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IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20 1 2º de bachillerato Matemáticas II Bloque 1 de 4 - Álgebra www.ebaumatematicas.com Tema 1. Matrices ....................................................................................... 2 1. Definición de matriz. Tipos de matrices ......................................................... 2 2. Operaciones con matrices .......................................................................... 6 2.1. Igualdad de matrices ....................................................................... 6 2.2. Suma de matrices ........................................................................... 6 2.3. Producto de una matriz por un número (escalar) ...................................... 6 3. Producto de matrices ............................................................................... 7 4. Trasposición de Matrices. ......................................................................... 10 5. Matriz inversa ....................................................................................... 10 6. Resolución de ecuaciones matriciales ........................................................... 12 Tema 2. Determinantes ..............................................................................17 1. Definición general de determinantes ............................................................ 17 2. Determinante de matrices de orden 1, 2 y 3. .................................................. 17 2.1. Determinante de matrices cuadradas de orden 1..................................... 17 2.2. Determinante de matrices cuadradas de orden 2..................................... 17 2.3. Determinante de matrices cuadradas de orden 3..................................... 17 3. Determinante de algunas matrices especiales ................................................. 19 4. Propiedades de los determinantes ............................................................... 20 5. Cálculo de la matriz inversa. ..................................................................... 24 6. Rango de una matriz ............................................................................... 27 Ejercicios de matrices en pruebas EBAU de ESPAÑA ...........................................33 Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales .........................................................49 1. Definiciones, tipos de sistemas y distintas formas de expresarlos .......................... 50 1.1. Definición, sistemas equivalentes ....................................................... 50 1.2. Tipos de sistemas de ecuaciones. ....................................................... 51 1.3. Expresión de sistemas en forma matricial ............................................. 52 2. Sistemas de Cramer ................................................................................ 53 3. Teorema de Rouchè-Fröbenius. Discusión de un sistema ..................................... 54 4. Resolución general de sistemas de ecuaciones lineales por Cramer. ....................... 54 4.1. Sistemas compatibles determinados .................................................... 55 4.2. Sistemas compatibles indeterminados .................................................. 56 5. Resolución de sistemas homogéneos............................................................. 57 6. Discusión y resolución de sistemas por Gauss. ................................................. 66 Ejercicios de sistemas de ecuaciones en pruebas EBAU de ESPAÑA.........................69 Ejercicios de matrices y sistemas de ecuaciones en pruebas EBAU de Murcia desde 2010 hasta 2019 ..............................................................................................80 Orientaciones EBAU. Bloque de Álgebra. .........................................................94

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IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

1

2º de bachillerato Matemáticas II Bloque 1 de 4 - Álgebra

www.ebaumatematicas.com

Tema 1. Matrices ....................................................................................... 2

1. Definición de matriz. Tipos de matrices ......................................................... 2

2. Operaciones con matrices .......................................................................... 6

2.1. Igualdad de matrices ....................................................................... 6

2.2. Suma de matrices ........................................................................... 6

2.3. Producto de una matriz por un número (escalar) ...................................... 6

3. Producto de matrices ............................................................................... 7

4. Trasposición de Matrices. ......................................................................... 10

5. Matriz inversa ....................................................................................... 10

6. Resolución de ecuaciones matriciales ........................................................... 12

Tema 2. Determinantes .............................................................................. 17

1. Definición general de determinantes ............................................................ 17

2. Determinante de matrices de orden 1, 2 y 3. .................................................. 17

2.1. Determinante de matrices cuadradas de orden 1 ..................................... 17

2.2. Determinante de matrices cuadradas de orden 2 ..................................... 17

2.3. Determinante de matrices cuadradas de orden 3 ..................................... 17

3. Determinante de algunas matrices especiales ................................................. 19

4. Propiedades de los determinantes ............................................................... 20

5. Cálculo de la matriz inversa. ..................................................................... 24

6. Rango de una matriz ............................................................................... 27

Ejercicios de matrices en pruebas EBAU de ESPAÑA ........................................... 33

Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales ......................................................... 49

1. Definiciones, tipos de sistemas y distintas formas de expresarlos .......................... 50

1.1. Definición, sistemas equivalentes ....................................................... 50

1.2. Tipos de sistemas de ecuaciones. ....................................................... 51

1.3. Expresión de sistemas en forma matricial ............................................. 52

2. Sistemas de Cramer ................................................................................ 53

3. Teorema de Rouchè-Fröbenius. Discusión de un sistema ..................................... 54

4. Resolución general de sistemas de ecuaciones lineales por Cramer. ....................... 54

4.1. Sistemas compatibles determinados .................................................... 55

4.2. Sistemas compatibles indeterminados .................................................. 56

5. Resolución de sistemas homogéneos. ............................................................ 57

6. Discusión y resolución de sistemas por Gauss. ................................................. 66

Ejercicios de sistemas de ecuaciones en pruebas EBAU de ESPAÑA ......................... 69

Ejercicios de matrices y sistemas de ecuaciones en pruebas EBAU de Murcia desde 2010 hasta 2019 .............................................................................................. 80

Orientaciones EBAU. Bloque de Álgebra. ......................................................... 94

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Tema 1. Matrices 2

Tema 1. Matrices

¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

1. Definición de matriz. Tipos de matrices El concepto de matriz de dimensión m x n es sencillo, es una tabla con m filas y n columnas de números reales ordenados (m y n son números naturales). Veamos una definición más matemática de las matrices.

Se define la matriz A de dimensión mxn al conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.. .. .. ..

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

siendo aij=elemento de la matriz A situado en la fila i y columna j

La matriz A se denota también como ijA a

La dimensión mxn de una matriz es el número de filas y columnas de la misma (el primer número indica el número de filas (m) y el segundo el número de columnas (n)).

Ejemplos:

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Tema 1. Matrices 3

1 2 1

2 1 2A

es una matriz de dimensión 2x3.

0 1 1 0B es una matriz de dimensión 1x4.

6

9C

es una matriz de dimensión 2x1.

Tipos de matrices:

1. Matrices cuadradas: son las matrices que tienen igual número de filas que de columnas (m=n). Cuando se habla de su dimensión se dice matriz cuadrada de orden n.

Ejemplos:

1 1

1 1D

es una matriz cuadrada de orden 2.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

E

es una matriz cuadrada de orden 3.

Elementos de las matrices cuadradas:

a. Diagonal principal: elementos de la forma aii.

En la matriz

0 2 2 1

1 2 3 4

5 2 2 1

1 0 0 1

A

Son los elementos rodeados.

b. Diagonal secundaria: elementos de la forma aij donde 1i j n .

En la matriz

0 2 2 1

1 2 3 4

5 2 2 1

1 0 0 1

A

Son los elementos rodeados.

2. Matrices triangulares superiores e inferiores: son las matrices cuadradas tal que:

Superior: elementos por debajo de la diagonal principal son nulos 0 ija si i j

Inferior: elementos por encima de la diagonal principal son nulos 0 ija si i j

Ejemplos:

1 2 3

0 1 2

0 0 2

TS

es una matriz triangular superior.

1 0 0

5 1 0

0 3 2

TI

es una matriz triangular inferior.

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Tema 1. Matrices 4

3. Matrices simétricas: matrices cuadradas donde ij jia a .

Ejemplos:

1 2 3 1 2 31 23

2 1 12 2 1 423 4

3 12 2 3 4 1

S SS SSS

4. Matrices diagonales: matrices cuadradas donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero.

Ejemplos:

2 0 0 0

0 3 0 0 1 0

0 0 1 0 0 2

0 0 0 2

D R

5. Matriz escalar: matriz diagonal en el que todos los términos de la diagonal son

iguales: Ejemplos:

2 0 0 08 0 0

0 2 0 00 8 0

0 0 2 00 0 8

0 0 0 2

E EE

6. Matriz unidad o matriz identidad: matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. Se denota como I o Id.

Ejemplos:

2

1 0

0 1Id

matriz identidad de orden 2

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Id

matriz identidad de orden 3

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Id

matriz identidad de orden 4

7. Matriz nula (o cero): la matriz con todos los elementos iguales a 0.

Ejemplo:

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Tema 1. Matrices 5

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

8. Matriz columna: toda matriz con una sola columna. Ejemplo:

12

3 21 , ,

0 20

1

C D F

9. Matriz fila: toda matriz con una única fila Ejemplo:

3 0 2 1 0 1 2 1 2G H J

Observaciones:

1. Toda matriz diagonal es triangular, tanto superior como inferior, pues los elementos por encima y por debajo de la diagonal son nulos.

2. Toda matriz escalar es diagonal. 3. La matriz identidad es una matriz escalar.

Ejercicio 1. Escribir matrices de los siguientes tipos: a) De dimensión 3x2 b) Cuadrada de dimensión 4 c) Triangular inferior de dimensión 3 d) Diagonal de dimensión 4 e) ¿Qué tipo de matriz es de dimensión 1x1? Pon un ejemplo. ¿Cuál será la matriz identidad de orden 1? Solución:

a.

7 1

2 3

2 3

b.

1 2 3 4

6 7 8 9

9 8 7 6

4 3 2 1

c.

1 0 0

1 1 0

1 1 1

d.

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4

e. 1 fila y 1 columna. Los

números reales, ejemplos 2,-1.3. La identidad de orden 1 es el número 1. Ejercicio 2.Decir que tipo y de que dimensión son las siguientes matrices:

73 2 1 7 0 0

1 1 1 10 4 9 0 7 0

1 1 1 10 0 2 0 0 7

0

A B C D

Solución:

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Tema 1. Matrices 6

A es una matriz cuadrada, triangular superior, dimensión 3x3 o cuadrada de orden 3. B es una matriz columna de dimensión 4x1. C es una matriz rectangular de dimensión 2x3. D es una matriz cuadrada, escalar de dimensión 3x3 o simplemente matriz cuadrada de orden 3.

2. Operaciones con matrices

2.1. Igualdad de matrices

Dos matrices M y N se dicen que son iguales (M=N) si se cumplen: - misma dimensión - elementos que ocupan la misma posición son iguales.

2.2. Suma de matrices Solo se pueden sumar matrices de la misma dimensión. Veamos en qué consiste la suma de matrices:

La suma de dos matrices A y B de la misma dimensión es otra matriz que se denota como A+B con misma dimensión que las otras dos y definida como:

( ) ( ) ( )ij ij ij ijA B a b a b

Es decir A+B se obtiene sumando los elementos que ocupan la misma posición en las dos matrices que se están sumando.

Ejemplo:

a)

1 1 12 2

1 1 12 2

1 1 1

No se puede sumar

b)

1 2 3 2 1 3 2 2

1 0 3 1 1 3 0 1

3 5 0 1 3 0 5 1

Si se puede sumar

2.3. Producto de una matriz por un número (escalar)

Sea k un número real (escalar) y ijA a una matriz de dimensión mxn. El producto de k

por A es otra matriz k·A de misma dimensión tal que:

( ) ( )· ·ij ijk A k a k a

, es decir la matriz k·A se obtiene de multiplicar por k cada elemento de la matriz A.

Ejemplo:

a)

1 2 3 6

3· 1 0 3 0

3 5 9 15

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Tema 1. Matrices 7

b)

2 1 2 8 4 8

4· 3 0 1 12 0 4

2 2 2 8 8 8

Observaciones:

Se puede sacar factor común en una matriz:

3 6 1 2

3 0 3· 1 0

9 15 3 5

1 70

3 3 1 0 75 1 2 1

5 1 23 3 3 3

0 9 11

0 33

3 4 3 4

8 11 8 11

3 / 2 5 / 4 6 51

5 / 4 3 5 124

Una matriz escalar se puede expresar en función de la matriz identidad:

5 0 0 1 0 0

0 5 0 5· 0 1 0

0 0 5 0 0 1

Ejercicio 3: Calcule el valor de a, b, c y d para que se cumpla la igualdad:

2 2 5 7

2 2 2 3 4

a b a a b

c d c d d

Solución: 2a=a+5 a=5 2b=7+a+b b=12 2c=-2+c+d c=d-2 _c=-6 2d=3d+4 d=-4

Ejercicio 4: Dadas las matrices A, B y C

1 1 4 0 1 2

0 1 1 2 2 3A B C

,

realice las siguientes operaciones: a) A B b) A B C c) 3 5 6A B C Solución:

a)5 1

1 1A B

b)

2 3

3 0A B C

c)

29 153 5 6

7 25A B C

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Tema 1. Matrices 8

3. Producto de matrices El producto de matrices es una operación más compleja que las anteriores.

Si A y B son dos matrices, para poder realizar ·AB es necesario que el nº de columnas de la primera matriz (A) del producto sea igual al nº de filas de la segunda matriz (B).

El producto de la matriz ijA a de dimensión mxn y ijB b de dimensión nxp es otra

matriz C = A · B, con igual nº de filas que A y de columnas que B, tal que el elemento ijc

de la matriz C se obtiene multiplicando la fila i-esima de la primera matriz (A) con la columna j-esima de la segunda (B).

Ejemplo:

1x 3 = 3 x1

4

1 2 3 · 5 1·4 2·5 3·0 1

1

0

x1

4

1 2 3 1 1·1 2·( 1) 3·2 5

3x 3 = 3 x

1 2 3 · 1 ( 1)·1 ( 2)·( 1) ( 3)·2 5

0 2 0 2 0·1 2·( 1) 0·2 2

1

3x1

1 21 2 3 1·1 2·0 3·1 1·( 2) 2·( 1) 3·2 4 2

· 0 10 1 2 0·1 ( 1)·0 ( 2)·1 0·( 2) ( 1)·( 1) ( 2)·

2x 3 = 3 x2

2 2 31 2

2x2

1 2 1 2

3 4 · 0 1 ¡¡No se puede realizar

3x 2 3 x2

el producto!!

3 2 1 2

Ejercicio 5: Realice todos los productos posibles con las siguientes matrices y calcúlelos:

1 2 3 12 1 0

1 1 1 , 2 ,3 4 5

0 1 1 1

A B C

Solución:

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Tema 1. Matrices 9

83 5 7 4

· 4 · ·7 15 8 16

1

A B C A C B

Ejercicio 6: Dadas las matrices:

1 2 3 1 0 1

4 5 6 , 2 0 0

7 8 9 1 2 3

A B

Realiza los dos productos siguientes: A·B y B·A, ¿Se obtiene el mismo resultado?

Solución:

8 6 8 6 6 6

· 20 12 14 , · 2 4 6

32 18 20 30 36 42

A B B A

No es el mismo resultado. No siempre se cumple que A·B = B·A, es decir no se cumple la propiedad conmutativa del producto de matrices. Existen algún tipo de matrices que si conmutan. A·B = B·A, si esto ocurre se dice que A y B conmutan. Ejercicio 7: Calcular A2, B2, A2 – B2, (A + B)2 y (A – B)2 siendo A y B las siguientes matrices:

1 2 0 0 1 2

0 1 1 , 1 1 0

2 1 1 0 2 1

A B

Solución:

2 2 2 2

1 4 2 1 5 2 2 1 0

2 2 0 , 1 0 2 , 3 2 2

0 4 2 2 4 1 2 0 1

A B A B

2 2

2 15 5 2 3 3

1 4 0 , 3 0 4

1 12 7 3 4 1

A B A B A B A B A B A B

Nota: Al no ser conmutativo el producto de las matrices las igualdades notables no son ciertas cuando A y B son matrices. Ejercicio 8: Calcular los valores de las incógnitas que verifican las siguientes igualdades:

a) 1 0 0

·2 3 4 0 0

x x y

y

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Tema 1. Matrices 10

b) 3 1 0 8 2 1

·2 0 1 2 0 1

a b

c d

Solución: 0x y b) 2; 1; 0; 1a b c d

Ejercicio 9: Sea 0 1

1 0A

calcule A2, A3, A4. Calcule A50, A100.

Solución: 2 3 4; ;A Id A A A Id

Cada 4 se repite la secuencia. Luego 50 48 2 2 2 100· ·A A A Id A A Id A Id

Ejercicio 10: Sea

1 0 1

0 1 0

0 0 1

A

, calcula An.

Solución:

1 0

0 1 0

0 0 1

n

n

A

4. Trasposición de Matrices.

Sea A una matriz de dimensión mxn se llama matriz traspuesta y se escribe como At a la matriz que resulta de cambiar las filas por las columnas.

Ejemplo:

a)

1

1 2 3 2

3

tA A

b)

1 41 2 3

2 54 5 6

3 6

tB B

c)

1 1 2 1 0 2

0 2 5 1 2 1

2 1 2 2 5 2

tC C

Observaciones:

t

tA A

Si B es una matriz simétrica cumple que tB B

Si A es una matriz escalar cumple que tA A

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Tema 1. Matrices 11

5. Matriz inversa Se habla de matriz inversa solo para matrices cuadradas.

La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz cuadrada de misma dimensión que se denota como A-1 tal que se cumple:

1 1· · A A A A Id

El método más sencillo para el cálculo de la inversa se realiza con ayuda del determinante de la matriz que se verá en el tema siguiente. Aunque para matrices 2x2 podemos calcular la inversa a partir de la definición: Ejemplo:

Dada la matriz 2 2

3 7A

calculemos su inversa 1a b

Ac d

. Debe cumplirse:

12 2 1 0

· ·3 7 0 1

2 2 1

2 2 2 2 1 0 2 2 0

3 7 3 7 0 1 3 7 0

3 7 1

a bA A Id

c d

a c

a c b d b d

a c b d a c

b d

Pudiendo separar las 4 ecuaciones en 2 sistemas de 2 ecuaciones:

3·Ecuación1ª 2·Ecuación 2ª

3·Ecuación1ª 2·Ecuació

2 2 1 6 6 3

3 7 0 6 14 0

8 3 3 / 8 2 6 / 8 1 7 / 8

2 2 0

3 7 1

a c a c

a c a c

c c a a

b d

b d

n 2ª6 6 0

6 14 2

8 2 2 / 8 6 12 / 8 0 12 / 8

b d

b d

d d b b

La matriz inversa es:

1

7 / 8 12 / 8 7 121

3 / 8 2 / 8 3 28A

Se podría comprobar que también se cumple:

1·A A Id

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Tema 1. Matrices 12

Ejercicio 11. Calcular la inversa de las siguientes matrices:

a) 0 1

2 0B

b) 1 2

3 4C

c) 1 2

4 8D

Solución:

10 11

2 02B

14 21

3 12C

La matriz D no tiene inversa.

