Tema 2

Expresiones algebraicas

Polinomios

• Un monomio es toda expresión de la forma axk

a es un número denominado coeficiente x es una variable k es un número natural llamado grado del monomio

• Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios.

P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2

Término principalGrado del polinomio

Término de grado 2 Término independienteo término de grado 0

El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a

Suma y diferencia de polinomios

• Para sumar o retas polinomios basta con agrupar los términos del mimo grado.• Si se toma el valor en x = a: (P ± Q)(a) = P(a) ± Q(a)

P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4

Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x

P + Q = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4

P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4

Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x

P – Q = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4

Ejemplo

P(1) = –3Q(1) = 6

(P+Q)(1) = 3 = P(1) + Q(1)P(1) = –3Q(1) = 6

(P – Q)(1) = –9 = P(1) – Q(1)

El grado de P ± Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q

Producto de polinomiosPara multiplicar polinomios basta aplicar la propiedad distributiva, la regla del producto de potencias, xk . xl = xk + l, y agrupar los términos del mismo grado

Ejemplo P = 2x3 + 3x2 – 1

Q = x2 – 5x + 2

P . Q = (2x3 + 3x2 – 1) . x2 + (2x3 + 3x2 – 1) . (–5x) + (2x3 + 3x2 – 1) . 2 = distributiva

= (2x3 . x2 + 3x2 . x2 – 1. x2 ) + (2x3 . (–5x) + 3x2 . (–5x) – 1 . (– 5x) ) ++ (2x3 . 2 + 3x2 . 2 – 1. 2) =

distributiva

= (2x5 + 3x4 – x2) + (– 10 x4 – 15x3 + 5x) + (4x3 + 6x2 – 2) = regla de las potencias

= 2x5 – 7x4 – 11x3 + 5x2 + 5x – 2 se agrupan los términos de igual grado

El grado de P . Q es la suma de los grados de P y Q

(P . Q)(a) = P(a) . Q(a)

resto–(– 3x2 – 2x + 4)Se resta (–1) . D cociente

Cociente delos términosde mayor grado

Cociente delos términosde mayor grado

x3

Cociente de polinomiosDados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales que P = Q . D + R siendo grado(R) < grado(D)

Algoritmo de la división

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4– (3x5 + 2x4 –4x3)

6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6

Primer paso

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3– (3x5 + 2x4 –4x3)6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6

Segundo paso

– (6x4+ 4x3 – 8x2)– 3x2 – 3x + 6

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3 + 2x2– (3x5 + 2x4 –4x3)6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6

– (6x4– 4x3 – 11x2)– 3x2 – 3x + 6

Tercer paso

– x + 2

Se resta x3 . D

Se resta 2x2 . D

+ 2x2

Cociente delos términosde mayor grado

– 1

Raíces de un polinomio

Un número a es una raíz o un cero del polinomio P, si P(a) = 0

Raíces enteras: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente

• Si a es raíz entera de P = Ax3 + Bx2 + Cx + D, entonces: P(a) = Aa3 + Ba2 + Ca + D = 0• Por tanto: D = – (Aa3 + Ba2 + Ca ) = – a (Aa2 + Ba + C )• Como D es entero, a es entero y Aa2 + Ba + C es entero, entonces a divide a D

Teorema del resto: el resto de dividir un polinomio P entre x – a es P(a)

• Al dividir P entre x – a se obtiene: P = Q . (x – a) + r, con grado(r) < grado (x–a) = 1• Luego r es una constante, y tendremos: P(a) = Q . (a – a) + r: es decir P(a) = r

Se deduce que: a es raíz de P ⇔ P es divisible por x – a

r

se suma

se multiplica por a

Regla de Ruffini

Para dividir un polinomio P= 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se aplica la Regla de Ruffini

Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12a 2

Se opera: 2 – 6 – 4 12

22

4–2

– 4–8

– 16

– 4

Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)

Factorización• Si P = Q . S se dice que los polinomios Q y S son factores de P• Teorema del factor: si x – a es factor de P, entonces a es raíz de P

La demostración es inmediata teniendo en cuenta que si x– a es factor de P entonces P = (x – a) . Q, de donde se deduce que P(a) = 0

Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4

1.– Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 – 2x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. La regla de Ruffini nos permite encontrar cuáles de ellos son ceros del polinomio.

1 0 –2 4–2 –2 4 –4

1 –2 2 0

2.– Por tanto P = (x + 2) (x2 – 2x + 2)

3.– Intentamos descomponer x2 – 2x + 2. Como la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales, en R no es posible descomponer más este polinomio.

4.– Pero queremos descomponer el polinomio en C, al resolver dicha ecuación obtenemos dos soluciones: 1 + i y 1 – i.

