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2 LEYES DE LOS CIRCUITOS Y CIRCUITOS SIMPLES 2 LEYES DE LOS CIRCUITOS Y CIRCUITOS SIMPLES ............ 31

2.1 INTRODUCCIÓN .................................................................. 32 2.2 CONEXIONES BÁSICAS DE LOS ELEMENTOS DE LOS CIRCUITOS........................................................................................ 33

2.2.1 CONEXIÓN SERIE:.......................................................... 33 2.2.2 CONEXIÓN PARALELO................................................. 34 2.2.3 CONEXIÓN DELTA......................................................... 36 2.2.4 CONEXIÓN Y................................................................... 36

2.3 LEYES DE LOS CIRCUITOS................................................ 37 2.3.1 LEY DE CORRIENTE (LEY DE CORRIENTES DE KIRCHOFF).................................................................................... 37 2.3.2 LEY DE VOLTAJES (LEY DE VOLTAJES DE KIRCHOFF).................................................................................... 39

2.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE LOS CIRCUITOS........................................................................................ 40 2.5 RELACIONES ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE EN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS. ......................................... 44 2.6 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA GENERALIZADA.......... 49 2.7 EQUIVALENCIAS................................................................. 53

2.7.1 IMPEDANCIA EQUIVALENTE DE VARIAS IMPEDANCIAS EN SERIE ........................................................... 54 2.7.2 ADMITANCIA EQUIVALENTE DE VARIAS ADMITANCIAS CONECTADAS EN PARALELO..................... 56 2.7.3 EQUIVALENCIA DELTA - YE ( ∆ ⇔ Y) ....................... 58 2.7.4 EQUIVALENCIA DE FUENTES DE VOLTAJE Y FUENTES DE CORRIENTE.......................................................... 63 2.7.5 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE TENSIÓN. ...... 65 2.7.6 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE CORRIENTE. . 66 2.7.7 EQUIVALENTES GENERALIZADOS PARA EL DIVISOR DE TENSIÓN Y EL DIVISOR DE CORRIENTE; OTROS EQUIVALENTES............................................................. 68

32

2.1 INTRODUCCIÓN En el capítulo 1 vimos sólo someras nociones sobre los circuitos en sí; en realidad nos ocupamos más en definir y describir los “elementos” que componen esos circuitos. Esperamos que el lector ya esté en capacidad de entender un resumen como el siguiente: • Un elemento de circuito es un dispositivo que permite la

circulación de corriente eléctrica entre sus terminales. • Un elemento activo o fuente es aquel que tiene la capacidad

de producir esa corriente. • Un elemento pasivo, ó de carga es aquel que sólo permite la

circulación de la corriente por él, pero sin ser capaz de producirla.

• En los elementos de circuitos la corriente gana ó pierde energía a una rata llamada “potencia” ; la energía ganada ó perdida por la unidad de carga al circular por el elemento es

el “voltaje” entre los terminales, cuando se expresa ac

Energíaarg∆

∆

• De acuerdo a las definiciones anteriores se establece lógicamente la siguiente relación :

potencia = (voltaje)(corriente) • Los símbolos y convenciones básicas para un elemento son

los mostrados en la figura 2.1

Figura 2.1 Elemento.

• Con estos presupuestos sobre los elementos de los circuitos,

podemos arriesgarnos al siguiente paso: estudiar como se

33

unen, conectan, ó interconectan estos elementos por sus terminales.

• Los conceptos dados en este resumen difieren de los dados al final del capítulo anterior. ¡Pero son los mismos! Lo único que se cambió es la forma verbal de presentarlos y los fenómenos enfatizados. Se busca con estos resúmenes hacer entender al lector que el mismo debe hacer sus resúmenes conceptuales, los famosos “mapas conceptuales” de la pedagogía moderna, y hacerlos con cierta frecuencia, de modo que vaya incluyendo los conceptos nuevos que logre dominar a medida que avanza en el estudio de los circuitos eléctricos.

2.2 CONEXIONES BÁSICAS DE LOS ELEMENTOS DE LOS CIRCUITOS Sólo hay cuatro conexiones básicas en los elementos de circuitos. Son conexiones sencillas, pero ¡ojo! son muy importantes. Como su nombre lo indica son conexiones básicas, fundamentales para el estudio de los circuitos.

2.2.1 CONEXIÓN SERIE: Se dice que dos elementos están conectados en serie, cuando se encuentran unidos por dos de sus terminales, de modo que ningún otro elemento esta unido a esos terminales. A la unión de los terminales se le denomina “nodo” y se representa por un punto (.). (Figura 2.2.1.1).

Figura 2.2.1.1 Conexión serie.