6. Resolución de ecuaciones matriciales

Las ecuaciones matriciales son ecuaciones algebraicas donde los coeficientes y las incógnitas son matrices.

Ejemplos:

a) Resuelve la ecuación 1·X B B B siendo 2 11

1 23B

b) Encuentra la matriz B que cumple la ecuación P-1·B·P=A siendo

1 1 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 2

P y A

Resolver una ecuación matricial es obtener la matriz incógnita, que generalmente se denota como X, despejándola de la igualdad.

Para conseguirlo tenemos las siguientes reglas:

1) Si una matriz está sumando a un lado de la igualdad pasa restando al otro lado de la igualdad y al revés.

X B C X C B

X B C X C B

2) Si multiplicamos una matriz por la izquierda a un lado de la igualdad también lo

tenemos que hacer en el otro lado de la igualdad por la izquierda. Igual por la derecha.

1 1 1 1

1 1 1 1

· · · · · · ·

· · · · · · ·

A X B A A X A B Id X A B X A B

X A B X A A B A X Id B A X B A

Veamos la resolución de los dos anteriores ejemplos:

a) Resuelve la ecuación 1·X B B B siendo 2 11

1 23B

1 11 1 1 1· · ··X B B B X B B BB X B B X IdB B

Necesitamos calcular la inversa de B:

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Tema 1. Matrices 13

1a b

Bc d

. Debe cumplirse:

12 1 1 01

B·B ·1 2 0 13

2 3

2 2 1 0 2 01

2 2 0 1 2 03

2 3

a bId

c d

a c

a c b d b d

a c b d a c

b d

Pudiendo separar las 4 ecuaciones en 2 sistemas de 2 ecuaciones:

1

2 3 2 34 6 0 3 6 2 4 3 1

2 0 2 0

2 0 24 3 3 3 1 2

2 3 2 3

2 1

1 2

a c c aa a a a c

a c a c

b d d bb b b b d

b d b d

B

Así la solución es

1 12 1 2 1 1 0 5 4 1 0 4 4 1 1

· · 41 2 1 2 0 1 4 5 0 1 4 4 1 1

B BX Id

b) Encuentra la matriz B que cumple la ecuación 1· ·P B P A siendo

1 1 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 2

P y A

Despejemos B en la ecuación

1

Multiplicamos por P por la izquierda1 1

Multiplicamos por P por la derecha· · · ·P B P A B P A P

Necesitamos calcular la inversa de P:

1

a b c

P d e f

g h k

.

Debe cumplirse:

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Tema 1. Matrices 14

1

1 1 1 1 0 0

P·P 1 0 1 · 0 1 0

0 1 1 0 0 1

a b c

Id d e f

g h k

1

0

0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0

0

1

a d g

b e h

c f k

a d g b e h c f k a g

a g b h c k b h

d g e h f k c k

d g

e h

f k

1

0 2 / 3

1/ 30 1 2 / 3

0 21/ 32 1 1/ 3

1 0 22 1 1/ 3 1/ 31 1

1 1

1

a d g

b e h b

gc f k g g g f

a g b e e b ea ge e e

b h c f c f cc c c d gk c b e b e

d g f c c f h

h e

f k

1/ 3

1/ 3

e

k c

Así queda la inversa de P como

1

1/ 3 2 / 3 1/ 3 1 2 11

1/ 3 1/ 3 2 / 3 1 1 23

1/ 3 1/ 3 1/ 3 1 1 1

P

Y la matriz B solución de la ecuación matricial es:

1

1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 1 2 1 2 11 1

1 0 1 · 0 1 0 · 1 1 2 1 0 2 1 1 23 3

0 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1

· ·

2 1 1 1

0 3 3 0 1 11

3 0 3 1 0 13

3 3 0 1 1 0

B P A P

B

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Tema 1. Matrices 15

Nota: Se observa en este último ejemplo que es necesario un método más ágil y cómodo para el cálculo de la inversa. Lo volveremos a ver con el uso de determinantes (¿qué será?).

Ejercicios

1. Sea A la matriz

0 1 2

1 0 2

1 1 3

A

Calcule k tal que se cumpla la siguiente igualdad 2

· 0A k Id

Solución: K=1

2. Calcule la matriz X, en la ecuación matricial 2B A Id AXA B siendo

3 3 1 1 1 2

4 1 1 1 0 1

2 0 1 0 1 1

A y B

Solución:

1 4 7

2 3 9 16

2 7 13

X

3. Sean X una matriz 2x2, I la matriz identidad 2x2 y 2 1

0 1B

. Halle X sabiendo que

2BX B B I .

Solución: 3 11

0 22X

4. Dada la matriz 0 1 0

1 0 1A

a) Calcula At A y AAt, donde At denota la matriz traspuesta de A.

b) Encuentra las matrices de la forma tales que 𝑌 = (𝑎𝑏𝑐

) , tales que 𝐴𝑡𝐴𝑌 = 𝑌

c) Encuentra todas las matrices de la forma 𝑋 = (𝑥𝑦) , tales que: 𝐴𝐴𝑡𝑋 = 𝑋

Solución: AtA = (1 0 10 1 01 0 1

) , AAt = (1 00 2

) ,

0

,

0

Y b donde b

,0

xX donde x

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Tema 1. Matrices 16

5. Se considera la matriz:

0

0 0

0 0 0

a b

A c

, donde a, b y c son tres números reales arbitrarios.

a) Encuentra An para todo natural n.

b) Calcula 2

35A A

Solución: An= 0 para n ≥ 3. 2

35

0 0

0 0 0

0 0 0

ac

A A

6. Dada la matriz 3 1

0 1A

calcula An , siendo n un número natural.

Solución:

3 13

2

0 1

nn

nA

7. Si I es la matriz identidad de orden 2 y 𝐴 = (2 3

−2 1), halla el valor que deben tener

x e y para que se cumpla la igualdad 𝐴2 − 𝑥𝐴 − 𝑦𝐼 = 0

Solución: x = 3, y = –8 8. Calcula los valores de x para que la matriz:

verifique la ecuación A2 − 6A + 9l = 0, donde l y 0 son, respectivamente,

las matrices identidad y nula de orden tres.

Solución: x = 3

9. Halla los valores de a y b en la matriz 𝐴 = (𝑎 𝑏0 𝑎

), de forma que 𝐴2 − 2𝐴 = 𝐵, siendo

𝐵 = (0 10 0

)

Solución: 1 1

0; . 2;2 2

Si a b Si a b

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Tema 2. Determinantes 17

Tema 2. Determinantes

¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

1. Definición general de determinantes Solo se habla de determinantes en matrices cuadradas.

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar denominado determinante de A, denotado por |A| o por det(A). Este escalar se obtiene como combinación lineal de los elementos que componen la matriz.

La definición de determinante es más compleja, pero nos limitamos a determinantes de matrices de orden 2 y 3. Aprenderemos una forma cómoda y rápida de calcular dicho determinante de la matriz.

2. Determinante de matrices de orden 1, 2 y 3.

2.1. Determinante de matrices cuadradas de orden 1

 11 11     a a El determinante es el propio número

2.2. Determinante de matrices cuadradas de orden 2

11 12

11 22 12 21

21 22

· ·a a

a a a aa a

(El producto de la diagonal principal – el producto de la diagonal secundaria )

2.3. Determinante de matrices cuadradas de orden 3

11 12 13

21  22 23  11 22 33 12 23  31 13 21  32 13 22 31 12 21  33  11 23 32

31 32 33

  

                             

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

Existen dos métodos para calcular este determinante de orden 3:

1. Regla de Sarrus

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Tema 2. Determinantes 18

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal

secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice

opuesto.

Ejemplo:

a)

1 2 3

4 5 6 1·5·9 2·6·7 3·4·8 3·5·7 2·4·9 1·6·8 45 84 96 105 72 48 0

7 8 9

b)

0 0 3

0 1 0 0 0 0 6 0 0 6

2 0 0

2. Otro método

Para calcular el determinante:

11 12 13

21  22 23 

31 32 33

  a a a

A a a a

a a a

Escribes a continuación, detrás de la 3ª columna, las dos primeras:

11 12 13 11 12

21  22 23  21  22

31 32 33 31 32

  a a a a a

a a a a a

a a a a a

Ahora realizas las sumas de los productos de los 3 elementos de la diagonal principal y diagonales paralelas a la misma (que son las líneas azules del dibujo). Y restas los

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Tema 2. Determinantes 19

productos de 3 elementos en la diagonal secundaria y paralelas a ella (son las líneas rojas del dibujo).

11 22 33 12 23  31 13 21  32 13 22 31 12 21  33  11 23 32                          +    a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Ejemplo:

a)

01 2 0 1 2 1 2

1 1 3 1 1 1

2

3

4

1 4 24 0 0 6 8 30

4 2 4 4 2 4 2

1

3

2

11

4

1

24

0

1

2 4

1

b)

01 0 0 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0

0

0

4

11

1 1 4 0 00 0 0 0 4

0

0

0 0

0

0

4 0 4

0

00 00

1

0 0

Ejercicio 1. Calcular los siguientes determinantes

a) 5

5

a

a

b)

3 4

2 5

c)

21 1

1 1

a a

a

d)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

e)

1 2 3

0 3 4

4 1 5

f)

1 3

1 1 1

5 3

m

m

Solución: a) 2 25a b) 23 c) 22 2a d) 2 e) 79 f) 2– 4 1m m

3. Determinante de algunas matrices especiales En este apartado calcularemos de forma sencilla el valor de los determinantes de algunas matrices cuadradas especiales.

1. Determinante de la matriz nula. La matriz cuadrada nula es aquella en la que todos los coeficientes son cero, se denota como 0. Su determinante es 0.

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

2. Determinante de la matriz identidad

Recordemos que la matriz identidad es aquella donde todos los elementos fuera de la diagonal son nulos y los de la diagonal vale 1. Su determinante es 1.

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Tema 2. Determinantes 20

1 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 1

3. Determinante de la matriz diagonal

Matrices diagonales son aquellas donde los elementos fuera de la diagonal principal son nulos, pudiendo valer cualquier valor los elementos de la misma. Su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

1 0 0

0 1 0 4 0 0 0 0 0 4

0 0 4

4. Determinante de la matriz triangular

El valor de un determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.

1 2 3

0 1 3 4 0 0 0 0 0 4

0 0 4

1 0 0

10 1 0 4 0 0 0 0 0 4

8 5 4

4. Propiedades de los determinantes En este apartado veremos las propiedades más importantes de los determinantes, a partir de las cuales será fácil calcular el valor de los determinantes de algunas matrices. Propiedad 1: el determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta:

( )tdet A det A

Importante: a partir de esta propiedad todas las propiedades de los determinantes que relacionen columnas serán ciertas también para las filas y al revés. Ejemplo:

3 4 3 2( 3)·( 5) ( 4)·2 23 ( 3)·( 5) 2·( 4) 23

2 5 4 5

!! !!

tA A

IGU ALES

Propiedad 2: si los elementos de una fila (o columna) de una matriz se multiplican por un número el determinante de la nueva matriz queda multiplicado por dicho número. Ejemplo:

1 3 5

2 3 6 13

0 1 1

A A

.

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Tema 2. Determinantes 21

Si multiplicamos la columna 3ª de la matriz A por 2 obtenemos otra matriz

1 3 10

2 3 12

0 1 2

B

cuyo determinante valdrá 2 veces el determinante de A.

1 3 10

2 3 12 26

0 1 2

B

2·B A

Si cambiamos el signo (multiplicamos por -1) de los elementos de la 2ª fila de la

matriz obtenemos otra matriz

1 3 5

2 3 6

0 1 1

C

cuyo determinante valdrá lo mismo

que el de A pero cambiado de signo.

1 3 5

2 3 6 13

0 1 1

C

C A

Propiedad 3: Si a una matriz cuadrada A de orden n la multiplicamos por un número k (B=k·A), el determinante de la nueva matriz, B, es kn veces el determinante de A:

· ·ndet k A k det A

Ejemplo:

1 3 5

2 3 6 13

0 1 1

A A

Obtenemos una matriz B al multiplicar la matriz A por 3.

3

3 9 15

3· 6 9 18 3 · 27·13 351

0 3 3

B A B A

Propiedad 4: Si los elementos de una columna i-esima (o una fila) de una matriz cuadrada se puede descomponer como suma de dos números, su determinante será igual a la suma de los determinantes de las matrices que tienen las demás columnas (filas) iguales y la columna i-esima de cada uno de ellas uno de las elementos de la suma. Ejemplo:

1 3 5

2 3 6 13

0 1 1

A A

1 3 3 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 2

2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 2 3 1

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0

3 0 6 0 6 5 0 0 4 0 0 1 10 3 13

A

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Tema 2. Determinantes 22

Propiedad 5: El determinante del producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices.

· ·det A B det A det B

Propiedad 6: Si una matriz permuta dos columnas (filas), su determinante cambia de signo. Ejemplo:

1 3 5

2 3 6 13

0 1 1

Intercambiamos la fila 3ª y la 1ª. Comprobamos que el determinante cambia de signo.

0 1 1 1 3 5

2 3 6 0 6 6 3 10 13 2 3 6

1 3 5 0 1 1

Propiedad 7: Si una matriz tiene una fila o una columna formada por ceros su determinante es cero. Ejemplo:

1 3 5 1 0 8

2 3 6 0 2 0 7 0

0 0 0 2 0 2

Propiedad 8: Si en una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales su determinante es cero. Ejemplo:

1 3 5

Fila 1ª = Fila 3ª 2 3 6 15 18 30 15 30 18 0

1 3 5

1 2 2

Fila 3ª = 2·Fila 1ª 2 0 4 16 4 16 4 0

2 1 4

Propiedad 9: Si en una matriz cuadrada los elementos de una fila (o columna) son combinación lineal de las restantes filas (o columnas) entonces su determinante es cero. Y viceversa. Ejemplo:

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Tema 2. Determinantes 23

1 3 5

Fila 3ª = Fila 1ª + Fila 2ª 2 3 6 33 54 45 66 0

3 0 11

Propiedad 10: El determinante de la matriz A-1 es:

1 1det( )

det( )A

A

Ejemplo:

12 / 3 1/ 3 2 1

1/ 3 2 / 3 1 2B B

Calculemos sus determinantes respectivos:

1

2 14 1 3

1 2

2 / 3 1/ 3 4 1 3 1 1

1/ 3 2 / 3 9 9 9 3

B

BB

Propiedad 11: Si a los elementos de una fila (columna) se les suma una combinación lineal de otras filas (o columnas), su determinante no varía. Ejemplo:

1 3 5

2 3 6 13

0 1 1

Si le sumo a la fila 2ª la fila 1ª multiplicada por -2

2 3 6

2 6 10

0 9 4

Con la nueva fila 2ª el determinante queda:

1 3 5

0 9 4 9 4 13

0 1 1

Ejercicio 2: Pasando a determinante triangular, calcule el valor de:

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

a

aA

a

a

Solución: 3

3 1A a a Nota: Realiza F4-F1; F3-F1; F2-F1; C1+C2; C1+C3; C1+C4.

Ejercicio 3: Si el valor del determinante 25

a b c

A p q r

u v w

.

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Tema 2. Determinantes 24

Calcular el valor de:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a c b

B u w v

p r q

Solución:

Saco factor común en las 3 filas Intercambio columna 2ª y 3ª

2 2 2

2 2 2 2·2·2 8

2 2 2

a c b a c b a b c

B u w v u w v u v w

p r q p r q p q r

Intercambio Fila 2ª y 3ª

2 2 2

2 2 2 8 8 200

2 2 2

a c b a b c a b c

B u w v u v w p q r

p r q p q r u v w

5. Cálculo de la matriz inversa. Mediante la definición de determinante y la matriz adjunta se puede calcular de forma sencilla la matriz inversa, en especial la inversa de las matrices cuadradas de orden 3.

Una matriz es regular si tiene inversa. Una matriz tiene inversa si su determinante no es cero. En caso contrario la matriz no tiene inversa.

1

1

0

0

A A es regular o inversible existe A

A A no tiene inversa no existe A

La fórmula del cálculo de la inversa de una matriz es:

1

t tMatriz adjunta AMatriz adjunta AA

A A

Para utilizar esta fórmula necesitamos definir varios conceptos: Menor complementario

Se llama menor complementario de un elemento a i j al valor del determinante de orden n−1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Adjunto Se llama adjunto del elemento a i j al menor complementario anteponiendo:

El signo es + si i+j es par. El signo es − si i+j es impar.

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Tema 2. Determinantes 25

Matriz adjunta Se llama matriz adjunta a la compuesta por todos los adjuntos de cada elemento de la matriz inicial. Ejemplo:

a) Dada la matriz

1 0 1

1 0 3

2 1 4

A

veamos si se puede calcular su inversa, para ello

comprobamos si su determinante es 0 o no.

1 0 1

1 0 3 4 0

2 1 4

A

Existe la inversa de A y proseguimos con su cálculo.

Para hacer el adjunto de cada elemento de la matriz basta con aplicar esta plantilla de cambio de signos:

Vamos cambiando el signo al menor complementario de la posición con

un menos () y dejamos sin cambio de signo el de posición con un más (+).

