2. Tecnicas de Integracion Para Int. Indefinidas
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Cálculo Integral: Técnicas de Integración Por sustitución o cambio de variable y por partes
Ing. Victor Yujra Ccuno 1
2. TECNICAS DE INTEGRACIONSabemos que frente a un problema siempre debemos de buscar un método que nos resulte sencillodar solución a ese problema. Veremos que para solucionar un problema de integración se puederesolver de muchas maneras. En esta parte de nuestro estudio trataremos todos los métodos que nosayudaran a resolver cualquier integral.
2.1. INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE O PORSUSTITUCION
1. Si consideramos ( )tx = donde ( )t es una función continua entonces ( )dttdx . ′= .Reemplazando en la formula de la integral indefinida obtenemos que
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ ∫ ′== dtttfdxtfdxxf .... . Para dar término a la solución de la integral se
vuelve a reemplazar el valor de t en función de x.
2. Si consideramos que ( )xu = y que u es una variable nueva, entonces resulta que
( )dxxdu . ′= , reemplazando en la formula de la integral indefinida obtenemos que
( ) ( )[ ] ( )∫∫ ′= dxxxfduuf ...
Existe un conjunto de integrales de uso frecuente cuyos resultados se justifican porque se reducen alos inmediatos ya estudiados, efectuando el cambio dtdxxftxf =→= )(')(
• Cn
xfdxxfxf
nn +
+=∫
+
1
)]([)('.)([
1
siendo )1( −≠n
• CxfJndxxf
xf +=∫ )(/)(
)('
• ∫ += Cefdxxfef xx )()( )('.
• ∫ += Ca
adxxfa
xfxf
ln)('.
)(
)(
• ∫ +−= Cxfdxxsenf )(cos)(
• ∫ += Cxsenfdxxfxf )()(')(cos(
• ∫ += Cxfdxxf
xf)(tan
)(cos)('
2
• ∫ += Cxfdxxfsen
xf)(tan
)()('
2
• ∫ +=−
CxSenfarcdxxf
xf)(
)(1
)('2
• ∫ +=+
Cxdxxf
xfarctan
)(1
)('2
Los siguientes ejemplos muestran el desarrollo de este método:
1. Resolver ∫= dxx
xI
ln
Solución:
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Hacemos el cambio de variable: dux
dxux =⇒=ln
Reemplazando obtenemos: ∫ +=+== Cx
Cu
uduI2
ln
2
22
2. Resolver ( )dxxI 75ctg −= ∫Solución:
Hacemos el cambio de variable: ( )5
575du
dxdxduxu =⇒=⇒−=
Reemplazando en I obtenemos: CxsenCusenudu
I +−=+== ∫ 75ln5
1ln
5
1
5
ctg
3. Resolver ( )∫= dxeeI xxctg
Solución:
Hacemos el cambio de variable: dxedueu xx =⇒=
Reemplazando en la integral: CesenCsenuduuI x +=+== ∫ lnlnctg
4. Resolver: dxx
x∫
+1
Solución:
Haciendo la sustitución: xt +=1 , derivando:x
dxdt
2= .
Reemplazando:( ) ( ) CtCt
dttdtt +=+== ∫∫32
23
3
4
2
3222. .
Finalmente volviendo a la variable x: ( ) Cxdxx
x ++=+∫
231
3
41
5. Resolver ∫ − dxxx 25 1
Solución:
Hacemos cambio de variable: txtx −=→=− 11 22
Derivando dtxdx =− 2 2dtxdx −= .
Reemplazando: ( ) ( )∫ ∫ ∫ −−=−=−= 2.111 22425 dtttxdxxxdxxxI
( ) ( ) ∫ ∫∫∫∫ −+−=+−−=−−= dtttdtttdttdttttdtttI .2
1
2
121
2
11
2
1 222
Ctt
tCttt
I +−+−=+−+−=75
2
3
1
2
7.
