puntos fijos.

El coeficiente de proporcionalidad ijω se expresa generalmente como:

∑∑≠==

+

==m

jkk

lik

lij

lij

lij

m

kl

ik

lij

ij

r

r

r

rr

r11

11

1ω (3.131)

Donde rij es la distancia superficial entre el nodo i y un punto fijo j, l un número mayor o igual que 1. Si el nodo i es un punto fijo, ijω se anula para ji ≠ y 1=ijω para i = j.

Obviamente ijω está siempre entre 0 y la unidad. Habitualmente, l toma los valores 1 ó

2.

La Fig. 3.26 ilustra un caso especial donde los coeficientes de proporcionalidad se determinan por una simple operación vectorial. Como se muestra en la Fig. 3.26 a, si los vectores an y bn fijos en los puntos a y b en un espacio bidimensional son

perpendiculares entre sí, los coeficientes de proporcionalidad vienen dados por:

( ) ( )lbiib

laiia nnnn ⋅=⋅= ωω , (3.132)

Si tres vectores normales en , fn , gn en el espacio tridimensional son perpendiculares

como se muestra en la Fig. 3.26 b, los coeficientes de proporcionalidad viene dados por:

( ) ( ) ( )lgiig

lfiif

leiie nnnnnn ⋅=⋅=⋅= ωωω ,, (3.133)

Región deoptimización

Región deoptimización

na

nb

a

ne

nf

ng

bg

ef

0=⋅ ba nn

a) Problemabidimensional

b) Problematridimensional

000

=⋅=⋅=⋅

gf

ge

fe

nnnnnn

Fig. 3.26. Vector normal en cada punto fijo.


En algunos casos, cuando la altura del electrodo, yh, se encuentra restringida, es preciso modificar las coordenadas de los puntos de corrección y1, y2, ..., yk. Si el valor máximo de la coordenada y es ymax, cada coordenada y se corrige por la siguiente ecuación:

( )0

0

yyyyyyyy

max

kmaxhkk −

−−+=′

(3.134)

Donde y0 es la coordenada y de los puntos fijos.

y’2

Puntos Fijos

Electrodo

yh

y0

y1

y2

yk

y’k

y’1

Fig. 3.27. Electrodo con altura restringida.

Para realizar el cálculo del campo la superficie del electrodo se divide en muchos elementos de superficie curvados usando un método de carga superficial mejorado.

q2

(x1, y1,z1)(x2, y2,z2)

(x3, y3,z3)

q1

q3

qe

(x6, y6,z6)

(x4, y4,z4)

(x5, y5,z5)

12

3

4

5

6

Fig. 3.28. Elemento triangular de superficie curvada.

La forma de la superficie de cada elemento se aproxima por una ecuación cuadrática y se define por las coordenadas de seis nodos, 1, 2, ... 5 y 6 (Fig. 3.28). Las coordenadas rectangulares xe, ye, ze de cualquier punto sobre un elemento, y su vector de posición,

ehr

, sobre el elemento se escriben como:


∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

6

1

6

1

6

1

iiie

iiie

iiie

zNz

yNy

xNx

(3.135)

kzjyixh eeee

rrr++= (3.136)

donde Ni es una función de interpolación cuadrática. La densidad de carga sobre cada elemento se aproxima por una ecuación lineal y se define por una densidad de carga sobre los tres nodos, 1, 2 y 3. La densidad de carga, qek, sobre un elemento viene dada por:

∑=

=3

1jjjek qLq

(3.137)

Donde Lj es la coordenada superficial.

Por otra parte, el potencial, VI, en cualquier punto, se puede expresar como:

( ) ( )dsJIGJqVN

kek

ekI ,1

∑∫∫=

= (3.138)

Donde qek(J) es la densidad de carga en un punto fuente, J, sobre el elemento ek, G(I,J) es la función de Green, y N es el número de elementos.

Cuando se aplica la ecuación (3.138) a todos los puntos de cálculo en la superficie del electrodo se establecen ecuaciones simultáneas con respecto con respecto a la densidad de carga en cada punto de cálculo. Resolviendo estas ecuaciones, se obtiene la distribución de la densidad de carga sobre la superficie del electrodo.

El campo eléctrico KE , y la fuerza electrostática, Kf , en cualquier punto, sobre la superficie del electrodo vienen dados respectivamente por:

( ) KekK nKqE ⋅=ε1 (3.139)

Y

KkK nEf ⋅= 2

2ε (3.140)

Substituyendo la ecuación (3.140) en la ecuación (3.128), se obtiene la corrección del vector iC , en cada nodo como se muestra en la Fig. 3.29.


q2

(x1, y1,z1)(x2, y2,z2)

(x3, y3,z3)

q1

q3

iC

(x6, y6,z6)

(x4, y4,z4)

(x5, y5,z5)

12

3

4

5

6

Fig. 3.29. Corrección del vector en cada nodo.

El diagrama de flujo de la optimización se muestra en la Fig. 3.30. El programa consiste en tres partes, denominadas programa de análisis de campo basado en el método de carga superficial, programa de corrección de la forma basado en el vector de corrección y programa de determinación del parámetro de corrección. El cálculo iterativo finaliza cuando se obtiene la distribución de campo deseada o cuando la intensidad de campo máxima no puede ser reducida más. Este último caso ocurre cuando no se puede encontrar el valor del parámetro k que reduce la intensidad de campo máxima incluso después de tres correcciones de la forma del electrodo (N > 2) en la Fig. 3.30. Aunque no se muestra en la Fig. 3.30, el procedimiento genera elementos de una nueva superficie o combina múltiples elementos en uno sencillo cuando un elemento de superficie llega a ser demasiado grande o demasiado pequeño.

El parámetro inicial k1 se escoge para que iguale al 30% - 100% de la longitud del elemento mínima (longitud del lado mínima para el elemento triangular). Si k1 es demasiado grande llega a ser difícil encontrar un punto cuando se minimiza la intensidad de campo máxima (debido a la no linealidad del vector gradiente en la ecuación (3.127)). El valor de k1 tampoco debe ser demasiado grande para prevenir que la superficie se divida irregularmente.


NO

NO

SÍ

Inicio

Entrada de los datos para divisiónsuperficie del electrodo

Fin

Cálculo de la distribución de campo

N = 0

Forma del electrodo corregido usandoparámetro de corrección inicial k1

Cálculo de la distribución de campo

N = N+1

N > 2

Forma del electrodo corregido usandoparámetro de corrección kN+1

Aproximación de la intensidad de campoen cada nodo por la ecuación algebraica deorden N-ésimo de k y determinación de lacorrección del parámetro kN+1 queminimiza la intensidad de campo máxima.

Distribución de campo de salida yforma del electrodo

¿Se ha obtenido la intensidad decampo deseada?

¿Se ha reducido la intensidad decampo máxima?

NO

SÍ

SÍ

Fig. 3.30. Procedimiento de optimización método de Tsuboi.


3.7 Optimización de contornos de electrodos utilizando elementos de contorno. Método de Welly

3.7.1 Introducción

En 1987, Welly [147] presentó un método para optimización de electrodos para configuraciones planas (bidimensionales) o disposiciones de electrodos con simetría axial. La superficie del contorno del electrodo se divide en elementos circulares. Se determinan los radios de dichos elementos para que la distribución de superficie del campo eléctrico relacionados con el nivel de comienzo del efecto corona llegue a ser uniforme. El objetivo de la optimización de electrodo en alta tensión es la mejora de las condiciones de trabajo del dieléctrico. La optimización se basa en la existencia de una intensidad de campo eléctrica mínima Ei requerida para iniciar una descarga. El nivel de inicio del efecto corona Ei depende principalmente del material aislante y en un menor grado de la curvatura de la superficie [51]. Las descargas no ocurren si Ei en cualquier parte excede el campo eléctrico presente E. De acuerdo con esto, se dice que un electrodo está optimizado, si a una tensión dada, el valor máximo de E/Ei en su superficie es tan pequeño como sea posible.

Puesto que (E/Ei)max depende de la posición, la extensión espacial y la forma de la configuración electródica, existen tres tipos diferentes de optimización. Para llevar a cabo la optimización de la forma del electrodo, se escoge como condición de optimización:

( )max. ii EEconstEE == (3.141)

Como ya se ha visto existe una relación entre la intensidad de campo y la curvatura superficial. En vez de utilizar una técnica de desplazamiento de los puntos de contorno, Welly propone una modificación de los elementos de contorno en el cálculo. De acuerdo con esto, los radios de los elementos de contorno tienen que ser aumentados en aquellas regiones donde E/Ei es grande y reducirlos donde E/Ei es pequeño.

3.7.2 Descripción del método

Los fundamentos del procedimiento de optimización se describen con un ejemplo simple. La configuración consiste en un electrodo cilíndrico con forma de varilla perpendicular a un plano de tierra (Fig. 3.31). El radio r de la varilla y distancia d al plano de tierra son datos.


Se optimiza el contorno final de la varilla. Se utiliza como una aproximación inicial una semiesfera. Como se muestra en la Fig. 3.32, el semicírculo correspondiente se divide en sectores. El número de estos sectores depende de la exactitud requerida. Los arcos resultantes de la periferia se denominan elementos de contorno.

d

r

Fig. 3.31. Configuración electrodo plano de tierra.

1 23

4

5

6

Fig. 3.32. Subdivisión del final de la varilla.

Como una primera etapa, se calcula la intensidad de campo media sobre cada elemento de contorno. Esto se puede hacer por simulación de carga, elementos finitos, o por otros métodos.

Los sectores separados y los correspondientes valores E/Ei se muestran en la Fig. 3.33. El siguiente paso es multiplicar los radios de cada sector por (E/Ei)n, mientras que los ángulos permanecen sin cambiar. El resultado se muestra en la Fig. 3.34. La recomposición de los nuevos elementos según la Fig. 3.35 presenta un nuevo contorno que tiene que ser multiplicado por un factor de escala para obtener el radio r de la varilla dado. Finalmente se coloca el nuevo contorno a la distancia requerida d del plano. El resultado se muestra en la Fig. 3.36. Se repite el procedimiento total hasta que las fluctuaciones remanentes son suficientemente pequeñas.


1 2 3 4 5 6

iEE

Fig. 3.33. Sectores separados (E intensidad de campo media, Ei = const.).

1 2 3 4

5 6

Fig. 3.34. Sectores multiplicados por (E/Ei)4.

6

1 23

4

5

Fig. 3.35. Sectores recompuestos, nuevo contorno.


d

r

Contornooriginal

Contornooptimizado

Fig. 3.36. Nuevo contorno, escalado y recalculada la distancia d desde el plano de tierra.

Obviamente cada paso de iteración allana aquellas regiones de superficie en las que E/Ei excede su valor medio mientras las restantes llegan a ser más curvadas. De este modo la distribución de E/Ei llega a ser más y más uniforme. No es importante si los radios del sector o los recíprocos de las curvaturas totales C se multiplican por (E/Ei)n. Por lo tanto C es necesaria sólo si Ei depende de ello. Se asume por simplicidad Ei = const.

Una característica importante del método es la invarianza de las direcciones tangentes al contorno durante el proceso de optimización. Si el contorno inicial es suave, garantiza que la suavidad del contorno mejorado total incluyendo las regiones de transición a las partes adjuntas.

Otra ventaja es la ausencia de cualquier límite a las variaciones del contorno dentro de los pasos de iteración. En otras palabras, los valores de E/Ei en sí mismos, así como sus fluctuaciones, pueden ser arbitrariamente pequeños o grandes.

3.8 Modificación del contorno de electrodos basada en los efectos de área/volumen sobre la intensidad de campo de ruptura. Método de Kato

3.8.1 Introducción

En 2001 Kato et al. [65] presentaron un método de optimización basado en los efectos de área/volumen sobre la intensidad de campo de ruptura [67][68][66].

Según Kato para un diseño del aislamiento más exacto, se necesita desarrollar una técnica de optimización que involucre no sólo la distribución de campo eléctrico sino también la realización del aislamiento mediante el medio dieléctrico y otros efectos, tal como el efecto del tamaño del electrodo, el efecto del volumen sobre la intensidad de campo de ruptura o la forma de onda de la tensión aplicada. Por ejemplo, cuando se


utiliza el aceite de transformador como medio de aislamiento para aparatos de alta tensión, el efecto del volumen sobre la intensidad de campo de ruptura es tan grande que se debe tomar en cuenta el volumen de aceite sometido a esfuerzo.

Con estos precedentes, en este trabajo en primer lugar se destaca el efecto del área del electrodo y el efecto del volumen en las características de ruptura del dieléctrico. En segundo lugar se describe el principio del algoritmo de optimización desarrollado, teniendo en cuenta estos efectos. Finalmente se aplica el algoritmo de optimización a la parte final de un conductor de alta tensión de un electrodo cilíndrico sobre tierra. De estos resultados, se confirma que la técnica de optimización es efectiva en el diseño del aislamiento de aparatos eléctricos de potencia, permitiendo un incremento de la tensión de servicio o una reducción en tamaño.

3.8.2 Características del aislamiento eléctrico

3.8.2.1 Condiciones que afectan a las características de ruptura del dieléctrico

Para obtener las mejores prestaciones del sistema de aislamiento, se ha observado que no siempre es suficiente la reducción de la intensidad de campo máxima. Se deberían de considerar las condiciones que afectan a las características de ruptura del dieléctrico, incluyendo los tipos del medio aislante, la forma de onda de la tensión aplicada, las características de comienzo de la descarga de los dieléctricos, el efecto área de la ruptura sobre el electrodo, el efecto del volumen sobre la ruptura, las características tensión-tiempo (V-t), las condiciones de la superficie de los electrodos, y otros. Se desarrolla una técnica de optimización que considera la influencia de todas estas condiciones.

3.8.2.2 Efectos de área y volumen de los electrodos

Para el diseño de aislamiento en la escala de los aparatos prácticos, en general los efectos de área/volumen del electrodo y las características de duración tensión-tiempo de ruptura (V-t) son los factores más importantes. Como un primer paso, se desarrolla un algoritmo de optimización que tiene en cuenta el efecto de área del electrodo y el efecto de volumen en la intensidad de campo de ruptura. Es bien conocido que en medios dieléctricos tales como gas SF6 presurizado, aceite de transformador y vacío, la intensidad de campo de ruptura decrece estadísticamente con el incremento del área o del volumen del electrodo sometidos a esfuerzo. Estos efectos son principalmente causados por los siguientes factores: impurezas, protuberancias o asperezas en la


superficie del electrodo para el efecto de área; o impurezas o burbujas en un medio de aislamiento líquido para el efecto de volumen.

Intensidad de campo de ruptura

(efecto volumen)

(efecto área)( )sm

eSbd SKE 1−=

( )vmeVbd VKE 1−=

Area/Volumen sometido a esfuerzo de campo Fig. 3.37. Ilustración esquemática del efecto área/volumen de la intensidad de campo de ruptura en un

medio aislante.

La Fig. 3.37. muestra una ilustración esquemática del efecto de área y el efecto de volumen. Para cada medio aislante, la curva específica está aproximada sistemáticamente a partir de muchas gráficas obtenidas experimentalmente con varios tipos de configuraciones de electrodos. La relación entre el área del electrodo sometida a esfuerzo Se o el volumen sometido a esfuerzo Ve y la intensidad de campo de ruptura Ebd se formulan como sigue [55][94][69][49]:

Efecto de Area: ( )sm

eSbd SKE 1−= (3.142)

Efecto de Volumen: ( )vm

evbd VKE 1−= (3.143)

donde Ks y Kv son constantes, y ms y mv son parámetros que llegan a ser pequeños con el aumento de la dependencia de la intensidad del campo de ruptura con el área del electrodo y el volumen sometido a esfuerzo. Se utilizan valores de área o volumen de la región cuya intensidad de campo es > 90% de la intensidad de campo máxima [55][94][69]. Para gas SF6, aceite de transformador y vacío, los parámetros y ms y mv y la intensidad de campo de ruptura bajo la aplicación de tensión de un impulso tipo rayo vienen dados en la Tabla 3.1 [55][94][69]. Estos datos indican que el incremento del área del electrodo sometida a esfuerzo y el volumen pueden contribuir a una reducción de la solicitación del dieléctrico.


Medio Aislante ms mv Eb [kV/mm]

Gas SF6, 0.4 MPa 30 ( )smeS 136 −

Vacio, 10-4 Pa 4.4 ( )smeS 1106 −

Transformador de aceite

11.3 ( )VmeV 1105 −

Tabla 3.1. Parámetros ms, mv y intensidad de campo de ruptura Eb de los efectos de área/volumen en varios medios la aplicación de una tensión de impuso de rayo.

3.8.3 Algoritmo de optimización para los efectos de área y volumen

Para obtener un contorno de electrodo con mejor comportamiento del aislamiento, se desarrolló un algoritmo que incluye el efecto del área o volumen en la intensidad de ruptura. La idea del algoritmo se muestra en la Fig. 3.38. En el proceso de optimización mostrado en la Fig. 3.38 (a), se supuso que se modificaba el contorno del electrodo de alta tensión desde A a D. Aquí, la intensidad de campo eléctrico máxima se reduce, pero el área del electrodo sometida a esfuerzo y el volumen sometido a esfuerzo se cambian simultáneamente. Las gráficas en la Fig. 3.38 (b) muestran la relación entre el área del electrodo/el volumen sometido a esfuerzo y la intensidad de campo máxima en el proceso de optimización, junto con la curva característica típica del efecto área/volumen. Si se aplica la optimización de campo eléctrico, se obtiene finalmente el contorno D como el optimizado debido a que la intensidad de campo máxima presenta el valor mínimo. Sin embargo, como se muestra en la Fig. 3.38, la optimización del campo eléctrico puede causar un incremento en el área del electrodo y el volumen sometido a esfuerzo que resulta en una reducción de la intensidad de campo de ruptura. De ahí, que desde el punto de vista del mejor aislamiento, se defina el parámetro P como:

( )( )

( )( )

=∆∆

=

−

−

volumenefectoVV

EE

áreaefectoSS

EE

EE

P

v

s

meie

mim

meie

mim

bd

m

1

1

(3.144)

Donde la máxima variación del campo eléctrico es ∆Em, la variación del campo de ruptura es ∆Ebd, Em el campo eléctrico máximo, Emi el campo eléctrico máximo en el contorno inicial, Se el área del electrodo, Sei el área del electrodo en el contorno inicial, Ve el volumen sometido a esfuerzo, y Vei el volumen sometido a esfuerzo en el contorno inicial. De la ecuación (3.144), se puede comprender fácilmente que la optimización del comportamiento del aislamiento consiste en encontrar el valor más pequeño del


parámetro P bajo el proceso del cambio del contorno del electrodo. Utilizando este parámetro, y tal y como se muestra en la Fig. 3.38, el contorno que debe considerarse como óptimo es el C y no el D, pues en ese punto presenta este parámetro su valor mínimo.

ACampo eléctrico

Area sometida a esfuerzo Se/Volumen sometido a esfuerzo Ve

B

CD

(b)

(a)

A B

Campo eléctricomáximo Em

C D

Electrodos deAlta Tensión.

Dependencia del área o volumen dela intensidad de campo de ruptura Ebd

Intensidad decampo máxima Em

Parámetro P

Fig. 3.38. Concepto de comportamiento de la optimización del aislamiento considerando efecto del área o efecto de volumen de la intensididad de ruptura: (a) proceso de modificación del contorno del electrodo;

(b) relación entre el área sometida a esfuerzo o el volumen sometido a esfuerzo, intensidad de campo máxima e intensidad de campo de ruptura en el proceso de optimización.

Basado en el algoritmo de arriba, se muestra el diagrama de flujo del proceso de optimización bajo los efectos de área o volumen en la Fig. 3.39. En este proceso de optimización, se modifica el contorno del electrodo en concordancia con la distribución de campo eléctrico, es decir, la diferencia ∆ entre el valor objetivo o intensidad de campo Et y la distribución de campo eléctrico presente E en el contorno del electrodo determina la cantidad de modificación del contorno [68]. Si el valor del parámetro P se reduce por modificación del contorno del electrodo, el cálculo continúa. De otro modo, cuando el valor del parámetro P se incrementa por modificación del contorno del electrodo, se reduce la cantidad de la modificación. Este proceso de cálculo se realiza repetidamente hasta que la cantidad de modificación llega a ser más pequeña que el error de truncamiento.


Inicio

Datos iniciales de la entrada

Cálculo del campo eléctricoen el contorno inicial

Resolución del contorno delelectrodo

Cálculo del campo eléctricomáximo y área sometida a

esfuerzo o volumen sometidoa esfuerzo.

Cálculo del parámetro P

¿Decrece P?

¿Se satisface la condición deoptimización?

SI

Determinación del campoobjetivo Eobjetivo

∆=Eobjetivo-E(Intensidad de campo eléctrico)

Salida de resultados de cálculo

Stop

Modificación delcontorno del electrodo

Eobjetivo/2→ Eobjetivo

SI

NO

NO

Fig. 3.39. Diagrama de flujo del proceso de optimización teniendo en cuenta los efectos de área o

volumen.

En el cálculo de optimización, se debería de poner atención en el hecho de que la intensidad de campo de ruptura presenta una desviación standard σ que es típicamente de 3 a 10% mayor que su valor medio Em. Además, el valor de σ depende ligeramente de la forma geométrica y del tamaño del electrodo y otros parámetros, resultando en un cálculo complicado de σ en la optimización de la geometría del electrodo. Se considera por simplicidad Em como el criterio, aunque se debería de considerar su valor menor (normalmente Em - 3σ).


3.9 Optimización de aisladores en función de la componente tangencial de la intensidad de campo

Como ya se había anticipado en el capítulo 1 en la modificación del contorno de aisladores de alta tensión para mejorar su comportamiento frente a las descargas superficiales existen diversas forma de proceder que se pueden agrupar en dos criterios diferentes para la obtención de una distribución de campo pretendida:

1º.- Modificación del contorno de los aisladores en función de la componente tangencial de la intensidad de campo.

2º.- Modificación del contorno de aisladores en función de la intensidad de campo total en la superficie del aislador.

3.9.1 Determinación de las geometrías de contorno con ayuda del método de las diferencias finitas. Método de Antolic


Los primeros trabajos que se ocupan con problemas concernientes a la forma óptima de las componentes de las instalaciones de alta tensión datan de los años setenta. Existe una falta de acuerdo en cual debe de ser el objetivo más apropiado como meta de la optimización de aisladores. Esta ausencia de criterios teóricos bien definidos se ve reflejada también en el desacuerdo sobre la determinación de la forma óptima de los aisladores.

La primera aportación al primero de los criterios arriba mencionados la realiza Antolic en 1972 [15]. Antolic presentó la tarea como un problema de valores de contorno generalizado en el que se trata de obtener una distribución predefinida de la componente tangencial del campo eléctrico a lo largo de un contorno que ha de ser determinado en el transcurso de los cálculos.

3.9.1.2 Cálculo de control y cálculo de diseño en construcciones de alta tensión

Los diseños de construcción en el campo de la técnica de alta tensión necesitan, junto a otras bases, el conocimiento de la auténtica solicitación de los materiales utilizados, ya sean sólidos, líquidos o aisladores gaseosos incluyendo los medios que engloban a la configuración. Esta solicitación debe, mientras no se encuentren otras razones que hablen en contra de ello, acercarse a los límites de solicitación de los materiales que se usan sin llegar a sobrepasarlos. En la mayoría de los casos se cuenta con distribuciones


de campo estacionarias o bien distribuciones en equilibrio o que en valor medio están en equilibrio que cumplen la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson. Hay que resolver por lo tanto problemas de valores de contorno que parten de las siguientes premisas:

- 1ª. La superficie de integración es cerrada, está simple o múltiplemente conexa y puede alcanzar el infinito.

- 2ª. Puede dividirse en intervalos de integración Si que están compuestos por medios distintos donde aquí, por simplicidad, se supondrá que estos medios parciales son homogéneos e isótropos y se diferencian únicamente en lo que respecta a un valor escalar, por ejemplo la constante dieléctrica.

- 3ª. Las superficies de toda la zona en estudio y las superficies de separación entre ambas partes se resumen en un conjunto de fronteras que se denomina G y cuya descripción geométrica se conoce completamente. A lo largo de todas estas fronteras G se dan una serie de condiciones de contorno B que son tanto de primera clase como de clase superior, ya sean simetrías de campo, saltos de la constantes dieléctrica, etc.

Este planteamiento clásico del problema parte de un conocimiento total del problema de valores de contorno G y debe prescindir por lo tanto de otro tipo de condiciones de contorno, que se llamarán B’, cuya satisfacción sin embargo es imprescindible para alcanzar los fines de un diseño constructivo. Sólo mediante rodeos, mediante una modificación parcial de la geometría partiendo de cálculos de campo ya realizados se consigue una satisfacción simultánea de las condiciones B y B’, en este proceso el cálculo de campo sirve únicamente como control y sólo de forma indirecta al diseño.

Para acercarse al objetivo de diseño, utilizando al mismo tiempo las dos condiciones B y B’, se llega de una forma mucho más rápida si desde el principio se separan las fronteras y las superficies de separación entre un conjunto G1 de fronteras fijas y otro conjunto G2 de fronteras que es preciso determinar. A las primeras se les asigna las condiciones B1 y a las segundas las condiciones B2 además unas ciertas condiciones de diseño 2B′ , las fronteras G2 se determinan entonces por estas condiciones de diseño.

Mientras que se dispone de amplia bibliografía para problemas de contorno de ecuaciones diferenciales elípticas, para la realización de cálculos de control en el sentido explicado anteriormente, se dispone de muy poca bibliografía para el cálculo de geometrías de contorno. En termodinámica sin embargo se puede encontrar el problema de Stefan que es un problema dependiente del tiempo de contornos móviles para un material en proceso de fusión. En Mecánica se encuentran problemas de teoría de funciones como los de perfiles de Joukowsky, Karman y Trefftz, y en electrotecnia las


geometrías de Rogowsky y Borda y algunos otros problemas cuya solución puede ser dada analíticamente, como por ejemplo el citado en la bibliografía [34].

Antolic plantea un método de cálculo para el diseño de aislamiento basado en la utilización de contornos de deslizamiento sobre redes de coordenadas del método de las diferencias finitas.

3.9.1.3 Planteamiento del problema

3.9.1.3.1 Datos Una configuración de electrodos con simetría rotacional formada por un manto cilíndrico y un conductor concéntrico (esto es una conducción de SF6, Fig. 3.40) y el espesor en el lado del manto del cilindro de un aislador de apoyo plano radial y simétrico. A lo largo de estas geometrías fijas G1 el potencial u y sus derivadas cumplen las siguientes condiciones B1:

1ª. En la superficie del manto: u=0.

2ª. En la superficie del conductor interno: u=U (tensión dada).

3ª. En el contorno izquierdo: 0=∂∂

zu (simetría de campo en el plano central del

cuerpo).

4ª. En el borde derecho: distribución cilíndrica de campo u otra condición de finalización.

3.9.1.3.2 Análisis del problema Se busca la geometría G2 del aislador en la que se cumpla la condición de contorno de la superficie de separación de aisladores (el salto de la constante dieléctrica, condición de contorno B2) a esta condición de contorno se le añaden las siguientes condiciones 2B′ :

1ª.- La componente tangencial de la intensidad de campo Et a lo largo de G2 puede ser constante y dada.

2ª.- La componente tangencial de la intensidad de campo Et obedece a una distribución dada como una función de la longitud de arco normalizada de G2.

3ª.- La componente tangencial de la intensidad de campo Et es constante o bien se conoce su distribución pero no se conocen los valores correspondientes. Además se conoce una condición de determinación geométrica más para las superficies de frontera G2, por ejemplo la tangente en el punto P1 (ver Fig. 3.40) o la tangente en el punto P2 en el pie del aislador.


G1

G2

G1

G1

G1

P1

P2

ra

ri

Geometrias:G1 Conjunto frontera fijaG2 Conjunto frontera aislador

St

Eje de rotaciónz

Fig. 3.40. Superficies de frontera St en un conductor concéntrico interior.

La ecuación diferencial de Laplace en coordenadas cilíndricas para un campo simétrico:

012

2

2

2

=∂∂

+∂∂

⋅+∂∂

zu

ru

rru

(3.145)

lleva mediante la discretización de la zona de integración y la utilización de una red de puntos apropiada a un sistema de ecuaciones lineales respecto a los puntos de la red (método de diferencias finitas):

bAu = (3.146)

Mientras en un puro cálculo de control los elementos aij de la matriz de la red sólo se calculan una única vez, el cálculo de diseño exige un cálculo repetido de los elementos de esta matriz. Se utiliza una red de puntos fija en la que partiendo de una posición inicial se va desplazando la geometría G2. El número de veces en los que es necesario calcular de nuevo los elementos de la matriz aij resulta pequeño. Los cálculos nuevos se limitarían a aquellos operadores de la red de puntos en los que tienen su apoyo las superficies de separación de las geometrías de las fronteras G2 o aquellos puntos que son abandonados por puntos de esta geometría G2.

En el caso que se presenta se encontraron dificultades en la determinación de las operaciones de cálculo comunes a distintas partes de la geometría en la zona donde se desplazan los contornos y por eso se decidió acometer otro camino que seguramente no siempre es posible utilizar. Para ello uno de los dos pares de haces de líneas coordenadas se escogió no fijo, sino móvil y acompañando al contorno y justamente una de las líneas de este haz de coordenadas se obliga a que coincida con la geometría G2 que se quiere determinar. El resto de las líneas del haz se distribuyen mediante una ley


de distribución transversalmente a las líneas del otro haz de coordenadas como se muestra en la Fig. 3.41.

xm xn

x’m

y1P1 ym yn ra

G2

x’n y’1 y’m y’m

( )

( )., constyx

ryy

rxx

ii

i

i

i

i

=

=′

=′

η

ξ

z

Fig. 3.41. Líneas del haz de coordenadas del contorno de la misma forma (r:const.).

De la misma forma que el contorno buscado, todo el resto de las líneas del haz que acompaña al contorno tienen un punto fijo en el electrodo del manto del cilindro. La distancia entre estos puntos fijos se puede escoger de forma arbitrara. Lo mismo puede decirse de la distancia entre los puntos del otro haz de líneas de coordenadas. También se podría hacer este segundo haz móvil y ortogonal a la trayectoria del primero pero esto requeriría mucho mayor espacio de almacenamiento en el ordenador. Se han utilizado sistemas de coordenadas móviles de esta clase para la resolución de problemas de dinámica de gases y fluidos [60].

Se parte de una posición inicial del contorno que se quiere determinar, en el caso del aislador de apoyo sería una posición radial y de una distribución inicial de potencial, en este caso una distribución de potencial cilíndrica. A continuación se determina la distribución de la intensidad de campo a lo largo de la geometría que se pretende determinar (la geometría móvil), y se compara con la distribución de campo que se pretende alcanzar y se determinan a partir de allí los desplazamientos G2. A la vez se desplazan todo el resto de líneas del haz de líneas coordenadas solidarias con la superficie que se está desplazando. A partir de aquí se calculan los nuevos elementos de la matriz y se hace un nuevo cálculo de campos para la geometría modificada. Este proceso se continúa hasta que se alcanza una condición de interrupción.


3.9.2 Método de Singer y Grafoner


Uno de los primeros métodos desarrollados para diseñar electrodos y aisladores de revolución fue publicado por Singer y Grafoner [119]. Como ya se ha visto en el apartado 3.2.2 los contornos de los electrodos se optimizan de acuerdo a la componente normal de la intensidad de campo, que en la superficie de un electrodo coincide con la intensidad total de campo. Los aisladores se optimizan respecto a la componente tangencial. Se utiliza el método de simulación de carga para el cálculo de campo eléctrico. En el caso de aisladores se utilizan cargas superficiales.


Los contornos de aisladores se optimizan respecto a la componente tangencial de campo. Para dos puntos de contorno A y B con una distancia pequeña ∆l (Fig. 3.42) se puede escribir:

lE BA

t ∆−

≈φφ

(3.147)

Si Et es demasiado grande, entonces o se reduce la diferencia de potencial o bien se aumenta la distancia. Para este propósito se fija A y se varía B. El modo más fácil de proceder parece ser llevar B perpendicularmente al contorno (B→B’ en la Fig. 3.42 a).

Si se usa este procedimiento varía la diferencia de potencial φA - φB y la distancia ∆l (∆l → ∆l’). Si se hace de esta forma resulta para ∆B una ecuación cuadrática de formulación complicada según los casos.


B∆B

ε2

ε1 A

B

B’∆l

∆l’

a) BB ′ perpendicular al contorno

ε2 Líneas de flujoε1 A

B’

C C’

∆l ∆l’

Líneas equipotenciales

b) Sobre la línea equipotencial

γ

Fig. 3.42. Contorno dieléctrico.

En lugar de este procedimiento es mejor mover desde B a lo largo de la línea equipotencial que pasa por B a la derecha o a la izquierda (Fig. 3.42 b). De este modo ∆l se puede aumentar o disminuir mientras la diferencia de potencial permanece constante. Si Et es demasiado grande, entonces B’ se sitúa en el lado derecho de B y sino en el izquierdo. ∆l’ se determina por:

0t

t

EE

ll

=∆

′∆ (3.148)

Donde Et0 denota el valor postulado de la componente tangencial de la intensidad de campo. Para determinar las coordenadas de B’ se necesita calcular:

γγ 222 sencos ⋅∆−′∆±⋅∆−=∆ lllB (3.149)

El siguiente punto por debajo de B’, C’, se calcula de modo análogo desde B y C y entonces se desplaza adicionalmente paralelo a BB ′ (Fig. 3.42 b).

Aquí también se usa un factor de relajación que en muchos casos tiene que ser escogido < 1.

Para aquellas partes del contorno del aislador que están próximas al electrodo y para que sea válido el efecto de empotramiento [144], no se necesita ninguna optimización del contorno, porque se sabe de este efecto que estas partes de un contorno de aislador deben ser perpendiculares al electrodo.


3.9.3 Método de Grönewald

Grönewald [52] propuso en 1983 un algoritmo para optimizar contornos de aislador de acuerdo a una distribución dada de la componente tangencial de campo en la superficie del contorno. La relación entre el campo eléctrico y la geometría del contorno dieléctrico, necesaria para la corrección del contorno del aislador, se deriva a partir de la intensidad de campo tangencial.


Los aisladores sirven en general como soporte mecánico para los electrodos de alta tensión en entornos gaseosos, permaneciendo en contacto tanto con el electrodo de alta tensión como con el plano de tierra. En este caso se habla de “dieléctricos en paralelo”, debido a que ambos dieléctricos, el sólido del aislador y el del gas circundante permanecen en contacto con los electrodos. Las descargas con esta clase de aisladores son normalmente superficiales a lo largo del contorno dieléctrico [48][58][148], aunque la descarga pueda iniciarse en un punto con una intensidad de campo elevada normal al electrodo. Para caracterizar las disposiciones de esta clase Schwaiger [116] define un cociente de descarga superficial:

Ft

FF El

V

,⋅=η

(3.150)

siendo VF la tensión de descarga superficial, l el camino de corriente de fuga mínimo, y Et,F la componente tangencial máxima de la intensidad de campo en el contorno. Desde un punto de vista teórico este cociente de descarga superficial debería ser igual a la unidad cuando el esfuerzo eléctrico llega a ser isodinámico con una caída constante de potencial.

3.9.3.2 Principio de corrección de los contornos

Para la corrección de los contornos del dieléctrico es necesario deducir a partir del cambio deseado en el campo, el cambio necesario de la geometría. Una relación entre los valores dichos la proporciona la ecuación que determina la intensidad de campo tangencial:

lllEt ∆

−≈

∆∆

−≈∂∂

−= 21 φφφφ (3.151)

Donde φ1 y φ2 son los potenciales de dos puntos sobre el contorno dieléctrico separados una distancia ∆l. Si la intensidad de campo tangencial está por encima del valor


demandado, entonces se pueden alterar la diferencia de potencial o la distancia entre los puntos de apoyo. Para este propósito se fija P1 y se varía la localización de P2.

ε1

∆s

φ1 = const

φ2 = const

ε2

∆lact

P2 t2

∆ldes

a) Desplazamiento con ∆φ = const.

∆l=const

φ = const

P2 t2

P1

φ1

γ

b) Desplazamiento con ∆l = const.

E

φ2 22 ,φ ′′P

P1

Fig. 3.43. Geometría de desplazamiento.

Singer y Grafoner [119] proponen un desplazamiento del punto P2 a lo largo de la línea equipotencial perteneciente a φ2 a la derecha o a la izquierda de la curva del contorno (Fig. 3.43 a). De este modo ∆l se puede alargar o acortar. Si Et es demasiado grande, P2 se sitúa sobre el lado derecho del contorno, sino sobre el lado izquierdo. ∆ldes se determina por:

actdest

acttdes l

EE

l ∆⋅=∆,

, (3.152)

Et, des es la intensidad de campo tangencial deseada y Et,act es la intensidad de campo tangencial actual. A partir de la ecuac. (3.152) se puede deducir el desplazamiento t2 del punto P2, y el cambio de la intensidad de campo define el signo del desplazamiento, es decir, el lado del contorno, hacia el cual los puntos son empujados.

Basándose en este algoritmo se elaboró una versión con desplazamientos simultáneos de los puntos de contorno. Para este propósito la distancia de los puntos desplazados ∆ldes se calculó en función de la distancia actual ∆lact y el desplazamiento t2 (Fig. 3.43 a):

22 tfll actdes ⋅+∆≈∆ (3.153)

O en notación de matriz para todos los puntos,

[ ] [ ]TFLL actdes ⋅+∆=∆ (3.154)


dónde [ ]F representa un factor de proporcionalidad.

Combinando esta relación geométrica con la condición eléctrica ecuac. (3.152) se consigue establecer un conjunto de ecuaciones que definen los desplazamientos necesarios:

[ ] [ ]

−⋅∆=⋅ 1

,

,

dest

acttact E

ElTF

(3.155)

Otro método de optimización se puede desarrollar a partir de la ecuación (3.151) manteniendo constante la distancia entre los puntos de contorno. El potencial del punto desplazado se escoge de tal manera que se obtenga la intensidad de campo buscada.