11

1

Adjunto de a

0 1

1 0 3

2

0 33

1 41 4

12

1

Adjunto de a

0 1

1 0 3

2 1

1 3( 10) 10

2 44

13

1

Adjunto de a

0 1

1 0 3

2 1 4

1 01

2 1

21

1

Adjunto de a

0 1

1 0 3

2

0 11

1 41 4

22

1 0

Adjunto de a

1

1 0 3

2 1

1 12

2 44

23

1 0 1

Adjunto de a 1 0 3

2 1 4

1 0

1 12 1

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Tema 2. Determinantes 26

31

1

Adjunto de a

0 1

1 0 3

2 1 4

0 10

0 3

32

1 0

Adjunto de a

1

1 0 3

2 1 4

1 14

1 3

33

1 0 1

Adjunto de a 1 0 3

2 1 4

1 00

1 0

La matriz adjunta de A queda:

3 10 1

1 2 1

0 4 0

Adjunta A

Y la traspuesta de la matriz adjunta de A queda:

3 1 0

10 2 4

1 1 0

tAdjunta A

La matriz inversa de A es 1

3 1 01

10 2 44

1 1 0

A

b) Si 1 4

0 2B

Procedemos al cálculo de su inversa.

1º. Calculo del determinante: 1 4

2 00 2

B Existe la inversa.

2º. Traspuesta de B 1 0

4 2

tB

3º. Matriz adjunta de Bt 2 4 2 4

( )0 1 0 1

tAdjunta B

4º. Inversa de B 12 4 1 21 1

( )0 1 0 1/ 22

tB Adjunta BB

Ejercicio 4. Calcula la matriz inversa, si es posible, de las matrices:

2 1 4 1 2 21 2 0 3

B= C= 4 1 2 D= 1 1 13 4 1 2

5 5 0 1 0 1

A

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Tema 2. Determinantes 27

Solución:

1 1 1 1

10 20 6 1 2 04 2 2 31 1 1

B C 10 20 20 D 0 1 13 1 1 02 3 130

25 15 2 1 2 1

A

Ejercicio 5. Averigua para que valor de x las matrices son regulares:

3

2 1 0

1 1 0

x x

A

x

3

2 1 4

1 0 2

x x

B

3 1

2 4

1 0 2

x

C x

Solución: A es regular para cualquier valor de x distinto de 0 y 1. B es regular para cualquier número distinto de 6. C es regular para cualquier valor de x distinto de 0 y 6.

Ejercicio 6. Dadas las matrices:

1 0 0 0 1 1 1 0 0

1 1 0 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1 1 0 1

A B C

.

Resuelve la ecuación matricial: A · X + 2 · B = 3 · C Solución:

3 2 2

5 5 2

5 3 1

X

6. Rango de una matriz

Menor de orden k de una matriz A de dimensión mxn es toda submatriz con k filas y k columnas pertenecientes a la matriz A, obtenida quitando filas y columnas de la matriz original.

Ejemplo: Dada la matriz A de dimensión 3x4, vamos a detallar distintos menores de distinto orden de dicha matriz:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

A

Menores de orden 4: No existen. La matriz es de dimensión 3x4, su rango es 3 como máximo.

Menores de orden 3:

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Tema 2. Determinantes 28

1 2 3 1 2 4

Quito la columna 4ª 5 6 7 Quito la columna 3ª 5 6 8

9 10 11 9 10 12

1 3 4 2 3 4

Quito la columna 2ª 5 7 8 Quito la columna 1ª 6 7 8

9 11 12 10 11 12

Menores de orden 2 (hay muchos, detallamos algunos):

1 2 2 3 3 4 7 8; ; ; ;....

5 6 6 7 7 8 11 12

Menores de orden 1 (hay doce, cada uno de los elementos de la matriz):

(1); (2); (3); (4); (5);…

Rango de una matriz A de dimensión mxn es el orden del mayor menor con determinante no nulo de la matriz A.

Una forma de obtener el rango de una matriz: 1) Calculamos todos los menor de mayor dimensión (k = minimo(m,n)) de la matriz A.

1.a. Si algún menor es distinto de cero rang(A) = k 1.b. Si todos los menores son iguales a cero rang(A) < k

2) Calculamos los menores de dimensión k-1. 2.a Si algún menor es distinto de cero rang(A) = k-1 2.b Si todos los menores son nulos rang(A) < k-1

Y así sucesivamente…. Esto termina cuando algún menor es distinto de cero, siendo nulos los calculados antes de mayor dimensión. Ejemplos:

1. Calcular el rango de

1 1 1

1 1 1

1 1 1

B

. Comparando las filas las tres son iguales, su

rango es 1.

2. Calcular el rango de

1 2 3

1 2 3

1 2 3

C

. Comparando las filas las tres son iguales, su

rango es 1.

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Tema 2. Determinantes 29

3. Calcular el rango de

1 2 2

1 2 2

1 0 0

D

. Comparando las filas o las columnas hay 2

iguales, su rango es 2.

4. Calcular el rango de

0 2 3

0 2 1

0 0 3

E

. Como hay una columna nula su rango es como

mucho 2. 2 3

2 6 8 02 1

y su rango es 2.

5. Calcular el rango de

0 0 3

0 0 1

0 0 3

F

. Como hay dos columnas nulas su rango es 1.

6. Calcular el rango de

1 0 3

0 3 1

0 2 3

G

. Su rango como mucho es 3, veamos el valor de

su determinante

1 0 3

0 3 1 9 2 11 0

0 2 3

G . El rango es 3.

7. Calcular el rango de

1 0 3

0 1 1

0 3 3

H

. Su rango como mucho es 3, veamos el valor

de su determinante

1 0 3

0 1 1 3 3 0

0 3 3

H

. El rango no es 3. Busquemos un

menor de orden 2 no nulo, por ejemplo 1 0

1 00 1

. El rango es 2. Puedes observar

que en la matriz H la 2ª y 3ª filas son proporcionales, por ello no puede ser 3 y el determinante de la matriz sale 0.

8. Calcular el rango de

1 0 1

0 1 1

2 3 1

M

. No se observa igualdad o proporcionalidad

entre filas o entre columnas. Procedemos con el método del determinante.

¿Rango de M es 3?

1 0 1

0 1 1 1 2 3 0

2 3 1

M

El rango no es 3.

¿Rango de M es 2? De

1

1

2 3 1

1 0

0 1M

sacamos el menor 1 0

1 00 1

.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 2. Determinantes 30

El rango de M es 2.

9. Calcular el rango de

1 2 3 4

2 4 6 9

3 6 9 1

A

. En este caso requiere más trabajo.

Buscaremos el menor de la matriz más grande posible con determinante no nulo.

Paso 1. Calculamos el determinante de los menores de orden 3 = mínimo(3,4):

1 2 3

2 4 6 0 la columna 3ª es tres veces la columna 1ª

3 6 9

1 3 4

2 6 9 0 la columna 2ª es tres veces la columna 1ª

3 9 1

1 2 4

2 4 9 0 la columna 2ª es dos veces la columna 1ª

3 6 1

2 3 4 1 3 4 1 1 4

4 6 9 2· 2 6 9 2·3 2 2 9

6 9 1 3 9 1

0 la columna 1ª y 2ª son iguales

3 3 1

rang(A)<3

Paso 2. Calculamos el determinante de los menores de orden 2, en busca de uno no nulo:

1 2 2 4 6 90 0 .... Pero hay uno que 6 81 87 0

2 4 3 6 9 1

rang(A)=2

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Tema 2. Determinantes 31

Ejercicios

1. Calcule el rango de la siguiente matriz:

2 3 1 6

1 2 0 3

3 5 1 9

Solución: Rango es 2

2. Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz

1 2 1

2 1 3

0 1

A

a

Solución: Si a=-1/3 el rango es 2 y si a es distinto de -1/3 el rango es 3.

3. Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz

2 1

1 2 3

2 1 2

m

A m

Solución: si m=3 o m= –2 el rang(A)=2 y si m es distinto de -2 y 3 el rang(A)=3.

4. Determina el rango de las matrices:

2 1 3 0 0 0

2 1 3 1 1 1

2 1 3 2 1 1

A B

Solución: El rango de A es 1 y el de B es 2.

5. Indica el rango de la matriz identidad de orden 3 y de la matriz nula.

Solución: El rango de Id3 es 3 y el de la matriz nula es 0.

6. Determina el rango de las matrices:

2 1 3 0 2 0

0 1 3 0 1 1

0 0 3 0 0 1

A B

Solución: El rango de A es 3 y el de B es 2

7. Resuelve la ecuación matricial 2A = AX + B, siendo:

1 0 1 2

1 1 3 1A y B

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Tema 2. Determinantes 32

Solución: 3 2

4 1X

8. Estudia el rango de la matriz M según los valores de a. ¿Existe algún valor de a que

haga que ran(M) = 1?

1 4

2 4

1 0

a

M a

a

Solución: · Si 4 − a2= 0 → a = 2, a = −2: Las dos últimas filas coinciden → ran(M) = 2.

· Si 4 − a2≠ 0 → a ≠ 2, a ≠ −2: ran(M) = 3. El rango de M no puede ser igual a 1 para ningún valor de a, ya que las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier a.

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1+2. Matrices y determinantes 33

Ejercicios de matrices en pruebas EBAU de ESPAÑA Ejercicios de matrices y determinantes aparecidos en las pruebas de acceso a la universidad en las distintas regiones españolas (con las soluciones)

1. (Andalucía Junio 2019) Opción A Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Calcula todas las matrices

a bX

c d

tales que 1a d , tienen determinante 1 y cumplen AX XA , siendo 0 1

1 0A

Solución:

1 3 1 3

2 2 2 2

3 1 3 1

2 2 2 2

X o X

2. (Andalucía Septiembre 2018) A.3. Considera las siguientes matrices

0 0 1

0 1 0 , 0 1 0

1 0 0 1 0 0

a b c

A B

a) Determina, si existen, los parámetros de a, b y c para los que las matrices A y B conmuten.

b) Calcula A2, A

3, A

2017, A

2018.

c) Calcula, si existe, la matriz inversa de A.

Solución: a) a=0 b=0 y c=-1 b) A2=Id, A3=A, A2017=A, A2018=Id c) 1

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A

3. (Andalucía septiembre 2017) B.3. Considera

0

1 0

0 1 1

k k

A k k

k k

.

a) [1,5 puntos] Discute el rango de A según los valores de k.

Solución: a) rango de A es 3 si k es distinto de 0, -1 y -1/2. El rango de A es 2 en el resto de valores de k

4. (Andalucia junio 2017) B.3. Considera las matrices

2 2 0

2 1 0 ,

0 0 2

x

A X y

z

a) [1 punto] Determina los valores de λ para que la matriz A+ λI no tiene inversa (I es la matriz

identidad).

b) [1,5 puntos] Resuelve AX = –3X . Determina, si existe, alguna solución con x = 1.

Solución: a) λ=3; λ=2; λ=–3 b) z=0 y=t x=2t

5. (Aragón Septiembre 2019) Opción B 1.

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1+2. Matrices y determinantes 34

a) (1,5 puntos) Estudie el rango de la matriz que aparece a continuación según los diferentes valores del

parámetro real 𝑚.

1 1 0

3 1

0 2

A m

m

b) (1,5 puntos) Determine la inversa de la matriz 𝐴 anterior cuando 𝑚 = −1.

Solución: a) Si 1 2m y m el rango de A es 3, si 1 2m o m el rango de A es 2.

b) 1

1/ 2 1/ 6 1/ 6

1/ 2 1/ 6 1/ 6

1 1/ 3 2 / 3

A

6. (Aragón Junio 2019) Opción A 1.

a) Determine el rango de la matriz 𝐴 siguiente, según los diferentes valores del parámetro 𝑘. (2

puntos)

0

0 2 0

1 1 2

k k

A k

k

b) (1 punto) Determine la inversa de la matriz 𝐴 anterior cuando 𝑘=1.

Solución: a)Si 0; 2 1k k y k el rango es 3. En el resto de casos el rango es 2.

b) 1

9 1 31

0 2 06

3 1 3

A

7. (Aragón Junio 2018) A.1.c. Considere las matrices:

1

1 , 1 2 1

0

C D

Determine el rango de la matriz producto CD.

Solución El rango es 1

8. (Aragón Junio 2018) B.1. Considere la matriz:

3 0 1

0 0 0

1 0 3

A

a) Determine los valores del parámetro K para los que la matriz A-kI tenga inversa, siendo I la matriz

identidad de orden 3.

b) Encuentre la matriz X que verifica que: 3 2A I X I

Solución: a) para k distinto de 0, 2 y 4 b) 0 0 2

0 2 / 3 0

2 0 0

X

9. (Aragón Septiembre 2017) Sea k una constante real y considere la matriz:

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1+2. Matrices y determinantes 35

1 0 4

0 3 2

1 0

A k k

k

a) Estudie la existencia de inversa de la matriz A según los diferentes valores de k.

b) Si k=2, calcule la inversa de A, si existe.

c) Determine el rango de la matriz A según los diferentes valores de k.

Solución a) Existe la inversa para todo valor de k distinto de -4 y 0 b) 1

1/ 3 0 2 / 3

2 / 3 1/ 2 2 / 3

1/ 6 0 1/ 6

A

c) rango de A es 3 para todo valor de k distinto de -4 y 0. Rango de A es 2 para k=0 y k=-4

10. (Asturias Julio 2019) Opción B 1. Sea la matriz

0 1

1 0 0

0 1

x

A x

x

a) Estudia para qué valores de x se cumple 3A I O (I matriz identidad y O matriz nula). (1 punto)

b) Calcula 12A para los valores de x que verifican la condición anterior. (0.75 puntos)

c) Para x = 0 y sabiendo que ese valor verifica la condición del primer apartado, calcula, si existe, la inversa de A. (0.75 puntos)

Solución: a) x=0 b) 12A I c)

1

0 1 0

0 0 1

1 0 0

A

11. (Asturias Junio 2019) Opción B 1. Sean las matrices

1 0 0

2 0 1

1 1 0

A

,

1 0

2 3

0 6

B

,

1

2

1

C

,

1 0 1D

a) Razona, sin hacerlos, si son posibles los siguientes productos matriciales y, si es el caso, indica las

dimensiones de las matrices resultantes. (1 punto)

· , · , · · , ·A A A B A B C C D

b) Calcula las inversas, si existen, de las matrices cuadradas posibles del apartado anterior.(1.5 puntos)

Solución: a)A·A si, es 3x3. A·B si, es 3x2. A·B no. C·D si, es 3x3 b) 1

1 0 0

· 3 1 0

3 0 1

A A

C·D no

tiene inversa (determinante nulo), A·B no es cuadrada.

12. (Baleares Julio 2019) OPCIÓ B 1. Considerem la matriu i els vectors següents:

2 1 1

1 2 , , 1 ,

1 0 0

zx

A b c d zy

z

Trobau x, y i z perquè es satisfaci:

· 2A b c d (10 punts)

Solución: 1x y z

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1+2. Matrices y determinantes 36

13. (Baleares Junio 2019) OPCIÓ B 1. Considerem la matriu i els vectors següents: 2

6 2, , ,3

0 2 22

x y y yA b c d

y y

Calculau x i y perqué es verifiqui:

· ·b A c A d (10 punts)

Solución: 1

9x e

3

2y ;

1

13x e

1

2y

14. (Baleares septiembre 2016) B.1. Calculau la matriu X tal que: A · X · A = B, on

2 0 1 0 3 3

2 1 1 , 2 2 0

1 0 0 3 0 2

A B

. (10 punts)

Solución:

2 0 1

2 1 8

4 3 4

X

15. (Baleares junio 2016) B.1. Sigui A la matriu seguent:

0 0

1 0

0 1

a

A a

a

, on a es un valor real.

Calculau A2 A

3 i A

4 (4 punts) i donau una f´ormula general per a l’expressi´o de A

n. (6 punts)

Solución:

2 3 4

2 2 3 2 3 4 3 4

2 2 3 2 3 4

0 0 0 0 0 0

2 0 , 3 0 , 4 0

1 2 3 3 6 4

a a a

A a a A a a A a a

a a a a a a a a

1

2 1

0 0

0

1

2

n

n n n

n n n

a

A na a

n na na a

16. (Canarias Julio 2019) Opción B 2. Sea la matriz ·C A B , donde:

1 2

1 1 1

mA

y

1 2

0

0 2

B m

a) Encontrar los valores de m para los que existe inversa de la matriz C (1,25 ptos)

b) Calcular la matriz inversa de C en el caso de 𝑚 = 2 (1,25 ptos)

Solución: a) cualquier valor de m distinto de 1 y –1 b) 10 1

516 6

C

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1+2. Matrices y determinantes 37

17. (Canarias Junio 2019) Opción B 2. Dadas las matrices:

1

1 1

xA

x

y

0 1

1 1B

y sea 2I la matriz identidad de orden 2

a) Calcular el valor de x de modo que se verifique la igualdad: 2B A (0,5 ptos)

b) Calcular el valor de x para que 1

2A I B (1,5 ptos)

c) Calcular el valor de x para que 2·A B I (0,5 ptos)

Solución: a) x = 1 b) x = 0 c) x = –1

18. (Canarias Julio 2017) Opción B. 3. Hallar la matriz X que cumple la ecuación matricial

1A XA B siendo 3 1

2 1A

y

1 1

2 1B

(2,5 puntos)

Solución: 9 11

6 7X

19. (Cantabria Junio 2019) OPCIÓN DE EXAMEN Nº 2 Ejercicio 1

Sean

1 1 0

3 2 1 ,

1 0 2

x

M v y

z

.

1) [0.5 PUNTOS] Calcule, razonadamente, el rango de M.

2) [2 PUNTOS] Determine todos los vectores v tales que 2 1· ·M v M v .

Solución: 1) El rango de M es 3 2) x = y = z = 0

20. (Cantabria septiembre 2018) B.1. Sean

3 1 1 1,

3 1A B

x y

con x, y ∈ R.

1) [1,25 PUNTOS] Determine los valores de x e y para los cuales AB = BA.

