2.- CinÇtica de la part°cula

Cintica de la partcula

2. CINTICA DE LA PARTCULA

2.1 Movimiento rectilneo Aceleracin constante

1. Un tractor y su remolque aumentan unifor-memente su rapidez de 36 a 72 km/h en 4 s. Sabiendo que sus pesos son, respectivamente, 2 y 20 ton, cal-cule la fuerza de traccin que el pavimento ejerce sobre el tractor y la componente horizontal de la fuerza que se ejerce en el enganche entre los vehcu-los durante ese movimiento.

Resolucin

A partir de la informacin del movimiento, inves- tigamos la aceleracin del vehculo.

Comenzaremos convirtiendo las velocidades a m/s:

sm

sm

hkm

sm

sm

hkm

206.3

7272

106.3

3636

==

==

dtdva =

22

F

x

y

N

Como el aumento de velocidad es uniforme:

5.24

1020 ===

tva

Para conocer las fuerzas problema cintico comenzaremos 1) dibujando el diagrama de cuerpo libre; 2) eligiendo un sistema de referencia. Empleamos a continuacin las ecuaciones cinticas:

22022

0

==

=

NN

Fy


Puesto que la aceleracin del vehculo es horizontal, este resultado no es til para la resolucin del problema.

)5.2(

81.922==

F

maFx Como P=mg; entonces m=P/g

N1 x

y Qx

Qy

20 = tonF 61.5

Para conocer la fuerza en el enganche, se puede estudiar cualquiera de los dos cuerpos que lo enganchan. Elegiremos el remolque.

)5.2(81.9

20==

xQ

maFx

tonQx 10.5= Se trata de una tensin Podemos comprobar los resultados analizando el tractor: 2

Por la tercera ley de Newton, las reacciones del remolque sobre el tractor son iguales a las reacciones del tractor sobre el remolque, pero de sentido contrario.

)5.2(81.9261.5

)5.2(81.9261.5

=

==

x

x

Q

Q

maFx

tonQx 10.5=

N2

y

x

Qy

Qx 5.61


2. Los coeficientes de friccin esttica y cin-tica entre las llantas de un automvil de carreras y la pista son, respectivamente, 0.85 y 0.65, respectiva-mente. Diga cul ser la velocidad terica mxima que alcanzar el automvil en una distancia de 300 ft, suponiendo suficiente la potencia de su motor.

Resolucin Dibujamos el diagrama de cuerpo libre y elegimos el sistema de referencia. Como deseamos conocer la velocidad mxima des-pus de recorrer cierta longitud, se requiere que el automvil adquiera la mxima aceleracin, por tanto la mnima fuerza de traccin, que es de friccin en este caso.

y

P

N

0.85 N

4.27)2.32(85.02.32

85.0

2.3285.0

2.3285.0

0

0

===

=

==

===

a

a

aPP

aPN

maFPN

NPF

x

y

x

Se trata de una aceleracin constante, por tanto:

2)(

21

22

2

1

vvxa

vdvdxa

dxdvva

v

v

=

=

=


En este caso, 01 =v y 300=x

300)4.27(2)(222 == xav

sftv 1.1282 =

Se puede convertir a h

mi :

hmi

hmi

sft 4.87

44301.1281.128 =

=


3. Un nio arroja una piedra de 1.5 kg de masa

hacia arriba, verticalmente, con una velocidad inicial de 12 m/s desde la orilla de un edificio de 20 m de altura. Determine: a) la altura mxima, sobre el suelo, que alcanza la piedra; b) la velocidad con que llega al suelo.

12 m/s

20 m

Resolucin Dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que repre-sente cualquier instante del movimiento, y elegimos un sistema de referencia.

y Disponemos de una ecuacin cintica:

81.95.1)81.9(5.1

==

=

aa

maFy

Es decir, en cualquier instante, suba o baje la piedra, su aceleracin es la de la gravedad y se dirige hacia el centro de la Tierra. A partir de la aceleracin, escribiremos las ecuaciones del movimiento de la piedra, refirindolas al sistema de referencia que se muestra en la figura. y

20

0

12 m/s

2

0

0

281.91220

)81.912(20

81.91281.912

81.9

tt

dttvdtyy

tdtadtvv

a

+=

+=+=

==+==

Ahora podemos contestar las preguntas. a) Cuando alcance la altura mxima su velocidad ser nula.

