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Repaso: Teoría Atómica y Molecular

Teoría Ondulatoria

Dualidad Onda – Partícula

Experimentos de Interferencia (Reflección y Refracción)Young y Fresnel

Radiación de cuerpos negros (E = h)

Efecto fotoeléctrico (Hertz 1882)

Efecto Compton (h/ = mv=p)

Principio de Incertidumbre de Werner Heisenberg

1927

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Dualidad onda-partícula Necesidad de la Mecánica Cuántica:

se basa en la asociación de la radiación (onda) con la materia.

La onda: contiene información sobre la posición y otras

propiedades de la partícula.

Su amplitud es proporcional a la probabilidad de encontrar la partícula.

Dualidad impone cierta limitación sobre la información que se puede obtener en sistemas microscópicos

Incertidumbres en las medidas

Naturaleza de exclusividad mutua de ciertos tipos de información

Ejemplo: Microscopio de rayos de gamma.

x p h

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2 p

sinh h

p pb b

x b

Microscopio de rayos gamma

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Heisenberg_gamma_ray_microscope.svg/200px-Heisenberg_gamma_ray_microscope.svg.png

Determinación precisa del momentum Una onda sinosoidal de largo de onda implica que el momenturm, p, se conoce precisamente: Pero la función de onda y la probabilidad de encontrar la partícula está distribuida por todo el espacio.

hp

*

Al sumar varias ondas de diferentes se produce un patrón de interferencia que comienza a localizar la onda,

pero este proceso distribuye los valores de p y la medida es menos precisa. Este es un porcesoinherente e ineludible en la incertidumbre del momentum, p, cuando la incertidumbre de la posición, x, disminuye.

2x p

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Resumen Es imposible conocer simultáneamente y con

igual exactitud la posición (x) y el momentum (p) de una partícula. Esto NO se debe a las imperfecciones físicas de los instrumentos de medición, si no a un límite fundamental de la naturaleza ya que al medir se perturba el sistema.

2 2 2

constante de Dirak2

p x p x E t

h

Mecánica Cuántica Posición de partícula definida por la amplitud de

la onda.

Función de onda sustituye el concepto de trayectoria.

La energía está cuantizada

Heisenberg, Born, Jordan, Schroedinger Padres de la Mecánica Cuántica.

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Comparación de mecánica clásica y cuántica

Mecánica Clásica

Determinista Predice el futuro, presente y pasado.

Tiene conflicto con el principio de incertidumbre.

2

0 2

dv d vx x vt F m m ma

dt dt

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Mecánica Cuántica Interpretación probabilística.

Se descarta el concepto de trayectoria.

Incertidumbre – libre albedrío.

Función de onda (Ψ(x,t))Describe el estado de un sistema.

Es una entidad abstracta.

Contiene toda la información de propiedades dinámicas del sistema.

Relación matemática

Análogo de la Segunda Ley de Newton.

Propósito encontrar Ψ.

2 2 2

2 2 2, , ,

2

dV x y z t

i dt m x y z

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Definiciones matemáticas*

1 2 3

densidad de probabilidad o probabilidad por unidad de

volumen de encontrar la partícula en , , ....

en tiempo t.Nq q q q

*

2* 2 2

Ejemplo:

1) Cantidad positiva y real que representa probabilidad.

2) por sí sola no tiene sentido físico.

U iV y U iV

U iV U iV U V

Probabilidad –Naturaleza estadística Ejemplo:

Número grandes de sistemas en una dimensión.

2 *

Para intervalo entreb b

a a

a y b

dx dx 2

: axEjemplo N x e

2*

para 1.000 hasta 1.000 0.001

intervalo infinitesimal

xdnprobabilidad dx dx

Nx

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Propiedades de Ψ para ser aceptable

La función y su deriviada debe ser continua.

Monovalente o univaluada

Finita (especialmente en las fronteras)

Cuadráticamente integrable

Normalizable

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Brent_method_example.png http://en.wikipedia.org/wiki/File:Homografia.svg

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Uniform_continuity_animation.gif

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Univaluada o monovalente

Normalización

*

*

** 2 *

1

Normalizarse al multiplicar por una constante de normalización.

1 1

d

d K sea N

d N N d N d

Todo elespacio

Todo elespacio

K

1 12 2

12

2

*

*

1 11

:

N K NK d

entoncesd

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Postulados

Mecánica Cuántica

Postulado I: Partícula sin espín Sub-postulado 1

El estado de un sistema dinámico de N partículas se puede describir completamente por medio de una función de estado que contiene toda la información que se puede determinar sobre el sistema. La función de estado Ψ(q1, q2, q3,....q3N) es función de las coordenadas generalizadas y el tiempo. (q1 = x1, y1, z1 para la partícula 1).

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Postulado I Sub-postulado 2

La cantidad Ψ*Ψ dτ es proporcional a la probabilidad de encontrar el sistema entre q1

y q1+ dq1, q2 y q2 + dq2 ......q3N y q3N + dq3N en un tiempo t. ( o sea en un elemento de volumen dτ).

Propiedades y consecuencias del Postulado I

La función de onda, Ψ : Es una construcción matemática para definir el

sistema.

Es una función compleja:

No tiene significado físico (parte imaginaria).

Es independiente de t para sistemasconsecutivos.

, , , 1q t U q t iV q t donde i

,, if q tq t q e

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Postulado II Con cada cantidad física o variable física

observable a del sistema se puede asociar o se le asigna un operador matemático que tiene las propiedades de ser un operador lineal y hermítico, . Las propiedades físicas de la observable se pueden deducir de las propiedades matemáticas del operador asociado a esa propiedad o variable observable.