2) [1,5 PUNTOS] Determine un valor x para el que A2

= 6A ¿Tiene A inversa en este caso?

3) [0,5 PUNTOS] Sean N, R, S, X matrices 2x2 que tienen todas matriz inversa. Despeje la matriz X

de la expresión N · X · R = S.

Solución: 1) x = 1, y = 1 2) x=9. No tiene inversa 3) 1 1· ·X N S R

21. (Cantabria junio 2018) A.1. Sean x, y, z números reales. Consideremos las matrices

2 2 2

1 , 1 , 3

1 1

z x

A y z B C

x z y z

.

1) [2 PUNTOS] Escriba un sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z que resuelvan el problema

matricial AB = C y calcule todas sus soluciones.

2) [1,25 PUNTOS] Si x = 0, y = 0, calcule para qué valores de z la matriz A tiene rango 2.

Solución: 1) x = 0, y = 1, z = 0 2) z = 0, z = –1

22. (Cantabria junio 2017) A.1. Consideremos la igualdad matricial A · M = B donde

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1+2. Matrices y determinantes 38

1 2 2 1 3

1 1 , 0 1

1 1 1 2 2

t

A t B

1) [0,25 puntos] ¿Cuantas fila y columnas debe de tener la matriz M?

2) [1’5 puntos] Para qué valores de t es la matriz de A invertible?.

3) [1’5 puntos] En el caso t = –1, despeje la matriz M en función de las matrices A y B y calcule su

valor

Solución: 1) M debe ser 3x2 2) Para cualquier valor distinto de 1 3)

1/ 3 5 / 3

1 1/ 2

2 / 3 1/ 6

M

23. (Castilla la Mancha Julio 2019) 3B. Dadas las matrices

0 0

0 1

1 0 2

a

A a

a

y 1 0 1

0 1 0B

a) Calcula razonadamente el rango de la matriz A según los valores del parámetro a ∈ R. (1 punto)

b) Para a = 1 calcula razonadamente la matriz X que verifica que · –X A B X . (1,5 puntos)

Solución: a) 0 2a y a rango es 3. En el resto el rango es 2. b) 3 / 8 0 1/ 4

1/16 1/ 2 1/ 8X

24. (Castilla la Mancha Junio 2019) 3B. Dadas matrices

1 1 1

1 1 0

2 1 0

A

,

1 2 2

0 1 1

1 1 2

B

y

0 1 1

1 1 0

0 1 2

C

a) Calcula razonadamente la matriz inversa de A. (1 punto)

b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que · 2A X B C . (1,5 puntos)

Solución: a) 1

0 1 1

0 2 1

1 3 2

A

b)

3 2 8

4 5 10

9 12 23

X

25. (Castilla La Mancha Julio 2018) 3B. Dadas las matrices 1 3 1 0

0 1 0 1A y I

a) Halla razonadamente dos parámetros a y b tales que A2

= aA + bI. (1,25 puntos)

b) Calcula razonadamente todas las matrices X que verifican que 2 2A X A X A X . (1,25

puntos)

Solución: a) a=2 y b=-1 b) 0

a bX

a

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

1+2. Matrices y determinantes 39

26. (Castilla La Mancha Junio 2018) 3B. a) Encuentra los valores del parámetro a ∈ R para que

la siguiente matriz tenga inversa.

1 1 1

0 2 1

0 2

a

A a

a

(1 punto)

b) Para a = 2 calcula razonadamente A−1

y comprueba el resultado. (1 punto)

c) Para a = 0 calcula razonadamente el valor de los determinantes |A−1

| y |2A|. (0,5 puntos)

Solución: a) No tiene inversa para a=4/3 ni para a=1 b) 1

0 2 11

2 4 12

0 2 0

A

c) 1/4 y 32

27. (Castilla La Mancha Septiembre 2017) 3B. Dadas las matrices 0 1 1 1 0 1 1 1 0

1 0 0 , 0 1 0 0 3 0

0 0 1 1 1 0 1 0 1

A B y C

a) Calcula razonadamente A−1

. (1 punto)

b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que A · X + B = C 2

. (1,5 puntos)

Solución: a) 1

0 1 0

1 0 1

0 0 1

A

b) 0 10 0

5 6 2

3 2 1

X

28. (Castilla La Mancha Junio 2017) 3B. Dadas las matrices

2 1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 0 , 2 1 0 0 3 0

1 2 1 1 0 0 1 0 1

A B y C

a) ¿Tiene inversa la matriz 2I3+B? Razona la respuesta. I3 es la matriz identidad de orden 3. (1 punto)

b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que 2X + C = A − X · B. (1,5 puntos)

Solución: a) Si b) 4 0 2

10 3 5

4 2 2

X

29. (Castilla-León Julio 2019) Opción B E1.- Dadas las matrices

01 0 1 1 1

, 11 1 0 1 2

1

x

A M y y N

x y

, calcular los valores de 𝑥 e 𝑦, para que el producto

𝐴M sea igual a la inversa de la matriz 𝑁. (2 puntos)

Solución: x = 3 e y = 4

30. (Castilla-León Junio 2019) Opción B E1.- a) Encontrar los valores de 𝑘 para que la matriz

1 2 2

0 2 1

1 0 1

k

A k

sea invertible. (1 punto)

b) Encontrar la inversa de 𝐴 para 𝑘=2. (1 punto)

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

1+2. Matrices y determinantes 40

Solución: a) 0 1k y k . b) 1

0 1 1

1/ 2 3 / 2 1/ 2

0 1 0

A

31. (Castilla-León septiembre 2017) Opción A E1.- a) Sea 1 2

3M

a

. Estudiar, en función del

parámetro a, cuando M posee inversa. (0,5 puntos)

b) Siendo 1 2

3 7A

, calcular 2 1A y A

. (1,75 puntos)

Solución: a) Para cualquier valor de a distinto de 6 existe la inversa de la matriz M.

b) 2

7 16

24 55A

17 2

3 1A

32. (Castilla-León junio 2017) Opción A E1.- Sean 1 4

1 3A

y

1 1

1 1B

.

a) Estudiar si A y B tienen inversa y calcularla cuando sea posible. (1 punto)

b) Determinar X tal que 2AX B I siendo 1 0

0 1I

(1,25 puntos)

Solución: a) La matriz A tiene inversa. 13 4

1 1A

La matriz B no tiene inversa. b)

1 6

1 1X

33. (Cataluña Septiembre 2019) Serie 5. 3. Dadas las matrices 2 1

6 3A

y

1 1

2 2B

.

a) Calcula A · B y B · A. [1 punto]

b) Justifica que si el producto de dos matrices cuadradas no nulas tiene como resultado la matriz nula,

entonces el determinante de alguna de las dos matrices ha de ser cero. [1 punto]

Solución: a) 0 0

·0 0

A B

4 2·

8 4B A

34. (Cataluña Junio 2019) Serie 1. 5. Sea la matriz 1

0

aM

a

, donde a es un parámetro real.

a) Calcula para qué valores del parámetro a se satisface la igualdad 2 2 0M M I , donde I es la

matriz identidad y = es la matriz nula, ambas de orden 2.

b) A partir de la igualdad del apartado anterior, encuentra una expresión general para calcular la

matriz inversa de M y, a continuación, calcula la inversa de M para el caso de 2a .

Solución: a) 2a b) 1

20

1 2

2 2 1

2 2

M M I

35. (Cataluña Junio 2017) Considereu la matriu

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

1+2. Matrices y determinantes 41

0 1 0

0 0 1

1 0 0

A

a) Calculeu les potències A2, A

3 i A

6.

b) Calculeu la inversa de la matriu A5.

Solución: 2 3 6

0 0 1

1 0 0

0 1 0

, A AId IdA

36. (Cataluña Junio 2017) Considereu les matrius quadrades d’ordre 2 de la forma

2

1

1

xM

y x

, amb x i y nombres reals.

a) Comproveu que la matriu M és sempre invertible, independentment dels valors de x i de y.

b) Per a x=1 i y=–1, calculeu M–1

.

Solución b) 11 11

2 13M

37. (Extremadura Julio 2019) OPCIÓN A 1. Dadas las siguientes matrices A e I, pruebe que la

inversa de A es 1 2 3 3A A A I

1 1 1 1 0 0

0 1 1 , 0 1 0

0 0 1 0 0 1

A I

(2 puntos)

Solución: Demuestro que 3 23 3I A A A

38. (Extremadura Junio 2019) OPCIÓN B 1. Dada la matriz

3 1 1

1

0 1

A

a) Halle los valores de para que la matriz A tenga inversa. (1 punto)

b) Halle, si existe, la inversa de la matriz para 1 . (1 punto)

Solución: a) 3

12

y b) 1

0 1 1

1/ 2 3 / 2 1

1/ 2 3 / 2 2

A

39. (Extremadura Julio 2018) A.1. Sea la matriz A que depende del parámetro a ∈ R

0 1 1

0

2 0

A a a

a

.

(a) Determine el rango de la matriz A según los valores del parámetro a. (1,5 puntos)

(b) Para a = 1 resuelva, si existe solución, la ecuación matricial

1

1

1

x

A y

z

. (1 punto)

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

1+2. Matrices y determinantes 42

Solución a) Si a=0 o a=2 el rango es 2. Si a es distinto de 0 y 2 el rango es 3 b)

1

1

2

x

y

z

40. (Extremadura Junio 2018) A.1. Considere las matrices

2 2 0 1 0 1

2 1 2 , 0 1 0

0 2 2 1 0 1

A B

.

a) Calcule la matriz C = –3A + B2.

b) Halle la inversa A–1

de la matriz A.

Solución a)

6 6 2

6 2 6

2 6 6

C

b) 1

3 / 2 1 1

1 1 1

1 1 1/ 2

A

41. (Extremadura Julio 2017) A.1.

(a) Calcule el determinante de la matriz

1 0 1

0 1 0

2 0 1

A

(0,5 puntos)

(b) Obtenga el determinante de la matriz B =1/3A4 sin calcular previamente B. (0,5 puntos)

(c) Calcule la matriz inversa de A. (1,5 puntos)

Solución a) 3 b) 3 c) 1

1 0 11

0 3 03

2 0 1

A

42. (Extremadura Junio 2017) B.1. Considere las matrices

1 0

, 1 2 , , 0 .1 0

xA B X

y

a) Obtenga la matriz A·B y calcule su rango.

b) Clasifique y resuelva el sistema de ecuaciones A·B·X = 0

Solución: a) 1 2

·1 2

A B

su rango es 1 .b) 2y

Xy

y∈ R

43. (Galicia Julio 2019) Opción A 1. Da respuesta a los apartados siguientes:

a) Despeja X en la ecuación XA B C , sabiendo que A es una matriz invertible.

b) Calcula X tal que XA B C si

1 0 0 12 1

0 1 1 03 4

1 2 2 1

A B C

Solución: a) 1X C B A b)

7 31

7 35

7 3

X

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

1+2. Matrices y determinantes 43

44. (Galicia Junio 2019) Opción A 1. Da respuesta a los siguientes apartados:

a) Suponiendo que A y X son matrices cuadradas y que A + I es invertible despeja X en la ecuación

A X AX

b) Si 0 1

1 3A

calcula X tal que A X AX .

Solución: a) 1

X A I A

b) 1 11

1 45X

45. (Galicia septiembre 2017) A.1. Dadas as matrices

1 01 1 3

1 ,3 1 1

1 1

A k B

,

a) Determina, según do os valores de 𝑘, o rango das matrices 𝐴B e 𝐵A.

b) Para o valor 𝑘 = 0, determina as matrices 𝑋 que verifican

0

0

0

ABX

.

Solución: a) Rango de AB es 2 y Rango de BA es 1 para k=-2 y 2 para k≠-2 b) 4 ;

a

X a a

a

46. (Galicia junio 2017) A.1. Dada a matriz

1 1 1

1 1 1A

a) Determina, segundo os valores de 𝜆, o rango da matriz 𝐴𝐴𝑡 − 𝜆I, sendo 𝐴𝑡 a matriz trasposta de 𝐴 e 𝐼

a matriz unidade de orde 2.

b) Determina a matriz x

Xy

que verifica a ecuación matricial 𝐴𝐴𝑡X = 6X.

Solución: a) si 𝜆=0 o 𝜆=6 el rango es 1 y si toma un valor distinto de 0 y 6 el rango es 2

b) ,a

X aa

47. (La Rioja Julio 2019) Propuesta A y B 4.- (3 puntos) Sea a un parámetro real cualquiera.

Considere la matriz:

1 0 0

0 0

0 2 1

A a

a a

.

(I) Determina para qué valores del parámetro a existe la inversa de la matriz A.

(II) Halla la inversa de la matriz A, cuando exista.

(III) Para 1a y las matrices

3 1 1 2 3 3 1 2, ,

5 2 1 2 3 0 0 0B C D

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

1+2. Matrices y determinantes 44

resuelve el sistema

1

3

BXA Y

Y C D

Solución: (I) Para todo valor de a distinto de 0 y 0,5. (II) 1

1 0 0

10 0

1 10

2 1 2 1

Aa

a a

(III) 9 15 15

21 39 42X

e

6 3 3

3 6 9Y

48. (La Rioja Junio 2019) Propuesta A y B 4.- (3 puntos) Sea a un parámetro real cualquiera.

Considere la matriz:

1 1

1 1

1 1

a

A a

a

.

(I) Determina para qué valores del parámetro a existe la inversa de la matriz A.

Sea el sistema de ecuaciones

1

1

1

x

A y

z

(I) Discute el sistema de ecuaciones para los distintos valores del parámetro a.

(II) Resuelve el sistema de ecuaciones cuando sea compatible.

Solución: (I) Existe la inversa de A para cualquier valor de a distinto de 1 y –2.

(I) Si 1 2a y a el sistema es compatible determinado, si 1a es compatible indeterminado y

si 2a es incompatible

(II) Para 1a la solución es x=1–y–z; y = y ; z = z. Para 1 2a y a la solución es

1

2x y z

a

49. (Madrid Julio 2019) Ejercicio 1 : Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas las matrices: 1 1

1 1

aA

a

,

1 0

0 1I

, se pide:

a) (1 punto) Calcular para qué valores a ∈ R se verifica 2 2A I A .

b) (0.75 puntos) Calcular los números reales a para los que la matriz A admite inversa y calcularla,

cuando sea posible, en función del parámetro a.

c) (0.75 puntos) Calcular, en función de a, el determinante de la matriz 2

tAA , donde At denota la

matriz traspuesta de A.

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1+2. Matrices y determinantes 45

Solución: a) 1 o 1a a b) a distinto de 0, 2 2

1

2 2

1 1

1 1

a

a aA

a

a a

c) 8a

50. (Madrid Junio 2019) Ejercicio 1 : Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas la matrices

1 3 4 1

1 2 2

1 2 2

A a a

a a

y

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1

M

; se pide:

a) (1.5 puntos) Estudiar el rango de A en función del parámetro real a.

b) (1 punto) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz AM para el caso a = 0.

Solución: a) a ≠ 1 y a ≠ –2. Rango de A es 3. a = 1 o . a = –2 el rango de A es 2.

b) 1

2 4 3

0 1/ 2 1/ 2

1 5 / 2 3 / 2

AM

51. (Madrid julio 2018) Ejercicio 1. Dadas las matrices

14 0 10 2

0 7 5 , , 37 / 2

3 4 5 11

x

A X y B

z

, se pide:

a) (1.25 puntos) Discutir el rango de la matriz A, en función de los valores del parámetro α.

b) (0.75 puntos) Para α = 0, calcular, si es posible, A−1

.

c) (0.5 puntos) Resolver, si es posible, el sistema AX = B, en el caso α = 1.

Solución: a) Si ∝=1 el rango es 2 y si ∝≠1 el rango es 3 b)

20 40 701

15 30 70490

21 56 98

A

c) El sistema es compatible indeterminado y las soluciones son 1 5 37 5

; ;7 7 14 7

x z y z z z

52. (Madrid junio 2018) B.1. Dadas las matrices

0 2 2

2 4 0

0 1 1 0

m

A m y B

, se pide:

a) (1 punto) Obtener los valores del parámetro m para los que la matriz A admite inversa.

b) (1 punto) Para m = 0, calcular A · B y A−1

· B.

c) (0.5 puntos) Calcular B · Bt y B

t · B, donde B

t denota la matriz traspuesta de B.

Solución: a) Si m≠2 tiene inversa b) 1

0 2

· 4 · 1

0 1

A B y A B

c) 4 4 · · t tB B y B B

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1+2. Matrices y determinantes 46

53. (Navarra Julio 2019) Opción B. B1) Calcula los valores del parámetro t para que se cumpla la

condición ·A B A B , siendo A y B las siguientes matrices:

0 0 1

0

1 1 1

t

A t t

t t

y

0 0

1 1

1 1 1

t

B t t t

t t

(2 puntos)

Solución: 1; 0 1t t o t

54. (Navarra Junio 2019) Opción B B1) Resuelve la ecuación matricial 35 25·X A A teniendo en

cuenta que A es la siguiente matriz:

1 1

1 0A

(2 puntos)

Solución: 1 1

1 0X A

55. (País vasco julio 2018) A.1. Calcula el rango de la siguiente matriz según el valor de a:

1 1 1 1

0 0 2

0 2 0

a

A a

a

Solución: El rango siempre es 3

56. (País vasco junio 2018) A.1. Calcula el rango de la siguiente matriz según el valor de a:

1 0 4 2

0 4 0

1 3 2

A a

a

Solución: Si a es –6 o 2 el rango es 2 y si a es distinto de esos valores es 3

57. (Valencia Julio 2019) Problema B.1. Se dan las matrices 1 4

1 6A

y

xX

y

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de α para los que la ecuación matricial AX X solo admite una solución. (4 puntos)

b) Todas las soluciones de la ecuación matricial 5AX X . (3 puntos)

c) Comprobar que 4

1X

es una solución de la ecuación matricial 2AX X y, sin calcular la

matriz A100

obtener el valor β tal que 100

4 4

1 1A

. (3 puntos)

Solución: a) 2 5y b) x

Xx

c) β es 2100

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1+2. Matrices y determinantes 47

58. (Valencia Junio 2019) Problema A.1. Se dan la matriz

1 0

2 1 2

3 1

a

A a

a a

, que depende del

parámetro real a, y una matriz B de orden 3 tal que 2 12

3B I B , siendo I la matriz identidad de

orden 3.