34

De acuerdo a las condiciones del capítulo anterior, vamos a considerar que en ninguna parte de los circuitos se va a almacenar, crear, desaparecer ó perder carga eléctrica, de modo que en el nodo tendremos que aceptar que la carga que entra en un ∆t tiene que salir en el mismo ∆t (Figura 2.2.1.2). En forma mucho más concisa, diremos que la corriente que entre al nodo es la misma que sale de él. En definitiva, la conexión serie se caracteriza porque los elementos llevan la misma corriente. Recíprocamente, dos elementos de diferente corriente no se pueden conectar en serie, y si, por cualquier razón, se encuentran en un circuito, se deben considerar simplemente como un error, exactamente como si en geometría se afirmara que en un triángulo todos sus puntos equidistan de su centro.

Figura 2.2.1.2 Nodo

Podemos extender la definición de conexión serie a cualquier número de elementos (Figura 2.2.1.3). Basta que se cumpla la definición vista para todos los elementos vecinos.

Figura 2.2.1.3 Conexión en serie.

2.2.2 CONEXIÓN PARALELO Se dice que dos elementos están conectados en paralelo, si se encuentran unidos sus terminales en parejas. Es decir, si un terminal de uno de los elementos está conectado a un terminal del otro elemento, formando un nodo, y los otros dos terminales

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están conectados también entre sí, formando otro nodo distinto (Figura 2.2.2.1). Como los terminales y nodos son conductores ideales, en ellos no experimentan las cargas pérdida ni ganancia de energía, de modo que en todos sus puntos existe el mismo voltaje. Por lo tanto, los voltajes en los elementos deben ser iguales. Recíprocamente, dos elementos de diferente voltaje no se pueden conectar en paralelo, y si, por cualquier razón, se encuentran en un circuito, se deben considerar simplemente como un error, exactamente como si en geometría se afirmara que en un triángulo todos sus puntos equidistan de su centro. Se puede extender la definición a cualquier número de elementos, siempre que cada par de elementos vecinos cumplan con la definición vista (Figura 2.2.2.2).

Figura 2.2.2.1 Conexión en paralelo.

Figura 2.2.2.2 Conexión en paralelo.

Con un poco de atención se puede captar que las definiciones de conexión en serie y conexión en paralelo tienen una similitud profunda, y que casi resultan idénticas cuando los términos voltaje y corriente se intercambian. Todo circuito o afirmación sobre los circuitos que cumpla esa especie de simetría con respecto al voltaje y la corriente se denomina

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dual, y es una de las herramientas conceptuales más importantes en muchas disciplinas de la ciencia moderna. Incluso, todavía no se le ha explorado y sacado el fruto que se espera de ella.

2.2.3 CONEXIÓN DELTA En esta conexión los elementos forman una delta ( ∆ ), ó un triángulo, dando lugar a tres nodos (Figura 2.2.3.1). Es importante porque todo circuito se puede considerar en último término como formado por estas conexiones delta. Pero para hablar más de ella debemos conocer más sobre las leyes de los circuitos, de las cuales trata, precisamente, este capítulo.

Figura 2.2.3.1 Conexión en delta.

2.2.4 CONEXIÓN Y En esta conexión los elementos forman una delta (Y), dando lugar a tres nodos externos y a un nodo interno (Figura 2.2.4.1). Todo circuito en Y se puede transformar en uno en delta, y viceversa.

37

Figura 2.2.4.1 Conexión en Y.

2.3 LEYES DE LOS CIRCUITOS En realidad, ya hemos aplicado varias veces estas dos leyes que ahora veremos; pero lo que aquí nos interesa es formularlas de una manera bien clara y útil. Estas dos leyes se fundamentan en dos principios sólidamente basados en la física moderna: el principio de la conservación de la carga eléctrica y el principio de la conservación de la energía.

2.3.1 LEY DE CORRIENTE (LEY DE CORRIENTES DE KIRCHOFF). Esta ley fundamental fue formulada por Kirchoff y por eso lleva su nombre. Si aceptamos que en un nodo no se crea carga eléctrica, ni tampoco se destruye, ni se disipa de ninguna forma, ni menos se almacena, tendremos que convenir que si entra una determinada carga en un intervalo de tiempo por alguno de los conductores unidos al nodo, esa misma carga tiene que salir por otros conductores en ese mismo intervalo de tiempo. Si en la figura 2.3.1.1, los ∆qs indican las cantidades de carga que entran ó salen del nodo en el mismo tiempo ∆t, tendremos:

∆ q que entró en el ∆t = ∆q1 + ∆q3 ∆ q que salió en el ∆t = ∆q2 + ∆q4 + ∆q5 + ∆q6

38

Figura 2.3.1.1 Ley de corriente de Kirchoff.