2
1
2
5
2
3.
2
1 27
25
232
72
52
3
( ) ( ) ( )C
xxxI +−−−+−−=
7
1
5
121
3
1 27
225
22
32
Observación: A veces, una integral de apariencia difícil se reduce a otra conocida, si se cambiaadecuadamente la variable de interacción. Cuando se hace esto, dx se calcula derivando la relaciónentre x y la nueva variable. Al final debe darse el resultado en términos de la primera variable (x).
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6. Resolver ∫ + dxx 35
Solución:
Podemos aprovechar el cambio para que desaparezca la raíz del siguiente modo.
355
22535 2 +=⇒=⇒=⇒=+ xttdtdxtdtdxtx
( )∫ ∫∫ +
+====+ C
xtdtttdttdxx
15
352
15
2
5
2
5
235
3322
Observación 01:
Hay integrales en las que aparece una función ( )xf y además su derivada )(' xf . En ellas conviene
efectuar el cambio ( ) txf = y que al diferenciar produce dtdx)x('f = que esta en la mismaintegral, es decir, en la integral esta contenido la función y la derivada de la función. Los siguientesdos ejemplos son una muestra de ello.
7. Resolver ∫ xdxcossenx
Solución:
Efectuamos el cambio dtxdxtsenx =⇒= cos , por tanto
Cxsen
Ct
tdtxdxsenx +=+==∫∫ 22cos
22
8. ∫ + xdxx )1cos( 2
Solución:
En esta integral aparece una función ( )1x 2 + y prácticamente su derivada ( xdx ) por ello hacemos
el cambio dtxdxdtxdxtx2
1212 =⇒=⇒=+ . Reemplazamos en la integral:
CxsenCsentdttdttxdxx ++=+==
=+∫ ∫ ∫ )1(
2
1
2
1cos
2
1
2
1cos)1cos( 22
Observación 02:
En otras integrales el cambio no resulta tan evidente, una muy clásica es la siguiente:
9. Resolver ∫ − 22 xa
dx
Solución:
Efectuamos el cambio adtdxatx =⇒= con lo cual
∫ ∫ ∫∫∫ −=
−=
−=
−=
− 222222222 11)1( t
dt
ta
adt
ta
adt
taa
adt
xa
dx
Ca
xaresenCarcsent +
=+=
La resolución de otras integrales se muestra a continuación:
10. Resolver ∫ +dx
x
x
14
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Solución:
Cambiamos dtxdxdtxdxtx2
122 =⇒=⇒=
∫ ∫ +=+=+
=+
CarctgxCaretgt
dtdx
x
x 2
24 2
1
2
1
12
1
1
11. Resolver: ∫ −+
dxxcose
senxex
x
Solución:
Hacemos el cambio de variable: ( )dxsenxeduxcoseu xx +=⇒−=
Reemplazamos: Cu2C12/1
u
u
du 2/112/1
2/1+=+
+−=
+−
∫
Cxcose2dxxcose
senxe x
x
x
+−=−+
∫
12. Resolver ∫ −+
dxxcosx
senx1
Solución:
Hacemos el cambio de variable : senx1duxcosxu +=⇒−=
( ) CxcosxLnCLnuu
dudx
Cosxx
Senx1 +−=+==−+
∫∫
13. Resolver dxxx
x∫ +−
−14
14
3
Solución:
Hacemos el cambio de variable: ( )dx14 −==⇒+= 334 x44dx-dxxdu14x- xu
( )∫∫∫ ++−=+==+−
−=+−
−C1x4xLn
4