Obtener razonadamente, escribiendo los pasos del razonamiento utilizado:

a) El rango de la matriz A en función del parámetro a y el determinante de la matriz 12A cuando

1a . (2+2 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema de ecuaciones

1

2

0

x

A y

z

cuando –1a (3 puntos)

c) La comprobación de que B es invertible, encontrando m y n tales que 1B mB nI

(3 puntos)

Solución: a) a≠–1 rango es 3, a=–1 el rango es 2 b) 4 3

La solución es 1, ,2

tx t y z t

c) m=3, n=6

59. (Valencia Julio 2018) B.1. Resolver los siguientes apartados, escribiendo todos los pasos del

razonamiento utilizado:

a) Dadas A y B, matrices cuadradas del mismo orden tales que A B = A y B A = B, deducir

que A2 = A y B

2 = B. (4 puntos)

b) Dada la matriz 1 0

0 0A

se pide encontrar los parámetros a, b para que la matriz

0

1

aB

b

cumpla que B2 = B pero A B A y B A B (2 puntos)

c) Sabiendo que

1 0

2 1 3

3 2

x

y

z

, obtener razonadamente el valor de los determinantes

2 1 0 1 1 0

2 2 1 1 2 1

2 3 2 1 3 2

x x

y y y

z z

(4 puntos)

Solución: b) a = 0 y b = 1. c) 6 y 3

60. (Valencia Junio 2018) B.1. Sea A una matriz cuadrada tal que A2 + 2 A = 3I, donde I es la

matriz identidad. Calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento

utilizado:

a) Los valores de a y b para los cuales A-1

= a A + b I. (3 puntos)

b) Los valores de y para los cuales A4 = A + I. (4 puntos)

c) El determinante de la matriz 2 B-1

, sabiendo que B es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo

determinantes es 2. (3 puntos)

Solución: a) a=1/3 y b=2/3 b) α = – 20 y β = 21 c) |2 B-1| = 1

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1+2. Matrices y determinantes 48

61. (Valencia Julio 2017) B.1. Se consideran las matrices

0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

A e I

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La justificación de que A tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa A-1

. (2+2 puntos)

b) La justificación de que A4 = I. (2 puntos)

c) El cálculo de las matrices A7, A

30 y A

100. (4 puntos)

Solución: a) 1

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A

c) Por tanto, A7 = A

-1, A

30 = A

2=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

y A100

=Id

62. (Valencia Junio 2017) B.1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del

razonamiento utilizado:

a) La comprobación de que C2 = 2 C – I, siendo

5 4 2

2 1 1

4 4 1

C

e I la matriz identidad de orden 3.

(2,5 puntos)

Y el valor de la matriz C4. (2,5 puntos)

b) El valor del determinante de la matriz 1

4 23 4A A

, sabiendo que A es una matriz cuadrada de

cuatro columnas cuyo determinante vale – 1. (3 puntos)

c) La matriz B que admite inversa y que verifica la igualdad B· B = B. (2 puntos)

Solución: a) 4

17 16 8

8 7 4

16 16 7

C

b) 81/25 6 c) B=I

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 49

Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales

¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 50

1. Definiciones, tipos de sistemas y distintas formas de expresarlos

1.1. Definición, sistemas equivalentes

Se llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto formado por m ecuaciones con n incógnitas.

11 1 12 2 1 1

21 2 22 2 2 2

1 2

1 1 2 2

· · · 1

· · · 2, ,....,

· ·

Sien

·

do

n n

ij

n n

n

i

m m mn n m

a x a x a x ba coeficientes del sistema

a x a x a x bx x x incógnitas

b términos independientesa x a x a x b m

Ejemplos:

1.

3 4 5 13 1

2 3 2 2 3 3

3 3

x y z

x y ecuaciones y incógnitas

x y z

2.

2 3 6 12 3

0 2

x y tecuaciones y incógnitas

x t

Resolver un sistema es obtener todas sus posibles soluciones. Debiendo ser solución de todas las ecuaciones.

Ejemplos:

1. La solución es 1; 0; 2x y z

2. Las soluciones son ; 2 –x t y t

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Forma de obtener sistemas equivalentes:

1) Sumar una constante a ambos miembros de la igualdad de una o varias ecuaciones

1 10 1 10 10 11

3 3 3 3 3 3

x y x y x y

x y x y x y

2) Multiplicar por una constante, distinta de cero, a ambos lados de la igualdad de una o varias ecuaciones

3 11 3 3 3

3 3 3 33 3

x yx y x y

x y x yx y

3) Sustituir una ecuación por una combinación lineal de la misma con las restantes

ecuaciones

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 51

11 1

2 1 3 33 3 1

x yx y x y

x y x yx y x y

4) Añadir o quitar ecuaciones que sean combinación lineal de las restantes ecuaciones:

1 11

3 3 3 33 3

12 1 3 3

x y x yx y

x y x yx y

x yx y x y

1.2. Tipos de sistemas de ecuaciones. Existen dos criterios para clasificar los sistemas de ecuaciones lineales:

Los sistemas se pueden clasificar según el valor de los términos independientes: - Homogéneos: todos los términos independientes son nulos. - No homogéneos: algún término independiente es diferente de cero.

Ejemplos:

0

3 2

5 0

3 0

x yNo homogéneo

x y

x yHomogéneo

x y

Los sistemas se pueden clasificar según el número de soluciones: - Compatibles: tienen solución Compatibles Determinados: tienen una única solución Compatibles Indeterminados: tienen infinitas soluciones - Incompatibles: no tienen solución.

Ejemplos:

)

Tiene una unica s2 3

2 3olución: 1; 1

x y

x y

a

x y

)

Tiene infinitas0

3 soluciones:

0

3

x y

x y

b

x y

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 52

)

No tiene solu0

2ción

x y

x y

c

1.3. Expresión de sistemas en forma matricial Una manera más cómoda y útil de trabajar con los sistemas de ecuaciones lineales es de forma matricial.

11 1 12 2 1 1

21 2 22 2 2 2

1 1 2 2

· · ·

· · ·

· · ·

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

de forma matricial se puede expresar como:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

. .

. .·

. . . . .

. .

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

Asignando a cada matriz una letra:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

. .

. .A = X= B

. . . . .

. .

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

El sistema queda: AX B

La matriz A es la matriz de los coeficientes.

La matriz ampliada es la matriz que resulta de añadirle a la matriz de los coeficientes una columna con los términos independientes:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

. .

. .Matriz ampliada=

. . . .

. .

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

Ejemplo:

2 3 2

2 0

1

x y z

x y z

x y z

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 53

2 1 3 2 2 1 3 2

1 2 1 0 1 2 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

La expresión matricial del sistema es:

2 1 3 2

, es decir, 1 2 1 · 0

1 1 1 1

x

A X y B Ampliada

z

x

AX B y

z

2. Sistemas de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es de Cramer si cumple las siguientes condiciones:

- Mismo número de ecuaciones que de incógnitas n=m

- El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero |A|≠0 Los sistemas de Cramer son todos compatibles determinados (una sola solución).

Existen dos métodos de resolución de los sistemas de Cramer. Método 1: a partir de la matriz inversa.

El sistema de Cramer se puede escribir en forma matricial como AX=B, y tal que A tiene

inversa al ser una matriz cuadrada con determinante distinto de cero. Así podemos expresar las soluciones como:

X=A-1·B Ejemplo:

3

0 3 = 3 . 3 0 El sistema es de Cr

1

ame

1 1

1 1 0

0 1

r

1 0

x y z

x y ecuaciones incógnitas

x z

A

1

1 1 1 1 1 11

1 1 0 1 2 13

1 0 1 1 1 2

A A

1 1 1 3 3 11 1

1 2 1 · 0 3 1 La soluci· ón es 3 3

1 1 2 0 3 1

1x y z

1X A B

Método 2: por fórmula En este método no tendremos que calcular la matriz inversa, sino tantos determinantes como incógnitas. Ejemplo:

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 54

En el ejemplo anterior:

1 12 13 11 1 13 11 12 1

2 22 23 21 2 23 21 22 2

3 32 33 31 3 33 31 32 3

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21

31 32 33 31 32 33

1 1 1

1 1 0

1 0

3

0 3 0; la fórmula es

1

:

0

A

b a a a b a a a b

b a a a b a a a b

b a a a b a a a b

a a a a a a a a a

a a a a a a a

a

x y z

x

a a a a

y

x z

x y z

a

22 23

31 32 33

3

3 1 1 1 3 1 1 1 3

0 1 0 1 0 0 1 1 0

0 3 31 1 1

3

0 1 1 0 1 1 0

3 3

0

3 3 3

a a

y z

a a a

x

Ejercicio 1: Resuelve el sistema con el método de Cramer, si es posible.

3 5

2 4

5 4 8

x y z

x y z

x z

3. Teorema de Rouchè-Fröbenius. Discusión de un sistema

Sea un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas, el sistema es compatible (tiene soluciones) si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada

 Sistema compatible rang A rang Ampliada

Según la relación entre el rango y el número de incógnitas tenemos que el sistema será compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Veámoslo en la siguiente tabla resumen:

Rang(A) ≠ Rang(Am) El sistema no tiene solución

Rang(A) = Rang(Am) El sistema tiene solución, pero hay dos opciones:

Rang(A) = Rang(Am) = nº incógnitas El sistema tiene una solución única

Rang(A) = Rang(Am) < nº incógnitas El sistema tiene infinitas soluciones

4. Resolución general de sistemas de ecuaciones lineales por

Cramer.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 55

Hemos resuelto sistemas con igual número de incógnitas que de ecuaciones cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero (método de Cramer). Vamos a ser más genéricos, resolviendo por Cramer todo tipo de sistema compatible; es decir sistemas en los que rang(A) = rang(Am) tanto si son compatibles determinados como indeterminados.

4.1. Sistemas compatibles determinados Para que un sistema sea compatible determinado es necesario que el número de ecuaciones sea mayor o igual que el de incógnitas, y que se cumpla que rang(A)=rang(Am)=número de incógnitas. De esta forma hay ecuaciones sobrantes y podemos eliminarlas. Es importante comprobar que las ecuaciones que no se eliminan sean independientes, lo cual se comprueba viendo que el rango del nuevo sistema continúe siendo el mismo. El nuevo sistema se puede resolver por Cramer. Ejemplo:

7

2 7

7 2 14

x y

x y

x y

El sistema no es de Cramer, número de incógnitas ≠ número de

ecuaciones

Pero estudiemos si es compatible o no, utilizando los rangos:

1 11 1

2 1 El menor 1 2 3 0 El rango de A es 22 1

7 2

A

1 1 7 1 1 7

2 1 7 El menor de orden 3 2 1 7 0 El rango de Am es 2

7 2 14 7 2 14

Am

Luego rang(A) = rang(Am) = 2 = número de incógnitas El sistema es compatible

Como el rango es 2, tenemos sólo 2 ecuaciones linealmente independientes, de forma que podemos eliminar una de las 3 ecuaciones, el rango del sistema continua siendo 2. Vamos a quitar la tercera ecuación pues, cuando calculamos el rango de A comprobamos que, para los coeficientes de las dos primeras ecuaciones, el determinante es distinto de cero.

7

2 7

x y

x y

Este nuevo sistema, equivalente al anterior, es de Cramer, ya que

cumple que Rang(A) = rang(Am) = número de ecuaciones = número de incógnitas = 2

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 56

Resolviendo por Cramer:

La solución es

7 1 1 7

7 1 2 70 210 7

3 3 3 3x y

Ejercicio 2: Resuelve el sistema con el método de Cramer si es posible.

3 5

2

5 3 7

x y

x y

x y

4.2. Sistemas compatibles indeterminados

Sea un sistema con m ecuaciones y n incógnitas, tal que rang(A) = rang(Am) = r < n, entonces el sistema es compatible indeterminado. Tenemos que buscar un sistema equivalente con r ecuaciones y r incógnitas:

1. Tomamos r ecuaciones independientes (rango del sistema es r) 2. Pasamos n-r incógnitas a la derecha de la igualdad y las tratamos como parte del

término independiente. 3. El sistema se resuelve por Cramer, dependiendo la solución de esos parámetros.

Ejemplo:

3

2 0

4 6

1 1 1 1 1 1 3

1 1 2 1 1 2 0

1 1 4 1 1 4 6

x y z

x y z

x y z

A Am

Si calculamos los rangos se cumple que rang(A) = rang(Am) = 2. Luego el sistema es compatible indeterminado con un parámetro. Como no observamos que ninguna ecuación sea igual o proporcional a otra, tomaremos la z como parámetro y las 2 primeras ecuaciones como independientes entre sí:

3

2

x y z

x y z

1 1´

1 1A

por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes no será 2,

tenemos que o bien coger la otra ecuación o cambiar de parámetro. Cambiaremos de parámetro tomando la y:

3

2

x z y

x z y

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 57

1 1´´

1 2A

1 1´́ 2 1 3 0

1 2A

El rango de la matriz de los

coeficientes es 2 = número de incógnitas = número de ecuaciones. El sistema es de Cramer y podemos dar sus soluciones:

3 1

2 6 2 6 32

3 3 3

1 3

1 3 31

3 3 3

y

y y y yx y

y

y y yz

y y

5. Resolución de sistemas homogéneos.

Recordemos que los sistemas homogéneos son los que tienen todos sus términos independientes nulos.

11 1 12 2 1

21 2 22 2 2

1 1 2 2

· · · 0 1

· · · 0 2

· · · 0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x m

Una de las características más relevantes es que todo sistema homogéneo es compatible, ya que la última columna de la matriz ampliada es nula, con lo que siempre rang(A) = rang(Am). Además, es fácil ver que todo sistema homogéneo tiene como solución la denominada solución trivial x1 = x2 = … = xn = 0.

Para discutir y obtener la solución del de un sistema homogéneo tenemos el siguiente esquema rang(A) = rang(Am) = r con n incógnitas:

• Si r = n, compatible determinado. La única solución la solución trivial. • Si r < n, compatible indeterminado.

Ejemplos: 1. Estudiar el número de soluciones del siguiente sistema en función de m, resolver

cuando sea posible.

0

0

2 ( 1) 2 0

x y z

x my mz

x m y z

Solución:

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 58

Obtengamos la matriz de coeficientes asociada al sistema y estudiemos su rango.

0 1 1 1

0 1

2 ( 1) 2 0 2 1 2

x y z

x my mz A m m

x m y z m

Veamos el rango de A en función de m:

2 2 1A m m

Igualando a 0 el determinante:

2

2 2 2 4·( 1)·( 1) 2 02 1 0 1

2( 1) 2A m m m

Según el valor de m el sistema de ecuaciones puede ser de las 2 formas siguientes:

a) Si m=1 |A|=0 y

1 1 1

1 1 1

2 2 2

A

rang (A)=1, sistema compatible

indeterminado b) Si m≠1 |A|≠0 y rang(A) = 3, sistema compatible determinado.

Resolvamos el sistema en cada caso de los estudiados. a) Veamos las soluciones si m=1 (compatible indeterminado):

0

0 0

2 2 2 0

x y z x x

x y z x y z z x y y y

x y z z x y

b) Veamos las soluciones si m≠1 (compatible determinado): La única solución es la trivial x = y = z = 0

2. Se considera el sistema

2

1

2

2

x y z

y z a

x z a

donde a es un parámetro real

a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1

Solución:

a) Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema del problema:

22

1 1 1 1 1 1 1 1

2 0 1 1 ; 0 1 1 2

1 0 2 1 0 22

x y z

y z a A Am a

ax z a

Determinemos el rango de ambas.

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 59

Rango de A:

1 1 1

0 1 1 2 1 0 1 0 0 0; El rango de A < 3

1 0 2

1 11 0; El rango de A es 2

0 1

Independientemente del valor de a.

Rango de Matriz ampliada Am: Cambiamos la columna tercera por la de los términos independientes y veamos si se

anula el determinante: 2 2

2

1 1 1

0 1 2 2 0 1 0 0 2 1

1 0

a a a a a

a

Si igualamos a 0 este determinante nos sale a=1. Hay dos situaciones diferentes, en función del valor de a:

a=1 Rango de A = Rango de Am = 2 < número de incógnitas. El sistema tiene infinitas soluciones (dependientes de un parámetro)

a≠1 Rango de Am=3 distinto del rango de A=2. Sistema sin solución.

b) Para a = 0 el sistema es sin solución según lo visto en el apartado anterior. c) Para a=1 el sistema es con infinitas soluciones. Las determinamos:

1

2 Quitamos la primera ecuación y nos quedamos con el sistema:

2 1

22

La solución es 1 22 1

x y z

y z

x z

y zy z

x zx z

z z

3. Sea a un parámetro real. Se considera el sistema

2

(1 ) 2 1

1

x ay z a

a x y z

ax y z a

a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para a = 0. c) Resolver el sistema para a = 1.

Solución:

a) Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema del problema:

2 1 1 1 1 2

(1 ) 2 1 1 1 2 ; 1 1 2 1

1 1 1 1 1 1

x ay z a a a a

a x y z A a Am a

ax y z a a a a

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 60

Determinemos el rango de ambas.