Por tanto: x3 – 2x + 4 = (x + 2).(x – 1 – i) (x – 1 + i)

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es un cociente de polinomios: F(x) = P(x)Q(x)

• P(x) es el numerado y Q(x) es el denominador. Ha de ser Q(x) ≠ 0• El valor numérico de F en a, F(a), se obtiene haciendo x = a. Como la

división por 0 no existe este valor no está definido si Q(a) = 0

Dos fracciones algebraicas P(x)Q(x)

yR(x)S(x)

son equivalentes si P(x) . S(x) = Q(x) . R(x)

• Cuando dos fracciones son equivalentes se escribe:

• El valor en a de dos fracciones es el mismo si sus valores están definidos.

Pero es posible que el valor en a de una de las fracciones esté definido y el

de la otra n

P(x)Q(x) =

R(x)S(x)

x3 – 3x2 + x – 3x4 – 1

Simplificación de fracciones algebraicas

Simplificar una fracción algebraica consiste en eliminar los factores comunes en el numerador y el denominador. Se obtiene así una fracción más sencilla, equivalente a la original.Para simplificar una fracción: primero se factorizan numerador y denominador y luego se cancelan los factores comunes

Ejemplo: simplificar F(x) = P(x)Q(x)

x3 – 3x2 + x – 3x4 – 1

=

1.– Factorizamos mediante la regla de Ruffini los polinomios numerador y denominador. En este caso obtenemos: P(x) = (x – 3) (x2 + 1); Q(x) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)

2.– Al simplificar obtenemos:

(x – 3) (x2 + 1)(x – 1) (x + 1) (x2 + 1)F(x) = =

x – 3x2 – 1=

Operaciones con fracciones algebraicas (I)

Las reglas para operar con fracciones algebraicas son análogas a las que rigen la operaciones con números racionales

Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores

+x – 2x2 – 1

x2 – 3xx2 – 2x + 1

= +x – 2(x – 1)(x + 1)

(x – 3)x(x – 1)2

=

+(x – 2)(x – 1)(x – 1)2 (x + 1)

(x – 3) x (x + 1)(x – 1)2 (x + 1)

=x2 – 3x + 2 + x3 – 2x2 – 3x(x – 1)2 (x + 1)

=

x3 – x2 – 6x +2(x – 1)2 (x + 1)

=

Operaciones con fracciones algebraicas (II)

Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores

.x4 – 12x + 1

x – 2x2 – 2x + 1 = (x – 2) (x4 – 1)

(x2 – 2x + 1) (2x + 1)=

(x – 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)(x – 1)2 (2x + 1) =

(x – 2) (x + 1) (x2 + 1)(x – 1) (2x + 1) =

x4 - x3 -x2 -x -22x2 - x - 2

=

Operaciones con fracciones algebraicas (III)

Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x)

División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda

(x3 – 1) (2x – 1)(2x2 + x) (x4 + 1) =

x4 + 12x – 1

x3 – 12x2 + x =:

2x4 - x3 - 2x + 12x6 + x5 + 2x2 + x

2x – 1x4 + 1

x3 – 12x2 + x =.

Operaciones con fracciones algebraicas (IV)

Potencia entera positiva: Si F(x) = P(x)/Q(x) y n es un entero positivo entonces (P(x)/Q(x))n = P(x)n / Q(x)n es una fracción algebraica.

Potencia entera negativa: Si F(x) = P(x)/Q(x) y n es un entero negativo entonces (P(x)/Q(x)) – n = Q(x)n / P(x)n es una fracción algebraica.

La raíz cuadrada o de otro orden, de una fracción algebraica no es en general una fracción algebraica

2xx2 + 1

( )3 = 8x3

x6 + 4x4 +3x3 + 1

(2x)3

(x2 + 1)3 =

2xx2 + 1

( )-3 = x6 + 4x4 +3x3 + 1

8x3

(x2 + 1)3

(2x)3 =

Expresiones algebraicas con radicales

• Se llama expresión algebraica a cualquier expresión en la que se combinan números y variables mediante suma, diferencias, productos, cocientes y potencias. Los polinomios y las fracciones algebraicas son un caso particular de las expresiones algebraicas.

• Las raíces de fracciones algebraicas son expresiones algebraicas.

Racionalizar una expresión algebraica es obtener una equivalente de modo que se eliminen las raíces del denominador

a) 1

x – x2 = x – x2

x – x2 x – x2 = x – x2

x – x2

b) x

x + 1 – x =

x( x – 1 – x)x + 1 – x ( x – 1 – x)

= x – x – x2 x – (1 – x) =

x – x – x2 1x – 1

c) x + 1

3x + 1

= x + 1

3(x + 1)2

3x + 1

3(x + 1)2

= 6

(x + 1)5

x + 1