Las características geométricas del método se pueden observar en la Fig. 3.43 b. La diferencia de potencial ∆φ en la ecuación (3.151) es:

lE actt ∆⋅=−=∆ ,21 φφφ (3.156)

El φ ′∆ correspondiente al punto desplazado será:

lE dest ∆⋅=′−=′∆ ,21 φφφ (3.157)

Por simplicidad se ha fijado el punto P1. De este modo el cambio en la diferencia de potencial viene dado únicamente por 222 φφφφ −′=∆=′∆ . Entonces el potencial del nuevo punto 2P′ se puede expresar por:

2,1,1222 φφφφφφ ∆+∆⋅−=∆⋅−=∆+=′ lElE acttdest

(3.158)

De donde: ( )destactt EEl ,,2 −⋅∆=∆φ

(3.159)

Por otra parte la Fig. 3.43 b muestra (asumiendo un campo homogéneo en el entorno del punto P2), que el potencial 2φ ′ se puede escribir como:

sE ∆⋅−=′ 22 φφ

(3.160)

La combinación de la ecuación (3.159) con la ecuación (3.160) conduce a una expresión para el desplazamiento necesario de P2:

lE

EEs acttdest ∆⋅

−=∆ ,,

(3.161)


La suposición de que este desplazamiento es pequeño comparado con la distancia l∆ , simplifica las relaciones geométricas debido a que t2 es normal al contorno:

lE

EEst acttdest ∆⋅⋅−

=∆

≈γγ sinsin

,,2

(3.162)

El signo del término acttdest EE ,, − define la dirección del desplazamiento.

El contorno se representa por 15 a 20 puntos de contorno, en los que se toman los desplazamientos ti normales al contorno (Fig. 3.43 b). Sus módulos y sus sentidos se determinan por la ecuación (3.162) que formulada en notación matricial será:

[ ] [ ] [ ] [ ]0=∆+⋅ tETF (3.163)

con

[ ] [ ] [ ]destacttt EEE −=∆ (3.164)

3.9.4 Método de Abdel-Salam


En 1986 Abdel-Salam [2][3] presentó un método para optimizar la intensidad de campo en aisladores de alta tensión en el que se modifica un perfil de un aislador de apoyo, buscando una distribución uniforme de la intensidad de campo tangencial a lo largo de la superficie del aislador.


El algoritmo utiliza una técnica de simulación de carga modificada para conseguir un mejor ajuste de las condiciones de contorno.

La configuración utilizada se muestra en la Fig. 3.44.

Abdel Salam asume que el perfil del aislador se puede representar por una función exponencial que depende de un parámeto R según la fórmula:

( ) ( ){ }

2

2

9.005.02ln2

2

95.0,95.005.01

05.00,

RRRHzHparaRRr

HzHparaeRRrHzparaRr

HHz

−=∆≤≤∆+=

≤≤−⋅∆+=≤≤=

−

(3.165)

donde ∆R es el último valor del radio del perfil (debido al incremento exponencial del radio a lo largo de la dirección z desde z = 0.05H a z = 0.95H) según se desprende de la


Fig. 3.44. Para encontrar el parámetro R que cumpla la condición de diseño utiliza un procedimiento muy simple. Se trata de determinar para la distribución de campo correspondiente a un valor de R, si es necesario aumentar o disminuir ese valor. El criterio utilizado es que si al moverse hacia arriba en dirección del eje del aislador, aumenta el campo, entonces es preciso aumentar R y en caso contrario disminuirlo.

En la formulación de estas expresiones, se tienen que considerar algunas restricciones en los puntos de contacto del aislador con los electrodos involucrados (es decir, el electrodo de alta tensión y el plano de tierra en la configuración mostrada en la Fig. 3.44). Por ello en las expresiones (3.165) se ha tenido en cuenta [146][93] que un dieléctrico tiene que contactar con un electrodo con ángulos rectos para evitar la excesiva intensificación de campo, el llamado “efecto de empotramiento”.

R

0.05H

0.95HH

Plano de tierra

Perfil no optimizado

Exponencial crecienteen el radio del perfil

Z

∆R

L

R1

∆R

R2

RR

Fig. 3.44. Aproximación propuesta para perfil de optimización.

3.9.5 Método de Stih para optimización de electrodos y aisladores


En 1986 Stih [133] presentó un trabajo que describe un procedimiento para el diseño de sistemas de aislamiento de alta tensión que combina la aproximación clásica del cambio


de las distancias entre elementos del sistema con optimización de sus contornos mediante arcos circulares. Se aplica en este procedimiento una técnica de ecuación integral para calcular campos eléctricos con simetría axial, basado en una expansión de las densidades de carga sobre electrodos y fronteras dieléctricas mediante splines cúbicos. En esta técnica de optimización del contorno se introduce un nuevo paso: suavizado de un contorno corregido por arcos circulares. Este paso permite una descripción geométrica relativamente simple de un contorno corregido.

El objetivo del procedimiento de optimización es obtener una componente de intensidad de campo normal distribuida uniformemente sobre la superficie del electrodo y una intensidad de campo tangencial uniforme a lo largo de la superficie de un aislador.

3.9.5.2 Optimización del contorno del electrodo y del aislador

3.9.5.2.1 Descripción del método Si el punto A en el contorno de un electrodo se mueve hacia A’ en la dirección normal mientras el potencial VE del electrodo se mantiene constante (Fig. 3.45 a), la intensidad de campo AE se incrementa a AE ′ :

BAVVE

ABVVE BE

ABE

A ′−

=′<−

= (3.166)

Si el punto D en la superficie del aislador se mueve hacia D’ (Fig. 3.45 b) a lo largo de la línea equipotencial (normal a la dirección de la intensidad de campo), la componente tangencial DTE decrece hacia DTE ′ :

DCVVE

CDVVE DC

DTDC

DT ′−

=′<−

= (3.167)

a b

VBB

Electrodo

EA

VEAislador

CA

A’

nD

D’

VD

ED

Fig. 3.45. Campo eléctrico en la superficie del electrodo y del aislador.


De este modo, moviendo el contorno del electrodo en la dirección normal (o contraria) se puede influir en la intensidad de campo del electrodo. De modo similar, moviendo el contorno del aislador a lo largo de la línea equipotencial se pude influir la componente tangencial de la intensidad de campo en la superficie del aislador.

La corrección del contorno del electrodo y del aislador se representa moviendo sus puntos de contorno proporcionalmente a la diferencia entre los valores calculados y deseados de los componentes de la intensidad de campo. Las coordenadas de los puntos sobre los contornos corregidos se calculan según la siguiente ecuación:

∆+= i

i

iici b

EE

rr 1 (3.168)

Donde:

>∆−

<∆−=∆

dmm

id

dmid

i EkEsikE

EEEkEsiEE

E11

1

(3.169)

{ } NIiEEmaxE idm ,...1=−=∆ (3.170)

ir es el vector que define el punto i-ésimo sobre el contorno inicial, cir es el vector que

define el punto i-ésimo en el contorno corregido, ib es el vector unitario normal al electrodo o a la dirección de intensidad de campo en el punto i-ésimo del contorno inicial en el caso de la corrección del contorno del electrodo o del aislador, respectivamente. Ed es el valor deseado de la componente de campo eléctrico, Ei es el valor del componente de campo eléctrico en el i-ésimo punto del contorno inicial, NI es el número de puntos en que se realiza la corrección, y k1 es un factor que limita el movimiento de los puntos debido a que las expresiones (3.166) y (3.167) son sólo válidas para pequeños movimientos.

3.9.5.2.2 Técnica de optimización El siguiente paso en el proceso de optimización es una aproximación de suavizado del electrodo complejo y del contorno del aislador por arcos circulares. La aproximación se basa en el hecho de que dos arcos circulares se acoplan suavemente en el punto P si sus centros se encuentran en una línea que pasa a través de P (Fig. 3.46).


C1

C2

P

Fig. 3.46. Dos arcos circulares suavemente acoplados.

La mejor aproximación para un contorno corregido se determinan por el ajuste de la curva mediante mínimos cuadrados.

La aplicación de la corrección del contorno y la aproximación del contorno corregido por arcos circulares desemboca en un procedimiento iterativo para la optimización del contorno de electrodos y aisladores. En un primer paso se escoge un contorno inicial y se calcula la distribución de intensidad de campo sobre el contorno. Si la distribución no es bastante próxima a una uniforme, se realizan los pasos de optimización del contorno (corrección y aproximación); este proceso se repite sucesivamente. El procedimiento termina cuando la distribución de intensidad de campo se aproxima de modo satisfactorio a una distribución uniforme. Si los movimientos del contorno son demasiado grandes (k1 en (3.168) es demasiado grande) el procedimiento llega a ser inestable.

3.9.5.2.3 Suavizado de un contorno mediante arcos circulares Para la aproximación de suavizado de un conjunto de puntos dado G={Pi(xi,yi)} i=1,...NG es necesario encontrar el círculo que satisface las siguientes condiciones:

1ª.- El centro del círculo se encuentra sobre la línea: y=kgx+lg.

2ª.- El círculo pasa a través del punto dado P0(x0,y0), y

3ª.- El círculo es la mejor aproximación a los puntos dados.

El problema se ilustra en la Fig. 3.47.


R

C(xc,yc)

PNG

P2

P1

P0

Fig. 3.47. Aproximación del conjunto de puntos con un circulo.

Se requiere:

gcgc lxky += (3.171)

( ) ( ) 0220

20 =−−+− Ryyxx cc (3.172)

donde R es el radio del círculo y xc, yc son las coordenadas de su centro. Por definición el círculo que es la mejor aproximación a los puntos dados es necesario encontrar el mínimo de la función F:

( ) ( )∑=

−−+−=

NG

icici RyyxxF

1

222

(3.173)

teniendo en cuenta las condiciones (3.171) y (3.172). Para este propósito se minimiza la siguiente función G (multiplicadores de Lagrange):

( ) ( ) ( )( )220

20 RyyxxblxkyaFG ccgcgc −−+−+−−+= (3.174)

Las condiciones para el mínimo de G son:

0

0000

=∂∂

=∂∂=∂

∂=∂∂=∂

∂

bG

aG

RG

yG

xG

cc (3.175)

De estas condiciones resulta un sistema de ecuaciones para las incógnitas xc, yc, R, a, b que se puede reducir a una ecuación no lineal para xc. Esa ecuación se resuelve numéricamente. El máximo error de aproximación (dmax) se define por:

( ) ( ) NGiRyyxxmaxd cicimax ,..122 =

−−+−=

(3.176)


Si un conjunto de puntos dado T= Pi(xi,yi) i=1,...NTU se va a suavizar por medio de arcos circulares con una aproximación de error permitido dado dall, y si K subconjuntos de T :

( )0,...1

,...1,...1,

021

1

=<<<<=+== −

NNTUNTNTNTkjNTNTiyxPS

k

jjiiij

(3.177)

han sido aproximados por k arcos circulares que satisfacen la condición:

kjdd alljmax ,..1=< (3.178)

Entonces el subconjunto (k+1) de puntos y los parámetros del arco (k+1) se determinan a partir de la condición:

allmaxk dd <+1 (3.179)

Para el subconjunto (k+1), Sk+1= Pi(xi,yi) i=NTk+1,...NTk+1 se escoge el valor inicial NTk+1=NTU. Si se satisface la ecuac. (3.179) el procedimiento de aproximación finaliza. Si no entonces NTk+1 se reduce en 1 hasta que se satisface la expresión (3.179).

3.9.5.3 Aplicación al diseño del sistema aislador

Durante la aplicación del procedimiento descrito en el apartado anterior, la distribución de campo eléctrico es más próxima a la distribución de campo uniforme deseada de un paso al siguiente. De acuerdo con esto, si la intensidad de campo sobre el elemento del sistema de aislamiento no ha excedido el valor permitido no hay ninguna razón para optimizar el contorno, de este modo es necesario encontrar una geometría de sistema de aislamiento en el que la intensidad de campo máxima sobre algunos elementos del sistema excede al valor permitido, mientras que la intensidad de campo mínima está por debajo de ella. En el procedimiento aquí descrito este paso se representa por el cambio de distancias entre los elementos del sistema. En el primer paso del procedimiento se escoge una geometría de sistema de aislamiento inicial. Puesto que el diseño del sistema de aislamiento tiene que considerar no sólo las condiciones eléctricas, sino también las restricciones de otros tipos (mecánica, tecnológica, etc.) se escoge inicialmente una geometría que satisface las últimas restricciones. Después del cálculo de campo eléctrico y de la distribución de componente de intensidad de campo, se evalúa la relación entre el máximo, mínimo y valores permitidos de la componente de intensidad de campo. La continuación del procedimiento depende de esta relación. Existen dos posibles modos de continuar con el proceso:

A) Cambiar la distancia entre los elementos del sistema. Si el valor máximo de campo es más pequeño que el valor permitido, se reducen las distancias. Si el


valor de campo mínimo es más grande que el permitido, las distancias se incrementan.

B) Realizar los pasos de optimización del contorno.

El proceso termina cuando:

umin

max kEE <

(3.180)

allmaxalle EEEk << (3.181)

donde Emax y Emin son valores máximos y mínimos de la intensidad de campo, Eall es el valor permitido de la intensidad de campo, ku es el límite escogido del factor uniformidad (1 < ku < 1.1) y ke es el límite escogido de la relación de campo máxima y permitida (0.9 < ke < 1).

3.9.6 Optimización del contorno de aislador mediante una red neuronal. Método de Bhattacharya

Hasta ahora se han visto diversos métodos para la optimización de contornos de electrodos y aisladores que pueden ser considerados como técnicas clásicas. Con la ampliación en el conocimiento sobre Redes Neuronales (NN), éstas se han convertido en una herramienta para la optimización del diseño.

Mediante el uso de redes neuronales se han optimizado contornos de los electrodos en discos paralelos [25] y también en un par de configuraciones [16] electródicas toroidales.

Mukherjee et al [92] investigaron la optimización de la terminación de un bus de un sistema con aislamiento de gas (GIS) de una fase del anillo de protección de un transformador, donde se ha considerado la forma de los electrodos como cuartas partes de segmentos elípticos. En [92], se han utilizado redes neuronales para la optimización de contorno de aisladores en sistemas de dieléctrico múltiple, donde el grado de no linealidad de la distribución de campo eléctrico es mucho más alto que en el caso de configuraciones dieléctricas sencillas. Se ha experimentado en la práctica que en muchos casos es extremadamente difícil alcanzar una distribución de campo uniforme a lo largo de la superficie del aislador. Por esta razón, el objetivo que fijaron Bhattacharya et al. [17] en su trabajo no sólo era alcanzar una distribución de esfuerzo uniforme a lo largo de la superficie del aislador, sino también alcanzar una distribución de esfuerzo predefinida a lo largo de la superficie del aislador. Este objetivo se consiguió mediante entrenamiento de redes neuronales. Se estudian tres casos diferentes de optimización de


contornos de aisladores. En los tres casos, los sistemas bajo consideración son asimétricos, comprendiendo dos dieléctricos, es decir, un dieléctrico sólido y un gas.

Para la optimización de estos contornos de aisladores de soporte asimétricos se han empleado redes de realimentación multicapa y algoritmos de aprendizaje de retropropagación. En relación a la implementación de redes neuronales, las geometrías de contorno y los esfuerzos eléctricos a lo largo de la superficie de estos aisladores se toman como patrones de entrada y salida. Los patrones de entrenamiento se obtienen a través de los cálculos de campo eléctrico para contornos de aisladores predefinidos Puesto que dichos patrones de entrenamiento de la entrada/salida son conocidos para la optimización de contornos de aisladores, se usa el aprendizaje [8] supervisado para entrenamiento de redes de realimentación multicapa. Las redes de realimentación multicapa se entrenan usando dos algoritmos de aprendizaje diferentes, a saber retropropagación (BACKPROP) [110] y propagación flexible [21]. En ambos algoritmos de aprendizaje, se toma una función sigmoidal que es la función de activación de todas las neuronas excepto las de la capa de entrada. La propiedad de convergencia y la exactitud del entrenamiento es fuertemente dependiente del escalado de los datos de entrada/salida. Los datos de entrada son normalizados usando sus valores medios y desviación estándar, mientras que los datos de salida se normalizan usando sus valores máximos, como se describe en [122][106]. Se procede a la comparación de la distribución de esfuerzo deseado y la distribución de esfuerzo actual a lo largo del perfil del aislador optimizado, obtenido a partir de la salida de las redes neuronales.

Como prueba del método se tomó la misma configuración de Abdel-Salam. El método se aplicó a tres variantes de contorno de aislador, uno con forma elíptica, otro con forma rectilínea y otro con la misma función exponencial de Abdel-Salam.


3.10 Optimización de aisladores en función de la intensidad de campo total en la superficie del aislador

3.10.1 Diseño óptimo y comprobación de laboratorio de separadores de tipo poste para tres fases en cables aislados de SF6. Método de Mashikian


Mashikian et al. [79] en 1978 desarrollaron un método para el diseño optimizado de separadores de tipo poste para cables trifásicos con aislamiento de hexafluoruro de azufre.

El diseño de aisladores sólidos (separadores) requeridos para el soporte de conductores de cables trifásicos aislados con gas de hexafluoruro de azufre presenta problemas eléctricos y estructurales. Eléctricamente la principal dificultad reside en presentar una configuración de separador que minimice el fenómeno de aumento de campo que tiende a ocurrir en el gas, en el contorno del separador. Estructuralmente, el problema se refiere a la determinación de las fuerzas electrodinámicas que actúan sobre los conductores y la selección de separadores diseñados para resistir el resultado de los esfuerzos mecánicos.

El fenómeno del aumento de campo eléctrico en el contorno separador/gas ha sido estudiado y existen métodos que sugieren reducir su magnitud [29][27] o evaluar experimentalmente su efecto [134]. No se ha presentado una aproximación sistemática al diseño del mínimo tamaño (óptimo) del separador capaz de satisfacer requerimientos de fabricación eléctricos y estructurales. El objeto de este trabajo fue describir un método aplicado al diseño de separadores de tipo poste.

3.10.1.2 Suposiciones de la filosofía de optimización

El cable trifásico bajo consideración se ilustra en la Fig. 3.48. Consiste en tres conductores equidistantes encerrados en una cubierta conductora y soportados, en intervalos regulares, por separadores sólidos de tipo poste. Estos pueden ser moldeados alrededor de los conductores o sujetos por medio de piezas metálicas. El tamaño relativo y la posición de los conductores que producen el esfuerzo eléctrico máximo más bajo se ha especificado previamente [136].


WA

CONDUCTORGAS SF6

SEPARADOR

C B

A

WC WB CUBIERTAEXTERIOR

Fig. 3.48. Separadores De tipo poste usados cable aislado SF6 de 3 fases.

Aquí se define un separador óptimo como el que tiene el volumen mínimo de material, que posibilita cumplir con su función estructural sin afectar la integridad eléctrica del sistema del cable. Se realizan las siguientes suposiciones:

a.- El procedimiento de optimización se realiza en un plano radial, lo que implica una invarianza axial. Para un sistema que varía a lo largo del eje, el mismo procedimiento se puede aplicar a cualquier plano en el que la intensidad de campo eléctrico se determina por análisis tridimensional [89].

b.- El cable está libre de partículas que pueden alterar drásticamente el mecanismo de ruptura del dieléctrico en el gas.

c.- El diseño del sistema del cable es tal que no se induce en los separadores ningún esfuerzo mecánico significativo como resultado de la expansión térmica del conductor.

3.10.1.3 Restricciones estructurales

Un separador debería de ser diseñado estructuralmente para resistir el esfuerzo mecánico inducido en él durante todas las condiciones de operación. Además del peso del conductor W (Fig. 3.48), cada separador está sujeto a fuerzas electrodinámicas causadas por el conductor y las corrientes de la cubierta exterior.

En operación normal, los esfuerzos alternos (100-120 Hz) en un separador pueden ser causa de un fallo inducido por la fatiga.

Durante los cortocircuitos, se preveen esfuerzos mayores. Se examinaron las siguientes 4 condiciones de fallo: tres fases simétricas, dos fases, dos fases a tierra, una única fase a tierra.

Con estas consideraciones, los perfiles mínimos de un separador, diseñado estructuralmente para una de las condiciones de fallo, se muestran en la Fig. 3.49. Estos


son seleccionados para que el esfuerzo máximo en cualquier sección sea igual. Para los casos considerados, las fuerzas electrodinámicas producidas en un fallo trifásico dictarían las dimensiones del corte transversal mínimas de un separador.

FALLO 2 FASES

FALLO 3 FASESFALLO 2 FASES A TIERRA

FALLO 1 FASES A TIERRA

Fig. 3.49. Perfiles de separador mínimo requerido estructuralmente correspondientes a diferentes

condiciones de fallo.

3.10.1.4 Consideraciones eléctricas

Son posibles dos modos de fallos eléctricos:

a. Ruptura del material separador, normalmente iniciado por descargas parciales.

b. Ruptura del gas en el contorno del separador por ionización y formación de serpentina.

Para excluir la ruptura eléctrica a través de un separador, tal como el realizado con relleno de epoxy, la tensión de descarga parcial debería ser más alta que la máxima tensión de operación en todas las condiciones de servicio. Esta se escoge por exclusión de huecos e impurezas del separador controlando su diseño para que el esfuerzo eléctrico máximo no exceda de 4.5 kV/mm. Este esfuerzo es significativamente más bajo que el campo de ruptura de los compuestos de epoxy usados (20 kV/mm) y está en el rango de los esfuerzos encontrados en sistemas de conductores aislados SF6. Sin embargo este nivel de esfuerzo de ningún modo representa una figura de diseño máxima firme, y se puede exceder si los separadores epoxy moldeados se pueden producir de modo consistente libres de huecos e impurezas. La optimización del separador (reducción al mínimo valor) ayudará a alcanzar esta condición.

La ruptura del dieléctrico que ocurre en el gas, en el contorno del separador, es generalmente la más difícil de prevenir, y también de encontrar el criterio de optimización. Cuando la intensidad del campo eléctrico en el gas SF6 excede un valor


crítico Ec, ocurren dos fenómenos: un fenómeno de ionización, caracterizado por un coeficiente α, que tiende a multiplicar el número de electrones; y un fenómeno de rejuntamiento de electrones, caracterizado por un coeficiente η, que tiende a impedir el progreso de la ionización. El número neto de electrones libres se obtiene a partir de la siguiente expresión [20][70]:

( ) ( ) dSEEdSNCC S

CS

∫∫ −=−=00

27ln ηα (3.182)

donde s es la trayectoria lineal de los electrones en cm y Sc es la distancia por encima de la cual la intensidad de campo eléctrico E es menor que el valor crítico Ec (89 kV/cm en 1 atmósfera absoluta). Se forma una serpentina si N = Nc = 108 electrones. Los cálculos para una presión de gas de 2 atmósferas muestran que, cuando E > Ec, se formaría una serpentina dentro de una distancia s menor que 0.1 cm. Esto equivale a asumir que la ruptura de un dieléctrico ocurriría en cualquier parte del gas donde la intensidad de campo excede a Ec. En el diseño de un separador de cable, la intensidad de campo eléctrico en la interfaz separador/gas estaría controlada para que sea igual o menor que la que prevalece en cualquier punto fuera del separador. Puesto que la intensidad de campo máxima en un cable ocurre en la superficie de un conductor, la intensidad en la interfaz separador/gas estaría por debajo de este valor.

La magnitud de la intensidad de campo eléctrico E2 en el lado del gas del contorno del separador (Fig. 3.50) está relacionada con la del lado del dieléctrico del sólido E1 por las siguientes relaciones:

12 MEE = (3.183)

( ) α222 cos1−−= kkM (3.184)

Donde k es la permitividad relativa del material separador y α es el ángulo que el vector campo eléctrico E1 forma con el contorno separador. El factor M es el factor de aumento del campo eléctrico. Si E1 es conocido, se puede determinar el valor de M de modo que E2 ≤ Ec. M es uno para α = 0 0 y máximo (igual a k) para α = 90 0. De ahí, que el mayor valor permisible del ángulo α se puede obtener de la ecuación (3.184). Así, se puede determinar el perfil del separador que cumple las restricciones eléctricas, es decir, E2 ≤ Ec.


SÓLIDO DIELÉCTRICO

2EE1 cos α= E2 cos β E1 k sen α= E2 sen β

β

GAS SF6

1E

α

Fig. 3.50. Aumento del esfuerzo eléctrico en el gas en el contorno del separador.

3.10.1.5 Algoritmo de optimización

Las restricciones eléctricas requieren la determinación del campo eléctrico dentro del cable. Bajo las condiciones de tres fases equilibradas, cuando la tensión de un conductor es +1.0 p.u., las tensiones de los otros dos conductores son –0.5 p.u. y el soporte del separador del primer conductor está sometido al gradiente eléctrico más alto [143]. A continuación se explica el algoritmo de optimización utilizado para este separador en particular.

Se determina la intensidad de campo eléctrico para un sistema de cable sin separadores, y el máximo valor que ocurre en la superficie del conductor se denota como Em. A continuación se dibuja el perfil de separador mínimo obtenido de las consideraciones estructurales (Fig. 3.51 a) y su intersección A con el conductor se selecciona como punto de inicio para el perfil de optimización. El gradiente crítico Ec se fija como f Em donde f es un coeficiente positivo arbitrario igual o menor que la unidad. Se empieza en el punto A, dándole al coeficiente f su valor más bajo (0.7), y se determina el ángulo máximo disponible entre la línea de flujo eléctrico y el contorno del separador de la siguiente manera:

Sea Eg la magnitud del campo eléctrico en el lado del gas del contorno del separador y ES el correspondiente valor dentro del material dieléctrico separador. Estos están relacionados por:

Sg MEE = (3.185)

donde M es un factor de multiplicación de esfuerzo dado por:

αεε

εε 2

22

cos1

−

−

=

g

S

g

SM (3.186)


En esta expresión, εS y εg son las permitividades del separador y gas, respectivamente.

Para el valor calculado del campo en el separador ES y el máximo valor del campo eléctrico admisible en el gas Ec el valor del coeficiente M es:

S

c

EE

M = (3.187)

Y se despeja el valor correspondiente de α en la ecuación (3.186):

21

1

arccos 2

22

−

−

=

g

S

g

S M

a

εε

εε

(3.188)

La dirección del contorno se escoge entonces de manera que forme un ángulo α con la dirección de la intensidad de campo calculada. Si el campo en A es demasiado alto (mayor que Ec), se utiliza como punto de inicio el punto siguiente A1 sobre el contorno del conductor. El proceso descrito se continúa hasta que el perfil modificado se junta con el perfil mínimo. El área bajo el perfil seleccionado se considera ahora rellenada con el material del separador, la distribución de campo eléctrico se recalcula y se repite el mismo procedimiento.

Puede ser necesario repetir este proceso varias veces, dando al factor f valores cada vez mayores de forma gradual, hasta que se alcance el valor más grande deseado. Los perfiles obtenidos por sucesivos valores se ilustran en la Fig. 3.51 b. La selección de valores crecientes gradualmente para f permite que el perfil de cada iteración se encuentre en el interior del perfil determinado por la iteración anterior.


PERFIL MÍNIMO

D

CONDUCTOR

PERFIL MÍNIMO

S4

S1S3

S2

b).- Perfiles correspondientes a las sucesivas iteraciones.

CONDUCTOR

j=1

2

3

4

5k=1

35

4 2

E

C B

A1

A

a).- Determinación del perfil mínimo.

Fig. 3.51. Algoritmo de optimización del separador.

3.10.2 Método de T. Misaki y H. Tsuboi


En 1982 Misaki presentó un método para optimizar aisladores basado en un método de cargas superficiales mejorado para el cálculo de distribuciones de campo eléctricas tridimensionales [87].

3.10.2.1.1 Descripción del método El objetivo de la optimización es la reducción del máximo del módulo de la intensidad de campo. La modificación del contorno se lleva a cabo para actuar, bien sobre la componente tangencial, bien sobre la componente normal de la intensidad de campo. En la Fig. 3.52 (a) si el punto B se mueve hacia B’ mientras el potencial de la superficie del aislador se mantiene constante, la intensidad de campo tangencial, tE , decrece a tE ′ , y

entonces:


tabab

t EAB

VVBAVV

E =−

<′

−=′ (3.189)

fn

VcC

En

D

En

D’

Vd

b)

B

Vb

n

AEt

ft

Va

a)

tE ′B’

n

Fig. 3.52. Campo eléctrico y esfuerzo de Maxwell en la superficie del aislador.

En la Fig. 3.52 (b) cuando se mueve el punto D al punto D’ mientras el potencial de la superficie del aislador se mantiene constante, la intensidad de campo normal, nE ,

decrece a nE ′ , y entonces:

ncdcd

n EDC

VVDC

VVE =

−<

′

−=′ (3.190)

Según esto, al mover el contorno del aislador en la dirección del vector normal, la componente tangencial disminuye si las líneas equipotenciales son perpendiculares al contorno del aislador, mientras que moviéndolo en dirección contraria es la componente normal la que disminuye cuando las líneas equipotenciales son paralelas al contorno del aislador. A través de la componente normal y tangencial se influye en el módulo de la intensidad de campo. Para reducir el módulo de la intensidad de campo sería necesario un desplazamiento positivo cuando la intensidad de campo en la superficie del aislador es tangencial y negativo cuando la intensidad de campo en la superficie del aislador es normal. Esto se puede conseguir automáticamente haciendo el desplazamiento proporcional al esfuerzo de Maxwell normal a la superficie, considerando uno de los lados, que viene dado por:

22

21

21

tn EEf εε −= (3.191)

El vector de corrección iCr

en cualquier punto de la superficie del aislador es:

nnkfCivrr

−= (3.192)

Donde nr es el vector normal en la superficie del aislador y k es un parámetro de

corrección.


3.10.2.1.2 Aplicaciones de técnicas de optimización de funciones no lineales Para la determinación de los parámetros de modificación de los contornos H. Tsuboi y T. Misaki aplicaron posteriormente [138] técnicas de optimización no lineales según se describe a continuación.

Se define una función objetivo W como:

( ) [ ] [ ] 01

2

1

20 iii

L

i

Ti

L

iii EEwdondewwwEEW −===−= ∑∑

==

(3.193)

Donde Ei y Eio son las intensidades de campo eléctrico deseado y la intensidad de campo eléctrico calculado en el nodo i, respectivamente, y L es el número de nodos en los que se desea fijar la intensidad de campo eléctrico.

Los nodos sobre el electrodo o aislador que va a ser optimizado se mueven sólo en la dirección del vector normal para reducir el número de variables de diseño. El vector de variables de diseño consiste en el desplazamiento de los nodos y viene dado por:

[ ] [ ]TMj xxxxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 21 (3.194)

donde xj es el desplazamiento del nodo j en la dirección normal y M es el número de los nodos que van a ser modificados.

El vector de variables de diseño, [x], se determina para que la función objetivo se minimice. La solución aproximada de [x] en el k-ésimo paso del proceso iterativo viene dada por:

[ ] [ ] [ ]kkkk dxx α+=+1 (3.195)

donde [d]k es el vector de la dirección de búsqueda en el espacio de las variables [x] y αk es el coeficiente que va a ser determinado por el método de búsqueda lineal.

[d]k viene dado del siguiente modo:

[ ] [ ]( ) ( )NewtonGaussdeMétodowGd kkk −∇−=−1

(3.196)

[ ] [ ] ( )NewtonCuasideMétodowHd kkk −∇−= (3.197)

[ ] [ ]( )

( )( )ConjugadoGradientedelMétodo

ww

wwdwd

kTk

kTk

kkk

∇∇

∇∇

+−∇=−−

−

11

1

(3.198)

[ ] ( )PendienteMáximaladeMétodowd kk −∇= (3.199)


Donde

[ ] [ ]wJw T2=∇

[ ] [ ] [ ]JJG T2=

[H] es la matriz Hessiana y [J] la matriz Jacobiana.

Usando la ecuación (3.194), [J] se puede escribir como:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂

=

∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂

=MM xE

xE

xE

xw

xw

xwJ

2121

(3.200)

El vector campo eléctrico [E] viene dado por:

[ ] [ ][ ]σFE = (3.201)

Donde [F] es una matriz de coeficientes. La ecuación resultante de aplicar el método de cargas superficiales se puede escribir como:

[ ][ ] [ ]vC =σ (3.202)

Utilizando las ecuaciones (3.202) y (3.201), se puede obtener:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]σ

∂∂

−∂∂

=∂∂ −

jjj xCCF

xF

xE 1

(3.203)

La optimización se realiza automáticamente por medio de un programa que tiene dos partes. Una se utiliza para determinar la dirección de búsqueda, y otra se usa para determinar el vector de variable de diseño y modificar los contornos del electrodo y aislador. Se realizan iteraciones hasta que la función objetivo alcanza un valor mínimo.

3.10.3 Estructura mejorada para evitar intensificación de campo local en separadores de gas SF6. Método de Itaka

En 1983 K. Itaka et al. [59] presentaron un trabajo de investigación sobre los problemas concernientes a la intensificación de campo eléctrico local en un separador cónico ajustado entre bridas en aparatos aislados con gas SF6. Las estructuras convencionales, en las que superficies planas del separador están en contacto con esquinas redondeadas de la brida, algunas veces causan descargas superficiales en tensiones considerablemente bajas a causa de intensificación de campo local. Estas descargas superficiales son debidas a dos causas. El separador hace contacto con la brida en la interfaz entre una superficie redondeada y una superficie plana en la que se ha incrementado el esfuerzo eléctrico. Además la región del gas en la vecindad de la interfaz brida-separador llega a ser como una cuña a causa de la esquina redondeada de


la brida. Se realizaron algunos intentos de reducir la intensidad de campo local como la reducción de la constante dieléctrica, la reducción del diámetro del electrodo interior y la reducción de la anchura o profundidad del separador entre bridas, no produciendo ninguna de estas tentativas reducciones sustanciales.

A pesar de que este trabajo no representa un proceso de optimización de contornos propiamente dicho su interés radica en que se propuso una estructura mejorada. El tamaño de la superficie del separador y la posición del contacto se cambian ligeramente para evitar la intensificación de campo local cerca de la interfaz separador-brida sin usar piezas metálicas. La estructura mejorada es la siguiente:

1ª. El separador hace contacto con la brida en el punto Q donde el esfuerzo eléctrico se reduce comparándolo con el esfuerzo en el punto P (M: máximo esfuerzo eléctrico).

2ª. El ángulo recto entre el separador y la brida evita la singularidad del campo.

sr w

Q

M

d

a

Pl

g

SEPARADOR

CUBIERTA

Fig. 3.53. Estructura mejorada para la reducción de intensificación da campo local.

Los resultados del esfuerzo eléctrico en función de las diferentes formas de la brida se presentan en la siguiente figura.


ag = 0 mmr = 3 mm.

g = 2.5 mmr = 2.5 mm.s = 3 mm

aESFUERZO ELÉCTRICO RELATIVO.

w = 25 mm.d = 20 mm.

a [mm]5 10 2015 25

0.5

1.5

1.0

g = 0 mmr = 8 mm.

a

INTERFAZ SEPARADOR-ELECTRODO

Fig. 3.54. Diseño de la interfaz separador-brida y distribuciones de campo.

3.10.4 Método de Tokumasu


En 1984 Tokumasu [137] presentó un método para el diseño de optimización de electrodos y aisladores. El cálculo de campo se realiza mediante el método de elementos de contorno. Se plantean dos posibles objetivos de optimización. El primero es reducir la intensidad de campo por debajo de un valor máximo permitido. El segundo, obtener una distribución de campo uniforme.

3.10.4.2 Método de optimización

Se plantea un problema de mínimos cuadrados, en el que se minimiza la función W dada por:

( ) ( ){ } minWN

jiji →= ∑

=

2

1

αεα (3.204)

donde αi son parámetros que especifican la geometría y εj son funciones que miden la desviación entre los campos calculados y los pretendidos.


La geometría de electrodos y aisladores se caracteriza por puntos nodales en los contornos. Los parámetros αi se pueden elegir como desplazamientos de los puntos nodales respecto de las posiciones de ensayo.

3.10.4.2.1 Reducción de la intensidad de campo por debajo de un valor máximo

La geometría inicial viene dada como la aproximación 0-ésima y para ella se calculan las intensidades de campo en los puntos nodales de los contornos. Se definen dos regiones: una región de estimación de campo con M puntos nodales y una región de modificación de la geometría, incluida en la anterior, con N puntos nodales (Fig. 3.55). Dentro de la región de modificación de la geometría, y una vez realizado el cálculo del campo, se determinan L puntos (de m1...a mL) en el que el campo calculado es mayor que el permitido:

( ) Ljij mjmparaEE ≤≤> 100 ˆα (3.205)

donde 0iα son los parámetros correspondientes a la geometría inicial, (son iguales a cero

al comenzar el problema), y 0jE y jE son las intensidades de campo calculadas y

permitidas respectivamente.

mL

Región de estimación de campo

Región de modificaciónde geometría.

E: campo eléctrico.

E : campo eléctrico permitido.

m1

Fig. 3.55. Región sujeta a la optimización y región para monitorización.

En una primera iteración se modifican los iα según:

iii ααα ∆+= 01 (3.206)

Las funciones de error para las desviaciones de las intensidades de campo respecto de las permitividades se definen para el contorno modificado como:


jjj

jjjjj

EEsiEEsiEEˆ0

ˆˆ1

11

≤=

>−=

εε

(3.207)

Pero, como aún no están calculadas las 1jE , se utiliza como valor de referencia para las

funciones de error, el valor previo de las intensidades de campo según:

jjj

jjjjj

EEsiEEsiEEˆ0

ˆˆ0

01

≤=

>−=

εε

(3.208)

Y la función objetivo W se define como:

( ) ( )∑∑==

==Lm

mjj

M

jjW

1

2

1

2 εε (3.209)

Sustituyendo la (3.208) en la (3.209) resulta:

( ) ( )∑=

−=∆Lm

mjjji EEW

1

21 ˆα (3.210)

1jE se expresa entonces como función de los parámetros de optimización:

∑=

∆+=∆+=N

iijijjjj HEEEE

1

001 α (3.211)

La ecuación (3.210) se transforma entonces en:

( ) ∑ ∑= =

∆+−=∆

Lm

mj

N

iijijji HEEW

1

2

1

0 ˆ αα (3.212)

Derivando respecto a los iα e igualando a cero se obtienen las condiciones de mínimo:

( )NkNi

conHEEHLm

mj

N

kkjkjjji ≤≤

≤≤=

∆+−∑ ∑= =

11

0ˆ

1 1

0 α (3.213)

Esta ecuación tiene el inconveniente de que no se impone ninguna restricción en la intensidad de campo en los puntos en que esta se encuentra por debajo del límite marcado antes de modificar el contorno. Esto podría llevar a que, en el contorno modificado, la intensidad de campo en esos puntos se elevara por encima del valor permitido. Para evitar esto se pueden definir las funciones error como:

jjjjj EEsiEE ˆˆ 01 >−=ε (3.214)

jjjjj EEsiEE ˆˆ 001 ≤−=ε (3.215)


Lo que equivale a mantener constante la intensidad de campo en los puntos comentados. Pero esta condición puede ser demasiado restrictiva, pues en puntos donde la intensidad de campo esté muy por debajo del valor máximo admisible, bien se podría permitir un aumento de la intensidad de campo. Esto se puede conseguir definiendo unos pesos en las funciones de error dados por:

jjj

jj

jjj

EEsiE

E

EEsi

ˆˆ

ˆ1

040

0

≤

=

>=

µ

µ

(3.216)

Redefiniendo la función de error como:

( ) ∑ ∑= =

∆+=∆

M

j

N

iijijji HPW

1

2

1

2 αµα (3.217)

donde:

jjj

jjjjj

EEsiPEEsiEEPˆ0

ˆˆ0

00

≤=

>−=

(3.218)

Y las nuevas ecuaciones de minimización resultan:

NkNi

HPHM

j

N

kkjkjjij ≤≤

≤≤=

∆+∑ ∑= =

11

01 1

2 αµ (3.219)

Este proceso se repite iterativamente hasta que se cumplan las condiciones de optimización. Si el proceso no converge es preciso determinar de nuevo los Hji en función de la solución final.