Rango de A:

2 2 2

1 1

1 1 2 1 2 1 2 0 ( 1) 0;

1 1

a

a a a a a a a a a a

a

El determinante de A es 0 cuando 0a y cuando –1a Hay tres situaciones diferentes, en función del valor de a:

0a

1 0 1

0; 1 1 2

0 1 1

A A

Rango de A=2 ya que 1 0

1 01 1

1 0 1 2

1 1 2 1

0 1 1 1

Am

Probamos el menor de orden 3 que resulta de quitar la

3ª columna

1 0 2

1 1 1 1 0 2 0 0 1 0

0 1 1

Rango de Am=2

Rango de A = Rango de Am = 2 < 3 = número de incógnitas El sistema tiene infinitas soluciones.

–1a

1 1 1

0; 2 1 2

1 1 1

A A

Rango de A=2 ya que 1 1

3 02 1

1 1 1 1

2 1 2 1

1 1 1 2

Am

Como la 3ª columna y la 1ª son iguales, probamos el

menor de orden 3 que resulta de quitar la 1ª columna

1 1 1

1 2 1 4 1 1 2 2 1 7 0

1 1 2

Rango de Am=3 Rango de Am=3

Rango de A ≠ Rango de Am. El sistema no tiene solución.

0 –1a y a Rango de A = Rango de Am = número de incógnitas = 3.

El sistema tiene una única solución.

b) Para 0a Rango de A = Rango de Am = 2 < 3 = número de incógnitas, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones. Debemos eliminar una ecuación y la solución dependerá de un parámetro.

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 61

2

2 1 quitamos la ecuación 2ª que es 1ª - 3ª y queda:

1

22

Despejando la z la solución es 11

x z

x y z

y z

x zx z

y zy z

z z

c) Para 1a el sistema tiene una única solución.

El sistema queda

3

2 1

0

x y z

y z

x y z

1 1 1 1 1 1 3

0 1 2 ; 0 1 2 1

1 1 1 1 1 1 0

A Am

Resolviendo por Cramer:

3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 1 2 0 1 2 0 1 1

0 1 1 1 0 1 1 1 03 1 1 6 3 1 6 1 1 3 1 12

1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2

0 1 2

1 1 1

x y z

4. Discútase, en función del parámetro real k, el siguiente sistema de ecuaciones

lineales. Resolver cuando sea posible.

3 0

3 2

3 0

kx y

x y k

x ky

Solución:

Dado el sistema planteado

3 0

3 2

3 0

kx y

x y k

x ky

sus matrices asociadas son:

3 3 0

3 2 ; 3 2

3 3 0

k k

A Am k

k k

Estudiemos el rango de Am que puede ser 3 y el de A solo

puede llegar a ser 2.

3 2

2 2

3 00

3 2 9 0 9 09 0 9 3

3 0

kk

k k k k kk k k

k

Estudiemos por separado cada uno de los cuatro casos posibles:

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 62

0k El sistema queda

3 00

3 2 00

3 0

yy

x yx

x

El sistema tiene una única

solución: 0x y

3k El sistema queda

3 3 0

3 2 3

3 3 0

x y

x y

x y

La ecuación 1ª y 3ª son iguales, podemos

suprimir la 1ª ecuación y el sistema queda 3 3 0

3 2 3

x y

x y

Lo podemos resolver

utilizando reducción:

3 3 0

3 2 3 3 3·( 3) 0 3 9 3

3

x y

x y x x x

y

El sistema tiene una única solución 3; 3x y

3k El sistema queda

3 3 0

3 2 3

3 3 0

x y

x y

x y

La ecuación 1ª y 3ª son iguales,

podemos suprimir la 1ª ecuación y el sistema queda 3 3 0

3 2 3

x y

x y

Lo podemos

resolver utilizando sustitución:

3 3 3 35 3

3 2 3 3 2 3 3 2 3 5 5

x y x y x yy y x

x y x y y y

El sistema tiene una única solución ; 3 3

5 5x y

0; 3; 3k k k 0Am El rango de Am es 3 y como el rango de A es 2 o

menos, entonces el sistema no tiene solución.

5. Dado el sistema:

1 2 1 1

1 1 2

a x y a z a

a y a z

x y az a

a) Estudia su compatibilidad en función de los valores de a.

b) Resuélvelo cuando a = 0

Solución:

Vamos a resolverlo de dos formas distintas:

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 63

PRIMER MÉTODO (Gauss) Triangulando la matriz

1 2 1 1

1 1 2 La matriz asociada al sistema de ecuaciones es

1 2 1 1 1 1

0 1 1 2 Cambio fila 1ª por fila 3ª 0 1 1 2

1 1 1 2 1 1

Fila 3ª la cambio p

a x y a z a

a y a z

x y az a

a a a a a

a a a a

a a a a a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 3

or Fila 3ª - (a+1) · Fila 1ª

1 2 1 1

1 1

0 1 1 1

1 1

0 1 1 2

0 1 1 1

Fila 3ª la cambio por (a-1) · Fila2ª + (a+1) · Fila3ª

0 1 1 2 2

0 1

a a a

a a a a a a

a a a

a a

a a

a a a

a a a

a a a

2 2 3

3 3 2

3 3 2

1 1

0 0 2 3 1

1 1

0 1 1 2

0 0 2 3 1

a a a a

a a a a a

a a

a a

a a a a a

Una vez obtenida la matriz equivalente triangular, igualamos los elementos de la diagonal a 0:

a+1=0 a= –1

3

2

2

1 0 1 2

2 0 Resolviendo por Ruffini 1 1 1 2 una de las raices es 1

1 1 2 0

y resolviendo la ecuación de 2º grado del cociente a 2 0 obtenemos

1 1 4( 1)( 2)4 1 7a= No tiene s

2 2 2

a a a

a

b b ac

a

olución

La única solución es a= 1

NOS PLANTEAMOS dos CASOS DISTINTOS:

CASO 1. a = –1

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 64

3 3 2

Haciendo a= 1 la matriz ampliada asociada al sistema queda:

1 2 1 1 0 2 2 0

0 1 1 2 0 0 0 2

0 0 2 3 1 0 0 0 4

El sistema de ecuaciones equivalente al inicial queda asi:

2 2 0

0

a a a

a a

a a a a a

y z

2 Este sistema es INCOMPATIBLE (las ecuaciones 2ª y 3ª son absurdas)

0 4

CASO 2. a ≠–1 El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, ya que ningún elemento de

la diagonal de la matriz equivalente es nulo y por tanto tiene una única solución.

3 3 2

1 2 1 1

0 1 1 2

0 0 2 3 1

a a a

a a

a a a a a

SEGUNDO MÉTODO (Rouché - Frobenius) con el uso de los rangos

Estudiamos los rangos de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada (Teorema de Rouché-

Frobenius) y los comparamos entre si y con el número de incógnitas (3).

Cálculo del RANGO de la matriz A o matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales:

1 2 1

0 1 1

1 1

a a

A a a

a

Para obtener el rango de esta matriz, estudiamos primero el valor de su

determinante:

3 2 2 2 3 2

1 2 1

0 1 1 ( 1)( 1) 2( 1) ( 1)·0·1 ( 1)( 1) 0 ( 1)( 1)

1 1

2 2 2 1 2 1 2

a a

A a a a a a a a a a a a

a

a a a a a a a a a

2a a 22 a 21 a 2a

3

1

2A a a

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 65

Para averiguar cuando se anula este determinante necesitamos usar Ruffini

3

2

2

1 0 1 2

2 0 1 1 1 2 una de las raices es 1

1 1 2 0

y resolviendo la ecuación de 2º grado del cociente a 2 0 obtenemos

4 1 1 4·1·2 1 7a= No tiene solución

2 2 2

La única solución es 1

a a a

a

b b ac

a

a

NOS PLANTEAMOS dos CASOS DISTINTOS:

CASO 1. a = – 1

El rango de la matriz de los coeficientes es 2

1 2 1 0 2 2

0 1 1 0 0 0 esta matriz tiene rango 2,

1 1 1 1 1

ya que hay un menor de orden 2 con determinante no nulo

0 22 0

1 1

RANGO DE A = 2

a a

A a a

a

El rango de la matriz ampliada en este caso 1 lo calculamos:

1 2 1 1 0 2 2 0

0 1 1 2 0 0 0 2 su rango es 3,

1 1 1 1 1 1

ya que puedo elegir el menor de orden 3

formado por las columnas 1ª, 2ª y 4ª con determinante no nulo:

0 2 0

0 0 2 0 4 0 (0 0 0) 4

1 1 1

a a a

a a

a a

RANGO DE LA MATRIZ AMPLIADA ES 3

Rango de la matriz de los coeficientes ≠ Rango de la matriz ampliada (2≠3) luego el

sistema es INCOMPATIBLE para a = –1

CASO 2. a≠ –1

En este caso no se anula el determinante de la matriz de los coeficientes, luego su

rango es 3.

El rango de la matriz ampliada como máximo puede ser 3, luego es también 3.

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 66

Rango de la matriz de los coeficientes = Rango de la matriz ampliada=Número de

incógnitas (3=3=3)

El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO para a ≠ –1

6. Discusión y resolución de sistemas por Gauss. El método de Gauss también nos permite discutir los sistemas en función de los distintos

valores del parámetro.

Apliquémoslo a un ejemplo:

1

1

1

x y az

x ay z

ax y z

Su matriz ampliada es

1 1 1

1 1 1

1 1 1

a

Am a

a

Vamos a transformarla hasta

conseguir una matriz triangular:

Fila 2ª - Fila 1ª Fila 3ª + Fila 2ª

Fila 3ª - a·Fila 1ª

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0

1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 1

a a a

a a a a a

a a a a a a a

El sistema equivalente queda:

2

1

( 1) (1 ) 0

(2 ) 1

x y az

a y a z

a a z a

Mirando la tercera ecuación los casos distintos aparecen al considerar cuando 22 0a a .

Resolviendo esta ecuación: 1 2a o a

Distinguimos tres casos:

Caso 1. 1 y 2a a . El sistema tendrá una única solución ya que se podrá hallar

el valor de z y después el de las otras incógnitas.

Caso 2. 1a El sistema queda:

1

0 0

0 0

x y z

El sistema tiene infinitas soluciones

1x y z

y y

z z

Caso 3. 2a El sistema queda:

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 67

2 1

3 3 0

0 3

x y z

y z

El sistema no tiene solución al aparecer una igualdad imposible

Ejercicios

1. Discute y resuelve en función del parámetro a y resuelve cuando sea posible:

2 3 4 1

4 6 2

10

x y z

x y az

x y az

Solución: Si a=8 el sistema tiene infinitas soluciones y si a es distinto de 8 el sistema

tiene una única solución. Para a=8 la solución es x=114-112z; y=-19+20z

2. Dado el sistema:

2

3 2 2

3 2

ax ay z

x y z a

ax y z

a. Estudia sus soluciones en función de a.

b. Resuelve para a=1

Solución: a) a=3 El sistema tiene infinitas soluciones; a=-3/2 no tiene solución y a

distinto de 3 y -3/2 el sistema tiene una única solución. b) x=1; y=2; z=3

3. Se considera el sistema de ecuaciones lineales

2 3

(1 ) 4

2 4

x y z

a y z

x y az

a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a=2.

Solución: a) Para a=1 o a=-1 el sistema no tiene solución y para un valor distinto tiene

una única solución b) x=0; y=1; z=1

4. Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales

2

1

4

kx y z

x ky z

x y kz k

.

a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. b) Resuélvase el sistema para k=2.

Solución: a) k= -2 el sistema no tiene solución; k=1 el sistema tiene infinitas soluciones

y si k es distinto de 1 y -2 el sistema tiene una única solución b) x=-3/4, y=1/4, z=9/4.

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 68

5. a) Discútase el sistema

2

2 0

3 ( 1) 1

x ay z

x y az

x a y z a

, en función del valor de a.

b) Para el valor a=1, hállese, si procede, la solución del sistema.

Solución: a) Si a=0 o a=1/2 el sistema no tiene solución y si a es distinto de 0 y

½ el sistema tiene una única solución b) 6, 10, 2x y z

6. Se considera el sistema de ecuaciones lineales

2 3 1

3 2

2 (2 ) 6 3

x y z

x ay z

x a y z

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible?

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado?

c) Resuélvase el sistema para a=0.

Solución: a) a=2 b) a≠2 c) 2 3 ; 1/ 2x z y

7. Se considera el sistema

1

1

x y z

x y z

x y z

a) Discútase según los valores del parámetro λ.

b) Resuélvase para 3 .

c) Resuélvase para 1 .

Solución: a) Para el sistema tiene infinitas soluciones y para valor distinto de 1 el sistema tiene una única solución.

8. Se considera el sistema

4

0

2 2 2

x y az

ax y z

x y z

, donde a es un parámetro real.

a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para a=1.

Solución: a) Si a=-0.5 el sistema no tiene solución; si a=1 el sistema tiene infinitas soluciones y para todo valor de a distinto de 1 y -0’5 tiene una única solución b)

; 2 ; 2x x y x z

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones 69

Ejercicios de sistemas de ecuaciones en pruebas EBAU de ESPAÑA Ejercicios de sistemas de ecuaciones aparecidos en las pruebas de acceso a la universidad en las distintas regiones españolas (con la solución)

1. (Andalucía Junio 2019) Opción B Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Dadas las matrices

2 1 2 1

1 1

1 1

m m

A m

m

,

x

X y

z

,

22 1

1

m

B m

considera el sistema de ecuaciones dado

por t tX A B , donde ,t tX B denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de m.

Solución: Si 1 2m y m tiene solución única. m =1 tiene infinitas soluciones. m =–2 no tiene solución.

2. (Andalucía Septiembre 2019) Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

2 0

2

3 2

x y z

m x y z m

x m y z m

a) Discute el sistema según los valores de “m”.

b) Resuelve el sistema, si es posible, para 0m .

Solución: a) Si 0 4m y m el sistema es compatible determinado. Si 0m es compatible

indeterminado y si 4m el sistema es incompatible. b) 3 ; 5 ;x t y t z t siendo t

3. (Andalucía Septiembre 2019) Ejercicio 3B.- Calcula en grados los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

Solución: 40, 60 y 80 grados.

4. (Andalucía Septiembre 2018) B.3 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2

x y mz m

y z m

x my z m

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m

b) Resuélvelo para m=1. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, halla una solución donde z=2.

Solución: a) para m distinto de 0 es compatible determinado y para m=0 el sistema es compatible indeterminado. B) x=0; y= 0; z=1. No es posible una solución con z=2

5. (Andalucía Junio 2018) A.3 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2 ( 3) 3

+ 3

2 4 3( 1) 8

x y m z

x y z m

x y m z

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m

b) Resuélvelo para m= -2.

Solución: a) para m distinto de 3 es compatible determinado; para m = 3 es incompatible

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 70

b) x = -73/5; y = 9; z = -2/5

6. (Aragón Septiembre 2019 ) Opción A.1.

a) (1,5 punto) Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde 𝑘 es un parámetro real:

2 1

0

2 2 1

x y kz

x y kz

x ky kz

Determine los valores del parámetro real 𝑘, para los que este sistema es compatible determinado,

compatible indeterminado o incompatible.

b) (1,5 punto) Resuelva el sistema cuando 𝑘=1.

Solución: a)Si 0 2k y k es compatible determinado, si 0 2k ó k es incompatible

b) 1, 1, 2x y z

7. (Aragón Junio 2018 ) A.1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones

( 1) 2

1

x y mz m

mx m y z

x y z

a) Determine los valores del parámetro m para los que ese sistema de ecuaciones es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. b) Encuentre las soluciones de ese sistema cuando m=1.

Solución: a) 1m es compatible indeterminado y para m distinto de 1 es compatible

determinado. b) 2 , 1,x t y z t

8. (Aragón Septiembre 2017) A.1. Sea “m” una constante real. Determine para qué valores de “m” el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:

2

5 4 2 0

2 3 0

4 1

x y z

x y z

x y m z m

Solución: 1m es incompatible, 1m es compatible indeterminado y para m distinto de 1 y -1 es compatible determinado.

9. (Asturias Julio 2019) Opción A 1. Dado el sistema 1 2

2

x y az a

x a y az

x z

a) Estudia y clasifica el sistema según los valores de a ∈ IR. (1.5 puntos)

b) Resuélvelo, si es posible, para el caso a = 2. (1 punto)

Solución: a) 1; 2a a es compatible determinado. a=–1 es incompatible. a=2 es compatible

indeterminado. b) 2; 3 4;x t y t z t

10. (Asturias Junio 2019) Opción A 1. Dado el sistema de ecuaciones

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 71

0

2

mx y z

x my m m

x mz m

.

a) Estudia y clasifica el sistema según los valores de m. (1.25 puntos)

b) Resuélvelo, si es posible, para el caso m = 1. (0.75 puntos)

c) Para qué valores de m se tiene la solución x = 0; y = 1; z = 1. (0.5 puntos)

Solución: a) 0; 1 1m m y m es compatible determinado. 0; 1 1m m o m es compatible

indeterminado. b) 1 , 2 1,x t y t z t c) Cualquier valor de m.

11. (Asturias Julio 2018) A.1 Discutir el sistema y resolver en casos compatibles

2

2 2 2

2 3 3

x y z a

x y z a

x y z

Solución: Para a distinto de 1 es incompatible; para m = 1 es compatible indeterminado con soluciones x= x; y= -2x; z=1

12. (Baleares Julio 2019) OPCIÓ A 1. a) Discutiu per a quins valors de m el sistema següent és

compatible:

2

4 3 2 0

2

6 6 9

x y z

x y z m

x y m z

; (7 punts)

b) Resoleu-lo en el cas en qué sigui compatible indeterminat. (3 punts)

Solución: a) Para 3 3m y m es compatible determinado, para 3m compatible indeterminado y

para 3m es incompatible. b) 9 5

2

tx

; 6 4y t ; z t

13. (Baleares Junio 2019) OPCIÓ A 1. a) Discutiu per a quins valors de a el sistema següent és

compatible:

2 1 1

1

11

a x a y z

ax y z

x ay z a

; (7 punts)

b) Resoleu-lo en el cas en qué a = 0. (3 punts)

Solución: a) Para 4 5a y a es compatible determinado. Para 4a 0 5a es incompatible.

b) x = –1/10; y = –1/10; z = –11/10.