81.912

81.9120

==

t

t


Y en ese instante:

81.97220

81.972

81.914420

81.912

1281.9

81.9121220

2

+=+=

+=

y

y

my 3.27= que es la altura mxima sobre el suelo

b) Llega al suelo cuando y = 0

0402481.9281.912200

2

2

=+=

tt

tt

Las races son:

138.158.3

2

1

==

tt

El tiempo en que llega al suelo es la raz positiva y la velocidad es:

2.23)58.3(81.912 ==v El signo negativo indica que su sentido es contrario al sentido del eje de las yes, elegido arbitrariamente.

smv 2.23=


4. Se lanza un cuerpo de 40 kg hacia arriba de

un plano inclinado 15 con una velocidad inicial de 20 m/s. Si los coeficientes de friccin esttica y cintica son 0.25 y 0.20, respectivamente, entre el cuerpo y el plano, cunto tiempo emplea en volver al punto del que fue lanzado?; con qu velocidad pasa por l?

40 kg v

Resolucin Dibujamos el diagrama de cuerpo libre y elegimos el sistema de referencia. Empleamos a continuacin las ecuaciones cinticas:

43.44.177

15)81.9(402.0

379015cos)81.9)(40(

0

==

==

==

=

ama

masenNmaFx

NNN

Fy

El signo negativo indica que el cuerpo se est deteniendo. Escribimos las ecuaciones del movimiento:

( ) 21010

243.42043.420

43.42043.420

43.4

ttdttdtvxx

tdtdtavv

a

==+===+=

=

x

y

N

0.2N

15

40(9.81)

El tiempo que tarda en subir lo encontramos haciendo v = 0.

st

t

tt

51.4

51.443.4

202043.4

2043.40

===

=+=


Para encontrar la distancia que recorre el cuerpo en el ascenso hasta detenerse sustituimos el tiempo hallado.

mx

x

1.45

)51.4(243.4)51.4(20 2

==

Habr recorrido esta distancia antes de detenerse. Ahora analizaremos al cuerpo a partir de que comien-za a bajar.

0.2N

y

N

15

40(9.81)

x

Utilizando un nuevo sistema de referencia, tenemos:

379015cos)81.9)(40(

0

==

=

NN

Fy

En el eje de las equis la fuerza de friccin cambia de sentido.

644.040

2.015)81.9(40402.015)81.9(40

=

==

=

a

Nsena

aNsenmaFx

Las ecuaciones del movimiento, en el nuevo sistema de referencia y tomando como origen el punto en el que el cuerpo se detuvo, son:

( ) 200

2644.0644.0

644.0644.0

644.0

tdttdtvxx

tdtadtvv

a

==+===+=

=

Vuelve al punto de partida en x = 45.1 m

st

t

t

83.11644.0

2)1.45(2644.01.45 2

==

=


Por tanto, el tiempo que tarda en volver al punto de donde fue lanzado es la suma de este tiempo ms el empleado en subir.

51.483.11 +=Tt

stT 34.16= La velocidad con la que regresa la hallamos sustituyendo el tiempo de descenso en la ecuacin de la velocidad.

)83.11(644.0=v

= 1562.7 smv


5. Los pesos de los cuerpos A y B de la figura son, respectivamente, 20 y 30 lb, y los de la polea y de la cuerda, despreciables. Sabiendo que la cuerda es flexible e inextensible y que no hay ninguna friccin en la polea, calcule la aceleracin del cuerpo B y la tensin de la cuerda.

Resolucin Los cuerpos estn conectados de manera que su aceleracin tiene la misma magnitud. La cuerda sufre la misma tensin en toda su longitud, pues la polea es e precio despreciable (y la suma de momentos de las fuerzas respecto a su eje de rotacin tiene que ser nula) Una vez dibujado el diagrama de cuerpo libre de A, elegimos un sistema de referen-cia dirigido hacia arriba, pues el cuerpo, ms ligero que B, acelerar aumentando su rapidez.

aT

maFy

2.322020 =

=

)2.32

1(20 aT += _______________ (1) El sistema de referencia para el diagrama de cuerpo libre de B lo elegimos hacia abajo para ser congruentes con el diagrama anterior.

aT

maFy

2.323030 =

=

)2.32

1(30 aT = _______________ (2) Igualando (1) y (2)