1CLnu
4
1
u
du
4
1dx
1x4x
)4x4(
4
1dx
1x4x
1x 4
4
3
4
3
14. Resolver: dxe1
ebx
bx
∫ −
−
−Solución:
Hacemos el cambio de variable: dxbedu bx−=⇒= -bxe-1u
( ) Ce1Lnb
1CLnu
b
1
u
du
b
1dx
e1
e bx
bx
bx
+−=+==−
−−
−
∫∫15. Resolver ( )∫ +
dxbxa
x23
2
Solución:
Hacemos la siguiente sustitución: dtdxbx3tbxa 23 =⇒=+
( )∫ ∫ ++
−=+−
===−
Cbxab3
1C
1
t
b3
1
t
dt
b3
1
tb3
dt
I3
1
22
16.( )
∫ −+−
dxx1
1x2x5/12
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Solución:
Cambio de variable: dxdux-1u −=⇒=
( ) ( )∫ ∫∫ +−−=+−=−=−=−
+− − Cx15
2C
5
u2duudu
u
udx
x1
1x2x 5252
53525/12
17. Resolver ∫ xlnx
dx2
Solución:
Cambio de variable:x
dxduxlnu =⇒=
Reemplazando: ( ) CxLn
1C
1
u
u
du
xlnx
dx 1
22+=+
−==
−
∫∫
18. Resolver ∫ −=
32 1ctgxxsen
dxI
Solución:
Sustituimosxsen
dxdxxecductgxu
22cos1
−=−=⇒−=
Reemplazamos en I:
( )∫ ∫∫ +−−=+−=−=−=−
= CctgxCu
u
du
u
du
ctgxxsen
dxI 3
232
31332
12
3
321
( ) CctgxI +−−= 32
12
3
19. Resolver ∫= dxxaI xsen cos
Solución:
Sustituimos: dxxdusenxu cos=⇒=Reemplazamos en I:
Ca
aC
a
aduaI
senxuu +=+== ∫ lnln
20. Resolver ∫ += dxxI 35
Solución:
Cambiamos de variable para que desaparezca la raíz:
tdtdxtdtdxtx5
22535 2 =⇒=→=+ . Además 35 += xt
Reemplazando en I obtenemos:
( ) CxCtCt
dtttdttdxxI ++==+=+===+= ∫ ∫∫33
32 35
15
2
15
2
35
2
5
2
5
235
21. Resolver dxx
xarcsenxI ∫ −
−=
21
2
Solución:
Descomponemos la integral:
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∫∫∫∫ −=−
−−
=
−−
−=
−
−= 2122222 11
2
11
2
1
2IIdx
x
xarcsendx
x
xdx
x
xarcsen
x
xdx
x
xarcsenxI
Hacemos los siguientes cambios de variable:
duxdxxdxduxu −=⇒−=⇒−= 21 2
21 x
dxdzxarcsenz
−=⇒=
Reemplazamos en la integral:
Czudzzduudzzu
duI +−−=−−=−−= ∫∫ ∫∫
−32
1
2
1
3
22
Finalmente, reemplazamos por los valores sustituidos:
( ) CxarcsenxI +−−−= 2
32
3
212
22. Resolver ∫ −=
32 1ctgxxsen
dxI
Solución:
Hacemos el cambio de variable:xsen
dxdxxecduxgu
2
2cos1cot −=−=⇒−=
Reemplazando en la integral I obtenemos:
( )∫ ∫ +−−=+−=−=−= CctgxCu
u
du
u
duI 3
232
313
12
3
32
23. Resolver: ∫= dxxlnx
)xln(lnI
Solución:
Hacemos cambio de variable: ( ) dxxLnx
duLnxLnu1=⇒=
Reemplazando en la integral: ∫ ∫ +=== Cu
duudxxLnx
xLnLnI
2
)( 2
Finalmente volviendo a la variable antigua:
( )( )C
LnxLnC
LnxLnC
uI +=+=+=
222
222
24. Resolver: dxe x∫ −− 323
2
Solución:
Dándole forma a la integral para aplicar el cambio de variable:
dxe
edx
e
edx
e
dxe
Ix
x
x
x
x
x ∫∫ ∫∫ −−− ==−
=−
=23
3
3
23
3
3 3
2
3
22
3
2.