De donde:

∆q1 + q3 = ∆q2 + ∆q4 + ∆q5 + ∆q6 Dividiendo por ∆t

tq

tq

tq

tq

tq

tq

∆∆+

∆∆+

∆∆+

∆∆=

∆∆+

∆∆ 654231

De donde:

i1 + i3 = i2 + i4 + i5 + i6 O sea que podemos reformular el principio de la conservación de la carga como una ley de corrientes:

SUMA DE CORRIENTES = SUMA DE CORRIENTES QUE ENTRAN AL NODO QUE SALEN DEL NODO

Ley que se puede escribir de varias formas: �i que entran - �i que salen = 0 (2.3.1.1) �i Las ue entran +, Las que salen - = 0 (2.3.1.2)

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2.3.2 LEY DE VOLTAJES (LEY DE VOLTAJES DE KIRCHOFF). Recuérdese que el voltaje en un elemento es la diferencia de la energía útil de la unidad de carga colocada en uno de sus terminales y luego en el otro. Considere una conexión de elementos, como la de la figura 2.3.2.1, y denotemos la unidad de carga como ∆∆∆∆q, y la energía de esa unidad de carga en el nodo “a” como ∆∆∆∆Wab etc. Entonces

Figura 2.3.1.1 Ley de voltaje de Kirchoff.

qWc

qWd

Vq

Wcq

WbV

qWb

qWa

V∆

∆−∆

∆=∆

∆−∆

∆=∆

∆−∆

∆= 321

qWa

qWe

Vq

Weq

WdV

∆∆−

∆∆=

∆∆−

∆∆= 54

Ahora hagamos un recorrido imaginario por los elementos, uno después del otro; y si pasamos de un terminal “-” a un terminal “+”, tengamos en cuenta que “subimos” en la energía; por último, sumemos los voltajes de los elementos, tomando como + los que corresponden a una “subida” en la energía y como - los que corresponden a un “descenso” en la energía, veamos:

40

(Iniciamos recorrido en a) - V1 (estamos en b) - V2 (estamos en c) + V3 (estamos en d) - V4 (estamos en e) – V5 (estamos en a, punto de salida) De donde:

0

54321

=∆

∆+∆

∆−∆

∆+∆

∆

−∆

∆−∆

∆+∆

∆+∆

∆−∆

∆+∆

∆−=−−+−−

qWa

qWe

qWe

qWd

qWc

qWd

qWc

qWb

qWb

qWa

VVVVV

En cierta forma debimos haber estado convencidos de que el resultado sería el obtenido y que no íbamos a establecer nada nuevo. En efecto, que la suma de “subidas” de voltajes menos la suma “descensos” de voltaje sea cero (0) en un recorrido cerrado, es simple consecuencia lógica de la definición del concepto de voltaje. Podemos escribir esta ley de voltajes de formas distintas, como hicimos en la ley de corrientes: Suma subidas de voltaje - suma de bajadas de voltajes en un recorrido = 0 Σ V subidas - Σ V bajadas = 0 (2.3.2.1) en un recorrido cerrado Σ V (+ subidas - bajadas) =0 (2.3.2.2) en un recorrido cerrado

2.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE LOS CIRCUITOS. Vamos a aplicar las dos leyes para “resolver” dos circuitos de los ya vistos anteriormente. En la figura 2.4.1, una fuente alimenta dos elementos en serie. La ley de corrientes (ec. 2.3.1.1) aplicada a los nodos del circuito sería:

Σ i que entran a un nodo = Σ i que salen del nodo

41

∴ i1 = i2 ; i2 = i3 ; i3 = i1 nodo a nodo b nodo c

∴ i = i1 = i2 = i3

Figura 2.4.1 Ejemplo aplicación de las leyes

de circuitos.

O sea que sólo debemos tener en cuenta una “variable” tipo corriente, la variable i. La ley de voltajes aplicado al circuito sería: Σ V subida = Σ V bajada en un recorrido cerrado V1 = V2 + V3

Las últimas relaciones que podemos establecer son:

P1 = V1 * i1 P2 = V2 * i2 P3 = V3 * i3 Por “resolver” el circuito entenderemos utilizar las ecuaciones que podamos plantear y los datos que se nos den para hallar las otras cantidades desconocidas, incógnitas. Como sabemos:

P3 = 80 w V3 = 10 v Calculamos:

ampvw

VP

i 81080

3

33 ===

De donde:

i = i1 = i2 = i3 = 8 amp

42

Pero:

ivIVP 1111 == De donde:

100 w = (V1) 8 amp

voltamp

wV 5.12

8100

1 ==∴

Entonces:

V2 = V1 - V3 = 12.5 v - 10 v = 2.5 v

Por último: P2 = V2 * i2 = 2.5 v * 8 A = 20 w

Figura 2.4.2 Ejemplo aplicación de las leyes

de circuitos. El ejemplo de la figura 2.4.2 es un típico ejemplo de un circuito en paralelo, la ley de corrientes en los nodos arroja:

i1 = i2 + i3 ; i2 + i3 = i1 nodo a nodo b

Es decir, aplicamos la ecuación 2.3.1.1. Para aplicar la ley de los voltajes tenemos dos oportunidades (aplicando la ecuación 2.4.2):

