2. Numeros Reales

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COLLEGE ALGEBRA I (FIA) 2013_02 NUMEROS REALES

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    2013_02

    NUMEROS REALES

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    MAPA CONCEPTUAL

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    Caractersticas del sistema de los Nmeros Reales

    EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES :

    I. ES UN CONJUNTO

    III. EST DOTADO POR DOS OPERACIONES

    ADICIN MULTIPLICACIN

    IV. Y UNA RELACIN DE ORDEN

    II. EST REPRESENTADO POR LA LETRA R.

    ES MENOR QUE (

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    AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS

    NUMEROS REALES

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    Axiomas de los nmeros reales

    Nombre del

    axioma

    OPERACIONES

    ADICIN MULTIPLICACIN

    Clausura

    Conmutativa

    Asociativa

    Elemento Neutro

    Elemento Inverso

    Distributiva

    a,b R, a + b R ab R

    a, b R, a+b = b+a ab = ba

    (a+b)+c=a+(b+c) a, b R, (ab)c=a(bc) a, b,c R,

    Existe un nico nmero real denotado por 0, a+0=0+a=a

    real tal que a+(-a)=(-a)+a=0 a.a-1=a-1.a=1

    a, b, c R, a(b+c)=ab+ac

    a R, existe un nico nmero aR, existe un nico nmero

    Existe un nico nmero real, denotado por 1, tal que 1a=a1=a

    real tal que:

    a, b R,

    a, b R,

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    Axiomas de orden

    Nombre del

    axioma RELACIONES DE ORDEN

    Tricotoma

    Transitividad

    Orden de Adicin

    Orden de

    Multiplicacin

    a, b R,

    una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple

    a, b, c R, si a < b y b < c entonces a < c

    Si a < b, entonces

    a < b a = b a > b

    c R, a + c < b + c

    Si a < b y ac < bc c>0, entonces

    Definicin de diferencia (a - b):

    Definicin de cociente (a/b):

    a b = a + (-b)

    a/b = a .(1/b)

    Si a < b y c bc

    (NO cambia la desigualdad)

    (cambia la desigualdad)

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    TEOREMAS

    Teorema de igualdad para la adicin

    a, b, c R, si a = b entonces a + c = b + c

    Teorema de igualdad para la multiplicacin

    a, b, c R, si a = b entonces a.c = b.c

    Teorema de cancelacin para la adicin

    a, b, c R, a = b si a + c = b + c entonces

    Teorema de cancelacin para la multiplicacin

    a, b, c R, a = b si a.c = b.c c 0 entonces

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    EJERCICIOS

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    Los nmeros reales

    Resolucin:

    Dada la siguiente ecuacin: (1-r)(x+r) = r-x,

    escriba el smbolo del menor conjunto numrico al que

    pertenece el valor de x para cada valor asignado de r:

    Reemplazaremos los valores de r y luego resolveremos la ecuacin resultante.

    Para r= (1- r )( x + r ) = r - x

    0 0 : 0 0 operando (1)(x)= -x 2x= 0 x= 0 0

    0 N Z

    Para r= (1- r )( x + r ) = - x

    operando (0)(x+1)= 1-x x= : r 1 1 1 1 1 1

    1N N

    Para r=3: Resolviendo resulta x= -9 -9

    -9 Z Z Q

    Para r=5: Resolviendo resulta x= 25

    3

    I

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    Los nmeros reales

    Para todo a en R se cumple : a.0 = 0 Demostracin: Partimos de

    En la siguiente demostracin identifique los axiomas y

    definiciones de los nmeros reales que se han utilizado en cada lnea:

    Elemento inverso aditivo

    Asociativa de la adicin

    Elemento neutro multiplicativo

    Distributiva

    Elemento neutro aditivo

    Elemento neutro multiplicativo

    Elemento neutro aditivo

    Elemento inverso aditivo

    a.0 = a.0 + 0

    a.0 = a.0 + (a+ (-a))

    a.0 = (a.0 + a) + (-a)

    a.0 = (a.0 + a.1) + (-a)

    a.0 = a.(0 + 1) + (-a)

    a.0 = a.1 + (-a)

    a.0 = a + (-a)

    a.0 = a.0 + 0

    a.0 = a.0 + (a+ (-a))

    a.0 = (a.0 + a) + (-a)

    a.0 = (a.0 + a.1) + (-a)

    a.0 = a.(0 + 1) + (-a)

    a.0 = a.1 + (-a)

    a.0 = a + (-a)

    a.0 = 0 a.0 = 0

    En la siguiente demostracin identifique los axiomas y

    definiciones de los nmeros reales que se han utilizado en cada lnea:

    Justifiquemos la demostracin

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    Los nmeros reales

    Demuestre que si a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1

    entonces: 1 a.c + b.d

    (a - c)2 0

    (b - d)2 0

    Sumando (1) y (2) se obtiene:

    (1)

    (2)

    a2 + b2 + c2 + d2 2a.c 2b.d 0

    a2 2a.c + c2 0

    b2 2b.d + d2 0

    Remplazando - 2(a.c + b.d) 0

    Reduciendo 2 2(a.c + b.d)

    Multiplicando por 1/2

    1 (a.c + b.d) Lqqd

    Como

    1 1 +