)2.32

1(30)2.32

1(20 aa =+

Polea 2T

T

T

30

T

y

Cuerpo B

Cuerpo A

y

T

20

30 #

20 #


44.650322

102.32

502.32

30302.32

2020

==

=

=+

a

a

aa

La aceleracin de B es, por tanto

= 244.6 sfta

Y la tensin de la cuerda

)2.1(20)2.32

44.61(20 =+=T

lbT 24=


6. Los cuerpos A y B pesan 40 y 60 kg, respec-tivamente. El coeficiente de friccin esttica entre el cuerpo A y el plano horizontal es 0.35, y el de friccin cintica, de 0.25, Suponiendo despreciable la masa de las poleas y cualquier resistencia suya al movi-miento, calcule tanto la tensin de la cuerda que une las poleas, como la aceleracin de los cuerpos A y B.

60 kg

40 kg

Resolucin

A

A

A

x

y

aT

aT

aNT

maF

NN

F

81.94010

81.940)40(25.0

81.94025.0

40040

0

=

=

==

==

=

AaT 81.94010 += ___________ (1)

Analizando el cuerpo B

BaT 81.96060 1 =

BaT 81.960601 = ____________ (2)

Tenemos las ecuaciones 1 y 2 con cuatro incgnitas. Estudiemos la polea mvil. Como su masa es despreciable

0=ma Por tanto

030

1 ==

TTFy

TT 31 = _____________ (3)

y

60

T1

Cuerpo B

Cuerpo A

T

x

y

0.25 N

N

40


Y la cuarta ecuacin la obtenemos relacionando las aceleraciones de A y B, mediante la cuerda que conecta las poleas, cuya longitud es constante.

T1

T T T

y BA yxl 3+=

Derivando respecto al tiempo

BA

BA

aavv

3030

+=+=

Para resolver el sistema de ecuaciones, multiplicamos (1) por (3) e igualamos con (2)

BA aa 81.96060

81.940103 =

+

De (4)

[ ]

)10(140

81.981.9

202081.9

12010

81.960603

81.940103

=

=+

=

+

B

BB

BB

a

aa

aa

= 2701.0 smaB

= 210.2 smaA

kgT 57.18=


Aceleracin variable 7. A un cuerpo que reposa en una superficie lisa se le aplica una fuerza F cuya magnitud vara con el tiempo, segn se muestra en la grfica de la figura. Determine el tiempo que se requiere para que el cuer-po regrese a su posicin original.

F(N)

8

16

t(s)

F

Resolucin De acuerdo con la grfica, la expresin que define la fuerza horizontal es:

tF 216=

Pues 16 N es la ordenada al origen y la pendiente es negativa y de 2 N/s. Despus de dibujar el diagrama de cuerpo libre para cualquier instante del movimiento y elegir el sistema de referencia, escribiremos la ecuacin cintica.

dtdvPt

maFx

81.9216 ==

Hemos sustituido a por dv/dt porque la fuerza est en funcin del tiempo. Para resolver la ecuacin diferencial, sepa-ramos variables e integramos.

CvPtt

dvPdtt

dvPdtt

+=

=

=

81.9

16

81.9)216(

81.9)216(

2

N

x

16-2t

P

Para 0=t , 0=v , de donde 0=C

)16(81.981.9

16

2

2

ttP

v

vPtt

=

=


Sustituimos v por dx/dt

)216(81.9 2ttPdt

dx = Separando variables e integrando:

132

2

2

)328(81.9

)216(81.9

)216(81.9

CttP

x

dtttP

dx

dtttP

dx

+=

=

=

Escogiendo el origen en el punto de partida. Si 0=x , 0=t y 01 =C .

)328(81.9 32 tt

Px =

Esta es la ecuacin que define la posicin en funcin del tiempo.

Si vuelve al punto de partida, 0=x

0328

0)328(81.9

32

32

=

=

tt

ttP

Dividiendo entre , pues dos races son nulas: 2t

=

=

238

0328

t

t

st 12= Que es el tiempo en que vuelve al punto de partida.


8. Una embarcacin de 9660 lb de desplaza-miento navega en aguas tranquilas a 24 nudos cuando su motor sufre una avera. Queda entonces sujeta a la resistencia del agua que, en lb, se puede expresar como 0.9v2, donde v est en ft/s. Diga en cunto tiem-po la rapidez de la embarcacin se reducir a 6 nudos.

