2. MODELOS HIPERELASTICOS.pdf
-
Upload
andrea-nathaly-medina-sanchez -
Category
Documents
-
view
233 -
download
1
Transcript of 2. MODELOS HIPERELASTICOS.pdf
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Lección 3. Modelos hiperelásticos3.1. Conceptos básicos de la Mecánica de Medios Continuos3.2. Función densidad de energía e hiperelasticidad3.3. Hiperelasticidad isótropa3.4 Tensor elástico tangente3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidad3.6 Hiperelasticidad anisótropa
Bibliografía:
- G.A Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics. Wiley, New York 2000- R.W. Ogden. Non-linear Elastic Deformations. Dover, 1996- JC Simo, T.J.R. Hughes Computational inelasticity. Springer Verlag, 1998.- J Oliver, C. Agelet-Saracibar Mecánica de medios continuos para ingenieros. UPC, 2000.
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC
ECS. COMPORTAMIENTO
6 ecuaciones
ECS. EQUILIBRIO
3 ecuaciones
6 incógnitas
Variables internas
ECS. CINEMÁTICAS
6 ecuaciones
6 incógnitas
3 incógnitas
Variables externas
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
ECS. COMPORTAMIENTO
ECS. EQUILIBRIO ECS. CINEMÁTICAS
VARIABLES ESTÁTICAS
VARIABLES CINEMÁTICAS
Para elasticidad lineal homogénea e isótropa este esquema nos quedaría
3.1 Conceptos básicos de la MMC
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Para elasticidad no lineal el esquema se modifica
3.1 Conceptos básicos de la MMC
ECS. CINEMÁTICAS
VARIABLES CINEMÁTICAS
ECS. EQUILIBRIO
VARIABLES ESTÁTICAS
ECS. COMPORTAMIENTO
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC. Deformaciones
Entenderemos como sólido Ω, un subconjunto de cuyos puntos se identifican mediante coordenadas en un sistema de referencia arbitrario, de tal manera que para un punto cualquiera P,
A se la denomina configuración inicial, indeformada o de referencia del sólido.
XI puntos de la configuración indeformada
xi puntos de la configuración deformada
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
A partir de este momento consideraremos que el sistema de referencia de la configuración deformada e indeformada es el sistema cartesiano.
Definimos el desplazamiento material como un campo vectorial:
Definimos desplazamiento espacial como un campo vectorial:
3.1 Conceptos básicos de la MMC. Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Ejemplo: Viga empotrada.
Equilibrio conf. indeformada
Equilibrio conf. deformada
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . DeformacionesPara el caso de pequeñas deformaciones y desplazamientos la deformación la definíamos como
es el incremento de longitud por unidad de longitud de un segmento diferencial con origen el punto en el que se evalúa la deformación y dirigido según el eje x. Análogamente para
Cada una de las componentes tenía una interpretación física
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
Ejemplo: Tracción uniforme
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . DeformacionesCada una de las componentes tenía una interpretación física
Para pequeños desplazamientos, el coseno coincide con el ángulo complementario, por lo que, por ejemplo, la deformación define la mitad del cambio del ángulo que se produce entre dos segmentos diferenciales con origen el punto en el que se evalúa la deformación y dirigidos según los ejes x,y (de forma análoga pueden interpretarse las componentes y )
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
Ejemplo: Cizalladura simple
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
El concepto de deformación está adscrito a la variación de geometría del entorno de un punto.
Sea un movimiento regular, se define gradiente de deformación al campo tensorial definido sobre la configuración indeformada :
Si es C1-regular, existe la aplicación inversa del gradiente de deformación que corresponde al gradiente de deformación de la función inversa:
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Ejemplo: Tracción uniforme
Ejemplo: Cizalladura simple
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
El gradiente de deformación supone una modificación del entorno de un punto: SR+ deformación.Es usual descomponer (descomposición polar) el tensor gradiente de deformación en una composición de tensores que corresponden, a un giro infinitesimal y a una deformación
Rotación seguida de deformación
Deformación seguida de rotación
R - tensor de giro
U, V - tensores alargamiento por la izquierda y derecha, respectivamente.
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Otra manera de definir la deformación es estudiar cómo varían la longitud de un segmento diferencial dS0.
Conf. indeformada Conf. deformada
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Para cuantificar la diferencia ds2-dS02, es necesario expresar ambas cantidades en el
mismo sistema de referencia.
:Tensor de Green-Saint-Venant o tensor de deformación material
: Tensor de Cauchy-Almansi o tensor de deformación espacial
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Es claro que el tensor gradiente de deformación está directamente relacionado con el tensor de Green-Saint-Venant y con el tensor de Cauchy-Almansi, y que estos tensores también nos miden la deformación.
Ejemplo.- Un elemento rectilíneo de longitud l que pasa a tener una longitud 2l. La visión lagrangiana indicaría que ha habido un incremento de longitud unitario igual a 1, mientras que la visión euleriana indicaría un decremento de longitud de ½.