3.10.4.2.2 Obtención de una distribución uniforme de intensidad de campo Como la intensidad de campo objetivo es desconocida se define como intensidad de campo objetivo el valor medio en la región de estimación de campo.

MEEM

jjm

= ∑

=1

0

(3.220)

Las funciones de error se definen como:

mjj EE −= 1ε (3.221)

Y la función objetivo es ahora:

( ) ∑ ∑= =

∆+−=∆

M

j

N

iijimji HEEW

1

2

1

0 αα (3.222)


Y las condiciones de minimización son:

NkNi

HEEHM

j

N

kkjkmjji ≤≤

≤≤=

∆+−∑ ∑= = 1

10

1 1

0 α (3.223)

Esta ecuación se resuelve para ∆αi. Por iteración de este proceso se alcanza la distribución de campo optimizado.

3.10.5 Método de Andjelic


En 1988, Z. Andjelic, B. Krastajic y S. Milojkovic [11] presentaron un procedimiento para el cálculo de la forma óptima de electrodos y dieléctricos basado en el concepto de superficies virtuales. El cálculo del campo se realiza con el método de los elementos de contorno.

El objetivo de la optimización es obtener una distribución dada de presión electrostática, sobre una superficie, según [12]:

( )

+−= 2

221

2221

121

nt DEpεε

εε (3.224)

222

222

2

22

21

21

21 EE

Dp n

n εεε

=== (3.225)

La primera expresión se utiliza para las interfaces de contorno entre 2 dieléctricos, mientras la segunda se usa para las interfaces de los contornos entre conductores y dieléctricos.

3.10.5.2 Utilización de las superficies virtuales

Para simplificar los cálculos y reducir el tiempo de cálculo se sustituyen las partes no sometidas a optimización por una superficie virtual.

El procedimiento donde la influencia de una parte del sistema complejo se reemplaza por la influencia de una superficie virtual, se ilustra en el siguiente ejemplo.

Se considera un sistema complejo como el mostrado en la siguiente Fig. 3.56. Sea la superficie S0, cuya forma óptima se quiere encontrar, y N0 nodos principales. Se señalan las otras superficies Sa, Sb, Sc,..,Sn como S1, y con N1 nodos principales en ellas. Esto significa que cuando se resuelva el sistema completo, se debería formar una matriz [A], con las dimensiones (N0 +N1, N0 + N1).


S0

S2 Sa

Sb

Sn

S1

Q0

Q20 Q21

V0

Q1

Fig. 3.56. Superficies arbitrarias S2 alrededor de la superficie S0 que va a ser optimizada.

Alrededor de la superficie S0 , se cierra dicha superficie con una superficie arbitraria S2 en la que se toman N2 nudos. Las matrices [V0] y [V1] son los potenciales conocidos de las superficies S0 y S1, respectivamente. Se toman los potenciales en los nodos principales N2 de la superficie virtual S2 para que sean los valores de la matriz [V2].

Entonces para el espacio entre S1 y S2 se puede escribir:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]12112111 VQAQA =+ (3.226)

[ ][ ] [ ][ ] [ ]22122121 VQAQA =+ (3.227)

Mientras para el espacio entre S0 y S2 se pueden usar las siguientes ecuaciones:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]02002000 VQAQA =+ (3.228)

[ ][ ] [ ][ ] [ ]22022020 VQAQA =+ (3.229)

En las ecuaciones previas, las matrices [A11] y [A22] y [A00] representan las partes de la matriz de coeficientes [A] del sistema global completo que se refieren a los nodos N1, N2 y N0 de las superficies S1, S2 y S0 respectivamente, y son el resultado de las cargas de los elementos de contorno de estas superficies. De este modo, [A11] representa las influencias de las cargas superficiales de la superficie S1 sobre sus propios nodos N1.

Por otra parte, los potenciales desconocidos de los nodos N2 de la superficie virtual S2 se determinan a partir de la ecuación:


[ ][ ] [ ][ ] [ ]2020121 VQAQA =+ (3.230)

Las ecuaciones (3.226) a (3.230) representan un sistema de ecuaciones bien definido con las incógnitas [Q21], [Q20], [Q1], [Q0] y [V2]. El objetivo es reducir este sistema de 5 ecuaciones a un sistema de 2 ecuaciones matriciales con las incógnitas [Q0] y [Q20]. Por eliminación de la [Q21], [Q1] y [V2], se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1

111212022020

12212

11121

02002000

VAAQAQAAAAAVQAQA

−−− =+=+ (3.231)

Es decir:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]22022020

02002000

VQAQAVQAQA

′=+′=+ (3.232)

donde:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]20201

22121

112120 ABAAAAAA ==′ −− (3.233)

[ ] [ ] [ ] [ ]11

11212 VAAV −=′ (3.234)

Este sistema de ecuaciones tiene una matriz de dimensión (N0 + N2, N0 + N2), que es mucho menor que la dimensión matricial del sistema inicial.

Las cargas reducidas [Q20] y [Q21] de las fuentes secundarias de la superficie virtual se pueden tratar como una capa de cargas simple, teniendo en cuenta la continuidad del potencial sobre la superficie S2, es decir de las ecuaciones (3.227) y (3.230):

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]2020121

22122121

VQAQAVQAQA

=+=+ (3.235)

De donde:

[ ][ ] [ ][ ]0202122 QAQA = (3.236)

3.10.5.3 Optimización de los contornos

Se asume que se quiere optimizar la interfaz de contorno entre 2 superficies dieléctricas con las constantes dieléctricas ε1 y ε2. (Fig. 3.57). Después de realizar el cálculo del esfuerzo eléctrico en todos los puntos (de acuerdo a la relación (3.224)) sobre la superficie de contorno que es objeto de la optimización, se define el “valor referente” de la presión de Maxwell. El principal objetivo de la optimización es reducir el valor más alto del esfuerzo eléctrico por debajo del valor de referencia. El criterio establecido de este modo, se denomina criterio de optimización local.


nr

nr

ipr

nr

1pr2pr

3pr

nr

icr∆

ipripr∆

nr

1

2

3iε2 ε1

ε1

I(x2, y2, z2)

I(x1, y1, z1)

i

a) b)

ε2

Fig. 3.57. a) La dirección del vector presión y el vector normal nr a lo largo de la interfaz de contorno entre los diferentes medios b) Movimiento virtual de la superficie.

Asumiendo que ε2 > ε1. Entonces:

refii ppp −=∆ (3.237)

El vector ipr∆ está en la dirección del vector normal inr (Fig. 3.57 b), lo que significa

que se reduce el valor absoluto del vector ipr .

( ) kpjpipInpp zyxiii

rrrrr∆+∆+∆=⋅∆=∆ 0 (3.238)

El vector de corrección icr∆ es entonces:

kcpjcpicpc iziyixi

rrrr∆+∆+∆=∆ (3.239)

donde ci es un factor de corrección.

Teniendo en consideración que el vector icr∆ se define como:

( ) ( ) ( )kzzjyyixxci

rrrr121212 −+−+−=∆ (3.240)

Las relaciones (3.239) y (3.240) nos dan:

iziyix cpzzcpyycpxx ∆−=∆−=∆−= 121212 (3.241)

donde (x2, y2, z2) son las nuevas coordenadas.


Para ε2 < ε1, en un modo similar se obtiene:

iziyix cpzzcpyycpxx ∆+=∆+=∆+= 121212 (3.242)

Moviendo la superficie de contorno de este modo, paso a paso, se disminuye el esfuerzo eléctrico mayor hasta que su valor se sitúe por debajo del valor permitido (valor de referencia ∆).

∆≤−

ref

refi

ppp

(3.243)

Este “criterio local “de movimiento de los puntos, a menudo da un efecto de oscilación no deseado. En estos caso, es beneficioso introducir un criterio más estricto que permite el incremento del esfuerzo eléctrico en los puntos que no son críticos, para la reducción del esfuerzo eléctrico en los puntos críticos.

El criterio de optimización local es aplicable cuando se optimiza un sistema de una estructura simétrica o de modo separado un cuerpo distinguido, donde se asume una disminución de la presión electrostática en cada punto. En estructuras asimétricas, el uso del criterio local conduce a la oscilación del procedimiento de optimización.

Para superar esta dificultad, se introduce un criterio más fuerte, denominado criterio maestro. Este criterio fuerza al movimiento de la superficie en una dirección que permite un incremento en la presión electrostática en algunos puntos de la superficie, para disminuir la presión en los puntos críticos. Para explicar esto, se asume que se dispone una distribución de la presión como se muestra en la Fig. 3.58, línea a.

Presión Valor medio

c

b

a

Puntos críticos

7 10 121 2 3 4 5 6 8 9 11 13 14 Indice de Punto

Fig. 3.58. La distribución de los valores de presión durante las iteraciones de optimización.


La primera etapa en este procedimiento es el “ensayo del salto” por medio de la cual la decisión se toma sobre la dirección donde se mueve la superficie para reducir la presión en el punto crítico ( o puntos críticos). Se examinan tres casos:

El siguiente salto de ensayo, las presiones en todos los puntos disminuyen,

El siguiente paso, las presiones en todos los puntos aumentan,

En algunos puntos la presión disminuye, mientras en otros aumenta.

Está claro que la aplicación del criterio local es posible solamente en el primer caso, mientras en los otros dos pueden aparecer las oscilaciones.

Aplicando el criterio maestro, se continúa moviendo la superficie en algunos puntos en la dirección que proporciona el incremento de la presión en aquellos puntos para disminuir la presión en puntos críticos.

El procedimiento se repite hasta que las presiones en los puntos críticos toman valores más pequeños que aquellos asignados previamente, línea b de la Fig. 3.58, o hasta que la presión en otros puntos alcanza valores críticos, línea c en la misma figura.

3.10.6 Método de Däumling


En 1988-1989 Däumling y Singer [120][32] presentaron un método para optimización de contornos de aisladores de acuerdo con una distribución de campo dada a lo largo de sus superficies. El cálculo de campo se realiza por medio del método de cargas superficiales. En el trabajo se estudia la influencia del material aislante en los contornos calculados.

Desde el punto de vista de criterios de optimización, Däumling investigó tres criterios:

- Optimización respecto a la intensidad de campo tangencial Etan.

- Optimización respecto al módulo de la intensidad de campo Etot [31] con:

22nortantot EEE +=

(3.244)

- Optimización respecto a la presión electrostática.

Däumling investigó también hasta qué punto una capa superficial conductora, es decir, una capa de polvo o un baño de agua, como la que existe en muchos casos en la realidad, cambia la distribución de campo y tiene que ser considerada para el proceso de optimización.


3.10.6.2 Descripción del Método

El proceso de optimización se representa en el diagrama de flujo en la Fig. 3.59.

Cálculo de la distribución decampo E en la zona a

optimizar

Solución del sistema deecuaciones

Comienzo

Entrada de datos

Definición de contornos.

Composición de la matriz.

Corrección del contorno delaislador.

FinSÍ

¿Se ha obtenido la distribución decampo deseada?

NO

Fig. 3.59. Diagrama de flujo del proceso de optimización.

Los puntos triples electrodo/dieléctrico/aire (Fig. 3.60) son tratados especialmente, en ellos el ángulo entre el electrodo y el contorno del aislador tiene que ser 90º [146] si se quiere evitar una singularidad de la intensidad de campo. De ahí que este ángulo no se pueda cambiar en el proceso de optimización. Todos los demás puntos de contorno pueden ser desplazados de acuerdo con los criterios de optimización.


φ=0r

Electrodoφ = U

α

l

tPuntotriple

Materialdieléctrico

(ε0.εr)

Aire (ε0)

z

Fig. 3.60. Disposición del aislador fundamental.

3.10.6.2.1 Optimización respecto de la intensidad de campo tangencial Däumling parte de los métodos de Singer y Grönewald [119][52]. En el caso del método de Gronewäld el objetivo era conseguir un contorno isodinámico en el que el factor de campo fuese igual a la unidad, para obtener una distribución uniforme de la intensidad de campo tangencial:

lUEtan = (3.245)

Para conseguir esta condición Däumling utilizó un método alternativo. Asume que al desplazar el contorno, el módulo de la intensidad de campo permanece constante. El cambio en la intensidad de campo tangencial Etan se obtiene modificando el ángulo α de la tangente al contorno con la intensidad de campo:

,cosα⋅= tottan EE (3.246)

Para ello se supone el contorno definido por arcos circulares. Cada arco está determinado por la posición de tres puntos consecutivos del contorno. Para modificar el ángulo en el punto i, αi, se desplaza el punto i+1 (Fig. 3.61)


αiPi

Pi+1

α’i

Pi-1

∆αi

Er

P’i+1

Etan

dirección de itanE ′

itanER ′=

Fig. 3.61. Variación del ángulo de contorno αi por desplazamiento del punto de contorno i+1.

La intensidad de campo objetivo itanE ′ y la intensidad de campo E

rdeterminan un nuevo

valor para el ángulo del contorno con Er

, iα ′ .

itot

tan

itot

taniii E

EEE

−

′=−′=∆ arccosarccosααα

(3.247)

Se puede obtener un nuevo ángulo iα ′ en un punto de contorno i considerando la nueva posición del siguiente punto de contorno i+1 (Fig. 3.61), debido a que el contorno se simula por un arco circular determinado por tres puntos de contorno sucesivos. Este procedimiento se denomina método de campo.

Däumling considera también otro modo de optimizar contornos mediante un método de ensayo y error que se basa en la variación de los ángulos de los puntos de contorno (Fig. 3.62). En este algoritmo se desplaza el punto de contorno i + 1 en cada paso de iteración una distancia predeterminada ∆ni+1 que viene dada por:

( )iii tanln α∆⋅=∆ +1 (3.248)

donde li es la distancia de Pi a Pi+1, e ∆αi es ahora un valor fijado de antemano. (Däumling considera un valor ∆αi = 1º como adecuado).


αi

∆ni+1

Pi

Pi+1

α’i

Pi-1

P’i+1

∆αi

Fig. 3.62. Método de ensayo y error.

Däumling realiza una comparación de ambos métodos y obtiene que el método de campo es superior al método de ensayo y error, en lo que concierne al número de iteraciones necesarias para conseguir una desviación mínima (por ejemplo del 2%) respecto de la distribución de campo deseada de Etan a lo largo del contorno del aislador. Para la optimización de una configuración como la de la Fig. 3.60 el método de campo necesita de 5 a 10 iteraciones, y el método de ensayo y error como mínimo el doble.

3.10.6.2.2 Optimización respecto a la intensidad de campo total Para la optimización con respecto a Etot, Daümling trato de desarrollar un método basado igualmente en la modificación de los ángulos de los contornos así como de la curvatura de contorno. Pero en ningún caso obtuvo mejores resultados que con el método de ensayo y error.

3.10.6.2.3 Optimización respecto a la presión electrostática En este caso se consiguió la convergencia únicamente utilizando un método de ensayo y error.

3.10.6.3 Estudios experimentales

Tomando como referencia la configuración básica de la Fig. 3.60, Däumling estudió experimentalmente [30] cual de los tres criterios de optimización comentados daban como resultado un aislador con un mejor comportamiento frente a la aparición de descargas superficiales obteniendo que la mayor tensión de inicio de descargas superficiales se conseguía siempre con el aislador optimizado con respecto al módulo de la intensidad de campo, independientemente del material usado para el aislador. Los


mismos resultados se obtuvieron cuando se realizó el estudio en condiciones de alta humedad ambiental.

3.10.7 Optimización mediante B-Splines. Método de Lee

En 1998 B.J. Lee et al. [74] presenta un método de optimización mixto. Para aisladores utiliza una técnica de ensayo y error, mientras que para los electrodos aplica una función objetivo definida del mismo modo que H. Tsuboi y M. Misaki [138] mediante el algoritmo de Gauss-Newton.

La novedad del trabajo de Lee consiste en que el control de la forma de las superficies no se realiza a partir del desplazamiento de los conjuntos de nodos sino, mediante la variación de un conjunto reducido de parámetros que determina la forma de las superficies B-Spines con las que representa los elementos de la configuración.

Capítulo 4 Optimización de Aisladores mediante Splines Cúbicos de Ajuste

4.1 Introducción

El objetivo de este capítulo es mostrar el método de optimización de aisladores de alta tensión propuesto por Gomollón [43]. Este método está basado en trabajos previos realizados por Däumling [30] y pretende superar las principales dificultades del proceso de optimización a través del uso de splines cúbicas de ajuste.

4.2 Objetivo de la optimización

Däumling (1987) [30] mostró que una optimización con respecto a la intensidad total de campo mejora el comportamiento frente a la aparición de descargas superficiales en el aislador. Para estas investigaciones Däumling utilizaba contornos de aisladores con una distribución uniforme de la intensidad de campo eléctrico. Sin embargo el punto crucial no es la uniformidad de la intensidad de campo en sí misma, sino el hecho de que los contornos, que han sido optimizados con respecto a la intensidad de campo total, muestran simultáneamente el valor más bajo de la intensidad de campo máxima a lo largo de la superficie.

Däumling utilizó para sus investigaciones el método de “ensayo y error” para llevar a cabo la optimización de una configuración de prueba con respecto a la intensidad total de campo. El método de Däumling presenta algunas dificultades cuando se intenta aplicar a otras configuraciones. Se descubrió que estas dificultades son debidas a diversos problemas concretos, que se pueden considerar de naturaleza general respecto de una tarea de optimización de aisladores de alta tensión. Estos problemas se pueden resumir en los siguientes puntos:

1º.- La intensidad de campo en los puntos de contacto del aislador que va a ser optimizado con los electrodos situados en sus límites desempeña un papel importante en el proceso de optimización, por esta razón es muy importante garantizar que los contornos del aislador propuesto sean perpendiculares a los electrodos que lo limitan.

2º.- Se debe de evitar que durante el proceso de optimización puedan aparecer cantos en el contorno del aislador. Esto podría conducir en uno de los lados del aislador a singularidades de campo que obviamente no son deseables.

3º.- Para asegurar la convergencia del proceso, no se debe permitir que las relaciones de campo de la configuración empeoren en cualquier paso de la iteración.


Pueden existir casos individuales donde esto conduciría a una optimización más rápida, pero el principal objetivo de un programa de optimización debería ser garantizar la convergencia para el mayor número de casos posible.

Teniendo esto en cuenta Gomollón desarrolló un método para la optimización del contorno de aisladores de alta tensión bajo las siguientes restricciones:

1ª.- La configuración debe tener una simetría axial.

2ª.- La superficie del aislador a optimizar se supone que debe estar limpia y no poseer ninguna conductividad.

El objetivo propuesto para la optimización, de acuerdo con las investigaciones de Däumling, es reducir la máxima intensidad de campo eléctrico a lo largo del contorno considerado, al valor más bajo posible.

4.3 Formulación matemática del problema de optimización

Al hilo de lo comentado por Antolic (1972) [15] es posible dar una formulación matemática de la tarea de optimización, que resulta adecuada para derivar algunas relaciones útiles concernientes a la derivada global de la intensidad de campo sobre una superficie de contorno para un problema de valor de contorno.

El cálculo del campo electrostático para una configuración de alta tensión puede ser casi siempre establecido como un problema de valores de contorno (BVP) para la ecuación de Laplace. Para tal problema se pueden realizar las siguientes suposiciones:

• La región de integración G es cerrada. Es simple o múltiplemente conexa y se puede extender en algunas partes al infinito.

• G se puede dividir en regiones parciales Gi que están ocupadas por diferentes materiales. En el caso más simple, estos materiales son homogéneos e isótropos y difieren sólo por un valor escalar, por ejemplo la constante dieléctrica.

• Las superficies de contorno de la región global y las interfaces entre las regiones parciales, consideradas todas bajo la denominación de Γ, se pueden describir geométricamente de modo completo.

• Se fijan determinadas condiciones de contorno para que se cumplan a lo largo las distintas partes de todos los contornos Γ. Estas condiciones de contorno no tienen por qué ser sólo de primer orden, sino que también

Capitulo 4: Optimización de Aisladores mediante Splines Cúbicos de Ajuste 197

pueden ser de orden superior (tales como discontinuidades de la constante dieléctrica o simetrías de campo).

En el caso de una tarea de optimización, estas suposiciones se deben cambiar. Las superficies de contorno y las interfaces entre regiones parciales se pueden dividir en dos conjuntos. Un conjunto Γ1 con geometrías dadas fijas y las correspondientes

condiciones de contorno B1, y un conjunto Γ2 con geometrías que están de algún modo

indefinidas. Para el conjunto Γ2 se selecciona un conjunto adicional de condiciones de

diseño 2B′ . Estas condiciones adicionales deberían servir para determinar las geometrías

Γ2.

Para solucionar un problema de valores de contorno clásico, lo que corresponde en nuestro caso al cálculo del campo electrostático, es preciso, como ya se ha visto, recurrir a métodos numéricos para la mayoría de las configuraciones técnicas. Cada método se basa en un modelo teórico de solución del problema de valores de contorno, en el que mediante la discretización del espacio considerado y la introducción de determinadas simplificaciones, se transforma el problema en la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Hasta ahora no se ha llevado a cabo ningún trabajo para extender estos modelos para resolver la tarea de optimización. Todos los modelos desarrollados son iterativos y dividen el problema teórico propuesto en dos tareas diferentes. En primer lugar se toma un conjunto dado de geometrías incógnitas Γ2

0 y para este conjunto, se lleva a cabo un cálculo de campo. A partir de los valores calculados, las condiciones adicionales 2B′ , y

un método definido para la variación de las geometrías originales Γ20 , se calcula un

nuevo conjunto de geometrías Γ21 para el cual se realiza un nuevo cálculo de campo. En

este punto, se comprueba si se cumplen las condiciones del diseño propuesto 2B′ .

Las diferencias entre los métodos individuales son, primero la elección de las condiciones de diseño 2B′ y segundo la forma en la que se calculan las geometrías Γ2

i a

partir de las previas Γ21i− y las condiciones 2B′ .

El éxito de los métodos iterativos depende de la calidad de las suposiciones que son utilizadas para calcular las geometrías modificadas. En el caso de la optimización de aisladores de alta tensión con respecto a la intensidad de campo total sobre su superficie se debe observar que no ha sido efectuado ningún esfuerzo en derivar relaciones teóricas entre las propiedades geométricas de la superficie del aislador y las cantidades de campo. En el siguiente párrafo se presentará las relaciones obtenidas por Gomollón [45] en su trabajo acerca de la optimización de los aisladores.


4.4 Relaciones entre campo eléctrico y magnitudes geométricas

Para el establecer las relaciones entre las magnitudes de un BVP y las propiedades geométricas de las superficies se introducen aquí algunas notaciones sobre los

parámetros geométricos de superficies. a es un vector unidad en un espacio euclídeo tridimensional, en este caso la derivada de un escalar o función vectorial con respecto a

la dirección determinada por a se escribe como:

∇⋅=rr

r aa∂

∂ (4.1)

Sea S una superficie equipotencial de una función potencial armónica Φ . Cada punto sobre S se trata como perteneciente a una línea de campo, con

r rE = −∇Φ como el

campo bajo consideración. Los vectores unidad del trípode de la línea de campo en un punto P se referirán como

rt (vector tangente), rn (vector normal) y

rb (vector binormal).

Con su ayuda es posible definir un sistema de coordenadas cartesiano local (sistema C) con el origen en cada punto considerado y los ejes definidos por las direcciones de los vectores arriba mencionados. El vector tangente

rt a las líneas de campo coincide con el

vector Nr

normal a la superficie S en el punto P. Este sistema de coordenadas se puede usar para escribir las ecuaciones de campo por medio del operador nabla del siguiente modo:

bb

nn

tt r

rr

rr

rr

∂∂

∂∂

∂∂

++=∇ (4.2)

y definiendo el campo rE como:

tEErr

= (4.3)

la divergencia y el rotacional de rE se pueden escribir de la forma:

tEtEE

tEtEErrrrrr

rrrrrr

×∇+×∇=×∇

⋅∇+⋅∇=⋅∇ (4.4)

Con esta notación las fórmulas de Frenet para el punto P se pueden escribir como:

,nwtb

bwtctn

nctt

rr

r

rrr

r

rr

r

−=

+−=

=

∂∂∂∂∂∂

(4.5)

donde c es la curvatura y w la torsión de la línea de campo en el punto P.


Las fórmulas de Frenet se pueden completar considerando las derivadas direccionales de los tres vectores del trípode en las tres direcciones dando:

nctt rr

r

=∂∂ bwtc

tn rrr

r

+−=∂∂ nw

tb rr

r

−=∂∂

bnCnt

n

rrr

r

ξ∂∂

+= btnn

bt

rrr

r

αα∂∂

+= ntnb

ntrr

r

r

ββ∂∂

+=

bCnbt

b

rrr

r

+=η∂∂ bt

bn

bt

rrrr

γγ∂∂

+= ntbb

ntrr

r

r

δδ∂∂

+=

(4.6)

Por sustitución de (4.5) y (4.6) en (4.4) se obtiene:

( )

( )( ) .n

bEb

nEEctE

ttbcE

nbEb

nE

btb

ntn

tttE

bEb

nEn

tEttE

ECCtE

tEtEE

nb

rr

rr

r

rrr

rr

rr

r

rr

r

rr

r

rr

rr

rr

rrrrr

r

rrrrrr

∂∂

∂∂ηξ

ηξ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

−+−=

−+

++−=

×+×+×

+

++×−=×∇

++=

=⋅∇+⋅∇=⋅∇

(4.7)

Puesto que el campo electrostático es conservativo se cumplen:

,0

0

=×∇

=⋅∇

E

Err

rr

(4.8)

Se puede igualar (4.7) con (4.8), y obtener finalmente:

( )

( ) .0

0

=−

=

=

+−=

ηξ∂∂∂∂∂∂

EbE

cEnE

ECCtE

nb

r

r

r

(4.9)

Los parámetros de la fórmula previa deberían ser interpretados del siguiente modo: (Gomollón [45]):

c es la curvatura de la línea de campo en el punto P.


Cb es la curvatura de una sección normal a la superficie S, que es definida por el vector normal a la superficie

rN y el vector binormal

rb de la línea de campo en P (este vector

se mantiene sobre el plano tangente a la superficie S en el punto P).

Cn es la curvatura de la sección normal a la superficie S, que está definida por el vector normal a la superficie

rN y el vector rn normal a la línea de campo en P (este vector se

mantiene en el plano tangente a la superficie S en el punto P).

ξ (= η para campos perpendiculares a la superficie) es una función del ángulo α entre las direcciones principales de curvatura y las direcciones determinadas por los vectores rb y rn , y de los valores de las curvaturas principales 21 y CC de S en P:

( )αξ 22

21 sinCC −

= (4.10)

CHCC nb ==+ 2 es la curvatura total de la superficie S en el punto P (la suma de las curvaturas normales de dos direcciones arbitrarias que son ortogonales entre sí es una constante para cada punto de la superficie y es igual a dos veces el valor de la curvatura media H de la superficie en este punto), según esto la primera de las ecuaciones (4.9) no es sino la fórmula de Spielrein [129].

4.5 Derivada global de la intensidad de campo

Sea el Problema de Valor de Contorno considerado que corresponde a la geometría inicial de una tarea de optimización, donde se dispone de un contorno dieléctrico inicial Γ0 para ser optimizado. Para este problema, se consideran las distribuciones iniciales de potencial y campo. Se asumirá que la superficie 1−Γ j (j ≥ 1) es una función conocida de las coordenadas de N puntos 1

N1

21

1 ,, −−− jjj PPP K y del par de parámetros (u,v). El vector de

posición de uno de estos puntos se denotará con ),,( 1111 −−−− = ji

ji

ji

ji zyxP γγγ

r para el punto

1−jiP , donde el índice γ indica que este punto pertenece a la superficie Γ. Se considera

que el vector 1−jinr normal a la superficie Γj-1 está bien definido en cada punto 1−j

iPr

.

La superficie Γ j será definida como una función de las coordenadas de los N puntos P P Pj j j

1 2, ,K N y del par de parámetros mencionados previamente (u,v). Las coordenadas

de los puntos Pij se pueden calcular a partir de las coordenadas de los puntos 1−j

iP y el vector de parámetros ),,,( 1

N1

21

11 −−−− = jjjj TTTT K

r por medio de:

111 −−− += ii

ji

ji

ji nTPP

rrr (4.11)


Sea E ij

obj el objetivo de la intensidad de campo eléctrico en el Punto Pij que debe

alcanzarse en la superficie jΓ , y 1−jiE el campo eléctrico presente en el punto 1−j

iP sobre

la superficie inicial 1−Γ j . E ij

obj se puede aproximar linealmente por:

1

11

11 −

=−

−− ∑+= j

k

n

kj

k

jij

ij

obji TDTDE

EE (4.12)

dónde el símbolo kDT

D representa una derivada global, en la cual no sólo se considera la

dependencia explícita de la intensidad de campo sobre los parámetros Tkj sino que

también se considera la dependencia implícita a través de las coordenadas de la superficie desplazada. En lo que sigue, para simplificar, se prescinde del índice j que se refiere a la superficie Γ j .

Si se considera el conjunto de BVPs, que se puede obtener por variación del valor del vector paramétrico

rT , es posible escribir lo siguiente:

),,,( zyxTEErrr

= (4.13)

Si en (4.12) i k≠ entonces:

k

i

k

i

TE

DTDE

∂∂

= (4.14)

Para calcular la derivada, se debe de asumir que es conocida la solución del BVP como una función del vector de parámetros

rT . Esto nunca ocurre en la práctica, por lo tanto

no es posible calcular los desplazamientos rT por resolución del sistema de ecuaciones

derivado de la ecuación (4.12). Esto significa también que no se puede encontrar ninguna expresión para considerar la influencia del desplazamiento de un punto sobre la intensidad de campo en otro punto de la superficie.

Queda por considerar lo que sucede si se quiere determinar la influencia del movimiento de un punto sobre la intensidad de campo en el punto en sí mismo. Esto corresponde al caso i=k en la ecuación (4.12).

Se requiere una expresión para i

i

DTDE . Sobre la superficie Γ se puede establecer:

),,,( γγγ zyxTEEr

= (4.15)

La deriva global de E considerando las dependencias explícitas e implícitas se puede escribir como.


iiiii TE

Tz

zE

Ty

yE

Tx

xE

DTDE

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ γ

γ

γ

γ

γ

γ+++= (4.16)

Si esta derivada se evalúa en un punto ),,( iiii zyxP γγγ sobre la superficie Γ , entonces se

puede escribir:

ii

i

i

i

i

i nTz

Ty

Tx r

=

∂∂

∂∂

∂∂ γγγ ,,

(4.17)

Y substituyendo en (4.16) nos da:

( )i

i

ii

iii

i TE

nE

TE

EnDTDE

∂∂

∂∂

∂∂

+=+∇⋅= rr (4.18)

Sólo el primer término en la ecuación (4.18), i

i

nEr

∂∂ , la derivada direccional de la

intensidad de campo en una dirección normal a la superficie inicial, se puede calcular en los casos prácticos. Para el segundo término, se pueden establecer observaciones similares a las realizadas arriba para el caso de i k≠ en la ecuación (4.12).

De aquí que la derivada normal de la intensidad de campo sea la única referencia que uno puede usar para calcular los desplazamientos de los puntos de una superficie aisladora, que son necesarios para modificar la superficie para lograr una distribución dada de la intensidad de campo sobre la superficie. No debe olvidarse en este punto, que la intensidad de campo muestra una discontinuidad cuando se cruza una frontera dieléctrica. Por lo tanto las ecuaciones anteriores deben entenderse como resultado del cálculo de los límites correspondientes a ambos lados de la frontera dieléctrica. Este hecho representa una dificultad adicional para la optimización de los aisladores de alta tensión.

La ecuación (4.18) puede ser calculada explícitamente para algunas configuraciones simples tales como un condensador plano, cilíndrico o esférico. El significado de los diferentes parámetros se puede observar en la Fig. 4.1 y la Fig. 4.2. Las fórmulas correspondientes se resumen en la Tabla 4.1.

Τ

x

z

D

ε2

ε1

n 0

n

t

dd0

U

1

2

Fig. 4.1. Condensador Plano: Parámetros para el cálculo de la derivada de campo global.


rR i

R a

T

ε 2

ε 1

d 0

U

d

1

2

Fig. 4.2. Condensador cilíndrico/esférico:

Parámetros para el cálculo de la derivada de Campo Global.


Condensador Plano:

D1d

U

1

22

+

−

=

εε

E

DEDT

E

ET

2 22

2

1

1

2

= −

Uεε

∂∂

1 244 344

Condensador Cilíndrico:

rE 1

dln1RlnRln

U

1

2i

1

2a

2 ⋅

−+−

=

εε

εε

{

rE

nE

TE

EEDTDE

∂∂

∂∂

∂∂

εε

2022

d1

U2

1

2222

=

−

−=

r

4434421

Condensador Esférico:

2

1

2

ai1

22

1

d11

R1

R1

Ur

E ⋅⋅

−+−⋅

=

εε

εε

{

rE

nE

TE

EEDTDE

∂∂

∂∂

∂∂

εε

2022

d21

U2

1

2222

=

−

−=

r

4434421

Tabla 4.1. Derivada Global de Campo para configuraciones de condensadores diferentes ( d d T )0= +


4.6 Método de Gomollón

4.6.1 Introducción

De acuerdo con Däumling [30] la optimización de aisladores de alta tensión con respecto a la intensidad total de campo (Etot) produce un mejor comportamiento frente a la aparición de descargas superficiales de la correspondiente configuración de alta tensión que una optimización con respecto a cualquier otra cantidad, como las componentes tangencial o normal de la intensidad de campo o de la presión electrostática. Gomollón [43] desarrolló un método que podía superar las principales dificultades del método de Däumling a través del uso de splines cúbicas de ajuste.

El método se basa en un procedimiento iterativo de dos pasos. En un primer paso, se toman las derivadas direccionales del campo a lo largo de la superficie que va a ser optimizada para calcular una posible modificación de la superficie para lograr una mejor distribución de campo. Acto seguido se recalcula la distribución de campo con las superficies modificadas. Si se logra una mejor distribución de campo, se continua con el proceso iterativo sin proceder con la segunda etapa. De otro modo se inicia un proceso subiterativo (segunda etapa). Aquí la distribución de campo real de la configuración modificada se compara a la distribución de campo original para calcular las denominadas “derivadas empíricas” que se usan para determinar un nuevo contorno modificado para la parte que está siendo optimizada. Este procedimiento se repite hasta que se encuentra una superficie con una mejor distribución de campo y el proceso continua con el primer paso de la siguiente iteración en el lazo principal (ver Fig. 4.3).

Contorno entrada = Contorno inicial

Cálculo de Campo con Contorno de Entrada

Cálculo de Contorno de Salida usando Derivadas

de Campo

Cálculo de Campo con Contorno de Salida

¿Distribución de Campo mejor ?

Contorno Inicial = Contorno de Salida

Cálculo del nuevo Contorno de Salida usando Derivadas de

Campo “Empíricas”

Cálculo de Campo con Contorno de Salida

Contorno Inicial = Contorno de Salida

Iteración Principal (Primer Paso)

Subiteraciones (Segundo Paso)

FIN DEL PROCESO

¿ Condición final alcanzada?

Si Si

No

Si

No

¿Distribución de Campo mejor ?

Fig. 4.3. Diagrama de flujo simplificado de la técnica de optimización de dos etapas.


La Fig. 4.4 muestra un ejemplo de un contorno dieléctrico cilíndrico situado entre un electrodo a potencial U y el plano de tierra. El aislador se discretiza por medio de los puntos P1, P2, ..,PN. Para calcular un nuevo contorno del aislador los puntos P1, P2, ..,PN

se desplazan en la dirección normal. Se obtiene ⋅⋅⋅

NPPP ....,, 21 en un primer contorno

abrupto, que obviamente no se puede aceptar como un contorno mejor que el original. Se puede definir un nuevo contorno con mejor aspecto haciendo que se verifiquen algunas condiciones geométricas, como la perpendicularidad a los electrodos límites y el suavizado de la curva generadora. El nuevo contorno se representa en la Fig. 4.4 por

los puntos ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

NPPP ....,, 21 .

r

z

P1

P2P2 P2

P3P3

PN

PNPN

P1P1

P3

Pi

Pi

Pi

original points

displaced points

corrected points

Ti displacements

T1

T2

T3

TN

U

Puntos originales

Puntos desplazados

Puntos corregidos

Desplazamientos

Fig. 4.4. Parámetros de Optimización.

E E

E

E

s (arc of length)

actual

objective

mean

Ereal

Eobjetivo

Emedio

s (arco de longitud)

Fig. 4.5. Definición de la función objetivo para E.


4.6.2 Cálculo de los desplazamientos.

Para calcular los desplazamientos T1,T2,...,TN de los puntos P1, P2, ..,PN se establece un objetivo de distribución de campo como se muestra en la Fig. 4.5. En el caso más simple esta distribución se obtiene añadiendo a la distribución original la diferencia entre los valores medios y locales de las intensidades de campo multiplicadas por una constante definida por el usuario. Sólo se obtiene buena convergencia para valores pequeños de esta constante (<0.2).