Resolucin Resolucin

Cv

t

vdvdt

vdvdt

dtdvv

dtdvv

mavmaFx

+=

=

=

=

==

=

13009.0

3009.0

3009.0

3009.0

2.3296609.0

9.0

2

2

2

2

2

x

U

0.9v2

9660

Cuando t = 0, v = 24 nudos Dado que la resistencia est expresada en el sistema

ingls, realizamos la conversin de nudos a sft

sft

mft

sm

sm

shr

kmmhr

km

53.40128.335.12

35.1236001

11000

nudo 1

1.853nudos 24

=

=

401.7)53.40(

300)53.40(

13000

==

+=

C

C

C


Entonces:

401.73009.0 +=v

t

Cuando la velocidad de la embarcacin es v = 6 nudos: Nuevamente realizamos la conversin.

sft

mft

sm

sm

shr

kmmhr

km

13.10128.335.12

088.336001

11000

nudo 1

1.853nudos 6

=

=

9.02.22

2.229.0401.76.299.0

401.713.10

3009.0

=

=+=+=

t

tt

t

st 7.24=


9. Una embarcacin de 9660 lb de desplaza-

miento navega en aguas tranquilas a 24 nudos cuando su motor sufre una avera. Queda entonces sujeta a la resistencia del agua que, en lb, se puede expresar como 0.9v2, donde v est en ft/s. Qu distancia nave-gar hasta que su velocidad se reduzca a 6 nudos?

Resolucin Resolucin Dibujamos un diagrama de cuerpo libre, que repre-sente cualquier instante del movimiento, y elegimos un eje de referencia en direccin de la velocidad.

Dibujamos un diagrama de cuerpo libre, que repre-sente cualquier instante del movimiento, y elegimos un eje de referencia en direccin de la velocidad.

dxdvvv

maFx

2.3296609.0 2 =

=

x

U

0.9v2

9660

Hemos sustituido a por v dv/dx porque la fuerza est en funcin de la velocidad y queremos conocer un desplazamiento. Simplificando la ecuacin, tenemos:

dxdvv 3009.0 =

Separamos variables

CvLxvdvdx

vdvdx

+==

=

3009.0

3009.0

3009.0

Elegimos el origen en la posicin en que la embar-cacin sufre la avera, de modo que

Si 0=x , nudosv 24=

nudosLCCnudosL

24300243000

=+=

La ecuacin queda as:

( )nudosLLvxnudosLvLx

243009.0243003009.0

==


Por las propiedades de los logaritmos

nudosvLx

243009.0 =

nudosvLx

24003.01=

Volviendo a utilizar las propiedades de los logaritmos

vnudosLx 24

003.01=

La posicin de la embarcacin cuando su rapidez es de 6 nudos es:

4003.01

624

003.01 L

nudosnudosLx ==

ftx 462= Que es tambin la distancia que navega.


10. Se arroja una pequea esfera de 2 kg de

peso hacia arriba, verticalmente, con una velocidad inicial de 15 m/s. En su movimiento experimenta una resistencia del aire, que, en kg, se puede considerar de 0.04v, donde v se d en m/s. Determine: a) el tiempo en que alcanza su altura mxima; b) la velocidad con que vuelve al punto de partida.

v 2 kg

Resolucin

CvLg

t

vdv

gdt

vdv

gdt

dtdv

gv

maFy

+=

=

=

==

)204.0(

04.02

204.02

204.02

204.02

2

-0.04v

y

Si t = 0, v = 15

)204.0

6.2(02.01

6.202.010

=

+=

vL

gt

CLg

)204.0

6.2(02.01

+= vLgt _____________ (1) Nombramos ecuacin (1) a la ecuacin anterior ya que ser utilizada ms adelante.