14. (Baleares Julio 2018) A.1 Discutiu per a quins valors de m el sistema següent és compatible:

4 2;

0;

3 0

x my z m

mx y z

x y z

; (7 punts)

b) Resoleu-lo en el cas en qué m = –2. (3 punts)

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 72

Solución: a) para m distinto de -3 y 5 es compatible determinado; para m = -3 es incompatible y para m=5 es incompatible b) x = y = z = 0

15. (Canarias Julio 2019) Opción A 2. Dado el sistema:

2

2 3 2

5 2 4 1

3 3

x y z

x y z

x y k z k

a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro k (1,5 ptos)

b) Resolverlo para 𝑘 = 2 (1 pto)

Solución: a) 1; 1k k es compatible determinado. k=1 es incompatible. k=–1 es compatible

indeterminado b) x = 1; y = –9; z = 3

16. (Cantabria Julio 2019) OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1 Ejercicio 1

Considere el sistema de ecuaciones:

2

2

1

0

a x ay z

ax ay a z

dependiente del parámetro a.

1) [1.25 PUNTOS] Clasifique, en función del parámetro a, el sistema anterior (existencia y unicidad de soluciones). 2) [1.25 PUNTOS] Calcule todas las soluciones en el caso a = 2.

Solución: 1) Para 0 1a y a el sistema es compatible determinado, para 0a es compatible

indeterminado y para 1a es incompatible. 2) 1 3

2

tx

;

1 7

2

ty

; z t

17. (Cantabria Julio 2019) OPCIÓN DE EXAMEN Nº 2 Ejercicio 1 Consideremos el sistema dependiente del parámetro t:

0

2 1

2 1

tx y z

ty z

x ty z

1) [1.5 PUNTOS] Determine razonadamente si el sistema es incompatible o compatible, determinado o indeterminado en función del valor del parámetro t. 2) [1 PUNTO] Calcule todas las soluciones del sistema en el caso t = 1.

Solución: 1) Para 1

13

t y t el sistema es compatible determinado, para 1t es compatible

indeterminado y para 1

3t es incompatible. 2) 1 3 ; ; 1 2x t y t z t

18. (Cantabria Junio 2019) OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1 Ejercicio 1

Considere el sistema

1 1 0

1 1 · 0

0 0

t x

t y

t t z

dependiente del parámetro t.

1) [1.5 PUNTOS] Clasifique, en función del valor de t, el tipo de sistema.

2) [1 PUNTO] Calcule todas las soluciones del sistema en el caso t = 1.

Solución: 1) Para 0 1t y t el sistema es compatible determinado. Para 0 1t o t el sistema es

compatible indeterminado.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 73

19. (Castilla la Mancha Julio 2019)

3A. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a ∈ R

2

2 1

2 4

3

x a y z

x y z

x y az a

; (1,5 puntos)

b) Resuélvelo razonadamente para el valor a = 3. (1 punto)

Solución: a) 3 2a y a el sistema es compatible determinado. a=2 el sistema es incompatible. A=3

el sistema es compatible indeterminado. b) 6 3x t ; 5 2y t ; z t

20. (Castilla la Mancha Junio 2019)

3A. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a ∈ R

22

5

4

ax y a

x y z

x ay z a

; (1,5 puntos)

b) Resuélvelo razonadamente para el valor a = 1. (1 punto)

Solución: a) a distinto de 0 y 1 el sistema es compatible determinado. a=0 es incompatible. a=1 es

compatible indeterminado. b) 1 2 , , 6 3x t y t z t

21. (Castilla- León Julio 2019) Opción A E1.- a) Discutir según los valores del parámetro el sistema

de ecuaciones lineales m

1

2 4

x y z

x y mz

(1 punto)

b) Resolverlo para 𝑚=1. (1 punto)

Solución: a) El sistema es compatible indeterminado siempre. No depende del valor de m. b) La solución es 3 2 , 2 3 , x t y t z t .

22. (Castilla-León Junio 2019) Opción A:

E1.- Dado el sistema de ecuaciones:

1 1 4

2 1 0 3

2 2 2 6

m x

y

z

a) Estudie la existencia y unicidad de soluciones según los valores del parámetro 𝑚. (1 punto)

b) Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para el caso 𝑚=2. (1 punto)

Solución: a) m≠1 el sistema es compatible determinado. m=1 el sistema es incompatible. b) X=1, y=1, z=1

23. (Castilla-León septiembre 2017) Opción B E1.- a) Discutir según los valores del parámetro

m el sistema de ecuaciones lineales

1

2 1

mx y z

x y z

(1,25 puntos)

b) Resolverlo para 1m . (1 punto)

Solución: a) Es compatible indeterminado para cualquier valor de m. b) , 1 , 0x t y t z

24. (Castilla-León Junio 2017) Opción B E1.- a) Discutir el sistema de ecuaciones según los

valores del parámetro :

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 74

1

1

2 4 2

x y z

x y z

x y z

(1,25 puntos)

b) Resolverlo para 1 . (1 punto)

Solución: a) Si 𝜆≠1, SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Si 𝜆 = 1, SISTEMA

COMPATIBLE INDETERMINADO. b) 2 ; 1 3 ;x t y t z t

25. (Cataluña Septiembre 2019) Serie 5. 2. Considera la matriz

1 0 1

1 1

4 3 1

a

A a

a

, donde a es un

parámetro real.

a) Encuentra los valores del parámetro a para el que la matriz es invertible. (1 punto)

b) Estudia la posición relativa de los planos 1 : 1 0x a z , 2 : 1x ay z y

3 :4 3 3x ay z en función de los valores del parámetro a. (1 punto)

Solución: a) A es invertible si el parámetro a es distinto de 0 y de –1. b) Si 0 1a y a los planos se

cortan en un punto. Si 0a son planos que se cortan dos a dos. Si 1a los planos se cortan en una

recta.

26. (Cataluña Junio 2019) Serie 1. 2. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que

depende del parámetro k:

2

3 2 1

3 2

3 7 7 3

x y z

x k y z k

x y z k

a) Discute el sistema para los diferentes valores del parámetro k.

b) Resuelve el sistema para el caso de k = –1.

Solución: a) Para 1 1k y k el sistema es compatible determinado, para k = –1 es compatible

indeterminado, para k = 1 es incompatible. b) 1 7 ; ; 1 2x t y t z t

27. (Extremadura Julio 2019) OPCIÓN B 1. Discute en función del parámetro a el siguiente

sistema de ecuaciones: (2 puntos)

2 2

1

1 2

x y az

x y a

a x y z

Solución: Para 1 1a y a el sistema es compatible determinado, para 1a es compatible

indeterminado y para 1a es incompatible.

28. (Extremadura Junio 2019) OPCIÓN A 1. Discute en función del parámetro a el siguiente

sistema de ecuaciones: (2 puntos)

3 2 1

2

5 3 2

x y az

ax y z

x y z a

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 75

Solución: Si 1

23

a y a el sistema es compatible determinado. En el resto de casos es incompatible.

29. (Galicia Julio 2019) Opción B 1. Da respuesta a los apartados siguientes:

a. Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema

3

2 2

1 3

x y z m

my z

x m y m z m

b. Resuélvelo si es posible en los casos m=0 y m=2

Solución: a. Si 0 2m y m el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. 0m es

COMPATIBLE INDETERMINADO. 2m es INCOMPATIBLE.

b) Para m=0 la solución es 3; ; 1x t y t z . Para m=2 la solución es x = 0; y = –1/2, z = 1/2.

30. (Galicia Junio 2019) Opción B 1. Da respuesta a los siguientes apartados:

a. Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema:

2 3 0

(3 ) 6

2 6

x y z

my m z

x y mz

b. Resuélvelo, si es posible, en los casos m = 0 y m = 4.

Solución: a) 0; 3m m es compatible determinado. m=0 es compatible indeterminado. m=3 es

incompatible b) m=0 ; 2 6; 2x t y t z . m=4 x=–9;y=0;z=6

31. (La Rioja Junio 2018) Propuesta B.4. (3 puntos) Sea el sistema de ecuaciones

2 6,

2 0,

2 6.

cx y z

cx y z

x y cz

(I) Discuta el sistema anterior para los distintos valores del parámetro c.

(II) Halle la solución o soluciones, si existen, cuando el parámetro c es 1.

Solución: (I) Para 1 2c y c el sistema es compatible determinado. Para 1c es compatible

indeterminado y para 2c es incompatible. (II) 4 ; 2 ;x t y t z t

32. (Madrid Julio 2019) Ejercicio 1 : Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dado el sistema de ecuaciones

1 0

0

1 1

kx k y z

x ky z

k x y k

se pide:

a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro real k.

b) (0.5 puntos) Resolver el sistema para k = –1.

Solución: a) 1; 1k k es compatible determinado 1k es incompatible 1k es compatible

indeterminado b) x = t; y = –2t; z = t

33. (Madrid Junio 2019) Ejercicio 1 : Calificación máxima: 2.5 puntos.

Una estudiante pidió en la cafetería 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pagó un total de 19

euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más.

Reclamó y le devolvieron 4 euros.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 76

Para compensar el error, el vendedor le ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por solo 3 euros, lo

que suponía un descuento del 40% respecto a sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos

precios sin descuento de un bocadillo, de un refresco y de una bolsa de patatas?

Solución: Un bocadillo ha costado 3 €, un refresco 2 € y una bolsa de patatas 1 €

34. (Madrid Julio 2018) B.1. Un grupo de estudiantes ha realizado un viaje por tres países (Francia, Alemania y Suiza). En los hoteles cada estudiante ha pagado: 20 euros diarios en Francia, 25 euros diarios en Alemania y 30 euros diarios en Suiza. En comidas cada uno ha gastado: 20 euros diarios en Francia, 15 euros diarios en Alemania y 25 euros diarios en Suiza. Además, el transportista les ha cobrado 8 euros diarios a cada uno. Sabiendo que el gasto total del viaje ha sido 765 euros por persona, que ha durado 15 días y que han estado en Francia el doble de días que en Suiza, obtenga el número de días que han estado en cada uno de los tres países.

Solución: 6 días en Francia, 6 en Alemania y 3 en Suiza.

35. (Madrid Junio 2018) A.1. Dado el sistema de ecuaciones

1

2 1 1

2 1 2 2 2

x my

x m y z

x m y m z m

, se pide:

a) (2 puntos) Discutir el sistema en función del parámetro m. b) (0.5 puntos) Resolver el sistema en el caso m = 0.

Solución: a) para m distinto de 1 y -1 es compatible determinado; para m = 1 es compatible indeterminado, para m=-1 es incompatible b) x = 1; y = -1; z = 0.

36. (Navarra Julio 2019) OPCIÓN A A1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales

dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible:

2

2

1 1 1

1 1 2 1

1 1 1 0

a x y a z a

a x a y a a z

a x a y a z

(3 puntos)

Solución: Para 0, 1 1a a y a el sistema es compatible determinado, la solución es

1 2 1 1, ,

1

a ax y z

a a a

. Para 0a y 1a es incompatible. Para 0a es compatible

indeterminado y la solución es , 1, 0,5x t y z

37. ¡DIFICIL! (Navarra Junio 2019) OPCIÓN A A1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones

lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible:

2

2

2 2 3 1

2 2 2 2 2

a x y az a

a x y a a z a

a x y a z a

(3 puntos)

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 77

Solución: Para 2 1 2a y a y a es compatible determinado, para 2a o 2a es incompatible

y para 1a es compatible indeterminado. La solución para 1a es 3 3

; 1 ;2 2

t tx t y z y para

2 1 2a y a y a es 2

2

4x

a

; 1y a ;

1

2z

a

38. (Navarra Julio 2018) A.1. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible:

2

3 2 2 1

2 6 3 6 5 1

3 2 4 5

a x a y z

a x a y z

a x a z a a

(3 PUNTOS)

Solución: a) para a distinto de 1, 2 y 3 es compatible determinado con solución x=(1-a)/(a-3); y=(4-a)/(a-2); z=a-3; para a = 1 es compatible indeterminado con solución x=x; y=-3+2x; z=-2+2x, para a=2 es incompatible y para a=3 es incompatible.

39. (Navarra Junio 2018) A.1. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible:

2

2 1

( 4) ( 1) 0

( 2) ( 3 2) 4

x y

x a y a z

a y a a z a

Solución: a) para a distinto de -1, -2 y -3 es compatible determinado con solución x=(a+6)/(a+2); y=-2)/(a+2); z=1/(a+1); para a = -1 es incompatible, para a=-2 es incompatible y para a=-3 es compatible indeterminado con soluciones x = -1+4z; y = 1-2z; z = z.

40. (País vasco Julio 2019) Ejercicio A1

Discutir, en función de los valores de A, el siguiente sistema

2 3 6

1

2 2

x y z

x y z

x y Az A

Solución: A distinto de –18 es compatible determinado. A = 18 es compatible indeterminado.

41. (País vasco Junio 2019) Ejercicio A1

Discutir, en función de m, el sistema de ecuaciones

3 1

3 2

3

m x my mz m

S x mz m

y z m

Resolver en los casos de indeterminación, suponiendo que existan.

Solución: Si 0; 3m m es compatible determinado. m=0 es incompatible. m =3 es compatible

indeterminado. La solución es 1

; ;3

x t y t z t

42. (País vasco Julio 2018) B.1.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 78

a) Discutir el siguiente sistema S(a) en función de a:

S(a) =

2

2 x y 0

3 ( 1) 1

x ay z

az

x a y z a

b) ¿Hay solución para a=1? En caso afirmativo calcula dicha solución. En caso negativo razona la respuesta.

Solución: a) para a distinto de 0 y 1/2 es compatible determinado; para a=0 es incompatible y para a=1/2 es incompatible. b) x=–6; y = 10; z = 2

43. (País vasco Junio 2018) B.1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones S(a)

S(a) =

2

2 x y 0

3 ( 1) 1

x ay z

az

x a y z a

a) Discutirlo según los distintos valores de a b) ¿Hay solución para a=2? En caso afirmativo calcula dicha solución. En caso negativo razona la respuesta.

Solución: a) para a distinto de 0 y 1 es compatible determinado; para a=0 es incompatible y para a=1 es compatible indeterminado. b) x=–7/4; y = 7/4; z =-1/4

44. (Valencia Julio 2019) Problema A.1.

Se da el sistema de ecuaciones

2 3

2 2 5

3 5 1

x z

x y z

x y z

, donde α es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de α para los que el sistema es compatible y determinado. (4 puntos)

b) La solución del sistema cuando α = −1. (3 puntos)

c) El valor de α para que el sistema tenga una solución , ,x y z que verifique 0x y z . (3

puntos)

Solución: a) Es siempre compatible determinado. b) x=7, y=–4, z=–5. C) ∝=1

45. (Valencia Junio 2019) Problema B.1. Se da el sistema

4

3 4 5 5

7 9 11

x y z

x y z

x y z a

, donde a es un

parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de a para los que el sistema es compatible y los valores de a para los que el sistema es

incompatible. (4 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible. (4 puntos)

c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al

cambiar el coeficiente11 por cualquier otro número diferente. (2 puntos)

Solución: a) a≠14 es incompatible, a=14 es compatible determinado b)

11, 2 7,z tx t y t c) es compatible determinado.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

Tema 3. Sistemas de ecuaciones 79

46. (Valencia Julio 2018) A.1. Dado el sistema de ecuaciones

1

( 1) y 0

( 1)

x y

a z

x ay a z a

donde a es un parámetro real.

Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es compatible. (5 puntos)

b) Las soluciones del sistema cuando a = 1. (3 puntos)

c) Las soluciones del sistema cuando a = 0. (4 puntos)

Solución: a) para a distinto de 2 es compatible. b) y = 1-x; z = 0 c) x = y = z = ½

47. (Valencia Junio 2018) A.1. Se tiene el sistema de ecuaciones

1

5

1

y z a

x z

ax y z

donde a es un parámetro real.

Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es compatible determinado.

(2 puntos)

b) Las soluciones del sistema cuando a = 3. (4 puntos)

c) Las soluciones del sistema para los valores de a que lo hacen compatible

indeterminado. (4 puntos)

Solución: a) para a distinto de 0 es compatible determinado. b) x=-1; y=2; z=4 c) x=-5+z; y=1+z ; z=z

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BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 80

P

2 0 1 9 2 0 1 0

A L G E B R A

A U E B A U

Ejercicios de matrices y sistemas de ecuaciones en pruebas

EBAU de Murcia desde 2010 hasta 2019 Estas son las preguntas correspondientes al bloque de algebra (Matrices, determinantes y sistemas

de ecuaciones) que han aparecido en las pruebas EBAU o PAU de los últimos años en Murcia. Si se

desea ver la resolución de los ejercicios ir al archivo correspondiente a la PAU o EBAU de ese año.

SEPTIEMBRE 2019

A.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

2 0

1

ax y z

x y az

x y z a

a) [1 p.] Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule

dicha solución para a = 2.

b) [1 p.] Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese

caso.

c) [0,5 p.] Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución.

Solución:

a) Para 1 1a y a . Para a = 2 la solución es 1; 0; 1x y z

b) Para 1a . La solución es 1 3 1

; ;2 2

t tx y z t

c) Para 1a

B.1: Considere la matriz

1 0

0 1

1 1 1

a

A a

.

a) [1 p.] Determine para qué valores de a la matriz A tiene inversa.

b) [0,5 p.] Para 1a , calcule la inversa de A.

c) [1 p.] Para 1a , resuelva la ecuación matricial 2 2XA I A , donde I es la matriz identidad

3x3.

Solución:

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 81

a) Cuando a es distinto de 1 5

2

y de

1 5

2

b)

1

2 1 1

1 1 1

1 0 1

A

c)

6 2 2

2 0 2

2 0 0

X

JUNIO 2019

A.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

1

3

x y az

x ay z a

ax y z a

a) [1 p.] Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule

dicha solución para a = 0.

b) [1 p.] Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese

caso.

c) [0,5 p.] Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución.