23
2
Hacemos cambio de variable: dxedueu xx 33 923 =⇒−=
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Reemplazando en la integral: [ ] Cedxe
edx
e
edx
ex
x
x
x
x
x+−=
−==
− ∫∫∫ −− 23ln9
2
23
9
9
2
3
2
23
2 33
3
23
3
3
25. Resolver: ∫+
=1x
dxI
Solución:
Aplicando el primer cambio de variable:
dzzdxxdzdxdxxdzxz 222
1
21 =⇒=⇒=⇒=
−
Reemplazando en la integral: ∫∫∫ +=
+=
+=
12
1
2
1 z
dzz
z
dzz
x
dxI
Aplicando el segundo cambio de variable a ∫ +=
12
z
dzzI :
dzdtzt =⇒+= 1 . Además 1−= tz
Reemplazando en la integral:
Ctt
Ctt
t
dtdtt
t
dtt
z
dzzI +−=+−=−=
−==
+= ∫ ∫∫∫ 2
12
3
21
2
1
23
2
3
43
42222
)1(2
12
Volviendo a las variables antiguas:
CxxCzzI ++−+=++−+= 14)1(3
414)1(
3
4 33
26. Resolver: ∫ −=
2912 xx
dxI
Solución:
Dándole forma a la integral para aplicar el cambio de variable:
( ) ∫ ∫∫∫ −−=
−−=
−−=
+−−
=22222
32 )23(2
3
3
1
)23(2949
4
3
4294
x
dx
x
dx
x
dx
xx
dxI
Aplicando el cambio de variable: dxduxu 323 =⇒−=Reemplazando en la integral:
Cx
xLnC
u
uLn
u
duI +
−+−−++
+−+=
−= ∫ )23(2
)23(2
4
1
2
2
4
1
3
1
23
122
27. Resolver: ∫ + dxxtg 2)21(
Solución:
∫∫∫ ++=++=+= dxxtgxtgdxxtgxtgdxxtgI )2221()2221()21( 222
∫ ∫∫∫ +=++= dxxtgdxxdxxtgdxxtgI 2.222sec22)21( 22
CxLnxtgdxxtgdxxI ++=+= ∫∫ 2sec22
12.22.2sec
2
1 2
28. Resolver: ∫ −+ )e3(e
dxxx
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Solución:
En ∫ −+=
)3( xx ee
dxI hacemos cambio de variable:
dxedu
eux
x
−
−
−=+= 3
Reemplazando en la integral y posteriormente volviendo a la variable antigua:
CeLnCuLnu
du
e
dxe
ee
dxI x
x
x
xx++−=+−=−=
+−−=
+= ∫ ∫∫ −
−
−
− 33)3(
PROBLEMAS:
1. ( )∫ + dxx .12 20
2. dxx
x.
sen3 2
3
∫3. ( )∫ + dxbaxsen
4. ( )∫ + dxbax .cos
5. ∫ + dxxx .532
6.( )
dxx
Lnx.
32 3
∫+
7. ∫ + 12x
xdx
8. ∫ − 92xx
dx
9. ∫ − x
dxx4cos3
.2sen
10. ∫ − 2
.10
4
x
dxx
11. ∫ ++ 52 24 xx
xdx
12. ∫ −dx
e
ex
x
.54
2
13. ∫ + 54
2
x
x
e
dxe
14. ∫ −
−
dxx
e x
12
12
15. ( )∫ − dxxx .21343
16. ( )∫ − dxx .32sen
17.( )∫ + xx
dx
1
18. ( )∫ + dxxx .1 23
2
19. ∫ − 12x
xdx
20. ∫ −14x
xdx
21. ∫ + 42cos
.4sen4 x
dxx
22. ∫ − x
x
e
dxe
16
2
23. ∫ −++−
dxx
xx.
4
224
22
24. ∫+
dxxx
xx.