V1 = V2 ; V2 = V3

43

De las últimas ecuaciones tenemos: V = V1 = V2 = V3 Y por último: P1 = V1 * i1 P2 = V2 * i2 P3 = V3 * i3 De acuerdo a los datos:

voltamp

wIP

V 810

80

3

33 ===

Entonces:

V = V2 = V3 = 8v Y como:

ampvolt

wVP

i 5.128100

3

11 ===

De donde: i2 = i1 - i3 = 12.5 A - 10 A = 2.5 A

Por último:

P2 = V2 * i2 = 2.5 v * 8 A = 20 w Estos ejemplos nos han servido, no sólo para mostrar el manejo elemental de las leyes de los circuitos, sino también para esbozar lo que entenderemos por “resolver” un circuito. Observamos que trabajamos con tres clases de variables: corrientes, voltajes, potencias. Son muchos tipos de variables, y es mejor restringirlos para lograr soluciones más sistemáticas y claras. Nos vamos a concentrar, entonces, en circuitos que puedan resolverse utilizando como variables los voltajes y las corrientes solamente.

44

2.5 RELACIONES ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE EN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS. Para cumplir el propósito expuesto al final del numeral anterior de trabajar sólo con los voltajes y las corrientes, nos vemos obligados a volver a estudiar la forma como se relaciona el voltaje con la corriente en un elemento de circuitos.

Figura 2.5.1 Relación entre voltaje y corriente.

Este tema se trató al final del capítulo 1, aquí sólo veremos una recapitulación breve. Admitiremos las siguientes relaciones:

v = f(i) + f(t, otros parámetros ≠ i ) ó i = f(v) + f(t, otros parámetros ≠ v)

Que se leen: el voltaje es función de la corriente y de otros parámetros diferentes de la corriente, como el tiempo; ó la corriente es función del voltaje y de otros parámetros, como el tiempo. Vamos a restringir aún más el tipo de elementos con que vamos a trabajar por el momento postulando: a. Para elementos fuente sólo consideraremos:

v = f (t, otros parámetros independientes del circuito) i = f (t, otros parámetros independientes del circuito)

Es decir, por ahora no consideraremos fuentes controladas por los valores que dependan del mismo circuito. O más claro, consideraremos las fuentes “dato”. En una fuente de voltaje, el voltaje será un dato, algo conocido; en una fuente de corriente lo conocido será la corriente. b. Para los elementos pasivos, sólo consideraremos las

relaciones que cumplan:

45

v = f (α i) ó i = f (α v) v = α f (i) ó i = α f(v)

Es decir, relaciones llamadas lineales entre el voltaje y la corriente. Y de todas las posibles funciones lineales nos ocuparemos de las que corresponden a los elementos más comunes (llamados a veces elementos “naturales”, porque no requieren tecnologías sofisticadas de construcción): la resistencia, la inductancia y la capacitancia. Veamos la tabla 2.5.1 que sintetiza todos los elementos pasivos con sus símbolos, variables y relaciones voltaje - corriente.

TABLA 2.5.1

ELEMENTO RELACIÓN

v = I R

v L

didt

=

i Cdvdt

=

Las relaciones “inversas” para estos elementos serán:

TABLA 2.5.2 Relación directa

Relación inversa

v = i R i

vR

=

v Ldidt

= diL

vdtt

i

i

o

= ��1

0

i i

Lvdto

t= + �

10

46

i Cdvdt

= dvC

idtt

v

v

o

= ��1

0

v v

Cidto

t= + �

10

Comparando las relaciones “directas” con las “inversas”, vemos que las primeras son “instantáneas”, ó puntuales, es decir, sólo involucran el valor instantáneo, en un punto, en un instante, de las variables; en cambio, las inversas requieren no sólo del “valor inicial” de la variable independiente (valor en el tiempo inicial: t = 0), sino toda la “historia” en el tiempo de esa variable para poder efectuar la integral. Afortunadamente nuestro conocimiento de la conexión en serie y de la conexión en paralelo permite efectuar una simplificación en las relaciones inversas, mediante la interpretación sugerida en la figura 2.5.2. El “truco” (porque se trata de un truco, de un artificio) consiste en reemplazar la inductancia original por otra cuya corriente en t = 0, es cero, y colocarle en paralelo una fuente de corriente igual al valor inicial de la corriente en la inductancia original. Para la capacitancia, se reemplaza la original por una capacitancia sin voltaje inicial, en serie con una fuente de voltaje cuyo valor es el voltaje inicial de la capacitancia original. Haciendo lo anterior en todos los elementos que lo requieran, el circuito sólo contendrá inductancias y condensadores sin corrientes y sin voltajes iniciales, respectivamente.

47

Figura 2.5.2 Representación de los elementos

Con corrientes y voltajes iniciales.. Las relaciones entre el voltaje y la corriente, cuando todos los elementos están “descargados” en t = 0 (después veremos porque se llaman así) se dan en la tabla 2.5.3.