Como se comentó anteriormente la derivada parcial del módulo del vector intensidad de campo es el único punto práctico de referencia para estimar cómo cambia la intensidad de campo eléctrico en un punto de una frontera dieléctrica cuando la forma del contorno se modifica. Esta es una aproximación poco exacta, y de aquí que puedan ser necesarias algunas correcciones si el primer intento no resulta satisfactorio. Así es posible primero calcular los desplazamientos requeridos por medio de:

( )

nE

EET

i

iobjii

∂∂

−= (4.19)

Los desplazamientos determinados por medio de esta aproximación conducen a un contorno algo abrupto que debe ser corregido para los propósitos de optimización como ya se explicó.

Para el contorno desplazado corregido, se realiza un nuevo cálculo de campo y las relaciones de campo son comparadas con las originales. Si se puede detectar una mejora el nuevo contorno se acepta como uno válido y se continua la optimización. Si no es el caso, los cambios reales en las relaciones de campo con respecto al contorno original se usan para definir una “derivada de campo empírica”, del siguiente modo:

( )i

originalcontornoivalidonodesplazadocontornoii

T

EE

DnDE −

= (4.20)

El contorno frustrado se rechaza y el original se toma otra vez para calcular un nuevo contorno desplazado, donde para calcular los desplazamientos las derivadas empíricas de la ecuación (4.20) se introducen en la ecuación (4.19) en lugar de las derivadas direccionales. Después de determinar el contorno desplazado se debe de corregir otra vez.

En la mayor parte de los casos esto es suficiente para obtener un contorno donde el máximo de la intensidad de campo se reduce. Si no es así, algunas técnicas más complicadas se usan para llevar el proceso a la convergencia [45].


4.6.3 Uso de suavizado de splines cúbicos de ajuste para optimización dentro de distribuciones de campo axialmente simétricas

La primera dificultad que se debe superar cuando se lleva a cabo la optimización con el método descrito arriba, es que las superficies modificadas calculadas de las distribuciones de campo son demasiado abruptas y los ángulos entre las esquinas y los electródos límites no satisfacen las condiciones de ortogonalidad habitualmente requeridas para evitar el efecto de empotramiento. El suavizado mediante splines cúbicas de ajuste se utiliza para garantizar que las superficies obtenidas a través del proceso de optimización cumplan las condiciones requeridas de suavidad y ángulo de corte con los electrodos límites [43]. El efecto alcanzado con estos splines se muestra en la Fig. 4.6. Allí, se muestra la distribución de puntos de contorno de un posible contorno de entrada como se muestra en (a). Un contorno de salida con los puntos de contorno desplazados se calcula en (b), pero como se muestra, ni el contorno está suavizado ni es perpendicular a los electrodos límite. Estas condiciones se pueden forzar por el uso de suavizado de splines cúbicas de ajuste(c).

(a) Contorno Inicial (b) Contorno Final, nosuavizado

(c) Contorno de Salida,suavizado

Electrodo

Contornodel aislador

Tierra

Fig. 4.6. Efecto de suavizado de splines cúbicas en el proceso de optimización.

Capítulo 5 Ampliación a Campos Tridimensionales del Método de Gomollón

5.1 Introducción

En el capítulo anterior se presentó el método de Gomollón [43][44], que estaba restringido a la condición de que ambos, el aislador y la distribución de campo fuesen ser axialmente simétricos. En este capítulo se presenta la ampliación del método para su utilización dentro de distribuciones tridimensionales de campo eléctrico, manteniendo la restricción de simetría axial de los aisladores.

5.2 Calculo de distribuciones de campo tridimensionales con cargas superficiales

El método de optimización descrito en [43] estaba limitado a las configuraciones con simetría axial completa. Los cálculos de campo necesarios en el proceso de optimización fueron llevados a cabo combinando el Método de Simulación de Cargas y el Método de Cargas Superficiales. Para expandir el método de modo que puedan ser consideradas las distribuciones de campo tridimensionales, el programa de cálculo de campo tiene que ser capaz de calcular las distribuciones de campo 3D. Esta capacidad ya fue incorporada en los métodos arriba mencionados considerando una distribución de Fourier de las densidades de carga para cargas discretas y cargas superficiales. En esta técnica, cada densidad de carga lineal o superficial se asocia con tantos puntos de contorno alrededor del eje de simetría de las superficies como coeficientes son necesarios en las series de Fourier elegidas para representar la densidad de carga. Por ejemplo en la Fig. 5.1 un anillo de carga con densidad de carga lineal dada por:

( ) cos cos 2 cos 30 1 2 3λ α λ λ ψ λ ψ λ ψ= + + + (5.1)

se representa junto con cuatro puntos de contorno asociados, necesarios para determinar las cuatro incógnitas λi


Carga anular

Puntos de contorno

ψ

Fig. 5.1. Asignación de puntos de contorno para cálculos de campos tridimensionales.

5.3 Posibilidades y límites de control de distribuciones de campo electrostático dentro de superficies aisladoras

5.3.1 Introducción

A través de las técnicas de optimización es posible influir en la distribución de campo de una configuración dada de alta tensión por medio de la modificación de la forma de los electrodos y aisladores. Cuando la modificación de la forma de los aisladores se usa para controlar los valores de la intensidad de campo total en sus superficies, la reducción en los valores de campo que se puede alcanzar no es la misma para cada configuración de alta tensión. En este apartado se investigan los límites teóricos de tales técnicas.

5.3.2 Influencia en la distribución de campo de la posición de las superficies del aislador con respecto a las líneas de campo y equipotenciales

En general, no es posible calcular cómo cambia la intensidad de campo sobre la superficie de un aislador para un problema de valor de contorno cuando la superficie del aislador se modifica. Se sabe que las derivadas espaciales del campo están relacionadas con la variación final de la intensidad de campo. Pero no son el único factor. El relleno de una región espacial con un material dieléctrico de permitividad ε1, ο su vaciado, también afecta a los cambios en la intensidad de campo, dependiendo de la posición de la superficie dieléctrica en relación al campo y líneas equipotenciales.

Capitulo 5: Ampliación a Campos Tridimensionales del Método de Gomollón 211

5.3.2.1 Aislador paralelo a las líneas de campo

Se considera el problema de valores de contorno de la Fig. 5.2, con dos superficies de electrodos Γ0 y Γ2 con potenciales dados φ0 y φ2 respectivamente y sea ϕ la solución de la ecuación de Laplace en el espacio entre los electrodos.

Líneas deCampo

ϕ

Λ

Γ0

Γ2ϕ=φ0

ϕ=φ2

ε=ε2

Fig. 5.2. Tubo de campo Λ entre dos superficies de electrodos.

En este problema ε=ε2 es la permitividad del espacio total entre los electrodos. Se toma un tubo de campo Λ, delimitado en la Fig. 5.2 por dos líneas de campo. Su volumen es rellenado con un material dieléctrico de permitividad ε=ε1. En este caso la solución del nuevo BVP es la misma que para el caso original, puesto que ambos problemas pueden ser divididos en dos regiones, una región con un hueco, correspondiente al tubo de campo Λ, y otra región que es el tubo Λ mismo. En ambos problemas las condiciones de contorno son las mismas para las dos regiones, es decir, ϕ=φ0 en Γ0, ϕ=φ2 en Γ2 y

0=∂∂ nϕ en Λ. No están influidas por el cambio de la permitividad en Λ. La única diferencia entre estos dos casos sería que en el primero la densidad de carga se extiende sobre la superficie de los electrodos como carga libre únicamente, y en el segundo caso se mantiene parcialmente como carga libre sobre los electrodos y parcialmente como carga de polarización, sobre el aislador, resultando en la misma cantidad total de carga que en el primer caso.

5.3.2.2 Aislador paralelo a las líneas equipotenciales

5.3.2.2.1 Estudio teórico del caso general Se considera ahora lo que se podría denominar el caso contrario al presentado en 5.3.2.1, representado en la Fig. 5.3. donde se muestra una sección de un problema de campo cerrado.


Γ1

Γ2

ϕ=φm

ϕ=φn

d

EmBP

P’

Γm

Γn

EmA

EnC

EnB

ϕ=φ1

ϕ=φ2

ε=εC

ε=εA

ϕΑ

ΛΑ

ΛΒ

ΛC

ε=εB

ϕΒ

ϕCϕ1

ϕ2

ε=ε1

ε=ε2

Fig. 5.3. Espacio entre dos electrodos rellenado con dos materiales dieléctricos diferentes. La interfaz

coincide con una superficie equipotencial.

La frontera dieléctrica entre materiales ε1 y ε2, Γm, coincide con la superficie equipotencial ϕ=φm. Sea la solución del BVP dada por las funciones ϕ1 para el espacio ΛΑ, con ε1, y ϕ2 para el espacio ΛΒ+ ΛC, con ε2. La frontera dieléctrica Γm se desplaza ahora a la línea equipotencial ϕ=φn (Γn). Las nuevas relaciones se muestran en la Fig. 5.4.

E’nB

Γ1

Γ2

ϕ=φm

ϕ=φn

d

E’mBP

P’

Γn

E’nC

Γm

E’mA

ε=ε1ϕ=φ1

ϕ=φ2

ε=εC

ε=εA

ϕ’1

ΛΑ

ΛΒ

ΛC

ϕ2´ε=εB

ε=ε2

Fig. 5.4. Desplazamiento de un contorno dieléctrico coincidente con una superficie equipotencial.

Una solución para el nuevo Problema de Valores de Contorno se puede construir usando las siguientes funciones:


( )( ) ( )( ) C22

B12

A11

en 1 en -1

en -1

Λ⋅−+=′Λ⋅−+⋅+=′

Λ⋅+=′

φϕϕφφϕϕ

φϕϕ

CCC

mBAABB

AAA

kkkkkk

kk

(5.2)

En las que claramente se cumple ϕ’A(Γ1) = φ1, ϕ’C(Γ2) = φ2, es decir, las funciones así construidas mantienen por una parte los valores del potencial en las superficies Γ1 y Γ2. Por otra parte queda garantizada la continuidad del potencial en la superficie Γm, como se puede comprobar en las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1112

1111

11

φφφφφϕϕφφφφϕϕ

AmAmBAAmBmB

AmAAmAmA

kkkkkkkkkk

−+=⋅−+⋅−+Γ=Γ′−+=⋅−+Γ=Γ′

(5.3)

donde, ϕ1(Γm) = ϕ2(Γm) = φm.

En el problema original se cumplían las siguientes condiciones:

a) Sobre la superficie Γm:

( ) ( ) mmm φϕϕ =Γ=Γ 21 (5.4)

que es la condición de continuidad del potencial en Γm.

b) La condición de salto de intensidad de campo en la interfaz dieléctrica Γm

mmmmnnnn ΓΓΓΓ ∂

∂⋅=

∂∂

⇒∂

∂⋅=

∂∂

⋅ 2

1

2122

11

ϕεεϕϕεϕε

(5.5)

c) Donde se verificaba que:

22

11

ϕϕϕεεεϕϕεε====

==

CBCB

AA (5.6)

En el problema del contorno desplazado debe cumplirse:

a) Sobre las superficies Γm y Γn:

( ) ( )( ) ( ) nnCnB

mmBmA

φϕϕφϕϕ

=Γ′=Γ′=Γ′=Γ′

(5.7)

que es la continuidad del potencial sobre dichas superficies.

b) Sobre la superficie Γm se debe cumplir:

mmnnBA

ΓΓ ∂′∂

=∂

′∂ ϕϕ (5.8)

Pues la superficie Γm ya no representa una interfaz dieléctrica y no debe haber ningún salto en la intensidad de campo.


c) Sobre la superficie desplazada nΓ

nn

21 ΓΓ ∂

′∂=

∂′∂

nnCB ϕ

εϕ

ε (5.9)

pues la superficie nΓ debe presentar una salto de la interfaz dieléctrica.

d) Además se verifica que:

22

11

ϕϕεεϕϕϕεεε

′=′=

′=′=′==

CC

BABA (5.10)

La condición (5.4) se cumple automáticamente con las funciones en (5.2) como se ha comprobado en (5.3).

Las kA, kB y kC pueden determinarse para garantizar el cumplimiento de estas condiciones, como se explica a continuación.

De las ecuaciones (5.8), (5.2), y (5.10) se obtiene:

mmn

kn

k BAΓΓ ∂

∂=

∂∂ 21 ϕϕ

(5.11)

Y sustituyendo (5.5) resulta:

2

122

1

2

εεϕϕ

εε

⋅=⇒∂

∂=

∂∂

⋅⋅ΓΓ

BABA kkn

kn

kmm

(5.12)

Por otra parte de la expresión (5.9) se deduce:

2

1

22

21

εε

ϕε

ϕε

⋅=⇒

⇒∂

∂⋅=

∂∂

⋅⋅ΓΓ

BC

CB

kk

nk

nk

nn

(5.13)

Así pues 2

1

εε

⋅== BCA kkk . Para determinar kB se puede utilizar ahora la ecuación (5.7)

de continuidad del potencial en Γn que puede reescribirse del siguiente modo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 011

11

21

2212

=⋅−−⋅−+⋅−+⋅−⇒⇒⋅−+Γ⋅=⋅−+⋅−+Γ⋅

φφφφφϕφφϕ

CmBAAnCB

CnCmBAAnB

kkkkkkkkkkkk (5.14)

donde ( ) nn φϕ =Γ2 . Esta expresión teniendo en cuenta (5.12) y (5.13) queda:


( ) ( ) ⇒=−+−⋅⋅−−⋅

−⋅⇒

⇒=−⋅⋅+⋅

−+⋅

−+⋅

−⋅

01

0111

21212

1

2

1

222

1

2

11

2

1

2

1

φφφφεε

φφεε

φφεε

φεε

φεε

φεε

BnmB

BmBBnB

kk

kkkk

(5.15)

De aquí despejando kB se obtiene:

( ) ( ) ( )

( )( )

−−

−+−−

=−−−+−

−=

=−+−+−

−=

−⋅

−−−

−=

212

1

2121

2

1

21

212

1

21

2

121

2

1

21

1

1

1

φφφφ

εε

φφφφφφφφ

εε

φφ

φφ

φφφφφφεε

φφ

φφεε

φφεε

φφ

nmnmnmnm

nmmnnm

Bk

(5.16)

En la expresión anterior si se denomina:

2

1

1

2

2

1

211;1;;

εε

εε

εε

φφφφ

−=⋅−==−−

= cbcba nm (5.17)

entonces la constante kB se puede expresar del modo siguiente:

( )111

1

1

1

1

2

1

2

1

21212

1

21

+⋅=

+⋅⋅=

+

−⋅

−−

=

−−

−+−−

=cabbcba

knmnmnm

B

εε

εε

φφφφ

φφφφ

εε

φφφφ

(5.18)

Y de este modo las constantes kA y kC adoptan la forma:

cakbkk BCA ⋅+

=⋅==1

1 (5.19)

Para la tarea de optimización sería de interés comparar la intensidad de campo EmB

sobre Γm, en la configuración original, con EnC’, en la modificada (se asume ε1>ε2, y φ1>φm>φn>φ2).

nnn

mm

nk

nnE

nnE

CC

nC

BmB

ΓΓΓ

ΓΓ

∂∂

=∂

′∂=

∂′∂

=′

∂∂

=∂

∂=

22

2

ϕϕϕ

ϕϕ

(5.20)

Si las superficies Γm y Γn están suficientemente próximas se puede realizar la siguiente aproximación:

mnnn ΓΓ ∂

∂≈

∂∂ 22 ϕϕ (5.21)

Con lo cual la relación entre la intensidad de campo del contorno desplazado y el original será:


mBCnC EkE =′ (5.22)

Si se considera, por ejemplo, ε1=4ε2, entonces EnC´ puede alcanzar valores de 1.0076EmB para φm−φn=(φ1−φ2)/100 a 1.2308EmB para φm−φ1=(φ1−φ2)/4.

Estos dos casos muestran que la influencia sobre la distribución de campo de la modificación de la superficie del aislador depende, no sólo de los valores locales del campo sobre la superficie del aislador, sino también de la posición de la superficie con respecto al campo. La influencia de cada uno de estos factores es diferente de una disposición a otra, y dentro de una disposición dada puede también variar de un punto a otro de la superficie.

Se podría plantear el BVP complementario al anterior, es decir, realizar en el problema genérico planteado el desplazamiento de un contorno dieléctrico en la misma dirección que en el primer caso pero en sentido contrario. Al igual que en el primer caso la frontera dieléctrica entre materiales ε1 y ε2, Γm, coincide con la superficie equipotencial ϕ=φm. Sea la solución del BVP dada por las funciones ϕ1 para el espacio ΛΑ+ΛΒ, con ε1, y ϕ2 para el espacio ΛC, con ε2. La frontera dieléctrica Γm se desplaza ahora a la línea equipotencial ϕ=φn (Γn). Las relaciones son las mostradas en la Fig. 5.5.

ϕ=φ1

ϕ=φ2

Γ1

Γ2

ε=εC

ε=εA

ϕ=φm

ϕ=φn

ϕΑ

ΛΑ

ΛΒ

ΛC

d

EnB

P

P’

Γm

ε=εB

Γn

ϕΒ

ϕC

ϕ1

ϕ2

EnA

EmC

EmB

ε=ε1

ε=ε2

Fig. 5.5. Espacio entre dos electrodos rellenado con dos materiales dieléctricos diferentes. La interfaz

coincide con una superficie equipotencial.

El contorno se desplaza ahora en sentido hacia Γ1 como se muestra en la Fig. 5.6.


E’mB

ϕ=φ1

ϕ=φ2

Γ1

Γ2

ε=εC

ε=εA

ϕ=φn

ϕ=φm

ϕ’1

ΛΑ

ΛΒ

ΛC

d

E’nBP’

P

ϕ2´

Γm

E’mC

Γn

ε=εB

E’nA

ε=ε1

ε=ε2

Fig. 5.6. Desplazamiento de un contorno dieléctrico coincidente con una superficie equipotencial en

sentido contrario al primer BVP.

Siguiendo un tratamiento paralelo al primer caso se tiene que una solución para este nuevo Problema de valor de Contorno se puede construir usando las siguientes funciones:

( )( ) ( )( ) C22

B21

A11

en 1 en -1

en -1

Λ⋅−+=′Λ⋅−+⋅+=′

Λ⋅+=′

φϕϕφφϕϕ

φϕϕ

CCC

mBCCBB

AAA

kkkkkk

kk

(5.23)

En las que claramente se cumple ϕ’A(Γ1) = φ1, ϕ’C(Γ2) = φ2, es decir, las funciones así construidas mantienen por una parte los valores del potencial en las superficies Γ1 y Γ2, Por otra parte queda garantizada la continuidad del potencial en la superficie Γm, como se puede comprobar en las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2222

2221

11

φφφφϕϕφφφφφϕϕ

CmCCmCmC

CmCmBCCmBmB

kkkkkkkkkk

−+=−+Γ=Γ′−+=⋅−+⋅−+Γ=Γ′

(5.24)

es decir, ϕ1(Γm) = ϕ2(Γm) = φm.

En el problema original se cumplen las siguientes condiciones:

a) Sobre la superficie Γm:

( ) ( ) mmm φϕϕ =Γ=Γ 21 (5.25)

que es la condición de continuidad del potencial en Γm.

b) La condición de salto de intensidad de campo en la interfaz dieléctrica Γm


mmmmnnnn ΓΓΓΓ ∂

∂⋅=

∂∂

⇒∂

∂⋅=

∂∂

⋅ 1

2

1222

11

ϕεεϕϕ

εϕ

ε (5.26)

c) Donde se verificaba que:

22

11

ϕϕεεϕϕϕεεε

======

CC

BABA (5.27)

En el problema del contorno desplazado debe cumplirse:

a) Sobre las superficies Γm y Γn:

( ) ( )( ) ( ) nnBnA

mmCmB

φϕϕφϕϕ

=Γ′=Γ′=Γ′=Γ′

(5.28)

que es la continuidad del potencial sobre dichas superficies.

b) Sobre la superficie Γm se debe cumplir:

mmnnCB

ΓΓ ∂′∂

=∂

′∂ ϕϕ (5.29)

Pues la superficie Γm ya no representa una interfaz dieléctrica y no debe haber ningún salto en la intensidad de campo.

c) Sobre la superficie desplazada nΓ

nn

21 ΓΓ ∂

′∂=

∂′∂

nnBA ϕ

εϕ

ε (5.30)

donde la superficie nΓ debe presentar una salto de la interfaz dieléctrica.

d) Además se verifica que:

22

11

ϕϕϕεεεϕϕεε

′=′=′==

′=′=

CBCB

AA (5.31)

La condición (5.25) se cumple automáticamente con las funciones en (5.23) como se ha comprobado en (5.24).

Las kA, kB y kC pueden determinarse para garantizar el cumplimiento de estas condiciones, como se explica a continuación.

De las ecuaciones (5.29), (5.23), y (5.27), se obtiene:

mmn

kn

k CBΓΓ ∂

∂=

∂∂ 21 ϕϕ (5.32)

Y sustituyendo (5.26) resulta:


2

122

1

2εεϕϕ

εε

⋅=⇒∂

∂⋅=

∂∂

⋅⋅ΓΓ

CBCB kkn

kn

kmm

(5.33)

Por otra parte de la expresión (5.30) se deduce:

2

112

11 ε

εϕε

ϕε ⋅=⇒

∂∂

⋅=∂

∂⋅⋅

ΓΓABBA kk

nk

nk

nn

(5.34)

Así pues 1

2

εε

⋅== BCA kkk . Para determinar kB se puede utilizar ahora la ecuación (5.28)

de continuidad del potencial en Γn que puede reescribirse del siguiente modo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 011

11

21

2111

=⋅−−⋅−+⋅−+⋅−⇒⇒⋅−+⋅−+Γ⋅=⋅−+Γ⋅

φφφφφφϕφϕ

CmCBAnBA

mBCCnBAnA

kkkkkkkkkkkk (5.35)

donde ( ) nn φϕ =Γ1 . Esta expresión, teniendo en cuenta (5.33) y (5.34) queda:

( ) ( ) ⇒=−+−⋅⋅+−⋅

−⋅⇒

⇒=−⋅⋅+⋅

−+⋅

−+⋅

−⋅

01

0111

21121

2

1

2

221

2

1

21

1

2

1

2

φφφφεε

φφεε

φφεε

φεε

φεε

φεε

BmnB

BmBBnB

kk

kkkk

(5.36)

De aquí despejando kB se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

1

2

1

2

2121211

2

211

2

21

211

2

1

2

21

1

1

1

1

1

εε

εε

φφφφ

φφφφ

φφφφ

εε

φφφφφφεε

φφ

φφεε

φφεε

φφ

+

−

−−

=

−−

+

−−

−

=

=−+−−−

−=

−+−⋅

−

−=

mnmnmn

mnmnmn

Bk

(5.37)

En la expresión anterior si se denomina:

1

2

2

1

1

2

211;1;;

εε

εε

εε

φφφφ

−=′⋅′−=′=′−−

=′ cbcba mn (5.38)

entonces la constante kB se puede expresar del modo siguiente:

( )cabbcbak

mnB ′⋅′+⋅′

=′+′⋅′⋅′

=

+

−

−−

=1

11

1

1

1

2

1

2

21 εε

εε

φφφφ

(5.39)

Y de este modo las constantes kA y kC adoptan la forma:

cakbkk BCA ′⋅′+

=⋅′==1

1 (5.40)

Al igual que en el primer BVP para la tarea de optimización sería de interés comparar la intensidad de campo EmC sobre Γm, en la configuración original, con E’nB, en la modificada (se asume ε1>ε2, y φ1>φn>φm>φ2).


nnn

mmm

nk

nnE

nkk

nnE

BB

nB

C

BCmC

ΓΓΓ

ΓΓΓ

∂∂

=∂

′∂=

∂′∂

=′

∂∂

=∂

∂=

∂∂

=

12

12

ϕϕϕ

ϕϕϕ

(5.41)

Donde se ha tenido en cuenta la expresión (5.32) para el cálculo de Emc. Si las superficies Γm y Γn están suficientemente próximas, como ocurre en la mayoría de los casos, se puede realizar la siguiente aproximación:

mnnn ΓΓ ∂

∂≈

∂∂ 11 ϕϕ (5.42)

Con lo cual la relación entre la intensidad de campo del contorno desplazado y el original será:

mCCnB EkE =′ (5.43)

Si se considera , por ejemplo, ε1=4ε2, entonces E’nB puede alcanzar valores de 0.9709EmC para φn−φm=(φ1−φ2)/100 a 0.5714EmC para φn−φm=(φ1−φ2)/4.

5.3.2.2.2 Comprobación de los resultados para configuraciones simples Se van a comprobar ahora la validez de los resultados obtenidos particularizando el estudio para configuraciones sencillas en las que es posible resolver el problema de valores de contorno analíticamente.

CASO 1º: Estudio del condensador plano (Fig. 5.7).

∆d

d

x

z

D

φ1 φ2 φm φn

ϕΑ ϕΒ

ϕ1

ϕC

ϕ2

ε1 ε2

Fig. 5.7. Condensador plano con dos medios dieléctricos separados por una superficie equipotencial.


La diferencia de potencial existente en bornes del condensador antes del desplazamiento (Fig. 5.7) viene dada por:

( )dDEdE −⋅+⋅=− 2121 φφ (5.44)

Sobre la frontera entre los dos medios dieléctricos se debe de cumplir:

21

212211 EEEE ⋅=⇒=

εεεε (5.45)

Teniendo en cuenta esta última condición la diferencia de potencial entre las placas del condensador plano es:

( )

−+⋅=−⋅+⋅⋅=− dDdEdDEdE

1

2222

1

221 ε

εεε

φφ (5.46)

Haciendo uso de la nomenclatura empleada en (5.17) se tiene que los campos eléctricos en los medios 2 y 1, E2 y E1, son respectivamente:

DdcDd

E+⋅

−=

+⋅

−

−= 21

1

2

212

1

φφ

εε

φφ (5.47)

( ) ( ) ( ) DbbddDbddDdE

⋅+−−

=−⋅+

−=

−+

−=

12121

2

1

211

φφφφ

εε

φφ (5.48)

Donde se debe de tener en cuenta que:

( )xDExE

CB

A

−⋅+===⋅−==

222

111

φϕϕϕφϕϕ (5.49)

De modo similar puede calcularse la solución para el problema desplazado (Fig. 5.8)


∆d

d

x

z

D

φ1 φ2φ’m φ’n

ϕΑ ϕΒ ϕC

ϕ’1 ϕ’2

ε1 ε2

Fig. 5.8. Desplazamiento del contorno dieléctrico coincidente con una superficie equipotencial en el

condensador plano.

En este caso se verifica que:

( )xDExE

C

BA

−⋅′+=′=′⋅′−=′=′=′

222

111

φϕϕφϕϕϕ (5.50)

Donde:

( ) DddcE

+∆+⋅−

=′ 212

φφ (5.51)

( )[ ] ( ) ( ) DbbddddDbddE

⋅+−⋅∆+−

=∆+−⋅+∆+

−=′

12121

1φφφφ (5.52)

Se trata ahora de comparar estas soluciones con las construidas según el teorema (5.2) donde:

( )cabk

cakbkk

B

BCA

⋅+⋅=

⋅+=⋅==

11

11

(5.53)

Se realiza el cálculo de las constantes teniendo en cuenta que:

dEdE

dEnm

mn

m ∆⋅=−⇒

∆⋅−=⋅−=

22

11 φφφφ

φφ (5.54)

Luego la constante a valdrá:

DdcddE

a nm

+⋅∆

=−

∆⋅=

−−

=21

2

21 φφφφφφ (5.55)


El potencial en la región A después del desplazamiento, teniendo en cuenta (5.49), será:

( ) ( ) xEkkxEk AAAA ⋅⋅=⋅+⋅−⋅=′ 11111 --1 φφφϕ (5.56)

Para que sea igual a la función calculada (5.50) se debe de cumplir que:

11 EkE A ⋅=′ (5.57)

Pero como 21

21 EE ′⋅=′

εε y 2

1

21 EE ⋅=

εε esta condición es equivalente a:

( ) DddcDdc

dcDdcDdc

DdcdcDdcca

EEkE A

+∆+⋅−

=

+⋅∆⋅++⋅

⋅+⋅

−=

=

+⋅∆

⋅+⋅

+⋅−

=⋅+

==′

2121

21222

1

1

11

φφφφ

φφ

(5.58)

que coincide con la solución expresada en (5.51), dónde se ha tenido en cuenta (5.55).

El potencial en la región B después del desplazamiento, teniendo en cuenta (5.49) será:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) xEkkEDk

xEbkkEDkxEkkkkEDkk

kkkxDEkkkkk

AmAmB

BmAmB

BmBAABB

mBAABmBAABB

⋅⋅−+−⋅+⋅+−⋅=⋅⋅⋅−+−⋅+⋅+−⋅=

=⋅⋅−⋅−+⋅−+⋅⋅+⋅=⋅−+⋅−+−+=⋅−+⋅+=′

11122

11122

2122

12212

11-1

φφφφφφφφφφ

φφφφφφφφϕφ

(5.59)

donde se ha empleado 12 EbE ⋅= y (5.53). Esta expresión debe ser igual a (5.50) lo que se cumplirá si 11 EkE A ⋅=′ , que ya se ha visto y

( ) ( ) 0122 =−⋅+⋅+−⋅ φφφφ mAmB kEDk (5.60)

Se comprueba este último extremo partiendo de la última expresión teniendo en cuenta que BA kbk ⋅= , queda:

( )[ ] ( ) 00 122122 =−⋅+⋅+−⇒=−⋅+⋅+−⋅ φφφφφφφφ mmmmB bEDbEDk (5.61)

Teniendo en cuenta que:

db

EdEdE mm ⋅−=⋅−=−⇒⋅−= 2

1111 φφφφ (5.62)

donde se ha considerado (5.45), entonces la expresión (5.61) queda:

( ) ( )dDEdDEdEED mmm −⋅=−⇒=−⋅+−=⋅−⋅+− 2222222 0 φφφφφφ (5.63)

Expresión que se verifica de forma inequívoca.


Por último queda por comprobar el potencial en la región C después del desplazamiento:

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )xDEkxDEk

kxDEkkk

AC

CCCCC

−⋅⋅+=−⋅⋅+==⋅−+−⋅+⋅=⋅−+=′

2222

22222 11φφ

φφφϕϕ (5.64)

Que debe ser igual a la expresión (5.50) y serán iguales si:

22 EkE A=′ (5.65)

Lo que cual ya se había probado en (5.58).

CASO 2º: Estudio del condensador cilíndrico.

Considérese una sección de un condensador cilíndrico infinito en dirección axial, con dos medios dieléctricos en su interior como se muestra en la Fig. 5.9.

rn

rm

r1

z

r2

φ1 φ2 φm φn

ϕΑ ϕΒ ϕC

ϕ1 ϕ2

ε1 ε2

Fig. 5.9. Corte transversal del condensador cilíndrico.

Para obtener el campo eléctrico se puede aplicar el teorema de Gauss a una sección cilíndrica de altura L, considerando una densidad de carga constante σ1 sobre la superficie del cilindro interior:

rr

ELrrLE

rr

ELrrLE

⋅⋅

=⇒⋅⋅=⋅

⋅⋅

=⇒⋅⋅=⋅

2

1121122

1

1111111

22

22

εσ

πσπε

εσ

πσπε

(5.66)

con estas expresiones se cumple automáticamente la condición de frontera en la superficie dieléctrica:


2211 EE ⋅=⋅ εε (5.67)

Antes del desplazamiento la diferencia de potencial entre las placas del condensador es:

m

m

m

mr

r

r

r

rr

rr

r

rrr

rrr

drEdrEm

m

2

211

2111

2

2

11

11

112121

ln1ln1

lnln2

1

⋅+⋅

−=⋅⇒

⇒⋅

+⋅

=⋅+⋅=− ∫∫

εε

φφσ

εσ

εσ

φφ

(5.68)

Llamando:

m

m

rr

e

rr

d

2

2

11

ln1

ln1

⋅=

⋅=

ε

ε

(5.69)

Y sustituyendo en las expresiones del campo (5.66) queda:

redE

redE

⋅⋅

+−

=

⋅⋅

+−

=

2

212

1

211

1

1

εφφ

εφφ

(5.70)

De ahí que los potenciales en las regiones A y B sean respectivamente:

11

211111 ln1

1 rr

eddrE

r

rA ⋅⋅

+−

−=−== ∫ εφφ

φφϕϕ (5.71)

rr

eddrE

r

rCB

2

2

212222 ln12

⋅⋅+−

+=+=== ∫ εφφ

φφϕϕϕ (5.72)

De modo similar la solución para el contorno desplazado (Fig. 5.10) viene dado por las expresiones:


rn

rm

r1

z

r2

φ1 φ2 φm φn

ϕ’Α ϕ’Β ϕ’C

ϕ'1 ϕ’2

ε1 ε2

∆r

Fig. 5.10. BVP para el caso del condensador cilíndrico con el contorno desplazado.

11

211111 ln1

1 rr

eddrE

r

rBA ⋅⋅

′+′−

−=′−=′=′=′ ∫ εφφ

φφϕϕϕ (5.73)

rr

eddrE

r

rC

2

2

212222 ln12

⋅⋅′+′

−+=′+=′=′ ∫ ε

φφφφϕϕ (5.74)

donde:

n

n

rr

e

rr

d

2

2

11

ln1

ln1

⋅=′

⋅=′

ε

ε

(5.75)

Se comprueban ahora estas soluciones con las construidas según el teorema descrito por las ecuaciones (5.2) donde:

2

1

1

2

2

1

211;1;;

εε

εε

εε

φφφφ

−=⋅−==−−

= cbcba nm (5.76)

y

( ) AB

BCA

kcab

kca

kbkk

⋅=⋅+⋅

=

⋅+=⋅==

1

2

11

11

εε

(5.77)

El potencial de Aϕ ′ según (5.2) debe ser igual a:

( )11

2111

11

211 ln1-1ln1

rr

edkk

rr

edk AAAA ⋅⋅

+−

⋅−=⋅+

⋅⋅

+−

−=′ε

φφφφ

εφφ

φϕ (5.78)


Para que esta expresión se igual a (5.73) de Aϕ ′ se debe cumplir que:

ededk A ′+′

−=

+−

⋅ 2121 φφφφ (5.79)

O lo que es igual:

aceded

ededk A +

=′+′

+⇒

′+′+

=1

1 (5.80)

Para comprobar esta expresión se empieza calculando la diferencia de potencial entre las dos superficies equipotenciales Γm y Γn:

m

nnm

m

n

m

n

m

mrr

rnm

rr

eda

rr

edrrr

rrrr

drrrm

m

ln11

ln1lnln

221

2

21

2

11

2

11

2

11

⋅⋅+

==−−

⇒

⇒⋅⋅+−

=⋅

=∆+⋅

=⋅⋅⋅

=− ∫∆+

εφφφφ

εφφ

εσ

εσ

εσ

φφ

(5.81)

Una vez obtenida la expresión de a se comprueba que se verifica la segunda parte de la expresión de kA (5.80) en la que se tiene en cuenta el valor de c dado por (5.76):

n

m

m

n

m

m

n

m

mm

nm

m

n

m

m

n

n

m

n

m

n

n

n

m

m

A

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rrced

ed

rr

edc

rr

rr

rr

rr

ededk

ln1ln1ln1ln11

ln1ln11

ln11ln1ln11

ln1ln11

lnln111

1

ln1ln1

ln1ln1

21

2

211

2

211

21

2

211

2

211

22

2

211

2

211

⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅⋅+⋅⋅

⇒

−+⋅+⋅

=⋅+⋅

⇒

⇒⋅++

+=

⋅⋅+

⋅+=

⋅+⋅

⋅+⋅=

′+′+

=

εεεεεε

εεεεεε

εεεε

εε

(5.82)

donde se ha tenido en cuenta los valores de d y e dados por (5.69), con lo que queda demostrada la validez de la expresión (5.80) y por lo tanto la igualdad de las expresiones del potencial.

Se calcula ahora el potencial en la región B después del desplazamiento sustituyendo (5.72) en (5.2):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )11

21

1

2

1

21112

2

1

11

21112

2

1

21112

2

2

21112

12

2

212

ln1ln1

ln1

ln1

ln1

-1ln1

rr

edk

rr

edkkk

rr

rr

edkkk

rr

edkkk

rr

edkkk

kkkrr

edk

AAmAmB

AmAmB

AmAmB

BmAmB

mBAABB

⋅⋅+−

⋅−⋅⋅+−

⋅++−⋅+−⋅

⋅⋅⋅+−

⋅−+−⋅+−⋅

=⋅⋅+−

⋅++−⋅+−⋅=

=⋅⋅+−

⋅++−⋅+−⋅

=⋅−+⋅+

⋅⋅

+−

+⋅=′

εφφ

εφφ

φφφφφ

εφφ

φφφφφ

εφφ

φφφφφ

εφφ

φφφφφ

φφε

φφφϕ

(5.83)


expresión en la que se ha tenido en cuenta (5.77). Para que esta expresión se igual a (5.73) de Bϕ ′ se debe cumplir que:

ededk A ′+′

−=

+−

⋅ 2121 φφφφ (5.84)

lo que ya se ha comprobado. Además se debe de cumplir, de la comparación de ambas expresiones, que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0ln1

0ln11

0ln1

ln1

1

2

1

211

2

1

2

1

2112

1

2

1

2112

11

2

1

21121

=⋅⋅+−

+−+−

=⋅⋅+−

⋅+−⋅+−⋅⋅

=⋅⋅+−

⋅+−⋅+−⋅

⇒=⋅⋅+−

⋅+−⋅+−⋅+

rr

edb

rr

edkkk

b

rr

edkkk

rr

edkkk

mm

AmAmA

AmAmB

AmAmB

εφφ

φφφφ

εφφ

φφφφ

εφφ

φφφφ

φε

φφφφφφφ

(5.85)

Por otra parte se sabe que:

11

111

2

1

1122

2

112

ln

lnln

rrr

rrr

brrr

mm

m

m

mm

εσ

φφ

εσφφ

εσ

φφ

⋅=−

⋅=

−⇒

⋅=−

(5.86)

expresión en la que se ha tenido en cuenta (5.76). Si sumamos las expresiones anteriores queda:

1

2

1

112

11

1121 lnlnln

rrr

rr

rrr

b m

mmm ε

σε

σφφφφ

⋅=

+

⋅=

−+−

(5.87)

Y teniendo en cuenta de la expresión (5.68) que:

( )edr +⋅⋅=− 1121 σφφ (5.88)

Sustituyendo (5.87) y (5.88) en (5.85) queda:

( )( ) 0ln1ln

1

2

1

11

1

2

1

11 =⋅⋅+

+⋅⋅+⋅

⋅−

rr

ededr

rrr

εσ

εσ (5.89)

Expresión que se verifica de manera inequívoca.