2sen
cossen
25. ∫ senx
dx
26. ∫ x
dx
cos
27. ( )∫ − xx
dx
7
28. ∫ − 3
2
32
.
x
dxx
29. ∫ −+
dxx
x23
35
30. ∫ +− 2562 xx
dx
31. ∫ + 52 4x
xdx
32. dxx
x∫
+ 53
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33. ∫
+
dxxx
sen .2
cos32
22
2.2. INTEGRACION POR PARTESEste método es para dar solución a integrales cuya integrando ( )xf es un producto de dos
funciones ( ) ( )xhxg . . Aquí una de la funciones puede ser fácilmente integrado y la otra funciónpuede ser simplificado por diferenciación.
Supongamos que ( )xuu = , ( )xvv = y ( ) vuxf .= , entonces ( ) duvdvuvud ... += , integrando
resulta que ∫ ∫+= duvdvuvu ... , despejando obtenemos:
∫ ∫−= duvvudvu ...
Para identificar a u y dv consideremos los siguientes criterios:
• Para las integrales del tipo ( )∫ dxexP ax .. ; ( )∫ dxaxxP .sen. ; ( )∫ dxaxxP .cos. tomemos
( )xPu = y dxedv ax .= ; dxax.sen ; dxax.cos
• Para las integrales del tipo ( )∫ dxLnxxP .. ; ( )∫ dxxxP .arcsen. ; ( )∫ dxxxP .arccos. tomemos
Lnxu = ; xarcsen ; xarccos y ( )dxxPdv .=Observación:
Cuando determinamos u y dv , no nos debe faltar ni sobrar componentes de la integral.
Algunos ejemplos que muestran este método de integración:
1. Resolver ∫= dxsenxxI ..
Solución:
Reconocemos las partes:dxdu
xu
==
xv
dxsenxdv
cos
.
−==
; luego reemplazamos:
∫ ∫ ++−=+−=−−−= CsenxxxdxxxxdxxxxI cos..coscos..coscos.
2. Resolver dxx
xarcsenI ∫=
2
Solución:
Primeramente hacemos un cambio de variable: dxxdxsenzxzxarcsen cos=⇒=⇒=Esto lo reemplazamos en la integral:
∫∫ = dzzsen
zzdx
x
xarcsen22
cos
Ahora si reconocemos las partes para integrar:zecvdzdu
dzzsen
zdvzu
cos
cos2
−==
==
Ahora reemplazamos en ∫ ∫−= duvvudvu ... , es decir:
( )∫ ∫∫ −−−== dzzeczeczdzzsen
zzdx
x
xarcsencoscos
cos22
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CzgzecLnzeczI +−+−= cotcoscos
Para hallar los valores de cosec z y cotg z nos ayudamos del triangulosiguiente:
xzec
1cos = y
x
xzg
21cot
−=
Reemplazamos y obtenemos el resultado final:
Cx
x
xLn
x
xarcsenI +−−+−=
211
3. Resolver ∫ dxxtgx 2
Solución:
( ) 1
2
1222
2sec1sec C
xIxdxxdxxdxxdxxtgxI +−=−=−== ∫ ∫∫∫
Resolvemos la integral ∫= xdxxI 21 sec por integración por partes.
Identificamos las partes:tgxvdxdu
dvdxxxu
==== 2sec
21 cos CxLntgxxdxtgxtgxxI +−=−= ∫Finalmente reemplazamos en la integral I:
Cx
xLntgxxCx
CxLntgxxCx
II +−−=+−+−=+−=2
cos2
cos2
2
1
2
21
2
1
4. Integrar dxxsen .3∫Solución:
Hacemos cambio de variable: 3 xt = xt =3 dxdtt =23
Reemplazamos: ∫ ∫ ∫=== dtsenttdttsentdxxsenI .33. 223 .