Para v = 0

3.102.01 L

gt =

st 337.1=


De la ecuacin (1)

gt

gt

gt

evev

ve

vLgt

02.0

02.0

02.0

6.2204.06.2204.0

204.06.2

)204.0

6.2(02.0

+==+

+=+=

gtev 02.06550 += ______________ (2)

( )1

02.0

02.0

02.0

02.06550

6550

6550

Ceg

ty

dtedy

edtdy

gt

gt

gt

+=

+=+=

Si y = 0, t = 0

( )gteg

ty

Cg

02.0

1

102.06550

02.0650

+=

+=

Se encuentra el valor de t para y = 0

st 801.2= Sustituyendo el tiempo encontrado en la ecuacin (2)

47.126550 )801.2(02.0

=+=

vev g

= smv 47.12


O bien:

dydvv

gv

dydvv

gv

maFy

5050

2204.0

=+

==

1)50(5050

5050

50

505050

50

5050

CvLvygv

dvdvdyg

dvv

vdygvvdvdyg

++=+=

++=

+=

Si y = 0, v = 15

655015

6550150

1

1

LCCL

+=+=

)50

65(501550 ++= vLvyg

Para y = 0:

)50

65(50150 ++= vLv

151 =v (Cuando comienza el movimiento)

48.122 =v

= smv 48.12


11. Una cadena de 4 m de longitud y 80 N de peso reposa en el borde de una superficie rugosa, cuyo coeficiente de friccin cintica es 0.5. Mediante una fuerza constante de 50 N se jala a otra superficie contigua, lisa. Calcule la velocidad con que la cadena termina de pasar completamente a la superficie lisa.

4 m

R = 0.5 x

50 N

Resolucin Dibujamos un diagrama de cuerpo libre de la cadena, que representa un instante cualquiera de su movi-miento. Un tramo de ella se encuentra sobre la super-ficie rugosa y otro en la lisa. x 4-x Colocamos el origen del sistema de referencia en la unin de las dos superficies, de modo que el tramo sobre la superficie lisa tiene una longitud x.

20(4-x) 20x

20x

x

0.5 [20(4-x)] 20(4-x)

0

Como el peso de la cadena es de 80 N y mide 4 m, su peso por unidad de longitud es:

mNw 20

480 ==

Las componentes normales de las superficies sobre la cadena tienen la misma magnitud que los pesos de sus tramos respectivos.

[ ]

dxdvvx

dxdvvx

dxdvvx

maFx

81.984

81.9801040

81.980)4(205.0

=

=

==

Hemos sustituido a por dxdvv ya que la fuerza est en

funcin de la posicin x, y hemos dividido ambos miembros entre 10.


Separamos variables e integramos.

Cvxx

vdvdxx

vdvdxx

+=

=

=

22

81.945.04

81.98)4(

81.98)4(

Si 0=x , 0=v puesto que cuando el extremo derecho de la cadena se halla en el punto de unin de las superficies comienza a moverse.

)5.04(481.9

81.945.04

0

2

22

xxv

vxx

C

=

==

La cadena termina de pasar a la superficie lisa cuando

4=x , y su velocidad entonces es:

( ))8(

481.9

)4(5.0)4(4481.9 2

=

=

v

v

= smv 43.4


12. Un cuerpo de masa m unido a un resorte, cuya constante de rigidez es k, se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Se aleja el cuerpo un distancia xo de su posicin de equilibrio y se suel-ta. Escriba las ecuaciones del movimiento del cuerpo en funcin del tiempo y dibuje las grficas corres-pondientes.

k

x

0

x0

m

Resolucin

22

22

0

vmCxk

dxdvmkx

maFx

=+

==

x

N

mg

kx0

Cuando 0xx = ; 0=v

2

02

20

20

xkC

Cxk

=

=+

Entonces:

( )22

0

220

2220

2220

220

2

20

22

)(2

)(2

222

222

xxmkv

xxmkv

mvxxk

vmxxk

vmxkxk

xkvmxk

=

===

=+

=

Sea mkp =

dtdxv =


20

220

220

220

Cptxxangsen

dtpxx

dx

pdtxx

dx

xxpdtdx

+=

=

=

=

Si 0=t , 0xx = ( )

+===

90

901

0

2

2

ptxxangsen

CCangsen

Aplicando la funcin seno de ambos lados de la ecuacin:

( )pt

xx

ptsenxx

cos

90

0

0

=

+=

ptxx cos0= Derivando con respecto al tiempo tenemos:

( ) senptpxsenptpxdtdx

00 ==

senptpxv 0= Derivando nuevamente con respecto del tiempo encontraremos la aceleracin.