TABLA 2.5.3

ELEMENTO RELACIÓN DIRECTA

RELACIÓN INVERSA

v = i R i

vR

=

48

ELEMENTO RELACIÓN DIRECTA

RELACIÓN INVERSA

v L

didt

= iL

vdtt

= �1

0

i Cdvdt

= vC

idtt

= �1

0

Ahora, el trabajo con las ecuaciones que contienen términos en derivadas y en integrales, como los acabamos de ver, se reducen enormemente introduciendo el concepto de operador. Como su nombre lo indica un “operador” es un símbolo que define y representa una “operación” determinada; esta operación se efectúa sobre la expresión que se coloque a la derecha del símbolo correspondiente. Ejemplos:

v Ldidt

LDi= = (2.5.4)

∴ D: símbolo del operador ddt

. Representa la derivada

respecto al tiempo.

i Cdvdt

CDv= = (2.5.5)

iL

vdtDL

vDL

vt

= = =−

�1 11

0 (2.5.6)

∴ DD

− =1 1 Símbolo del operador dt

t

0�

Representa la integral en el tiempo desde t = 0, hasta el tiempo escogido.

49

vC

idtDC

iCD

it

= = =−

�1 11

0 (2.5.7)

Obsérvese como la derivada respecto a t y la integral en t se consideran operadores inversos y se representan como tales. En efecto:

D Di Ddidt

didt

dt di i ioi

it

o

− −= = = = −��1 1

0

Pero io = 0 en nuestros elementos ∴ iDiD =−1

DD v D vdt vt− = =�1

0

Tendremos que se puede aceptar: D D DD− −= =1 1 1

2.6 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA GENERALIZADA. Con lo visto en el numeral anterior se concluye que en los elementos naturales de los circuitos se puede establecer:

v Ri= v LDi= vCD

i=1

v = Zi

YviCDvivLD

iiR

i ==== ;;1

;1

O sea que se puede generalizar la relación entre el voltaje y la corriente para los tres elementos, si introducimos dos operadores, convenientemente definidos para cada elemento: a. El operador Z, llamado “operador impedancia”, “impedancia

generalizada” ó simplemente “impedancia” , se define : ZR = R (para la resistencia)

ZL = LD (para la inductancia) (2.6.1)

ZCDC =1

(para la capacidad)

50

b. El operador Y, llamado “operador admitancia”, “admitancia generalizada”, ó simplemente “admitancia”, se define:

YRR =1

(para la resistencia)

YLDR =1

(para la inductancia) (2.6.3)

Y CDC = (para la capacidad)

En todos los casos se observa que: YZK

K

=1

{K = R, L, C}.

Veamos dos ejemplos utilizando los circuitos básicos conocidos. CIRCUITO SERIE:

Figura 2.6.1 Impedancia generalizada (Circuito serie).

� �= caidassubIda VV v v v vR L C= + +

Por definición de los elementos

V iRR = ; V LdidtL = ; V

Cidt vC

t

o= +�1

0

∴ v iR Ldidt C

idt vt

= + + +�1

0 0

Por definición de los operadores:

v Ri LDiCD

i vo= + + +1

v Z i Z i Z i vR L C o= + + +

51

Como los operadores cumplen la propiedad distributiva a la derecha:

v Z Z Z i vR L C o= + + +( )

Esta ecuación se interpreta con el circuito de la figura 2.6.2.

Figura 2.6.2 Impedancia generalizada (Circuito serie).

Aprovechamos este ejemplo para introducir el concepto de “impedancia equivalente”. Es un concepto que se introduce naturalmente, pues basta escribir:

Z Z Z Zequiv R L C= + + Y reemplazar la expresión en la ecuación del circuito:

v v Z io equiv= + * Esta última es representada por el circuito de la figura 2.6.3. Nótese como las fuentes que representan los valores iniciales deben ser excluidas de la Z equivalente.

Figura 2.6.3 Impedancia equivalente (Circuito serie).

CIRCUITO PARALELO: Aplicando la ecuación 2.3.1.1, tenemos:

i i i iR L C= + +

52

Figura 2.6.4 Circuito paralelo.

De las relaciones que definen los elementos de circuitos:

iVRR

R= ; V LdidtL

L= ; i CdVdtc

C=

∴ i iL

V dtL L L

T

o= + �

10

En forma operacional, estas relaciones quedan:

i Y VR R R= ; i i Y VL L L Lo= + ; i Y VC C C=

Reemplazando en la expresión para i:

i i i i Y V Y V Y V iR L C R R L L C C Lo= + + = + + +

Pero en esta conexión los voltajes son iguales:

CLR VVVV === De donde:

i Y V Y V Y V iR R L L C C Lo= + + + i Y Y Y V iR L C Lo

= + + +( ) 0

i Y V iequiv Lo= +

Aprovechando la semejanza con el caso anterior, nos permitimos abreviar el proceso en el ejemplo de la figura 2.6.5.

53

Figura 2.6.5 Impedancia equivalente (Circuito paralelo).