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
El campo de desplazamientos se puede escribir:
El gradiente de deformación nos queda:
Con lo que los tensores deformación de Green-Saint Venant y de Almansi nos quedan
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Ejemplo: Tracción uniforme
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Si además aplicamos la hipótesis de pequeñas deformaciones que nos permite despreciar infinitésimos de orden superior:
Si además aplicamos la hipótesis de pequeños desplazamientos
tenemos el tensor de deformaciones de Cauchy:
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
En hiperelasticidad es habitual trabajar con otros tensores de deformación:
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Deformaciones
Tensor de deformación de Cauchy-Green por la izquierda
Tensor de deformación de Cauchy-Green por la derecha
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Tensiones
Existen diferentes tipos de fuerzas que pueden actuar sobre un sólido:
Fuerzas actuando en el contorno: puntuales, distribuciones lineales y distribuciones superficiales
Fuerzas actuando en el interior del sólido: puntuales, distribuciones lineales, superficiales y volumétricas.
En Teoría de Elasticidad se suele trabajar con:
fuerzas superficiales en el contorno:
volumétricas en el interior del sólido
considerándose las demás como particularización de éstas mediante los pasos al límite necesarios:
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Tensiones
A estas fuerzas por unidad de superficie que se establecen entre distintas partes del sólido o que se corresponden con fuerzas exteriores sobre el contorno se las denomina vector tensión en un punto t(x,y,z,n), con nel vector unitario de la normal al plano sobre el que actúa la tensión.
Si tenemos un sólido Ω y aislamos un trozo A, en el trozo actúan fuerzas volumétricas y las fuerzas superficiales que hubiera, pero ahora además en la interfase con B hay una fuerza por unidad de superficie que corresponden a las fuerzas que B hace sobre A y que son las que lo mantienen unido.
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Cuando trabajábamos en pequeños desplazamientos el equilibrio se realiza en la configuración indeformada
Aplicando el equilibrio de fuerzas en las tres direcciones:
como
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Tensiones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
El estado de tensiones en un punto queda pues caracterizado completamente por los valores de 3 vectores tensión en 3 planos cualesquiera y depende de forma lineal de la normal al plano de actuación del vector tensión.
Si los planos son los coordenados, la fórmula de Cauchy:
CONDICIÓN DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO
TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY: σ
3.1 Conceptos básicos de la MMC . Tensiones
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . TensionesCuando trabajábamos en grandes desplazamientos el equilibrio lo podemos realizar en la configuración indeformada o en la deformada. Por tanto surgen diferentes definiciones de la tensión
Primer tensor de Piola-Kirchhoff
Segundo tensor de Piola-Kirchhoff
Tensor de Cauchy
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . TensionesDe tal forma que ahora el lema de Cauchy lo podemos plantear en la configuración indeformada o deformada
Por tanto tienen un significado físico claro.
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC . EquilibrioAhora la ecuación de conservación de momento cinético (equilibrio) lo podemos plantear en la configuración indeformada e indeformada
Y la ecuación de conservación de la energía
La segunda ley de la termodinámica para un proceso puramente mecánico
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC. ObjetividadSe dice que un tensor transforma objetivamente bajo un movimiento como SR si transforma de acuerdo a las reglas de cálculo tensorial
con
A este movimiento se le dice que es de SR porque
Por ejemplo, el gradiente de deformación
Los tensores materiales (referidos respecto de la configuración de referencia) permanecen invariantes a los movimientos como sólido rígido
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC. ObjetividadTodo modelo de material debe verificar el principio de objetividad de material o independencia ante isometrías
El caso más simple de isometría es el de materiales homogéneos
Otro tipo de simetría muy utilizada corresponde a la de materiales isótropos. En este
caso, la simetría básica corresponde a una simetría de rotación arbitraria
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.1 Conceptos básicos de la MMC. ObjetividadSi el modelo de material se definen en función de tensores definidos en la configuración de la indeformada garantizamos siempre la objetividad del material ya que
Cuando definimos el material en función de tensores definidos en la configuración espacial hay que comprobarlo
Una ecuación constitutiva en función de tensores únicamente definidos en la configuración deformada sólo puede ser isótropa
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.2 Función densidad de energía e hiperelasticidadSe dice que un material es hiperelástico si existe una función denominada función densidad de energía de deformación tal que
Aplicando la desigualad de Clasius-Plank
Diferentes formas de expresar la función densidad de energía
Si es isótropo
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
Condiciones que debe cumplir la función densidad de energía de deformación
Energía nula para deformación nula
Energía infinita para deformación infinita
Tensión nula para deformación nula
Función convexa o policonvexa
3.2 Función densidad de energía e hiperelasticidad
Función no convexa
λl
λ c
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Función convexa
λl
λ c
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.3 Hiperelasticidad isótropaSería posible demostrar que, para materiales hiperelásticos con simetrías, la función densidad de energía de deformación ha de depender solamente de los invariantes
O de los alargamientos principales
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.3 Hiperelasticidad isótropaDe esta forma la tensión se puede calcular fácilmente
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.3 Hiperelasticidad isótropaModelos hiperelásticos isótropos clásicos:
Modelo de Ogden (Ogden R.W., 1984).