Ejemplos de observables Posición

Velocidad

Energía

Momentum

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Algebra de operadores Definición:

Es un símbolo o una regla para transformaruna función dada en otra función.

Las funciones (f) sobre las cuales actúan se llaman operandos.

Debe existir el operador con la función para queéste tenga significado.

ˆˆ , A

3d f

f f x dxdx

Suma de operadores

2 2 2

2

:

3 3 3 3 3

2 3 3 9

x x x

x x

Ejemplo

d dx e x e x e

dx dx

x e x e

ˆ ˆˆ ˆf f f

Conmutan con respecto a la suma:

ˆ ˆˆ ˆf f

f

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Producto de operadores

ˆ ˆˆ ˆ, f x f x

ˆ 0 Los operadores conmuntan cuando

Definición de conmutador :

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

f x f x f x

f x f x f x

Ejemplo de conmutador

ˆˆ ˆ, 1

ˆ ˆˆ ˆ, ,f x f x

ˆ ˆ, '

' '

d f xf x x xf x

dx

xf x f x xf x f x

ˆˆ

ˆˆ , '

dsea y x

dxd

f x x f x xf x f xdx

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Operador lineal vs no-lineal

22

?

?2 2 2

No-lineal NO cumple con los requisitos anteriores.

ˆ ˆ:

ˆ ˆ ˆ

Ejemplo f x f x

f x g x f x g x

f x g x f x g x no son iguales

:

ˆ ˆ ˆ1)

ˆ ˆ2) donde es una constante.

ˆ: .

Son lineales si cumplen con

f x g x f x g x

c f x c f x c

dEjemplo Permite sobreponer funciones de onda

dx

Operador hermítico

* ** *ˆ ˆ ˆ

.

f x g x d g x f x d g x f x d

se asocia a observables reales

Ecuación de autovalor

ˆ ( )( ) ( )f x a f x operador función const función

a autovalor

f x autofunción

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Ecuación de autovalor El problema consiste en determinar la

funciones propias y autovalores, a, quesatisfagan las condiciones de contorno delproblema físico en particular. Buscarfunciones f, que cumplan con lascondiciones que debe satisfacer la funciónde onda.

Ejemplo de autofunción2

22

2

ˆ

ˆ 2

2

x

xx

x

dSi f e

dx

df def k f e

dx dx

k y f e es autofunción

:

ˆ

ln .

co n st kx kx

E n g en era l

d ff k f k f

d xd f

k d x f kx co n stf

f e e c e

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Construcción de operadores

Reglas Escribir la variable clásica en términos de

coordenadas cartesianas y momentum lineal.

Se sustituye el operador correspondiente a posición a tiempo en la expresión clásica.

Se establece el componente cartesiano del momentum lineal:

ˆ2x

ihp i

x x i x

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OperadoresVariable Clásica

Operador expresión para el operador operación

x, y, z x, y, z multiplicar por x, y, z

t t multiplicar por t

px, py, pzderivar y multiplicar

E derivar y multiplicar E

ˆ ˆ ˆ, ,x y zp p p

t, ,i i i

x y z

ˆ ˆ ˆ, ,x y z

it

Consecuencias de operadores Transformación:

Operadores asociados a variables conjugadas como por ejemplo px y x deben satisfacer:

ˆ ˆ, , , ,obsevable G q p t operador G q i tq

ˆˆ ˆ ˆx xxp p x i

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Ejemplos2 2

2 2 2 22 2

ˆ ˆ ˆx x xp p p i i ix x x x

22 22 2 21 1

2 2 2 2 2

2 2 212

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

yx zx y z

m x y z

pp pH T V m v v v V m V

m m m

H p p p V

2 2 2 2 22

2 2 2

22

1

ˆ ˆ ˆ2 2

ˆ ˆ2

Ni

i i

H V Vm x y z m

H V muchas partículasm

Postulado III Si es un operador asociado a una variable o

propiedad física observable y suponemos que hay un conjunto de sistemas idénticos que están en un estado físico descrito por Ψi y que Ψ es una autofunción del operador , es decir:

( Ψi = ai Ψi ), entonces si hacemos una serie de experimentos para medir la variable observable que asociamos al operador siempre se obtendrá como resultado de la medida el valor ai. Es únicamente cuando Ψi es una autofunción de que se obtendrá siempre el mismo resultado

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Postulado IV Dado un operador y un conjunto de sistemas

idénticos caracterizados por una función Ψi de estado normalizado que NO es autofunción del operador (i.e. Ψi = φi) al hacer una serie de medidas de la propiedad física en diferentes miembros del conjunto de sistemas no se obtendrá el mismo resultado, si no una distribución de resultados. El valor promedio o valor de expectación será:

está asociado a la variable a

* ˆa a d

Notas para el postulado IVa5

a3

a2

a1

a4

Sistema descrito por Ψ:

*

* *

Probabilidad

ˆ

ii

i i

nP

N

a Pa a dP dP d

a a d d

i i i i ii

i

a a n a na a a

n N N N

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Postulado V

La ecuación en el tiempo de un estado de un sistema en mecánica cuántica no perturbado está dado por la ecuación de Schröedingerdependiente del tiempo:

H ii t t

Independiente de t

22

2

Separar variables:

, ,, ,

2,

x t x tV x t x t i

m x tx t x t

22

2

:

2

dos ecuaciones diferenciales ordinarias

xV x x E x

m x

ti E t

t

: ,iEt

Solución x t x e

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