2.7 EQUIVALENCIAS. ¿Que significa que el circuito A es equivalente al B? La equivalencia entre los circuitos A y B significa que A puede reemplazar a B, y viceversa, en cualquier situación sin que cambien las variables externas afectadas por esos circuitos. En forma más clara, si A y B se conectan a un tercer circuito D, todas las cantidades en D son las misma (incluidas i y v en los terminales de unión con A ó B), cuando D se conecta a A y cuando D se conecta a B (Figura 2, 7,2).

Figura 2.7.1 Equivalencias entre circuitos.

Figura 2.7.2 Equivalencias entre circuitos.

Se utiliza ampliamente este concepto en circuitos, pues muchas veces se puede encontrar un circuito equivalente mucho más sencillo que el original, lo cual representa ahorro de tiempo en el análisis. También puede ocurrir que el circuito equivalente

54

no sea más sencillo, pero si más apropiado para el planteamiento de algunas ecuaciones específicas. Aquí sólo veremos algunos casos simples, pero fundamentales, aprovechando la ocasión para ilustrar el manejo de los operadores.

2.7.1 IMPEDANCIA EQUIVALENTE DE VARIAS IMPEDANCIAS EN SERIE En este tipo de circuito (Figura 2.7.1.1), la corriente es la misma por todos los elementos como lo hemos establecido, el voltaje es la suma de los voltajes en los elementos:

Figura 2.7.1.1 Impedancia equivalente (Circuito serie).

V V V Vn= + + +1 2 ...

Pero en cada elemento:

V Z i1 1 1= ; V Z i2 2 2= ; ... ; V Z in n n= ∴V Z i Z i Z in n= + + +1 1 2 2 ... ∴V Z Z Z in= + + +( ... )1 2

∴V Z iequiv= Donde:

Z Z Z Z Zequiv n ii

n

= + + + ==�1 2

1

...

55

Figura 2.7.1.2 Impedancia equivalente (Circuito serie).

El resultado anterior se suele expresar con la frase: “la impedancia equivalente de un conjunto de impedancias conocidas en serie es la suma de esas impedancias”.

Figura 2.7.1.3 Impedancia equivalente (Circuito serie).

La Z equivalente para el circuito anterior será:

Z R L D R L DC D

RC D

L D R L D L Dequiv = + + + + + + + + + +1 1 2 21

32

3 4 4 5

1 1

Z R R R R L L L L L DC C Dequiv = + + + + + + + + + +1 2 3 4 1 2 3 4 5

1 2

1 1 1( ) ( )

Figura 2.7.1.4 Impedancia equivalente (Circuito serie).

56

Esta última expresión nos permite sintetizar la Z equivalente como formada por una resistencia equivalente:

�=

=n

iiserieeneequivalent RR

1

Una inductancia equivalente:

�=

=n

iiserieeneequivalent LL

1

Y una capacidad equivalente:

�=

= 2

1

11

i i

serieeneequivalent

C

C

Téngase estos resultados como importantísimos; sobre todo, nótese como las capacidades “se suman en serie”, para dar la capacidad equivalente.

2.7.2 ADMITANCIA EQUIVALENTE DE VARIAS ADMITANCIAS CONECTADAS EN PARALELO

Figura 2.7.2.1 Admitancia equivalente (Circuito paralelo).

En el caso de la figura 2.7.2.1, el voltaje es el mismo para todos los elementos, y la corriente es la suma de todas las corrientes individuales:

i i i in= + + +1 2 ...

57

Pero en los elementos individuales i Y V1 1 1= ; i Y V2 2 2= ; ... ; i Y Vn n n=

i Y Y Y Vn= + + +( ... )1 2 i Y Vequiv=

Donde:

Y Y Y Y Yequiv n ii

n

= + + + ==�1 2

1

...

Resultado que se suele expresa: “la admitancia equivalente de un conjunto de admitancias en paralelo, es la suma de estas admitancias”. (Figura 2.7.2.2).

Figura 2.7.2.2 Admitancia equivalente (Circuito paralelo).

. De acuerdo al resultado anterior:

Y Y Y Yequiv n= + + +1 2 ...

YR R L D R

C DL D

C D C Dequiv = + + + + + + +1 1 1 1 1

1 2 1 31

22 3

[ ]YR L D

C Dequivequiv equiv

equiv=�

���

�

���

+�

���

�

���

+1 1 1

O sea:

�=

= 3

1

11

i i

paraleloeneequivalent

R

R

58

�=

= 2

1

11

i i

paraleloeneequivalent

L

L

�=

=3

1iiparaleloeneequivalent CC

Obsérvese como el elemento equivalente de un conjunto de elementos depende de la conexión de estos elementos. (Figura 2.7.2.3).

Figura 2.7.2.3 Admitancia equivalente (Circuito paralelo).