( ) ptxpptppxdtdv coscos 0

20 ==

ptxpa cos02=

xpa 2=


Las grficas para la posicin, velocidad y aceleracin son respectivamente:

x

-x0

p x0

p2 x0

a

x0

t

t

v

t

- p x0

- p2 x0


13. Un cuerpo de 16.1 lb de peso pende de los

tres resortes mostrados en la figura. Se jala el cuerpo hacia abajo tres pulgadas de su posicin de equilibrio y se suelta. Se pide: a) Hallar la constante de rigidez de un resorte equivalente a los tres de la figura. b) De-termine si el movimiento que adquiere el cuerpo es armnico simple o no. c) Diga cules son la ampli-tud, el perodo y la frecuencia del movimiento. d) Calcule la velocidad y aceleracin mximas del cuerpo.

30 lb/ft 30 lb/ft

40 lb/ft

16.1 lb

Resolucin a) La constante de rigidez equivalente a la de los dos resortes en paralelo es ft

lbk 6030301 =+= La constante equivalente a los dos resortes en serie es:

30 30 60

1205

120321

401

6011

=+=

+=

k

k

60

24

40

ftlbk 24=

b) dibujaremos el diagrama de cuerpo libre para cualquier instante del movimiento y elegimos como origen la posicin de equilibrio del cuerpo. En dicha posicin la fuerza del resorte es igual al peso, de 16.1 lb, de modo que en cualquier posicin la accin del resorte tiene una magnitud de 1.1624 + y

24y+16.1

y

yaay

ay

maFy

485.024

2.321.161.161.1624

==

=+=

Esta ecuacin es de la forma que corresponde al movimiento armnico simple.

xa 2= 16.1


Por lo tanto, el cuerpo adquiere movimiento armnico simple. c) Como la amplitud es la distancia mxima que la partcula se aleja del origen, , que es la longitud sealada en el enunciado.

iny 30 =

Como inft 121 =fty 25.00 =

El periodo es:

2pT =

En donde mkp =

24=k

34485.0

24

5.02.321.16

===

==

p

m

Entonces:

32

234 ==T

sT 103.1= Y la frecuencia:

Tf 1=

hertzf 907.0= d) Como se trata de movimiento armnico simple, las ecuaciones del movimiento son:

ypptypaptsenpyv

ptyy

20

20

0

cos

cos

===

=

que para este caso particular,

34cos16

343

34cos25.0

ta

tsenv

ty

==

=


El valor de la velocidad mxima se alcanza cuando

1=ptsen , por tanto: 30max == pyv

sftv 732.1max =

La aceleracin mxima corresponde a la posicin

)25.0(4802

max == ypa

2max 16 sfta =


2.2 Movimiento curvilneo 2.2.1 Componentes cartesianas 14. La corredera A, de 5 lb de peso, se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo hori-zontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Sabiendo que cuando x = 6 in, su velocidad tiene una pendiente positiva de 1/2 y su aceleracin es hori-zontal y de 3 in/s2 dirigida hacia la derecha, determine todas la fuerzas externas que actan sobre ella en esa posicin.

Resolucin

x

y

1

NR

NB

2

5 Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la corredera. Las reacciones normales del brazo y de la ranura sern llamadas NB y NR respectivamente, en donde NB tendr la direccin del eje ye, mientras que NR ser normal a la velocidad en el punto.

5123

2.325

123

2.325

51

=

=

=

R

R

N

N

maFx

lbN R 0868.0=

+=

=

=

525

05

25

0

RB

RB

NN

NN

Fy

lbN B 08.5=


15. Desde la orilla de un edificio de 20 m de

altura, un nio arroja una piedra con una velocidad de 12 m/s, cuya pendiente es de 4/3. Sabiendo que la piedra tiene una masa de 1.5 kg y la resistencia del aire es despreciable, determine la altura mxima h sobre el suelo que alcanza la piedra y la distancia horizontal R que se aleja del edificio. 2.2.2 componentes intrnsecas

Resolucin Resolucin

El diagrama de cuerpo libre de la piedra en cualquier instante del movimiento es el que se muestra. Elegimos un eje de referencia unilateral hacia arriba.

El diagrama de cuerpo libre de la piedra en cualquier instante del movimiento es el que se muestra. Elegimos un eje de referencia unilateral hacia arriba.

y 1.5 (9.81)

==

==

281.9

81.95.1)81.9(5.1

sma

aa

maFy

Partiendo de este dato, elegimos un sistema de refe-rencia completo para plantear las ecuaciones del movimiento de la piedra.