Uno de los modelos más completos para la simulación de elastómeros, se trata de un modelo fenomenológicos
Si se hace una comparación con la teoría lineal puede obtenerse una condición de consistencia
donde el parámetro es el módulo de cizalladura lineal
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.3 Hiperelasticidad isótropaModelo de Valanis y Landel (1967)
En este modelo Valanis Landel se suponen que la energía de deformación puede escribirse como la suma de tres funciones separadas que dependen de los alargamientos principales. A esta descomposición aditiva de la energía de deformación se le llama hipótesis de Valanis-Landel.
Para esta hipótesis, la función densidad de energía de Ogden se escribiría como en la ecuación anterior pero con
Modelo de Arruda-Boyce (E.M. Arruda y M.C. Boyce, 1993)
Este modelo es conocido como el modelo de las ocho cadenas, ya que fue desarrollado partiendo de la representación de un volumen elemental con ocho muelles que surgían desde el centro del cubo hacia las esquinas
donde
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.3 Hiperelasticidad isótropaModelo de Mooney-Rivlin (1940)
Este modelo es una particularización del modelo de Ogden y resulta de tomar
con las constantes .
Paralelamente a se tiene que el módulo de cizalladura
Modelo Neo-Hookeano
El modelo Neo-Hookean es probablemente el más sencillo de todos y se obtiene de nuevo de la particularización del modelo de Ogden con
con la constante y el módulo de cizalladura . Esta función densidad de energía de deformación incluye un único parámetro y proporciona un modelo matemático simple para un comportamiento no lineal.
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.3 Hiperelasticidad isótropaDiferentes ensayos de ajuste de parámetros
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.3 Hiperelasticidad isótropa
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.4 Tensor elástico tangenteSi hacemos la derivada temporal de la ecuación tenemos
Se denomina segundo tensor elástico a la derivada del segundo tensor de Piola respecto del tensor de Green
Se trata de un tensor de orden 4 y se tiene que por la simetría del tensor de Green y de Piola, se cumple (simetrías menores)
Si la función densidad de energía de deformación es una función diferencial exacta (si es univaluada y por tanto independiente del camino) entonces se cumple también la simetría mayor
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.4 Tensor elástico tangenteEl segundo tensor elástico en coordenadas espaciales se obtendrá sin más que aplicar el push-forward al tensor elástico en coordenadas materiales
Así para materiales isótropos podemos escribir
En función de los invariantes tenemos
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadDescomposición muliplicativa del gradiente de deformación y del tensor de Cauchy-Green en una parte octaédrica y otra desviadora
Se define la función densidad de energía de deformación en función de los invariantes modificados
donde
son los invariantes del tensor de Cauchy-Green modificado
Definimos un modelo cuasi-incompresible donde es una función de penalización asociada a la compresibilidad
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadEl segundo tensor de Piola-Kirchhoff
con p la presión hidrostática y el tensor ficticio definidos
Si lo definimos en función de los invariantes
El tensor de Cauchy es el empuje
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidad
El tensor elástico en descripción material se define
donde
con
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadEl tensor elástico en la configuración espacial espacial se define
de tal forma que
con
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadQue puede expresarse en función de los invariantes
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.5 Cuasi-incompresibilidad e incompresibilidadSi el material es incompresible, el volumen del material no cambia, es decir el jacobiano de la deformación
aparece asociada a un multiplicador de Lagrange p necesario para forzar la restricción de la incompresibilidad y es incógnita del problema.
La función densidad de energía se define mediante
La formulación del problema incompresible es totalmente análoga al compresible sin más que sustituir los términos asociados a por los asociados al multiplicador de Lagrange
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.6 Hiperelasticidad anisótropaLa dirección de las fibras se define con un vector unitario
El vector nos define la deformación de las fibras
El alargamiento de las fibras λ se define
Se define la función densidad de energía de deformación.
donde
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.6 Hiperelasticidad anisótropaDescomposición muliplicativa del gradiente de deformación y del tensor de Cauchy-Green en una parte octaédrica y otra desviadora
Se define la función densidad de energía de deformación en función de los invariantes modificados
donde
son los invariantes del tensor de Cauchy-Green modificado
proporcionan la anisotropía producida por las fibras
Cuando no existe interacción entre la matriz y las fibras
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.6 Hiperelasticidad anisótropaEl segundo tensor de Piola-Kirchhoff
con p la presión hidrostática y el tensor ficticio definidos
Si lo definimos en función de los invariantes
El tensor de Cauchy es el empuje
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.6 Hiperelasticidad anisótropaEl tensor elástico en descripción espacial se define
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.6 Hiperelasticidad anisótropaEnsayos para la caracterización de materiales hiperelásticos cuya solución analítica es conocida:
Tracción uniaxial
Tracción biaxial
Tensión tangencial pura
Función densidad de energía exponencial con parámetros:
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.6 Hiperelasticidad anisótropa
LECCIÓN 3. MODELOS HIPERELÁSTICOS
Curso de Máster - Biomecánica y Mecanobiología de Tejidos Blandos
3.6 Hiperelasticidad anisótropa