Por último queda por comprobar el potencial en la región C tras el desplazamiento. Sustituyendo (5.72) en (5.2) queda:

( ) ( )

rr

edk

rr

edk

krr

edkkk

AC

CCCCC

2

2

212

2

2

212

22

2

21222

ln1ln1

1ln11

⋅⋅+−

⋅+=⋅⋅+−

⋅+=

=⋅−+

⋅⋅

+−

+=⋅−+=′

εφφ

φε

φφφ

φε

φφφφϕϕ

(5.90)


Donde se ha empleado la expresión (5.77) (kA=kC) y se comprueba que es igual a la expresión (5.74) pues ya se ha demostrado que:

ededk A ′+′

−=

+−

⋅ 2121 φφφφ (5.91)

CASO 3º: Estudio del condensador esférico.

Considérese el condensador esférico de la Fig. 5.11 con dos medios dieléctricos.

rnrm

z

r2

φ2

φm φn

ϕΑ

ϕΒ ϕC

ϕ1 ϕ2

ε1

ε2

r1

φ1

Fig. 5.11. Corte transversal del condensador esférico.

El campo eléctrico en los medios 1 y 2 se puede calcular aplicando de nuevo el teorema de Gauss, obteniéndose:

22

2

21

1

4

4

rQE

rQE

⋅=

⋅=

πε

πε

(5.92)

Se observa que se cumple que:

2211 EE ⋅=⋅ εε (5.93)

Antes del desplazamiento la diferencia de potencial entre las placas del condensador es:

drEdrEr

r

r

r m

m⋅+⋅=− ∫∫

2

12121 φφ (5.94)

−⋅+

−⋅=

⋅+⋅=− ∫∫

22112

22

121

1111114

11114

2

1 rrrrQdr

rdr

rQ

mm

r

r

r

r m

m

εεπεεπφφ

(5.95)

De donde se deduce que la carga total en el interior del condensador es:


[ ]

−⋅+

−⋅

−=

2211

21

1111114

rrrr

Q

mm εε

φφπ (5.96)

De este modo teniendo en cuenta (5.92) y (5.96) se pueden obtener los valores del campo eléctrico en los medios 1 y 2 sobre la frontera dieléctrica. Así el campo eléctrico correspondiente al medio 1 será:

2

22

1

1

211

11111 m

mm

rr rrrrr

Em

⋅

−⋅+

−

−=

=

εε

φφ (5.97)

Y el campo eléctrico correspondiente al medio 2 será:

2

211

2

212

11111 m

mm

rr rrrrr

Em

⋅

−+

−

−=

=

εε

φφ (5.98)

Para simplificar las expresiones anteriores si se denomina:

−=

−=

22

11

111

111

rre

rrd

m

m

ε

ε

(5.99)

Entonces el campo eléctrico en los medios 1 y 2 será:

( )

( ) 22

212

21

211

1

1

redE

redE

⋅+⋅

−=

⋅+⋅

−=

εφφ

εφφ

(5.100)

Antes del desplazamiento de la superficie equipotencial se verifica entonces:

( )( )

( )( )

−⋅

+⋅−

−=⋅⋅+⋅

−−=⋅−== ∫∫ rred

drred

drEr

r

r

rA

111

11

2112

1

211111

11 εφφφ

εφφφφϕϕ (5.101)

De modo similar el potencial en la región 2 será:

( )( )

( )( )

−⋅

+⋅−

+=⋅⋅+⋅

−+=+=== ∫∫

22

2122

2

212222

11122

rreddr

reddrE

r

r

r

rCB ε

φφφ

εφφ

φφϕϕϕ (5.102)

La solución para el contorno desplazado (Fig. 5.12) viene dada por las expresiones:


rnrm

z

r2

φ2

φm φn

ϕΑ

ϕΒ ϕC

ϕ1 ϕ2

ε1

ε2

r1

φ1

∆r

Fig. 5.12. Corte transversal del condensador esférico.

( )( )

−⋅

′+′⋅−

−=′−=′=′=′ ∫ rreddrE

r

rBA

11

11

211111

1 εφφ

φφϕϕϕ (5.103)

( )( )

−⋅

′+′⋅−

+=′+=′=′ ∫22

212222

112

rreddrE

r

rC ε

φφφφϕϕ (5.104)

siendo:

−=′

−=′

22

11

111

111

rre

rrd

n

n

ε

ε

(5.105)

Se comprueban ahora estas soluciones con las construidas según el teorema descrito por las ecuaciones (5.2) donde:

2

1

1

2

2

1

211;1;;

εε

εε

εε

φφφφ

−=⋅−==−−

= cbcba nm (5.106)

y

( ) AB

BCA

kcab

kca

kbkk

⋅=⋅+⋅

=

⋅+=⋅==

1

2

11

11

εε

(5.107)

El potencial Aϕ ′ según (5.2) debe ser igual a:


( )

−⋅⋅

+−

⋅−=⋅+

−⋅⋅

+−

−=′rred

kkrred

k AAAA111-1111

11

2111

11

211 ε

φφφφ

εφφ

φϕ (5.108)

Para que esta expresión sea igual a (5.103) de Aϕ ′ se debe cumplir que:

ededk A ′+′

−=

+−

⋅ 2121 φφφφ (5.109)

O lo que es igual:

aceded

ededk A +

=′+′

+⇒

′+′+

=1

1 (5.110)

Para comprobar esta expresión se empieza calculando la diferencia de potencial entre las dos superficies equipotenciales Γm y Γn:

−⋅⋅

+==

−−

⇒

⇒

−⋅⋅

+−

=⋅⋅⋅+−

=− ∫

nm

nm

nm

r

rnm

rreda

rreddr

redn

m

1111

11111

221

2

212

2

21

εφφφφ

εφφ

εφφ

φφ

(5.111)

Una vez obtenida la expresión de a se comprueba que se verifica la ecuación (5.110) en la que se tiene en cuenta el valor de c dado por (5.106):

+−−⋅+

−+−⋅

=

=

−⋅

−+

−⋅+

−⋅

=

=

−⋅+

−⋅

⇒

−⋅

−++

+=

=

−⋅

+⋅+

=

−⋅+

−⋅

−⋅+

−⋅

=′+′

+=

nmmnmm

nmmm

nnnm

mnn

mmA

rrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrred

edrred

crrrr

rrrrededk

11111111111

11111111111

1111111

1111

1111

1111111

111111

2211

212211

221121

122211

2211

εε

εεεε

εεεε

εεε

εε

(5.112)

Con lo que queda demostrada la validez de la expresión de (5.110) y por lo tanto la igualdad de las expresiones del potencial.

Se calcula ahora el potencial en la región B después del desplazamiento sustituyendo (5.102) en (5.2):


( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−⋅

+−

⋅+

−⋅

+−

⋅−+−⋅+−⋅=

=

−⋅⋅

+−

⋅++−⋅+−⋅

=⋅−+⋅+

−⋅

+⋅−

+⋅=′

21

21

11

21

1112

22

21112

122

212

1111

111

-111

rredk

rredk

kk

rredkkk

kkkrred

k

AAmAmB

BmAmB

mBAABB

φφε

φφε

φφφφφ

εφφ

φφφφφ

φφε

φφφϕ

(5.113)

expresión en la que se ha tenido en cuenta (5.107). Para que esta expresión se igual a (5.103) de Bϕ ′ se debe cumplir que:

ededk A ′+′

−=

+−

⋅ 2121 φφφφ (5.114)

lo que se acaba de comprobar. Además se debe de cumplir, de la comparación de ambas expresiones, que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )0111

0111

011

11

211

211

2

21

21

112

21

21

112

121

21

1121

=

−⋅⋅

+−

+−+−

=

−⋅

+−

⋅+−⋅+−⋅⋅

=

−⋅

+−

⋅+−⋅+−⋅

⇒=

−⋅

+−

⋅+−⋅+−⋅+

rredb

rredk

kkb

rredkkk

rredk

kk

mm

AmAmA

AmAmB

AmAmB

εφφ

φφφφ

φφε

φφφφ

φφε

φφφφ

φφφ

εφφφφφ

(5.115)

Por otra parte se sabe que:

( )

( )

−⋅

+−

=⋅=−

−⋅

+−

=−

⇒

−⋅⋅

+−

=⋅=−

∫

∫

m

r

rm

m

m

m

r

rm

rreddrE

rredbrreddrE

m

m

11

11111

11

2111

21

212

22

2122

1

2

εφφ

φφ

εφφφφ

εφφ

φφ

(5.116)

expresión en la que se ha tenido en cuenta (5.106). Si sumamos las expresiones anteriores queda:

( ) ( )

−⋅

+−

=

−+−⋅

+−

=−

+−211

21

121

2121

111111rredrrrredb mm

mm ε

φφε

φφφφφφ

(5.117)

Con lo que se verifica la ecuación (5.115).

Por último queda por comprobar el potencial en la región C tras el desplazamiento. Sustituyendo (5.102) en (5.2) queda:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

−⋅

+⋅−

⋅+=

−⋅

+⋅−

⋅+=

=⋅−+

−⋅

+⋅−

+=⋅−+=′

22

212

22

212

222

21222

1111

1111

rredk

rredk

krred

kkk

AC

CCCCC

εφφ

φε

φφφ

φε

φφφφϕϕ

(5.118)


Donde se ha empleado la expresión (5.107) (kA=kC) y se comprueba que es igual a la expresión (5.104) pues ya se ha demostrado que:

ededk A ′+′

−=

+−

⋅ 2121 φφφφ (5.119)

5.4 Ampliación del método de optimización campos tridimensionales

Se parte de una configuración en la que, teniendo simetría axial cada una de las partes correspondientes individualmente, el campo resultante es un campo tridimensional general sin simetría axial (ver Fig. 5.13).

Y

X

Z

Fig. 5.13. Partes individuales simétricas respecto al eje axial situadas en cualquier lugar del espacio.

Se selecciona la parte a optimizar (una interfaz dieléctrica), que por tener simetría axial, puede cortarse por un conjunto de planos axiales, resultando en cada uno de ellos la misma curva generatriz. La mejor forma de seleccionar estos planos es hacer que su ángulo acimutal alrededor del eje coincida con el de los puntos de contorno utilizados para el cálculo de campos, tal y como se explicó en 5.2 (Fig. 5.14).

Sobre cada uno de los planos de corte se cuenta ahora con un contorno susceptible de ser optimizado. Para cada uno de estos contornos se calcula un contorno desplazado del mismo modo que se hacía en el caso de un campo eléctrico con simetría axial. Ciertamente, ahora el vector intensidad de campo ya no se encuentra contenido en cada uno de los planos sobre los que se desplazan los contornos (si se exceptúan los posibles planos de simetría de la configuración). Como los desplazamientos en el primer intento se calculan en función de la derivada direccional del campo en la dirección normal


únicamente, la aproximación resulta ahora más inexacta que en el caso de campos con simetría axial.

En cada uno de los contornos de corte se presenta una distribución de campo diferente y, de acuerdo con esto, se obtienen contornos desplazados diferentes. Sería posible, pero verdaderamente bastante difícil, definir una nueva superficie tridimensional que contuviera todos los contornos desplazados, por ejemplo, usando superficies spline. Pero tal superficie sería demasiado complicada de fabricar y su interés técnico no sería muy alto, aunque resultase interesante desde el punto de vista teórico. Pero en nuestro caso no sería posible continuar con el proceso de optimización, porque el programa de cálculo no permite superficies individuales que no presenten simetría axial.

Planos de Corte

Desplazamiento de Contornos

Fig. 5.14. División de una superficie con planos de corte para determinar el desplazamiento de contornos.

Por esta razón es necesario definir un método para generar un contorno único con una curva generatriz para la superficie modificada a partir de todos los diferentes contornos desplazados obtenidos. El método utilizado se explica a continuación.

Sea M el número de planos axiales de corte (cuatro en el caso de la Fig. 5.14), entonces en cada nivel de la superficie a optimizar habrá igualmente M puntos de contorno. Para un plano de corte j las coordenadas locales sobre ese plano del punto de contorno i después de haber sido desplazado se denotan por (rij, zij ). A partir de estas coordenadas, y usando la intensidad de campo total como factor de peso, se definen las coordenadas de una nueva generatriz según:

1 1

1 1

M M

ij tot ij ij tot ijj j

i iM M

tot ij tot ijj j

r E z Er z

E E

= =

= =

= =∑ ∑

∑ ∑

(5.120)


Este contorno resultante se somete a los mismos procesos de ajuste geométrico que en el caso de la optimización en campos con simetría axial, es decir, se le da una forma suave y se obliga a que los ángulos de corte con los electrodos limítrofes [30] sean de 90º, mediante el empleo de splines cúbicas de ajuste.

5.5 Criterios de evaluación

El objetivo seleccionado para la optimización, como se comentó en los capítulos anteriores, es la minimización de la intensidad de campo máxima sobre la superficie de un aislador (Emax). En cada iteración se plantea para cada punto de contorno una intensidad de campo objetivo situada entre la existente en el punto y el valor medio de la intensidad de campo a lo largo del contorno (Em) (Fig. 5.15). Si después de una iteración se consigue el objetivo en todos los puntos del contorno, el valor del cociente, Eminmax, entre las intensidades de campo mínima y la máxima a lo largo del contorno, aumentará, pudiendo alcanzar como valor máximo la unidad. Este cociente representa por tanto una medida cuantitativa de hasta qué punto se han alcanzado localmente los objetivos propuestos en cada iteración. Sin embargo, teniendo en cuenta el objetivo final de la iteración, una iteración se considera válida no por el hecho de que Eminmax aumente, sino simplemente si Emax disminuye.

a) longitud del arco

Eobj1

E1

Em

Etot (kV/cm)

s

b) longitud del arco

E2

E1

Em

Etot (kV/cm)

s

c) longitud del arco

E1

E3

Em

Etot (kV/cm)

s

Fig. 5.15. Criterios de evaluación de la función objetivo.


Así por ejemplo, para una distribución de campo E1 a lo largo de un contorno como la mostrada en la Fig. 5.15 (a) con una distribución de campo objetivo Eobj1, podrían obtenerse distribuciones de campo en el contorno iterado como las mostradas en las Fig. 5.15 (b) y (c).

Para la distribución E2 de la figura Fig. 5.15 (b) Eminmax2 es menor que Eminmax1, lo que quiere decir que globalmente no se han alcanzado los objetivos locales planteados. Sin embargo Emax2 < Emax1, y el nuevo contorno sí cumple el objetivo final de la optimización por lo que se aceptaría como válido.

En cambio para la distribución E3 de la Fig. 5.15 (c) aunque Eminmax3 > Eminmax1 y podría decirse que globalmente se han alcanzado los objetivos locales propuestos, sin embargo Emax3 > Emax2 lo que contradice el objetivo final de la optimización por lo que este contorno quedaría rechazado.

5.6 Descripción detallada del proceso de optimización para cada curva generatriz

5.6.1 Consideraciones globales

Después de seleccionar un conjunto de M secciones axiales de la superficie con simetría rotacional, tal y como se ha indicado anteriormente, se obtiene, en cada una de estas secciones, la curva generatriz de la superficie de revolución. Para cada una de estas curvas generatrices, originalmente iguales, se lleva a cabo el siguiente proceso de modificación del contorno separadamente. Se considera que la curva puede calcularse a partir de las coordenadas de n puntos de contorno P P Pn1 2, , ,K . En la descripción que sigue se hará referencia a esta curva como contorno por optimizar A, o, cuando no haya lugar a confusión, simplemente como contorno A.

La forma de este contorno debe ser modificada de tal manera que la distribución del módulo de la intensidad de campo eléctrico entre los puntos nPP y 1 , satisfaga los

criterios de diseño establecidos.

Para ello en primer lugar se calcula la distribución del módulo de la intensidad de campo eléctrico para el contorno considerado. Si no se satisfacen las condiciones de diseño establecidas, entonces se procede a la modificación del contorno. Para modificarlo, se toman los puntos de contorno P P Pn1 2, , ,K como puntos de apoyo.

A partir del contorno inicial A, se determina un nuevo contorno, que se va a denominar contorno modificado &&&A . Si se produce para este contorno modificado una mejora de las


relaciones de campo eléctrico, según los criterios de diseño establecidos, en comparación con las que se tenían para el contorno inicial, el contorno modificado se marca como contorno válido. Este contorno válido se toma entonces como contorno inicial para la determinación de un nuevo contorno. Este proceso de cálculo de contornos válidos se continúa hasta que se satisfagan las condiciones de diseño establecidas.

Si en el contorno modificado no se produce la mencionada mejora de las relaciones de campo eléctrico, entonces se determina a partir del mismo contorno inicial un nuevo contorno modificado. Este proceso se repite hasta que se encuentra un contorno válido o se produce alguna condición previa de interrupción del proceso. En cada nuevo intento de determinación de un contorno válido, se hace uso de la experiencia obtenida en los intentos anteriores, en cuanto a la modificación de las relaciones de campo se refiere.

El cálculo de un contorno modificado se lleva a cabo en tres pasos.

El primer paso produce un contorno que se denomina contorno desplazado &A . El contorno desplazado se calcula asignando a cada punto de apoyo, Pi , un desplazamiento, Ti , en dirección de la normal al contorno. A partir de los puntos del contorno inicial y de los desplazamientos se determinan n puntos desplazados & , & , , &P P Pn1 2 K .

El contorno que se deduce de los puntos desplazados no satisface por lo general las condiciones geométricas de diseño. Para asegurar el cumplimiento de estas condiciones es preciso corregir, en un segundo paso, el contorno desplazado. De esta manera se obtiene el contorno corregido &&A (Puntos && , && , , &&P P Pn1 2 K ).

Debido a las correcciones geométricas, las distancias entre puntos de contorno consecutivos pueden verse alteradas, lo que a lo largo de una serie de iteraciones puede conducir a concentraciones o acumulaciones de los puntos de contorno, lo que conlleva una influencia negativa sobre el cálculo del campo eléctrico. Puede, por ello, ser necesario redistribuir los puntos de apoyo sobre el contorno corregido, para obtener finalmente, a partir de los nuevos puntos, lo que se denominará el contorno modificado &&&A (Puntos &&& , &&& , , &&&P P Pn1 2 K ).

5.6.2 La optimización como proceso iterativo

Los distintos contornos (A A A A0 1 2 3, , , ,K), que se generan a lo largo de la optimización para el aislador por optimizar, pueden considerarse como miembros de una sucesión (sucesión de optimización), para la que se han establecido un conjunto de reglas y definiciones que pasan a explicarse a continuación.


� A cada término Ai de la sucesión de optimización, se le asigna un conjunto de parámetros si .

� Se define como iteración i (i > 0) el par ordenado ( )iii AAI ,1−= . Ai −1 es el

contorno inicial o de partida y Ai es el contorno iterado. La iteración nula I 0 , se define como el par ordenado ( )00, AA .

� Los diferentes términos Ai de la sucesión de optimización se determinan como se explica a continuación:

A0 es un dato y se considera como contorno válido.

A1 se obtiene como contorno modificado &&&A0 a partir A0.

En función de los conjuntos de parámetros s0 y s1 se clasifica A1 como contorno válido o como contorno no válido.

Para i > 1 se cumple:

Si Ai −1 es un contorno válido, entonces Ai se calcula como contorno modificado &&&Ai −1 a partir de Ai −1. En función de los conjuntos de parámetros si −1 y si se clasifica Ai como contorno válido o como contorno no válido.

Si Ai −1no es un contorno válido, entonces se hace Ai igual a Ai −2. El que Ai −1 sea un contorno no válido, implica que las relaciones de campo eléctrico en Ai −2, y como consecuencia también en 2−= ii AA , son mejores que las de Ai −1. Por lo tanto, según la

definición, Ai es de nuevo un contorno válido.

(5.121)

� Para la caracterización de los contornos válidos y los no válidos se define la función ϑ, que asigna a una iteración Ii el valor 1, si la iteración ha supuesto una mejora de las características eléctricas del contorno (representadas por el conjunto de parámetros si) o 0 en caso contrario. Es decir, si ( ) 1=iIϑ , entonces Ai es un contorno

válido según la nomenclatura explicada.

� De (5.121) se deduce que puede haber tres tipos diferentes de iteraciones:

I ) A partir de un contorno válido se obtiene un nuevo contorno válido. Una iteración tal se denomina iteración efectiva.

II ) A partir de un contorno válido se obtiene un contorno no válido.


III ) A un contorno no válido le sigue siempre un contorno válido, que es el mismo contorno del que se deriva el contorno no válido considerado.

Para diferenciar estos tres tipos de iteraciones se introduce la función Θ. Esta función asigna a cada iteración Ii un valor ( ) { }1,0,1−∈Θ iI . Se dice que la iteración Ii

tiene el valor ( )iIΘ . Se cumple:

( )( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]

ϑ=Θϑ=Θ

−=Θ=Θ=Θ

−

II Tipo 0=I si 0II Tipo 1=I si 1I

no si III Tipo 1I entonces ,0I si

;1I

ii

ii

i1i

0

(5.122)

Del mismo modo, se asigna a cada término de la sucesión de optimización, es decir, a cada contorno, un valor según:

( ) ( )iii IA Θ=Θ=Θ . (5.123)Así pues, los contornos válidos pueden caracterizarse mediante la expresión Θi = 1.

� Todas las iteraciones que presentan el mismo contorno válido como contorno de partida se denominan intentos. Entre dos contornos válidos distintos Ai y Aj se define

una subsucesión de la sucesión de optimización, que se denomina subsucesión de intentos del contorno, como el conjunto

{ }{ },,2,1,0k y

j1k2icon A,A,,A,A,A 1k2ik2i2i1iiK

K

∈=+++++++

(5.124)

Para el que se cumple:

kv0 para AA iv2i ≤≤=+ . (5.125) v se denomina contador de intentos. El intento v para el contorno Ai es la iteración ( )12212 , +++++ = vivivi AAI .

� Se llama contorno actual al último contorno calculado. El índice del contorno actual se denomina igualmente como índice actual, ξ. Como iteración actual se denomina la iteración que tiene el mismo índice que el contorno actual.

� Se denomina subiteración de optimización efectiva a la subsucesión de todos los contornos con valor 1 sin considerar las repeticiones de los intentos. Estos contornos se denominan también contornos efectivos.

� El número de iteraciones efectivas es igual al número de contornos efectivos menos uno.


5.6.2.1 El conjunto de parámetros de un contorno

Para cada punto ( )iii zrP , de un contorno Ai se calculan las siguientes magnitudes:

� Potencial Φi .

� Intensidad de campo eléctrico en el sistema global de coordenadas ( )iziyixi EEEE ,,

r y en el sistema local de coordenadas ( )ψϑ iiini EEEE ,,

r.

� Derivadas del módulo de la intensidad de campo en dirección

normal a ambos lados de la superficie dieléctrica 2

i

1

inEy

nE

∂∂

∂∂ .

(5.126)

Para calcular estas magnitudes, primero se resuelve el problema de cálculo de campos de la configuración actual. Entonces, partiendo de las magnitudes citadas y de las constantes objmfobjmememf Ey E,E , que define el usuario, y cuyo significado puede

deducirse de las explicaciones que siguen, se calculan las magnitudes siguientes:

Intensidad de campo media Emed

( )

1

no si

E

entonces ,10 > intentos decontador el ó 0 ó 0E Si

1med

1

memfmed

objme

∑

∑

=

=

=

=

==

n

ii

n

ii

En

E

En

E

vξ

(5.127)

Intensidades de campo mínima y máxima maxmin EE y , cociente entre las intensidades de campo mínima y máxima min/maxE y diferencia entre las intensidad de campo máxima y la intensidad de campo media medmax−E :

{ }{ }{ }{ }

medmaxmedmax

max

minminmax

min

max

,,1,Min,,1,Max

EEEEE

E

niEEniEE

i

i

−=

=

∈=∈=

−

K

K

(5.128)

Incremento de intensidad de campo ∆Ei :


( )

( )

10>

y 3E si E

10

y 3E si 0

2E si E

1E si E

medmaxmi

objmemi

miobjmf

med

objme

objmemedmax

mimiobjmf

objmemiobjmf

mi

medmi

mi

∆

=∆∆

⋅

≤∆

=

=∆

⋅∆⋅

=∆⋅

=∆−=∆

∆=∆

−

−

−

EE

EE

EE

EE

E

E

EfEEE

EfE

maxmi

i

i

(5.129)

Intensidad de campo objetivo E iobj :

obj iii EEE ∆+= (5.130)

Todas estas magnitudes se calculan a ambos lados de la frontera dieléctrica.

El conjunto de todas las magnitudes desde (5.126) hasta (5.130) determina el conjunto de parámetros si para cada contorno Ai .

5.6.2.2 La función de caracterización de las iteraciones

Se describe ahora la función ϑ, que sirve para discriminar si una iteración Ii ha dado lugar a un contorno mejor o no.

El usuario debe suministrar las siguientes constantes:

� ISCRI : Señala a qué lado de la frontera dieléctrica deben compararse los conjuntos de parámetros de los dos contornos que forman la iteración. Puede adoptar los siguientes valores:

1: Comparación sólo en el lado izquierdo

2: Comparación sólo en el lado derecho

3: Comparación en ambos lados

� VALCRIT : Indica que criterios de comparación deben emplearse. Puede adoptar los siguientes valores:

1: Criterio de comparación 1

2: Criterio de comparación 2


3: Criterios de comparación 1 y 2.

Con estas constantes, la función ϑ se define así:

( )

{ }

( )

0 I entonces 0, > CRI Si CRI2+CRI1 = CRI entonces 3, =VALCRIT Si

CRI2 = CRI entonces 2, =VALCRIT Si CRI1 = CRI entonces 1, =VALCRIT Si

1=CRI2 entonces ,EE Si

1=CRI1 entonces ,EE Si 0=2CRI 0=1CRI

k,k ladoPara.2k ;1k

entonces 3, = ISCRI si2k ;2k

entonces 2, = ISCRI si1k ;1k

entonces 1, = ISCRI si1I

i

ladomin/maxladomin/max

ladomaxladomax

21

21

21

21

i

=ϑ

≤

≥

∈==

==

==

=ϑ

−

−

1ii

1ii

(5.131)

5.6.2.3 El cálculo de un contorno modificado

Se considera ahora una subsucesión de intentos entre dos contornos válidos Ai y Aj ,

como se definió en (5.124) y (5.125). En cada intento de esta subsucesión se calcula a partir del mismo contorno de partida A Ai v i+ =2 , un contorno modificado diferente A Ai v i v+ + +=2 1 2&&& . Como ya se ha comentado, en cada intento, se hace uso de la experiencia adquirida en los intentos anteriores. Para ello, en función del valor del contador de intentos v se utiliza un algoritmo distinto para la determinación de los contornos desplazados &Ai v+2 .

Para la determinación de los contornos corregidos y de los contornos modificados a partir de los contornos desplazados, se utilizan siempre los mismos algoritmos, pero también se hacen depender los valores de un conjunto de parámetros, que se llamarán S, del valor del contador de iteraciones: S=S(v).


5.6.2.3.1 El cálculo de los contornos desplazados I ) Contador de intentos v = 0

Para determinar los desplazamientos Ti , se define para cada punto una intensidad de campo objetivo E iobj . Como ya se ha apuntado en epígrafes anteriores, resulta

apropiado definir una intensidad de campo objetivo en cada punto que se encuentre entre los valores de la intensidad de campo presente en el punto en consideración y el valor medio de la intensidad de campo a lo largo del contorno. Con esta intención se han formulado las ecuaciones (5.129) y (5.130).

La intensidad de campo eléctrico sobre una superficie de separación dieléctrica no posee un valor determinado sino dos valores límite distintos, según qué lado de la frontera se considere. Correspondientemente resulta posible calcular dos distribuciones de campo distintas con sus correspondientes valores medios. Así pues, es posible asignar a cada punto dos valores distintos de intensidad de campo objetivo, pues no se sabe a priori, en qué dirección va a desplazarse cada punto.

Se introduce como convenio asignar a los desplazamientos en dirección 2 (derecha de la frontera en el sentido de recorrido del contorno) un signo positivo y a los desplazamientos en dirección 1 (izquierda de la frontera en el sentido de recorrido del contorno) un signo negativo

Se utiliza entonces la siguiente estimación:

( ) ( )

( ) ( )

. 0 cuando decir, es

1, dirección en entosdesplazamipara

0 cuando decir, es

2, dirección en entosdesplazamipara

111

222

<

+≈

>

+≈

i

ii

ii

i

ii

ii

T

TnE

PEPE

T

Tn

EPEPE

∂∂

∂∂

&

&

(5.132)

Del mismo modo se calculan las derivadas direccionales a los lados 1 y 2 según:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.0hcon

hnhPEPElim

hPEnhPElim

nE

hPEnhPElim

nE

i1ii0h

ii1i0h1

i

ii2i0h2

i

>

+−=

−−+

=∂∂

−+=

∂∂

→→

→rrrrrr

rrr

(5.133)

Para calcular los desplazamientos Ti se calculan en todos los puntos del contorno las derivadas del módulo de la intensidad de campo en dirección normal a ambos lados de


la frontera dieléctrica, y por lo tanto se determinan dos desplazamientos posibles, uno para cada sentido.

( )

( ).

1

11obj1

2

22obj2

nE

EET

nE

EET

i

iii

i

iii

∂∂

∂∂

−=

−=

(5.134)

Dado que la fórmula para ∂∂Eni2

supone desplazamientos positivos y la fórmula para

∂∂Eni1

los supone negativos, en (5.134) hay que considerar Ti 2 como desplazamiento

posible cuando 02 >iT , y 1iT cuando 01 <iT .

En teoría es posible imaginar toda combinación posible de signos para Ti 2 y Ti 1 en (5.134). Para fijar la dirección de desplazamiento se utiliza el siguiente esquema de decisiones.

<

≤

<

. 2 dirección en tosplazamien Deno si

desplaza, se no punto Elposible. es 2 o 1 entodesplazami de sdireccione dos las deNinguna

o.conflictiv nto Puentonces ,0 si

no si

ento,desplazami der menor valo el con direcciónla toma Se posibles. son

2 y 1 entodesplazami de sdireccione Ambas o.conflictiv nto Pu

no si1, dirección en tosplazamien De

entonces ,0 si

entonces ,0 si

2

2

1

i

i

i

T

TT

(5.135)

Para reducir el número de puntos en que pueda aparecer un conflicto al determinar la dirección de desplazamiento, se comparan los valores de las derivadas direccionales a ambos lados de la frontera dieléctrica. En aquellos puntos, en los que los signos de ambas derivadas son distintos, y puede esperarse que se presente el conflicto mencionado, se sustituyen los valores calculados por los que se deducirían de una interpolación lineal entre los valores de los puntos adyacentes.

II) Contador de intentos v = 1


Cuanto tras el cálculo del contorno modificado para v = 0 no se llega a un contorno válido, se utiliza para v = 1 el mismo procedimiento que para v = 0 , excepto que las derivadas direccionales (5.133) se sustituyen por las ya comentadas derivadas globlales empíricas, que se pueden calcularse a partir de los valores de campo de la iteración fracasada. Estas derivadas empíricas se calculan según el esquema siguiente:

1i

válidopartida de contorno1i válidono iterado contorno1i

1

i

2i

válidopartida de contorno2i válidono iterado contorno2i

2

i

T

EE

DnDE

T

EE

DnDE

−≈

−≈

(5.136)

III) contador de intentos v > 1

Para el caso de que ninguno de los dos primeros intentos tenga éxito, se han implementado distintos procedimientos para tratar de llevar el proceso de optimización a la convergencia:

1) Método de convergencia 1: Interpolación entre los dos últimos contornos válidos.

2) Método de convergencia 2: Extrapolación a partir de los dos últimos contornos válidos mediante la introducción de una función de éxito.

3) Método de convergencia 3: Reducción constante de los desplazamientos de la última iteración no válida.

4) Método de convergencia 4: Modificación de los parámetros S para el cálculo de los contornos desplazados y de los contornos corregidos.

IV) Correcciones a posteriori para todos los valores del contador de intentos v

Tras haber calculado los desplazamientos, se observó la conveniencia, independientemente del valor del contador de intentos v, de corregir el vector de desplazamientos [ ] ( )nTTTT ,,, 21 K= mediante una serie de medidas adicionales para lo

cual se introdujeron los siguientes parámetros:

� DIAME : representa la máxima distancia entre dos puntos de contorno del contorno por optimizar. Es una medida del tamaño del contorno.

� MAXDF: El producto DIAME * MAXDF se toma como valor límite del desplazamiento admisible para un punto de contorno.

� COMPDES: En (5.135) se forzó un desplazamiento nulo de los puntos conflictivos. Cuando el parámetro COMPDES tiene el valor 1, el desplazamiento de estos puntos, antes de calcular el contorno corregido, se interpola entre los desplazamientos de los puntos adyacentes.


� FORMFAC: Para FORMFAC = 0 se fijan los desplazamientos que sobrepasan el desplazamiento máximo admisible, iguales a este valor máximo. Para FORMFAC =1, se fija únicamente el máximo de todos ellos igual al desplazamiento máximo admisible, el resto de desplazamientos se reducen de tal manera que se mantenga la forma del vector de desplazamientos.

� TRUNCATE: La presencia de máximos o mínimos locales en el vector de desplazamientos lleva a veces a la aparición de cavidades o salientes no deseados en los contornos. Cuando se fija TRUNCATE = 1, se eliminan estos máximos o mínimos forzando que el desplazamiento de los puntos siguientes sea igual al del punto en que se ha producido el máximo o el mínimo.

5.6.2.3.2 Cálculo de los contornos corregidos Para conseguir la máxima reducción posible en el campo, parece lógico permitir grandes variaciones en la forma del contorno. Para conseguir esto y, al mismo tiempo, no aumentar demasiado el número de iteraciones, resulta imprescindible permitir en cada iteración desplazamientos tan grandes como permita la convergencia del método. Debido a esto aparecen en cada iteración, como contornos desplazados, contornos de forma abrupta y cuyas tangentes en los puntos extremos pueden diferir notablemente de los valores deseados. Además, para los puntos extremos, se pueden determinar siempre desplazamientos teóricos, independientemente de que se consideren como puntos fijos o no en la configuración por optimizar.

Es preciso pues acometer la tarea de definir, a partir de las coordenadas de los puntos del contorno desplazado, un contorno con forma suave y cuyas tangentes en los puntos extremos puedan fijarse arbitrariamente. Además debe ser posible para tal contorno, fijar uno o ambos puntos extremos.

La solución de Stih [133], que representa el contorno como una serie de arcos circulares, conectados entre sí con tangentes comunes, no resulta suficiente para poder considerar todas las condiciones posibles citadas en los puntos extremos. Por esta razón se utilizan como alternativa las splines cúbicas paramétricas de ajuste [127] que se describen a continuación.

Se consideran dados los n puntos desplazados & , & , , &P P Pn1 2 K . A cada punto se asigna un valor del parámetor u. Los valores u u un1 2, , ,K del parámetro u forman una sucesión monótona creciente. (Si se utiliza para la descripción del contorno de partida una spline cúbica paramétrica, puede utilizarse como parámetro u el parámetro de la spline, si no, se toma como parámetro la primera vez la distancia acumulada de los segmentos rectilíneos & , &P Pi i +1). Se consideran también dadas las derivadas primeras de una función, ( )rz && o de dos funciones ( ) ( )uzy ur && en el primero y en el último puntos.


Con estos datos se determina una curva que presenta las siguientes propiedades:

� La curva es continua y se compone de n-1 tramos que unen los n puntos

nPPP &&K&&&& ,,, 21 unos con otros (El punto &&Pi tiene las coordenadas ( )ii zr &&&& , ). La tangente a

la curva también es continua.

� Los tramos de curva se describen mediante ecuaciones paramétricas del parámetro dado u:

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

′′′=−

′′′=−

′

′

=

=

=

==

=+

11111

11111

11

11

111

111

1

dadasestán 1 para

:ademásy parámetro del cúbicos polinomiosson y donde

cumple se 1,-1,2,....,con tramoelPara

uzfzzp

urfrrp

uzf

urf

ufzz

ufrr

i

uufzufrufzzufrr

niPP

z

r

ii

i

iii

&&&

&&&

&&

&&

&&

&&&&&&

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

′′′−′′′=−

′′′−′′′=−

′=′′=′

==

==

=

−

−

−

−

−

−

iiiiiizi

iiiiri

iiii

iiii

iiiii

iiiii

uzfuzfzzp

urfurfrrpuzfuzfurfurf

ufzufzz

ufrufrr

ni

1

1

1

1

1

1

1- 2,...., para

&&&

&&&

&&

&&

(5.137)

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

′′′=−

′′′−=−

′

′

=

=

=

−

−

−

−

−

−

nnnnzn

nnnnrn

nn

nn

nnn

nnn

uzfzzp

urfrrp

uzf

urf

ufzz

ufrr

ni

1

1

1

1

1

1

dadasestán para

&&&

&&&

&&

&&


Los parámetros p pri zi, son factores de proporcionalidad. Para no obtener distorsiones entre las direcciones geométricas r y z deben escogerse p p pri zi i= = . Para pi → ∞ se obtiene && &P Pi i= . Cuando todos los pi → 0, se obtiene como curva resultante la recta de ajuste en el sentido de mínimos cuadrados [127].

Esta curva es la spline cúbica paramétrica de ajuste para los datos dados. Por medio de esta curva resulta posible forzar las tangentes en los puntos extremos y controlar el grado de suavidad de la curva mediante una selección adecuada de los pesos pi , a la vez que puede decidirse si fijar o no los puntos extremos.

Por medio de la spline cúbica paramétrica de ajuste se define el contorno corregido.