Hacemos integración por partes:tvtdtd
dtsentdvt
cos2
.2
−====
[ ] ∫∫ +−=−−−= tdtttttdttttI cos.6cos32.coscos3 22
Volvemos a integrar por partes:sentvdtd
tdtdvt
====
cos
[ ] CtsenttttdtsenttsentttI +++−=−+−= ∫ cos.66cos3.6cos3 22
Reemplazamos a su variable antigua: CxxsenxxxI +++−= 33333 2 cos6.6cos.3
5. Resolver ∫ xcos3xdx
Solución:
Reconocemos las variables para aplicar el método:dxdu
xu
==
sen3x1
v
cos3xdxdv
3=
=
Reemplazando obtenemos:
x1
21 x−
z
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Ing. Victor Yujra Ccuno 11
∫∫ = sen3xdx3
1-sen3xxcos3xdx
3
x
Ccos3x9
1sen3xxcos3xdx ++=∫ 3
x
6. Resolver ∫ xdxxcos
Solución:
Hacemos que:dxdu
xu
==
∫ ==
=
senxxdxcosv
xdxcosdv
Reemplazando en la integral
∫ ∫ ++=−== CxcosxsenxsenxdxxsenxxdxcosxI
7. Resolver ∫ dxxe x
Solución:
Hacemos que:dxdu
xu
==
∫ ==
=xx
x
edxev
dxedv
Reemplazando en la integral
∫ ∫ +−=−== CexedxexedxxeI xxxxx
8. Resolver ∫ senxdxe x
Solución:
Hacemos que:dxedu
eux
x
==
∫ −==
=
xcossenxdxv
senxdxdv
Reemplazando obtenemos:
1xxxx Ixcosexdxcosexcosesenxdxe +−=+−== ∫∫I ……………. (1)
Calculamos 1I por partes:dxedu
eux
x
==
∫ ==
=
senxxdxcosv
xdxcosdv
Reemplazando obtenemos:
IsenxesenxdxesenxexdxcoseI xxxx1 −=−== ∫ ∫
Reemplazamos el valor de 1I en la ecuación (1):
IsenxexeI xx −+−= cos
Despejando: senxexcoseI2 xx +−=
C2
senxexcoseI
xx
++−=
9. Resolver ∫ Lnxdxx 2
Solución:
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Hacemos que:dx
x
1du
Lnxu
=
=
∫ ==
=
3
xdxxv
dxxdv3
2
2
Reemplazando obtenemos:
C3
x
3
1Lnx
3
xdx
x
1.
3
xLnx
3
xLnxdxxI
33332 +−=−== ∫ ∫
∫ +−= C9
xLnx
3
xxdxlnx
332
10. Calcular ∫= xdxeI x cos
Solución:
Haciendo que:dxedu
eux
x
==
∫ ===
senxxdxcosv
xdxcosdv
Reemplazando obtenemos:
1cos IsenxedxsenxesenxexdxeI xxxx −=−== ∫∫resolviendo ∫= dxsenxeI x
1 por integración por partes y reemplazando lo encontrado:
dxedu
eux
x
==
xcosdxsenxv
senxdxdv
−==
=
∫IxcosexdxcosexcoseI xxx
1 +−=+−= ∫Reemplazando el valor de 1I en la integral I
[ ] IxesenxeIxesenxeIsenxeI xxxxx −+=+−−=−= coscos1
IxesenxeI xx −+= cos
Despejando I : xesenxeI xx cos2 +=
Cxesenxe
Ixx
++=2
cos
11. Resolver ∫ xLnxdx
Solución:
Integrando por partes:
x
dxdu
xlnu
=
=
∫ ==
=
2
xxdxv
xdxdv2
Sustituyendo en la integral:
∫ ∫ +−=−= C4
xxln
2
x
x
dx.