Solución:

a) 1; 2a a El sistema es compatible determinado.

a=0 La solución es x = –1, y = 2, z = 1

b) 2a El sistema es compatible indeterminado. La solución es x = t, y = 1+t, z = t.

c) para a =1 el sistema es incompatible.

B.1: Considere la matriz

1 1 1

0 1 0

0 0 1

A

.

a) [1 p.] Calcule las potencias sucesivas 2 3 4,A A y A .

b) [0,5 p.] Calcule la expresión general de nA para cualquier valor de n .

c) [1 p.] Determine si existe la inversa de A . En caso afirmativo, calcúlela.

Solución:

a) 2 3 4

1 2 2 1 3 3 1 4 4

0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A A A

b)

1

0 1 0

0 0 1

n

n n

A

c) 1 0A La inversa existe y vale 1

1 1 1

0 1 0

0 0 1

A

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 82

SEPTIEMBRE 2018

CUESTIÓN A.1: Considere la matriz 2 1

3 2A

a) [1 p.] Compruebe que la matriz A es regular (o invertible) y calcule su inversa.

b) [1,5 p.] Determine la matriz X que cumple la ecuación TAX A A , donde TA es la matriz

traspuesta de A.

Solución:

a) 12 1

1 03 2

A A es regular A

b) 4 4

4 4X

CUESTIÓN B.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo en función del parámetro a:

0

0

2 ( 1) 0

ax y az

x y az

x a y az

a) [1,25 p.] Determine los valores del parámetro a para los que el sistema tiene únicamente

la solución trivial (0, 0, 0).

b) [1,25 p.] Si es posible, resuélvalo para el valor del parámetro 2a .

Solución:

a) El sistema tiene una única solución (0,0,0) cuando a es distinto de 0, 1 y 2.

b) La solución es 0; 2 ; x y z z z .

JUNIO 2018

CUESTIÓN A.1: Considere la matriz

1 0 2

0 1 0

0 0 1

A

a) [1,5 p.] Calcule las potencias sucesivas 2 3 4,A A y A .

b) [1 p.] ¿Cuál será la expresión general de la potencia nA para cualquier valor de n ?

Solución:

a) 2 3 4

1 0 4 1 0 6 1 0 8

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A A A

b)

1 0 2·n

0 1 0

0 0 1

nA

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 83

CUESTIÓN B.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

2

4

4

2

x y z a

y z

x z a

a) [1 p.] Justifique que el sistema nunca es compatible determinado.

b) [1,5 p.] Determine para qué valor del parámetro a el sistema tiene infinitas soluciones y

resuélvalo en ese caso.

Solución:

a) El sistema no puede ser compatible determinado pues el rango de la matriz de los

coeficientes es menor que el número de incógnitas.

b) a=2; La solución es 4 2 ; 4; x z y z z z

SEPTIEMBRE 2017

CUESTIÓN A.1: Considere las matrices 2 4 2 1

1 3 2 0A y B

.

a) [1,5 puntos] Compruebe que las matrices A y B son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.

b) [1 punto] Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB A B .

Solución:

a) 2 0 por lo que las matrices A y B son invertiblesA B

1 13 / 2 2 0 1/ 2

1/ 2 1 1 1A B

b) 3 / 2 5 / 2

1/ 2 0X

CUESTIÓN B.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

2 1

2 2

2 3

ax y z

x ay z

x y az

a) [0,75 puntos] Determine para qué valores del parámetro a el sistema tiene solución única. No hay que resolverlo.

b) [1,25 puntos] Determine para qué valor del parámetro a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) [0,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro a el sistema no tiene solución.

Solución:

a) Para 1, 2a a el sistema tiene una única solución

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 84

b) Para a = – 2 el sistema tiene infinitas soluciones. La solución es

1 6 5 6; ; z =

3 3

y yx y y

c) Para a = 1 el sistema no tiene solución.

JUNIO 2017

CUESTIÓN A.1: Considere las matrices 2 0 1 3 0 2

,1 2 2 2 1 2

A B y C

.

a) [1,5 puntos] Compruebe que las matrices A y B son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.

b) [1 punto] Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB = C.

Solución:

a) 4 0A B . Por lo tanto las matrices A y B son invertibles.

1 1

31 102 2 4

1 1 1 14 2 2 4

A B

b)

1 12 4

31

4

X

CUESTIÓN B.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

2

2 2 0

2 3 2 0

1

x y z

x y z

x y a z a

a) [0,75 puntos] Determine para qué valores del parámetro a el sistema tiene solución única. No hay que resolverlo.

b) [1,25 puntos] Determine para qué valor del parámetro a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) [0,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro a el sistema no tiene solución.

Solución:

a) 1 1a y a

b) Para a = 1. La solución es ; 0; x z y z z

c) a = –1

SEPTIEMBRE 2016

CUESTIÓN A.1: Considere la siguiente matriz

cos 0

cos 0

0 0 1

sen

A sen

a) [1 punto] Calcule el determinante de A. b) [1,5 puntos] Calcule las potencias sucesivas A2, A3, A4

y A5. Calcule A2016.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 85

Solución:

a) 1A

b) 2 3 4 5; ; ;A Id A A A Id A A . A

2016=Id

CUESTIÓN B.1: Sabiendo que 1 0 1 2

2 4 6

x y z

, calcule razonadamente los siguientes determinantes:

a) [1 punto]

3 0 1

3 2

6 8 6

x y z

b) [1,5 puntos]

2 4 6

3 1 3 3 1

1 0 1

x y z

x y z

Solución: a) 12 b) 12

JUNIO 2016

CUESTIÓN A.1: Considere las matrices 4 2 4 2

1 1 3 1A y B

.

a) [1,5 puntos] Compruebe que ambas matrices son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.

b) [1 punto] Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB = A+B.

Solución:

a)

1 1

6 0 Por lo que la matriz A es invertible

2 0 Por lo que la matriz B es invertible

1 2 1 21 1A · ·

1 4 3 46 2

A

B

B

b)

1 2

3 3

5 4

3 3

X

CUESTIÓN B.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

3 5

2 0

x y z

ax z

ay z a

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 86

a) [1 punto] Determine para qué valores del parámetro a el sistema tiene solución única. Calcule dicha solución para a = 1.

b) [1 punto] Determine para qué valor del parámetro a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) [0,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro a el sistema no tiene solución.

Solución:

a) Para -1a y 0a La solución del sistema cuando a=1 es x=–2, y=2 , z=1

b) Para a=0. La solución es 5 3 ; ; 0x y y y z

c) Para a=–1

SEPTIEMBRE 2015

CUESTIÓN A.1: Considere las siguientes matrices:

1 1 0,

1 1 1A y B

a) [1,25 puntos] Calcule C = At ·A−B·Bt

, donde At y Bt

denotan, respectivamente, las matrices traspuestas de A y B.

b) [1,25 puntos] Halle una matriz X tal que X ·C = D, siendo

2 2

2 2

4 4

D

Solución:

a) 2 2

2 1

C b)

3 4

3 4

2 0

X

CUESTIÓN B.1: Observación: Los apartados a) y b) de este ejercicio son absolutamente independientes y se pueden resolver en el orden que se quiera. Se dice que una matriz cuadrada A es idempotente si cumple que A2

= A.

a) [0,5 puntos] Si A es una matriz idempotente, calcule razonadamente A2015. b) [2 puntos] Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es

idempotente

0

0

0 0

a a

A a a

b

Solución: a) A2015=A b) a=0 o a=1/2 y b=0 o b=1.

JUNIO 2015

CUESTIÓN A.1: a) [1,5 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 87

1

1

x y az

x ay z a

ax y z

b) [1 punto] Si es posible, resuélvalo para el valor de a = −2.

Solución:

a) Para “a” distinto de 1 y –2 el Sistema es Compatible Determinado. Para a=1 el sistema es

compatible indeterminado. Para a=–2 el sistema es compatible indeterminado.

b) La solución es ; 1 ;x y z

CUESTIÓN B.1: Observación: Los apartados a) y b) de este ejercicio son absolutamente

independientes y se pueden resolver en el orden que se quiera. Se dice que una matriz cuadrada A es involutiva si cumple que A2

= I, donde I denota la matriz identidad. a) [0,5 puntos] Justifique razonadamente que toda matriz involutiva es regular (o invertible).

b) [2 puntos] Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es involutiva

0

0

0 0

a a

A a a

b

Solución:

a) Se cumple que la inversa de la matriz A es ella misma y por tanto tiene inversa y es regular.

b) 1

12

a o b

SEPTIEMBRE 2014

CUESTIÓN A.1:

a) [1,25 puntos] Compruebe que la matriz 1 1

2 3A

, es regular (o invertible) y calcule su

matriz inversa. b) [1,25 puntos] Resuelva la ecuación matricial AXA = B, siendo A la matriz anterior y

5 2

3 1B

.

¡OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo.

Solución:

a) 1 0A , la matriz es regular. 13 1

2 1A

b) La solución es 68 25

49 18X

CUESTIÓN B.1:

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 88

a) [1,5 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

2 0

0

ax z

ay z a

x y z

b) [1 punto] Si es posible, resuélvalo para el valor de a = 0.

Solución:

a) Si a = 3 El sistema es incompatible. Si a = 0 El sistema es compatible indeterminado.

Si a ≠ 0 y a ≠ 3 el sistema es compatible determinado.

b) Para a=0 el sistema es compatible indeterminado. La solución es x= ; y= ; z=0

JUNIO 2014

CUESTIÓN A.1: Sabiendo que

1 1 1

4

0 2 4

x y z , calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus,

los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.

a)

3 3 3

1 1 1

0 1 2

x y z

[1 punto] b) 3 3 2 3 4

2 2 2

x y z

x y z

x y z

[1,5 puntos]

Solución:

a) –6 b) 8

CUESTIÓN B.1:

a) [1,5 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

3

1

1

ax y z a

x ay az

x y z

b) [1 punto] Si es posible, resuélvalo para el valor de a = −1.

Solución:

a) Para 1, 2a a el sistema es Compatible Determinado

Para a = –1 el sistema es compatible indeterminado.

Para a = 2 el sistema es compatible indeterminado.

b) La solución del sistema es ; 0; 1x x y z x

SEPTIEMBRE 2013

CUESTIÓN A.1: [2,5 puntos] Clasifique y resuelva, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 89

2 3 1

2 2 1

4 5 2 2

x y z

x y z

x y z

Solución:

El sistema es Compatible Indeterminado.

La solución del sistema es1

; 0;2

zx y z z

CUESTIÓN B.1: Sabiendo que

6 0 3 2

1 1 1

a b c

calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.

a) [1,25 puntos]

1 1 1

2 0 1

3 3 3a b c

.

b) [1,25 puntos] 2 6 2 2 3

1 1 1

a b c

a b c

a b c

Solución:

a) –2 b) 2

JUNIO 2013

CUESTIÓN A.1: [2,5 puntos] Discuta, en función del parámetro a, el siguiente sistema de

ecuaciones:

1

1

4

x y z

x ay z

ax y z

No hay que resolverlo en ningún caso.

Solución:

Si 1 1a y a el sistema es compatible determinado.

Si a=1 el sistema es Incompatible. Si a=-1 el sistema es Compatible Indeterminado.

CUESTIÓN B.1:

a) [1,25 puntos] Compruebe que la matriz 4 1

3 1A

, es regular (o inversible) y calcule

su matriz inversa.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 90

b) [1,25 puntos] Resuelva la ecuación matricial AX +A2

= B, siendo A la matriz anterior y

1 2

3 4B

.

¡OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo.

Solución:

a) 11 1

1 0, luego tiene inversa A3 4

A

b) 0 5

12 21X

SEPTIEMBRE 2012

CUESTIÓN A.1: a) [1,25 puntos] Determine para qué valores del parámetro a el conjunto de vectores

1, ,1 , 1 , 1,0( ) ( ), (1,1 ),S a a a a forma una base de 3.

b) [1,25 punto] Estudie el rango del conjunto de vectores S en los casos en que no

forme una base de 3.

Solución:

a) Para 1 2a y a si forman una base de 3

b) Si a = 1 el rango de la matriz S es 1. Si a = –2 el rango es 2. CUESTIÓN B.1:

a) [1,25 puntos] Dada la matriz

0 3 4

1 4 5

1 3 4

A

, calcule las potencias A2, A

3 y A

4.

b) [1,25 puntos] Calcule A2012

.

Solución:

a) 2

1 0 1

1 4 4

1 3 3

A

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

4A A

b) 2012

1 0 1

1 4 4

1 3 3

A

JUNIO 2012

CUESTIÓN A.1: a) [1,5 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 91

2

2 3

2

1

2

x y z

x ay a z

ax a y a z

b) [1 punto] Resuelva el sistema cuando sea compatible.

Solución:

a) Cuando a = –2 el sistema es Compatible Indeterminado. Cuando a ≠ –2 el sistema es

Incompatible

b) Cuando a= - 2 la solución del sistema es 1 2 ; 1 ;x y z

CUESTIÓN B.1: [2,5 puntos] Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que At

·A = I, donde I denota la

matriz identidad y At es la traspuesta de A.

Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es ortogonal

0

0 1

a a b

a a

b

Solución:

0'5 0a y b

SEPTIEMBRE 2011

CUESTIÓN A.1: Sabiendo que

1 1 1

6a b c

x y z

, calcule, sin utilizar la regla de Sarrus, el valor

del siguiente determinante, indicando en cada paso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando.

5 5 5

3 3 32 2 2

a b c

x y za b c

[2.5 puntos]

Solución: 15

CUESTIÓN B.1:

a) Determine para qué valores del parámetro a la matriz

A=

2

2

2

1

1

a a a

a a

a a

es regular. [1.25 puntos] b) Estudie el rango de la matriz A en los casos en que no sea regular. [1.25 puntos]

Solución:

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 92

a) Para todo a distinto de 0, 1 y – 1

b) Para a = 0 el rango de A es 2. Para a = 1 el rango de A es 1. Para a = –1 el rango es 1.

JUNIO 2011

CUESTIÓN A.1: Demuestre, sin utilizar la regla de Sarrus y sin desarrollar directamente por una fila

y/o columna, que

1 2

3 04

5 6

x x x

x x x

x x x

Indique en cada paso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando. [2.5

puntos]

Solución: La 3ª columna se obtiene como la suma de la 1ª y 2ª columna, por tanto el

determinante es 0.

CUESTIÓN B.1: Discuta, en función de los parámetros a y b, el siguiente sistema de ecuaciones.

No hay que resolverlo. [2.5 puntos]

2 3

3 1

8 4

x ay z

x y z

x y z b

Solución:

Para a ≠ 2 el sistema compatible determinado. Para a = 2 y b ≠ 5 el sistema es incompatible.

Para a = 2 y b = 5 el sistema es compatible indeterminado.

SEPTIEMBRE 2010

CUESTIÓN A.1: Definición de rango de una matriz. Calcular el rango de la matriz A en función del parámetro k. [2.5 puntos]

1 1 1

0 2 1

1 3 0

1 1

A

k

Solución:

K≠-1 el rango de A es 3

K=-1El rango de A es 2 CUESTIÓN B.1: Discutir y resolver el sistema siguiente en función de los posibles valores del parámetro k. [2.5 puntos]

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 93

2 4 0

2 4 0

x y z

x z

x y z k

Solución:

k≠0 El sistema es incompatible.

k=0 El sistema es compatible indeterminado. 2 ; ;x z y z z z

JUNIO 2010

CUESTIÓN A.1: Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A. [2.5 puntos]

1 2 0

1 1 1

1 0 1

A

Solución:

1 0A y por tanto tiene inversa: 1

1 2 2

0 1 1

1 2 1

A

CUESTIÓN B.1: Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius. Aplicar dicho teorema para discutir si el sistema siguiente tiene solución y si la solución es única en función de los posibles valores del parámetro k (no es necesario resolver el sistema). [2.5 puntos]

3 3 0

3 1

x y z k

x y

x ky z

Solución:

El sistema es incompatible para k=-1. El sistema es compatible determinado para k≠-1.

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 94

Orientaciones EBAU. Bloque de Álgebra.

Cuestión 1. Bloque de Números y Álgebra (2,5 puntos)

a) Planteamiento, discusión y, en su caso, resolución de sistemas de ecuaciones lineales dependientes, a lo más, de un parámetro.

Determina el rango de una matriz, hasta orden 4, aplicando el método de Gauss o determinantes.

Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, estudia y clasifica el sistema de ecuaciones lineales planteado, lo resuelve en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas.

Resuelve problemas susceptibles de ser representados matricialmente e interpreta los resultados obtenidos.

Ejemplo. Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

3 5

2 0

x y z

ax z

ay z a

a) Determine para qué valores del parámetro a el sistema tiene solución única. Calcule dicha solución para a = 1.

b) Determine para qué valor del parámetro a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) Determine para qué valor del parámetro a el sistema no tiene solución.

Ejemplo. Un cajero automático contiene solo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe total de 3000 euros. Sabiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcule cuántos billetes hay de cada tipo.

b) Operaciones con matrices. Resolución de ecuaciones matriciales. Cálculo de matrices inversas.

Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas o grafos y para representar sistemas de ecuaciones lineales.

Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente.

Determina las condiciones para que una matriz tenga inversa y la calcula empleando el método más adecuado.

Ejemplo.

Considere las matrices 4 2 4 2

1 1 3 1A y B

a) Compruebe que ambas matrices son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.

b) Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB A B .

IES VICENTE MEDINA CURSO 2019/20

BLOQUE Algebra. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 95

Ejemplo.

Considere la matriz

1 0 2

0 1 0

0 0 1

A

.

a) Calcule las potencias sucesivas A2, A3 y A4.

b) ¿Cuál será la expresión general de la potencia An para cualquier valor de n ?