5.6.2.3.3 Cálculo del contorno modificado Después de que se ha fijado la forma del contorno mediante el cálculo de la spline cúbica paramétrica de ajuste puede ser recomendable si se va a llevar a cabo a continuación un cálculo del campo eléctrico usando los puntos de apoyo de la curva como puntos de contorno, redistribuir los puntos de apoyo sobre el contorno. Con este objetivo se introdujo el parámetro ALLOCF, con el que se controla la nueva redistribución de los puntos de contorno. Se han previsto las siguientes posibilidades:

� ALLOCF = 0 : Los tramos del contorno tienen las mismas relaciones respecto a la longitud total que en el contorno original.

� ALLOCF ≠ 0 : Los puntos se redistribuyen sobre el contorno de forma que las longitudes de los tramos son una función de la curvatura de la curva en el punto medio del tramo. Para ALLOCF=1 se utiliza una función racional y para ALLOCF=2 se utiliza una función exponencial.

Tras la redistribución de los puntos de contorno se obtiene finalmente el contorno modificado con los puntos &&& , &&& , , &&&P P Pn1 2 K . A partir de las coordenadas de estos puntos pueden determinarse ahora los desplazamientos reales realizados. Se calcula primero el módulo y posteriormente se le afecta del signo correspondiente según la dirección de desplazamiento con la convención introducida anteriormente. Después de las correcciones del contorno los puntos ya no se encuentran sobre las rectas normales al contorno original. Cuando se utilizan estos desplazamientos más adelante, en el cálculo de las derivadas empíricas, se aproximan como si hubiesen sido desplazados realmente en dirección normal. Esta aproximación se admite porque si no, la definición de nuevas direcciones de desplazamiento, distintas de la normal, complicaría excesivamente el procedimiento geométrico.

Capítulo 6 Cálculo de Ejemplos de Aplicación

6.1 Introducción

En este capítulo se muestra la funcionalidad del método propuesto y del programa de cálculo desarrollados mediante su aplicación a un conjunto de configuraciones seleccionadas. Se parte de una configuración similar (ver Fig. 6.1) a las usadas por Grönewald [50], Däumling [30] y Abdel-Salam [3]. Estas configuraciones presentan simetría axial, por lo que se procedió a modificarlas de modo que el campo ya no presentase dicha simetría. Con las configuraciones escogidas se procedió a analizar la influencia de distintos factores geométricos en el proceso de optimización.

Alturadieléctrico

Electrodo

Plano de tierra

100 kV

ε=εr ε0 ε0

Radiodieléctrico

RadioElectrodo

z

r

Distancia al eje

Fig. 6.1. Configuración de partida para la optimización.

6.2 Configuración asimétrica con un electrodo paralelo al aislador de apoyo

Para generar una asimetría en la distribución de campo de la configuración mostrada en la Fig. 6.1 se dispuso en este primer caso de un cilindro conductor al potencial de referencia en dirección del eje x (ver Fig. 6.2). Como el único objetivo de este cilindro


es crear una perturbación en el campo, se utilizó un cilindro hueco, lo que permite reducir el número de puntos de contorno necesarios. Para el cálculo del campo este cilindro se simula con cargas discretas.

7,5 cm

Electrodo

Plano de tierra

1

100 kV

ε=3ε0 ε0

2 cm

3 cm

z

x

electrodocilíndrico

d

0 kV

5 cm

2 cm

3,5 cm

Fig. 6.2. Configuración de test con cilindro electródico.

Sometida la configuración al proceso de optimización se obtuvo como resultado el contorno de la Fig. 6.3 para un valor de la distancia d = 9 cm. Para este cálculo se impuso como restricción que el punto de apoyo de la base del aislador permaneciese fijo. En la Fig. 6.3 puede verse también que los ángulos que forma el aislador con el electrodo de alta tensión y con el plano de tierra, se mantienen en el valor de 90º para evitar las singularidades de campo.

Capitulo 6: Cálculo de Ejemplos de Aplicación 253

7,5 cm

ContornoOriginal

Plano de tierra

1

100 kV

2 cm

3 cm

Z

r

electrodocilíndrico

d

0 kV

5 cm

2 cm

3,5 cm

ContornoOptimizado

X

Fig. 6.3. Contornos Optimizados para la configuración de test cuando la distancia d = 9 cm.

A continuación se presentan los diagramas de campo de la configuración básica con simetría axial (ver Fig. 6.4), la configuración de partida para la optimización con el aislador cilíndrico circular y el electrodo cilíndrico perturbador, (Fig. 6.5) y la configuración con el aislador optimizado (Fig. 6.6).

Comparando la configuración básica (Fig. 6.4) con la configuración de partida de la optimización (Fig. 6.6) puede verse claramente el aumento de campo debido a la presencia del electrodo cilíndrico.

La intensidad de campo máxima a lo largo del aislador cambia de un valor de 16,73 kV/cm para el contorno original a un valor de 16,11 kV/cm para el contorno optimizado. Por lo que se refiere a Eminmax aumentó de 0,6466 a 0,6547.


Fig. 6.4. Caso simétrico.

Fig. 6.5. Distribuciones de campo y líneas equipotenciales antes de optimizar: d = 9 cm.


Fig. 6.6. Distribuciones de campo y líneas equipotenciales después de optimizar: d = 9 cm.

6.3 Configuración asimétrica con un cable perpendicular al plano xz

En este segundo caso se creó la asimetría en la distribución de campo mediante la colocación de un cable puesto a tierra perpendicular al plano XZ a una cierta distancia del aislador a optimizar (Fig. 6.7). Para simular este cable se utilizó un electrodo cilíndrico hueco perpendicular al plano XZ con una longitud 4 veces la altura del aislador. En el cálculo del campo se simuló con cargas discretas al igual que el cilindro de la primera configuración. Los diagramas de campo para la configuración de partida y la optimizada se muestran en las figuras 6.9 y 6.10.


7,5 cm

ContornoOriginal

Plano de tierra

100 kV

2 cm

3 cm

Z

r

Conductorpuesto atierra

0 kV

4 cm

3,5 cm

ContornoOptimizado

4 cm

X

Fig. 6.7. Contorno optimizado para la segunda configuración con d = 4 cm.

Fig. 6.8. Líneas de campo y equipotenciales antes de optimizar con un conductor puesto a tierra. d = 4

cm.


Fig. 6.9. Líneas de campo y equipotenciales después de optimizar con un conductor puesto a tierra. d = 4

cm.

La intensidad de campo máxima a lo largo del contorno del aislador se redujo de 18,51 kV/cm para el contorno original 15,2 kV/cm. para el contorno optimizado. En cuanto a Eminmax aumentó de 0,51 a 0,75.

6.4 Influencia de la distancia del electrodo perturbador en la optimización

Para estudiar la influencia de la distancia del electrodo perturbador en los resultados de la optimización se seleccionó la configuración presentada en el apartado 6.2 (Fig. 6.2).

Se llevó a cabo la optimización para los siguientes valores de la distancia d: 15 cm, 13 cm, 11 cm, 9 cm y 8 cm.

A continuación se presentan los diagramas de campo de las distintas configuraciones para los contornos de partida y los contornos optimizados.


Fig. 6.10. Líneas de campo y equipotenciales antes de optimizar. d = 15cm.

Fig. 6.11. Líneas de campo y equipotenciales después de optimizar. d = 15cm.


Fig. 6.12. Líneas de campo y equipotenciales antes de optimizar. d = 13 cm.

Fig. 6.13. Líneas de campo y equipotenciales después de optimizar. d = 13 cm.


Fig. 6.16. Distribuciones de campo y líneas equipotenciales antes de optimizar: d = 9 cm.

Fig. 6.17. Distribuciones de campo y líneas equipotenciales después de optimizar: d = 9 cm.




En la Tabla 6.1 se presentan los resultados de la optimización en función de los parámetros Emax, y Eminmax. En ella se pueden comparar los valores iniciales y los valores finales para las diferentes distancias d . Los valores de Emax y Eminmax escritos en la tabla corresponden al plano XZ.


Emax

(kV/cm)

Eminmax

(kV/cm)

d (cm) Valores Iniciales

Valores Finales

% reducción

Valores Iniciales

Valores Finales

% incremento

Sin Cilindro

16,12 15,2 5,70 0,7043 0,8625 18,34

15 16,17 15,2 6 0,6997 0,7313 4,32

13 16,23 15,26 5,98 0,6948 0,7383 6,14

11 16,36 15,5 5,26 0,6819 0,7082 3,71

9 16,73 16,11 3,71 0,6466 0,6547 1,24

8 17,16 16,81 2,08 0,6097 0,6095 -0,033

Tabla 6.1. Resultados de optimización para la configuración de test.

6.5 Influencia en la optimización de fijar los extremos del aislador

Se realizaron también cálculos para estudiar la influencia en el resultado final de la optimización de fijar el punto inicial del contorno aislador (punto situado sobre el plano de tierra).

Por ello se repitieron los cálculos presentados en el apartado 6.4 pero manteniendo esta vez el punto inicial del aislador fijo.

Las figuras Fig. 6.20 y Fig. 6.21 muestran los conjuntos de contornos obtenidos en ambos casos para los distintos valores seleccionados de la distancia del cilindro perturbador al aislador.


Sincilindro

d=15 cm

d=13 cmd=8 cm

d=9 cm

d=11 cmContorno

original

d=8 cm

d=9 cm

d=11 cm

Fig. 6.20. Contornos optimizados para la configuración de test considerando diferentes distancias d, con

un punto inferior libre.

sincilindro

d=15 cmd=13 cmd=8 cm

d=9 cm

d=11 cmContornoinicial

Fig. 6.21. Comparación de los contornos optimizados para la disposición de test considerando diferentes

distancias d.

La Tabla 6.2 presenta las intensidades de campo máximas iniciales y las de los contornos optimizados para las dos posibilidades comentadas.


Contornos optimizados Contornos de partida Pto. Inicial libre Punto Inicial fijo

d (cm) EMAX (kV/cm) EMAX (kV/cm) EMAX (kV/cm)

Sin cilindro 16,12 14,7 15,2

15 16,17 14,9 15,2

13 16,23 14,9 15,3

11 16,36 15,3 15,5

9 16,73 15,9 16,1

8 17,16 16,7 16,8

Tabla 6.2. Resultados de la optimización para la disposición de test permitiendo que el punto inferior del aislador se encuentre libre.

6.6 Análisis de resultados

A tenor de los resultados presentados en los apartados anteriores puede afirmarse que el método desarrollado es capaz de llevar a cabo la optimización de contornos de aisladores con simetría axial situados en el seno de campos electrostáticos tridimensionales generales.

En las configuraciones estudiadas las reducciones alcanzadas en la intensidad de campo máxima sobre la superficie del aislador no son elevadas. Esto es debido a la distribución de campo presente en el contorno original. Al observar los diagramas de campo de las configuraciones antes de ser optimizadas, puede apreciarse que el contorno del aislador se encuentra próximo a las líneas de campo. Como se comentó en 5.3.2, el cambio en estas condiciones al modificar el contorno del aislador es muy limitado.

La comparación de los resultados obtenidos al cambiar la distancia al aislador del electrodo utilizado para crear la perturbación en el campo con simetría axial, nos hace ver que existe un límite en las posibilidades de aplicación del programa, pues al acercar el electrodo al aislador se llega a un punto en que la optimización apenas si es capaz de reducir el máximo de la intensidad de campo.

Esta limitación no es sin embargo de carácter general, pues el cálculo realizado con la segunda configuración, en donde el cable de tierra se ha situado aún más próximo al aislador, proporcionaría mejores resultados que la optimización con el cilindro situado más alejado del aislador.


Por lo tanto, las posibilidades de optimización dependen en gran medida de la distribución de campo presente, sin que pueda hacerse una estimación a priori de las posibilidades presentes en cada caso concreto.

También se puede constatar que cuanto mayores son los grados de libertad de la optimización, se pueden alcanzar mejores resultados, como puede verse en la Tabla 6.2 donde se comparan los resultados de la optimización cuando se deja libre o no el punto extremo de la base del aislador. Sin embargo, no hay que olvidar que a veces los resultados obtenidos de la optimización con criterios eléctricos como la que aquí se realiza puede producir resultados cuestionables por su estabilidad mecánica.

Capítulo 7 Consideraciones Finales

En este capítulo se presenta en primer lugar un resumen del trabajo realizado resaltándose las conclusiones que de él se derivan. Se realiza una pequeña comparación con otros métodos comentados en los capítulos anteriores y por último se exponen posibilidades de continuación del trabajo desarrollado.

7.1 Resumen

El presente trabajo presenta un método de optimización respecto de criterios de campo eléctrico de aisladores de alta tensión en el seno de distribuciones de campo tridimensionales. En cualquier trabajo de este tipo se pueden distinguir dos partes fundamentales. Una se refiere al cálculo del campo eléctrico en sí y la otra es la que trata del procedimiento de modificación de la geometría de los aisladores para que se satisfagan las condiciones de diseño planteadas.

En el capítulo primero se plantearon los objetivos del trabajo a realizar que eran:

1. Desarrollar un método de optimización de aisladores con simetría rotacional en el seno de campos eléctricos con distribución espacial tridimensional e implementarlo en un programa de ordenador.

2. Aplicar el programa realizado para su utilización en configuraciones seleccionadas.

Teniendo en cuenta la división temática comentada más arriba el capítulo 2 se dedicó a un estudio de los métodos numéricos de cálculo de campo y el capítulo 3 al estudio de los métodos de optimización de configuraciones de alta tensión. En este capítulo se distinguió entre la optimización de electrodos y la de aisladores pues, aun siendo esta última la que se planteaba como objetivo en la presente obra, y a pesar de las diferencias que se presentan entre uno y otro problema, no dejan de estar intrínsecamente relacionados entre sí, de modo que el conocimiento de la problemática de la optimización de electrodos resulta de gran importancia a la hora de abordar la optimización de los aisladores.

En el capítulo 4 se presentó el método de optimización de Gomollón [43] que ha servido de base al trabajo realizado. Se explican allí las razones de la elección del objetivo de la optimización y se da una formulación matemática del problema a la vez que se formulan las relaciones geométrico diferenciales entre las magnitudes eléctricas y las propiedades geométricas de las superficies de contorno de un problema de campo eléctrico.


El método de Gomollón presentaba la limitación de poder utilizarse únicamente en el seno de distribuciones de campo con simetría axial. Por lo que el trabajo a desarrollar, y que constituye la aportación original del trabajo de investigación que aquí se presenta, consistía en la generalización del método para que pudiese ser aplicado en el seno de distribuciones de campo tridimensionales de carácter general.

En el capítulo 5 se presentan por una parte unas consideraciones teóricas relativas al problema de la optimización de aisladores, incluyendo un nuevo teorema sobre la solución de problemas de campo con superficies dieléctricas coincidentes con superficies equipotenciales, y por otra la solución adoptada para la generalización del método de optimización de Gomollón al caso de distribuciones tridimensionales generales de campo eléctrico.

La funcionalidad y aplicación del método y del programa de ordenador desarrollado se muestran en los ejemplos de aplicación presentados en el capítulo 6.

7.2 Conclusiones

A tenor de lo expuesto a lo largo del presente trabajo puede afirmarse que el método de optimización desarrollado por Gomollón y basado en la utilización de la “derivada empírica” del módulo del campo eléctrico y el suavizado de contornos teniendo en cuenta restricciones geométricas mediante splines cúbicas de ajuste para la modificación de las geometrías, y que utiliza el método de simulación de cargas y el método de cargas superficiales para el cálculo del campo eléctrico, puede generalizarse para su utilización en el seno de distribuciones de campo tridimensionales.

Sin embargo tanto los estudios teóricos como los ejemplos de aplicación considerados muestran que las posibilidades de optimización de una geometría de aislador dada dependen en gran medida de la orientación de la superficie del aislador con respecto a las superficies equipotenciales y líneas de campo. En comparación con distribuciones de campo axialmente simétricas se obtienen menores reducciones de la máxima intensidad de campo superficial, que es el criterio de optimización seleccionado basándose en los resultados de los experimentos de Däumling [30].

Resulta difícil realizar una comparación con otros métodos de optimización. Para realizar una comparación es preciso utilizar la misma configuración en los dos métodos que se quieran comparar. Además es preciso que los dos métodos estén diseñados para utilizar el mismo criterio de optimización. Los datos que aporta la bibliografía no proporcionan en la mayoría de las veces datos suficientes como para reconstruir exactamente la configuración calculada. Aún en el caso de que se contase con datos suficientes los códigos no están disponibles y una programación ex profeso a efectos de comparación resulta por un lado inviable temporalmente, por la complejidad de la

Capítulo 7: Consideraciones Finales 269

mayoría de los métodos y su vinculación a un método dado de cálculo de campo, y por otro lado los datos aportados en los artículos científicos no son lo suficientemente exhaustivos como para permitir la escritura de un código que reproduzca los cálculos que en ellos se presentan.

Para posibilitar una mínima evaluación en este sentido se escogió una configuración de prueba que ya había sido utilizada por varios autores (Abdel Salam [3] , Grönewald [50], Daumling [32]). Sin embargo, dado que estos autores utilizan criterios distintos de optimización es obvio que los resultados obtenidos son distintos y que los que proporciona cada uno de los métodos satisfacen mejor las condiciones de diseño para las que el método fue diseñado. Una comparación real de cuál de los resultados presenta un mejor comportamiento eléctrico sólo podría llevarse a cabo experimentalmente. Aun así, en el caso que nos ocupa, esto sólo sería posible para las configuraciones de partida con simetría axial, y no para el resto de configuraciones, pues ninguno de los autores que usaron una configuración similar realizaron optimizaciones en el seno de distribuciones de campo tridimensionales.

7.3 Posibilidades para futuras investigaciones

7.3.1 Ampliación del método de optimización que permita superficies tridimensionales

El programa de cálculo del método de optimización presentado no permite configuraciones en las que aparezcan superficies individuales que no sean simétricas axialmente. El mismo principio de la asignación de puntos de contorno para el cálculo de los campos 3D se usó para diseñar el proceso de optimización dentro de este campo. Por ello se aplicó la misma restricción al método de optimización, definiéndose un contorno con simetría axial a partir de los distintos contornos desplazados individuales en cada uno de los planos de corte del aislador seleccionados.

Como ya se comentó en 5.4 sería posible definir una superficie tridimensional que contuviese todos los contornos desplazados. Dicha superficie se podría realizar, por ejemplo usando superficies spline. Esto podría tener interés teórico si bien desde el punto de vista técnico sería escaso debido a que la mayor parte de las partes individuales que configuran una configuración de alta tensión presentan simetría axial y difícilmente se justificaría el complicado tratamiento matemático necesario, en especial si se quieren tener en cuenta las restricciones de ortogonalidad de las superficies generadas con los electrodos limítrofes.


7.3.2 Desarrollo de un método global de optimización

El método desarrollado muestra dificultades de convergencia cuando se alcanza un determinado valor del cociente entre las intensidades de campo superficiales mínima y máxima del contorno por optimizar (Eminmax) que depende de la configuración de que se trate. Se implementaron distintos métodos de asegurar la convergencia, pero ninguno de ellos mostró una efectividad del cien por cien, si bien aún queda por investigar el efecto de la precisión alcanzada en el cálculo del campo eléctrico cuando se presentan estas situaciones. Con seguridad es posible realizar todavía bastantes mejoras a este respecto.

Una alternativa al planteamiento usual de la optimización dividida en dos tareas, cálculo de campos y corrección de contornos, viene representada por lo que podría llamarse un método “global” de optimización. En un método tal, se asume simultáneamente el tratamiento de los problemas del cálculo de campo y de la optimización mediante el planteamiento de un sistema lineal de ecuaciones. En este sistema, se añaden a las incógnitas habituales, de un problema de cálculo de campos, las densidades de carga superficial y los desplazamientos de los puntos de apoyo que sirven para definir la modificación del contorno del aislador. Como ecuaciones adicionales del sistema para estas incógnitas, se imponen las intensidades de campo deseadas en los puntos de apoyo por desplazar. Estas ecuaciones pueden formularse únicamente mediante la linealización de las ecuaciones integrales del campo eléctrico. Esta linealización resulta posible si las generatrices del contorno original y del contorno modificado se describen matemáticamente como funciones del mismo parámetro. De esta manera es posible realizar las derivadas de las integrales de campo, necesarias para la linealización, dentro del símbolo integral. Esta forma de proceder resulta posible mediante el uso de splines cúbicas para la definición de los contornos, que fue incorporado en el programa de cálculo de campos.

Para limitar el esfuerzo computacional que requiere un método con las características propuestas puede ser conveniente dar paso a su utilización después de que, con el uso de un método más convencional, como el que se presenta en esta tesis, se ha conseguido ya un cierto acercamiento al óptimo deseado. De esta manera cabe contar con que los desplazamientos necesarios de los puntos de apoyo serán menores, y la linealización del problema comentada anteriormente, se encuentra con mayor probabilidad dentro de una zona mejor de aplicación.

7.3.3 Optimización de aisladores mediante el uso de procesamiento paralelo en el método de cálculo de campos

Uno de los problemas que se presentan al intentar aplicar los métodos de optimización a configuraciones más complicadas es el gran número de problemas de cálculo de campo


eléctrico que es necesario resolver y el tiempo de cálculo que ello involucra. Una forma de resolver este problema se encuentra en la utilización de la computación paralela.

El paralelismo en computación se puede dar a nivel hardware o software o una combinación de ambos a la vez según quién sea el encargado de realizar la distribución de la ejecución del código entre los distintos procesadores. Uno de los modelos de utilización del paralelismo a nivel de software es lo que se conoce como Máquina Virtual Paralela (PVM: Parallel Virtual Machine).

La PVM la constituyen un conjunto de librerías de intercambio de mensajes que se utilizan para comunicar a través de una red de interconexión diferentes estaciones de trabajo con sus sistemas operativos de modo que estas estaciones puedan trabajar juntas. La red de interconexión puede ser heterogénea y la forma en que trabajan las diferentes rutinas de interconexión hace que sea un sistema de memoria distribuida. La topología de comunicación entre los procesos es que cada uno se puede comunicar con todos (todos con todos). Cuando se arranca un proceso, PVM lo distribuye entre las diferentes estaciones de trabajo.

El modo de proceder en un entorno de cálculo con PVM según se muestra esquemáticamente en la Fig. 7.1 es el siguiente::

• La paralelización se basa en una aproximación maestro-esclavo. En el comienzo de cada trabajo, el maestro envía todos los datos de entrada, que incluyen los datos geométricos, las condiciones de contorno y propiedades de los materiales a cada esclavo. Después de la replicación de los datos de entrada (lo que en los métodos de ecuaciones integrales como son el CSM, SCM y BEM resulta en una necesidad de almacenamiento relativamente pequeña) cada procesador es capaz de calcular independientemente una fila arbitraria de la matriz A.

• El maestro determina el número de filas que deben ser calculadas por cada procesador (incluido él mismo) basándose en el algoritmo de Mandelbrot que implícitamente tiene en cuenta la velocidad y la carga actual de los procesadores [18]. Las partes de la matriz se almacenan localmente antes de ser transferidas a toda la red.


Esclavo 3

Esclavo 2

Esclavo 1

x =

=xA σ V

Maestro

Fig. 7.1. Esquema del proceso de paralelización para la creación del sistema de ecuaciones de un

problema de cálculo de campo.

• La solución del sistema de ecuaciones se puede basar en el método GMRES [111] o cualquier otro que sea capaz de resolver el sistema de modo iterativo. En el primer caso el proceso de cálculo de residuos y monitorización de la convergencia se asume por el ordenador maestro. La paralelización se limita a la multiplicación de matrices que se tiene que realizar en cada iteración y es la parte que más tiempo consume de GMRES (más del 99% del tiempo de computación). El maestro envía el vector que va a ser multiplicado por la matriz a todos los esclavos y recibe de cada esclavo la correspondiente parte del vector resultante. Durante un típico trabajo de resolución, la multiplicación de la matriz vectorial tiene que ser realizada entre 50 y 100 veces.

• Después del procedimiento GMRES, el maestro envía la solución (vector de densidad de carga) a todos los esclavos. Basándose en las densidades de carga y las matrices de descripción geométrica y física del problema (recibidas al principio), cada esclavo es capaz de calcular el campo y el potencial en cualquier punto arbitrario..

• La comunicación entre ordenadores está basada en la Máquina Virtual Paralela (PVM) [40].

El software PVM se puede obtener gratuitamente desde la dirección de Internet (http://www.csm.ornl.gov/pvm/pvm_home.html). Se puede utilizar para comunicaciones en “clusters” (grupos) de estaciones de trabajo heterogéneas también en ordenadores multiprocesador [19].


De lo comentado anteriormente se deduce que cuantos más ordenadores se incluyan en el grupo, mayor será la reducción de tiempo de cálculo. Sin embargo, añadir ordenadores lentos al grupo no contribuye a un aumento significativo de la velocidad.

En un proceso como el tratado, es decir con tres tareas fundamentales, formulación matricial, solución del sistema de ecuaciones utilizando el método iterativo GMRES, y cálculo de campos, la primera y la tercera tarea son muy eficientes y estables en cálculos paralelos. La segunda tarea GMRES depende de manera notable del hardware dispuesto (memoria RAM instalada, velocidad de acceso a los datos en los discos duros, velocidad de entrada/salida de los periféricos) y es menos sensible a cambios de carga temporales que ocurran en la red y en los esclavos participantes. Sin embargo, los cálculos paralelos conducen también a un significativo aumento de la velocidad durante el GMRES, particularmente para problemas muy grandes. Resulta crucial para el proceso la división de una matriz grande en partes más pequeñas que pueden ser tratadas por estaciones de trabajo estándar.

Se puede concluir que los cálculos paralelos basados en PVM posibilitan la solución eficiente de modelos reales complicados sin necesidad de mejoras de hardware adicionales, abriendo posibilidades a una completa clase de nuevos problemas y configuraciones más complicadas.

Bibliografía. En el presente trabajo se ha hecho referencia a los siguientes autores y sus contribuciones:

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[151] Zienkiewicz, O.C. “El Método de los elementos Finitos”. Editorial Reverté, 1980.

Lista de Símbolos. Alfabeto latino

1 A Dominio dividido en elementos en el método FEM.

2 A Contorno inicial sin optimizar.

A& Contorno desplazado.

A&& Contorno corregido.

A&&& Contorno modificado.

[ ]A Matriz que representa los coeficientes de potencial o de campo en una configuracón electródica.

A Plano.

eA Area del elemento e.

[ ]iiA Matriz que representa las partes de la matriz de coeficientes [ ]A que se refieren a los nodos iN . De las superfices iS

respectivamente en el método BEM.

[ ] jiAij ≠ Matriz que representa la influencia de las cargas discretas de la superficie 0S en el método BEM.

a Vector unidad en un espacio euclídeo tridimensional.

1a Distancia entre dos puntos de contorno consecutivos en el factor de asignación af del método CSM.

2a Distancia entre un punto de contorno y la correspondiente carga en el factor de asignación af del método CSM.

∂∂r

r r

aa= ⋅∇

Derivada de un escalar o función vectorial con respecto a la

dirección determinada por a

Iia Elementos fila de la matriz de discretización [ ]A en el método BEM .

Iia∆ Subelementos singulares en el método BEM.

1B condiciones de contorno correspondientes al conjunto de geometrías fíjas 1Γ


2B′ Conjunto adicional de condiciones de diseño para el conjunto 2Γ .

1 [ ]B Matriz que representa las condiciones de contorno en una configuración con electrodos a potencial fijo.

2 [ ]B Vector de constantes.

rb Vector binormal.

1 C Curvatura total.

2 C Curva.

iC Curvatura en el punto Pi

iC′ Curvatura total para el contorno desplazado.

( )QQQ zrfC ,= Contorno en el método SCSM.

iC∆ Incremento de la curvatura necesario en cada uno de los puntos de la curva a optimizar.

c Curvatura de la línea de campo en el punto P.

bC Curvatura de una sección normal a la superficie S, que es definida

por el vector normal a la superficie rN y el vector binormal

rb de la

línea de campo en P

ic Factor de correción.

ic∆ Vector de corrección.

nC Curvatura de la sección normal a la superficie S, que está definida

por el vector normal a la superficie rN y el vector

rn normal a la línea de campo en P (este vector se mantiene en le plano tangencial a la superficie S en el punto P)

D Vector de Desplazamiento Eléctrico.

niD Componente normal del vector desplazamiento eléctrico en el medio i.

pD Número de superfícies del conductor P en el método BEM.

d Número de dieléctricos que rodean al electrodo.

QdA Elemento de la fuente en el método SCSM.

Bibliografía 289

edE Intensidad de campo eléctrico en el punto J causada po la parte diferencial del elemento parcial en el método BEM.

dS Vector diferencial de superficie.

iSdr Elemento de superficie en un electrodo.

Sd ′ Elemento diferencial de superficie envolvente a un dominio.

DDTk

derivada global respecto a los parámetros Tkj

1 ds Elemento de línea de contorno en el método BEM.

2 ds Elemento diferencial de longitud.

1 E Intensidad de campo eléctrico.

2 E Número total de elementos de contorno en el método BEM.

3 E Esfuerzo en el espacio de la serie de gas en el Método de Cronin.

( )zrE ,,ψ Vector de campo eléctrico en cualquier punto del espacio en coordenadas cilíndricas.

1E Intensidad de campo en el contorno dieléctrico 1Γ en la configuración original de un BVP.

bdE Intensidad del campo de ruptura en el Método de Kato.

inE Campo eléctrico de iniciación de la descarga disruptiva.

( )mE Integral elíptica completa de segunda especie de parámetro m.

gE Intensidad de campo eléctrica normal deseada.

cE Intensidad de campo eléctrica normal del contorno inicial.

medE Intensiadad de campo media

norE Intensidad de campo eléctrico normal.

tanE Intensidad de campo eléctrico tangencial.

totE Intensidad de campo eléctrico total.

cE tg Campo eléctrico tangencial a un contorno determinado por el método de cargas equivalentes discretas.

iE tg Campo eléctrico tangencial a un contorno en el punto Pi.


FtE , Componente tangencial máxima de la intensidad de campo en el contorno en el Método de Optimización de Aisladores de Grönewald.

maxE Intensidad de campo eléctrico máxima a lo largo de un contorno.

minE Intensidad de campo eléctrico mínima a lo largo de un contorno.

minmaxE Cociente entre mimE y maxE .

niE Componente normal de campo en el medio dieléctrico i.

inE 1 Componente normal de campo en el medio dieléctrico 1, debido a las cargas discretas del electrodo y del medio dieléctrico 2, en un punto Pi de la superficie dieléctrica.

inE 2 Componente normal de campo en el medio dieléctrico 2, debido a las cargas discretas del electrodo y del medio dieléctrico 1, en un punto Pi de la superficie dieléctrica.

0E Esfuerzo en la superficie del conductor entre aisladores en el Método de Cronin.

iEα Intensidad de campo eléctrico en la dirección α en cada punto de contorno Pi

2

iEα Intensidad de campo eléctrico en la dirección α en cada punto de contorno Pi debido a las cargas discretas del electrodo y del medio dieléctrico 2 {1,..., r, r+m+1,..., r+2m}.

1

iEα Intensidad de campo eléctrico en la dirección α en cada punto de contorno Pi debido a las cargas discretas del electrodo y del medio dieléctrico 1 {1,...., r, r+1....r+m}.

rijE Componente radial de intensidad de campo de un segmento Qj en el punto Pi(ri,ψi,zi) en distribuciones de campo tridimensionales sin simetría axial en el método CSM.

ijEψ Componente acimutal de intensidad de campo de un segmento Qj en el punto Pi(ri,ψi,zi) en distribuciones de campo tridimensionales sin simetría axial en el método CSM.

zijE Componente axial de intensidad de campo de un segmento Qj en el punto Pi(ri,ψi,zi) en distribuciones de campo tridimensionales sin simetría axial en el método CSM.

Bibliografía 291

rEµ Componente radial de la intensidad de campo eléctrico en una distribución de campo tridimensional sin simetría axial..

µψE Componente acimutal de la intensidad de campo eléctrico en una distribución de campo tridimensional sin simetría axial.

zEµ Componente axial de la intensidad de campo eléctrico en una distribución de campo tridimensional sin simetría axial.

erE Componente radial de campo eléctrico producida por el elemento e de contorno en el método BEM.

ezE Componente axial de campo eléctrico producida por el elemento e de contorno en el método BEM.

enJE Componente normal del campo eléctrico en el punto J producida por el elemento e de contorno en el método BEM.

Ei0 Campo eléctrico presente en el punto Pi

0 sobre la superficie inicial

Γ 0 .

E ij

obj Objetivo de la intensidad de campo eléctrico en el Punto Pij que se

alcanza en la superficie Γ j .

( )0nJE Componente normal de la intensidad del campo eléctrico de todas

las fuentes, excepto las fuentes de la superficie frontera donde se encuentra el punto J en el método BEM.

( )JnJE Componente normal de la intensidad de campo eléctrico de todas

las fuentes a lo largo de la superficie frontera dónde se encuentra el punto J en el método BEM.

DnDEi Derivada global del campo eléctrico con fronteras móviles.

∂∂

En

i

ir 0

Derivada direccional de la intensidad de campo en una dirección normal a la superficie inicial en un BVP.

rer vector unitario en dirección y sentido de la recta que une la carga λj

con el punto Pi.

se Error en la condición de Cauchy producido por la discretización.

1 [ ]F Matriz de coeficientes de intensidad de campo.

2 [ ]F Matriz de coeficientes de linealización.

3 [ ]F Matriz de coeficientes de desplazamiento en el Método de


Optimización de Aisladores de Grönewald.

21, FF Factor de corrección en la primera y segunda zona de Neumann.

AijF Fuerza electrodinámica ejercida por j sobre i.

)(φF Funcional asociado a la ecuación de Poisson.

)(φeF Funcional asociado a la ecuación de Poisson para un elemento.

)(φjF Funcional asociado a un elemento del dominio en el método FEM.

1 f Función error.

2 f Función escalar del potencial en el modelo discreto del método BEM.

3 f Esfuerzo eléctrico de Maxwell.

4 f Factor de corrección.

321 ,, fff Valores de la función f en los vértices del triángulo simple del modelo discreto del método BEM.

af Factor de asignación.

[ ]ef Vector de términos independientes del sistema de ecuaciones resultante de aplicar el método de los elementos finitos.

f Coeficiente de campo eléctrico.

if Fuerza eléctrica en el punto Pi.

ef ρ Vector de términos independientes en el elemento e resultante de aplicar el método de elementos finitos producido por la densidad volumétrica de carga ρ.

eQf Vector de términos independientes en el elemento e resultante de

aplicar el método de elementos finitos producido por la carga Q.

ijf α Coeficiente de campo eléctrico en el punto Pi producido por la

carga Qj.en la dirección α.

xijf Componente x del coeficiente de campo eléctrico en el punto i

producido por la carga Qj.

yijf Componente y del coeficiente de campo eléctrico en el punto i


Bibliografía 293

zijf Componente z del coeficiente de campo eléctrico en el punto i


rijf Componente radial del coeficiente de campo eléctrico en el punto

Pi producido por la carga Qj en coordenadas cilíndricas.

ijf ψ Componente acimutal del coeficiente de campo eléctrico en el

punto Pi producido por la carga Qj en coordenadas cilíndricas.

zijf Componente axial del coeficiente de campo eléctrico en el punto Pi

producido por la carga Qj en coordenadas cilíndricas.

nijf Coeficiente de la componente normal de campo eléctrico debido a

la carga Qj en el punto Pi.

( )[ ]ef Matriz columna de los valores de la función en los puntos especialmente seleccionados en el modelo matemático discreto del método BEM.

G Región de integración de la ecuación de Laplace en un problema de valor de contorno (BVP)

iG Regiones parciales en las que se divide la región G para integrar la ecuación de Laplace en un problema de valor de contorno (BVP).

[ ]G Matriz de coeficientes de condición.

[ ]TG Matriz (m x n) en la que m representa el número de restricciones lineales que deben satisfacer los desplazamientos ti.

( )φ1G Operador lineal autoadjunto.

[ ]0G Matriz de sensibilidad que muestra como varía la intensidad de campo con el movimiento de cada nodo en el Método de Tsuboi.

{ }G Vector gradiente en el Método de Tsuboi.

1g Función generica.

ijg Coeficientes de potencial de los electrodos a potencial flotante en el método SCSM.

mng Factor de peso en la ecuación integral I de Fredholm del Método BEM.

H Curvatura media de la superficie.

1 h Pasos de integración de la Regla de Simpson en el método SCSM.

2 h Distancia configuración electródica-plano de tierra.


I Índice de un punto arbitrario que se encuentra sobre la superficie del conductor en el método BEM.

iI Intervalo de integración de la Regla de Simpson en el método SCSM.

( )iii AAI ,1− Iteración i(i>0) del proceso de optimización donde Ai-1 es elcontorno de partida y Ai el contorno iterado.

jI Corriente superficial que fluye en el punto j-ésimo en el Método de Abdel-Salam.

i Vector unitario en dirección al eje x.

1 J Matriz Jacobiana.

2 J Densidades de corriente en los aislamientos.

3 J Índice de un punto arbitrario que se encuentra sobre la frontera dieléctrico-dieléctrico en el método BEM.

j Vector unitario en dirección al eje y.

( ) EjJ ⋅+= ωεκ

Densidades de corriente complejas.

( )mK Integral elíptica completa de primera especie de parámetro m.

[ ]K Matriz de rigidez.

sK Parámetro del efecto área del Método de Kato.

vK Parámetro del efecto volumen del Método de Kato.

1 k Subíndice correspondiente al número del electrodo dentro de la configuración (con los electrodos numerados de 1..MF).

2 k Factor de corrección en el método de optimización de electrodos basado en el SCSM.

21, kk Coeficientes a determinar de la solución del potencial φ ′y φ ′′ en el

espacio 1Λ y 2Λ respectivamente en un BVP.

k Vector unitario en dirección al eje z.

ek1 Matriz de rigidez del elemento e resultante de aplicar el metodo de elementos finitos para resolver la ecuación de Poisson.

1 L Sistema de coordenadas local en el método BEM.

Bibliografía 295

2 L Longitud de la generatriz de la varilla.

3 L Longitud intervalo de integración de la regla de Simpson en el Método SCSM.

4 L Longitud de arco entre dos puntos de contorno 1P y 2P en el método SCSM.

5 L Función Lagrangiana.

( )φL Operador Lineal autoadjunto en el dominio A.

xL Coseno formado entre la normal exterior del contorno y el eje x.

yL Coseno formado entre la normal exterior del contorno y el eje y.