2.7.3 EQUIVALENCIA DELTA - YE ( ∆∆∆∆ ⇔⇔⇔⇔ Y) Ya habíamos definido la conexión delta (∆∆∆∆), y la habíamos presentado como una conexión de enorme importancia; ahora veremos como transformarla en otra equivalente, no menos importante, la conexión ye (Y).

59

Figura 2.7.3.1 Equivalente �-Y.

Si los circuitos son equivalentes, lo deben ser en todas las conexiones. Escojamos las tres mostradas en la figura 2.7.3.2 y comparemos las impedancias equivalentes en los tres casos. Primer caso:

[ ]V Z i

Z Z Z

i Z Z iequiv1 1

13 12 23

1 1 3 1

11 1= =

++

�

�

����

�

�

����

= +

60

Figura 2.7.3.2 Equivalente �-Y.

Figura 2.7.3.3 Equivalente �-Y.

Obsérvese que Z12 está en serie con Z23 y se suman para obtener la Z equivalente parcial; esta Z equivalente parcial queda en paralelo con Z13, y ya sabemos que el equivalente total se obtiene como el inverso de la suma de los inversos de las impedancias (admitancias). Para el circuito en Y, como Z2 queda sin corriente, sólo basta considerar a Z1 en serie con Z3.

61

Si se hacen las mismas consideraciones para los otros dos casos, se obtiene:

[ ]V Z i

Z Z Z

i Z Z iequiv2 2

21 23 13

2 1 2 2

11 1= =

++

�

�

����

�

�

����

= +

[ ]V Z i

Z Z Z

i Z Z iequiv3 3

32 31 21

3 2 3 3

11 1= =

++

�

�

����

�

�

����

= +

Igualando los coeficientes de las corrientes:

[ ]Z Z

Z Z Z

Z Z Z1 313 12 23

12 13 23

+ =+

+ +

[ ]Z Z

Z Z Z

Z Z Z1 212 13 23

12 13 23

+ =+

+ +

[ ]231312

13122332 ZZZ

ZZZZZ

+++=+∴

Sumando las dos primeras ecuaciones anteriores y restando la última obtenemos:

[ ] [ ] [ ]2 1 3 2 2 3

13 12 23 12 13 23 23 12 13

12 13 23

Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z+ + − − =

+ + + − ++ +

231312

13231223231213122313121312

ZZZZZZZZZZZZZZZ

Z++

−−+++=

ZZ Z

Z Z Z112 13

12 13 23

=+ +

Por “simetría” (luego explicaremos ese término; por ahora haga un intento por desentrañar su significado):

ZZ Z

Z Z Z221 23

12 13 23

=+ +

62

ZZ Z

Z Z Z313 23

12 13 23

=+ +

Obsérvese que es como sumar dos Z en paralelo (el producto sobre la suma) y añadir la Z tercera a la suma.

ZZ Z

Z Z Z112 13

12 13 23

=+ +

Estas ecuaciones permiten pasar del circuito ∆ al circuito Y equivalente. Para la “transformación” inversa, que permite pasar de la Y a la ∆, obsérvese que :

Z Z ZZ Z

ZZ Z

ZZ Z

Z12 13 2312 13

1

21 23

2

13 23

3

+ + = = =

Z Z Z Z Z Z1 23 2 13 3 12= =

1

12323 Z

ZZZ =∴ ; Z

Z ZZ133 12

2

=

Y reemplazando estas ecuaciones en:

ZZ Z

Z Z Z112 13

12 13 23

=+ +

Obtenemos:

ZZ Z

Z Z Z

Z Z ZZ

ZZ Z

ZZ Z

Z

112 13

12 13 23

12 3 12

2

123 12

2

3 12

1

=+ +

=+ +

63

[ ] [ ]3

231321

21

231321

3

2112

1

3

2

3

2

312

1

1

ZZZZZZZ

ZZZZZZZZ

ZZZ

Z

ZZ

ZZZ

ZZ

Z

++=++=∴

++=∴

3

212112 Z

ZZZZZ ++=

Empleando el argumento de la simetría:

2

313113 Z

ZZZZZ ++=

1

323223 Z

ZZZZZ ++=

Hemos tratado los operadores como si fueran números reales. Esto es válido siempre que se tenga en cuenta la naturaleza del operador cuando, al final, se trate de escribir la ecuación diferencial correspondiente. A propósito de lo anterior, una forma de entender la equivalencia de circuitos es: “el circuito original y su equivalente deben tener exactamente la misma ecuación diferencial”.

2.7.4 EQUIVALENCIA DE FUENTES DE VOLTAJE Y FUENTES DE CORRIENTE. Escribamos la ecuación para la malla en el circuito que tiene la fuente de voltaje de la figura 2.7.4.1.

011 =−− vizv v Ahora escribamos la ecuación de corrientes para uno de los nodos del circuito que posee una fuente de corriente en la misma figura.

64

011 =−+−

izv

ii

Figura 2.7.4.1 Equivalente entre fuentes de voltaje y fuentes de corriente.