2
xLnx
2
xxLnxdx
2222
12. Resolver ∫ senxdxx 2
Solución:
Integrando por partes:senxdxdv
xu 2
==
xcosv
xdx2du
−==
Cálculo Integral: Técnicas de Integración Por sustitución o cambio de variable y porpartes
Ing. Victor Yujra Ccuno 13
Reemplazando en la ecuación: ∫∫ +−== xdxcosx2xcosxsenxdxxI 22
12 I2xcosxI +−= ……….. (1)
Resolvemos ∫= xdxcosxI1 integrando por partes:xdxcosdv
xu
==
senxv
dxdu
==
Reemplazando: CxcosxsenxsenxdxxsenxI1 +−=+= ∫Reemplazando en (1): ( ) Cxcosxsenx2xcosxI 2 +−+−=
Cxcos2xsenx2xcosxI 2 +−+−=
13. Resolver ∫ senxdxx3
Solución:
Integramos por partes:senxdxdv
xu 3
==
xcosv
dxx3du 2
−==
Reemplazamos: 1323 I3xcosxxdxcosx3xcosxI +−=+−= ∫ …………(1)
Integramos por partes para 1I :xdxcosdv
xu 2
==
senxv
xdx2du
==
Reemplazamos: 222
1 I2senxxxsenxdx2senxxI −=−= ∫ ……………(2)
Integramos por partes para 2I :senxdxdv
xu
==
xcosv
dxdu
==
Reemplazamos: ∫ +−=−= CsenxxcosxxdxcosxcosxI 2
Reemplazamos 2I en la ecuación (2): ( )Csenxxcosx2senxxI 21 +−−=
Csenx2xcosx2senxxI 21 ++−=
Reemplazamos 1I en la ecuación (1):
( ) Csenx6xcosx6xcosx3xcosxCsenx2xcosx2senxx3xcosxI 2323 ++−+−=++−+−=Csenx6xcosx6xcosx3xcosxI 23 ++−+−=
14. Resolver ∫ xdx3cosx
Solución:
Integrando por partes:xdxdv
xu
3cos==
33xsen
v
dxdu
=⇒
=⇒
∫∫ −== dx3
x3sen
3
x3senxxdx3cosxI
C9
x3cos
3
x3xsenI ++=
15. Resolver ∫ xdxcosxsenx
Solución:
Como xcossenx2x2sen = ∫∫∫ ===⇒ xdx2xsen2
1xdx2sen
2
xxdxcosxsenxI
Cálculo Integral: Técnicas de Integración Por sustitución o cambio de variable y porpartes
Ing. Victor Yujra Ccuno 14
Integramos por partes:xdx2sendv
xu
==
2
x2cosv
dxdu
−=
=
Reemplazamos en I :
C8
x2senx2cos
4
xdx2x2cos
8
1x2cos
4
xxdx2xsen
2
1I ++−=+−== ∫∫
16. Resolver: ∫ dxex x.3
Solución:
Integrando por partes (primera vez):xx evdxedv
dxxduxu
=⇒==⇒= 23 3
Reemplazando en la integral: 13233 33. IexdxexexdxexI xxxx −=−== ∫∫ siendo ∫= dxexI x2
1
Integrando por partes (segunda vez):xx evdxedv
dxxduxu
=⇒==⇒= 22
y reemplazando en 1I :
2222
1 22 IexdxexexdxexI xxxx −=−== ∫∫ siendo ∫= dxexI x2
Integrando por partes (tercera vez):xx evdxedv
dxduxu
=⇒==⇒=
y reemplazando en 2I :
∫∫ −=−== xxxxx eexdxeexdxexI 2
Reemplazamos 2I en 1I :
( ) xxxxxxx eexexeexexIexI 2222 222
21 +−=−−=−=
Reemplazamos 1I en I :
( )xxxxx eexexexIexI 2233 231
3 +−−=−=
CeexexexI xxxx +−+−= 663 23
17. Resolver: ∫ dxxLn )cos(
Solución:
Integrando por partes (primera vez):xvdxdv
x
dxxLnsenduxLnu
=⇒=
=⇒= )()cos(
Reemplazando en la integral: 1)cos()()cos()cos( IxLnxx
dxxLnxsenxLnxdxxLnI +=+== ∫∫
siendo ∫= dxxLnsenI )(1
Integrando por partes (segunda vez):xvdxdv
x
dxLnxduxLnsenu
=⇒=
=⇒= )cos()(
Reemplazando en 1I :
Cálculo Integral: Técnicas de Integración Por sustitución o cambio de variable y porpartes
Ing. Victor Yujra Ccuno 15
∫∫∫ −=−== dxxLnLnxxsenx
dxxLnxLnxxsendxxLnsenI )cos()()cos()()(1 ILnxxsenI −= )(1
.