321 ,, LLL Coordenadas adimensionales de un elemento e.

1 l Subíndice que indica el punto de contorno dentro del electrodo k (l = 1,..,Nk)

2 l Camino de corrientes de fugas mínimo en el Método de Optimización de Grönewald.

l∆ Distancia de separación entre dos puntos de un contorno en el Método de Optimización de Grönewald.

il Distancia entre el punto del contorno Pi y su contiguo

1 M Índice del punto de la fuente del campo que se encuentra sobre la superficie del conductor en el método BEM.

2 M Número de planos de corte axial en el Método de Optimización Ampliado.

DM Número de superficies dieléctricas.

FM Número de electrodos a potencial fijo.

IM Número de electrodos a potencial indeterminado.

iM Centro de curvatura en un punto Pi de una curva.

nM ′ Centro del arco del contorno desplazado en el método de optimización de electrodos de Grönewald.

1, +iiM Centro del arco de círculo de radio 1, +iiρ cuyos extremos son los

puntos Pi y Pi+1.


1, +′iiM Centro del arco de círculo de radio 1, +′iiρ cuyos extremos son los

puntos P’i y P’i+1 del nuevo contorno modificado.

m Número de cargas situadas a cada lado de la superficie de separación de los dieléctricos.

1 N Número total de puntos de contorno Pi.

2 N Número de elementos en el método FEM.

3 N Índice del punto de la fuente del campo que se encuentra sobre la superficie frontera de un dieléctrico-dieléctrico en el método BEM.

Nr

Vector normal a la superficie S en el punto P.

( )[ ]eN Matriz de transformación, donde la matriz fila contiene las funciones básicas de los elementos en el método BEM.

1 iN Nodos en el método BEM.

2 iN Número de neuronas de la capa de entrada en el Método de Mukherjee.

3 iN Función de forma.

NN Neural Network: Red Neuronal.

kN Número de puntos de contorno dentro del electrodo o dieléctrico k.

0N Número de nodos principales en la superficie 0S en el método de

Andjelic.

1 n Número total de cargas que contribuyen al potencial iφ en el punto

Pi en una configuración electródica.

2 n Número de nudos en el método FEM.

n Número de cargas de optimización en el método de las cargas equivalentes.

nr Vector unitario en la dirección normal a un contorno un punto.

dn Número de cargas de la zona de Dirichlet en el Método de Garnacho.

1 in Recta normal contorno en el punto Pi.

2 in Componente normal unitaria en el punto i en el método de optimización de electrodos tridimensionales basado en el SCSM.

Bibliografía 297

3 ′in Recta normal al nuevo contorno en el punto Pi.

( )21 , LLn Transformación Jacobiana en el modelo matemático discreto del método BEM.

Hn Número de armónicos.

nn Número de cargas de la zona de Neumann en el Método de Garnacho.

0 Origen de coordenadas.

1 P Punto P sobre superficie equipotencial en un BVP.

2 P Presión electrostática en la superfice del contorno.

[ ]P Matriz de coeficientes de potencial pij.

[ ]P ′ Matriz de coeficientes de potencial p’ij correspondientes a las cargas de optimización Q’ en el CSM.

kENEl PP ,...., Puntos de contorno asignados a un electrodo a potencial fijo dado φEk.

iP Puntos del contorno en los que se formulan las condiciones de contorno.

iP ′ Punto del nuevo contorno corregido.

NPPP ....,, 21 Puntos originales situados sobre el contorno a optimizar.

⋅⋅⋅

NPPP ....,, 21 Puntos desplazados obtenidos del primer contorno abrupto en el método de optimización de aisladores.

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

NPPP ....,, 21 Puntos corregidos del suavizado del primer contorno abrupto en el método de optimización de aisladores.

NPPP &&&&&&&&& ,...., 21 Puntos del contorno modificado.

P P P10

20 0, ,K N N puntos en una superfice Γ0 de BVP.

rP x y zi i i i

0 0 0 0= ( , , )γ γ γ Vectores de N puntos en una superficie de BVP

P P Pj j j1 2, ,K N N puntos en una superfice Γj de BVP

ijp Coeficiente de potencial de una carga o distribución de carga Qj de densidad constante en un punto Pi.

kjp Coeficiente de potencial de una carga o distribución de carga de optimización jQ de densidad constante en un punto Pi.


µjp Coeficiente de potencial de una carga de anillo variable debido al µ-ésimo armónico.

Q Carga Eléctrica.

jQ Magnitud de carga o distribución de carga en la posición j.

jQ ′ Carga simétrica en configuración con plano de tierra.

[ ]Q Matriz incógnita de cargas ficticias Qj utilizada para el cálculo del potencial o el campo en cualquier punto del espacio.

[ ]Q′ Matriz correspondiente a las cargas de optimización en el Método de Cargas Equivalentes MCE.

dQ Carga correspondiente a la zona de Dirichlet en el Método de Garnacho.

jQ Carga de optimización j-ésima.

nQ Carga correspondiente a la zona de Neumann en el Método de Garnacho.

bjQ Carga j-ésima del conjunto de m cargas equivalentes que simulan la distribución de carga superficial del conductor a potencial indeterminado.

21

−µQ

Función de Legendre de 2ª clase de orden 21

−µ .

q Densidad de carga superficial en el contorno S.

kRS Termino independiente k-ésimo del método de optimización basado en la selección de cargas equivalentes.

axiR Radio de curvatura de la sección normal perpendicular plano del papel.

1 r Coordenada radial.

2 r Vector de posición del punto donde se calcula el potencial.

3 r Número de cargas correspondientes a los electrodos (ya sean a potencial fijo o indeterminado) en los métodos CSM y SCSM.

1 r ′ Vector de posición de la distribución de carga respecto al origen de coordenadas.

2 r ′ Coordenada radial de un punto de un nuevo contorno.

Bibliografía 299

ir Cooordenada radial del punto de contorno i.

ijr Cooordenada radial del punto de contorno i en el plano de corte j.

GIr Distancia de un nodo principal de un elmento de contorno al punto de observación I en el método BEM.

1 S Superficie equipotencial de una función potencial armónica Φ.

2 S Superficie del contorno.

3 S Contorno del dominio en estudio en el método FEM.

0S Superficie a optimizar en el Método de Andjelic.

AS SA Superficie del contorno sometida a la condición de Dirichlet.

BS SB Superficie del contorno sometida a la condición de Neumann.

dS Superficie de separación dieléctrico-dieléctrico, d = 1,..D; en el método BEM.

DiS Superficie separadora del medio dieléctrico i.

EiS Superficie separadora del electrodo i.

eS Superficie del electrodo sometida a esfuerzo del método de Kato.

pS Superficie de separación conductor-dieléctrico, p = 1,..P; en el Método BEM.

iS Intervalos de integración en el Método de Antolic.

jS Área de la superficie del aislador correspondiente al punto j-ésimo en el Método de Abdel-Salam

ABS Área pequeña alrededor de un punto singular J en el Método BEM.

( )vSS = Conjunto de oarametros que depneden del contador de iteraciones v en la determinación de contornos corregidos

1 s Distancia entre el elemento de la fuente dAQ y el punto de cálculo en el método SCSM.

2 s Número de cargas correspondientes a los electrodos a potencial fijo en una configuración con MF electrodos a potencia fijo y MI electrodos a potencial indeterminado en los métodos CSM y SCSM.

3 s Longitud genérica.

is Representan características eléctricas en el proceso de


optimización.

),,,( N21jjjj TTTT K

r= Vector de n parámetros en un BVP.

rT Vector paramétrico en un BVP.

NTTT ....,, 21 Desplazamientos de los NPPP ....,, 21 en un contorno que se

optimiza.

[ ]T Vector de desplazamientos de los puntos del contorno.

rt Vector unidad del trípode de la línea de campo en el punto en el

punto P (vector tangente).

it Distancia entre el punto Pi y su carga asociada.

it Vector de desplazamiento de un punto del contorno.

0U Potencial conocido de un electrodo.

xU Potencial de un electrodo a potencial indeterminado.

inU Potencial correspondiente al inicio de la descarga disruptiva en el punto Pi.

1 u Variable genérica de integración en el método FEM.

2 { }nuuuu ..., 21= Valores del Parámetro u de los n puntos desplazados

⋅⋅⋅

NPPP ....,, 21

( )vu , Par de parámetros en un BVP.

1 v Contador de intentos del proceso de optimización

2 v Variable genérica.

V Volumen de un dominio.

FV Tensión de descarga superficial en el Método de Optimización de Aisladores de Grönewald.

eV Volumen del electrodo sometido a esfuerzo en el Método de Kato.

[ ]V Vector de errores.

[ ]iV Matrices de potenciales conocidos de las superficies iS en el

método BEM.

w Torsión de la línea de campo en el punto P.

21 ,, ppj www Función de peso para satisfacer las condiciones de tangencia.

Bibliografía 301

SA ww , Función de peso.

x Coordenada, abscisa.

ix Coordenada, abscisa en el punto de contorno iP

jx Coordenada, abscisa de la carga jQ

y Coordenada, ordenada.

iy Coordenada, ordenada en el punto de contorno iP

jy Coordenada, ordenada de la carga jQ

( )xy Función de la variable x.

( )xy ′ Primera derivada de la función y(x).

( )xy ′′ Segunda derivada de la función y(x).

z Coordenada axial.

iz Coordenada axial en el punto contorno i.

jz Coordenada axial de la carga jQ

ijz Cooordenada axial. Del punto de contorno i en el plano de corte j.

z ′ Coordenada axial de un punto de un nuevo contorno.

Alfabeto griego

α Ángulo de rotación de la densidad de carga en distribuciones de campo tridimensionales sin simetría axial.

αd Elemento de ángulo de rotación en el método BEM.

β Ángulo de la dirección normal al contorno en el punto Pi en el método de Garnacho.

iβ∆ Incremento del ángulo ∆β¡ producido por la componente tangencial Etgi en el método de Garnacho.

iβ ′ Ángulo que define la nueva dirección in ′del campo eléctrico en un punto genérico Pi en el método de Garnacho.

1 ∆ Distancia entre dos puntos de contorno muy próximos en el método SCSM.


2 ∆ Dos veces el area de un elemento.

δ Desviación del potencial real al potencial calculado.

ε Constante dieléctrica.

0ε Constante dieléctrica del vacío.

iε Constante dieléctrica del medio i-ésimo.

rε Constante dieléctrica relativa.

Φ Función potencial armónica.

( )zr ,,ψφ Potencial genérico en un punto cualquiera del espacio.

φ∇ Gradiente del potencial

( )yxe ,φ Función de interpolación de potencial en el elemento e.

Eiφ Electrodo a potencial indeterminado.

Ekφ Electrodo a potencial fijo.

iφ Potencial en el punto de contorno Pi.

0φ Potencial conocido.

ijφ Potencial en el nudo i producido por la carga j.

Aφ Solución del BVP para el espacio AΛ .

cφ Potencial en un contorno.

dφ Potencial correspondiente a los puntos de la zona de Dirichlet.

nφ Potencial correspondiente a los puntos de la zona de Neumann.

Γ Superficies de Contorno de la región global y las interfaces entre las regiones parciales en un BVP.

1Γ Conjunto de geometrías dadas fijas.

2Γ Conjunto de geometrías que están de algún modo indefinidas.

21 , ΓΓ Superficies electródicas a potenciales φ1 y φ2.

nm ΓΓ , Contornos dieléctricos a potenciales φm y φn.

iΓ Superficie electródica a potencial φi.

1Γ ′ Contorno dieléctrico entre materiales ε1 y ε2 desplazado a la línea equipotencial φ = φm.

Bibliografía 303

02Γ Conjunto dado de geometrías incognitas originales en un BVP.

0Γ Contorno dieléctrico inicial para ser optimizado en un BVP.

Γ j Superficie función de las coordenadas de los N puntos P P Pj j j

1 2, ,K N y del par de parámetros (u,v) en un BVP, en la iteración j.

γ Índice que indica que un punto pertenece a la superficie Γ

Λ Tubo de campo en un BVP.

CBA ΛΛΛ ,, Espacios de campo eléctrico con potenciales ϕA, ϕB, ϕC y constantes dieléctricas εA, εB, εC.

Fη Cociente de descarga superficial en el Método de Optimización de Aisladores de Grönewald.

λ Densidad de carga por unidad de longitud.

jλ Carga discreta situada en la posición j.

µλ Valor de pico de la distribución de carga en campos tridimensionales sin simetría axial.

( )iIΘ Función que asigna a cada iteración un valor Θ(Ii)∈ {-1,0,1}

∑ Contorno envolvente del dominio.

( )iIϑ Función que caracteriza contornos válidos (=1) o no válidos (=0).

ρ Densidad volumétrica de carga eléctrica.

iρ Radio de curvatura en el punto Pi.

ijρ Radio del arco de circulo cuyos extremos son los puntos Pi y Pj.

iρ ′ Radio de curvatura modificado en el punto Pi.

ijρ ′ Radio modificado del arco de circulo cuyos extremos son los puntos Pi y Pj.

( ) ( )rzyx ′= σσ ,, Densidad superficial de carga.

1 σ Función de distribución de las cargas superficiales equivalentes en el Método BEM.

2 σ Factor de subrelajación en el método de Girdinio.

eIσ Contribución de la carga de un elemento observado e en el punto I en el método BEM.


[ ]σ Matriz de las densidades superficiales de carga.

µ Permeabilidad.

iii γβα µµµ ,, Cosenos directores de la normal de la superficie dieléctrica en el punto Pi sobre el sistema de coordenadas en el que se está trabajando, es decir, α, β, γ.

iµ Parámetro: longitud de la curva desde P1 hasta el punto Pi

1 τ Dominio.

2 τ Coordenada tangencial al electrodo.

ω Factor de relajación.

ijω Coeficiente de peso en el Método de Tsuboi.

ξ Función del ángulo α entre las principales direcciones de la

curvatura y las direcciones determinadas por los vectores rb y

rn , y de las principales curvaturas de S y P ( )21 c y c

ψ Ángulo acimutal.

Abreviaturas

BEM Boundary Element Method: Método de Elementos de Contorno

BVP Boundary Value Problem: Problema de valores de contorno.

CSM Charge Simulation Method: Método de Simulación de Cargas o Método de Cargas equivalentes.

FDM Finite Difference Method. Método de Diferencias Finitas.

FEM Finite Element Method: Método de los Elementos Finitos

PEM Partial Element Method. Método de Elementos Parciales.

PVM Parallel Virtual Machine. Máquina Virtual Paralela.

SCSM Surface Charge Simulation Method: Método de Simulación de Cargas Superficiales.

Main Frame Estación de trabajo.

Apéndice A Coeficientes de Potencial y de Campo para Configuraciones de Cargas Discretas y Superficiales

A.1 Cargas discretas [39]

A.1.1 Sistemas bidimensionales

A.1.1.1 Carga lineal de longitud infinita y paralela al plano de tierra

Supóngase una carga de longitud infinita [7][121] con una densidad de carga lineal de

valor λj, situada en el espacio y paralela al plano de tierra (Fig. A.1).

Al aplicar el teorema de Gauss (A.1) sobre una superficie cilíndrica de eje coincidente con la carga, de un radio genérico r y de longitud arbitraria 1 resulta la expresión:

∫ ∫=⋅ΕS l

dlSd λε1rr

(A.1)

Debido a la simetría de la configuración el campo eléctrico tiene componente únicamente en dirección radial tomando como origen la coordenada de la carga, por lo que puede escribirse:

llrE jr λε

π 12 =⋅⋅⋅

(A.2)

es decir:

rj

r er

Err

⋅⋅⋅⋅

= 1

2 επλ

(A.3)

donde: r es la distancia entre la carga λj y el punto Pi.

rer es el vector unitario en dirección y sentido de la recta que une la carga λj con

el punto Pi.

A partir de la expresión (A.3) puede obtenerse la componente del campo en las direcciones de los ejes x e y sin más que proyectar sobre los mismos:

αα sencos ryrx EEEErr

== (A.4)

Donde:

A-2 Optimización de Aisladores de Alta Tensión...

22

2222

)()(

)()(sen

)()(cos

jiji

jiji

ji

jiji

ji

yyxxr

yyxx

yy

yyxx

xx

−+−=

−+−

−=

−+−

−= αα

(A.5)

Sustituyendo en las expresiones (A.4) las ecuaciones (A.3) y

(A.5), resulta:

jyijj

jiji

jiyij

jxijj

jiji

jixij

fyyxx

yyE

fyyxx

xxE

λλπε

λλπε

⋅=⋅−+−

−⋅=

⋅=⋅−+−

−⋅=

22

22

)()(2

1

)()(2

1

(A.6)

donde fxij y fyij son los coeficientes de campo eléctrico en las direcciones del eje "x” e

“y” respectivamente producidas por la carga λj en el punto Pi.

Pir2

r’ 2

r 1

r’ 1

Fig. A.1. Carga lineal de longitud infinita paralela al plano de tierra.

Apéndice A: Coeficientes de potencial y de Campo para configuraciones ... A-3

Si se desea considerar la presencia del plano de tierra debe incorporarse la carga

imagen, es decir una carga situada en el punto (xj ,-yj) y de magnitud -λj. Al superponer los efectos producidos por ambas cargas resulta:

jyij

jiji

ji

jiji

jijyij

jxij

jiji

ji

jiji

jijxij

fyyxx

yy

yyxx

yyE

fyyxx

xx

yyxx

xxE

λπελ

λπελ

⋅=

++−

+−

−+−

−⋅=

⋅=

++−

−−

−+−

−⋅=

2222

2222

)()()()(2

)()()()(2

(A.7)

A partir de la expresión (A.3) y teniendo en cuenta que el campo eléctrico es el menos el gradiente del potencial puede determinarse fácilmente el coeficiente de potencial por integración analítica:

rrE

jr

1

2⋅

⋅⋅=

∂∂−=

επλφr

(A.8)

2

112 ln

22

2

1 r

r

r

dr jr

r

j

επλ

επλ

φφ⋅⋅

=⋅⋅⋅

−=− ∫ (A.9)

y para la carga imagen se tendrá análogamente:

2

112 ln

22

2

1 r

r

r

dr jr

r

j

′′

⋅⋅−=⋅

⋅⋅=′−′ ∫

′

′ επλ

επλ

φφ (A.10)

donde:

r2 : es la distancia entre la carga λj y el punto Pi.

r’ 2: es la distancia entre la carga imagen λj y el punto Pi.

r1 y r'

1 : son las distancias entre las cargas λj y -λj y el punto de referencia del

potencial respectivamente.

Si se considera el punto de referencia 1 en el infinito (φ1 = φ’1 =0) y si se suman las dos contribuciones de la carga real y la de su imagen se obtiene el potencial global en el

punto Pi producido por las cargas λj y -λj.

jij

jiji

jijiji p

xxyy

xxyyλ

πελ

φ ⋅=−+−

−++=

22

22

)()(

)()(ln

2

(A.11)


A.1.2 Sistemas tridimensionales de revolución

A.1.2.1 Segmento rectilíneo vertical

En la Fig. A.2 se representa un segmento rectilíneo vertical de carga [77][121][130][4] coincidente con el eje de ordenadas “z”, sus extremos inferior y superior están definidos por las ordenadas zj1 y zj2 respectivamente.

Pi(r i,zi)

zj1

zj2

-zj1

-zj2

d

Fig. A.2. Segmento rectilíneo vertical.

A continuación se determina el potencial producido por esta carga en un punto genérico Pi contenido en el plano de coordenadas r, z.

Supóngase que la carga está repartida uniformemente a lo largo del segmento, con una

densidad de carga lineal de valor λ.

El potencial creado por un elemento diferencial de carga ( )dz⋅λ en el punto Pi es:

d

dzd i

⋅⋅⋅⋅

= λεπ

φ4

1 (A.12)


donde d es la distancia entre el punto P1 y el elemento diferencial de carga ( )dz⋅λ es

decir:

( )22 zzrd ii −+= (A.13)

Al integrar la expresión (A.12) entre los límites zj1 y zj2 se obtiene el potencial total φi en

el punto Pi.

( ) ( )∫∫−

+⋅⋅

=−+⋅⋅

=2

1

2

1

2

222

144

j

j

j

j

z

z

i

ii

z

zii

i

r

zzr

dz

zzr

dz

επλ

επλφ (A.14)

con el cambio de variable:

i

i

r

zzt

−= (A.15)

la integral se transforma en:

∫+

−⋅⋅

=2

1 214

t

ti

t

dt

επλφ (A.16)

cuyos límites de integración resultan:

i

ji

i

ji

r

zzty

r

zzt

22

11

−=

−=

(A.17)

y cuya primitiva es:

[ ] 2

14tti argsht

επλφ⋅⋅

−= (A.18)

donde:

+±= 1ln 2ttargsht (A.19)

Únicamente se considera el signo positivo de la raíz, ya que carece de sentido físico el neperiano de una magnitud negativa, es decir:

++

++

⋅⋅−=

1

1ln

4 211

222

tt

tt

i επλφ

(A.20)

Al deshacer el cambio de variable (A.17) y considerar que el valor total de la carga del

segmento qj está definido por ( )12 jj zz −⋅λ resulta:


( )( ) 11

12

12ln

)(4 δγ

πεφ

+−

+−

−

−=

ji

ji

jj

ji zz

zz

zz

q (A.21)

donde:

21

21

22

21

)(

)(

jii

jii

zzr

zzr

−+=

−+=

δ

γ

(A.22)

es decir:

12

11

12 )(

)(ln

)(4

1

γδ

πε +−+−

−=

ji

ji

jjij zz

zz

zzp

(A.23)

Obsérvese que la expresión (A.23) presenta singularidad para los puntos situados por debajo de la ordenada zj1 con abscisa r i nula, ya que el numerador y el denominador del quebrado afectado por el logaritmo neperiano se anulan. Para resolverlo se puede transformar matemáticamente la ecuación (A.23) en la siguiente:

11

12

12 )(

)(ln

)(4

1

δγ

πε +−+−

−=

ij

ij

jjij zz

zz

zzp

(A.24)

(válida para puntos con zi < zj1).

Para puntos situados entre las ordenadas zj1 y zj2 con un valor de abscisa r i próxima a cero tiende a infinito el cociente citado de las ecuaciones (A.24) y (A.23). Para soslayar esta singularidad, la ecuación (A.23) se puede transformar en la siguiente:

( ) ( )2

1211

12

)()(ln

)(4

1

i

ijji

jjij

r

zzzz

zzp

γδπε

+−⋅+−−

= (A.25)

(válida para puntos con zi > zj1 y zi < zj2).

Si se desea simular el plano de tierra debe añadirse al coeficiente de potencial el término debido a la carga imagen de valor -qj colocada simétricamente con respecto a dicho plano y cuya expresión (A.26) se obtiene al sustituir en las ecuaciones (A.22) y (A.23) zjl por -zj2 y zj2 por -zj1 e incorporar el signo negativo debido al valor opuesto de la carga imagen.

( )( )21

22

12 )(

)(ln

)(4

1

γδ

πε ++++

−−=′

ij

ij

jjij zz

zz

zzp

(A.26)

donde:

22

22

21

22

)(

)(

iji

iji

zzr

zzr

++=

++=

δ

γ

(A.27)

con lo que el coeficiente de potencial global resulta:


( ) ( )( ) ( )2212

2111

12 )()(

)()(ln

)(4

1

δγγδ

πε ++⋅+−++⋅+−

−=

ijji

ijji

jjij zzzz

zzzz

zzp

(A.28)

válida para los puntos cuya ordenada zi > zj2.

( ) ( )( ) ( )2211

2112

12 )()(

)()(ln

)(4

1

δδγγ

πε ++⋅+−++⋅+−

−=

ijij

ijij

jjij zzzz

zzzz

zzp

(A.29)

válida para los puntos cuya ordenada zi < zj1.

( ) ( ) ( )( )22

2211211

12 )(

)()(ln

)(4

1

δγγδ

πε ++⋅

++⋅+−⋅+−−

=iji

ijijji

jjij

zzr

zzzzzz

zzp

(A.30)

válida para los puntos cuya ordenada zi está comprendida entre zjl y zj2.

Las componentes axial y radial del campo eléctrico para un segmento de carga vertical aislado sin tener en cuenta el plano de tierra se obtienen por derivación de la ecuación (A.18):

∂∂+

∂∂−= z

zr

rE

rrv φφ (A.31)

Componente axial del campo:

⋅+−

⋅+⋅−−=

∂∂

−=iii

iz

rtrtzE

21

22 1

1

1

1

4πελφ

(A.32)

teniendo en cuenta (A.17), (A.22) y operando resulta:

−

−=

1112

11

)(4 δγπε jj

jz zz

QE

(A.33)

Para tener en cuenta el efecto del plano de tierra debe de añadirse al campo global la componente axial producido por la carga imagen de valor -qj obtenida de la expresión (A.33) en la que zj2 es -zj1 y zj1 es –zj2 resultando:

+−−

−=

221112

1111

)(4 δγδγπε jj

jz zz

QE

(A.34)

Análogamente se tiene la componente radial del campo:

( ) ( )

−⋅

++

−⋅

+

−⋅−−=∂∂

−=2

1

21

2

2

22 1

1

1

1

4 i

ji

i

ji

i

ir

r

zz

tr

zz

trE

πελφ

(A.35)

teniendo en cuenta (A.17), (A.22) y operando resulta:


−−

−⋅−

=1

1

1

2

12

)()(

)(4 δγπεijij

ijj

jr

zzzz

rzz

QE

(A.36)

Del mismo modo que para la componente axial, si se considera el efecto del plano de tierra se obtiene

+−

++

−−

−−

=2

2

2

1

1

1

1

2

12

)()()()(

)(4 δγδγπεijijijij

ijj

jr

zzzzzzzz

rzz

QE

(A.37)

A.1.2.2 Carga anular paralela al plano de tierra [77][7]

En la Fig. A.3 se representa una carga anular de radio r j centrada en el eje de coordenadas z y contenida un plano perpendicular a éste.

La distancia del centro geométrico de la carga al origen de coordenadas es zj.

Asimismo considérese un punto genérico de coordenadas r i, zi contenido en el plano r,z.

rj

ζζζζ

zj

-zj

( )iii zrP ,

Fig. A.3. Cargas anulares de radio rj en un sistema tridimensional.


Si se supone que la densidad de carga lineal está uniformemente repartida, puede expresarse la influencia del potencial en el punto Pi producido por un elemento

diferencial de arco de carga ( )ds⋅λ por la ecuación:

d

dsd i

⋅= λπε

φ4

1 (A.38)

donde d es la distancia entre el punto Pi y el elemento diferencial de carga ( )ds⋅λ , es

decir:

( ) ( )222 sencos)( ζζ jjiji rrrzzd +−+−= (A.39)

donde ς es el ángulo formado entre el plano r, z y la recta definida por el centro de la

carga y el elemento diferencial de carga ( )ds⋅λ genérico.

Teniendo en cuenta la ecuación (A.39) y la relación geométrica.

ζdrds j ⋅= (A.40)

la expresión (A.38) se transforma en:

( ) ( )222 cos)(4 ζζ

ζπελφ

senrrrzz

drd

jjiji

ji

+−+−

⋅⋅=

(A.41)

Al integrar, el ángulo ς varía entre 0 y 2π, pero debido a la simetría con respecto al

plano r, z el valor de la integral resulta el doble del correspondiente al calculado entre 0

y π, es decir:

( ) ( )∫+−+−

⋅⋅=

π

ζζ

ζπελφ

0 222 sencos)(42

jjiji

ji

rrrzz

dr

(A.42)

La expresión contenida en la raíz, se puede transformar al operar en la siguiente:

ζcos2)( 222jijiji rrrrzz ⋅−++− (A.43)

y efectuando el cambio de variable:

2

ζπγ −= (A.44)

se transforma en:

( ) γ222 4)( senrrrrzz jijiji ⋅−++− (A.45)

o bien:


( )γα 221

21 1 senk−⋅ (A.46)

donde:

11

221

2

)()(

α

α

ji

jiji

rrk

zzrr

⋅=

−++=

(A.47)

Al aplicar en la integral (A.42) el cambio de variable definido por la ecuación (A.44) y sustituyendo la expresión (A.46) se convierte en:

( )∫−

⋅−⋅⋅=0

211

2 1

2

4

2π

γα

γλπε

φsenk

dr ji (A.48)

Considerando que el valor total de la carga anular qj esta definido por ( )jr⋅⋅⋅ πλ 2 la

expresión (A.48) resulta:

( )1

11

4 αππεφ kKq j

i ⋅⋅= (A.49)

donde K(k1) es la integral elíptica completa de primera especie, es decir:

( )1

11

4

1

αππεkK

pij ⋅⋅= (A.50)

Si se cuenta con un plano de tierra el coeficiente de potencial global debe incluir al coeficiente de potencial producido por la carga anular imagen, es decir situada por debajo del plano de tierra a una distancia –zj y de valor -qj.

El coeficiente de potencial debido a esta carga imagen -qj se determinará simplemente al sustituir en las expresiones (A.50) y (A.47) el término zj por –zj y cambiando de signo la expresión (A.50) (la carga imagen es de igual valor absoluto pero de signo opuesto), es decir:

( )2

21

4

1

αππεkK

pij ⋅⋅−=′ (A.51)

donde

22

222

2

)()(

α

α

ji

jiji

rrk

zzrr

⋅=

+++=

(A.52)

con lo que el coeficiente global resulta:


( )

−⋅=

2

2

1

1)(2

4

1

ααππεkKkK

pij (A.53)

Para determinar las componentes axial y radial del campo eléctrico se calcularán previamente las derivadas parciales siguientes:

( ) ( )

( ) ( )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

212

2

1

2

212

2

1

,,,1

,,1

,,,1

,,1

αααα

ααααkk

z

kk

zz

k

zz

k

z

kk

r

kk

rr

k

rr

k

r

iiiiiiii

iiiiiiii

(A.54)

derivadas respecto a r i:

( )

( ) ( )

⋅⋅

−+−⋅=

+−⋅=

=+

−=

∂∂⋅⋅+

⋅=

∂∂

+−=

∂∂⋅−=

∂∂

21

222

121

1

21

11

1

1

31

121

22

1

2

12

1

2

2

11

αα

ααα

αα

αα

i

jiijji

i

ji

iiiji

ji

j

i

ji

iii

r

zzrrk

rr

rk

rrk

r

k

rrr

rr

r

r

k

rr

rr

(A.55)

respectivamente:

( )

( ) ( )

⋅⋅

−+−⋅=

+−⋅=

=+

−=

∂∂⋅⋅+

⋅=

∂∂

+−=

∂∂⋅−=

∂∂

22

222

222

2

22

22

22

2

32

21222

22

1

2

12

1

2

2

11

αα

ααα

αα

αα

i

jiijji

i

ji

iiji

ji

j

i

ji

ii

r

zzrrk

rr

rk

rrk

r

k

rrr

rr

r

r

k

rr

rr

(A.56)

derivadas respecto a z:

( )21

11

31

1211

12

11

αα

αα

ααji

iiji

i

ji

ii

zzk

zrr

z

k

zz

rz

−−=

∂∂⋅⋅=

∂∂

−−=

∂∂⋅−=

∂∂

(A.57)

respectivamente:

( )22

1

2

2

32

2222

12

11

αα

αα

ααji

iji

i

ji

ii

zzk

zrr

z

k

zz

rz

+−=

∂∂⋅⋅=

∂∂

+−=

∂∂

⋅−=

∂∂

(A.58)

Para determinar la

∂∂

1

1)(

αkK

ri será preciso partir de las ecuaciones (A.55) y de la

propiedad siguiente:


−=

∂∂

21

1211

21

11

1 )()(1)(

ββα kKkE

kk

kK

(A.59)

donde:

221 )()( jiji zzrr −+−=β (A.60)

(cuya demostración se realiza al final del apéndice)

( ) ( )

+−

⋅⋅

−+−⋅⋅

−⋅=

=

∂∂⋅+

∂∂

⋅∂

∂⋅=

∂∂

31

121

222

121

1211

21

11

11

1

1

1

11

1

)(2

)()(11

1)(

)(1)(

ααββα

α

ααα

ki

i

jiij

iii

rrkK

r

zzrrk

kKkE

k

rkK

r

k

K

kKkK

r

(A.61)

operando resulta:

( )

⋅

−⋅−+−⋅=

∂∂

211

1211

222

1

1)()(

2

1)(

βαβ

αkKkEzzrr

r

kK

rjiij

ii

(A.62)

y de aquí:

( ) ( )

⋅−⋅−+−−=

211

12

11222

0 .

)()(1

4

1

βα

βππε

kKkEzzrr

rf

jiij

irij

(A.63)

Y teniendo en cuenta la carga imagen (ecuación (A.56)), resulta:

( ) ( )

( ) ( )

⋅−⋅++−−

⋅−⋅−+−−=

222

22

22222

211

12

11222

0

)()(

.

)()(1

4

1

βαβ

βα

βππε

kKkEzzrr

kKkEzzrr

rf

jiij

jiij

irij

(A.64)

Para determinar la componente axial se procede de forma análoga: (A.57).

( ) ( )

−−+

−⋅−⋅

−⋅==

=

∂∂⋅+

∂∂

⋅∂

∂⋅=

∂∂

31

121

112

1

121

11

11

1

1

1

11

1

)()()(11

1)(

)(1)(

ααβα

α

αααjiji

iii

zzkK

zzkkK

kE

k

zkk

r

k

k

kKkK

z

(A.65)

y operando resulta:

( )

−⋅

−=

∂∂

jii

zzkEkK

z 211

1

1

1 )()(

βαα

(A.66)

y de aquí:


( ) ( )

−⋅−=

211

1

0

.2

4

1

βαππεkEzz

fij

zij (A.67)

y teniendo en cuenta la carga imagen (A.58) resulta:

( ) ( ) ( ) ( )

⋅++

⋅−−=

222

2

211

1

0

2

4

1

βαβαππεkEzzkEzz

fijij

zij (A.68)

A.1.2.2.1 Propiedades de 1as derivadas de las integrales elípticas completas de primera y segunda especie respecto al parámetro K:

Se demuestran aquí las propiedades utilizadas anteriormente en la derivación de los coeficientes de campo.

1ª.-

−⋅−

⋅=∂

∂)()(

1

11)(2

kKkEkkk

kK (A.69)

O lo que es lo mismo si 2

4

αji rr

k⋅⋅

=

−⋅⋅=

∂∂

)()(1)(

2

2

kKkEkk

kK

βα

(A.70)

Donde α y β están definidas por (A.47) y (A.60)

2ª.-

( ))()(1)(

kKkEkK

kE −⋅=∂

∂ (A.71)

A continuación vamos a demostrar ambas propiedades:

Demostración de las propiedades:

1ª.-

−⋅−

⋅=∂

∂)()(

1

11)(2

kkkEkkk

kK (A.72)

Se parte previamente de la relación:

∆−−∆=

∆⋅⋅

∂∂

3

22 1cos ksenk ψψψ

(A.73)

donde:

ψ221 senk ⋅−=∆ (A.74)


cuya demostración es la siguiente:

( )( )

( )3

222

3

2

22

3

2

3

222

3

222

22

3

2222

2

22

22

2

22

2

2222

22

2

2222

3

2222

222

3

2

3

22

222

2

11

11

111

11cos

1cos

1coscos

cos1coscos

coscos

∆−−∆=−

∆+

∆−=

=∆

−∆∆+

∆−=

∆−

∆−+−=

=∆

−∆

−=∆

−

∆∆⋅=

=∆

−

∆+

∆−

∆⋅=

=∆

−

∆+

∆⋅=

∆⋅⋅+

+∆−⋅=

∆−−∆=

∆⋅⋅⋅⋅+

+∆−⋅=

∆⋅⋅

∂∂

⋅

ksenk

k

senkksenksenkk

senksenksenkk

senksenksenkk

senksenkksenkk

senk

ksenksenk

senk

senk

ψ

ψψψ

ψψψψ

ψψψψ

ψψψψψ

ψψψψψψ

ψψψψψ

(A.75)

es decir: ( )

⋅−

−−⋅−=

⋅−

⋅⋅∂∂

322

222

22

2

1

11

1

cos

ψψ

ψ

ψψψ

senk

ksenk

senk

senk

si se integra entre 0 y p/2 se obtiene:

( )ψ

ψψψ

ψ

ψψ πππ

d

senk

kdsenk

senk

senkd ⋅

⋅−

−−⋅⋅−=

⋅−

⋅⋅∫∫∫

222

0 322

2

0

22

0 22

2

1

11

1

cos (A.76)

como la integral del primer miembro es nula se puede poner:

( ) 20

2220 322 1

)(1

1

1

1

22

k

kEdsenk

ksenk

d

−=⋅⋅−

−=

⋅−∫∫ ψψ

ψ

ψ ππ

(A.77)

con lo que:

( )( )

( ) ( )∫∫

∫

⋅−+

⋅−−=

=⋅⋅−

⋅=∂

∂

22

2

23

0 3220 22

0 22

2

1

1

1

11

ππ

π

ψ

ψ

ψ

ψ

ψψ

ψ

senk

d

ksenk

d

k

dsenk

senk

k

kK

(A.78)

Aplicando la expresión (A.76) resulta:

( )

−⋅−

=∂

∂)()(

1

112

kKkEkkk

kK (A.79)


2ª.-

( ))()(1)(

kkkEkk

kE −⋅=∂

∂ (A.80)

( )( )

( ) ( )∫

∫

⋅

⋅−−

⋅−

⋅−=

=⋅⋅−

⋅−=∂

∂

2

2

0 2222

2

0 22

2

1

1

1

11

1

π

π

ψψψ

ψ

ψψ

ψ

dsenksenk

senk

k

dsenk

senk

k

kE

(A.81)

con lo que:

( ) ( ) ( )[ ]kKkEkk

kE −=∂

∂ 1 (A.82)

A.2 Cargas superficiales

Para el cálculo de las componentes de potencial y de intensidad de campo en el método de cargas superficiales se han empleado los siguientes desarrollos en serie de K(k) y E(k) integrales elípticas de primera y segunda especie respectivamente para campos tridimensionales con simetría rotacional, y desarrollos en serie de Qn-1/2(xi) y Qn+1/2(xi) (funciones de Legendre de orden n-1/2 y n+1/2 respectivamente también llamadas funciones toroidales) para el cálculo de campos sin simetría rotacional.

A.2.1 Desarrollos en serie de las integrales elípticas de primera y segunda especie y de las funciones toroidales [118]

A continuación se muestran los desarrollos para K(k), E(k) y Qn-1/2(xi) cuando rQ, zQ →

r, z.