Se observa que las dos ecuaciones anteriores quedan idénticas si se acepta que el operador iz es igual al operador vz , y que

ambos (ó cualquiera de los dos, si aceptamos que son iguales) pueden invertirse; y por último, si:

izizv vi == En definitiva, la equivalencia de las fuentes puede ser representada por la figura 2.7.4.2, en la que se han anulado las variables innecesarias.

Figura 2.7.4.2 Equivalente entre fuente de voltaje y fuente de corriente.

Esta equivalencia es otra cuya importancia debe enfatizarse siempre, pues se trata de un procedimiento de amplísimas y variadas aplicaciones.

65

2.7.5 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE TENSIÓN. En la figura 2.7.5.1 mostraremos un “divisor de tensión”. Este se dibujó en una forma no convencional (lo cual no es que sea muy correcto), tratando de enfatizar la función física del dispositivo: una resistencia continua, con un conector móvil que puede desplazarse por la resistencia continua, variando así la resistencia entre el terminal desplazable y los terminales fijos.

Figura 2.7.5.1 Equivalente de un divisor de voltaje.

Vamos a buscar un circuito equivalente para este dispositivo utilizando los resultados acabados de obtener en la equivalencia de fuentes.

Figura 2.7.5.2 Equivalente de un divisor de voltaje.

66

El proceso está condensado en la figura 2.7.5.2, y se puede resumir así:

a) Convertimos la fuente de voltaje en serie con 1R , en una fuente de corriente en paralelo con 1R .

b) Como 1R y 2R quedan en paralelo, se pude encontrar un

eequivalentR1 :

21

111RRR eequivalent

+=

,

21

21 RRR

RRR eequivalent =

+=∴

c) queda una fuente de corriente en paralelo con una

resistencia, que puede transformarse en una fuente de voltaje en serie con la misma resistencia.

2.7.6 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE CORRIENTE. Aquí lo que se presenta es una “división de la corriente i entre varias resistencias. Veamos un circuito equivalente.

Figura 2.7.6.1 Equivalencia de un divisor de corriente.

a) Buscamos una resistencia equivalente de las resistencias

que quedan en paralelo con la resistencia interesada, la acR arg .

...111

1

321

+++=

RRR

R eequivalent

67

Figura 2.7.6.2 Equivalencia de un divisor de corriente.

b) Convertimos la fuente de corriente en paralelo con esa

eequivalentR a una fuente de voltaje en serie con esa resistencia (ver figura 2.7.6.3).

Figura 2.7.6.3 Equivalencia de un divisor de corriente.

aceequivalent

eequivalent

RR

RR

arg

`+

=

c) Por último, consideramos la fuente de voltaje en serie

con la resistencia aceequivalent RR arg+ , entre los terminales a y b (que se encuentran en corto circuito), y la transformamos en una fuente de corriente en paralelo con una resistencia. Como ésta fuente queda en cortocircuito, toda la corriente de la fuente circula por el corto.

aceequivalent

eequivalentac RR

Rii

argarg +

=

68

2.7.7 EQUIVALENTES GENERALIZADOS PARA EL DIVISOR DE TENSIÓN Y EL DIVISOR DE CORRIENTE; OTROS EQUIVALENTES. Los casos que acabamos de ver, en los cuales consideramos sólo resistencias, se pueden generalizar a impedancias, tal como se muestra en la figura 2.7.7.1, y en la figura 2.7.7.2.

Figura 2.7.7.1 Equivalentes generalizados para el divisor de corriente y el divisor de

voltaje.

69

Figura 2.7.7.2 Equivalentes generalizados para el

divisor de corriente y el divisor de voltaje.

Estúdiese bien estos últimos procedimientos, porque constituyen formas muy socorridas para resolver problemas en circuitos. En lugar de plantear unas ecuaciones y luego atacarlas por métodos puramente algebraicos para tratar de obtener los resultados buscados, lo que se hace es “transformar” el circuito, mediante “transformaciones” ya aceptadas y conocidas, hasta obtener un circuito en el cual resalta ó resulta evidente aquello que se desea encontrar ó demostrar. Ya definimos un “conductor ideal”, llamado coloquialmente un “corto”, como un elemento entre cuyos terminales no hay diferencia de tensión. Podemos utilizar esa definición para establecer una equivalencia muy importante: todo elemento, o conjunto de elementos con dos terminales, entre cuyos terminales exista una diferencia de tensión nula se puede reemplazar por un conductor ideal, o por un “corto”, según se entienda mejor. Igualmente, todo elemento, o conjunto de elementos con dos terminales, entre cuyos elementos no circule corriente se puede reemplazar por un circuito abierto. Ahora, como en muchos elementos si la corriente es nula el voltaje también es nulo y viceversa, resulta que esos elementos se pueden reemplazar por cortos o por circuitos abiertos según la

70

conveniencia del caso. La única manera de adquirir criterio de ingeniero para proceder en una u otra forma es practicar mucho en la resolución de circuitos de todo tipo.