Reemplazando este resultado en I:
ILnxxsenxLnxIxLnxI −+=+= )()cos()cos( 1
ILnxxsenxLnxIxLnxI −+=+= )()cos()cos( 1
)()cos(2 LnxxsenxLnxI +=
[ ] CLnxsenxLnx
I ++= )()cos(2
PROBLEMAS:
1. ∫ dxx.arctg
2. ∫ dxex x ..2
3. ( )∫ −+ dxxxx .2cos.572
4. dxxe x .3cos2∫5. ∫ dxxe x .3sen2
6. ∫ dxLnx.
7. ∫ dxxLnx.
8. ∫ dxxx .arctg.2
9. ∫ dxx.arcsen
10. ∫ dxex x ..25
11. ( )∫ ++ dxxxx .cos322
12. ∫ dxxe x .cos.2
13. ∫ dxLnx.sen
14. ∫ dxx
x.
arcsen
15. ∫ +dx
x
x.
1arcsen
16. ( ) dxx
xx∫
+ 22 1
arctg
17.( )∫
−dx
x
xx .
1.arcsen
32
18. ( ) dxex x ..1∫ +
19. dxxa∫ − 22
20. ∫ dxbxe ax .cos.
21. dxbxsene ax ..∫22. ( )∫ + dxex x.1
23. dxxsen .∫
Observación: Existen muchísimos problemas que no necesariamente deben de resolverseusando las técnicas de integración que estudiamos sino que se resuelven usando artificiosmatemáticos. Este modo de solución nos ayuda en muchos problemas que no necesariamentetenga que haber sustitución, cambio de variable o cualquier otro método.Desarrollamos algunos problemas como ejemplo:
1. Resolver: ∫ + 86 xx
dx
Solución:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +−
++=
+−+=
+=
+dx
1xx
dxxdx
1xx
1xdx
1xx
x1x
1xx
dx
xx
dx26
2
26
2
26
22
2686
Cálculo Integral: Técnicas de Integración Por sustitución o cambio de variable y porpartes
Ing. Victor Yujra Ccuno 16
( ) ( )∫ ∫ ∫∫
+−+−=
+− − dx
1xx
x1xdxx
1xx
dx
x
dx24
226
246
( ) ( )∫∫∫ ∫ ++−−=
+
−−−
−−
15
1
15 22
4
524
2
4
5
xx
dxdxx
xxx
dxx
x
dxx
( ) ∫ ∫∫ +−++−=
+−++
−−−
−
13
1
5
1
1
1
35
1223522
223
5 x
dx
x
dx
xxdx
xx
xxx
x
Carctgxxxx
Cxarctgx
xx+−−+−=+−
−++−
− 1
3
1
5
1
13
1
5
135
1
35
2. Resolver ∫ − 42 xx9
dx18
Solución:
∫ ∫ ∫ ∫∫
−+=
−
+−
−=−+−=
−=
2222
2
22
2
22
22
42 x9
dx
x
dx2dx
)x9(x
x
)x9(x
x92dx
)x9(x
xx92
xx9
dx18I
Cx
xLn
x
x
dxdxxI +
−++
−=
−+=
−−∫ ∫ 3
3
6
12
1
2
32
1
222
C3x
3xLn
3
1
x
2I +
−+−−=