Sean:

( ) ( ) 22222 εεεεε

=+=−+−

=−=−

zrQQzQ

rQzzrr

zz

rr

(A.83)

Entonces:

( ) ( )

⋅⋅⋅+⋅−⋅++=

−++=

2

2

2

2

22 8

1

4

1

21

2

111

rrrrzzrrazrr

QQ

εεε (A.84)

( ) ( )⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅−=−⋅=

−++=

2

2

2

2

22 8

1

8

11

21

24

rrrra

r

zzrr

rrk rr

QQ

Q εεεε (A.85)


( ) ⋅⋅⋅+⋅+⋅−⋅−

++⋅

=

2

2

2

2

2

2

2

2

16

1

16

3

22

1

21

161

64ln

2

1

rrrrr

rkK zrrr εεεεε

ε

(A.86)

( )

⋅⋅⋅+++⋅+=

−⋅++=

2

2

2

222

12

12

1rrrrr

rr

r

zr εεεε

εεξ (A.87)

( )

∑∑−

=

−

=

−

+⋅−

+⋅×

−−+⋅

++

−⋅⋅−++−

−⋅

+−⋅

−=≈

1

0

1

0

222

22

2

2

2

3

2

2

22

2

2

2

21

12

12

12

12

4

1

4

11

44

1

48642

4

11

41

64ln

2

1

n

k

n

k

rrrrr

rn

kk

nnrr

nrrrrr

nrrr

Q

εεεεεεε

εεεξ

(A.88)

( )2

2

2

2

2

2

2

2

168

1

21

8

64ln

2

11

rrrrr

rkE rr εεεεε

ε−⋅⋅−

+⋅

+=

(A.89)

( ) ( ) ( )

2

11

12

11

2

864ln

2

11

421

1

02

2

2

2

2

2

2

2

2121

+−

+⋅

++

−

⋅

+⋅

⋅−=≈⋅−

∑−

=

−+

nkrr

rrrrnQQ

n

k

r

rnn

εε

εεεεξξξ

(A.90)

Apéndice B Propiedades Geométricas del Campo Eléctrico

B.1 Definiciones geométricas. Curvatura total

Dada una superficie S y un punto P de ésta, en el que se ha definido el vector normal a la superficie en un sentido determinado, se calculan para este punto las dos curvaturas normales principales, así como el vector curvatura de las líneas de curvatura correspondientes.

A continuación se le asigna a cada curvatura normal un signo según el siguiente criterio: si el vector curvatura (vector con la dirección de la normal a la línea y módulo igual a la curvatura) de una línea de curvatura se proyecta sobre la normal superficie en el punto, en el lado de ésta que cae en sentido opuesto a aquél en que se definió el vector normal a la superficie, a la curvatura normal correspondiente se le da signo positivo; si por el contrario se proyectase sobre el lado situado a favor del sentido definido para el vector normal, se le dará signo negativo a esa curvatura normal (Fig. B.1).

P

S

ϕ2ϕ1

Cn2

Cn1

P1

P2

2C1C

Signo de Cn1 > 0Signo de Cn2 < 0

Recta normala la superficie

NLínea de curvatura 2

Línea de curvatura 1

Fig. B.1. Curvatura total.

Se cumplen las siguientes relaciones, que pueden deducirse fácilmente de la Fig. B.1:

222

111

cos

cos

ϕϕ

CC

CC

n

n

==

(B.1)

y como 11 1 RC = y 22 1 RC = se tiene finalmente:

B-2 Optimización de Aisladores de Alta Tensión...

2

22

1

11

cos

cos

RC

RC

n

n

ϕ

ϕ

=

=

(B.2)

Fórmulas a partir de las cuales se pueden definir los siguientes “radios de curvatura normales”:

2

2

22

1

1

11

cos

1cos

1

ϕ

ϕR

CR

R

CR

nn

nn

==

==

(B.3)

Una vez asignado un signo a cada una de las curvaturas normales, se define la “Curvatura Total” de la superficie en un punto P como la suma de las curvaturas normales principales con su signo correspondiente:

21 nntot CCC ±±= (B.4)

Para una superficie S dada y para una curva cualquiera L, contenida en S y que pase por un punto P de S fijo, se puede descomponer el vector curvatura según:

gn CCnCrrr

+= (B.5)

en donde

( )( ) geodésicaCurvaturaCnCC

normalCurvaturaNNnCC

ng

nrrr

rrrr

−=⋅=

(B.6)

Siendo: nr normal a la línea.

Nr

normal a la superficie.

Se sabe además que se cumple:

“Todas las curvas de una superficie que pasan por un punto P de ésta y poseen la misma tangente en P, tienen también la misma curvatura normal en P; por ello Cn se denominará curvatura normal en P según la dirección du/dv (ó dv/du).”

Se considera, a merced de todo lo dicho, una superficie S, con un punto P en ella donde se tienen definidas la normal y las direcciones principales de curvatura, así como las líneas de curvatura. Considérense las secciones normales que producen dos planos que, conteniendo a la normal en P, contienen además cada uno de ellos una de las rectas tangentes a S en P según las direcciones principales de curvatura, que consideraremos

definidas por los vectores 1v y 2v . Llámese π1 y π2 a estos planos respectivamente, y π

al plano tangente a S en P tal y como muestra la Fig. B.2 y Ln1 y Ln2 a las secciones

Apéndice B: Propiedades geométricas del campo eléctrico B-3

normales que producen π1 y π2 en S, los vectores curvatura de 11nCr y 22nC

r deberán

cumplir en P:

1. Deben partir de P.

2. Deben estar contenidos en π1 (π2) puesto que Ln1 y Ln2 son curvas planas.

3. Deben ser perpendiculares a 1v ( 2v ), que son los vectores tangentes a Lnl (Ln2)

en P, y por lo tanto estarán contenidos en planos perpendiculares en P a 1v ( 2v ),

estos planos son π2 (π1) respectivamente.

4. De 2) y 3) se deduce que deben estar sobre las rectas de intersección de los

planos π1 (π2) y π2 (π1) es decir, ambos se encuentran sobre la normal Nr

a S en P.

SP

Recta normal

Nr

1v

2v

π

1π

2π

Ln1

Ln2

Fig. B.2. Secciones normales principales.

Al estar los centros de curvatura de Ln1 y Ln2 sobre la normal, la curvatura normal de estas curvas coincide con su curvatura total (es decir, tienen curvatura geodésica nula) y además, por tener estas curvas las mismas tangentes en P que las líneas de curvatura, la curvatura de aquéllas coincide con la curvatura normal de las líneas de curvatura principales, por la propiedad antedicha.


Estas secciones normales así definidas Ln1 y Ln2 se llaman secciones normales principales.

B.2 Cálculo de la curvatura total para superficies de revolución

Considérese una superficie de revolución S con sus coordenadas cilíndricas y cartesianas, según se muestra en la Fig. B.3.

x

r = v ϕ = u

z

y

Γv

P

u0

π1

π2

S

Ln1=Γu

Ln2

v0

1vr

2vr

Nr

Fig. B.3. Superficie de revolución.

Para realizar el estudio geométrico diferencial de esta superficie se escoge una

parametrización (u, v) en la que u = ϕ y v = r. La ecuación de la superficie en coordenadas cartesianas con un vector de posición r

r es entonces:

( ) ( )( )vhsenuvuvvur ,,cos, ⋅⋅=r (B.7)

donde la función z = h(v) es la ecuación en dos dimensiones de la curva generatriz de la superficie de revolución.

Se calcula en primer lugar la normal a la superficie, definida por:


vu

vu

rr

rrN rr

rrr

∧∧

= (B.8)

donde urr y vr

r representan las derivadas parciales del vector de posición rr respecto a los

parámetros u y v respectivamente. Se tiene:

( )( )( )vhsenuur

uvsenuvr

v

u

′=⋅⋅−=,,cos

0,cos,r

r

(B.9)

( )( ) ( )( )vsenuvvhuvvh

vhsenuu

uvsenuv

kji

rr vu −⋅⋅⋅′⋅⋅⋅′=′

⋅⋅−=∧ ,,cos

cos

0cos

rrr

rr

(B.10)

( ) ( ) ( )vhvvusenvhvuvhvrr vu22222222 1cos ′++=+⋅′⋅+⋅′⋅=∧

rr (B.11)

( ) ( )( )( )vh

uvhuvhN

21

1,sen,cos

′+

−⋅⋅′⋅⋅′=

r (B.12)

Se calculan ahora los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie.

Los coeficientes de la primera forma fundamental son:

( )( )

( ) ( )vhvhuurrG

uuvuuvrrF

vuvuvrrE

vv

vu

uu

2222

22222

1sencos

00sencoscossen

0,cossen

′+=′++==⋅==+⋅+⋅⋅−=⋅=

=++⋅=⋅=

rr

rr

rr

(B.13)

Además como se sabe ( )( ) ( )vhvvhvFGErr vu2222 11 ′+=′+=−⋅=∧

rr lo cual es acorde

con el resultado arriba expuesto.

Los coeficientes de la segunda forma fundamental se pueden escribir como:

[ ]

[ ]

[ ]2

2

2

,,

,,

,,

FEG

rrrg

FEG

rrrf

FEG

rrre

vuuv

vuuv

vuuu

−=

−=

−=

rrr

rrr

rrr

(B.14)

donde:


( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )vhr

uurvhuur

uuruvuvr

uvuvrvhuvuvr

vv

vuv

uvu

uu

′′=−=′=−=⋅⋅−=

⋅−⋅−=⋅⋅=

,0,0

0,cos,sen,sen,cos

0,cos,sen0,cos,sen

0,sen,cos,sen,cos

r

rr

rr

rr

(B.15)

[ ]( )

( )

( ) ( ) ( )vhvuvuvvh

uvuv

uvuvvh

vhuu

uvuv

uvuv

rrr vuuu

′⋅=⋅−⋅⋅⋅′=

=⋅⋅−⋅−⋅−

⋅′=′+

⋅⋅−⋅−⋅−

=

22222

,

sencos

cossen

sencos

sencos

0cossen

0sencos

,rrr

(B.16)

[ ]( )

( )

( ) ( )uuvuuvvh

uvuv

uuvh

vhuu

uvuv

uu

rrr vuuv

cossencossen

cossen

cossen

sencos

0cossen

0cossen

,,

⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅′=

=⋅⋅−

−−⋅′=

′⋅⋅−

−=

rrr

(B.17)

[ ]( )

( )( )

( ) ( ) ( )vhvuvuvvh

uu

uvuvvh

vhuu

uvuv

vh

rrr vuvv

′′⋅=⋅−⋅⋅−⋅′′=

=⋅⋅−

⋅′′=′+

⋅⋅−′′

=

22

,

coscos

sencos

cossen

sencos

0cossen

00

,rrr

(B.18)

Con lo cual se dispone ya de los coeficientes de las dos formas fundamentales:

( )( )22

2

2

1

1

0 vhvFEG

vhG

F

vE

′+=−

′+==

=

(B.19)

para la primera forma fundamental y:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

′+

′′−=′+⋅

′′⋅−=

=

′+

′⋅−=

′+

′⋅−=

22

22

2

11

0

11

vh

vh

vhv

vhvg

f

vh

vhv

vhv

vhve

(B.20)

para la segunda forma fundamental.

Las curvaturas principales son la solución de la ecuación:

( ) ( ) ( ) 02 222 =−+−+−− fegCFfGeEgCFEG nn (B.21)

Y como F=f=0 queda:

( ) 02 =++− egCGeEgEGC nn (B.22)


en donde:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )22

2

2

222

11

111

vh

vhvhveg

vh

vhvEg

vh

vhvvfGevvhEG

′′+

′′⋅′⋅=

′+

′′−=

′+

′⋅−′+=⋅′+=

(B.23)

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]GeEGGeEgEGEG

GeEG

EG

GeEg

EG

EGegEGgeeGgE

EG

GeEg

EG

EGegGeEgGeEgCn

−±+⋅=−

±+

=

=−++

±+

=−+±+

=

2

1

22

2

42

22

4

2

22222

(B.24)

Donde sustituyendo las relaciones (B.23) quedan las dos soluciones finales:

( )

( )( )

( )22

32

1

12

2

1

1

22

1

vhv

vh

E

eGe

EGC

vh

vh

G

gEg

EGC

n

n

′+⋅

′−==⋅=

′+

′′−==⋅=

(B.25)

Lo cual se podía haber deducido del teorema de Euler que dice:

“El hecho de que f=F=0 es condición necesaria y suficiente para que las líneas

coordenadas sean líneas de curvatura y en este caso se cumple que G

gCn =1 y

E

eCn =2 ”

Así pues las líneas de curvatura de la superficie S con la parametrización escogida coinciden con las líneas coordenadas. Por lo tanto resulta posible usar las curvas coordenadas para calcular los valores de las curvaturas normales principales. Aún así, en lugar de ello, se van a calcular aquí a partir de las secciones normales principales para dar una visión geométrica más completa del problema, para ello las líneas coordenadas, como las líneas de curvatura, sirven para determinar las direcciones de los vectores tangentes a la superficie, que junto con el vector normal a la superficie, determinan las secciones normales principales.

Las líneas coordenadas de parámetros u constante (u-curvas) no son sino la intersección de planos verticales que contienen al eje z con la superficie S, es decir, representan la curva generatriz de la superficie para distintas posiciones acimutales.

Las líneas coordenadas de parámetros v constante (v-curvas) son circunferencias perpendicularmente al eje z y con centro sobre él.

En la Fig. B.3 se han representado las líneas coordenadas correspondientes a un punto

P(u0,v0) sobre la superficie S. La u-curva, curva generatriz, se ha denotado como Γu y la

v-curva, circunferencia, como Γv. Los vectores tangentes en P a las curvas coordenadas


Γu y Γv, 1vr y 2v

r respectivamente, junto con el vector normal Nr

definen los planos π1 y

π2 y las secciones normales Ln1 y Ln2 (comparar con la Fig. B.2).

En este caso Ln1 y Γu coinciden, por lo que la curvatura C1 de Γu representará ya una de las curvaturas normales principales. Se calcula a continuación la curvatura de las curvas

Γu y Γv. Considérese en primer lugar la curva Γu. Su ecuación en coordenadas cartesianas es:

( )( )vhuvuvr ,sen,cos 00 ⋅⋅=r (B.26)

Se denotan con r ′r las derivadas respecto al parámetro natural (longitud de arco) de la

curva y con r&r las derivadas respecto a los parámetros usados en la ecuación de la curva.

Sea utr

el vector tangente y unr el vector normal de la curva Γu. Se tiene:

( )dl

dvr

dl

dv

dv

rd

dl

rdlrtu ⋅=⋅==′= &r

rrrr

(B.27)

De la definición de parámetro natural en geometría diferencia se sabe que:

rdl

dv&r

1±= (B.28)

Por lo que:

r

rtu

&r

&rr±=

(B.29)

Y siendo:

( )( )vhuur ′= ,sen,cos 00&r (B.30)

y

( )21 vhr ′+=&r (B.31)

resulta:

( )( )( )vhuu

vhtu ′

′+±= ,sen,cos

1

100

2

r (B.32)

En cuanto al vector normal, se define en geometría diferencial como:

u

uu

t

tn

′′

= r

rr

(B.33)

Siendo uu Ct =′r

la curvatura de la curva Γu.


donde:

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )

N

vh

vh

vh

senuvhuvh

vh

vh

vh

vhvh

vh

senuvhu

vh

vh

vh

vh

vhsenuuvh

vhvh

vh

vh

vh

vhvhvhsenuu

rvh

r

rdv

dvhsenuu

rvhsenuu

dv

d

r

vhsenuurdv

d

rdl

dv

dv

td

dl

tdt uuu

r

&r&r

&r&r&r

&r&r

rrr

⋅

′+

′′−=′+

−′′⋅

′+

′′−=

=

′+

′−−′+′+

′−

′+

′−

′+

′′=

=

′

′+

′−′+⋅

′+

′′=

=

′+

′′⋅′−⋅′+′′=

=

⋅′⋅+′⋅=

=

′⋅±⋅±=⋅==′

322

003

2

2

22

2

00

232

002

23

2

32

002

00002

00

11

1,,cos

1

11,

1,cos

11

,,cos1

1,0,01

1

1

,,cos1

,0,01

1,,cos

1,,cos

1

,,cos11

(B.34)

Como uuu nCtrr

⋅=′ entonces:

( )( )

Nny

vh

vhC uu

rr±=

′+

′′−=3

21

(B.35)

Pues la curvatura de una curva se define como un valor positivo. Como la curva Γu coincide con la sección normal Ln1, la curvatura Cu es igual en módulo a Cn1 (véase la fórmula (B.25)). En cuanto al signo de Cn1, tal y como se explicó al principio del

capítulo, dependerá de los sentidos relativos de unr y N

r.

Considérense ahora los vectores tangente y normal a la curva Γv (una circunferencia) cuya ecuación puede escribirse:

( )( )000 ,,cos vhsenuvuvr ⋅⋅=r (B.36)

Si se repiten los cálculos realizados para ru se tiene:

( ) ( )0,cos,0,cos,

0

00 usenuv

uvsenuv

r

rtv −±=

−±=±=

&r

&rr

(B.37)


( )

( ) ( ) vv

vv

nCsenuuv

senuur

usenudu

d

rdl

du

du

tdt

r

&

&

r

&r

⋅=−−=−−=

=−±⋅=⋅=

0,,cos1

0,,cos1

0,cos,1

0

(B.38)

donde 0

1

vCv = y ( )0,,cos senuunv −−=

r .

Si se llama ρ al radio de curvatura de la curva generatriz, y R al radio de las circunferencias transversales del cuerpo de revolución, se tiene claramente:

v

u

CR

C1

1

=

=ρ

(B.39)

En cuanto a las curvaturas normales, como Γu coincide con la sección normal Ln1 se tiene:

( )( )

32

1

1 vh

vhCC un

′+

′′−=±= (B.40)

Pero no ocurre lo mismo con Γv, por lo que para hallar la curvatura normal

correspondiente a Cv es preciso proyectar nCvr

⋅ sobre la normal a la superficie, Nr

.

Además ( )0,,cos senuunv −−=r es un vector radial de la circunferencia que representa Γv

con dirección siempre hacia el centro de la circunferencia. Para proyectar sobre Nr

puede efectuarse el producto escalar:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )2

00

02

200

0

20

00

0

11

1

1,sen,cos0,sen,cos

1

vhv

vhCN

vhv

vh

Nvh

uvhuvhuu

vNNnC

n

v

′+

′−=⇒⋅

′+

′−=

=⋅

′+

−⋅′⋅′⋅−−⋅=⋅

r

rrrr

(B.41)

Como puede observarse coinciden con los valores calculados anteriormente:

E

eC

G

gC

n

n

=

=

2

1

(B.42)

Cn1 presenta una interpretación geométrica sencilla pues ρ1

1 == un CC es el inverso del

radio de curvatura de S. En cuanto a Cn2, su interpretación geométrica puede deducirse de la Fig. B.4 donde se representa una sección axial de S.


ϕ0

P0

Rax0

z h(v)

R0 = v0

vϕ0

Fig. B.4. Interpretación geométrica de Cn2.

Se sabe que ( )

( )200

02

1 vhv

vhCn

′+

′= siendo ( ) ϕtanvh =′ 0 , entonces ( )

0

20 cos

11

ϕ=′+ vh ,

luego ax

n RR

sen

RC

1costan

002 === ϕϕϕ , es decir es el inverso de la distancia del punto de

la superficie al eje de revolución medida sobre la normal a la curva en el punto.

Los signos aplicables a Cn1 y Cn2 se pueden deducir de la Fig. B.5 donde se representan

los posibles sentidos de unr y vn

r respecto de Nr

y la regla enunciada al principio del

apéndice.

z z z z

v v v v

h(v)h(v) h(v) h(v)unr

unr

unr

unr

vnr

vnr

vnr

vnr

Nr

Nr

Nr

Nr

01

01

2

1

>=

>=

axn

n

RC

Cρ

01

01

2

1

<−=

>=

axn

n

RC

Cρ

01

01

2

1

<−=

<−=

axn

n

RC

Cρ

01

01

2

1

>=

>−=

axn

n

RC

Cρ

( )( ) 0

0

>′′>′

vh

vh

a) b) c) d)

( )( ) 0

0

<′′>′

vh

vh ( )( ) 0

0

<′′>′

vh

vh ( )( ) 0

0

<′′>′

vh

vh

Fig. B.5. Signos de la curvatura.


La normal a la superficial tiene siempre con la parametrización escogida, tal y como se deduce de la fórmula (B.8), el sentido de las z negativas hacia abajo.

En este caso y según reflejan las formulas de la Fig. B.5 a) b) c) d) el signo de Cn1 coincide con el de la derivada segunda de la función h(v) y el de Cn2 con el de la derivada primera de esa función, lo que está de acuerdo con el convenio establecido al principio del apéndice según se puede apreciar en la Fig. B.1.

Apéndice C Procedimientos Numéricos en el Método BEM [13]

C.1 Campos 3D

C.1.1 Superficies aproximadas por triángulos curvilíneos

Se escoge un elemento de contorno triangular [87][12], (Fig. C.1 a) y su transformación en un sistema de coordenadas “L” (triángulo maestro), (Fig. C.1 b). Los nodos principales son N1, N2, N3, mientras que los auxiliares están señalados como N4, N5, N6. Las coordenadas espaciales (x,y,z) de un punto arbitrario G con coordenadas L1,L2,L3 (L3=1-L1-L2) en el sistema transformado, se calculan, cuando se usa una aproximación de segundo orden, mediante las expresiones:

( )

( )

( )∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

6

1

2

6

1

2

6

1

2

jjj

jjj

jjj

zNz

yNy

xNx

(C.1)

donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

132

6322

5212

4

332

3222

2112

1

444

121212

LLNLLNLLN

LLNLLNLLN

===−=−=−=

(C.2)

C

a) b)

Subelemento en {(x,y,z)}

Subelemento en {L1,L2}Transformación-L

N3 ∆L1

∆L2

BC

B

A

∆S N1

N1

N2

G

Fig. C.1. Transformación “L” de los elementos de contorno.

La función de la carga superficial sobre un elemento se calcula usando la aproximación lineal:

C-2 Optimización de Aisladores de Alta Tensión...

( ) 33221121, σσσσ LLLLLe ++= (C.3)

La contribución del elemento considerado al potencial en el punto I es:

( )( ) ( )∫ ∫

− −−++=

1

0

1

02121

21

3212211

0

1

,,

1

4

1 L

GIeI LdLLLn

LLr

LLLL σσσπε

φ (C.4)

donde |n(L1,L2)| es el Jacobiano de la transformación. La relación (C.4) determina los elementos fila de la matriz de discretización [A] que corresponde a la ecuación Integral de Fredholm de primera especie:

332211 σσσφ IIIeI aaa ++= (C.5)

dónde:

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

−

−

−−=

=

=

1

0

1

0 21

212121

03

1

0

1

0 21

21212

02

1

0

1

0 21

21211

01

1

1

1

,,

,1

4

1

,,

,

4

1

,,

,

4

1

L

GII

L

GII

L

GII

ILLGr

LdLLLnLLa

ILLGr

LdLLLnLa

ILLGr

LdLLLnLa

πε

πε

πε

(C.6)

Las integrales de esta ecuación se pueden resolver por el método de Gauss Radau. Si

cada lado del triángulo maestro se divide en N partes, se obtienen N2 subelementos

cuyas longitudes de los lados verticales son ∆L1 = 1/N, ∆L2 = 1/N. Sobre cada

elemento se forman 0,5(N + 1)(N + 2) puntos de corte, incluyendo también los nodos principales. En el sistema de coordenadas “L”, las coordenadas de los nodos locales se determinan del siguiente modo:

( ) ( )[ ] 1,1;1

,1

, 21 +≤≤

−−= NnmN

n

N

mnLmL (C.7)

Integrando a través de los subelementos, las relaciones (C.6) adquieren la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( ) ( )( )[ ]∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

+

=

−+

=

+

=

−+

=

+

=

−+

=

−−=

=

=

1

1

2

1 212

2121

03

1

1

2

1 212

212

02

1

1

2

1 212

211

01

,,

,1

4

1

,,

,

4

1

,,

,

4

1

N

m

mN

n GImnI

N

m

mN

n GImnI

N

m

mN

n GImnI

InLmLGrN

nLmLnnLmLga

InLmLGrN

nLmLnmLga

InLmLGrN

nLmLnmLga

πε

πε

πε

(C.8)

gmn = 1/6, para los puntos en los vértices del triángulo;

gmn = 1/2, para los puntos sobre los lados de un triángulo;

Apéndice C: Procedimientos numéricos en el método BEM. C-3

gmn = 1, para los puntos dentro del triángulo.

Las relaciones anteriores (C.8) son aplicables en el caso en que el punto de cálculo I no coincida con cualquiera de los nodos principales de los elementos de contorno. En la situación contraria es decir, rGI = 0, las integrales en la expresión (C.6) son singulares.

El caso singular se puede resolver usando la relación (C.8) si se excluyen los subelementos cuyo punto es el nodo singular examinado (Fig. C.2). Usando la numeración apropiada, el nodo singular podía ser señalado como el nodo N3 . En ese

caso, en las relaciones (C.8) el nodo (1,1) del subelemento debería ser excluido y los factores de peso g12 y g21 corregidos. De este modo, para un caso singular se puede

escribir:

3321 32211 IIII aaaaaaaaaIIIII

′∆+′=′∆+′=′∆+′= (C.9)

a) b) c)

2’

1’

Fig. C.2. a) Discretización de los elementos de contorno. b) Discretización de los elementos maestro. c) Subelemento singular.

Las partes a'I1, a'I2, a'I3 se calculan mediante las relaciones (C.8) excluyendo los puntos

en que (m, n) = (1,1) y haciendo g12 = g21 =1/3.

Las partes ∆a'I1, ∆a'I2, ∆a'I3 se calculan analíticamente mediante las relaciones siguientes (ver Fig. C.2 c):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )321

3213

30

323

2123

321

32122

23

21344

302

2123

321

32122

23

21344

301

ln16

5,011

2ln16

1

2ln16

1

ddd

ddd

Nd

NhaNaNa

dddddd

ddddddh

Nda

dddddd

ddddddh

Nda

IIII

I

I

−+++−

+∆−+∆−=∆

−−

−+++

⋅−+=∆

−−

−+++

⋅−+=∆

πε

πε

πε

(C.10)

En un modo similar una forma discreta de la ecuación Integral de Fredholm de 2ª especie se puede escribir del siguiente modo:


( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

21

210

211

1

121

2

1 2132

021

0

2

,,.,,

,,

4

εεεεελ

σπελσ

+−

=

⋅⋅= ∑ ∑ ∑=

+

=

−+

=

nLmLnLmLngnLmLGJrN

nnLmLGJre

E

e

N

mmn

mN

n GJ

JGJJ

rr

(C.11)

Para el caso de un elemento singular en la relación (C.11), la parte que corresponde al subelemento con el nodo singular, es decir, la parte (m, n) = (1, 1), sería omitida. Si el número de elementos es relativamente pequeño, la anulación del conjunto de subelementos puede conducir a una pérdida de la exactitud del cálculo. En este caso, se introduce un procedimiento separado donde el nodo singular del subelemento es aislado con una superficie circular suficientemente pequeña. La contribución del resto de los subelementos a la ecuación (C.11) se puede determinar entonces analíticamente.

C.1.2 Superficies definidas por elementos parciales

Los elementos parciales se introducen para las superficies de las siguientes formas:

- Superficie esférica,

- Superficie Cónica,

- Superficie Cilíndrica,

- Superficie de un Paraboloide,

- Superficie de un Hiperboloide,

- Superficie de un Toro,

- Superficie circular plana.

Las coordenadas de un punto sobre cada una de las superficies dadas arriba, se pueden definir en un sistema de coordenadas local adecuado. Sobre estas superficies se pueden colocar elementos cuadrados o triangulares. En ambos casos, la densidad de carga superficial a lo largo del elemento se aproxima usando funciones base lineales.

• Para un elemento cuadrado, como el de la Fig. C.3.


n

u

v

m

Fig. C.3. Elementos de contorno parciales cuadrados.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 43

21

1125,01125,0

1125,01125,0,

σσσσσ

⋅+++⋅+−++⋅−−+⋅−+=

mnmn

mnmne

vuvu

vuvunm (C.12)

• Para un elemento triangular, Fig. C.4:

( ) 32111

111

, σσσσ

−−−−+−+−=N

n

N

m

N

n

N

mnme (C.13)

Usando el procedimiento de integración a través de subelementos, como se ha explicado en la parte relativa a la aproximación de la superficie de contorno con la ayuda de triángulos curvilíneos, se derivan las siguientes relaciones:

Fig. C.4. Elemento de contorno de “triángulo” Parcial.

• Contribución del elemento cuadrado al potencial en un punto I:


( )( )( )[ ]

( )( )( )[ ]

( )( )( )[ ]

( )( )( )[ ]IvuGr

vuga

IvuGr

vuga

IvuGr

vuga

IvuGr

vuga

aaaa

mnGI

mnN

m

M

nmnI

mnGI

mnN

m

M

nmnI

mnGI

mnN

m

M

nmnI

mnGI

mnN

m

M

nmnI

IIIIeI

,,

1125,0

4

1

,,

1125,0

4

1

,,

1125,0

4

1

,,

1125,0

4

1

1

1

1

104

1

1

1

103

1

1

1

102

1

1

1

101

44332211

++=

+−=

+−=

−+=

+++=

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

πε

πε

πε

πε

σσσσφ

(C.14)

donde:

gmn = 0,25∆S1 (n = 1) ∧ (m = 1 ∨ m = M+1)

gmn = 0,50∆S1 (n = 1) ∧ (m ≠ 1 ∧ m ≠ M+1)

gmn = 0,25∆SN (n = N+1) ∧ (m =1 ∨ m = M+1)

gmn = 0,50∆SN (n = N+1) ∧ (m ≠ 1 ∧ m ≠ M+1)

gmn = 0,25(∆Sn + ∆Sn-1) (m = 1 ∨ m = M +1) ∧ (n ≠ 1 ∧ n ≠ N+1)

gmn = 0,50(∆Sn + ∆Sn-1) (m ≠ 1 ∨ m ≠ M+1) ∧ (n ∫ 1∧ n ≠N+1)

• Contribución del elemento triangular al potencial en el punto I.

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]InmGrN

nmNga

InmGrN

nga

InmGrN

mga

aaaa

GI

N

m

mN

nmnI

GI

N

m

mN

nmnI

GI

N

m

mN

nmnI

IIIIeI

,,

12

4

1

,,

1

4

1

,,

1

4

1

1

1

2

103

1

1

2

102

1

1

2

101

44332211

⋅−−+=

⋅−=

⋅−=

+++=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

+

=

−+

=

+

=

−+

=

+

=

−+

=

πε

πε

πε

σσσσφ

(C.15)

donde:

gmn = ∆S1 (m ≠ 1 ∧ m ≠ N+1) ∧ (n = 1)

gmn = (1/3)∆S1 (m = 1 ∨ m = N + 1) ∧ (n =1)

gmn = (1/3)∆SN (m = 1) ∧ (n = N + 1)

gmn = (1/3)∆Sn + (2/3)∆Sn-1 [m = 1 ∧ (n ≠ N+1) ∧ (n ≠ 1] ∨ [m = N +1 ∧ n ≠ 1

∧ n ≠ N+1]


gmn = ∆Sn + ∆Sn-1 (m ≠ 1 ∧ m ≠ N+1) ∧ (n ≠ 1 ∧ n ≠ N+2 - m)

Las relaciones (C.14) y (C.15) son sólo aplicables para casos regulares, es decir, en un caso en el que el punto observado I no pertenezca a cualquiera de los nodos principales del elemento. Un caso singular rGI = 0 se puede examinar del mismo modo que antes

(explicaciones y relaciones (C.10)). En el caso de un elemento singular, este es examinado como si consistiese en dos elementos resultantes de una división diagonal.

De un modo similar, se deriva la forma discreta de la ecuación Integral de Fredholm de segunda especie:

• Para un elemento cuadrado:

( )[ ]( )[ ]

( )nmgJvuGr

nJvuGre

E

e

M

mmn

N

n mnGJ

JmnGJJ ,

,,

,,

41

1

1

1

13

0

0

σπελσ ∑ ∑ ∑

=

+

=

+

=

⋅⋅

=rr

(C.16)

• Para un elemento triangular:

( )[ ]( )[ ]

( )nmgJvuGr

nJvuGre

E

e

M

mmn

mN

n mnGJ

JmnGJJ ,

,,

,,

41

1

1

2

13

0

0

σπελσ ⋅

⋅= ∑ ∑ ∑

=

+

=

−+

=

rr

(C.17)

La ocurrencia de la singularidad en las relaciones (C.16) y (C.17) se resuelve de un modo similar a la explicada para los triángulos curvilíneos.

Apéndice D Cálculo del mínimo de la Suma de los Cuadrados de las Diferencias en Forma Matricial

Considérese el sistema de ecuaciones (D.1):

[ ] [ ] [ ] 0=∆−⋅ CTF (D.1)

donde la matriz [F] es cuadrada de orden (n x n) elementos, [T] es el vector de incógnitas e [DC] el vector de términos independientes, ambos de orden n.

Considérese adicionalmente un conjunto de restricciones lineales expresadas por la ecuación matricial siguiente:

[ ] [ ] [ ] 0=+⋅ BTG T (D.2)

donde la matriz [G] es una matriz de orden n x m, siendo m el número de restricciones del problema.

Este problema puede resolverse mediante el método de los mínimos cuadrados con ayuda de los multiplicadores de Lagrange [50]. Para ello la ecuación (D.1) se iguala a un vector de errores (D.3), el cual deberá cumplir la condición de que su cuadrado, sea mínimo, a la vez que se satisfacen las restricciones (D.2):

[ ] [ ] [ ] [ ]VCTF =∆−⋅ (D.3)

Es decir, se trata del vector [V] que haga mínima la ecuación (D.4).

[ ] [ ]VVQ T ⋅= (D.4)

con las restricciones de la expresión (D.2).

Si los multiplicadores se designan por λi ( i = 1,2,...m), la función Lagrangiana puede ponerse de la forma:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )BTGVVL TTT +⋅⋅−⋅= λ2 (D.5)

Obsérvese que los términos λi han sido multiplicados por la constante (-2) para simplificar las expresiones posteriores.

Sustituyendo en la expresión (D.5) la ecuación (D.3) resulta:

D-2 Optimización de Aisladores de Alta Tensión...

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )BTGCC

TFCCFTTFFT

BTGCTFCFT

BTGCTFCTFL

TTT

TTTTT

TTTTT

TTT

+⋅⋅−∆⋅∆+

+⋅⋅∆−∆⋅⋅−⋅⋅⋅=

=+⋅⋅−∆−⋅⋅∆−⋅=

=+⋅⋅−∆−⋅⋅∆−⋅=

λ

λ

λ

2

2

2

(D.6)

teniendo en cuenta las simplificaciones siguientes:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]TTTTTT CFTCTFTFC ∆⋅⋅=∆⋅⋅=⋅⋅∆ (D.7)

y como el transpuesto de un escalar (matriz de 1x1) es él mismo:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]CFTTFC TTT ∆⋅⋅=⋅⋅∆ (D.8)

la ecuación (D.6) resulta entonces:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]BTGCCCFTTFFTL TTTTTTT +⋅⋅−∆⋅∆+∆⋅⋅−⋅⋅⋅= λ22 (D.9)

Por otro lado la componente tj del vector [T] puede expresarse por:

[ ] [ ]Tet Tjj ⋅= (D.10)

donde:

[ ]

=

0

.

0

1

0

.

0

je

(D.11)

Para determinar la derivada total de la función Lagrangiana se deducen primeramente las derivadas parciales con respecto a cada tj:

( ) ( )mntttftfL λλλ .....,.....,, 121== (D.12)

con lo que

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ][ ]}BTG

CCCFTTFFTtt

L

TT

TTTTT

jj

+⋅⋅−

−∆⋅∆+∆⋅⋅−⋅⋅⋅∂∂=

∂∂

λ2

2

(D.13)

donde:

Apéndice D: Cálculo del mínimo de la suma de los cuadrados de las diferencias en forma matricial D-3

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]jTTTT

jj

TT

TT

j

TT

j

eFFTTFFeTFt

FT

TFFTt

TFFTt

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅∂∂⋅⋅+

+⋅⋅⋅∂∂=⋅⋅⋅

∂∂

(D.14)

Obsérvese que un sumando es el transpuesto del otro y ambos son escalares, con lo cual:

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]TFFeTFFTt

TTj

TT

j

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∂∂

2 (D.15)

[ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]CFeCFTt

TTj

TT

j

∆⋅⋅=∆⋅⋅∂∂

22 (D.16)

[ ] [ ]{ } 0=∆⋅∆∂∂

CCt

T

j

(D.17)

[ ] [ ] [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]λλλ ⋅⋅−=⋅⋅−=∂

+⋅⋅−∂GeeG

t

BTG Tjj

TT

j

TT

222

(D.18)

agrupando los sumandos (D.15), (D.16), (D.17) y (D.18), resulta como expresión de la derivada total la siguiente ecuación:

( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }λ⋅−∆⋅−⋅⋅−==∂∂

GCFTFFLT

L TT2grad (D.19)

La condición de mínimo debe satisfacer que la ecuación matricial (D.19) sea nula conjuntamente con la ecuación matricial de las restricciones (D.2):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0=⋅−∆⋅−⋅⋅ λGCFTFF TT (D.20)

[ ] [ ] [ ] 0=+⋅ BTG T (D.2)

a partir de la ecuación (D.20) se despeja el vector (T):

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] 01

=⋅+∆⋅⋅⋅=−

λGCFFFT TT (D.21)

que sustituido en la ecuación (D.2) resulta:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]01

=+⋅+∆⋅⋅⋅⋅−

BGCFFFG TTT λ (D.22)

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]CFFFGBGFFG TTTTT ∆⋅⋅⋅⋅−−=⋅⋅⋅⋅−− 11

λ (D.23)

La solución del sistema de ecuaciones lineales (D.23) permite determinar el vector de

multiplicadores λ. Conocido éste, la ecuación (D.21) proporciona el vector de desplazamientos [T] que hace mínima la suma de los cuadrados de las diferencias.

2004 UDC TD GonzalezGerardo

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