Componentes horizontales:

95315

0

00

=

==+==

x

xxxx

x

v

vdtavv

a

tx

dtdtvxx x9

90=

=+=

Componentes verticales:

( )2

0

0

281.91220

81.912

81.912

81.95415)81.9(

81.9

tty

dttyy

tv

dtdtvv

a

y

yy

y

+=+=

=

=+=

=


Alcanza la altura mxima h cuando la componente vertical de la velocidad es nula.

81.912

81.91200

==

=

t

tvy

Y esa altura es y = h

81.97220

81.972

81.914420

81.912

281.9

81.9121220

2

+=+=

+=h

mh 3.27=

La piedra llega al suelo a una distancia R del edificio. Es decir, cuando

2

281.912200

0

tt

y

+==

Las races de esta ecuacin son:

138.158.3

2

1

==

tt

En 58.3=t s, x =R )58.3(9=R

mR 3.32=


16. Un pndulo cnico de 8 kg de peso tiene

una cuerda de 1 m de longitud, que forma un ngulo de 30 con la vertical. Cul es la tensin de la cuer-da? Cul es la rapidez lineal del pndulo?

1 m

8 kg

30

Resolucin y

8 kg T

n 30

==

=

30cos8

0830cos0

T

TFy

kgT 24.9=

( )( )( )

83081.9

83081.9

30181.9830

81.9830

2

22

2

2

=

==

==

senTv

senTv

senvTsen

vTsen

maFn n

smv 683.1=


17. Calcule el peralte que debe la curva

horizontal de una carretera para que los vehculos al transitar por ella no produzcan fuerzas de friccin sobre el pavimento. El radio de la curva es de 1000 ft y de 60 mi/h la velocidad de diseo.

Resolucin Convertimos las h

mi60 a sft

z

P N

n

sft

sft

hmi 88

30446060 =

=

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de un vehculo en el que el pavimento slo ejerce una fuerza normal. El sistema de referencia requiere que el eje normal se dirija hacia el centro de la curva; y elegimos otro eje perpendicular a l (el eje tangencial es perpendicular al plano del dibujo).

2

2.32

cos

0cos0

vPNsen

maF

PN

PNF

nn

==

==

=

Sustituyendo:

32200)88(tan

32200)88(

cos

1000)88(

2.32cos

2

2

2

=

=

=

sen

PsenP

5.13=


18. Un cuerpo de 4 kg de masa se encuentra

sujeto por una cuerda horizontal, AC, y otra, AB, de 0.8 m de largo, que forma un ngulo de 30 abajo de la horizontal. Determine la tensin que soportar la cuerda AB en el instante en que se corte la horizontal, AC. Diga tambin cul ser la aceleracin del cuerpo.

Resolucin

2

2

2

5)81.9(48.0

4)81.9(4

4)81.9(4

4)81.9(4

vsenT

vsenT

vsenT

asenTmaFn

n

n

==

==

=

n 4(9.81)

t

30 T

Cuando = 30 ; 0=v

==

30)81.9(4030)81.9(4

senTsenT

62.19=T

t

t

amaFt

4cos)81.9(4 ==

Si = 30 :

9.334

30cos)81.9(4430cos)81.9(4

=

==

t

t

t

a

a

a

= 609.33 2sma


19. Un pndulo de 4 kg de masa comienza a

oscilar cuando su cuerda, de 0.8 m de longitud, forma un ngulo de 30 abajo de la horizontal, como se muestra en la figura. Cul ser la mxima rapidez que alcance? Cul, la tensin correspondiente de la cuerda?

Resolucin Puesto que la rapidez del pndulo es variable, dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que represente un instante arbitrario de su movimiento. n

4

T

Utilizaremos un sistema de referencia intrnseco: el eje normal se dirige hacia el centro de la trayectoria circular del pndulo; y el tangencial tiene la direccin de la velocidad de ste.

tt maF = La mxima rapidez la alcanza cuando 0=ta , o sea,

===

900cos

0cos4

t

Y para hallar esa rapidez, sustituimos.

dsdvv

81.94cos4 =

Simplificando

dsdvv

81.91cos =

Se puede relacionar el ngulo y el arco diferencial : el ngulo ds d es, como todo ngulo, la razn del

arco al radio.

ds

d

0.8

dds

dsd

8.08.0

==

De donde:

ddvv8.081.9

1cos =


Separando variables:

( ) Cvsenvdvd

vdvd

+=

=

=

2

81.9218.0

81.91cos8.0

81.91cos8.0

Si = 30 , 0=v

C=

218.0

De donde

( )( ) ( )

)1)(81.9(8.0

124.081.92

1

4.081.92

18.0

max

2

2

=

=

+=

v

senv

vsen

smv 80.2max =

rvsenT

maF nn2

81.944 =

=

Para = 90 (sen 1= ), y maxvv = 8.0=r

=8.0

)81.9(8.081.944T

kgT 8=


20. Por el punto A de la superficie lisa mos-

trada en la figura, pasa una partcula de masa m con una rapidez vo. Diga con qu rapidez v llegar al pun-to B, si la diferencia de nivel entre A y B es h.

v

A

h

B

v0

Resolucin

N

n

mg

dh ds

Elegimos una posicin arbitraria de la partcula, como la que se muestra en la figura, y dibujamos el diagrama de cuerpo libre. Utilizamos un sistema de referencia intrnseco: el eje normal dirigido hacia el centro de la curva y el tangencial en direccin de la velocidad. Como nos interesa conocer la rapidez, empleamos la ecuacin:

vdvdsgdsdvmvmg

maFy t

==

=

cos

cos

t Para poder integrar, relacionamos la longitud ds con el ngulo , como se ve en la figura:

cos

cos

dhds

dsdh

=

=

Por tanto

==

v

v

B

A

dvvdhg

dvvdhg

0


ghvv

vvgh

vgh

o

v

v

22

2

22

20

2

2

0

+=

=

=

ghvv o 2

2 += Si v0 = 0, se tiene

ghv 2= Siempre que no haya fuerza de friccin


21. Un nio coloca una canica en la parte alta

de un globo terrqueo. Diga en qu ngulo la canica abandona el globo y se convierte en proyectil. Des-precie toda friccin.

Resolucin Aunque tericamente la canica est originalmente en equilibrio, ste es tan inestable que el movimiento es inconsistente.

Dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que repre- sente cualquier instante del movimiento de la canica sobre la superficie del globo terrqueo.

N

n

mg

Elegimos un sistema de referencia intrnseco, con el eje normal hacia el centro del globo y el eje tangencial en direccin de la velocidad.

Puesto que la componente tangencial de la acelera-cin mide el cambio de magnitud de la velocidad, que es variable en este caso, comenzaremos con la aceleracin. t

dsdvvmsenmg

maF tt

==

Se puede relacionar el ngulo y el arco diferencial ds, ya que todo ngulo se mide con la razn del arco al radio.

rddsrdsd

==

r

ds

d

De donde:

==

=

vdvdsengr

vdvdsengrddv

rvseng

Cvgr +=2

cos2


Como v = 0 cuando = 0 (cos = 1)

)cos1(2

cos2

2cos

)1(

2

2

2

==

==

grv

grgrv

grvgr

Cgr

Utilizando la otra ecuacin cintica:

rvmNmg

maFn n2

cos ==

Cuando la canica est a punto de separarse del globo, N = 0 y =

rvmmg

2

cos = Del resultado anterior:

32cos

2cos3cos22cos

)cos1(2cos

)cos1(2cos

===

=

=

grgr

rgrg

= 2.48cos


22. El aro liso de la figura, cuyo radio es de

0.5 m, gira con rapidez angular constante alrededor de un eje vertical. Calcule dicha rapidez angular, sabien-do que el collarn, aunque puede deslizarse libremente sobre el aro, mantiene fija su posicin relativa a l.

Resolucin Dibujamos el diagrama de cuerpo libre del collarn. Como la trayectoria que describe es una circun-ferencia en el plano horizontal, el eje normal que se dirige hacia el centro de la trayectoria, es tambin horizontal.

30 N

El eje tangencial es perpendicular al plano del dibujo y no aparece en el diagrama.

n

r

rPP

rPN

maFn

PN

PNsenF

n

...

2

2

2

81.913

81.9232

81.930cos

21

0300

=

=

==

==

=

P

30

r

0.5 El radio de la trayectoria es:

325.02

35.030cos5.0 ===r


De donde

25.081.9

)325.0(81.913

.

.

2

2

=

=

srad26.6

.=

2.- CinÇtica de la part°cula

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